图的连通性问题
图的连通性判断算法的时间复杂度
图的连通性判断算法的时间复杂度图是数学中一种常见的数据结构，在计算机科学中也有广泛的应用。
图由节点（顶点）和边组成，表示了不同元素之间的关系。
在图中，如果每个节点都可以通过路径相互到达，则该图被称为连通图，否则被称为非连通图。
图的连通性判断算法指的是判断给定的图是否是连通图的问题。
常见的图的连通性判断算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）算法。
接下来，将分别介绍这两种算法，并分析它们的时间复杂度。
一、深度优先搜索（DFS）算法深度优先搜索算法是一种递归的算法，通过访问节点的方式来遍历整个图。
DFS算法首先选择一个节点作为起始节点，然后通过递归地访问与该节点相邻的节点，直到没有未访问过的节点。
如果所有的节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是非连通的。
DFS算法的时间复杂度取决于图的大小和结构。
假设图有n个节点和m条边，那么DFS算法的时间复杂度为O(n + m)。
在最坏的情况下，每个节点都需要被访问一次，并且每个节点都需要遍历它的所有相邻节点。
二、广度优先搜索（BFS）算法广度优先搜索算法是一种迭代的算法，通过按层级的方式遍历整个图。
BFS算法首先选择一个节点作为起始节点，然后按照从起始节点开始的顺序，依次访问每个节点的所有相邻节点。
通过不断扩展搜索的范围，直到所有节点都被访问过。
如果所有的节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是非连通的。
BFS算法的时间复杂度也取决于图的大小和结构。
假设图有n个节点和m条边，那么BFS算法的时间复杂度为O(n + m)。
在最坏的情况下，每个节点都需要被访问一次，并且每次访问时都需要遍历其所有相邻节点。
总结：图的连通性判断算法的时间复杂度分别为O(n + m)的DFS算法和BFS算法。
其中，n表示图的节点数，m表示图的边数。
这两种算法在连通性判断问题上表现良好，并且可以在较短的时间内找到问题的解答。
需要注意的是，虽然DFS和BFS可以用于判断图的连通性，但它们在处理大规模图时可能存在效率问题。
图论讲义第2章-连通性
第二章 图的连通性在第一章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。
对于连通图，其连通的程度也有高有低。
例如，下列三个图都是连通图。
对于图G 1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G 2，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G 3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。
本章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。
通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的2连通和k 连通性。
§2.1 割点和割边定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >−，则称v 为G 的一个割点。
（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。
例如，下图中u , v 两点是其割点。
定理2.1.1 如果点v 是简单图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。
证明留作习题。
推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G −不连通。
定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。
证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。
若0)(=v d ，则1K T ≅，显然v 不是割点。
若1)(=v d ，则v T −是有1)(−−v T ν条边的无圈图，故是树。
从而)(1)(T w v T w ==−。
因此v 不是割点。
以上均与条件矛盾。
充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。
路uvw 是T 中一条),(w u 路。
因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>−。
图的连通性问题
G
H
图1 有向图G
A C
B D
F
G H
E
图2 逆置图G’
Step3：根据步骤1得到的遍历序列，按照结点结束访问时间递减 排序后的结果 EFGHACBD 下面，按照该结点序列顺序对逆置图G’所深度优先遍历，得到 的深度优先遍历森林如图3所示。森林中共有4棵树，其中(a)和(d) 只有一个结点，这里认为单结点也是一个强联通分量（在实际应 用中可以根据实际需要将这种情况过滤掉）。 A C E B D 图2 逆置图G’ F G A B D F G H
二、Kosaraju算法求解过程实 例
下面结合实例说明Kosaraju算法的基 本策略。图1给出了一个有向图G。
A
C
B
D
图1 有向图G
F
E
G H
Step1：假设从DFS在遍历时按照字母顺序进行，根据 Kosaraju算法，在步骤1中我们得到的遍历顺序可以表达为 [A,[C,[B,[D,D],B],C],A][E,[F,[G,[H,H],G],F],E] 越后出栈的点先访问 第一步所得到的顺序即为：EFGHACBD Step2：根据算法第2步，将图G逆置，得到对应的反向图G’ 如图2所示。 A C B D F E
