重庆市南开中学2020届高三数学上学期第二次教学质量检测试题文(含解析)
2020届重庆主城六区联考高三文科数学二诊试题含答案
高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 1 页 （共 13 页）高2020届高三学业质量调研抽测（第二次）文科数学试题卷文科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．作答时，务必将答案写在答题卡相应的位置上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合22{|230},{|log 1}A x x x B x x =--≤=>，则=B A YA ．(2)+∞，B ．]3,2(C ．]3,1[- D. ),1[+∞- 2. 欧拉公式i cos isin xe x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指 数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里 非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，7πi 5e 表示的复数位于复平面中的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率分布直方图如下图，测试成绩的分组为[10,30),[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],若低于70分的人数是175人，则该校高三年级的学生人数是A ．350B ．500C ．600D ．10004．已知点1(2,)8在幂函数()nf x x =的图象上，设a f =，(ln π)b f =，2c f =， 则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<[机密]2020年 4月25日前分) )高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 2 页 （共 13 页）5. 已知点22(sin,cos )33P ππ落在角θ的终边上，且02θπ∈（，），则θ的值为 A ．3π B ．23π C ．53π D ．116π6. 已知:p x k ≥，2:11q x <+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-7. 某街道招募了志愿者5人，其中1人来自社区A ，2人来自社区B ，2人来自社区C ．现从中随机选取2个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这2人来自不同社区的概率为A ．35 B ．34C ．710 D ．458.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->, 1()2f x =, 2()2f x =-,且12||x x -最小值为2π,若将()y f x =的图象沿x 轴向左平移ϕ(0)ϕ>个单位，所得图象关于原点对 称，则实数ϕ的最小值为 A.12πB.6π C.3π D.712π 9. 设实数x 、y满足y =54y x +-的最大值为 A ．12- B ．2- C ．12D ．210. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线C 交于M ，N 两点，若4PF MF =u u u r u u u r，则||MN =A ．32B ．3C ．92D ．911. 已知(34)2,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩对任意1x ，2(,)x ∈-∞+∞且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，那么实数a 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．4(,2]3D ．4(,4]312. 两球1O 和2O 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内部，且互相外切，若球1O 与过点A 的正方体的三个面相切，球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切，则球1O 和2O 的表面积之和的最小值为A．3(2π B．4(2π C．6(2π D．12(2π-高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 3 页 （共 13 页）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13. 设非零向量,a b r r 满足()a a b ⊥-r r r ，且||2||b a =r r，则向量a r 与b r 的夹角为________． 14. 在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h (单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系式24.9 6.510h t t =-++，则该运动员在2t =时的瞬时速度是 (/)m s ． 15. 设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos sin cos sin a B C b A C c +=，则ABC △外接圆的面积是 ．16. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ,若12||2||MF MF =,则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题:第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题:第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17.（本小题满分为12分）一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（杯）的相关数据如下表：（Ⅰ）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新奶茶每杯的成本为元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程ˆˆy bxa =+中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： ，，参考数据：514195i ii x y ==∑，．x y y x y x 7.71221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$$a y bx =-$521453.75i i x ==∑高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 4 页 （共 13 页）18．（本小题满分为12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31log ()n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111...2nT T T +++<．19.（本小题满分为12分）如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，，，．（Ⅰ）求证：FD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若三棱锥B ADF -的体积为13， 求点A 到面BDF 的距离．（第19题图）20.（本小题满分为12分）已知函数，．(为自然对数的底数)（Ⅰ）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；（Ⅱ）当时，函数在上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由．ABCD ⊥ADEF ABCD ADEF AF DE ∥AF FE ⊥222AF EF DE ===()()xf x e ax a =+∈R ()ln xg x e x =e 0x ≥()0f x >a 1a =-()()()M x g x f x =-[1,]e BADCFE高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 5 页 （共 13 页）21.（本小题满分12分）已知圆22:(2)24C x y ++=与定点(2,0)M ，动圆I 过M 点且与圆C 相切，记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ,且与曲线E 交于,A B 两点，P 为直线3x =上的一点，若ABP ∆为等边三角形，求直线l 的方程.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点的直角坐标为(2,0)，直线和曲线交于、两点，求的值．xOy l t O x C l C M l C A B 11||||MA MB +高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 6 页 （共 13 页）23.【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分）已知2()2f x x a =+.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()15f x x +-≥的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式23()2x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 7 页 （共 13 页）高2020届高三学业质量调研抽测（第二次）文科数学参考答案及评分意见一、选择题：15:;610:;1112:DCBCD BDAAC DD :::． 二、填空题：13. 14．13.1- 15．π416三、解答题：17．解：（Ⅰ）由表中数据，计算，1(120110907060)905y =++++=，...............2分则5152221419559.59032453.7559.5i ii i i x y nx ybx nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑$，$90329.5394a y bx =-=+⨯=$， 所以关于的线性相关方程为$32394y x =-+．..........................................6分（Ⅱ）设定价为元，则利润函数为(32394)(7.7)y x x =-+-，其中，................8分则232640.43033.8y x x =-+-，所以640.4102(32)x =-≈⨯-（元），.........................11分 为使得销售的利润最大，确定单价应该定为元．........................................12分 18．解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，所以2n ≥，121n n a S -=+，.............................2分3π1(8.599.51010.5)9.55x =⨯++++=yxx 7.7x ≥10高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 8 页 （共 13 页）两式相减化简得13n na a +=(2)n ≥，.....................................................4分又11a =，所以23a =，213a a =符合上式，所以{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以13n n a -=．..........................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知31log ()n n n b a a +=g 13log 3321n nn -=⨯=-，所以2(121)2n n n T n +-==，.....8分所以22212111111111......1...121223(1)n T T T n n n+++=+++<++++⋅⋅-.......................10分11111111...222231n n n=+-+-++-=-<-．...........................................12分19．解：（Ⅰ）证明：作DH AF ⊥于H ， ∵，，∴，∴，...............2分 ∵，∴，∴，∴，即，................4分 ∵面面，为两个面的交线，∴面．.......................6分（Ⅱ）因为平面平面，，所以平面，AF FE ⊥222AF EF DE ===1HF DH ==45HDF ∠=︒2AF =1AH =45ADH ∠=︒90ADF ∠=︒DF AD ⊥ABCD ⊥ADEF AD FD ⊥ABCD ABCD ⊥ADEF AB AD ⊥AB ⊥ADEF高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 9 页 （共 13 页），所以，又AD DF ==..............9分∴，BDF S =V ，设点A 到面BDF 的距离为h ,则1133h =，h =．.....12分 20．解：（Ⅰ）∵对于任意实数，恒成立， ∴若，则为任意实数时，恒成立；....................................1分 若，恒成立，即在上恒成立，........................2分 设，则，......................................3分 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以当时，取得最大值，， 所以的取值范围为，综上，对于任意实数，恒成立的实数的取值范围为．................5分111||1||333B ADF ADF V S AB AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=1AB=BD =0x ≥()0f x >0x =a()0x f x e =>0x >()0xf x e ax =+>xe a x>-0x >()xe Q x x=-22(1)()x x xxe e x e Q x x x --⋅'=-=(0,1)x ∈()0Q x '>()Q x (0,1)(1,)x ∈+∞()0Q x '<()Q x (1,)+∞1x =()Q x max ()(1)Q x Q e ==-a (,)e -+∞0x ≥()0f x >a (,)e -+∞高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 10 页 （共 13 页）（Ⅱ）依题意，， 所以，....................................6分 设，则，.........................................8分 当，，故在上单调增函数， 因此在上的最小值为，即，...................10分 又，所以在上，，所以在上是增函数，即在上不存在极值．.............12分21．解：（Ⅰ）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，由椭圆定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，.................................3分 所以 ，故轨迹方程为：()ln xxM x e x e x =-+1()ln 1(ln 1)1x x x x e M x e x e x e x x'=+-+=+-⋅+1()ln 1h x x x=+-22111()x h x x x x-'=-+=[1,]x e ∈()0h x '≥()h x [1,]e ()h x [1,]e (1)0h =1()ln 1(1)0h x x h x=+-≥=0x e >[1,]e 1()(ln 1)10xM x x e x'=+-⋅+>()M x [1,]e ()()()M x g x f x =-[1,]e I r I ||IC r =||IM r =||||IC IM +=I ,C M 2a c ==b =E高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 11 页 （共 13 页）． .................................................5分 （Ⅱ）直线的方程为，联立 消去得. 直线恒过定点，在椭圆内部，所以恒成立，设，，则有， ..................7分设的中点为，则，， 直线的斜率为（由题意知0k ≠），又P 为直线上的一点，所以 , ......................................9分当为等边三角形时，,解得，即直线的方程为或． (12)分22162x y +=l (2)y k x =-2212(62)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y ()222231601212k x k x k +--+=(2)y k x =-(2,0)0∆>11(,)A x y 22(,)B x y 21221231k x x k +=+212212631k k x x -⋅=+21221)|||31k AB x x k +=-==+AB 00(,)Q x y 202631k x k =+02231k y k =-+PQ 1k-3x =3P x =2023(1)|||31P k PQ x x k +=-=+ABP ∆|||PQ AB =22223(1)1)31231k k k k ++=++1k =±l 20x y --=20x y +-=高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 12 页 （共 13 页）22．解：（Ⅰ）将222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩中参数消去得20x y --=，............................2分将代入2sin 8cos ρθθ=，得28y x =， ∴直线和曲线的直角坐标方程分别为20x y --=和28y x =．........................5分（ii ）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得2320t --=， 设、两点对应的参数为、，则，，且12t t +=，1232t t =-， ∴16=，.............................. ..........8分 ∴12=．..............................10分 23.解:（Ⅰ）当时，()|1||24||1|5f x x x x +-=++-≥，则得； .................................................2分 得； ..................................................3分t cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩l C l C A B 1t 2t 1||||MA t =2||||MB t=1212||||||8t t t t +=-==1212121212||||||11111||||||||||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+===2a =22415x x x <-⎧⎨---+≥⎩83x ≤-212415x x x -≤≤⎧⎨+-+≥⎩01x ≤≤高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 13 页 （共 13 页） 得， ....................................................4 分 所以的解集为....................................5分 （Ⅱ）对于任意实数，不等式成立， 即恒成立，又因为，................................7分要使原不等式恒成立，则只需，由得所以实数的取值范围是. ...................................................10分12415x x x >⎧⎨++-≥⎩1x >()15f x x +-≥8(,][0,)3-∞-+∞U x 23()2x f x a +-<22322x x a a +-+<2222322323x x a x x a a +-+≤+--=-232a a -<2232a a a -<-<13a <<a (1,3)。
【第十四套】重庆南开中学2020级高三第二次教学质量检测考试(理数教师版)
22
5 55
（2）因为 SABC
= 2 ，所以 1 bc sin A = 2, 即bc 2
=5
又 cos A = 2 cos2 A − 1 = 2 × ( 2 5 )2 − 1 = 3
2
5
5
所以a2 = b2 + c2 − 2bc cos A = (b + c)2 − 2bc − 2bc cos A
0
<
a
<
−1
4e 4
.易知
p= 1
q= 1
3 ，如图，要使 x3 < x1 < x2 < x4 ，则a > 3 .
所以
3
<
a
<
−1
4e 4
，故选
A
项.
( ) 【解析点评】解法 1 是利用常规的研究函数 f x 的单调性，从而判断函数的零点情况，由
零点的大小转化为方程与不等关系.解法 2 利用部分参变分离转化为直线与曲线的交点情况， 结合函数的图象得出答案.
a 所以
a
= =
x3 x4
+ +
2 x3 2 x4
>3
，所以a > 3 .………③ >3
由①②③得 3
<
a
<
−1
4e 4
，故选
A
项.
解法 2：数形结合
解析：令 f (x ) = 0 ， g (x ) = 0
得ax = 4 ln x + 3 ，ax = x 2 + 2 .
