几何概型导学案
几何概型导学案
3.3.1 几何概型（1）学习要求1、了解几何概型与古典概型的区别2、理解几何概型的定义及其特点3、会用几何概型的概率公式求几何概型的概率自学评价试验 1 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？【分析】从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上（除两端点）的任意一点．因此,所有基本事件是有限个还是无限个？每个基本事件的发生是不是等可能的? 要使剪得两段的长都不小于1m应在哪个位置剪？试验2 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？【分析】射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点．因此,所有基本事件是有限个还是无限个？每个基本事件的发生是不是等可能的? 什么情况下算是射中黄心？１．几何概型的定义：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个区域D内随机地取一点,这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件A的发生则理解为恰好取到D区域内的某个指定区域d中的点. 这时，事件A发生的概率与d的测度（、、等）有关，与d的形状和位置无关。
满足这样条件的概率模型称为几何概型.２．几何概型的基本特点：（１）试验中所有基本事件是（２）每个基本事件出现是３．几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D中随机地取一点，把＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率P(A)=说明：（1）D的测度不为0；（2）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是 , , .课堂探究例1、在区间[-1,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是多少？例2、取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率？例3、在等腰直角△ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率？交流展示1、在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为多少？2、若[2,2],[2,2]x y ∈-∈-,则点(,)x y 在圆面222x y +≤内的概率是多少?3、某人午休醒来，发现表停了，他打开收音机想听整点报时，求他等待的时间短于10min 的概率？4、如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是多少？5、在正方形ABCD 内随机取一点P ，求∠APB ＞ 90°的概率．若∠APB ＝90°呢？。
高中数学《几何概型》导学案
几何概型学习目标1、能举例说明什么是几何概型2、会求简单的几何概型的概率学习重点几何概型的定义及求解学习探究一、问题设计1、一只口袋内装有大小相同的10只球，其中7只白球，3只红球，从中摸出一只球,摸出的球是红球算中奖，问中奖的的概率是多少？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？2、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率有多大？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？3、如图，有一个由红绿蓝三色构成的彩色圆盘，向圆盘内随机抛掷一粒小纽扣（落在圆盘外的不算）.你猜想小纽扣落在红色区域内的概率是多少？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？想一想：上述三个问题有何异同？二、学习探究1、几何概型的定义想一想：试类比古典概型的特征归纳总结几何概型的特征，并比较它们的异同.猜一猜：问题2、3的概率各是多少？2、几何概型概率三、典例解析例1：（1）x的取值是区间[1,4]中的整数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率。
（2）x的取值是区间[1,4]中的实数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率。
例2、取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
变式1已知在一个边长为2的正方形中有一个椭圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，若落入椭圆的概率为0.3,求椭圆的面积．变式2有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积.(结果保留π）变式3一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m ，宽为20m 的长方形,求此海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率.四、巩固练习1、在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数a >7的概率为 ;2、在一个5000km 2的海域里有面积达40 km 2的大陆架蕴藏着石油，在这个海域里随意选定一点钻探，钻出石油的概率为3、有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,则取出水中含有这个细菌的概率为___＿.五、学习小结1.几何概型的特征2.几何概型的定义3.几何概型的概率计算公式4.几何概型与古典概型的异同六、课后作业2 A。
几何概型 学案 导学案 课件
几何概型
【学习目标】几何概型的概念与应用
【创设情境】转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，当转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率是多少呢？
【概念形成】
1、定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的 （或 、 、 ）成正比，而与A 的 和 无关，满足以上条件的试验称为 。
2、在几何概型中，事件A 的概率定义为： 其中Ωμ表示区域 ，A μ表示子区域
【例题选讲】
例1、在500毫升的水中游一只草履虫，现从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。
例2、一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形。
求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率。
例3、平面上画了一些彼此相距为2a 的平行线，把一枚半径a r <的硬币任意投在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率。
【巩固提高】
1、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，试求这正方形的
面积介于362cm 与812cm 之间的概率。
2、向面积为S 的ABC ∆内投一点P ，求PBC ∆的面积小于2
S 的概率。
3、某人在家门前相距6m 的两棵树间系一条绳子，并在绳子上挂一个衣架，求衣架钩与两树的距离都大于2m 的概率。
4、设A 为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A 连接，求弦长不超过半径的概率。
