三角比及诱导公式
[精品]三角公式一览及记忆口诀
![[精品]三角公式一览及记忆口诀](https://img.taocdn.com/s3/m/4fac0a94f242336c1fb95e6e.png)
三角公式一览及记忆口诀
撰文/大罕
一．三角比定义：角的终边上任一点P(x,y)，|OP|=r，则
sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x
二．三角比的符号：一二正，一四余，一三切
三．诱导公式：
奇变偶不变，符号看象限
变与不变：k为奇数，变，k为偶数，不变。
符号：原角（视为锐角）所在象限原函数的符号
四．同角三角比关系：
⑴平方和关系：（倒三角形中，左右两顶点的平方和等于下顶点的平方） sin2α+cos2α=1,
⑵商的关系：（相邻三顶点中，两边顶点之积等于居中顶点。
）
tanαcosα=sinα
⑶倒数关系：（对角线两端之积等于中点数1）
sinαcscα=1,cosαsecα=1,tanαcotα=1
五．和差倍半角公式：
⑴和差角：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ散柯柯散
cos(α+β)=cosαcosβ-cosαcosβ柯柯散散,符号相反
tan (α+β)=(tanα+cosβ)/(1-tanαtanβ) 坦坦1坦坦
⑵二倍角：
sin2α=2sinαcosα 2散柯
cos2α=cos2α-sin2α柯方减散方
=2cos2α-1 2柯方减1
=1-2sin2α 1减2散方
变招：
1+cos2α=2cos2α 1加柯，2柯方
1-cos2α=2sin2α 1减柯，2散方
⑶半角：
tanα/2=(1-coα)/sinα=sinα/(1+cosα)
1柯紧相连，sin耍单边，相加在底下，相减在上边。
六．波波叠加公式： asinx+bcosx=[√(a2+b2)]sin(x+φ)
七．万能公式:。
三角恒等式-三角诱导公式-二倍角公式-半角公式
三角恒等式-三角诱导公式-二倍角公式-半角公式三角恒等式1.同角三角比的基本关系:sin2 a + cos' a = 1,1 + tan2a = sec2 tzj + cot2 = csc2a；(2)倒数关系：sinaCSC a=1, COSaSeCa=l,t an a co二1；（3）商数关系:tan. = ^,cota = ^；cos a sin a注意：已知一个角任意一个三角比，就可以求岀它的其他五个三角比的值。
2.三角比的诱导公式:“奇变偶不变，符号看象限”函数。
（填“奇”或“偶”）tan(2^^ + a) = _______ 伙G Z)；( 3 ) sin(2^-a) = _________tan(2^^ 一a) = _____ 伙G Z);(4) sin(兀+ a) = 9 cos(/r + a) = f tan(^ + a)=伙G Z);(5) sin(/r-a) = 9 cos(/r-a) = 9 tan(^-a)= (2Z);(6) sin(— -cr)= • cost—-<z)=2 9 tan(—-a) =伙eZ）；（1）平方关系:”指的兀/2的倍数）。
(1) sin(-a) = _________ cos(-a) = _______ tan(-a) = _______ 伙e Z) •注意: y = siru•和y = taiix 是函数，y=COSY是 __________ ( 2 ) sin(2^ + a) = _____________ 9 cos(2R/r + a) = ___________cos(2R;r—a) = ______3•两角和与差的正弦、余弦和正切公式:； ( 2 ) cos(a + 0) = ； ； ( 4 ) sin(a + /?) = ； ) _____________________ tan (a - #) =tan(& + 0) = _______________a ____________________________ ；注意：特别喜欢考查两角和与差的正切公式的逆 用和“1”的巧用。
(完整版)诱导公式总结大全(最新整理)
同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘 积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等 于下面顶点上的三角函数值的平方。
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1－3tan^2(α))
三角函数的和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sin((α＋β)/2) ·cos((α－β)/2) sinα－sinβ＝2cos((α＋β)/2) ·sin((α－β)/2) cosα＋cosβ＝2cos((α＋β)/2)·cos((α－β)/2) cosα－cosβ＝－2sin((α＋β)/2)·sin((α－β)/2)
两角和差公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan（α－β）＝(tanα－tanβ)/(1＋tanα ·tanβ)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 和差化积公式推导 首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(ab)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(ab)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和 差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(xy)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
