因式分解综合
因式分解-提公因式法、公式法的综合运用
• 将$a^2b^2 - 2ab + 1$视为$(ab)^2 2ab + 1^2$，即 $(ab - 1)^2$。
• 因此，原多项式可以 分解为$(ab - 1)^2$ 。
04
注意事项与易错点分析
提公因式法中的易错点
80%
未找全公因式
在提取公因式时，学生可能只关 注到部分项的公因式，而忽略了 其他项的公因式，导致提取不完 全。
因式分解-提公因式法、公式 法的综合运用
目
CONTENCT
录
• 引言 • 公式法 • 提公因式法与公式法的综合运用 • 注意事项与易错点分析 • 练习题与答案解析
01
引言
因式分解的概念
因式分解是把一个多项式分解成几个 整式的乘积的形式。
因式分解是中学数学中重要的恒等变 形之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，在求根、化简根式、解一元二 次方程等方面都经常用到因式分解。
找出多项式的公因式。
第二步
提取公因式，将多项式化为两个多项式的积的形式。
提公因式法的应用举例
例1：分解因式 $6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3$。
$6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3 = 3xy(2x^2 + 3xy - y^2)$
解：观察多项式各项，发现它们 的公共因子是 $x-y$，提取公因
100%
符号处理不当
在提取公因式时，需要注意各项 的符号。若符号处理不当，可能 导致结果错误。
80%
忽视数字系数
在提取公因式时，学生可能会忽 视数字系数的提取，只关注字母 部分，从而导致结果不准确。
公式法中的易错点
公式选择不当
针对不同的多项式，需要选择合 适的公式进行因式分解。若公式 选择不当，可能导致分解失败或
因式分解综合复习(含答案)
因式分解综合复习知识点一（提公因式法）【知识梳理】提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法． 注意事项（1）如果多项式的首项是负数时，一般先提出“—”号，使括号内的第一项系数是正数．（2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”．（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致．（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式． 【例题精讲】例1、（1）y x x 34488－－ （2） ab b a b a 264223－＋－点拨：提取公因式后剩余的多项式的项数与原多项式的项数相同，由此可以检验是否漏项.【课堂练习】1、将下列各式因式分解（1）32269a b a b c - （2）322812m m m -+- （3）2()3()m a b n b a ---2、多项式15m 3n 2+5m 2n-20m 2n 3的公因式是____.3、分解因式（1）x （x ﹣2）﹣3（2﹣x ） （2）2x （a ﹣b ）﹣3（b ﹣a ）知识点二（运用公式法） 【知识梳理】将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式，常见公式如下： 1. 平方差公式： ))((22b a b a b a -+=- 2. 完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-3. 三项和完全平方公式：2222)(222c b a bc ac ab c b a ++=+++++4. 完全立方公式：33223)(33b a b ab b a a +=+++33223)(33b a b ab b a a -=-+-5. 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+6. 立方差公式：))((2233b ab a b a b a ++-=-【例题精讲】例1、（1）22169mn m n -+ （2）2221x xy y -+-【课堂练习】1、161)(21)(2+---y x y x =____________.222,248a b a b a b A B C +--+、已知为任何实数，则的值总是（）、负数、正数、 0D 、非负数3、把下列多项式分解因式：（1） x 2＋10x ＋25 （2） 4a 2＋36ab ＋81b 2 （3）－4xy －4x 2－y24、因式分解（1）﹣3a 3b +6a 2b 2﹣3ab 3 （2）﹣3ma 2+12ma ﹣9m（3）x 3﹣4x （4）2x 2y ﹣8y知识点三（分组分解法） 【知识梳理】分组分解法：通过对多项式的项分组，将多项式分解因式的方法叫做分组分解法。
专题14.3 因式分解的综合应用(专项拔高卷)学生版-2024-2025学年八年级数学上册真题汇编章
2024-2025学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题14.3 因式分解的综合应用（专项拔高30题）考试时间：90分钟试卷满分：120分难度：0.53姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•佛山月考）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+ac＝b2+bc，则△ABC是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形2．（2分）（2023•阜城县校级模拟）如图，把图1中的①部分剪下来，恰好能拼在②的位置处，构成图2中的图形，形成一个从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b23．（2分）（2023•赫山区校级一模）设n为某一自然数，代入代数式n3﹣n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（）A．5814 B．5841 C．8415 D．84514．（2分）（2023•路北区模拟）在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+b2＝（a+b）2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b25．（2分）（2023春•蜀山区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”，如8＝32﹣12，24＝72﹣52，即8，24均为“致真数”，在不超过50的正整数中，所有的“致真数”之和为（）A．160 B．164 C．168 D．1776．（2分）（2023春•金沙县期末）设a，b为自然数，定义aΔb＝a2+b2﹣ab，则（3△4）+（﹣4△5）的值（）A．34 B．58 C．74 D．987．（2分）（2022秋•大兴区校级期末）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣9xy2，取x＝10，y＝1时，用上述方法生成的密码可以是（）A．101001 B．1307 C．1370 D．101378．（2分）（2022秋•江北区校级期末）定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，，，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”：例如：1，﹣3，1，因为，，，所以1，2，3的“极数”为，下列说法正确的个数为（）①3，1，﹣4的“极数”是36；②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数；③存在2个数m，使得m，﹣6，2的极数为．A．0个B．1个C．2个D．3个9．（2分）（2021秋•惠民县期末）已知a、b、c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc ＝0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形10．（2分）（2022秋•内江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25 B．20 C．15 D．10评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•岳阳期末）当a+b＝2，ab＝﹣3时，则a2b+ab2＝．12．（2分）（2023•平江县模拟）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为．13．（2分）（2022秋•万州区期末）若，则代数式m2+n2+k2+2mn﹣2mk﹣2nk 的值为．14．