有向图和它的转置的 强连通分量相同
所有SCC构成一个 DAG
求强连通分量使用 Kosaraju算法
一、Kosaraju算法步骤： Step1、对有向图G做dfs（深度优先遍历），记录每个结点结束访 问的时间(即节点出栈顺序，后出栈的点第二次先扫描) Step2、将图G逆置，即将G中所有弧反向。 Step3、按Step1中记录的结点结束访问时间从大到小对逆置后的 图做dfs Step4、得到的遍历森林中每棵树对应一个强连通分量。
离散数学图的连通性判定方法介绍
离散数学图的连通性判定方法介绍离散数学是一门研究离散结构以及这些结构中的对象、性质和关系的学科。
其中，图论是离散数学中的一个重要分支，主要研究图的性质和关系。
图是由节点和边组成的结构，可以用于表示各种实际问题以及计算机科学中的数据结构。
在图的研究中，连通性是一个重要的概念，它描述了图中节点之间是否存在路径相连。
在实际应用中，判断图的连通性是一个常见的问题。
下面将介绍几种常用的图的连通性判定方法。
1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常用的图遍历算法，它通过栈来实现。
该算法从图的某个节点开始，首先访问该节点并将其标记为已访问，然后递归地访问它的邻居节点，直到所有可达的节点都被访问过。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种常用的图遍历算法，它通过队列来实现。
与深度优先搜索不同的是，广度优先搜索首先访问图中的某个节点，并将其标记为已访问。
然后访问该节点的所有邻居节点，并将未访问的邻居节点加入队列。
接下来，依次从队列中取出节点并访问其邻居节点，直到队列为空。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
3. 并查集并查集是一种数据结构，用于管理元素之间的动态连通性。
在图的连通性判定中，可以使用并查集来判断图中的节点是否连通。
首先，将每个节点都初始化为一个独立的集合。
然后，遍历图中的所有边，如果两个节点之间存在边，则将它们所在的集合合并为一个集合。
最后，判断图中是否只存在一个集合，如果是，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
4. 最小生成树最小生成树是一种保留了图连通性的树结构。
在连通性判定中，可以通过构建最小生成树来判断图的连通性。
首先，选择一个节点作为起始节点。
然后，从所有与当前树相连的边中选择权值最小的边，并将连接的节点加入树中。
重复该过程，直到树中包含了图中的所有节点。
如果最后构建的树包含图中的所有节点，则图是连通的。
图连通性算法及应用
图连通性算法及应用图是计算机科学领域中常见的数据结构，用于表示对象之间的关系。
在图论中，图的连通性是一个重要的概念，指的是在图中任意两个顶点之间是否存在路径。
图连通性算法是为了判断图中的连通性而设计的算法，并且在实际应用中有着广泛的应用。
一、连通性的定义与分类在图论中，连通性有两种常见的定义方式：强连通性和弱连通性。
强连通性是指在有向图中，任意两个顶点之间存在互相可达的路径；弱连通性是指在有向图中，将其所有有向边的方向忽略后，剩下的无向图是连通的。
本文将重点介绍无向图的连通性算法及其应用。
二、连通性算法的原理1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是最常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边深入图中的下一个顶点，直到无法深入为止，然后回溯至上一个顶点，继续深入其他未访问过的顶点。
通过深度优先搜索算法，我们可以得到一个图的连通分量，从而判断图是否连通。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索同样是常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边遍历与该顶点直接相邻的所有顶点，然后再以这些相邻顶点为起点，继续遍历它们的相邻顶点，直到遍历完所有连通的顶点。
通过广度优先搜索算法，我们可以得到一个图的层次遍历树，从而判断图是否连通。
三、连通性算法的应用1. 社交网络分析在社交网络分析中，连通性算法可以用来判断一个社交网络中是否存在分割成多个互不相连的社群。
通过判断社交网络的连通性，我们可以发现隐藏在社交网络背后的关系网络，从而更好地理解和分析社会关系。
2. 网络路由优化在计算机网络中，连通性算法可以用来判断网络节点之间的连通性。
通过分析网络的拓扑结构，我们可以选择合适的路由算法，从而实现快速且可靠的数据传输。
3. 图像分割在计算机视觉和图像处理中，连通性算法可以用来判断图像中的连通区域。
通过判断图像的连通性，我们可以对图像进行分割和提取，从而实现目标检测和图像识别等应用。
应用离散数学图论图的连通性题库试卷习题及答案
§5.2 图的连通性习题5.21．证明或否定：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通路，则G 中有基本回路。
（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的基本通路，则G 中有基本回路。
解：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通道，则G 中有回路。
（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的路，则G 中有回路。
解 （1）不一定：如下图，点1与点3之间有两条通道：（1、2、3）和（1、2、1、2、3），但图中没有回路。
