广东省江门市2015年高考模拟考试数学(理科)试题(含详细解答)

广东省江门市2015届高三调研测试理科数学试题(含答案)

图1江门市2015届普通高中高三调研测试数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式ShV31=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．3223333)(babbaaba+++=+一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知R为实数集，{}xxxA332|<-=，{}2|≥=xxB，则=BAA．{}2|≥xx B．{}3|->xx C．{}32|<≤xx D．R2.i是虚数单位，则=+--)23212123(iiA．1B．i2321+-C．i2321-D．i2321--3.已知三个实数：213=a、3)21(=b、21log3=c，它们之间的大小关系是A．cba>>B．bca>>C．acb>>D．cab>>4.已知a是非零向量，cb≠，则“caba⋅=⋅”是“)(cba-⊥”成立的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件5.如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为A．4B．8C．π2D．π475=∠A、060=∠B、6.在ABC∆中，A∠、B∠、C∠的对边分别为a、b、c，若10=c，则=bA．35B．65C．310D．6107.在同一直角坐标系中，直线143=+yx与圆44222=--++yxyx的位置关系是A．直线经过圆心B．相交但不经过圆心C．相切D．相离8.已知函数13)(23+-=xaxxf，若)(xf存在唯一的零点0x，且0>x，则常数a的取值范围是A．)2,(--∞B．)1,(--∞C．),1(∞+D．),2(∞+二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题（9～13题）图29. 双曲线14416922=-y x 的离心率=e ．10.ABC ∆是等腰直角三角形，已知A(1，1)，B(1，3)，AB BC ⊥，点C 在第一象限，点) , (y x 在ABC ∆内部，则点C 的坐标为，y x z -=2的最大值是．⒒如图2，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是．⒓若⎩⎨⎧>-≤-=0, 20 , )(2x x x x x x f ，则)(x f 的最小值是．⒔已知数列{}n a 满足411-=a ，111--=n n a a （1>n ），计算并观察数列{}n a 的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，=2015a ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕计算定积分：⎰=411dx x．⒖已知定义在区间) , (ππ-上的函数x x x x f cos sin )(+=，则)(x f 的单调递增区间是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，R x ∈． ⑴求)(x f 的最小正周期T 和最大值M ；⑵若31)82(-=+παf ，求αcos 的值．⒘（本小题满分14分）已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ． ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a nb ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．PABC DFE图3⒙（本小题满分14分）如图3，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ．E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．⑴求证：PA//平面EDB ；⑵求证：PF=31PB ；⑶求二面角C-PB-D 的大小．⒚（本小题满分12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平．方．成正比，如果此船速度是10km/h ，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100 km 航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？⒛（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别是) 3 , 0 (-、) 3 , 0 (，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是21-． ⑴求点M 的轨迹L 方程；⑵若直线 l 经过点) 1 , 4 (P ，与轨迹L 有且仅有一个公共点，求直线 l 的方程．21（本小题满分14分）已知函数1)(23-+=ax x x f （R a ∈是常数）．⑴设3-=a ，1x x =、2x x =是函数)(x f y =的极值点，试证明曲线)(x f y =关于点) 2( , 2(2121x x f x x M ++对称； ⑵是否存在常数a ，使得] 5 , 1 [-∈∀x ，33|)(|≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线)(x f y =关于点M 对称是指，对于曲线)(x f y =上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q在曲线)(x f y =上．）评分参考一、选择题 BDAD CBBA二、填空题 ⒐45⒑(3，3)，3……第1空3分（横坐标、纵坐标、格式各1分），第2空2分 ⒒2π⒓1- ⒔5⒕2 ⒖] 2 , (ππ--和]2, 0[π……端点对给分；对1个给3分，全对5分三、解答题⒗解：⑴x x x f 2cos 12sin )(-+=……2分，1)42sin(2+-=πx ……4分最小正周期ππ==22T ……5分，最大值12+=M ……6分 ⑵依题意，311]4)82(2sin[2-=+-+ππα……7分即311sin 2-=+α……8分，322sin -=α……10分31sin 1cos 2±=-±=αα……12分⒘解：⑴依题意，数列{}n a 的公差223=-=a a d ……2分∵d a a +=12……3分，∴121=-=d a a ……4分（或：设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+52311d a d a ……2分，解得⎩⎨⎧==211d a ……4分）数列{}n a 的通项公式12)1(1-=-+=n d n a a n ……6分 ⑵由⑴得121+=+n a n ，)12)(12()1()1(1+--=⋅-=+n n na a nb n n n n n ……7分 ]12)1(12)1([41+-+--=n n n n ……9分 1>n 时，]}12)1(12)1([)5131()311{(4121+-+--++++--=+++=n n b b b S n n n n……11分，)12(412)1(]12)1(1[41+---=+-+-=n n n n n ……13分 1=n 时，3111-==b S 也符合上式，∴*N n ∈∀，)12(412)1(+---=n n S n n ……14分⒙证明与求解：（方法一）⑴连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点……1分OE 是△PAC 的中位线，OE//PA ……2分 OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，，∴PA//平面EDB……4分 ⑵∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC……5分∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，∵PD CD=D ，∴BC ⊥平面PCD……6分设PD=DC a =，则PC a 2=，PB a 3=，a PC PB PE PF 33=⨯==31PB ……8分 ⑶由⑵知BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥DE……9分∵PD=DC ，E 是PC 的中点，∴PC ⊥DE ，∵PC BC=C ，∴DE ⊥平面PB C……10分 DE ⊥PB ，EF ⊥PB ，DE EF=E ，∴PB ⊥平面DEF……11分 ∴PB ⊥DF ，∠DFE 是二面角C-PB-D 的平面角……12分在△DFE 中，∵DE ⊥平面PBC ，∴DE ⊥EF ，DE a 22=……13分 a BC PB PE EF 66=⨯=，tan ∠DFE 3==EF DE ，∠DFE 3π=……14分（方法二）⑴以D 为原点，、DC 、分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系 (1)分，设PD=DC=1，则)0 , 0 , 0(D ，)0 , 0 , 1(A ，)0 , 1 , 1(B ，)0 , 1 , 0(C ，)1 , 0 , 0(P ……2分，连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点，)0 , 21, 21(O ……3分E 是PC 的中点，∴)21 , 21 , 0(E ，)21, 0 , 21(-=……4分)1 , 0 , 1(-=PA ，2-=，PA//OE……5分 OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，，∴PA//平面EDB……6分 ⑵设)1 , 1 , 1(-==λλPB PF ……7分，则)21, 21 , (+--=+=λλλ……8分∵EF ⊥PB ，∴0)1 , 1 , 1()21, 21 , (=-⋅+--=⋅λλλPB EF ……9分即013=-λ，解得31=λ，PF=31PB……10分⑶由⑵知)61, 61 , 31(-=EF ，)32 , 31 , 31()1 , , (=-=+=λλλPF DP DF ……11分0)1 , 1 , 1()32, 31 , 31(=-⋅=⋅，∴DF ⊥PB ，∠DFE 是二面角C-PB-D 的平面角……12分，21cos =∠DFE ……13分，∠DFE 3π=……14分⑶（方法三）平面PBD 的一个法向量是)0 , 1 , 1(-=……11分平面PBC 的一个法向量是)21, 21 , 0(=DE ……12分21||||,cos =⋅>=<DE AC DE AC ……13分所以，3,π>=<DE AC ，二面角C-PB-D 的大小为3π……14分（各评卷点、评卷教师请注意：本题方法一⑴⑵⑶问的给分依次是4分、4分、6分，而方法二三⑴⑵⑶问的给分依次是6分、4分、4分，因此，本题的给分板⑴⑵⑶问分别设计为6分、4分、6分，评卷时要么按方法一给分，要么按方法二三给分）⒚解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k ，则21080⨯=k ……1分解得54=k ……2分设航速为x km/h 时，总费用为y 元，则500100100542⨯+⨯=x x x y ……5分，xx 5000080+=……6分（方法一）令050000802/=-=x y ……8分，解得25=x （负值舍去）……9分 250<<x 时，0/<y ，25>x 时，0/>y ，∴25=x 是极小值点，也是最小值点 ……10分，此时400025500002580=+⨯=y （元）……11分（方法二）∵0>x ，∴xx y 50000802⨯≥……8分，4000=（元）……9分等号成立当且仅当xx 5000080=……10分，解得25=x （负值舍去）……11分答：航速为25km/h 时，总费用最少，此时总费用为4000元……12分⒛解：⑴设M （x ，y ）是轨迹上任意一点，x y k AM 3+=，xy k BM 3-=……2分依题意，2133-=-⋅+=⋅x y x y k k BM AM ……4分整理化简得轨迹方程为191822=+y x ，其中0≠x ……6分 ⑵显然所求直线 l 存在斜率，设l ：)4(1-=-x k y ……7分①当直线 l 经过A 点时，14013=---=k ……8分，代入)4(1-=-x k y 得3-=x y……9分；②当直线 l 经过B 点时，214013-=--=k ……10分，代入)4(1-=-x k y 得321+-=x y (11)分③当点P 为切点时，由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)4(1191822x k y y x 得 0)161632()14(4)12(222=--+--+k k x k k x k ……12分解044)161632)(12(4)]14(4[2222=++=--+---=∆k k k k k k k 得2-=k ……13分代入)4(1-=-x k y 得92+-=x y ，综上所述，直线 l 的方程为321+-=x y 或3-=x y 或92+-=x y ……14分（注：①②③三种情况独立给分）21．证明与求解：⑴13)(23--=x x x f ，x x x f 63)(2/-=……1分解0)(/=x f 得01=x ，22=x ……2分，) )2( , 2 (2121x x f x x M ++即) 3 , 1(-M ……3分曲线)(x f y =上任意一点)13 , (20300--x x x P 关于M对称的点为) 53 , 2(20300-+--x x x Q ……4分直接计算知，531)2(3)2()2(203020300-+-=----=-x x x x x f ，点Q 在曲线)(x f y =上，⑵（方法一）33|)(|≤x f 即33|1|23≤-+ax x ，3313323≤-+≤-ax x ……6分 0=x 时，不等式恒成立……7分；0≠x 时，不等式等价于23233432xx a x x -≤≤+-……8分作22313232)(x x x x x g --=+-=，22323434)(x x x x x g +-=-=，3/1641)(x x g +-=，3/2681)(x g --=……9分，解0)(/1=x g 、0)(/2=x g 得41=x 、3268-=x ……10分31)1(1-=-g ，6)4(1-=g ，23132)(xx x g +-=在]5 , 0()0 , 1[ -的最大值为6-；35)(2=-g ，2591)5(2-=g ，23234)(xx x g -=在]5 , 0()0 , 1[ -的最小值为2591-……13分综上所述，a 的取值范围为]2591, 6[--……14分（方法二）ax x x f 23)(2/+=，0=a 时，1)(3-=x x f 不符合题意，∴0≠a ，解0)(/=x f 得01=x ，322ax -=……6分当]5 , 1[322-∉-=ax 时，)(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x ……7分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-<->-33|)5(|33|)1(|33|)0(|132532f f f a a 或……8分，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤->-<33|12425|33|2|23215a a a a 或……9分，解集为空集φ……10分当]5 , 1[322-∈-=ax )(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x 、2x ……11分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-≤≤-≤-33|)5(|33|)1(|33|)32(|33|)0(|5321f f a f f a (12)分，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤≤-33|12425|33|2|33|1274|232153a a a a (13)分，解集为]2591, 6[--，∵]2591 , 6[]2591 , 6[--=--φ ，∴a 的取值范围为]2591, 6[--……14分。

