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2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第8章 解析几何 练案65

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(浙江专版)2019版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何学案

(浙江专版)2019版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何学案

第八章 平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程适用范围 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线4．线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．若过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1 B.12 C ．2D.13解析：选A 由4－mm ＋2＝1，得m ＝1.故选A.2．直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角α为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．135°解析：选B 直线方程可变形为y ＝3x ＋33，tan α＝3， ∵0°≤α<180°，∴α＝60°.故选B.3．(2018·嘉兴检测)直线l 1：x ＋y ＋2＝0在x 轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：x ＋y ＋2＝0，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 1在x 轴上的截距为－2；令x ＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.答案：－2 x －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0解析：选B 当直线过原点时所求方程为2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5,2)，解得a ＝6，对应方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0，故选B.2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点一 直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析：选D 由题意得sin α＝－cos α，显然cos α≠0，则tan α＝－1，∴－ab＝－1，a ＝b ，a －b ＝0.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角．又k PA ＝－2－－11－0＝－1，k PB ＝1－－12－0＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：[－1,1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b的值．解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12. [谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞.当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率k ＝－A B. 考点二 直线的方程重点保分型考点——师生共研[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线方程在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)， ∴直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋y a＝1， ∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a＝1，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 即所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线y ＝－3x ＋1的倾斜角α＝120°. ∴所求直线的倾斜角为30°，即斜率k ＝33. (1)所求直线方程为y ＋1＝33(x －3)， 即3x －3y －6＝0. (2)所求直线方程为y ＝33x －5， 即3x －3y －15＝0.考点三 直线方程的综合应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )．∵直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得k ＜0.∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ·(1－2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·－4k ＝4，当且仅当－1k＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )(k ＜0)，∴截距之和为2－1k ＋1－2k ＝3－2k －1k≥3＋2－2k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2k ＝－1k ，即k ＝－22时等号成立．故截距之和的最小值为3＋22， 此时直线l 的方程为y －1＝－22(x －2)， 即x ＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )(k ＜0)，∴|PA |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－k ＋－k ≥4，当且仅当－k ＝－1k， 即k ＝－1时上式等号成立．故|PA |·|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B.[]－1，0C ．[0,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×(2－a )×2＋12×(a 2＋2)×2＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12.[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.3．(2018·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.5．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π二保高考，全练题型做到高考达标1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：选A ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的图象可能是( )解析：选B 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，选项B 符合．4．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 5．函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m＋1n的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．1解析：选B ∵函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)．∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn >0)． ∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·m n ＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n的最小值为4.6．(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝07．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)8．已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析：如图所示，设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ，y )． 则点P (x ，y )在线段AB 上移动，且A (2,4)，B (3,2)， 设直线l 的斜率为k . 又k OA ＝2，k OB ＝23.可知23≤k ≤2.故直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－exe x＋12＝－1e x＋1ex ＋2， 因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，所以ex＋1ex ＋2≥4， 故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)， 则直线l 的方程为x a ＋y b＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b＝1. 因为1＝3a ＋2b ≥26ab，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 －9k ·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立． 所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B21．(2018·金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3.2．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．答案：x ＋y －1＝0221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A ．7 B ．172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋26a b ·6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：252．已知直线l 1：x ＋3y ＝7与直线l 2：kx －y ＝2，以及与x 轴，y 轴围成的凸四边形有外接圆，求实数k 的值．解：如图所示，由直线l 1，l 2及x 轴，y 轴所围成四边形为OABC ，其有外接圆的充要条件是对角互补．∵∠COA ＝90°，∴∠CBA ＝90°，即l 1⊥l 2.∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，解得k ＝3. 3．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) [提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A. 2B.823C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________． 解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|PQ |min ＝|3×2＋4×－2－3|32＋42＝1. 答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝a ＋12＋b －12，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上． 所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0，解得a ＝－2或－32.法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32.答案：－2或－32考点三 对称问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝02．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4，3)， 则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝0 角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________． 解析：设A (x ，y )为所求直线上的任意一点， 则A ′(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，即3x －4(－y )＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0. 答案：3x ＋4y ＋5＝02已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝4－02＋－5－72＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直．2．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a a －2＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.3．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．4．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6x ＋5y －1＝0B ．5x ＋6y ＋1＝0C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0.5．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8.即直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)． 又因为直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点， 所以－8＝－9a －2，解得a ＝23.答案：23二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A.102B ．10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以PQ 为直径的圆上， ∵|PQ |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722 B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722. 3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|PQ |的最小值为2910.4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.5．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：选A 由直线与向量a ＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式可得反射光线所在的直线方程为x ＋2y －4＝0.6．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝07.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝4＋22＋2－02＝210.答案：2108．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|PQ |＝[2－－1]2＋－1－32＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]9．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.①又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 联立①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0， 得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的取值范围为________．解析：如图所示，因为y ＝2λx ＋λ＋2恒过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，连接AC ，CB ，所以直线AC 的斜率k AC ＝－10，直线BC 的斜率k BC ＝－47. 又直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，所以k AC ≤2λ≤k BC ，所以λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27 2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)．。

2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何作业理

2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何作业理

第八单元解析几何课时作业(四十六)第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础热身1.已知直线l过点(0,0)和(3,1),则直线l的斜率为()A.3B.C.-D.-32.如果A·B<0,B·C>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.[2017·绵阳二诊]直线x-y-3=0的倾斜角α是.4.[2017·郑州一中调研]点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为.5.已知等边三角形ABC的两个顶点为A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则BC边所在的直线方程是.能力提升6.[2017·通化二模]已知角α是第二象限角,直线2x+y tan α+1=0的斜率为,则cos α等于()A.B.-C.D.-7.过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍的直线的方程为()A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0 或x+4y-30=0D.x+y=0或x-4y-30=08.若<α<2π,则直线+=1必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.直线l:mx-m2y-1=0经过点P(2,1),则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线的方程是()A.x-y-1=0B.2x-y-3=0C.x+y-3=0D.x+2y-4=010.已知点A(1,-2)和B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.∪11.[2017·黄冈质检]已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是线段AB上的点,则P到AC,BC的距离的乘积的最大值为()A.3B.2C.2D.912.不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过一个定点,则这个定点的坐标是.13.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为.14.[2017·绵阳南山中学一诊]在平面直角坐标系xOy中,点A(0,1),B(0,4),若直线2x-y+m=0上存在点P,使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.难点突破15.(5分)已知直线l:x-my+m=0上存在点M满足与A(-1,0),B(1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB之积为3,则实数m的取值范围是()A.[-,]B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·河南安阳调研]直线y=m(m>0)与y=|log a x|(a>0且a≠1)的图像交于A,B 两点,分别过点A,B作垂直于x轴的直线交y=(k>0)的图像于C,D两点,则直线CD的斜率()A.与m有关B.与a有关C.与k有关D.等于-1课时作业(四十七)第47讲两直线的位置关系、距离公式基础热身1.[2017·永州一模]已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为()A.1B.C.D.22.[2017·南昌一模]两直线3x+2y-2a=0与2x-3y+3b=0的位置关系是()A.垂直B.平行C.重合D.以上都不对3.[2017·河北武邑中学月考]过点P(1,2),且到原点的距离最大的直线的方程是()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=04.[2017·大庆实验中学一模]与直线x+y+2=0垂直的直线的倾斜角为.5.[2017·重庆一中期中]点(-1,-2)关于直线x+y=1对称的点的坐标是.能力提升6.已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0,则“m=-2”是“l1∥l2”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件7.[2018·南昌二中月考]已知直线l1:mx-y+3=0与l2关于直线y=x对称, l2与l3:y=-x+垂直,则m=()A.-B.C.-2D.28.已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,则ab的最小值为()A.1B.2C.2D.29.点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为()A.(1,2)B.C.或D.或10.[2017·台州中学月考]设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线的方程分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是()A.y=3x+5B.y=2x+3C.y=2x+5D.y=-+11.[2017·莱芜期末]已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|>|Ax2+By2+C|,则()A.直线l与直线P1P2不相交B.直线l与线段P2P1的延长线相交C.直线l与线段P1P2的延长线相交D.直线l与线段P1P2相交12.已知直线3x+4y-3=0,6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是.13.[2017·蚌埠质检]在平面直角坐标系中,已知点P(-2,2),对于任意不全为零的实数a,b,直线l:a(x-1)+b(y+2)=0,若点P到直线l的距离为d,则d的取值范围是.14.[2017·六安一中月考]已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l平行且两直线之间的距离为,则直线l的方程为.难点突破15.(5分)[2017·南昌一模]已知点P在直线x+3y-2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ 的中点为M(x0,y0),且y0<x0+2,则的取值范围是()A.B.C.D.∪16.(5分)已知x,y为实数,则代数式++的最小值是.课时作业(四十八)第48讲圆的方程基础热身1.方程x2+y2-2x+m=0表示一个圆,则m的取值范围是()A.m<1B.m<2C.m≤D.m≤12.已知点P是圆(x-3)2+y2=1上的动点,则点P到直线y=x+1的距离的最小值是()A.3B.2C.2-1D.2+13.[2017·天津南开区模拟]圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是()A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=04.[2017·武汉三模]若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为.5.[2017·郑州、平顶山、濮阳二模]以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为.能力提升6.[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考]圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是()A.+=4B.+=4C.x2+=4D.+=47.已知两点A(a,0), B(-a,0)(a>0),若曲线x2+y2-2x-2y+3=0上存在点P,使得∠APB=90°,则正实数a的取值范围为()A.(0,3]B.[1,3]C.[2,3]D.[1,2]8.[2017·九江三模]已知直线l经过圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心,且坐标原点O到直线l的距离为,则直线l的方程为()A.x+2y+5=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+3=09.[2017·海南中学、文昌中学联考]抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则该圆的方程为()A.x2+=4B.+=4C.+y2=4D.+=510.[2017·广州一模]已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的圆心在直线ax-by+1=0上,则ab的取值范围是()A.B.C.D.11.已知直线l1:x+2y-5=0与直线l2:mx-ny+5=0(n∈Z)相互垂直,点(2,5)到圆C:(x-m)2+(y-n)2=1的最短距离为3,则mn= .12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,若点N(a,b)在直线l位于第一象限的部分,则+的最小值为.13.(15分)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆半径r的取值范围;(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值.14.(15分)已知曲线C1:x2+y2=1,点N是曲线C1上的动点,O为坐标原点.(1)已知定点M(-3,4),动点P满足=+,求动点P的轨迹方程;(2)设点A为曲线C1与x轴正半轴的交点,将A沿逆时针旋转得到点B,若=m+n,求m+n的最大值.难点突破15.(5分)[2018·赣州红色七校联考]已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线x-y+=0上,且圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+,则a2+b2的值为()A.1B.2C.3D.416.(5分)[2017·北京朝阳区二模]已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B 两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()A.150°B.135°C.120°D.30°课时作业(四十九)第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础热身1.直线y=2x+1与圆x2+y2-2x+4y=0的位置关系为()A.相交且经过圆心B.相交但不经过圆心C.相切D.相离2.[2017·惠州调研]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离3.[2017·大连一模]直线4x-3y=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦的长为()A.6B.3C.6D.34.圆心为(4,0)且与直线x-y=0相切的圆的方程为.5.[2017·昆明一中模拟]若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是.能力提升6.[2017·洛阳二模]已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l的方程为x+y=2,过圆C上任意一点P作与l的夹角为45°的直线交l于A,则的最小值为()A.B.1C.-1D.2-7.[2017·天津红桥区八校联考]若直线2ax-by+2=0 (a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则+的最小值是()A.B.4C.D.28.[2017·湖北六校联考]过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=1相切,且与直线l:ax+y-1=0垂直,则实数a的值为()A.0B.-C.0或D.9.[2017·广州模拟]已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab 的最大值为()A.15B.9C.1D.-10.[2017·安阳二模]已知圆C 1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2面积的最大值为()A.2B.4C.8D.2011.[2017·宜春二模]已知圆x2+y2=1和圆外一点P(1,2),过点P作圆的切线,则切线方程为.12.[2017·长沙雅礼中学模拟]在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m>0)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.13.(15分)[2017·汕头三模]已知圆C经过点(2,4),(1,3),圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆相交于M,N两点.(1)求圆C的方程.(2)①请问·是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.②若O为坐标原点,且·=12,求直线l的方程.14.(15分)已知圆O:x2+y2=9及点C(2,1).(1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A,B两点,试判断四边形OACB的形状,并给出证明;(2)过点C的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程.难点突破15.(5分)[2017·汉中质检]已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是 ()A.2B.2C.3D.316.(5分)[2017·重庆巴蜀中学三模]已知P为函数y=的图像上任一点,过点P作直线PA,PB 分别与圆x2+y2=1相切于A,B两点,直线AB交x轴于M点,交y轴于N点,则△OMN的面积为.课时作业(五十)第50讲椭圆基础热身1.[2017·陕西黄陵中学二模]已知椭圆的标准方程为x2+=1,则椭圆的焦点坐标为()A.(,0),(-,0)B.(0,),(0,-)C.(0,3),(0,-3)D.(3,0),(-3,0)2.[2017·河南息县一中模拟]已知圆O:x2+y2=4经过椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,则椭圆C的标准方程为 ()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.[2017·淮北模拟]椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是()A.B.C.1D.4.[2017·河南师范大学附属中学模拟]椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为.5.[2017·南宁期末]定义:椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,焦点三角形的周长为4+12,则椭圆C的方程是.能力提升6.[2017·株洲一模]已知椭圆+=1(a>b>0),F1为左焦点,A为右顶点, B1,B2分别为上、下顶点,若F1,A,B1,B2四点在同一个圆上,则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.7.[2017·韶关二模]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,点P为椭圆上一点,且△PF1F2的周长为12,那么C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=18.[2017·郑州三模]椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是()A.B.C.D.9.[2017·泉州模拟]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若点F关于直线y=-x的对称点P在椭圆C上,则椭圆C的离心率为 ()A.B.C.D.10.[2017·沈阳东北育才学校九模]椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆的周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为 () A.B.C.D.11.[2017·泉州质检]已知椭圆C:+=1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A,B,F,则·= .12.[2017·运城二模]已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是.13.(15分)[2018·海南八校联考]如图K50-1,点M(,)在椭圆+=1(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为6.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO (O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B (A,B不重合),求·的取值范围.图K50-114.(15分)[2017·南宁质检]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若圆O:x2+y2=1的切线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,求的最大值.难点突破15.(5分)[2017·长沙模拟]已知F是椭圆+=1的左焦点,设动点P在椭圆上,若直线FP 的斜率大于,则直线OP(O为坐标原点)的斜率的取值范围是()A.B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·郑州模拟]某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A,过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B,C……”②解:“设直线AB的斜率为k……点B,,D-,0……”据此,请你写出直线CD 的斜率为.(用k表示)课时作业(五十一)第51讲双曲线基础热身1.[2017·浙江名校联考]双曲线-=1的渐近线方程是()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x2.若双曲线C:x2-=1(b>0)的离心率为2,则b=()A.1B.C.D.23.[2017·泉州一模]在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的一个焦点为F(2,0),一条渐近线的倾斜角为60°,则C的标准方程为()A.-y2=1B.-x2=1C.x2-=1D.y2-=14.已知双曲线经过点(2,1),其一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为.5.[2017·柳州模拟]设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.能力提升6.[2017·洛阳模拟]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则C的两条渐近线的方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x7.[2017·汉中二模]如图K51-1,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B,A.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()图K51-1A.4B.C.D.8.[2017·泸州三诊]已知在Rt△ABC中,|AB|=3,|AC|=1,A=,以B,C为焦点的双曲线-=1(a>0,b>0)经过点A,且与AB边交于点D,则的值为 ()A.B.3C.D.49.已知O为坐标原点,F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E,直线BM与y 轴交于点N,若=2,则C的离心率为()A.3B.2C.D.10.[2017·重庆一中期中]已知A(-2,0),B(2,0),若在斜率为k的直线l上存在不同的两点M,N,满足|MA|-|MB|=2,|NA|-|NB|=2,且线段MN的中点为(6,1),则k的值为 ()A.-2B.-C.D.211.[2017·衡阳联考]双曲线的两条渐近线的方程为x±2y=0,则它的离心率为.12.[2017·石家庄二模]双曲线-=1(a>0,b>0)上一点M(-3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2,则该双曲线的标准方程为.13.(15分)[2017·海南一模]双曲线C的一条渐近线方程是x-2y=0,且双曲线C过点(2,1).(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1,A2,P为C上任意一点,直线PA1,PA2分别与直线l:x=1交于M,N,求|MN|的最小值.14.(15分)[2017·菏泽模拟]双曲线C的中心在原点,右焦点为F,0,渐近线方程为y=±x.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A,B两点,当k为何值时,以线段AB为直径的圆过原点?难点突破15.(5分)[2017·重庆一中月考]已知F2是双曲线E:x2-=1的右焦点,过点F2的直线交E的右支于不同的两点A,B,过点F2且垂直于直线AB的直线交y轴于点P,则的取值范围是()A. B.C. D.16.(5分)[2017·日照三模]在等腰梯形ABCD中,AB∥CD且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x,其中x ∈(0,1),以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x∈(0,1),不等式m<e1+e2恒成立,则m的最大值为()A.B.C.2D.课时作业(五十二)第52讲抛物线基础热身1.[2017·渭南质检]抛物线y=x2的焦点到准线的距离为()A.2B.C.D.42.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆C:(x+2)2+y2=16上,则p的值为()A.1B.2C.4D.83.[2017·合肥六校联考]抛物线y=x2的焦点到双曲线y2-=1的渐近线的距离为 ()A.B.C.1D.4.焦点坐标为(-2,0)的抛物线的标准方程为.5.已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为.能力提升6.已知点A的坐标为(5,2),F为抛物线y2=x的焦点,若点P在抛物线上移动,当|PA|+|PF|取得最小值时,点P的坐标是 ()A.(1,)B.(,2)C.(,-2)D.(4,2)7.若抛物线y2=2px的焦点到双曲线-=1的渐近线的距离为p,则抛物线的标准方程为()A.y2=16xB.y2=8xC.y2=16x或y2=-16xD.y2=8x或y2=-8x8.[2017·豫南九校联考]设抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于A,B两点,点P恰为AB的中点,过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M,若=4,则直线l的方程为()A.y=2x+1B.y=x+1C.y=x+1D.y=2x+29.[2017·蚌埠三模]设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-,则|PF|=()A.4B.6C.8D.1610.[2018·长沙模拟]已知F为抛物线C: y2=4x的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若=6,则= ()A.2B.C.2D.11.[2017·漳州八校联考]已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF= .12.[2017·天津河西区二模]已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,+=3,则线段AB的中点到y轴的距离为.13.(15分)[2017·孝感模拟]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,过F2作垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,△F1AB的面积为3,抛物线E:y2=2px(p>0)以椭圆C的右焦点F2为焦点.(1)求抛物线E的方程;(2)若点P-,t(t≠0)为抛物线E的准线上一点,过点P作y轴的垂线交抛物线于点M,连接PO并延长交抛物线于点N,求证: 直线MN过定点.14.(15分)[2017·广东海珠区调研]已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且到原点的距离为2.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.难点突破15.(5分)[2017·长沙三模]已知抛物线y2=4x,焦点为F,过点F作直线l交抛物线于A,B 两点,则|AF|-的最小值为()A.2-2B.C.3-D.2-216.(5分)[2017·抚州二模]已知直线y=2x-2与抛物线y2=8x交于A,B两点,抛物线的焦点为F,则·的值为.课时作业(五十三)第53讲曲线与方程基础热身1.在平面直角坐标系中,已知定点A(0,-),B(0,),直线PA与直线PB的斜率之积为-2,则动点P的轨迹方程为()A.+x2=1B.+x2=1(x≠0)C.-x2=1D.+y2=1(x≠0)2.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A.x2=12yB.y2=-12xC.y2=12xD.x2=-12y3.设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是()A.x2-4y2=1B.4y2-x2=1C.x2-=1D.-y2=14.[2017·沈阳模拟]平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A,B的坐标分别为(1,1),(-3,3).若动点P满足=λ+μ,其中λ,μ∈R,且λ+μ=1,则点P的轨迹方程为()A.x-y=0B.x+y=0C.x+2y-3=0D.+=55.[2017·北京海淀区期中]已知F1(-2,0),F2(2,0),满足||PF1|-|PF2||=2的动点P的轨迹方程为.能力提升6.[2017·上海普陀区二模]动点P在抛物线y=2x2+1上移动,若P与点Q(0,-1)连线的中点为M,则动点M的轨迹方程为()A.y=2x2B.y=4x2C.y=6x2D.y=8x27.到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=08.[2017·马鞍山质检]已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A.y2-=1B.x2-=1C.y2-=1D.x2-=19.[2017·襄阳五中月考]已知||=3,A,B分别在x轴和y轴上运动,O为坐标原点,=+,则动点P的轨迹方程是()A.x2+=1B.+y2=1C.x2+=1D.+y2=110.[2017·黄山二模]在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC的周长为C1:y2=2510②△ABC的面积为C2:x2+y2=4(y≠0)10③△ABC中,∠C3:+=1(y≠0)A=90°则分别满足条件①②③的轨迹方程依次为()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C211.[2017·浙江名校一联]已知两定点A(-2,0),B(2,0)及定直线l:x=,点P是l上一个动点,过B作BP的垂线与AP交于点Q,则点Q的轨迹方程为.12.[2017·哈尔滨三模]已知圆C:x2+y2=25,过点M(-2,3)作直线l交圆C于A,B两点,分别过A,B两点作圆的切线,当两条切线相交于点Q时,点Q的轨迹方程为.13.(15分)[2017·石家庄模拟]已知P,Q为圆x2+y2=4上的动点,A(2,0),B(1,1)为定点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.14.(15分)[2017·合肥二模]如图K53-1,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B 两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.图K53-1难点突破15.(5分)[2017·湖南师大附中月考]已知圆O的方程为x2+y2=9,若抛物线C过点A(-1,0),B(1,0),且以圆O的切线为准线,则抛物线C的焦点F的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=116.(5分)[2017·太原三模]已知过点A(-2,0)的直线与直线x=2相交于点C,过点B(2,0)的直线与x=-2相交于点D,若直线CD与圆x2+y2=4相切,则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为.课时作业(五十四)第54讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系基础热身1.[2017·大庆一模]斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是()A.B.C.D.2.若直线l:mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点有()A.0个B.至多1个C.1个D.2个3.已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若=3,则直线l的斜率为()A.2B.C.D.4.[2017·锦州质检]设抛物线x2=2y的焦点为F,经过点P(1,3)的直线l与抛物线相交于A,B 两点,且点P恰为AB的中点,则||+||= .5.已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(2,2),则直线l的方程为.能力提升6.若直线y=2x+与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,则等于()A.5pB.10pC.11pD.12p7.[2017·太原二模]已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,直线l: y=kx-kc.若k=,则l与Γ的左、右两支各有一个交点;若k=,则l与Γ的右支有两个不同的交点.Γ的离心率的取值范围为()A.B.C.D.8.已知椭圆E:+=1的一个顶点为C(0,-2),直线l与椭圆E交于A,B两点,若E的左焦点为△ABC的重心,则直线l的方程为()A.6x-5y-14=0B.6x-5y+14=0C.6x+5y+14=0D.6x+5y-14=09.[2017·石家庄模拟]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过点P(3,6)的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则双曲线C的离心率为 ()A.2B.C.D.10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,过A,B分别向y轴引垂线交y轴于D,C,若梯形ABCD的面积为3,则p= ()A.1B.2C.3D.411.[2017·洛阳一模]已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,F为椭圆C的右焦点.圆x2+y2=4上有一动点P,P不同A,B两点,直线PA与椭圆C交于点Q(异于点A),若直线QF 的斜率存在,则的取值范围是.12.[2017·三湘名校联考]已知双曲线-=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差的绝对值为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m的值为.13.(15分)[2017·东北三省二联]已知在平面直角坐标系中,O是坐标原点,动圆P经过点F(0,1),且与直线l:y=-1相切.(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程;(2)过F(0,1)的直线m交曲线C于A,B两点,过A,B分别作曲线C的切线l1,l2,直线l1,l2交于点M,求△MAB面积的最小值.14.(15分)已知直线l:y=kx+m与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和点M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1) 若椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D1,在椭圆C 上,求椭圆C的方程;(2)当k=时,若点N平分线段A1B1,求椭圆C的离心率.难点突破15.(5分)[2017·武汉三模]已知椭圆E:+=1(a>b>0)内有一点M(2,1),过M的两条直线l1,l2分别与椭圆E交于A,C和B,D两点,且满足=λ,=λ(其中λ>0且λ≠1),若λ变化时直线AB的斜率总为-,则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.16.(5分)已知抛物线C1:y2=8x的焦点为F,椭圆C2:+=1(m>n>0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合,若椭圆C2上存在关于直线l:y=x+对称的两个不同的点,则椭圆C2的离心率e的取值范围为.课时作业(五十四)第54讲第2课时最值﹑范围﹑证明问题基础热身1.(12分)[2017·重庆调研]如图K54-1,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F(1,0),过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B,交y轴于点C,=6.(1)求椭圆E的方程;(2)过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,连接MO(O为坐标原点)并延长交椭圆E于点Q,求△MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程.图K54-12.(12分)[2017·临汾模拟]已知动圆C与圆C1:(x-2)2+y2=1相外切,又与直线l:x=-1相切.(1)求动圆圆心轨迹E的方程;(2)若动点M为直线l上任一点,过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A,B两点,求证:k MA+k MB=2k MP.能力提升3.(12分)[2017·广州模拟]已知定点F(0,1),定直线l:y=-1,动圆M过点F,且与直线l相切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)过点F的直线与曲线C相交于A,B两点,分别过点A,B作曲线C的切线l1,l2,两条切线相交于点P,求△PAB外接圆面积的最小值.4.(12分)[2017·永州一模]已知曲线C上的任一点到点F(0,1)的距离减去它到x轴的距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)设直线y=kx+m(m>0)与曲线C交于A,B两点,若对任意k∈R,都有·<0,求m的取值范围.5.(12分)[2017·蚌埠二模]已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A(- ,0),B(,0),离心率为.设点P(a,t)(t≠0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点是O.(1)证明:OP⊥BC;(2)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积,求|t|的最小值.难点突破6.(12分)[2017·石嘴山三模]经过原点的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点,点P 为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的离心率;(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点,若点F1在以线段MN为直径的圆内部,求k的取值范围.课时作业(五十四)第54讲第3课时定点﹑定值﹑探索性问题基础热身1.(12分)[2017·岳阳一中月考]过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,当点A的纵坐标为1时,=2.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线l的斜率为2,则抛物线C上是否存在一点M,使得MA⊥MB?并说明理由.2.(12分)[2017·重庆二诊]如图K54-2,已知A,B分别为椭圆C:+=1的左、右顶点,P为椭圆C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB的斜率分别记为k1,k2.(1)求k1·k2.(2)过坐标原点O作与直线PA,PB分别平行的两条射线,分别交椭圆C于点M,N,△MON的面积是否为定值?请说明理由.图K54-2能力提升3.(12分)[2017·遂宁三诊]已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,若点M(x0,1)在C上,且=.(1)求p的值;(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点, 证明: 直线AM与直线BM的斜率之积为常数.4.(12分)[2017·长沙质检]已知P是抛物线E:y2=2px(p>0)上一点,P到直线x-y+4=0的距离为d1,P到E的准线的距离为d2,且d1+d2的最小值为3.(1)求抛物线E的方程;(2)直线l1:y=k1(x-1)交E于A,B两点,直线l2:y=k2(x-1)交E于C,D两点,线段AB,CD的中点分别为M,N,若k1k2=-2,直线MN的斜率为k,求证:直线l:kx-y-kk1-kk2=0恒过定点.5.(12分)[2017·哈尔滨二模]椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为,点M为椭圆上一动点,△F1MF2内切圆面积的最大值为.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,连接A1A,A1B并延长分别交直线x=4于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.难点突破6.(12分)[2017·孝义模拟]设椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为(-2,0),且椭圆C与直线y=x+3相切,(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(0,1)的动直线与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在常数λ,使得·+λ·=-7?请说明理由.课时作业(四十六)1.B[解析] 由斜率公式可得,直线l的斜率k==,故选B.2.A[解析] ∵直线在x轴、y轴上的截距分别为<0,-<0,∴直线Ax-By-C=0不经过的象限是第一象限,故选A.3.60°[解析] 由题意得,直线的斜率k=,即tan α=,所以α=60°.4.60°[解析] ∵点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,∴a-4+1=0,∴a=,即直线l的斜率为,∴直线l的倾斜角为60°.5.y=(x-4)[解析] 易知直线BC的倾斜角为,故斜率为,由点斜式得直线方程为y=(x-4).6.D[解析] 由题意,得k=-=,故tan α=-,故cos α=-,故选D.7.C[解析] 由题意,当直线经过原点时,直线的方程为x+y=0;当直线不经过原点时,设直线的方程为+=1,则+=1,解得a=,此时直线的方程为+=1,即x+4y-30=0.故选C. 8.B[解析] 令x=0,得y=sin α<0,令y=0,得x=cos α>0,所以直线过点(0,sin α),(cos α,0)两点,因而直线不过第二象限,故选B.9.C[解析] 将(2,1)代入得2m-m2-1=0,所以m=1,所以直线l的方程为x-y-1=0,所以直线l 的斜率为1,倾斜角为,则所求直线的斜率为-1,故选C.10.D[解析] 设直线l的倾斜角为θ,则θ∈[0,π).易知直线l:ax-y-1=0(a≠0)经过定点P(0,-1),则k PA==-1,k PB==.∵点A(1,-2),B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,∴k PA<a<k PB,∴-1<tan θ<,tan θ≠0,得0<θ<或<θ<π,故选D.11.A[解析] 以C为坐标原点,CB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示),则A(0,4),B(3,0),直线AB的方程为+=1.设P(x,y)(0≤x≤3),所以P到AC,BC的距离的乘积为xy,因为+≥2,当且仅当==时取等号,所以xy≤3,所以xy的最大值为3.故选A.12.(2,3)[解析] 直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据k的任意性可得解得∴不论k取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过定点(2,3).13.x+2y-2=0或2x+y+2=0[解析] 设直线方程为+=1,得+=1.由题意知|ab|=1,即|ab|=2,所以或所以直线方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.14.[-2,2][解析] 设P,y,∵|PA|=|PB|,∴4|PA|2=|PB|2,又∵|PA|2=+(y-1)2,|PB|2=+(y-4)2,∴(y-m)2=16-4y2,其中4-y2≥0,故m=y±2,y∈[-2,2].令y=2sin θ,θ∈-,,则m=2sin θ±4cosθ=2sin(θ±φ),其中tan φ=2,故实数m的取值范围是[-2,2].15.C[解析] 设M(x,y),由k MA·k MB=3,得·=3,即y2=3x2-3.联立得-3x2+x+6=0(m≠0),则Δ=-24-3≥0,即m2≥,解得m≤-或m≥.∴实数m的取值范围是-∞,-∪,+∞.16.C[解析] 由|log a x|=m,得x A=a m,x B=a-m,所以y C=ka-m,y D=ka m,则直线CD的斜率为==-k,所以直线CD的斜率与m无关,与k有关,故选C.课时作业(四十七)1.B[解析] 由平行线间的距离公式可知,l1与l2之间的距离d==.2.A[解析] 直线3x+2y-2a=0的斜率为-,直线2x-3y+3b=0的斜率为,∵两直线斜率的乘积为-1,∴两直线垂直,故选A.。