（2）一定：设两条路分别为),,,,,(211v x x x u L m =和),,,,,(212v y y y u L n =。
若对m i ≤≤1，n j ≤≤1有j i y x ≠，则),,,,,,,,,,(12121u y y y y v x x x u n n m -是一条回路。
否则假设l k y x =且是离u 最近的一对（即对k i ≤≤1，l j ≤≤1，不存在j i y x =），则),,,,,,,,,(12121v y y y x x x u l k -是一条回路。
2．设G 是简单图，)(G δ≥2，证明G 中存在长度大于或等于1)(+G δ的基本回路。
证：以图G 中一点v 1出发，与之相邻的点设为v 2，由于)(G δ≥2，则v 2至少还有一个邻接点，设为v 3，若v 3与v 1邻接，则形成长度为1)(+G δ的基本回路，则若v 3不与v 1邻接，则至少还有一个邻接点，设为v 4，若v 4与v 1或v 2邻接，则形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路，若v 4与v 1和v 2都不邻接，至少还有一个邻接点，设为v 5，…，依次类推，一定可以到达最后一个顶点v i ，由于)(G δ≥2，则除了v i -1外，一定会与前面的某个顶点邻接，就会形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路。
3．证明：若连通图G 不是完全图，则G 中存在三个点w v u ，，，使E v u ∈)(，，E w v ∈)(，，E w u ∉)(，。
数据结构与算法 图的遍历与连通性
数据结构与算法图的遍历与连通性数据结构与算法：图的遍历与连通性在计算机科学中，数据结构和算法是解决各种问题的基石。
其中，图作为一种重要的数据结构，其遍历和连通性的研究具有至关重要的意义。
让我们先来理解一下什么是图。
简单来说，图是由顶点（也称为节点）和边组成的结构。
顶点代表了事物或者对象，而边则表示顶点之间的关系。
例如，在一个社交网络中，人可以被视为顶点，而人与人之间的好友关系就是边。
图的遍历是指按照一定的规则访问图中的所有顶点。
常见的图遍历算法有深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历就像是一个勇敢的探险家，一头扎进未知的领域，勇往直前，直到走投无路，然后回溯。
它的基本思想是先访问一个顶点，然后沿着一条未访问过的边递归地访问下一个顶点，直到没有可访问的边，再回溯到之前的顶点，继续探索其他未访问的边。
想象一下你在一个迷宫中，选择一条路一直走到底，直到遇到死胡同或者已经没有新的路可走，然后再返回之前的岔路口，选择另一条路继续前进。
广度优先遍历则像是一个谨慎的旅行者，逐层探索。
它先访问起始顶点，然后依次访问其所有相邻的顶点，再依次访问这些相邻顶点的相邻顶点，以此类推。
这就好比你在散播消息，先告诉离你最近的人，然后他们再告诉他们附近的人，一层一层地传播出去。
那么，为什么我们要进行图的遍历呢？这是因为通过遍历图，我们可以获取图的各种信息，比如顶点之间的关系、图的结构特点等。
在实际应用中，图的遍历有着广泛的用途。
例如，在搜索引擎中，通过遍历网页之间的链接关系来抓取和索引网页；在社交网络分析中，遍历用户之间的关系来发现社区结构等。
接下来，我们谈谈图的连通性。
连通性是指图中顶点之间是否存在路径相连。
如果从图中的任意一个顶点都可以到达其他任意一个顶点，那么这个图就是连通图；否则，就是非连通图。
判断图的连通性是一个重要的问题。
一种常见的方法是从某个顶点开始进行遍历，如果能够访问到所有的顶点，那么图就是连通的；否则，图是非连通的。
图的代数连通度
图的代数连通度图代数，又称为离散数学（discrete mathematics），是数学的一个分支，主要研究由一组节点和联系这些节点的边组成的网络，也称为图。
其中图的一种重要性质是连通性，它表明图中节点之间是否都可以相互访问。
因此，如何检测图中节点之间的联系，以及如何衡量图中节点之间的联系强度，成为离散数学研究的重要内容。
在此背景下，图的代数连通度受到了广泛关注。
图的代数连通度是指图中节点之间的联系强度，它可以通过图的邻接矩阵（adjacency matrix）来衡量。
例如，当图中有 n 个节点时，可以建立一个 nxn的二元矩阵，它的每一个元素 aij示节点 i 节点 j 之间的边的权重，如果这条边存在，则 aij 为 1，反之为 0。
图的代数连通度是一种度量图节点间联系强度的量化指标。
有一种常用的方法，称为^1度量，它表示图中任何两个节点之间的联系强度。
在具体的计算中，它可以使用图的邻接矩阵来求解，其计算公式为：A1(i,j)=aij其中，aij为节点i到节点j之间的边的权重，如果节点i与节点j存在边，则aij的值为1，反之aij的值为0。
这一度量的计算，可以直接表示节点之间的联系强度，这样就可以度量图中任意两个节点之间的联系强度。
除此之外，还有其他度量方法，包括特征值度量、最大边度量等。
特征值度量是利用图的邻接矩阵，求解图的连通特征值而得到的。
而最大边度量则是利用最大边权重来衡量图的连通性。
这些度量方法都可以有效地量化图的连通性，但也存在一定的局限性。
特征值度量只能度量图中任意两个节点之间的联系强度，而无法衡量图中不同节点组合的联系强度；而最大边度量又因为不能有效的衡量图的连通性，因此，可以说这些度量方法都有其局限性。
另一方面，图的代数连通度可以有效地提供图中节点间联系强度的量化指标。
它可以通过一组不同的系数和一系列矩阵运算来实现，并且可以有效地衡量图中任意几个节点之间的联系强度，而不受两个节点之间的边的数量的限制。
图的连通性
图的连通性图的连通性2010-07-23 21 ：02 图的连通性第十三章图的基本概念第三节图的连通性一.连通性概念图中两点的连通：如果在图G中u、v 两点有路相通，则称顶点u、v 在图G中连通。