2015年广东省高考数学试题与答案(理科)【解析版】

2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5 分）（2015 ?广东）若集合M={x| （x+4）（x+1）=0} ，N={x| （x﹣4）（x﹣1）=0} ，则M ∩N=（）A ?{1 ，4} B { ﹣1，﹣4} C {0} D ．．．．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解交集即可．解答：解：集合M={x| （x+4）（x+1）=0}={ ﹣1，﹣4} ，N={x| （x﹣4）（x﹣1）=0}={1 ，4} ，则M ∩N= ?．故选：D．点评：本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．2．（5 分）（2015 ?广东）若复数z=i（3﹣2i）（i 是虚数单位），则=（）A2﹣3i B 2+3i C 3+2i D 3﹣2i ．．．．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．解答：解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i ，则=2﹣3i，故选：A．点评：本题开采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5 分）（2015 ?广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）x Ax+ DB C y=x+ey=2y= y=x+．．．．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的奇偶性判断选项即可．解答：解：对于A，y= 是偶函数，所以 A 不正确；对于B，y=x+ 函数是奇函数，所以 B 不正确；x对于C，y=2+ 是偶函数，所以 C 不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以 D 正确．故选：D．1点评：本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．4．（5 分）（2015 ?广东）袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（）AB C D 1．．．．考古典概型及其概率计算公式．点：专概率与统计．题：分首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的 2 个球中恰有 1 个白析：球，1 个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15 个球任取2 球的取法，而在求“所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．解解：这是一个古典概型，从15 个球中任取 2 个球的取法有；答：∴基本事件总数为105；设“所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”为事件 A ；则A 包含的基本事件个数为=50；∴P（A）= ．故选：B．点考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．评：2 25．（5 分）（2015?广东）平行于直线2x+y+1=0 且与圆x +y =5 相切的直线的方程是（）A ．2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0 B．2x+y+ =0 或2x+y ﹣=0C．2x﹣y+5=0 或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+ =0 或2x﹣y﹣=0考圆的切线方程．点：专计算题；直线与圆．题：分设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，析：即可求出直线方程．解解：设所求直线方程为2x+y+b=0 ，则，答：所以= ，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0故选：A ．点本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．评：26．（5 分）（2015 ?广东）若变量x，y 满足约束条件，则z=3x+2y 的最小值为（）A4 B C 6 D．．．．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．解答：解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y 得y=﹣x+ ，平移直线y= ﹣x+ ，则由图象可知当直线y=﹣x+ ，经过点 A 时直线y=﹣x+ 的截距最小，此时z 最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×= ，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5 分）（2015?广东）已知双曲线C：﹣=1 的离心率e= ，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线 C 的方程为（）3AB C D．﹣=1 ．﹣=1 ．﹣=1 ．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C：﹣=1 的离心率e= ，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b= =3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8．（5 分）（2015?广东）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A 至多等于 3B 至多等于 4C 等于 5D 大于 5．．．．考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上， 3 个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4 个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中， 4 个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5 时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．点评：本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）的展开式中，x 的系数为 6 ．49．（5 分）（2015 ?广东）在（﹣1）考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．4分析：根据题意二项式（﹣1）4 r的展开式的通项公式为T r+1= ?（﹣1）? ，分析可得，r=1 时，有x 的项，将r=1 代入可得答案．解答：4 解：二项式（﹣1）r的展开式的通项公式为T r+1= ?（﹣1）? ，令2﹣=1，求得r=2，4∴二项式（﹣1）的展开式中x 的系数为=6，故答案为：6．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10．（5 分）（2015?广东）在等差数列{a n} 中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= 10 ．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5 的值代入即可求出值．解答：解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．点评：本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题11．（5 分）（2015 ?广东）设△ABC 的内角 A ，B，C 的对边分别为a，b，c．若a= ，sinB= ，C= ，则b= 1 ．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；解三角形．分析：由sinB= ，可得B= 或B= ，结合a= ，C= 及正弦定理可求 b解答：解：∵sinB= ，∴B= 或B=当B= 时，a= ，C= ，A= ，由正弦定理可得，则b=15当B= 时，C= ，与三角形的内角和为π矛盾故答案为： 1点评：本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键12．（5 分）（2015?广东）某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言．（用数字作答）考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．解答：解：某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560 条．故答案为：1560．点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．13．（5 分）（2015?广东）已知随机变量X 服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解答：解：随机变量X 服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q= ，则p= ，故答案为：．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．14．（5 分）（2015?广东）已知直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）= ，点A 的极坐标为A （2 ，），则点 A 到直线l 的距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．解答：解：直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）= ，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A 的极坐标为 A （2 ，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A 到直线l 的距离为：= ．6故答案为：．点评：本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．15．（2015?广东）如图，已知AB 是圆O 的直径，AB=4 ，EC 是圆O 的切线，切点为C，BC=1．过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于D 和点P，则OD= 8 ．考相似三角形的判定．点：专选作题；创新题型；推理和证明．题：分析：2连接OC，确定OP⊥AC，OP= BC= ，Rt△OCD 中，由射影定理可得OC=OP?OD，即可得出结论．解解：连接OC，则OC⊥CD，答：∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP= BC= ，2Rt△OCD 中，由射影定理可得OC =OP?OD，∴4= OD，∴OD=8 ．故答案为：8．点本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础．评：三、解答题716．（12 分）（2015?广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值．考平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．点：专平面向量及应用．题：分析：（1）若⊥，则?=0，结合三角函数的关系式即可求tanx 的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值．解答：解：（1）若⊥，则? =（，﹣）?（sinx，cosx）= sinx﹣c osx=0，即sinx= cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵| |=1，| |=1，? =（，﹣）?（sinx，cosx）= sinx﹣c osx，∴若与的夹角为，则? =| |?| |cos = ，即sinx﹣c osx= ，则s in（x﹣）= ，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣=即x= + = ．点本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基评：础．17．（12 分）（2015 ?广东）某工厂36 名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄81 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 39 （1）用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；2（2）计算（1）中样本的均值和方差s；（3）36 名工人中年龄在﹣s和+s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？考点：极差、方差与标准差；系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；2 （2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s；（3）求出样本和方差即可得到结论．解答：解：（1）由系统抽样知，36 人分成9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，⋯，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得= （44+40+36+43+36+37+44+43+37 ）=40．2 2由方差公式得s= [（44﹣40）+（40﹣40）2 2+⋯+（37﹣40）] = ．2（3）∵s= ．∴s= ∈（3，4），∴36 名工人中年龄在﹣s和+s 之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，⋯，39，共23 人．∴36 名工人中年龄在﹣s和+s 之间所占百分比为≈63.89%．点评：本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．18．（14 分）（2015 ?广东）如图，三角形△PDC 所在的平面与长方形A BCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6 ，BC=3 ，点 E 是CD 的中点，点F、G 分别在线段AB 、BC 上，且AF=2FB ，CG=2GB ．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣A D﹣C的正切值；（3）求直线P A 与直线F G 所成角的余弦值．9考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）通过△POC 为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD ，则∠PDC 为二面角P﹣AD ﹣C 的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC ，在△PAC 中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角∠PAC的余弦值．解答：（1）证明：在△POC 中PO=PC 且E 为CD 中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD ，平面PDC∩平面ABCD=CD ，PE? 平面PCD，∴PE⊥平面ABCD ，又∵FG? 平面ABCD ，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD ，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD 且PE∩CD=E ，∴AD ⊥平面PDC，又∵PD? 平面PDC，∴AD ⊥PD，又∵AD ⊥CD，∴∠PDC 为二面角P﹣AD ﹣C 的平面角，在Rt△PDE 中，由勾股定理可得：PE= = = ，∴tan∠PDC= = ；（3）解：连结AC，则AC= =3 ，在Rt△ADP 中，AP= = =5，∵AF=2FB ，CG=2GB ，∴FG∥AC，∴直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角∠PAC，在△PAC 中，由余弦定理得cos∠PAC=== ．10定理、勾股点评：本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．2 x）e ﹣a． 19．（14 分）（2015 ?广东）设a＞1，函数 f （x）=（1+x；（1）求f（x）的单调区间（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；直线OP （3）若曲线y=f （x）在点P 处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．用．合应题：常规题型；导数的综专．分析：（1）利用f'（x）≥0，求出函数单调增区间（2）证明只有 1 个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．杂．为复（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较x 2 x 2解答：解：（1）f'（x）=e （x （x+1）+2x+1 ）=e ⋯2 分∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x 2 x）e ﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．⋯3 分（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f（0）=1﹣a，∵a＞1．∴1﹣a＜0⋯5 分∴f（0）＜0．当x→+∞时，f（x）＞0 成立．∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点⋯7 分x 2（3）证明：f'（x）=e （x+1），x0 2设点P（x0，y0）则）f'（x）=e （x0+1），x0 2 ∵y=f （x）在点P 处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e （x0+1）=0，∴x0=﹣1⋯9 分将x0=﹣1 代入y=f （x）得y0= ．∴，∴⋯10 分m令g（m）=e ﹣（m+1），m则g'（m）=e ﹣1，由g'（m）=0 得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0⋯12 分m∴g（m）=e ﹣（m+1）≥0m∴e≥m+111m∴e （m+1）2 3 ≥（m+1）即：∴m≤⋯14 分点评：本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．2 220．（14 分）（2015 ?广东）已知过原点的动直线l 与圆C1：x+y﹣6x+5=0 相交于不同的两点A ，B．（1）求圆C1 的圆心坐标；（2）求线段A B 的中点M 的轨迹 C 的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k （x﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．考轨迹方程；直线与圆的位置关系．点：专创新题型；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分（1）通过将圆C1 的一般式方程化为标准方程即得结论；析：（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆C1 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L 与圆C1 的方程，利用根的判别式△=0 及轨迹 C 的端点与点解答：（4，0）决定的直线斜率，即得结论．2 2解：（1）∵圆C1：x﹣6x+5=0 ，+y2 2整理，得其标准方程为：（x﹣3）+y =4，∴圆C1 的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l 的方程为y=kx 、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，2 2消去y 可得：（1+k ）x﹣6x+5=0 ，2 2由△=36﹣4（1+k ）×5＞0，可得k ＜由韦达定理，可得x1+x2= ，∴线段A B 的中点M 的轨迹 C 的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段A B 的中点M 的轨迹 C 的方程为：（x﹣）2+y 2 = ，其中＜x≤3；12（3）结论：当k∈（﹣，）∪{ ﹣，} 时，直线L：y=k （x﹣4）与曲线C 只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k 2 2）x ﹣（3+8k）x+16k 2=0，2 2令△=（3+8k）﹣4（1+k ）?16k 2=0，解得k=±，又∵轨迹 C 的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k （x﹣4）与曲线 C 只有一个交点时，k 的取值范围为（﹣，）∪{ ﹣，} ．点本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于评：中档题．+21．（14 分）（2015 ?广东）数列{a n}满足：a1+2a2+⋯na n=4﹣，n∈N．（1）求a3 的值；（2）求数列{a n} 的前n 项和T n；（3）令b1=a1，b n= +（1+ + +⋯+ ）a n（n≥2），证明：数列{b n} 的前n 项和S n 满足S n＜2+2lnn ．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用数列的递推关系即可求a3 的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{a n} 的前n 项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．解答：+解：（1）∵a1+2a2+⋯na n=4﹣，n∈N ．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2= ，∵a1+2a2+⋯+na n=4﹣，n∈N + ．+∴a1+2a2+⋯+（n﹣1）a n ．﹣1=4﹣，n∈N两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）= ，n≥2，13则a n= ，n≥2，当n=1 时，a1=1 也满足，∴a n= ，n≥1，则a3= ；（2）∵a n= ，n≥1，∴数列{a n} 是公比q= ，1﹣n2．则数列{a n} 的前n 项和T n= =2﹣（3）b n= +（1+ + +⋯+ ）a n，∴b1=a1，b2= +（1+ ）a2，b3= （1+ + ）a3，∴S n=b1+b2+⋯+b n=（1+ + +⋯+ ）（a1+a2+⋯+a n）=（1+ + +⋯+ ）T n1﹣n）＜2×（1+ + +⋯+ ），=（1+ + +⋯+ ）（2﹣21，x＞1，设f（x）=lnx+﹣．则f′（x）=﹣即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N?时，，∴f（）=ln +﹣1＞0，即ln ＞，∴ln ，，⋯，即=lnn，∴2×（1+ + +⋯+ ）＜2+lnn，即S n＜2（1+lnn ）=2+2lnn ．本题主要考查数列通项公式以及前n 项和的计算，以及数列和不等式的综合，利点评：性力，综合用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能14WORD文档较强，难度较大．152015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5 分）（2015 ?广东）若集合M={x| （x+4）（x+1）=0} ，N={x| （x﹣4）（x﹣1）=0} ，则M ∩N=（）A ．{ 1，4} B．{ ﹣1，﹣4} C．{0} D．?2．（5 分）（2015 ?广东）若复数z=i（3﹣2i）（i 是虚数单位），则=（）A ．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5 分）（2015 ?广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）xA ．C．y=2x+ D．y =x+e B．y= y=x+4．（5 分）（2015 ?广东）袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（）A ．B．C．D．12 25．（5 分）（2015?广东）平行于直线2x+y+1=0 且与圆x +y =5 相切的直线的方程是（）A ．2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0 B．2x+y+ =0 或2x+y ﹣=0C．2x﹣y+5=0 或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+ =0 或2x﹣y﹣=06．（5 分）（2015 ?广东）若变量x，y 满足约束条件，则z=3x+2y 的最小值为（）A ．4 B．C．6 D．7．（5 分）（2015?广东）已知双曲线C：﹣=1 的离心率e= ，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线 C 的方程为（）A ．B．C．D．﹣=1 ﹣=1 ﹣=1 ﹣=18．（5 分）（2015?广东）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A ．至多等于 3 B．至多等于 4 C．等于5 D．大于516二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）49．（5 分）（2015 ?广东）在（﹣1）的展开式中，x 的系数为．10．（5 分）（2015?广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．11．（5 分）（2015 ?广东）设△ABC 的内角 A ，B，C 的对边分别为a，b，c．若a= ，sinB= ，C= ，则b= ．12．（5 分）（2015?广东）某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5 分）（2015?广东）已知随机变量X 服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．14．（5 分）（2015?广东）已知直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）= ，点A 的极坐标．为A（2 ，），则点 A 到直线l 的距离为15．（2015?广东）如图，已知AB 是圆O的直径，AB=4 ，EC 是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于D 和点P，则OD= ．三、解答题16．（12 分）（2015?广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值．17．（12 分）（2015 ?广东）某工厂36 名工人年龄数据如图：年龄工人编号年龄工人编号年龄年龄工人编号工人编号171 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 399的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到（1）用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为；的年龄数据为44，列出样本的年龄数据2（2）计算（1）中样本的均值和方差s；0.01%）？s和+s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到（3）36 名工人中年龄在﹣18．（14 分）（2015 ?广东）如图，三角形△PDC 所在的平面与长方形A BCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6 ，BC=3 ，点 E 是CD 的中点，点F、G 分别在线段AB 、BC 上，且AF=2FB ，CG=2GB ．（1）证明：PE⊥FG；C的正切值；（2）求二面角P﹣A D﹣（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．2 x）e﹣a． 19．（14 分）（2015 ?广东）设a＞1，函数 f （x）=（1+x间；（1）求f（x）的单调区（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP1．平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣2 220．（14 分）（2015 ?广东）已知过原点的动直线l 与圆C1：x﹣6x+5=0 相交于不同的两+y点A ，B．（1）求圆C1 的圆心坐标；C的方程；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k （x﹣k 的取值范围；若不存在，说明理由．+21．（14 分）（2015 ?广东）数列{a n}满足：a1+2a2+⋯na n=4﹣，n∈N．（1）求a3 的值；（2）求数列{a n} 的前n 项和T n；18（3）令b1=a1，b n= +（1+ + +⋯+ ）a n（n≥2），证明：数列{b n} 的前n 项和S n 满足S n＜2+2lnn ．19。