高考数学一轮复习第八章 解析几何答案 (2)

高考数学一轮复习第八章 解析几何答案 (2)

第八章 解析几何第40讲 直线的方程及位置关系1.B【解析】 由于倾斜角为60°，故斜率k ＝3.又直线过点(－1，0)，所以直线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.2. C【解析】 若直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.3. C【解析】 因为x ＜0时，a x＞1，所以0＜a ＜1，则直线y ＝ax ＋1a的斜率满足0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a＞1，只有C 符合．4.D 【解析】因为直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，所以此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正常数a 的值是1，故选D.5. D【解析】 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b＝－1.又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4.6.C【解析】由题易知直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为CD ＝62＋22＝210.(第6题)7.ACD【解析】设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y2＝3x2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫66，＋∞.故选ACD. 8.ABD【解析】对于动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k∈R )，当k ＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A 正确；联立方程组⎩⎨⎧x －y －1＝0，(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0，可得(2k ＋1)x ＝0，对任意的k ，此方程有解，可得l 1与l 2有交点，故B 正确；因为当k ＝－12时，k ＋11＝k －1＝k －1成立，此时l 1与l 2重合，故C 错误；由于直线l 1：x －y －1＝0的斜率为1，动直线l 2的斜率为k ＋1－k＝－1－1k≠－1，故对任意的k ，l 1与l 2都不垂直，故D 正确．9. AD 【解析】 设点P 的坐标为(a ，b )． 因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 所在直线的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， 所以|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫277，－87. 10.2x －4y ＋3＝0【解析】因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1,0)，B (0,2)，故AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 11. 2910【解析】因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.12.6【解析】以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，(第12题)设B (a ，－2)，C (b,3)．因为AC ⊥AB ，所以ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. 所以Rt △ABC 的面积S ＝12a2＋4·b2＋9＝12a2＋4·36a2＋9＝1272＋9a2＋144a2≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．所以△ABC 的面积的最小值为6. 13.【解答】(1)由题知过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k2＋1＝2，解得k ＝34.此时直线l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(第13题)(2)作图可得过点P 且与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l ·k OP ＝－1，因为k OP ＝－12，所以k l ＝－1kOP ＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5.(3) 由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．14. 【解答】 (1) 设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3313，413.(2) 在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为点P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 15. 【解答】 如图，建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)， 所以直线EF 的方程为x30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )， 作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R . 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝PQ ·PR ＝(100－m )(80－n )．又m30＋n20＝1(0≤m ≤30)，所以n ＝20－23m ， 所以S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．所以当m ＝5时，S 有最大值，这时EPPF＝5∶1.所以当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．(第15题) 第41讲 圆的方程1. A2. B3. A4.B【解析】设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2.因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5，所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5. D 【解析】 由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12，化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0.6.D【解析】由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，因为圆x 2＋y 2＋2x －6y＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，所以该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，所以a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．所以1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D. 7.ABD【解析】对于A ，将圆化为标准方程，得(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(1,2)，半径为r ＝2，点(1，－2)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(－2－2)2＝4>r ，所以点在圆外．对于B ，由圆心(1,2)到直线的距离公式得d ＝|1－2＋2|12＋12＝22.对于C ，因为两圆的圆心坐标分别为O (0,0)和C (－2,2)，直线l 为线段OC 的垂直平分线，所以直线l 的方程是x －y ＋2＝0.对于D ，设P (x ，y )是圆C 上一点．而y x的几何意义就是直线OP 的斜率(O 为坐标原点)．设yx＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx . 由图可知，当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．(第7题)因为点C 到直线y ＝kx 的距离d ＝|3k －3|k2＋1，所以当|3k －3|k2＋1＝6，即k ＝3±22时，直线OP 与圆相切，所以y x的最大值是3＋22，故选ABD.8. ACD【解析】 由于y ≥0，所以x 2＋y 2＝4(y ≥0)为上半圆，如图，设3x ＋y ＝m ，当直线过点(－2,0)时，m ＝－23.设圆心O 到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m|2≤2，解得m ∈[－23，4]．故选ACD.(第8题)9.AC【解析】如图，由原点到直线l 的距离d ＝212＋12＝1，知直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP ，OQ ，由∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，则四边形APOQ 为正方形，所以OA ＝2OP ＝2.设A (t ，2－t )，则由两点间的距离公式得OA ＝t2＋(2－t )2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或2.因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．(第9题)10.x 2＋y 2－2x ＝0【解析】方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.方法二：画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.(第10题)11.25【解析】 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于点Q ，由对称性可知PA ＋PQ ＝A ′P ＋PQ ≥A ′Q ＝A ′C －r ＝25. 12.22【解析】x2＋y2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为(x －1)2＋(y －1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≤0，y ≤0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≥0，y ≤0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≤0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22.综上可知，x2＋y2的最大值为22.13.【解答】(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，PC ＝2，设P (a,2a )，则a2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫65，125.(2)设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0， 即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫85，165.14. 【解答】 (1) 若选择条件①， 则PM PN＝2，即(x －2)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝2，整理得x 2＋y 2－12x ＋32＝0，即(x －6)2＋y 2＝4. 若选择条件②，由A (4,0)，B (6,2)的中点为E (5,1)，k AB ＝2－06－4＝1，知AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －5)，即x ＋y －6＝0. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －6＝0，x ＋y －6＝0，解得圆心C (6,0)．半径r ＝CA ＝2，所以曲线C 的方程为(x －6)2＋y 2＝4. (2) 由直线x ＝ay ＋4被曲线C 截得的弦长为2，知圆心到直线的距离d ＝4－1＝3.由点到直线的距离公式得d ＝|6－a ·0－4|a2＋1＝3，解得a ＝±33.15. 【解答】 (1) 设圆C 的圆心为C (a ，b )， 则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8.因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，所以点O 在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝8，ba ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.因为点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2) 假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎨⎧(x －4)2＋y 2＝16，(x ＋2)2＋(y －2)2＝8，解得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．第42讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1.A【解析】方法一：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．方法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m|m2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．方法三：(代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，Δ＝(－2m 2)2－4(1＋m 2)(m 2－5)＝4(4m 2＋5)>0，故直线l 与圆相交．2.C【解析】 由圆C 1与圆C 2外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9.根据基本不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为94. 3.C【解析】当直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得切线长的最小值，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.4.C【解析】 因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．(第4题)5. C 【解析】 将x ＝2y －y2化为x 2＋(y －1)2＝1，x ≥0，表示半圆，所以圆心(0,1)，半径r ＝1.因为圆心到直线x －y －2＝0的距离d ＝322，所以圆上的点到直线的最小距离b ＝322－1， 最大距离为(0,2)到直线的距离，即a ＝42＝22， 则a －b ＝22＋1. 6.D【解析】圆的标准方程为x 2＋(y －5)2＝3，圆心为(0，5)，半径r ＝3，由圆心到直线2x ·sinθ＋y ＝0的距离d ＝54sin2θ＋1＜3，解得sin 2θ＞16，所以弦长为2r2－d2＝23－54sin2θ＋1，因为53＜4sin 2θ＋1≤5，所以1≤54sin2θ＋1＜3，所以弦长2r2－d2＝23－54sin2θ＋1∈(0,22]，当4sin 2θ＋1＝5，即sin 2θ＝1时，弦长有最大值22.7. BC【解析】 因为直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，故圆C 的圆心(－3,3)到直线y ＝kx －1的距离的最大值为(－3－0)2＋(3＋1)2＝5.又圆C 的半径为6，故弦长AB 的最小值为262－52＝211.又当直线y ＝kx －1过圆心时，弦长AB 取最大值为直径12，故AB∈[211，12]．故选BC.8.AD【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x2＋y2－2x －2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1＋3，所以AB ＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，半径r ＝2，所以圆心C (1,1)到直线kx －y ＋3＝0的距离d ＝|k －1＋3|k2＋1＝|k ＋2|k2＋1.因为d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB 22，所以(k ＋2)2k 2＋1＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2322，即(k ＋2)2＝k 2＋1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，满足题意的直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选AD.9. ABD 【解析】 如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|42＋(－3)2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0,1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1，设O 2(a ，b )，则由题意知⎩⎨⎧b ＋1＝a2＋(b －1)2，b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋(－3)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，则O 2(2,1)，所以O 1O 2＝22＋12＝5.O 2到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝2.由于O 1，O 2的位置不确定，故ABD 错误．(第9题)10.10【解析】由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5.又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|32＋(－1)2＝102，由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB 22＝r 2－d 2，得AB 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－52＝10，即AB ＝10.11. y ＝－12【解析】由题意知，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，易求得这个圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将此圆的方程与圆C 的方程作差可得AB 所在直线的方程为y ＝－12.12. 3 【解析】 方法一：设A (a,2a )，a >0，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋52，a ，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧xD ＝1，yD ＝2，所以AB→·CD→＝(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a －32，2－a ＝a2－2a －152＋2a 2－4a ＝0，所以a ＝3或a ＝－1.又a >0，所以a ＝3，所以点A 的横坐标为3.方法二：因为AB→·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tanθ＝2，k ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立⎩⎨⎧y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3.13. 【解答】 (1) 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x1·－1x2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况． (2) 由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x22，12，则BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －x22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y －12＝x2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －x22，x22＋mx2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－m 2，－12， 半径r ＝m2＋92.故该圆在y 轴上截得的弦长为2·r2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 14.【解答】(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍去)，所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2) 存在，当点N 为(4,0)时，x 轴平分∠ANB . 理由如下：当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k2k2＋1，x 1x 2＝k2－4k2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y1x1－t ＋y2x2－t＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，使得∠ANM ＝∠BNM 总成立． 15.【解答】(1)将圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0)，且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5，解得b ＝1， 所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(第15题)(2)因为k OA ＝2，所以可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝25.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC 22＝25，即|2×6－7＋m|22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.(3) 由TA→＋TP →＝TQ →，知四边形AQPT 为平行四边形， 又因为P ，Q 为圆M 上的两点，所以PQ ≤2r ＝10. 所以TA ＝PQ ≤10，即(t －2)2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221， 故实数t 的取值范围为[2－221，2＋221]．第43讲 椭 圆第1练1.C【解析】设椭圆C 的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．因为短轴长为2，所以2b ＝2，解得b ＝1.因为离心率e ＝c a＝255，又a 2＝b 2＋c 2＝1＋c 2，所以a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为y25＋x 2＝1.故选C.2. A 【解析】 当m ＝4时，a 2＝5，b 2＝4,2c ＝25－4＝2，即m ＝4时，椭圆x25＋y2m＝1的焦距为2.当m ＝6时，a 2＝6，b 2＝5,2c ＝26－5＝2，即“m ＝4”是“椭圆x25＋y2m＝1的焦距为2”的充分不必要条件，故选A.3. A【解析】 由题意知y21m＋x 2＝1，所以a 2＝1m，b 2＝1，所以2×1m＝2×1×2＝4，所以m ＝14.故选A.4. A【解析】 过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则△AF 1F 2∽△CDF 2，由AF2→＝2F2C →，知F 1F 2＝2F 2D ，AF 1＝2CD ，所以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c ，b22a ，因为点C 在椭圆上，所以(2c )2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b22a 2b2＝1，即5c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝55.5. A 【解析】 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，因为OP ＝OF 2，所以OP ＝OF 2＝OF 1，所以△PF 1F 2为直角三角形，即∠F 1PF 2＝90°.因为tan ∠PF 2F 1＝2，所以m ＝2n .因为△PF 1F 2的面积为4，所以12mn ＝4，即mn ＝8.因为∠F 1PF 2＝90°，所以m 2＋n 2＝F 1F 22＝4c 2.由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a ，所以m 2＋n 2＋2mn ＝4a 2，解得b 2＝4，m ＝4，n ＝2，所以a ＝3，所以所求椭圆方程为x29＋y24＝1，故选A.6. A 【解析】如图，设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′为矩形，因此AB ＝FF ′＝2c ，AF ＋BF ＝2a ，AF ＝2c sin α，BF ＝2c cosα，所以2c sinα＋2c cosα＝2a ，所以e ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4，因为α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12，π6， 所以α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，5π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，2＋64，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤62，1＋32，所以e ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1，63.(第6题)7.AB【解析】 由题意知m >0，当m ＜5时，a ＝5，b ＝m ，c ＝5－m ，所以e ＝c a ＝5－m 5＝105，解得m ＝3；当m ＞5时，a ＝m ，b ＝5，c ＝m －5，所以e ＝c a＝m －5m＝105，解得m ＝253.故选AB.8.BD【解析】 观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即A 选项不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝PF ，即B 选项正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，a1－c1c1<a2－c2c2，即0＜a1c1<a2c2，从而c 1a 2>a 1c 2，c1a1>c2a2，即D 选项正确，C 选项不正确．故选BD 9.ACD【解析】对于A ，因为F 1F 2＝2，所以F 2(1,0)，PF 2＝1，所以QF 1＋QP ＝2a －QF 2＋QP ≥2a －PF 2＝2a －1，当Q ，F 2，P 三点共线时取等号，故A 正确；对于B ，假设椭圆C 的短轴长为2，则b ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为x22＋y21＝1，代入点P 的坐标得12＋11>1，则点P 在椭圆外，假设不成立，故B 错误；对于C ，因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a＋1b <1，又a －b ＝1，所以b ＝a －1，所以1a＋1a －1<1，即a 2－3a ＋1>0，解得a >3＋52＝6＋254＝(1＋5)24，所以a >1＋52，所以e ＝1a<5－12，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，5－12，故C 正确； 对于D ，若PF1→＝F1Q →，则F 1为线段PQ 的中点，所以Q (－3，－1)，所以9a ＋1b ＝1，又a －b ＝1，即a 2－11a ＋9＝0，解得a ＝11＋852＝22＋2854＝(5＋17)24，所以a ＝5＋172，所以椭圆C 的长轴长为5＋17，故D 正确．10.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12 【解析】 由方程x2m＋y21－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得1－m >m >0，解得0<m <12，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12. 11. 24【解析】 在椭圆x249＋y224＝1中，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，设PF 1＝m ，PF 2＝n ，由PF 1⊥PF 2，得m 2＋n 2＝(2c )2＝100，又m ＋n ＝2a ＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧m2＋n2＝4c2＝100，m ＋n ＝2a ＝14，所以mn ＝(m ＋n )2－(m 2＋n 2)2＝142－1002＝48，所以S △PF 1F 2＝12mn ＝24.12.33【解析】由于AF 2的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点F 1且AB⊥F 1F 2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，－b2a .因为P 是AF 2的中点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，b22a .又F 2(c,0)，则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ，3b22a ，AF2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c ，－b2a .因为BP →·AF2→＝0，则2c 2－3b42a2＝0，即2c ＝3b2a .又b 2＝a 2－c 2，则2ac ＝3(a 2－c 2)，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．13. 【解答】 (1) 由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a2－b2. 不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b2a，－b2a，C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故AB ＝2b2a，CD ＝4c . 由CD ＝43AB ，得4c ＝8b23a，即3×c a＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c a 2，解得c a ＝－2(舍去)或c a ＝12.所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x24c2＋y23c2＝1，所以C 1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，3c )，(0，－3c )，C 2的准线方程为x ＝－c .由已知得3c ＋c ＋c ＋c ＝12，即c ＝2.所以C 1的标准方程为x216＋y212＝1，C 2的标准方程为y 2＝8x .14.【解答】(1)由椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (a,0)，上顶点为B (0，b )，可得直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0,则点O 到直线AB 的距离d ＝ab a2＋b2＝255，即4a 2＋4b 2＝5a 2b 2，①因为△OAB 的面积为1，所以12ab ＝1，即ab ＝2，②由①②，可解得a ＝2，b ＝1, 所以椭圆的标准方程为x24＋y 2＝1.(2) 由(1)可得x ＋2y －2＝0，所以直线AB 的斜率为－12，设直线l 的方程为y ＝－12x ＋t ，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋t ，x24＋y2＝1，整理得2y 2－2ty ＋t 2－1＝0，则y 1＋y 2＝t ，y 1y 2＝t2－12，所以k 1·k 2＝y1x1－2·y2－1x2＝y1y2－y1x1x2－2x2，所以x 1x 2－2x 2＝4(t －y 1)(t －y 2)－4(t －y 2)＝4[t 2－t (y 1＋y 2)＋y 1y 2－t ＋y 2]＝4[(y 1＋y 2)2－(y 1＋y 2)(y 1＋y 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋y 2]＝4(y 1y 2－y 1)， 所以k 1·k 2＝y1y2－y14(y 1y 2－y 1)＝14，即k 1k 2＝14为定值．第2练1.D【解析】由于方程x2m＋y2m2－1＝1为椭圆，且焦点(0,1)在y 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，m2－1>0，m2－1>m ，m2－1－m ＝1，解得m ＝2，所以a ＝22－1＝3，长轴长为2a ＝23.2. B 【解析】 因为椭圆E 的离心率为22，所以c a ＝22，因为椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，32，所以12a2＋34b2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，所以焦距为2c ＝2. 故选B.3. D 【解析】 依题意，8π＝ab ·π，故ab ＝8①. 不妨设直线l ：xa ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，则椭圆的中心到直线l 的距离为ab a2＋b2＝43417，解得a 2＋b 2＝34②，联立①②，又a ＞b ＞0，解得a ＝42，b ＝2，故椭圆C 的方程为x232＋y22＝1. 4.B【解析】 由题意可知，以AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，也过左焦点，如图所示，OA ＝OB ＝OF 1＝OF 2，故这两个焦点F 1，F 2和A ，B 两点为顶点得一矩形．直线y ＝－3x 的倾斜角为120°，所以矩形宽为c ，长为3c .由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a ，即c ＋3c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23＋1＝3－1，故选B.(第4题)5. A 【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x2a2＋y2b2＝1⇒(b 2＋a 2k 2)x 2＝a 2b 2，则x ＝±ab b2＋a2k2，由题意知ab b2＋a2k2＝c ①，因为e ＝c a＝12，所以a ＝2c ，b ＝a2－c2＝3c ，代入①可得12c43c2＋4c2k2＝c 2⇒k ＝±32.故选A. 6. C 【解析】如图，由椭圆的定义可知QF 1＋QF 2＝2a ，PF 1＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，因为PF 2＝F 1F 2，所以PF 2＝2c ，则PF 1＝2(a －c )．因为2PF 1＝3QF 1，所以QF 1＝23PF 1，所以QF 1＝4(a －c )3，则QF 2＝2a ＋4c3.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠PF 1F 2＝PF21＋F2F21－PF222PF1·F2F1＝a －c2c ；在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2＝QF21＋F2F21－QF222QF1·F2F1＝a －3c4c .因为∠PF 1F 2＋∠QF 1F 2＝180°，所以cos ∠PF 1F 2＝－cos ∠QF 1F 2，所以a －c 2c＝－a－3c4c，化简得3a＝5c，所以e＝ca＝35. 所以椭圆的离心率为35.(第6题)7. BC 【解析】因为x26＋y2＝1，所以a＝6，b＝1，所以c＝a2－b2＝6－1＝5，则椭圆C的焦距为25，离心率为e＝ca＝56＝306.设P(x，y)(－6≤x≤6)，则PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－x26＝56⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋652＋45≥45>15，所以圆D在椭圆C的内部，且PQ的最小值为45－15＝55.故选BC. 8. ABC 【解析】由椭圆x225＋y216＝1，得a＝5，b＝4，c＝3，故A正确；椭圆上的动点P满足a－c≤PF1≤a＋c，即有2≤PF1≤8，故FP1的最小值为2，B正确；设FP1，FP2，FP3，…组成的等差数列为{a n}，公差d>0，则a1≥2，a n≤8，又d＝an－a1n－1，所以d≤6n－1≤621－1＝310，所以0<d≤310，所以d的最大值是310，故C正确，D错误．故选ABC.9. ABD 【解析】 设P (x 0，y 0)，则k PA ·k PB ＝y20－9x20＝y20－91－y209＝－9.设k PA ＝k (k ＞0)，则k PB ＝－9k，直线AP 的方程为y ＝kx －3，则点M 的坐标为(5,5k－3)．直线BP 的方程为y ＝－9k x ＋3，则点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5，－45k ＋3， 所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k －3－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45k ＋3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k ＋45k －6≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪25k ·45k －6＝24，当且仅当5k ＝45k，即k ＝3时等号成立．从而△DMN 面积的最小值为12×24×6＝72，故选ABD.10.2＋6－2【解析】如图，因为△ABF 为顶角是150°的等腰三角形，所以设AB ＝x ＝AF ，则由余弦定理得cos 150°＝AB2＋AF2－BF22AB ·AF，则BF ＝6＋22x .又OF ＝AB 2＋AF ·cos ∠AFO ＝3＋12x ＝2，解得x ＝6－2，BF ＝6＋22x ＝2，则2a ＝BF ＋BF 2＝BF ＋AF ＝2＋6－2.(第10题)11.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1【解析】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即点F 到点P 与点A 的距离相等，而FA ＝a2c －c ＝b2c，PF ∈(a －c ，a ＋c ]，于是b2c∈(a －c ，a ＋c ]，即ac －c 2<b 2≤ac ＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧ac －c2<a2－c2，a2－c2≤ac ＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ca <1，c a ≤－1或c a ≥12，又e ∈(0,1)，故e ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1. 12.63【解析】 如图，设点F (c,0)，因为直线AB ：y ＝33x ，所以tan ∠AOF ＝33，即∠AOF ＝30°.又AF ⊥BF ，O 为AB 中点，所以OA ＝OF ＝c ，所以点A (c cos ∠AOF ，c sin ∠AOF )，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2.因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2在椭圆上，所以3c24a2＋c24b2＝1， 又b 2＝a 2－c 2，化简得3c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，即3e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝23或2(舍去)，故e ＝63.(第12题)13. 【解答】 (1) 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧94a2＋3b2＝1，c a ＝53，c2＋b2＝a2，解得a 2＝9，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x29＋y24＝1.(2)由(1)知A (0,2)，所以∠PAQ 的平分线方程为y ＝2x ＋2，在直线y ＝2x ＋2上取点B (－1,0)，则AB ＝5，因为直线AP ，AQ 互相垂直，所以∠PAQ ＝90°， 所以点B 到AP ，AQ 的距离为102.设AP ：y ＝kx ＋2，则102＝|－k ＋2|1＋k2，解得k ＝－3或13.不妨取AP ：y ＝－3x ＋2，则AQ ：y ＝13x ＋2，分别与椭圆C 方程联立解得x P ＝10885，y P ＝－15485，x Q ＝－125，y Q ＝65，所以直线PQ 的斜率k PQ ＝－3239.14. 【解答】 (1) 由点P (2，3)在椭圆上可得2a2＋3b2＝1，整理得2b 2＋3a 2＝a 2b 2①.由S △PF 1F 2＝12×2c ×3＝23，解得c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋4，代入①式整理得b 4－b 2－12＝0，解得b 2＝4，a 2＝8.所以椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.(2) 由(1)可得F 2(2,0)，所以设直线l 1：x ＝my ＋2，联立直线与椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x28＋y24＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋4my －4＝0，所以直线l 1与椭圆两交点的中点M 的纵坐标y M ＝y1＋y22＝－2mm2＋2.同理直线l 2与椭圆两交点的中点N 的纵坐标y N ＝2m 1m2＋2＝2m2m2＋1，所以S △MNF 2＝12MF 2·NF 2＝121＋m2·1＋1m2·|y M ||y N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m (1＋m 2)2m 4＋5m 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m (1＋m 2)2(m 2＋1)2＋m 2， 将上式分子分母同除m (1＋m 2)可得， S △MNF 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22m2＋1m ＋m 1＋m2， 不妨设m >0，令m2＋1m ＝t ，t ≥2，则S △MNF 2＝22t ＋1t ，令f (t )＝2t ＋1t ，f ′(t )＝2t2－1t2，因为t ≥2，所以f ′(t )>0，所以f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝2时，△MNF 2的面积取得最大值，且S max ＝24＋12＝49. 第44讲 双曲线1. C2. B3. B【解析】 因为双曲线的右焦点为F (3,0)，即c ＝3，双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.又点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，所以|3b|b2＋a2＝1，即3b c＝1，所以b ＝1，则a ＝c2－b2＝22，因此e ＝ca ＝324.故选B.4.B【解析】由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，a ＝b ，将点(3，2)代入双曲线方程得a ＝b ＝1，根据对称性，不妨设点P 在第一象限，点P 到x 轴的距离为h ，F 1F 2＝22，PF 1－PF 2＝2，由余弦定理得F 1F 22＝PF 12＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2，所以PF 1·PF 2＝4，由三角形面积公式得12PF 1·PF 2sin60°＝12F 1F 2·h ，解得h ＝62.故选B.5.A【解析】方法一：双曲线x24－y22＝1的右焦点F (6，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨设点P 在第一象限，由PO ＝PF ，得点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以△PFO 的面积为12×6×32＝324.方法二：不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以OF ＝6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.6. D 【解析】 如图，设△AMF 1的内切圆在边AF 1，AM 的切点分别为E ，G ，(第6题)则MF 1－MF 2＝2a ，得NF 1＋2－MF 2＝2a ，又NF 1＝EF 1＝GF 2，则GF 2＋2－MF 2＝2a ，得2＋MG ＝2a ，又MG ＝2，则2a ＝4, a ＝2，所以双曲线C 的离心率为22＋42＝2.故选D.7. BC 【解析】 由双曲线方程x24－y212＝1，得a ＝2，b ＝23，c ＝a2＋b2＝4，所以实轴长2a ＝4，故选项A 错误；渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ，故选项B 正确；离心率e ＝c a＝2，故选项C 正确；准线方程为x ＝±a2c ＝±1，取其中一条准线x ＝1，y ＝3x 与x ＝1的交点A (1，3), 点A 到直线y ＝－3x 的距离d ＝|3×1＋3|(3)2＋12＝3，故D 错误．故选BC.8.ACD【解析】对于A ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，正确；对于B ，由题意得F 2(2， 0)，F 1(－2， 0)，则以F 1F 2为直径的圆的方程不是x 2＋y 2＝1，错误；对于C ，F 1(－2， 0)到渐近线y ＝x 的距离为1，正确；对于D ，由题意得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设P (x 0，y 0)，根据PF1→·PF2→＝0，解得x 0＝±62，y 0＝±22，则△PF 1F 2的面积为1，正确．9.AC【解析】设双曲线C 的左焦点为F ′，则QF －QF ′＝2a ，即QF ＝QF ′＋2a ，故QF ＋PQ ＝QF ′＋PQ ＋2a ≥PF ′＋2a .由题意可得PF ＝PF ′＝24＋1＝5，所以PQ ＋QF ＋PF ≥2PF ＋2a ≥14，所以a ≥2，则双曲线C 的离心率e ＝c a ＝26a≤6.因为e >1，所以双曲线C 的离心率的取值范围为(1，6]．10.x210－y25＝1【解析】 由题意设所求双曲线方程为x212－y26＝k ，因为双曲线过点(23，－1)，所以1212－16＝k ，k ＝56，所以所求双曲线方程为x212－y26＝56，即x210－y25＝1. 11.10【解析】 因为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，所以b a＝2，即b ＝2a .因为左焦点F (－3，0)，所以c ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2＝3，所以a 2＝1，b 2＝2，所以双曲线方程为x 2－y22＝1，直线l 的方程为y ＝2(x ＋3)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2(x ＋3)，x 2－y22＝1，消去y 可得x 2＋43x ＋7＝0，Δ＞0， 所以x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝7，所以AB ＝1＋k2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4·48－28＝5×20＝10. 12. 75 【解析】 由定义知PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＝6PF 2，所以PF 1＝125a ，PF 2＝25a .当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝PF21＋PF22－F1F222·PF1·PF2＝14425a2＋425a2－4c22·125a ·25a ＝3712－2512e 2，即e 2＝3725－1225cos ∠F 1PF 2.因为cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，所以e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，75.当P ，F 1，F 2三点共线时，因为PF 1＝6PF 2，所以e ＝c a ＝75.综上，e 的最大值为75. 13. 【解答】(1) 设所求双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则 42－(－10)2＝λ，所以λ＝6.所以所求双曲线的标准方程为x26－y26＝1.(2) 将点M (3，m )代入双曲线方程，得326－m26＝1，所以m 2＝3，所以M (3，±3)． 又由双曲线方程知F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝m2－3＝3－3＝－1，所以MF 1⊥MF 2.(3) 由MF 1⊥MF 2知∠F 1MF 2＝90°， 所以MF 21＋MF 2＝F 1F 2.① 又因为MF 1－MF 2＝26，②①－②2得2MF 1·MF 2＝F 1F 2－24＝24，所以MF 1·MF 2＝12，所以S △F 1MF 2＝12MF 1·MF 2＝6.14. 【解答】 (1) 设双曲线C 的方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知得a ＝3，c ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x23－y 2＝1.(2) 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 将y ＝kx ＋2代入x23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k2≠0，Δ＝36(1－k 2)＞0，x A＋x B＝62k 1－3k 2＜0，x A x B＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，1.15. 【解答】 (1) 设点F 1，F 2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)(c >0)，由题知c a＝2，所以c ＝2a ，c 2＝4a 2，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32在双曲线C 上，所以1a2－94b2＝1， 则b 2－94a 2＝a 2b 2，即3a 2－94a 2＝3a 4，解得a 2＝14，a ＝12.所以c ＝1.连接PQ ，因为OF 1＝OF 2，OP ＝OQ ，所以四边形PF 1QF 2为平行四边形． 因为四边形PF 1QF 2的周长为42，所以PF 2＋PF 1＝22>F 1F 2＝2.所以动点P 的轨迹是以点F 1，F 2分别为左、右焦点，长轴长为22的椭圆(除去左右顶点)．可得动点P 的轨迹方程为x22＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 因为x 21＋x 2＝2，x212＋y 21＝1，x222＋y 2＝1，所以y 21＋y 2＝1，所以OG ·MN ＝MN ·OG ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y1＋y222＝12x21＋x22＋y21＋y22－2x1x2－2y1y2· x21＋x22＋y21＋y22＋2x1x2＋2y1y2 ＝123－2x1x2－2y1y23＋2x1x2＋2y1y2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x1x2－2y1y2＋3＋2x1x2＋2y1y22＝32. 当且仅当3－2x 1x 2－2y 1y 2＝3＋2x 1x 2＋2y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0时取等号， 此时OM ⊥ON ，即△OMN 为直角三角形．第45讲 抛物线1. D2. C 【解析】 将x ＝4代入抛物线方程得P (4,4)，根据抛物线定义得PF ＝4＋p 2＝4＋1＝5.3.B【解析】设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又点P 到焦点F 的距离为2，所以由定义知点P 到准线的距离为2,所以x P ＋1＝2，所以x P ＝1.代入抛物线方程得|y P |＝2，所以△OFP 的面积为S ＝12·OF ·|y P |＝12×1×2＝1.4.C【解析】抛物线C ：x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，圆M ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2(r >0)的圆心为(3,4)，因为准线恰好与圆M 相切，所以圆心到准线的距离为r ＝|4＋1|＝5.5.B【解析】因为CC 1的中点为M (1,4)，所以y A ＋y B ＝8，x C －p 2。

