高考数学四海八荒易错集专题16圆锥曲线的综合问题文032

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高考数学(四海八荒易错集)专题16圆锥曲线的综合问题文

专题16 圆锥曲线的综合问题1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22D ．1 答案 C 解析如图，2．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为________．答案116解析由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，∴y A ＝14，y D ＝4.直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)， ∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝yD ＋1＝5，∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116. 3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，所以a 2－b 2＝4.①因为点B (2，2)在椭圆C 上，所以4a 2＋2b2＝1.②由①②解得，a ＝22，b ＝2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)方法一因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为(－22，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于两点E ，F ，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则点F (－x 0，－y 0)．假设在x 轴上存在点P (t,0)，使得∠MPN 为直角，则MP →·NP →＝0. 即t 2＋－22k 1＋1＋2k 2×－22k 1－1＋2k2＝0，即t 2－4＝0，解得t ＝2或t ＝－2.故存在点P (2,0)或P (－2,0)，无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角．方法二因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为(－22，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于两点E ，F ，设点E (x 0，y 0)，则点F (－x 0，－y 0)．所以直线AE 的方程为y ＝y 0x 0＋22(x ＋22)．因为直线AE 与y 轴交于点M ，令x ＝0得y ＝22y 0x 0＋22，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22y 0x 0＋22.同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22y 0x 0－22.假设在x 轴上存在点P (t,0)，使得∠MPN 为直角，则MP →·NP →＝0.故存在点P (2,0)或P (－2,0)，无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角．4．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．5.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2＝2ax 相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重合．(1)求C 1，C 2的方程；(2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为C 1，C 2的焦点重合，所以a 2－3＝a2，所以a 2＝4. 又a >0，所以a ＝2.于是椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝4x . (2)假设存在直线l 使得|PN ||MQ |＝2，则可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 4＝2k 2＋4k2，x 1x 4＝1，所以|PN |＝1＋k 2·x 1＋x 42－4x 1x 4＝＋k2k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 2＋x 3＝8k 23＋4k 2，x 2x 3＝4k 2－123＋4k2，易错起源1、范围、最值问题例1、如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝＋22＋－22＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)如图，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2aλ＋1＋λ2－1＋λ＋1＋λ2.由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.【变式探究】如图，已知椭圆：x 24＋y 2＝1，点A ，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．解 (1)依题设得椭圆的顶点A (2,0)，B (0,1)，则直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0. 设直线EF 的方程为y ＝kx (k >0)．由点D 在线段AB 上，知x 0＋2kx 0－2＝0，得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式，知点A ，B 到线段EF 的距离分别为h 1＝2k 1＋k2，h 2＝11＋k2，又|EF |＝41＋k21＋4k 2，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|EF |(h 1＋h 2)＝＋2k 1＋4k2【名师点睛】解决范围问题的常用方法：(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．【锦囊妙计，战胜自我】圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．易错起源2、定点、定值问题例2、椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解 (1)由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c2＝1.又由题意知＋c2＋12＝10，解得c 2＝1，故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－＋4k2m 2－，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝m 2－3＋4k2.①又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 23＋4k2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0，∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0， ∴m 2－4k 23＋4k 2＋m 2－3＋4k 2＋16mk3＋4k2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，由①，得3＋4k 2－m 2>0，②当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，且满足②， ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.【变式探究】已知抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 在双曲线：x 23－y 26＝1的右准线上，抛物线与直线l ：y ＝k (x －2)(k >0)交于A ，B 两点，AF ，BF 的延长线与抛物线交于C ，D 两点．(1)求抛物线的方程；(2)若△AFB 的面积等于3，求k 的值； (3)记直线CD 的斜率为k CD ，证明：k CDk为定值，并求出该定值．解 (1)双曲线：x 23－y 26＝1的右准线方程为：x ＝1，所以F (1,0)，则抛物线的方程为：y 2＝4x . (2)设A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －得ky 2－4y －8k ＝0，Δ＝16＋32k 2>0，y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－8.S △AFB ＝12×1×|y 1－y 2|＝12y 1＋y 22－4y 1y 2＝21k 2＋2＝3，解得k ＝2.(3)设C (y 234，y 3)，则FA →＝(y 214－1，y 1)，FC →＝(y 234－1，y 3)，【名师点睛】(1)动线过定点问题的两大类型及解法①动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t ＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．②动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．(2)求解定值问题的两大途径①由特例得出一个值此值一般就是定值→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．【锦囊妙计，战胜自我】1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．易错起源3、探索性问题例3、如图，抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线上一定点Q(1,2)．(1)求抛物线C 的方程及准线l 的方程；(2)过焦点F 的直线(不经过Q 点)与抛物线交于A ，B 两点，与准线l 交于点M ，记QA ，QB ，QM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)把Q (1,2)代入y 2＝2px ，得2p ＝4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，知 x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.又Q (1,2)，则k 1＝2－y 11－x 1，k 2＝2－y 21－x 2.因为A ，F ，B 共线，所以k AF ＝k BF ＝k ，即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k .所以k 1＋k 2＝2－y 11－x 1＋2－y 21－x 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－x 1＋x 2－x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝2k －2k 2＋4k2－1－2k 2＋4k2＋1＝2k ＋2，即k 1＋k 2＝2k ＋2.又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立．【变式探究】如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－2λ－k2＋－2λ－2k2＋1＝－λ－12k＋1－λ－2.【名师点睛】解决探索性问题的注意事项：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．【锦囊妙计，战胜自我】1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．1．若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足( )A．a2>b2.1a <1 bC．0<a<b．0<b<a 答案 C2．已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32 D. 3答案 D解析由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.3．已知直线AB 与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，C 是抛物线上的点，且使得CA →·CB →取最小值，抛物线在点C 处的切线为l ，则( )A ．CM ⊥AB B ．CM ⊥CBC ．CM ⊥CAD ．CM ⊥l答案 D解析如图所示，CA →·CB →＝(AM →－CM →)·(BM →－CM →)＝CM →2－(BM →＋AM →)·CM →＋AM →·BM →＝CM →2－14AB →2，当直线AB 一定时，当且仅当|CM →|取得最小值时，使得CA →·CB →取最小值，只有当CM ⊥l 时，|CM →|取得最小值，故选D.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为M ，N ，Q ，且M ，N ，Q 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3.若直线AB ，BC ，AC 的斜率之和为－1，则1y 1＋1y 2＋1y 3的值为( )A ．－12pB ．－1pC.1pD.12p答案B即⎩⎪⎨⎪⎧p y 1＝y A －y B x A －x B＝k AB ，p y 2＝y B －yC x B－x C＝k BC，p y 3＝y A －y C x A－x C＝k AC，所以1y 1＋1y 2＋1y 3＝－1p.5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 2＝3(1－x 204)(－2≤x 0≤2)．OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 2＝x 2＋x 0＋3(1－x 204)＝14(x 0＋2)2＋2.又因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值，最大值为6，故选C.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，A ，B 为左，右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若直线PA ，PB ，PO 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，记m ＝k 1k 2k 3，则m 的取值范围为________．答案 (0,22)∴0<k 3<2，∴0<m ＝k 1k 2k 3<2 2.7．已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．答案 (1,2)解析设P (x ，y )，由题设条件，得动点P 的轨迹为(x －1) (x ＋1)＋(y －2)(y －2)＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，由题意，可得2aa 2＋b2>1，即2ac>1，所以e ＝ca<2，又e >1，故1<e <2.8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．答案 (0,2)解析设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值． (1)解由已知c a ＝32，12ab ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由(1)知，A (2,0)，B (0,1)．设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝4. 故|AN |·|BM |为定值．10．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的一个焦点为F (－1,0)，左，右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)求椭圆方程；(2)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(3)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．解 (1)因为F (－1,0)为椭圆的焦点，所以c ＝1，又b 2＝3，所以a 2＝4，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y ＝x ＋1，和椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消掉y ，得到7x 2＋8x －8＝0，所以Δ＝288>0，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，所以|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝247.(3)当直线l 无斜率时，直线方程为x ＝－1，此时D (－1，32)，C (－1，－32)，△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0.当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，和椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋，。

高中数学错题精选圆锥曲线部分

圆锥曲线易错点分析圆锥曲线是高中数学的重要内容，在每年的高考中都占有较大的比例，然而其中也有许多知识点容易搞混或用错，下面摘取一些常见的错误展示出来，希同学们在学习时要引起重视。

例1、双曲线x 29 - y 216 =1上有一点P 到左准线的距离为165,则P 到右焦点的距离为。

错解：设F 1、F 2分别为由双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为x 29 - y 216=1，易求得a=3,c=5,从而离心率e ＝53 ,再由第二定义，易求|PF 1|=ed 1＝161635=⨯，于是又由第一定义6212==-a PF PF ，得|PF 2|=3166±。

剖析：以上出现两解的原因是考虑到P 而事实上P 若在右支上，则其到F 1的最短距离应为右顶点A 2到F 1的距离| A 2 F 1|＝a+c ＝8，而8316<，故点P 于是|PF 2|=3343166=+。