2015年江门一模理科数学试题(含答案)

江门市2015年高考模拟考试数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

2．做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．用最小二乘法求线性回归方程系数公式，∑∑==-⋅-=n i i ni i i xn x yx n yx b 1221，x b y a-=．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． i 是虚数单位，=+2) 1 (1iA ．2i B ．2i - C ．21D ．i 2 2．函数)(x f 的定义域为实数集R ，“)(x f 是奇函数”是“|)(|x f 是偶函数”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件3．{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差=d A ．2 B ．23 C ．1 D ．214．函数)sin()(ϕ+=x x f 在区间32, 3(ππ上单调递增，常数ϕ的值可能是 A ．0 B ．2π C ．π D ．23π5．双曲线C ：1422=-y x 的两条渐近线夹角（锐角）为θ，则=θtan A ．158 B ．815 C ．43 D ．346．一个四面体如图1，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则它的体积=VA ．21B ．31C ．61D ．121 7．16)(yx xy -的二项展开式17个项中，整式的个数是A ．1B ．3C ．5D ．78．设1≥>b a ，集合{}a x Z x x A <<∈=0 , |，{}b x b Z x x B <<-∈= , |，记“从集合A 中任取一个元素x ，B x ∉”为事件M ，“从集合A 中任取一个元素x ，B x ∈”为事件N ．给定下列三个命题：①当5=a ，3=b 时，21)()(==N P M P ； ②若1)(=M P ，则2=a ，1=b ； ③1)()(=+N P M P 恒成立．其中，为真命题的是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答4小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）9．不等式5|2||1|≥-++x x 的解集为．10．已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，P 是C 若P 在第一象限，8||=PF ，则点P 11．若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+00122y x y x ，则y x z 2+=的最大值=M ．12．运行如图2所示的程序框图，输出的结果=S13．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为a x b y +=，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为a bx y +=，则b b ____，a a ____．（填“>”或“<”）(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2=ρ上到直线1)4cos(=-πθρ的距离为1的点的个数是．15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的弦AB 、CD 相交于点P ，若2==AD AC ，3=PB ，则=AB ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知ABC ∆顶点的直角坐标分别是)5 , 3(A 、)1 , 0(B 、)7 , 8(-C ． ⑴求B cos 的值；⑵若)5 , 2(--=，证明：B 、C 、D 三点共线． 17．（本小题满分13分）某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm ），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：⑵估计该基地榕树树苗平均高度；⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112)内的有X 株，求X 的分布列和期望．18．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和6)14)(1(-+=n n n S n ，*N n ∈．⑴求1a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶证明：对一切正整数n ，有4541222221<+++na n a a ．19．（本小题满分13分）如图4，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，侧面是正方形，060=∠DAB ，E 是棱CB 的延长线上一点，经过点A 、1C 、E 的平面交棱1BB 于点F ，BF F B 21=．⑴求证：平面⊥E AC 1平面11B BCC ； ⑵求二面角C AC E --1的平面角的余弦值．20．（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆∑：12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为36，焦点为1F 、2F ，直线l ：02=-+y x 经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点．⑴求∑的方程；⑵在∑上是否存在C 、D 两点，满足AB CD //，D F C F 11=？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）设函数)(ln )(a x e x f x -=，e 是自然对数的底数， 718.2≈e ，R a ∈为常数． ⑴若)(x f y =在1=x 处的切线 l 的斜率为e 2，求a 的值；⑵在⑴的条件下，证明切线 l 与曲线)(x f y =在区间)21 , 0(至少有1个公共点； ⑶若]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间，求a 的取值范围．AA 1评分参考一、选择题 BACD DCBB二、填空题 ⒐) , 3[]2 , (∞+--∞ 或{}32|≥-≤x x x 或（每个区间2分，在此基础上正确用区间或集合表示1分；若混淆闭区间与开区间则扣该区间1分。