连通图(connected graph) ：图G中任二顶点都连通。
图的连通分支(connected brch,component) ：若图G 的顶点集V(G)可划分为若干非空子集V 1,V 2, ⋯,V w, 使得两顶点属于同一子集当且仅当它们在G 中连通，则称每个子图G为图G的一个连通分支(i=1,2, ⋯,w) 。
注：(1) 图G的连通分支是G的一个极大连通子图。
(2)图G连通当且仅当w=1。
例13.5 设有2n 个电话交换台，每个台与至少n 个台有直通线路，则该交换系统中任二台均可实现通话。
证明：构造图G如下：以交换台作为顶点，两顶点间连边当且仅当对应的两台间有直通线路。
问题化为：已知图G有2n 个顶点，且δ(G) ≥n，求证G连通。
事实上，假如G不连通，则至少有一个连通分支的顶点数不超过n。
在此连通分支中，顶点的度至多是n–1。
这与δ(G)≥n 矛盾。
证毕例13.6 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。
假如u与v 不连通，则它们必分属于不同的连通分支。
将每个分支看成一个图时，其中只有一个奇度顶点。
这与推论13.1 矛盾。
证毕在连通图中，连通的程度也有高有低。
例如后面将定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。
二.割点定义13.2 设v∈V(G)，如果w(G–v)w(G) ，则称v 为G的一个割点。
( 该定义与某些著作有所不同，主要是在有环边的顶点是否算作割点上有区别) 。
例如定理13.3 如果点v 是图G的一个割点，则边集E(G)可划分为两个非空子集E 1和E 2，使得G[E 1]和G[E 2]恰好有一个公共顶点v。
推论13.2 对连通图G，顶点v 是G的割点当且仅当G–v 不连通。
离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题
离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题图论是离散数学中的一个重要分支，研究对象是图。
图是由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
在图论中，连通性和欧拉路径问题是两个基本概念，对于理解和解决图相关的问题具有重要意义。
一、连通性在图论中，连通性是指图中任意两个顶点之间存在一条路径。
如果一个图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图；如果一个图不是连通图，那么它可以被分解为多个连通的子图，这些子图称为连通分量。
连通性在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在社交网络中，连通性可以用来判断两个人之间是否存在关系链；在计算机网络中，连通性可以用来判断网络中的主机之间是否可以进行通信。
二、欧拉路径问题欧拉路径问题是图论中的一个经典问题，它要求找出一条路径，经过图中每条边一次且仅一次。
如果存在这样的路径，则称图具有欧拉路径。
欧拉路径问题有两种情况：1. 欧拉回路：如果存在一条路径，从起点出发，经过图中每条边恰好一次后回到起点，则称该图具有欧拉回路。
2. 半欧拉路径：如果存在一条路径，从起点出发，经过图中每条边恰好一次后到达终点，但不回到起点，则称该图具有半欧拉路径。
欧拉路径问题的解决方法有欧拉定理和深度优先搜索算法。
欧拉定理指出，一个连通图具有欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数；一个连通图具有半欧拉路径的充分必要条件是除了起点和终点外，其它顶点的度数都是偶数。
深度优先搜索算法（DFS）是一种用来遍历图或树的算法，它可以用来解决欧拉路径问题。
DFS从起点开始遍历图，当遍历到某个顶点时，选择一个未访问过的邻接顶点进行继续遍历，直到无法继续遍历为止。
通过DFS算法，可以找到图中的欧拉路径。
三、总结离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题是图论中的两个基本概念。
连通性用来描述图中顶点之间的连接情况，欧拉路径问题则是要找出一条路径，经过图中每条边一次且仅一次。
这两个概念在实际应用中具有广泛的应用，对于理解和解决图相关的问题具有重要意义。
图论课件第三章图的连通性
Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始，通过不断更新节点之间的距离，逐步找到从源节点到 其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边，并且在图中存在负权重环的情况下也能正确 处理。
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Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路 径的动态规划算法。
详细描述
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐 步构建最短路径矩阵。该算法首先初始化一个距离矩阵，然 后通过一系列的转移操作，逐步更新距离矩阵，直到找到所 有节点对之间的最短路径。
欧拉回路
总结词
欧拉回路是指一个路径的起点和终点是同一点，且经过图中的每条边且仅经过 一次的路径，并且该路径闭合。
详细描述
欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况，它不仅满足欧拉路径的所有条件，而且 起点和终点是同一点，形成一个闭合的路径。在图论中，欧拉回路具有重要的 应用价值。
欧拉回路的判定
总结词
判断一个图是否存在欧拉回路是一个NP 难问题，目前没有已知的多项式时间复 杂度的算法。