小结：一般地，若|PF 1| ≥ a+c,则P 可能在两支上，若|PF 1| < a+c,则P 只能在一支上。

例2、已知双曲线的一条准线方程为x=2,其相应的焦点为(8,0)离心率为32，求双曲线的方程。

错解：由48,16:,8,2222=∴===b a c ca 得,于是可求得双曲线的方程为 1481622=-y x 。

点评：看起来问题已经解决，然而离心率这个条件似乎多余，而根据求得的方程又得不到离心率为32 。

错误是显然的，那么问题在哪里呢？其实问题就在于此方程并不是标准方程，而我们把它当作了标准方程。

正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程（下略）。

由此看来，判断准方程的类型是个关键。

例3、过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有 A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条错解：设直线的方程为1+=kx y ，联立⎩⎨⎧+==142kx y x y ，得()x kx 412=+，即：01)42(22=+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。

圆锥曲线综合题高考常见题型与分析(学生)

圆锥曲线综合题高考常见题型与分析本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题,从近几年的高考试题来看,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外,在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.(1)关于圆锥曲线的方程求解,一般是由定义法求曲线的方程或由已知条件直接求曲线方程,有时也会以求轨迹的形式出现,难度中等.(2)除了方程的求解,还有如下考查内容,圆锥曲线的弦长问题、最值问题、定点定值问题、探索性问题等,考查的知识点较多,能力要求高,尤其在考查学生的运算求解变形能力上,此类问题体现的淋漓尽致,是高考试题中区分度较高的题目.(3)预测2015年的高考,对本节知识的考查仍以解答题为主,选择的载体一般是椭圆,主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题,有时会与向量的共线、模和内积等联系起来;对于方程的求解,不要忽视轨迹的求解形式,后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查,探索类和存在性问题考查的概率也很高.一、直线和圆锥曲线经典结论椭圆1. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.2. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.3. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.5. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF g ?，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b gD =. 6. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).7. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ?-，即0202y a x b K AB -=。

2024届高考数学易错题专项(圆锥曲线)练习(附答案)

2024届高考数学易错题专项(圆锥曲线)练习易错点一：求轨迹方程时忽略变量的取值范围（求动点轨迹方程）易错点二：忽略了给定条件对e范围的限定（离心率的求算）A．3B．2易错点三：易忽略判别式自身参数范围（求最值问题）易错点四：意义不明导致定点问题错误（有关直线与圆锥曲线的定点与定值问题）22x y参考答案易错点一：求轨迹方程时忽略变量的取值范围（求动点轨迹方程）2⎝⎭如图所示，过P作PB⊥准线，垂足为由抛物线定义可知PF=设直线AP为p y k x⎛⎫+=）由已知可知24y x =，则()1,0F )()(11223,,,x y B x y C x 、、()11y x k=--，【答案详解】 )0QN PN +⋅= ，可得QN QP =4QP MP ==，所以NQ QM +的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为故||||DB DA =，则||||||||DC DB -=设()11,A x y ，()22,B x y ．由题意，设直线l 的方程为6,x my =+则2164240m ∆=+⨯>，由韦达定理可得所以2412x x m +=+，36x x =，9．已知()2,0A -，()2,0B，对于平面内一动点M ，且2PM AM BM =.求点Р的轨迹C 的方程；【答案】当||2x <，22:2C x y +=；当||2x >，易错点二：忽略了给定条件对e范围的限定（离心率的求算）=，由切线长定理可知，PA PB=与双曲线6．已知直线y kxPA PB不同的一点，直线,线的离心率为（）A．3B．2 【答案】D故选：A.9．已知F为双曲线C：2 2 x a的渐近线和右支于点A，B10．已知双曲线22 :xEa-右支交于B，C两点，且则双曲线E的离心率为（又因为0AF BF ⋅=，所以AF BF ⊥所以四边形1AF BF 为矩形，设||BF t =，则||3CF t =，易错点三：易忽略判别式自身参数范围（求最值问题）故答案为：182．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若则ABC 面积的最大值为．【答案】22【详细分析】由余弦定理变形得出6AB AC +=，A 在以椭圆上，因此当A 是椭圆短轴顶点时，A 到BC 的距离最大，由此可求得三角形面积最设椭圆方程为22221x ya b+=，则所以2222b a c=-=，当A是椭圆短轴顶点时，A由椭圆的第二定义知：AO AH=【答案】(]4,7【详细分析】作点N 关于原点的对称点12EF F N =且M 、1F 、E 三点共线，故因为O 为EN 、12F F 的中点，所以，四边形1EF 所以，12//EF F N 且12EF F N =，因为12//MF F N ，故M 、1F 、E 三点共线，则MF 问题））当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x ny =+，联立得2242x ny x y =+⎧⎪⎨+⎪⎩3．已知椭圆2222:1(x yCa b+=23．因为椭圆的离心率为32，所以当直线AB 的斜率存在时，设直线将y kx m =+与2214x y +=联立，消去()(所以直线CM 的斜率为00CM y n k x m-=-可得直线CM 交x 轴于点0my nx P ⎛-设()()1122,,,,:AB A x y B x y l x =因为1F 在椭圆内部，则直线22x y ⎧设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=）当直线L与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为当直线L与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为设()00,P x y ，且000,0x y >>；易知直线PA 的斜率002PA y k x =+，所以1y +0,0.∴直线CD恒过定点()【名师点评】关键点名师点评：本题考查直线与椭圆综合应用中的直线过定点问题的求解，解题关键是能够利用中点坐标公式表示出,A B坐标，利用点在椭圆上可构造方程组整理得到,C D所满足的直线方程，根据直线CD方程可确定定点坐标.。

圆锥曲线中综合问题(题型归纳)