（2分）（2022秋•河口区期末）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为2＝12+12，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x+y，y是正整数），所以M也是“丰利数”．若p＝4x2﹣mxy+2y2﹣6y+9（其中x＞y＞0）是“丰利数”，则m＝．15．（2分）（2023春•淮安区期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为．16．（2分）（2022秋•新泰市期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．17．（2分）（2022秋•新泰市期中）已知a＝2021x+2000，b＝2021x+2001，c＝2021x+2002，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为．18．（2分）（2021秋•云梦县期末）若m2＝2n+2021，n2＝2m+2021（m≠n），那么式子m3﹣4mn+n3值为．19．（2分）（2022秋•文登区期中）已知a＝+18，b＝+17，c＝+16，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是．20．（2分）（2018春•成都期中）若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc ﹣ca的值为．评卷人得分三．解答题（共9小题，满分80分）21．（8分）（2023春•高碑店市校级月考）发现：两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．验证：（1）（2+1）2﹣（2﹣1）2＝；（2）设两个正整数为m，n，请验证“发现”中的结论正确；拓展：（1）已知（x+y）2＝200，xy＝48，求（x﹣y）2的值；（2）直接写出两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是几的倍数．22．（8分）（2023春•新晃县期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．（3）如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S．设CD＝x，若S的值与CD无关，求a与b之间的数量关系．23．（8分）（2022秋•交城县期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：例：因式分解：（x2+6x+5）（x2+6x﹣7）+36解：设x2+6x＝y原式＝（y+5）（y﹣7）+36第一步＝y2﹣2y+1第二步＝（y﹣1）2第三步＝（x2+6x﹣1）2第四步完成下列任务：（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的；（填序号）①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；（3）请你模仿以上例题分解因式：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4．24．（8分）（2022秋•前郭县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）＝y2+8y+16 （第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．25．（8分）（2022秋•邻水县期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2.现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3．（1）根据图2完成因式分解：2a2+2ab＝；（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；（3）图1中的两个正方形的面积之和为S1，两个长方形的面积之和为S2，S1与S2有何大小关系？请说明理由．26．（10分）（2023春•芗城区校级期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，可以通过以下过程进行因式分解：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2+2xy+y2﹣9；（2）已知：x+y＝3，x﹣y＝2．求：x2﹣y2+6y﹣6x的值．27．（10分）（2022秋•长春期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式；（2）猜测（a+b+c+d）2＝．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．28．（10分）（2023春•新吴区期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x ﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．29．（10分）（2021秋•科尔沁区期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例：x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝x2+4x+4﹣9＝（x+2）2﹣9．＝（x+2﹣3）（x+2+3）＝（x﹣1）（x+5）．根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．（1）分解因式：x2+2x﹣3；（2）求多项式x2+6x﹣9的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，求△ABC的周长．。
综合除法分解因式过程
综合除法分解因式过程综合除法分解因式是一种将多项式进行因式分解的方法。
在这种方法中，我们通过综合运用多种数学概念和技巧，将多项式拆解成更简单的因式乘积形式。
以下是综合除法分解因式的步骤和相关参考内容。
步骤一：检查多项式是否有最大公因式（最大公约数），并因式分解出来。
最大公因式是多项式中所有项的公共因子，可以通过求每项系数的最大公约数来找到。
例如，对于多项式6x^3 + 9x^2，最大公因式是3x^2。
步骤二：使用综合除法将最大公因式除掉。
综合除法是一种将多项式进行因式分解的技术，它类似于常用的长除法。
综合除法将多项式表示为其因子和余数的形式，使得多项式可以写成两个或更多部分的乘积形式。
例如，对于多项式6x^3 + 9x^2，我们可以使用综合除法将其分解为3x^2(2x + 3)。
步骤三：重复步骤一和步骤二，直到多项式无法再进行因式分解为止。
在每次进行因式分解时，我们要注意检查多项式的每一项是否可以再次因式分解。
这通常需要借助一些数学技巧和概念，如特殊因式公式、公式化简等。
例如，对于多项式3x^2(2x + 3)，我们可以继续因式分解2x + 3为(2x + 1)(x + 3)，得到最终的因式分解形式为3x^2(2x + 1)(x + 3)。
在进行综合除法分解因式时，我们可以参考相关的数学教材、学术论文和教学视频等学习材料。
以下是一些常用的参考内容：1. 高中数学教材：一般的高中数学教材都包含有关多项式因式分解的讲解和例题。
可以查看教材中的对应章节，了解综合除法分解因式的基本理论和方法。
2. 多项式因式分解教学视频：在线教育平台和视频分享网站上有许多针对多项式因式分解的教学视频，如YouTube、B站等。
这些视频通常会通过示例演示和详细解说，帮助学生理解和掌握综合除法分解因式的步骤和技巧。
3. 数学学术论文：有关综合除法分解因式的学术论文可以提供更深入的理论和方法探讨。
在学术搜索引擎上（如Google学术搜索、百度学术等）可以查找相关的数学学术论文，了解综合除法分解因式的更高级技巧和应用。
使用因式分解解决综合算式题
使用因式分解解决综合算式题综合算式题是数学中常见的一种题型，其中包含了多个算术运算符号和变量。
为了解决这类题目，我们可以运用因式分解的方法，将复杂的综合算式简化为更易处理的形式。
本文将探讨使用因式分解解决综合算式题的方法和技巧。
一、将算式进行因式分解要使用因式分解来解决综合算式题，首先需要将算式进行因式分解。
这可以通过观察算式中的公因式、差/和平方、差/积平方等模式来实现。
例如，对于以下综合算式：2x^3 + 4x^2 - 6x我们可以观察到，每一项都有公因式x，因此我们可以对每一项进行因式分解：x(2x^2 + 4x - 6)二、使用因式分解简化算式通过将算式进行因式分解，我们可以将综合算式简化为更易处理的形式。
在简化过程中，我们可以利用因式分解的性质，如乘法交换律、分配律等。
继续以上述例子为例，我们可以继续简化算式：x(2x^2 + 4x - 6) = x(2x^2 + 3x + x - 6)= x[(2x^2 + 3x) + (x - 6)]= x[ x(2x + 3) + (x - 6)]三、解决因式分解后的算式在将算式简化为因式分解的形式后，我们可以更加方便地进行解题。
