同底指数函数与对数函数的交点问题
高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题
高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题高考中经常考到指数函数和对数函数的概念和性质，下面来介绍一些基础知识。
一、指数与指数幂的运算1.根式的概念：如果 $x^n=a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的$n$ 次方根，其中 $n>1$，且 $n\in N$。
2.分数指数幂：规定正数的分数指数幂的意义为$a^{m/n}=n\sqrt[n]{a^m}(a>0,m,n\in N^*,n>1)$，负分数指数幂没有意义。
3.实数指数幂的运算性质：$(a^r)^s=a^{rs}(a>0,r,s\in R)$，$a^r\cdot a^s=a^{r+s}(a>0,r,s\in R)$，$(ab)^r=a^r\cdotb^r(a>0,r\in R)$。
二、指数函数及其性质1.指数函数的概念：函数 $y=ax(a>0,a\neq1)$ 叫做指数函数，其中 $x$ 是自变量，定义域为 $R$。
注意：底数不能是负数、零和 $1$。
2.指数函数的图象和性质：当 $00$，非奇非偶函数，函数图象过定点 $(0,1)$；当 $a>1$ 时，函数图象在 $R$ 上单调递增，定义域为 $R$，值域为 $y>0$，非奇非偶函数，函数图象过定点 $(0,1)$。
利用函数的单调性，结合图象，可以得到一些性质，例如在 $[a,b]$ 上，$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$ 的值域是$[f(a),f(b)]$ 或 $[f(b),f(a)]$。
三、对数函数1.对数的概念：如果 $a^x=N(a>0,a\neq1)$，那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x=\log_a N$。
注意底数的限制 $a>0$，且 $a\neq1$。
2.对数的运算性质：如果 $a>0$，且 $a\neq1$，$M>0$，$N>0$，那么：$\log_a MN=\log_a M+\log_a N$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$，$\log_a M^r=r\log_aM(a>0,M>0,r\in R)$。
同底指数函数与对数函数图象交点个数
同底指数函数与对数函数图象交点个数必修一教材第76页有这样一个探究：指数函数)10(≠>=a a a y x 且与对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且互为反函数，那么它们图象有什么关系呢？通过探究发现，我们容易知道它们的图象关于直线x y =对称，那么它们图象交点有几个呢？教科书上为何没有把它们两者图象画在同一坐标系下？这是一个探究价值很高的问题，教材这样处理，主要原因是这两个函数图象交点个数不定.下面我们一起来研究下.分1>a 和10<<a 两者情况进行讨论.1. 当1>a 时在几何画板中，画出x y 2=与x y 2log =图象，发现它们没有公共点（如图1）.当底数a )1(>a 逐渐变小时，)1(>=a a y x 与)1(log >=a x y a 图象与x y =逐渐接近，然后相切（如图2），再相交（如图3），而且我们清楚地看到它们交点在x y =上.图1 图2 图3 事实上，由反函数图象对称性知，确实如此，所以研究)1(>=a a y x 与)1(log >=a x y a 图象交点情况即研究)1(>=a a y x 与x y =图象交点情况.下面，我们从“临界状态”入手研究，从代数角度看只需联立方程0=-⇒⎩⎨⎧==x a xy a y x x让方程只有一个根即可，属于超越方程，无法用常规方法解，利用导数（选修2-2中知识）解法如下：()1ln 1ln 1ln 111=⇒=⎪⎩⎪⎨⎧⇒==⎩⎨⎧⇒='=x x x a a x a a x a x x x x x ∴e e ea e a e x 1,,===即得 所以，当e e a 1=时，函数x a y =与x y a log =图象与x y =相切.根据指对数函数单调性以及以上分析得：当e e a 1>时，函数x a y =与x y a log =图象有0个交点； 当e e a 1=时，函数x a y =与x y a log =图象有1个交点； 当e e a 11<<时，函数x a y =与x y a log =图象有2个交点.2. 当10<<a 时 同样地，我们也在几何画板中画出x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21与x y 21log =图象，发现它们有一个交点（如图4）.当底数a )10(<<a 逐渐变小时，我们惊奇地发现)10(<<=a a y x 与)10(log <<=a x y a 图象出现了3个交点（如图5）.图4 图5 由函数的单调性和连续性知，当10<<a 时，)10(<<=a a y x 与)10(log <<=a x y a 图象不可能相切，所以交点情况只有1个或者3个.同样地，我们也可以用导数解出临界状态时的a 的值，类似的，我们得到以下结论： 当1<≤-a e a 时，函数x a y =与x y a log =图象有1个交点；当a ea -<<0时，函数xa y =与x y a log =图象有3个交点. 综上所述， 当ee a 1>时，函数x a y =与x y a log =图象有0个交点； 当e e a 1=或1<≤-a ea 时，函数x a y =与x y a log =图象有1个交点； 当e e a 11<<时，函数x a y =与x y a log =图象有2个交点；当a e a -<<0时，函数xa y =与x y a log =图象有3个交点.微练习：1．