广东省江门市普通高中2015届高三调研测试数学(理)试题 Word版含解析

江门市普通高中2015届高三（上）调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R为实数集，A={x|2x﹣3＜3x}，B={x|x≥2}，则A∪B=（）A．{x|x≥2} B．{x|x＞﹣3} C．{x|2≤x＜3} D．R[品题]：求出不等式2x﹣3＜3x的解集A，再由并集的运算求出A∪B．解答：解：由2x﹣3＜3x得，x＞﹣3，则A={x|x＞﹣3}，又B={x|x≥2}，则A∪B={x|x＞﹣3}，故选：B．点拨：本题考查并集及其运算，属于基础题．2．i是虚数单位，则=（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣i [品题]：利用复数代数形式的乘除运算法则求解．解答：解：=﹣﹣=．故选：D．点拨：本题考查复数的乘除运算，是基础题，解题时要注意运算法则的合理运用．3．已知三个实数：、、c=log3，它们之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c[品题]：根据指数函数和对数函数的图象和性质，以0和1作为中间量，可比较出a，b，c的大小．解答：解：∵＞30=1、0＜=1、c=log3＜log31=0，∴a＞b＞c，故选：A点拨：本题考查的知识点是指数式与对数式的大小比较，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，是解答的关键．4．已知是非零向量，，则“”是“”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件[品题]：根据“”成立，得到•（﹣）=0，结合是非零向量，，推出，根据充要条件的判定方法可得结论．解答：解：∵，∴•（﹣）=0，∵是非零向量，，∴，故选：D．点拨：题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．5．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．4 B．8C．2πD．4π[品题]：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，求出几何体的体积即可．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，∴该几何体的体积为V几何体=S底面h=××π××3=2π．故选：C．点拨：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出该几何体是什么几何图形．6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（）A．5B．5C．10D．10[品题]：由A与B的度数求出C的度数，根据sinB，sinC，以及c的值，利用正弦定理求出b的值即可．解答：解：∵在△ABC中，∠A=75°，∠B=60°，c=10，∴∠C=45°，由正弦定理=得：b===5，故选：B．点拨：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心B．相交但不经过圆心C．相切D．相离[品题]：求出圆心到直线的距离大于零且小于半径，可得直线和圆相交但不经过圆心．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0，即（x+1）2+（y﹣2）2=9，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于3的圆．由于圆心到直线=1的距离为=2＜3，故直线和圆相交但不经过圆心，故选：B．点拨：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）[品题]：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（）＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0 （0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）（，0） 0 （0，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）＞0，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点拨：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．双曲线9x2﹣16y2=144的离心率等于．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．[品题]：双曲线方程化为标准方程，可得a=5，b=3，c=4，从而可求双曲线的离心率．解答：解：双曲线9x2﹣16y2=144可化为，所以a=5，b=3，c=4，所以离心率e==．故答案为：．点拨：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，确定双曲线的几何量是关键．10．（5分）△ABC是等腰直角三角形，已知A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，点（x，y）在△ABC内部，则点C的坐标为（3，3），z=2x﹣y的最大值是3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．根据等腰直角三角形的定义先求出C的坐标，利用线性规划的知识即可得到结论．[品题]：解答：解：∵A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，∴|AB|=3﹣1=2，设C（x，y），则x＞0，y＞0，∵△ABC是等腰直角三角形，∴|BC|=|x﹣1|=2，解得x=3或x=﹣1（舍），即C（3，3），由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，此时z=2x﹣y=2×3﹣3=3，故答案为：（3，3），3点拨：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）（2012•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．[品以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异题]：面直线A1M与DN所成的角．解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．点拨：本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．12．（5分）若f（x）=，则f（x）的最小值是﹣1．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．[品根据分段函数的表达式，分别求出对应的取值范围即可得到结论．题]：解答：解：作出函数f（x）的图象如图：当x≤0，f（x）=﹣x≥0，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，故当x=1时，函数f（x）取得最小值为﹣1，故答案为：﹣1点拨：本题主要考查函数最值的求解，根据分段函数的表达式结合函数的性质是解决本题的关键．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣，a n=1﹣（n＞1），计算并观察数列{a n}的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=5．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．[品确定数列{a n}是以3为周期的周期数列，即可得出结论．题]：解答：解：∵a1=﹣，a n=1﹣，∴a2=5，a3=，a4=﹣，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a2015=a2=5，故答案为：5．点拨：本题考查归纳推理，确定数列{a n}是以3为周期的周期数列是解题的关键．三.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）计算定积分：2．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．[品题]：根据的导数为得到原函数是，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减得到结果．解答：解：=4﹣2=2故答案为：2点拨：本题考查定积分，关键是求出原函数，属于一道基础题．15．已知定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）=xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是，．考点：两角和与差的正弦函数．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．[品题]：根据求导公式和题意求出f′（x），结合定义域和余弦函数的性质求出f′（x）＞0是x的范围，奇求出函数f（x）的单调递增区间．解答：解：由题意得，f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，根据余弦函数的性质得，当或时，f′（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间是和，故答案为：和．点拨：本题考查余弦函数的性质，以及导数与函数的单调性关系，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期T和最大值M；（2）若，求cosα的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．[品题]：（1）化简可得f（x）=，可求最小正周期，最大值；（2）依题意得，即，从而可求，．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x+1﹣cos2x…（2分），=…（4分）∴最小正周期…（5分），最大值…（6分）（2）依题意，…（7分）即…（8分），∴…（10分）∴…（12分）点拨：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．17．（14分）已知{a n}是等差数列，a2=3，a3=5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对一切正整数n，设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．[品题]：（1）根据等差数列的通项公式由条件即可求出首项a1=1，公差d=2，所以可得到a n=2n ﹣1；（2）根据a n先求出b n并将它变成，看到该通项之后，可以想到能否在求和中使得一些项前后抵消，并且通过求前几项的和会发现是可以的，并且是有规律的，根据这个规律即可求出{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）由得，a1=1，d=2；∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）=；∴S n=b1+b2+b3+…+b n=；通过前几项的求和规律知：若n为奇数，则；若n为偶数，则．点拨：考查等差数列的通项公式，以及裂项的方法求数列前n项和，以及通过前几项求和的规律找到求数列前n项和的方法．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．[品题]：方法一：（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中位线的性质，可得PA∥EO，利用线面平行的判定可得结论；（2）证明DE⊥PC，BC⊥平面PDC，DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，利用线面垂直的判定定理，可得PB⊥平面EFD；（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用正弦函数即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG，证明，这表明PA∥EG，可得结论；（2）利用向量的数量积公式，证明PB⊥DE，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决．解答：方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以，PA∥平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC ①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE ②由①和②推得DE⊥平面PBC而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB设正方形ABCD的边长为a，则，在Rt△PDB中，在Rt△EFD中，，∴所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为；方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且∴，这表明PA∥EG而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB（2）证明；依题意得B（a，a，0），又，故∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）从而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a所以由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角∵，且，，∴∴所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．点拨：本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角，考查学生[品题]解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；应用题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．[品题]：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，由条件求得k，设航速为xkm/h时，总费用为y元，求得y=80x+，可由基本不等式或函数的导数，即可得到最小值．解答：解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，则80=k×102，解得，设航速为xkm/h时，总费用为y元，则=．（方法一）令，解得x=25（负值舍去），当0＜x＜25时，y′＜0，x＞25时，y′＞0，∴x=25是极小值点，也是最小值点，此时（元）．（方法二）∵x＞0，∴=4000（元），等号成立当且仅当，解得x=25（负值舍去）．答：航速为25km/h时，总费用最少，此时总费用为4000元．点拨：本题考查函数的最值的应用题，考查运用导数求最值，运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．（1）求点M的轨迹L的方程；（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．考点：轨迹方程；直线的一般式方程．专题：计算题．[品题]：（1）求M点的轨迹方程，所以设M（x，y），根据直线AM，BM的斜率之积是﹣，即可求得关于x，y的等式，即点M的轨迹方程：x2+2y2=18；（2）若直线L不存在斜率，则容易判断它和轨迹L有两个交点，不合题意；存在斜率时设斜率为k，然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程，将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程，让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程．解答：解：（1）设M（x，y），则：（x≠0）；∴点M的轨迹方程为：x2+2y2=18（x≠0）；（2）若直线L不存在斜率，则方程为：x=4；x=4带入轨迹方程可得y=±1，即直线L和轨迹L有两个公共点，不合题意；∴设直线L斜率为k，则方程为：y=kx﹣4k+1，带入轨迹方程并整理得：（1+2k2）x2+4k（1﹣4k）x+16（2k2﹣k﹣1）=0；∵直线L与轨迹L只有一个公共点，所以：△=16k2（1﹣4k）2﹣64（1+2k2）（2k2﹣k﹣1）=0；解得k=﹣2；∴直线L的方程为：y=﹣2x+9．点拨：考查轨迹与轨迹方程的概念，以及求轨迹方程的方法，斜率公式，直线的点斜式方程，一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何．21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣1（a∈R是常数）．（1）设a=﹣3，x=x1、x=x2是函数y=f（x）的极值点，试证明曲线y=f（x）关于点对称；（2）是否存在常数a，使得∀x∈[﹣1，5]，|f（x）|≤33恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线y=f（x）关于点M对称是指，对于曲线y=f（x）上任意一点P，若点P关于M的对称点为Q，则Q在曲线y=f（x）上．）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．[品题]：（1）把a=﹣3代入函数解析式，求出函数的导函数，得到导函数的零点，求出M的坐标，求出曲线y=f（x）上任意一点关于M对称的点Q，由Q 的坐标适合函数解析式说明结论成立；（2）把|f（x）|≤33恒成立转化为，然后构造两个函数，，由导数求其最值得答案．解答：（1）证明：当a=﹣3时，f（x）=x3﹣3x2﹣1，f′（x）=3x2﹣6x，由f′（x）=0，得x1=0，x2=2，∴=M（1，﹣3），曲线y=f（x）上任意一点关于M对称的点为，则，∴点Q在曲线y=f（x）上，∴曲线y=f（x）关于点M对称；（2）解：由|f（x）|≤33，即|x3+ax2﹣1|≤33，得﹣33≤x3+ax2﹣1≤33，x=0时，不等式恒成立；x≠0时，不等式等价于，作，，则，，解，得x1=4，解，得．列表：x [﹣1，0）（0，4）4 （4，5]﹣+ 0 ﹣g1（x）↘↗极大值↘+﹣﹣﹣g2（x）↗↘↘g1（﹣1）=﹣31，g1（4）=﹣6，在[﹣1，0）∪（0，5]的最大值为﹣6；g2（﹣1）=35，，在[﹣1，0）∪（0，5]的最小值为．综上所述，a的取值范围为．点拨：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，掌握不等式恒成立时所取的条件，是压轴题．。

广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：统计与概率(含答案)