三角函数诱导公式
三角函数诱导公式
1三角函数诱导公式
三角函数诱导公式是一项重要的数学原理，需要数学爱好者研究和掌握。
它指的是从已知角度对应的三角函数值可以得到一定程度的总结，且每种总结都可以归纳为基本的诱导公式。
三角函数诱导公式的使用，可以节省时间，提高计算效率，常见的三角函数诱导公式有：
1.sin a+b=2sin(a+b/2)cos(a-b/2)
cos a+b=2cos(a+b/2)cos(a-b/2)
2.sin(a-b)=2sin(a/2+b/2)cos(a/2-b/2)
cos(a-b)=cos(a/2+b/2)cos(a/2-b/2)-sin(a/2+b/2)sin(a/2-b/2) 3.sin2A=2sinAcosA
cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A
4.sin3A=3sina-4sin3A
cos3A=4cos3A-3cosA
三角函数诱导公式有助于更加有效地求解三角问题，但不能过于依赖它，只能作为计算辅助手段，将它用于更多地数学思考和创新中。
同时，还要注意上文说的诱导公式只涉及已知角度对应的三角函数值，因此，在求解未知的角的时候，还应使用反三角函数。
通过自
身学习和理解，从而掌握三角函数诱导公式，有助发展数学水平，提高数学活用能力。
三角函数的诱导公式【六公式】
）/ ）
九倍角
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2 ）* （ 64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3 ））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2 ）* （ 64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3 ））
tan9A=tanA* （ 9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8 ） / （1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8 ）
例. c^3=c*c^2=c* （1-s^2 ）， c^5=c*(c^2 ） ^2=c* （ 1-s^2 ） ^2 ）
特殊公式
（sina+sin θ） * （ sina- sin θ） =sin （a+θ） *sin （ a- θ）
证明：（sina+sin θ） *（ sina- sin θ） =2 sin[ （θ +a)/2] cos[(a - θ)/2] *2 cos[ （θ +a)/2] sin[(a- θ） /2]
tan （α +β+γ） =（tan α+tan β+tan γ - tan α· tan β· tan γ） / （1- tan α· tan β - tan β· tan γ - tan α· tan γ）
（α +β+γ≠π /2+2k π，α、β、γ≠π /2+2k π）
积化和差的四个公式
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
三角函数诱导公式大全
三角函數誘導公式大全三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k²π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）例如：sin(2π－α)＝sin(4²π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式重点知识讲解1、正、余弦的诱导公式公式一：sin(α＋k·360°)=sinαcos(α＋k·360°)=cosα（k∈Z）公式二：sin(180°＋α)=－sinαcos(180°＋α)=－cosα公式三：sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosα公式四：sin(180°－α)=sinαcos(180°－α)=－cosα公式五：sin(360°－α)=－sinαcos(360°－α)=cosα总结：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
注：正切等其余的函数的诱导公式可通过同角三角函数关系式推导出。
2、诱导公式的推导诱导公式二、三可由单位圆中的三角函数线来导出，即寻求180°＋α（或－α）与α的同名三角函数值之间的关系，公式四、五可由公式一、二、三推导.由五组诱导公式，可将任意角的三角函数值转化为0°～90°的三角函数值，从而利用数学用表查值.利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：例1、推导出180°＋α，－α，180°－α，360°－α的正切、余切的诱导公式.精析：借助公式二、三、四、五和同角三角函数关系式推导.解答：过程略.tan(180°＋α)=tanα，cot(180°＋α)=cotαtan(－α)=－tanα，cot(－α)=－cotαtan(180°－α)=－tanα，cot(－α)=－cotαtan(360°－α)=－tanα，cot(360°－α)=－cotα小结：“函数名不变，正负看象限”不仅对于公式一～五成立，对于正切、余切函数也都成立，应深刻理解其含义.2、诱导公式的应用——化简、求值、证明.例2、设的值为（）A．B．C．－1D．1精析：利用诱导公式将条件等式和欲求式都化到α的同名三角函数上去，再利用同角三角函数基本关系式求解.解答：答案：A例3、计算=____________.精析：诱导公式的一个重要作用就是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，于是可着眼于角的变换，并辅以特殊角的三角函数值求解.