5、向右图中所示的正方形内投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率。
几何概型导学案
§3.3.1 几何概型高二数学组:万志强学习目标1．了解几何概型的意义，会运用几何概型的概率计算公式，会求简单的几何概型事件的概率。
2．通过游戏、案例分析，学习运用几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别。
3．通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。
学习重难点重点：几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。
难点：将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量。
预习内容：一、复习回顾：古典概型（1）所有可能出现的基本事件只有 (有限性) （2）每个基本事件出现的可能性 （等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为 ，简称 . （3）那么事件A 的概率为 )(A P二、了解新知：（一）知识清单（预习教材P 135—P136 ，找出疑惑之处）1.探究:试验1正方形内有一个圆，随机向正方形内丢一粒石子，求石子落入圆内的概率.试验2有两个转盘，甲乙两人玩游戏。
规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜。
在两种情况下分别求甲获胜的概率？试验1 试验2问题1:这两个试验有两个共同特征，你能找出来吗？问题2:还能用古典概型的概率公式来求这两个试验的概率吗？问题3:这种新模型的概率与什么有关系？2.几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为 ，简称为 。
3.在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P(A)=4.典型例题例1:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.变式1：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.例2:红外保护线长3米，只有在和两端距离均不小于1米的点接触时，红外线才不会报警，则灰太狼能够安全进羊村的概率是多少？变式2: 若羊村是个面积为10000平方米的矩形，而灰太狼在羊村内炸出的圆有100平方米，假设喜羊羊在羊村的每一点都是等可能的，那么，他炸到喜羊羊的概率是多少？当堂检测一个20立方米的海洋球池里混入了一颗水晶球，现从中取出0.5立方米，含有水晶球的概率是多少？学习反思:。
导学案几何概型
课题
几何概型
使用时间
6月4日
课型
新授课
课时
1课时
编写人
姬思佳
审核人
王建立
学习目标
1、正确理解几何概型的概念；2、掌握几何概型的概率公式3会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型
学习重点
1、几何概型概率计算公式及应用
2、如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题
课本142页A组习题1、2、3 B组1
5、课堂小结
六、作业布置，课后篇子
思考：根据上述知识，你能给出几何概型的计算公式和一般步骤吗？
三、新知应用
例1、某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.
例2、如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.（图1是一条边为直径的等腰三角形）
例3、甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．
几何概型的特点：1在每次试验中，基本事件有.2每次试验中基本事件出现的.
问题2：取一根长度为15cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，使剪得两段的绳长都不小于5cm。若记“剪得两段绳长都不小于5cm”为事件A，那么A事件发生的概率是多少？
问题3：有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中随机的取出0.1升,使细菌含在里面.若记“细菌落在取出的0.1升水中”为事件B，则B事件发生的概0 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()
A B C D
2、如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()
3.3.1几何概型导学案高中数学必修3
《 3.3.1几何概型》导学案编写人：范志颖审核人：范志颖审批人：袁辉【学法指导】1.认真阅读教科书，努力完成“基础导学”部分的内容；2.探究部分内容可借助资料，但是必须谈出自己的理解；不能独立解决的问题，用红笔做好标记；3.课堂上通过合作交流研讨，认真听取同学讲解及教师点拨，排除疑难；4.全力以赴，相信自己！用。
2、如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题。
学习难点正确判断几何概型并求出概率。
【学习过程】复习提问：1、古典概型的两个特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有____________.(2)每个基本事件出现的_____________________________.2、计算古典概型的公式：探究（一）1.一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；2.往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是有限的还是无限的。
那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢?进行下面的探究问题１：下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？书房问题2:图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。
在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？（图见教材135页图3.3-1）问题3:甲获胜概率与区域的位置有关吗？与图形的大小有关吗?甲获胜可能性是由什么决定的？几何概型：定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_________________________成比例，则称这样的概率模型为______________概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型。
几何概型的公式:几何概型的特点a) 试验中所有可能出现的基本事件有______________b) 每个基本事件出现的__________________________古典概型与几何概型的区别相同：两者基本事件发生的可能性都是___________的；不同：__________概型要求基本事件有有限个，______________概型要求基本事件有无限多个。
几何概型导学案
四、实际应用
1、模型应用
例1：在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.
例2：取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
例3：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
（2）在集合A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个元素a,则a≥3的概率为.
