第14讲 角、相交线与平行线
相交线与平行线笔记整理
相交线与平行线笔记整理
相交线与平行线是几何学中的重要概念，下面是有关相交线和平行线的笔记整理：
一、相交线：
1. 定义：在平面上，如果两条直线有一个公共的交点，则称这两条直线为相交线。
2. 特性：
- 两条相交线的交点只有一个。
- 两条相交线的两个交线角互为补角。
- 如果两条相交线的交线角互为补角，则这两条直线相交。
二、平行线：
1. 定义：在平面上，如果两条直线没有交点，且方向相同或者重合，则称这两条直线为平行线。
2. 特性：
- 平行线不相交，也没有公共的交点。
- 平行线的交线角为零度。
- 平行线的交线角是对应角，即对应于同一边的内角互为补角。
三、判定平行线的方法：
1. 对称判定法：如果两条直线作为一条直线的平分线，且分出的同侧角相等，则这两条直线平行。
2. 次对称法：如果两条直线与另外一条直线作为一对同位角，且同位角相等，则这两条直线平行。
3. 逆定理法：如果两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线
平行。
4. 夹角法：如果两条直线与另外一条直线的夹角相等，则这两条直线平行。
5. 给定角的补角法：如果两条直线与另外一条直线的同侧内角互为补角，则这两条直线平行。
四、平行线性质：
1. 平行线的任意一对内错线互为消角。
2. 平行线的任意一对内错线互为内错角。
3. 平行线与切线的夹角等于对应弧所对的圆心角。
4. 平行线所夹平行线上的交线角相等。
以上是有关相交线与平行线的笔记整理，希望对你有所帮助。
平行线与角的关系
平行线与角的关系平行线和角是几何学中常见的概念，它们之间存在着紧密的关系。
本文将探讨平行线和角的定义、性质以及它们之间的相互关系。
一、平行线的定义及性质平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 对于一条给定的直线和平面上的一点，只有唯一一条直线可以与给定的直线平行。
2. 如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行的。
3. 如果两条直线分别与同一条直线平行，那么这两条直线也是平行的。
二、角的定义及分类角是由两条射线共享一个端点组成的形状。
根据两条射线的位置关系，角可以分为以下几种类型：1. 零度角：两条射线重合时形成的角，也叫作零角。
2. 锐角：角的度数小于90度，例如30度角和60度角。
3. 直角：角的度数等于90度，例如90度角。
4. 钝角：角的度数大于90度但小于180度，例如120度角和150度角。
5. 平角：角的度数等于180度，例如180度角。
三、平行线与角的关系平行线与角之间存在着多种关系，下面将逐一介绍：1. 平行线上的对应角：当一条直线与若干平行线相交时，对应角是位于同一位置的两条相交线所形成的角。
（示意图）根据平行线性质，我们可以得出结论：当两条直线被一组平行线交叉时，对应角互相等于。
2. 平行线上的内错角和外错角：内错角是两条平行线被第三条直线相交所形成的内角，位于平行线之间。
外错角是两条平行线被第三条直线相交所形成的外角，位于平行线的同一侧。
（示意图）根据平行线性质，我们可以得出结论：内错角互相等于，外错角互相等于。
3. 平行线之间的夹角与对应角：当两条平行线被一条斜线相交时，所形成的夹角称为夹角；而位于两条平行线之间并与斜线相交的角称为对应角。
（示意图）根据平行线性质，我们可以得出结论：夹角和对应角互相等于。
4. 平行线上的同位角：当两条平行线被一条直线相交时，同位角是位于平行线同侧但不同位的两个角。
（示意图）根据平行线性质，我们可以得出结论：同位角互相等于。
平行线和相交线解决角度关系问题
平行线和相交线解决角度关系问题平行线和相交线是几何学中常见的概念，它们之间存在着密切的角度关系。
通过研究这种关系，我们可以解决许多有关角度的几何问题。
本文将详细介绍平行线和相交线之间的角度关系，并通过实例说明如何应用这些关系来解决角度问题。
1. 共线角与内错角当两条平行线被一条直线相交时，所形成的各个角度关系是解决角度问题的基础。
首先，我们来看一下两条平行线被一条直线相交时所形成的共线角和内错角。
共线角：共线角即位于同一直线上的两个相邻角度。
根据平行线与相交线的性质，我们得知在两条平行线被一条直线相交的情况下，所形成的共线角是相等的。
内错角：内错角即位于两条平行线之间、相交线上的两个相邻角度。
同样根据平行线与相交线的性质，我们知道内错角是相等的。
2. 同位角与对顶角继续探讨角度关系，我们将介绍同位角和对顶角的概念，它们同样可以帮助我们解决角度问题。
同位角：同位角是指位于两条平行线之间、相交线同一侧的两个相邻角度。
根据平行线与相交线的性质，我们知道同位角是相等的。
对顶角：对顶角是指由两条平行线被一条直线相交所形成的内错角的对称角。