圆锥曲线中综合问题【考情分析】1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有：范围、最值问题，定点、定值问题，探索型问题等.2.以解答题的压轴题形式出现，难度较大，重在提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.【题型一】圆锥曲线中的最值、范围问题【典例分析】1．（2021·山东滕州一中高三模拟）已知椭圆22:143x y C +=的左顶点为A ，过其右焦点F 作直线交椭圆C 于D ，E (异于左右顶点)两点，直线AD ，AE 与直线:4l x =分别交于M ，N ，线段MN 的中点为H ，连接FH .（1）求证：FH DE ⊥；（2）求DEH △面积的最小值.【解析】（1）由已知得(1,0)F ，设()11,D x y ，()22,E x y ，直线DE 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立得()2234690m y my ++-=，122634m y y m +=-+，122934y y m =-+设直线AD 的方程为11(2)2y y x x =++，与直线:4l x =联立得1164,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理可得2264,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()()12121221212123233323339M N H my y y y y y y y y m my my m y y m y y ++⎛⎫+==+==- ⎪+++++⎝⎭，(4,3)H m ∴-，3041FH m k m --==--，当0m =时，显然DE FH ⊥；当0m ≠时，()11DE FH k k m m⨯=⨯-=-时，DE FH ⊥，综上，可得DE FH ⊥.（2）12234y y m -===+()2122121||34m DE y y m +=-=+，H 到直线DE的距离d ==(221811||234DFHm S DE d m +=⨯=+△，设2211t m t =≥⇒=-，()3322()(1)31314t t f t t t t ==≥+-+，()422233'()031t t f t t +=>+()f t ∴在[1,)+∞上单调递增，min 1()(1)4f t f ==，当1t =，即0m =时取得最小值.DEH ∴ 面积的最小值是92.2．（2021·山东省实验中学高三模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C上位于第二象限的任一点，直线l 是12F PF ∠的外角平分线，直线2PF 交椭圆C 于另一点Q ，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为N ，延长1F N 交直线2PF 于点M ，||2ON =（其中O 为坐标原点），椭圆C 的离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求1PF Q 的内切圆半径r 的取值范围.【解析】（1）由题意可得1||||F N NM =，且1||||PF PM =，所以1222||||||||||2PF PF PM PF MF a +=+==，因为O ，N 分别为线段12F F ，1F M 的中点，所以ON 为12MF F △的中位线，所以2//ON MF 且21||||22ON MF a ===，由12c a =，222a b c =+得23b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知2(1,0)F ，设直线2PF 的方程为1(0)x my m =+≠，由点P 在第二象限求得33m <.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=，由根与系数的关系得122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，所以12212121212211121||||2()42234PF Q m S F F y y y y y y m +=⋅⋅-=⨯+-+△，令2231()3t m t =+>，则221m t =-，所以12212121213(1)4313PF Q t t S t t t t===-+++△，因为13y t t=+在233t >时单调递增，所以15332y t t =+>所以11283153PF Q S t t=∈+△，又11111(||||||)4422PF Q S PF PQ QF r a r r =++⋅=⋅⋅=△，所以83045r <<，即305r <<，所以1PF Q 内切圆半径r 的取值范围是23)5.【提分秘籍】求解圆锥曲线中最值、范围问题的主要方法(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,或者不等关系,或者已知参数与新参数之间的等量关系等,则利用代数法求参数的范围.【变式演练】1．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟）已知点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 为椭圆C 上的点，以M 为圆心，MF 长为半径作圆M ，若过点(1,0)E -可作圆M 的两条切线,EA EB (,A B 为切点)，求四边形EAMB 面积的最大值.【解析】（1）根据题意椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1.所以31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得2,1a c ==，所以b =因此椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）由（1）知，()1,0E-为椭圆的左焦点，根据椭圆定义知，||||4ME MF +=，设|r MF MB ==｜，∵点E 在圆M 外，∴||4ME r r =->，∴12r ≤<所以在直角三角形MEB 中，||EB ==1||||2MEB S EB MB =⋅= ，由圆的性质知，四边形EAMB面积22MEB S S == ，其中12r ≤<.即)12S r =≤<.令()322412y r r r =-+≤<，则2682(34)y r r r r '=-+=--当413r <<时，0y '>，3224y r r =-+单调递增；当423r <<时，0y '<，3224y r r =-+单调递减.所以，在43r =时，y 取极大值，也是最大值此时maxS ==2．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线10x y ++-=与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）BMN △是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为BMN △的重心，求点B 到直线MN 距离的取值范围．【解析】（1）设椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点()2,0F c ，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆：()222x c y a -+=，所以圆心到直线10x y ++=的距离d a ==，又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以2,a c b ==，解得：2,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）设(),B m n ，设,M N 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A,B 两点，因为O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==,所以,22m n D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 距离的3倍.当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时B 在长轴的端点处.由2OB =得：1OD =,则O 到直线MN 距离为1，B 到直线MN 距离为3；当MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，则有：22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得：()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=，因为D 为,M N 的中点，所以1212,x x m y y n +=-+=-，所以121234y y mk x x n-==--，所以直线MN 的方程为3242n m m y x n ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即2268430mx ny n m +++=，所以原点O 到直线MN距离22d =.因为22143m n +=，所以223124m n =-，所以22d ===因为203n <≤，所以3<≤13≤<，所以332d ≤<综上所述，33332d ≤≤.即点B 到直线MN 距离的取值范围33,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【题型二】圆锥曲线中的定点、定值问题【典例分析】1．（2021浙江镇海中学高三模拟）已知()0,1F 且满足1PF x =+的动点(),P x y 的轨迹为C．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）如图，过点()1,0-T 的斜率大于零的直线与曲线C 交于D ，M 两点，()1,1Q -，直线DQ 交曲线C 于另外一点N ，证明直线MN 过定点．【解析】（1）∵1PF x =+，1x ≥-1x =+，等式两边平方整理得24y x =．（2）证明：设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,D x y ．由21123344y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得1313134DM y y k x x y y -==-+．所以直线DM 的方程为()11134y y x x y y -=-+，整理得()13134y y y x y y +=+（*）．因为点T 在直线上，所以134y y =①，同理直线DN 的方程为()23234y y y x y y +=+，因为点Q 在直线上，所以()23234y y y y -+=+②．由①②两式得2211444y y y y ⎛⎫-+=+⋅ ⎪⎝⎭，整理得()121244y y y y =-+-．由（*）式同理知直线MN 的方程为()12124y y y x y y +=+，所以()()1212124444y y y x y y x y y +=+=-+-，整理得直线MN 的方程为()()()12441y y y x ++=-，所以直线MN 过定点()1,4-．2．（2021·天津八中高三模拟）已知椭圆C ：2221(0)6x y b b+=>的左、右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ，P 为椭圆C 上任意一点，三角形12PF F 面积的最大值是3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点()2,0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且9,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，证明：QA QB ⋅ 为定值．【解析】（Ⅰ）由题意知226c b =-，当P 点位于椭圆C 短轴端点时，三角形12PF F 的面积S 取最大值，此时max 1232S c b bc =⨯⨯==．所以229b c =，即()2269bb -=，解得23b=．故椭圆C 的方程为22163x y +=．（Ⅱ）（方法1）当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：2x my =+交椭圆于()()1122,,,A x y B x y ．由22226x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得，()222420m y my ++-=．则12122242, 22m y y y y m m +=-=-++．而112299,,,44QA x y QB x y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以()()2121212129911144416QA QB x x y y m y y m y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()222222141211512421621616m m m m m m m --⎛⎫⎛⎫=+---+=+=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．当直线l 的斜率为0时，(A B ，则998115,0,06441616QA QB ⎫⎛⎫⋅=⋅=-+=-⎪ ⎪⎭⎝⎭ ．故QA QB ⋅ 为定值，且为1516-．（方法2）当直线l 的斜率存在时，设直线l ：()2y k x =-交椭圆于()()1122,,,A x y B x y ．由22(2)26y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得，()2222218860k x k x k +-+-=．则2122821k x x k +=+，21228621k x x k -=+．而112299,,,44QA x y QB x y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()()222121212129998112444416QA QB x x y y k x x k x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=+-++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()22222228698811242142116k k k k k k k -⎛⎫=+⋅-+⋅++⎪++⎝⎭22126818115621161616k k --=+=-+=-+．当直线l 的斜率不存在时，可求得()()2,1,2,1A B -，则991152,12,11441616QA QB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．故QA QB ⋅ 为定值，且为1516-．【提分秘籍】1.求定值问题的思路方法(1)思路:求解定值问题的基本思路是使用参数表示要解决的问题,然后证明与参数无关,这类问题选择消元的方向是非常关键的.(2)方法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.求定点问题的解题方法(1)动直线l 过定点问题:设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t 用k 表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).(2)动曲线C 过定点问题:引入参变量建立曲线C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.【变式演练】1．（2021·广东华南师范大学附属中学高三模拟）设A ，B 为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形.（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于,P Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【解析】（1）由l x ⊥轴时，AMN 为等腰直角三角形，可得||||||AF NF MF ==，所以2ba c a+=，即2220c ac a --=，故220e e --=，结合1e >，解得2e =.故双曲线C 的离心率为2.