针对不同类型的题目，我们可以采用不同的方法来解决。
1. 求值问题：当需要求解算式的值时，我们可以将给定的变量代入因式分解后的表达式中，并计算出最终结果。
2. 因式分解问题：如果题目要求对给定的综合算式进行因式分解，我们可以根据因式分解的结果，将其写成一个或多个因式的乘积。
3. 求未知数问题：当题目要求求出未知数的值时，我们可以利用因式分解后的表达式，设置等式，然后通过解方程的方法来求解。
四、练习题举例为了更好地理解和掌握使用因式分解解决综合算式题的方法，我们来做几道练习题。
1. 求解下列算式的值：3x^3 - 4x^2 + 2x，当x = 2时。
解答：将x = 2代入算式中，得到：3(2)^3 - 4(2)^2 + 2(2)= 3(8) - 4(4) + 4= 24 - 16 + 4= 12因此，当x = 2时，算式的值为12。
因式分解综合应用(添项拆项) (人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：因式分解的四种基本方法有哪些？问题2：添项拆项的目的是使多项式能够用_____________进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________．问题3：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为________________．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：因式分解的四种基本方法有哪些？答：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法．问题2：添项拆项的目的是使多项式能够用进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的．答：分组分解法，式子结构．问题3：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为．答：四种基本方法．因式分解综合应用（添项拆项）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法2.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法3.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法4.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法5.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法6.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法7.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法8.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法9.把因式分解后，含有以下哪个因式？( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法10.把因式分解后，含有以下哪个因式？( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法。
中考数学专题复习之因式分解综合题训练
中考数学专题复习之因式分解综合题训练1．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．2．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金bn元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为a k元（1≤k≤n），试用k、n和b表示a k（不必证明）；（3）比较a k和a k+1的大小（k＝1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．3．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数M=abcd(a＞c)，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数ba，个位数字和十位数字组成两位数dc，并记T(M)=ba+dc．例如：6237是“平方差数”，因为62﹣32＝27，所以6237是“平方差数”；此时T（6237）＝26+73＝99．又如：5135不是“平方差数”，因为52﹣32＝16≠15，所以5135不是“平方差数”．（1）判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；（2）若M=abcd是“平方差数”，且T（M）比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M．4．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2，再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2．问题：（1）该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．5．如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为P（M），百位数字与十位数字的和记为F（M），令G（M）=P(M)F(M)，当G（M）为整数时，则称M为“整和差数”．例如：∵6342满足6+4＝10，3﹣2＝1，且P（6342）＝14，F（6342）＝7，即G（6342）＝2为整数，∴6342是“整和差数”．又如∵4261满足4+6＝10，2﹣1＝1，但P（4261）＝9，F（4261）＝8，即G（4261）=98不为整数，∴4261不是“整和差数”．（1）判断7736，5352是否是“整和差数”？并说明理由．（2）若M＝2000a+1000+100b+10c+d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，求满足条件的所有M的值．6．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“博雅数”．定义：对于三位自然数N，各位数字都不为0，且它的百位数字的2倍与十位数字和个位数字之和恰好能被7整除，则称这个自然数N为“博雅数”．例如：415是“博雅数”，因为4，1，5都不为0，且4×2+1+5＝14，14能被7整除；412不是“博雅数”，因为4×2+1+2＝11，11不能被7整除．（1）判断513，427是否是“博雅数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大6的所有“博雅数”的个数，并说明理由．7．如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4＝3+1，2＝3﹣1，所以4312是亲密数；（1）最小的亲密数是，最大的亲密数是；（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．8．阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．9．（1）阅读材料：一个正整数x能写成x＝a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数“，a，b为x的一个平方差分解．例如：24＝72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解．①请直接写出一个30以内且是两位数的雪松数，并写出它们的一个平方差分解；②试证明10不是雪松数；（2）若a，b正整数，且ab+a+b＝68，求ab的值．10．探究题：（1）问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：x2+6x+9＝；x2﹣4x+4＝；4x2﹣20x+25＝；（2）探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62＝4×1×9；（﹣4）2＝4×1×4；（﹣20）2＝4×4×25；归纳猜想：若多项式ax2+bx+c（a＞0，c＞0）是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为；（3）验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；（4）解决问题：若多项式（n+1）x2﹣（2n+6）x+（n+6）是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．11．第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．