下列命题① 若点）（n m ,在函数x a y =图象上，则点）（m n ,在函数x y a log =图象上② 当1>a 时，函数x y a log =的图象与直线x y =无公共点③ 若点）（n m ,既在函数x a y =图象上，也在函数x y a log =图象上，则n m =④ 当10<<a 时，函数x a y =的图象与直线x y =有且只有一个公共点其中正确的命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知1>a ,则方程|log |x a a x =实根的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．1个或2个D ．1个或2个或3个3．已知10<<a ，则方程|log |||x a a x =的实根的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．2个或3个D ．2个或4个【答案】1.①由反函数图象对称性知正确；②当1>a 时，函数x y a log =的图象与直线x y =可能有0个或1个或2个交点，所以错误；③当10<<a 时，函数x a y =与函数x y a log =交点有3个时，其中2个不在x y =上，所以错误；④当10<<a 时，函数x a y =与直线只有一个交点，所以正确.故选C.2.由函数与方程思想知，方程的根的个数即函数x a y =与函数x y a log =图象交点个数，而x y a log =是把x y a log =图象在x 轴下方部分作关于x 轴对称，又因为当1>a 时，函数xa y =与函数x y a log =图象交点可能有0个或1个或2个，所以|log |x a a x =实根个数可能是1个或2个或3个，故选D.3.当10<<a 时，方程|log |||x a a x =在区间）（1,0内实根个数是1个或3个，在区间[)∞+，1内的实根个数为1个，所以10<<a 时，方程|log |||x a a x =实根个数为2个或4个，故选D.。
指数函数与对数函数关系的典型例题
经典例题透析类型一、求函数的反函数例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数.思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域).解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5，∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2.∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5)将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0)x x x x +≥⎧⎨-<⎩，求f -1(x). 思路点拨：求分段函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.解：当x ≥0时，y=x+1≥1，∴y ∈[1，+∞)，∴ f -1(x)=x-1 (x ≥1)；当x<0时，y=1-x 2<1，∴ y ∈(-∞，1)，反解 x 2=1-y ，，∴ f -1； ∴ 综上f -1(x)=1(1)(1)x x x -≥⎧⎪⎨<⎪⎩. 类型二、利用反函数概念解题例3.已知f(x)=112-+x x (x ≥3)， 求f -1(5). 思路点拨：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.解：设f -1(5)=x 0， 则 f(x 0)=5，即 20011x x +-=5 (x 0≥3)∴ x 02+1=5x 0-5， x 02-5x 0+6=0. 解得x 0=3或x 0=2(舍)，∴ f -1(5)=3.举一反三：【变式1】记函数y=1+3-x 的反函数为()y g x =，则g(10)=( ) A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-1(法一)依题意，函数13x y -=+的反函数y=-log 3(x-1)，因此g(10)=-2.(法二)依题意，由互为反函数的两个函数的关系，得方程1+3-x=10，解得x=-2，即g(10)=-2.答案B.例4.设点(4，1)既在f(x)=ax 2+b (a<0，x>0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程.解： ⎝⎛+⋅=+⋅=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)=ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2.类型三、互为反函数图象间关系例6.将y=2x的图象先______，再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2(x ＋1)的图象( )A ．先向上平行移动一个单位B ．先向右平行移动一个单位C ．先向左平行移动一个单位D ．先向下平行移动一个单位解析：本题是关于图象的平移变换和对称变换，可求出解析式或利用几何直观推断．答案：D总结升华：本题主要考查互为反函数的两个函数的图象的对称关系与函数图象的平移变换等基本知识，以及基本计算技能和几何直观思维能力．举一反三：【变式1】函数y=f(x+1)与函数y=f -1(x+1)的图象( )A.关于直线y=x 对称B.关于直线y=x+1对称C.关于直线y=x-1对称D.关于直线y=-x 对称解：y=f(x+1)与y=f -1(x+1)图象是分别将y=f(x)， y=f -1(x)的图象向左平移一个单位所得，∵ y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称，y=x 向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B.