解答：例4、已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：（1）cos（2A＋B＋C）=－cosA；（2）精析：△ABC的三内角应满足A＋B＋C=π，注意到左右两边角的差异，利用诱导公式可证.解答：∵A、B、C是△ABC的三个内角，∴A＋B＋C=π.（1）cos（2A＋B＋C）=cos（π＋A）=－cosA；（2）三、难点知识解析灵活运用诱导公式对含n的式子的讨论等是本节内容的难点.例5、已知函数f(x)=asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(1997)=－1，则f(1998)=（）A．－1B．0C．1D．2精析：利用诱导公式寻求f(1998)与f(1997)的关系，并注意1998π=1997π＋π的数量关系.解答：f(1997)=asin(1997π＋α)＋bcos(1997π＋β)=－asinα－bcosβ，f(1998)=asin(1998π＋α)＋bcos(1998π＋β)=asinα＋bcosβ，两式相加，有f(1997)＋f(1998)=0，∴f(1998)=1，故选C.答案：C例6、若，则α的取值范围是__________.精析：采取逆向思维的方法，先用诱导公式和同角基本关系式将式子化简，再对比左右两边，得出α的取值范围.解答：原式变形为例7、化简.精析：为能应用诱导公式，需对整数n的奇偶性进行讨论.解答：当n为偶数时，设n=2k(k∈Z),原式=；当n为奇数时，设n=2k＋1（k∈Z），原式故原式=2tanα.例8、化简（1）tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°（2）2－sin221°－cos221°＋sin417°＋sin217°cos217°＋cos217°精析：对90°的偶数倍的诱导公式应能熟练掌握和运用，而对于90°的奇数倍的诱导公式若能加以探索和掌握，则更能在解题时得心应手.解答：（1）∵tanα=cot(90°－α)，且tanα·cotα=1∴原式=tan1°·tan2°·tan3°·…·tan44°·tan45°·cot46°·…·cot1°=1·1·…·tan45°=tan45°=1（2）原式=2－(sin221°＋cos221°)＋sin217°(sin217°＋cos217°)＋cos217°=2－1＋sin217°＋cos217°=2。
三角比公式
三角比公式—■.任意角的三角比：1•扇形公式（弧长为I，面积为s，圆心角为：•，半径为r）I = ________________ s = ________________ =__2.三角比的定义（直角坐标系中，以0为角〉的顶点，Ox为始边，在角:-的终边上任取异于原点的点sin 二=tana = sem =cos ：二cot。
=CSCG =二.三角恒等式：1.倒数关系：=1 =1 =12.角数关系：tan 二（）cot = （）3.平方关系：+ =1 1 + = 1+ =P（x,y），r = OP =Jx2 +y2，则定义4.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）② sin 二-:= ______________ ③ sin〔，:=① sin I = ___________cos[- ：= _______ tan - ：-cot -：-④ sin（2理一；i） = _____ cos[-：-tan（二-匚）口cos 二：=tan 二：-cos（2 二-■）-tan（2 二--）= _________cot 二：-⑤sin兀一-a I =2cos 一 - -■=2tan - -■2cot 兀1-«丨=\2丿cos⑥ sin&+。
=cos^P 卜<2丿tan-：=2cot 71 +a [=2⑨ sin（2二：）二+a i =<2 丿cos（2c. ' -^）=_______sin （□土 P ） = ______________________cos (卅二 I ；) 口 tan （、:.二 l 「）口注：tan 爲：；:tan ：二 _________________ 1 -tan ： _ 1 tan ： _ 1 tan 二1-tan 工6.二倍角公式：sin2: - _____________ tan2:二 _____________________________________ cos2_：i = ____________注:sin ： cos ：= ・2sin a =2cos a1 cos2_：i =1 -cos2a =7.半角公式：Ctasin —cos —= 2 2atan28. 万能公式：sin2：二 _______________ c os2：二 _____________________ tan2 二 _____________________9. 辅助角公式：a si n = 11b cos ：二 __________________ (cos 丁 - _____________ ,si n^ - _____________ )10. 特殊角的三角函数值：sin 0 二cos0 = tan0 = cot 0JIJtsin —COS —=tan 一 =cot —6666JIJt31sin —cos —= tan —= cot —44 4 4tan 竺 “L ____________j2 丿■‘3兀tan —— tan （2兀 +o （） = ______5.