12．阅读材料：，上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：（1）因式分解：x2+2x﹣3；（2）求多项式x2+6x﹣10的最小值；（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．13．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．解：a2+6a+8＝a2+2a⋅3+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1．因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当x＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．根据上述材料，解答下列问题：（1）填空：x2﹣8x+＝（x﹣）2；（2）将x2﹣10x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+2的最小值；（3）若M＝6a2+19a+10，N＝5a2+25a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由．14．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x 2﹣2xy +y 2﹣4＝（x 2﹣2xy +y 2）﹣4＝（x ﹣y ）2﹣22＝（x ﹣y ﹣2）（x ﹣y +2）． ②拆项法：例如：x 2+2x ﹣3＝x 2+2x +1﹣4＝（x +1）2﹣22＝（x +1﹣2）（x +1+2）＝（x ﹣1）（x +3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x 2+4x ﹣y 2+1；②（拆项法）x 2﹣6x +8；（2）已知：a 、b 、c 为△ABC 的三条边，a 2+b 2+c 2﹣4a ﹣4b ﹣6c +17＝0，求△ABC 的周长．15．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax 2+bx +c （a ≠0）的多项式变形为a （x +m ）2+n 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax 2+bx +c （a ≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如x 2+4x ﹣5＝x 2+4x +（42）2﹣（42）2﹣5＝（x +2）2﹣9＝（x +2+3）（x +2﹣3）＝（x +5）（x ﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式：x 2+2x ﹣8；（2）求多项式x 2+4x ﹣3的最小值；（3）已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2+c 2+50＝6a +8b +10c ，求△ABC 的周长．16．如果一个自然数M 能分解成A ×B ，其中A 和B 都是两位数，且A 与B 的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M 为“十全九美数”，把M 分解成A ×B 的过程称为“全美分解”，例如：∵2838＝43×66，4+6＝10，3+6＝9，∴2838是“十全九美数“；∵391＝23×17，2+1≠10，∴391不是“十全九美数”．（1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；（2）若自然数M是“十全九美数“，“全美分解”为A×B，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为S（M）；将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为T（M）．当S(M)T(M)能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M．17．阅读下列材料：材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）的形式，如x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3．18．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．。
第四章 因式分解 综合素质评价(含答案)北师大版数学八年级下册
第四章因式分解综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为()A．ab＋ac＋d＝a(b＋c)＋dB．(x＋2)(x－2)＝x2－4C．6ab＝2a·3bD．x2－8x＋16＝(x－4)22．课堂上老师在黑板上布置了下框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，错误的题目是()用平方差公式解下列各式：(1)a2－b2；(2)49x2－y2z2；(3)－x2－y2；(4)16m2n2－25p2.A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)3．【2022·金华二模】下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是() A．a2－4 B．a2＋6a＋9 C．a2＋16 D．9a2－6a＋14．下列各组代数式中，没有公因式的是()A．ax＋y和x＋yB．2x和4yC．a－b和b－aD．－x2＋xy和y－x5．下列因式分解正确的是()A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b)B．a2－9b2＝(a－3b)2C．a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2D．a2－ab＋a＝a(a－b)6．【教材P105复习题T6变式】已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值是() A．2 B．3 C．4 D．67．【2022·石家庄二模】计算：1252－50×125＋252＝()A．100 B．150 C．10 000 D．22 5008．【教材P94习题T4变式】从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图①)，然后拼成一个平行四边形(如图②)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为()A．a2－b2＝(a－b)2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a－b)2＝a2－2ab＋b29．不论x，y为什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值()A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数D．可能为负数10．已知a＝2b－2，则代数式a2－4ab＋5b2的最小值为()A．0 B．2 C．4 D．无法确定二、填空题(每题3分，共24分)11．18x3y2与12x6y的公因式为________．12．【2022·长春】分解因式：m2＋3m＝________.13．若整式x2＋ky2(k为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是________．(写出一个即可)14．【2022·重庆渝北期末】利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式：____________．15．【教材P105复习题T13改编】如果x2＋kx＋64是一个完全平方式，那么k的值是________．16．关于x的二次三项式2x2＋bx＋c分解因式后为2(x－3)(x＋1)，则b＝________，c＝________.17．已知x ，y 是二元一次方程组⎩⎨⎧x －2y ＝3，2x ＋4y ＝5的解，则代数式x 2－4y 2的值为________．18．一个两邻边长分别为a ，b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为________．三、解答题(19题12分，20题6分， 21题8分，其余每题10分，共66分)19．把下列各式因式分解：(1)－5x 2y 2＋10xy 3－15x 2y ； (2)2x 2－4x ＋2；(3)(x 2＋1)2－4x 2; (4)a 4－8a 2b 2＋16b 4.20．【教材P 97习题T 2(3)变式】已知a ＋b ＝72，ab ＝2，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．