3、（ 2015 届湛江市）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x ， y ，10 ，11 ， 9 ．已知这组数据的平均值为 10 ，方差为 2 ，则 x y 的值为
4、（ 2015 届佛山市）某市有 40% 的家庭订阅了《南方都市报》 , 从该城市中任取 4 个家庭 , 则这 4 个家庭中恰好有 3 个家庭订阅了《南方都市报》的概率为 _________
6 个城市，省环保部门再从中随机选取 3 个城市组织专家进行调研，记省环保部门 “选到空气
质量“良好”的城市个数为
”，求的分布列和数学期望．
8、（ 2015 届湛江市）广东省第十四届运动会将在湛江举行，组委会招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者，将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm ），身高在 175 cm 以上（包括 175 cm ）定义为“高个子”身高在 175 cm以下（不包括 175 cm ）定义为“非高个子”． 1 如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，求至少有一人是“高个子”的概率；
球的概率为 1 ，每个球被取到的机会均等 . 现从袋子中每次取 7
再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为
X.
1个球，如果取出的是白球则不
（ 1）求袋子中白球的个数；
（ 2）求 X 的分布列和数学期望 .
2、（ 2015 届江门市）某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了
100 株树苗，分别测出它们的高度（单位： cm ），并将所得数据分组，画出频率分布表
广东省各市 2015 年高考一模数学理试题分类汇编
统计与概率
一、选择题

江门市普通高中2015届高三调研测试(理数参考答案)

数学（理科）参考答案一、选择题 BDAD CBBA 二、填空题 ⒐45⒑(3，3)，3……第1空3分（横坐标、纵坐标、格式各1分），第2空2分 ⒒2π⒓1- ⒔5⒕2 ⒖] 2 , (ππ--和]2, 0[π……端点对给分；对1个给3分，全对5分三、解答题⒗解：⑴x x x f 2cos 12sin )(-+=……2分，1)42sin(2+-=πx ……4分最小正周期ππ==22T ……5分，最大值12+=M ……6分 ⑵依题意，311]4)82(2sin[2-=+-+ππα……7分即311sin 2-=+α……8分，322sin -=α……10分31sin 1cos 2±=-±=αα……12分⒘解：⑴依题意，数列{}n a 的公差223=-=a a d ……2分∵d a a +=12……3分，∴121=-=d a a ……4分（或：设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+52311d a d a ……2分，解得⎩⎨⎧==211d a ……4分）数列{}n a 的通项公式12)1(1-=-+=n d n a a n ……6分⑵由⑴得121+=+n a n ，)12)(12()1()1(1+--=⋅-=+n n na a nb n n n n n ……7分 ]12)1(12)1([41+-+--=n n n n ……9分 1>n 时，]}12)1(12)1([)5131()311{(4121+-+--++++--=+++=n n b b b S n n n n……11分，)12(412)1(]12)1(1[41+---=+-+-=n n n n n ……13分 1=n 时，3111-==b S 也符合上式，∴*N n ∈∀，)12(412)1(+---=n n S n n ……14分⒙证明与求解：（方法一）⑴连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点……1分 OE 是△PAC 的中位线，OE//PA……2分 OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，，∴PA//平面EDB……4分 ⑵∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC……5分∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，∵PD CD=D ，∴BC ⊥平面PCD ……6分BC ⊥PC ，EF ⊥PB ，∠BPC 是公共角，∴△PEF ～△PBC……7分设PD=DC a =，则PC a 2=，PB a 3=，a PC PB PE PF 33=⨯==31PB……8分 ⑶由⑵知BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥DE……9分∵PD=DC ，E 是PC 的中点，∴PC ⊥DE ，∵PC BC=C ，∴DE ⊥平面PBC……10分 DE ⊥PB ，EF ⊥PB ，DE EF=E ，∴PB ⊥平面DEF……11分 ∴PB ⊥DF ，∠DFE 是二面角C-PB-D 的平面角……12分在△DFE 中，∵DE ⊥平面PBC ，∴DE ⊥EF ，DE a 22=……13分 a BC PB PE EF 66=⨯=，tan ∠DFE 3==EF DE ，∠DFE 3π=……14分（方法二）⑴以D 为原点，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系……1分，设PD=DC=1，则)0 , 0 , 0(D ，)0 , 0 , 1(A ，)0 , 1 , 1(B ，)0 , 1 , 0(C ，)1 , 0 , 0(P ……2分，连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点，)0 , 21, 21(O ……3分 E 是PC 的中点，∴)21 , 21 , 0(E ，)21 , 0 , 21(-=OE ……4分)1 , 0 , 1(-=，OE PA 2-=，PA//OE……5分OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，，∴PA//平面EDB……6分 ⑵设)1 , 1 , 1(-==λλ……7分，则)21 , 21, (+--=+=λλλPF EP EF ……8分∵EF ⊥PB ，∴0)1 , 1 , 1()21 , 21 , (=-⋅+--=⋅λλλ……9分即013=-λ，解得31=λ，PF=31PB……10分 ⑶由⑵知)61, 61 , 31(-=，)32 , 31 , 31()1 , , (=-=+=λλλ……11分0)1 , 1 , 1()32, 31 , 31(=-⋅=⋅，∴DF ⊥PB ，∠DFE 是二面角C-PB-D 的平面角 (12)分，21||||cos =∠EF DF DFE ……13分，∠DFE 3π=……14分 ⑶（方法三）平面PBD 的一个法向量是)0 , 1 , 1(-=……11分平面PBC 的一个法向量是)21, 21 , 0(=DE ……12分21||||,cos =⋅>=<DE AC DE AC ……13分所以，3,π>=<DE AC ，二面角C-PB-D 的大小为3π……14分（各评卷点、评卷教师请注意：本题方法一⑴⑵⑶问的给分依次是4分、4分、6分，而方法二三⑴⑵⑶问的给分依次是6分、4分、4分，因此，本题的给分板⑴⑵⑶问分别设计为6分、4分、6分，评卷时要么按方法一给分，要么按方法二三给分）⒚解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k ，则21080⨯=k ……1分解得54=k ……2分设航速为x km/h 时，总费用为y 元，则500100100542⨯+⨯=x x x y ……5分，xx 5000080+=……6分（方法一）令050000802/=-=x y ……8分，解得25=x （负值舍去）……9分 250<<x 时，0/<y ，25>x 时，0/>y ，∴25=x 是极小值点，也是最小值点……10分，此时400025500002580=+⨯=y （元）……11分（方法二）∵0>x ，∴xx y 50000802⨯≥……8分，4000=（元）……9分等号成立当且仅当xx 5000080=……10分，解得25=x （负值舍去）……11分答：航速为25km/h 时，总费用最少，此时总费用为4000元……12分⒛解：⑴设M （x ，y ）是轨迹上任意一点，x y k AM 3+=，xy k BM 3-=……2分依题意，2133-=-⋅+=⋅x y x y k k BM AM ……4分整理化简得轨迹方程为191822=+y x ，其中0≠x ……6分 ⑵显然所求直线 l 存在斜率，设l ：)4(1-=-x k y ……7分①当直线 l 经过A 点时，14013=---=k ……8分，代入)4(1-=-x k y 得3-=x y ……9分； ②当直线 l 经过B 点时，214013-=--=k ……10分，代入)4(1-=-x k y 得321+-=x y ……11分③当点P 为切点时，由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)4(1191822x k y y x 得 0)161632()14(4)12(222=--+--+k k x k k x k ……12分解044)161632)(12(4)]14(4[2222=++=--+---=∆k k k k k k k 得2-=k ……13分代入)4(1-=-x k y 得92+-=x y ，综上所述，直线 l 的方程为321+-=x y 或3-=x y 或92+-=x y ……14分（注：①②③三种情况独立给分）21．证明与求解：⑴13)(23--=x x x f ，x x x f 63)(2/-=……1分解0)(/=x f 得01=x ，22=x ……2分，) )2( , 2(2121x x f x x M ++即) 3 , 1(-M ……3分曲线)(x f y =上任意一点)13 , (20300--x x x P 关于M 对称的点为) 53 , 2(20300-+--x x x Q ……4分直接计算知，531)2(3)2()2(203020300-+-=----=-x x x x x f ，点Q 在曲线)(x f y =上，所以，曲线)(x f y =关于点M 对称……5分⑵（方法一）33|)(|≤x f 即33|1|23≤-+ax x ，3313323≤-+≤-ax x ……6分 0=x 时，不等式恒成立……7分；0≠x 时，不等式等价于23233432x x a x x -≤≤+-……8分作22313232)(x x x x x g --=+-=，22323434)(x x x x x g +-=-=，3/1641)(x x g +-=，3/2681)(x g --=……9分，解0)(/1=x g 、0)(/2=x g 得41=x 、3268-=x ……10分……12分31)1(1-=-g ，6)4(1-=g ，23132)(x x x g +-=在]5 , 0()0 , 1[ -的最大值为6-；35)(2=-g ，2591)5(2-=g ，23234)(x x x g -=在]5 , 0()0 , 1[ -的最小值为2591-……13分综上所述，a 的取值范围为]2591, 6[--……14分（方法二）ax x x f 23)(2/+=，0=a 时，1)(3-=x x f 不符合题意，∴0≠a ，解0)(/=x f 得01=x ，322ax -=……6分当]5 , 1[322-∉-=ax 时，)(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x ……7分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-<->-33|)5(|33|)1(|33|)0(|132532f f f a a 或……8分，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤->-<33|12425|33|2|23215a a a a 或……9分，解集为空集φ……10分当]5 , 1[322-∈-=ax )(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x 、2x ……11分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-≤≤-≤-33|)5(|33|)1(|33|)32(|33|)0(|5321f f a f f a ……12分，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤≤-33|12425|33|2|33|1274|232153a a a a ……13分，解集为]2591 , 6[--，∵]2591 , 6[]2591 , 6[--=--φ ，∴a 的取值范围为]2591, 6[--……14分。

广东省江门市普通高中高三数学上学期调考试卷理(含解析)