2019年全品一轮复习文科数学第8单元 解析几何测评答案

2019年全品一轮复习文科数学第8单元 解析几何测评答案

小题必刷卷(十一)1. A[解析] 由题意可知,圆心为(1,4),所以圆心到直线的距离d==1,解得a=-.2. B[解析] 由垂径定理得2+()2=a2,解得a2=4,∴圆M:x2+(y-2)2=4,∴圆M与圆N的圆心距d=--=.∵2-1<<2+1,∴两圆相交.3. C[解析] 依题意可得C1(0,0),C2(3,4),则|C1C2|==5.又r1=1,r2=-,由r1+r2=-+1=5,解得m=9.4. D[解析] 不妨设直线l:x=ty+m,代入抛物线方程有y2-4ty-4m=0,则Δ=16t2+16m>0.又中点M(2t2+m,2t),圆心C(5,0),k MC k l=-1,所以m=3-2t2,当t=0时,对于0<r<5,满足条件的直线有2条,当t≠0时,代入Δ=16t2+16m,可得3-t2>0,即0<t2<3.又由圆心到直线的距离等于半径,可得r===2.由0<t2<3,可得r∈(2,4).5. C[解析] 由抛物线的方程y2=4x得焦点F(1,0),准线l:x=-1,故直线MF的方程为y=(x-1).由-得M(3,2又MN⊥l,所以N(-1,2),所以直线NF的方程为x+y-=0,所以M到直线NF的距离d=-=2.6. 4[解析] 联立-消去x得y2-3y+6=0,解之得-或不妨设A(-3,),则过点A且与直线l垂直的直线方程为x+y+2=0,令y=0得x C=-2.同理得过点B 且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标x D=2,∴|CD|=4.7.4π[解析] x2+y2-2ay-2=0,即x2+(y-a)2=a2+2,则圆心为C(0,a).又|AB|=2,C到直线y=x+2a的距离为-,所以2+-2=a2+2,得a2=2,所以圆C的面积为π(a2+2)=4π.8. (x-2)2+y2=9[解析] 设圆心的坐标为(a,0)(a>0),根据题意得=,解得a=2(a=-2舍去),所以圆的半径r=--=3,所以圆的方程为(x-2)2+y2=9.9. (-2,-4)5[解析] 由题意知a2=a+2,则a=2或a=-1.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0⇒x+2+(y+1)2=-,不能表示圆;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,所以圆心坐标是(-2,-4),半径是5.10. B[解析] 直线l的方程为x=0时,直线l与圆(x-2)2+y2=4相切;直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,则=2,解得k=.∴“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为”的必要不充分条件.故选B.11. D[解析] 由题意得-=|PO|,所以(x-3)2+(y+4)2-4=x2+y2,即6x-8y-21=0,故选D.12. C[解析] 设该圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=4,且a>0,b<0,因为该圆与直线x=0和x+y-2=0均相切,所以-解得-即该圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=4.故选C.13. B[解析] 设M(x,y),∵|MN|=|MO|,∴(x-2)2+(y-2)2-1=x2+y2,整理得4x+4y-7=0,即动点M在直线4x+4y-7=0上.又|MN|的最小值就是|MO|的最小值,∴所求最小值为=.14. C[解析] 由题意得,圆C经过点(0,±2),所以圆C的方程可设为(x-a)2+y2=r2.由-解得故选C.15. B[解析] 由题意得,圆心O(0,0)到直线x+y=m(m>0)的距离d==,∵m>0,∴m=.16. A[解析] 由题意得-=-,解得a=1,∴半径-=,∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.17. A[解析] 由x2+y2-4x+2y+1=0得(x-2)2+(y+1)2=4,则圆心为C(2,-1),代入mx+y-1=0,得m=1,所以A(-2,1),则|AC|=,所以|AB|=-=4.18. D[解析] 圆x2+y2=4的圆心为原点O(0,0),半径为2,若圆上恰有4个点到直线l的距离等于1,则O到直线l:y=x+b的距离d小于1,即d=<1,解得-<b<,即b的取值范围为(-.19. D[解析] 圆C:(x-)2+(y-1)2=1的圆心为C(,1),半径为1.∵圆心C到点O(0,0)的距离为2,∴圆C上的点到点O的距离的最大值为3,最小值为1.又∠APB=90°,∴以AB为直径的圆和圆C有交点,可得|PO|=|AB|=t,故有1≤t≤3.20. D[解析] ∵抛物线y2=-12x的焦点为(-3,0),∴过抛物线y2=-12x的焦点且倾斜角为45°的直线l的方程为x-y+3=0.∵圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)的圆心为(a,2),半径r=2,∴圆心到直线x-y+3=0的距离d=,又∵直线l被圆C截得的弦长为2,∴+3=4,解得a=-1或a=--1(舍去).21.[解析] 当动点与圆心的连线与直线y=x垂直时,两条射线的夹角最大,如图,易得夹角的最大值为.22.x2+(y-1)2=2[解析] ∵抛物线x2=4y的焦点为(0,1),∴圆的圆心为(0,1).∵圆与直线y=x+3相切,∴圆的半径r==,∴该圆的标准方程为x2+(y-1)2=2.23. 2[解析] 由△AOB的面积为可得,△AOB为直角三角形,且∠AOB=90°,则点O到直线AB的距离为,即-=⇒a2+b2=2,故当且仅当a=b=1时,a+b取得最大值2.小题必刷卷(十二)1. D[解析] 易知F(1,0),因为曲线y=(k>0)与抛物线C交于点P,且PF⊥x轴,所以=2,所以k=2.2. B[解析] 由题意得,m2=25-42=9,因为m>0,所以m=3,故选B.3. D[解析] 不妨设点P在第一象限,由双曲线方程x2-=1知右焦点F(2,0),又PF与x轴垂直,所以P(2,3),点A(1,3)到直线PF的距离为1,所以S△APF=×3×1=.4. B[解析] 不妨设直线l经过椭圆的焦点F(c,0)和顶点(0,b),则直线l的方程为+=1,椭圆中心到直线l的距离为-=×2b.又a2=b2+c2,所以离心率e==.5. C [解析] 由双曲线的标准方程知b=1,又a>1,所以e= ==< ,又双曲线的离心率e>1,所以选C .6. B [解析] 抛物线C :y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2,即椭圆的半焦距c=2.又离心率e= = = ,所以a=4,于是b 2=12,则椭圆的方程为 +=1.A ,B 是C 的准线x=-2与E 的两个交点,把x=-2代入椭圆方程得y=±3,所以|AB|=6.7. A [解析] 设M (-c ,y 0),则AM 所在直线方程为y=-(x+a ),令x=0,得E 0,-.BM 所在直线方程为y=- -(x-a ),令x=0,得y=- - -.由题意得- - - = ×-,解得a=3c ,即e= =.8. 5 [解析] 令 - =0,得双曲线的渐近线方程为y=± x ,∵双曲线 - =1(a>0)的一条渐近线方程为y=x ,∴a=5. 9.-y 2=1 [解析] 根据双曲线的渐近线方程y=± x ,可设双曲线方程为 -y 2=λ(λ≠0),将点(4, )的坐标代入得λ=1,所以双曲线方程为-y 2=1.10. 12 [解析] 由已知得a=1,c=3,则F (3,0),|AF|=15.设F 1是双曲线的左焦点,根据双曲线的定义有|PF|-|PF 1|=2,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF 1|+2≥|AF 1|+2=17,即点P 是线段AF 1与双曲线的交点时,|PA|+|PF|=|PA|+|PF 1|+2最小,即△APF 周长最小,此时,sin ∠OAF= ,cos ∠PAF=1-2sin 2∠OAF= ,即有sin ∠PAF=.由余弦定理得|PF|2=|PA|2+|AF|2-2|PA||AF|cos ∠PAF ,即(17-|PA|)2=|PA|2+152-2|PA|×15×,解得|PA|=10,于是S △APF =|PA|·|AF|·sin ∠PAF= ×10×15×=12 .11. C [解析] 由题意,得点M,∵K - ,∴k KM =±1,∴∠MKO=45°.12. D [解析] 不妨设M (x 1,y 1)(x 1>0,y 1>0),N (x 2,y 2),l 的方程为x=my+ ,∵ =4 ,∴y 1=-4y 2,将l 的方程与抛物线方程联立,得y 2-2mpy-p 2=0,∴y 1y 2=-p2,∴y 2=- ,x 2=,∴k MN =-- -=.根据对称性可得直线l 的斜率为±,故选D .13. D [解析] 由题意可得解得a=4,c=2,又b 2=a 2-c 2,∴b2=42-22=12,∴椭圆C的方程为+=1.14. B[解析] 因为抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,则由题意知,点F(-6,0)是双曲线的左焦点,所以a2+b2=c2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.15. C[解析] 抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),直线l:y=kx-k过抛物线的焦点,如图,过M作MM'垂直于准线x=-1,垂足为M',由抛物线的定义知,|MM'|=|MF|,由2=,得cos∠NMM'==,则tan∠NMM'=,根据对称性知直线l的斜率k=±.16. A[解析] ∵线段AB的垂直平分线过右焦点F,∴|BF|=|AF|,即=a+c,整理得5c2-6ac-8a2=0,即5e2-6e-8=0,解得e=2或e=-(舍),∴双曲线C的离心率为2.17. D[解析] 由题设可得=4,F,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=--,=-,由=4可得--又x1=,x2=,故--解得y2=±,所以k AB=--==-=±,应选答案D.18. B[解析] 抛物线y2=4x的焦点为F2(1,0),准线为x=-1,设P(m,n),∵(+)·(-)=0,∴||2-||2=0,由F1(-1,0),F2(1,0),可得|F1F2|=2,所以|PF2|=2,由抛物线的定义可得x P+1=2,即有x P=1,所以P(1,±2),由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=-=2-2=2a, 所以a=-1,c=1,所以e==+1.19. A[解析] 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,不妨令A在x轴上方,此时A-,B--,∴k OA·k OB=-×=-,不符合题意.若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+1),联立整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-,x1+x2=-,∴y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=--+k2=-,∴k OA·k OB==--=-1,解得k=±.∴直线l的方程为x-y+=0或x+y+=0,∴O到直线l的距离d==.20. C[解析] ①当直线BC的斜率不存在时,直线方程为x=5,代入抛物线方程y2=4x得B(5,2),C(5,-2),所以直线AB的斜率k AB=--=-,直线AC的斜率k AC=---=--,所以k AB·k AC=-1,所以AB与AC垂直,所以三角形ABC是直角三角形.②当直线BC的斜率存在时,显然斜率不能为0,否则与抛物线只有一个公共点,所以设直线方程为x-5=a(y+2)(a是斜率的倒数),代入抛物线方程化简得y2-4ay-8a-20=0,设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=4a,y1y2=-8a-20,x1+x2=(ay1+2a+5)+(ay2+2a+5)=a(y1+y2)+4a+10=4a2+4a+10,x1x2=(ay1+2a+5)(ay2+2a+5)=4a2+20a+25.因为(y1-2)(y2-2)=y1y2-2(y1+y2)+4=-16a-16,(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=16a+16,k AB·k AC=--·--=-=-1,所以AB和AC的斜率的乘积等于-1,即AB垂直于AC.综上可知,三角形ABC是直角三角形.21.-y2=1[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴可设双曲线的方程为-y2=m(m≠0), 又双曲线经过点(2,1),则有-12=m,解得m=1,∴双曲线的标准方程为-y2=1.22.[解析] 设焦点为F,由题意知∠PAF=60°,则x P=+⇒x P=,所以4=x P++=2p+⇒p=.解答必刷卷(五)1.解:(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1,因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0,所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C 的左焦点F.2.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,==1.于是直线AB的斜率k=--(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.3.解:(1)由椭圆的离心率为,得a2=2(a2-b2),又当y=1时,x2=a2-,得a2-=2,所以a2=4,b2=2,因此椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由Δ>0得m2<4k2+2,(*)且x1+x2=-,因此y1+y2=,所以D-,又N(0,-m),所以|ND|2=-+,整理得|ND|2=,因为|NF|=|m|,所以==1+.令t=8k2+3,t≥3,故2k2+1=,所以=1+=1+,令y=t+,所以y'=1-.当t≥3时,y'>0,从而y=t+在[3,+∞)上单调递增,因此t+≥,当且仅当t=3时等号成立,此时k=0,所以≤1+3=4,由(*)得-<m<且m≠0,故≥.设∠EDF=2θ,则sin θ=≥,所以θ的最小值为,从而∠EDF的最小值为,此时直线l的斜率是0.综上所述:当k=0,m∈(-,0)∪(0,)时,∠EDF取到最小值.4.解:(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).因为椭圆C的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点, 且抛物线x2=8y的焦点是(0,2所以b=2.又由=,a2=c2+b2,得a=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)由题易得t=3,即P(2,3),Q(2,-3).当∠APQ=∠BPQ时,直线PA,PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,直线PA的方程为y-3=k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2),由--整理得(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0,则x1+2=-.同理,直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=---=,所以x1+x2=-,x1-x2=-,所以k AB=--=----=--=,所以直线AB的斜率为定值.5.解:(1)易知直线l的斜率存在,可设直线l:y=kx+b,M(x1,y1),N(x2,y2).由直线l和圆O相切,得=1, ∴b2=k2+1.由-消去y,整理得x2-kx-b-2=0,∴x1+x2=k,x1x2=-b-2.由OM⊥ON,得·=0,即x1x2+y1y2=0,∴x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,∴(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,∴(1+k2)(-b-2)+k2b+b2=0,∴b2(-b-2)+(b2-1)b+b2=0,∴b2+b=0,∴b=-1或b=0(舍去).当b=-1时,k=0,故直线l的方程为y=-1.(2)设Q(x1,y1),R(x2,y2),则k QR=--=----=x1+x2,∴x1+x2=-.由题知,直线PQ,PR的斜率均存在.设l PQ:y-y0=k1(x-x0),由直线PQ和圆O相切,得=1,即(-1)-2x0y0k1+-1=0.设l PR:y-y0=k2(x-x0),同理可得(-1)-2x0y0k2+-1=0.故k1,k2是方程(-1)k2-2x0y0k+-1=0的两根,则k1+k2=-.由--得x2-k1x+k1x0-y0-2=0,故x0+x1=k1.同理x0+x2=k2,则2x0+x1+x2=k1+k2,即2x0-=-,∴2x0-=--,解得x0=-或.当x0=-时,y0=-;当x0=时,y0=1.故P--或P(,1).6.解:(1)设动圆P的半径为r,依题意有|PF1|=3-r,|PF2|=1+r,所以|PF2|+|PF1|=4>|F1F2|,所以轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆,且c=1,a=2,所以b=当P点为椭圆的右顶点时,r=0,不符合题意,舍去,所以轨迹C的方程为+=1(x≠2).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立-得(3+4k2)x2-16kx+4=0,则x1+x2=,x1x2=,Δ=16(12k2-3)>0,得k2>.又原点O到直线AB的距离d=,|AB|=|x1-x2|=-=·-,所以S△AOB=|AB|·d=-,令-=t(t>0),则4k2=1+t2,则S△AOB==≤=,当且仅当t=2时,等号成立,即当k=±时,△OAB的面积取得最大值,此时直线l的方程为y=±x-2.。

2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第8章 解析几何 第1讲

2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第8章 解析几何 第1讲
[ 解析] 令 x＝0，得直线 l 在 y 轴上的截距为 2＋a；
2 令 y＝0，得直线 l 在 x 轴上的截距为 1＋a， 2 依题意 2＋a＝1＋a，解得 a＝1 或 a＝－2．
考 点 突 破
• 考点1 直线的倾斜角与斜率
( B )
• 例 1
(1)直线 xcosα＋ 3y＋2＝0 的倾斜角的范围是 导学号 58533181 π 5π B．[0，6]∪[ 6 ，π) π 5π D．[6， 6 ]
• [解析] (1)(2)(4)(5)不正确，(3)正确，故选B．
2．(2018· 天津模拟)过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值 为 导学号 58533177 ( A ) A．1 C．1 或 3 B．4 D．1 或 4
[ 解析]
m－4 依题意得 ＝1，解得 m＝1． －2－m
π π π 5π A．[6，2)∪(2， 6 ] 5π C．[0， 6 ]
2．直线的斜率
正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的__________ tanα ____，倾斜角是 90° 小写字母 k 表示，即 k＝________ 的直线斜率不存在．
(2)过两点的直线的斜率公式
y2－y1 x2－x1 ． 经过两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)(其中 x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝_______
y －y 1 x － x 1 ＝ y2－y1 x2－x1 x y a＋b＝1
两点式 ______________ 截距式 ______________
一般式
过原点的 轴和____________ 直线
Ax＋By＋C＝0 适用于平面直角坐标系内的 A2＋B2__ ≠0______ 所有直线 其中要求________

