晶格动力学讲稿
第三章晶格的热振动1019
，由于
很小，
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
色散关系: 频率与波矢为线性关系
§1 一维晶格的振动
相邻两个原子振动相位差为0；
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
波长远大于原子间距，一个 波长中包含很多原子，晶格 可看做是连续介质。
相速度与群速度相等，为与波矢无关的常数。
§1 一维晶格的振动
（2）格波波矢的取值和布里渊区 相邻原子的位相差： 时，所有原子的振动 没有任何改变 格波1（红色标示）的波矢：
第 三 章
相邻原子的位相差：
格波2（绿色标示）的波矢：
相邻原子的位相差： 波矢的取值：
晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 两种波矢下，格波描述的原 热 子振动是完全相同。 学 的取值区间第一布里渊区 性 质
§2 一维晶格的振动
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
声子具有能量、动量，可以看做是准粒子 格波在晶体中的散射可以理解为声子和原子之间的碰撞 电子波在晶体中的散射可以看做是电子和声子之间的相互作用 光在晶体中的散射可以看做是光子和声子之间的相互作用
§1 一维晶格的振动
第 三 章 晶 格 动 力 学 和 晶 体 的 热 学 性 质
§2 一维晶格的振动
1.运动方程及其解
若只考虑最近邻原子的相互作用，容易列出第2n个原子和2n+1 第 三 个原子的运动方程
章 晶 格 动 当原子链包含N个原胞（即有 N个质量为M的原子和N个质量为m 力 ， 的原子共2N个原子）时，应有2N个方程组成的联立方程组。 学 和 晶 方程解的形式为： 体 的 热 学 性 质
=
第六章 晶格动力学
第六章 晶格动力学 6.1 密度泛函微扰理论固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。
事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。
晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。
这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。
直到1970年才系统地研究了这些联系。
一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。
现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。
在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。
密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。
感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。
由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。
1 基于电子结构理论的晶格动力学从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。
在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值ε和本征函数()ΦR 决定。
()()()2222I I I E M εΦΦ⎛⎫∂-+= ⎪∂⎝⎭∑R R R R (6.1.1) 这里I R 是第I 个原子核的坐标，I M 是相应原子核的质量，{}I ≡R R 是所有原子核坐标的集合，()E R 是系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer 能量表面。
固体物理第三章1
表明试解代表一种简正模型（即一个ω和一个q值）的格波。
格波： Aei(tnaq) 连续介质弹性波： Aei(txq)
从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性 波中的X是可连续取值的；而在格波中只能取na（原子位置），这 是一系列周期排列的点。
一个格波解表示所有原子同时作频率为 的振动，不同原子有 2 不同的振动位相，相邻两原子的振动位相差为aq。若aq改变 的
2qNa2l,
q l
Na
q ; N l N
2a
2a 2
2
同一维单原子晶格一样，在第一布里渊区q可有N个不同的取值。
注意：这里每个q对应两个不同ω＋O，ω＿A。
所以晶体中共有2N个独立的振动模式。
一维双原子晶格中，每个原胞有两个原子，每个原子有一个自由度。 因此，晶体的自由度数为2N。
