二重积分的计算法

D
D: (y) x (y)
cyd
z f (x, y)
y y
.
z=f (x,y)
Q( y )
ψ( y)
f (x, y)dx φ( y)
0
c
d
I = Q( y)dy
c
.
Q( y)
.
x=(y)
x
问题：Q( y)是什么图形？
y
x=(y)
d
y
D
也是曲边梯形 !
二重积分的计算（D是曲线梯z 形区域）
y 1(x), y 所 围2 (成x)(X 型区域),如下图,即
D : a x b,1(x) y 2 (x)
y
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y 2(x)
y
y 2(x)
y
y 2(x)
y 1(x)
y 1(x)
oa x
b x oa x
bx
y 1(x)
oa x
bx
若D是X型区域，则积分 先Y后X。
D
f (x, y)d
f (x, y)dxdy
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
D
把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。
第一次计算定积分 A(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x) x 看作是常量，y 是积分变量；
第二次积分时计算
b
A(x) d x,
x 是积分变量.
a
几点说明：
（ⅰ）若区域D是一个矩形，D : a x b, c y d 则
b
d
d
b
f (x, y)dxdy a dxc f (x, y)dy c dya f (x, y)dx
D
（ⅱ）若函数可积，且 D : a x b,c y d
且
f (x, y) f1(x) f2 ( y)
则
b
d
f (x, y)dxdy a f1(x)dx c f2 ( y)dy
D
例如
11
1
xydxdy xdx
1
11 1
ydy
00
0
0
22 4
（ⅲ）上面所讨论的积分区域 D是 X型或Y 型区域。
若不满足这个条件,可将D分块.
y
D3
D2 D1
再应用积分的分域可加性来计算. 0
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
1( x) y 2( x).
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
设函数 z f (在x, y区) 域 上连D续,且当
时(x,，y) D
f (x, y)如果0 区域 是由D直线 ， x 与a曲线x b
• 这个方法就是把二重积分的计算转化为 接连计算两次定积分，即二次积分.
复习：平行截面面积为已知的立体的体积
已知平行截面面积为 A(x)的立体
b
.
V a A( x)dx
dV=A(x)dx
A(x)
a
xV
b
x
二重积分的计算 (D是矩形区域) z
I f ( x , y)dxdy
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
a x b
D
(
x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x , y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f( y
x, y
y
)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) f (x, y)dx
a
a
d
y
d
I c Q( y)dy
.
b
Q( y)
D
x
.
问题：Q( y)是什么图形？ 是曲边梯形。
二重积分的计算 (D是矩形区z域)
I f ( x , y)dxdy
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
b
Q( y ) = f ( x , y)dx a
z=f (x,y)
d
I c Q( y)dy
0
c
y
d c
b a
f
(x,
y)dxdy
第二节
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
I f ( x , y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
Q( y ) =
ψ( y)
f ( x, y)dx φ( y)
0
c
z=f (x,y)
y
x=(y)
d
y
D
.
.
x
x=(y)
I
d
Q( y)dy
c
d c
(y) ( y)
f
(x,
y)dxdy
直角坐标系下计算二重积分
如果积分区域为：a x b,
x
由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重 积分本身没有新困难,对于初学者来说,感到困难的 是如何根据区域D去确定两次积分的上、下限.
建议：先将区域D的图形画出，再写出区域D上的点 的坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限.
a
.
b
D
.
x
同理，也可以先对 y 积分
I
b d a c
f (x, y)dydx
d
y
二重积分的计算（D是曲线梯z 形区域）
I f ( x , y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
0
c
z=f (x,y)
y
x=(y)
d
y
D
x=(y) x
二重积分的计算（D是曲线梯形区域z ）
I f ( x , y)dxdy
f (x, y)dxdy
d
dy
2 ( y) f (x, y)dx
c
1 ( y )
D
这是先对 x，后对 的y 两次积分.
y
x 1( y)
d
y
d
x 1( y)
y
y
c
x 2 ( y)
c
o
x
o
x 2 ( y)
x
如果去掉以上结论中关于 z f (x, y) 0, (x, y) D 的限制，则上述结论仍是成立的.
D
f (x, y)dxdy
b a
2 (x) 1 ( x)
f
(x,
y)dy
dx
通常写成
f (x, y)dxdy
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
D
a
1 ( x)
z
A( x)
y
y
y 2(x)
oa
y 2 (x)
xb
x
y 1(x)
y 1(x)
oa x
bx
D：a x b, 1( x) y 2( x).
这是先对 y，后对 的x 两次积分(适合于 型X区域).
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y). ［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于 y轴的平面
去截曲顶柱体,此时D为
D : c y d 1( y) x 2 ( y)