函数、数列、三角函数中大小比较问题 (讲)

纵观近几年高考对于大小比较问题的考查，重点放在与函数、数列、三角函数的大小比较问题上，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答，从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.

1 函数中的大小比较问题

函数是高中数学必修教材中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用判断单调性、最值、单调性、奇偶性、周期性等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路.

1.1 指数函数中的大小比较问题

比较指数幂值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等，是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性，要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”，还应注意中间量0，1等的运用．

例1. 设253()5

a =，352()5

b =，252()5

c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>

【答案】A.

1.2 对数函数中的大小比较问题

比较对数值的大小时，要注意区分对数底数是否相等，是用对数函数的单调性，还是用对数函数的单调性，要注意对数函数图象的应用，还应注意中间量0，1等的运用．

例2. 【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】已知110x <<，

()()22lg ,lg lg ,lg a x b x c x ===，那么有（ ）

A ．c a b >>

B ．c b a >>

C ．a c b >>

D ．a b c >> 【答案】C

【解析】因为110x <<，所以0lg 1x <<，所以lg(lg )0b x =<，20(lg )1c x <=<．因为c a -＝2222(lg )lg (lg )2lg (lg 1)10x x x x x -=-=--<，所以c a <，所以a c b >>，故选C ．

1.3 通过求函数的最值证明不等式

在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来.

例3. 已知函数2()x f x ke x =-（其中k R ∈，e 是自然对数的底数)

（1）若2k =-，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；

（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，求k 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，试证明：10()1f x <<.

【答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）实数k 的取值范围是2

(0,)e

；（3）见解析.

2 数列与不等式相结合

数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．

2.1 数列中的不等问题

例4. 若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大.

【答案】8.

【解析】由等差数列的性质，78983a a a a ++=，80a >，又∵7100a a +<，∴890a a +<， ∴90a <，87S S >，89S S >，故数列{}n a 的前8项最大.

2.2 数列参与的不等式证明

此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法；（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．

例5.【2016年高考四川理数】已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ .

（Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设双曲线22

21n y x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121433n n

n n e e e --++⋅⋅⋅+>. 【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）详见解析.

所以1*2()n n a n -=?N .

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=. 所以双曲线2

2

21n y x a -=的离心率 22(1)11n n n e a q -=+=+． 由2513q q =+=解得43

q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->，所以2(1)1*1+k k q q k -->?N （）

. 于是11211+1

n n n q e e e q q q --++鬃

?>+鬃?=-， 故1231433n n

n e e e --++鬃?>. 3 三角函数的最值与综合运用

1. 掌握求三角函数最值的常用方法：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等.

2. 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间.

（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性；

（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.

3.1 解三角形中的最值问题

例 6.【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】在ABC 中，,,a b c 分别为内角