高考数学一轮复习第八章 解析几何答案

高考数学一轮复习第八章 解析几何答案

第八章解析几何第40讲直线的方程及位置关系链教材·夯基固本激活思维1. ABCD 【解析】对于A，该方程不能表示过点P且垂直于x轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A不正确；对于B，该方程不能表示过点P且平行于x轴的直线，即该直线不能表示斜率为零的直线，所以B不正确；对于C，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C不正确；对于D，截距式的使用条件是能表示在两坐标轴上都有非零截距的直线，所以D不正确；对于E，经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以E 正确．故选ABCD.2. B 【解析】化直线方程为y＝3x＋a，所以k＝tan α＝3.因为0°≤α<180°，所以α＝60°.3. B 【解析】由已知得k1＝1，k2＝m＋15.因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，所以1×m＋15＝－1，即m＝－6. 故选B.4. C 【解析】由直线l的倾斜角为3π4得l的斜率为－1，因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，所以l1的斜率为33－a，故33－a＝－1，解得a＝6.5. ABC 【解析】当直线经过原点时，斜率为k＝2－0 1－0＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，解得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上可知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选ABC.知识聚焦1. (1) 向上方向平行或重合(2) [0，π)2. (1) tan α (2) y2－y1x2－x13. y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋b Ax ＋By ＋C ＝0 A 2＋B 2≠04. (1) ①l 1∥l 2 l 1⊥l 2 k 1＝k 2，b 1＝b 2②A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1A 1A 2＋B 1B 2＝0 A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2＝A 2C 1 (2) ⎩⎪⎨⎪⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝05. (1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2(2) |Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)|C1－C2|A2＋B2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B【解析】 设直线的倾斜角为θ，因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ π3，3π4，所以当θ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3，π2时，k ＝tan θ＞3.当θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4时，k ＝tan θ＜－1，所以其斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选B.(2) 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，56∪[2，＋∞) 【解析】若要使l 过点P (2,2)，且与线段AB 相交，则k ≥k AP ＝4－23－2＝2或k ≤k BP ＝－3－2－4－2＝56，即k ≥2或k ≤56.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，56∪[2，＋∞)．(1) 【答案】 D 【解析】 因为sin θ＋cos θ＝55，①所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ cos θ＝15，所以2sin θcos θ＝－45，所以(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，所以tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.故选D. (2) 【答案】 AD【解析】 方法一：如图，当l 过点B 时，k l ＝－1，当l 过点A 时，k l ＝1，所以k l ∈[－1,1]，又k ＝tan α(α∈[0，π))，所以α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.(变式(2))方法二：由题可知l 的斜率存在，可设l ：y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，易知A ，B 两点在直线l 两侧，所以(k ＋1)·(2k －2)≤0，所以－1≤k ≤1，以下同方法一．【解答】 (1) 由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0；(2) x ＝－3，即x ＋3＝0；(3) y ＝4x －2，即4x －y －2＝0； (4) y ＝3，即y －3＝0；(5) 由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0；(6) 由截距式方程得x－3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.【解答】(1)由题意知，直线的点斜式方程为y －5＝4(x －2)，整理得4x －y －3＝0.(2) 由题意可知，直线的斜率k ＝tan 150°＝－33，所以直线的斜截式方程为y ＝－33x －2，整理得3x ＋3y ＋6＝0.(3) 根据题意可得，直线的两点式方程为y ＋12＋1＝x ＋22＋2，整理得3x －4y ＋2＝0.【解答】 方法一： (1) 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1.综上可知，a ＝－1.(2) 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23. 方法二：(1) 由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1.(2) 因为l1⊥l2，所以A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，解得a＝2 3.【答案】－10【解析】因为l1∥l2，所以4－m m＋2＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)．因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.(1) 【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1【解析】方法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－13，所以直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．故直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.方法二：当AB∥l时，有k＝k AB＝－13，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，所以直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.(2) 【答案】 2或－6【解析】依题意知，63＝a－2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋132＋(－2)2＝21313，解得c＝2或－6.(1) 【答案】 BC【解析】直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172或－232，故选BC.(2) 【答案】 2 2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0 【解析】显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意．设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k2，所以k ＝2或k ＝－23. 所以直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 课堂评价 1.D【解析】由题意，直线的斜率为k ＝－33，即直线倾斜角的正切值是－33.又倾斜角∈[0°，180°)，因为tan 150°＝－33，故直线的倾斜角为150°，故选D.2.C【解析】因为A (1，－2)和B (m,2)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，所以1＋m2＋2×0－2＝0，所以m ＝3.故选C.3.A【解析】若l 1∥l 2，则(3＋m )(5＋m )＝4×2，解得m ＝－1或m ＝－7.经检验，当m ＝－1时，l 1与l 2重合，所以m ＝－7.故“l 1∥l 2”是“m <－1”的充分不必要条件，故选A.4.x ＋2y －3＝05【解析】 当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0，最大距离为AB ＝5.5. 【解答】 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n|9＋1＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.第41讲 圆的方程链教材·夯基固本 激活思维 1. D 2. D 3.A【解析】根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4. (x －2)2＋y 2＝10【解析】 设圆心坐标为(a,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2，解得a ＝2，所以圆心为(2,0)，半径为10，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.5.5【解析】方法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．因为圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，所以⎩⎨⎧(a ＋1)2＋b 2＝r 2，(a －2)2＋(b －3)2＝r 2，所以a ＋b －2＝0，① 又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，所以|a |＝|b |，②由①②得a ＝b ＝1，所以圆C 的半径为5. 方法二：因为圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C 到两坐标轴的距离相等，所以圆心C 在直线y ＝±x 上，因为直线y ＝－x 和直线y ＝－x ＋2平行，所以圆心C 为直线y ＝x 和直线y ＝－x ＋2的交点(1,1)，所以圆C 的半径为5.知识聚焦1. 定点 定长 (a ，b ) r D 2＋E 2－4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2 12D2＋E2－4F研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 AB 【解析】由题知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r (r ＞0)，则r sinπ3＝1，r cosπ3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ±332＝43. (2) 【答案】 213【解析】 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，所以△ABC 外接圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2332＝213. (1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －562＝16918 【解析】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎨⎧(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(2－b )2＝r 2，消去r 2，得b ＝5a －5.① 令x ＝0，则(y －b )2＝r 2－a 2，y ＝b ±r2－a2， 所以在y 轴上的截距之和是2b .令y ＝0，则(x －a )2＝r 2－b 2，x ＝a ±r2－b2， 所以在x 轴上的截距之和是2a . 所以2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.② ①代入②，得a ＝76，所以b ＝56.所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1－762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－562＝16918.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －562＝16918. (2) 【答案】 x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.【解析】 由题知圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又因为半径长r ＝D2＋E2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又因为圆心在第二象限，所以－D2＜0，即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.【解答】 (1) 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图(1)，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.(例2(1))(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图(2)，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(例2(2))(3)如图(3)，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.(例2(3))【解答】(1) 因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0可化为(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C(2,7)，半径r＝2 2.设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|1×2＋2×7－t|12＋22≤22，解得16－210≤t≤16＋210，所以m＋2n的最大值为16＋210.(2) 记点Q(－2,3)．因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，n－3m＋2＝k.由直线MQ与圆C有公共点，知|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，解得2－3≤k≤2＋3.所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.(1) 【答案】 BC【解析】 由题意知AB ＝(－1)2＋(－2)2＝5，l AB ：2x －y ＋2＝0，圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线l AB 的距离d ＝|2－0＋2|4＋1＝45＝455，所以S △PAB 的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455＋1＝2＋52， S △PAB 的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455－1＝2－52. (2) 【答案】 5－27【解析】如图，以点A 为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．则A (0,0)，B (4,0)，C (1，3)，设P (x ，y )，则PB→＝(4－x ，－y )，PC →＝(1－x ，3－y )，所以PB →·PC →＝(4－x )(1－x )－y (3－y )＝x 2－5x ＋y 2－3y ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322－3，其中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322表示圆A 上的点P 与点M⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，32之间距离PM 的平方，由几何图形可得PM min ＝AM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322－1＝7－1，所以(PB →·PC →)min＝(7－1)2－3＝5－27.(例3(2))(1) 【答案】 A【解析】由点P 是x 轴上任意一点，知PM 的最小值为PC 1－1，同理PN 的最小值为PC 2－3，则PM ＋PN 的最小值为PC 1＋PC 2－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，所以PC 1＋PC 2＝P C 1′＋PC 2≥C 1′C 2＝52，即(PM ＋PN )min ＝PC 1＋PC 2－4≥52－4，故选A.(2) 【答案】 22【解析】设P (x ，y )，因为PA→·PB→≤3，所以x 2＋y 2≤4，即点P 在以原点为圆心，2为半径的圆O 上或圆内，又因为点P 在圆C 上，所以圆O 与圆C 内切或内含，即圆心距(－a )2＋a2≤2－1，所以－22≤a ≤22，所以a 的最大值为22.课堂评价 1.A【解析】 由题意可知圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，a ＋32，因为该圆过原点，所以12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋322＝1242＋(a －3)2，解得a ＝1，所以12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋322＝5，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故选A.2.ABD【解析】由圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，化为标准形式得(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.圆M 的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.令y ＝0，得x ＝0或x ＝8，故圆M 被x 轴截得的弦长为8；令x ＝0，得y ＝0或y ＝－6，故圆M 被y 轴截得的弦长为6，显然选项C 不正确．ABD 均正确．3.CD【解析】 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，表示以(－1，0)为圆心、1为半径的圆，y x －1表示圆上的点P (x ，y )与点M (1,0)连线的斜率，如图，易知，y x －1的最大值为33，最小值为－33.故选CD.(第3题)4. (0，－1)【解析】 因为圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆心为(0，－1)．5.3【解析】因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以P 为以原点为圆心的单位圆上一点，而直线x －my －2＝0过定点A (2,0)，所以d 的最大值为OA ＋1＝2＋1＝3.第42讲 直线与圆、圆与圆的位置关系链教材·夯基固本 激活思维 1.D【解析】圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0的圆心坐标为(2,3)，半径为2，因为直线l 过点(0,2)，被圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0截得的弦长为23，所以圆心到所求直线的距离为1，易知所求直线l 的斜率k 存在，设所求直线方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，所以|2k －1|k2＋1＝1，解得k ＝0或43，所以所求直线方程为y ＝43x ＋2或y ＝2.故选D.2. C 【解析】 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， 因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，所以点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内部，所以直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交． 3.D【解析】圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心C 1(－1，－1)，半径长r 1＝2；圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 2(2,1)，半径长r 2＝1.所以圆心距d ＝(－1－2)2＋(－1－1)2＝13，r 1＋r 2＝3，所以d ＞r 1＋r 2，所以两圆相离，所以两圆有4条公切线．4. A 【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4x ＋1＝0，x2＋y2－2x －2y ＋1＝0，解得x －y ＝0.圆C 1可化成(x －2)2＋y 2＝3，故C 1(2,0)，半径为3，圆心(2,0)到直线x －y＝0的距离为d ＝|2|12＋12＝2，故弦长为23－(2)2＝2.5.ACD【解析】将点(0,1)代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的左边，则得4＋16＝20>16，所以点(0,1)在圆C 外，故A 不正确；由圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝16知圆心为(2，－3)，半径为r ＝4，则圆心(2，－3)到直线3x ＋4y －14＝0的距离d ＝|3×2＋4×(－3)－14|32＋42＝4＝r ，故B 正确；将点(2,5)代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的左边，则得0＋64＝64>16，所以点(2,5)在圆C 外，故C 不正确；圆心(2，－3)到直线x ＋y ＋8＝0的距离d ＝|2－3＋8|12＋12＝72≠r ，故D 不正确，故选ACD.知识聚焦1. < > ＝ ＝ > <2. d >r 1＋r 2 无 d ＝r 1＋r 2 一组 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的 |r 1－r 2| ≤<研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 26【解析】 圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝8，圆心C (0,1)，直线l ：kx －y －k ＋2＝0，即k (x －1)－(y －2)＝0，过定点P (1,2)，当AB 取最小值时，AB ⊥PC ，此时CP ＝2，故AB min ＝2CA2－CP2＝26.(2) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53，53【解析】 因为A (0，a )，B (3，a ＋4)，所以AB ＝5，直线AB 的方程为y ＝43x ＋a .因为S△ABC ＝12AB ·h ＝52h ＝5，故h ＝2，因此，问题转化为在圆上存在4个点C ，使得它到直线AB 的距离为2.因为圆的半径为3，因此，圆心O 到直线AB 的距离小于1，即|3a|5<1，解得－53<a <53.(1) 【答案】 1023 【解析】易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且PC ＝2，所以最短弦的长为2r2－PC2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.(2) 【答案】 3 【解析】圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．【解答】 (1) 设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b|2＝10，所以b ＝1±25，所以切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2) 设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m|5＝10，所以m ＝±52，所以切线方程为2x ＋y ±52＝0.(3) 因为k AC ＝－2＋11－4＝13，所以过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.【解答】由方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径长为2.当切线过原点时，设切线方程为y ＝kx ，则|k ＋2|k2＋1＝2，所以k ＝2±6，即切线方程为y ＝(2±6)x .当切线不过原点时，设切线方程为x ＋y ＝a ，则|－1＋2－a|2＝2，所以a ＝－1或a ＝3，即切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上所述，切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.【解答】因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11，61－m .(1) 当两圆外切时，由(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2) 当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m－11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0，故两圆的公共弦长为2(11)2－⎝⎛⎭⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27. (1) 【答案】 9或－11 【解析】依题意可得C 1(0,0)，C 2(3,4)，则C 1C 2＝32＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m，25－m ＞0.当两圆外切时，r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9；当两圆内切时，|r 2－r 1|＝5，即|25－m －1|＝5，得25－m＝6，解得m ＝－11.(2) 【答案】 1 【解析】将x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4两式相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由题知22－(3)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ，a ＞0，解得a ＝1. 课堂评价 1.C【解析】圆C 2化简得(x －4)2＋(y －5)2＝35－m ，由圆的方程得C 1(1,1)，C 2(4,5)，半径分别为2和35－m ，因为两圆外切，所以(4－1)2＋(5－1)2＝35－m ＋2，解得m ＝26.故选C. 2.B【解析】由题意，过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.3. A【解析】因为圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，所以AB＝22，所以△ABP 的面积S ＝12AB ·d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2,6]，即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．4.BD【解析】 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a|12＋(－2)2＝1，所以a ＝±5，故选BD.5. 4【解析】 连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，所以OO 1＝5，所以AC ＝5×255＝2，所以AB ＝4.(第5题) 第43讲 椭 圆链教材·夯基固本 激活思维1. C2. D3. 724. x236＋y227＝15. 45 18 【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.知识聚焦1. (1) 焦点 焦距 (2) PF 1＋PF 2＝2a (2a ＞F 1F 2)2. F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2－b 2ca＝1－b2a21 0研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 C 【解析】 设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知设BF 的方程为x c ＋y b＝1，因为点O 到直线BF 的距离为3，所以bc a ＝3，又因为过F 垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以2b2a＝2，结合a 2＝b 2＋c 2，知a ＝4，b ＝2，故选C.(2) 【答案】x236＋y216＝1 【解析】 依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝25.又由OP ＝OF ＝OF ′，知∠FPF ′＝90°.在Rt△PFF ′中，PF ′＝FF ′2－PF2＝(4 5 )2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝PF ＋PF ′＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故椭圆C 的方程为x236＋y216＝1.(1) 【答案】x24＋y23＝1【解析】因为3AF1＝5AF2，由椭圆定义有AF1＋AF2＝4，解得AF2＝32，又AF2⊥x轴，故AF2＝b2a＝b22，所以b2＝3，故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2) 【答案】x23＋y22＝1【解析】如图，由已知可设F2B＝n，则AF2＝2n，BF1＝AB＝3n，由椭圆的定义有2a＝BF1＋BF2＝4n，所以AF1＝2a－AF2＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos∠F1AB＝4n2＋9n2－9n22·2n·3n＝13.在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·13＝4，解得n＝32.所以2a＝4n＝23，所以a＝3，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为x23＋y22＝1.(变式(2))(1) 【答案】 C【解析】椭圆方程可化为x211＋m＋y21m＝1，由题意知m>0，所以11＋m＜1m，所以a＝mm，所以椭圆的长轴长2a＝2mm.故选C.(2) 【答案】 8【解析】 因为椭圆x2m －2＋y210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，10－m ＞0，m －2＞10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.(3) 【答案】 3【解析】由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知2b2a＝3，所以b 2＝3，即b ＝3.(1) 【答案】 D【解析】 由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， 设F 1F 2＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， 所以PF 2＝F 1F 2＝2c ，因为OF 2＝c ，所以点P 的坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )． 因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3 c 2c ＋a＝36，解得c a＝14，所以e ＝14，故选D.(例3(1))(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1 【解析】不妨设椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，所以c2a2≥14，即e ≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1. (1) 【答案】255【解析】 不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得OP ＝PQ 2＝a 2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝OP OA＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a216b2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2—c 2)，所以椭圆C 的离心离e ＝255.(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，1 【解析】 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ，PF 1＝2PF 2， 所以PF 1＝43a ，PF 2＝23a ，又PF 1－PF 2≤F 1F 2，即23a ≤2c ，所以e ≥13，又0<e <1，所以椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，1.【解答】(1)由题意得c ＝3，c a＝32，所以a ＝23，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x212＋y23＝1.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x2a2＋y2b2＝1，y ＝kx ，得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a2b2b2＋a2k2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为平行四边形，所以AF 2⊥BF 2. 因为F2A →＝(x 1－3，y 1)，F2B →＝(x 2－3，y 2)， 所以F2A →·F2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0. 即－a2(a 2－9)(1＋k 2)a 2k 2＋(a 2－9)＋9＝0，将其整理为k 2＝a4－18a2＋81－a4＋18a2＝－1－81a4－18a2.因为22＜e ≤32，所以23≤a ＜32，即12≤a 2＜18.所以k 2≥18，即k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫24，＋∞. 课堂评价 1. A2. C 【解析】 由椭圆x216＋y2m＝1的焦距为27，可得216－m ＝27或2m －16＝27，解得m ＝9或23.故选C.3. ACD【解析】由已知得2b ＝2，b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，所以椭圆C 的方程为y23＋x 2＝1.如图，PQ ＝2b2a＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝43.故选ACD.(第3题)4.C【解析】 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝ca ＝12，故选C.5.4【解析】如图，设AB 的方程为ty ＝x ，F (c,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝－y 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x ，x2a2＋y2b2＝1，可得y 2＝a2b2b2t2＋a2＝－y 1y 2，所以△ABF 的面积S ＝12c |y 1－y 2|＝12c (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ca2b2b2t2＋a2≤cb ，当且仅当t ＝0时取等号．所以bc ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2≥2bc ＝4， 当且仅当b ＝c 时取等号，此时a ＝2. 所以椭圆E 的长轴长的最小值为4.(第5题) 第44讲 双曲线链教材·夯基固本 激活思维 1.A【解析】由双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，知c ＝4，a ＝2，b 2＝12，即双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.2.A【解析】 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，所以2a ＝bc a2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，所以5a 2＝c 2，所以e 2＝c2a2＝5，所以e ＝5.3. AC 【解析】 设双曲线方程为x29－y23＝λ，代入(3，2)得λ＝13，即x23－y 2＝1，故A 正确；由a ＝3，c ＝2，得e ＝23，故B 错误；焦点(2,0)在y ＝e x －2－1上，故C 正确；联立⎩⎪⎨⎪⎧x23－y2＝1，x －2y －1＝0，消去x 得y 2－22y ＋2＝0，可得Δ＝0，所以直线x －2y －1＝0与曲线C 只有1个交点，故D 错误．故选AC.4. A 【解析】 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以OF ＝6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.故选A.5. 