L 2[a,b]空间Voherra型积分方程解的存在性

合集下载

一类特殊的 Volterra型积分方程的解的存在性

轨迹与时间的关系中得到的。随着计算技术的发展，作为工程计算的重要
基础之一，积分方程进一步得到了广泛而有效地
应用。如今物理问题变得越来越复杂，积分方程变
得越来越有用。它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如，对泛函分析
中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成，对一
在给他的老师米塔一列夫勒的信中，提出如下的
方程
，１
般线性算子理论的创立，以至于对整个泛函分析
（）＝（）＋ＡＩＫ（，Ｙ）（ｙ）ｄｙ
Ｊ０
１９００年，弗雷德霍姆在其论文中把上方程称
为“ 积分方程 ” ，形如
一
的形成都起着重要的推动作用。解的存在性理论是常微分方程最基本和最重
要的理论之一，它一般通过构造逐步逼近函数序列来说明其解的存在性。本文主要应用压缩映像
分方程可视为弗雷德霍姆积分方程的核（，Ｙ）
当Ｙ＞时为零的情形。最早被研究的一个带弱奇
都可以归结为积分方程问题。积分方程理论的发展，始终与数学物理问题的研究紧密相连，它在工程、力学等方面有着极其广泛的应用。 “ 积分方程” 一词是雷蒙德于１８８８年首先提出的。１９世纪的最后两年，瑞典数学家弗雷德霍
切，Ｙ ∈Ｒ有ｐ（Ａｘ，Ａｙ）≤ （，Ｙ），则称Ａ是上的一个压缩映照。定义２［１设Ａ是Ｒ到自身的一个映照，若

二阶积—微分方程边值问题解的存在性

二阶积—微分方程边值问题解的存在性
二阶积—微分方程边值问题是一类公认的重要问题，主要用于描述物理现象和分析时变系统，在物理科学和工程科学领域常见的求解方法是二阶积—微分方程边值问题解。

一、定义：
二阶积—微分方程边值问题是指在b(t)给定的边界上，研究边界值问题：
其中：u(t)是时变系统的未知函数，是满足微分方程：
二、存在性：
求解二阶积-微分方程边值问题的存在性的研究通过推理出给定问题的充分条件，如果充分条件全部满足，则满足问题存在性；如果不满足充分条件，则问题不存在解。

三、唯一性：
一般问题的唯一性可以表示为：
其中上标表示为满足边界值条件的u(t)的唯一解，表示该边值问题的解的唯一性。

四、具体方法：
综上所述，关于二阶积—微分方程边值问题解的存在性，可以采用相关理论和技术，以满足充分条件，来检验其是否存在解，及其唯一性，并利用拉普拉斯变换、参数外推、数值解法等方法求解，实现二阶积—微分方程边值问题更准确的求解。

Hadamard型分数阶微分方程解的存在性定理

=r( 1 ) ( (log’)"-“"/()
>a> 0
1(厲一“)儿
)
)
为函数f(t)的“阶Hdchmdrcl分数阶导数，其中§ = t d为各导数.
at
下面引进带权函数的空间：
tY
Cy,og[a,]二{g:(log"a)g()丘 C[a,] , 0 w Y < 1 (,
其中Cyfl0g[a,]的范数定义为
ScOaaVrr不动点定理，研究Hadamard分数阶微分方程局部解的存在性.文章第2部分介绍了一些基本概念
和后面证明中需要的几个引理，第3部分给出了主要定理，最后一部分简要的说明了结论.
1预备知识
本节介绍了一些常用的定义和带权的函数空间，以及证明中将要用到的引理，相关内容见文献［2,8］.
定义1设a >0是正实数，则Gamma函数定为「(a) = | 丿0
定义3设a是一个正实数，函数f(t)定义在区间[a, +!)(a> 0)上，称
t t /方(.=1丄 (a) J a
log£)“-/(s)
s
s
>a > 0
为函数f(t)的“阶Hdchmdrcl分数阶积分.
定义4设“是一个正实数，令几-1 V a W ◎斤丘瓔，函数定义在区间
[a, + !) (a > 0)上，称
第9卷第2期 Vol. 99 No. 2
-数学与计算机科学研究-
吕梁学院学报 Joornal of Liiliang University
2219年4月 Apn 2219
Halamarn型分数阶微分方程解的存在性定理
杨晋平，刘方
(吕梁学院数学系，山西离石033001)

一类积分方程最大与最小正解的存在性

念和引理。
收稿日期：０７１－７２０－０２
２主要结果
本文记Ｅ：Ｃａｂ， “∈Ｅ范数『Ｉ＝［］ＶＴ，Ｉｕ『
ｍａｘ“ ［
，
６Ｉ（）Ｉ令Ｐ＝｛ ∈ＥＩＭ￡７］￡．ＭＭ（）≥ ｔ∈
ＪＢ
其中，（，）［，］口ｂ一［，连续：０Ｇ￡ｓ：口ｂＸ［，］０ ∞）［， ∞）［，为单调递增的连续函数 ≠０这类一０ ∞）．
积分方程的正解要以概括某些常微分方程两点边值问题，点边值问题以及多点边值问题等，此三因它的研究有重要的学术价值。方便起见，面给为下出本文中将要用到的Ｂｎｃａａｈ空间中的一些基本概
文章编号：６３— ０７２０）３— ２８— ３１７２５（０８００２０
一
类积分方程最大与最小正解的存在性
杨晨
（山西大学商务学院公共基础部，太原００３）３０１
摘
要：利用半序方法和迭代技巧，讨论了一类广义积分方程的正解，用单调算子的不动点理论利
定义１１８设ＤｃＥ若算子Ａ：．＿Ｄ— Ｅ是连续的又是紧的，称Ａ是全连续算子。则我们的主要工具是下面的最大不动点与最小
不动点定理。
方面的研究并不多见。文献［］出了一个很好的５给
开始。本文讨论如下非线性积分方程的正解。

Banach空间混合型微分-积分方程解的存在唯一性及应用

（）１
ｔ
ｒｔ＋口ｏ
（）ｔＪ（，ｕｓｄ，Ｓ）ｔｈｔ）（）ｓ（）＝Ｊｔ）（）ｓ（ｕ（）＝Ｊ（，ｕｓｄ，ｓｋｓ
ｔｏＪｏｔ
（）２
在（）ｋ∈ＣＤ，，２中，［Ｒ］ｈ∈ＣＤ，，［ｏＲ］这里Ｒ＝［，，＝｛ｔ）∈ＲＩｏｔｔ＋０，ｏ＝０ ∞）Ｄ（，ｓｓｏ｝Ｄｔ５
｛ｔｓ（，）∈ ＲＩ（，） ∈，×，．记ｋｔｓ｝并ｏ＝ｍａ｛（，）Ｉ（，）∈ Ｄ｝ｘｋｔｓｔｓ．
当ｔｕＷ，）连续时，于问题（）有广泛的讨论 ¨ ．［］的方程如下：，，ｚ关１］文４ｕ＝／ｔｕＴ）ｕＯ＝，，，ｕ，（）。
Ｅｘｓｅｅａｉｕｅｓｎｄａｐｐｉａｔｏｓｏｏｕｔｏｏｎｉａｒｉｔｎｃｎｄｕｎｑｎｅｓａｌｃｉｎｆｓｌｉｎｆｒｎｏｌｎｅｉｅｒ－ｉｅｅｔａｑｕｉｎｓｉＢａｎｈｐｅｎｔｇｏｄｆｒｎｉｌｅａｔｏｎａｃｓａｃｓＳＵＮＧｕｏｌｎ —ｉｇ
０引言
设Ｅ是Ｂｎｃ间，［ｏｔａａｈ空，＝ｔ，ｏ＋０（＞０，ｏ∈Ｅ且ｔｕＷ，），］０），，ｚ： ×Ｅ ×Ｅ ×Ｅ空间中非线性微分一积分方程初值问题（），：
ｕ＝／ｔｕＴ，ｕ，（ｏｏ，，ｕＳ）ｕｔ）＝，其中
维普资讯
第２３卷第６期２０年６月０７
商丘师范学院学报ＪＵＮＬＯＨＧＩＥＣＲＯＬＧＯＲＡＦＳＡＮＱＵＴＡＨＥＳＣＬＥＥ

一阶非线性常微分方程解的存在性定理—Picard-Lindelof定理

⼀阶⾮线性常微分⽅程解的存在性定理—Picard-Lindelof定理上⼀节简单介绍了可求解的⼀阶常微分⽅程的解法，因为⼤部分⾮线性⽅程是不可解的，所以需要给出解的存在性的证明。

本节主要介绍⼀阶⾮线性常微分⽅程Cauchy问题（E）dydx=f(x,y),y(x0)=y0.解的存在性定理Picard-Lindelof定理（有的书上称它为Cauchy-Lipschitz定理）. 对⼀阶常微分⽅程解的存在性理论作出重要贡献的数学家有Cauchy、Lipschitz、Picard、Lindelof、Peano等，其中Picard提出的Picard迭代法尤其值得关注。

据传Picard证明Picard—Lindelof定理的原始论⽂⾜⾜有三四百页，后来数学家Banach把Picard的⽅法抽象出来证明了著名的Banach不动点定理。

Banach不动点定理是分析学中最重要的定理之⼀，也是⽤的最多的定理之⼀，它在线性⽅程组求解迭代⽅法的收敛性、常微分⽅程的两点边值问题、隐函数定理、Lax-Milgram定理甚⾄代数⽅程解的存在性等问题中均有重要应⽤。

许多微分⽅程（组）通过转化为等价的积分⽅程再利⽤不动点理论来证明解的存在性。

本节也采⽤这⼀框架来探索⽅程（E）解的存在性。

为此，⾸先利⽤Picard迭代给出Banach不动点定理的证明。

定理1 (Banach) 设X为Banach空间（即完备的赋范空间，完备的意思指所有的Cauchy列均收敛），f:X→X为压缩映射，即存在常数k,0<k<1，对任意x,y∈X有‖f(x)−f(y)‖≤k‖x−y‖,则映射f:X→X有且只有⼀个不动点x∈X.证明：任取x0∈X，构造Picard迭代x n+1=f(x n),n≥0.则‖x n+1−x n‖=‖f(x n)−f xn−1‖≤k‖x n−x n−1‖≤⋯≤k n‖x1−x0‖.设m>n≥0，由三⾓不等式和上式得‖x m−x n‖≤m−1∑p=n‖x p+1−x p‖≤k n1−k‖x1−x0‖,当m,n→∞时，‖x m−x n‖→0, 故序列{x n}为Cauchy列，由X的完备性知存在x∞∈X使得lim f:X\to X满⾜Lipschitz条件，显然连续.故x_{\infty}=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=f(\lim_{n\to\infty}x_{n})=f(x_{\infty}).存在性得证。