【变式2】已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x)，则函数y= f —1(1-x)的图象是( )【答案】由y=log 2x 得f —1(x)＝2x ，所以y=f —1(1-x)＝21-x， 选择C. 【变式3】（2011 四川理7）若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()12xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的反函数的图象大致是（ ）解：当0x >时，函数()f x 单调递减，值域为()1,2，此时，其反函数单调递减且图象在1x =与2x =之间，故选A ．类型四、指数函数和对数函数的综合问题例7.已知函数)2(log )(221x x x f －＝．(1)求函数的单调增区间；(2)求其单调增区间内的反函数．解：复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(t)，t=g(x)的单调性的关系：同增异减．(1)函数的定义域{x|x<0或x>2}，又t=x 2-2x=(x-1)2-1．∴x ∈(-∞，0)，t 是x 的减函数．而)0(log 21＞＝t t y 是减函数，∴函数f(x)在(-∞，0)为增函数．(2)函数f(x)的增区间为(-∞，0)， 令)2(log 221x x y －＝，则y x x )21(22＝－．∴0)21(22＝－－y x x ，1x ＝∵x<0，∴y x －＋－＝211．∴R)(211)(1∈x x f x －－＋－＝．总结升华：研究函数单调性首先要确定定义域；在函数的每个单调区间内存在反函数，因此要注意反函数存在的条件．。
互为反函数的指数与对数函数的交点问题浅探_张群先
了 0<a<1 和 a>1 两种情况下它们的单调性以及一些基本性质。但是通过几何画板的直观演示，可以发现，同一底数的指、对函数
它们有交点，可以不在直线 y=x 上。
【关键词】反函数；指数函数；对数函数；图像交点；解题技能
函数
图像的交点问题经常出现在一些题目中，
由于教材中并没有提到，在高中的日常教学中，老师往往会通
时，方程有且只有一解，即图像有一点交点；③当
时，方程有且只有一解，即图像有一个交点。
综上所述，得：当
时，方程
有且只有三解，即
图像有三个交点；当
有且只有一解，即图像有
一个交点；当
时，方程
有且只有一解，即图像有
一个交点；当
时，方程
有且只只有一解，即图像有一个交
点；当
通过使用几何画板作图我们可以
得到结论：①当 0<a<e-e 时，y=ax 与 y=
logax 的图象有三个交点；②当 e-e≤a ＜
1 时，y=ax 与 y=logax 的图象有一个交
点；③当
1<a<e
1 e
时，y=ax
与=logax
的图
象有两个交点；④当
a=e
1 e
时，y=ax
与
y=logax
的图象有一个交
2012 年第 12 期
互为反函数的指数与对数函数的交点问题浅探
张群先
(山西省高平市中等专业学校，山西 高平)
【摘 要】对于指数函数与对数函数的交点问题，我们都知道同一底数的指数与对数函数互为反函数，如果它们有交点，我们一
般认为它们应该在直线 y=x 上。这几乎是无可厚非的。对于指数函数
同底的指数函数与对数函数的交点问题
∙同底的指数函数与对数函数的交点问题∙需要具备的知识点指数函数一般地，形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数(exponential function) ，。
单调性：单调递减（0<a<1）,单调递增(a>1);对数函数单调性：单调递减（0<a<1）,单调递增(a>1);以上指数函数和对数函数的底数都用a表示。
求同底指数函数对数函数的交点方法：假设+渐近简要分析：首先看a>1还是0<a<1,高中范围内一般只考虑这两种情况.a>1交点数可能有三种情况，0个1个或2个.如下图0<a<1时图象有且仅有一个交点，我稍作说明。
Q:存在函数y=a^x与y=logax（a>1,a≠1）在x属于（0,+∞）,求其交点个数。
（a^x意思是a的x次方，logax指以a为底x 的对数）A:假设一个x，使得y=a^x与y=logax为可比较的数，可以设为a的平方或立方，（因为logaa^n=n，而a^n也是一个可以求的实数，所以可以进行比较。
如a=2，则可设x=1/2，2，4，8...）用所得的指数函数值减去对数函数值。
设指数函数值减去对数函数值为delta y，如果delta y等于或小于零时，函数有交点，如果delta y大于零则函数在x处无交点。
如何验证只有一个交点？首先找到一个x使得delta y为零，然后取x左右的横坐标值x1，x2，如果x1，x2使delta y都大于零，那么可以说指数函数与对数函数有且仅有一个交点。
（如果x1，x2对应的delta y一正一负，则函数图像有两个交点。
）如何验证有二个交点？（已证）如何计算两个交点的交点坐标？（如果出题的老师没有恶意的话，是可以用这种方法算出来的）首先找到一个横坐标值x使得delta y小于零，然后在x左侧或右侧找到一个x1使得delta y大于零，则交点横坐标点在（x，x1）或（x1，x）之间，可以继续假设，知道找到使delta y等于零的x值。
指数函数和对数函数的图像交点个数
摘 要 由零 点 定 理 判 定 函数 ｌ厂（ｚ）一 ａ 一 ｌｏｇ ， ７２（Ｏ＜ ｎ＜ １，ｚ＞ Ｏ）的 零 点 个 数 ，从 而 得 到 函 数 ｙ— ｎ 与 甬
‘ 数 — ｌｏｇ。ｚ 的 图像 的交 点 个 数 ，它 们 的 交 点 个 数 并 不 唯 一 ．
关 键 词 指数 函 数 ；对 数 函 数 ；零 点 定 理 ；交 点
续 ．又 因 为
ｌｉｍ ｇ（ｚ） ＝＝＝ｌｉｒａ （ｄ 一 ｚ） 一 １，
ｚ一 ０十
一 ０十
ｌｉｒ ａ ｇ（ ）一 ｌｉｍ （ｎ 一 － ｚ） 一 一 。。，
所 以 ，一定 存 在 — ａ，ｚ一 ，使得
ｇ（ａ）＞ ０， ｇ（ ）＜ ０，
由 零 点 定 理 可 知 Ⅲ ，函 数 ｇ（ｚ）在 开 区 间 （ａ，ｐ）内 至 少 有 一个 零点 ．综 上 ，函数 ｇ（ｚ）有且 只有 一 个零 点 ， 记 为 ｚ — ｚ０，则