得出结论： 晶格振动的波矢q的数目＝晶体的原胞数。 晶格独立振动模式（振动频率）数目＝晶体自由度数
考察第n个原子受到的力：
只考虑最近邻原子间的作 用力，则第n个原子受到 的力为：
un2
un1
un
un1
un2
一维原子键振动
β n 1 u ( n ) u β n u n ( 1 ) u β n 1 u ( n 1 u 2 n )u
第n个原子的牛顿运动方程为：
m d d 2 u 2 n tβn ( 1 u n 1 2n ) u ( n 1 ,N 2 ,) (1 )
co qs )a (0
这表明，对于光学波，相邻两种不同原子的振动方向是相反的
当q→ 0时，cos(qa) ≈ 1，又 2Omax2mmM M
可得 A B O M m
晶格的动力学
晶格的动力学晶格是固体中最基本的结构单元之一，其动态行为对固体性质的影响十分重要。
晶格动力学研究的是晶格振动的性质、规律及其对物质性质的影响。
本文将简要讨论晶格的动力学行为以及相关概念、理论基础和应用。
一、晶格动力学的概念和基本理论晶体结构中原子结合强度很大，但在温度为0时仍会发生微小的振动。
这是由晶格中原子和分子具有动能而引起的。
晶格动力学研究的对象就是晶格的振动行为。
晶格的振动具有波动性和粒子性两种特征，而波动性则可以用晶格波来表征。
晶格波实际上是晶格中所有原子的振动的总和，这种振动由于遵守波动方程，故具有波长和频率的概念。
晶格振动的形式可以简单分为两种：一种是晶格高度完整，只在原位作固有振动，称为“规则振动”；另一种是晶格形态发生了变化，即出现了缺陷，这时晶格中的部分原子或分子被分离出去而形成“不规则振动”。
晶格动力学的理论基础主要是固体物理学、热力学和量子力学。
热力学研究固体中的温度、压力等环境因素对固体性质的影响，而量子力学则解释了固体中原子的运动规律和能量带结构的形成规律，这些都为晶格动力学的研究提供了基础和方法。
二、晶格振动的种类和特性晶格振动的种类主要分为长波和短波两种。
长波振动是指波长远大于原子间距的振动，由于这种振动的波长非常长，因此可以用连续介质模型来考虑。
短波振动则是波长小于原子间距或近似于原子间距的振动，其振动需要考虑原子之间的相互作用，这种振动在热力学和量子力学中都有重要应用。
晶格振动的特性主要体现在振动的频率、振幅、相位等方面。
其中，振动频率是晶格振动最基本的特征之一，其值与晶格的某一方向上的弹性常数和离子势场有关。
振幅则表示振动所具有的振幅大小，其值受到外力、物理环境和固体弹性常数的影响。
相位则表示振动的起始和结束位置之间的位移差，主要与波动的相位相近的原子间有关。
三、晶格振动的应用及发展趋势在物理学、工程学和材料科学等领域中，晶格振动具有广泛的应用价值。
例如在声学传感器、计算机等电子设备以及超导、光学、光声和光电等领域中，晶格振动理论的研究可以促进设备的制造和性能的提升。
第三章 晶格动力学和晶体的热学性1
第三章 晶格动力学和晶体的热学性质1.在同类原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如下图所示相间变化，且1β＞2β。
试证明：在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为解： 分析：此题实际是一个一维双原子链色散问题，设相邻分子间两原子的力常数为2β，间距为b ；一个分子内两原子力常数为1β，且1β＞2β；晶格常数为a ；质量为M 的原子位于n-1，n+1，n+3 ……，质量为m 的原子位于n ，n+2，n+4 ……，m=M ；第211,,,2,1,,1++-++-n n n n u u u u n n n n 个原子的位移分别为；第n-1与第n+1个原子属于同一原子，第n 与第n+2个原子属于同一原子，于是第n 个原子与第n+1个原子受得力分别是)()(1112-+---=n n n n n u u u u f ββ )()(121211n n n n n u u u u f ---=++++ββ相应的牛顿运动方程为 )()(111222-+---=n n n n nu u u u dt u d m ββ )()(12121212n n n n n u u u u dtu d m ---=++++ββ体系有N 个原胞，有2N 个独立的方程，上述方程的格波解为)2(t a nq i n Aeu ω-=B eB u t qb a nq i n ='=-++)2(1ω)2(t a nq i eω-将解代入方程得)()(122iqa Be A A B A m ----=-ββω)()(122B Ae A B B m iqa ----=-ββω整理得0)()(12221=+--+-B e A m iqa ββωββ0)()(12221=+--+-A e B m iqa ββωββ由于A 和B 不可能同时为0，因此其系数行列式必定为0即)()12221iqae m ββωββ+--+（)()(22112ωββββM e i q a -++--=0解上式得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=2122121222212)2(sin )(16422)(qa m m m m ββββββω化简 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=2122121212)2(sin )(411)(qa m ββββββω存在两种不同的格波的色散关系⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=2122121212)2(sin )(411)(qa m A ββββββω ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=2122121212)2(sin )(411)(qa m o ββββββω对应一个q 有两支格波：一支声学波和一支光学波 , 总的格波数目为2N.2. 具有两维正方点阵的某简单晶格，设原子质量为 M ，晶格常数为 a ，最近邻原子间相互作用的恢复力常数为 c ，假定原子垂直于点阵平面作横振动，试证明：此二维系统的格波色散关系为)cos cos 2(22a q a q c M y x --=ω图二 晶格常数为a 的正方形点阵证明：如图所示，只考虑最近邻原子的作用，第（L ，m ）原子受到（L +1，m ），（L -1，m ），（L ， m +1），（L ，m -1）四个原子的作用力为： （L +1，m ）对它的作用力=)(,,1m L m L u u C -+（L -1，m ）对它的作用力=)(,1,m L m L u u C -- （L ， m +1）对它的作用力=)(,1,m L m L u u C -+ （L ，m -1）对它的作用力=)(1,,--m L m L u u C由于（L +1，m ）和（L -1，m ）对它的作用力以及（L ，m +1）和（L ，m -1）对它的作用力的方向都是相反的，于是相应的运动方程为：C dt u d M m L =2,2 [m L u ,1(+ m L u ,1-+ m L u ,2 -)+(1,+m L u +1,-m L u m L u ,2-)] 用分离变量法，令)()(,y x m L q u q u u =则有C dtx u d Mm L =2,2)(m L u ,1(+m L u ,1-+m L u ,2-) （1）C dt y u d Mm L =2,2)( (1,+m L u +1,-m L u m L u ,2-) （2）则 )(0,)(wt a Lq i m L x e u x u -= （3）)(0,)(wt a Lq i m L x e u y u -= （4）将（3）（4）分别代入其代入运动方程（1）、 （2）后，得到色散关系)cos 1(22a q M c x x-=ω )cos 1(22a q Mc y y -=ω则=2ω2x ω2yω+=Mc 2)cos cos 2(a q a q y x -- )cos cos 2(22a q a q c M y x --=ω二维格子的色散关系)cos cos 2(2)4(2a q a q c e e e e c M y x aq iaiq a iq a iq y y x x --=-+++-=--ω3．求：（a ）一维单原子点阵振动的声子谱密度）（ωρ（频率分布函数），并作图；(b ）一维双原子点阵振动的声子谱密度）（ωρ（频率分布函数），并作图．解：（a ）一维简单晶格的色散关系曲线如图所示，由色散曲线的对称性可以看出，ωd 区间对应两个同样大小的波矢区间dq 。
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
a
q
a
固体物理学
晶格动力学和晶体的热学性质
这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对 应的问题。
这种性质称作格波的简约性。一维单原子链的倒格矢：
2 Gn n a
1 4a
4 2 a 5
q1
2
1 2a 2 5 q2 2 2a
信息科学与工程技术学院
相当于把相邻原子间的相互作用力看作是正比于 相对位移的弹性恢复力。
d 2V 2 β称为恢复力常数 dr a
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固体物理学
晶格动力学和晶体的热学性质
如只考虑最近邻原子间的相互作用，第 n 个原 子受到的力：
f n f1 f 2 n n 1 n n 1 n 1 n 1 2n
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固体物理学
晶格动力学和晶体的热学性质
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
m xn x n x n1 x n x n1 i t naq
..
