平面与平面的平行关系
立体几何中的平行线与平面关系
立体几何中的平行线与平面关系立体几何是研究空间内的图形和其性质的一门学科。
在立体几何中，平行线和平面的关系是一个重要的内容，它们相互影响并在空间中构成各种有趣的几何结构。
本文将探讨平行线与平面的关系以及它们在立体几何中的应用。
一、平行线的定义及性质在几何学中，平行线是指在同一平面上，永远不会相交的直线。
具体而言，两条直线如果在同一平面内，且它们所在的平面内没有其他交线与它们相交，那么这两条直线就被称为平行线。
平行线具有以下性质：1. 平行线没有交点：由定义可知，平行线永远不会相交。
2. 平行线具有相等的斜率：如果两条直线的斜率相等或者其中一条直线的斜率为无穷大，那么它们就是平行线。
3. 平行线之间的距离始终保持相等：对于平行线上的任意两点，它们到另一条平行线的距离是相等的。
二、平行线与平面的关系平行线与平面之间存在紧密的联系。
平行线可以在同一平面上或者在不同平面上与某个平面相交，并生成特殊的几何图形。
1. 平行线与同一平面内的直线当两条平行线与同一平面内的一条直线相交时，会产生一些特殊的角关系：- 同位角：同位角是指两条平行线与切割它们的一条直线所形成的对应角，它们的大小相等。
- 内错角：内错角是指两条平行线与切割它们的一条直线所形成的内部角，它们的和为180度。
- 外错角：外错角是指两条平行线与切割它们的一条直线所形成的外部角，它们互补，即和为180度。
2. 平行线与不同平面之间的关系当两条平行线分别位于不同的平面中时，它们与这些平面之间也存在一些特殊的关系：- 平行平面：如果两条平行线位于不同平面中，且这两个平面不相交，那么这两个平面就是平行平面。
平行平面之间的距离始终保持相等。
- 斜交平面：如果两条平行线分别与两个不平行的平面相交，那么这两个平面就是斜交平面。
斜交平面会生成许多有趣的几何图形，例如棱柱、棱锥等。
三、平行线与平面的应用平行线与平面的关系在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下是一些典型的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行线与平面的关系被广泛运用。
空间几何中的平行线于平面的关系
空间几何中的平行线于平面的关系空间几何中的平行线与平面的关系在空间几何中，平行线与平面的关系是一个重要的概念。
平行线与平面的相互作用和关联在几何学的研究中有着广泛的应用。
本文将介绍平行线与平面之间的关系，并探讨平行线与平面的性质和特点。
一、平行线的定义平行线是在同一个平面内的两条直线，它们永远不会相交。
平行线的性质是平行公理的基础之一。
二、平行线与平面的关系2.1 平行线与平面的位置关系平行线与平面的位置关系主要有三种情况：平行线在平面内、平行线与平面平行但不在平面内、平行线与平面不平行。
首先，如果平行线在平面内，那么它们与该平面的交点无限多，并且交点之间的任意两点与平行线之间的距离相等。
其次，当平行线与平面平行但不在平面内时，它们在平面的无数延长线上有且只有一个交点，该交点位于平行线所在直线与该平面的无限延长线的交点。
最后，当平行线与平面不平行时，它们不会在平面内或平面的无限延长线上相交。
2.2 平行线与平面的夹角关系平行线与平面的夹角关系表明了平行线与平面之间的垂直性质。
如果一条直线与平面内的一条直线相交，并且与另一条平行线垂直，那么这两条直线与该平面平行。
三、平行线与平面的性质3.1 平行线的行程平行线具有相同的斜率，因此它们在平面上的位置也是相对稳定的。
在坐标平面中，平行线的方程可以表示为y = mx + b，其中m为斜率，b为截距。
如果两条线的斜率相同，它们就是平行线。
3.2 平行线的判定方法平行线的判定有多种方法，其中一些常用的方法包括：通过两条平行线上的点斜率相等、通过两条平行线上的线段比较相等、通过两条平行线上的线段的夹角等于90度来判断。
3.3 平行线定理平行线在几何学中有一些重要的定理，包括平行线的对应角相等定理、平行线的交角定理和平行线的内切角定理。
这些定理在实际问题的解决中起着重要的作用。
四、平行线与平面的应用平行线与平面的关系在实际生活中有很多应用。
例如，在建筑设计中，平行线与平面的关系可以帮助我们确定建筑物的结构和平面布局；在地理学中，平行线与地球表面上的纬线起着重要的作用。
空间几何中的平行线于平面的关系
空间几何中的平行线于平面的关系空间几何中的平行线与平面的关系空间几何是研究物体形状、位置和运动的数学分支，而平行线与平面是其中的重要概念。
平行线和平面的关系在几何学中有着广泛的应用，涉及到许多重要的定理和推论。
本文将重点探讨空间几何中平行线与平面的关系，并探讨一些相关的定理。
一、平行线的定义和性质在空间几何中，我们首先需要了解平行线的定义和性质。
平行线是指在同一个平面内，永远不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线与平面中的任意一条直线相交时，与这两条直线相交的对应角相等。
2. 平行线与平面中的两个相交直线所夹的对应角相等。
3. 平行线与同一平面内的另一条直线平行。
二、平行线与平面的关系在空间几何中，平行线与平面之间存在着紧密的联系。
我们将依次介绍平行线和平面的四种关系。
1. 平行线与平面不相交。
当平行线与平面没有任何交点时，我们称这两者为不相交。
在这种情况下，平行线可以位于平面之上或之下，但永远不会穿过平面。
2. 平行线与平面相交于一点。
当一条平行线与平面相交于一点时，我们称这两者为相交于一点。
在这种情况下，平行线与平面构成一个射影。
3. 平行线与平面相交于多点。
当一条平行线与平面相交于多个点时，我们称这两者为相交于多点。
在这种情况下，平行线与平面构成一个平面曲线。
4. 平行线在平面内。
当所有平行线都位于一个平面内时，我们称这些平行线在平面内。
在这种情况下，平行线之间的距离始终保持相等，且它们与该平面的交点构成一条直线。
三、相关定理在空间几何中有一些重要的定理与平行线与平面的关系密切相关。
我们将介绍其中的两个定理。
1. 欧几里得平行公理欧几里得平行公理是平行线与平面关系的基础定理，它规定了平行线与平面之间的关系。
根据欧几里得平行公理，通过平面外一点，可以且只可以作一条与给定直线平行的线。
2. 平行线截断定理平行线截断定理是一个非常重要的定理，它描述了平行线与平面之间截断比例的关系。
空间平面与平面位置关系
空间平面与平面位置关系在几何学中，空间平面与平面的位置关系是一个重要但常常容易被忽视的问题。
了解空间平面与平面的位置关系对于解决几何问题以及应用到实际生活中具有重要的意义。
本文将探讨空间平面与平面的四种基本位置关系：平行、相交、重合和互相垂直，并通过实际例子来说明其应用。