几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性

理学硕士学位论文几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性肖嘉慧哈尔滨理工大学2011年3月国内图书分类号：O177.9理学硕士学位论文几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性硕士研究生：肖嘉慧导师：姚慧丽申请学位级别：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：应用科学学院答辩日期：2011年3月授予学位单位：哈尔滨理工大学Classified Index: O177.9Dissertation for the Master Degree in ScienceThe Existence and Uniqueness of Almost Periodic Type Solutions for Several Classes of DifferentialEquationsCandidate：Xiao JiahuiSupervisor：Yao HuiliAcademic Degree Applied for：Master of Natural Science Specialty：Fundamental MathematicsDate of Oral Examination：March, 2011University：Harbin University of Scienceand Technology哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文《几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性》，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。

据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。

对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。

本声明的法律结果将完全由本人承担。

作者签名：日期：年月日哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书《几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性》系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。

两次分数阶微分方程解的存在性

基金项目：湖南省自然科学基金资助项目（７Ｊ１０；华大学学科带头人基金资助项目（０７ＱＩ）南华大０Ｊ３３）南２０ＸＤ３；学博士启动基金资助项目（５一ＸＤ一０６～）Ｑ２０９作者简介：王琳（９８一）女，南衡阳人，华大数理学院硕士研究生．要研究方向：分方程及其应用．１７，湖南主微通讯作者．
Ａｂｓｒｔ：ＡｌＳｆｔｅｂｏｈｏｅａｏｓｏｒｃｉｎｌｏｄｒｄｆｅｅｔａｉｎｗａｎｖｓｉａｅｔａｃＣａＳｏｈｔｐｒｔｒｆｆａｔｏａｒｅｉｆｒｎｉｔｏｓｉｅｔｔｄｇｉｎｃｐｃｎｔｓｐｐｒＢａｅｎｔｅｃｎｒｃｉｎｍａｉｇｐｉｃｐｅａｄＬｒｙ— ｎａＢａａｈＳａｅｉｈｉａｅ．ｓｄｏｈｏｔａｔｐｐｎｒｎｉｌｎｅａｏＳｈｕｅｘｄｐｉｔｔｅｒｍ，ｔｏａｎｄｓｍｅｓｆｃｅｔｃｎｉｉｎｏｈｘｓｅｃｆｔｅｃａｄｒｆｅｏｎｈｏｅｉｂｔｉｅｏｕｆｉｎｏｄｔｓｆｒｔｅｅｉｔｎｅｏｈｉｉｏ
ｅｘｄｐｉｔｔｅｒｍ；ｏｔａｔｎｍａｐｎｒｎｉｌｒｆｅｏｎｈｏｅｃｎｒｃｉｐｉｇｐｉｃｐｅｉｏ
０引言
考虑如下边界问题：ＤＤｔ＝Ａ（）ｔ／ｔＸｔ）卢（）ｔ（）＋，（），

Volterra型非线性积分方程局部解的存在性

间，ｃＥ是一个非空闭的有界凸集，
Ａ：一是连续的且对任意可数子集Ｃｃ，＋
（）＞０有ａＡＣ（Ｃ）＜（）则Ａ在中有一个不Ｃ。动点。
线性积分方程解的局部存在性。该文要求积分核需在任何子区间上均满足非紧型条件（见下面条件（）本文利用Ｄｈｒ动点定理将这一的非紧型条件即可
（ｌｓ｛ｌ（ｓ（）ｓ（）ｌ；）ｉｕＪｌｔ，ｓ一（，ｓｌｓｍｐ，，），）ｄ
维普资讯
科
学
技
术
与
工
程
８卷
∈ Ｃ，Ｂ］［，｝＝０Ｖ有界集曰ｃ１，区间，，Ｖ１＂
维普资讯
第８卷第１４期２０年７月０８
１７ — ８９２０）４３８－３６１１１（０８１－８９０
科
学
技
术
与
工
程
⑥
Ｖｏ．Ｎ．４Ｊｌ０８１８ｏ１ｕｙ２０
ＳｉｎｅＴｃｎｌｇｎｎｉｅｒｇｃｅｃｅｈｏｏｙａｄＥｇｎｅｉｎ
发展¨ 。
１几个引理
引理１１（ａｅ）．Ｄｈｒ设Ｅ是一个Ｂｎｃａａｈ空
ＶＬｋｈｋｎｈｍ和ＳＬｅａ授 …利用Ｄｒ．ａｓｍｉｔａａ．ｅｌ教ａ— ｂ不动点定理研究了Ｂｎｃｏａａｈ空间中Ｖｌｒｏｔｒ非ｅａ型

一类常微分方程和Volterra积分方程解的存在唯一性

一类常微分方程和Volterra积分方程解的存在唯一性吴雪蓉【摘要】The existence and uniqueness of solutions for the fourth-orderordinary differential equation and the Volterra integral equation are studied, by using Banach contracting mapping principle.The numerical solutions of these equations are discussed by MATLAB.%利用Banach压缩映射原理,研究了一类四阶常微分方程和Volterra积分方程解的存在性和唯一性,并且利用MATLAB讨论了此类方程的数值解.【期刊名称】《沈阳大学学报》【年(卷),期】2017(029)002【总页数】5页(P168-172)【关键词】Banach压缩映射原理;常微分方程;积分方程;数值解【作者】吴雪蓉【作者单位】南京财经大学应用数学学院,江苏南京 210023【正文语种】中文【中图分类】O175在代数方程、微分方程、积分方程、泛函方程等诸多方程问题的研究中,常常会建立与之相关的积分算子T[1-2],把所考虑的方程问题转化为求T的不动点u,即u=Tu,不动点理论是泛函分析的主要组成部分,并且有着广泛的应用价值.本文利用Banach压缩映射原理,研究一类常微分方程和Volterra积分方程解的存在性和唯一性.以下我们给出相应的概念定理以及所讨论的方程.引理1[3] (Banach压缩映射原理).设X是完备的度量空间,d是X中的距离,设映射S:X→X满足d(Sv1,Sv2)≤kd(v1,v2),∀v1,v2∈X,其中 0<k<1,则S具有唯一的不动点u,即u=Su.讨论下述四阶常微分方程初值问题解的存在唯一性.本文除了研究Banach压缩映射原理在一类常微分方程问题中的应用,还将其应用在第二类Volterra积分方程问题中,积分方程如下:其中,,并且此积分方程的核为在方程(1)中,总假定:(ⅰ) P(x)在[-r,r]上连续;(ⅱ) 设P(x)的原函数为p(x),令,则0<a<1.于是,得到如下主要结果:定理1 假设条件(ⅰ)、(ⅱ)成立,则微分方程(1)存在唯一的解.证明令F(x)=(y,y′,y″,y(3)), 则F′(x)=(y′,y″,y(3),y(4)).设Φ(x,y0,y1,y2,y3)=(y1,y2,y3,y4)=(y1,y2,y3,Q(x)-P(x)y3),且Γ=(1,-1,1,0),那么方程(1)可转化成如下一阶微分方程:作积分算子使得注意到,如果T存在唯一的不动点,那么方程(1)存在唯一的解,因此,若∀F,G∈C([-r,r],R4), 得到令显然0<k<1.由于同理可得同理可得因此,由于由此可得故依据Banach压缩映射原理,算子T是一个压缩映射,具有唯一的不动点,因此,微分方程(1)存在唯一的解,定理1得证.对于积分方程(2),同样可以应用Banach压缩映射原理得到解的存在唯一性,主要结果如下:定理2 考虑方程(2),则积分方程(2)存在唯一的解.证明由于则当x≠0时,,当x=0时,,故当0≤t<x≤1时,令y=x-t,则0<y<1,再令M(y)=-1+(1+y)e-y,则M′(y)=-ye-y<0,因此,M(y)在(0,1)上为单调减函数,故M(y)<M(0)=0,所以当t=x时,.由此可得,作积分算子使得若对∀φ(x),ψ(x)∈C[-1,1],有令,且,则令q0(x)=(x+1)e-x,则q0′(x)=-xe-x.如果x∈(0,1],那么,所以q0(x)在(0,1]上是一个单调减函数,因此,q0(x)∈[2e-1,1),则q0(x)-1∈[2e-1-1,0),故.因此p0(x)在(0,1]上是一个单调减函数,故).如果x∈[-1,0),那么,所以q0(x)在[-1,0)上是一个单调增函数,因此,q0(x)∈[0,1),则q0(x)-1∈[-1,0),故.因此p0(x)在[-1,0)上是一个单调减函数,故.由此可得,|p0(x)|].从而,|Sφ(x)-Sψ(x)|≤‖φ(t)-ψ(t)‖∞×|p0(x)|≤‖‖φ(t)-ψ(t)‖∞,即可得到‖‖φ(t)-ψ(t)‖∞.令<1,故依据Banach压缩映射原理,算子S是一个压缩映射,具有唯一的不动点,因此,微分方程(2)存在唯一的解,定理2得证.虽然求解微积分方程有各式各样的解析方法,但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程,一般情况下,从一些实际问题中归结出来的方程,都难以求得解析解,此时可以利用MATLAB求其数值解.本节给出了求解上述四阶常微分方程初值问题以及积分方程的数值解法.例1 对于微分方程(1),取P(x)=x2,Q(x)=2xex,则方程为且P(x)在上连续,P(x)的原函数为,所以则条件(ⅰ)、条件(ⅱ)成立,依据定理1可知,方程(3)存在唯一的解.关于高阶微分方程的初值问题,原则上总可以归结为一阶方程组来求解,引进新的变量:则方程(3)即可化为如下一阶方程组:满足初值条件y1(0)=1,y2(0)=-1,y3(0)=1,y4(0)=0.数值结果如表1.图1为方程的近似解的图像.例2 用数值积分法[4]来近似求解积分方程其中,此积分方程的核为0≤t≤x≤1,自由项,定义在[0,1]上.解当0≤x<t≤1时,定义k(x,t)=0,则方程(4)可看成第二类Fredholm积分方程. 用n=6的梯形公式求其近似解,此时h=0.2,则令x=xj(j=1,…,6),得到:对上式中的定积分用有限和来代替,可得:式中φj=φ(xj),kjm=k(xj,xm),fj=f(xj).令则式(5)可写成Y=KY+F,即(I-K)Y=F,这是一个系数矩阵是下三角的矩阵的线性方程组[5],求解非常方便.下面利用MATLAB编程得到数值结果如表2.【相关文献】[1] 郭海杰. 非线性Dirichlet型三点边值问题正解的存在性[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 2016,28(4):340-344. (GUO H J. Existence of positive solutions for nonlinear dirichlet type three point boundary value problems[J]. Journal of Shenyang University(Natural Science), 2016,28(4):340-344.)[2] 马亮亮. 变系数空间分数阶对流扩散方程的有限差分解法[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 2013,25(4):341-344. (MA L L. Finite difference method for fractional convection diffusion equation with variable coefficients[J]. Journal of Shenyang University(Natural Science), 2013,25(4):341-344.)[3] 布莱基斯. 泛函分析:理论和应用[M]. 叶东,周风,译. 北京:清华大学出版社, 2009. (Haim Brezis. Analy fonctionnelle-theorie at applications[M]. YE D,ZHOU F, Translate. Beijing: Tsinghua University Press, 2009.)[4] 沈以淡. 积分方程[M]. 3版. 北京:清华大学出版社, 2012. (SHENG Y D. Integral equations[M]. The third edition. Beijing: Tsinghua University Press, 2012.)[5] 李庆扬,王能超,易大义. 数值分析[M]. 5版. 北京:清华大学出版社, 2015. (LING Q Y, WANG N C, YI D Y. Numerical analysis[M]. The fifth edition. Beijing: Tsinghua University Press, 2015.)。