xn Ae
将试探解代入振动方程得色散关系:
aq 2 sin m 2
2 如： ma na l ,(m, n, l 都是整数）。 q
有：
um A exp i t maq A exp i t naq exp(i 2 l ) A exp i t naq un
1
该解表明：晶体中所有原子共 同参与的振动，以波的形式在
Ae
i t N n aq
Ae
i t naq
即： e
iNaq
固体物理讲义第四章
第四章 晶格振动和晶体的热学性质● 晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动● 原子的振动以波的形式在晶体传播（原子的振动波称为格波） ● 晶格振动对晶体的性质有重要影响 主要内容● 晶格动力学（经典理论，1912年由波恩和卡门建立）晶格振动的模式数量（有多少种基本的波动解） 晶格振动的色散关系（波动的频率和波数的关系）● 晶格振动的量子理论 ● 固体的热容量 4.1 一维单原子链的振动原子链共有N 个原胞，每个原胞只有一个原子,每个原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常数a,原子沿链方向运动,第n 个原子离开平衡位置的位移用x n 表示,第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移为 一维单原子链原子振动时，相邻两个原子之间的间距: 基本假设● 平衡时原子位于Bravais 格点上 ● 原子围绕平衡位置作微振动●简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项 微振动时：简谐近似：势能展开式保留到二次项微振动：原子离开平衡位置的位移与原子间距相比是小量。
晶体中原子的平衡位置由原子结合能（势）决定。
任何一种晶体，原子间的相互作用势能可以表述成原子之间距离的函数。
n n x x -=+1δδ+=a x ()()⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=+=222 21 )(δδδa ax d U d x d U d a U a U x U把qa改变一个2π的整数倍，原子的振动相同，因此可以把qa限制负pi和正pi之间，此范围以外的q值，并不提供新的物理内容.群速度是指波包的传播速度，dw/dq,也就是能量在介质中的传播速度。
在布里渊区的边界上，群速度为零，波是一个驻波。
4.2 一维双原子链的振动q趋于0时，w也趋于零，称为声学波4.3 三维晶格的振动(略) 一个原胞中有n 个原子晶格基矢： 原胞数目： 原子的质量： 对于一个波矢q,有3n 个ω（即有3n 支色散曲线） 在3n 支色散关系中，当q→0时（长波）：有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相同，这三支为声学波。
《晶格动力学讲稿》课件
晶格动力学的经典理论模型
01
02
03
弹性力学模型
将晶格视为弹性连续体， 通过弹性力学理论来描述 晶格的动力学行为。
哈密顿量模型
将晶格中的原子或分子的 运动视为经典力学中的粒 子运动，通过哈密顿量来 描述晶格的动力学行为。
牛顿运动方程
通过牛顿运动方程来描述 晶格中原子或分子的运动 ，可以更精确地描述晶格 的动力学行为。
晶格振动与声子
晶格振动模式
晶格是由原子或分子构成的周期性结构，原子或分子的相对位置发生变化时会产生晶格振 动。晶格振动模式可以分为光学模式和声学模式。
声子与能量传递
声子在晶格中传播时，会与其他粒子发生相互作用，传递能量和动量。声子是晶格中能量 传递的重要载体。
声子的统计性质
在热力学平衡状态下，声子遵循Bose-Einstein统计分布，表现出粒子数的涨落和热辐射 等特性。了解声子的统计性质对于理解晶格动力学的热力学性质和相变机制具有重要意义 。
材料力学性质的预测
弹性模量
晶格动力学理论可以用于预测材料的弹性模量，通过分析晶 格振动对材料宏观力学性能的影响，可以计算出弹性模量的 大小。
强度与韧性
利用晶格动力学的理论模型，可以预测材料的强度和韧性， 了解材料在不同受力条件下的力学行为和破坏机制。
06
未来研究方向与展望
新型计算方法的探索
机器学习算法的应用
基态求解
密度泛函理论的核心是求解多电 子系统的基态，常用的方法有 Kohn-Sham方法和HartreeFock方法等。
交换关联泛函
密度泛函理论中，需要选择合适 的交换关联泛函来描述电子间的 相互作用，不同的泛函会导致不 同的计算结果。
05
第三章 晶格动力学和晶体的热学性1
第三章 晶格动力学和晶体的热学性质1.在同类原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如下图所示相间变化，且1β＞2β。