厂（ ）一 ０， 厂（ ）＝＝＝０， 故 在 （Ｏ，＋ 。。）内 －厂（ｚ）有 且 只 有 三 个 零 点 （图 ２），即
一
ｚ 一
１
。
根据 微分 学相 关知 识可 知 ，当且 仅 当 ｚ一 时 ， ｌｒｌ
ｈ（ｚ）有极 大值 ，也 即最大 值
ａ ｏ — Ｚ ｎ ．
给 上 式 两 边 取 对 数 得
ｚ０ ＝ ｌｏｇ ‘ｚ ｏ，
故 点 （ 。，ｚ。）为 函数 ＝＝＝ａ 与 — ｌｏｇ ｚ 的 图像 的 一 个 交 点 （图 １）．
等式 仅在 ａ— ｅ 且 ｚ一 时 成立 ·又 因为
ｌｉｍｆ（ｘ）一 ｌｉｒａ （ｎ 一 １ｏ＆ｚ）一一 ∞ ，
一 ［）＋
一０
同底的指数函数与对数函数的交点问题
同底的指数函数与对数函数的交点问题问题：()log ,0,1xa y x y aa a ==>≠的图像在0x >上的交点个数。
解答：1.当1a >时，由二者图像的对称性知，二者图像的交点都在直线y x =上，故原问题等价于讨论()1xy aa =>与y x =在0x >上的交点的个数，等价于讨论()ln 1y x a a =>与ln y x =在0x >上的交点的个数。
令()ln ln f x x a x =-，则()1ln ,0f x a x x '=->。
当10ln x a <<时，()0f x '<，()f x 在10,ln a ⎛⎤ ⎥⎝⎦严格递减；当1ln x a >时，()0f x '>，()f x 在1,ln a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格递增；因此()f x 在01ln x a =处取得最小值()01lnln f x a =+。
图1 1ea e >图2 1ea e =图3 11ea e <<当()01lnln 0f x a =+>，即当1e a e >时，()0f x >在0x >上恒成立，()f x 在0x >上没有零点（如图1）；当1e a e =时，()0f x ≥在0x >上恒成立，且()010ln f x x x e a=⇔===，此时()f x 在0x >上有且仅有一个零点0x e =（如图2）；当11ea e <<时，最小值()00f x <，又因为()0111ln 1ln e x a a a<<=<-，且 ()()()()111ln 0,ln 1ln ln 01ln 1f a f a a a a a ⎛⎫=>=+-+> ⎪ ⎪--⎝⎭后式求导讨论即可验证（如下图），故()f x 在()01,x 和()01,1ln x a a ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭上各有一个零点，又由()f x 在0x 两侧的严格单调性知这两个零点都是唯一的，故()f x 在0x >上有且仅有两个零点。
指数函数与对数函数图象交点个数WORD编辑
指数函数与对数函数图象交点个数问题春到四月，如火如荼，若诗似画，美到了极致，美到了令人心醉。
“你是一树一树的花开，是燕，在梁间呢喃，你是爱，是暖，是希望，你是人间的四月天”。
喜欢才女林徽因歌颂四月之美的这首《你是人间的四月天》，她将四月的万种风情描摹得淋漓尽致，读来如沐春风如饮甘露。
四月之美，美在清明。
时光刚刚跨入四月的门槛，清明就如期而至，“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂。
”清明是一种传承了数千年的古老文化，是一场活着的人祭奠逝去的祖先的亲情style。
“风吹旷野纸钱飞，古墓垒垒春草绿”，每到清明，人们不会忘记在天堂的祖先，都会放下手中繁忙的工作，即便远离故土，也会怀揣湿漉漉的心事回到乡下，挑拣一个最宜祭祀的日子，赶往祖先墓地，虔诚地献上一捧鲜花，点上几支香火，烧上一些纸钱，将祖先的坟墓装扮一新，以表达对已逝亲人的思念和祝福。
清明时节，最容易勾起与已逝亲人一起度过的那些美好岁月的回忆，让人深刻体悟到亲情的可贵。
于是，亲情跨越了时空，泪水模糊了双眼。
在莹莹泪光中，就让活着的人好好活着，让已经逝去的人在天堂感到欣慰。
四月之美，美在祭祖的哀思，美在人间传递着的温情。
四月之美，美在谷雨。
“清明早、立夏迟，谷雨种棉正当时”，清明过后，雨水增多，有利于谷类作物的生长。
因此，谷雨是春播春种的关键时期。
在乡间，一到谷雨时节，村民们便忙了起来，房前屋后，田间地头，处处是村民们忙碌的身影，处处嘹亮起劳动的号角，处处律动着劳作的喜悦。
他们将生活的希望播撒，将幸福的种子栽种，早出晚归，乐而不疲，笑容满面。
他们洒下的是一粒粒咸涩的汗水，成就的将是整个秋天旷野上丰硕的果实。
累了，他们举头仰望绽开在湛蓝天空上多情的太阳；倦了，他们想一想等待在前方的耀眼金秋。
春风，贴着他们的身影吹过，将灼热的期盼和梦想带向遥远、遥远……他们劳动的姿势，仿佛在大地上书写一首生活的真爱长歌；他们奔忙的步伐，舞动出四月美妙和谐的韵律；他们洋溢在嘴角的笑意，仿佛闪烁在阳光下的一朵朵桃花。
探究同底指数函数与对数函数交点个数
探究同底指数函数与对数函数交点个数每次教高一，我都将“同底的指数函数与对数函数的交点个数问题”作为学生的一个自主探究材料，并在课堂教学中让学生通过即兴说题，激发学生的理性思维。
本文摘录一次对这一课题的探究过程，供中学同仁教学参考。
一、提出课题在指数函数和对数函数的基础上学完反函数后，我特意安排了一节复习课，目的是加深学生对指数函数和对数函数的相关性质的认识，同时也向学生展示一个完整的数学探究案例。
一上课，我就特意营造气氛引导学生提出探究课题，先提问学生所学过的有哪些反函数，然后要求学生画出其图像。
不一会，台下叽叽喳喳起来，已有学生按捺不住向我举手提问，好戏开场了。
生A：老师！我们知道，互为反函数的两个函数其图像关于直线y=x对称，那教材上和您为什么都不把它们的图像画在同一坐标系中以更好地研究其相关性质呢？师：这个问题你提得很好，其他同学也应有类似疑问。
（教师板书：为什么不将指数函数y= 与对数函数y= (a>0，且a≠1)的图像画在同一坐标系中？？？）众生：是啊！为什么呢？师：这个问题的内涵很丰富，探究价值也很高，很值得我们一起来思考。
同学们！你们能告诉生A为什么吗？生B：可能是因为这两个函数图像的交点个数不定。