弱~＊拓扑下Banach空间中二阶Volterra型积分-微分方程的周期边值问题解的存在性

”
一
＝
，ｔＨＴ），∈ｃｉＥＥＥ（，，ｕ，［ × × ，］
（）＝ｕ２ｒ，Ｏ（ｃ）ｕ（）（丌）０＝２
（．．）１１１
（．．）１１２
其中，［，ｒ［× Ｅ，’，）ｆ＝【｝，“ｓｓ ∈ ［，］Ｄ（， ∈ ×：｝０＝０２］ｃｔＥ × Ｅ］（（７Ｅ）．ｆ）（），ＣＤＲ，＝｛￡），，ｓ，＝ｉｓｄｋ（ｓｔｋ
ｌｅｕｔｓｉｎｃｐｃｎｅｈａａｑａｉｎｎａＢａａｈｓａｅｕｄｒｔｅｗｅｋ￥ｔｐｌｇ．ｅｇｖｈｏｌｗｉｇａｓｍｐｉｎｏｏｏｏｙＷｉｅｔｅｆｌｏｎｓｕｔｓ：ｏ
第ｌ卷，４７第期
２１年１月００２
中国传媒大学学报自然科学版
Ｖ１７Ｎ．ｏ１，ｏ．４
Ｄｃ２１ｅ，０Ｃ
ＪＵＮＬＯＯＯＲＡＦｃＭＭｕＩＡ兀ＮＵＩＥＳＴＦＣＩＡ（ＣＥＣＮＥＨ００ＹＮＣ，ＯＮＶＲＩＹＯＨＮＳＩＮＥＡＤｒＣＮＬＧ）
弱水扑下Ｂｎｃ拓ａａｈ空间中二阶Ｖｈｒｏｅａ型ｒ积分一微分方程的周期边值问题解的存在性
于欣妍
（中国传媒大学理学院，北京１０２）００４
摘要：考虑在弱拓扑意义下二阶Ｖｈｒｏｅｒａ型积分一微分方程的周期边值问题ＰＶＢＰ：
ＡｓａｔＷｅｃｎｉｒｈｅｉｉｂｕｄｒａｕｒｂｍｓＰＶ）ｏｃｎｒｅｔｒｂｔｃ：ｏｓｅｅｐｒｄｃｏｎａｙｖｌｅｐｏｌ（ＢＰｆｒｅｏｄｏｄｒｎｅｏ—ｄｅｅｔｒｄｔｏｅｓｉｇｉｒｎｉｆ —

《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要：本文探讨了分数阶微分方程边值问题的解的存在性。

利用不动点定理和分形算子理论，对特定类型的分数阶微分方程进行了解析研究，证明了在满足一定条件下，该类边值问题存在解。

本文的研究不仅为分数阶微分方程的求解提供了新的思路，也为相关领域的研究提供了理论依据。

一、引言分数阶微分方程作为数学领域的一个重要分支，在物理、工程、生物等多个领域有着广泛的应用。

近年来，随着分形理论和现代数学理论的不断发展，分数阶微分方程的研究越来越受到关注。

特别是对于一些复杂的物理和工程问题，其数学模型往往可以归结为分数阶微分方程的边值问题。

因此，研究这类问题的解的存在性具有重要的理论意义和实际应用价值。

二、问题描述与预备知识本文考虑的分数阶微分方程边值问题可以描述为：在给定的区间上，满足一定的初始条件和边界条件的分数阶微分方程的解的存在性问题。

为了解决这一问题，我们首先需要引入分数阶微分方程的基本概念和性质，包括分数阶导数的定义、分形算子的基本理论等。

此外，还需要介绍一些相关的数学工具，如不动点定理等。

三、解的存在性证明本部分是本文的核心内容，主要利用不动点定理和分形算子理论来证明分数阶微分方程边值问题解的存在性。

具体步骤如下：1. 定义分数阶微分方程的算子形式，并分析其性质。

2. 利用不动点定理的基本原理，构建一个合适的函数空间，使算子成为这个空间上的自映射。

3. 通过证明算子在该函数空间中具有压缩性质，进一步利用不动点定理的结论得出解的存在性。

4. 为了解决特殊类型的边值问题（如非线性边值问题），需要引入分形算子理论，通过构造适当的分形算子来处理问题的非线性部分。

5. 结合分数阶微分方程的特性和分形算子的性质，证明在满足一定条件下，该类边值问题存在解。

四、结论本文通过利用不动点定理和分形算子理论，证明了特定类型的分数阶微分方程边值问题解的存在性。

这为分数阶微分方程的求解提供了新的思路，也为其在物理、工程、生物等领域的实际应用提供了理论依据。

局部凸空间非线性脉冲Volterra型积分方程解的存在性

维普资讯
第０７年２月期２６卷第１０
淮阴师范学院学报（自然科学版）
ＪＵＮＬＯＵＡＹＩＥＣＥＳＣＬＥＥ（ＡＵＡＣＥＣＤＴＯＯＲＡＦＨＩＮＴＡＨＲＯＬＧＮＴＲＬＳＩＮＥＥＩＩＮ）
Ｏ引言
抽象空间中的积分．微分方程理论是２纪上半叶发展起来的一个十分活跃的研究领域．把微０世它分方程的理论和泛函分析的理论结合起来，利用泛函分析的理论和方法研究抽象空间的积分．分方微程，对于研究来自化学、物理、生物、经济学等系统中的非线性问题解的存在性提供了有力的工具．目前，于这方面的工作主要都集中在对Ｂｎｃ间中积分方程和积分．分方程的研究，关ａａｈ空微已经有了较为丰富和完备的结果．是，更一般的局部凸空间中对这些问题的研究相对较少口．着Ｂ但在 “Ｊ随ａｎｃ间中微分方程理论的逐步完善，ａｈ空以及在更弱条件下研究微分方程的需要，多数学工作者已经把很注意力转移到在局部凸空间框架下研究相应的问题．所周知，ａａｈ间在弱拓扑下是一个局部凸线众Ｂｎｃ空
１定义及引理
本节将介绍一些对本文起重要作用的概念和引理．
定义１线性拓扑空间（ｒ称为局部凸的，Ｘ，）若它有凸集构成的原点邻域基．

Banach空间中一类非线性Volterra型积分方程整体解的存在性

（）（（）ｄ，ｓ）
，
则（ｘ）ｔ：（Ａ）ｔ．这里Ａ（）Ａ．（）
ｋ ∈ ｃ［ＲＤ，］，
＝１２Ｄ＝｛ｔｓ，，（，）∈ ‘ ，ｔ≥ ｓ，×．：｝
（４）１
．
Ｅｃ［ ×ｎ，，ＥｃＪ×囝，，是Ｅ中的开集Ｊ× Ｅ］［Ｅ］
（）＝ｔ
、
（）ｓｓ１（）ｒｒｒ，Ｊ（），）ｓ／，））ｖ１，，，：ｒ（（ｄｓ ∈ ｓ（（Ｊ，）ｄ：．１
‘
相应的积分算子为：
收稿日期：２０．３２０８０ —６
第１期
袁邢华，：ａｉｈ空间中一类非线性Ｖｌｒ等Ｂｎｃｔｏ。ｒ积分方程整体解的存在性ｔａ型
第ｌ卷第１２期
２０１年３月０
应用泛函分析学报
ＡＣＩＡＮＡＬＩＵＮＣＴＯＮＡＬＳＡＰＰＩＡＩＹＳＳＦＩＩＬＣＡＴｔＡ
Ｖｏｉ．１２
Ｎｏ．１
Ｍａｃｒｈ．
２００１
文章编号：１０．３７（００１ｏ６ —５０９１２２１）０一ｏｏＯ
Ｂｎｃａａｈ空间中一类非线性Ｖｌｒａ型ｏｔｒｅ积分方程整体解的存在性
袁邢华，蒋巧云
（通大学理学院，南通南２６０）２０７
摘要：利用一个新的不动点定理在较弱的条件下考虑Ｂｎｃａａｈ空间中一类非线性ＶＩｒｏｅｒ积分方程ｔａ型