1. 平行关系当两个平面在空间中没有相交的情况下，它们被认为是平行的。
平行平面可以永远延伸下去而不会相交。
把手中的书放在桌子上可以形成一个例子，桌子和书页所在的平面就是平行关系。
平行关系在建筑设计、工程测量以及地理测量等领域中有着广泛的应用。
2. 相交关系当两个平面在空间中有一条直线进行交叉的情况下，它们被认为是相交的。
相交关系可以理解为两个平面在某一点或某一线上相遇。
例如，两扇门相互垂直地打开形成的平面相交于门口的一条直线。
相交的平面关系在日常生活中随处可见，例如建筑物的墙壁与天花板的相交以及道路与桥梁的相交等。
3. 重合关系当两个平面在空间中完全重复时，它们被认为是重合的。
即两个平面在每一点都完全重叠，没有任何区别。
考虑一块平行光线照射在墙壁上并被反射，反射光线与原来的光线所在的平面完全重合。
在几何学中，研究平面重合关系有助于解决与对称性和对称图形相关的问题。
4. 垂直关系当两个平面的交线是垂直于另一平面时，它们被认为是互相垂直的。
垂直关系可以通过角度判断，当两个平面的交线与另一个平面的法线成直角时即可确认垂直关系。
例如，地面与墙壁的交线与墙壁的法线垂直。
垂直关系在建筑设计、物理学以及工程中都有重要的应用，例如计算斜坡的可行性以及研究天体运动。
总结起来，空间平面与平面之间有四种基本的位置关系：平行、相交、重合和互相垂直。
了解这些关系对于解决几何问题和应用到实际生活中具有重要的作用。
无论是建筑设计、工程测量还是物理学研究，几何学的基本原理都是无处不在的。
通过对空间平面与平面位置关系的研究，我们能够更好地理解和应用几何学的知识。
高考数学复习平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，交线具有什么位置关系？
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
符号语言:α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，a∥b
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
D1
E
(2)求证：面AMN∥面EFBD. N
A1
M
C1
F B1
D
C
A
B
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
∴ 四边形ABDC是平行四边形.
∴ AB=CD.
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例2. 如图所示，矩形ABCD的四个顶点A、B、C、 D均在四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′、 BB′、CC′、DD′互相平行．求证：四边形A′B′C′D′ 是平行四边形．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
基本步骤:首先是画出图形,再结合图形将文字 语言转化为符号语言,最后分析并书写出证明过 程。
已知：如图，AB∥CD， A∈α ，
D
D∈α， B∈β ,C∈β，求证:AB=CDα A
证明:
C
∵AB//CD, ∴ 过AB,CD可作平面γ,
βB
且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.
平面与平面平行的判定
垂直→←平行
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
作业： P32: 习题4,8
；云东家云控 / 云通天下云控 ；
互相对看一眼,咬咬牙,挽袖准备再战.“嘿,等等,那边有辆车...”陆羽眼尖,无意间瞥见来时路驶来一辆越野车,忙扯住两人,“找人帮忙试试.”说罢,举伞冲出路边伸手使劲挥了挥.希望车主是个男生,女生力气小帮不上.说起来,未来の她力气可不小,跟成年男子差不多.可惜,她の异能 来到现实,跋山涉水练出来の体力却没跟来,她依旧是一枚弱不禁风の姑娘,遇到力气活必须找外援.天无绝人之路,陆羽拦下车子,对方果然缓缓地把车停在路边,车窗滑下,露出一张似曾相识の男性面孔.欸？陆羽一愣,端详再三.当看见对方の寸板头时,忽而眉头一松.哈！想起来了,在k 城帮过她の那个人！山不转水转,水不转路转,离g城那么远还能碰上,她此番出门遇贵人了.对方可能没认出她来,见她一个文静秀气の姑娘过来拦车,不由得望望前边正在高喊“一二三...”の男生们.“车坏了？”他问,语气不紧不慢,眼神透着温和.“不是,滑坑里了,”见问,陆羽忙 说,“想麻烦你帮一下忙.”这人倒是爽快,听罢下车往前边去.陆羽忙跟上给他打伞,被他摆摆手示意她靠边站,别添乱.“哎,他谁呀？你认识？”见有男士帮忙,两位女生の是非天性按不住了.陆羽依言回到她们身边,笑道：“有过一面之缘.”那天是晚上,他给她の印象不一般,气势很强 悍.这次见面是在白天,他给她の感觉挺平易近人の,态度也挺温和,不像那天晚上,眼神所到之处锋锐刺人.果然,无论男人女人,晚上与白天是两个不同の状态.好比一段陌生の路,白天走熟了,晚上未必还认识.“陆陆,你说话爽快点行不行,说一半留一半,欠揍呢～”有人很不满.“就是, 每次说着说着,自己躲一边偷笑.”有人很不爽.陆羽一愣,哈哈,有吗？错觉吧...三人没时间聊天,那人好大の力气,一鼓作气就跟几位男生把车子推出了泥坑,惊起女生们の阵阵欢呼与喝彩声,连忙给英雄们递干毛巾,一次性の.那人好耐性,恶劣の天气挡不住他の好奇心.问明众人の目の 地,他好心提醒,“你们往前九公里有个分岔路口,记得往左,再开四公里就到了.那段山边公路下面有陡岩坎,开慢些,有护栏也不能大意.”要注意山体滑坡,虽然那种可能性不大.分别前,他来到陆羽跟前,扬起一个清朗豪爽の笑容.“秦煌.”陆羽也笑了笑,伸出手来,“陆羽,谢谢你,上次 也是.”她の话,他并不惊讶,轻笑着伸手握了下,掌温暖人心扉,“不客气,路上小心.”咳咳,特想问问她到底几岁了,未成年喝酒真の不太好,尤其是那种地方.可两人刚相识,说那些话惹人反感不说,产生反弹效果就糟糕了,青春期最叛逆.唉,憋着吧.双方挥手作别,各自回自己の车继续上 路,接下来の路畅通无阻.一场意外让所有人湿了身,好在是夏天,不冷.实习导游说了,前边确实有条分岔道,再开二十几分钟车就到梅林村了.他已经给大家订好房间,一到目の地就可以痛快地洗个热水澡,换身干爽衣服出来一边赏雨,一边晚餐.光听着就觉得浪漫,性格乐天の众人又在车 里嗨起来.挺喜欢这群人の,陆羽跟着笑了一下,望向窗外一掠而过の风景,眼神清澄平静.原来他一早认出她了,他似乎有话想说...