师：大家说是吗？生C：（微笑）应该是这个原因。
因为底数a是一个参数，同底的指数函数与对数函数两图像的交点个数应与底数值有关。
师：英雄所见略同，我也持与你们相同的看法。
那大家能不能就生A的问题及其他同学的分析提出一个探究课题？生D：同底的指数函数与对数函数两图像的交点个数与底数值的关系。
生E：生D的提法太抽象，目标也不明确。
我的题目是：求指数函数y= 与对数函数y= 的图像的交点个数。
掌声猛然响起。
师：改得非常好，一个“求”字就让课题生动起来了。
这节课我们就来弄清楚这两个函数图像的交点个数。
（老师板书探究课题：求指数函数y= 与对数函数y= 的图像的交点个数。
）二、数学探究师：这节课我们的探究课题是：求指数函数y= 与对数函数y= 的图像的交点个数。
同底的指数函数与对数函数的图象有几个交点
同底的指数函数与对数函数的图象有几个交点作者：张松年来源：《新课程·中学》2012年第08期函数y=ax与y=logax（a>0，a≠1）的图象有几个交点？自《普通高中课程标准实验教科书·苏教版·数学必修1》提出这个问题以后，引起了中学数学教师的广泛关注。
2006年第2版《苏教版·数学必修1》第80页的例5和探究的内容是：例5：分别就a=2，a=■和a=■画出函数y=ax与y=logax的图象，并求方程ax=logax解的个数。
探究：当0教材提示利用Excel、图形计算器或其他画图软件（教学过程中一般用几何画板），在同一坐标系中分别就a=2，a=■和a=■时画出函数y=ax与y=logax的图象，通过观察，发现：在这三种情况下，两个函数图象的交点个数分别为0，2，1，从而方程ax=logax解的个数分别为0，2，1。
作为探究，用几何画板演示，可以发现：当0但问题是：这两个函数的图象到底有几个交点？会不会有4个公共点？交点个数变化时，底数a的临界值是什么？怎样找底数a的临界值呢？一、几个基本结论1.y=ax与y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。
如果函数y=logax的图象与直线y=x相交，那么交点必定在函数y=ax的图象上。
同样，如果函数y=ax的图象与直线y=x相交，那么交点必定在函数y=logax的图象上。
2.函数y=ax是凹函数，它的图象在其任意一条切线的上方。
证明如下：由y=ax，得y′=axlna，y″=ax（lna）2。
因为对任意的x∈R，都有ax>0，且（lna）2>0，所以y″>0，所以，函数y=ax是凹函数。
3.（1）当a>1时，函数y=logax是凸函数，它的图象在其任意一条切线的下方；（2）当0证明如下：由y=logax，得y′=■（x>0），y″=—■（x>0）。
因为对任意的x∈（0，+∞），都有x2>0，所以当a>1时，有lna>0，所以y″0，所以，函数y=logax是凹函数。
指数函数与对数函数图像交点个数问题
探究函数xy a =与log a y x =图象的交点个数问题函数xy a =与log a y x = (0,1)a a >≠且互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于a 的取值．在此，笔者以函数与方程的思想为指导，运用导数的知识来探究它们图象的交点个数问题．探究 由log xa y a y x⎧=⎨=⎩， 得（1）当1a >时①+②，得yxy a a x +=+. 令(),0.xf x a x x =+> 则()()f y f x =,即()()x f a f x =.∵1a >, ∴()f x 为增函数, ∴xa x =. 两边取自然对数,得ln ln xa x =,即ln ln 0x a x -=.令()ln ln ,0g x x a x x =->. 求导,得1()ln g x a x '=-． 令()0g x '=,得1ln x a=． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：x1(0,)ln a1ln a1(,)ln a+∞ ()g x '— 0 + ()g x↘极小值↗由上表可知,当1ln x a =时,()=g x 极小值()11ln 1ln ln ln a a-=+． ∵()g x 只有一个极值,∴ ()min ()1ln ln g x a =+. (ⅰ) 当()1ln ln 0a +>，即1ea e>时，方程()0g x =无解，此时函数xy a =与log a y x =的图象没有交点；(ⅱ) 当()1ln ln 0a +=，即1ea e =时，方程()0g x =有一解，此时函数xy a =与log a y x =的图象有一个交点；(ⅲ) 当()1ln ln 0a +<，即11ea e <<时，由于()g x 在()0,+∞内连续，且当0x +→时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞，∴方程()0g x =有两解，此时函数x y a =与(0,0)x y >>其中 ①②xyy aa x⎧=⎪⎨=⎪⎩log a y x =的图象有两个交点．（2）当01a <<时 由①、②，消去y ，得xa ax = ③由于0xa >，且01a <<，故0<xa a1<,即01x <<．对③式两边取自然对数，得ln ln x a a x =，即ln ln xx a a=．两边取自然对数，得ln ln ln ln xx a a=．令()ln ()ln ln ,0,1ln x h x x a x a =-∈．求导，得1()ln ln h x a x x'=-．由()0h x '=，得1ln ln x x a =．令1()ln ,(0,1)ln x x x x a ϕ=-∈．则()ln 1x x ϕ'=+．由()0x ϕ'=，得1x e =． 当1(0,)x e ∈时，()0x ϕ'<；当1(,1)x e∈时，()0x ϕ'>．∴当1x e =时，min 111()()ln x e e a ϕϕ==--．(ⅰ) 当110ln e a --≥，即1e a e ≥时，()0x ϕ≥恒成立．