云南省玉溪一中2014_2015学年高二数学下学期期末考试试题文

玉溪一中2014——2015学年下学期期末考试高二文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，答案均填写在答题卡上，否则无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知集合{}1,0,1-A =，{}A x x y ∈==,sin yB π，则A =⋂B A.{-1} B.{0} C. {1} D.φ2．复数1z 、2z 在复平面内的对应点关于原点对称，且i z +=21，则1)1(221+-z z 等于A ．i 2B ．i 510C ．2D ．i 2324+ 3、一个算法程序如图所示，则输出的n 的值为A 、6B 、5C 、4D 、34.已知命题p 、q ，“为假”的为真”是“q p p ∧⌝A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 C.既不充分也不必要条件5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则=θ2tanA ．34-B ．34C ．43-D ．436．某研究机构对高三学生的记忆力x ，和判断力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为a x y +=∧7.0．若在这些样本点中任取一点， 则它在回归直线左上方的概率为A ．16B ．13C.12D.237．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为A.4()22x f x =+；B.2()1f x x =+；C.1()1f x x =+；D.2()21f x x =+.8、已知0,0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为 A0y ±= B、0x ±= C 、20x y ±= D 、20x y ±= 9．已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AB m AM =，AD n AN =（0≠⋅n m ），若//，则mn等于 A ．1 B ．2 C ．21D ．2-10．已知()=x f．则不等式()()x f x f 232->的解集为 Ａ．()()∞+-∞-，，11 Ｂ．()()+∞-∞-,13,Ｃ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-∞-，，213 Ｄ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-∞-，，21111、已知数列{}n 2的前n 项和为n a ，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，数列n b 的通项公式为)3)(1(-+=n n b n ，则n n S b 的最小值为A.2-B. 49-C. 3-D. 23- 12．直线y a =分别与曲线)1(2-=x y ，xe x y +=交于A ，B ，则AB 的最小值为A ．3B ．2C ．32D ．553第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定，若点M （x,y ）为D 上的动点，点A ⋅则),1,2(的最大值为 。

ABCDEM N{,0,1≥<x x x14、观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形．15、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上,且8,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为______.16. 已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且3221π=∠PF F ， 椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222113e e ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A 、B 、C 成等差数列，a 2、b 2、c 3成等比数列。

（Ⅰ）求C A cos cos ⋅的值；（Ⅱ）若c a >，且32=b ，求a 、c 。

18、（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．19．（本小题满分12分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少80％的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．（1）任选两个小区进行调查，求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率； （2）假定选择的“非低碳小区”为小区A ，调查显示其“低碳族”的比例为21，数据如图图1图21 所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A 是否达到“低碳小区”的标准？20、（本小题满分12分）设点()y x M ,到直线4=x 的距离与它到定点（1,0）的距离之比为2，并记点M 的轨迹曲线为C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设过定点（0,2）的直线l 与曲线C 交于不同两点E 、F ，且∠EOF ＝90°，（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的值．（Ⅲ）设A ，B 分别是曲线C 的与X 轴正半轴和Y 轴正半轴的两个交点，直线mx y =()0>m 与曲线C 交于P 、Q 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，2()3g x x ax =-+-. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ） 若对(0,)x ∀∈+∞有2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分． 22．(本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲.如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接CD EC ,．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）若,21tan =∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长．23. (本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=O的参数方程为cos sin x r y r θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（θ为参数，0r >）. (I)求圆心的一个极坐标；(Ⅱ)当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3．24. (本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲. 24.已知函数R m x m x f ∈--=,2)(，且0)2(≥+x f 的解集为[]1,1-⑴求m 的值⑵若,31211,0,0,0m cb ac b a =++>>>求c b a Z 32++=的最小值。

玉溪一中2014——2015学年下学期期末考试高二文科数学（参考答案）一、选择题 BACAA CBABB AC二、填空题 13.4 14、2322n n ++ 15、 16. 4．三、17．（Ⅰ）∵π=++C B A ，且C A B +=2，∴3π=B ，又∵ac b 642=，∴C A B sin sin 3sin 22⋅=，∴21sin sin =⋅C A ，∵()21cos cos -=-=+B C A ∴21sin sin cos cos -=-C A C A ，∴0cos cos =⋅C A 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）0cos cos =⋅C A ，且c a >，∴0co s =A ，则2π=A ，6π=C ，∴c a 2=，∵32=b ，∴2224c c b =+，故2=c ，4=a 。