(3)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，求点P落在圆x2+y2=16内的概率。
【课前预习】
1、问题情境
⑴、下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
怎样求几何概型的概率
当堂练习
1．在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出现，记a∈(-1,2】为事件A，则P（A）=（C）
A、1 B、0 C、1/2 D、1/3
2.一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m,宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．
3.在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？
⑵、取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率有多大？（演示绳子）
⑶、射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？
当堂检测
1.在区间[1，3]上任意取一数，则这个数不小于1.5的概率是多少？
3.3.1_-_几何概型导学案
3.3.1几何概型学习目标：1、理解几何概型的概念，掌握几何概型的概率公式2、理解几何概型的意义，加强与现实生活的联系学习重点：几何概型概念的理解和公式的应用学习难点：几何概型的应用预习案：1.几何概型：事件A是某一区域Ω的子区域，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。
满足以上条件的试验称为几何概型。
参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？（1）可能出现的结果有；（2）每个结果发生的2.几何概型的概率思考1：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？思考2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？思考3：在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？一般地，在几何概型中事件A 发生的概率计算公式：P (A )=探究案：1、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形。
试求这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率。
2、 在圆心角为90︒的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30︒的概率。
构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3、已知长方形S ABCD 边长为2，在正方形ABCD 内随机取一点P ， 则点P 满足︳PA ︱≤1的概率是4、水池的容积是20cm 3,水池里的水龙头A 和B 的水流速度都是1m 3/h ，它们一昼夜（0~24h ）内随即开启，则水池水不溢水的概率为5、在一边长为2的正六边形的纸片上，有一个半径为R 的半圆孔，随机向该纸片投掷一粒芝麻，若芝麻恰好从半圆孔穿过的概率为 63，则R=_________.6、如图，设一个质点等可能地落在xoy 面上的三角形区域D 内，D 是由直线x=0,y=0,x+y=2所围成的，设事件A 为“质点落在直线y=1”的下侧，求P (A )yx OB A D E F 22111D。
高中数学必修三3.3几何概型导学案
高中数学必修三3.3几何概型导学案3.3几何概型【学习目标】1．理解几何概型的定义，会用公式计算概率．2.掌握几何概型的概率公式：P（A）=【知识梳理】知识回顾：1.基本事件的两个特点：一是任何两个基本事件是的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示为.2.古典概型的两个重要特征：一是一次试验可能出现的结果只有；二是每种结果出现的可能性.3.在古典概型中，=.新知梳理：1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(）成比例，则称这样的概型为几何概型.2.几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有.（2）每个基本事件出现的可能性.3.几何概型的概率公式=.对点练习：1.在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）.（A）0.5（B）0.4（C）0.004(D)不能确定2.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在（g）范围内的概率是（）（A）0.62（B）0.38（C）0.02(D)0.683.在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为（）（A）（B）（C）(D)4.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min．则乘客到达站台立即乘上车的概率为．【合作探究】典例精析例题1.取一根长3米的绳子，拉直后再任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不少于1米的概率有多大？变式训练1.在半径为1的圆周上任取两点，连接两点成一条弦，求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率.例题2.在圆内随机投点，求点与圆心间的距离变式训练2.在以为中心，边长为1的正方形内投点，求点与正方形的中心的距离小于的概率.例题3.在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离均大于棱长的的概率.变式训练3.在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离小于棱长的的概率.【课堂小结】【当堂达标】1.一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间是5秒，绿灯亮的时间是45秒.当你走到路口时，恰好看到黄灯亮的概率是（）A.B.C.D.2.面积为的中，是的中点，向内部投一点，那么点落在内的概率是（）A.B.C.D.3.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为（）A.0.002B.0.004C.0.005D.0.008【课时作业】1．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为（）．（A）（B）（C）(D)2．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（）．（A）（B）（C）(D)3．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则求两人会面的概率为（A）（B）（C）(D)4．如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（）．（A）（B）（C）(D)5．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（）．（A）（B）（C）(D)6．现有的蒸馏水，假定有一个细菌，现从中抽取，则抽到细菌的概率为（）．（A）（B）（C）(D)7．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨至和下午至，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（）．（A）（B）（C）(D)8．在区间中任意取一个数，则它与之和大于的概率是（）．（A）（B）（C）(D)9．若过正三角形的顶点任作一条直线，则与线段相交的概率为（）．（A）（B）（C）(D)10．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r（A）（B）（C）(D)11．向面积为9的内任投一点,那么的面积小于3的概率为.12.在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是．13.在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？14.飞镖随机地掷在下面的靶子上．（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？15．一只海豚在水池中游弋，水池为长，宽的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过的概率．。
几何概型导学案
几何概型学习要求1、了解几何概型的概念及基本特点；2、熟练掌握几何概型的概率公式；3、正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算． 【课堂互动】自学评价试验１ 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？试验２ 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ．运动员在70m 外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率为多少？总结：1.几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等．2.几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D 的测度的测度．3.与几何概型有关的实际问题：长度问题、角度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。