设 p (x ) = 4 ln x + 3 ，q (x ) = x2 + 2
2020年重庆南开中学高三数学文模拟试卷含解析
2020年重庆南开中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，把的图象按平移后得到的函数图象，则函数的对称中心坐标为（）A. B.C. D.参考答案：答案:B2. （5分）（2015?钦州模拟）一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：先求出第一次取得号码为奇数的概率，再求出第二次取得号码为偶数球的概率，根据概率公式计算即可．解：1、2、3、4、5大小相同的5个小球，从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数的概率为，第二次取得号码为偶数球的概率为=，故第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为=，故选：D．【点评】：本题考查了条件概率的求法，属于基础题．3. 已知集合，，则=（）A．{0,1,2} B．{1,2} C．{1,2,3} D．{2,3}参考答案：B4. 如图所示的程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的条件是( )A．i≤7B．i>7 C．i≤9D．i>9参考答案：B解析：程序框图所示的运算是10×9×8×7×…，若输出结果是S＝720，则应是10×9×8＝720，所以i＝10,9,8时累乘，即当i>7时执行循环体．5. 设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=（）=＞b=（）＞1，c=log2＜0，∴a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 已知集合，.则（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A略7. 下列各对向量中，共线的是（）A.a=（2,3），b=（3，-2）B.a=（2,3）,b=（4，-6）C.a=（，-1），b=（1，)D.a=(1,),b=(,2)参考答案：D略8. 位同学每人从甲、乙、丙门课程中选修门，则恰有人选修课程甲的概率是A. B. C.D.参考答案：A9. 在平面直角坐标系中，过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段的中点．设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值等于参考答案：答案：10. 设集合，，若，则（）A．B．C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 己知是虚数单位,若，则__________.参考答案：2+i12. 函数f（x）=的定义域是．参考答案：（1，2）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴，解得﹣＜x＜2；∴函数f（x）的定义域是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题的关键是列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，是容易题．13. 若，则的最大值▲。
2020届重庆市南开中学高三上学期第二次教学质量检测数学(文)试题Word版含解析
2020届重庆市南开中学高三上学期第二次教学质量检测数学（文）试题一、单选题1．若向量()1,2a =-r，()3,1b =-，则与a b +共线的向量是（ ）A ．()1,1-B ．()3,4--C ．()4,3-D ．()2,3-【答案】C【解析】首先求 ()4,3a b +=-，根据共线向量的坐标表示求满足条件的向量. 【详解】()4,3a b +=-设与a b +平行的向量是(),c x y =， 则()430y x --= 即340x y +=， 满足条件的只有()4,3-. 故选：C 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，主要考查基本公式，属于基础题型.2．若定义形如“132”这样中间大于两边的数叫凸数，现从用2、3、7三个数组成没有重复数字的三位数中任取一个，则该数为凸数的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C【解析】首先求由2、3、7组成没有重复数字的三位数，和凸数的个数，然后求古典概型表示的概率. 【详解】由2、3、7组成没有重复数字的三位数有336A =种方法，其中凸数有222A =种方法，则该数为凸数的概率为2163P ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查古典概型，属于简单题型. 3．能使得复数()32z a ai a R =-+∈位于第三象限的是（ ）A ．212a i -+为纯虚数B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a >【答案】A【解析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a ai a R =-+∈是第三象限的点. 【详解】322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限， 需满足20a a -<⎧⎨-<⎩ ，解得：02a <<，A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.4．已知集合{}|01A x x =≤≤，(){}2|210B x x m x m =-++<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．[)1,0-D ．(),0-∞【答案】B【解析】根据二次函数的图象，可知()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，可求m 的取值范围.【详解】若满足A B ⊆，则需满足()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩ ()01210m m m <⎧⇒⎨-++<⎩ ， 解得：10m -<<. 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的图象和不等式的关系，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.5．已知向量a ，b 满足1a b ==r r，()22a a b ⋅-=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．3π B ．23π C ．6π D ．2π 【答案】B【解析】根据向量数量积的公式()2a a b ⋅-2222cos a a b a a b θ=-⋅=-求夹角. 【详解】()22a a b ⋅-=2222cos a a b a a b θ∴-⋅=-12cos 2θ=-=， 1cos 2θ∴=- ，0θπ<<Q ，23θπ∴=. 故选：B 【点睛】本题考查向量数量积的运算公式，主要考查计算能力，属于基础题型. 6．已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭相邻两对称轴的距离为2π，则以下说法正确的是（ ） A ．2ω=B ．函数()f x 的一个周期是2πC ．函数()f x 的一个零点为23π- D ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称【答案】C【解析】由题意可知4T π=，所以12ω=，()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再判断函数性质，确定选项. 【详解】由题意可知4T π=，故B 不正确；24T ππω==，12ω∴=，故A 不正确； ()12sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ，当23x π=-时，0y = ，所以C 正确；当1232x k πππ+=+，解得：23x k ππ=+ ，k Z ∈， 可知函数()f x 的图象不关于2x π=对称，故D 不正确.故选：C 【点睛】本题考查三角函数解析式的求法和函数性质，意在考查基础知识，属于基础题型. 7．等比数列{}n a 满足()35441a a a =-，且4a ，61a +，7a 成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A ．12B ．12-C ．4D ．2【答案】D【解析】根据公式2354a a a =，先求4a ，然后再列出()64721a a a +=+，可求出76a q a =. 【详解】2354a a a =()224444420a a a ∴=-⇒-=，解得：42a =，4a ，61a +，7a 成等差数列，()64721a a a ∴+=+ ，767622a a a a ∴=⇒=，2q ∴=.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的性质和基本量的计算，意在考查计算能力，属于基础题型. 8．已知点O 为ABC ∆所在平面内一点，满足0OA OB OC ++=，M 为AB 中点，点P 在AOC ∆内（不含边界），若BP xBM yBC =+，则x y +的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】首先由已知可知点O 是ABC ∆的重心，如图，根据向量的运算可知BP 112423333BC BM λλμλλμ⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则化简为x y +=()11λμ+- ，再根据λ和μ的范围得到x y +的范围. 【详解】 如图：0OA OB OC ++=，∴点O 是ABC ∆的重心，点N 是BC 的中点，()22123333BO BC CO BC CM BC BM BC BC BM =+=+=+-=+，12BN BC =，2BA BM =当点P 在AOC ∆内（不含边界），()BP BO OP BO OQ BO OA AQ λλ=+=+=++ ，01λ<<()()2233BO NA AC BO BA BN BC BA λμλμ⎛⎫⎡⎤=++=+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 01μ<<()212232BO BM BC BC BM λμ⎡⎤⎛⎫=+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦124123333BC BM BM BC BC BM λλλμλμ=++-+- 112423333BC BM λλμλλμ⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112423333x y λλμλλμ∴+=-+++-()111λλμλμ=+-=+- ， 01λ<<Q ，01μ<< ，011μ∴<-< ，()011λμ<-< ， ∴()1112λμ<+-<.故选：A 【点睛】本题考查向量的加法和减法以及共线的运算，重点考查转化与化归和化简能力，属于基础题型.9．若ABC ∆中，1cos 2A =，2BC =，则BA BC CA CB AB AC ⋅⋅+的最大值是（ ）A ．B ．1+CD ．2【答案】D【解析】首先根据向量数量积运算，将原式变形为()2cos cos B C +，再根据23B C π+=化简，变形为2sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求函数的最值.【详解】cos cos BA BC BA BC B ac B ⋅==⋅ cos cos CA CB CA CB C ab C ⋅==⋅， AB c =，AC b = ，∴原式()cos cos 2cos cos a B a C B C =⋅+⋅=+，1cos 2A =，3A π∴=，23B C π∴+= ,∴原式22cos cos 3B B π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos B B =+2sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,203B π<< ,5666B πππ∴<+<12sin 26B π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，∴BA BC CA CB ABAC⋅⋅+的最大值是2.故选：D 【点睛】本题向量数量积和三角函数恒等变形和性质，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型.10．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右支分别交于点A ，B ，若16BF a =，1260F BF ∠=︒，则1212:AF F BF F S S ∆∆=（ ）A ．23B ．13C ．12D ．2【答案】B【解析】首先设AB x =，根据双曲线的定义可知表示16AF a x =-，28AF a x =-，2AF B ∆中，用余弦定理表示4x a =，再表示面积求比值.【详解】根据双曲线的定义可知24BF a =， 设AB x = ，则16AF a x =-，212AF AF a -= ，∴28AF a x =- ，2AF B ∴∆中，()()2228424cos60a x x a x a -=+-⋅⋅，∴ 4x a =，12AF a ∴=， 12121211211121121cos 212163cos 2AF F BF F F F AF AF F S AFa S BF a F F BF BF F ∆∆⨯⨯⨯∠∴====⨯⨯⨯∠.故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义和余弦定理解三角形的综合问题，主要考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，本题的关键是设AB x =，两次用双曲线的定义表示2AF 和2BF . 11．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()21xf x x e =+，以下列命题：①当0x >时，()()21x f x x e =- ②()0f x <的解集为11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③函数()f x 共有2个零点 ④12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 其中正确命题个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】首先根据奇函数，求0x >时，函数的解析式，然后再判断②③④，再判断④时，转化为()()12max 2f x f x -<成立. 【详解】①设0x >，0x -<()f x 是奇函数，()()()()2121x x f x f x x e x e --∴=--=--+=-，∴①不成立；②当0x <时，()210xx e +< ，解得：21x <-； 当0x >时，()210xx e --< ，解得：102x <<，综上：不等式的解集是11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确； ③由②可知()f x 有两个零点，分别是12x =-和12x =，()f x 是R 上的奇函数，()00f ∴= ，()f x ∴有3个零点，分别是11,0,22x =-.故③不正确； ④当0x >时，()21xx f x e -=， ()32xx f x e -'=，当32x =时，()0f x '=， 当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴当32x =时，()f x 取得最大值，32322f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()f x 是奇函数，()f x ∴的最小值是32322f e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()()()33322212max 2242f x f x eee----=--=< ，∴12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，故④正确.故正确的有②④. 故选：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性，求函数的解析式，并判断分段函数的性质，本题的关键是①式的正确判断，根据函数的奇偶性求函数的解析式时，求0x >的解析式，那就需设0x >，再根据函数的奇偶性，求()f x 的解析式，本题的易错点是③，函数的零点个数，不要忘记0x =.12．已知点O 为ABC ∆外接圆的圆心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a =，若2BO AC ⋅=，则当角C 取到最大值时ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．CD ．【答案】A【解析】由意在可知()BO AC BO BC BA BO BC BO BA ⋅=⋅-=⋅-⋅，代入数量积的运算公式求c =再根据正弦定理说明90A =时，sin C 也取得最大值sin C =，最后求面积. 【详解】()BO AC BO BC BA BO BC BO BA ⋅=⋅-=⋅-⋅ cos cos BO BC OBC BO BA OBA =⨯⨯∠-⨯⨯∠2222111122222BC BA a c =-=-= ，3a = ，25c c ∴=⇒=sinsin a A c C ==，且A C >，当sin 1A =时，90A =时，sin C 也取得最大值sin C =此时，2b = ，11222ABC S bc ∆==⨯=.故选：A 【点睛】本题考查向量数量积和面积公式，意在考查转化与变形和分析问题，解决问题的能力，本题的关键是根据正弦定理sinsin a A c C ==，且A C >，说明90A =时，sin C 也取得最大值，后面的问题迎刃而解.二、填空题13．幂函数()()222mm m f x x =+-在()0,∞+上为减函数，则实数m 的值为______.【答案】-3【解析】由已知可知，2221m m +-=，然后依次验证是否满足条件. 【详解】由已知可知，2221m m +-= 解得：1m =或3m =-，当1m =时，()f x x =，在()0,∞+上是增函数，故不成立； 当3m =-时，()3f x x -=，在()0,∞+上为减函数，成立故答案为：-3 【点睛】本题考查根据幂函数的性质求参数，属于简单题型.14．已知等差数列{}n a 满足16112a a a π++=，则()39cos a a +的值为______. 【答案】12-【解析】等差数列的性质可知求623a π=，再根据3962a a a +=求值. 【详解】由等差数列的性质可知1611632a a a a π++==，623a π∴=，396423a a a π+==，()3941cos cos 32a a π∴+==-.【点睛】本题考查等差数列的性质求值，意在考查转化与变形，属于基础题型.15．已知,,a b c R +∈，且ln 1a a =-，ln 1b b =，1c ce =，则a ，b ，c 的大小关系是______.【答案】c a b <<【解析】依次做出ln y x =，1y x =-，1y x=三个函数的图象，由图象可知a ，b ，c的大小关系. 【详解】ln 1a a =- ，1ln b b =，1c e c=依次做出ln y x =，1y x =-，1y x=三个函数的图象，由图象可知01c <<，1a =，1b > ，c a b ∴<<.故答案为：c a b << 【点睛】本题考查求函数零点并比较大小，主要考查了数形结合和转化与化归，本题的关键是首先将函数变形为1ln b b =，1ce c=，然后再通过图象求零点大小. 16．已知夹角为60︒的向量a ，b 满足4a =，2b =，若1p b +=，()q a b R λλ=+∈，则p q -的最小值为______.【答案】1【解析】根据提示，可建立如图表示的坐标系，表示向量模的几何意义，再根据数形结合表示向量模的最小值. 【详解】根据已知可建立如图坐标系，OA a =，OB b =，OP p =，OQ q =，则()4,0A ，(B ，， 设(),p x y =，1p b +=，()(2211x y ∴++=，∴点P的轨迹是以(1,-为圆心，1r =的圆，()4q a b λλ=+=+，4x y λ=+⎧⎪∴⎨=⎪⎩，y -=，即点Q0y --=，p q -表示PQ 两点间距离，如图， p q -的最小值是圆心到直线的距离减半径，圆心到直线的距离是d ==∴p q -的最小值是1.故答案为：1【点睛】本题考查向量模最小值，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是将向量的模转化为直线与圆的位置关系.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()*11n n a S n n N +=++∈.（1）求证：{}1n a +为等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若2n n b a n =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*21nn a n N=-∈（2）1222n n +-+【解析】（1）当2n ≥时，构造1n n a S n -=+，两式相减得到121n n a a +=+，再通过构造得到()()11212n n a a n ++=+≥，并且验证()21121a a +=+满足；（2）根据（1）可知221nn b n =+-，由数列形式可知用分组转化法求和.【详解】（1）由11n n a S n +=++得：()12n n a S n n -=+≥，两式相减得：()112n n n a a a n +-=+≥，即121n n a a +=+，∴()()11212n n a a n ++=+≥，由11n n a S n +=++，令1n =得23a =，而11a =，故()21121a a +=+，所以{}1n a +为首项是2，公比是2的等比数列，故12nn a +=，()*21nn a n N=-∈.