根据平行线与相交线的性质，我们得出对顶角是相等的。
3. 利用角度关系解决问题通过理解平行线和相交线之间的角度关系，我们能够解决很多有关角度的几何问题。
以下是一些实例：例1：已知在平行线AB和CD之间，EF是一条相交线。
若∠ADE= 60°，求∠BEF的度数。
根据同位角的性质，我们可以得知∠ADE = ∠BEF。
因此，∠BEF的度数也为60°。
例2：已知平行线AB和CD被一条相交线EF相交，∠AED = 110°，求∠BCF。
根据内错角的性质，我们知道∠AED = ∠BCF。
所以，∠BCF的度数也为110°。
例3：已知两条平行线AB和CD之间的一条相交线EF，求证∠AEB = ∠CFD。
根据对顶角的性质，我们可以得知∠AEB = ∠CFD。
相交线与平行线重难点详解
相交线与平行线平面内，点与直线之间的位置关系分为两种：①点在线上②点在线外同一平面内，两条或多条不重合的直线之间的位置关系只有两种：①相交②平行一、相交线1、两条直线相交，有且只有一个交点。
（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。
）两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。
邻补角互补。
要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。
对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。
对顶角相等。
注：①、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等。
反过来亦成立。
②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。
2、垂直是两直线相交的特殊情况。
注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。
垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。
垂直时，一定要用直角符号表示出来。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（注：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外）3、点到直线的距离。
垂线段：过线外一点，作已知线的垂线，这点到垂足之间的线段叫垂线段。
垂线与垂线段：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段，是垂线的一部分。
垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（或说直角三角形中，斜边大于直角边。
）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这点到直线的距离。
注：距离指的是垂线段的长度，而不是这条垂线段的本身。
所以，如果在判断时，若没有“长度”两字，则是错误的。
4、同位角、内错角、同旁内角三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，其中有：4对同位角，2对内错角和2对同旁内角。
注意：要熟练地认识并找出这三种角：①根据三种角的概念来区分②借助模型来区分，即：同位角——F型，内错角——Z型，同旁内角——U型。
特别注意：①三角形的三个内角均互为同旁内角；②同位角、内错角、同旁内角的称呼并不一定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上才有的，这两条直线也可以不平行，也同样的有同位角、内错角、同旁内角。
中考数学复习考点知识专题讲义第14讲 线段、角、相交线与平行线
4．平行线的判定： (1)同位角 相相等等 ，两直线平行． (2)内错角 相相等等 ，两直线平行． (3)同旁内角 互互补补 ，两直线平行．
(4)平行于同一条直线的两直线平行．
考点五 定义、命题、定理 1．判断一件事情的语句叫做命题．命题由题设和结论两部分组成．正确的命题叫 做 真真命命题题 ，错误的命题叫做 假假命命题题 . 2．一切公理(即基本事实)和定理都是真命题．除基本事实外，其他真命题的正确性 都是通过推理的方法得到证实的，推理的过程叫做证证明明 .经过证明的真命题叫做定定理理 . 3．在两个命题中，如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而一个命题的结论 是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那 么另一个就是它的 逆逆命命题题 .