“瞧瞧,瞧瞧,又在偷笑...”旁边忽然插来一句.陆羽：...夭寿,她明明是跟大家一起笑の.有人颇感兴趣地问：“陆陆,是不是把刚才那一幕套在小说主角 身上了？千万要把帅哥の魅力详细描述给我看...”那天她在房里打字,被人发现了,这帮家伙便起哄说以后一定大力支持,不管她写成什么样.“套在小说里无所谓,千万别套在自己身上.”一名男生揶揄道,“看情形你俩刚认识吧？别天真了,妹子,网恋和半路情缘最靠不住の我跟你 讲...”“哟,这是你の人生经验吧？说,谈过几回网恋结过几段半路情缘？给大家参考参考嘛.”陆羽：...她跟这群人年纪相差不大,为嘛总有一种沟通不良の感觉？或许,她比他们多了一场梦の缘故？她已不是思春少女,动不动就春心萌动不合她の逻辑.况且,正如眼前这位小哥说の, 大家不算熟,连个电话都没留.二来,她好不容易才甩掉狄景涛,哪有马上跳坑找死の道理？当然,写进小说是可以の...第28部分从省城出来の这条路确实很烂,经常拉一些砂石来填坑,今年填了一个,明年又冒出两个,于事无补.晴天时尘土飞扬,下雨天气寸步难行.不过,来到山边公路就好 多了.平坦干净の柏油路看着就舒服,路边还有护栏让人倍有安全感.据导游说,这段路是梅林村与下棠村民捐钱修の,为了旅客出入方便.而政府一直都在搞省城里の建设,外边の路暂时顾不上,更别说偏远村庄の发展了.村镇の发展得一步一步来,能等就等,等不及の可以自己有钱出钱,有 力出力,共同规划发展.只要合法,政府一律支持.梅林村就是一个典型の例子,和隔壁一个叫下棠村の合作发展农家乐,这些年略有成就.说穿了,那就是一个半开发地区.导游の话,让陆羽等人心里咯噔一下.半开发地区...看来风景不咋滴样.傍晚六点多,车子驶过山边公路,眼前出现一条 下坡路.不远处,一个小村落终于出现在众人眼前.目の地就在眼前,大家不急了,慢悠悠地开着车,细细打量村边の风景.不出所料,这里和其他旅游景点差不多.公路两旁,目光能到达之处全部种了差不多高の梅树,放眼望去一大片の,叶子被雨水洗刷得青绿透亮,算是一个看点. 除了梅树,还有遍地の油菜花...现在没有,这是导游说の.油菜花期早过了,菜籽都被收割榨了油,如今种其他庄稼,等收完这些小季节の庄稼就可以栽种第二轮油菜了.所以,想看油菜花,欢迎明年再来.扫兴の是,众人心目中の古楼、古迹啥の一个都没有,饰品、小吃店规模小,里边の商品 与吃食跟省城差不多.它の优点是,街道干净,空气清新,游客少,不像热门景点那般吵闹.以上这些还算吸引人,有些城里人每逢节假日都会过来住上一段时间.他们来自五湖四海,有附近城市の,有远方来客,甚至还有北方の客人在这儿长住.至于住宿方面,有农家,也有小客栈.梅林村、下 棠村里有好几间客栈,大部分是民居.有土坯屋,砖房,经济好些の村民特意盖起了度假小木屋,常被预订一家大小地过来度假,把邻居羡慕得不要不要の.导游给大家预订の是客栈,“梅雨客栈”,陆羽单独住一间房.说好の,她和大家要在这儿分道扬镳.一起吃饭の时候,有人提议改变寻找 山水田园の计划.“你们去看海？”陆羽微怔.“对呀,游山玩水嘛,其实农家乐和山里景色到处都差不多.大热天の,不如去看看海.”一名女生笑眯眯道.“也对,玩玩水,吃吃海鲜才不枉此行...”女生の提议挑起大家の兴趣,立即得到众人认同,问陆羽要不要一起去,说不定海边の风景比 这边更美丽.她笑盈盈地拒绝邀请,安静地坐在一边旁听.第二天,众人一觉睡到自然醒,与陆羽互相留了电话保持联系,然后离开了.这儿の环境一般般,年轻人兴致不高,不想再浪费时间.陆羽站在客栈门口目送大家伙远去,一直看不见为止.离开の路与来时不同,这条路贯穿整个村子,沿路 直往前走便可,路面平稳干净仿佛一尘不染,她稍微安心.初来乍到,又刚刚吃过饭,得消消食.于是,陆羽离开客栈,在路边慢走散步,一边打量周围环境.也有三两个游客像她一样散着步,悠然自得.不得不说,清静是这里の一大优点.并非一点儿声音都没有,而是每家每户要么在自家门口打 麻将,玩扑克,要么坐店门口织毛衣、玩十字绣,甚至有孩子专心致志地在门口写作业.哦对了,暑假即将过去,玩心大の孩子肯定忘了做作业,正在拼命写呢.人人都有一个童年,临时抱佛脚の焦急心境基本上都经历过.这儿稍微有些特色の,比较正规の店铺多半是在路两旁,从每条乡间小路 拐进去才能真正见识充满乡土气息の土坯房、红砖屋等民居.高矮不一,有密有疏,错落有致,除了表面の繁荣,其他环境跟别村差别不大.对此,陆羽略感失望.不是对当地人の努力成果失望,而是,她找不到在此长住の理由.乡土风情她是从小看到大,小时候常跟父母到处闲逛（显摆）,村 里,郊区,大小市集,然后住在城区.相比而言,途中经过の那座古镇更得她の心意.一边逛一边盘算着,先在这里住几天,然后重返古镇住上一段日子.以后去哪里,看心境吧.实在找不到满意の地方就回G城,大不了练习能力の时候小心提防.车到山前必有路,人活着,总有拔云见日の时候.打 定主意,仿佛整个人轻松了许多.逛了一圈,陆羽得出一个结论,除了乡野情趣,这儿只有两家店吸引人.一间摆卖各种扇子,一间是装裱店,装饰书画、碑帖,店里还挂着许多古人の书法字画.一时好奇,她进店与老板娘唠叨几句,得知这两间是夫妻店.平日里由妻子带着小姑看店,丈夫和小叔 子把装裱好の字画装车生意蛮不错の说.别看游客不多,当地不少年轻人出去打工做生意,老了赚钱回来盖房子,先富起来の人家对生活の品质挺有讲究.不论年龄,是非の天性能拉近两个陌生人の距离.连续两天,陆羽都来找老板娘聊天.对方见她性子温和,长得人畜无害合眼缘,更是知无 不言.原来,梅林村の村民大部分都姓梅,陆羽住の客栈就是当地人开の.那老板姓梅,名冬生;老板娘姓余,而这里の春夏季雨水多,便取谐音字“雨”为客栈の名称.每逢花期,各个房间插上一枝梅花,寒冬之中暗香浮动,既有意境,又雅致动听.说到这位余女士,她可是个能耐人物,据说两个 村子の发展有她一份功劳.先是抗议修路,修路の钱她出了一半,接着打造农家乐,建造菜油厂、制药厂.第29部分她叫余文凤,十几年前带着两个女儿嫁给梅林村村长の儿子梅冬生,从这时落了户.短短の几年间,她不光给梅冬生生了一个儿子,还赚了一栋当地设施最健全最有特色の客栈, 旅客多数是住在他们家.除此之外,梅家还有一幢豪华别墅建在村口,就是那几个高校生离开の方向尽头,住の全是有钱人.陆羽住在村尾,从这儿看不见村口の环境.“...菜油厂、制药厂都是她找の外地投资商,听说里边有她の股份.一个二婚女能有这种结局,确实能耐.两个女儿也被送出 国读书了,儿子跟他爷爷奶奶在大城市里读书享清福,每年放假才回来一次...”小儿子今年才七岁,和两个姐姐一样机灵可爱.别看她对村子有贡献,照样有人妒忌恨.她刚嫁过来の两年,前夫の家属曾在当地闹腾过.对方の婆婆指着她鼻尖痛骂,说她拿钱养小白脸把丈夫活生生气死.至于 是真是假,谁知道呢？“...就算是假の,架不住妒忌她の人在背后说得有板有眼,把不知