两角的和差公式2+ a= ___________cot （2兀 +a ） = _______sincos = t 兀an 二 兀cot 3 333JIJI兀sin —— =cos —=tan =cot —— = 2 2 222 二2兀 .2兀2 二 sincos ——=tan - 二cot3 3 333 二 3 二 丄3二 37 sin —cos ——=tan -二cot —=4 4 4 45 二 5 二 5兀 5 二 sin -- = cos ——=tan ——=cot —=66 6 6sin JI =cos 兀= tan 二=cot n =7 二 7 二 丄7 -丄7■:sin —cos ——=tan - =_ cot -6 6 6 63 二 3 二 丄3二 丄3二 sincos ——=tan -=cot —=2 2 2 2 7 二 7 - 丄7 ■: 丄7■:sin -- = cos ——=tan - 二cot —— =444411.1 _s三•: 解斜三角形 （a,b,c 分别为△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对应的边， R 为外接圆半径）：1.正弦定理（两角两边用正弦）2.余弦定理（一角三边用余弦）2a = ______________________cosB 二 ___________________________ cosC = ___________________________3.三角形面积公式：S.ABC = ___________________________ = ___________________________ = ___________________________2c = ______________________ cos A = ______________________。
三角函数诱导公式大全
三角函数诱导公式大全三角函数是比较困难的一个章节，对于同学们来说不是很好掌握。
下面是小编为大家整理的关于三角函数诱导公式大全，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!常用的诱导公式有以下几组：三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
第三节 同角三角比关系和诱导公式
同角三角比关系和诱导公式【知识梳理】1、同角之间的三角比关系（1）倒数关系：sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1α⋅α=α⋅α=α⋅α= （2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin ααα=α=αα（3）平方关系：222222sin cos 1,sec tan 1,csc cot 1α+α=α-α=α-α=【注】同角间三角比进行求值计算时，可以结合直角三角形进行，注意下象限即可.【注】称sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-为“三角三姐妹”，知一求二，但需注意符号. 【注】同角三角比关系，可以采用六边形记忆： ①对角线法则（倒数关系）②相邻顶点法则（商数关系）：位于正六边形任意顶点上的 三角比等于该顶点的两个相邻顶点上的三角比的乘积； ③倒三角形法则（平方关系）：每个带阴影的倒置三角形中， 上面两个顶点上的数的平方和等于下面一个顶点上的数的平方.【注】记忆上述八组诱导公式的口诀：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．【典型例题】 例1、已知5sin 13α=，且α为第二象限角，求α的其它五个三角比.【练习1】设)tan 01m α=<<，化简22sin sin cos cos m m αα++α-α.【练习2】化简：33sin (1cot )cos (1tan )x x x x +++.【练习3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【练习4=，则角x 的终边在第_______象限. 【练习5】若1+=-，则x 的终边在第_______象限.【练习62sin101sin 10=--_________.【练习7】化简：2662222csc sin cos cot sin cos 11cot 1tan α-α-α-α⎛⎫αα-- ⎪+α+α⎝⎭【练习8例2、若4sin 2cos 23sin 4cos 3x x x x +=-，则tan x =__________.【练习】已知21sin 3sin cos x x x +=，则tan x =__________.例3、已知tan 2α=，求下列各式的值： （1）sin cos cos 2sin αααα-+（2）22sin sin cos 3cos αααα++ （3）22sin sin cos sin 1αααα++（4）2212sin cos sin 2cos x xx x+-（5）3323sin cos 4cos sin cos x xx x x +-例4、关于x 的方程()2tan cot 10x x -α+α+=的一个根是2sin cos αα=______.例5、（2008清华自招）sin cos x x +=x 的取值范围为________.【变式】（2005交大推优）8841sin cos ,0,1282x x x π⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则x =________.例6、已知()sin cos tan cot sec csc f x x x x x x x =+++++，求()f x 的最小值.例7、是否存在0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，使得关于x 的方程24cos 20x x -α+=和24sin 20x x -α-=有一个实数解相等？如果存在，求出α；不存在，请说明理由.