九年级数学上册 第21章 二次根式 21.2 二次根式的乘除 2 积的算术平方根练习 (新版)华东师大版
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中\（a\）叫做被开方数。
要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。
2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。
例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。
华师版九年级数学上册第21章2 二次根式的乘除
知3－练
(1) 48； 3
解：方法一： 48＝ 3
438＝ 16＝4；
方法二：
48＝ 3
16× 3＝ 3
16＝4.
(2)－－21255； －－21255＝ 21255＝12 1255＝12 25＝12×5＝52.
(3)－ 2 13÷ 16；
知3－练
解：－
1 23÷
16＝－
73÷16＝－
73×6＝－ 14.
C.
(
1 4
)2－(
1 5
)2＝210
D. 94x＝23xx
知4－练
例 7 去掉下列各式分母中的根号：
知4－练
(1) 3 ；(2) 3
12；(3) 32
2 ； (4) 2ab
3＋ 3－
2. 2
解题秘方：紧扣“去掉分母中的根号的方法”进
行变形 .
解：(1)
3＝ 3
3× 3×
3 3
＝333＝
3.
知4－练
知1－讲
(2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变， 即： a · b · c＝ abc(a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0).
(3)几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简 化运算 .
特别提醒
知1－讲
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积 的算术平方根 .
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广 (1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单 项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为积 的根号外因数(式)，被开方数之积作为积的被开方数， 即：a b ·c d＝ac bd(b ≥ 0，d ≥ 0).
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除2积的算术平方根练习华东师大版(2021年整理)
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[21。
2 2. 积的算术平方根]一、选择题1．化简错误!的结果是（)A．2 错误!B．5 错误!C．10 错误!D．5错误!2．化简（－2）2×14的结果是（）A．－2错误!B．2 错误!C.错误!D．－错误!3．下列各式成立的是( )A。
错误!＝4×3＝12B。
错误!＝7＋21＝28C。
错误!＝20－12＝8D。
错误!＝32×42＝1444．计算错误!的结果是（）A．732 B．－732C．28 2D．－28 25．将a错误!中根号外的a移到根号内，结果是（）A．－－a3 B。
－a3C．－错误! D.错误!二、填空题6．计算：(1）3×6＝________；（2）2 错误!×（－错误!)＝________．7．矩形的长为错误!，宽为错误!，则此矩形的面积为________，对角线的长为________．8．使等式错误!＝错误!·错误!成立的条件是_____________9．有下列各式：①12＝错误!＝2 错误!，②错误!＝9，③错误!×错误!＝3 错误!，④错误!＝2 错误!a。
华师版数学九年级上册 21.2 二次根式的乘除
(2) 6 15 10 = 6 15 10 = 233552 = (2 3 5)2 = 302 = 30
2.计算：
30 3 2 2 2 2 1
23
2
解 : 原式 = 3 2 30 8 5
1 2
(要求分母不带根号)
(2)
1 2 1
(要求分母不带根这号种)方法有的地方称之为
(1) 1 = 1 2 = 2 ； 2 22 2
分母有理化，即把分母中 的根号化去的过程.
(2) 1 =
2 1 = 2 1.
2+1 2+1 2 1
提示：（1）要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的
分子和分母都乘什么，有时还要对分母进行化简；
a2 a (a≥0) 把这个因式(或因数)开出来，将二次 根式化简.
想一想？
(-4) (-9) = (-4) (-9)
成立吗？为什么？ ab＝ a b （a≥0，b≥0）
∴ (-4) (-9)
非
= 36 = 6
负
数
1.计算： (1)5 12 4 27 (2) 6 15 10
解： (1)5 12 4 27
3.二次根式乘法运算规律公式
a • b a • b （a≥0，b≥0)
如何化简二次根式 关键：将被开方数因式分解或因数分解，使被开 方数出现“完全平方数”或“偶次方因式”.
二次根式的除法法则及运算
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，
那么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（2）有理化因式确定方法.如 有理化因式是
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除2积的算术平方根课件新版华东师大版
21.2 二次根式的乘除
第21章 二次根式
2. 积的算术平方根
知识目标 目标突破 总结反思
2. 积的算术平方根
知识目标
1． 通过对 a· b＝ ab(a≥0，b≥0)的逆向思考，归纳出
积的算术平方根的性质． 2．经历积的算术平方根的性质的学习和例题的阅读，能应用
积的算术平方根的性质进行计算和化简．
(2)应用积的算术平方根化简的一般步骤： ①将被开方数(式)分解因数或分解因式； ②根据二次根式的性质 a2＝a(a≥0)化简．
2. 积的算术平方根
化简： （－4）×（－9）. 解： （－4）×（－9）＝ －4× －9＝(－2)×(－3)＝6. 以上解答过程正确吗？若不正确，请改正．
[答案] 不正确，改正如下： （－4）×（－9）＝ 4×9＝ 4× 9＝2×3＝6.