具非局部条件的分数混合Volterra-Fredholm型泛函微积分包含解的存在性

是Ｂｃ空Ｄ）赋范，下，ｆＬ示中算范，对个ａｈ间（且予数ｍ且面我『丁表的子数则每用
０＜１，是—个Ｂｎｃ＿间，且的预解算子紧时嵌入ａａｈ＿￣８是紧的，０＜＜１．
收稿日期：２１— ４２０１０ — ５
，ｅ－（）有Ｇ）－Ｇｘ， ∈ （．＞．
．
在下面，ＢＣＸ）￣Ｘ中所Ｃ（；ａ有非空有界闭凸子集．若存在ｅ则Ｇ有—个不动点，Ｘ，使
＃ｘ（）关多映的多细述，参７８设Ｅａｃ空ｃ［６ｘ）ｇｅｘ．于值射更详描可见［］是Ｂａ间（，，，Ｇ，ｎｈｏ］
第２卷第２（０２８期２１）
河西学院学报
Ｖ１２ｏ２２１）ｏ．８Ｎ．（０２
பைடு நூலகம்
具非局部条件的分数混合Ｖｌｒ — ｒｄｏ型ｏｅｒＦｅｈｌｔａｍ
泛函微积分包含解的存在性
张宏武贾秀梅
张掖
晏兴学
７４０）３００
并赋数予卅）
定义２１对函数下极限为０的阶分数阶积分定义为：．
，）丽Ｊｆｓ＝１）（）
作者简介：张宏武（９）１８，男，甘肃靖远人，讲师，主要从事偏微与方程及问题研究．
・
４１・
张宏武贾秀梅
晏兴学：具非局部条件的分数混合Ｖｈｒ — ｒｄｏｏｅｒＦｅｈｌａｍ型泛函微积分包含解的存在性

Banach空间中二阶Volterra型积分微分方程边值问题解的存在性

Banach空间中二阶Volterra型积分微分方程边值问题解的
存在性
侯婷;张超
【期刊名称】《济南大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(018)002
【摘要】利用上、下解法在正规锥上证明了二阶非线性Vdterra型积分微分方程边值问题解的存在性.
【总页数】4页(P149-152)
【作者】侯婷;张超
【作者单位】山东师范大学,数学系,山东济南,250014;济南大学,理学院,山东济南,250022
【正文语种】中文
【中图分类】O175.6
【相关文献】
1.二阶Volterra 型积分微分方程奇摄动非线性边值问题解的惟一性 [J], 王国灿;丁传华
2.弱*拓扑下Banach空间中二阶Volterra型积分-微分方程的周期边值问题解的存在性 [J], 于欣妍
3.Volterra型积分微分方程非线性边值问题解的存在性和唯一性 [J], 王国灿
4.二阶Volterra型积分微分方程非线性边值问题解的存在性与惟一性 [J], 金丽
5.Banach空间二阶非线性脉冲积分微分方程边值问题解的存在性 [J], 祁爱琴;高丽;胡西厚;孔杨
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

关于方程零解存在性及唯一性的讨论

附件6编号学士学位论文关于方程零解存在性及唯一性的讨论学院名称：专业班级：学生姓名：学号：指导教师：完成日期：年月日摘要进到到二十一世纪之后，电子信息技术的迅猛发展，计算机技术越来越多地应用到了数学计算中，如何能够让数学计算变得更加深刻，更具有全面性，是当前数学学习需要研究和探讨的主要内容.连续函数是研究函数中一个十分重要的概念，对于连续函数在闭区间上的研究能够提供解决其他问题的新角度和新方法，通过对于相关知识内容的完善和拓展，能够让抽象的数学系统变得更加严谨和完善.本文通过对连方程零解存在性及唯一性的研究，对连续函数的零点定理、罗尔定理、拉格朗日定理、介值定理等方面进行阐述，并对方程零解存在唯一性的步骤进行系统的论证，从一阶线性微分方程、n阶线性微分方程解的存在唯一性两个方面对步骤进行详细的证明，旨在通过本研究强化学生对于连续函数基本定理的理解，增强学生对数学思维能力和解决能力，对数学学习者综合素质的提高提到一定的积极帮助作用.关键词：方程零解；存在性；唯一性；定理On the existence and uniqueness of the zero solution of theequationAbstractIn the 21st century, with the rapid development of electronic information technology, computer technology is more and more applied to mathematical calculation. How to make mathematical calculation more profound and comprehensive is the main content that needs to be studied and discussed in current mathematics learning. Continuous function is a very important concept in the study of function, for the continuous function in the closed interval Research can provide new perspectives and new methods to solve other problems. Through the improvement and expansion of relevant knowledge, the abstract mathematical system can become more rigorous and perfect. In this paper, through the study of the existence and uniqueness of the zero solution of the continuous equation, the zero point theorem, Rolle theorem, Lagrange theorem, intermediate value theorem of continuous function are elaborated and discussed This paper systematically demonstrates the steps of the existence and uniqueness of zero solution, and proves the steps in detail from the two aspects of the first-order linear differential equation and the existence and uniqueness of the solution of the first-order linear differential equation. It aims to strengthen students' understanding of the basic theorem of continuous function, enhance students' ability of mathematical thinking and solving, and improve the comprehensive quality of mathematics learners The positive helping effect of DingKey words: Zero Solution of equation; existence; uniqueness; theorem目录摘要 (I)Abstract (II)引言 (1)1 相关概念 (1)1.1 方程 (1)1.2 零解 (1)2 相关定理 (2)2.1 零点定理 (2)2.2 罗尔定理 (2)2.3 拉格朗日定理 (3)2.4 介值定理 (4)2.5 解的存在唯一性定理 (4)3 证明解的存在唯一性步骤 (6)3.1 一阶线性微分方程解的存在唯一性 (6)3.2 n阶线性微分方程解的存在唯一性 (10)结论 (14)参考文献 (15)致谢 (16)引言我国现阶段对于方程零解存在性及唯一性的研究相对较少，现有的研究主要是对连续函数定理的证明和推广的过程.方程零解存在性及唯一性是方程具备的典型的特点.生活中对于连续函数在整个闭区间内连续的情况比较少，大多数的函数都不是联系的，而实际上，不连续的函数是能够进行分解的，在分解之后能够形成许多半连续的函数，如果想要研究现实生活中部分的数学问题，就必须将现有连续的条件进行展开研究，在采用连续函数定理的基础上，采用合适的方式进一步证明方程零解的存在性和唯一性..连续函数是研究函数中一个十分重要的概念，对于连续函数在闭区间上的研究能够提供解决其他问题的新角度和新方法，通过对于相关知识内容的完善和拓展，能够让抽象的数学系统变得更加严谨和完善.本文首先通过对方程及零解的概念进行阐述，然后对相关定理的具体内容进行详细的说明，最后对解的存在唯一性步骤进行系统的阐述，旨在进一步证明方程零解具备的唯一性和存在性的特点.1.相关概念1.1方程方程指的是包含未知量的算式，是对2个不同的数学算式之间内在联系的直观表现。