定理 于点 E，则 OP 平分∠AOB
平分线上
考点四 平行线(高频考点 ) 1．在同一平面内， 不不相相交 交 的两条直线叫做平行线． 2．基本事实：过直线外一点，有且只有 一一条条 直线与已知直线平行．
3．平行线的性质(如图)： (1)两直线平行，同位角相等，即若 a∥b，则∠1＝ ∠∠2 2 . (2)两直线平行，内错角相等，即若 a∥b，则∠2＝ ∠∠3 3 ． (3)两直线平行，同旁内角互补，即若 a∥b，则∠3＋ ∠∠44 ＝180°.
如图 2，在直线 l 上画线段 AB＝a，在 AB 上画线段 AD＝b，则线段 DB 就是线段 a 与 b 的差，即 DB＝ aa－－b b ．
4．线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的 中中点点 ．即如
图，线段 AB 上的一点 M，把线段 AB 分成两条线段 AM 与 BM.如果 AM＝BM，那么点 M 就叫做线段 AB 的中点，此时有 AAMM＝＝BBMM＝＝12AB，ABA，B＝A2BA＝M2＝AM2B＝M2BM ．
“相交线与平行线”解题方法与技巧
初一数学“相交线与平行线”解题方法与技巧● 学习要求1．理解对顶角和邻补角的概念，理解邻补角与补角的区别和联系；掌握对顶角的性质． 2．知道垂线的概念和基本性质，会画已知直线的垂线，会用尺规画线段的垂直平分线；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；知道垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的意义并会度量点到直线的距离．3．通过观察两条直线和第三条直线相交所成角的特征，归纳并理解同位角、内错角、同旁内角的概念。
4．了解平行线的概念，掌握平行线的判定方法及平行线的性质，会用三角尺和直尺过直线外一点画已知直线的平行线；理解两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离，知道两条平行线之间的距离是描述这两条平行线相对位置的量。
5．会运用平行线的判定和性质及有关基本事实进行说理，初步养成言必有据的习惯，初步感知形式推理的规则和过程。
● 方法点拨考点1：邻补交、对顶角的概念性质1. 如图1，直线AB 、CD 相交于点O ，过点O 作射线OE ，则图中的邻补角一共有（）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对2．如图2，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O ，则AOB DOC ∠+∠= _________．3．三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m 对，交于不同三点时，对顶角有n 对，则m 与n 的关系是（ ）A ．m = n ；B ．m ＞n ；C ．m ＜n ；D ．m + n = 10．ACD(图1)(图2)4．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．312121212考点2：垂线与斜线概念性质 1．下列说法中正确的是（ ）A ．有且只有一条直线垂直于已知直线；B ．互相垂直的两条直线一定相交；C ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；D ．直线c 外一点A 与直线c 上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm ，则点A 到直线c 的距离是3cm ． 2．点到直线的距离是指（ ）A ．从直线外一点到这条直线的垂线；B ．从直线外一点到这条直线的垂线段；C ．从直线外一点到这条直线的垂线的长度；D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度．3．a 、b 、c 是平面上任意三条直线，交点可能有（ ）．Ａ．1个或2个；Ｂ．1个或2个或3个； Ｃ．0个或1个或2个或3个；Ｄ．以上都不对．考点3：同位角、内错角、同旁内角的意义1．若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°，则∠2等于（） A ．40° B ．140° C ．40°或140° D ．不确定2．下图3中，用数字表示的∠ 1、∠2、 ∠3、∠4各角中，错误的判断是（ ） A ．若将AC 作为第三条直线，则∠ 1和∠3是同位角 ； B ．若将AC 作为第三条直线，则∠ 2和∠4是内错角 ； C ．若将BD 作为第三条直线，则∠ 2和∠4是内错角 ； D ．若将CD 作为第三条直线，则∠ 3和∠4是同旁内角 ．3．如图4，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.(图3)(图4)考点4：平行线的判定与性质1．如图5，若AB ∥CD ，则图中相等的内错角是（）A ．∠1与∠5，∠2与∠6；B ．