5＋12 【解析】 将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b4a2⇒y ＝±b2a，则2c ＝2b2a，即有ac ＝b 2＝c 2－a 2，由e ＝c a，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)．知识聚焦 1. 焦点 焦距2. |x |≥a ，y ∈R |y |≥a ，x ∈R F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )ca ＝1＋b2a2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B 【解析】由y28＋x22＝1，得a 2＝8，b 2＝2，所以c 2＝6，得c ＝6，即椭圆的半焦距为6.设与双曲线x22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为x22－y 2＝λ，因为所求双曲线的焦点在y 轴上，则λ<0，双曲线方程化为y2－λ－x2－2λ＝1，设双曲线的实半轴长为m ，虚半轴长为n ，则m 2＝－λ，n 2＝－2λ， 所以m 2＋n 2＝－λ－2λ＝(6)2，解得λ＝－2.所以所求双曲线的方程为y22－x24＝1.故选B.(2) 【答案】 x24－y26＝1【解析】不妨设B (0，b )，由BA→＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c2a2－19＝1，即49·a2＋b2a2＝109，所以b2a2＝32①.又|BF →|＝b2＋c2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16②.由①②可得a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x24－y26＝1.(1) 【答案】 y22－x24＝1【解析】因为所求双曲线与已知双曲线x22－y 2＝1有公共的渐近线，故可设双曲线方程为x22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)，得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x22－y 2＝－2，即y22－x24＝1.(2) 【答案】 x 2－y23＝1【解析】 设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得B (2,0)，C (2,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a2＋b2，4a2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，b2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.(1) 【答案】 (0,2) 【解析】对于焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bx ±ay ＝0的距离为|bc|b2＋a2＝b .本题中，双曲线x28－m＋y24－m＝1，即x28－m－y2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．故焦点到渐近线距离的取值范围是(0,2)．(2) 【答案】 y ＝±2x 【解析】由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .(1) 【答案】 D 【解析】不妨设P 为双曲线右支上一点，则PF 1>PF 2.由双曲线的定义得PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＋PF 2＝6a ，所以PF 1＝4a ，PF 2＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c ＞2a ，4a ＞2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理可得(4a )2＋(2c )2－(2a )22·4a ·2c ＝32， 即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选D. (2) 【答案】 x23－y29＝1【解析】 因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以e 2＝1＋b2a2＝4，所以b2a2＝3，即b 2＝3a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， 因为b2a2＝3，所以渐近线方程为y ＝±3x .则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|2 3 a －3a|2＝2 3 －32a ，d 2＝|2 3 a ＋3a|2＝23＋32a .又因为d 1＋d 2＝6， 所以23 －32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3， 所以b 2＝9.所以双曲线的方程为x23－y29＝1.(1) 【答案】655【解析】 设BF 1＝x ，则AF 2＝3x .由图及双曲线的定义知AF 1－AF 2＝2a ，BF 2－BF 1＝2a ，则AB ＋x －3x ＝2a ，BF 2－x ＝2a .因为AF 2⊥BF 2，所以AB 2＝AF2＋BF 2，即(2a ＋2x )2＝9x 2＋(2a ＋x )2，解得a ＝3x 2，所以AB ＝5x ，BF 2＝4x ，所以cos ∠BAF 2＝35.在△AF 1F 2中，由余弦定理知AF 21＋AF 2－2·AF 1·AF 2·cos ∠BAF 2＝F 1F 22＝4c 2，所以36x 2＋9x 2－108x25＝4c 2，所以c ＝313x 2 5，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝655.(例3(1))(2) 【答案】3【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc|a2＋b2＝b .在Rt △F 2PO 中，F 2O ＝c ，所以PO ＝a ，所以PF 1＝6a .又F 1O ＝c ，所以在△F 1PO 与Rt△F 2PO 中，根据余弦定理得cos∠POF 1＝a2＋c2－( 6 a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝3.(1) 【答案】 (1,2) 【解析】若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，AF ＝b2a，FE ＝a ＋c ，则b2a＜a ＋c ，b 2＜a 2＋ac,2a 2－c 2＋ac ＞0，e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2.又e ＞1，则1＜e ＜2.(2) 【答案】 53【解析】 由双曲线定义知PF 1－PF 2＝2a ，又PF 1＝4PF 2，所以PF 1＝83a ，PF 2＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a2＋49a2－4c22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值．因为cos ∠F 1PF 2≥－1，所以cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得e ≤53，即e 的最大值为53.【题组强化】 1.D【解析】由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，所以3b a＝4，即3b ＝4a ，所以9b 2＝16a 2，所以9c 2－9a 2＝16a 2，所以25a 2＝9c 2，所以e ＝53.故选D.2. C 【解析】 由F 1F 2＝2OP ，可得OP ＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，PF 1⊥PF 2，则PF 21＋PF 2＝F 1F 2.由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，则PF 1＝2a ＋PF 2，所以(PF 2＋2a )2＋PF 22＝4c 2，整理得(PF 2＋a )2＝2c 2－a 2.又PF 1≥3PF 2，即2a ＋PF 2≥3PF 2，可得PF 2≤a ，所以PF 2＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a .由e ＝ca ，且e ＞1，可得1<e ≤102.故选C.3.2【解析】由题知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，不妨设右焦点F (c,0)，过点F 与渐近线平行的直线为l ：y ＝b a(x －c )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b ax ，y ＝b a (x －c )，得x ＝c 2，则y ＝－b a×c 2＝－bc 2a ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 2，－bc 2a ，PF 的中点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 4，－bc 4a .又点A 在双曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 42a2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－bc 4a 2b2＝1，化简得c2a2＝2，即e ＝c a＝2.4.53【解析】由线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，可得PF 2＝F 1F 2＝2c ，由直线PF 1与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，可得OA ＝a ，设PF 1的中点为M ，由中位线定理可得MF 2＝2a ，在Rt △PMF 2中，可得PM ＝4c2－4a2＝2b ， 即有PF 1＝4b ，由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，即4b －2c ＝2a ，即2b ＝a ＋c ，即有4b 2＝(a ＋c )2， 即4(c 2－a 2)＝(a ＋c )2，可得a ＝35c ，即e ＝53.(第4题)课堂评价 1. B 2. C【解析】 根据渐近线方程为x ±y ＝0，可得a ＝b ，所以c ＝2a ，则该双曲线的离心率为e ＝ca＝2，故选C. 3. A 【解析】 由题意知，e ＝ca＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c2－a2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A.4. x28－y28＝1 【解析】 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a＝1，解得a ＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1.5. 23 23 【解析】 由题意知a ＝2，b ＝23，c ＝4，F (4,0)，PF ＝b ＝23，△POF 的面积为12ab ＝12×43＝23.第45讲 抛物线链教材·夯基固本 激活思维 1. C2. AC 【解析】根据抛物线定义知选项A 正确；对于B ，符合条件的抛物线的焦点可能在x 轴上也可能在y 轴上，故B 错误；对于C ，抛物线焦点为(－1,0)，所以p ＝2，抛物线方程是y 2＝－4x ，故C 正确；对于D ，因为p 的符号不确定，所以方程不唯一，故D 错误．故选AC.3.B【解析】因为M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516. 4.B【解析】抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF ＝3BF ，所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋32，所以x 1＝3x 2＋3， 因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2，所以x 1＝92，x 2＝12，所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋32＝8.故选B. 5.y 2＝8x 6【解析】由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (2,0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，所以FN ＝2FM ＝2(x M ＋2)＝2×(1＋2)＝6.知识聚焦1. 相等 焦点 准线 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 22【解析】 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点为F 1(－2，0)，且抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p 2＝－2，解得p ＝22.(2) 【答案】 13 【解析】由题意得抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2.因为AF ＝(6－2)2＋32＝5，所以求△PAF 周长的最小值即求PA ＋PF 的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，如图，连接PD ，根据抛物线的定义，可知PF ＝PD ，所以PA ＋PF 的最小值即PA ＋PD 的最小值．根据平面几何的知识，可得当D ，P ，A 三点共线时PA ＋PD 取得最小值，所以PA ＋PF 的最小值为x A －(－2)＝8，所以△PAF 周长的最小值为8＋5＝13.(例1(2))(1) 【答案】 A 【解析】设焦点为F ，准线为l ，过P 作PA⊥l ，垂足为A ，则PF ＝PA ，PF ＋PQ ＝PQ ＋PA ，当且仅当A ，P ，Q 三点共线时，和最小，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1，故选A. (2) 【答案】 4 【解析】因为双曲线的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(2,0)，所以p ＝4.【解答】 (1) 由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 易知y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 2＝2px 2， 所以y 21y 2＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y21y224p2＝p44p2＝p24.(2) 由题意知AF ＝x 1＋p2，BF ＝x 2＋p2，所以1AF ＋1BF＝1x1＋p 2＋1x2＋p 2＝x1＋x2＋px1x2＋p 2(x 1＋x 2)＋p24.因为x 1x 2＝p24，x 1＋x 2＝AB －p ，所以1AF ＋1BF ＝ABp24＋p 2(AB －p )＋p 24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB .所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(例2)【解答】 (1) 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为PQ 为焦点弦，所以y 1y 2＝－p 2.因为直线OP 的方程为y＝y1x1·x ，它与准线的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，y0，所以y 0＝y1x1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝2p y1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝－p2y1＝y1y2y1＝y 2，故直线MQ ∥x 轴．(2) 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，y2，则k OM ＝y2－p 2＝－2y2p ，k OP ＝y1x1＝2p y1. 因为PQ 为焦点弦，所以y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－p2y1，所以k OM ＝－2y2p ＝2py1，所以k OM ＝k OP ，所以P ，O ，M 三点共线． (3)如图，连接PF 并延长交抛物线于Q ′，由(1)知MQ ′∥x 轴，所以Q 与Q ′重合，故PQ 为焦点弦．(例3)【解答】 (1) 由题意，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1，x212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2，x222p ，x 1＜x 2，M (x 0，－2p )． 由x 2＝2py 得y ＝x22p ，则y ′＝xp ，所以k MA ＝x1p ，k MB ＝x2p.因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x2p (x －x 0)．所以x212p ＋2p ＝x1p (x 1－x 0)，①x222p ＋2p ＝x2p (x 2－x 0)．② 由①②得x1＋x22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x1＋x22，即2x 0＝x 1＋x 2.所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．。

2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何增分微课承上启下破解解析几何课件理

2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何增分微课承上启下破解解析几何课件理

2 0
+4������ 8
0
+32
.
因为 y=1x2,所以 y'=������,所以抛物线在点 H 处切线的
4
2
斜率为������0
2
.
由 kNH·���2���0=-1,得������03-2������02-8x0=0,
因为 x0≠0,x0≠4,所以 x0=-2,所以 H 点坐标为(-2,1).
解:设 P(x,y),则点 N(2x,2y)在抛物线 y2=8x 上, 所以 4y2=16x,即 y2=4x, 所以曲线 C 的方程为 y2=4x.
课堂考点探究
角度四 圆与圆锥曲线
示例
命题角度
解题关键
已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l (1)设出 l:x=my+2,代入抛物线方程,使用 m
解:依题意,|NM|=|NF|,即轨迹 C 为抛物线,其焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1, ∴轨迹 C 的方程为 y2=4x.
课堂考点探究
2.[2017·云南师大附中月考节选] 已知抛物线 E:y2=8x,点 N 为抛 物线 E 上的动点,O 为坐标原点, 线段 ON 的中点 P 的轨迹为曲 线 C,求曲线 C 的方程.
M:xa
2 2
+by
2
2=1(a>b>0)右焦点的直线
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),使用“点差
x+y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中 法”可得 a,b 的一个方程.
卷Ⅱ·20 点,且 OP 的斜率为12,求 M 的方程
(3)解上述两方程组成的方程组可得 a,b

2019版高考数学一轮复习第八章平面解析几何

2019版高考数学一轮复习第八章平面解析几何
第
七
节
双曲线
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点

课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
课 前 双 基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
必
过
教
材
关
1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1， F2的 距离的差的绝对值等于非零 常数 (小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线 ______
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 y2 x2 － ＝1(a＞0，b＞0) 2－ 2＝1(a＞0，b＞0) a2 b2 a b
图形
性 质
范围 对称性
x≤－a 或 x≥a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
标准方程 顶点 渐近线 离心率 性 质 a，b，c 的关系
2 y 即其标准方程为x2－ ＝ 1. 2 2 y 答案：x2－ ＝1 2
课 堂 考 点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 双曲线的标准方程
[题组练透]
x2 y2 1． (2017· 天津高考 )已知双曲线 2－ 2 ＝ 1(a>0， b>0)的左焦点 a b 为 F，离心率为 2 .若经过 F和 P(0,4)两点的直线平行于双 ( )
x2 y2 解析：设要求的双曲线方程为 2－ 2＝ 1(a>0， b>0)， a b x2 y2 由椭圆 ＋ ＝1，得椭圆焦点为(± 1,0)，顶点为(± 2,0)． 4 3 所以双曲线的顶点为(± 1,0)，焦点为(± 2,0)． 所以a＝ 1， c＝ 2，所以b2＝ c2－ a2＝ 3，

2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第8章 解析几何 考案10

2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第8章 解析几何 考案10

考案[10]第八章 综合过关规范限时检测(文)(时间：120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是导学号 58535430( B ) A ．[0，π) B ．[0，π4]∪[3π4，π)C ．[0，π4]D ．[0，π4]∪[π2，π][解析] x sin α＋y ＋2＝0的斜率为－sin α，－sin α的取值范围为[－1,1]，故斜率范围为[－1,1]，所以倾斜角的范围是[0，π4]∪[3π4，π)．2．(2018·黑龙江哈六中上学期期末)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的导学号 58535431( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当a ＝－1时，直线l 1的斜率为13，直线l 2的斜率为－3，它们的斜率之积等于－1，故有l 1⊥l 2，故充分性成立．当l 1⊥l 2时，有(a －2)＋(a －2)a ＝0成立，即(a －2)(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，或a ＝2，故必要性不成立．3．(2018·安徽省巢湖四中、庐江二中第二次联考数学试题)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是导学号 58535432( B )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] 由M 在圆外，得到|OM |大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ，根据列出的不等式判断d 与r 的大小即可确定出直线与圆的位置关系．解：∵M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外， ∴a 2＋b 2＞1，∴圆O (0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1＝r ，则直线与圆的位置关系是相交．故选B ．4．(2018·辽宁省鞍山市第一中学期中数学试题)已知M (4,2)是直线l 被椭圆x 2＋4y 2＝36所截得的弦AB 的中点，则直线l 的方程为导学号 58535433( A )A ．x ＋2y －8＝0B ．2x －y －6＝0C ．2x ＋y －10＝0D ．x －2y ＝0[解析] 设斜率为k ，则直线的方程为y －2＝k (x －4)，即kx －y ＋2－4k ＝0，代入椭圆的方程化简得(1＋4k 2)x 2＋(16k －32k 2)x ＋64k 2－64k －20＝0，所以x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k2＝8，解得k ＝－12，所以直线的方程为x ＋2y －8＝0，故选A ．[点拨] 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，其中解答中涉及到一元二次方程的根与系数的关系，直线与方程、直线的点斜式方程等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题解答中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，属于中档试题．5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为导学号 58535434( B )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)[解析] 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，所以p2＝1，所以该抛物线焦点坐标为(1,0)．6．双曲线y 23－x 2＝1的渐近线方程为导学号 58535435( A )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±233x[解析] 由y 23－x 2＝1，得a b ＝31，渐近线方程为y ＝±3x .7．若F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为导学号 58535436( A )A ．2B ．4C ．6D ．不确定[解析] 由△MF 1F 2的内切圆的周长为3π得内切圆的半径r ＝32，所以△MF 1F 2的面积为12(|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|)r ＝12|F 1F 2|×|y M |，即(10＋6)×32＝6×|y M |，得|y M |＝4，所以满足条件的点M 是矩轴的2个端点．8．(2018·辽宁省盘锦高中期中数学试题)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是此椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该椭圆的方程是导学号 58535437( A )A ．x 26＋y 2＝1B ．x 24＋y 2＝1C ．x 2＋y 26＝1D ．x 2＋y 24＝1[解析]根据已知条件得：|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，所以|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝24，这样即可根据椭圆的定义求出a 2，因为c 2＝5，所以可求出b 2，所以椭圆的标准方程就可求出．解：如图，根据已知条件知：|PF 1|2＋|PF 2|2＝20， ∵|PF 1||PF 2|＝2；∴|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2＝4a 2＝24； ∴a 2＝6，b 2＝6－5＝1；∴椭圆的标准方程为：x 26＋y 2＝1.故选A ．9．(2017·青岛二模)设圆锥曲线Γ的两上焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1F 1F 2PF 2|＝，则曲线Γ的离心率等于导学号 58535438( A )A ．12或32B ．23或2C ．12或2D ．23或32[解析] 设圆锥曲线Γ的离心率为e ，因为|PF 1F 1F 2PF 2|＝，则①若圆锥曲线Γ为椭圆，由椭圆的定义，则用e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线Γ为双曲线，由双曲线的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，所求的离心率为12或32，故选A ．10．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线的公共点，则直线l 的斜率的取值范围是导学号 58535439( C )A ．[－12，12]B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4][解析] Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.11．已知椭圆E ：x 225＋y 29＝1的长轴的两个端点分别为A 1，A 2，点P 在椭圆E 上，如果△A 1P A 2的面积等于9，那么P A 1→·P A 2→等于导学号 58535440( A )A ．－14425B ．14425C ．－8125D ．8125[解析] 设P (x 1，y 1)，A 1(－5,0)，A 2(5,0)， 则P A 1→·P A 2→＝(－5－x 1，－y 1)·(5－x 1，－y 1)＝x 21＋y 21－25，①又S △P A 1A 2＝12×|A 1A 2|×|y 1|＝5|y 1|＝9，解得|y 1|＝95，代入椭圆方程x 225＋y 29＝1，得x 21＝16，代入①式可得P A 1→·P A 2→＝x 21＋y 21－25 ＝16＋8125－25＝－14425，故选A ．12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于两点A ，B (A ，B 异于原点)，抛物线的焦点为F .若双曲线的离心率为2，|AF |＝7，则p ＝导学号 58535441( B )A ．3B ．6C ．12D ．42[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵e ＝c a ＝2，∴a 2＋b 2a 2＝4，∴ba＝ 3由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝3x得A (2p 3，2p 3)，∴|AF |2＝(23p －p 2)2＋(2p3－0)2＝7，解得p ＝6，故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是__(－3，－2)__.导学号 58535442[解析] 因为方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆．所以|a |－1>a ＋3>0，解得－3<a <－2.14．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是__x ＋y －1＝0__.导学号 58535443[解析] 过点M 的最矩弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，因为k CM ＝1－02－1＝1，所以最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0. 15．(2018·沈阳模拟)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 为抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为__54__.导学号 58535444[解析] 抛物线的准线为x ＝－14，由抛物线的定义及梯形中位线的性质知M 到抛物线准线的距离为32，所以点M 到y 轴的距离为32－14＝54.16．(2018·山西四校联考)已知双曲线x 29－y 2b 2＝1(b >0)，过其右焦点F 作圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点记作C ，D ，双曲线的右顶点为E ，∠CED ＝150°，则双曲线的离心率为3__.导学号 58535445[解析] 由题可得△OCE 为等腰三角形，且底角为75°，所以顶角∠COE ＝30°，在Rt △OCF 中，|OC |＝3，易知|OF |＝23，即c ＝23，所以离心率e ＝c a ＝233.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)过点P (3,0)作一条直线 ，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0间的线段AB 恰好被P 平分，求此直线的方程.导学号 58535446[答案] 8x －y －24＝0[解析] 若直线AB 无斜率，则其方程为x ＝3，它与两直线的交点分别为(3,4)，(3，－6)，这两点的中点为(3，－1)不是点P ，不合题意．所以直线AB 必有斜率，设为k (k ≠2且k ≠－1)， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)，2x －y －2＝0，解得y 1＝4kk －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x ＋y ＋3＝0，解得y 2＝－6k k ＋1.据题意y 1＋y 22＝0，即4k k －2＋－6kk ＋1＝0，解得k ＝0或8.当k ＝0时，它与两直线的交点分别为(1,0)，(－3,0)，这两点的中点并不是点P ，不符合题意，舍去．当k ＝8时，它与两直线的交点分别为(113，163)，(73，－163)，这两点的中点是点P ，符合题意．∴直线AB 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.18．(本小题满分12分)已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3).导学号 58535447(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长． [解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b <0)，由已知可得左、右焦点F 1、F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1，又c ＝2，所以b ＝3，所以双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意可知直线m 方程为y ＝x －2，联立双曲线及直线方程消去y ，得2x 2＋4x －7＝0， 设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切.导学号 58535448(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆O 内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求P A →·PB →的取值范围．[答案] (1)x 2＋y 2＝4 (2)[－2,0)[解析] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y －4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2，得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1＜x 2.由x 2＋y 2＝4，即得A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，得 (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2. P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2.由此得y 2＜1.所以P A →·PB →的取值范围是[－2,0)．20．(本小题满分12分)(2018·青岛模拟)已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线l ：x －2y ＝0上.导学号 58535449(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点在圆x 2＋y 2＝4上，求此椭圆的方程． [解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，y 1＋y 2＝－(x 1＋x 2)＋2＝2b 2a 2＋b2， ∴线段AB 的中点坐标为(a 2a 2＋b 2，b 2a 2＋b 2)．∵线段AB 的中点在直线l 上，∴a 2a 2＋b 2－2b 2a 2＋b2＝0，∴a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝22.(2)由(1)知b ＝c ，从而椭圆的右焦点F 的坐标为(b,0)， 设点F (b,0)关于直线l ：x －2y ＝0的对称点的坐标为(x 0，y 0)，则y 0－0x 0－b ·12＝－1，且x 0＋b 2－2·y 02＝0，∴x 0＝35b ，y 0＝45b .由已知得x 20＋y 2＝4，∴(35b )2＋(45b )2＝4. ∴b 2＝4，又由(1)知a 2＝2b 2＝8， ∴椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.21．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.导学号 58535450(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． [解析] (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px 中， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0. y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.22．(本小题满分12分)(2018·四川石室中学“一诊”模拟)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝2，点(1，32)在该椭圆上.导学号 58535451(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．[答案] (1)x 24＋y 23＝1 (2)(x －1)2＋y 2＝2[解析] (1)由题意，可设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，1a 2＋94b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝6t4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，|y 1－y 2|＝12t 2＋14＋3t2，又圆的半径r ＝2t 2＋1，所以S △AF 2B ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝12t 2＋14＋3t 2＝12×8×327＝1227，解得t 2＝1，所以r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.。