（2）2221nn n b a n n =+=+-，∴()()222213521n n T n =++++++++-1222n n +=-+.【点睛】本题考查已知数列的前n 项和n S ，求n a ，和数列求和，本题属于基础题型，但第一问需注意n 的取值范围，()()11212n n a a n ++=+≥只能说明数列{}1n a +从第2项起是等比数列，还需验证首项满足，这点需注意.18．已知向量()()cos ,sin a x x π=-，sin ,cos 2b x x π⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设函数()12f x a b =-⋅.（1）求()f x 的单调增区间； （2）设函数()f x 的图象向左平移4π个单位后得到函数()g x 的图象，求函数()()(),63h x f x g x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域.【答案】（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）()[]1,1h x ∈-【解析】（1）首先化简函数()224f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后令222242k x k πππππ-+≤-≤+，求函数的单调递增区间；（2）首先化简()2cos2h x x =-，然后求2x 的范围，再求()h x 的值域. 【详解】（1）由题()cos ,sin a x x =-，()sin ,sin b x x =-，∴2sin cos sin a b x x x ⋅=--，∴()212sin cos 2sin 2sin 2cos2x x x x f x x =++=+-224x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令222242k x k πππππ-+≤-≤+，∴388k x k ππππ-+≤≤+， 所以函数()f x 的单调增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）由题可得()224g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故()()()h x f x g x =-22222cos 244x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭， 因为,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴11cos 2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴()[]1,1h x ∈-.【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查转化与化归和计算能力，本题的关键利用降幂公式和辅助角公式恒等变形，所以需熟练掌握三角函数的变形公式. 19．如图所示，正三棱柱111A B C ABC -中，14A A =，D ，E 分别为11A C ，1BC 的中点.（1）求证：//DE 平面11A ABB ；（2）若三棱锥E ACD -的体积为.【答案】（1）见解析（2）a =【解析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，分别取11A B ，1B B 中点M ，N ，连接DM ，MN ，EN ，证明四边形DMNE 是平行四边形，即可证明//DE MN ； （2）因为E 是1BC 的中点，所以1122E ACD B ACD D ABC V V V ---==，利用体积转化求底面边长. 【详解】（1）法1：分别取11A B ，1B B 中点M ，N ，连接DM ，MN ，EN ， 则11//DM B C ，11//EN B C ，∴//EN DM ，且1112EN DM B C ==， ∴DMNE 为平行四边形，∴//DE MN 且MN ⊂平面11A ABB ，DE ⊄平面11A ABB ，所以//DE 平面11A ABB ；法2：取11B C 中点F ，连接DF ，EF ，则可得11//DF A B ，1//FE B B ，从而可证得：平面//DEF 平面11A ABB ，且DE ⊂平面DEF ， 所以//DE 平面11A ABB ；（2）设该三棱柱底面边长为a ，由正三棱柱可知，点B 到平面11A ACC 的距离为h =， 而1122ACD S AC A A a ∆=⋅=，111223E ACD B ACD ACD V V S h --∆==⋅⋅126a =⋅=，∴212a =，所以三棱柱底面边长为a =【点睛】本题考查线面平行的判断和根据体积求边长，证明线面平行的关键是线线平行，一般可根据条件构造平行四边形，或是中位线证明证明线线平行，第二问不管是求体积还是根据体积求参数，一般都需要体积转化.20．已知1F ，2F 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，且椭圆C 的上顶点到左、右顶点的距离之和为. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过2F ，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）l ：13y x ±=+.【解析】（1）由已知可知12c a =和=222a b c =+，求椭圆方程；（2）分斜率0k =和0k ≠两种情况讨论，当0k ≠时，设直线l ：1my x =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，122634m y y m +=+，122934y y m -=+，若满足条件有220F A F B ⋅=，写成坐标表示的形式，求m . 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即12c a =，又222a b c =+，所以2b a =，由椭圆C 的上顶点到椭圆C 的左、右顶点的距离之和为==，解得2a =，所以b =故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()11,0F -，()21,0F .设()11,A x y ，()22,B x y . 若直线l 斜率为0时，弦AB 为椭圆长轴，故以AB 为直径的圆不可能过2F ，所以不成立；若直线l 斜率不为0时，设直线l ：1my x =+，代入椭圆方程223412x y +=得：()2234690my my +--=，易知>0∆且122634m y y m +=+，122934y y m -=+.故以AB 为直径的圆过2F ，则有220F A F B ⋅=，∴()()22121211F A F B x x y y ⋅=--+()()121222my my y y =--+()()21212124m y y m y y =+-++()22229112403434m m m m -+=-+=++，∴279m =. 综上可知，l：1y x =+. 【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆位置关系的综合问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21．已知函数()2ln f x x x ax =-，a R ∈.（1）若函数()f x 存在单调增区间，求实数a 的取值范围；（2）若1x ，2x 为函数()f x 的两个不同极值点，证明：2112x x e ->.【答案】（1）12a <（2）见解析 【解析】（1）由已知可知，若满足条件，即()0f x '>有解，转化为1ln 2xa x+<有解，即max1ln 2x a x +⎛⎫<⎪⎝⎭，设()1ln xg x x +=，利用导数求函数的最大值； （2）由已知可知11221ln 21ln 2x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，整理为1212ln ln 2x x a x x -=-，再通过分析法将需要证明的式子转化为()121212ln ln 22x x x x x x -+>-，若120x x >>，可变形为()1122112122212ln 221x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，设12x t x =，即证()()()21ln 0121t t t t t ϕ-=->>+成立， 若120x x <<，即证()()21ln 021t t t t ϕ-=-<+.【详解】（1）由题函数存在增区间，即需()'1ln 20f x x ax =+->有解，即1ln 2xa x+>有解，令()1ln x g x x +=，()2ln 'xg x x=-，且当()0,1x ∈时，()'0g x >， 当()1,x ∈+∞时，()'0g x <，如图得到函数()g x 的大致图象，故当()max 21a g x <=， ∴12a <时，函数()f x 存在增区间；（2）法1：1x ，2x 为函数()f x 的两个不同极值点知1x ，2x 为()'0f x =的两根， 即111ln 20x ax +-=，221ln 20x ax +-=， ∴111ln 2x ax +=，221ln 2x ax +=① ∴1212ln ln 2x x a x x -=-②，要证2112x x e ->，即证122ln ln 1x x +>-，由①代入，即证：()12221211ax ax -+->-，()12222a x x +>， 将②代入即证：()121212ln ln 22x x x x x x -+>-③且由（1）知121,,x x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，若120x x >>，则③等价于()1122112122212ln 221x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令12x t x =，1t >， 即证()()()21ln 0121t t t t t ϕ-=->>+成立，而()()()()()()222222161642100212121't t t t t t t t t t t t ϕ+--+=-==>>+++， ∴()()21ln 21t t t t ϕ-=-+在()0,t ∈+∞单调递增，∴当()1,t ∈+∞时，∴()()()21ln 1021t t t t ϕϕ-=->=+，所以得证；若210x x >>，则③等价于()1122112122212ln 221x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=++，令12x t x =，01t <<， ()()21ln 021t t t t ϕ-=-<+，显然()()10t ϕϕ<=成立.法2：要证122ln ln 10x x ++>，又由（1）知121,,x x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，102a <<， 当11x >时，要证上式成立，即证12ln 0x ax +>，易知显然成立； 当111x e<<时，11ln 0x +>，故只需12ln ln 0x x +>，即证121x x >，也即证12110x x >>>， 由于()0,1x ∈时()g x 单调递增，故即证()121g g x x ⎛⎫<⎪⎝⎭，而()()12g x g x =， 只需证()221g g x x ⎛⎫<⎪⎝⎭，21>x 成立，令()()1p x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 只需证()()10p x g x g x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在1x >时成立，而()()()()222ln 111'''01x x p x g x g x x x x -⎛⎫=+⋅=>> ⎪⎝⎭，故()p x 在1x >单调递增， 所以()()10p x p >=，故原不等式得证. 【点睛】本题考查了导数研究函数性质，不等式的综合性问题，意在考查化归和转化和分类讨论的思想，属于难题，本题的难点是第二问极值点偏移问题，利用分析法将所需要证明的式子转化，再根据已知条件代入参数，转化为证明()121212ln ln 22x x x x x x -+>-，再通过构造为12x t x =的不等式恒成立的问题. 22．已知曲线E 的极坐标方程为4tan cos θρθ=，以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立直角坐标系.过点()1,1M 作倾斜角为()()0,ααπÎ的直线l 交曲线E 于A ，B 两点.（1）求曲线E 的直角坐标方程，并写出直线l 的参数方程；（2）过点()1,1M 的另一条直线'l 与l 关于直线1x =对称，且与曲线E 交于C ，D 两点，求证：::MA MD MC MB =.【答案】（1）24x y =，1cos 1x t y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）（2）见解析 【解析】（1）根据转化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=直接转化，并且根据公式直接写成直线l 的参数方程；（2）直线l 的参数方程代入（1）的曲线方程；利用t 的几何意义表示12MA MB t t = 再根据对称求l '的参数方程，同理可得MC MD ，再证明结论.【详解】（1）由4tan cos θρθ=得22cos 4sin ρθρθ=，∴24x y =为曲线E 的直角坐标方程， 由()1,1M 作倾斜角为α的直线l 的参数方程为1cos 1x t y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. （2）将直线l 的参数方程代入E 的直角坐标方程24x y =得：()22cos 2cos 4sin 30t t ααα+--=，显然cos 0α≠，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ， 则1223cos t t α-=，∴1223cos MA MB t t α⋅==， 由于直线'l 与l 关于1x =对称，可设直线'l 的参数方程为()()11x tcos y tsin παπα⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩（t 为参数）与曲线E 的直角坐标方程联立同理可得：23cos MC MD α⋅=， ∴MA MB MC MD ⋅=⋅，故::MA MD MC MB =得证.【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的转化，以及用直线参数方程解决直线与圆锥曲线相交的线段长度问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型. 23．已知函数()1f x x x a =++-，()22g x x x =--+.（1）若函数()f x 的最小值为22a ，求实数a 的值；（2）当[)1,x ∈-+∞时，函数()y f x =图象恒在函数()y g x =图象的上方，求a 的取值范围.【答案】（1）1a =或者12a =-.（2）3a <-或54a >. 【解析】（1）()()111f x x x a x x a a =++-≥+--=+，再根据最小值相等，求参数a 的值；（2）由题意可知不等式等价于212x x a x x ++->--+，转化为21a x x >--+或231a x x <+-恒成立的问题，求参数a 的取值范围.【详解】（1）由()()111f x x x a x x a a =++-≥+--=+（当且仅当x 介于-1与a 之间时取等号） ∴212a a +=，∴1a =或者12a =-. （2）由题意，等价于()()f x g x >，当1x ≥-时恒成立，即212x x a x x ++->--+， 221a x x x ->--+，∴21a x x >--+或231a x x <+-，当1x ≥-时恒成立，由()2max 1a x x >--+，∴2max 1524a x ⎛⎫⎛⎫>-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴54a >， 由()2min 31a x x <+-，∴()2min 313124a x x ⎛⎫⎛⎫<+-≥- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3a <-， 综上，实数a 的取值范围是3a <-或54a >. 【点睛】 本题考查不等式含绝对值三角形不等式求最值，恒成立问题求参数范围，意在考查转化与变形，第二问的关键是分离出21a x x >--+或231a x x <+-恒成立，即转化为函数最值问题.。
重庆市南开中学2020届高三高考模拟数学(文)试题及答案
重庆南开中学高2020级高考模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|||1,},{1,2,3}A x x x Z B =∈=，则A B ⋂为（） A ．{}1-B ．{}1C ．{1,0,1}- D ．∅2．设i 是虚数单位，若复数1iz i =+，则z 的共轭复数为（） A ．1122i +B ．1122i -C ．112i -D ．112i +3．下列函数中，值域是R 且是奇函数的是（）A ．31y x =+B ．sin y x = C ．3y x x =- D ．2xy = 4．向量(3,),(1,2)a m b ==，若()a b b +⊥，则m =（） A ．4-B ．32-C ．0D ．6 5．已知,x y R ∈，命题“若220x y +=，则0x =或0y =”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（） A ．0B ．2C ．3D ．46．2019年被誉为“5G 商用元年”．6月，5G 商用牌照正式发放；9月，5G 套餐开启预约；11月，5G 套餐公布；12月，5G 手机强势营销．据统计2019年网络上与“5C ”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（）A ．相关活动是5G 信息走势的关键性节点B ．月均信息量超过600万条C ．第四季度信息量呈直线增长态势D ．月信息量未出现持续下降态势7．椭圆22217x y b +=，过原点O C ，D ，若||4CD =，则椭圆的标准方程为（） A ．22174x y +=B ．22173x y += C ．22176x y += D ．222177x y += 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A ．43 B ．83C ．4D ．8 9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则()2log 8f =（）A ．1-B ．1C ．7D ．12-10．点P 在函数ln y x =的图象上，若满足到直线y x a =+P 有且仅有3个，则实数a 的值为（）A ．1B ．3-C ．2D ．-11．重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长552m ，两端引桥各有190m ，主桁最高处距离桥面89.5m ，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（）A ．20.45cos3y x = B ．24.5cos 3y x = C ．30.9cos 2y x = D ．39cos 2y x =12．若P 是双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>在第一象限上一点，12,F F 为双曲线C 的左右焦点，22PF b =，,02a Q ⎛⎫⎪⎝⎭到直线12,PF PF 距离相等，则双曲线C 的离心率为（） A ．53B ．32C ．43 D ．54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．16题第一空2分，第二空3分．13．若变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则23z x y =+的最大值为__________．14．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2,1,a b c ===则BC 边上的高为________．15．《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由如图的直角梯形以底边AB 为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为________立方米．16．已知()4sin 3cos f x x x =+，()f x 向右平移(0)ααπ<<个单位后为奇函数，则tan α=________，若方程()0f x m -=在[,]απ上恰有两个不等的根，则m 的取值范围是________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12461,4a S S S =+=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a n +的前n 项和n T ． 18．（12分）在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如下．（1）计算a ，b ，c ；（2）在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人． （ⅰ）写出各组中抽取人数；（ⅱ）访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率． 19．（12分）正三棱柱111ABC A B C -中，D 为1CC 中点，2AB =．（1）求证：平面1ADB ⊥平面11ABB A ； （2）若AD 与平面11ABB A 所成角为4π，求四棱锥1A BCDB -的体积． 20．（12分）已知圆22:(3)8C x y +-=和动圆22:()8P x a y -+=交于A ，B 两点． （1）若直线AB 过原点，求a ；（2）若直线AB 交x 轴于Q ，当PQC 面积最小时，求||AB ． 