∴1ln ln x x a ≥，∵01a <<，01x <<，∴1ln 0ln a x x -≤，即()0h x '≤，当且仅当1e a e =，且1x e=时取“＝”号． ∴()h x 在(0,1)内是减函数． 又∵当0x +→时，()h x →+∞；当1x -→时，()h x →-∞，且()h x 在(0,1)内连续，∴方程()0h x =恰有一解，此时函数xy a =与log a y x =的图象有一个交点． (ⅱ) 当110ln e a --<，即10e a e <<时，∵011lim ()lim ()0ln x x x x aϕϕ+-→→==->，且()x ϕ在(0,1)内连续，∴存在11(0,),(,1)m n e e∈∈，使得()()0m n ϕϕ==，∴()()0h m h n ''==.当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：(0,)m(,)m n(,1)n()h x '－ + － ()h x↘↗↘由上表可知，()h x 在(0,)m 内是减函数，在(,)m n 内是增函数，在(,1)n 内是减函数.下面证明,1()0eh a <,1()0h e>.x111ln ()ln ln ln eee ah a a aa=-11ln ea a=--,10ea e <<. 令()F a =11ln ea a=--,10ea e <≤. 则当10ea e <<时,()F a '=11111ln e e a a a e a ---⋅111(ln 1)e a a e -=-+>1111(ln 1)e e a e e--+0=.∴()F a 在1(0,)e e 内是增函数, 又∵()F a 在1(0,]e e 上连续, ∴当10e a e<<时, 1()()0e F a F e<=,即1()0e h a <.1ln11()ln ln ln e h ae a e=-1ln(ln )ln a a e =---,10e a e <<. 令()G a 1ln(ln )ln a a e=---,10e a e <≤.易证它为减函数, ∴当10e a e <<时,1()()0e G a G e >=,即1()0h e>.∵10e a e<<, ∴1101e a e <<<, 又∵当0x +→时，()h x →+∞； 当1x -→时，()h x →-∞，且()h x 在(0,1)内连续，结合()h x 的单调性, ∴()h x 在区间1(0,)e a ,11(,)ea e, 1(,1)e内各有一个解. ∴此时函数x y a =与log a y x =的图象有三个交点． 综上所述, 函数xy a =与log a y x =(0,1)a a >≠且图象的交点有如下情况： 当1ea e >时，没有交点； 当1e a e =时，有一个交点； 当11e a e <<时，有两个交点；当11e a e≤<时,有一个交点； 当10e a e<<时，有三个交点．。
指数函数和对数函数图像与交点问题
关于指数函数与对数函数的问题一、指数函数底数对指数函数的影响：①在同一坐标系分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0<a<l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a>0，且a≠l时，函数与函数y=的图象关于y轴对称。
利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值二、对数函数底数对函数值大小的影响：1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a>l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O<a<l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数，则必有对数函数的图象与性质：三、对数函数与指数函数的对比：(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l时，它们是增函数；当O<a<l时，它们是减函数．(3)指数函数与对数函数的联系与区别：四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题一、1a >时方程x log a a x =的解 先求如图3所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。
设曲线x log y a y a x ==与相切于点M （00x ,x ），由于曲线x a y =在点M 处的切线斜率为1，所以⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧===1a ln a ,x a 1|)'a (,x a 0000x 0x x x x 0x 即所以a ln 1a x a ln 1,x a a ln 100x 0=⎪⎩⎪⎨⎧==则即e x ,e a ,a ln 1e 0e 1===此时所以。
关于同底指数函数与对数函数的交点问题
1 1 a ( )e x0 e 。此时， e。 则 1 1 1 a ( )e , x y a 与 y log x e 时，两条曲线 a 以上说明，当 相切于点 P（ e e ）。
因此有以下结论：
1 0 a ( )e e 时，方程（*）有且只有三解（见图 4 所示）； ①
1 a ( )e e 时，方程（*）有且只有一解（如图 5 所示）； ②当
1 ( )e a 1 ③当 e 时，方程（*）有且只有一解（如图 6 所示）。
1 ( ) e 0.06599 用计算器可算出 e 。由于此数非常小，因此，人们在平时较难观察到这种
较小数值所示的函数图像，这也是人们易产生错误认识的—个重要原因。 综上所述，得：
1 a (0, ( ) e ) x e 时，方程 a log a x 有且只有三解； 当 1 a ( ) e 时, 方程a x log a x e 当 有且只有一解； 1 a (( ) e ,1) x e 当 时，方程 a log a x 有且只有一解；
即
e