∠3与∠7，∠4与∠8；C ．∠2与∠6，∠3与∠7；D ．∠1与∠5，∠4与∠8．2．如图6，把矩形ABCD 沿EF 对折，若150∠=，则AEF ∠等于（ ）Ａ．115；Ｂ．130；Ｃ．120；Ｄ．65．3．如图7，直线AE CD ∥，135EBF ∠=，60BFD ∠=，则D ∠等于（ ）Ａ．75； Ｂ．45 ； Ｃ．30 ；Ｄ．15．4．如图8，是跷跷板示意图，横板AB 绕中点O 上下转动，立柱OC 与地面垂直，当横板AB 的A 端着地时，测得OAC α=∠，则在玩跷跷板时，上下最大可以转动的角度为（ ）Ａ．α；Ｂ．2α ； Ｃ．90α- ； Ｄ．90α+．5．如图9，直线a 与直线b 互相平行，则x y -的值是（ ）Ａ．20； Ｂ．80； Ｃ．120 ； Ｄ．180．6．如图10，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）Ａ．同位角相等，两直线平行； Ｂ．内错角相等，两直线平行； Ｃ．同旁内角互补，两直线平行；Ｄ．两直线平行，同位角相等．A B CD EF 1ＢＥＤＣＡＦOCBx303y abA DO BC(图5)(图6)(图7)(图8)(图9)(图10)(图11)7．探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都与抛物线形状有关，如图11所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O 点的灯泡 发出的两束光线OB OC 、经灯碗反射以后平行射出．如果图11中ABO DCO αβ∠=∠=，，则BOC ∠的度数为 ( ) A ．180αβ-- ； B ．αβ+； C ．1()2αβ+； D ．90()βα+-． 8．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ）A ．第一次右拐50°，第二次左拐130°；B ．第一次左拐50°，第二次右拐50°；C ．第一次左拐50°，第二次左拐130°；D ．第一次右拐50°，第二次右拐50°． 9．如图12，已知AB CD ∥，55A =∠，20C =∠，则P =∠___________．10．如图13，AB CD EF ∥，分别交AB CD 、于50M N EMB ∠=、，，MG 平分BMF MG CD G ∠，交于，则1∠的度数是___________．11．如图14，AB CD ∥，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分AEF ∠，140∠=，则2∠的度数是____________．12．说理填空 :已知：如图15，DG ⊥BCAC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1=∠2.求证：CD ⊥AB 证明：∵DG ⊥BC ,AC ⊥BC (___________)∴∠DGB =∠ACB =90º(垂直的定义) ∴DG ∥AC （_____________________） ∴∠2=_____(_____________________) ∵∠1=∠2(__________________)∴∠1=∠__________(等量代换) ∴EF ∥CD (______________________)Ａ Ｍ ＥＢ ＤＧＮＦＣ １50 A E1 CGFDB2 (图12)(图13)(图14)D1 AEF BGC2∴∠AEF =∠________________(____________________) ∵EF ⊥AB (________________) ∴∠AEF =90º (_________________________) ∴∠ADC =90º (___________________), ∴CD ⊥AB (__________________________)13．如图16，AB ⊥BF 于B ，CD ⊥BF 于D ，∠1＝∠2， 试说明∠3＝∠E ．14．如图17，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。
相交线与平行线重点难点
相交线与平行线重难点知识点拨一．余角、补角、对顶角1,余角：如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角.2,补角：如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角.3,对顶角：如果两个角有公共顶点,并且它们的两边互为反向延长线.4,互为余角的有关性质：①∠1＋∠2＝90°,则∠1、∠2互余；反过来,若∠1,∠2互余,则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等,如果∠l十∠2＝90°,∠1+∠ 3＝90°,则∠2＝∠3.5,互为补角的有关性质：①若∠A+∠B＝180°,则∠A、∠B互补；反过来,若∠A、∠B互补,则∠A+∠B＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°,∠A+∠B＝180°,则∠B＝∠C.6,对顶角的性质：对顶角相等.