21．（12分） 已知21()cos 2f x x x x k =-+--． （1）若()f x 的一条切线为y x =，求此时的k ；（2）求使得()0f x >有解的最大整数k ．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为：cos sin x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2([0,]ρθπ=∈，直线l 与曲线C 交于两不同的点M ，N ．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程，并求α的范围； （2）求MN 中点P 轨迹的参数方程． 23．（10分）选修4-5：不等式选讲 已知对于任意1x -，不等式3(1)13x x ++成立．（1）求证：对于任意1x -，4(1)14x x ++； （2）若0a >，0b >，求证：443()4a b a a b ++．重庆南开中学高2020级高考模拟考试·文科数学参考答案、提示及评分细则一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．16题第一空2分，第二空3分． 13．3 14．2 15．21π 16．3424,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）若公比1111,2166q a a a =+=，不成立； 1分 则()()()2461111,1411111a a a q q q q q q q≠-+-=---- 由于正项等比数列，210q -≠，所以()2241411q q q ++=++， 3分422340,4,2q q q q --=== 5分所以12n n a -=； 6分（2）()1122(12)n n T n -=+++++++(1)212n n n +=-+12分（每个3分） 18．解：（1）274463044918434a b a c b c +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解得：966a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩； 4分（2）记“同时观看了《机长》和《祖国》”的为A 组：“同时观看了《机长》和《攀登者》”为B 组；“同时观看《祖国》和《攀登者》“为C 组，∴按分层抽样，A ，B ，C 组人数分别为3，2，2 8分 在抽样的7人中，没有观看《祖国》的有2人，设这七个人分别为1231212A A A B B C C ，则还会继续观看第三部的2人可能是：1213231212111221233132A A A A A A B B C C A B A B A B A B A B A B 11213112223211122122AC A C A C AC A C A C B C B C B C B C共21种， 10分 则2人都没有观看《我和我的祖国》的只有12B B 一种，概率是12112分 19．解：（1）取1AB 中点E ，连接DE ，取11A B 中点F ，连接1,EF FC ， 由于是正棱柱，1CC ⊥面111A B C ，从而11CC FC ⊥ 由于D 为1CC 中点，1111,CC AC CC B C ⊥⊥，所以1AD B D ==1AD B D =，则由三线合一性1DE AB ⊥① 3分因为E ，F 分别为111,AB A B 中点，所以1112EF AA DC ==∥∥，则四边形1EFC D 为平行四边形从而1//DE FC ，由于是正棱柱，1CC ⊥面111A B C ，从而11CC FC ⊥，则1CC DE ⊥ 5分 综合①②可知，DE ⊥面11ABB A ，而DE ⊂面1ADB ，所以平面1ADB ⊥平面11ABB A 6分（2）由DE ⊥面11AA B B 知AD 与平面11ABB A 所成角即为4EAD π∠=，而1DE FC == 7分则AD ==1CD CC ==所以1122BCDB S =⋅⋅=，1122BCB S =⋅=，则1132A BCDB A BCB V V --= 9分而11111112332A BCB C ABB ABB V V S CF --==⋅=⋅⋅= 11分所以132A BCDB V -== 12分 20．解：（1）由于两圆有两个公共点，则圆心距小于半径之和，229a +<，得(a ∈． 1分（也可求出a 后检验是否两圆相交）两圆相减得公共弦直线2:692AB y ax a -+=-+， 3分 过原点得，29,3a a ==±，检验成立 5分 （2）直线2:692AB y ax a -+=-+交x 轴，得192Q x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7分 1919||22PQ a a a a a⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，139||3922PQCS PQ a a=⋅=+≥在3a =±时取得最小值，满足(a ∈，成立 10分此时直线:AB y x == 12分21．解：（1）设切点横坐标为t ，()1sin 1,sin 0f t t t t t '=-++=-= 1分()sin ,()cos 10g x x x g x x '=-=-≤，所以()g x 恒单减，而()00g = 3分所以0t =，从而()00f =得1k =- 4分 （2）由题意，要使得21cos 2x x x k -+->有解，即求21()cos 2h x x x x =-+-的最大值 ()1sin ,()1cos 0h x x x h x x '''=-++=-+≤， 5分从而()h x '单减，而22220,12022333h h πππππ⎛⎫⎛⎫''=->=+-<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()h x '在2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一零点0x ，所以()h x 在()0,x -∞单增，()0,x +∞单减 7分 则()200001()cos 2h x h x x x x ≤=-+-，而()0001sin 0h x x x '=-++= 所以()()2000011sin 1sin cos 2h x x x x =-+++-()2220000001111sin 1cos 2cos 1cos cos cos 222x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-++-=--+-=-⎣⎦⎣⎦ 10分 由于0021,,cos ,0232x x ππ⎛⎫⎛⎫∈∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()200113cos 10,224h x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，所以整数k 最大值为0． 12分22．解：（1）直线l的普通方程为：sin cos x y αα⎛⋅=-⎝⎭； 曲线C 的直角坐标方程为：224(0)x y y +=≥ 3分 直线l为过⎛ ⎝，倾斜角α的直线，与曲线C 有两个公共点，作图可知在直线过左右顶点时为临界情况，倾斜角50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭5分 （2）直线l 代入曲线C ：21240,32P t t t t t αα++⋅+=== 8分 代入得到中点P 轨迹的参数方程：2cos 3sin 33x y ααα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（α为参数，50,,66a πππ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭） 10分 23．解：（1）因为1x ≥-，所以10x +≥ 1分从而32(1)(1)(13)(1)14314x x x x x x x ++≥++=++≥+，得证 5分 （2）欲证443()4a b a a b +≥+只需43414a b a b a a +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭4114b b a a ⎛⎫⇐+≥+⋅ ⎪⎝⎭（*） 7分由于,0a b >，所以01ba>>-， 8分 由（1）知取bx a=时（*）式成立，从而原不等式得证． 10分。
【精准解析】重庆市南开中学2020届高三高考模拟数学(文)试题
故选：B 【点睛】本小题主要考查四种命题的真假性的判断，属于基础题. 6.2019 年被誉为“5G 商用元年”．6 月，5G 商用牌照正式发放；9 月，5G 套餐开启预约；11 月，5G 套餐公布；12 月，5G 手机强势营销．据统计 2019 年网络上与“5C”相关的信息量总 计高达 6875.4 万条．从下面的 2019 年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的 （）
重庆南开中学高 2020 级高考模拟考试
数学（文科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
方程.
【详解】由题意可知，直线 CD 的方程为 y
3x ，直线倾斜角为 3 ，
不妨设 C 点在第一象限，则 OC 2 ，因此可得 C(1, 3) ，
-4-
又点 C 在椭圆
x2 7
y2 b2
1上，所以 1 7
3 b2
1
b2
7 2
，
所以椭圆的标准方程为 x2 2 y2 1 ， 77
故选：D. 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，结合了直线与弦长等相关知识，难度不大. 8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积 为（ ）
B 项中， y sin x 的值域是 1,1 ，是奇函数；
C 项中， y x x3 的值域是 R ，且是奇函数；
D 项中， y 2x 的值域是 0, ，不是奇函数.
【解析】重庆市南开中学2020届高三上学期第一次教学质量检测考试数学(文)试题
重庆南开中学2020级高三第一次教学质量检测考试数学（文科）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.已知集合{}|sin 0A x x ==，{}2|log 2B x x =<，则集合A B =I （） A. {}0 B. {}πC. {}0,πD. 2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵A ＝{x |x ＝k π，k ∈Z }，B ＝{x |0＜x ＜4}， ∴A ∩B ＝{π}．故选B ．【点睛】本题主要考查交集的运算，涉及三角方程的解法以及对数函数的单调性的应用．2.命题“若0x >，则21x >”的否命题是（） A. 若0x >，则21x ≤ B. 若0x ≤，则21x > C. 若0x ≤，则21x ≤ D. 若21x >，则0x >【答案】C 分析】根据四种命题之间的关系，直接写出否命题即可．【详解】命题“若x ＞0，则2x ＞1的否命题是：若x ≤0，则2x ≤1，故选C ．【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系应用。
3.已知复数z ，若z 的实部为1，且zi的模长为2，则z =（） A. 1i - B. 1i ±C. 13i +D. 13i ±【答案】D 【分析】由已知设z ＝1+mi （m ∈R ），代入zi，再由模长为2列式求得m 值，则z 可求． 【详解】设z ＝1+mi （m ∈R ）， 则|z i |＝|1mii+|2112mi m i +==+=， 解得m 3=±．∴z ＝13i ±．故选D ．【点睛】本题主要考查复数的定义以及复数模的公式应用。
重庆市南开中学2019-2020学年高三上学期第二次教学质量检测数学(理)试题
绝密★启用前 重庆市南开中学2019-2020学年高三上学期第二次教学质量检测数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．sin 240︒的值为（ ） A.2- B.2 C. 2．复数z 满足23i i z +=（其中i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.2 B.2- C.3 D.3- 3．“命题p q ∨为假”是“命题p q ∧为假”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．111d e x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A.e 2- B.e C.e 1+ D.e 1- 5．如图是定义在(),a b 上的函数()f x 的导函数的图象，则函数()f x 的极值点的个数为（ ）…………○………………○…… A.2 B.3 C.4 D.5 6．在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数22(,)23z f x y x y xy ==++在()1,2处偏导数的全过程：2(,)43x x y x y f '=+,(,)16y f x y xy =+'，所以2(1,2)413216x f =⨯+⨯=',(1,2)161213y f =+⨯⨯='，由上述过程，二元函数()22(,)ln z f x y x y ==+，则(1,2)(1,2)x y f f ''+=（ ）A.29B.65C.25 D.157．下列命题中，是假命题的是A.0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x >B.x ∀∈R ，sin cos 2x x +≠C.函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期为2πD.42log 323=8．若函数π()3sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π且其图象关于直线2π3x =对称，则A.函数()f x 的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.函数()f x 在π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数C.将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得到函数3sin y x ω=的图象D.函数()f x 的一个对称中心是5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．函数1()e ax f x x x -=-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围是 A.2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()1,e D.12,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭10．函数π()sin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π,,4t t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦R 上的最大值与最小值之差的取值范围是 A.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. C.2⎤⎥⎣⎦ D.12⎡-⎢⎣ 11．已知ABC △内角,,A B C 对应的边长分别是,,a b c ，且2a =，1b =，2C A =，则c 的值为 D.12．函数()4ln 3f x x ax =-+存在两个不同零点1x ，2x ，函数2()2g x x ax =-+存在两个不同零点3x ，4x ，且满足3124x x x x <<<，则实数a 的取值范围是 A.143,4e -⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.144e -⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. D.(,3)-∞…○………※※请※※…○………第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．函数()ln f x x ax =-在()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______. 14．已知tan()2αβ+=，1tan 3β=，则锐角α=______. 15．过点11,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭且和函数()ln f x x =的图象相切的直线的斜率为______. 16．已知函数()cos 2sin f x x x =+，若1x ，2x 分别为()f x 的最小值点和最大值点，则()12cos x x -=______. 三、解答题 17．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos 2A =，6b c +=，2ABC S ∆=. （1）求sin A 的值； （2）求a 的值. 18．某团购网站为拓展业务，与某品牌新产品签订代销合同，以拟定的价格进行试销，试销半年后，营销部门得到一组1～9月份的销售量x 与利润y 的统计数据如表：附：721716i i x ==∑，711448i i i x y ==∑，()()()1122211ˆn n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==--∑∑∑∑. （1）根据1～7月份的统计数据，求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+. （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的．．．检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问由（1）所得回归直线方程是否理想？19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，下顶点为B 12BF F △（1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知点P 在椭圆C 上，且以AP 为直径的圆过B 点，求直线AP 的斜率. 20．已知函数2π1()cos cos (0)22262xxx f x x ωωωωω⎛⎫=+++-> ⎪⎝⎭的图象的两相邻对称轴间的距离为π2. （1）求函数()y f x =的解析式： （2）已知角,,αβθ满足：223f f αβ⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且3π4αβ+=，tan 2θ=，求sin()sin()cos 2θαθβθ++的值. 21．已知函数1211()(2)e 22x f x x x x -=--++，2()4cos ln(1)g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R . （1）求函数()f x 在()0,2x ∈的值域； （2）用m ax{,}m n 表示实数m ，n 的最大值，记函数()max{(),()}F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x C y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:()C ρθρ=∈R . （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若过原点的直线l 与曲线1C ，2C 分别相交于异于原点的点A ，B ，求AB 的最大值. 23．设函数()|||2|f x x a x a =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x …的解集； （2）对,x y ∀，都有不等式()|1||2|f x y y a ++-…恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】利用诱导公式计算得到答案.【详解】sin 240=sin(180+60)sin 60︒︒︒=-︒=故选：C【点睛】 本题考查了三角函数的计算，属于基础题型.2．B【解析】【分析】利用复数计算公式化简得到答案.【详解】23i 23i i 32z z i i++=∴==-，虚部为2- 故选：B【点睛】 本题考查了复数的计算，属于简单题型.3．A【解析】【分析】根据条件判断每个命题的真假，再确定充分性和必要性得到答案.【详解】命题p q ∨为假，则命题,p q 均为假命题，可以推出命题p q ∧为假，命题p q ∧为假，则命题,p q 不全为真命题，不能得到命题p q ∨为假.“命题p q ∨为假”是“命题p q ∧为假”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查了充分非必要条件，意在考查学生的推理能力.4．A【解析】【分析】直接利用定积分公式计算得到答案.【详解】11111111d 1d d ln 1102e e e e e x x x x x e e x x ⎛⎫-=-=-=--+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 故选：A【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.5．B【解析】【分析】根据图像得到函数的单调区间，判断极值点.【详解】如图所示：设导数的零点分别为1234,,,x x x x则函数()f x 在1(,)a x 单调递增，12(,)x x 单调递减，23(,)x x 单调递增，34(,)x x 单调递增，4(,)x b 单调递减.故函数()f x 在1x 取极大值，在2x 取极小值，在4x 取极大值.故选：B【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数的极值点，混淆导函数图像和原函数图像是容易发生的错误.6．B【解析】【分析】根据题目给出的运算法则，计算得到答案.