几类积分方程的可解性问题

引言积分方程是未知函数出现在积分号内的方程，解方程的问题就是要确定这个函数，我们在分析学中遇到的积分方程，少部分可以转化成微分方程直接解出，但这种转化对绝大多数积分方程却行不通．积分方程作为数学的一个分支，最早出现在十九世纪三十年代，直到十九世纪末才由Fredholm 和Volterra 开创了两种类型积分方程理论的先河，此后，有许多人致力于这个方向的研究．关于积分方程可解性问题的研究，虽然一些著作和文献中有作相应介绍[13]-，但不够系统也欠完善．因此本文就此问题进行专门讨论，首先将积分方程作相应分类，其次对积分方程与微分方程之间的相互联系进行阐述，然后推广并证明了几类较为典型的积分方程解的存在唯一性．最后，作为Fredholm 定理的应用，讨论了一些积分方程的可解性及求解方法．1 积分方程相关知识1.1 积分方程的基本概念[1]一般说来，一个在积分号下出现待求函数的方程，称为积分方程．含一个未知函数的积分方程的一般形式为()()(,)[()]()(),baa x x k x s F s ds f x a xb ϕλϕ=+≤≤⎰式中(),f x (),a x (,)k x s 为已知函数，[()]F s ϕ是()s ϕ的已知泛函，,a b 为常数．()f x 称为自由项，(,)k x s 称为积分方程的核，λ是参数．由于积分方程往往与特征值问题有关，因此通常把积分方程记为上述含参数λ的形式．方程可能仅对λ的某些值有解，也可能根本没有解．当[()]F s ϕ是()s ϕ的线性泛函时，称为线性积分方程，它的一般形式为()()(,)()()baa x x k x s s ds f x ϕλϕ=+⎰．若[()]F s ϕ是()s ϕ的非线性泛函，则称为非线性积分方程．如果自变量的个数有2个或2个以上，称为多维积分方程．1.2 积分方程的分类[13]-积分方程可分为线性方程与非线性方程．对于线性积分方程又可以进一步加以分类，按方程的形式分类，可以分为第一类、第二类方程．若未知函数()x ϕ仅出现在积分号内，称为第一类方程；若未知函数()x ϕ既出现在积分号内，又出现在积分号外，则称为第二类方程；若积分限是常数，称为Fredholm 方程；若积分限当中有一个是变量，则称为Volterra 方程．例如方程(,)()()0ba k x s s ds f x λϕ+=⎰称为第一类Fredholm 方程；方程()(,)()()bax k x s s ds f x ϕλϕ=+⎰称为第二类Fredholm 方程；方程(,)()()0xak x s s ds f x λϕ+=⎰称为第一类Volterra 方程；方程()(,)()()xax k x s s ds f x ϕλϕ=+⎰称为第二类Volterra 方程．积分方程还可以按核的性质加以分类．若(,)k x s 是,a x s b ≤≤上的连续函数，或者(,)k x s 在区域,a x s b ≤≤虽不连续，但平方可积，即2(,)b b aak x s dx ds <+∞⎰⎰，则称(,)k x s 为非奇异核或Fredholm 核；若(,)(,)h x s k x s x sα=-，01α<<且(,)h x s 有界，则(,)k x s 称为弱奇异核；若(,)(,)a x s k x s x s=-，(,)a x s 关于x ,s 的偏导数存在，则(,)()b a k x s s ds ϕ=⎰(,)()b aa x s s ds x sϕ-⎰在通常意义下是发散的，但如果对()x ϕ加上一定的限制，可使 0lim[(,)()(,)()]x b ax k x s s ds k x s s ds εεεϕϕ-+→+⎰⎰存在，则称(,)k x s 为Cauchy 奇异核．以上三种核所对应的方程，分别称为非奇异核（连续核）积分方程、弱奇异核积分方程、奇异核积分方程．弱奇异核积分方程的理论与非奇异核积分方程的理论类似，但奇异核积分方程的理论与非奇异核方程的理论有本质的差别．使非奇异核积分方程的一般理论不成立的一类积分方程，统称为奇异核积分方程，除了上述含Cauchy 奇异核的方程外，它还包括积分限至少有一个为无限的积分方程，例方程0()()sin x s xsdsϕλϕ∞=⎰等等．上述各种分类并不能包罗所有可能的积分方程，提出上述这些类型的出发点是，在实际问题或理论问题中出现的积分方程绝大部分可以归入上述方程中的某一类．2 积分方程和微分方程的相互关系2.1 微分方程转化成积分方程[45]-由于求导和积分是一个互逆的过程，有些微分方程就可以通过解积分方程得到．利用微分方程与积分方程的等价性，相互转化后求解，可以避免直接计算带来的烦琐，下面先就一类一阶常微分方程和积分方程的等价性定理给出证明．定理2.1.1 若(,)f x y 在2R 上连续，则具初值问题的一阶常微分方程00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩可以化为积分方程0y y =+(,)x x f x y dx ⎰．证明结论是显然的．定理2.1.2 系数()(1,2,,)i a x i n = 连续的n 阶常微分方程111()()()n n n nn d y d ya x a x y F x d x d x--+++= 满足初始条件(1)011(0),(0),,(0)n n y C y C y C --'=== 的定解问题，可以化为解第二类Volterra 积分方程．证明以二阶微分方程为例来加以证明．对于二阶方程的初值问题212201()()()(0),(0)d y dya x a x y F x dx dxy C y C ⎧++=⎪⎨⎪'==⎩．设22()d yx d xϕ=，上式两端关于x 积分，并利用01(0),(0)y C y C '==，依次得到 10()x dys ds C dxϕ=+⎰，1010000[()]()x u x x s y s ds C du C ds s du C x C ϕϕ=++=++⎰⎰⎰⎰ 100()()xx s s ds C x C ϕ=-++⎰ ，利用上面两式，可将定解问题化为积分方程()(,)()()xx k x s s ds f x ϕϕ=+⎰，其中12(,)[()()()]k x s a x a x x s =-+-，111202()()()()()f x F x C a x C xa x C a x =---．求解上式积分方程，再把解代入100()()xy x s s ds C x C ϕ=-++⎰中就可以得到定解问题的唯一解．对于n 阶微分方程的初值问题，类似上述方法，并利用下列公式011()()()(1)!x x x x n x x x x dx dx f x dx x s f s ds n -=--⎰⎰⎰⎰ ，也化为等价的第二类Volterra 积分方程．例2.1.1 确定下列定解问题20(0)12,(0)(0)1y xy y y y '''-=⎧⎨'''===⎩所对应的积分方程．解设()x y ϕ'''=，根据定理2.1.2及初始条件，并对其作三次积分依次可得()1x y t dt ϕ''=+⎰，0()()1xy x s s ds x ϕ'=-++⎰，220111()()222x y x s s ds x x ϕ=-+++⎰．将以上三式代入原微分方程，得2320()()()2x x x x s s ds x x x ϕϕ=-+++⎰．显然，这是第二类Volterra 积分方程．定理 2.1.3 具边值问题的二阶常微分方程220(0)0,(1)0d yy d x y y λ⎧+=⎪⎨⎪==⎩可以化成为第二类Fredholm 方程．证明令22()d yx d x ϕ=，上式两边关于x 积分，得 10()x dy s ds C dx ϕ=+⎰，两边再关于x 积分，有 120()[()]x uy x s ds du C x C ϕ=++⎰⎰，然后变换积分顺序，得12120()()()()x x xsy x s ds du C x C x s s ds C x C ϕϕ=++=-++⎰⎰⎰．由边值条件知，20C =且110(1)()0s s ds C ϕ-+=⎰，因此110(1)()C s s ds ϕ=--⎰，于是，1()()()(1)()x y x x s s ds x s s ds ϕϕ=---⎰⎰，进一步推得1()[(1)()(1)()]x xy x s x s ds x s s ds ϕϕ=--+-⎰⎰，将上述()y x 代入原方程可得第二类Fredholm 方程1()(,)()x G x s s ds ϕλϕ=⎰，其中(1),0(,)(1),1s x s xG x s x s x s -≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，注意，(,)G x s 具有对称性(,)(,)G x s G s x =．例2.1.2 确定下列边值问题 3cos (0)0,()0y y xy y π''+=⎧⎨==⎩所对应的积分方程．解由定理2.1.3知12120()()()()xxxsy x s ds du C x C x s s ds C x C ϕϕ=++=-++⎰⎰⎰，由边值条件知，20C =且10()()0s s ds C ππϕπ-+=⎰，因此101()()C s s ds ππϕπ=--⎰，于是，01()()()()()xy x x s s ds x s s ds πϕπϕπ=---⎰⎰，进一步有 0()[(1)()(1)()]x xxsy x s s ds x s ds πϕϕππ=--+-⎰⎰，将上述()y x 代入原方程可得()3(,)()cos x k x s s ds x πϕϕ-=⎰，其中(1),0(,)(1),s x s xk x s x s x s πππ-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ ．上式就是边值问题所对应的第二类Fredholm 方程．2.2 积分方程转化为微分方程[6]在这一节中将讨论把含变限的积分方程的求解问题转化为微分方程进行求解，其理论依据由以下定理给出．定理2.2.1若(,)f x y 连续，()g x 可导，则()y x ϕ=是积分方程0()(,)x x y g x f t y dt =+⎰的连续解的充分必要条件是()y x ϕ=是一阶微分方程()(,)dyg x f x y dx'=+满足初始条件00()()y x g x =的解．例2.2.1 解积分方程2413x x yy dx x y=+-⎰．解积分方程可化为243(0)1dyx y dx x y y ⎧=⎪-⎨⎪=⎩，将上述方程变形为 2223()dy y x y dx y x =-．令2y z x =，则2dy z x dz dx y dx +=，代入得 2331z dz dx z z x -=-，两边同时积分得，211cxz z-= 即6420c y y x -+=．再将(0)1y =代入解得1c =，故原方程的解为6420y y x -+=．例2.2.2 解积分方程0()()xx x t dt e ϕϕ=+⎰．解设0()xy t dt ϕ=⎰，则(0)0y =，且()x x y e ϕ=+，于是()x y x y e ϕ'==+．这样，原积分方程化为常微分方程的定解问题(0)0xy y e y '⎧-=⎨=⎩．解之得x y xe =．再由式()x x y e ϕ=+，就得到原积分方程的解()(1)x x x x xe e x e ϕ=+=+．定理2.2.2 若()f x 连续，()g x 可导，则()f x 是含参变量的积分方程()()f x g x =()x x f x t dt +-⎰的解的充要条件为()f x 是微分方程0()()()f x g x f x x ''=+-满足初始条件00()()f x g x =的解．证明必要性：若()f x 是积分方程的解，即0()()()x x f x g x f x t dt =+-⎰．令u x t =-，则00000()()()(),xx x x x x f x t dt f u d u f u du ---=-=⇒⎰⎰⎰00()()()x x f x g x f u du -=+⎰．因()f x 连续，故00()x x f u du -⎰可导，又()g x 可导，故()f x 可导．对上式两边求导得0()()()f x g x f x x ''=+-，又由积分方程得00()()f x g x =，故()f x 是微分方程满足初始条件00()()f x g x =的解．充分性：若()f x 是微分方程0()()()f x g x f x x ''=+-满足初始条件00()()f x g x =的解，则0()()()f x g x f x x ''=+-，两边从0x 到x 取定积分得000()()()()()x x f x f x g x g x f t x dt -=-+-⎰，即00()()()xx f x g x f t x dt =+-⎰．令0t x x u -=-，则00()()()()()()()()x x x xx x f x g x f x u du g x f x u du g x f x t dt =+--=+-=+-⎰⎰⎰，故()f x 是方程的解．例2.2.3 设()f x 二阶导数连续，并满足0()(2)2x f x f t dt =-+⎰，求()f x ．解方程两边对x 求导得()(2)f x f x '=-，再求导得()(2)f x f x '''=--．由()(2)f x f x '=-得，(2)[2(2)]()f x f x f x '-=--=，再代入()(2)f x f x '''=--中得，()()0f x f x ''+=，所以12()cos sin f x c x c x =+．又(0)2,(0)(2)f f f '==，即得()2cos (2)sin f x x f x =+．例2.2.4 求满足方程0()()x xf t dt x tf x t dt =+-⎰⎰的可导函数()f x ．解令u x t =-，则00()()()()()x x xxt f x t dt x u f u du x f u du u f u du -=--=-⎰⎰⎰⎰．于是原方程可化为0()()()xxxf t dt x x f u du u f u du =+-⎰⎰⎰，两边求导可得()1()()()xf x f u du x f x x f x =++-⎰，即0()1()x f x f u du =+⇒⎰()x f x ce =，又(0)1f =，所以()x f x e =．3 几类线性积分方程解的存在唯一性3.1 第二类Fredholm 积分方程解的存在唯一性[710]-考察如下形式的第二类Fredholm 积分方程()()(,)()bax f x k x s s ds ϕλϕ=+⎰ （3-1-1）其中()x ϕ是未知函数，λ是参数，()f x 是[,]a b 上的平方可积函数，2()b af x dx <+∞⎰．并假设(,)k x s 关于两个变量,x s 平方可积，且0C ∃>，使得22(,)b ak x s ds C <⎰．