试证明：在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为解： 分析：此题实际是一个一维双原子链色散问题，设相邻分子间两原子的力常数为2β，间距为b ；一个分子内两原子力常数为1β，且1β＞2β；晶格常数为a ；质量为M 的原子位于n-1，n+1，n+3 ……，质量为m 的原子位于n ，n+2，n+4 ……，m=M ；第211,,,2,1,,1++-++-n n n n u u u u n n n n 个原子的位移分别为；第n-1与第n+1个原子属于同一原子，第n 与第n+2个原子属于同一原子，于是第n 个原子与第n+1个原子受得力分别是)()(1112-+---=n n n n n u u u u f ββ )()(121211n n n n n u u u u f ---=++++ββ相应的牛顿运动方程为 )()(111222-+---=n n n n nu u u u dt u d m ββ )()(12121212n n n n n u u u u dtu d m ---=++++ββ体系有N 个原胞，有2N 个独立的方程，上述方程的格波解为)2(t a nq i n Aeu ω-=B eB u t qb a nq i n ='=-++)2(1ω)2(t a nq i eω-将解代入方程得)()(122iqa Be A A B A m ----=-ββω)()(122B Ae A B B m iqa ----=-ββω整理得0)()(12221=+--+-B e A m iqa ββωββ0)()(12221=+--+-A e B m iqa ββωββ由于A 和B 不可能同时为0，因此其系数行列式必定为0即)()12221iqae m ββωββ+--+（)()(22112ωββββM e i q a -++--=0解上式得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=2122121222212)2(sin )(16422)(qa m m m m ββββββω化简 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=2122121212)2(sin )(411)(qa m ββββββω存在两种不同的格波的色散关系⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=2122121212)2(sin )(411)(qa m A ββββββω ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=2122121212)2(sin )(411)(qa m o ββββββω对应一个q 有两支格波：一支声学波和一支光学波 , 总的格波数目为2N.2. 具有两维正方点阵的某简单晶格，设原子质量为 M ，晶格常数为 a ，最近邻原子间相互作用的恢复力常数为 c ，假定原子垂直于点阵平面作横振动，试证明：此二维系统的格波色散关系为)cos cos 2(22a q a q c M y x --=ω图二 晶格常数为a 的正方形点阵证明：如图所示，只考虑最近邻原子的作用，第（L ，m ）原子受到（L +1，m ），（L -1，m ），（L ， m +1），（L ，m -1）四个原子的作用力为： （L +1，m ）对它的作用力=)(,,1m L m L u u C -+（L -1，m ）对它的作用力=)(,1,m L m L u u C -- （L ， m +1）对它的作用力=)(,1,m L m L u u C -+ （L ，m -1）对它的作用力=)(1,,--m L m L u u C由于（L +1，m ）和（L -1，m ）对它的作用力以及（L ，m +1）和（L ，m -1）对它的作用力的方向都是相反的，于是相应的运动方程为：C dt u d M m L =2,2 [m L u ,1(+ m L u ,1-+ m L u ,2 -)+(1,+m L u +1,-m L u m L u ,2-)] 用分离变量法，令)()(,y x m L q u q u u =则有C dtx u d Mm L =2,2)(m L u ,1(+m L u ,1-+m L u ,2-) （1）C dt y u d Mm L =2,2)( (1,+m L u +1,-m L u m L u ,2-) （2）则 )(0,)(wt a Lq i m L x e u x u -= （3）)(0,)(wt a Lq i m L x e u y u -= （4）将（3）（4）分别代入其代入运动方程（1）、 （2）后，得到色散关系)cos 1(22a q M c x x-=ω )cos 1(22a q Mc y y -=ω则=2ω2x ω2yω+=Mc 2)cos cos 2(a q a q y x -- )cos cos 2(22a q a q c M y x --=ω二维格子的色散关系)cos cos 2(2)4(2a q a q c e e e e c M y x aq iaiq a iq a iq y y x x --=-+++-=--ω3．求：（a ）一维单原子点阵振动的声子谱密度）（ωρ（频率分布函数），并作图；(b ）一维双原子点阵振动的声子谱密度）（ωρ（频率分布函数），并作图．解：（a ）一维简单晶格的色散关系曲线如图所示，由色散曲线的对称性可以看出，ωd 区间对应两个同样大小的波矢区间dq 。