【详解】()22(,)ln z f x y x y ==+ 则2222(,)(1,2)5x x x f x y f x y ''=∴=+；2224(,)(1,2)5y y y f x y f x y ''=∴=+ 6(1,2)(1,2)5x y f f ''+= 故选：B【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的应用能力和计算能力.7．C【解析】【分析】根据三角函数性质和对数运算，依次判断每个选项的正误，判断得到答案.【详解】 A. 0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x >420,,4x x πππ⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos sin )04x x x π-=+>，即cos sin x x >，正确 B. x ∀∈R ，sin cos 2x x +≠，sin cos )4x x x π+=+≤，故sin cos 2x x +≠，正确 C. 函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期为2π()|sin cos |)4f x x x x =+=+p ，最小正周期为π，错误 D. 42log 323=，根据对数运算法则知：24222log 32log 3log 32223===，正确故选：C【点睛】 本题考查了三角函数的大小比较，周期，对数计算，意在考查学生的综合应用能力. 8．D【解析】【分析】 先计算得到()3sin(2)6f x x π=+，再依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】 π()3sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，最小正周期为22ππωω=∴= 图象关于直线2π3x =对称，所以252,1326k k k ππϕπϕππ⨯+=+∴=-=，6π=ϕ 所以()3sin(2)6f x x π=+3(0)3sin 62f π==，A 错误；π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则32,632x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦函数先增后减，B 错误； 函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到：3sin(2)6x π-，C 错误；5()3sin 012f ππ==，D 正确.故选：D 【点睛】本题考查了三角函数表达式，单调性，平移，对称，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用能力. 9．B 【解析】 【分析】 取1()e 0axf x x x -=-=化简得到2ln x a x =，设2ln ()x g x x=，求导确定函数图像得到答案. 【详解】取212ln (0)11()e0e e axax ax f x x x x x x a x x x---=-=∴=∴=>∴= 设2ln ()x g x x =，21ln '()2xg x x-=，()g x 在(0,)e 上单调递增，(,)e +∞上单调递减 max 2()()g x g e e==画出函数图像：根据图像知：20,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离转化为图像的交点问题是解题的关键. 10．D 【解析】 【分析】将题目等价于sin y x =在,2πϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值之差的取值范围，讨论ϕ的范围计算最大最小值，综合得到答案. 【详解】π()sin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ5ππ,22,24121122x t t x t t ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，π5π2212122t t π⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭原题等价于sin y x =在,2πϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值之差的取值范围不失一般性：设0ϕπ≤≤当04πϕ≤≤时：最大值最小值差为sin 1ϕ-，满足：1sin 112ϕ-≤-≤当0ϕ=是取最大值1，当4πϕ=时取最小值1当42ππϕ<<时：最大值最小值差为sin()12πϕ+-，满足：1sin()1122πϕ-<+-< 当2πϕπ≤≤时：最大值最小值差为sin sin()2πϕϕ-+，满足：sin sin()sin cos )24ππϕϕϕϕϕ-+=-=-当34πϕ=)14πϕ-≥综上所述：最大值与最小值之差的取值范围是1⎡⎢⎣【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，分类讨论是一个常用的方法，需要熟练掌握，意在考查学生的计算能力. 11．C【解析】 【分析】如图所示，作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D ，根据余弦定理得到22222154024m m m m--+=，计算得到答案. 【详解】如图所示：作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D 则12AD AC BD BC == ，设,2AD m BD m ==，则CD m =，分别利用余弦定理得到： 22222154cos ,cos 24m m ADC BDC m m --∠=∠=，ADC BDC π∠+∠=故222221540243m m m m m --+=∴=，3c AB m === 故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，意在考查学生解决问题的能力和计算能力. 12．A 【解析】 【分析】求导根据有两个零点得到144e 0a -<<；再根据二次函数有两个解得到144e a -<<，根据零点的大小关系得到333()4ln 30f x x ax =-+<，消元得到2334ln 10x x -+<，构造函数计算得到答案. 【详解】4()4ln 3(0)'()f x x ax x f x a x=-+>∴=-， 当0a ≤时，4'()0f x a x =->恒成立，()f x 单调递增，最多有一个零点，不满足 当0a >时，()f x 在4(0,)a 上单调递增，4(,)a+∞上单调递减满足444()4ln 30f a a a a=-+>，解得144e a -<综上所述：144e0a -<<函数2()2g x x ax =-+存在两个不同零点，则280a a ∆=->∴<-或a >故144e a -<零点满足3124x x x x <<<，则333()4ln 30f x x ax =-+<且444()4ln 30f x x ax =-+<又因为23320x ax -+=，代换得到2334ln 10x x -+<考虑函数2()4ln 1F x x x =-+，验证知，(1)0F =，2442'()2x F x x x x-=-=()F x 在上单调递增，)+∞上单调递减故31x =<，解得3a >此时42x =>，2(2)4ln 2210F =-+<，满足4()0f x <综上所述：143,4e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数的零点问题，综合性强，计算量大，通过消元得到函数2()4ln 1F x x x =-+是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.13．[1,)+∞ 【解析】 【分析】 求导得到1'()0f x a x =-≤恒成立，化简得到1a x≤，计算得到答案. 【详解】1()ln '()0f x x ax f x a x=-∴=-≤在()1,+∞恒成立 即1a x≤恒成立，故1a ≥ 故答案为：[1,)+∞【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性，意在考查学生的计算能力. 14．π4【解析】 【分析】tan()tan()ααββ=+-，利用和差公式展开得到答案.【详解】12tan()tan 3tan()tan()121tan()tan 134αββπααββαββα-+-=+-==∴++==+ 故答案为：π4【点睛】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力. 15．1e【解析】 【分析】设切点00(,ln )x x ，求导得到0001ln 11x e k x x +==+，验证知0x e =是方程的解，再确定11()ln 1(0)g x x x x e=-+->单调递增，得到答案.【详解】设切点为00(,ln )x x ，1()ln '()f x x f x x=∴=故0001ln 11x e k x x +==+ 即0011ln 10x x e-+-=，验证知0x e =是方程的解. 21111()ln 1(0)'()0g x x x g x x e x x=-+->∴=+>函数单调递增，故0x e =是唯一解.此时011k x e== 故答案为：1e【点睛】本题考查了函数的切线问题，验证解方程再判断唯一解是常用的方法，需要同学们熟练掌握. 16．14-【解析】 【分析】设sin (11)x t t =-≤≤，函数化简为219()2()48f t t =--+，得到21sin 4x =，1sin 1x =-，再利用和差公式展开得到答案. 【详解】2()cos 2sin 12sin sin f x x x x x =+=-+，设sin (11)x t t =-≤≤2219()122()48f t t t t =-+=--+max 19()()48f t f ==，此时211sin 44t x =∴=min ()(1)2f t f =-=-，此时11sin 1t x =-∴=-()1212121cos cos cos sin sin 4x x x x x x -=+=-故答案为：14- 【点睛】本题考查了函数的最值，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.17．（1）45；（2）【解析】 【分析】（1）直接利用二倍角公式得到3cos 5A =，再计算sin A 得到答案. （2）根据面积公式得到5bc =，代入余弦定理计算得到答案. 【详解】（1）2243cos 2cos 121212555A A ⎛=-=⨯-=⨯-= ⎝⎭，()0,πA ∈4sin 5A ∴==. （2）1142sin 22255ABCS bc A bc bc ∆=⋅=⋅==5bc ∴= 由余弦定理得：2222232cos ()22cos 62525205a b c bc A b c bc bc A =+-=+--=-⨯-⨯⨯=a ∴=【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生解决问题的能力.18．（1）ˆ310y x =-；（2）回归直线的方程是理想的.【解析】 【分析】（1）直接利用公式计算得到3b =，10a =-，得到答案. （2）根据公式计算剩余两个数据，计算误差得到答案. 【详解】（1）由已知条件得：10,20x y ==，772111448,716i ii i i x yx ====∑∑71722217144871020483716710167i ii ii x y xyb xx ==--⨯⨯∴====-⨯-∑∑，ˆˆ2031010a y bx =-=-⨯=-y ∴关于x 的回归直线方程为ˆ310y x =-.（2）当8x =时，ˆ381014y=⨯-=，此时|1413|12-=< 当12x =时，ˆ3121026y=⨯-=，此时|2627|12-=< ∴所得回归直线的方程是理想的. 【点睛】本题考查了线性回归方程，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.19．（1）2214x y +=；（2）310 【解析】 【分析】（1）根据条件得到12BF F c S bc a ∆===，计算得到答案. （2）根据条件得到直线BP 方程为21y x =-，联立方程组解得1615,1717P ⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到到答案. 【详解】 （1）122BF F c S bc a ∆=== 计算得到：1b =，c =2a = 所以椭圆标准方程为2214x y +=（2）以AP 为直径的圆过B 点，即AB BP ⊥，12AB k =-，2BP k ∴=. 则直线BP 方程为21y x =-，与椭圆联立2221440y x x y =-⎧⎨+-=⎩解得P 点坐标为1615,1717P ⎛⎫⎪⎝⎭,所以153171610217AP k -==+.【点睛】本题考查了椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，其中将以AP 为直径的圆过B 点转化为垂直关系是解题的关键.20．（1）()2cos2f x x =；（2）18【解析】 【分析】（1）化简函数得到()2cos f x x ω=，根据周期为πT =，计算得到答案.（2）代入数据得到cos cos αβ⋅=cos()αβ+得到sin sin αβ⋅=，最后利用齐次式计算得到答案. 【详解】 （1）1cos 1()2262x f x x x ωπωω+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1cos 26x x x πωωω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭sin 2sin 2cos 662x x x x πππωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由条件可得πT =，所以2ω=，则()2cos2f x x = （2）2cos 2cos 22f fαβαβ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos 3αβ∴⋅=-又3cos()cos cos sin sin sin sin cos 342παβαβαβαβ+=⋅-⋅=--⋅==-sin sin 6αβ∴⋅=∴原式22(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )cos sin αθαθβθβθθθ++=-2222sin sin cos cos cos sin sin()sin cos cos sin αβθαβθαβθθθθ+++=- 2222cos cos 632cos sin θθθθθθ-+=-222tan 632631tan 1218θθθ===--【点睛】本题考查了函数三角函数的解析式，三角恒等变换.其中齐次式方法是解题的关键，需要熟练掌握.21．（1）(1,)-+∞；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得到()1()(1)e 1x f x x -'=--，讨论1x >和1x ≤得到函数()f x 在(0,2)x ∈单调递增，计算得到答案.（2）1x >时，()0F x >恒成立，当11x -<<时，()0f x <恒成立，故()F x 的零点即为函数()g x 的零点，讨论()g x 在11x -<<的零点个数得到答案. 【详解】（1）()11()(1)e1(1)e 1x x f x x x x --'=--+=--当1x >时，10x ->，1e 10x -->，所以()0f x '> 当1x ≤时，10x -≤，1e 10x --≤，所以()0f x '≥所以：当x ∈R 时，()0f x '≥成立，即函数()f x 在(0,2)x ∈单调递增 所以函数()f x 在(0,2)x ∈的值域为((0),(2))f f ，即值域为121,2e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）函数()F x 的定义域为(1,)-+∞由（1）得，函数()f x 在x ∈R 单调递增，()10f = 当1x >时，()0f x >，又()max{(),()}F x f x g x =，所以1x >时，()0F x >恒成立，即1x >时，()0F x =无零点.当11x -<<时，()0f x <恒成立，所以()F x 的零点即为函数()g x 的零点下面讨论函数()g x 在11x -<<的零点个数1()214sin 1g x ax a x x '=--++，所以21()24cos (11)(1)g x a a x x x ''=---<<+ Ⅰ、当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈又函数cos y x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，所以π1cos1cos 32>= 即当11x -<<时，12cos 0x -<，21()2(12cos )0(1)g x a x x ''=--<+ 所以()g x '单调递减，由()00g '=得：当10x -<<时()0g x '>，()g x 递增当01x <<时()0g x '<，()g x 递减当1x →-时ln(1)x +→-∞，()g x ∴→-∞，当0x =时(0)40g a =>又(1)14cos1ln 2g a a =-++，()10f = 当1ln 2(1)014cos1g a ->⇒>+时，函数()F x 有1个零点； 当1ln 2(1)014cos1g a -=⇒=+时，函数()F x 有2个零点； 当1ln 2(1)0014cos1g a -<⇒<<+时，函数()F x 有3个零点； Ⅱ、当0a =时，()ln(1)g x x x =+-，由Ⅰ得：当10x -<<时，()0g x '>，()g x 递增， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 递减，所以max ()(0)0g x g ==，(1)ln 210g =-<， 所以当0a =时函数()F x 有2个零点Ⅲ、当0a <时，()2()4cos ln(1)g x a x x x x =+-++ ()24cos 0a x x +<，ln(1)0x x -++…，即()0g x <成立，由()10f =，所以当0a <时函数()F x 有1个零点 综上所述：当1ln 214cos1a ->+或0a <时，函数()F x 有1个零点； 当1ln 214cos1a -=+或0a =时，函数()F x 有2个零点； 当1ln 2014cos1a -<<+时，函数()F x 有3个零点.本题考查了函数的单调性，值域，零点个数，综合性强，分类讨论是函数问题的常用方法，需要熟练掌握.22．（1）22(1)1y x +-=，22(3x y +=；（2）4【解析】【分析】（1）直接利用参数方程公式和极坐标公式计算得到答案.（2）得到曲线1C 的极坐标方程，得到||4sin 3AB πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】（1）1cos :1sin x C y αα=⎧⎨=+⎩消去α得到221:(1)1C x y +-=2:C ρθ=，等式两边同乘ρ可得2cos ρθ=，222x y ρ=+且cos x ρθ=代入化简得222:(3C x y +=（2）由曲线1C ，2C 的极坐标方程为1:2sin C ρθ=，2:C ρθ=.12|||2sin |4sin 43AB πρρθθθ⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎝⎭…，当56πθ=时取得等号.故最大值为4【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.23．（1）1,[1,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦；（2）2a -…或27a -…. 【解析】【分析】（1）将函数表示为分段函数，分别解不等式综合得到答案.（2）求函数()f x 最大值为32a ，|1||2||21|y y a a ++-≥+得到不等式3|21|2a a +…，计算得到答案.（1）当1a =时，2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+--=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩121x x ≤-⎧∴⎨-≤⎩或11231x x ⎧-<<⎪⎨⎪≤⎩或1221x x ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩解得1x ≤-或113x -<≤或1x ≥ 综上所述：原不等式的解集为1,[1,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦. （2）取数轴上点A 表示a -，点B 表示2a ，动点P 表示x 则()|||2|f x x a x a =+--表示2PA PB -322a PA PB PA PB AB -≤-≤=，当2a x =时等号成立. ()f x 最大值为32a |1||2||(1)(2)||21|y y a y y a a ++-≥+--=+（当且仅当(1)(2)0y y a +-≤时等号成立）要使()|1||2|f x y y a ≤++-恒成立，只需3|21|2a a ≤+ 平方解得：2a ≤-或27a ≥-. 【点睛】 本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最大值最小值问题是解题的关键.。
重庆市南开中学2022-2023学年高三上学期第二次质量检测数学试题(解析版)