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量，表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中，连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图，连通度通常用K表示，表 示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图，连通度分为入度和出度，分别表示从一个节 点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。
并查集与的连通性问题
并查集与的连通性问题并查集与图的连通性问题在图论中，连通性问题是一个非常重要的概念。
它研究的是在一个图中，任意两个节点是否存在路径相连。
而解决这类问题的一种常用数据结构就是并查集。
一、并查集的基本概念并查集（Disjoint Set Union）是一种树型的数据结构，常用于处理不相交集合的合并与查询问题。
它可以高效地判断两个元素是否处于同一集合，并进行集合的合并操作。
在并查集中，每个节点都有一个指针指向它的父节点，如果一个节点的父节点为自己，则代表该节点是集合的代表元素。
为了提高效率，还可以使用路径压缩和按秩合并两种优化策略。
二、并查集的操作1. 初始化操作首先，我们需要将每个元素初始化为一个单独的集合，也就是每个元素的父节点都指向自己。
2. 查找操作查找操作用于判断两个元素是否属于同一个集合。
它通过一层一层地往上查找，直到找到根节点，根节点就是集合的代表元素。
3. 合并操作合并操作用于将两个集合合并为一个集合。
首先需要找到两个元素所在集合的代表元素，然后将其中一个代表元素的父节点指向另一个代表元素。
三、并查集解决连通性问题在图的连通性问题中，可以使用并查集来快速判断两个节点是否连通。
具体步骤如下：1. 初始化并查集，将每个节点都初始化为一个独立的集合。
2. 遍历图中的所有边，对于每条边 (u,v)，找到 u 和 v 所在集合的代表元素。
3. 如果 u 和 v 的代表元素相同，则说明 u 和 v 已经连通，否则将 u 和 v 所在的集合合并。
4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完所有的边。
通过以上操作，就可以得到一个具有连通性信息的图。
在实际应用中，我们可以使用并查集来判断网络中是否存在通路、判断图中是否存在回路等。
四、应用场景举例并查集在算法和数据结构中有广泛的应用场景，例如：1. 最小生成树：使用 Kruskal 算法或者 Prim 算法来构造最小生成树时，可以使用并查集来判断各个节点之间是否连通。
图论+第3章+图的连通性
直观上看，右边的比左边的图连通“程度”
要好。
(点)连通度
图的(点)连通度我们常常省略“点”字称连
通度。 树是具有最小连通度的图。 若κ (G ) ≥ k ，则称G是k-连通的。 若G是平凡图或非连通图，则κ (G ) = 0 。 所有非平凡连通图都是1连通的。
边连通度
边连通度λ (G )=min{ S | S是G的边割集} 完全图的边连通度定义为 λ ( K v ) = v − 1。 空图的边连通度定义为0。 边连通度λ (G ) 有时又记作 κ ′(G ) 。
2-连通图的性质
定理 3.2.4：若G是 p ≥ 3的2-连通图，则G的
任意两条边都在同一个圈上。
证明：(板书)
2-连通图的性质
对于一个无环且无孤立点的图G，下面的条
件是等价的：
(1)图是不可分的； (2)图是2-连通的； (3)过任意两个顶点总有一个圈； (4)过任意两条边总有一个圈。
不可分图
没有割点的非平凡的连通图称为不可分图 (non separable graph)。
定理3.1.5 不可分图的任一边至少在一个圈中。 证明：设e是不可分图G的任意边，e=(x,y)，x和y都 不是割点，所以图G-e是连通的，故G-e必有一条(x,y) 道路P。于是P+e就是构成G中的一个圈。
e相连接。于是u和v在G-e中成为连通的。故矛盾。
(2)假设e=(x,y)不是割边，那么G-e和G的分支数
相同。由于G中存在一条(x,y)道路，所以x和y均 在G的同一分支。于是x和y在G-e的同一分支中， 故在G-e中存在一条(x,y)道路P，这样边e就在G的 圈P+e中。
割点定理(1)
定理3.1.2 当且仅当在G中存在与顶点v 不同
图的连通性
有向图中，极大强连通子图=强连通分量
G1的两个强连通分量 G1
V’是连通图G的一个顶点子集。在G中删去V’及与V’ 相关联的边后图不连通，则称V’是G的割顶集。 最小割顶集中顶点的个数，记成K(G)，叫做G的连通度。
规定： K(完全图)＝顶点数-1 K(不连通图)＝K(平凡图)＝0
K(G)＝l时，割顶集中的那个顶点叫做割顶。 没有割顶的图叫做块，G中成块的极大子图叫做G的块。
LOW(U)值的计算步骤如下：
在算法执行中，对任何顶点U计算LOW(U)值是不断修改 的，只有当以U为根的dfs子树和后代的LOW值、dfn值产 生后才停止。
图中（7，1）应为（7，7）
如r被选为根，则r 成为割顶当且仅当 它有不止一个儿子 点。
顶点U的标号函数LOW(U): LOW(U)=min{dfn(),LOW(s),dfn(W)} 其中：S是U的一个儿子，（U，W）是后向边
LOW(U)是U或U的后代所能追溯到的最早 （序号小）的祖先结点序号。
顶点U<>r作为图的割顶当且仅当U有一个儿子， 使得LOW(S)>=dfn(U),即S和S的后代不会追溯 到比U更早的祖先点。
G1 K(G1)=0
G2 K(G2)=1
G3 K(G3)=3
G4 K(G4)=5-1=
威廉王迷宫
前向边（实线部分） 后向边（虚线部分） Dfn(x):顶点x被首次访问的次序。 Dfn(x)=I表示x是第I个首次被访问的节点 称为深度优先搜索序数。