（2）因为2c e a ==，所以双曲线:C 222213x y a a-=，显然直线l 的斜率不为0，设直线:2l x my a =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线l 与双曲线C 的方程得2222213x my a x y a a=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，化简得222(31)1290m y amy a -++=，根据根与系数的关系，得2121222129,3131am a y y y y m m +=-⋅=--，①所以121224()431ax x m y y a m -+=++=-，②222221212122342()431a m a x x m y y am y y a m --⋅=⋅+++=-，③设直线:AM 11()y y x a x a =++，直线:AN 22()y y x a x a=++，令2ax =，可得121233(,),(,)22()22()ay ay a a P Q x a x a ++，设()G x y ,是以PQ 为直径的圆上的任意一点，则0PG QG ⋅=，则以PQ 为直径的圆的方程为2121233()[][]022()2()ay ay a x y y x a x a -+--=++，由对称性可得，若存在定点，则一定在x 轴上，令0y =，可得2121233()022()2()ay ay a x x a x a -+⋅=++，即2212212129()024[()]a y y a x x x a x x a -+=+++，将①②③代入，可得22222222229931()034424()3131a a a m x a m a a a a m m ⋅--+=---+⋅+--，即229(24a x a -=，解得x a =-或2x a =，所以以PQ 为直径的圆过定点(,0)a -，(2,0)a .2．（2021·山师大附中高三模拟）已知圆(22:12C x y +=，动圆M过点)D且与圆C 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）假设直线l 与轨迹E 相交于A ，B 两点，且在轨迹E 上存在一点P ，使四边形OAPB 为平行四边形，试问平行四边形OAPB 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为CD =<，所以点D 在圆内.又因为圆M 过点D 且与圆C相切，所以MC MD =，所以MC MD CD +=>.即点M 的轨迹是以C ，D 为焦点的椭圆.则2a =，即a =又因为222a b -=，所以21b =.故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：2213x y +=.（2）当直线AB 的斜率不存在时，可得直线AB 的方程为32x =±，此时32A y =，所以四边形OAPB 的面积32S =.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由22,13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得，()()222316310k x kmx m +++-=.因为直线l 与轨迹E 相交于A ，B 两点，所以()()()222222361231112310k m k m k m =-+-=-+>△.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122631kmx x k +=-+，()21223131m x x k -=+.所以()121222231my y k x x m k +=++=+.设AB 的中点为Q ，则Q 的坐标为223,3311km m k k ++⎛⎫-⎪⎝⎭.因为四边形OAPB 为平行四边形，所以22622,3131km m OP OQ k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以点P 的坐标为2262,3131km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭.又因为点Р在椭圆上，所以222262311331km m k k ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭.整理得，22431m k =+.又因为12223131AB x k k =-==++，原点О到直线AB的距离为d =所以平行四边形OAPB的面积322AOBS S AB d ==⋅== .综上可知，平行四边形OAPB 的面积为定值32.1．（2021·江苏南京师范大学附属中学高三模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，满足下列三个条件中的一个：①抛物线C 上一动点Q 到焦点F 的距离比到直线:1m x =-的距离大1；②点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7；③该抛物线C 被直线:20n x y --=所截得弦长为16.请选择其中一个条件解答下列问题.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，直线OM 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，当124k k ⋅=-时，求OMN 的面积的最小值.【解析】（1）若选择①，则抛物线C 上一动点Q 到焦点F 的距与到直线:2m x =-的距离相等，故22p=，故4p =，所以抛物线的方程为28y x =.2=72p +，解得4p =，故抛物线的方程为28y x =.若选择③，则由222y x y px=-⎧⎨=⎩可得2240y py p --=，16=，解得4p =，故抛物线的方程为28y x =.（2）设:MN x my n =+，()11,M x y 、()22,N x y ，因为MN 与抛物线C 相交于M 、N ，所以将:MN x my n =+代28y x =消去x 得：2880y my n --=，则264640m n ∆=+>且128y y m +=，128y y n ⋅=-，由题意可知111y k x =，222y k x =，所以1212122212121264644888y y y y k k y y x x y y n ⋅⋅=⋅====-⋅-⋅，所以2n =，所以OMN的面积1212122S y y y y =⨯⨯-=-=≥，当且仅当0m =时等号成立，所以OMN的面积的最小值为2．（2021·重庆第一中学高三模拟）已知A ，B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点，F 为右焦点，点P 为C 上的一点，PF 恰好垂直平分线段OB (O 为坐标原点)，32PF =.（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于M ，N 两点，若点Q 满足OQ OM ON =+(Q ，M ，N 三点不共线)，求四边形OMQN面积的取值范围.【解析】（1）由题意可知(),0F c ，(),0B a ，∵PF 恰好垂直平分线段OB ，∴2a c =，令x c =，代入22221x y a b +=得：2b y a =±，∴232b a =，∴2222232a cba abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=.（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得：()2234690m y my ++-=，∴()223636340m m ∆=++>，∴122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，设MN 的中点为E ，则2OQ OM ON OE =+=，∴MN 与OQ 互相平分，四边形OMQN 为平行四边形，∴OMQN S 平行四边形2OMN S =△12122OF y y =⨯⨯⨯-12y y =-==212134m=+，令1t =≥，则()2121211313OMQN t S t t t t==≥++平行四边形，∵11333y t t t t ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在[1,)+∞上单调递增，∴134t t+≥，∴(]120,313t t∈+，∴03OMQN S <≤平行四边形.综上所述，四边形OMQN 面积的取值范围为(0,3].3.（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一点，点P 到F 的距离比点P 到x 轴的距离大1．过点P 作抛物线C 的切线，设其斜率为0k .（1）求抛物线C 的方程；（2）直线:l y kx b =+与抛物线C 相交于不同的两点A ，B （异于点P ），若直线AP 与直线BP 的斜率互为相反数，证明：00k k +=．【解析】（1）解：设点()00,P x y ，由点P 到F 的距离比点P 到x 轴的距离大1，可得01PF y =+，即0012py y +=+，所以2p =，即抛物线C 的方程为24x y =.（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AP 的斜率为AP k ，直线BP 的斜率为BP k ，则()101010AP y y k x x x x -=≠-，()202020BP y yk x x x x -=≠-.因为直线AP 与直线BP 的斜率互为相反数，所以AP BP k k =-，即10201020y y y y x x x x --=---，又点()11,A x y ，()22,B x y 均在抛物线上，可得222200211020444x x x x x x x x --=---，化简可得1202x x x +=-，因为2114x y =，2224x y =，所以()2212124x x y y -=-，即1212124y y x x x x -+=-，故012122x y y k x x -==--，因为24x y =，所以214y x =，所以1 2y x '=，则0012k x =，故00k k +=.4．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>上有一点A ，点A 在x 轴上方，1F ，2F分别为E 的左，右焦点，当△12AF F 121sin 2AF F ∠=.（Ⅰ）求E 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 交E 于P ，Q 两点，设PQ 中点为M ，O 为坐标原点，2PQ OM =uu u r uuu r，作ON PQ ⊥，求证：ON为定值.【解析】（Ⅰ）由椭圆的性质知，△12AF F 的面积取最大时，A 为椭圆的上顶点，即(0,)A b ，而12||2F F c =，∴12121||||2AF F S F F OA bc =⋅== 121sin 2b AF F a ∠==，又222a bc =+，∴24a =，21b =，可得E 的标准方程2214x y +=.（Ⅱ）由题意，2PQ OM =uu u r uuu r且PQ 中点为M ，易得90POQ ∠=︒，即OP OQ ⊥，若直线l 斜率不存在时，P ，Q 关于x 轴对称，2PQ OM =uu u r uuu r知：横纵坐标的绝对值相等，不妨假设P 在第一象限，则(,)P m m ，(,)Q m m -在椭圆上，∴255m =，此时,M N 两点重合，即255ON =；若直线l 斜率为0时，同理可得255ON =，若直线l 斜率存在且不为0时，设直线l 为(0)y kx b b =+≠，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则11(,)OP x y = ，22(,)OQ x y =，且12120x x y y +=，联立椭圆与直线得：222(41)84(1)0k x kbx b +++-=且2216(41)0k b ∆=-+>，∴122841kb x x k +=-+，21224(1)41b x x k -=+，即2222222221212122224(1)84()414141k b k b b k y y k x x kb x x b b k k k --=+++=-+=+++，∴222222224(1)45440414141b b k b k k k k ----+==+++，即||b =.∴||5ON==，为定值.5．（2021·天津南开中学高三模拟）已知点A，B分别为椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左顶点和上顶点，且坐标原点O到直线AB 的距离为61313，椭圆E的离心率是方程2650x-+=的一个根.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若(3,0)P，过P作斜率存在的两条射线PM，PN，交椭圆E于M，N两点，且PM PN⊥，问：直线MN经过定点吗？若经过，求出这个定点坐标；若不经过，说明理由.【解析】（1）因为椭圆E的离心率是方程2650x-+=的一个根，所以2e=或3e=.因为椭圆E的离心率(0,1)e∈，所以53e=.因为3ca=，所以2295a c=，所以222245b ac c=-=，因为点A，B分别为椭圆E的左顶点和上顶点，所以||AB===.因为坐标原点O到直线AB 的距离为61313，所以11||22ab AB=，=⨯，所以c=，所以29a=，24b=，所以椭圆E的标准方程为22194x y+=.（2）当直线MN的斜率存在时，设MN：y=kx+m，由22194y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元并化简得222(49)189360k x kmx m+++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1221849km x x k +=-+，212293649m x x k-=+，又(3,0)P ，PM PN ⊥，所以1212133y yx x ⋅=---，所以1212123()9()()0x x x x kx m kx m -+++++=，即221212(1)(3)()(9)0k x x km x x m ++-+++=，所以2222293618(1)(3)(9)04949m kmk km m k k--++-++=++，所以2222(1)(936)(3)(18)(9)(49)0k m km km m k +-+--+++=，即224554130k km m ++=，所以30k m +=或15130k m +=，当30k m +=时，(3)y k x =-，此时M ，N ，P 重合，舍去.当15130k m +=时，15(13y k x =-，恒过点15(,0)13.当直线MN 的斜率不存在时，MN ⊥x 轴，设(),3M t t -，则()223194t t -+=，解得1513t =，所以此时直线MN 也过点15(,0)13.所以直线MN 恒过定点15(,0)13.6.（2021·湖南长郡中学高三模拟）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线为l .设过点F 且不与x 轴平行的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 作直线垂直于l ，垂足为N ，直线MN 与抛物线C 交于点P .（1）求证：点P 是线段MN 的中点.（2）若抛物线C 在点P 处的切线与y 轴交于点Q ，问是否存在直线m ，使得四边形MPQF 是有一个内角为60︒的菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：由题意知直线m 的斜率存在且不为0，故设直线m 的方程为1(0)y kx k =+≠，代入24x y =，并整理得2440x kx --=.所以216160k ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.设()00,M x y ，则12022x x x k +==，200121y kx k =+=+，即()22,21M k k +.由MN l ⊥，得(2,1)N k -，所以MN 中点的坐标为()22,k k.将2x k =代入24x y =，解得2y k =，则()22,P k k ，所以点P 是MN 的中点.（2）由24x y =，得24x y =，则'2x y =，所以抛物线C 在点()22,P k k的切线PQ 的斜率为k ，又由直线m 的斜率为k ，可得m PQ ∥；又M N y ∥轴，所以四边形MPQF 为平行四边形.而||MF ==()222||211MP k k k =+-=+，由||||MF MP =，得21k =+，解得3k =±，即当3k =±时，四边形MPQF 为菱形，且此时2||1||||PF k MP MF ==+==，所以60PMF ∠=︒，直线m 的方程为13y x =±+，2即0x +=或0x +=，所以存在直线m ，使得四边形MPQF 是有一个内角为60︒的菱形.。