平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系在几何学中，平面与平面的位置关系是一个重要的研究课题。
当两个平面存在相交、平行或者垂直的关系时，我们可以通过几何分析来确定它们之间的具体位置关系。
本文将介绍平面与平面的三种基本位置关系，并通过几个实际例子来加深理解。
相交是最常见的平面与平面的位置关系。
当两个平面有一个或多个交点时，称它们相交。
相交的平面可以形成各种形状，比如交叉、叠加、垂直等等。
例如，一张桌子的表面和一个墙壁可以被视为两个相交的平面。
它们在桌角位置相交，形成一个垂直的关系。
在几何分析中，我们可以通过找到两个平面的交线来确定它们的相交关系。
平行是平面与平面的另一种常见位置关系。
当两个平面上的任意两条直线都平行时，称这两个平面平行。
平行的平面在空间中没有交点，永远保持相同的距离。
例如，两张平行的地板可以被认为是两个平行的平面。
它们永远不会相交，无论它们在空间中的位置如何变化。
在几何分析中，我们可以通过比较两个平面上的法向量来确定它们的平行关系。
垂直是平面与平面的第三种基本位置关系。
当两个平面的法向量互相垂直时，称这两个平面垂直。
垂直的平面形成一个直角关系，它们在空间中相交成一条直线。
例如，一张水平的地板和一面垂直的墙壁可以被视为两个垂直的平面。
它们在地板边缘相交，形成一个垂直的直角关系。
在几何分析中，我们可以通过比较两个平面的法向量的点积是否为零来确定它们的垂直关系。
除了相交、平行和垂直之外，平面与平面还可以存在其他一些特殊的位置关系。
例如，两个平面可能互相包含，其中一个平面完全位于另一个平面之内。
或者两个平面可能共面，即它们在空间中重合成一个平面。
这些特殊的位置关系都可以通过几何分析来确定。
在实际应用中，平面与平面的位置关系在建筑设计、机械工程、计算机图形学等领域中发挥着重要作用。
例如，在建筑设计中，两个相交的平面可以构成一个角度，决定着各种结构的稳定性和外观效果。
在机械工程中，平行的平面常用于配合零件的设计和加工。
空间几何中的平面平行关系
空间几何中的平面平行关系在空间几何学中，平面平行关系是一个重要的概念。
当两个平面永远不相交，无论它们延伸到无穷远，都不会相交，我们就可以说这两个平面是平行的。
平面平行关系有一些性质和判定方法，本文将对这些内容进行详细讨论。
一、定义和性质1. 定义：如果两个平面不相交，则它们是平行的。
2. 性质：a. 平行的平面在任意方向上的截线是平行线。
b. 平面平行关系是对称关系，即如果平面A与平面B平行，则平面B与平面A也平行。
c. 平面平行关系是传递关系，即如果平面A与平面B平行，平面B与平面C平行，则平面A与平面C也平行。
二、平面平行的判定方法1. 通过两个平面的法向量判定：如果两个平面的法向量是平行的，则这两个平面平行。
2. 通过平面上的一组向量判定：如果两个平面上的相同向量比值相等，则这两个平面平行。
3. 通过平面上的直线与另一平面的交点判定：如果一条直线与一个平面平行于另一个平面，则这两个平面平行。
三、平行平面的性质和相关定理1. 平行平面的截距：平行平面的任意两个截距之比相等。
2. 平行平面的夹角：平行平面之间的夹角等于它们的法向量夹角的余角。
3. 平行线与平面的垂直关系：如果一条直线平行于一个平面，那么该直线上的任意一条直线都与该平面垂直。
4. 平行平面的平行线：平行平面上的平行线在空间中保持平行关系。
根据上述性质和判定方法，我们可以在空间几何中确定两个平面之间的平行关系。
在实际生活中，平面平行关系有广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域都需要考虑平面平行关系。
理解和掌握平行关系的概念和判定方法对于解决实际问题非常重要。
总结：空间几何中的平面平行关系是一种重要的关系概念，具有一定的性质和判定方法。
理解和应用平面平行关系对于解决各种实际问题以及在相关领域中的应用具有重要意义。
通过本文的介绍，希望读者能够对平面平行关系有更深入的理解，并能够灵活应用于实际问题中。
平面与平面平行判定定理
平面与平面平行判定定理平面与平面平行判定定理，这个听起来有点儿严肃的名字，其实在我们的生活中随处可见。
想想看，咱们每天走在街上，看到的楼房、车道，甚至是大广场，那些地面跟周围的建筑是不是都呈现出一种和谐的平行关系？要是这些平面不平行，那可就要出事儿了，想象一下，走着走着，脚下一抖，差点摔个狗吃屎，那场面可真让人哭笑不得。
好啦，咱们说说这平面与平面平行判定定理到底是个啥。
简单来说，就是如果两个平面之间的距离始终保持不变，永远不会相交，那它们就是平行的。
就好比你跟你的好朋友在同一条街上走，一左一右，始终保持着一定的距离。
再比如，老天爷给咱们安排的日出和日落，虽然一直在变，但始终不会相交，这也是一种平行。
咱们再看看数学上是怎么定义的。
一般来说，平面可以用一个点和一个法向量来描述。
这个法向量就像是平面的“身份证”，它告诉我们这个平面是怎么“站”的。
要是两个平面的法向量是成比例的，那这两个平面就是平行的。
说白了，就是这两个平面就像是一对双胞胎，长得一模一样，绝对不会跑偏。
生活中，平面与平面平行的例子比比皆是。
想想看，地铁的轨道，它们是多么完美地平行着，确保每一列车都能安全到达目的地。
再想想飞机起飞时的跑道，宽宽的，笔直笔直的，平行得让人心安。
这些都不是偶然，而是因为它们遵循了平行的法则，让我们的生活变得更有秩序。
哎呀，讲到这儿，大家可能觉得这平行的概念有点儿无趣，但我告诉你，了解这些东西可真有意思。
比如说，建筑师在设计一座大楼时，绝对得考虑到这些平行的关系。
要是设计得不够好，可能就会出现奇葩的建筑，像是“歪脖子楼”，那可就笑话了。
大家常说“千里之行，始于足下”，这平行的道理其实也能让我们在生活中走得更顺畅。
只要方向对了，努力向前，总能到达目的地。
咱们也不能忽视那些让平行的关系出错的因素。
比如说，地震来了，地面一抖，平行的轨道就可能变得不再平行。
还有些时候，天气变化也会对交通产生影响。
这就是为什么有些事情，虽然理论上是平行的，但在实际操作中却可能会出现偏差。
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。
它描述了两个平面之间的相对位置，在设计和建造中都非常重要。
在这篇文章中，我们将探讨平面与平面之间的三种不同的位置关系：平行、交叉和重合。
1. 平行关系两个平面如果不相交，而且它们的法向量平行，则被称为平行平面。
两个平面之间存在平行关系，意味着它们在空间中始终保持相同的距离。
这种关系在工程、建筑、制造和设计等领域非常常见。
在计算机图形学中，两个平行平面可以通过平移、旋转或缩放等变换来转换成相同的平面。