广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知R为实数集，A={x|2x﹣3＜3x}，B={x|x≥2}，则A∪B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x＞﹣3} C．{x|2≤x＜3} D．R2．（5分）i是虚数单位，则=（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣i3．（5分）已知三个实数：、、c=log3，它们之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c4．（5分）已知是非零向量，，则“”是“”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件5．（5分）如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．2πD．4π6．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（）A．5B．5C．10D．107．（5分）在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心B．相交但不经过圆心C．相切D．相离8．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）双曲线9x2﹣16y2=144的离心率等于．10．（5分）△ABC是等腰直角三角形，已知A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，点（x，y）在△ABC内部，则点C的坐标为，z=2x﹣y的最大值是．11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M 与DN所成的角的大小是．12．（5分）若f（x）=，则f（x）的最小值是．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣，a n=1﹣（n＞1），计算并观察数列{a n}的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=．三.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）计算定积分：．15．已知定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）=xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期T和最大值M；（2）若，求cosα的值．17．（14分）已知{a n}是等差数列，a2=3，a3=5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对一切正整数n，设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．19．（12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？20．（14分）在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．（1）求点M的轨迹L的方程；（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣1（a∈R是常数）．（1）设a=﹣3，x=x1、x=x2是函数y=f（x）的极值点，试证明曲线y=f（x）关于点对称；（2）是否存在常数a，使得∀x∈，|f（x）|≤33恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线y=f（x）关于点M对称是指，对于曲线y=f（x）上任意一点P，若点P关于M 的对称点为Q，则Q在曲线y=f（x）上．）广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知R为实数集，A={x|2x﹣3＜3x}，B={x|x≥2}，则A∪B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x＞﹣3} C．{x|2≤x＜3} D．R考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出不等式2x﹣3＜3x的解集A，再由并集的运算求出A∪B．解答：解：由2x﹣3＜3x得，x＞﹣3，则A={x|x＞﹣3}，又B={x|x≥2}，则A∪B={x|x＞﹣3}，故选：B．点评：本题考查并集及其运算，属于基础题．2．（5分）i是虚数单位，则=（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算法则求解．解答：解：=﹣﹣=．故选：D．点评：本题考查复数的乘除运算，是基础题，解题时要注意运算法则的合理运用．3．（5分）已知三个实数：、、c=log3，它们之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质，以0和1作为中间量，可比较出a，b，c 的大小．解答：解：∵＞30=1、0＜=1、c=log3＜log31=0，∴a＞b＞c，故选：A点评：本题考查的知识点是指数式与对数式的大小比较，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，是解答的关键．4．（5分）已知是非零向量，，则“”是“”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据“”成立，得到•（﹣）=0，结合是非零向量，，推出，根据充要条件的判定方法可得结论．解答：解：∵，∴•（﹣）=0，∵是非零向量，，∴，故选：D．点评：题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．5．（5分）如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．2πD．4π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，求出几何体的体积即可．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，∴该几何体的体积为V几何体=S底面h=××π××3=2π．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出该几何体是什么几何图形．6．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（）A．5B．5C．10D．10考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由A与B的度数求出C的度数，根据sinB，sinC，以及c的值，利用正弦定理求出b的值即可．解答：解：∵在△ABC中，∠A=75°，∠B=60°，c=10，∴∠C=45°，由正弦定理=得：b===5，故选：B．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．（5分）在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心B．相交但不经过圆心C．相切D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离大于零且小于半径，可得直线和圆相交但不经过圆心．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0，即（x+1）2+（y﹣2）2=9，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于3的圆．由于圆心到直线=1的距离为=2＜3，故直线和圆相交但不经过圆心，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（）＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0） 0 （0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣ 0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）（，0）0 （0，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）＞0，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）双曲线9x2﹣16y2=144的离心率等于．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，可得a=5，b=3，c=4，从而可求双曲线的离心率．解答：解：双曲线9x2﹣16y2=144可化为，所以a=4，b=3，c=5，所以离心率e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，确定双曲线的几何量是关键．10．（5分）△ABC是等腰直角三角形，已知A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，点（x，y）在△ABC内部，则点C的坐标为（3，3），z=2x﹣y的最大值是3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据等腰直角三角形的定义先求出C的坐标，利用线性规划的知识即可得到结论．解答：解：∵A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，∴|AB|=3﹣1=2，设C（x，y），则x＞0，y＞0，∵△ABC是等腰直角三角形，∴|BC|=|x﹣1|=2，解得x=3或x=﹣1（舍），即C（3，3），由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，此时z=2x﹣y=2×3﹣3=3，故答案为：（3，3），3点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M 与DN所成的角的大小是90°．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．点评：本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．12．（5分）若f（x）=，则f（x）的最小值是﹣1．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，分别求出对应的取值范围即可得到结论．解答：解：作出函数f（x）的图象如图：当x≤0，f（x）=﹣x≥0，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，故当x=1时，函数f（x）取得最小值为﹣1，故答案为：﹣1点评：本题主要考查函数最值的求解，根据分段函数的表达式结合函数的性质是解决本题的关键．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣，a n=1﹣（n＞1），计算并观察数列{a n}的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=5．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：确定数列{a n}是以3为周期的周期数列，即可得出结论．解答：解：∵a1=﹣，a n=1﹣，∴a2=5，a3=，a4=﹣，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a2015=a2=5，故答案为：5．点评：本题考查归纳推理，确定数列{a n}是以3为周期的周期数列是解题的关键．三.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）计算定积分：2．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据的导数为得到原函数是，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减得到结果．解答：解：=4﹣2=2故答案为：2点评：本题考查定积分，关键是求出原函数，属于一道基础题．15．已知定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）=xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是，．考点：两角和与差的正弦函数．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：根据求导公式和题意求出f′（x），结合定义域和余弦函数的性质求出f′（x）＞0是x的范围，奇求出函数f（x）的单调递增区间．解答：解：由题意得，f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，根据余弦函数的性质得，当或时，f′（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间是和，故答案为：和．点评：本题考查余弦函数的性质，以及导数与函数的单调性关系，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期T和最大值M；（2）若，求cosα的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）化简可得f（x）=，可求最小正周期，最大值；（2）依题意得，即，从而可求，．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x+1﹣cos2x…（2分），=…（4分）∴最小正周期…（5分），最大值…（6分）（2）依题意，…（7分）即…（8分），∴…（10分）∴…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．17．（14分）已知{a n}是等差数列，a2=3，a3=5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对一切正整数n，设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的通项公式由条件即可求出首项a1=1，公差d=2，所以可得到a n=2n﹣1；（2）根据a n先求出b n并将它变成，看到该通项之后，可以想到能否在求和中使得一些项前后抵消，并且通过求前几项的和会发现是可以的，并且是有规律的，根据这个规律即可求出{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）由得，a1=1，d=2；∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）=；∴S n=b1+b2+b3+…+b n=；通过前几项的求和规律知：若n为奇数，则；若n为偶数，则．点评：考查等差数列的通项公式，以及裂项的方法求数列前n项和，以及通过前几项求和的规律找到求数列前n项和的方法．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：方法一：（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中位线的性质，可得PA∥EO，利用线面平行的判定可得结论；（2）证明DE⊥PC，BC⊥平面PDC，DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，利用线面垂直的判定定理，可得PB⊥平面EFD；（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用正弦函数即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG，证明，这表明PA∥EG，可得结论；（2）利用向量的数量积公式，证明PB⊥DE，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决．解答：方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以，PA∥平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC ①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE ②由①和②推得DE⊥平面PBC而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB设正方形ABCD的边长为a，则，在Rt△PDB中，在Rt△EFD中，，∴所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为；方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且∴，这表明PA∥EG而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB（2）证明；依题意得B（a，a，0），又，故∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）从而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a所以由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角∵，且，，∴∴所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．点评：本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；应用题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，由条件求得k，设航速为xkm/h时，总费用为y元，求得y=80x+，可由基本不等式或函数的导数，即可得到最小值．解答：解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，则80=k×102，解得，设航速为xkm/h时，总费用为y元，则=．（方法一）令，解得x=25（负值舍去），当0＜x＜25时，y′＜0，x＞25时，y′＞0，∴x=25是极小值点，也是最小值点，此时（元）．（方法二）∵x＞0，∴=4000（元），等号成立当且仅当，解得x=25（负值舍去）．答：航速为25km/h时，总费用最少，此时总费用为4000元．点评：本题考查函数的最值的应用题，考查运用导数求最值，运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．（1）求点M的轨迹L的方程；（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．考点：轨迹方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）求M点的轨迹方程，所以设M（x，y），根据直线AM，BM的斜率之积是﹣，即可求得关于x，y的等式，即点M的轨迹方程：x2+2y2=18；（2）若直线L不存在斜率，则容易判断它和轨迹L有两个交点，不合题意；存在斜率时设斜率为k，然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程，将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程，让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程．解答：解：（1）设M（x，y），则：（x≠0）；∴点M的轨迹方程为：x2+2y2=18（x≠0）；（2）若直线L不存在斜率，则方程为：x=4；x=4带入轨迹方程可得y=±1，即直线L和轨迹L有两个公共点，不合题意；∴设直线L斜率为k，则方程为：y=kx﹣4k+1，带入轨迹方程并整理得：（1+2k2）x2+4k（1﹣4k）x+16（2k2﹣k﹣1）=0；∵直线L与轨迹L只有一个公共点，所以：△=16k2（1﹣4k）2﹣64（1+2k2）（2k2﹣k﹣1）=0；解得k=﹣2；∴直线L的方程为：y=﹣2x+9．点评：考查轨迹与轨迹方程的概念，以及求轨迹方程的方法，斜率公式，直线的点斜式方程，一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何．21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣1（a∈R是常数）．（1）设a=﹣3，x=x1、x=x2是函数y=f（x）的极值点，试证明曲线y=f（x）关于点对称；（2）是否存在常数a，使得∀x∈，|f（x）|≤33恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线y=f（x）关于点M对称是指，对于曲线y=f（x）上任意一点P，若点P关于M 的对称点为Q，则Q在曲线y=f（x）上．）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=﹣3代入函数解析式，求出函数的导函数，得到导函数的零点，求出M 的坐标，求出曲线y=f（x）上任意一点关于M对称的点Q，由Q的坐标适合函数解析式说明结论成立；（2）把|f（x）|≤33恒成立转化为，然后构造两个函数，，由导数求其最值得答案．解答：（1）证明：当a=﹣3时，f（x）=x3﹣3x2﹣1，f′（x）=3x2﹣6x，由f′（x）=0，得x1=0，x2=2，∴=M（1，﹣3），曲线y=f（x）上任意一点关于M对称的点为，则，∴点Q在曲线y=f（x）上，∴曲线y=f（x）关于点M对称；（2）解：由|f（x）|≤33，即|x3+ax2﹣1|≤33，得﹣33≤x3+ax2﹣1≤33，x=0时，不等式恒成立；x≠0时，不等式等价于，作，，则，，解，得x1=4，解，得．列表：x﹣+ 0 ﹣g1（x）↘↗极大值↘+﹣﹣﹣g2（x）↗↘↘g1（﹣1）=﹣31，g1（4）=﹣6，在的最大值为﹣6；g2（﹣1）=35，，在的最小值为．综上所述，a的取值范围为．点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，掌握不等式恒成立时所取的条件，是压轴题．。