【经典范例】例1（长度问题） 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边A B 上任取一点M ，求A M 小于A C 的概率．（＂测度＂为长度）例2（等候问题）某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．例3（面积问题）有一个半径为5的圆，现在将一枚半径为1硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的概率．例4 （约会问题）两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率．例5（角度问题）过等边三角形ABC的顶点A在该三角形的内部做射线AD，则45∠<BAD的概率。
例6.（体积问题）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为当堂训练：1.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为 ( )A ．7.68B ．16.32C ．17.32D ．8.68 2．在区间[－π2π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( ) A.13B.2πC.12D.23 3.已知k ∈[－2,2]，则k 的值使得过A (1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率等于( )A.12B.14C.34 D ．不确定4．向面积为9的△ABC 内任投一点P ，那么△PBC 的面积小于3的概率是__________．5.已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为________6.一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.7.已知集合A ＝{x |－3<x <1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＋2x －3<0. (1)求A ∩B ，A ∪B ；(2)在区间(－4,4)上任取一个实数x ，求“x ∈A ∩B ”的概率；(3)设(a ，b )为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“b －a ∈A ∪B ”的概率．8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．。
第6节 几何概型-导学案
【知识梳理】1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的___________(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为___________.2.几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有___________；(2)等可能性：每个结果的发生具有___________.3.几何概型的概率公式P(A)＝________________________________【基础巩固】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是110.()(3)概率为0的事件一定是不可能事件.()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()2.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()3.如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD内随机投掷200个点，有30个点落入图形M中，则图形M的面积的估计值为____________.4.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.3105.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为() A.18 B.16 C.127 D.386.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A.p1＝p2B.p1＝p3C.p2＝p3D.p1＝p2＋p37.在区间[－1，4]内任取一个实数a，使得关于x的方程x2＋2＝a有实数根的概率为() A.23 B.25 C.35 D.348.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE︵，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.9.某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是() A.13 B.12 C.23 D.3410.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在π6角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________.11.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.14 B.18 C.38 D.31612.若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是()A.29 B.13 C.23 D.79【考点聚焦突破】1.关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤4，y ≥2，x －y ＋2≥0所表示的平面区域记为M ，不等式(x －4)2＋(y －3)2≤1所表示的平面区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为( ) A.π16B.π8C.14D.122.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14B.π8C.12D.π43.在满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.14B.34C.13D.234.在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是________.5.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ， 则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________.6.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是( ) A.78 B.34C.12 D.147.中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一 枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm ，小米同学为了测算图中装饰狗的面 积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的 身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是( )A.486π5mm 2B.243π10 mm 2 C.243π5 mm 2 D.243π20mm 2 8.已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数y ＝x 3的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为( )A.12B.14C.16D.189.在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.1410.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )A.π8B.π16C.1－π8D.1－π1611.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.13B.23C.34D.1412. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值.我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141 592 6，3.141 592 7).如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点， 那么落在图中阴影部分的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)( )A.0.16B.0.17C.0.18D.0.19【巩固强化】1.若函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e 在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( ) A.1e B.1－1eC.e 1＋eD.11＋e2.从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nmB.2n mC.4m nD.2m n3.在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________.4.记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________.5.由不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________.6.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.7.