定理 3.1.1[1] 记22(,)b b aaB k x s dxds =⎰⎰，则对于圆1Bλ<内一切λ值，方程（3-1-1）近似解序列1()()(,)()nb mn m am x f x k x s f s ds ϕλ==+∑⎰在[,]a b 上一致收敛，它的极限是积分方程的解，且解是唯一的．定理3.1.2[1] 若对于某值λ，存在着关于两个变量,x s 平方可积的函数(,;)x s λΓ，它满足积分方程(,;)(,)(,)(,;)(,;)(,)(,;)(,)b a ba x s k x s k x t t s dtx s k x s x t k t s dtλλλλλλ⎧Γ=+Γ⎪⎨⎪Γ=+Γ⎩⎰⎰，（3-1-2）则对此λ值，方程（3-1-1）有唯一解，且这个解由()x ϕ=()(,;)()baf x x s f s dsλλ+Γ⎰所确定．定义 3.1.1 近似解序列1()()(,)()nb mn m am x f x k x s f s ds ϕλ==+∑⎰中的函数(,)m k x s 称为核(,)k x s 的m 次迭核，满足(,)(,)(,)bm r m r ak x s k x t k t s dt -=⎰,这里r 是小于m 的任何自然数．定义3.1.2 满足方程（3-1-2）的函数(,;)x s λΓ，称为方程（3-1-1）的解核．现在我们稍微改变一下定理3.1.1的条件，便有如下定理．定理3.1.3 对于方程（3-1-1），若()f x 与(,)k x s 分别在a x b ≤≤与,a x s b ≤≤内连续，则对充分小的λ，方程（3-1-1）在[,]a b 上存在唯一的连续解．证明考察映射:T T ϕϕ→，()()()(,)()ba T x f x k x s s ds ϕλϕ+⎰ ．在[,]C ab 上，对任意的两个点(),()x x ϕψ，则[,]((),())max ()()s a b d x x s s ϕψϕψ∈=-，又(,)k x s 连续，故存在η，使得(,)k x s η≤，则[,]()()()()(,)()(,)()(,)()()()()()max ()()()((),()).bbaab baas a b T x T x k x s s ds k x s s dsk x s s s ds s s dsb a s s b a d x x ϕψλϕλψλϕψληϕψληϕψληϕψ∈-=-≤-≤-≤--=-⋅⎰⎰⎰⎰令()b a αλη=-，则当λ对充分小时，可使01α<<，且[,](,)max ()()()()((),())x a b d T T T x T x d x x ϕψϕψαϕψ∈=-≤，故T 为[,]C a b 上的压缩映射，又[,]C a b 是完备度量空间，故由压缩映射定理知，存在唯一的()x ϕ使得()()()T x x ϕϕ=，即方程（3-1-1）存在唯一解()x ϕ．例3.1.1 求积分方程10()()()x x s s ds f x ϕλϕ-=⎰的解核，并求出方程的解．解由于1(,)k x s x s =，因此1122001(,)()(),3k x s xt ts dt xs t dt xs ===⎰⎰13210111(,)()(),,.333n n k x s xt ts dt xs k xs -===⎰于是1λ<时，有[1]1111113(,;)(,)3133n n n n n n xsx s k x s xs xsλλλλλ-∞∞--==Γ====--∑∑．由()()(,;)()bax f x x s f s ds ϕλλ=+Γ⎰知，原积分方程的解为103()()()3x sx f x f s ds ϕλλ=+-⎰．注：当()f x x =时，1033()33x s xx x s ds ϕλλλ=+=--⎰．3.2 Volterra 积分方程解的存在唯一性[911]-现在讨论Fredholm 积分方程的一种特殊形式，即方程的核(,)k x s 当s x >时恒等于零，这时称它为Volterra 积分方程，因此第二类Volterra 积分方程有以下形式：()()(,)()xax f x k x s s ds ϕλϕ=+⎰．（3-2-1）定理 3.2.1[1] 若方程（3-2-1）中的()f x 是平方可积的，则对于一切值λ，方程的近似解序列1()()(,)()nxm n m am x f x k x s f s ds ϕλ==+∑⎰在[,]a b 上一致收敛，它的极限函数就是方程（3-2-1）的解，并且解是唯一的．注意：由于Volterra 积分方程是Fredholm 积分方程的一种特殊形式，因此Fredholm 积分方程的理论适用于Volterra 积分方程．从定理3.2.1可看出第二类非齐次Volterra 积分方程对任意连续的()f x 都有解，且对一切值λ都成立．例3.2.1 求解积分方程0()()()xx s x e s ds f x ϕλϕ--=⎰．解由于1(,)x s k x s e -=，因此有223(,)(),()(,)(),2!xx t t s x s sx x t t sx s sk x s e e dt x s e x s k x s e t s e dt e ------==--=-=⎰⎰一般地有1()(,)(1)!n x sn x s k x s e n ---=-，所以当x s ≥时，有[1]111(1)()11()(,;)(,)(1)!n n n x sx s n n n x s x s k x s ee n λλλλ--∞∞--+-==-Γ===-∑∑；当x s <时，(,;)0x s λΓ≡．由此得到方程的解为(1)()0()()()xx s x f x e f s ds λϕλ+-=+⎰．注意：第一类Fredholm 积分方程一般不能化为第二类Fredholm 积分方程；而对于第一类Volterra 积分方程，在一定条件下，则可以通过求微商的方法把它化为与其等价的第二类Volterra 积分方程．第一类Volterra 积分方程形式如下：(,)()()x ak x s s ds f x ϕ=⎰（3-2-2）定理 3.2.2[1] 若(,)k x s ,()f x 可微，且(,)0k x x ≠与(,)k x s x ∂∂分别在[,]a b 及a s xb ≤≤≤连续，()0f a =，则（3-2-2）与第二类Volterra 积分方程(,)()(,)x xak x s x k x x ϕ'+⎰()()(,)f x s ds k x x ϕ'=是等价的．注意：文献[1]中该定理的证明过程，事实上提供了一种将第一类Volterra 积分方程化为第二类Volterra 积分方程的方法，但也可用如下另一种方法求解．对（3-2-2）左端进行分部积分，设()()xa x s ds ψϕ=⎰,就有(,)(,)()()()x ak x s k x x x s ds f x sψψ∂-=∂⎰．若(,)0k x x ≠，则(,)()()[]()(,)(,)xak x s s f x x s ds k x x k x x ψψ∂∂-=⎰，于是当()(,)f x k x x 连续且核连续时，方程存在唯一解()x ψ，从而()()x x ϕψ'=就是所要求的解．例3.2.2 解方程2220(2)()xx s s ds x ϕ+-=⎰．解对方程左端进行分部积分，记 0()()xx s ds ψϕ=⎰ ，显然有(0)0ψ=，于是2220(2)()()(2)xxx s s s s ds x ψψ+---=⎰，即20()()2xx x s s ds ψψ+=⎰，注意上式是第二类Volterra 方程，它等价于()()(0)0s x x xψψψ'+=⎧⎨=⎩，解之得，22()1x x e ψ-=-．因此方程的解为22()x x xe ϕ-=．3.3 积分限含参变量的积分方程解的存在唯一性[1012]-现在我们考虑方程 ()0()()(,())(())()b x x f x k x b s b s b s ds ϕλϕ'=+⎰(3-3-1)解的存在唯一性．我们有如下定理：定理3.3.1 设2(,())[0,1]k x b s L ∈，且当()x b s <时，(,())0k x b s =；当()x b s ≥时，(,())0k x b s ≠．又设()b x 在[0,1]上有连续的一阶导数()0b x '>和0()1b x ≤≤，则对充分小的λ，方程(3-3-1)存在唯一解()0()()(,(());)(())()b x x f x x b b s f b s b s ds ϕλλ'=+Γ⎰．(3-3-2) 为了证明定理3.3.1，我们先引进下面两个引理．引理3.3.1 记112(,())N k x b s dx ds =⎰⎰，若1N λ-<，则(,(());)x b b s λΓ=11(,(()))m m m k x b b s λ∞-=∑平方可积．证明首先用逐次逼近法求(3-3-1)的近似解．令0()()x f x ϕ=，()10()()(,())(())(),,b x x f x k x b s f b s b s ds ϕλ'=+⎰()10()()(,())(())().1,2,b x n n x f x k x b s b s b s ds n ϕλϕ-'=+=⎰又因为()20()(())2()()(,())(())()(,())[((),(()))(())()](())(),b x b x b b s x f x k x b s f b s b s ds k x b s k b s b b s b b s b s ds f b s b s ds ϕλλ'=++'''⎰⎰⎰令1(,(()))(,())k x b b s k x b s =，于是记21(())(,(()))(,())((),(()))(())()x b b s k x b b s k x b s k b s b b s b b s b s ds ''=⎰，则()()2220()()(,())(())()(,(()))(())(),,b x b x x f x k x b s f b s b s ds k x b b s f b s b s ds ϕλλ''=++⎰⎰依此类推，有 1(())(,(()))(,())((),(()))(())().x n n b b s k x b b s k x b s k b s b b s b b s b s ds -''=⎰其中3n ≥．于是，()01()()(,(()))(())()b x m n m m x f x k x b b s f b s b s ds ϕλ∞='=+∑⎰．若()()()n x x n ϕϕ→→∞存在，则此()x ϕ即为(3-3-1)的解．因1(,(()))(,())k x b b s k x b s =，故有11210(,(())k x b b s dxds N ≤⎰⎰．由0()1b x ≤≤，故0(())1b b x ≤≤，又()0b x '>，由2(,(()))k x b b s 的定义有2221(())(,(()))(,())((),(()))(())()x b b s k x b b s k x b s k b s b b s b b s b s ds''=⎰对此积分应用Cauchy Schwarz -不等式，可得到22(,(()))k x b b s221(())(())(,())()((),(()))(())()x x b b s b b s k x b s b s ds k b s b b s b b s b s ds '''≤⎰⎰2112(,())((),(()))k x b s ds k b s b b s ds ≤⎰⎰．于是，11220(,(()))k x b b s dxds ⎰⎰111122(,())((),(()))k x b s dxds k b t b b s dtds ≤⎰⎰⎰⎰2N ≤，则由数学归纳法可证，112(,(())),3n n k x b b s dxds N n ≤≥⎰⎰．所以当1N λ<即1Nλ<时，有 21111211(,(());)(,(()))m m m x b b s dx ds k x b b s dxds λλ∞-=Γ=∑⎰⎰⎰⎰2111m mm N NNλλλ∞-=≤=-∑．于是，(,(());)x b b s λΓ平方可积．引理 3.3.2 解核(,(());)x b b s λΓ作为第一个变量x 或第二个变量s 的函数分别满足下面的积分方程：()0()0(,(());)(,())(,())((),(());)(())().(,(());)(,())(,();)((),(()))(())()b x b x x b b s k x b s k x b s b s b b s b b s b s dsx b b s k x b s x b s k b s b b s b b s b s dsλλλλλλ⎧''Γ=+Γ⎪⎨⎪''Γ=+Γ⎩⎰⎰证明由引理3.3.1知(,(());)x b b s λΓ对变量x 和s 平方可积，于是有()0(,())((),(());)(())()b x k x b s b s b b s b b s b s ds λλ''Γ⎰()01(,())((),(()))(())()b x m m m k x b s k b s b b s b b s b s ds λ∞=''=∑⎰11(,(()))mm m k x b b s λ∞+==∑ (,(());)(,())x b b s k x b s λ=Γ-即有()0(,(());)(,())(,())((),(());)(())()b x x b b s k x b s k x b s b s b b s b b s b s ds λλλ''Γ=+Γ⎰类似地可以证明(,(());)x b b s λΓ满足第二个方程．下面我们证明定理3.3.1．. 证明在2[0,1]L 中定义算子：()0()()()(,())(())()b x T x f x k x b s b s b s ds ϕλϕ'+⎰ ．于是，对任意的212,[0,1]L ϕϕ∈，有121()2122120((,())[(())(())]())b x T T k x b s b s b s b s dsdx ϕϕλϕϕ'-=-⎰⎰，利用Cauchy Schwarz -不等式，于是122T T ϕϕ-11()()2222120121()221202122((,())[(())(())]())([(())(())]()).b x b x b x k x b s ds b s b s b s dsdx N b s b s b s dsdx N λϕϕλϕϕλϕϕ'≤-'≤-≤-⎰⎰⎰⎰⎰由此知，当21N λ<时，T 是从2[0,1]L 到自身的压缩算子．根据Banach 压缩映射原理可知，T 对于每一2[0,1]f L ∈存在唯一不动点．现证（3-3-2）是（3-3-1）的解．由引理3.3.1知(,();)x b s λΓ是平方可积的，故（3-3-2）式右端的积分是有意义的．下证方程（3-3-1）的一切解必可表示成（3-3-2）的形式，设()x ϕ是方程（3-3-1）的解，则有()0()()(,())(())()b x x f x k x b s b s b s ds ϕλϕ'=+⎰．