高考数学试题汇编第六节圆锥曲线的综合问题文(含解析)

第六节圆锥曲线的综合问题与圆锥曲线有关的最值、范围问题考向聚焦高考常考内容,主要结合直线与圆锥曲线的位置关系,平面向量等知识综合命题,考查有关最值、范围等问题,考查观察、分析问题的能力,考查等价转化思想和全面认识问题的能力.基本上以解答题形式出现,难度大,所占分值12分左右备考指津训练题型:(1)从特殊位置确定最值,主要训练分析问题的能力及逻辑推理能力;(2)通过研究直线与圆锥曲线位置关系求最值或范围,主要对转化能力和函数与方程思想、数形结合思想的应用的训练1.(2012年山东卷,文21,13分)如图,椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8.(1)求椭圆M的标准方程;(2)设直线l:y=x+m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求的最大值及取得最大值时m的值.解:(1)∵e==,∴1-=,∴=,∴a=2b,①∵矩形ABCD的面积为8,∴4ab=8,∴ab=2,②由①②解得a=2,b=1,∴椭圆M的标准方程为+y2=1.(2)由消去y整理得,5x2+8mx+4m2-4=0,由Δ=64m2-80(m2-1)=80-16m2>0得-<m<,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-m,x1x2=∴|PQ|====(-<m<)线段CD的方程为y=1(-2≤x≤2),线段AD的方程为:x=-2(-1≤y≤1).①不妨设点S在AD边上,T在CD边上,则1≤m<,S(-2,m-2),D(-2,1) ∴|ST|=|SD|=[1-(m-2)]=(3-m)∴=×令t=3-m(1≤m<)则m=3-t,t∈(3-,2]∴===∵t∈(3-,2]∴∈[,),∴当=即t=时,取到最大值,此时m=.②不妨设点S在AB边上,T在CD边上,此时,-1≤m≤1因此|ST|=|AD|=2,=∴m=0时,取到最大值.③不妨设点S在AB边上,T在BC边上,-<m≤-1由椭圆和矩形的对称性知,取得最大值,此时m=-,综上,当m=±或m=0时,取得最大值.本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系,考查学生数形结合、分类讨论及利用函数求最值,考查学生的推理论证及运算求解能力,难度较大,综合性较强.2.(2012年浙江卷,文22,14分)如图,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.(1) 求p,t的值;(2)求△ABP面积的最大值.解:(1)由题意知得.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m). 由题意知,设直线AB的斜率为k(k≠0).由故(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故k·2m=1,所以直线AB方程为y-m=(x-m).即x-2my+2m2-m=0.由消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.从而|AB|=·|y1-y2|=·.设点P到直线AB的距离为d,则d=.设△ABP的面积为S,则S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1.令u=,0<m≤,则S=u(1-2u2).设S(u)=u(1-2u2),0<u≤,则S'(u)=1-6u2.由S'(u)=0,得u=∈(0,),所以S(u)max=S()=.故△ABP面积的最大值为.本题把直线与抛物线以及三角形的面积与函数结合在一起考查,题目背景新颖,知识综合应用能力较强.3.(2011年上海卷,文22)已知椭圆C:+y2=1(常数m>1),P是曲线C上的动点,M是曲线C的右顶点,定点A的坐标为(2,0),(1)若M与A重合,求曲线C的焦点坐标;(2)若m=3,求|PA|的最大值与最小值;(3)若|PA|的最小值为|MA|,求实数m的取值范围.解:(1)若M与A重合,则M(2,0),∴m=2,∴椭圆C的方程为+y2=1,c==,曲线C的焦点坐标为(-,0)、(,0).(2)若m=3,则C:+y2=1,设P(x,y)(-3≤x≤3),|PA|2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1-=-4x+5=(x-)2+,∵-3≤x≤3,∴当x=时,|PA=,当x=-3时,|PA=25.∴当x=时,|PA|min=,当x=-3时,|PA|max=5.(3)设动点P(x,y)(-m≤x≤m),则|PA|2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1-=(x-)2-+5,∵当x=m时,|PA|取最小值,且>0,∴≥m且m>1,解得1<m≤1+.4.(2011年湖南卷,文21)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1,(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C 相交于点D,E,求·的最小值.解:(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意有-|x|=1.化简得y2=2x+2|x|.当x≥0时,y2=4x;当x<0时,y=0.所以,动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).由,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=2+,x1x2=1.因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-.设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.故·=(+)·(+)=·+·+·+·=||·||+||·||=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1=8+4(k2+)≥8+4×2=16.当且仅当k2=,即k=±1时,·取最小值16.5.(2010年湖南卷,文19)为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8 km的A,B 两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图),考察范围为到A,B两点的距离之和不超过10 km的区域.(1)求考察区域边界曲线的方程;(2)如图所示,设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 km,以后每年移动的距离为前一年的2倍,问:经过多长时间,点A恰好在冰川边界线上?解:(1)设考察区域边界曲线上点P的坐标为(x,y),则由|PA|+|PB|=10>8知,点P在以A,B为焦点,长轴长为2a=10的椭圆上,此时短半轴长b==3,所以考察区域边界曲线的方程为+=1.(2)由题意知冰川边界线每年平行移动的距离构成以0.2为首项,2为公比的等比数列,易知过点P1,P2的直线方程为4x-3y+47=0,因此点A到直线P1P2的距离为d==.设经过n年,点A恰好在冰川边界线上,则利用等比数列求和公式可得=,解得n=5,即经过5年,点A恰好在冰川边界线上.6.(2010年北京卷,文19)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-,0),(,0),离心率是.直线y=t与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P.(1)求椭圆C的方程;(2)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;(3)设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值.解:(1)因为由题意知=,且c=,所以a=,b==1,所以椭圆C的方程为+y2=1,(2)由题意知P(0,t)(-1<t<1),由,得x=±,所以圆P的半径为,当圆P与x轴相切时,|t|=.解得t=±.所以圆心P的坐标是(0,±).(3)由(2)知,圆P的方程为x2+(y-t)2=3(1-t2), 因为点Q(x,y)在圆P上,所以y=t ±≤t+.设t=cos θ,θ∈(0,π),则t+=cos θ+sin θ=2sin(θ+). 当θ=,即t=,且x=0时,y取最大值2.与圆锥曲线有关的定值、定点问题考向聚焦高考常考内容,高考中主要涉及与圆锥曲线中的“常数”,直线过定点等有关的定值、定点问题,综合性比较强,主要考查观察、分析问题的能力和转化与化归思想的应用,主要出现在解答题中,难度较大,所占分值12~14分7.(2012年福建卷,文21,12分)如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点.解:(1)由题意知|OB|=8,∠BOy=30°,设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=4,y=|OB|cos 30°=12,∵B(4,12)在x2=2py上,∴(4)2=2×12p,解得p=2,∴抛物线E的方程为x2=4y.(2)由(1)知y=x2,y'=x,设P(x0,y0)则x0≠0,l的方程为:y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-,由得,∴Q(,-1).设M(0,y1),令·=0对满足y0=(x0≠0)的x0,y0恒成立,由于=(x0,y0-y1),=(,-1-y1),由·=0得-y0-y0y1+y1+=0,即(+y1-2)+(1-y1)y0=0对满足y0=(x0≠0)的y0恒成立,∴,∴y1=1,∴以PQ为直径的圆经过y轴上的定点(0,1).本题主要考查抛物线的标准方程求法,圆的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、逻辑推理能力、数形结合思想、化归与转化思想,属于难题. 8.(2011年四川卷,文21)过点C(0,1)的椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;(2)当点P异于点B时,求证:·为定值.解:(1)由已知得b=1,=,解得a=2.∴椭圆方程为+y2=1,椭圆的右焦点为(,0),此时直线l的方程为y=-x+1,代入椭圆方程化简得7x2-8x=0,可得D(,-),故|CD|==.(2)当直线l与x轴垂直时与题意不符.所以直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0且k≠),代入椭圆方程化简得(4k2+1)x2+8kx=0,求得D(,),又直线AC的方程为+y=1,直线BD的方程为y=(x+2),联立解得,因此Q点坐标为(-4k,2k+1).又P(-,0),∴·=(-,0)·(-4k,2k+1)=4,故·为定值.9.(2010年江苏卷,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.(1)设动点P满足|PF|2-|PB|2=4,求点P的轨迹;(2)设x1=2,x2=,求点T的坐标;(3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).(1)解:由题知F(2,0),B(3,0),A(-3,0).设P(x,y),则(x-2)2+y2-(x-3)2-y2=4,化简得x=.故所求点P的轨迹为直线x=.(2)解:∵+=1,∴x1=2时,y1=±,x2=时,y2=±,∵y1>0,y2<0,∴M(2,),N(,-).又A(-3,0),B(3,0),∴直线AM的方程为y=(x+3),①直线BN的方程为y=(x-3),②由①②得,即T(7,).(3)证明:∵T(9,m),∴直线TA的方程为y=(x+3),直线TB的方程为y=(x-3).由,得, 即M(-,).由,得,即N(,-).若x1=x2,则由-=及m>0得m=2.此时直线MN的方程为x=1,过点(1,0). 若x1≠x2,则m≠2,直线MN的方程为y+=·[x-],化简得y+=-[x-].令y=0,得x=1,即直线MN过点(1,0), 综上,直线MN过x轴上定点(1,0).开放性问题考向聚焦高考常考内容,主要是考查(1)探究圆锥曲线内,各量之间的关系;(2)存在性问题,一般以解答题形式出现,难度大,所占分值12~14分10.(2012年湖北卷,文21,14分)设A 是单位圆x2+y2=1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).当点A 在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(2)过原点斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,且它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)如图(1),设M(x,y),A(x0,y0),则由|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1),可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=|y|.①因为A点在单位圆上运动,所以+=1.②将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2+=1(m>0,且m≠1).因为m∈(0,1)∪(1,+∞),所以当0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(-,0),(,0);当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(0,-),(0,).(2)法一:如图(2)、(3),∀k>0,设P(x1,kx1),H(x2,y2),则Q(-x1,-kx1),N(0,kx1)直线QN的方程为y=2kx+kx1,将其代入椭圆C的方程并整理可得(m2+4k2)x2+4k2x1x+k2-m2=0.依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由韦达定理可得-x1+x2=-,即x2=.因为点H在直线QN上,所以y2-kx1=2kx2=,于是=(-2x1,-2kx1),=(x2-x1,y2-kx1)=(-,).而PQ⊥PH等价于·==0,即2-m2=0,又m>0,得m=,故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH.法二:如图(2)、(3),∀x2∈(0,1),设P(x1,y1),H(x2,y2),则Q(-x1,-y1),N(0,y1),因为P,H两点在椭圆C上,所以两式相减可得m2(-)+(-)=0.③依题意,由点P在第一象限可知,点H也在第一象限,且P,H不重合,故(x1-x2)(x1+x2)≠0,于是由③式可得=-m2.④又Q,N,H三点共线,所以k QN=k QH,即=.于是由④式可得k PQ·k PH=·=·=-.而PQ⊥PH等价于k PQ·k PH=-1,即-=-1,又m>0,得m=,故存在m=,使得在其对应的椭圆x2+=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH.本题是一个椭圆模型,第一问需要注意讨论椭圆焦点的位置,不要误认为只可能在x轴上,考查了分类讨论的能力;第二问是一个探讨性问题,探讨性问题一直是高考考查的热点,一般难度较大,作为压轴题出现.11.(2011年浙江卷,文22)如图,设P是抛物线C1:x2=y上的动点.过点P作圆C2:x2+(y+3)2=1的两条切线,交直线l:y=-3于A,B两点.(1)求圆C2的圆心M到抛物线C1准线的距离;(2)是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)因为抛物线C1的准线方程为y=-,所以圆心M到抛物线C1准线的距离为|--(-3)|=.(2)设点P的坐标为(x0,),抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D. 再设A,B,D的横坐标分别为x A,x B,x D,过点P(x0,)的抛物线C1的切线方程为y-=2x0(x-x0),①当x0=1时,过点P(1,1)与圆C2的切线PA为y-1=(x-1).切线PB为x=1,可得x A=-,x B=1,x D=-1,x A+x B≠2x D,当x0=-1时,过点P(-1,1)与圆C2的切线PB为y-1=-(x+1),切线PA为x=-1,可得x A=-1,x B=,x D=1,x A+x B≠2x D.所以-1≠0.设切线PA,PB的斜率分别为k1、k2(k1≠0,k2≠0),则PA:y-=k1(x-x0).②PB:y-=k2(x-x0).③将y=-3分别代入①,②,③得x D=(x0≠0);x A=x0-;x B=x0-,从而x A+x B=2x0-(+3)(+).又=1,即(-1)-2(+3)x0k1+(+3)2-1=0,同理(-1)-2(+3)x0k2+(+3)2-1=0.所以k1,k2是方程(-1)k2-2(+3)x0k+(+3)2-1=0的两个不相等的根,从而k1+k2=,k1·k2=,因为x A+x B=2x D,所以2x0-(3+)(+)=,即+=.从而=,进而得=8,x0=±.综上所述,存在点P满足题意,点P的坐标为(±,2).12.(2011年辽宁卷,文21)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e.直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1)设e=,求|BC|与|AD|的比值;(2)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.解:(1)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设C1:+=1,C2:+=1(a>b>0).设直线l:x=t(|t|<a),分别与C1,C2的方程联立,求得A(t,),B(t,).当e=时,b=a,分别用y A,y B表示A,B的纵坐标,可知|BC|∶|AD|===.