2015年广东省高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4B．C．6D．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=18．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9 404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP 平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．答案：1、解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2、解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3、解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4、解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5、解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6、解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7、解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8、解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．9、解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10、解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11、解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112、解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13、解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14、解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15、解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．16、解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=1，||=1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos=，即sinx﹣cosx=，则sin（x﹣）=，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣=即x=+=．17、解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．18、（1）证明：在△POC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19、解：（1）f'（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2…2分∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．…3分（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f（0）=1﹣a，∵a＞1．∴1﹣a＜0…5分∴f（0）＜0．当x→+∞时，f（x）＞0成立．∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点…7分（3）证明：f'（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1…9分将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴…10分令；g（m）=e m﹣（m+1）g（m）=e m﹣（m+1），则g'（m）=e m﹣1，由g'（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0…12分∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即：∴m≤…14分20、解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，21、解：（1）∵a 1+2a 2+…na n =4﹣，n ∈N +． ∴a 1=4﹣3=1，1+2a 2=4﹣=2，解得a 2=， ∵a 1+2a 2+…+na n =4﹣，n ∈N +．∴a 1+2a 2+…+（n ﹣1）a n ﹣1=4﹣，n ∈N +．整理，得其标准方程为：（x ﹣3）2+y 2=4， ∴圆C 1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l 的方程为y=kx 、A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），联立方程组，消去y 可得：（1+k 2）x 2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k 2）×5＞0，可得k 2＜由韦达定理，可得x 1+x 2=，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为，其中﹣＜k ＜，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：（x ﹣）2+y 2=，其中＜x ≤3；（3）结论：当k ∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y ，可得：（1+k 2）x 2﹣（3+8k ）x+16k 2=0，令△=（3+8k ）2﹣4（1+k 2）•16k 2=0，解得k=±，又∵轨迹C 的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线C 只有一个交点时， k 的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n =（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）＜2+lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．11。

广东省各市2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：不等式(含答案)

广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编不等式一、不等式1、（2015届广州市）若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. (),1-∞-D. (],1-∞-2、（2015届江门市）若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+00122y x y x ，则y x z 2+=的最大值=M3、（2015届揭阳市）不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为A. 7B.5C. 3D.144、（2015届茂名市）设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为2，则ab 的最大值为（）A 、1B 、12C 、16D 、145、（2015届梅州市）已知实数,x y 满足120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则x y +的最小值为A 、2B 、3C 、4D 、56、（2015届汕头市）一元二次不等式20x ax b ++>的解集为()(),31,x ∈-∞-+∞，则一元一次不等式0ax b +<的解集为．7、（2015届汕头市）已知实数x ，y 满足26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是8、（2015届深圳市）已知实数y x ,满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则y x +2的最大值为（）A.3 B 。

4 C 。

6 D 。

99、（2015届湛江市）已知实数x ，y 满足条件2032000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为6，则ab 的最大值是10、（2015届中山市）设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是（A ）(-a )7＜(-a )9 （B ）b - 9＜b - 7（C ）11lg lg a b > （D ）11ln ln a b> 11、（2015届佛山市）已知,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2不等式参考答案1、A2、53、A4、C5、A6、3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 7、[]1,2- 8、C 9、9810、D 11、D二、绝对值不等式1、（2015届江门市）不等式5|2||1|≥-++x x 的解集为2、（2015届湛江市）不等式213x x ++-≤的解集是3、（2015届佛山市）不等式13x x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围为 . 参考答案1、) , 3[]2 , (∞+--∞ 或{}32|≥-≤x x x 或2、［－2,1］3、(][),24,-∞-+∞。

广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：三角函数(含答案)

广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编三角函数一、选择题1、（2015届江门市）函数)sin()(ϕ+=x x f 在区间)32, 3(ππ上单调递增，常数ϕ的值可能是A ．0B ．2π C ．π D ．23π2、（2015届汕头市）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6πA =，12πB =，3a =，则c 的值为（）A ．B ．32C ．D ．6 3、（2015届中山市）在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a = （）A ．2B ．6C ．2 或6D ．27选择题参考答案1、D2、A3、D 二、填空题1、（2015届广州市）已知tan 2α=，则tan 2α的值为2、（2015届揭阳市）在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos A =，则b =______ 3、（2015届茂名市）已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，C ＝120º，△ABC 的面积S ，则c 为＿＿＿4、（2015届梅州市）已知,,a b c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若1,a b ==A ＋C ＝2B ，则sinA ＝＿＿＿5、（2015届佛山市）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据:2CD =,CE =45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)填空题参考答案1、43-2、3、74、125三、解答题1、（2015届广州市）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.2、（2015届揭阳市）已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.3、（2015届茂名市）已知函数()sin 2cos cos 2sin (,0)f x x x x R ϕϕϕπ=+∈<<，()4f π= （1）求f （x ）的解析式；（2）若5(),(,)23132f αππαπ-=∈，求sin()4πα+的值。

广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：立体几何(含答案)

D． 3
选择题参考答案
1、 C 2、 C 3、 C 4、 C 5、D 6、 A 7、 B 8、 B 二、填空题
1、（ 2015 届茂名市）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面为＿＿＿＿
填空题参考答案 1、 4＋3
三、解答题
1、（ 2015 届广州市）如图 4，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， DAB 60 ，点 E ， F 分别
是边 CD ， CB 的中点， AC EF O ，沿 EF 将 △CEF 翻折到 △PEF ，连接 PA,PB,PD ，
得到如图 5
的五棱锥 P ABFED ，且 PB 10 .
（ 1）求证： BD 平面 POA ；（ 2）求二面角 B AP O 的正切值 .
D P
E
A
O
C
D
E
A F
O
B
B
F
图4
图5
B1
C1
D
F
C
3、（ 2015 届揭阳市）
A已知 BCD 中， BCD 90 , BC CD 1，
AB 6 ， AB ⊥平面 BCD ， E 、 F 分别是 AC 、 AD 的中点．
（1）求证：平面 BEF ⊥平面 ABC ；
（2）求四棱锥 B-CDFE 的体积 V ；
（3）求平面 BEF 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值．
2、（ 2015 届江门市）如图 4，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形，侧面是正方形， DAB 600 ， E 是棱 CB 的延长线上一点，经过点 A 、 C1 、 E 的平面交棱 BB1于点 F ，
B1F 2BF ．
⑴求证：平面 AC1 E 平面 BCC1B1 ；

广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：导数及其应用(含答案)

广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2015届深圳市）在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（） A.)3,0(πB 。

]3,0(πC 。

],3[ππD 。

),3(ππ选择题参考答案1、D 二、填空题1、（2015届揭阳市）已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=-2、（2015届深圳市）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为填空题参考答案1、由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k ka a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又 310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.2、2三、解答题1、（2015届广州市）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；（2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2、（2015届江门市）设函数)(ln )(a x e x f x -=，e 是自然对数的底数，718.2≈e ，R a ∈为常数．⑴若)(x f y =在1=x 处的切线 l 的斜率为e 2，求a 的值；⑵在⑴的条件下，证明切线 l 与曲线)(x f y =在区间)21 , 0(至少有1个公共点； ⑶若]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间，求a 的取值范围．3、（2015届揭阳市）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈,（e ≈2.718）．（1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：211sinln 2(1)nk k =<+∑．4、（2015届茂名市）设函数2()ln ||f x x x ax =-+。

广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：数列(含答案)

广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编数列一、选择题 1、（2015届江门市）{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差=dA ．2B ．23 C ．1 D ．212、（2015届汕头市）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知()ln ln 1x x x '=+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为（）A ．33B ．46C ．48D ．503、（2015届湛江市）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列，则公比q =（）A B C D选择题参考答案1、C2、C3、D二、填空题1、（2015届梅州市）已知等比数列{n a }的公比为正数，且239522,1a a a a ==，则1a ＝＿＿＿填空题参考答案1、22三、解答题1、（2015届广州市）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值；若不存在, 请说明理由.2、（2015届江门市）设数列{}n a 的前n 项和6)14)(1(-+=n n n S n ，*N n ∈．⑴求1a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶证明：对一切正整数n ，有4541222221<+++na n a a ．3、（2015届揭阳市）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且211a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设数列{}n b满足n b =123n b b b +++<4、（2015届茂名市）已知数列{n a }的前n 项和为Sn ，1a ＝1，且122(1)(1)(*)n n nS n S n n n N +-+=+∈，数列{n b }满足2120(*)n n n b b b n N ++-+=∈，3b ＝5，其前9项和为63。

广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：解析几何(含答案)

是椭圆上关于 x 轴对称的两点，直线 AM， BN的斜率分别为 k1, k2 ，且 k1k2 0 ，若 | k1 | | k2 |
的最小值为 1，则椭圆的离心率为＿＿＿＿ 3、（ 2015 届梅州市）以 F1（－ 1,0）、 F2（ 1,0）为焦点，且经过点准方程为＿＿＿
M（ 1，－ 3 ）的椭圆的标 2
C、 y2 ＝4 x
D、 y2 ＝－ 4 x
x2 y2
6、（ 2015 届汕头市）若双曲线的标准方程为
1 ，则它的渐近线方程为（）
84
A ． x 2y 0
B ． 2x y 0
C ． x 2y 0
D． 2x y 0 7、（ 2015 届湛江市）抛物线 8y x2 0 的焦点 F 到直线 l : x y 1 0 的距离是（）
( Ⅱ ) 已知 m
4, A
2
1,0 和曲线 C : x 1
y2
16 . 若 P 是曲线 C 上任意一点 , 线
段 PA 的垂直平分线为 l , 试判断 l 与曲线 E 的位置关系 , 并证明你的结论 .
解答题参考答案
2 ．
2
2 ，
2
2 设直线 l : x ty 是椭圆 C 的一条切线，点
2, y1 ，点
2, y2 是切线 l
上两个点，证明：当 t 、变化时，以点坐标．
为直径的圆过 x 轴上的定点，并求出定
x2
y2
9、（ 2015 届佛山市）已知曲线 E :
1.
m m1
( Ⅰ) 若曲线 E 为双曲线 , 求实数 m 的取值范围；
4、（ 2015 届深圳市）已知圆 C： x2 y2 8x ay 5 0 经过抛物线 E： x2 4y 的焦点，