将上式两端乘以(,(());)x b b s λλΓ，且对两边取积分得，()0(,(());)(())()b x x b b s b s b s ds λλϕ'Γ⎰()0(,(());)(())()b x x b b s f b s b s ds λλ'=Γ+⎰()()0[(,();)((),(()))(())()](())()b x b x x b s k b s b b s b b s b s ds b s b s ds λλλϕ'''Γ⎰⎰．又由引理3.3.2知，()0(,(());)(,())(,();)((),(()))(())()b x x b b s k x b s x b s k b s b b s b b s b s ds λλλ''Γ-=Γ⎰，于是，()()00(,(());)(())()(,(());)(())()b x b x x b b s b s b s ds x b b s f b s b s ds λλϕλλ''Γ=Γ+⎰⎰()(,(());)(())()b x x b b s b s b s ds λλϕ'Γ-⎰()(,())(())()b x k x b s b s b s ds λϕ'⎰．注意到()0(,())(())()()()b x k x b s b s b s ds x f x λϕϕ'=-⎰，即得()0()()(,(());)(())()b x x f x x b b s f b s b s ds ϕλλ'=+Γ⎰．这就证明了方程的一切解都可由（3-3-2）式给出．再应用引理3.3.2来证明表达式（3-3-2）式给出方程（3-3-1）的解．将（3-3-2）式代入方程（3-3-1），且将一切项都移至左端，得()()0()(,(());)(())()[()(,())(())()]b x b x f x x b b s f b s b s ds f x k x b s b s b s ds λλλϕ''+Γ-+⎰⎰()()00(,(());)(())()(,())(())()b x b x x b b s f b s b s ds k x b s b s b s ds λλλϕ''=Γ-⎰⎰()0(,(());)(())()b x x b b s f b s b s ds λλ'=Γ-⎰()()0(,())[(())((),(());)(())(())()]()b x b x k x b s f b s b s b b s f b s b b s b s ds b s ds λλλ'''+Γ⎰⎰()0[(,(());)(,())](())()b x x b b s k x b s f b s b s ds λλ'=Γ--⎰()()00[(,())((),(());)(())()](())()b x b x k x b s b s b b s b b s b s ds f b s b s ds λλλ'''Γ⎰⎰()0[(,(());)(,())b x x b b s k x b s λλ=Γ--⎰()0(,())((),(());)(())()](())()b x k x b s b s b b s b b s b s ds f b s b s ds λλ'''Γ⎰0=．这就证明了表达式（3-3-2）确实给出了方程（3-3-1）的解．从定理3.3.1可以看出，当()b x x =时，（3-3-1）为Volterra 方程，当()1b x =时，（3-3-1）为Fredholm 方程．例3.3.1 求积分方程()20()()()(())()b x x f x x b s b s b s ds ϕλϕ'=+⎰，其中(),b x x α=01,01x α≤≤≤≤．解由(,(()))n k x b b s 的定义知21(,(()))(,()),k x b b s k x b s x s α==2221(())2222272372424(,(()))(,())((),(()))(())()1[()],4x b b s xxs s k x b b s k x b s k b s b b s b b s b s dsx t t s dt x st dt x x s αααααααααα''==⋅⋅⋅⋅==-⎰⎰⎰172424231(,(()))[()],16k x b b s x s x s αα=-依此类推有242411(,(()))[()]n n n nk x b b s x s x s a θαα-=-，1n ≥．其中221,1n n n θ=-≥．且14,1n n a n -=≥．于是21211(,;)()n nn n a a a n n nx s x x s a θαλλαα∞-=Γ=-∑，则方程的解为 2121242411011()()[()]()4x n n n n n x f x x s x s f s ds αϕλαααα∞----==+-∑⎰．注：当()1,1,1f x αλ===时，24411011()1()4x n n n x x s x s ds ϕ∞--==+-∑⎰．3.4 二维第二类Fredhlom 积分方程解的存在唯一性[1214]-考虑如下形式的二维Fredhlom 方程(,)(,)(,,,)(,)b d acx y f x y k x y s t s t dsdt ϕλϕ=+⎰⎰(3-4-1)其中,a x b c y d ≤≤≤≤, λ为已知的参数，(,)f x y ,(,,,)k x y s t 为已知函数，(,)x y ϕ 为未知函数．定理3.4.1假定00(,),(,,,)()f x y k x y s t C D ∈，其中[,][,]D a b c d =⨯，0[,],s a b ∈0[,]t c d ∈，则对充分小的λ，方程(3-4-1)存在唯一解(,)()x y C D ϕ∈．证明利用上述定理提到的逐次逼近法易知方程(3-4-1)有解，且解由1(,)(,)(,,,)(,)b d mm acm x y f x y k x y s t f s t dsdt ϕλ∞==+∑⎰⎰给出．现证其解的存在唯一性亦成立．设Ω是[,][,]a b c d R R ⨯→⨯连续函数所组成的空间，在Ω中定义算子T :()(,)(,)(,,,)(,)b d acT x y f x y k x y s t f s t dsdt ϕ+⎰⎰，因为(,)((,),(,))max (,)(,)s t Dd x y x y s t s t ϕψϕψ∈=-，又(,,,)k x y s t 连续，故存在η，使得(,,,)k x y s t η≤，所以(,)()(,)()(,)(,,,)(,)(,,,)(,)(,,,)(,)(,)(,)(,)()max (,)(,)()((,),(,)),b d b d acacb b aas t DT x y T x y k x y s t s t dsdt k x y s t s t dsdtk x y s t s t s t ds s t s t dsb a s t s t b a d x y x y ϕψλϕλψλϕψληϕψληϕψληϕψ∈-=-≤-≤-≤--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰令()b a αλη=-，则当λ充分小时，可使01α<<，且(,)(,)max ()(,)()(,)((,),(,))x y Dd T T T x y T x y d x y x y ϕψϕψαϕψ∈=-≤，故T 为Ω上的压缩映射，又Ω是一个完备度量空间，从而由压缩映射定理知存在唯一的(,)x y ϕ使得()(,)(,T x y x y ϕϕ=，亦即二维F r e d h l o m 积分方程存在唯一解(,)()x y C D ϕ∈．例3.4.1 求解积分方程110(,)(,)x y x t s t dsdt ϕϕ=+⎰⎰．解从题目知(,)f x y x =，1λ=，(,,,)k x y s t t =．取零次近似解0(,)x y x ϕ=，于是， 11101(,)4x y x s t dsdt x ϕ=+=+⎰⎰， 112001111(,)()4442x y x s t dsdt x ϕ=++=++⨯⎰⎰，1112101111111(,)(,)4424242n n n x y x t s t dsdt x ϕϕ--=+=++⨯+⨯++⨯⎰⎰，由此不难知道，方程的解是1111111(,)4241122n n x y x x x ϕ∞-==+=+⋅=+-∑．4 Fredholm 定理在积分方程中的应用第二类Fredholm 积分方程（3-1-1）只有在少数情况下可以直接求出它的精确解，通常要采取上面涉及到的近似方法求出它的数值解，因此在近似求解时总是假定相应的方程是可解的．下面我们利用Fredholm 的四个定理对各种情况下的积分方程的可解性进行讨论．（3-1-1）的齐次方程为()(,)()0ba x k x s s ds ϕλϕ-=⎰ （4-1）对参数λ的任意值，它显然有平凡解()0x ϕ≡，但当λ取某些值时，它可能有（不恒等于零的）非平凡解．定义4.1使齐次积分方程（4-1）有非平凡解即解核不存在的λ的值，称为方程或核(,)k x s 的特征值，对应的非平凡解称为方程或核(,)k x s 的特征函数．定义4.2 对于某个值λ，若Fredholm 方程的解核存在，这样的λ称为正则值．定义 4.3 形如()()(,)()ba x g x k s x s ds ψλψ=+⎰的积分方程，称为方程（3-1-1）的共轭方程．(,)k s x 称为核(,)k x s 的共轭核，即把原来的核中的自变量互换，再取复共轭所得到的核．定理 4.1[1] 在λ平面的任意有限区域内，第二类Fredholm 方程只存在有限个特征值．定理4.2[1] 每一个特征值至少与一个特征函数对应，与一个已知特征值相对应的且是线性无关的特征函数的个数是有限的．定理 4.3[1] 若0λ是核(,)k x s 的特征值，则0λ是它的共轭核(,)k s x 的特征值，且方程0()(,)()0ba x k x s s ds ϕλϕ-=⎰的线性无关的特征函数的个数与它的共轭方程()x ψ-0(,)()0bak s x s ds λψ=⎰的特征函数的个数是相同的．定理4.4[1] 若0λ是核(,)k x s 的特征值，则方程0()(,)()()bax k x s s ds f x ϕλϕ-=⎰有解的充要条件为：()f x 与其共轭齐次方程()x ψ-0(,)()0bak s x s ds λψ=⎰的一切特征函数成正交．例4.1 当λ，α，β取怎样的值时，方程2()()sin x x s s ds x x πϕλϕαβ-=+⎰可解？解考虑对应共轭齐次方程20()()x x s s ds c x πψλψλ==⎰，其中20()c s s ds πψ=⎰，于是，32024c s cs ds ππλλ=⇒=⎰. 因此原方程的特征值324πλ=，特征函数为324x π；根据定理 4.3可知，所求积分方程对应的齐次方程的特征值λ亦为324π，特征函数亦为324x π.(1)当324πλ≠时，原方程存在唯一解．(2)当324πλ=，根据定理4.4知，要使原积分方程有解，则自由项()sin f x x xαβ=+须和其共轭齐次积分方程的特征函数324x π正交，即满足32(sin )024x x x dx ππαβ+=⎰,解之得，3024παβ+=，即324παβ=-时方程可解，因此其解为3()24x x πϕβ=-+sin x β+324c x π,其中c 为任意参数．例 4.2 讨论方程120()(24)()12x x s x s ds x ϕλϕ--=-⎰的可解性，若有解，则写出解的形式．解因为120()(24)()12x x s x s ds x ϕλϕ=-+-⎰11202()4()12x s s ds x s ds x λϕλϕ=-+-⎰⎰，记110()c s s ds ϕ=⎰,120()c s ds ϕ=⎰，则212()2412x c x c x x ϕλλ=-+-，将()x ϕ代入(1,2)i c i =中，可得121120(2412)c s c s c s s ds λλ=-+-⎰122136c c λλ=--，整理得1221(1)036c c λλ-++=；且122120(2412)c c s c s s ds λλ=-+-⎰124132c c λλ=-+，整理得1241(1)032c c λλ-++=．联立上面两个方程，解得1213118611193c λλλ--=++,22112211193c λλλ-+=++，于是 (1)当1λ=时，20c =,112c =-. 则原方程有唯一解()13x x ϕ=-；(2)当313λ=-时，10c =，21318c =. 则原方程有唯一解22()213x x x ϕ=--+；(3)当1λ≠或313λ≠-时，12,0c c ≠. 则原方程有无穷多解．致谢语在论文完成之际，首先我要感谢高峰老师的亲切指导，从论文选题、撰写、反复修改到定稿过程中，高老师给我提出了很多宝贵的意见和富于启发的思路，严格要求的同时也倾注了许多的关怀，始终给予了悉心指导．高峰老师严谨的治学态度和高度负责的敬业精神，对我现在及未来的学习和工作，起到了很大的榜样作用．其次我还要感谢大学四年中所有老师、同学对我的关心、鼓励、支持和热情帮助．另外，甘宁老师在审阅本文的过程中也提出了一些宝贵的修改意见，在此一并表示诚挚的谢意！[参考文献][1] 陈传璋等．积分方程论及其应用[M]．上海：上海科学科技出版社，1987.[2] 张石生．积分方程[M]．重庆：重庆出版社，1988．[3] 沈以淡．积分方程. 第2版[M]．北京：北京理工大学出版社，2002.[4] 尤秉礼．常微分方程补充教程[M]．北京：人民教育出版社，1981.[5] 赵桢．奇异积分方程[M]．北京：北京师范大学出版社，1992.[6] 王东霞等．关于简单积分方程的求解问题[J]．高等数学研究, 2005，8(4)：33-35[7] 江泽坚等．泛函分析[M]．北京：高等教育出版社，1994.[8] 胡适耕. 泛函分析[M]．北京：高等教育出版社，2001.[9] Delves, L.M. Computational methods for integral equations[M]. London：CambridgeUniversity Press,1985.[10] 郭迎娜等．一个积分方程解的存在唯一性证明[J]．安阳工学院学报，2006,1(2): 71-74[11] 王雪梅. Volterra积分方程解的存在唯一性[J]．扬州师院学报(自科版)，1990,12(4): 14-17[12] Burton T A. Volterra integral and differential equation[J]．Academic Press,1983，24(1):73-75[13] 刘清荣等．一类线性积分方程解的存在唯一性[J]．纯粹数学与应用数学，1994,10(2): 110-113[14] 殷承元．一类积分方程解的唯一性及其性质[J]．安徽大学学报(自科版)，2006,4(7): 9-11。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