(2)t=0时的l不符合题意.t≠0时,BO∥AN当且仅当BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等,即=,解得t=-=-·a.因为0<|t|<a,所以0<<1,又0<e<1,解得<e<1.所以当0<e≤时,不存在直线l,使得BO∥AN;当<e<1时,存在直线l,使得BO∥AN.13.(2010年浙江卷,文22)已知m是非零实数,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F在直线l:x-my-=0上,(1)若m=2,求抛物线C的方程;(2)设直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A1,B1,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.(1)解:因为焦点F(,0)在直线l上,得p=m2,又m=2,故p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)证明:因为抛物线C的焦点F在直线l上, 所以p=m2.所以抛物线C的方程为y2=2m2x.设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去x得y2-2m3y-m4=0,由于m≠0,故Δ=4m6+4m4>0,且有y1+y2=2m3,y1y2=-m4.设M1,M2分别为线段AA1,BB1的中点,由于2=,2=,可知G(,),H(,),所以==+,=.所以GH的中点M(+,).设R是以线段GH为直径的圆的半径,则R2=|GH|2=(m2+4)(m2+1)m4.设抛物线的准线与x轴交点N(-,0).|MN|2=(++)2+()2=m4(m4+8m2+4)=m4[(m2+1)(m2+4)+3m2]>m4(m2+1)(m2+4)=R2.故N在以线段GH为直径的圆外.圆锥曲线间的综合问题考向聚焦高考常考内容,主要涉及椭圆、双曲线和抛物线以及圆,考查它们的几何性质,多以选择题或填空题形式出现,难度中档,有时以解答题形式出现,难度较大,所占分值5~12分14.(2012年浙江卷,文8,5分)如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )(A)3 (B)2 (C)(D)解析:本题主要考查椭圆与双曲线的离心率的求法.设椭圆的长轴是2a,焦距是2c,双曲线的实轴是2 m,所以m=a,所以e1=,e2==,所以=2.故选B.答案:B.15.(2012年山东卷,文11,5分)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x 2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )(A)x2=y (B)x2=y(C)x2=8y (D)x2=16y解析:本题考查双曲线的离心率、渐近线等基础知识,∵e=2,∴e2=1+=4,∴=±,∴双曲线的渐近线方程为:y=±x即:±x+y=0,又抛物线x2=2py(p>0)的焦点为(0,),故=2,即p=8,故抛物线C2方程为x2=16y.答案:D.本题考查双曲线的离心率,渐近线及抛物线方程的求法,考查学生的推理能力及运算能力,难度适中.16.(2011年浙江卷,文9)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则( )(A)a2=(B)a2=13(C)b2=(D)b2=2解析:由已知双曲线渐近线方程为y=±2x.圆的方程为x2+y2=a2,则|AB|=2a.不妨取y=2x与椭圆交于P、Q点,且P在x轴上方,则由已知|PQ|=|AB|=,∴|OP|=.则点P坐标为(,),又∵点P在椭圆上,∴+=1,①又∵a2-b2=5,∴b2=a2-5.②解①②得.故选C.答案:C.17.(2011年天津卷,文6)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )(A)2(B)2(C)4(D)4解析:由交点(-2,-1)得-=-2,∴p=4,∴抛物线方程为y2=8x,∴抛物线的焦点为F(2,0),又a+=a+2=4,∴a=2,又∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,且过(-2,-1),∴a-2b=0,∴b=1,∴c2=a2+b2=5,∴c=,2c=2.故选B.答案:B.18.(2010年北京卷,文13)已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.解析:椭圆+=1的焦点F1(-4,0),F2(4,0)也是双曲线的焦点,∴c=4,又e=2==,∴a=2,则b2=c2-a2=16-4=12,∴b=2,渐近线方程为y=±x=±x.答案:(±4,0) y=±x19.(2012年新课标全国卷,文20,12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C 上一点.已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解:(1)由△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p,由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p,由△ABD的面积为4,所以|BD|·d=4,即×2p×p=4,解得p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)由题意A、B、F三点共线于直线m,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°,由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,故∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m=时,可设n为y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0,由n与C只有一个公共点,令Δ=p2+8pb=0,得b=-.又m的截距为b1=,=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.同理,m=-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.20.(2012年广东卷,文20,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.解:(1)由椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上,可得,∴.故椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由题意分析,直线l斜率存在且不为0,设其方程为y=kx+b,由直线l与抛物线C2相切得消y得k2x2+(2bk-4)x+b2=0,Δ1=(2bk-4)2-4k2b2=0,化简得kb=1.①由直线l与椭圆C1相切得消y得(2k2+1)x2+4bkx+2b2-2=0,Δ2=(4bk)2-4(2k2+1)(2b2-2)=0,化简得2k2=b2-1.②①②联立得,解得b4-b2-2=0,∴b2=2或b2=-1(舍),∴b=时,k=,b=-时,k=-.即直线l的方程为y=x+或y=-x-.本题考查了直线与椭圆、直线与抛物线相切的位置关系,良好的计算能力是解答本题的关键.21.(2012年上海数学,文22,16分)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1.(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点.若|MF|=2,求点M的坐标;(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(3)设斜率为k(|k|<)的直线l交C于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ. 解:(1)由2x2-y2=1知F(-,0),设M(x,y),则由②得y2=2x2-1代入①得x2+x++2x2-9=0.即3x2+x-=0,解得x==.x1=-(舍去),x2=.将x2=代入②得y2=2⇒y=±,∴M(,)或(,-).(2)左顶点A(-,0),渐近线方程为y=±x.过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y-0=(x+),即y=x+1,由⇒B(-,),∴S四边形=2×|OA|·y B=|OA|·y B=×=.(3)设l为y=kx+b,(|k|<),由l与x2+y2=1相切知:=1,即b2=1+k2,将l:y=kx+b代入2x2-y2=1得2x2-(kx+b)2=1,即(2-k2)x2-2kbx-(b2+1)=0.设P(x1,kx1+b),Q(x2,kx2+b),则其中①显然成立·=(x1,kx1+b)·(x2,kx2+b)=x1x2+k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=++b2===0.∴⊥,即OP⊥OQ.本题的难点是直线与圆锥曲线的位置关系.两个方程联立后利用韦达定理得出x1+x2,以及x1·x2.证明OP⊥OQ,也就是证·=0,利用坐标代入即可.22.(2012年湖南卷,文21,13分)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆 E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.(1)求椭圆E的方程;(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2,当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.解:(1)由x2+y2-4x+2=0得(x-2)2+y2=2,故圆C的圆心为点(2,0).从而可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),其焦距为2c,由题设知c=2.e==,所以a=2c=4,b2=a2-c2=12.故椭圆E的方程为+=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1,l2的方程分别为l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且k1k2=.由l1与圆C:(x-2)2+y2=2相切得=.即[(2-x0)2-2]+2(2-x0)y0k1+-2=0.同理可得[(2-x0)2-2]+2(2-x0)y0k2+-2=0.从而k1,k2是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+-2=0的两个实根.于是①且k1k2==.由得5-8x0-36=0,解得x0=-2,或x0=.由x0=-2得y0=±3;由x0=得y0=±,它们均满足①式.故点P的坐标为(-2,3),或(-2,-3),或(,),或(,-).23.(2012年辽宁卷,文20,12分)如图,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆C2:+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点.(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积;(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.解:(1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|由+=1得=1-,从而=(1-)=-(-)2+,当=,=时,S max=6,从而t=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为6.(2)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知直线AA1的方程为y=(x+3),①直线A2B的方程为y=-(x-3)②由①②得y2=-(x2-9)③又点A(x0,y0)在椭圆C上,故=1-④将④代入③得-y2=1(x<-3,y<0).因此点M的轨迹方程为-y2=1(x<-3,y<0).24.(2010年江西卷,文21)如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2:+=1(a>b>0)的两个焦点.(1)求椭圆C2的离心率;(2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.解:(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),所以c2+b×0=b2,即c2=b2,又a2=b2+c2=2c2,所以椭圆C2的离心率e=.(2)由(1)可知a2=2b2,椭圆C2的方程为+=1.联立抛物线C1的方程x2+by=b2,得2y2-by-b2=0,解得y=-或y=b(舍去),所以x=±b,即M(-b,-),N(b,-),所以△QMN的重心坐标为(1,0).因为重心在C1上,所以12+b×0=b2,得b=1.所以a2=2.所以抛物线C1的方程为x2+y=1,椭圆C2的方程为+y2=1.(2011年山东卷,文22)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+y2=1.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3,m).(1)求m2+k2的最小值.(2)若|OG|2=|OD|·|OE|,①求证:直线l过定点;②试问点B,G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由. 难题特色:直线与椭圆的位置关系,圆的方程、定点、中点坐标、不等式等知识综合命题,涉及知识多,解题方法不易确定,计算难度大.难点突破:(1)可设直线l方程为y=kx+t与椭圆方程联立,用“设而不求法”表示出y1+y2,x1+x2,从而表示出x E,y E和直线OE方程,得到m、k的关系.(2)①由OD方程与椭圆方程联立,求得G点坐标,求|OG|、|OD|、|OE|建立关于t、k方程,求得t、k关系.②先假设B、G关于x轴对称,再推理证明存在性成立.再设出圆心坐标,运用两点距离公式列方程可求出△ABG的外接圆方程.(1)解:设直线l的方程为y=kx+t(k>0).由题意知t>0.由方程组得(3k2+1)x2+6ktx+3t2-3=0.由题意知Δ>0,所以3k2+1>t2.设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x E,y E),由根与系数的关系得x1+x2=-,所以y1+y2=.因为E为线段AB的中点,所以x E=-,y E=,此时k OE==-.所以OE所在直线的方程为y=-x.由题意知D(-3,m)在直线OE上,所以m=,即mk=1,所以m2+k2≥2mk=2,当且仅当m=k=1时上式等号成立.此时由Δ>0及t>0,得0<t<2.因此当m=k=1且0<t<2时,m2+k2取最小值2.(2)①证明:由(1)知OD所在直线的方程为y=-x, 将其代入椭圆C的方程,并由k>0,解得G(-,).又E(-,),D(-3,),由距离公式及t>0得|OG|2=(-)2+()2=,|OD|==,|OE|==,由|OG|2=|OD|·|OE|得t=k.因此直线l的方程为y=k(x+1).所以直线l恒过定点(-1,0).②解:由①得G(-,),若点B,G关于x轴对称,则B(-,-).将点B的坐标代入y=k(x+1),整理得3k2-1=k,即6k4-7k2+1=0,解得k2=或k2=1.又因为3k2-1>0,即k2>,所以k2=1,所以k=1.此时B(-,-),G(-,)关于x轴对称.由(1)得x1=0,y1=1,所以A(0,1).由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上,可设△ABG的外接圆的圆心为(d,0),因此d2+1=(d+)2+,解得d=-,故△ABG的外接圆的半径为=.所以△ABG的外接圆的方程为(x+)2+y2=.(2010年福建卷,文19,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA 与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解:(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2.2分故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.4分第(1)问赋分细则:(1)方法对,计算错扣1分;(2)未写出“抛物线方程y2=4x”扣1分;(3)没写出结论“准线方程为x=-1”扣1分.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,6分所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.8分又由直线OA与l的距离d=可得=,解得t=±1.10分因为-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞),所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.12分第(2)问赋分细则:(1)没有写出“假设存在”扣1分;(2)没有判断“Δ≥0”扣2分;(3)思路正确,计算错误扣1分,如t的范围求错;(4)没计算d值,后面求不出t=±1得前面的8分;(5)未排除“t=-1”扣1分;(6)没有写出“符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0”扣1分.通过高考阅卷统计分析,造成失分的原因如下:(1)解题步骤不全,跨过得分点,如未写出假设存在符合条件的直线等;(2)计算失误,致使结论错误;(3)没有注意判别式Δ≥0的限制;(4)考虑问题不全面,不知道由直线OA与d的距离求t;(5)第(2)问结论写不全.。