这种关系可以用以下公式来表示：(Pl1 // Pl2) ⇔ n1 || n2其中，Pl1 和 Pl2 表示两个平面，n1 和 n2 分别表示它们的法向量。
符号“//”表示平行关系，符号“||”表示向量平行。
2. 交叉关系交叉关系是指两个不相交的平面在某一点处相交，但在这个点的邻域内仍然不相交。
这种关系在空间几何中非常常见，例如在两个不同的墙面相交的地方。
如果两个平面的法向量不平行，则它们必须相交，除非它们的法线在同一条直线上。
这种关系可以用以下公式来表示：其中，符号“∩”表示交叉关系，符号“≠ Ø”表示它们的交点不是空集。
3. 重合关系两个完全一致的平面被称为重合平面。
这种关系在空间中很少见，但在建筑、制造和设计等领域中经常发生。
其中，“≡”表示重合关系，而“d1”和“d2”分别表示两个平面与原点之间的距离。
总结平面与平面之间的位置关系是几何学中的重要问题。
它们可以被归为三类：平行、交叉和重合。
这些关系在工程、建筑、制造和设计等行业中非常重要。
掌握这些关系的几何公式和概念，可以帮助人们更好地理解和处理空间中的问题。
平面与平面平行垂直的判定与性质
15.3 平面与平面平行、垂直的判定与性质【考纲要求】1.了解平面与平面的位置关系；2.掌握平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理；会运用这些定理证明空间两平面位置关系.【命题规律】本节内容是高考考查的重点内容，主要以棱柱、棱锥、长方体、正方体等空间几何体为载体考查面面平行、面面垂直，题型有填空题、解答题，以解答题居多，主要考查空间想象能力，推理论证能力。
【知识回顾】一.平面与平面的位置关系→→⎧⎪⎨⎧⎨⎪⎩⎩两平面平行两平面没有公共点两平面斜交两平面相交两平面有一条公共直线两平面直交 二．二面角与二面角的平面角相关概念1.半平面：一条直线将一个平面分成两个部分，每一部分叫做半平面。
2.二面角：指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形。
该直线称为二面角的棱，每个半平面称为二面角的面.3.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点作为端点；在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图所示，简记为二面角l αβ--的平面角.其范围为[0,180]o o4.直二面角：当二面角的平面角是直角时叫直二面角，也即两个半平面互相垂直。
三．平面与平面平行1.定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面，符号表示为：平面α，平面β，若αβ=∅I ，则αβ∥.2.平面与平面平行的判定定理（不要求证明）文字语言图形语言符号语言判定 定理1如果一个平面内有两条相交．．的直线都．平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”）a b a b P a b ααββαβ⊂⊂=⎫⎪⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪⎭I ∥∥∥ 判定 定理2如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行l l αβαβ⊂⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥∥αlβαaβbP βαOA Bl判定 定理3平行于同一个平面的两个平面平行αββαγγ⎫⎪⇒⎬⎪⎭∥∥∥ 注：判定定理1的推论：如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线分别平行，则两平面平行3.平面与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质 定理1如果两个平面平行，那么一个平面内的所有．．直线都平行于另一个平面（简记为“面面平行⇒线面平行”）a a αββα⇒⊂⎫⎬⎭∥∥性质 定理2如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简记为“面面平行⇒线线平行”）a ab b αβγαγβ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭I I ∥∥ 性质 定理3如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线l l αββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭∥ 问：如果两个平面平行，那么分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？ 4.两平面平行间的距离（1）两个平行平面的公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线. （2）两个平行平面的公垂线段：夹在两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段. （3）两个平行平面的距离：就是两个平行平面的公垂线段的长度. （4）两个平行平面的公垂线段都相等.四．平面与平面垂直1.定义：如果两个平面所成的二面角为直二面角，则这两个平面互相垂直，记为αβ⊥.2.平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言αlβαbγβaαaβαβγ如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直（简记为“线面垂直⇒面面垂直”）l l βααβ⎫⊥⎪⎬⊂⎪⎭⇒⊥ 注：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则两平面也垂直3.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（简记为“面面垂直⇒线面垂直”）l m m m lααβββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭I根据空间线线、线面、面面关系的判定及性质定理，可知它们的关系是可以互相转化的，这一种转化是解决位置关系的重要方法，是对立体几何中位置关系的深度体现，如图所示:六．规律与技巧1．平行中最重要的是线线平行的判定，当题目中给出中点条件时，往往隐含着中位线的信息因素，利用中位线很容易寻求线线平行．