应用价值，在文献［］１中作者利用数学归纳法在Ｃｏｂ空间中证明了Ｖｌｒ型积分方程解的存在性，文献［］［，］ｏｅａｔｒ在２中作者利用逐次逼近法给出了在Ｌ［，］２ｏｂ空间Ｖｌｒｏｅｒｔａ型积分方程解的形式，受其启发，我们利用数学归纳法在［，］口ｂ空间ｅｉ）了ｅ￣ｎｌＶｌｒ型积分方程解的存在性，ｏｅａｔｒ并推广到［，］间．Ｊａｂ，Ｂｎｃ空间，ｎｂ空令＝［，］Ｅ是ａａｈ（Ｅ表示Ｅ到Ｅ的线性有界算子）
的全体．我们考察下列积分方程的解的存在性：
（），）Ａ／Ｘ，（）．＝（＋ｆＣ，ｙｄ（，）ｙ
为方便起见，先给出如下定义和引理：
（）１
定义１设（ｐ，）是度量空间，Ａ是到它自身的一个映射．果存在数Ｏ，０≤ Ｏ１如ｔ（ｌ＜）使得对一切ｘｙＥＸ成立着，ｐＡ，ｙ（ｘＡ）≤ 叩（Ｙ，，）那末就称Ａ是上的一个压缩映像．
关键词
Ｖｌｒ型积分方程；数学归纳法；压缩映像；不动点；Ｂｎｃ空间ｏｅａｔｒａａｈＯ１２７５．文献标识码Ａｄｉ１．９９ｊｉｎ１０ — ７８２１．３０６０：０３６／．ｓ．０１４４．０００．０ｓ
中图分类号
１引言及预备知识
抽象函数积分是非线性泛函分析的重要内容，它的来源有其深刻的物理背景，深入研究抽象积分有着重要的理论价值和
２１００年９月第２５卷第３期
山东师范大学学报（然科学版）自ＪｕａｏｈｎｏｇＮｒａＵｉｒｉ（ａｒｌｃｎｅｏｒｌｆａｄｎｏｍｌｎｖｓｙＮｔａＳｉｃ）ｎＳｅｔｕｅ
Ｓｐ２１ｅ．００Ｖ０．５Ｎｏ３１２．
≤Ａ（Ｉ（，Ｉ）（Ｉ。）９，Ｉｙ－ＩＩ，士厂（一“（Ｉ）Ｉ，ｄ）ｙ２）ｄ￣，
≤Ａ川Ｉ一Ｉ（（［，『（］Ｅｓ２．［ｓ）山。ＩｌＩＩ广｝）ｄ＝ｓｚ『ｋ：出．后一］ ÷ 。：）．］，。山＝（：ｆ（，一｜ｊ，［））．）ｊ｝（， ≤ＡＩ一Ｉ（（［１ｚｆ：：… 一。ｆ［）山÷ ＩＩＩＩ厂（］。［ｓ出ｆ［ｓ）］，妒：））（］：２ｓ山）（。］（）
下面我们用数学归纳法证明：当 ∈ ［，］时，任意ｎ ∈Ｎ，ａｂ对
ｌＰ）Ｂ２） ≤Ａｌ一２）［５］［）ｄｆ［ｓ）一．（ｌ一％（ｌｌＩｌｌ（（，ｄｆＪ］２Ｊ一］１２Ｂ（ｐ％妒厂（（ … 。（１）１２）ｓｉｓ｝｝ ÷ ）
［空间Ｖｈｒ，ｏｅｒ积分方程解的存在性ａ型
棼多
（青岛科技大学数理学院，６４，２０２山东青岛）６
摘要抽象函数的积分问题是非线性泛函的重要内容，深入研究抽象函数的积分有着重要的理论价值和应用价值．笔者利
用数学归纳法在［，］ｏｂ空问中给出了Ｖｈｒ型积分方程解的存在性．ｏｅａｒ
当Ｉ＝１已经证明成立．ｔ时设对于ｎ（），２式成立，现证明对于ｎ＋１（）式也成立．，２
事实Ｅ，
收稿东师范大学学报（然科学版）自
第３期
Ｉ＋（一２）＝，（Ｉ）丑２））ｌ曰ＩＩ（ｙ口（一（）ＩＢ） ”（ＩＡ），ｎｌｒ，）ｄＩ，，
ｌ妒（）曰２）Ｉ＝Ａｌ（，（１）ｔ（）ｃｌＩ。一（ｌＩｌＫＹ（一ｐＹ）曰Ｉｊ）Ｙ２Ｉ
≤ Ａ（ｌ（，ｌ）（ｌ。）（ｌｄ￣ｋ）一２：ｌｆＹｌ寺ｆ（一２）ｌｙ－（ｌｌ．ｌ）（ＹＹ） ≤ａｘｌ
ＥＬ［，．２．Ｅ］，
证考察［，］到［，］的映射：。ｂ。ｂｔＢｐ— ，
曰（）＝（）＋ＫＹ（）ｙ妒，ＡＪ（，）Ｙｄ．
令Ｊ）＝（ｌ（，Ｉｙ丁当｝（ｆｙ）． ∈［，时，）ｄ１ｎｂ对于Ｌ［，］任意两个函，）（）］２ｏｂ中的数（和ｚ，
弓理１ｌ
设（）＝（ｌ２，ｌ，１贝Ｉ（ｙｌ，，０Ｋ））ｄ
Ｉｄ）ｓ］。
弓理２Ｉ
ｄＳｓｓ３３ｄ …
１。Ｓｓ吉）ｎ（］ｄ＝
．
设度量空间（ｐ，）是完备的，＝Ｂ是到的映射．ｘ如果存在一个自然数Ｉ使得是上的压缩映像，ｔ那
么映射Ｂ在中必有唯一的不动点．
２主要结果
定理１设，）Ｅ［］ＫＥＬ［（（ＪＥ，２Ｄ，Ｅ— Ｅ），＝｛￡ｓｒ］Ｄ（，）∈Ｊ×，ｓ｝则对任意ＡＥＲ，程（）． ≤ｔ，：方１有唯一解（）