21.【教材P105复习题T14改编】232－1可以被10和20之间某两个整数整除，求这两个数．22．【教材P105复习题T12改编】已知a，b，c分别是△ABC的三边长．(1)分别将多项式ac－bc，－a2＋2ab－b2进行因式分解；(2)若ac－bc＝－a2＋2ab－b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．23．【教材P100随堂练习T3变式】如图，在一个边长为a m的正方形广场的四个角上分别留出一个边长为b m的正方形花坛(a＞2b)，其余的地方种草坪．(1)求种草坪的面积是多少平方米；(2)当a＝84，b＝8，且种每平方米草坪的成本为5元时，种这块草坪共需投资多少元？24．【教材P105复习题T10拓展】上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b)2＝a2±2ab ＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2)2＋1.∵(x＋2)2≥0，∴(x＋2)2＋1≥1.∴x2＋4x＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1)知识再现：当x＝________时，代数式x2－6x＋12有最小值是________；(2)知识运用：若y＝－x2＋2x－3，当x＝________时，y有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________．写出求解过程．25．【探究题】在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题：在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体(如图①)，然后利用切割的方法把剩余的立体图形(如图②)分成三部分(如图③)，这三个长方体的体积依次为b2(a－b)，ab(a－b)，a2(a－b)．(1)分解因式：a2(a－b)＋ab(a－b)＋b2(a－b)＝______________．(2)请用两种不同的方法求图①中的立体图形的体积(用含有a，b的代数式表示)：①____________；②______________________．思考：类比平方差公式，你能得到的等式为______________________________．(3)应用：利用在(2)中所得到的等式进行因式分解：x3－125＝______________.(4)拓展：已知a－2b＝6，ab＝－2，求代数式a4b－8ab4的值．答案一、1．D 2．C 3．C 4．A 5．C 6．C7．C 8．C 9．A 10．C二、11.6x 3y 12.m (m ＋3) 13．－1(答案不唯一)14．a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2 15．±1616．－4；－6 17．152 18．70三、19．解：(1)原式＝－5xy (xy －2y 2＋3x )；(2)原式＝2(x 2－2x ＋1)＝2(x －1)2；(3)原式＝[(x 2＋1)＋2x ][(x 2＋1)－2x ]＝(x 2＋2x ＋1)(x 2－2x ＋1)＝(x ＋1)2(x －1)2；(4)原式＝(a 2－4b 2)2＝(a －2b )2(a ＋2b )2.20．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.∵a ＋b ＝72，ab ＝2，∴原式＝12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝494. 21．解：232－1＝(216)2－1＝(216＋1)(216－1)＝(216＋1)(28＋1)(28－1)＝(216＋1)·(28＋1)(24＋1)(24－1)．∵24＝16，∴24＋1＝17，24－1＝15.∴232－1能被15和17整除．∴所求的两个数为15和17.22．解：(1)ac －bc ＝c (a －b )；－a 2＋2ab －b 2＝－(a 2－2ab ＋b 2)＝－(a －b )2.(2)△ABC 是等腰三角形．理由：∵ac －bc ＝－a 2＋2ab －b 2，∴c (a －b )＝－(a －b )2，c (a －b )＋(a －b )2＝0，(a－b)(c＋a－b)＝0.∵a，b，c分别是△ABC的三边长，∴c＋a－b＞0.∴a－b＝0，即a＝b.∴△ABC是等腰三角形．23．解：(1)种草坪的面积是(a2－4b2) m2.(2)当a＝84，b＝8时，种草坪的面积是a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(84＋2×8)×(84－2×8)＝100×68＝6 800(m2)．所以种这块草坪共需投资5×6 800＝34 000(元)．24．解：(1)3；3(2)1；大；－2y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2.∵－(x－1)2≤0，∴－(x－1)2－2≤－2.∴当x＝1时，y有最大值，最大值是－2.25．解：(1)(a－b)(a2＋ab＋b2)(2)①a3－b3②b2(a－b)＋ab(a－b)＋a2(a－b)思考：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)(3)(x－5)(x2＋5x＋25)(4)a4b－8ab4＝ab(a3－8b3)＝ab(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)＝ab(a－2b)[(a－2b)2＋6ab]．当a－2b＝6，ab＝－2时，原式＝－2×6×(36－12)＝－288.。
因式分解综合练习题
因式分解综合练习题因式分解是数学中的一项重要内容，它在代数学习中起着至关重要的作用。
因式分解是将一个多项式按照某种因子进行分解的过程。
通过因式分解，可以简化复杂的多项式，并且更容易进行运算和求解。
为了帮助大家更好地掌握因式分解的方法和技巧，本文将提供一些综合练习题，供大家进行练习和巩固知识。
练习一：因式分解简单多项式1. 将多项式x^2 - 4分解。
解答：首先我们可以看到这是一个差平方的形式，即x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)。
2. 将多项式x^2 + 4x + 3分解。
解答：我们可以使用因式分解公式或配方法来分解这个多项式。
首先我们观察到3可以被分解为3和1的乘积，而4可以被分解为3和1的和。
因此我们可以将这个多项式分解为(x + 3)(x + 1)。
3. 将多项式x^3 - 8分解。
解答：这个多项式是一个立方差的形式，即x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)。
练习二：因式分解含有变量的多项式1. 将多项式x^2 - y^2分解。
解答：这个多项式是一个差平方的形式，即x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)。
2. 将多项式x^2 + xy + y^2分解。
解答：这个多项式可以使用因式分解公式或配方法来分解。
我们可以将它分解为(x + y)(x + y)或(x - y)(x - y)。
3. 将多项式x^4 - 16y^4分解。
解答：这个多项式也是一个差平方的形式，即x^4 - 16y^4 = (x^2 +4y^2)(x^2 - 4y^2) = (x^2 + 4y^2)(x + 2y)(x - 2y)。
练习三：因式分解含有常数项的多项式1. 将多项式x^2 - 7x + 10分解。
解答：我们可以使用因式分解公式或配方法来分解这个多项式。
观察到10可以被分解为5和2的乘积，并且-7可以被分解为-5和-2的和。
因此我们可以将它分解为(x - 5)(x - 2)。
因式分解综合
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2 =（a+b)2 a2- 2ab+b2 = (a- b)2
1.下列从左到右的变形中，是 因式分解的是（ D ）
2
)( x+2 )( x-1
) )
例3.分解因式 1.x2-6x+9-y2
2 2 2.x -4y +x+2y
对应 练习 2 2 2 2 2.x +2x+1-y 1.x -y +x+y 3 2 方法：因式分解时应观察各项 3. a a a 1 有无公因式，若有先提取公因 2 4. a 2a ab 2b 式，对于四项或以上，考虑能 2 2 2 5.4a +b +9c -4ab+12ac-6bc 否分组分解。
11.若 m -
n = 1, 3m + 2n = - 2
1 12.已知： x + y = 1, xy = 2 利用因式分解求：
的值.
求代数式 3m(m - n) - 2n(n - m) 的值。
x( x + y )( x - y ) - x( x + y )
2
5.知识的灵活运用.
(1).已知a+b=3,a-b=2,求a2-b2的值.