1 , 所以a e e , 此时x 0 e ln a 。
1
1
x e 以上说明，当 a e 时，两条曲线 y a 与y log a x相切于点M (e, e) 。
因此有以下结论： ①当 a
1 e e , 方程(*)
无解（见图 1 所示）；
②当 1 a
Hale Waihona Puke 1 ee，方程（*）有且只有两解（见图 2 所示）；
关于同底指数函数与对数函数的交点问题
x 函数 y a 与y log a x 图像的交点问题在一些题目中经常出现，由于教科书中并没有
提到，在日常教学中，老师往往作出草图去判断，但往往出现错误。现将该问题完整解答如 下：
同底的指数函数与对数函数的交点问题
同底的指数函数与对数函数的交点问题引文：讨论底a>1与0<a<1两种情况下函数的交点个数问题。
一、实例分析（一）判断函数y=3x与函数y=log3x的交点个数对于函数y=3x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。
由于底数a=3,a>1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。
对于函数y=log3x,其定义域为(0,+∞)，值域为全体实数。
由于底数a=3,a>1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。
二者在同一坐标系的图像如下图：由于函数y=log3x和函数y=3x互为反函数，即关于直线y=x 对称。
从图像容易知道y=3x和y=x没有交点，所以根据对称性质，y=log3x与对称轴y=x也没有交点，即此时函数y=3x与函数y=log3x的交点个数为0.此时留下思考问题：在a>1的情况下，y=a x和y=x之间是永远相离，还是可以相切，或是相交？（二）判断函数y=（1/3）x与函数y=log1/3x的交点个数对于函数y=(1/3)x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。
由于底数a=1/3,0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。
对于函数y=log1/3x,其定义域为(0,+∞)，值域为全体实数。
由于底数a=1/3,0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。
二者在同一坐标系的图像如下图：由于函数y=log1/3x和函数y=(1/3)x互为反函数，即关于直线y=x对称。
从图像容易知道y=(1/3)x和y=x有一个交点，所以根据对称性质，y=log1/3x与对称轴y=x同时交于此交点，即此时函数y=(1/3)x与函数y=log1/3x的交点个数为1.此时留下思考问题：（1）在0<a<1的情况下，y=a x和y=log a x在x趋近无穷远处或者在y趋近无穷远处，会不会相交？如果有，那就是3个交点。
（2）在0<a<1的情况下，本例出现的交点是1个，但不是切点，是否还存在只有1个交点且是切点的情况？二、结论归纳（一）函数y=a x与函数y=log a x(a>1)的交点个数对于函数y=a x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。
关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题
关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题作者：黄俊明作者单位：凯⾥学院数学与计算机科学系,贵州,凯⾥,556000刊名：凯⾥学院学报英⽂刊名：JOURNAL OF KAILI UNIVERSITY年，卷(期)：2007,25(6)被引⽤次数：1次参考⽂献(2条)1.蒋之卫函致y=ax与y=logax的图像何时有公共点[期刊论⽂]-中学数学⽉刊 2003(06)2.黄桂君争鸣问题34 2003(09)本⽂读者也读过(10条)1.钟⾦⼦正数与负数精讲精析[期刊论⽂]-中学⽣数理化（初中版七年级）2006(7)2.宗敏对数函数与指数函数的图像的交点个数的再探讨[期刊论⽂]-考试周刊2010(3)3.⾼焕江.GAO Huan-jiang指数函数与对数函数图像的两类交点[期刊论⽂]-红河学院学报2010,08(2)4.陈根⼟.郭勇《集合、函数概念、基本初等函数》单元训练[期刊论⽂]-中学⽣数理化（⾼⼀版）2008(7)5.马合成.MA He-cheng第指数函数与指数函数之⽐较[期刊论⽂]-潍坊学院学报2005,5(2)6.徐加⽣解析与指数函数有关的最值问题[期刊论⽂]-⾼中数理化（⾼⼀）2007(11)7.杨⼤强中国商业银⾏的效率分析——基于⼴义超对数成本函数的范围经济检验[期刊论⽂]-⾦融发展研究2008(3)8.刘爱莲.朱思铭.LIU AILIAN.ZHU SIMING时标上矩阵指数函数的计算[期刊论⽂]-应⽤数学学报2008,31(6)9.林婉仪.陈之兵指数函数与⼀次函数的⼤⼩关系[期刊论⽂]-⾼等数学研究2006,9(5)10.刘洪.LIU Hong指数函数的特性及应⽤[期刊论⽂]-长沙民政职业技术学院学报2004,11(1)引证⽂献(1条)1.⾼焕江指数函数与对数函数图像的两类交点[期刊论⽂]-红河学院学报 2010(2)本⽂链接：/doc/6c13751031.html/Periodical_qdnmzsfgdzkxxxb200706003.aspx。
指数函数与对数函数的交点问题
指数函数与对数函数的交点
指数函数y=a x(a>0,a=1)与对数函数y=log a x(a>0,a=1)互为反函数，它们的交点问题一直让人困惑，是有一个交点，还是有两个交点，还是有更多的交点，一直是部分人争论的话题。
下面就此问题进行探究。
一个交点：一个交点的情况很普遍，可以随便找到一个实例比如a= 0.5，此时y=0.5x与y=log0.5x的交点是1个，其部分图像（仅画出了交点附近的图像）如图1：
图1:指数函数与对数函数有1个交点的情况
两个交点：两个交点的情况也比较好找，比如a=√
2，此时y=
(√
2)x与y=log√
2