例8、化简下列各式（1）()()()()22sin 42cot 25cot 65sin 48α+++ββ-+-α（2）()()()()tan 150cos 210cos660tan 240sin 330-⋅-⋅-⋅-（3）()()()()()()cos 90csc 270tan 180sec 360sin 180cot 90x x x x x x +⋅+⋅--⋅+⋅-（4）sin[(21)]sin[(21)]()sin(2)cos(2)k k k Z k k απαπαπαπ+++--∈--+（5）()4334cos cos 44k kk Z +-π+π∈例9、若3cos 5α=-，则()()cos 2sin 322tan 3cot 2π⎛⎫α-+π-α ⎪⎝⎭=π⎛⎫π+α+α+ ⎪⎝⎭_________.【变式1】若1tan 2α=-，则()72cos cos 52sin cos 22π⎛⎫α--π-α ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫+α+α- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.【变式2】已知33cos()252ππααπ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，求tan(),sin(2).παπα--例10、若22tan 2tan 1α=β+，证明：22sin 2sin 1β=α-例11、证明下列恒等式：（1）4222sin sin cos cos 1α+αα+α= （2）222222cos cos sin sin cot cot α-β=αβα-β（3）cos 1sin 1sin cos x xx x+=- （4）1sec tan tan sec 11sec tan tan sec 1x x x x x x x x ++--=---+（5）6622csc cot 13csc cot x x x x -=+（6）tan sin tan sin tan sin tan sin ααα+α=α-ααα（7）1sec tan 1sin 1sec tan cos +α+α+α=+α-αα（8）()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1sin cos α-ααα-=+α+α+α+α（9）()()cos 2sec tan sec 2tan 2cos 3tan αα+αα-α=α-α。
三角比诱导公式及规律
诱导公式公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：对于x轴正半轴为起点轴而言弧度制下的角的表示：sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z）sec（2kπ+α）=secα（k∈Z）csc（2kπ+α）=cscα（k∈Z）公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：对于x轴负半轴为起点轴而言弧度制下的角的表示：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsec（π+α）=－secαcsc（π+α）=－cscα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsec（－α）=secαcsc (－α）=－cscα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：弧度制下的角的表示：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsec（π－α）=－secαcsc（π－α）=cscα公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：弧度制下的角的表示：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsec（2π－α）=secαcsc（2π－α）=－cscα小结：以上五组公式可简记为：函数名不变，符号看象限.即α+k²360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
公式六π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：（⒈～⒋）⒈π/2+α与α的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=—sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsec（π/2+α）=－cscαcsc（π/2+α）=secα⒉π/2－α与α的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsec（π/2－α）=cscαcsc（π/2－α）=secα⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsec（3π/2+α）=cscαcsc（3π/2+α）=－secα⒋3π/2－α与α的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanαsec（3π/2－α）=－cscαcsc（3π/2－α）=－secα温馨提示：1.在做题目的时候，只能将α看成是锐角，才能用口诀。
三角函数定理公式大全