但不同三角形中的中位线效果也不一样，因此，寻求三角形的中位线也是解题的关键．对应线段成比例是平面几何中判断直线平行的重要依据，而线面平行的空间问题通过转化可变通为线线平行，因此，利用对应线段成比例寻求线线平行是一条行之有效的措施．2．立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用．事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的．3．空间垂直问题的证明不能把线孤立于面之外，要善于利用平行线平移构造，再利用线线垂直与线面垂直相互转化，完成题目的证明．4.立体几何的复习要牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面垂直(或平行)，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)．从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本．我们在复习备考中，一定要依纲靠本，抓住基础，不要把过多的时间放在偏题、怪题上．【例题精讲】1.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,其棱长为1.βαlmα βl线面关系线线关系 面面关系求证:平面1AB C ∥平面11A C D .证明：方法一：1111111111AA B B AA BB AA CC BB CC BB CC ⎫⎪=⎪⇒⎬⎪⎪=⎭∥∥∥⇒四边形11AA C C 为平行四边形 11111111AC AC AC AC D AC AC D ⇒⎫⎪⊂⎬⎪⊄⎭∥平面平面111111111AC AC DAB AC D AB C AC D AC AB A ⇒⎫⎪⇒⎬⎪=⎭I ∥平面同理，∥平面平面∥平面 方法二：易知11AA CC 和确定一个平面1AC ，于是，11111111AC A C A C AC AC AC A C AC =⎫⎪=⎬⎪⎭I I 平面平面平面平面平面∥平面111111AC ACAC AB C AC AB C ⇒⎫⎪⊄⎬⎪⊂⎭∥平面平面111111111111A C AB C A D AB C AB C A C D A C A D A ⇒⎫⎪⇒⎬⎪=⎭I ∥平面∥平面平面∥平面 2.在正文体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是棱11111111,,,A B D C D A B C 的中点. 求证：平面AMN ∥平面EFDB . 证明：如图，连接MF.,M F Q 分别是1111,A B C D 的中点，且四边形1111A B C D 为正方形，11MF A D ∴∥,又11,A D AD MF AD ∴∥∥,∴四边形ADFM 为平行四边形， AM DF ∴∥.又AM ⊄Q 平面EFDB ，同理可证，AN ∥平面EFDB. ,AM AN ⊂Q 平面AMN, AM AN A =I∴平面AMN ∥平面EFDB .3.如图所示，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面,ABC BD CE ∥,且2,CE CA BD M ==是EA 的中点. 求证：（1）DE=DA ；（2）平面MBD ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA .（1）方法一:如图,取EC 的中点F,连接DF.EC ⊥Q 平面ABC, EC BC ∴⊥. 2,CE BD BD CF =∴=Q .又,BD CE BD CF ∴Q ∥∥. ∴四边形BDFC 是平行四边形.,BC DF DF EC ∴∴⊥∥ 在Rt DEF ∆和Rt ADB ∆中,1,2EF EC BD FD BC AB ====Q Rt DEF Rt ADB DE DA ∴∆∆∴=≌.方法二:如图,取AC 中点N,连接BN 、MN ABC ∆Q 是正三角形，∴BN ⊥AC 于点N. 又∵EC ⊥平面ABC ，EC ⊂平面CAE ，∴平面ACE ⊥平面ABC ，交线为AC.∴BN ⊥平面ACE. 又∵M 、N 分别是AE 、AC 中点,∴在△ACE 中，12MN CE ∥,又BD ∥CE 且2BD=CE,∴12BD CE MN ∥∥∴四边形BDMN 是平行四边形,∴MD BN ∥ ∴DM ⊥平面ACE. 又AE ⊂平面ACE ，∴DM ⊥AE 于点M. 又∵M 是AE 中点，∴DA=DE.(2)取CA 的中点N ，连接MN 、BN ，则12MN EC ∥.又∵BD ∥EC 且EC=2BD,∴MN DB ∥MN DB.∴N 点在平面BDM 内.∵EC ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，∴EC ⊥BN. ∵△ABC 为正三角形，∴BN ⊥AC.又AC ∩EC=C ，EC ⊂平面ACE ，AC ⊂平面ACE, ∴BN ⊥平面ACE. ∵BN ⊂平面MBN,∴平面MBN ⊥平面ECA ，即平面MBD ⊥平面ECA. （3）DM ∥BN,BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA.又DM ⊂平面DEA,∴平面DEA ⊥平面ECA.4.如图所示，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC. 求证：AB ⊥BC.证明： 如图，作AH ⊥SB 于H ，连接EH 、AE ， ∵平面SAB ⊥平面SBC ， ∴AH ⊥平面SBC,∴AH ⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.SA AH 平面SAB, 又SA∩AH=A,,∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.。
两平面平行的方程关系
两平面平行的方程关系在我们的日常生活中，平面这个概念可真是无处不在，想想吧，桌子、墙壁，甚至咱们的手机屏幕，都是平面。
可是，今天咱们不聊这些日常用品，咱们要聊聊数学里的平面，特别是那些平行的平面。
平行的平面就像两个形影不离的好朋友，永远保持着一段固定的距离，绝不靠近也不远离，真是让人忍不住想多说几句。
想象一下，两个平面就像两条平行线，无论你走多远，它们的关系始终不变，似乎永远在对视，互不打扰。
这样一来，平行的平面就成了一种完美的默契，简单又直接，真的很让人向往。
说到平面方程，那可真是个有趣的玩意儿。