a III
I
b II IV
a
III I a (2)
b II b IV
(1)
a
b
a-b a
a
a b
b
因式分解综合练习题
因式分解综合练习题因式分解是数学中的一个重要概念，它在代数学中有着广泛的应用。
通过因式分解，我们可以将一个复杂的代数式简化为更简单的形式，从而更好地理解和解决问题。
在本文中，我将为大家提供一些综合练习题，帮助大家巩固和应用因式分解的知识。
练习题1：将代数式3x^2 + 6x + 9进行因式分解。
解答：首先，我们可以观察到这个代数式中的每一项都可以被3整除。
因此，我们可以将代数式进行因式分解，得到3(x^2 + 2x + 3)。
接下来，我们需要进一步分解括号中的代数式。
练习题2：将代数式x^3 - 8进行因式分解。
解答：这个代数式可以看作是一个立方数减去另一个立方数。
我们知道，立方差公式为a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。
因此，我们可以将代数式进行因式分解，得到(x - 2)(x^2 + 2x + 4)。
练习题3：将代数式4x^2 - 25进行因式分解。
解答：这个代数式是一个平方数减去另一个平方数。
我们知道，平方差公式为a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)。
因此，我们可以将代数式进行因式分解，得到(2x - 5)(2x+ 5)。
练习题4：将代数式x^2 + 6x + 9进行因式分解。
解答：这个代数式是一个完全平方数。
我们知道，一个完全平方数可以表示为两个相同的因数的乘积。
因此，我们可以将代数式进行因式分解，得到(x + 3)(x + 3)，也可以写成(x + 3)^2。
练习题5：将代数式x^4 - 16进行因式分解。
解答：这个代数式是一个差的平方。
我们知道，差的平方公式为a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)。
因此，我们可以将代数式进行因式分解，得到(x^2 - 4)(x^2 + 4)。
进一步分解，可以得到(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)。
通过以上的练习题，我们可以看到因式分解在解决代数问题中的重要性。
通过将复杂的代数式进行因式分解，我们可以更好地理解代数式的结构和性质，从而更好地解决问题。
因式分解方法：因式定理综合除法分解因式
因式分解方法：因式定理综合除法分解因式因式定理、综合除法分解因式
对于整系数一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0
由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)（其中p，q 互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数
若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解
例8分解因式x3-4x2+6x-4
解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4
可能出现的因式为x1,x2,x4
∵f(1)0,f(1)0
但f(2)=0,故(x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法
21-46-4
2-44
1-220
所以原式=(x-2)(x2-2x+2)
当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4
=x(x-2)2+(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2)
分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，。
奥数-因式分解-综合4学
第一讲 因式分解4：综合及应用§1.1 因式分解的基本方法一、 考试要点剖析因式分解是一种重要的恒等变形，虽然它是初中阶段学习的内容，在高中阶段也有着非常广泛的应用，比如，比较大小、判断函数的单调性、证明不等式、解高次方程、超越方程等，因此，因式分解历来是“中考”和数学竞赛着重考查的热点问题． **基本知识因式分解 把一个多项式分解成几个非常数的多项式或单项式的积的形式叫做多项式的因式分解．多项式的因式分解是在给定的数域上进行的，即要求各因式的系数是给定数域上的数．因此，一个多项式在某个数域上可能不能分解因式，而在另外的(更广的)数域上也许是可以分解的．一般地，如果没有特别指定数域，则因式分解通常都是在有理数域上进行的．既约多项式 如果一个多项式在某数域上不能再分解，则称它是此数域上的既约多项式． 因式分解的常用公式：**基本方法初中教材中介绍了提取公因式法、逆用乘法公式法、配方法、分组分解法、十字相乘法、求根法，这些都是非常重要的基本方法，要牢固地掌握和灵活地运用．此外，在数学竞赛中，还要掌握和运用如下一些方法：(1)换元法将待分解的多项式中某些特殊的部分看作一个整体，用一个新的字母表示，使原来复杂的结构简化．本讲纲要 §1.1 因式分解的基本方法1. 提取公因式2. 主元法3. 分组分解4. 公式5. 换元6. 配方7. 十字、待定系数法 8.倒数代数式§1.2 因式分解的特殊方法1. 添项、拆项2.因式定理§1.3 对称式的因式分解1. 对称式2. 轮换3.交代式§1.4 因式分解的应用1. 计算2. 化简3. 求值4. 整除5. 不定方程6.完全平方数部分解的因式看作一个整体(字母)，连同后面的一次项和常数项再采用十字相乘法进行分解．(3)待定系数法将待分解的多项式表示成若干个含有待定系数的多项式的积的形式，得到一个恒等式．然后根据多项式恒等的性质，比较对应项的系数，或令变元取一些特殊值，得到关于待定系数的方程组，解方程组求出待定系数，进而得到多项式的分解．这种方法叫做待定系数法．(4)主元法对于多元多项式的分解，我们可选择其中一个字母当作变量，而将其他字母看成常数，其中当做变量的字母称为“主元”．这样，多项式就变成了关于“主元”的一元多项式，这种选择主元进行多项式分解的方法叫做主元法． **基本问题一元二次多项式的因式分解，常用的方法有：十字相乘法、配方法、求根法等；一元高次多项式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、换元法、分组分解法等； 二元二次多项式的因式分解，常用的方法有：主元法、分组分解法、双十字相乘法、待定系数法等．多元(通常是二元、三元)高次多项式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、换元法、分组分解法等． 1. 提取公因式 例1.分解因式：2. 主元法 例2.分解因式：．3. 分组分解 例3.将因式分解．4. 公式（n n a b ）例4.设n 为正整数，分解因式：5. 换元 例5.分解因式：例6.分解因式：6.配方例7.分解因式：7.十字、待定系数法例8.分解因式：8.倒数代数式例9.