三角函数定理1.诱导公式sin(-a) = - sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2 - a) = cos(a)cos(π/2 - a) = sin(a)sin(π/2 + a) = cos(a)cos(π/2 + a) = - sin(a)sin(π - a) = sin(a)cos(π - a) = - cos(a)sin(π + a) = - sin(a)cos(π + a) = - cos(a)2.两角和与差的三角函数sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(α)sin(b) cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)tan(a + b) = [tan(a) + tan(b)] / [1 - tan(a)tan(b)] tan(a - b) = [tan(a) - tan(b)] / [1 + tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式sin(a) + sin(b) = 2sin[(a + b)/2]cos[(a - b)/2]sin(a) - sin(b) = 2sin[(a - b)/2]cos[(a + b)/2]cos(a) + cos(b) = 2cos[(a + b)/2]cos[(a - b)/2]cos(a) - cos(b) = - 2sin[(a + b)/2]sin[(a - b)/2]4.积化和差公式sin(a)sin(b) = - 1/2[cos(a + b) - cos(a - b)]cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a + b) + cos(a -b)]sin(a)cos(b) = 1/2[sin(a + b) + sin(a - b)]5.二倍角公式sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos 2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1= 1 - 2sin2a6.半角公式sin2a = （1 – cos 2a）/ 2cos2a = （1 + cos 2a）/ 2tan a = [1 – cos 2a] /sin 2a = sin 2a / [1 + cos 2a ] 7.万能公式sin(a) = 2tan(a/2) / [1+tan2(a/2)]cos(a) = [1-tan2(a/2)] / [1+tan2(a/2)]tan(a) = 2tan(a/2) / [1-tan2(a/2)]三角函数公式三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
三角函数的诱导公式与和差公式
三角函数的诱导公式与和差公式三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理和工程学等多个领域中都有广泛的应用。
在学习三角函数的过程中，诱导公式和和差公式是必不可少的重要工具。
本文将对三角函数的诱导公式和和差公式进行详细的介绍和说明。
一、三角函数的诱导公式诱导公式是指通过已知的三角函数值，推导出其他三角函数的值的公式。
常见的三角函数诱导公式包括：1. 正弦函数的诱导公式：cos(π/2 - θ) = sinθ这个公式可以通过从一个直角三角形的角度角度角度视角的观点来证明。
假设有一个直角三角形，其中一条直角边的长度为1，另外一条直角边的长度为sinθ，则斜边的长度为cos(π/2 - θ)。
因此，cos(π/2 - θ) = sinθ。
2. 余弦函数的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cosθ这个公式的证明可以类似地通过直角三角形的角度视角得到。
如果假设一条直角边的长度为1，斜边的长度为cosθ，则另外一条直角边的长度为sin(π/2 - θ)。
因此，sin(π/2 - θ) = cosθ。
3. 正切函数的诱导公式：tan(π/4 - θ) = (1 - tanθ) / (1 + tanθ)该公式的证明可以通过两个正弦函数诱导公式的结合来得到。
首先，用正弦函数的诱导公式将分母的正切函数替换为两个正弦函数的比值，然后再利用和差公式进行简化。
二、三角函数的和差公式和差公式是指将两个三角函数之和或之差转化为其他三角函数的公式。
常见的三角函数和差公式包括：1. 正弦函数的和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB这个公式可以通过利用两个角度之和的正弦函数的展开式得到。
根据三角函数展开式和加法公式，将两个角度的正弦函数展开并进行合并，即可得到正弦函数的和差公式。
2. 余弦函数的和差公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB这个公式的证明可以通过利用两个角度之和的余弦函数的展开式得到，方法与正弦函数的和差公式类似。
三角诱导公式
cos cos cos cos cos sin sin
tan tan tan tan tan cot cot
cot cot cot cot cot tan tan
“纵变横不变，符号看象限”
(1) 与 三角比的关系： 第六组诱导公式
(x, y) y
P
P( x, y)
o
x
利用二、三推导得到
例：求下列三角比
(1) sin 225 (2) cos 4 (3) tan 240
3
(4) cot(330 )
(5) sin(840 )
(6) tan 21
4
一般步骤： (1) 化负角为正角； (2) 大于3600的角化为00～3600； (3) 再用诱导公式将900～3600之间的角化为00～900的角
第五章
三角比诱导公式
知识要点：
（终边相同的角，三角比对应相等）
第一组诱导公式：
sin(2k ) sin cos(2k ) cos tan( 2k ) tan cot(2k ) cot
例：求 tan 25 的值
3
第一组诱导公式 (1) sin(2k ) sin (2) cos(2k ) cos (3) tan( 2k ) tan (4) cot(2k ) cot
cos( ) cot(180 ) cos(180 ) cot(180 )
0
sin( )tan( )cos(3 )cos( )
(2)
tan( )cos( )cos( )cos( )
(1) 与 三角比的关系： 第五组诱导公式
sin(
2
)
cos
cos(