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第8章立体几何第4讲(含答案解析)

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第8章立体几何第4讲(含答案解析)

[学生用书P252(单独成册)]一、选择题1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：选A．由m∥l1，m⊂α，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，l1，l2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．2．已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是()①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n．A．①③B．③④C．②④D．③解析：选D．①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α，β相交；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n或l∥n或l，n异面；③正确；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n或m∥n或m，n异面．3．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B．由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF═∥15BD，所以EF∥平面BCD．又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG═∥12BD，所以EF∥HG且EF≠HG．所以四边形EFGH是梯形．4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1．其中推断正确的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选A．因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故③正确；因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A．5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B．由题易知①正确；②错误，l也可以在α内；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明，故选B．6．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的为( ) A ．AC ⊥BD B ．AC ＝BD C ．AC ∥截面PQMND ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 解析：选B ．因为截面PQMN 是正方形， 所以PQ ∥MN ，QM ∥PN ，则PQ ∥平面ACD 、QM ∥平面BDA ， 所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确； 由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故C 正确； 由BD ∥PN ，所以∠MPN 是异面直线PM 与BD 所成的角，且为45°，D 正确； 由上面可知：BD ∥PN ，MN ∥AC ． 所以PN BD ＝AN AD ，MN AC ＝DN AD ，而AN ≠DN ，PN ＝MN ， 所以BD ≠AC ．B 错误．故选B ． 二、填空题 7．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD -A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确的命题是________．解析：由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ， 所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ， 所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)． 所以③是正确的；对于④，因为水是定量的(定体积V )， 所以S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V ．所以BE ·BF ＝2VBC (定值)，即④是正确的．答案：①③④8．棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92．答案：929．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉ β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．解析：如图1，因为AC ∩BD ＝P ，图1所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ． 因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ， β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD ．所以P A AC ＝PBBD ，即69＝8－BD BD ，所以BD ＝245． 如图2，同理可证AB ∥CD ．图2所以P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88，所以BD ＝24．综上所述，BD ＝245或24．答案：245或2410．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠BAC ＝π3，AC ＝4，M 为AA 1的中点，点P 为BM 的中点，Q 在线段CA 1上，且A 1Q ＝3QC ，则PQ 的长度为________．解析：由题意知，AB ＝8，过点P 作PD ∥AB 交AA 1于点D ，连接DQ ，则D 为AM 的中点，PD ＝12AB ＝4．又因为A 1Q QC ＝A 1D AD＝3，所以DQ ∥AC ，∠PDQ ＝π3，DQ ＝34AC ＝3，在△PDQ 中，PQ ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13．答案：13 三、解答题11．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别是线段A 1D ，BC 1的中点．延长D 1A 1到点G ，使得D 1A 1＝A 1G ．证明：GB ∥平面DEF ．证明：连接A 1C ，B 1C ，则B 1C ，BC 1交于点F ．因为CB ═∥D 1A 1，D 1A 1＝A 1G ，所以CB ═∥A 1G ，所以四边形BCA 1G 是平行四边形，所以GB ∥A 1C ． 又GB ⊄平面A 1B 1CD ，A 1C ⊂平面A 1B 1CD ， 所以GB ∥平面A 1B 1CD ．又点D ，E ，F 均在平面A 1B 1CD 内，所以GB ∥平面DEF ． 12．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证： (1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H ． 证明：(1)如图所示，取BB 1的中点M ，连接MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形， 所以HD 1∥MC 1． 又因为MC 1∥BF ， 所以BF ∥HD 1．(2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE ═∥12DC ，又D 1G ═∥12DC ， 所以OE ═∥D 1G ，所以四边形OEGD 1是平行四边形，所以GE ∥D 1O ． 又GE ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D ．(3)由(1)知BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H ．1．如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形．(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；(2)若平面ABCD ∩平面B 1D 1C ＝直线l ，证明B 1D 1∥l ． 证明：(1)由题设知BB 1═∥DD 1， 所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形， 所以BD ∥B 1D 1． 又BD ⊄平面CD 1B 1， B 1D 1⊂平面CD 1B 1， 所以BD ∥平面CD 1B 1．因为A 1D 1═∥B 1C 1═∥BC ， 所以四边形A 1BCD 1是平行四边形， 所以A 1B ∥D 1C ．又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1， 所以A 1B ∥平面CD 1B 1． 又因为BD ∩A 1B ＝B ， 所以平面A 1BD ∥平面CD 1B 1． (2)由(1)知平面A 1BD ∥平面CD 1B 1， 又平面ABCD ∩平面B 1D 1C ＝直线l ， 平面ABCD ∩平面A 1BD ＝直线BD ， 所以直线l ∥直线BD ，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形BDD 1B 1为平行四边形， 所以B 1D 1∥BD ， 所以B 1D 1∥l ．2．如图，ABCD 与ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMF ； (2)求证：平面BDE ∥平面MNG ．证明：(1)如图，连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF．(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG．又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG．。

[配套K12]2019届高考数学一轮复习 第8单元 解析几何听课学案 理

[配套K12]2019届高考数学一轮复习 第8单元 解析几何听课学案 理

第八单元解析几何第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程课前双击巩固1.直线的倾斜角(1)定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行或重合时,直线l 的倾斜角为.(2)范围:倾斜角α的取值范围是.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k= .(2)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= .若x1=x2,则直线的斜率,此时直线的倾斜角为90°.3.直线方程的五种形式常用结论直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:题组一常识题1.[教材改编]已知直线经过点A(4,-2),B(1,1),则直线AB的斜率为,倾斜角α为.2.[教材改编]一条直线经过点M(-2,3),且它的斜率是直线y=2x的斜率的3倍,则该直线的方程为.3.[教材改编]若直线l在两坐标轴上的截距互为负倒数,且绝对值相等,则直线l的方程为.题组二常错题◆索引:忽略直线斜率不存在的情况;对倾斜角的取值范围不清楚;忽略截距为0的情况.4.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是.5.已知A(2,2),B(-1,3),若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的倾斜角α的取值范围是.6.过点(-2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是.课堂考点探究探究点一直线的倾斜角和斜率1 (1)设直线l的倾斜角为α,且≤α≤,则直线l的斜率k的取值范围是.(2)[2017·湖北部分重点中学联考]直线l:x-y sin θ+1=0的倾斜角的取值范围是()A.B.∪C.D.∪[总结反思] (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tan α的取值范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助图像或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.(2)注意倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为,直线垂直于x轴.式题 (1)平面上有相异两点A(cos θ,sin2θ),B(0,1),则直线AB的倾斜角α的取值范围是.(2)已知两点M(2,-3),N(-3,-2),斜率为k的直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则k的取值范围是.探究点二直线的方程2 求适合下列条件的直线l的方程:(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.[总结反思] (1)求直线方程一般有以下两种方法:①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.(2)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.特别是对于点斜式、截距式方程,使用时要注意分类讨论思想的运用.式题 (1)直线l1:x-y+-1=0绕其上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,则旋转后得到的直线l2的方程为()A.x-y+1=0B.x-y=0C.x+y+1=0D.3x-y-1=0(2)若m,n满足m+2n-1=0,则直线mx+3y+n=0过定点()A.B.C.D.探究点三直线方程的综合应用3 (1)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,O 为坐标原点,△AOB的面积为S,则当S取得最小值时直线l的方程为.(2)[2018·江西师大附中月考]已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y-1=0和x+ay+2=0上,且线段AB的中点为P0,,则线段AB的长为.[总结反思] (1)求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值;(2)求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x,y 的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决问题.式题 (1)已知直线x-2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数k的取值范围是.(2)[2017·遵义四中月考]已知直线l:+=1(a>0,b>0)在两坐标轴上的截距之和为4,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是()A.2B.4C.6D.2第47讲两直线的位置关系、距离公式课前双击巩固1.两条直线的位置关系直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:2.两直线的交点设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的就是方程组的解.(1)若方程组有唯一解,则两条直线,此解就是;(2)若方程组无解,则两条直线,此时两条直线,反之,亦成立.3.距离公式常用结论1.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0平行,则方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0.2.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0垂直,则方程为:B(x-x0)-A(y-y0)=0.3.过两直线交点的直线系方程若已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈R,这条直线可以是l1,但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程.4.点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).5.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).6.点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).7.点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).8.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).9.点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).题组一常识题1.[教材改编]已知过A(-1,a),B(a,8)两点的直线与直线2x-y+1=0平行,则a的值为.2.[教材改编]过点(3,1)且与直线x-2y-3=0垂直的直线方程是.3.[教材改编]过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为.4.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=2x+3的距离为.题组二常错题◆索引:判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况;求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系;两直线平行解题时忽略检验两直线重合的情况.5.若直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a= .6.两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0之间的距离是.7.若直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+a2y+a=0平行,则实数a= .课堂考点探究探究点一两条直线的位置关系1 (1)[2017·咸阳二模]已知p:m=-1,q:直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直,则p是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·广州二模]已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为()A.B.C.D.[总结反思] (1)讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在;(2)“直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0平行”的充要条件是“A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1”,“两直线垂直”的充要条件是“A1A2+B1B2=0”.式题 (1)[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等重点中学联考]“a=2”是“直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·沈阳二中一模]已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos-2α的值为()A. B.-C.2 D.-探究点二距离问题2 (1)[2017·河北武邑中学月考]已知两平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c= ()A.-12B.48C.36D.-12或48(2)若(a≠b),则坐标原点O(0,0)到经过两点(a,a2),(b,b2)的直线的距离为.[总结反思] (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线方程应为一般式;(2)运用两平行直线间的距离公式d=的前提是两直线方程中的x,y的系数对应相等.式题 (1)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离的最小值是()A.B.C.D.(2)[2017·辽宁锦州中学期中]若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为 ()A.3B.2C.3D.4探究点三对称问题考向1点关于点的对称3 (1)点M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9),则()A.m=-3,n=10B.m=3,n=10C.m=-3,n=5D.m=3,n=5(2)直线2x-y+3=0关于定点M(-1,2)对称的直线方程是()A.2x-y+1=0B.2x-y+5=0C.2x-y-1=0D.2x-y-5=0[总结反思] 中心对称问题主要有两类:(1)点关于点的对称:点P(x,y)关于O(a,b)对称的点P'(x',y')满足(2)直线关于点的对称:直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决,也可考虑利用两条对称直线是相互平行的,并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.考向2点关于线对称4 (1)已知直线l的方程为2x-y-3=0,点A(1,4)与点B关于直线l对称,则点B的坐标为.(2)点M(3,-4)和点N(m,n)关于直线y=x对称,则()A.m=-4,n=-3B.m=4,n=-3C.m=-4,n=3D.m=4,n=3[总结反思] 若点A(a,b)与点B(m,n)关于直线Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)对称,则直线Ax+By+C=0垂直平分线段AB,即有考向3线关于线对称5 (1)直线l1:2x+y-4=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线l2的方程为.(2)直线l1:3x-y+1=0与直线l2:3x-y+7=0关于直线l对称,则直线l的方程为.[总结反思] 求直线l1关于直线l对称的直线l2,有两种处理方法:(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点),利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点,再用两点式写出直线l2的方程.(2)设点P(x,y)是直线l2上任意一点,其关于直线l的对称点为P1(x1,y1)(P1在直线l1上),若直线l的方程为Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),则有从中解出x1,y1,再代入直线l1的方程,即得直线l2的方程.考向4对称问题的应用6 (1)一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),则反射光线所在直线的方程为.(2)将一张坐标纸折叠一次,使得点(3,-2)与点(-1,2)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则mn= .[总结反思] 在对称关系的两类问题中,中心对称的本质是“中点”,体现在中点坐标公式的运用上;轴对称的本质是“垂直、平分”,即“对称点连线与对称轴垂直,对称点构成的线段的中点在对称轴上”.强化演练1.【考向3】与直线x+3y-2=0关于x轴对称的直线方程为()A.x-3y-2=0B.x-3y+2=0C.x+3y+2=0D.3x+y-2=02.【考向2】两点A(a+2,b+2),B(b-a,-b)关于直线4x+3y=11对称,则()A.a=-4,b=2B.a=4,b=-2C.a=4,b=2D.a=2,b=43.【考向3】若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,那么直线l2恒过定点()A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)4.【考向1】直线y=3x+3关于点M(3,2)对称的直线l的方程是.5.【考向4】[2017·西安一中一模]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为点(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是.6.【考向4】已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是.第48讲 圆的方程课前双击巩固1.圆的定义及方程圆心为-半径为2.点与圆的位置关系点M (x 0,y 0)与圆(x-a )2+(y-b )2=r 2的位置关系:(1)若M (x 0,y 0)在圆外,则 . (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则 . (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则 . 常用结论常见圆的方程的设法:+y2+Dx+Ey+题组一常识题1.[教材改编]若原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,则实数m的取值范围是.2.[教材改编]已知A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是.3.[教材改编]已知圆C经过点A(1,1)和B(4,-2),且圆心C在直线l:x+y+1=0上,则圆C的标准方程为.4.[教材改编]与圆x2+y2-4x+2y+4=0关于直线x-y+3=0对称的圆的一般方程是.题组二常错题◆索引:忽视表示圆的条件D2+E2-4F>0;遗漏方程的另一个解;忽略圆的方程中变量的取值范围.5.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是.6.半径为2,且与两坐标轴都相切的圆的方程为.7.已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,则3x2+4y2的最大值为.课堂考点探究探究点一圆的方程1 (1)[2017·包头一模]圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),则圆E的标准方程为()A.+y2=B.+y2=C.+y2=D.+y2=(2)[2017·广西名校一模]过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4[总结反思] 求圆的方程一般有两种常用方法:(1)几何法,通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的方程;(2)代数法,用待定系数法求解,其关键是根据条件选择圆的方程,若已知圆上三点,则选用圆的一般方程,若已知条件与圆心及半径有关,则选用圆的标准方程.式题 (1)若圆C过点(0,-1),(0,5),且圆心到直线x-y-2=0的距离为2,则圆C的标准方程为.(2)过点(0,2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为.探究点二与圆有关的最值问题考向1斜率型最值问题2 (1) 若实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则的取值范围为()A.B.C.D.(2)[2017·抚州临川一中二模]点M(x,y)在圆x2+(y-2)2=1上运动,则的取值范围是()A.∪B.∪∪C.∪D.[总结反思] 处理与圆有关的最值问题,应充分探究圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想求解.求形如k=的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点(a,b)和(x,y)的直线斜率的最值问题.考向2截距型最值问题3 (1)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是,最小值是.(2)已知P(x,y)在圆(x-1)2+(y-1)2=5上运动,当2x+ay(a>0)取得最大值8时,其最小值为.[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如u=ax+by的最值,可转化为求动直线截距的最值.具体方法是:(1)数形结合法,当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值;(2)把u=ax+by代入圆的方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由Δ≥0求得u的范围,进而求得最值.考向3距离型最值问题4 (1)[2017·嘉兴一中联考]已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时,圆C上的点与原点O的最短距离是.(2)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为()A.4B.6C.3+1D.1+[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如t=(x-a)2+(y-b)2的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值,即把(x-a)2+(y-b)2看作是点(a,b)与圆上的点(x,y)连线的距离的平方,利用数形结合法求解.考向4利用对称性求最值5 [2017·赤峰期末]一束光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路径的长是()A.4B.5C.3-1D.2[总结反思] 求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题(其中M,N均为动点)的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.强化演练1.【考向1】设实数x,y满足(x+2)2+y2=3,那么的取值范围是()A.B.∪C.D.(-∞,-]∪[,+∞)2.【考向3】若直线l:ax+by+1=0经过圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.B.5C.2D.103.【考向4】已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P 为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5 -4B.-1C.6-2D.4.【考向3】[2017·合肥一中三模]若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与圆C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则的最小值为.5.【考向2】[2017·广东华南师大附中月考]已知实数x,y满足(x+2)2+(y-3)2=1,则|3x+4y-26|的最小值为.6.【考向3】已知圆C:x2+(y+1)2=3,设EF为直线l:y=2x+4上的一条线段,若对于圆C上的任意一点Q,∠EQF≥,则的最小值是.探究点三与圆有关的轨迹问题6 (1)动点P与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-1,则点P的轨迹方程是()A.x2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+y2=1D.y=(2)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1[总结反思] 与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程.式题 (1)[2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考]自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,切线的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)已知点A(1,0)和圆C:x2+y2=4上一点P,动点Q满足=2,则点Q的轨迹方程为()A.+y2=1B.x2+=1C.x2+=1D.+y2=1第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系课前双击巩固1.直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:2.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:常用结论1.求圆的切线方程,常用两种方法(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数. 2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,求出x M+x N和x M·x N,则|MN|=·.题组一常识题1.[教材改编]直线y=kx+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是.2.[教材改编]以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.3.[教材改编]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为.4.[教材改编]直线x-y-5=0被圆x2+y2-4x+4y+6=0所截得的弦的长为.题组二常错题◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率k不存在的情形;求弦所在直线的方程时遗漏一解.5.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a= .6.已知圆C: x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为.7.若直线过点P-3,-且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程为.课堂考点探究探究点一直线与圆的位置关系1 (1)[2017·海南中学模拟]直线x+ay+1=0与圆x2+(y-1)2=4的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定(2)[2017·渭南二模]直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A.0<m<1B.-4<m<0C.m<1D.-3<m<1[总结反思] 判断直线与圆的位置关系的常用方法:(1)若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用d与r的关系判断.(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.式题 (1)圆2x2+2y2=1与直线x sin θ+y-1=0θ∈R,θ≠+kπ,k∈Z的位置关系是(横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填).(2)[2017·长沙长郡中学三模]过定点P(-2,0)的直线l与曲线C:(x-2)2+y2=4(0≤x≤3)交于不同的两点,则直线l的斜率的取值范围是.探究点二圆的切线与弦长问题2 (1)[2017·淄博二模]过点(1,1)的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,当=4时,直线l的方程为.(2)[2017·南充三模]已知圆的方程是x2+y2=1,则经过上一点M,的切线方程是.[总结反思] (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)处理圆的切线问题时,一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过点M的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.式题 (1)已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+m=0相切,则实数m的值为.(2)[2017·重庆巴蜀中学三诊]设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x-my=0相交于A,B两点,若点A,B 关于直线l:x+y=0对称,则= .(3)已知点M在直线x+y+a=0上,过点M引圆O:x2+y2=2的切线,若切线长的最小值为 2,则实数a的值为()A.±2B.±3C.±4D.±2探究点三圆与圆的位置关系3 (1)[2017·银川二模]已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2+6x-8y+16=0,则圆C1和圆C2的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切(2)已知经过点P1,的两个圆C1,C2都与直线l1:y=x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C1C2等于.[总结反思] (1)处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断,一般不采用代数法.(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.式题 (1)[2017·绵阳二诊]已知点O(0,0),M(1,0),且圆C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r>0)上至少存在一点P,使得|PO|=|PM|,则r的最小值是.(2)设P(x1,y1)是圆O1:x2+y2=9上的点,圆O2的圆心为O2(a,b),半径为1,则(a-x1)2+(b-y1)2=1是圆O1与圆O2相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第50讲椭圆课前双击巩固1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作.这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若,则集合P为椭圆;(2)若,则集合P为线段;(3)若,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质+=1(a>b>0) +=1(a>b>0),常用结论椭圆中几个常用的结论:(1)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径,分别记作r1=,r2=.①+=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;②+=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).(2)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:①当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;②S=b2tan =c,当=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长l min=.(4)AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则①弦长l==|y1-y2|;②直线AB的斜率k AB=-.题组一常识题1.[教材改编]椭圆36x2+81y2=324的短轴长为,焦点为,离心率为.2.[教材改编]已知动点P(x,y)的坐标满足+=16,则动点P的轨迹方程为.3.[教材改编]若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为10,一个焦点的坐标是(-,0),则椭圆的标准方程为.4.[教材改编]椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角,则Rt△PF1F2的面积为.题组二常错题◆索引:椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件;忽视焦点的位置;易忽视椭圆方程中未知数的取值范围.5.平面内一点M到两定点F1(0,-9),F2(0,9)的距离之和等于18,则点M的轨迹是.6.短轴长等于6,离心率等于的椭圆的标准方程为.7.设点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则5x2+y2-6x的最大值为.课堂考点探究探究点一椭圆的定义1 (1)过椭圆+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则△ABF2的周长为()A.8B.4C.4D.2(2)[2017·西宁一模]在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则+的最大值为()A.5B.4C.3D.2[总结反思] 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求其面积等.式题 (1)[2017·汕头三模]若椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为()A.36B.16C.20D.24(2)已知椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b= .探究点二椭圆的标准方程2 (1) 椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为 ()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1(2)[2017·马鞍山三模]已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E 于A,B两点.若线段AB的中点的坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1[总结反思] 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有:(1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义;(2)待定系数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),再用待定系数法求出m,n的值即可.式题 (1)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过F1的直线l交椭圆于M,N两点,若△MF2N的周长为8,则椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1(2) 过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为 ()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1探究点三椭圆的几何性质3 (1)[2017·西宁二模]设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,与直线y=b相切的☉F2交椭圆于点E,且点E恰好是直线EF1与☉F2的切点,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.(2)椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,若△FAB外接圆的圆心P(m,n)在直线y=-x的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为()A.B.C.D.[总结反思] 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法:(1)求出a,c,代入公式e=.(2)根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值或取值范围.式题 (1)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.P是椭圆上一点,位于第一象限,满足PF2⊥F1F2,点Q在线段PF1上,且=2.若·=0,则e2= ()A.-1B.2-C.2-D.-2(2)中心为原点O的椭圆的焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P为椭圆上一点,若∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的取值范围是()A.B.C.D.探究点四直线与椭圆的位置关系4[2018·合肥一中、马鞍山二中等六校联考]已知点M是圆E:(x+)2+y2=16上的动点,点F(,0),线段MF的垂直平分线交线段EM于点P.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)矩形ABCD的边所在直线与轨迹C均相切,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围.[总结反思] (1)解决直线与椭圆的位置关系的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系,解决相关问题.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==(k为直线斜率).(3)直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法:式题 [2017·咸阳三模]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q 两点,N为线段PQ的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点M0,,且MN⊥PQ,求线段MN所在的直线方程.第51讲双曲线课前双击巩固1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)当时,P点的轨迹是双曲线;(2)当时,P点的轨迹是两条射线;(3)当时,P点不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质-=1(a>0,b-=1(a>0,b>0)常用结论双曲线的几个常用结论:(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为-=λ(λ≠0).(2)双曲线上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|,则①-=1(a>0,b>0),若点P在右支上,则r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,则r1=-ex0-a,r2=-ex0+a.②-=1(a>0,b>0),若点P在上支上,则r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,则r1=-ey0-a,r2=-ey0+a.题组一常识题1.[教材改编]若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=4,则|PF2|= .2.[教材改编]已知双曲线经过点P(3,-2)和点Q(6,-7),则该双曲线的标准方程为.3.[教材改编]双曲线C:12x2-3y2=24的离心率是,渐近线方程是.题组二常错题◆索引:忽视双曲线定义中的条件“2a<|F1F2|”;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置;忽视双曲线上的点的位置.5.平面内到点F1(6,0),F2(-6,0)距离之差的绝对值等于12的点的轨迹是.6.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于6的点的轨迹是.7.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为.8.P是双曲线-=1上任意一点,F1,F2分别是它的左、右焦点,且|PF1|=9,则|PF2|= .探究点一双曲线的定义及标准方程1 (1)F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且=8,则△PF1F2的周长为()A.15B.16C.17D.18(2)[2017·山西孝义一模]已知双曲线C的中点为原点O,左焦点为F(-2,0),点A为左支上一点,满足=且=4,则双曲线C的方程为()。