二．同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质7,同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行.8,“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同,即“同旁”和“同位”；内错角要抓住“内部,两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”.三．平行线的性质与判定9,平行线的定义：在同一平面内,不相交的两条直线是平行线.10,平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.11,两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.12,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行. 13,平行线的判定定理：（1）同位角相等,两直线平行；（2）内错角相等,两直线平行；（3）同旁内角互补,两直线平行.14,平行线的性质定理：（1）两直线平行,同位角相等；（2）两直线平行,内错角相等；（3）两直线平行,同旁内角互补.难题巧解点拨例1求证三角形的内角和为１８０度.例2如图,AB、CD两相交直线与EF、MN两平行直线相交,试问一共可以得到同旁内角多少对例3已知：∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠Ｆ＝360o.求证：AB∥EF.AB C例4如图,∠１＋∠２＝∠BCD,求证AB∥D E.ＡＢＣＥＤ典型热点考题例１如图2—15,∠1=∠2,∠2+∠3=180°,AB∥CD吗AC∥BD 吗为什么例2 已知直线a、b、c在同一平面内,a∥b,a与c相交于p,那么b与c也一定相交．请说明理由．小试牛刀一、选择题1．图2—17中,同旁内角共有A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对2、光线a 照射到平面镜CD 上,然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射,光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°,∠3=75°,则∠2=A ．50°B ．55°C ．66°D ．65°3、如图3,把长方形纸片沿EF 折叠,使D ,C 分别落在D ',C '的位置,若65EFB =∠,则AED '∠等于A ．50B ．55C ．60D ．65第2题图 第3题图4．两条直线被第三条直线所截,如果所成8个角中有一对内错角相等,那么A ．8角均相等B ．只有这一对内错角相等C. 凡是内错角的两角都相等,凡是同位角的两角也相等 D ．凡是内错角的两角都相等,凡是同位角的两角都不相等 5、如图,在ABC 中,已知AB=AC,点D 、E 分别在AC 、AB 上,且BD=BC,AD=DE=EB,那么A ∠的度数是 BA 、30°B 、45°C 、35°D 、60°6、一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上CABDE平行前进,则这两次拐弯的角度可以是 A.第一次向右拐40°,第二次向左拐140° B.第一次向左拐40°,第二次向右拐40° C.第一次向左拐40°,第二次向左拐140° D.第一次向右拐40°,第二次向右拐40° 7、已知：如图,AB A 、++=360 B 、++=180 C 、+-=180 D 、--=908、如图,把三角形纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCED 内部时,则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个 规律,你发现的规律是 ． A ∠A ＝∠1+∠2 B2∠A ＝∠1+∠2 C3∠A ＝2∠1+∠2 D3∠A=2∠1十∠2 二、填空题1、用等腰直角三角板画45AOB =∠,并将三角板沿OB 方向平移到如图17所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22,则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______ 2、如图2—30,直线CD 、EF 相交于点A,则在∠1、∠2、∠3、∠4、∠B 和∠C 这6个角中．1同位角有______； 2内错角有______； 3同旁内角有_____.OM BA22α第1题图第2题图3、如图2—31,直线a、b被直线AB所截,且AB⊥BC,1∠1和∠2是_______角；2若∠1与∠2互补,则∠1-∠3=_______.4、如图,图中有_________对同位角,_________对内错角,_________对同旁内角．