2023届重庆市南开中学高三上学期第二次质量检测数学试题一、单选题1．若集合{A x y ==，cos B x x ⎧⎪=>⎨⎪⎪⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．[]1,1-B ．,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,16π⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,6π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】由题知[]1,1A =-，2,2,Z 66k k B k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭=，再根据题意求A B 即可得答案.【详解】解：函数y =[]1,1-，故{[]1,1A x y ===-，因为cos x >所以2,2,Z 66x k k k ππππ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭，即cos 2,2,Z 66B x x k k k ππππ⎧⎪⎛⎫=>=-++∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，所以图中阴影部分表示的集合是,66A B ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：B2．已知函数()3axf x =的图象经过点()2,3，则()2f =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】C【分析】由题可得()xf x =，然后根据对数的定义及运算法则即得.【详解】由题可得()2233af ==，∴12a =，()xf x =，∴()332loglog24f ===.故选：C.3．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距()11,2,3,,9i i PP i +=L 均为3.4m ，拉索下端相邻两个锚的间距()11,2,3,,9i i A A i +=L 均为16m ．最短拉索的锚1P ，1A 满足166m OP =，186m OA =，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）A ．0.47±B ．0.45±C ．0.42±D ．0.40±【答案】C【分析】根据题意利用已知长度可分别计算10OA ，10OP ，再利用斜率的定义可解. 【详解】根据题意，最短拉索的锚1P ，1A 满足166m OP =，186m OA=， 且()11,2,3,,9i i PP i +=L 均为3.4m ，拉索下端相邻两个锚的间距()11,2,3,,9i i A A i +=L 均为16m ，则10111086916230OA OA A A =+=+⨯=，即点()10230,0A ， 同理()10230,0B -，又101110669 3.496.6OP OP PP =+=+⨯=，即点()100,96.6P ， 所以101096.600.420230A P k -==--，101096.600.420230B P k -==+， 故选：C.4．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =b 30A =︒，则c =（ ）AB．CD．2【答案】C【分析】根据已知条件利用余弦定理直接计算即可.【详解】在ABC中，ab30A=︒，由余弦定理得2222cosa b c bc A=+-，226c=+-，即240c-+=，解得cc=故选：C5．重庆的8月份是一段让人难忘的时光，我们遭遇了高温与山火，断电和疫情．疫情的肆虐，让我们再次居家隔离．为了保障民生，政府极力保障各类粮食和生活用品的供应，在政府的主导与支持下，各大电商平台也纷纷上线，开辟了一种无接触式送货服务，用户在平台上选择自己生活所需要的货物并下单，平台进行配备打包，再由快递小哥送货上门．已知沙坪坝某小区在隔离期间主要使用的电商平台有：某东到家，海马生鲜，咚咚买菜．由于交通、配送等多方面原因，各电商平台并不能准时送达，根据统计三家平台的准点率分别为23，34，45，各平台送货相互独立，互不影响，某小哥分别在三家电商各点了一份配送货，则至少有两家准点送到的概率为（）A．97120B．56C．910D．5360【答案】B【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率加法公式计算可得答案. 【详解】因为各平台送货相互独立，互不影响，所以有两家准点送到的概率为2312141341334534534530⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,有三家准点送到的概率为23423455⨯⨯=，则至少有两家准点送到的概率为13253056+=.故选：B.6．已知定义在R上的奇函数()f x满足：32πsin,[1,0]2()=15,(,1)44xxf xx x x∈---∈-∞-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则关于x的不等式()23f x x>在()0,x∈+∞的解集为（）A．()11,3,632⎛⎫⎪⎝⎭B．()1,12,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．()10,4,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据函数()f x 为奇函数，求出()f x 在()0,+∞上的解析式，从而问题转化为：当(]0,1x ∈时，解不等式：π3sin22x x >，解此不等式要借助导数来解决；当()1,x ∈+∞时，解不等式：32153442x x x -+>．分段求解不等式即可得到答案．【详解】∵()f x 为定义在R 上的奇函数∴当0x >时，(]32πsin ,0,12()=()=15+,(1,+)44xx f x f x x x x ∈---∈∞⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩不等式()23f x x >等价于：()32f x x > 当(]0,1x ∈时，解不等式：π3sin 22x x > 令π3()sin 22x g x x =-，(]0,1x ∈ ∴ππ3()cos 222x g x '=-，()g x '在(]0,1单调递减∵π313(0)0,02232g g ⎛⎫''=->=-=< ⎪⎝⎭∴010,3x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00g x '=∴()g x 在()00,x 单调递增，在()0,1x 单调递减∵10,(0)03g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴当(]0,1x ∈时,()0g x >的解集为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，即π3sin22x x >的解集为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当()1,x ∈+∞时，解不等式：32153442x x x -+>化简为()2560x x x --<，即()()230x x x --<，解得23x <<．综上，不等式()23f x x >在()0,x ∈+∞的解集为()10,2,33⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D ． 7．已知函数()ln e xaxf x x x =+-有唯一的极值点t ，则()f t 的取值范围是（ ） A ．[)2,-+∞ B ．[)3,∞-+ C ．[)2,+∞ D ．[)3,+∞【答案】A【分析】由题，将问题转化为e 0xax +=在()0,x ∈+∞上无解，进而研究函数()e xg x x=性质可得e a -≥，再求得()()112eaf t f ==-≥-.【详解】解：求导有()()1e ex x xf x ax x -'=+⋅， 因为函数()ln ex axf x x x =+-有唯一的极值点t ， 所以，()()1e 0ex x xf x ax x -'=+=⋅有唯一正实数根， 因为()10f '=，所以e 0x ax +=在()0,x ∈+∞上无解，所以，e xa x-=在()0,x ∈+∞上无解，记()e xg x x =，则有()()2e 1x x g x x-'=， 所以，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,1上递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增．此时1x =时，()e xg x x =有最小值()1e g =，所以， e a -≤，即e a -≥， 所以()()112eaf t f ==-≥-，即()f t 的取值范围是[)2,-+∞ 故选：A8．若角0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，且()()6sin cos 1sin 1cos αααα⋅∈++N ，()sin αβ+=β=（ ） A ．6πB ．4π C ．23π D ．34π 【答案】D【分析】令(sin cos ,t t αα=∈+，进而得()()6sin cos 2611sin 1cos 1t αααα-⎛⎫=+ ⎪+++⎝⎭，进而结合函数的单调性得26111t -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，进而得3sin 5α=，4cos 5α=，再根据三角恒等变换得()cos αβ+=，最后根据()cos cos βαβα=+-⎡⎤⎣⎦求解即可.【详解】解：令sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,442πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以(t ∈．所以，212sin cos t αα=+，故21sin cos 2t αα-=，所以()()()()2231616sin cos 26111sin 1cos 1112t t t t t t αααα---⎛⎫===+ ⎪-++++⎝⎭++，因为函数(1112,y t t -=++∈单调递增， 所以()()6sin cos 1sin 1cos αααα++的范围是(0,18-，因为18 1.03-≈，()()6sin cos 1sin 1cos αααα⋅∈++N ， 所以()()6sin cos 11sin 1cos αααα=++，即26111t -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，解得75t=，所以7sin cos 5αα+=，12sin cos 25αα=， 因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin αα>，所以()21cos sin 12sin cos 25αααα-=-=， 所以1cos sin 5αα-=， 所以3sin 5α=，4cos 5α=．又因为50,4παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，且()sin 0αβ+=>，所以()0,αβπ+∈．又因为()sin sin αβα+<，αβα+>，所以,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()cos αβ+= 所以()()()cos cos cos cos sin sin 2βαβααβααβα=+-=+++=-⎡⎤⎣⎦， 所以34πβ=． 故选：D二、多选题9．已知随机变量()21,2X N :，且()()1012P X P X m ≤+≤≤=，则下列说法正确的是（ ） A ．2m =B ．4m =C ．函数()y x m x =-的最大值为1D ．X 的正态曲线关于2x =对称【答案】AC【分析】根据正态曲线的对称性逐一分析判断ABD 即可，根据二次函数的性质即可判断C.【详解】解：因为随机变量()21,2X N :，所以X 的正态曲线关于1x =对称，故D 错误；()()()11,022P X P X P X ≥=≤=≥，所以()()()()0121P X P X m P X P X m ≤+≤≤=≥+≤≤， 又()()1012P X P X m ≤+≤≤=， 所以2m =，故A 正确，B 错误；()()22211y x m x x x x =-=-+=--+，当1x =时，函数取得最大值1，故C 正确. 故选：AC.10．已知正数x ，y 满足24x y +=，若存在正数x ，y 使得1122x t y x y+≤--成立，则实数t 的可能取值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】CD【分析】由题可得min 1122t x y x y ⎛⎫≥+++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式即得.【详解】由题可知存在正数x ，y 使得1122x y t x y+++≤成立， 所以min 1122t x y x y ⎛⎫≥+++ ⎪⎝⎭，因为正数x ，y 满足24x y +=，所以()1111115242424242x y x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+++=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15414428⎛≥++= ⎝，当且仅当x y =时，取等号， ∴418t ≥. 故选：CD.11．已知函数()()πsin 0,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线π12x =和点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的图象的一组相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（ ）A ．函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数B ．函数()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数 D ．函数()f x 在区间35π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有23个零点【答案】ABD【分析】根据三角函数的性质结合条件可得()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质逐项分析即得.【详解】由题可知()f x 的最小正周期为ππ4π126T ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，所以2ω=，由ππ2122π2π6k k ϕπϕ⎧⨯+=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，ππ3k ϕ=+，Z k ∈，又π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3ϕ=，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()ππππsin 2sin 2cos 2121232f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，故A 正确；因为()2π2ππsin 2sin π0333f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为一个对称中心，故B 正确； 当ππ34x -≤≤时，ππ5π2336x -≤+≤，所以函数()f x 区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，故C 错误；由π2π3x k +=，Z k ∈，可得ππ35π0263k x ≤=-≤，所以17133k ≤≤，Z k ∈，即函数()f x 在区间35π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有23个零点，故D 正确．故选：ABD.12．已知函数()()e xf x x a x a =---有两个不同零点12,x x ，且12x x <，则下列选项正确的是（ ） A ．2a <-B ．120x x +=C ．()()()1212e 1e 1e e 8x x x x+++>D ．1214223x a x x a +<<++【答案】BCD【分析】将问题转化为()e 1e 1x xx a -=+有两个不同实数根12,x x ，且12x x <，进而构造函数()()e 1R e 1x xx g x x -=∈+，，利用导数研究函数性质可得0a >，且120x x +=，进而判断AB ，再结合基本不等式可以判断C ；将D 选项转化为讨论223a x a <<+，进而结合函数的单调性进一步转化为讨论23g a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭是否成立，再令22,33t a t =+>换元求解()e 310t h t t =-+>即可判断D.【详解】解：因为函数()()e xf x x a x a =---有两个不同零点12,x x ，且12x x <所以()e 1e 1x xx a -=+有两个不同实数根12,x x ，且12x x <，令()()e 1R e 1x xx g x x -=∈+，，由于()()()()()e 11e e 1e 1e 1e 1x x x xxxx x x g x g x --------====+++，故()g x 为偶函数，()()22e 2e 1e1x x xx g x +-'=+，当0x >时，()()22e 2e 10e1x x xx g x +-'=>+，()g x 在()0,∞+上单调递增，所以，当0x <时，()g x 在(),0∞-上单调递减， 所以，()()()min 00g x g ==，因为当x 趋近于+∞时，()g x 也趋近于+∞，所以，()e 1e 1x xx a -=+有两个不同实数根12,x x ，则0a >，且120x x +=，故A 错误，B 正确因为120x x +=，所以()()()()()12121212e 1e 1e e e e 2e e x x x x x x x x+++=+++，由基本不等式：12e e 2x x +>所以()()1212e e 2e e 8x x x x+++>，故C 正确对于D ，由120x x +=得1214223x a x x a +<<++等价于223a x a <<+，由()g x 在()0,∞+单调递增，0a >，()2g x a =，所以，223a x a <<+等价于()23g a ag a a ⎧<⎪⎨⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩ ， 由于()()e 1e 1a aa g a a -=<+显然成立，故只需考虑23g a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭是否成立即可；令22,33t a t =+>，则23g a a ⎛⎫+>⇔ ⎪⎝⎭()e 1222e 2e 31e 1333t t t t t t t t ->-⇔>-⇔>-+所以，令()()e 31e 3t th t t h t '=-+⇒=-，所以，当2,ln 33t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<，()h t 单调递减，当()ln 3,t ∈+∞时，()0h t '>，()h t 单调递增，所以，当ln3t =时取最小值，()44e 2.5ln 333ln 3143ln 3ln ln 02727h =-+=-=>>，故e 31t t >-成立，所以，D 选项正确. 故选：BCD三、填空题13．某中学为了掌握学校员工身体状况，偶尔会采用抽检的方式来收集各部门员工的健康情况．为了让样本更具有代表性，学校对各部门采用分层抽样的方法进行抽检．已知该校部门A 、部门B 、部门C 分别有40、60、80人，各部门员工不存在交叉任职情况，若共抽检了90人，则部门A 抽检人数为______． 【答案】20【分析】根据分层抽样的定义计算即可 【详解】由题意得从部门A 抽检人数为409020406080⨯=++（人），故答案为：2014．若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan θ=2sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】43【分析】由题知1sin 3θθ==，进而结合二倍角公式和正弦的和角公式化简求值即可.【详解】解：因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan θ=所以1sin 3θθ==，所以)42sin sin cos 43πθθθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故答案为：4315．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为12的直线l 经过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点（点A 在第一象限），设12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，若123r r =，则椭圆的离心率e =______．【分析】根据题意得123A B r y r y =-=，进而联立直线与椭圆方程得22244A B b c y y a b +=+，4224A B b y y a b -⋅=+，进而令121A Br y r y λ=-=>，则2116254e λλ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-，再代入值计算即可得答案.【详解】解：如图所示，由椭圆定义可得122AF AF a +=，122BF BF a +=， 设12AF F △的面积为1S ，12BF F △的面积为2S ，因为123r r =， 所以，()()()111222112222231122222A A BB a c r c y S r y S r y a c r c y +⨯⨯==⇒=-=+⨯⨯-，即3A B y y =-， 设直线:2l x y c =-，则联立椭圆方程与直线l ，可得222242222222(4)40x y ca b y b cy b b x a y a b=-⎧⇒+--=⎨+=⎩， 所以，22244A B b cy y a b+=+，4224A B b y y a b -⋅=+ 令121AB r y r y λ=-=>，则()222222221161616254544A B A B y y c c y y a b a c e λλ+--⎛⎫-+==== ⎪+-⎝⎭-， 当123r r λ==时，有221416523533164e e e ⎛⎫-+=-=⇒=⇒= ⎪⎝⎭-16．