Dfs树
如U不是根，U成 为割顶当且仅当 存在U的某一个儿 子顶点S，从S或S 的后代点到U的祖 先点之间不存在 后向边
图的连通性
G1
G2
在无向图中，如果从顶点V到V’有路径，则称V和V’是连通的。 在有向图中，如果从顶点V到V’有路径，并且从V’到V有路径， 则称V和V’是强连通的。 如果对于图中任意两个顶点Vi,Vj,Vi和Vj都是连通的，则称连通图。
离散数学的连通性基础知识
离散数学的连通性基础知识离散数学是研究离散对象及其性质、结构、关系和操作的数学分支。
而离散数学中连通性是一个重要的概念，用于描述图论、算法、网络等领域中对象之间的联通性质。
本文将介绍离散数学中连通性的基础知识，包括连通图、连通关系、路径等概念及相关性质。
一、连通图在图论中，一个图G被称为连通图，当且仅当任意两个顶点之间都存在一条路径。
具体而言，对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合，若对于任意两个顶点v和u，存在一条路径连接它们，则称图G是连通的。
连通图可以进一步分为强连通图和无向连通图。
强连通图是指有向图中，任意两个顶点之间都存在一条有向路径，即无论从哪一个顶点出发都可以到达其他任意一个顶点。
无向连通图是指无向图中，任意两个顶点之间都存在一条无向路径，即无论选择哪一条边或者路径，都可以从一个顶点到达另一个顶点。
一个具有n个顶点的完全图K_n是一个连通图，其中任意两个顶点之间都存在一条边。
二、连通关系在集合论中，连通关系是用来描述集合中元素之间的连通性质。
给定一个集合S和一个关系R，如果对于集合S中的任意两个元素x和y，存在一个元素序列x_1, x_2, ..., x_k，使得x=x_1, y=x_k，并且对于序列中的任意相邻元素x_i和x_{i+1}，(x_i, x_{i+1})\in R，则称关系R是S上的连通关系。
连通关系可以用来描述图中顶点之间的连通性质。
对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合。
我们可以定义一个关系R，使得对于任意两个顶点v和u，(v, u)\in R当且仅当v和u之间存在一条路径。
这样我们就可以利用连通关系R来刻画图G中顶点之间的连通性。
三、路径路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的一条经过的边的序列。
如果存在一条路径从顶点v到顶点u，我们可以称v是u的先驱，u是v的后继。
路径的长度是指路径上所经过的边的数量。
最短路径是指在图中两个顶点之间路径长度最短的路径。
图的连通性判断算法
图的连通性判断算法图是离散数学中一个重要的概念，它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。
在图理论中，连通性是一个基本的性质，它描述了图中是否存在一条路径将所有的顶点连接起来。
本文将介绍一些常用的图的连通性判断算法。
1. 深度优先搜索算法（DFS）深度优先搜索算法是一种经典的图遍历算法，也可以用于判断图的连通性。
该算法从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地搜索图，直到无法再继续下去。
然后回溯到上一个未访问的顶点，重复上述过程，直到所有的顶点都被访问过。
如果在搜索过程中，所有的顶点都被访问到，则图是连通的；否则，图是不连通的。
2. 广度优先搜索算法（BFS）广度优先搜索算法也是一种常用的图遍历算法，可以用于判断图的连通性。
该算法从一个起始顶点开始，按照广度优先的顺序逐层遍历与当前节点相邻的顶点。
如果在遍历过程中，所有的顶点都被访问到，则图是连通的；否则，图是不连通的。
3. 并查集算法并查集是一种用于解决"动态连通性"问题的数据结构，也可以用于判断图的连通性。
并查集通过维护一个森林（或称为集合）来表示各个顶点之间的关系，其中每个集合表示一个连通分量。
并查集提供了合并集合和查找集合的操作，通过这些操作可以判断图的连通性。
4. 可连通性矩阵可连通性矩阵是一种基于矩阵的图表示方法，用于判断图的连通性。
对于一个有n个顶点的图，可连通性矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示顶点i和顶点j之间是否存在一条路径。
如果对于所有的顶点对(i,j)，可连通性矩阵中的元素都为1，则图是连通的；否则，图是不连通的。
5. 最小生成树算法最小生成树算法是用于求解连通图的一种常用算法，它通过选取图中的一些边来构建一棵树，该树包含图中的所有顶点，并且总权值最小。
如果最小生成树的边数等于顶点数减1，则原图是连通的；否则，原图是不连通的。
总结：本文介绍了几种常用的图的连通性判断算法，包括深度优先搜索算法、广度优先搜索算法、并查集算法、可连通性矩阵和最小生成树算法。
一笔画问题（欧拉定理+图的连通性）
⼀笔画问题（欧拉定理+图的连通性）描述zyc从⼩就⽐较喜欢玩⼀些⼩游戏，其中就包括画⼀笔画，他想请你帮他写⼀个程序，判断⼀个图是否能够⽤⼀笔画下来。
规定，所有的边都只能画⼀次，不能重复画。
输⼊第⼀⾏只有⼀个正整数N(N<=10)表⽰测试数据的组数。
每组测试数据的第⼀⾏有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表⽰这个画中有多少个顶点和多少条连线。
（点的编号从1到P）随后的Q⾏，每⾏有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表⽰编号为A和B的两点之间有连线。
输出如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",如果不存在符合条件的连线，输出"No"。