高二数学圆锥曲线的综合问题

二次构造柱泵双联泵组液压系统为双回路分开供油，主油泵采用变量柱塞泵，保证系统运行平稳、可靠，并可自动和手动调节排量，具有压力切断和超压溢流特性，使主泵和原动机得到有效保护，吸（回）油过滤采用吸（回）过滤，使液压油得到可靠洁，保证系统正常运行，延长液压系统元件的使用寿命强制风冷散热系统搅拌油路系统采用强制风冷，大散热器装置，能更好地适应现场环境，保证液压系统油温处于正常工作范围，从而保障主机液压系统处于正常的工作状态。

液压系统一泵双回路开泵采用恒功率变量柱塞泵，保证系统运行平稳、可靠，并可手动调节排量，具有压力切断和超压溢流特性，使主泵和原动机得到有效保护。

二次构造柱上料机二次构造柱上料机操作运行前的检查试运行前应先用手盘动联轴器或轴，检查转向是否正确，活，如盘不动或有异常声音，应及时检查，检查时先从外部用手检查联轴器是否水平，从轴承座上的油镜孔处查看润滑油的位置是否在油镜的中心线附近(太多应放掉一些，太少应加上一些),边检查边盘动，如果问题依然存在，就要拆泵检查，(拆泵时请上的结构简图和拆装程序)清理异物。