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R)，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1πC.12－1πD.14－12π8.已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14B.13C.23D.129.在平面区域⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，x >0，y >0内随机取一点(a ，b )，则函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________.10.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为________.11.如图,一铜钱的直径为32毫米,穿径(即铜钱内的正方形小孔边长)为8毫 米,现向该铜钱内随机地投入一粒米(米的大小忽略不计),则该粒米未落在 铜钱的正方形小孔内的概率为( ) A.14π B.114π- C. 12π D.116π- 12.设点(a ,b )为不等式组 表示的平面区域内任意一点,则函数f (x )=ax 2-2bx+3在区间 上是增函数的概率为( ) A.13 B. 23 C. 12 D. 1413.在面积为S 的正方形ABCD 内任意投一点M ,则点M 到四边的距离均大于 的概率为 A.25 B. 35 C. 125 D. 42514.某日,甲、乙两人随机选择早上6:00至7:00的某个时刻到达七星公园进行锻炼,则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为( )A.79 B. 29 C. 23 D. 13。
必修三-3.3几何概型导学案
§3.3.1几何概型(1)班级______姓名得分学习目标：1.了解几何概型的概念及基本特点；2.掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算自主学习1、复习与回顾：1. 基本事件的概念: 一个事件如果事件，就称作基本事件.基本事件的两个特点:10.任何两个基本事件是的；20.任何一个事件(除不可能事件)都可以.2. 古典概型的定义：古典概型有两个特征：10.试验中所有可能出现的基本事件；20.各基本事件的出现是，即它们发生的概率相同．具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型.3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：P(A)=_____________________问题１．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m的概率是多少?２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色,奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭,假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率是多少?2、新知生成：1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个理解为从某个特定的几何，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个则理解为恰好取到上述区域内的．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型2.几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有个；（２）每个基本事件出现的可能性．3.几何概型的概率公式：在区域D中随机地取一点, 记事件A=＂该点落在其内部一个区域d内＂，则事件A发生的概率()dP AD=的测度的测度= A构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)．说明：（１）D的测度不为0；（２）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段,平面图形,立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．（３）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．例题学习：例1判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。
湖北省宜昌市葛洲坝中学高中数学必修三：第三章几何概型》导学案
《几何概型》导教案【学习目标】（1）正确理解几何概型的观点；（2）掌握几何概型的概率公式：组成事件 A的地区长度（面积或体积）P（A）=的地区长度（面积或体；试验的所有结果所组成积）（3）会依据古典概型与几何概型的差别与联系来鉴别某种概型是古典概型仍是几何概型。
【学法指导】先学后教，小组合作，分步达标【问题指引】学习指引：1．几何概率模型___________________________________________________________ 。
2．几何概型的两个特色:（1）（2）.学习点拨：注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还一定考虑有无穷多个试验结果的状况（1）几何概率模型：假如每个事件发生的概率只与组成该事件地区的长度（面积或体积）成比率，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：组成事件 A的地区长度（面积或体积）P（A）=的地区长度（面积或体；试验的所有结果所组成积）（ 3）几何概型的特色：1）试验中所有可能出现的结果（基本领件）有无穷多个；2）每个基本领件出现的可能性相等．10 毫升，则拿出例 1．在 1 高升产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机拿出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？例 2．取一根长度为3m 的绳索，拉直后在随意地点剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？【当堂检测】1．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，求乘客抵达站台立刻乘上车的概率。
2．两根相距 6m 的木杆上系一根绳索，并在绳索上挂一盏灯，求灯与两头距离都大于2m 的概率．3．平面上画了一些相互相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币随意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．【讲堂小结】。
分点突破式导学案3：几何概型
学案【导学目标】1.准确理解几何概型的意义，会构造度量区域，选择合适的“测度”；2.会求三种常见几何概型的概率3.把握与古典概型的联系和区别，加强与数学其他知识的综合训练．【要点梳理】1．几何概型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．3．在几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝___________________________________________.【思考】求解几何概型的概率问题的关键是什么？【题型分类】 深度剖析题型一 与长度、角度有关的几何概型【例1】（1）在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与22之间的概率为( ) A.14 B.13 C.23D.56 （2）在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为 ( )A.16B.13C.23D.45变式训练： 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在线段BC 上找一点M ，求BM <1的概率．探究延伸：将条件改为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”呢？题型二 与面积有关的几何概型【例2】（1）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．（2）已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．①若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率；②若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．变式训练：（1）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1－2π B.12－1π C.2π D.1π（2）如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入 ( )A ．P ＝N 1 000B ．P ＝4N 1 000C ．P ＝M 1 000D ．P ＝4M 1 000题型三 与体积有关的几何概型【例3】 （1）在区间[0,1]上任取三个数a ，b ，c 若向量m ＝(a ，b ，c )，则|m |>1的概率是 .（2）在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V 3的概率是________． 【课堂小结】1．几何概型：若一个试验具有两个特征：①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．3．几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示(A ⊆Ω)，则P (A )＝A 的度量Ω的度量. 