《晶格动力学讲稿》课件
3
石墨烯结构
分析介观尺度上的石墨化合物晶体， 探索其结构特征与动力学行为。
小结与展望
晶格动力学作为晶体学中的一个重要分支，在振动模型时代为化学、物理领 域的研究提供了理论基础。
对称性
晶体中具有许多对称性质， 它们的深刻意义在于对晶 体结构的基本描述和分析。
晶体缺陷
晶体中普遍存在的一种瑕 疵结构，是晶体自然形成 过程中难以避免的物理现 象。
简单的振动模型
1
单原子模型
研究最简单的晶体结构，独立自由度问题及简单的振动模型。
2
调和振子
介绍和分析一种简化计算的振子模型，推导计算振动特征的方法。
拓展简单的量子力学振动计算的方法，从一 个氢原子凝聚成分子离子的模型开始。
氢原子在晶体中的问题
探索理论计算如何结合实际来研究晶体内氢 原子相对于含有重元素原子的振动问题。
各种晶体结构的振动模式
1
钠氯化物结构
探询两族离子形成的晶格结构的基本
锌铂矿结构
2
振动特征。
深入探究由等离子体和仅由金属离子
组成的晶体结构。
晶格动力学讲稿
晶格动力学探索晶体内部振动特性，对这一领域进行全方位的剖析。
晶格动力学概念
定义
晶格动力学研究晶体内部原子自由度的运动及其 相互作用。
探究目标
通过相邻原子之间的相互作用，揭示固体分子动 力学中的基本规律。
晶体结构的特征及分类
空间群
晶体学中描述晶体的基本 性质及其分类的一整套数 学方法。
3
自由电子模型
探讨面向金属晶体的振子模型，在简单模型的基础上引入电子。Leabharlann 各种力的作用分子键
分子结构中，原子间通过共价 键或离子键等方式组成的化学 键。
晶格动力学讲稿
l 是整数
q
N N l 2 2
即 l 只取N个不同的值。
因此，由一维单原子组成的一维晶格，q只能取N个不同的值。
格波数：一维单原子晶体，一个q只对应一个格波。q取N个 不同的值，对应N个 ，因此，独立的格波函数为N。 结论： 晶格振动频率数目=晶体的自由度数。
3 一维双原子晶体的振动
每个原子对应一个（6）样的方程，若原子链有N个原子， 则有N个方程。（6）式实际上代表N个联立的线性方程。该方 程的解为振幅为A，频率为 的简谐振动
u n Ae
i qnat
（7）
式中qna表示第n个原子振动的位相因子。 每一个原子都绕共同的平衡位置作简谐振动，振动振幅和 振动频率相同。但从整体上看，每个原子的振动位相各不相同 ，相邻的原子为相差为qa，因此（7）式代表了一种全部原子都 以同一频率，同一振幅。相邻原子的振动位相差均为qa的集体 振动模式——格波。因为是简谐近似，所以也称维简谐格波。 格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体振动模式 格波——晶格振动的简正模。
（17）
将（17）式代入（16）式得
2 m A 2 cos qaB 0 2 cos qa A 2 M B 0
2
2
（18）
要使A，B有非零解，系数行列式为0；
从而得到
2 m 2 cos qa 0 （19） 2 cos qa 2 M 2
1 2
高于该频率的格波不能在晶体中传播 因此称为截止频率。 m
由（9）是也可看出，因为（9）式中未出现标志原子的变量n， 这说明格波满足的运动方程的所有原子都的参与一种集体振动模 式
m
第六章 晶格动力学
第六章 晶格动力学 6.1 密度泛函微扰理论固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。
事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。
晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。
这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。
直到1970年才系统地研究了这些联系。
一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。
现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。
在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。
密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。
感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。