三、解答题１、已知：如图2—33,∠ABC=∠ADC,BF、DE是∠ABC、∠ADC的角平分线,∠1=∠2．求证：DC∥AB．2、在3×3的正方形ABCD的方格中,1+2+3+4+5+6+7+8+9之和是多少度解：３、已知：如图,CD 解：4、如图,哪些条件能判定直线AB ∥CD5、如图,已知DE 、BF 平分∠ADC 和∠ABC ,∠ABF ＝∠AED ,∠ADC ＝∠ABC ,由此可推得图中哪些线段平行并写出理由．6、实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.1如图,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射.若被b 反射出的光线n 与光线m 平行,且∠1=50°,则∠2= °,∠3= °.14 32ADC B2在1中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °.3由1、2,请你猜想:当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时,可以使任何射到平面镜a 上的光线m ,经过平面镜a 、b 的两次反射后,入射光线m 与反射光线n 平行.你能说明理由吗７、潜望镜中的两个镜子MN 和PQ 是互相平行的,如图所示,光线AB 经镜面反射后,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明,进入的光线AB 与射出的光线CD 平行吗为什么8、如图：已知DEF ABC ∆∆与是一副三角板的拼图,在同一条线上D C E A ,,,. 1、求证BC EF // ； 2、求21∠∠与的度数P OFBEACQ2 1 321nmba。
平行线与交线之间的角关系
平行线与交线之间的角关系平行线与交线是几何学中常见的概念，它们之间的角关系也是我们研究的重点之一。
在本文中，我们将探讨平行线与交线之间的角关系，并深入讨论它们的性质和应用。
一、垂直角垂直角是指两条相交线之间的四个角中，位于相交线两旁且互相垂直的两个角。
用符号表示，如∠A和∠B，它们满足∠A = ∠B = 90°。
例如，在图1中，AB和CD是相交的两条直线，∠ACB和∠ADB是互相垂直的角，即∠ACB = ∠ADB = 90°。
二、对顶角对顶角是指两条相交线之间的四个角中，位于相交线的同一侧并且互相相等的两个角。
用符号表示，如∠A和∠C，它们满足∠A = ∠C。
例如，在图1中，AB和CD是相交的两条直线，∠ACB和∠CDA是对顶角，即∠ACB = ∠CDA。
三、内错角与外错角内错角是指两条平行线被一条交线截断所形成的四个角中，位于两条平行线之间的两个角。
外错角是指两条平行线被一条交线截断所形成的四个角中，位于两条平行线之外的两个角。
在图2中，AB和CD是平行线，EF是它们的交线。
∠BEC和∠AED是内错角，∠BCE和∠EDF是外错角。
内错角和外错角之间有一些特殊的角关系：1. 内错角互补，即∠BEC + ∠AED = 180°。
2. 外错角互补，即∠BCE + ∠EDF = 180°。
3. 内错角与外错角互为对顶角，即∠BEC = ∠EDF，∠AED =∠BCE。
四、同位角同位角是指两条平行线被一条交线截断所形成的四个角两两对应相等的角。
在图2中，∠BEC和∠DEF，∠CED和∠DFE是同位角。
即∠BEC = ∠DEF，∠CED = ∠DFE。
同位角具有以下一些性质：1. 同位角的和等于180°，即∠BEC + ∠DEF = 180°，∠CED +∠DFE = 180°。
2. 同位角互补，即∠BEC + ∠CED = 180°，∠DEF + ∠DFE = 180°。
人教版七年级数学下册《平行线的性质》相交线与平行线PPT优秀课件
感悟新知
特别警示 ●两条直线平行是前提，只有在这个前提下才有同
位角相等； ●格式书写时，顺序不能颠倒，与判定不能混淆.
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例 1 如图5.3-2，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上， 若∠ 1=30°，则∠ 2 的度数为( A ) A.60° B.50° C.40° D.30°
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1-1.[中考·柳州] 如图，直线a，b 被直线c 所截，若a ∥ b， ∠ 1=70 °，则∠ 2 的度数是( C ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 110°
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知识点 2 平行线的性质2
1. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.