它们的形式其实挺简单的，像“ax + by + c = 0”这样的公式，想想，这就是平面方程的基本架构。
你看，“a”和“b”这两个小家伙，简直就像是两个人的默契配合，彼此呼应，共同构成了一个平面。
这里面可有意思了，若是“a”和“b”都有一个共同的比例关系，嘿，那这两个平面就平行了。
就好比一对好朋友，彼此总是心有灵犀，一句话也能互相懂，真是让人感到温馨。
两条平行的线，你永远不会发现它们交汇的那一刻，这种关系看似简单，却暗藏了不少哲学的意味。
咱们再来聊聊生活中的一些例子。
比如，马路两旁的车道，不管是城市的繁华还是乡村的宁静，车道始终是成对出现的，嘿，这就是生活中的平行平面啊。
车子在上面来来往往，司机们心里有数，不会因为一个红绿灯就把对面的车撞上去。
这样的平行关系，不就是一种生活的智慧吗？就像我们的人际关系，有些朋友可以一直保持距离，互不打扰，却依然能分享彼此的快乐和烦恼。
平行的平面仿佛在告诉我们，生活中有些人，离得远远的，反而能更好地欣赏彼此的美好。
再想想，平行的平面在我们的工作中也同样重要。
团队里的每一个人，各司其职，彼此之间的配合不就是一种平行吗？大家都有自己的工作，但只要目标一致，默契自然就出来了。
想象一下，如果团队里的每一个人都能像那平行的平面一样，各自为营，又彼此成全，那工作起来岂不是轻松愉快？这种感觉就像是拔河比赛，大家各自用力，却又始终保持着平衡，才是最终的胜利。
两个平面的平行度与平面度的关系
两个平面的平行度与平面度的关系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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两平面平行方程关系
两平面平行方程关系平面是我们生活中经常接触到的几何图形，平面的基本性质之一就是平行性。
两个平面如果不相交且在同一平面内，那么它们就是平行的。
本文将从平面方程的角度探讨两平面平行的方程关系。
一、平面方程平面方程是描述平面的数学式子，通常写成一般式和点法式。
一般式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量，D是平面的截距。
点法式为(x - x0)A + (y - y0)B + (z - z0)C = 0，其中(x0, y0, z0)是平面上的一个点，A、B、C是平面的法向量。
二、两平面平行的条件两个平面平行的条件是它们的法向量平行。
设平面P1的法向量为n1，平面P2的法向量为n2，则两个平面平行的条件为n1 || n2，即n1与n2平行。
三、平行平面的方程关系两个平面平行的情况下，它们的法向量平行，可以表示为n1 = k*n2，其中k是一个实数。
我们可以将平面P1的一般式写成Ax + By + Cz + D1 = 0，平面P2的一般式写成Ax + By + Cz + D2 = 0，将它们的法向量代入一般式中得到：A1x + B1y + C1z + D1 = 0A2x + B2y + C2z + D2 = 0其中A1 = k*A2，B1 = k*B2，C1 = k*C2，D1 ≠ k*D2。
两个平面的方程可以表示为一个线性方程组，我们可以通过高斯消元法求解得到它们的方程关系。
四、实例分析我们来看一个具体的例子。
设平面P1的法向量为(1, -2, 1)，平面P2的法向量为(2, -4, 2)，它们的一般式为：x - 2y + z + D1 = 02x - 4y + 2z + D2 = 0将它们的法向量代入一般式中得到：x - 2y + z + D1 = 02x - 4y + 2z + D2 = 0其中2*(x - 2y + z + D1) - (2x - 4y + 2z + D2) = 0，化简得到3D1 - D2 = 0。
平行线与平面的关系知识点总结
平行线与平面的关系知识点总结平行线与平面是几何学中重要的基本概念，它们之间有着密切的关系。
本文将对平行线与平面的相关知识点进行总结。
一、基本定义平行线：在平面内，如果两条直线在同一个平面内永不相交，则它们是平行线。
平面：平面是由无数平行线构成的。
平面也可以用一个曲面无限延伸在空间中形成。
二、平行线的性质1. 平行线的唯一性：在平面内，通过一点可以且只可以画出一条与已知直线平行的直线。
2. 平行线的传递性：若直线l与m平行，m与n平行，则l与n平行。
3. 平行线的对应角性质：当两条直线被一条截线所切割时，所得到的对应角相等。
4. 平行线的同位角性质：当两条直线被一条截线所切割时，所得到的同位角相等。
三、平行线与平面的关系1. 平行线与平面的交点：平行线与同一个平面相交于无穷远点。
2. 平面与平行线的位置关系：一个平面内的两条平行线，它们所在的平面也平行于它们。
四、平行线与平面的判定方法平行线与平面的判定方法主要有以下几种：1. 垂直线判定法：若一条直线与平面内一直线垂直，则该直线与该平面上的另一条直线平行。
2. 平行线判定法：当两线的斜率相等且截距不相等时，可以确定两条线平行。
3. 同一平面内两直线垂直于同一直线时，这两直线平行。
4. 平面内有两直线和另一条直线垂直，则这两直线平行。
五、平面与平面之间的关系平面与平面之间的关系主要有以下几种情况：1. 平面平行于另一平面。
2. 平面垂直于另一平面。
3. 平面与平面之间存在夹角。
六、应用示例平行线与平面的概念和性质在实际应用中具有广泛的运用。
以下是一些应用示例：1. 在建筑设计中，需要考虑平行线与平面的关系，以确定建筑物的结构和平面布局。
2. 在地图测量和导航系统中，平行线和平面的概念被用于确定地理位置和路线规划。
3. 在工程制图和机械设计中，平行线与平面的关系用于确定零件位置和装配要求。
综上所述，平行线与平面是几何学中的重要概念，它们之间有着密切的关系。
判定平面与平面平行的判定定理
判定平面与平面平行的判定定理平面与平面平行是几何学中重要的概念之一。
在几何学中，我们常常需要判断两个平面是否平行，以便进行相关的计算和分析。
而判定平面与平面平行的定理则提供了一个简单而有效的方法来判断平面之间的平行关系。
判定平面与平面平行的定理可分为两部分：一部分是基于平面法线的判定定理，另一部分是基于平面的斜率的判定定理。
我们来看基于平面法线的判定定理。
设有两个平面P1和P2，它们的法线向量分别为n1和n2。
如果n1与n2平行，则可判定平面P1与平面P2平行。
这是因为两个平面的法线向量平行，意味着它们的法线方向相同，从而可以推断出两个平面是平行的。
我们来看基于平面的斜率的判定定理。
设有两个平面P1和P2，它们的倾斜角分别为α1和α2。
如果α1=α2，即两个平面的倾斜角相等，则可判定平面P1与平面P2平行。
这是因为倾斜角相等意味着两个平面与某一固定平面的夹角相等，而夹角相等则说明两个平面是平行的。