由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。
1 基于电子结构理论的晶格动力学从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。
在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值ε和本征函数()ΦR 决定。
()()()2222I I I E M εΦΦ⎛⎫∂-+= ⎪∂⎝⎭∑R R R R (6.1.1) 这里I R 是第I 个原子核的坐标，I M 是相应原子核的质量，{}I ≡R R 是所有原子核坐标的集合，()E R 是系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer 能量表面。
物理学中的晶格动力学
物理学中的晶格动力学晶格动力学，是研究晶体内部原子和分子振动、相互作用以及热力学性质的学科。
在传统物理学中，固体的研究大多侧重于宏观物理性质，并将原子和分子看作独立的粒子。
然而，在晶体内部，原子和分子之间的相互作用十分复杂，需要采用动力学模型来描述晶体性质。
本文将介绍晶格动力学的基本概念和工具，以及该领域的研究进展。
1. 晶格振动和声子晶格振动是晶体中原子和分子之间的振动，可以分为纵波和横波两种。
在简单晶体中，振动可以用简谐振动的方法来描述。
而在复杂的晶体中，振动可以相互耦合，难以用简单模型描述。
因此，研究晶格振动需要引入声子的概念。
声子是晶体中的电子和原子振动的基本激发。
简单来说，声子就是晶体中的声波，只不过是由原子和分子的振动构成的。
每个振动模式可以看作是一种声子，具有特定的振动频率和能量。
通过计算声子的能级和频率，可以得到晶体的热力学性质，如热容和热传导系数。
2. 声子的描述和计算方法声子的描述需要用到量子力学中的量子化方法。
从正则量子化方法出发，可以得到晶体中的声子将会被量子化为一系列的振动模式，而每个振动模式都有一个特定的频率和能量。
声子的频率和能量与晶体内部的几何构型紧密相关，因此对于不同的晶体结构，其声子的频率和频谱也有所不同。
计算声子的频率和振动模式需要使用到晶格动力学理论。
该理论可以根据晶体原子间的相互作用势能推导出局部振动的能量和频率，从而描述无数个晶体原子间振动的整体频率分布。
具体来说，晶格动力学理论将晶体内部的原子或者分子看成是一系列的弹性小球，并描述其在相互作用水平上的弹性运动。
该运动由牛-威-平当前向方程描述，并可以得到晶体内部的声子频率、振动模式和产生热力学效应的方法。
3. 晶格动力学的应用晶格动力学广泛应用于材料科学，尤其是对材料的力学性能、热力学性能进行研究。
例如，晶格动力学可以用于研究晶体的热导率，从而帮助设计更高效的热管理材料。
另外，晶格动力学还可以用于研究晶体的声学性能，例如声信号传递和控制。
固体理论讲义二-声子
1． 晶格动力学本节用经典力学的方法讨论完整晶格中原子（离子）绕平衡位置的振动-晶格振动晶体的元胞数为N ，原子质量为M ，原子的位置： )()(t u R t X l l l +=)(t u l 则代表此原子的位移。
晶格振动的总动能 z y x u u M T ll l ,,21,==••∑αααα总势能为 ...)',(21)(',',0+Φ+Φ+Φ=Φ∑∑∑βααβαβαααl l l l l l u u l l u l ),'()',(0)(0'200l l u u l l u l l l lβαβααβααΦ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Φ∂=Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂Φ∂=ΦΦ的势能。
为常数，是平衡位置时由于晶体的平移对称性 )'()'()',(l l l l l l -Φ=-Φ=Φβααβαβ)'(l l -Φαβ代表l ’元胞中原子沿β方向移动单位距离时对l 元胞中原子作用力沿α方向的分量，称为力常数 ∑=-Φ'0)'(l l l αβ因为当整体作刚性运动（即每个原子均作ααv u l =）时，晶格中任一原子受到其它原子作用力之总和为零；即)'()'()('''=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-Φ-=-Φ-=∂Φ∂-=∑∑∑ββαβββαβααv l l u l l u l F l l l------------------------- 略去Φ展开的三次方∑∑∑•=-Φ+=∆Φ+=αααββααβααα,,'',)'(2121l l l l l l l l l u M p u u l l p p MT H由正则方程可得系统的运动方程 ββαβα',')'(l l l u l l u M -Φ-=∑••利用平移对称性及布洛赫定理 αα0u e u l R ik l •=对于确定的k ，运动方程的解表现出下列特征： （1） 各元胞中原子振动的方向相同，振幅相等。