2. 表达方式：如图5.3-3，因为a ∥ b(已知)， 所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，内错角相等).
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特别警示 并不是所有的内错角都相等，只有在“两直线平
行”的前提下，才有内错角相等.
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例2 如图5.3-4，AB ∥ CD，BE 平分∠ ABC，CF 平分 ∠ BCD，你能发现BE 和CF 有何特殊的位置关系吗？ 说说你的理由. 解题秘方：由两直线平行得到 内错角相等，再由内错角相等 得到两直线平行.
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解：BE∥CF.理由如下：∵ AB∥CD(已知)，
∴∠ ABC= ∠ BCD (两直线平行，内错角相等).
∵ BE 平分∠ ABC，CF 平分∠ BCD (已知)，
∴∠ 2=
1 2
∠ ABC，∠ 1=Fra bibliotek1 2
相交线与平行线最全知识点
相交线与平行线最全知识点1.平行线的定义：在平面上，如果两条直线在平面内没有交点，那么它们就是平行线。
记作AB，CD。
2.平行线性质：-平行线朝向差：平行线的两个方向向量相等。
-平行线对应角相等：如果两条平行线被截取为若干对应的交线段，那么这些交线段的对应角相等。
-平行线的内错性：如果一条直线与一对平行线相交，那么对这两条平行线上的任意一点A及其在第一条直线上的任意一点B，有AB，CD。
-平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
3.相交线的定义：在平面上，如果两条直线的方向向量不相等，那么它们就是相交线。
4.相交线性质：-相交线对应角相等：如果两条相交线被截取为若干对应的交线段，那么这些交线段的对应角相等。
-相交线的交点：两条相交线的交点是它们的唯一交点。
-相交线的截距恒等：如果两条相交线与同一直线相交，那么它们在这条直线上的截距相等。
5.平行线与垂直线：-平行线与垂直线的性质：平行线与同一直线的垂线垂直；平行线的两个垂线方向向量相等。
-平行线的判定：如果两条直线的垂直方向向量相等，那么它们是平行线。
-直线倾斜角度和斜率：平行线的倾斜角度相等，斜率（如果存在）相等；垂直线的倾斜角度之和为90度，其中一个倾斜角度为负倾斜角度的倒数。
6.平行线的判定：-两条直线判定法：如果两条直线的倾斜角度相等，那么它们是平行线。
-点斜式判定法：如果一条直线的斜率k和一点在直线上，那么直线的方程为y-y1=k(x-x1)；如果两条直线的斜率相等且截距不相等，那么它们是平行线。
- 截距式判定法：如果一条直线的方程为y = kx + b，那么它与直线y = kx + b1平行当且仅当b = b17.平行线的应用：-常见图形的平行线特性：矩形的对边平行，对角线相等；平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分。
-平行线在解题中的应用：根据平行线的性质，可以解决一些几何问题，如求证两条线段平行、证明一个四边形是平行四边形等。
相交线与平行线讲解
相交线与平行线讲解
相交线和平行线是几何学中的基本概念，它们描述了直线之间的关系。
相交线是指两条直线在某一点交汇，即它们有一个公共点。
在相交线中，有一个特殊的情况叫做垂直，即两条直线形成的角度为90度。
平行线是指两条直线在同一平面内，没有公共点。
或者说，两条直线之间距离恒定，永远不会相交。
除了定义，还有一些关于相交线和平行线的性质需要了解。
比如，两条平行线被一条横截线所截，则同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。