样例输⼊24 31 21 31 44 51 22 31 31 43 4样例输出NoYes分析欧拉定理如果⼀个⽹络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以⼀笔画出；否则它不可以⼀笔画出。
判断⼀笔画的⽅法： ①是连通的。
⼀个图，如果图上任意⼆点总有线段连接着，就称为连通的。
不是连通的就不能⼀笔画出。
②奇点个数是0或者是2。
图上线段的端点可以分成⼆类，奇点和偶数。
⼀个点，以它为端点的线段数是奇数就称为奇点，线段数是偶数就称为偶点。
⼀个图是否是⼀笔画就看奇点的个数，奇点个数是 0 或者 2，就是⼀笔画，否则就不是⼀笔画。
所以这个问题完全可以转化策略为：第⼀步：⾸先我们不管它三七⼆⼗⼏，先进⾏连通性的判断。
第⼆步：（1）如果是连通的，我们来判断此图的度的奇点的个数是0或者是2 ，如果是，则说明这个是欧拉图，即可以⼀笔画出，反之则不能⼀笔画出（2）如果是⾮连通的，这说明这个图很定不能⼀笔画出。
#include<bits/stdc++.h>#define maxv 1001using namespace std;int p,q;int vest[maxv];int du[maxv];void init(int n){for(int i=0;i<=n;i++ )vest[i]=i;memset(du,0,sizeof(du));}int findx(int t){if(vest[t]==t)return t;return vest[t]=findx(vest[t]); }void mergex(int a,int b){int x=findx(a);int y=findx(b);if(x!=y)vest[x]=y;}int main(){//freopen("2.txt","r",stdin); int t;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%d",&p,&q); init(q);for(int i=0; i<q; i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b); du[a]++;du[b]++;mergex(a,b);}int sum1=0;for(int i=1;i<=p;i++){if(vest[i]==i)sum1++;if(sum1>=2)break;}if(sum1>=2){printf("No\n");}else{int sum2=0;for(int i=1;i<=p;i++)if(du[i]%2==1){sum2++;}if(sum2==0||sum2==2) printf("Yes\n");else printf("No\n");}}return 0;}。
用er图解释连通性
用er图解释连通性
ER图是实体关系模型的一种表示方法，用于描述不同实体之间的关系。
在ER图中，实体通过关系连接在一起。
连通性指的是实体之间是否存在直接或间接的关联路径。
连通性可以通过ER图中的实体和关系之间的连接来解释。
实体之间的直接连接：在ER图中，如果两个实体之间存在一个关系，则它们之间存在直接连接。
这意味着两个实体之间可以通过该关系直接访问和交互。
实体之间的间接连接：如果两个实体之间没有直接的连接，但它们通过其他实体之间的关系相互连接，则它们之间存在间接连接。
这种间接连接是通过跨越多个关系来实现的，其中每个关系将一个实体与另一个实体相连接。
通过ER图，我们可以清楚地看到实体之间的直接和间接连接。
每个实体由一个矩形框表示，关系由菱形框表示。
实体之间的连通性通过箭头表示，箭头指向相关联的实体。
举个例子，假设我们有两个实体：学生和课程，它们之间存在一个关系：选修。
我们可以使用ER图来解释学生和课程之间的连通性：复制代码
学生--选修--->课程
在这个例子中，学生和课程之间存在直接连接，通过选修关系相互关联。
这意味着学生可以选择课程，并且课程可以被学生选修。
通过ER图的简洁表示，我们可以直观地理解实体之间的连通性，
而无需冗长的废话。
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//依次从每个未访问过的顶点 //出发DFS subnets=0; for( int n=1; n<=nodes; n++ ) { if(!visited[n]) { DFS(n); subnets++; } } //从顶点n出发，DFS遍历 int DFS( int n ) { visited[n]=1; for(int i=1; i<=nodes; i++) { if( node[n][i]==1 && !visited[i] ) DFS(i); } return 0; }
11
3 1
2 4 3 2 4 1 5 0
0
5 6
8 7
9
1
(c) 2 4 8 10
6 7
7 8 9 9
(a)
前进 回退
3
5
6
在DFS的回退 Low[u]=Min{ dfn[u], 过程计算每个 Min{ low[w] | w是u的一个子女}, 顶点的low值： min{ dfn[v] | (u,v)是一条回边} } 2 3 3 1 4 2 5 6 6 7 7 8 8 10 10 9 9 9 1 1 6 6
6
求关节点的算法
从顶点3出发进行深度优先搜索，得到图(b)所示的生成 树，并改画成图(c)所示的树形形状。 图(c)中每个顶点外侧的数字标明了进行深度优先搜索时 各顶点访问的次序，称为顶点的深度优先数，可以记在 数组dfn中。
0 1
2 4 (a)
8 7
9
5 0
4 1 3 21 2 4
3 1 10 8 5 6
7 8
6 6 7
9 9
3
5
6
3 2
3 4
4 1 2 5 0
5 7 8
9 9 (b)
(c)
6 7 8 10
7