二次构造柱上料机开车步骤将泵内灌满液体及时打开进口阀门(如进口阀门为单向止回阀，就不需要人工操作)接通电源再打开出口阀门。

开始泵送时，混凝土泵应处于慢速、匀速运行的状态，然后逐渐加速。

同时应观察混凝土泵的压力和各系统的工作情况，待各系统工作正常后方可以正常速度泵送。

4、混凝土泵送工作尽可能连续进行，混凝土缸的活塞应保持以*行程运行，以便发挥混凝能，并可使混凝土缸在长度方向上的磨损均匀5、混凝土泵若出现压力过高且不稳定、油温升高。

输送管明显振动及泵送困难等现象时，不得强行泵送，应立即查明原因予以排除。

可先用木槌敲击输送管得弯管。

锥形管等部位，并进行慢速泵送或反泵，6、当出现堵塞时，应采取下列方法排除：①重复进行反泵和正泵运行，逐步将混凝土吸出返回至料斗中，构造注浇筑作用：与圈梁共同形成封闭的空间骨架加强墙体抗弯、抗剪能力。

高考数学圆锥曲线的综合问题素材新人教版

圆锥曲线的综合问题一、知识点与方法：1、直线与圆锥曲线的位置关系主要有三种：相离、相切、相交；2、判断位置关系的主要方法：联立方程法和数形结合法；3、弦长公式：1221x x k AB 。

二、经典例题例1求曲线方程：过定点2,0A 的动直线与抛物线2x y 交与两个不同点N M ,，求MN 中点P 的轨迹方程。

例2、直线与圆锥曲线的位置关系已知直线11x a y 与曲线ax y 2恰有一个公共点，求实数a 的值。

例3、中点弦及弦长问题在椭圆16422y x 中，求通过点1,2M 且被这点平分的弦所在的直线的方程和弦长。

例4、圆锥曲线中的范围问题已知椭圆0,12222b a b y a x 与直线01y x 相交于B A,两点，椭圆的离心率为e 。

⑴33,32e ca 时，求AB 的长度及AB 中点的坐标；⑵当02233OB OA e 并且（o 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围。

练习：1、在平面直角坐标系中，经过点2,0且斜率为k 的直线l 与椭圆1222y x 有两个不同的交点P 和Q 。

⑴求k 的取值范围；⑵设椭圆与x 轴正半轴,y 轴正半轴的交点分别为A,B.是否存在常数k ，使得向量OQ OP 与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由。

2、已知双曲线1322x y 的两焦点为21,F F ,动点P 与21,F F 距离之和为大于4的定值，且21PF PF 的最大值为9.⑴求动点P 的轨迹E 的方程；⑵若A,B 是曲线E 上相异两点，点1,0M 满足MB AM ，求实数的取值范围。

3、已知圆81:22y xC ，定点0,1A ，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上,且满足0,2AM NP AP AM ，点N 的轨迹为曲线E 。

⑴求曲线E 的方程；⑵若过定点2,0F 的直线交曲线E 于不同的两点G ,H （点G 在点F,H 之间），且满足FH FG ，求的取值范围。

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是数学中的重要概念，也是高中数学中的重要内容之一。

在高考中，圆锥曲线问题往往是考查学生分析能力、解题技巧和数学理论应用能力的重要内容。

圆锥曲线问题包括了圆、椭圆、双曲线和抛物线等内容，这些问题在高考中的常见题型有很多，下面我们就来总结一下圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧。

一、圆锥曲线的常见题型1. 求解圆锥曲线的焦点、直径等坐标问题2. 求圆锥曲线与坐标轴的交点3. 求圆锥曲线的参数方程4. 求解圆锥曲线的切线方程5. 求解圆锥曲线的渐近线方程6. 判断点是否在圆锥曲线内部或外部等问题这些都是高考中经常出现的圆锥曲线的题型，考查学生的代数计算、几何推理、参数方程应用等多方面的数学能力。

二、解题技巧1. 确定圆锥曲线的类型在解题时首先要明确圆锥曲线的类型，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。

这样可以根据具体的类型选择相应的解题方法，避免盲目求解导致错误。

2. 利用几何的方法辅助求解对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，可以利用几何的方法来辅助求解，比如通过图形性质来确定焦点、直径等坐标，利用图形的对称性质来求解切线方程等。

3. 转换坐标系有些圆锥曲线问题在直角坐标系中比较复杂，但是如果将坐标系进行适当的旋转、平移或变换，可能会使问题更易于求解。

将坐标系转换成合适的坐标系是解决问题的有效方法之一。

4. 参数化求解对于一些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来进行求解，将问题转化成参数方程的形式，有时会使问题变得更加简单。

5. 利用数学工具软件辅助求解在解题过程中，可以利用数学软件来辅助求解，比如利用计算机绘制图形、求解方程等，可以帮助理清思路、验证结果，并避免繁琐的计算错误。

三、举例分析以下举一个常见的圆锥曲线问题作为例子进行分析：已知椭圆的方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]求椭圆的焦点坐标及渐近线方程。

高考数学圆锥曲线知识点题型易误点技巧总结

高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结一.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，及两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，及两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”及2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离及此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

练习：1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）；A ．421=+PF PFB ．621=+PF PFC ．1021=+PF PFD ．122221=+PF PF2.方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）3.已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin xa yb ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

圆锥曲线的综合问题(精选课件)

圆锥曲线的综合问题(§11。

6 文）（§12.6理）圆锥曲线的综合问题知识要点梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合,综合了代数、三角、几何、向量等知识。

..圆锥曲线与方程是中学数学的重点和难点,它可以和中学数学中的其他章节知识进行交汇，充分体现了中学中的各种数学思想与数学技能。

无论是基础题还是难题都可以将分析问题与解决问题的能力淋漓尽致地反映出来。

因此，圆锥曲线的综合问题一直是高考的热点。

..纵观近几年高考试题，对于圆锥曲线与方程的考查主要有两大类问题:一是根据条件，求出曲线方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，（1）以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质;（2）求平面曲线的方程和轨迹;（3）圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；（4）涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的问题。

在复习圆锥曲线综合题时要注意以下几点：..（1）求指定的圆锥曲线的方程，一般涉及量较多，计算量大，要求较强的运算能力。

在计算中，首先要明确运算方向，还要注意运算的合理性、技巧性,使运算简捷。

.（2）.（3）注重对解析几何基本方法的考查，要求会建立适当的直角坐标系，把平面几何问题转化为代数问题。

（4）注意用圆锥曲线的定义解题,有关圆锥曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离、离心率的问题都可能用圆锥曲线的定义去解。

.（5）.（6）对称问题是高考的热点,注意关于原点、轴、轴、直线对称的两曲线方程的特点。

（7）解析几何与数列、极限、不等式、函数、向量综合在一起的问题，对解决数学综合问题的能力要求更高，要充分利用解析几何的特点，运用数形结合，用代数的方法解决几何问题。

.（8）.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式,根据方程画出图形,研究几何性质。

学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的。

高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题

备考例题 3
已知
F1，F2
为椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A a2 b2
是椭圆上位于第一象限内的一点，点
B
也在椭圆上，且满足O→A＋O→B＝
0(O 为坐标原点)，且A→F2·F→1F2＝0，若椭圆的离心率等于 2. 2
(1)求直线 AB 的方程；
(2)若△ABF2 的面积为 4 2，求椭圆的方程；
则 P 到直线 y＝ 2x 的距离为 2
|2
2cosθ－2 6
2sinθ|＝4 3
6|cos(θ＋π)|≤4 43
6＜4，故椭圆上不存在点 M 使△MAB 面积为 8
3.
2
题型四
圆锥曲线与其他知识交汇的问题
1－ky0－1＋ky0
∴kEF＝yxEE－－yxFF＝(1－kky
－k 0)2－(1＋ky
0)2
k2
k2
2
＝ k ＝－ 1 (定值)，－4ky0 2y0
k2 所以直线 EF 的斜率为定值.
题型二最值与范围问题
①正确理解圆锥曲线的定义、标思维提准方程；
示 ②联立方程组，对有关参数进行讨论.
[解] (1)∵F0(c,0)，F1(0， b2－c2)，F2(0，－ b2－c2)，
∴|F0F1|＝ (b2－c2)＋c2＝b＝1，
|F1F2|＝2 b2－c2＝1⇒c2＝3， 4
于是 a＝1 (x≥0) 7
所求“果圆”的方程为 y2＋4x2＝1 (x≤0)
.
m2 m2－1
(2)设 Q(x1，y1)， ∵P(m，y0)，P→F＝λF→Q，
2
1－m＝λ(x1－1)
∴2
，
－y0＝λy1

2019高考数学四海八荒易错集专题16圆锥曲线的综合问题文

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