19版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线学案文

19版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线学案文

19版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线学案文D(3)当a>c 时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形续表3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.( )(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(4)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与y2b2－x2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( ) 答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P53T3)已知椭圆x28＋y25＝1和双曲线x2m－y2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A．x＝±36y B．y＝±36xC．x＝±22y D．y＝±22x答案 D解析由椭圆x28＋y25＝1和双曲线x2m－y2＝1有公共的焦点，得m＋1＝8－5.所以m＝2，所以双曲线方程为x22－y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±22x.故选D.(2)(选修A1－1P51例3)已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±12x，则此双曲线的离心率为________．答案 5解析因为焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±12x，所以ab＝12，即b＝2a.由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋4a2＝5a2，即c2a2＝5，所以e＝ca＝5.3．小题热身(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. 3 B．3C.3m D．3m答案 A解析由题意知，双曲线的标准方程为x23m－y23＝1，其中a2＝3m，b2＝3，故c＝a2＋b2＝3m＋3，不妨设F为双曲线的右焦点，故F(3m＋3，0)．其中一条渐近线的方程为y＝1 mx，即x－my＝0，由点到直线的距离公式可得d＝|3·m＋1|1＋(－m)2＝3，故选A.(2)(2016·山东高考)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．答案 2解析由已知得|AB|＝|CD|＝2b2a，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.因为2|AB|＝3|BC|，所以4b2a＝6c，又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－12(舍去)．题型1 双曲线的定义及应用典例1(2017·湖北武汉调研)若双曲线x2 4－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )A．8 B．9C．10 D．12利用双曲线定义得到|PF|＋|PA|＝2a＋|PB|＋|PA|，再利用|PA|＋|PB|≥|AB|求出最小值．答案 B解析由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．∴|PF|＋|PA|的最小值为9.故选B.典例2(2018·河北邯郸模拟)设动圆C 与两圆C1：(x＋5)2＋y2＝4，C2：(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为________．根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解．答案x24－y 2＝1解析 设圆C 的圆心C 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题设知r ＞2，于是有⎩⎨⎧|CC 1|＝r ＋2，|CC 2|＝r －2或⎩⎨⎧|CC 1|＝r －2，|CC 2|＝r ＋2，∴||CC 1|－|CC 2||＝4＜25＝|C 1C 2|，即圆心C 的轨迹L 是以C 1，C 2为焦点，4为实轴长的双曲线，∴L 的方程为x2⎝ ⎛⎭⎪⎫422－y2(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1，即x24－y 2＝1. 方法技巧1．“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系．2．应用双曲线定义需注意的问题(1)在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是线段或不存在．(2)求双曲线方程时，注意用标准形式．冲关针对训练1．(2017·衡水模拟)已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则|sin A－sin B|sin P的值等于( )A.45B.74C.54D.7答案 A解析 由x216－y29＝1得a ＝4，b ＝3，c ＝5.结合双曲线定义及正弦定理得|sin A －sin B |sin P ＝||PA |－|PB |||AB |＝2a 2c ＝45，故选A.2．已知双曲线x 216－y 29＝1上有一点P ，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝π3，则△PF 1F 2的面积为________．答案 9 3解析 由题意，得|F 1F 2|＝216＋9＝10. 因为⎩⎪⎨⎪⎧||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3＝100，所以|PF 1|·|PF 2|＝36.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝9 3.题型2 双曲线的标准方程及应用典例 (2018·兰州检测)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y24＝1 B.x 24－4y23＝1 C.x24－y24＝1 D.x24－y212＝1 本题采用方程法．答案 D解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝22，①2x 0·2y 0＝2b ，②y 0＝b 2x 0，③由①③得x 20＝164＋b2，④ 所以y 20＝b 24×164＋b 2＝4b 24＋b2，⑤ 由②④⑤可得b 2＝12.所以双曲线的方程为x24－y212＝1.故选D.[条件探究1] 若将典例中条件变为“以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程．解 因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43.又c2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x29－y216＝1.[条件探究2] 若将典例中变为“双曲线过点(2,1)，且双曲线与椭圆x24＋y2＝1共焦点”，求双曲线的方程．解椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，所以4 a2－1b2＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是x22－y2＝1.方法技巧双曲线标准方程的求解方法1．定义法．2．待定系数法．提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．冲关针对训练1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1C.3x 220－3y25＝1 D.3x 25－3y220＝1 答案 A解析 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b＝1，所以双曲线的方程为x24－y 2＝1.故选A.2．(2018·福建漳州模拟)已知双曲线C ：x2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(1,0)，且P 与点F 1关于直线y ＝－bxa对称，则双曲线的方程为________________．答案 x 2－y 24＝1解析 设点A (1,0)，因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(1,0)，则|PF 1|－|PF 2|＝|AF 1|－|AF 2|，所以2a ＝(c ＋1)－(c －1)，则a ＝1.因为点P 与点F 1关于直线y ＝－bxa对称，所以∠F 1PF 2＝π2，且|PF 1||PF 2|＝b a ＝b ，结合|PF 1|－|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝4＋4b 2，可得b ＝2.所以双曲线的方程为x 2－y 24＝1.题型3 双曲线的几何性质角度 1 与双曲线有关的范围问题(多维探究)典例(2015·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 根据已知MF1→·MF 2→<0，列出y 0的不等式求解．答案 A解析 不妨令F 1为双曲线的左焦点，则F 2为右焦点，由题意可知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF1→·MF 2→＝(－3－x 0)·(3－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝x 20＋y 20－3.又知x 202－y 20＝1，∴x 20＝2＋2y 20，∴MF 1→·MF 2→＝3y 2－1<0.∴－33<y 0<33，故选A.[条件探究] 将本例中条件“MF 1→·MF 2→<0”改为“MF1→·MF 2→＝0”，求△MF 1F 2的面积． 解 由MF1→·MF 2→＝0得MF 1⊥MF 2，知△MF 1F 2为直角三角形．设M 为双曲线右支上一点，则|MF 1|－|MF 2|＝22，|MF 1|2＋|MF 2|2＝(|MF 1|－|MF 2|)2＋2|MF 1|·|MF 2|＝12，得|MF 1|·|MF 2|＝2，所以S △MF 1F 2＝12·|MF 1|·|MF 2|＝1.角度2 与双曲线渐近线有关的问题 典例(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．涉及曲线交点时，考虑用设而不求的方法．答案 y ＝±22x解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y1＋y2＝2pb2 a2.又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋p2＋y2＋p2＝4×p2，即y1＋y2＝p，∴2pb2a2＝p，即b2a2＝12，∴ba＝22，∴双曲线的渐近线方程为y＝±22x.角度3 与双曲线离心率有关的问题典例(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则E的离心率为( )A. 2B.3 2C. 3 D．2将等式sin ∠MF 2F 1＝13转化为关于a ，b ，c 的等式．答案 A解析 由MF 1⊥x 轴，可得M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∴|MF 1|＝b 2a .由sin ∠MF 2F 1＝13，可得cos ∠MF 2F 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，又tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 22ac ，∴b 22ac ＝13223，∴b 2＝22ac ，∵c 2＝a 2＋b 2⇒b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－22ac ＝0⇒e 2－22e －1＝0，∴e ＝ 2.故选A.方法技巧与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略1．双曲线的离心率e ＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.2．求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．3．求双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0.冲关针对训练1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E 的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A. 5 B．2C. 3D. 2 答案 D解析设双曲线E的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则A(－a,0)，B(a,0)，不妨设点M在第一象限内，则易得M(2a，3a)，又M点在双曲线E上，于是(2a)2a2－(3a)2b2＝1，可得b2＝a2，∴e＝1＋b2a2＝ 2.故选D.2．(2018·成都统考)已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为( )A．x±2y＝0 B.2x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0答案 A解析设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b2a.因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14，所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0.故选A.题型4 直线与双曲线的综合问题 典例1以P (1,8)为中点作双曲线为y 2－4x 2＝4的一条弦AB ，求直线AB 的方程．本题采用“点差法”．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21－4x 21＝4，y 22－4x 22＝4，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)， ∵弦AB 的中点是P (1,8)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝16.∴16(y1－y2)＝8(x1－x2)，∴直线AB的斜率为y1－y 2x1－x2＝12，∴直线AB的方程为y－8＝12(x－1)，即直线AB的方程为x－2y＋15＝0.典例2已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→>2(其中O为原点)，求k的取值范围．(2)直线与双曲线联立，用设而不求的方法，列出不等式，然后求解．解(1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝3，c＝2，于是a2＋b2＝22，b2＝1，故双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2. 由OA →·OB →>2，得x A x B ＋y A y B >2.x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k2＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，又∵k 2<1，∴13<k 2<1， 故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.方法技巧直线y ＝kx ＋m 与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的位置关系的分析：1．代数法⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y2b2＝1，消去y ，得(b2－a 2k 2)x 2－2kma 2x －a 2(m 2＋b 2)＝0.(1)二次项系数为0时，直线L ⎝⎛⎭⎪⎫k ＝±b a 与双曲线的渐近线平行或重合．重合：无交点；平行：有一个交点． (2)二次项系数不为0时，上式为一元二次方程，Δ>0⇔直线与双曲线相交(两个交点)；Δ＝0⇔直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线相离．2．几何法：运用数形结合思想考查直线与渐近线的位置关系，转化为其斜率的大小关系．冲关针对训练若双曲线E ：x2a2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎨⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*)∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎨⎧k ＞1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)＞0，即⎩⎨⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜ 2.故k 的取值范围是{k |1＜k ＜2}． (2)由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63， 整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1＜k ＜2，∴k ＝52，所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)， 得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(45m,8m )．∵点C 是双曲线上一点，∴80m2－64m2＝1，得m＝±14 .故k＝52，m＝±14.1.(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )A．(－1,3) B．(－1，3)C．(0,3) D．(0，3)答案 A解析由题意可知：c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，其中c为半焦距，∴2c＝2×2|m|＝4，∴|m|＝1，∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，∴－m2<n<3m2，∴－1<n<3.故选A.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x28－y210＝1 B.x24－y25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B解析 解法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x24－y25＝k (k >0)，即x 24k －y25k＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C 的方程为x24－y25＝1.故选B.解法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，∴b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线C 的方程为x24－y25＝1.故选B.3．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．答案 233解析 如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝bax，即bx－ay＝0，∴点A到l的距离d＝aba2＋b2.又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN为等边三角形，∴d＝32MA＝32b，即aba2＋b2＝32b，∴a2＝3b2，∴e＝ca＝a2＋b2a2＝233.4．(2018·兰州诊断)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e，则a2＋eb的最小值为________．答案26 3解析由题意，可得k＝ba＝tanπ3＝ 3.∴b＝3a，则a2＝b23，∴e＝1＋b2a2＝2.∴a2＋eb＝b23＋2b＝b3＋2b≥2b3×2b＝263.当且仅当b2＝6，a2＝2时取“＝”．[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．(2018·唐山统考)“k<9”是“方程x2 25－k ＋y2k－9＝1表示双曲线”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析∵方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x 2－y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．2答案 B解析 由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∵F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x23－y24＝1 B.x24－y23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 D解析 设双曲线方程x 2a 2－y2b2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，①x 22a 2－y 22b2＝1.②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∴1＝b 2a 2·－23－53，∴5a 2＝2b 2.又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，故选D. 4．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析 解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x 2－y22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x 2－y22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2， |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2＝1＋k216(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4， 解得k ＝±22，故这样的直线有3条．故选C.解法二：当直线l 无斜率时同解法一，且此时与双曲线一支交于两点的情况只有一种，其他直线得到的|AB |>4.由于双曲线的实轴长为2小于4，因此与双曲线两支分别相交得到的两点都在x 轴上方或x 轴下方两种情况．综上所述，共有三条直线满足条件，故选C.5．(2016·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2m2＋y2＝1(m >1)与双曲线C 2：x2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 答案 A解析 在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m.在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n.因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.由n >0，m >1可得m >n ，且m 2－2>0.从而e 21·e 22＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2·n2＝(m 2－1)2m 2·(m 2－2)，则e 21e 22－1＝(m 2－1)2m 2(m 2－2)－1＝1m 2(m 2－2)>0，即e 1e 2>1.故选A. 6．(2017·福建龙岩二模)已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )A．32 B．16C．84 D．4答案 B解析由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝bax上，由题意可知|F2M|＝bca2＋b2＝b，所以|OM|＝c2－b2＝a.由S△OMF2＝16，可得12 ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，ca＝52，所以a＝8，b＝4，c＝45，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.7．(2018·湖南十校联考)设双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线与直线x＝a2c分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A．(1，2) B．(2，2)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析 双曲线x 2a 2－y2b2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，－ab c ，∵60°＜∠AFB ＜90°，∴33＜k FB ＜1，∴33＜abc c －a 2c＜1，∴33＜a b ＜1，∴13＜a 2c 2－a 2＜1，∴1＜e 2－1＜3，∴2＜e ＜2.故选B.8．(2017·福建漳州八校联考)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52B．4C.92D．9答案 C解析由题意设焦距为2c，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a2，①由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，③①2＋②2，得|PF1|2＋|PF2|2＝2a21＋2a22，④将④代入③，得a21＋a22＝2c2，∴4e21＋e22＝4c2a21＋c2a22＝4(a21＋a22)2a21＋a21＋a222a22＝52＋2a22a21＋a212a22≥52＋22a22a21·a212a22＝92，当且仅当2a22a21＝a212a22，即a21＝2a22时，取等号．故选C.9．(2017·青州市模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ D ．(0，＋∞)答案 A解析 设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )，由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，即有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1， 由双曲线的定义可得m －n ＝2a 2， 即有a 1＝5＋c ，a 2＝5－c (c <5)， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c ＋2c >10，可得c >52，即有52<c <5.由离心率公式可得e1·e2＝ca1·ca2＝c225－c2＝125 c2－1，由于1<25c2<4，则有125c2－1>13.则e1·e2的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞.故选A. 10．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )A.x28＋y22＝1 B.x212＋y26＝1C.x216＋y24＝1 D.x220＋y25＝1答案 D解析∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20. ∴椭圆C 的方程为x220＋y25＝1.故选D. 二、填空题11．若点P 在曲线C 1：x216－y29＝1上，点Q在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．答案 10解析依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10.12．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)，作圆x2＋y2＝a24的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若OE→＝12(OF→＋OP→)，则双曲线的离心率为________．答案10 2解析圆x2＋y2＝a24的半径为a2，由OE→＝12(OF→＋OP→)知，E是FP的中点，设F′(c,0)，由于O是FF′的中点，所以OE⊥PF，|OE|＝12|PF′|⇒|PF′|＝2|OE|＝a.由双曲线定义，|FP|＝3a，因为FP是圆的切线，切点为E ，所以FP ⊥OE ，从而∠FPF ′＝90°.由勾股定理，得|FP |2＋|F ′P |2＝|FF ′|2⇒9a 2＋a 2＝4c 2⇒e ＝102.13．(2018·安徽江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x22－y24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为________．答案 2解析 由题意取F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 2－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.14．(2018·贵州六校联考)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________．答案 3解析 设椭圆的半长轴为a 1，椭圆的离心率为e 1，则e 1＝c a 1，a 1＝c e 1.设双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，e ＝c a ，a ＝c e.|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y (x >y >0)，则由余弦定理得4c 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ，当点P 看作是椭圆上的点时， 有4c 2＝(x ＋y )2－3xy ＝4a 21－3xy ，① 当点P 看作是双曲线上的点时， 有4c 2＝(x －y )2＋xy ＝4a 2＋xy ，② ①②联立消去xy ，得4c 2＝a 21＋3a 2，即4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝4，又因为1e 1＝e ，所以e 2＋3e2＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3，即双曲线的离心率为 3.B 级三、解答题15．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝2.。

近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线课后作业文(2021年整理)

近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线课后作业文(2021年整理)

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8。

7 抛物线[重点保分 两级优选练］A 级一、选择题1．(2017·皖北协作区联考）已知抛物线C ：x 2＝2py (p 〉0），若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为4错误!，则抛物线C 的方程为( ）A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2y D ．x 2＝y答案 C解析 由错误!得错误!或错误!即两交点坐标为(0，0)和(4p ，8p )，则错误!＝45，得p ＝1(舍去负值），故抛物线C 的方程为x 2＝2y 。

故选C 。

2．（2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则｜AB |＝（ ）A.错误! B ．6 C ．12 D ．7错误!答案 C解析 抛物线C :y 2＝3x 的焦点为F 错误!,所以AB 所在的直线方程为y ＝错误!错误!，将y ＝错误!错误!代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－错误!x ＋错误!＝0.设A （x 1，y 1),B （x 2,y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝错误!，由抛物线的定义可得｜AB |＝x 1＋x 2＋p ＝错误!＋错误!＝12。

故选C 。

2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第8章 解析几何 第2讲

2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第8章 解析几何 第2讲

1．下列结论正确的个数为 导学号 58533190 ( C ) (1)如果直线 l1 与直线 l2 互相平行，那么这两条直线的斜率相等． (2)如果直线 l1 与直线 l2 互相垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1． |kx1＋b| (3)点 P(x1，y1)到直线 y＝kx＋b 的距离为 2． 1＋k (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．
[ 解析]
1 直线 x－2y－2＝0 可化为 y＝2x－1．
1 所以过点(1,0)且与直线 x－2y－2＝0 平行的直线方程可设为 y＝2x＋b，将点 1 (1,0)代入得 b＝－2． 所以所求直线方程为 x－2y－1＝0．
3．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等于 导学号 58533192 ( C ) A． 2 C． 2－1
[ 解析] |a－2＋3| 依题意得 ＝1． 1＋1
Hale Waihona Puke B．2－ 2 D． 2＋1
解得 a＝－1＋ 2或 a＝－1－ 2.∵a>0，∴a＝－1＋ 2．
4．(2016· 北京二十四中模拟)已知点 M(0，－1)，点 N 在直线 x－y＋1＝0 上， 若直线 MN 垂直于直线 x＋2y－3＝0，则点 N 的坐标是 导学号 58533193 ( B ) A．(－2，－1) C．(2,1) B．(2,3) D．(－2,1)
1 (5)若点 A、B 关于直线 l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线 AB 的斜率等于－ k， 且线段 AB 的中点在直线 l 上． A．0 C．2 B．1 D．3
• [解析] (1)(2)(3)都不正确，(4)(5)正确．
2 ． (2016· 天津模拟 ) 过点 (1,0) 且与直线 x － 2y － 2 ＝ 0 平行的直线方程是 导学号 58533191 ( A ) A．x－2y－1＝0 C．2x＋y－2＝0 B．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0