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程 详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后 复习30分钟。
2. 积的算术平方根
解：(1) 18＝ 9×2＝ 32×2＝ 32× 2＝3 2. (2) 72×52＝ 72× 52＝7×5＝35. (3) 49×121＝ 49× 121＝ 72× 112＝7×11＝77.
2. 积的算术平方根
【归纳总结】积的算术平方根注意事项：
(1)二次根式乘法法则的逆用就是积的算术平方根的性质； (2)在应用此性质时，要保证其前提条件是 a，b 均为非负数， 如 （－2）×（－3）≠ －2× －3，而应为 （－2）×（－3） ＝ 2×3＝ 2× 3； (3) abc＝ a· b· c(a≥0，b≥0，c≥0)； (4)积的算术平方根的结果应尽量化简．
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除2积的算术平方根教案
2.积的算术平方根1．掌握积的算术平方根的性质；(重点)2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)一、情境导入计算：(1)4×25与4×25；(2)16×9与16×9.思考：对于2×3与2×3呢？从计算的结果我们发现2×3＝2×3，这是什么道理呢？二、合作探究探究点一：积的算术平方根的性质化简：(1)（－36）×16×（－9）；(2)362＋482；(3)x3＋6x2y＋9xy2.解析：主要运用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)和a2＝a(a≥0)对二次根式进行化简．解：(1)（－36）×16×（－9）＝36×16×9＝62×42×32＝62×42×32＝6×4×3＝72；(2)362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122×52＝12×5＝60；(3)x3＋6x2y＋9xy2＝x（x＋3y）2＝（x＋3y）2·x＝|x＋3y|x.方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．探究点二：二次根式乘法的综合应用小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．解：设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π×48π＝168π(c m2)，所以πr2＝168π，r＝242cm(r＝－242舍去)．答：这个圆的半径是242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．三、板书设计1．二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)2．积的算术平方根：ab＝a·b(a≥0，b≥0)在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．。
九年级数学上册21.2二次根式的乘除法二次根式的除.doc
二次根式的除法一、学习目标1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2.熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点：进行二次根式的化简。
三、自主预习1. 计算：（ 1）9=______，9=_____（ 2）16=______，16=______ 16 16 36 36（3）4=______，4=________ 16162.根据上题计算结果，用“ >”、“<”或“ =”填空：9____ 9 16____ 164_____ 416 16 36 36 16 16综上所述，二次根式的除法法则：。
当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的，被开方数之商为。
计算下列各式：（ 1）12 （ 2） 3 13 2 8自学课本内容，完成下列问题：1.用式子表示商的算术平方根的性质：2. 化简：（ 1）3（2）64b2 64 9a2小结：化简二次根式达到的要求：（ 1）被开方数不含分母； （ 2）分母中不含有二次根式。
四、 合作探究“分母有理化”探究 1. 阅读下列运算过程：利用上述方法化简：1 33 3 ， 2 2 5 2 5 33355 5 5(1)2 =______ （ 2） 1 =______ (3)1 =(4)2 10 =6 3 2125探究 2. 阅读下列运算过程：1 12 23 3 5 15 22 22，5 555利用上述方法化简：52（ 1） 6（ 2）11 ( 3 2) 32 2探究 3 阅读下列运算过程：3 2( 32)( 32 )31利用上述方法化简：五、 巩固反馈1. 计算362（ 1） 2（ 2）2x 3（ 3） 1 1 （ 4） 9x（ 5） 112112488x 41664 y 2 3356 （ 2）3 22 2. 化简：（ 1）（ 3）354 327。
华师版九年级数学上册第21章 二次根式2 二次根式的乘法与积的算术平方根
(2) 1 27 1 27 9 3.
ห้องสมุดไป่ตู้
3
3
(3) 2 3 7 ( 2 3) 7 6 7 42.
二次根式乘法法则 a b = ab （a≥0，b≥0）
ab＝ a b （a≥0，b≥0）
归纳知识 1.二次根式乘法法则
a b = ab （a≥0，b≥0）
2.积的算术平方根的性质 ab＝ a b （a≥0，b≥0）
A．x≥6
B．x≥0 C．0≤x≤6
D．x为一切实数
2.下列运算正确的是 （ D ） A. 2 18 3 5 6 80 B. 52 32 52 32 5 3 2 C. (4)(16) 4 16 (2)(4) 8 D. 52 32 52 32 53 15
3.计算： ( 1 ) 2 3 5 21 ；
第21章 二次根式
21.2.1&21.2.2 二次根式的乘法 与积的算术平方根
1.当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
(1) 1 ； x 1
(2) x 3 . x 1
(3) 1 x 1 . x3
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
(4) x 2 3 x. ∴ 2 ≤ x ≤ 3.