x的交点是2个，其部分图像（仅画出了交点附近的图像）
如图2：
1
图2:指数函数与对数函数有2个交点的情况
三个交点：三个交点的情况比较少见，很难想到，此处给出一个实例，比如a=0.03，此时y=0.03x与y=log0.03x的交点是3个，其部分图像（仅
：
画出了交点附近的图像）如图3
2。
对数函数易错题
对数函数易错题一、前言对数函数是高中数学中的重要内容，也是考试中的热门题型之一。
但是，由于对数函数的特殊性质，容易出现许多易错的地方。
本文旨在总结对数函数易错题型，并提供详细的解答方法和技巧。
二、基础知识回顾1. 对数函数定义对于任意正实数a（a≠1），b>0，且b≠1，称满足以下等式的x为以a为底b的对数：loga b=x其中，a称为底数，b称为真数。
2. 常用公式（1）换底公式：loga b = logc b / logc a其中，c为任意正实数且c≠1。
（2）指数与对数互化公式：a^loga x = xloga a^x = x3. 对数函数图像及性质（1）图像：以y=log2 x为例，其图像如下所示：[插入图片]（2）性质：①定义域：(0,+∞)②值域：(-∞,+∞)③单调性：增函数④奇偶性：无奇偶性⑤渐近线：x轴和y轴分别为其水平渐近线和垂直渐近线。
三、易错题型及解法1. 求对数函数的定义域和值域（1）定义域：对于loga x，由于底数a>0且a≠1，因此x>0。
综上所述，loga x的定义域为(0,+∞)。
（2）值域：由于loga x是增函数，当x趋近于0时，loga x趋近于负无穷；当x 趋近于正无穷时，loga x趋近于正无穷。
综上所述，loga x的值域为(-∞,+∞)。
2. 求对数函数的零点和极限（1）零点：当x>0时，loga x=0即，x=a^0=1因此，对数函数的零点为x=1。
（2）极限：当x趋近于正无穷时，lim loga x = +∞当x趋近于0时，lim loga x = -∞3. 求对数函数的解析式若已知对数函数过点P(x,y)，则可以列出如下方程组：y=loga xP(x,y)解得：y=logax=logay/logax=y/x因此，对数函数的解析式为y=logax=y/x。
4. 求指数函数与对数函数的交点坐标设指数函数为y=a^x，对数函数为y=logb x，则它们的交点坐标为：a^x=logb xx=loga logb xy=a^loga logb x=x因此，它们的交点坐标为(x,y)=(loga logb x,logb x)。
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同底指数函数与对数函数的交点问题
一、1a >时方程
x log a a x =的解 先求如图3所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。
设曲线x log y a y a x ==与相切
于点M （00x ,x ），由于曲线x
a y =在点M 处的切线斜率为1，
所以⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧===1a ln a ,x a 1|)'a (,x a 0000x 0x x x x 0x 即 所以a ln 1a x a ln 1,x a a ln 100x 0=⎪⎩⎪⎨⎧==则 即e x ,e a ,a ln 1e 0e 1===此时所以。
以上说明，当e 1
e a =时，两条曲线)e ,e (M x log y a y a x 相切于点与==。
因此有以下结论： ①当(*),e a e 1
方程>无解（见图1所示）；
②当e 1
e a 1<<，方程（*）有且只有两解（见图2所示）；
③当e 1
e a =，方程（*）有且只有一解（见图3所示）。
用计算器可算得
44467.1e e 1≈。
二、x log a 1a 0a x =<<时方程的解
先求如图5所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。
设曲线x log y a y a x ==与相切于点P ，由对称性知，点P 在直线x y =上，设)y ,x (P 00。
由于曲线)a y (x log y x a ==或在点P 处切线的斜为1-，
所以⎪⎩⎪⎨⎧-==1|)'x (log ,x a 0x 0x a 0x 即⎪⎩⎪⎨⎧-==1
a ln x 1,x a 00x 0 所以
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-e 1
x ,a ln 1e 1a ln 1x ,a ln 1a 00a ln 1即 则
e )e 1(a =。
此时，e 1x 0=。
以上说明，当
e )e 1(a =时，两条曲线x log y a y a x ==与相切于点P （e 1,e 1）。
因此有以下结论： ①
e
)e 1(a 0<<时，方程（*）有且只有三解（见图4所示）；
②当
e
)e 1(a =时，方程（*）有且只有一解（如图5所示）；
③当1a )e 1(e <<时，方程（*）有且只有一解（如图6所示）。
用计算器可算出06599.0)e 1(e ≈。
由于此数非常小，因此，人们在平时较难观察到这种
较小数值所示的函数图像，这也是人们易产生错误认识的—个重要原因。
综上所述，得： 当
))e 1(,0(a e ∈时，方程x log a a x =有且只有三解； 当x log a ,)e 1(a a x e ==方程时有且只有一解； 当)1,)e 1((a e ∈时，方程x log a a x =有且只有一解；
当)e ,1(a e
1∈时，方程x log a a x =有且只有两解； 当e 1
e a
=时，方程x log a a x =有且只有一解； 当)
,e (a e 1+∞∈时，方程x log a a x =无解。
随着时代的发展，多媒体计算机的出现，网络技术的运用，信息时代的来临，正在给传统教学方式带来深刻的影响，教育技术的更新也更新了教学手段、教学方法，也给我们解决问题创造了一些新的途径，提高了课堂教学的效率，我们可以通过多媒体探究问题解决的方法，验证问题解决的正确性。