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2 1 cos qa m
2
q
q
2 1 cos qa 1 （9） 2 sin aq m 2 m
1 2
q a
m
高于该频率的格波不能在晶体中传播
4 m
1 2
m
由（9）是也可看出，因为（9）式中未出现标志原子的变量n， 这说明格波满足的运动方程的所有原子都的参与一种集体振动模 式
m
0
a
a
q
（4 ） 的周期性
由（9）式可知: 是q的周期函数，周期为 2 （ m是整数） （10） q m q
即q与 q Gm实际上表示的同一格波的格矢， q 具有倒格子的周 期性。这也是将q限制在 q
1 简谐近似 假定晶体中离子实或原子任意时刻的位置为
R Rn u n t
' n
u n t
3N
（1） ，对N,….,3N N个原子体系的势能函数在平衡位置附近展成泰勒级数
2 V 1 3N V V V 2） u ui 2 u u ui u j （ i 1 i , j 1 i i j
m n n 1 n n n 1 n 1 n 1 2 n （6）
每个原子对应一个（6）样的方程，若原子链有N个原子， 则有N个方程。（6）式实际上代表N个联立的线性方程。该方 程的解为振幅为A，频率为 的简谐振动
假设：原子限制在沿链的方向运动，只有近邻的原子存在作 用设在平衡位置时，两个原子的相互作用势能为 v 令 n 1 n（相对位移）
a ，
产生相对位移后，相对作用势变为 v
1 va va 2 2
a
（4）
dv 在简谐近似下，相邻原子间的作用力为F （5） d
（ 为弹性系数) 考察第N个原子的运动情况。 左方第（n-1）原子与它的相对位移 n n 1 ， 作用力为
n
n 1
右方第（n+1）个原子对它的相对位移 作用力为
n1 n
n1 n
，
根据牛顿定理，得到第n个原子的运动方程为
第四部分 晶格动力学
电子的运动。实际上，晶体中原子并非静止不动的，离子实围 绕其平衡位置作微振动，其平衡位置就是其晶格格点。这种晶 格振动是电子所受散射的主要来源。 体的薛定谔方程里，得到离子实满足的薛定谔方程。
ˆ z z Ez z H
2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ H z Tz U z U ez 2 m
求解离子实的薛定谔方程的困难和在能带理论中碰到的相同 ，来源于离子是间的相互作用，成为多体问题。
间的相互作用能对这种偏离作级数展开。 首先，只保留第一个非零项（2次项），这种做法叫简谐 近似。我们先从简谐近似讨论晶体的经典运动。建立离子 实满足的方程，得到晶格振动“简谐模”的能量和频率。 然后讨论简谐晶体的量子力学处理。引进简正坐标将多体 问题简化为单体问题，因此引入声子概念。 一．简谐晶体的经典运动。 在这里采用以下物理图象： （1）假定晶体中离子实仍用布拉菲格矢标记，但将理解 为离子实平均的平衡位置。因为尽管离子实不再静止，但 对晶体结构的实验观察表明，布拉菲格子依然存在。 （2）离子实围绕其平衡位置作小的振动，其瞬时位置对 平衡位置的偏离远小于间距。
u n Ae
i qnat
（7）
qna表示第n个原子振动的位相因子。 振动频率相同。但从整体上看，每个原子的振动位相各不相同 ，相邻的原子为相差为qa，因此（7）式代表了一种全部原子都 以同一频率，同一振幅。相邻原子的振动位相差均为qa的集体 振动模式——格波。因为是简谐近似，所以也称维简谐格波。 格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体振动模式 格波——晶格振动的简正模。
a 时，即 的情况下，则 q 2
qa qa q很小时， 。 sin 2 2
q为正，表示沿某方向前进的格波。 q为负，表示沿反方向传播的格波。 :
Vp
q
2
m
sin
d qa V 2 cos dq m 2
与介质的性质有关而与波矢是无关。
1 qa 2 q
(12)
（13）
q的函数，表明格波具有色散性质，而弹性波的波速只
（5） 长波近似——极限情况下的波动性质。
（2）q的取值范围
（s为整数） Ae
' n i qn' a t
Aei qnat
2 q
' 2 的整数倍时，当 n a na
2 s 时 a
n
n a na
'
n'
n个原子
的位移相等。因此，将q
a
q
qa
a
。
（3） 色散关系
a
2 a
a
a
范围的原因，保证 q 的单值
性。
' n Ae
2 i q m na t a
q 具有反演对称性， 9）式还可看出 ： 是q的偶函数
（11）
Aei qnat ei 2mn n
q q
，即位移的2次项
2 1 3N u V 2 i , j 1 u i u j
ui u j
。
（3）
2 一维单原子晶格的振动 （1） 运动方程及其解 每个原子的质量为m 晶格间距 a 原胞原子数N 总长 L=Na
格矢
Rn na
偏离格点的位移用
n1, n , n1