4.求解几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．方法与技巧1． 区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．2． 转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．失误与防范1． 准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2． 几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．【答案】23【解析】由题意可知V S －APC V S －ABC >13，如图所示， 三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，因此V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN＝AP AB >13(PM ，BN 为其高线)，故所求概率为23.【答案】D【解析】∵x i ，y i 为0～1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，当x 2i ＋y 2i ≤1时，点(x i ，y i )均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的14圆内，当x 2i ＋y 2i >1时对应点落在阴影部分中(如图所示)．∴有N M ＝1－π4π4，Nπ＝4M －Mπ， π(M ＋N )＝4M ，π＝4M 1 000.【解析】设A ＝{小波周末去看电影}，B ＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D ＝{小波周末不在家看书}，如图所示， 则P (D )＝1－221124πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1316. 【答案】1316审题视角 (1)向量a ∥b 转化为x ＝2y ，而x 、y 的值均为有限个，可以直接列出，转化为古典概型问题；(2)和(1)中条件类似，但x 、y 的值有无穷多个，应转化为几何概型问题．规范解答解 (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16. (2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y . 基本事件空间为Ω＝()12,11x x y y ⎧⎫-≤≤⎧⎪⎪⎨⎨⎬-≤≤⎩⎪⎪⎩⎭，()1211,202x y B x y x y x y -≤≤⎧⎫⎧⎪⎪⎪-≤≤⎪⎪⎪=⎨⎨⎬+<⎪⎪⎪⎪⎪⎪≠⎩⎩⎭，则P (B )＝μB μΩ＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13. 温馨提醒 (1)对含两个变量控制的概率问题，若两个变量取值有限个，可转化为古典概型；若取值无穷多个，则可转化为几何概型问题．(2)本题错误的主要原因是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点．所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用.。
几何概型公开课导学案
第三节几何概型1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果；(2)等可能性：每个试验结果的发生具有。
3．几何概型的概率公式P(A)＝——————————————.[提醒] 求解几何概型问题注意数形结合思想的应用．一、[小题体验]1．(教材习题改编)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是( )A．35B．45C．25D．152．(教材习题改编)平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r＜a的硬币任意掷在这平面上，则硬币不与任一条平行线相碰的概率是________．3．(2016·陕西质检)在区间[20,80]内任取一个实数m，则实数m落在区间[50,75]内的概率为________．注意：易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．[小题纠偏]1．有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为( )A ．34B ．13C ．12D ．232．在等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 上任意一点，则AD 的长小于AC 的长的概率为( )A ．12B ．1－22C ．22D ． 2二、典型例题： 考点一1．(2015·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．142．(2016·衡水一模)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．453．(易错题)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．[谨记通法]1．与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段． 考点二 与体积有关的几何概型——1、(2016·济南一模)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A A 1BD 内的概率为________．[由题悟法]与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求． [即时应用](2016·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．考点三 与面积有关的几何概型1．(2015·新余模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A ．4π－1 B ．1π C ．1－1πD ．2π变式训练：(2015·广州调研)在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为________．2．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤12”的概率，p2为事件“xy≤12”的概率，则( )A．p1＜p2＜12B．p2＜12＜p1C．12＜p2＜p1 D．p1＜12＜p2变式训练：(2016·枣庄八中模拟)在区间[1,5]和[2,6]内分别取一个数，记为a和b，则方程x2a2－y2b2＝1(a<b)表示离心率小于5的双曲线的概率为( )A．12B．1532C．1732D．3132[方法归纳]求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．课后作业：三维设计练习册跟踪训练（57）。
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从化市第二中学高一年级数学导学案必修3
班级：姓名：学号：使用时间：年月日§3.3.1 几何概型
学习目标: 1．正确理解几何概型的概念； 2．掌握几何概型的概率公式；
3．会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。
学习过程 : 一、课前准备:（预习教材P135-P136，找出疑惑之处）古典概型的两个特点：（1）________________性，（2）_________________性.
二、新课导学
探究1：飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖。
问题1：各个圆盘的中奖概率各是多少？
问题2：在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？
问题3：在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？
新知1：几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______________，____________或______________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
几何概型的两个特点：（1）_______________性，（2）_________________性.
几何概型概率计算公式：P(A)=____________________________________
典型例题
例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,
求他等待的时间不多于10分钟的概率.
例2如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄
豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分
别为___________，__________.
图1 图2
例3 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概率是_______.
动手试试
1．已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即上车的概率是____. 2．在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心为起点作射线OC,求∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率是____________.（请同学们考虑用多种方法解）
3.在1万平方米的海域中有40平方米的大陆架贮藏着石油，假设在海域中任意一点钻探， 钻到石油层面的概率是_________.