解：（1） 14 7= 14 7= 72 2=7 2.
（3） 3x
1 xy．
3
（2）3 5 2 10=6 5 10=30 2.
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
二 法则
算
次
术
根
平 方
式
根
乘
法 性质
a b ab (a≥0,b≥0) (计算) (化简)
九年级数学上第21章二次根式21.2二次根式的乘除1二次根式的乘法2积的算术平方根课华东师大
10，
素养核心练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11
9．计算： (1) 15× 45； 解：(1)原式＝
15×45＝ 9＝3.
(2)6 8×(－3 2)； 原式＝－18 16＝－18×4＝－72.
(3)【2021·遂宁期末】 72×3
原式＝6 2×3 2× 22＝18
1 2× 2.
2.
10．已知矩形花坛与圆形花坛面积相等，矩形花坛的长为 140π m，宽为 35π m．求圆形花坛的半径． 解：设圆形花坛的半径为r m.
原式＝－13×15 ＝－5.
＝156.
6．若 44＝2 A．13 B．17 C．24 D．40
a， 54＝3
b ，则a＋b的值为( B )
7．【2020·益阳】若计算 12 ×m的结果为正整数，则无理 数m的值可以是___3_(_答__案__不__唯__一_)__(写出一个符合条件的 即可)．
8．计算 9a2· ba(a＞0，b≥0)的结果是__3__a_b___．
3．计算： 12× 8－2＝___1_62____．
九年级数学上册 第21章 二次根式21.2 二次根式的乘除法 2积的算术平方根备选课件
解 ： 1 2 = 2 2 3
= 22 3
=2 3
这里，被开方数12=22×3，含有完全平方 的因数22，通常可以根据积的算术平方根的
性质，并利用 a2 =aa0 ，
将这个因数“开方”出来。
12/11/2021
第四页，共九页。
例 2化 简 （ 1 ） 4a2b3 ( 2)3x 1xy 3
能说猜你想的出理由。a b 的结论是什么？说
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第二页，共九页。
abab(a0,b0)
积的算术平方根:
积的算术平方根，等于(děngyú)各因式算术 平方根的积。
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利用性(lìyò质ng)这个
可以进行二次 根式的化简
第三页，共九页。
Ø 例1 化简 1 2 ，使被开方数不含完全平方的
获得哪些解决二次根式问题的方法？你还有哪些问题？请与同伴交流。
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第八页，共九页。
内容 总结 (nèiróng)
21.2 二次根式的乘除法。试一试：请根据算术平方根填空：。猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出 的结论是什么。积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。例1 化简 ，使被开方数(bèi kāi fānɡ shù)不含完 全平方的。这里，被开方数(bèi kāi fānɡ shù)12=22×3，含有完全平方。的因数22，通常可以根据积的算术平方根的。
第六页，共九页。
小结(xiǎojié)
（1）乘法(chéngfǎ)法则：
a•ba; (b a 0b , 0)
（2）乘法(chéngfǎ)法则的逆用：
a ba•b ; ( a 0b , 0)
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博爱县第五中学九年级数学上册 第21章 二次根式21.2 二次根式的乘除 1 二次根式的乘法 2 积
18．小强在计算机课上设计了一幅长 140π cm，宽 35π cm 的矩
形图片，他还想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助他求出该圆的半 径．
解：设圆的半径为 r cm，则 140π× 35π＝πr2，
∴70π＝πr2，∴r＝ 70，即圆的半径为 70 cm.
19．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
练习
根据以下条件 , 解直角三角形. 在 Rt△ABC 中 , ∠C = 90° , a = 30 , ∠B = 80°.
解 由 cos B =
a c
，得
a c = cos B
=
30 ≈ 172.8
0.173 6
由 tan B = b ，得 b = a tan B = 30×5.671 3 ≈ 170.1 a
第21章 二次根式
21．2 二次根式的乘除
21．2.1 二次根式的乘法21．2.2 积的算术平方根
知识点 1：二次根式的乘法 1．计算： (1) 3× 6＝___3__2____；
(2) 80× 41＝__2__5_____．
2．矩形的长和宽分别为 13和 7，则这个矩形的面积为___9_1_____．
D
ห้องสมุดไป่ตู้
课堂小结
在直角三角形中 , 如果知道了五个元素中 的两个元素〔至少有一个元素是边〕 , 就可以 求出其余的三个元素. 这就是解直角三角形.