分解因式：§1.2 因式分解的特殊方法1.添项、拆项例10.分解因式：2.因式定理例11.分解因式：3.对称式、轮换式、交代式例12.分解因式：例13.分解因式：3333x y z xyz ++-例14.分解因式：§1.3 因式分解的应用考试要点剖析因式分解的应用是非常广泛的，它主要有以下几个方面：求值问题 对于多项式的求值，如果知道某个整体的值，则可在多项式中分离出整体(因式)，然后将整体的值代入；对于分式的求值问题，可将分子分母分别分解，然后约去相同的因式，使分式化简，然后再求值．证明条件等式 在给定约束条件下，证明某等式恒成立，常可对条件等式中的多项式进行因式分解，使条件得到简化，进而推出有关结论．整除问题 要证明某个数(式子)整除一个多项式，可将数(式子)和多项式分别分解，然后证明多项式的每一个因式被一个对应的数(式子)整除．质数与合数问题 要证明一个多项式的值是合数，只须将多项式分解因式，然后证明每一个因式的值都是大于l 的整数． ‘不定方程问题 将方程中含有的多项式因式分解，然后判别各因式取值的奇偶性，使问题获解．完全平方数问题 要证明一个多项式的值是完全平方数，可将多项式因式分解，然后证明多项式的每一个因式的值都是完全平方数． 1. 计算 例15.计算2. 化简 例16.化简3. 求值例17.设a,b 是实数，且a+b=5,求的值．4.整除例18.设n是正整数，证明：被120整除．5.不定方程例19.证明：方程无整数解．6.完全平方数例20.设a、n都是正整数，且，证明：不是完全平方数．三、练习题1.（分组）分解因式：2.（换元）分解因式：3.（十字）分解因式：4.（待定系数法）分解因式：5.（主元）分解因式：6.（添项、拆项）分解因式：7.（添项、拆项）分解因式：8.（一题多解）分解因式： (至少5种方法)9.（对称）分解因式：10.（轮换）分解因式：11.（交代）分解因式：12.计算：13.计算：14. 化简15. 已知，化简16.设a、b、c是实数，且，求的值．当时，比较的大小．17.已知一个直角三角形的三边都是整数，且一条直角边是17，求它的周长．18.在中三边a、b、c满足，试判定三角形的形状．19.证明：两个连续奇数的平方差能被8整除．20.解方程组：。
综合除法分解因式过程
综合除法分解因式过程综合除法分解因式是一种用于求解多项式的因式的方法，在代数中起着重要的作用。
它可以将给定的多项式表达式转化为可简化的形式，从而更容易进行求解。
下面将详细介绍综合除法分解因式的过程和相关参考内容。
综合除法分解因式的基本原理是通过除法来将给定的多项式逐步分解为更简单的因式的乘积形式。
这里的除法是指多项式除法，通过将多项式除以一个一次式，得到商和余数。
逐步进行除法运算，直到无法再进行除法为止，得到最终的因式。
以下是综合除法分解因式的具体步骤：1. 确定被除式和除式：将给定的多项式表达式写为被除式和除式两部分。
被除式通常是一个多项式，除式通常是一个一次式。
2. 对被除式进行分解：将被除式按照指定的除式进行除法运算，得到商和余数。
3. 判断是否可以再次进行除法：判断余数是否为零，如果余数为零，则说明无法再进行除法；如果余数不为零，则继续进行下一步。
4. 继续进行除法运算：将上一步得到的商作为新的被除式，继续按照指定的除式进行除法运算，得到新的商和余数。
5. 重复上述步骤直到无法再进行除法为止。
6. 将所有的商相乘：将得到的所有商相乘，得到最终的因式。
综合除法分解因式的过程可以通过具体的例子来说明。
例如，假设我们要对多项式3x^3 + 5x^2 - 7x - 9进行因式分解。
我们选择x-1作为除式。
按照上述步骤进行分解：1. 确定被除式和除式：被除式为3x^3 + 5x^2 - 7x - 9，除式为x-1。
2. 对被除式进行分解：将被除式3x^3 + 5x^2 - 7x - 9除以x-1，得到商3x^2 + 8x + 1和余数-8。
3. 判断是否可以再次进行除法：余数不为零，可以继续进行除法。
4. 继续进行除法运算：将上一步得到的商3x^2 + 8x + 1作为新的被除式，除以x-1，得到新的商3x + 11和余数3。
5. 重复上述步骤，继续进行除法。
6. 最终的因式为(x-1)(3x^2 + 8x + 1)。
因式分解的13种方法
因式分解的13种方法因式分解可以说是代数学中的基础知识，它是解方程、简化分数、展开多项式、求出多项式的根等等问题的基础。
在因式分解的过程中，我们将一个复杂的代数式表示成两个或者多个简单的代数式的乘积形式。
下面我们来介绍13种常见的因式分解方法。
一、提取公因式法对于一个代数式，如果其中的每一项都含有一些因子a，那么我们就可以将这个公因子a提取出来，然后将剩下的部分进行因式分解。
例如：2x^2 + 4xy可以进行提取公因式为2x(x + 2y)。
二、配方法对于一些二次三项式或者四项式，我们可以采用配方法将其因式分解。
例如：x^2+5x+6可以进行配方法为(x+2)(x+3)。
三、平方差公式对于一些二次多项式的和或差，我们可以利用平方差公式进行因式分解。
例如：x^2-4可以进行因式分解为(x+2)(x-2)。
四、平方和公式对于一些二次多项式的和，我们可以利用平方和公式进行因式分解。
例如：x^2+4可以进行因式分解为(x+2i)(x-2i)。
五、差平方公式对于一些二次多项式的差，我们可以利用差平方公式进行因式分解。
例如：x^2-4可以进行因式分解为(x+2)(x-2)。
六、分组分解法对于一些多项式，我们可以将其表达式分为两组，然后分别提取公因式进行因式分解。
例如：5xy + 10x + 3y + 6可以进行分组分解为(5xy + 10x) + (3y + 6)，再进行因式分解为5x(y + 2) + 3(y + 2)，再提取公因子得到(5x + 3)(y + 2)。
七、立方和差公式对于一些立方多项式的和或差，我们可以利用立方和差公式进行因式分解。
例如：x^3+8可以进行因式分解为(x+2)(x^2-2x+4)。
八、平方根公式对于一些二次多项式或四次多项式，我们可以利用平方根公式进行因式分解。
例如：x^4-y^4可以进行因式分解为(x^2+y^2)(x^2-y^2)，再进一步因式分解为(x^2+y^2)(x+y)(x-y)。
因式分解的12种方法的详细解析
因式分解的12种方法的详细解析因式分解是将一个多项式写成几个较简单的乘积的形式。
在数学中，因式分解是一项重要的基础技能，常用于求解方程、化简表达式和研究多项式的性质等方面。
以下是因式分解的12种常见方法的详细解析。
1.提取公因式法：当多项式的各项中存在公共因子时，可以提取出这个公因式，例如，对于多项式2x+6，可以提取出公因式2，得到2(x+3)。
这种方法常用于求解关系式和化简分式等问题。
2.公式法：利用一些常用的公式进行因式分解。
例如，二次平方差公式(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)，互补公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)等。
这种方法常用于解决关于二次方程、三角函数等问题。
3.配方法：对于二次型的多项式，可以利用配方法进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+3x+2，可以进行配方法得到(x+1)(x+2)。