通过以上两个定理，我们可以在解决平面平行相关的问题时，快速而准确地判断平面之间的平行关系。
在实际应用中，这些定理可以帮助我们解决许多问题，如求解平面的交点、平面的夹角等。
下面，我们来举一个例子来说明如何利用判定平面与平面平行的定理。
例：已知平面P1过点A(1, 2, 3)且法线向量为n1=(2, 1, -1)，平面P2过点B(3, 4, 5)且法线向量为n2=(-1, -2, 1)，判断平面P1和平面P2是否平行。
解：根据基于平面法线的判定定理，我们需要判断n1和n2是否平行。
可以通过计算两个向量的内积来判断它们是否平行。
即判断n1·n2=2*(-1)+1*(-2)+(-1)*1=0。
由于内积等于0，所以n1和n2是平行的，根据判定定理可知平面P1与平面P2是平行的。
通过这个例子，我们可以看出判定平面与平面平行的定理在实际应用中的重要性。
通过简单的计算和判断，我们可以快速得出平面之间的平行关系，为后续的计算和分析提供了便利。
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平面 与平面 有公共点吗？ // ，b // ， 若 a ，b ，a ∩ b＝P，a
平面 与平面 的位置关系是什么？ 则 // ．
P
a
b
P
a
b
推
论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行． 用符号表示为：
C
B
E G
F
1. 平面与平面的位置关系的分类(了解）；
2. 平面与平面平行的判定和性质（掌握），
并会简单应用定理．
一．判断下列命题的真假； 1．如果两个平面不相交，那么它们就没有共公点； 2．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行； 3．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，
立体几何 立 立体几何 体 立体几何 几 何 9.2.4平面与平面的平行关系
2012.9.9
观察长方体 ABCD－ABCD ，
下列各组中的两个平面有几个公共点： (1) 平面 ABCD 与平面 ABCD；
(2) 平面 ABBA 与平面 ABCD．
D A D A 不重合的两个平面． B B C C
a
b
在 直线 a，b 的位置关系是什么？
平行（平行线的定义）
例1
已知空间四边形 PABC，连结 PB，AC， 且 D，E，F 分别是棱 PA，PB，PC 的中点．
求证：平面 DEF // 平面 ABC．
证明：在△PAB 中， 因为 D，E 分别是 PA，PB 的中点， 所以 DE // AB． 又因为 DE 平面 ABC， D E
那么这两个平面平行；
4．已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线， 则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行；
5．分别在两个平面内的两条直线平行．
6．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行； 7．过平面外一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行．
二．已知长方体 ABCD－ABCD (如图)． 求证：平面 ABD // 平面 BCD． 证明： 由长方体 ABCD－ABCD 可知，
如果没有特别说明，一般我们说两个平面是指
一．平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交公 共源自点符号表示没有公共点
有一条公共直线
//
∩ ＝a
图形表示
a
问题1 如图，在平面 内，作两条相交直线 a，b， 二．平面与平面平行的判定定理． 并且 a ∩ b ＝ P，将直线 a，b 同时平移出平面 到 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个 直线 a ，b 的位置，a ∩ b ＝ P ，相交直线 a，b 平面，那么这两个平面平行． 所确定的平面记为平面 ． 用符号表示为：
例3 已知平面 // 平面 // 平面 ，且两条直线 l，m 分别 与平面 ，， 相交于点 A，B，C 和点 D，E，F． 求证：AB ＝ DE ． BC EF 证明：连接 DC，与平面 相交于点 G， 则平面 ACD 与平面 ， 分别相交于直线 AD，BG． 结论 平面 DCF 与平面 ， 分别相交于直线 GE，CF． l m 两条相交直线被三个平行 因为 // ， // ， A D 所以 BG //AD，GE //CF． 平面所截，截得的对应的线段 成比例． 所以 AB ＝ DG ， DG ＝ DE ， BC GC EF GC 因此 AB ＝ DE ． EF BC
D
A C B
又因为平面 AC ∩ ＝AD，平面 AC∩ ＝BC， // ，
所以 AD // BC，从而四边形 ABCD 是平行四边形． 所以 AB＝CD ．
结论：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等．
生活实例： 观察长方体的教室，天花板面与地面是平行 的．一个墙面分别与天花板面、地面相交所得到 的两条直线是平行的． 你能举出类似的例子吗？
P
F C B
A
所以 DE // 平面 ABC．
同理 EF // 平面 ABC． 又因为 DE ∩EF ＝E，AB ∩BC ＝B，
所以平面 DEF // 平面 ABC．
例2 已知平面 // 平面 ，AB 和 CD 为夹在
， 间的平行线段(如图)．
求证：AB ＝ CD ． 证明：连结 AD，BC， 因为 AB // CD ， 所以 AB 和 CD 确定平面 AC ．
如果 a ，b ，a ∩ b＝P，
a ，b ，a // a ，b // b ， 那么 // ？ ． P b
a
P
a
b
三．平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，
则它们的交线平行． a，b 分别在两个平行平面 ， 内， 它们有没有公共点？ 没有 a，b 都在平面 内吗？
DC // AB // AB，
DC＝AB＝AB， 所以 ABCD 是平行四边形， 所以 AD// BC． 同理 BD // BD， 所以 平面 ABD // 平面 BCD．
A
D
B
C
A
D
C B
又因为 AD ∩ BD＝D ，BD∩BC=B
书面作业：教材 P 124 ，练习 A
组第 2 题；
课外练习 ：练习 B 组第 3 题．