2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第8章 解析几何 第8讲 第1课时

2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第8章 解析几何 第8讲 第1课时

(3)(2018· 兰州检测)若直线 mx＋ny＝4 和圆 O： x2＋y2＝4 没有交点， 则过点(m， x2 y2 n)的直线与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的交点个数为 导学号 58533321 ( B ) A．至多一个 C．1 B．2 D．0
[ 解析] 选 C．
(1)结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x＝0，过点
考 点 突 破
• 考点1 直线与圆锥曲线的位置关系
(1)若过点(0,1)作直线， 使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点， 则这 样的直线有 导学号 58533319 ( C ) A．1 条 C．3 条 B．2 条 D．4 条
(2)若直线 y＝kx＋2 与双曲线 x2－y2＝6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值 范围是 导学号 58533320 ( D ) 15 15 A．(－ 3 ， 3 ) 15 C．(－ 3 ，0) 15 B．(0， 3 ) 15 D．(－ 3 ，－1)
AM BM
1．下列结论正确的个数为 导学号 58533314 ( D ) (1)直线 l 与抛物线 y2＝2px 只有一个公共点，则 l 与抛物线相切． (2)直线 y＝kx(k≠0)与双曲线 x2－y2＝1 一定相交． (3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点． x2 2 (4)过点(2,4)的直线中与椭圆 4 ＋y ＝1 相切的只有一条． (5)满足“直线 y＝ax＋2 与双曲线 x2－y2＝4 只有一个公共点”的 a 的值有 4 个．
x＋y－1＝0或x－y－1＝0 线相交于 A、B 两点，若|AB|＝8，则直线 l 的方程为_________________________.
导学号 58533317 x2 y2 5 5．(选修 2－1P70 练习 BT1 改编)已知椭圆16＋25＝1，则以 P(2，2)为中点

2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.8 曲线与方程学案 理

2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.8 曲线与方程学案 理

8．8 曲线与方程[知识梳理]求曲线方程的基本步骤[诊断自测]1．概念思辨(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( )(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( )(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．( )答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．教材衍化(1)(选修A2－1P36例3)到点F(0,4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为( )A．y＝16x2B．y＝－16x2C．x2＝16y D．x2＝－16y答案 C解析由题意可知动点M到点F(0,4)的距离与到直线y＝－4的距离相等，则点M的轨迹为抛物线，故选C.(2)(选修A2－1P 35例1)到两坐标轴距离之积等于2的点的轨迹方程为________． 答案 y ＝±2x解析 根据题意，设动点为M ，其坐标为(x ，y )，而动点M 到两坐标轴距离之积等于2，即|x |×|y |＝2，变形可得y ＝±2x ，故到两坐标轴距离之积等于2的点的轨迹方程为y ＝±2x.3．小题热身(1)(2018·银川模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1. 又∵|PA |＝1，∴|PM |＝ |MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.故选D.(2)(2017·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．答案 y ＝2x －2解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.题型1 定义法求轨迹方程典例(2017·大庆模拟)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．用定义法．答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，则有|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.又|MA |＝|MB |，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2，即动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数2，且2<|C 1C 2|＝6，|MC 2|>|MC 1|，故动圆圆心M 的轨迹为以定点C 2，C 1为焦点的双曲线的左支，则2a ＝2，所以a ＝1.又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8.设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．[条件探究] 将本例条件变为：“圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆C 1外切且与圆C 2内切”，求圆心P 的轨迹方程．解 因为圆P 与圆C 1外切且与圆C 2内切，所以|PC 1|＋|PC 2|＝(R ＋1)＋(3－R )＝4，由椭圆的定义可知，曲线是以C 1，C 2为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．方法技巧定义法求轨迹方程的适用条件及关键点1．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．见典例．2．理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．3．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．见典例．冲关针对训练已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0,1)与点M (x ，y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．解 (1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C 1(0，－4)，C 2(0,2)，由题意得|CC 1|＝|CC 2|，可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率不存在，故圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，其方程为y ＝－1，即圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1.(2)因为m ＝n ，所以M (x ，y )到直线y ＝－1的距离与到点F (0,1)的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以y ＝－1为准线，点F (0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而p2＝1，即p ＝2，所以轨迹Q 的方程是x 2＝4y .题型2 直接法求轨迹方程典例 (2014·广东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)由题意知c ＝5，c a ＝53，所以a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设两切线为l 1，l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴，可知P (±3，±2)． ②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3. 设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为－1k，故l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0.因为直线l 1与椭圆C 相切，所以Δ＝0， 得9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，所以－36k 2＋4[(y 0－kx 0)2－4]＝0， 所以(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0，所以k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的一个根，同理－1k是方程(x 20－9)x2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的另一个根，所以k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝y 20－4x 20－9，得x 20＋y 20＝13，其中x 0≠±3，所以此时点P 的轨迹方程为x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 因为P (±3，±2)满足x 20＋y 20＝13， 综上可知，点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13. 方法技巧直接法求曲线方程的关键点和注意点1．关键点：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略．2．注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．提醒：对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x ，y 的取值范围．冲关针对训练已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OM |＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝3，所以b ＝7，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]．由已知|OP |2|OM |2＝λ2及点P 在椭圆C 上，可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4，4]．①当λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段．②当λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点，实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分； 当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆. 题型3相关点法(代入法)求轨迹方程典例1 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D．x 2＋4y 23＝1(y ≠0) 答案 C解析 依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y ，代入x 204＋y 203＝1，得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．典例2 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)；由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)，③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．[结论探究] 典例2中试求t 的值，使矩形ABCD 的面积最大，并求出此最大值． 解 设A (x 0，y 0)，则S 矩形＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94，当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6，此时t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝ 5.所以当t ＝5时，矩形ABCD的面积取到最大值6.方法技巧相关点法求轨迹方程的一般步骤1．分析题目：与动点M (x ，y )相关的点P (x 0，y 0)在已知曲线上运动； 2．寻求关系式x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y )；3．将x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y )代入已知曲线方程； 4．整理关于x ，y 的关系式得M 的轨迹方程． 冲关针对训练已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F .(1)点A ，P 满足AP →＝－2FA →.当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程； (2)在x 轴上是否存在异于原点的点Q ，使得点Q 关于直线y ＝2x 的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，点A 的坐标为(x A ，y A )，则AP →＝(x －x A ，y －y A )．因为F 的坐标为(1,0)，所以FA →＝(x A －1，y A )． 由AP →＝－2FA →，得(x －x A ，y －y A )＝－2(x A －1，y A )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x A ＝－2(x A －1)，y －y A ＝－2y A ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝2－x ，y A ＝－y .代入y 2＝4x ，得到动点P 的轨迹方程为y 2＝8－4x .(2)假设存在这样的点Q ，其坐标为(t,0)，点Q 关于直线 y ＝2x 的对称点Q ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y x －t ＝－12，y 2＝x ＋t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ，y ＝45t ，由Q ′在抛物线C 上，将Q ′的坐标代入y 2＝4x ，得4t 2＋15t ＝0，即t ＝0或t ＝－154.所以存在满足题意的点Q ，其坐标为(0,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－154，0.点(0,0)不符合题意．所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－154，0.题型4 参数法求轨迹方程典例如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解 (1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM →＝12DP →知P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 为椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k21＋4k2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2.∵四边形OAEB 为平行四边形， ∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2，又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0得，k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <83.方法技巧参数法求轨迹方程的一般步骤1．选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标； 2．写出动点M 的轨迹的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (k )，y ＝g (k )；3．消参数k ，得M 的轨迹方程；4．由k 的范围确定x ，y 的范围，确保完备性与纯粹性． 冲关针对训练设椭圆方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 是坐标原点，l上的动点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．解 设点P 的坐标为(x ，y )， 因A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆上， 所以x 21＋y 214＝1.①x 22＋y 224＝1.②①－②，得x 21－x 22＋14(y 21－y 22)＝0，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋14(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.当x 1≠x 2时，有x 1＋x 2＋14(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0.③并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，y －1x ＝y 1－y 2x 1－x 2，④将④代入③并整理，得4x 2＋y 2＝y .⑤当x 1＝x 2时，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)． 这时点P 的坐标为(0,0)，也满足⑤.所以点P 的轨迹方程为x2116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12214＝1.1.(2018·开封模拟)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫OF 1→＋OQ →(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 答案 D解析 因为点P 满足OP →＝12(OF 1→＋OQ →)，所以P 是线段QF 1的中点，由于F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，则F 1(－6，0)，设P (x ，y )，则Q (2x ＋6，2y )．由点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，得点P 的轨迹方程为(2x ＋6)216＋(2y )25＝1，可知点P 的轨迹为椭圆．故选D. 2．(2018·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0，2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →＝( )A ．－12B ．12C ．－9D ．9解析 设P (x ，y )．由|AP →|－|BP →|＝2可得点P 在以两定点A ，B 为焦点的双曲线的上支，其中2a ＝2，c ＝2，∴b ＝ 3.∴点P (x ，y )满足方程y 2－x 23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝4，所以AP →·BP →＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9，故选D.3．(2017·豫北名校联考)已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析 设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又∵|CD |＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．4．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP ·PQ ＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·上海模拟)图中曲线的方程可以是( ) A ．(x ＋y －1)·(x 2＋y 2－1)＝0 B.x ＋y －1·(x 2＋y 2－1)＝0 C ．(x ＋y －1)·x 2＋y 2－1＝0 D.x ＋y －1·x 2＋y 2－1＝0 答案 C解析 由图象可知曲线的方程可以是x 2＋y 2＝1或x ＋y －1＝0(x 2＋y 2≥1)，故选C.2．(2017·保定二模)若点P (x ，y )坐标满足ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1y ＝|x －1|，则点P 的轨迹图象大致是( )答案 B解析 由题意，x ＝1时，y ＝1，故排除C ，D ；令x ＝2，则y ＝±1e ，排除A.故选B.3．(2018·安徽模拟)点集{(x ，y )|(|x |－1)2＋y 2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是( )A.16π3＋2 3B.16π3＋4 3 C.24π3＋2 3 D.24π3＋4 3 答案 A解析 点集{(x ，y )|(|x |－1)2＋y 2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x ，y 轴对称，如图所示．由图可得面积S ＝S 菱形＋43S 圆＝12×23×2＋43×π×4＝16π3＋2 3.故选A.4．(2018·沈阳月考)在△ABC 中，B (－5，0)，C (5，0)，AB ，AC 边上的中线长之和为9.则△ABC 重心G 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 29＝1(y ≠0)B.x 29＋y 24＝1(y ≠0)C.x 24－y 2＝1(y ≠0) D．x 2－y 24＝1(y ≠0) 答案 B解析 设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ， ∵BG ＝23BE ，CG ＝23CD ，∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝6(定值)．因此，G 的轨迹为以B ，C 为焦点的椭圆，2a ＝6，c ＝5， ∴a ＝3，b ＝2，可得椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.∵当G 点在x 轴上时，A ，B ，C 三点共线，不能构成△ABC .∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1(y ≠0)．故选B.5．(2018·大武口期末)已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，则点M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝x －1B ．y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝x －12答案 D解析 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易求y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)． ∵M 是FQ 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋x 22，y ＝y22⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x －1，y 2＝2y ，又Q 是OP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x12，y 2＝y12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＝4x －2，y 1＝2y 2＝4y .∵P 在抛物线y 2＝4x 上，∴(4y )2＝4(4x －2)， 所以M 点的轨迹方程为y 2＝x －12.故选D.6．(2017·河北衡水中学期中)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 D解析 将圆F 改写成标准方程(x －1)2＋y 2＝12，则圆心F 的坐标为(1,0)，半径r ＝23，由题意可知|PA |＝|PB |.又点P 在圆F 的半径BF 上，故|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝23>2＝|AF |，所以动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点，23为长轴长的椭圆，则2a ＝23，2c ＝2，所以b ＝ 2.故动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1.故选D.7．(2018·宜城期末)已知过定点C (2，0)的直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，作OE ⊥AB 于E .则点E 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0) B ．x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0) C ．x 2＋y 2－4x ＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0) 答案 A解析 直线l 过定点C (2,0)， ∵O (0,0)，C (2,0)，OE ⊥CE ， ∴△OEC 为直角三角形，∴点E 的轨迹是以线段OC 为直径的圆除去点O ，故点E 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0)，即x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0)．故选A.8．(2017·津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线答案 A解析 设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.9．(2017·湖北期中)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C ，给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆； ②当t >4或t <1时曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则t >4. 其中判断正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由4－t ＝t －1，可得t ＝52，方程x 24－t ＋y2t －1＝1表示圆，故①不正确；由双曲线的定义可知：当(4－t )(t －1)<0时，即t <1或t >4时，方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示双曲线，故②正确；由椭圆定义可知：当椭圆在x 轴上时，满足4－t >t －1>0，即1<t <52时，方程x 24－t ＋y2t －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，故③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －1<0，∴t <1，故④不正确，故选B.10．(2018·北京模拟)如图所示，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为( )答案 C解析 依题意可知P 到点B 的距离等于到直线A 1B 1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是以B 为焦点，以A 1B 1为准线的过A 的抛物线的一部分．A 的图象为直线的图象，排除A.B 项中B 不是抛物线的焦点，排除B. D 项不过A 点，D 排除．故选C. 二、填空题11．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4k，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．当直线斜率不存在时，MN 的方程为x ＝1，P (2,0)在曲线y 2＝4(x －2)上．12．设x ，y ∈R ，i ，j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8，则点M (x ，y )的轨迹方程为________．答案x 212＋y 216＝1 解析 由已知得a ＝(x ，y ＋2)，b ＝(x ，y －2)，而|a |＋|b |＝8，故有x 2＋(y ＋2)2＋x 2＋(y －2)2＝8①，由①式知动点M (x ，y )到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和为一常数，满足椭圆的定义，故M 点轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长a ＝4，所以短半轴长b ＝23，故其轨迹方程为x 212＋y 216＝1.13．(2018·中原名校联考)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1，A 2的两个不同的动点，则直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹方程为________．答案x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)解析 由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有 直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，① 直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x，y 1＝2yx，③∴x ≠0，且|x |<2，因为点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 212－y 21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)． 14．(2018·山西太原模拟)已知圆O 1：(x －2)2＋y 2＝16和圆O 2：x 2＋y 2＝r 2(0<r <2)，动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)，则e 1＋2e 2的最小值为________．答案3＋224解析 设动圆M 的半径为R .动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切有两种情况，一是与圆O 1内切、与圆O 2外切，二是与圆O 1和圆O 2都内切．相切都可以转化为圆心距问题．第一种情况，d MO 1＝4－R ，d MO 2＝r ＋R ，d MO 1＋d MO 2＝4＋r ，为定值，且O 1O 2＝2.故由椭圆的定义可知，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4＋r2，c ＝1.同理，第二种情况，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4－r2，c ＝1.∵两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)，∴e 1＝24－r ，e 2＝24＋r. ∴e 1＋2e 2＝24－r ＋44＋r ＝2(4＋r )＋4(4－r )(4－r )(4＋r )＝24－2r 16－r 2＝2(12－r )－(12－r )2＋24(12－r )－128＝2－(12－r )－12812－r＋24≥2－2 (12－r )·12812－r ＋24＝2－162＋24＝22＋34，当且仅当12－r ＝12812－r ，即r ＝12－82时，取“＝”．所以e 1＋2e 2的最小值为3＋224.三、解答题15．(2018·安徽合肥模拟)如图，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0. 设切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12， 同理，l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.①∵直线CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－8x ，y 0＝8y x ， 代入x 20＋y 20＝8得x 28－y 2＝1. 考虑到x 0∈[2,2 2 ]，则x ∈[－4，－2 2 ]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－2 2 ]． 16．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12， ⎭⎪⎫a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E (1,0)满足方程y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.。

近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线学案文(2021年整理)

近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线学案文(2021年整理)

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8.7 抛物线［知识梳理]1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l（F∉l）距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1）抛物线y2＝2px(p＞0）上一点P（x0，y0)到焦点F错误!的距离｜PF｜＝x0＋错误!，也称为抛物线的焦半径．（2）y2＝ax的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝－错误!。

(3)直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点,交抛物线于A（x1,y1）,B(x2，y）两点，如图．2①y1y2＝－p2，x1x2＝错误!.②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2错误!＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.③错误!＋错误!为定值错误!.④弦长AB＝错误!（α为AB的倾斜角）．⑤以AB为直径的圆与准线相切．⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.[诊断自测］1．概念思辨(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ）(2）方程y＝ax2(a≠0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是错误!，准线方程是x＝－错误!。

( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ）(4）过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay（a＞0)的通径长为2a.（)答案(1)×（2）×(3）×（4)√2．教材衍化(1）(选修A1－1P64A组T2）抛物线y＝错误!x2（a≠0）的焦点坐标为（）A。

近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课后作业文(2021年整理)

近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课后作业文(2021年整理)

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8．3 圆的方程[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·豫北名校联考)圆(x－2）2＋y2＝4关于直线y＝错误!x对称的圆的方程是( )A．（x－错误!)2＋（y－1）2＝4B．（x－错误!)2＋（y－错误!)2＝4C．x2＋（y－2)2＝4D．(x－1)2＋（y－错误!)2＝4答案D解析设圆（x－2）2＋y2＝4的圆心（2，0)关于直线y＝错误!x对称的点的坐标为（a，b），则有错误!解得a＝1,b＝错误!，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－错误!)2＝4.故选D.2．（2017·湖南长沙二模）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y ＝2距离的最大值是( )A．1＋ 2 B．2C．1＋错误!D．2＋2错误!答案A解析将圆的方程化为（x－1)2＋（y－1）2＝1，圆心坐标为(1，1），半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝错误!＝错误!，故圆上的点到直线x －y＝2距离的最大值为d＋1＝错误!＋1，故选A.3．圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( ) A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0答案B解析设圆心为（0，b)，半径为r,则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋（y－b)2＝b2。

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练案[65]第二课时 最值、范围、证明问题A 组基础巩固一、选择题1．(2018·郴州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是导学号 58535007( C )A ．2B ． 2C ．4D ．2 2[解析] 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4，故选C ．2．(2018·台州模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM→＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为导学号 58535008( B )A ．95B ．125C ．4D ．5[解析] 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，所以所求的距离d ＝125，故选B ．3．(2018·福州质检)如图，直线y ＝m 与抛物线y 2＝4x 交于点A ，与圆(x －1)2＋y 2＝4的实线部分交于点B ，F 为抛物线的焦点，则三角形ABF 的周长的取值范围是导学号 58535009( B )A ．(2,4)B ．(4,6)C ．[2,4]D ．[4,6][解析] 设B (x B ，y B )，则1≤x B ≤3．因为可以构成三角形ABF ，所以1<x B <3． 因为圆的半径|BF |＝2， 抛物线的准线方程为x ＝－1， 利用抛物线定义，|AF |等于点A 到直线x ＝－1的距离d ，所以三角形ABF 的周长l ＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝|AF |＋|AB |＋2＝d ＋|AB |＋2＝x B －(－1)＋2＝x B ＋3，故4<l <6，故选B ．二、解答题4．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：导学号 58535010(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 与x 轴的夹角)；(3)S △AOB ＝p 22sin θ；(4)1|AF |＋1|BF |为定值； (5)以AB 为直径的圆与抛物线准线相切． [答案] 略[分析] 求(1)要写出焦点F 的坐标(p2，0)，由点斜式写出过焦点F 的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与y 2＝2px 联立，再由根与系数的关系即得；(2)中|AB |＝|AF |＋|BF |，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离即可；(3)中S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ，再由面积公式求得；(4)中将点到焦点的距离转化为点到准线的距离；求(5)要先求出AB 的中点M ，再证明M 点到准线的距离等于12|AB |即可．[解析] (1)∵y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p 2，0)，设直线方程为y ＝k (x －p2)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.①∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24．当k 不存在时，直线方程为x ＝p2．这时y 1＝p ，y 2＝－p ，则y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24．因此，总有y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24成立．(2)由抛物线定义：|AF |等于点A 到准线x ＝－p2的距离．∴|AF |＝x 1＋p 2，同理：|BF |＝x 2＋p2．∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .② 又∵θ≠90°时，y ＝k (x －p 2)，∴x ＝1k y ＋p2．∴x 1＋x 2＝1k(y 1＋y 2)＋p ．由方程①知y 1＋y 2＝2p k ，∴x 1＋x 2＝2pk 2＋p .③将③代入②，得 |AB |＝2p k 2＋2p ＝2p (1＋1k 2)＝2p (1＋1tan 2θ)＝2p sin 2θ．当θ＝90°，|AB |＝|y 1－y 2|＝2p ＝2psin 2θ．综上所述，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ．(3)S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF＝12|OF |·|AF |·sin(π－θ)＋12|OF |·|BF |·sin θ ＝12|OF |·sin θ·(|AF |＋|BF |) ＝12·|OF |·|AB |·sin θ ＝12·p 2·2p sin 2θ·sin θ＝p 22sin θ (4)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24．又∵x 1x 2＝p 24，代入上式得1|AF |＋1|BF |＝2p＝常数．(5)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，M ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，N ，D ，如图．则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |． ∴以AB 为直径的圆与准线相切．[点拨] 解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．5．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.导学号 58535011 (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．[解析] (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1．所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2． 因此a ＝2，c ＝2，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22．(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)， 其中x 0≠0．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0．又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝(x 0＋2y 0x 0)2＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)， 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)， 且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8．故线段AB 长度的最小值为22．B 组能力提升1．(2017·北京，14分)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32.导学号 58535012 (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E 。

求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3．所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )． 由题设知m ≠±2，且n ≠0．直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n ．所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )．直线BN 的方程为y ＝n2－m (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n (x －m )，y ＝n2－m(x －2)，解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n 2． 由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－45n ．又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为．2．(2017·云南省高三统一检测)在圆x 2＋y 2＝9上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．点M 在线段DP 上，满足|DM ||DP |＝23.当点P 在圆上运动时，设点M 的轨迹为曲线C .导学号 58535013(1)求曲线C 的方程；(2)若直线y ＝m (x ＋5)上存在点Q ，使得过点Q 作曲线C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意，得x ＝x 0，y ＝23y 0，即x 0＝x ，y 0＝32y ．∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，所以x 20＋y 20＝9．将x 0＝x ，y 0＝32y 代入上式，得x 2＋94y 2＝9，即x 29＋y 24＝1．∴曲线C 的方程为x 29＋y 24＝1．(2)①若两切线的斜率都存在，设点Q (x 1，y 1)，过Q 的切线方程为y －y 1＝k (x －x 1)，与x 29＋y 24＝1联立，消去y 并整理，得(9k2＋4)x2＋18k(y1－kx1)x＋9[(y1－kx1)2－4]＝0．由Δ＝0，得[18k(y1－kx1)]2－4(9k2＋4)·9[(y1－kx1)2－4]＝0，36k2－4y21＋8kx1y1－4k2x21＋16＝0，整理得(9－x21)k2＋2x1y1k＋4－y21＝0．设两切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，即k1·k2＝4－y219－x21＝－1，即x21＋y21＝13(x1≠±3)．②若两切线的斜率有一条不存在，则点Q的坐标为(±3，±2)，满足x21＋y21＝13．即点Q的轨迹方程为x2＋y2＝13．由题意知满足条件的点是直线y＝m(x＋5)与圆x2＋y2＝13的公共点．圆心O(0,0)到直线y＝m(x＋5)的距离d＝|5m|1＋m2，由直线y＝m(x＋5)和圆x2＋y2＝13有公共点可知，距离d≤r，即|5m|1＋m2≤13，解得－396≤m≤396．故实数m的取值范围是[－396，396]．。

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