广东省江门市普通高中高三数学上学期调考试卷理(含解

广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知R为实数集，A={x|2x﹣3＜3x}，B={x|x≥2}，则A∪B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x＞﹣3} C．{x|2≤x＜3} D．R2．（5分）i是虚数单位，则=（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣i3．（5分）已知三个实数：、、c=log3，它们之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c4．（5分）已知是非零向量，，则“”是“”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件5．（5分）如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．2πD．4π6．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（）A．5B．5C．10D．107．（5分）在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心B．相交但不经过圆心C．相切D．相离8．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）双曲线9x2﹣16y2=144的离心率等于．10．（5分）△ABC是等腰直角三角形，已知A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，点（x，y）在△ABC内部，则点C的坐标为，z=2x﹣y的最大值是．11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M 与DN所成的角的大小是．12．（5分）若f（x）=，则f（x）的最小值是．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣，a n=1﹣（n＞1），计算并观察数列{a n}的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=．三.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）计算定积分：．15．已知定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）=xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期T和最大值M；（2）若，求cosα的值．17．（14分）已知{a n}是等差数列，a2=3，a3=5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对一切正整数n，设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．19．（12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？20．（14分）在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．（1）求点M的轨迹L的方程；（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣1（a∈R是常数）．（1）设a=﹣3，x=x1、x=x2是函数y=f（x）的极值点，试证明曲线y=f（x）关于点对称；（2）是否存在常数a，使得∀x∈，|f（x）|≤33恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线y=f（x）关于点M对称是指，对于曲线y=f（x）上任意一点P，若点P关于M 的对称点为Q，则Q在曲线y=f（x）上．）广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知R为实数集，A={x|2x﹣3＜3x}，B={x|x≥2}，则A∪B=（）A．{x|x≥2}B．{x|x＞﹣3} C．{x|2≤x＜3} D．R考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出不等式2x﹣3＜3x的解集A，再由并集的运算求出A∪B．解答：解：由2x﹣3＜3x得，x＞﹣3，则A={x|x＞﹣3}，又B={x|x≥2}，则A∪B={x|x＞﹣3}，故选：B．点评：本题考查并集及其运算，属于基础题．2．（5分）i是虚数单位，则=（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算法则求解．解答：解：=﹣﹣=．故选：D．点评：本题考查复数的乘除运算，是基础题，解题时要注意运算法则的合理运用．3．（5分）已知三个实数：、、c=log3，它们之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质，以0和1作为中间量，可比较出a，b，c 的大小．解答：解：∵＞30=1、0＜=1、c=log3＜log31=0，∴a＞b＞c，故选：A点评：本题考查的知识点是指数式与对数式的大小比较，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，是解答的关键．4．（5分）已知是非零向量，，则“”是“”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据“”成立，得到•（﹣）=0，结合是非零向量，，推出，根据充要条件的判定方法可得结论．解答：解：∵，∴•（﹣）=0，∵是非零向量，，∴，故选：D．点评：题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．5．（5分）如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．2πD．4π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，求出几何体的体积即可．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为半圆的圆锥，∴该几何体的体积为V几何体=S底面h=××π××3=2π．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图，得出该几何体是什么几何图形．6．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（）A．5B．5C．10D．10考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由A与B的度数求出C的度数，根据sinB，sinC，以及c的值，利用正弦定理求出b的值即可．解答：解：∵在△ABC中，∠A=75°，∠B=60°，c=10，∴∠C=45°，由正弦定理=得：b===5，故选：B．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．（5分）在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心B．相交但不经过圆心C．相切D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离大于零且小于半径，可得直线和圆相交但不经过圆心．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0，即（x+1）2+（y﹣2）2=9，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于3的圆．由于圆心到直线=1的距离为=2＜3，故直线和圆相交但不经过圆心，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（）＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0） 0 （0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣ 0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）（，0）0 （0，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）＞0，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）双曲线9x2﹣16y2=144的离心率等于．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，可得a=5，b=3，c=4，从而可求双曲线的离心率．解答：解：双曲线9x2﹣16y2=144可化为，所以a=4，b=3，c=5，所以离心率e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，确定双曲线的几何量是关键．10．（5分）△ABC是等腰直角三角形，已知A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，点（x，y）在△ABC内部，则点C的坐标为（3，3），z=2x﹣y的最大值是3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据等腰直角三角形的定义先求出C的坐标，利用线性规划的知识即可得到结论．解答：解：∵A（1，1），B（1，3），AB⊥BC，点C在第一象限，∴|AB|=3﹣1=2，设C（x，y），则x＞0，y＞0，∵△ABC是等腰直角三角形，∴|BC|=|x﹣1|=2，解得x=3或x=﹣1（舍），即C（3，3），由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，此时z=2x﹣y=2×3﹣3=3，故答案为：（3，3），3点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M 与DN所成的角的大小是90°．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．点评：本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．12．（5分）若f（x）=，则f（x）的最小值是﹣1．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，分别求出对应的取值范围即可得到结论．解答：解：作出函数f（x）的图象如图：当x≤0，f（x）=﹣x≥0，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，故当x=1时，函数f（x）取得最小值为﹣1，故答案为：﹣1点评：本题主要考查函数最值的求解，根据分段函数的表达式结合函数的性质是解决本题的关键．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣，a n=1﹣（n＞1），计算并观察数列{a n}的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=5．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：确定数列{a n}是以3为周期的周期数列，即可得出结论．解答：解：∵a1=﹣，a n=1﹣，∴a2=5，a3=，a4=﹣，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a2015=a2=5，故答案为：5．点评：本题考查归纳推理，确定数列{a n}是以3为周期的周期数列是解题的关键．三.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）计算定积分：2．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据的导数为得到原函数是，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减得到结果．解答：解：=4﹣2=2故答案为：2点评：本题考查定积分，关键是求出原函数，属于一道基础题．15．已知定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）=xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是，．考点：两角和与差的正弦函数．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：根据求导公式和题意求出f′（x），结合定义域和余弦函数的性质求出f′（x）＞0是x的范围，奇求出函数f（x）的单调递增区间．解答：解：由题意得，f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，根据余弦函数的性质得，当或时，f′（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间是和，故答案为：和．点评：本题考查余弦函数的性质，以及导数与函数的单调性关系，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期T和最大值M；（2）若，求cosα的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）化简可得f（x）=，可求最小正周期，最大值；（2）依题意得，即，从而可求，．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x+1﹣cos2x…（2分），=…（4分）∴最小正周期…（5分），最大值…（6分）（2）依题意，…（7分）即…（8分），∴…（10分）∴…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．17．（14分）已知{a n}是等差数列，a2=3，a3=5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对一切正整数n，设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的通项公式由条件即可求出首项a1=1，公差d=2，所以可得到a n=2n﹣1；（2）根据a n先求出b n并将它变成，看到该通项之后，可以想到能否在求和中使得一些项前后抵消，并且通过求前几项的和会发现是可以的，并且是有规律的，根据这个规律即可求出{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）由得，a1=1，d=2；∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）=；∴S n=b1+b2+b3+…+b n=；通过前几项的求和规律知：若n为奇数，则；若n为偶数，则．点评：考查等差数列的通项公式，以及裂项的方法求数列前n项和，以及通过前几项求和的规律找到求数列前n项和的方法．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：方法一：（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中位线的性质，可得PA∥EO，利用线面平行的判定可得结论；（2）证明DE⊥PC，BC⊥平面PDC，DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，利用线面垂直的判定定理，可得PB⊥平面EFD；（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用正弦函数即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG，证明，这表明PA∥EG，可得结论；（2）利用向量的数量积公式，证明PB⊥DE，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决．解答：方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以，PA∥平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC ①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE ②由①和②推得DE⊥平面PBC而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB设正方形ABCD的边长为a，则，在Rt△PDB中，在Rt△EFD中，，∴所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为；方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且∴，这表明PA∥EG而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB（2）证明；依题意得B（a，a，0），又，故∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）从而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a所以由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角∵，且，，∴∴所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．点评：本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100km航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；应用题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，由条件求得k，设航速为xkm/h时，总费用为y元，求得y=80x+，可由基本不等式或函数的导数，即可得到最小值．解答：解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k，则80=k×102，解得，设航速为xkm/h时，总费用为y元，则=．（方法一）令，解得x=25（负值舍去），当0＜x＜25时，y′＜0，x＞25时，y′＞0，∴x=25是极小值点，也是最小值点，此时（元）．（方法二）∵x＞0，∴=4000（元），等号成立当且仅当，解得x=25（负值舍去）．答：航速为25km/h时，总费用最少，此时总费用为4000元．点评：本题考查函数的最值的应用题，考查运用导数求最值，运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．（1）求点M的轨迹L的方程；（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．考点：轨迹方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）求M点的轨迹方程，所以设M（x，y），根据直线AM，BM的斜率之积是﹣，即可求得关于x，y的等式，即点M的轨迹方程：x2+2y2=18；（2）若直线L不存在斜率，则容易判断它和轨迹L有两个交点，不合题意；存在斜率时设斜率为k，然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程，将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程，让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程．解答：解：（1）设M（x，y），则：（x≠0）；∴点M的轨迹方程为：x2+2y2=18（x≠0）；（2）若直线L不存在斜率，则方程为：x=4；x=4带入轨迹方程可得y=±1，即直线L和轨迹L有两个公共点，不合题意；∴设直线L斜率为k，则方程为：y=kx﹣4k+1，带入轨迹方程并整理得：（1+2k2）x2+4k（1﹣4k）x+16（2k2﹣k﹣1）=0；∵直线L与轨迹L只有一个公共点，所以：△=16k2（1﹣4k）2﹣64（1+2k2）（2k2﹣k﹣1）=0；解得k=﹣2；∴直线L的方程为：y=﹣2x+9．点评：考查轨迹与轨迹方程的概念，以及求轨迹方程的方法，斜率公式，直线的点斜式方程，一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何．21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣1（a∈R是常数）．（1）设a=﹣3，x=x1、x=x2是函数y=f（x）的极值点，试证明曲线y=f（x）关于点对称；（2）是否存在常数a，使得∀x∈，|f（x）|≤33恒成立？若存在，求常数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线y=f（x）关于点M对称是指，对于曲线y=f（x）上任意一点P，若点P关于M 的对称点为Q，则Q在曲线y=f（x）上．）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=﹣3代入函数解析式，求出函数的导函数，得到导函数的零点，求出M 的坐标，求出曲线y=f（x）上任意一点关于M对称的点Q，由Q的坐标适合函数解析式说明结论成立；（2）把|f（x）|≤33恒成立转化为，然后构造两个函数，，由导数求其最值得答案．解答：（1）证明：当a=﹣3时，f（x）=x3﹣3x2﹣1，f′（x）=3x2﹣6x，由f′（x）=0，得x1=0，x2=2，∴=M（1，﹣3），曲线y=f（x）上任意一点关于M对称的点为，则，∴点Q在曲线y=f（x）上，∴曲线y=f（x）关于点M对称；（2）解：由|f（x）|≤33，即|x3+ax2﹣1|≤33，得﹣33≤x3+ax2﹣1≤33，x=0时，不等式恒成立；x≠0时，不等式等价于，作，，则，，解，得x1=4，解，得．列表：x﹣+ 0 ﹣g1（x）↘↗极大值↘+﹣﹣﹣g2（x）↗↘↘g1（﹣1）=﹣31，g1（4）=﹣6，在的最大值为﹣6；g2（﹣1）=35，，在的最小值为．综上所述，a的取值范围为．点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，掌握不等式恒成立时所取的条件，是压轴题．。