注意： 如果u和v是2个顶点，且在深度优先搜索生成树中u 是v的祖先，则有dfn[u]<dfn[v]，表明u的深度优先数小于
v，u先于v被访问。
3 1
2 4 3 2 4 1 5 0
5 6
6 7
//依次去掉每个顶点(及其所关联的边)，用DFS遍历剩下的子图，得连通分量个数
for(int m=1; m<=nodes; m++) { int subnets=0; //子网数目 memset(visited,0,sizeof(visited)); for( int n=1; n<=nodes; n++ ) { if(m==n) continue;//跳过顶点n(并不需要真正去掉顶点n) if(!visited[n]) { DFS(m,n); //去掉顶点m，从顶点n出发DFS subnets++; } } if(subnets>1) SPF++; } 5
§ 对根节点：有几个子女，就分成了几个连通分量； § 如果不是根节点：有n个子女w ，使得low[w]>=dfn[u]，则 去掉该节点，分成了n+1个连通分量。
14
ZOJ题目
1119 解题报告
15
(c) 7 8 9 9 8 10
8
回边与交叉边
回边：当且仅当u在生成树中是v的祖先，或者v是u的祖先，非生 成树的边(u,v)才成为一条回边。如图(a)中的(1,3)、(5,7)都是回 边。
交叉边：除生成树的边、回边外，原图中的其他边称为交叉边。 一旦生成树确定以后，那么原图中的边只可能有回边和生成 树的边，交叉边实际上是不存在的。为什么？ 假设图(a)中存在边(1,7)(这就是所谓的交叉边)，那么顶点 7(甚至其他顶点都)只能位于顶点3的左边这条子树中。
Question：哪些顶点是关
8 10
2
3
节点？
3
1
顶点
dfn low low low low low
1
4
4
2
5
6
6
7
7
8
8
10 10
9
9 9
6 1 1
13
6 6 第二棵子树,回退顺序8,9,7,6,5
第一棵子树,回退顺序0,1,2,4,3
问题：找到关节点以后，去掉该关节点，将原 来的连通图分成了几个连通分量？
//去掉第m个顶点及其所关联的边，从第n个顶点出发进行DFS int DFS( int m, int n ) { visited[n]=1; for(int i=1; i<=nodes; i++) { if( i==m ) continue; //不考虑第m个顶点 if( node[n][i]==1 && !visited[i] ) DFS(m,i); } return 0; }
3
重连通分量
如果连通图G不是重连通图，那么它可以包括几个重连 通分量。一个连通图的重连通分量是该图的极大连通子 图。 图(1)包含了6个连通分量 0 8 9 1 1 7 7
7
2
4
3
5 6
4
判断关节点的朴素方法
依次去掉每个顶点（及其所关联的边），然后用DFS去搜索整个图， 可得到该图的连通分量的个数，如果是大于2，则该顶点是关节点。 (这种方法复杂度很高，只适合规模较小的题目) 例子：ZOJ 1311
0 1 2 4 3 (a)
8 7 5 6
10
9
2 4 3 2 4 1 5 0
5 6
6 7 (c) 7 8 9 9 8 10
因此，可对图G的每个顶点u定义一个low值，low[u]是 从u或u的子孙出发通过回边可以到达的最低深度优先数。 Low[u]=Min { dfn[u], Min{ low[w] | w是u的一个子女}, min{ dfn[v] | (u,v)是一条回边} } 因此，顶点u是关节点的充要条件是：u或者是具有两个 以上子女的一个生成树的根，或者虽然不是一个根，但 它有一个子女w，使得low[w]>=dfn[u]，这时w及其子 孙不存在指向顶点u的祖先的回边。(这时删去顶点u及其 所关联的边，则以顶点w为根的子树就从搜索树中脱离 了。)
0 1 2 4 (a) 3
8
7 5 6
9
9
2) 7 8
9 9
8 10
顶点u是关节点的充要条件：
1. 如果顶点u是深度优先搜索生成树的根，则u至少有2个子女； 为什么？ 删除u，它的子女所在的子树就断开了，你不用担心这些子 树之间(在原图中)可能存在边，因为交叉边是不存在的。 2. 如果u不是生成树的根，则它至少有一个子女w，从w出发，不 可能通过w、w的子孙，以及一条回边组成的路径到达u的祖先。 (这时删去顶点u及其所关联的边，则以顶点w为根的子树就从 搜索树中脱离了。) ? 顶点5为什么是关节点？ 3 1 ? 顶点6为什么不是关节点？
V2
V3 V5 V6
V4
图论算法理论、 实现及应用
V1 V2 4 Vs 8 V1 4 2 2 V3 1 6 4 V4
V7
V8
V9
V10
第8章 图的连通性问题
7 Vt 9
信息学院信息技术教研室
王桂平
连通性初步
能否遍历到所有的顶点？
Question：如果一个无向图是非连通图，从某个顶点出发， Answer：对非连通图，从某个顶点出发进行遍历，只能
顶点
在回 退过 程计 算顶 点的 low 值
dfn low low low low low
0 5 5
1 4 1
1 第一棵子树，回退顺序：0,1,2,4,3
12
6
第二棵子树，回退顺序：8,9,7,6,5
3 1
2 4 3 2 4 1 5 0
5 6
6 7
(c) 7 8 9 9
0
5 5 1 1
顶点u是关节点的充要条件： 1. u是根，且有2个以上的子女 2. u不是根，但存在一个子女w， 使得low[w]>=dfn[u]
2
关节点及重连通图
关节点：在一个无向连通图G中，当且仅当删去G中的顶 点v及其所关联的边后，可将图分割成2个或2个以上的 连通分量，则称顶点v为关节点(Articulation Point)，或 者称为割顶。 0 8 9 1 2 4 3 5 7
图(1)中，顶 点1、3、5、 7都是关节点
6
重连通图：没有关节点的连通图。在重连通图上，任何 一对顶点之间至少存在有2条路径，在删去某个顶点及其 所关联的边时，也不破坏图的连通性。