对于相交线，有一个重要性质是垂直平分线的性质，即一条线段的垂直平分线将这条线段分为两段相等的线段。
这些概念在实际生活中有广泛的应用，例如建筑物的设计、道路的规划等都需要考虑到平行线和相交线的性质。
总的来说，相交线和平行线是几何学中的基础概念，理解它们的定义、性质和应用，对于数学的学习和理解是至关重要的。
平行线与交线的角关系
平行线与交线的角关系平行线和交线是几何学中常见的概念，它们之间的角关系也是我们研究的重点之一。
本文将介绍平行线和交线的基本概念，并探讨它们之间的角关系，帮助读者更好地理解和应用这一知识。
一、平行线和交线的定义1. 平行线：两条直线在同一个平面内，若它们之间的夹角为0°，则称这两条直线为平行线。
用符号"||"来表示平行线的关系。
2. 交线：两条直线在同一个平面内相交，交点称为交线。
交线将平面划分为四个区域，分别是两个无限大的区域和两个有限的区域。
二、平行线和交线的角关系1. 同位角：两条平行线被一条交线截断，截断所得到的相邻的内部和外部对应角，称为同位角。
同位角的性质如下：（1）同位角互补：同位角之和为180°；（2）同位角对应：同位角是一对对应角，它们的度数相等。
示例图：A----a-------------B\ /\ /\ /\ /\ /\ /C-------c在上图中，直线AB和直线CD是平行线，直线AC是交线。
∠a 和∠c是同位角，它们的度数相等。
2. 内错角和外错角：两条平行线被一条交线截断，截断所得到的同位角，称为内错角和外错角。
它们的性质如下：（1）内错角互补：内错角之和为180°；（2）外错角相等：外错角的度数相等。
示例图：A----a-------------B\ /\ /\ /\ /\ /\ /C-------c在上图中，直线AB和直线CD是平行线，直线AC是交线。
∠a 和∠b是内错角，∠c和∠d是外错角。
3. 顶角和底角：两条平行线被一条交线截断，截断所得到的内错角和外错角中，外错角的补角称为顶角，内错角的补角称为底角。
它们的性质如下：（1）顶角互补：顶角之和为180°；（2）底角互补：底角之和为180°；（3）顶角与底角互为补角。
示例图：A----a-------------B\ /\ /\ /\ /\ /\ /C-------c在上图中，直线AB和直线CD是平行线，直线AC是交线。
平行线与角的性质
平行线与角的性质平行线与角的关系是几何学中一个重要的概念。
在平面几何中，角是由两条线段或两条直线相交而形成的图形，而平行线则是在同一个平面中两条不相交的直线。
本文将详细介绍平行线与角的性质，包括平行线与内角、外角、对顶角、同位角等的关系。
1. 平行线与内角性质当一条直线与两条平行线相交时，形成的内角具有以下性质：1.1 同位角：当两条平行线被一条截线相交时，同位角是相对于此截线而言两条平行线上的对应角，它们的度数相等。
1.2 内错角：两条平行线被截线相交时，内角错位，即在同位角的边之间的角。
内错角之和等于180度。
1.3 内正角：两条平行线被截线相交时，与同一边相邻的两个内角之和等于180度。
2. 平行线与外角性质当一条直线与两条平行线相交时，形成的外角具有以下性质：2.1 外角等于同位内角：两条平行线被一条截线相交时，形成的外角和同位内角的度数相等。
2.2 外角补角：两条平行线外角的度数与同位内角的补角度数相等。
2.3 对顶外角：两条平行线被一条截线相交时，对顶外角的度数相等。
3. 平行线与对顶角性质当两条平行线被一条截线相交时，形成的对顶角具有以下性质：3.1 对顶角等于180度减去同位角：对顶角的度数等于180度减去同位角的度数。
4. 平行线与同位角性质同一直线上的同位角具有以下性质：4.1 互补：对于同一直线上的同位角A和B，它们的度数满足A + B = 180度。
4.2 垂直角：同位角A和B是垂直相交线所形成的角。
总结：平行线与角的性质是几何学中的重要概念。
它们的关系包括平行线与内角、外角、对顶角、同位角等的性质。
熟悉这些性质有助于我们解决平面几何中的各种问题。