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
c
a
90° , 那么其余五个元素之 A 间有怎样的关系呢 ？
b
C
人教版九年级数学上第二十一章21.2二次根式的乘除(2)
学习
内容
= （a≥0，b>0），反过来 = （a≥0b>0）及利用它们进行计算和化简．
课时
1课时
课型
新授课
学习
目标
理解 = （a≥0，b>0）和 = （a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
引
领
预
习
复习回顾二次根式的乘法运算法则：（口答）
1．二次根式的乘法运算法则是什么？
符号语言：_________________________________
A．2 B．6 C． D．
（二）、填空题
1．分母有理化:(1) =______; (2) =_____;
(3) =______.
2．已知x=3，y=4，z=5，那么 的最后结果是_______．
三、综合提高题（1） ·（- ）÷ （m>0，n>0）
课ห้องสมุดไป่ตู้
堂
小
结
本节课同学们主要学到了什么？有什么困惑？
课
后
_________________________
文字语言：________________________________
3、上述推导过程运用了什么样的数学方法
任务二
1、计算：
（1） （2） （3） （4） = = = =
2、化简：
（1） （2） （3） （4）
== == == ==
3、已知a＜0,化简二次根式
（3） =____， =____； _______ ；
（4） =____， =___． _______ ．
（5） =， =； _______ ；
2、二次根式的乘法运算法则：
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[21.2 2. 积的算术平方根]
一、选择题
1．化简50的结果是( )
A．2 5B．5 2C．10 5D．510
2．化简（－2）2×14的结果是( )
A．－214B．2 14C.28D．－28
3．下列各式成立的是( )
A.16×9＝4×3＝12
B.72＋212＝7＋21＝28
C.202－122＝20－12＝8
D.3×4＝32×42＝144
4．计算（－7）2×16×2的结果是( )
A．732 B．－732C．28 2D．－28 2
5．将a－a中根号外的a移到根号内，结果是( )
A．－－a3 B.－a3
C．－a3 D.a3
二、填空题
6．计算：(1)3×6＝________；
(2)2 5×(－15)＝________．
7．矩形的长为15，宽为12，则此矩形的面积为________，对角线的长为________．
8．使等式（x＋4）（4－x）＝x＋4·4－x成立的条件是_____________
9．有下列各式：①12＝4×3＝2 3，②412－402＝9，③54×1
2
＝3 2，④8a2
＝2 2a.其中正确的序号是________．
10．设a＝2，b＝3，用只含有a，b的式子表示54，结果是________．
三、解答题
11．化简：(1)121×225；(2)42×7；
(3)（－7）×（－36）.
12．化简：(1)48×300；(2)
1
225
×0.16π4.
13．用30枚长为3 cm，宽为2.5 cm的邮票摆成一个正方形，则这个正方形的边长是
多少？
规律探究(1)判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”．
①
2＋2
3＝2 2
3
；( ) ②
3＋3
8＝3 3
8
；( ) ③
4＋4
15＝4 4
15；( ) ④
5＋5
24
＝5 5
24
.( ) (2)判断完以上各题之后，你发现了什么规律？请你用含有n 的式子将规律表示出来，并注明n 的取值范围；
(3)请用数学知识说明你所写式子的正确性．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．B
2．[解析]B（－2）2×14＝22×14＝2 14.
3．A 4.[全品导学号：34942172]C
5．[解析]A因为原式有意义，所以－a≥0，故a≤0，把a移到根号内后，根号外要留下负号，故应选A.
6．(1)3 2 (2)－10 3
7．6 5 3 3
8．－4≤x≤4
9．[答案]①②
[解析] 只有①②正确，③的结果应该是54×1
2
＝54×
1
2
＝27＝3×92＝3
3，④的结果应该是2 2|a|.
10[答案] ab3
[解析]54＝2×3×9＝3 2×3＝3ab，又3＝(3)2，故54用a，b表示成ab3.
11．解：(1)121×225＝121×225＝112×152＝11×15＝165.
(2)42×7＝42×7＝4 7.
(3)（－7）×（－36）＝7×36＝7×36＝7×62＝6 7.
12．解：(1)48×300＝16×3×100×3＝16×3×100×3＝4×10×3＝120.
(2)
1
225
×0.16π4＝
1
225
×0.16×π4＝
1
15
×0.4π2＝
2π2
75
.
13．[解析] 运用等面积法：30S长方形＝S正方形，得以求解．解：设这个正方形的边长为x cm，则
x2＝2.5×3×30＝225，
∴x＝225＝15.
答：这个正方形的边长是15 cm.
[素养提升]
解：(1)①②③④括号内均打“√”．
(2)规律：n＋n
n2－1＝n
n
n2－1
(n为大于1的自然数)．
(3)n＋
n
n2－1
＝
n（n2－1）＋n
n2－1
＝n2·
n
n2－1
＝n
n
n2－1
.。