已知a ，b ∈R ，若不等式ln ln x x a x x b -≥+对0x ∀>恒成立，则ba的取值范围是______． 【答案】(],1-∞-【分析】易得0a ≠，分0a <和0a >两种情况讨论，当0a >时，由()0f x ≥恒成立，得()min 0f x ≥，利用导数求出函数()f x 的最小值，分析即可得出答案. 【详解】解：显然0a ≠，若0a <，当0x +→时，有ln ln x x a x -→-∞， 而x b b +→，矛盾，∴0a >，令()ln ln f x x x a x x b =---，则()0f x ≥恒成立，即()min 0f x ≥，()()ln 0af x x x x'=->， 因为ln y x =与ay x =-在()0,∞+都是增函数，所以函数()ln af x x x'=-在()0,∞+是增函数， 又()10f a '=-<，当x →+∞时，()f x '→+∞， 所以存在01x >使得()00f x '=，在()00,x 上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 且00ln a x x =，()()min 00000ln ln 0f x f x x x a x x b ==---≥，∴()2000000000ln ln ln ln b x x a x x x x x x x ≤--=--，01x >，∴()2000000000ln ln 11ln 11ln ln x x x x x b x a x x x --⎛⎫≤=-+≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当001ln ln x x =，即0e x =时取等号， 所以ba的取值范围是(],1-∞-． 故答案为：(],1-∞-．【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立的问题，考查了利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论思想及隐零点问题，有一定的难度.四、解答题17．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且12b =，2421n n n S a a =++，7247S T a =+．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和．【答案】(1)21n a n =-；2n n b =(2)()6462nn +-⋅【分析】（1）利用1(2)n n n S S a n --=≥，求得{}n a 通项公式，利用{}n a 的前n 项公式求得2T ，进而求得{}n b .（2）利用错位求和法求得数列{}n n a b ⋅的前n 项和.【详解】(1)由题意知，2421n n n S a a =++①，可得()21114212n n n S a a n ---=++≥②，两式相减得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得：()22112n n n n a a a a ---=+，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=．令1n =可得：2111421S a a =++，解得211210a a -+=，即()2110a -=，所以11a =．所以()1121n a a n d n =+-=-． 所以()1777492a a S +==，47a =，所以26T =，又因为12b =，所以24b =，所以2nn b =．(2)令n n n c a b =⋅，前n 项和为n M ，则有：()1231231123252212nn n n M c c c c c n -=+++++=⨯+⨯+⨯++-⋅L L L L ，等式两边同乘以2有：()()23121232232212n n n M n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅L L ，两式相减得：()()()12311412222222121221212n n n n n M n n -++-⎡⎤-=+⨯+++--⋅=+⨯--⋅⎣⎦-L L ，整理化简得：()6462nn M n =+-⋅．18．已知函数()()2sin cos cos 22f x x x x x ππ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)先将()f x 的图象向左平移6π个单位，再保持纵坐标不变，将每个点的横坐标缩短为原来的一半，再将函数图象向上平移12个单位，得到函数()g x 的图象．求函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的值域． 【答案】(1)(),63k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z(2)13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式化简函数得()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后由222262k x k πππππ-+<-<+可求出函数的增区间，（2）由三角函数图象变换规律求出()sin 416g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令46x πθ=+，由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出θ的范围，再利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】(1)化简得：()1cos 21112cos 22cos 2sin 222262x f x x x x x x π+⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭ 令222262k x k πππππ-+<-<+，Z k ∈，解得63k x k ππππ-+<<+，Z k ∈，所以函数()f x 的增区间为(),63k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ．(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位，再保持纵坐标不变，得11sin 2sin 266262y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将每个点的横坐标缩短为原来的一半，得1sin 462y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再将函数图象向上平移12个单位，得到函数()sin 416g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令46x πθ=+，则θ的取值范围是7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则sin θ的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 的取值范围是13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为6的等边三角形，且满足2AD DC =uuu r uuu r，M ，N 分别为BC ，AB 的中点，16MF MN =uuu r uuu r，PD ⊥平面ABC ．(1)证明：平面PDF ⊥平面PMN ；(2)若二面角P MN D --的余弦值为12，求PM 与平面PDF 所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）在ABC 内，由已知条件可证得DF MN ⊥，进而由PD ⊥平面ABC ，可证得MN ⊥面PDF ，从而可证得结论，（2）由（1）可知PFD ∠即是二面角P MN D --的平面角，则DF PD =92PD =，PF =Rt PFM △可求得结果.【详解】(1)证明：因为2AD DC =uuu r uuu r，6AC =， 所以4=AD ，2CD =，因为M ，N 分别为BC ，AB 的中点，所以MN ∥AC ，132MN AC ==， 因为16MF MN =uuu r uuu r ，所以12MF =，在ABC 内，取AC 中点K ，连接BK 交MN 于H ， 则BK AC ⊥，1KD =，1322MH MN ==，则1FH =， 所以四边形FDKH 为平行四边形，所以DF ∥BK ， 所以DF AC ⊥ 所以DF MN ⊥；又PD ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ， 所以PD MN ⊥，因为PD DF D =，,PD DF ⊂平面PDF ， 所以MN ⊥平面PDF ， 因为MN ⊂平面PMN ， 所以平面PDF ⊥平面PMN ．(2)由（1）可知：PFD ∠即是二面角P MN D --的平面角，所以1cos 2PFD ∠=又PD DF ⊥，所以DF PD =又ABC 是边长为6的等边三角形，所以DF =92PD =，PF=由MN ⊥面PDF 可得，MPF ∠即是PM 与平面PDF 所成的角在Rt PFM △中，1tanMF MPF PF ∠===即PM 与平面PDF20．重庆位于北半球亚热带内陆地区，其气候特征恰如几句俗谚：春早气温不稳定，夏长酷热多伏旱，秋凉绵绵阴雨天，冬暖少雪云雾多．尤其是10月份，昼夜温差很大，某数学兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了2021年10月某六天的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：其中：*i y ∈N ，1i =，2，3，4，5，6，参考数据：6212658i i y ==∑，()621258i i y y=-=∑，16≈．(1)根据散点图可以认为x 与y之间存在线性相关关系，且相关系数127128r =，请用最小二乘法求出线性回归方程y bx a =+（a ，b 用分数表示）；(2)分析数据发现：第六日就诊人数630y =，第一日就诊患者中有3个小孩，其他患者全是大人，现随机的从第一日所有就诊患者中选出2人，若2人中至少有一个小孩的概率为815； ①求1y 的值；②若2345y y y y <<<，求2y ，3y ，4y ，5y 的值（只写结果，不要求过程）．（参考公式：()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y b x =-⋅，()()niix x y y r --=∑【答案】(1)1271376464y x =+$(2)① 110y =；②215y =，318y =，422y =，525y =【分析】（1）先根据已知数据求出,x y ，()261i i x x =-∑，再由相关系数求出b ，从而可求出a ，进而可求出回归方程， （2）①根据题意得111123332C C C 8C 15y y -+=，解方程可求出1y ，②由630y =，110y =和20y =，结合*2345,,,N y y y y ∈可求得结果. 【详解】(1)因为()621258i i y y=-=∑，所以22221261262()6258y y y y y y y y ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++=，因为6212658i i y ==∑，1266y y y y ++⋅⋅⋅+=，所以222658126258y y -+=，得20y =，因为1(47891214)96x =⨯+++++=，所以()()()()262221499914964i i x x=-=-+-++-=∑L ，因为()()niix x y y r --=∑()()()121ni i i nii x xy yx x ==--=-∑∑b =127128r =， 所以127128= 所以12764b =，1271372096464a =-⋅=，即线性回归方程1271376464y x =+$(2)①由题意可得：2人中至少有一个小孩的概率为111123332C C C 8C 15y y P -+==，得：211449900y y -+=所以110y =或194y =（舍） ②由（1）得20y =，因为110y =，630y =，所以23451030120y y y y +++++=，得234580y y y y +++=，因为6212658i i y ==∑，所以222223451009002658y y y y +++++=，所以222223451658y y y y +++=，因为*2345,,,N y y y y ∈，2345y y y y <<<，所以215y =，318y =，422y =，525y =.21．已知双曲线()222210x y a a a -=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】(1)()1,+∞；(2)).【分析】（1）根据题意，求出2a 得到双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由韦达定理即可解得直线l 斜率的取值范围；（2）由直线与渐近线联立可求出,A B 两点的坐标，再求出P 到两条渐近线的距离1d ，2d ，整体代入求出221OAP OBP S S t ⋅=-△△，分割OPQ △利用韦达定理结合三角形面积公式，可求得OPQ S △，进而得到OPQ OAP OBP S S S ⋅△△△关于a 的函数关系式，即可得到答案.【详解】(1)因为双曲线()222210x y a a a -=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<， 即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；(2)设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x y d d -⋅===而21221A A x y x t x ty y t ⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA 21221B B x y x t x ty y t ⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB ==所以12122112221OAP OBP S S OA d OB d d t ⋅=⋅⋅⋅⇒=-△△ 由()2222214202x y t y ty x ty ⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQP Q S S S OF y y =+=-==△△△所以，OPQ OAP OBPS S S =⋅△△△∵01t <<，∴)OPQ OAP OBPS S S ∈⋅△△△.22．已知函数()28ln f x m x x =-，0m >(1)当1m =时，求函数()f x 的单调区间； (2)设函数()()254cos 4g x f x x x x =+-+，33,00,22x ππ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，若对于曲线()g x 上的任意点()()11,A x g x ，在曲线()g x 上仅存在唯一的点()()22,B x g x （异于点A ），使曲线()g x 在A ，B 处的切线的交点在y 轴上，求正整数m 的最小值．（参考数据：25 6.846π⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，2713.436π⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，2515.424π⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，2417.553π⎛⎫≈⎪⎝⎭）【答案】(1)单调递增区间为()0,2，(),2-∞-，单调递减区间为()2,0-，()2,+∞ (2)3【分析】（1）先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，然后利用导数求出0x >时，函数的单调区间，从而可求出函数的单调区间， （2）由导数的几何意义结合已知可得221111122222118ln cos sin 8ln cos sin 44m x x x x x m x x x x x -++=-++，构造函数()218ln cos sin 4h x m x x x x x =-++，然后通过对()h x 单调性的判断，得2218cos 2m x x x ≥-，令()221cos 2T x x x x =-，利用导数求出其最值，从而可正整数m 的最小值.【详解】(1)函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，因为()()228ln ()8ln f x x x x x f x -=---=-=所以()f x 为偶函数当0x >时，()()288ln 2f x x x f x x x'=-⇒=-， 所有()802002f x x x x '>⇒->⇒<<，()80202f x x x x'<⇒-<⇒> 所以()f x 的单调递增区间为()0,2，(),2-∞-，单调递减区间为()2,0-，()2,+∞； (2)由题意()218ln 4cos 4g x m x x x x =+-+，令()()11,A x g x ，()()22,B x g x ()g x 在点A 处的切线方程()()()111y g x g x x x '-=-，即()()()1111y g x x x g x g x ''=-+，在点B 处的切线方程()()()2222y g x x x g x g x ''=-+，即()()()()111222g x x g x g x x g x ''-=-，即221111122222118ln cos sin 8ln cos sin 44m x x x x x m x x x x x -++=-++令()218ln cos sin 4h x m x x x x x =-++，因为()h x 为偶函数，由题可得：()h x 在30,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调，当30,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()81cos 2m h x x x x x '=-+， 因为0m >，当0x →，8mx→+∞，则()h x '→+∞，所以()0h x '≥对30,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，即2218cos 2m x x x ≥-，令()221cos 2T x x x x =-，()()12cos sin T x x x x x '=-+①当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0x >，12cos sin x x x -+单调递增，112cos sin 12x x x π-<-+<+所以存在00,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使()00'=T x ，且()00,x x ∈时，()T x 单调递减，0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()T x 单调递增②当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0x >，12cos sin 0x x x -+>，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()T x 单调递增③当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()12cos sin x x x x ϕ=-+，()3sin cos 0x x x x ϕ'=+<所以当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()x ϕ单调递减，且3112cos sin 32x x x π-<-+<， 所以存在33,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()30T x '=，且()3,x x π∈时，()0T x '>，()T x 单调递增，且33,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0T x '<，()T x 单调递减，由706πϕ⎛⎫>⎪⎝⎭，504πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以375,64x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以22max 33333331()()cos 212cos sin 0T x T x x x x x x x ⎧==-⎪⎨⎪-+=⎩，所以22max 3333223333331()()cos 22cos sin 0T x T x x x x x x x x x ⎧==-⎪⎨⎪-+=⎩，所以()33331sin 2T x x x =-，375,64x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，易得：2312x ，3sin x -单调递增，()37564T T x T ππ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即：718.36T π⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，521.44T π⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，而22max 18cos 2m x x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭， 所以m 的最小正整数为3．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，第（2）问解题的关键是由题意结合导数的几何意义将问题转化为221111122222118ln cos sin 8ln cos sin 44m x x x x x m x x x x x -++=-++，然后构造函数()218ln cos sin 4h x m x x x x x =-++，由其单调性再次转化为2218cos 2m x x x ≥-，再次构造函数()221cos 2T x x x x =-，利用导数求出其最值，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。