18解：（Ⅰ）法一：∵AB EF //, ∴MN EF //, CD EF //, ∴CD MN //, ∴MNCD 是平行四边形, ∴MD NC //, ∴//NC 平面MFD , 法二： ∵MF NE //, ∴//NE 平面MFD , ∵FD EC //, ∴//EC 平面MFD , ∴平面//NEC 平面MFD , ∴//NC 平面MFD .（Ⅱ）∵,3,3===CD AB EC , ∴ECDF 为正方形,∴ED FC ⊥, 又∵平面⊥MNEF 平面ECDF , EF NE ⊥, ∴⊥NE 平面EFDC , ∴⊥NE FC , ∴⊥FC 平面NED , ∴ND FC ⊥, (Ⅲ) 设x BE NE ==，则x EC -=4，)4(21x x S NEC -=∆ 3)4(213131⨯-⨯==x x Sh V NFEC)4,0(,)4(212∈-=x x x当2=x 时 NFEC V 的最大值为219. 解析：（1）设“非低碳小区”为A,B,C, “低碳小区”为D,E;从中任取两个小区有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10个基本事件，恰有一个“非低碳小区”有AD,AE, BD,BE,CD,CE 共6个基本事件；所以所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率为53106= . （2）小区A ，调查显示其“低碳族”的比例为21，由图1知月排放量低于3百千克/户为低碳族，所以由图2知，宣传后“低碳族”占0.07+0.23+0.46=0.76<0.8，没达到“低碳小区”的标准.20、解：（Ⅰ）由题意得()21422=+--yx x 化简得13422=+y x （Ⅱ）由题意可设直线l 的方程为2+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222y x kx y 消去y 整理得 ()04164322=+++kx x k又∵直线l 与曲线C 交于不同两点()11,y x E ，()22,y x F 则()()2121043441622>-<⇒>+⨯-=∆k k k k 或由韦达定理有2214316k k x x +-=+，221434kx x += 而∠EOF ＝90°，∴0=⋅，即02121=+y y x x ，即()()0222121=+++kx kx x x ，()()042122212=++++x x k x x k()04433243142222=++-++kk k k 解得332±=k ⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈,2121, ，故所求 332±=k （Ⅲ）由()⎪⎩⎪⎨⎧=+>=134022y x m m x y 解方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212143124312m m y m x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅-=+-=222243124312m m y m x即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++24312,4312m m m P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-24312,4312m m m Q Q O A BO P S S S ∆∆+=22A PBQ 四边形1121212y OA x BO ⋅+⋅⨯=1123y x += 224312243123mm m +++⋅=()2431223m m++=()22432332m m ++=()2243334432m m m +++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=34341322m m ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=m m 3434132 因为3434234=⨯≥+mm m m （当23=m 时等号成立） 所以 6234341323434132=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++m m ∴当23=m 时，A PBQ 四边形S 的最大面积为62． 21解：（Ⅰ）导函数()1ln f x x '=+，令()1ln 0f x x '=+=，得1x e=，....2分 当10x e<<时，()1ln 0f x x '=+<，()f x 单调递减； 当1x e>时，()1ln 0f x x '=+>，()f x 单调递增， ()f x 在1x e=处取得极小值，且极小值为11()f e e =-. .............6分（Ⅱ）对(0,)x ∀∈+∞有2()()f x g x ≥恒成立，等价于32ln x x a x++≥恒成立. 令3()2ln h x x x x =++，则2223(3)(1)()1x x h x x x x +-'=+-=，.............8分 令2223(3)(1)()1x x h x x x x+-'=+-=0=，得13x x ==-或（舍去）. 当01x <<时，()0h x '<，3()2ln h x x x x =++单调递减；当1x >时，()0h x '>，3()2ln h x x x x=++单调递增...............10分所以3()2ln h x x x x=++在1x =处取得最小值，且最小值为(1)4f =，因而4a ≤，故a 的取值范围是[)∞+，4 ..............12分 22证明：（Ⅰ）如图，连接OC,OA =OB,CA=CB,OC AB ∴⊥OC 是圆的半径，AB ∴是圆的切线． （3分） （Ⅱ）ED 是直径，90,90ECD E EDC ∴∠=︒∴∠+∠=︒又90,,,,BCD OCD OCD OCD BCD E CBD EBC ∠+∠=︒∠=∠∴∠=∠∠=∠又,BC BDBCD BEC BC BE BC ∴∴=⇒∽2.BD BE = （5分） 1tan ,2CD CED BC ∠==BCD ∽1,2BD CD BEC BC EC == （7分）设=BD X ，则=2BC X ，2=BC BD BE 22=+6∴X X X （）（）=2BD ∴…．（9分）=+=2+3=5OA OB BD OD ∴=（10）分23.解析(1)(O O由的参数方程得圆心的坐标为222((1(,)tan 1ρρθρθπθ⎧=+=⎪⎪⎪>≤<⎨⎪==⎪⎪⎩设圆心坐标为，(0,02)；则 15(1)544O ρππθ=⎧⎪∴⎨=⎪⎩所以，圆心的极坐标为，(2)1(3,2l x y O O l r +=∴=由直线的参数方程得普通方程为，圆心为圆上的点到直线的最大距离为3即24. （1）因为，所以 .所以又的解集是，故 .（2）由(1)知， ，由柯西不等式得∴的最小值为9。