4.在ABC ∆内任取一点P,则ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于
3
2
的概率为_________. 三、总结提升: 学习小结: 古典概型与几何概型的区别与联系： 当堂检测:
1.某广播电台每当整点或半点时就会报时，某人睡完觉后想知道时间就打开收音机 调到该广播电台，问这人等待的时间不超过5min 的概率是_______.
2.在等腰ABC Rt ∆中，在线段AB （斜边）上任取一点M ，使AM<AC ，则AM<AC 的概率为____.
3.在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置 是等可能的,若取出1立方米的沙子.则取出的沙子中含有玻璃球的概率是_____.
4.在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的 面积介于252
cm 与49 2
cm 之间的概率为( ). A.
103 B. 51 C. 52 D. 5
4
5.A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取点B,连接A 、B 两点,它是一条弦,它 的长度大于或等于半径长度的概率为 ( )
A.
12 B. 23 C. 3
2
D. 14 课后作业:
1已知直线y=x+b,b ∈[-2,3],则直线在y 轴上的截距大于1的概率是（ ）
A.
51 B. 5
2
C. 35
D. 45
2.从区间(0,1)内任取两个数,则这两个数的和小于5
6
的概率是 ( )
A. 35
B. 4
5
C. 1625
D.1725
3.在半径为1的半圆内，放置一个边长为2
1
的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，落
在正方形内的概率为（ ）. A.
21 B. 41 C. π41 D. π
21 4.平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径为 )(a r r <的硬币任意掷在这平面上如图3，则硬币不与
任一条平行线相碰的概率是________. 2a
5.课本142页 A 组第1，2题。
答案：
古典概型的两个特点：（1）____有限___性，（2）____等可能___性. 探究1：飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖。
问题1：各个圆盘的中奖概率各是多少？ 52 61 4
1
问题2：在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为
5
2。
问题3：在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为
3
1。
新知1：几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度__，__面积_ 或_体积 概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
几何概型的两个特点：（1）__无限__性，（2）____等可能____性. 几何概型概率计算公式：P(A)=____________________________________ 典型例题
例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时, 求他等待的时间不多于10分钟的概率.
6
1 例
2 如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄
豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分
别为___ 1__，____8
3
______.
图1 图2 例3 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概 率是__31_____. 动手试试
1．已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即上车的概率是
_
10
1
___. 2．在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心为起点作射线OC,求∠AOC 和∠BOC 都不小于30° 的概率是___
3
1
____.（请同学们考虑用多种方法解） 4.在1万平方米的海域中有40平方米的大陆架贮藏着石油，假设在海域中任意一点钻探， 钻到石油层面的概率是____
250
1
_____. 4.在ABC ∆内任取一点P,则ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于
32的概率为____9
1
___. 三、总结提升: 学习小结: 古典概型与几何概型的区别与联系：
当堂检测:
1.某广播电台每当整点或半点时就会报时，某人睡完觉后想知道时间就打开收音机 调到该广播电台，问这人等待的时间不超过5min 的概率是___
6
1
____. 2.在等腰ABC Rt ∆中，在线段AB （斜边）上任取一点M ，使AM<AC ，则AM<AC 的概率为_2
2_. 3.在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置 是等可能的,若取出1立方米的沙子.则取出的沙子中含有玻璃球的概率是__
10
1
__. 4.在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的 面积介于252
cm 与49 2
cm 之间的概率为( B ). A.
103 B. 51 C. 52 D. 5
4
5.A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取点B,连接A 、B 两点,它是一条弦,它 的长度大于或等于半径长度的概率为 ( B )A.
12 B. 23 C. 3
2
D. 14 课后作业:1已知直线y=x+b,b ∈[-2,3],则直线在y 轴上的截距大于1的概率是（ B ）
A.
51 B. 5
2
C. 35
D. 45
2.从区间(0,1)内任取两个数,则这两个数的和小于5
6
的概率是 ( D )
A. 35
B. 4
5
C. 1625
D.1725
3.在半径为1的半圆内，放置一个边长为21
的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，落
在正方形内的概率为（ D ）. A. 21 B. 41 C. π41 D. π
21
4.平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径为
)(a r r <的硬币任意掷在这平面上如图3，则硬币不与 任
一
条
平
行
线
相
碰
的
概
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图3。