2024-2025学年重庆市高三语文上学期第二次质量检测试卷附答案解析
2024-2025学年重庆市高三语文上学期第二次质量检测试卷（考试时间150分钟试卷满分120分）2024.10重庆南开中学一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：全球经济与社会活动的各个领域已无处不见互联网技术的参与，互联网用户数量早已超过世界总人口的一半。
其中，未成年用户占到了总数的三分之一。
未成年人正以极其快速的适应能力融入这场数字变革中。
与此同时，触网的低龄化特征愈发突出。
无处不在的全球互联与匿名开放的网络世界正在迅速瓦解传统线下社会为未成年人建立的保护屏障，给未成年人的成长带来前所未有的巨大挑战，其中数字负能的挑战日益严峻。
数字负能包括数字鸿沟、网络成瘾与网络伤害。
数字鸿沟主要表现为由于对信息、网络技术的拥有程度、应用程度以及创新能力的差别而造成的信息落差，网络伤害则侧重强调未成年人面临的安全、隐私与身心健康等巨大挑战，但无论政府还是学术界都较少关注网络伤害。
一是因为未成年人面临的风险与伤害并不只是数字时代特有的现象，而是一直以来都存在的普遍性问题；二是因为网络世界中的伤害风险只是一种潜在可能，人们容易掉以轻心，致使目前还没有一套完善的保护未成年人免受网络伤害的机制措施。
由于互联网能够突破线下社会的时空限制，大大增加了未成年人面临风险与伤害的概率，传统线下社会为未成年人构建的保护措施越来越难以适应数字时代的需要。
在数字时代，没有任何一个上网的未成年人能够远离网络风险与伤害，而本身在传统线下社会已经处于困境的最为弱势的未成年人则更容易受到伤害。
在数字时代，负能与赋能犹如硬币的两面。
如果说数字负能的挑战日益严峻，那数字赋能也无处不在，并且在持续、快速地改变世界。
目前，互联网与数字工具正在重塑未成年人的生活学习方式，有助于未成年人最大化地发挥自身潜能与展示自我才能。
同时，互联网与数字工具为帮助弱势的未成年人掌握传统线下社会的生活技能、打破贫困代际传递带来了新的可能。
2020年10月重庆市南开中学2021届高三年级上学期第二次教学质量检测数学试题及答案
绝密★启用前重庆市南开中学2021届高三年级上学期第二次教学质量检测数学试题2020年10月(考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则AB=A. B. C. D.2.设i为虚数单位，如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数,则表示复数的点是A.MB.NC.PD.Q3.为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况,现从全年级1004人中抽取50人参加测试。
首先由简单随机抽样剔除4名学生,然后剩余的1000名学生再用系统抽样的方法抽取,则A.每个学生入选的概率均不相等B.每个学生入选的概率可能为0C.每个学生入选的概率都相等,且为D.每个学生入选的概率都相等,且为4.已知,则A. B. C.4 D.55.函数在处取得极值,则A.,且为极大值点B.,且为极小值点C.,且为极大值点D.,且为极小值点6.设,,,则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c7.函数(A>0,>0,0<<)的部分图象如图所示,则A. B.C. D.8.设是函数的导函数,若对任意实数,都有,且,则不等式的解集为A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。
9.下列函数中,既是奇函数,又是增函数的为A. B.C. D.10.某中学高一年级半期考试后将进行新高考首选科目的选择,每位同学必须在“物理”、“历史”中二选一,学校采用分层抽样的方法,抽取了该年级部分男、女学生选科意愿的一份样本,并根据统计结果绘制如右两个等高堆积条形图.根据这两幅图中的信息,下列统计结论正确的是A.该年级男生数量多于女生数量B.样本中对物理有意愿的学生数量多于对历史有意愿的数量C.样本中对物理有意愿的男生人数多于对历史有意愿的男生人数D.样本中对历史有意愿的女生人数多于对物理有意愿的女生人数11.下列说法正确的有A.,使得B.,有。
重庆市南开中学2024-2025学年高三上学期第二次质量检测英语试题
重庆市高 2025 届高三第二次质量检测英语试题命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷由四个部分组成。
其中第一、二部分和第三部分的第一节为选择题。
第三部分的第二节和第四部分为非选择题。
共150分，共12 页。
2.全部答案在答题卡上相应区域内完成，在本试卷上作答无效。
选择题请使用2B 铅笔填涂，非选择题请使用0.5毫米黑色签字笔作答。
要求字体工整、笔迹清晰。
3.请在答题卡规定的地方填写好个人信息，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码是否与本人的信息一致。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力(共两节；满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What is the woman doing?A. Repairing a computer.B. Applying for a card.C. Making a payment.2. Why does the man come to the woman?A. To invite her to dinner.B. To seek some advice.C. To give her a present.3. What is the man going to do first?A. Check with his wife.B. Make reservations.C. Work out a plan.4. What is the woman's opinion on the new building?A. Pretty.B. Unique.C. Unattractive.5. What is the probable relationship between the speakers?A. Salesman and customer.B. Colleagues.C. Teacher and student.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
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重庆市南开中学2020届高三数学上学期第二次教学质量检测试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.若向量()1,2a =-，()3,1b =-，则与a b +共线的向量是（ ） A. ()1,1- B. ()3,4--C. ()4,3-D. ()2,3-【答案】C 【解析】 【分析】首先求 ()4,3a b +=-，根据共线向量的坐标表示求满足条件的向量. 【详解】()4,3a b +=-设与a b +平行的向量是(),c x y =， 则()430y x --= 即340x y +=， 满足条件的只有()4,3-. 故选：C【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，主要考查基本公式，属于基础题型.2.若定义形如“132”这样中间大于两边的数叫凸数，现从用2、3、7三个数组成没有重复数字的三位数中任取一个，则该数为凸数的概率为（ ） A.16B.14C.13D.12【答案】C 【解析】 【分析】首先求由2、3、7组成没有重复数字的三位数，和凸数的个数，然后求古典概型表示的概率.【详解】由2、3、7组成没有重复数字的三位数有336A =种方法，其中凸数有222A =种方法，则该数为凸数的概率为2163P ==. 故选：C【点睛】本题主要考查古典概型，属于简单题型. 3.能使得复数()32z a ai a R =-+∈位于第三象限的是（ ）A. 212a i -+为纯虚数B. 12ai +模长为3C. 3ai +与32i +互为共轭复数D. 0a >【答案】A 【解析】 【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a ai a R =-+∈是第三象限的点.【详解】322z a ai a ai =-+=-- 由题意可知，若复数在第三象限， 需满足20a a -<⎧⎨-<⎩ ，解得：02a <<，A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件. 故选：A【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型. 4.已知集合{}|01A x x =≤≤，(){}2|210B x x m x m =-++<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（ ） A. (),1-∞- B. ()1,0-C. [)1,0-D. (),0-∞【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象，可知()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，可求m 的取值范围.【详解】若满足A B ⊆，则需满足()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩()01210m m m <⎧⇒⎨-++<⎩ ，解得：10m -<<. 故选：B【点睛】本题考查二次函数的图象和不等式的关系，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.5.已知向量a ，b 满足1a b ==，()22a a b ⋅-=，则a 与b 的夹角为（ ） A.3πB.23π C.6π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的公式()2a a b ⋅-2222cos a a b a a b θ=-⋅=-求夹角.【详解】()22a a b ⋅-=2222cos a a b a a b θ∴-⋅=-12cos 2θ=-=， 1cos 2θ∴=- ，0θπ<< ，23θπ∴=.故选：B【点睛】本题考查向量数量积的运算公式，主要考查计算能力，属于基础题型. 6.已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭相邻两对称轴的距离为2π，则以下说法正确的是（ ） A. 2ω=B. 函数()f x 的一个周期是2πC. 函数()f x 的一个零点为23π- D. 函数()f x 的图象关于直线2x π=对称 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知4T π=，所以12ω=，()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再判断函数性质，确定选项.【详解】由题意可知4T π=，故B 不正确；24T ππω==，12ω∴=，故A 不正确； ()12sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ，当23x π=-时，0y = ，所以C 正确；当1232x k πππ+=+，解得：23x k ππ=+ ，k Z ∈， 可知函数()f x 的图象不关于2x π=对称，故D 不正确.故选：C【点睛】本题考查三角函数解析式的求法和函数性质，意在考查基础知识，属于基础题型. 7.等比数列{}n a 满足()35441a a a =-，且4a ，61a +，7a 成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A.12B. 12-C. 4D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据公式2354a a a =，先求4a ，然后再列出()64721a a a +=+，可求出76a q a =.【详解】2354a a a =()224444420a a a ∴=-⇒-=，解得：42a =，4a ，61a +，7a 成等差数列，()64721a a a ∴+=+ ，767622a a a a ∴=⇒=， 2q ∴=.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的性质和基本量的计算，意在考查计算能力，属于基础题型. 8.已知点O 为ABC ∆所在平面内一点，满足0OA OB OC ++=，M 为AB 中点，点P 在AOC ∆内（不含边界），若BP xBM yBC =+，则x y +的取值范围是（ ）A. ()1,2B. 2,23⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. 13,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】首先由已知可知点O 是ABC ∆的重心，如图，根据向量的运算可知BP 112423333BC BM λλμλλμ⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则化简为x y +=()11λμ+- ，再根据λ和μ的范围得到x y +的范围.【详解】如图：0OA OB OC ++=，∴点O 是ABC ∆的重心，点N 是BC 的中点，()22123333BO BC CO BC CM BC BM BC BC BM =+=+=+-=+，12BN BC =，2BA BM =当点P 在AOC ∆内（不含边界），()BP BO OP BO OQ BO OA AQ λλ=+=+=++ ，01λ<<()()2233BO NA AC BO BA BN BC BA λμλμ⎛⎫⎡⎤=++=+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 01μ<<()212232BO BM BC BC BM λμ⎡⎤⎛⎫=+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦124123333BC BM BM BC BC BM λλλμλμ=++-+- 112423333BC BM λλμλλμ⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112423333x y λλμλλμ∴+=-+++-()111λλμλμ=+-=+- ，01λ<<，01μ<< ，011μ∴<-< ，()011λμ<-< ， ∴()1112λμ<+-<.故选：A【点睛】本题考查向量的加法和减法以及共线的运算，重点考查转化与化归和化简能力，属于基础题型.9.若ABC ∆中，1cos 2A =，2BC =，则BA BC CA CB AB AC ⋅⋅+的最大值是（ ）A.B. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】首先根据向量数量积运算，将原式变形为()2cos cos B C +，再根据23B C π+=化简，变形为2sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭，再求函数的最值. 【详解】cos cos BA BC BA BC B ac B ⋅==⋅cos cos CA CB CA CB C ab C ⋅==⋅， AB c =，AC b = ，∴原式()cos cos 2cos cos a B a C B C =⋅+⋅=+，1cos 2A =，3A π∴=， 23B C π∴+= ,∴原式22cos cos 3B B π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos B B =2sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,203B π<< ,5666B πππ∴<+<12sin 26B π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，∴BA BC CA CB ABAC⋅⋅+的最大值是2.故选：D【点睛】本题向量数量积和三角函数恒等变形和性质，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型.10.已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右支分别交于点A ，B ，若16BF a =，1260F BF ∠=︒，则1212:AF F BF F S S ∆∆=（ ） A.23B.13C.12D.2【答案】B 【解析】 【分析】首先设AB x =，根据双曲线的定义可知表示16AF a x =-，28AF a x =-，2AF B ∆中，用余弦定理表示4x a =，再表示面积求比值. 【详解】根据双曲线的定义可知24BF a =， 设AB x = ，则16AF a x =-，212AF AF a -= ，∴28AF a x =- ，2AF B ∴∆中，()()2228424cos60a x x a x a -=+-⋅⋅， ∴ 4x a =，12AF a ∴=， 12121211211121121cos 212163cos 2AF F BF F F F AF AF F S AFa S BF a F F BF BF F ∆∆⨯⨯⨯∠∴====⨯⨯⨯∠.故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义和余弦定理解三角形的综合问题，主要考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，本题的关键是设AB x =，两次用双曲线的定义表示2AF 和2BF . 11.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()21xf x x e =+，以下列命题：①当0x >时，()()21xf x x e =- ②()0f x <的解集为11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③函数()f x 共有2个零点 ④12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 其中正确命题个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】首先根据奇函数，求0x >时，函数的解析式，然后再判断②③④，再判断④时， 转化为()()12max 2f x f x -<成立. 【详解】①设0x >，0x -<()f x 是奇函数，()()()()2121x x f x f x x e x e --∴=--=--+=-，∴①不成立；②当0x <时，()210xx e +< ，解得：21x <-；当0x >时，()210xx e--< ，解得：102x <<，综上：不等式的解集是11,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确； ③由②可知()f x 有两个零点，分别是12x =-和12x =，()f x 是R 上的奇函数，()00f ∴= ，()f x ∴有3个零点，分别是11,0,22x =-.故③不正确； ④当0x >时，()21xx f x e -=， ()32xx f x e -'=，当32x =时，()0f x '=， 当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， ∴当32x =时，()f x 取得最大值，32322f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()f x 是奇函数，()f x ∴的最小值是32322f e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()()()33322212max 2242f x f x eee----=--=< ，∴12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，故④正确.故正确的有②④. 故选：B【点睛】本题考查根据函数的奇偶性，求函数的解析式，并判断分段函数的性质，本题的关键是①式的正确判断，根据函数的奇偶性求函数的解析式时，求0x >的解析式，那就需设0x >，再根据函数的奇偶性，求()f x 的解析式，本题的易错点是③，函数的零点个数，不要忘记0x =.12.已知点O 为ABC ∆外接圆的圆心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a =，若2BO AC ⋅=，则当角C 取到最大值时ABC ∆的面积为（ ）B.D. 【答案】A 【解析】 【分析】由意在可知()BO AC BO BC BA BO BC BO BA ⋅=⋅-=⋅-⋅，代入数量积的运算公式求c =90A =时，sin C 也取得最大值sin C =. 【详解】()BO AC BO BC BA BO BC BO BA ⋅=⋅-=⋅-⋅cos cos BO BC OBC BO BA OBA =⨯⨯∠-⨯⨯∠2222111122222BC BA a c =-=-= ，3a = ，25c c ∴=⇒=sinsin a A c C ==，且A C >，当sin 1A =时，90A =时，sin C 也取得最大值sin 3C =,此时，2b = ，11222ABC S bc ∆==⨯=.故选：A【点睛】本题考查向量数量积和面积公式，意在考查转化与变形和分析问题，解决问题的能力，本题的关键是根据正弦定理sinsin a A c C ==A C >，说明90A =时，sin C 也取得最大值，后面的问题迎刃而解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。