这种方法需要将多项式转化为二次型形式，然后利用配方法进行分解。
4.求因子法：当多项式为多个因子的乘积时，可以用求因子的方法进行因式分解。
例如，对于多项式x^3-8，可以将8进行因式分解为2^3，然后利用立方差公式进行因式分解，即x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)。
5.幂的分解法：当多项式中有幂函数时，可以利用幂的分解法进行因式分解。
例如，对于多项式x^3-y^3，可以利用立方差公式进行因式分解，即x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)。
6.多项式整除法：当多项式可以被另一个多项式整除时，可以利用多项式整除法进行因式分解。
例如，对于多项式x^3-1，可以利用x-1整除得到(x-1)(x^2+x+1)。
7.韦达定理：韦达定理是将多项式表示为二次型的形式，然后利用二次型进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+y^3+z^3-3xyz，可以将其表示为(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)。
8.根的关系法：利用多项式的根的关系进行因式分解。
例如，对于一元二次多项式ax^2+bx+c，可以利用二次方程求根公式进行因式分解，即ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为多项式的根。
因式分解方法综合
(1)如果多项式各项有公因式，应先提公因式， 再进一步分解. (2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都 不能再分解为止. (3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形 式. 即：“一提”、“二套”、“三查”特别强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ调“三查”，检查多项式的每一个因式是否
还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查 因式分解的结果是否正确.
比一比，看谁速度最快：
3ax 2 3ay 4
x 4 81
x4 2x2 1
想一想:
怎样对下列式子进行因式分解？
(a2 b2)2 4a2b2
请听下回详解
(x2 2x)2 2x2 2x1
(3) a2(xy)b2(xy)
将一个多项式分解因式时， 首先要观察被分解的多项式 是否有公因式，若有，就一 定要先提公因式，再观察另 一个因式特点，进而发现其
能否用公式法继续分解.
你也动手试试看！
2xy x2 y2
3ax2 6axy 3ay2
1提： 提取公因式
2套： 套用公式
例2 把 4 a 4 64 分解因式.
(2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解 为止.
(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.
即：“一提”、“二套”、“三检查”特别强调“三检 查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式， 还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.
练习
分解因式:
记住：一提二套三检 查哦
x4 8x2 y2 16 y4
比比看谁算得快
8a3b2+12ab3c
4a2 20ab 25b2 36a2 25b2
在计算过程中，你 用到了哪些因式分
解的方法
试一试 因式分解:
因式分解—综合
日期： 姓名： 掌握程度：优□ 良□ 中□ 差□因式分解——综合1．小结至此，我们已经学习了多项式分解因式的基本知识，可以小结如下：（1）多项式因式分解的概念因式分解是针对多项式而言的。
把一个多项式化为几个因式的乘积的形式，叫做多项式因式分解。
因式分解是代数式的一种恒等变形。
分解必须彻底，即必须在指定范围内分解到不能再分解为止。
到目前为止，我们讲因式分解都是在有理数范围内进行的。
（2）多项式因式分解的基本方法对于一般的多项式常用的方法有三种：①提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。
②运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：平方差公式 ()()22a b a b a b -=+-；完全平方公式 ()2222a ab b a b ±+=±；立方公式 ()()3322a b a b a a b b ±=±+ 。
③分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。
要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。
因此，有人将它概括为“一提、二套、三分组”。
对于二次三项式这种特殊的多项式还可使用十字相乘法或配方法。
（3）多项式因式分解的作用①训练思维能力；②解决实际问题；③用于数学竞赛。
2．综合运用因式分解的各种方法对下列各式进行因式分解：例1 226691891x y x xy y --+-- 例2 32x x +-3．习题：（1）22196a b ab --+（2）4322321x x x x ++++ （3）()22222a b x a b --+4．数学奥林匹克例3 证明：33n n -对所有的正整数n 都是整数。
例4 设p 与q 是两个质数，且5p q >>。
试证：44p q -能被240整除。
例5若a为正整数，则42-+是质数还是合数？给出你的证明。
a a395．丢番都巧解难题丢番都（公元246—330）是古希腊著名的数学家，他被人誉为“代数学的鼻祖”，数论中的两个重要分支就是以丢番都的名字命名的，即“丢番都方程”和“丢番都近似理论”。
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2.分解因式： (1)5m(x-y)2-10n(y-x)2
(2) 6a(a-b)3-12(b-a)3
(1) (m+n)(p-q)-(m+n)(p+q) (2) 5a(a-b)4-10ab(b-a)3
3.如果n是自然数，那么n2+n是奇数 还是偶数？
4.分解因式：
(1) x4-2x2+1
(2)81x4-72x2y2+16y4
16
做一做
运用训练：
10.已知：a + b = 1 , ab = 3
2
8
求a3b + 2a2b2 + ab3 的值。
相信你能行!
当堂训练： 1.把下列各式分解因式：
1. 4 12(x y) 9(x y)2 2. 3axn1 6a2 xn 3a3xn1 3. 81a4 b4
5. 3x3 12x2 y 12xy2 6. (x2 6)2 6(x2 6) 9
A.(a 3)(a 3) a2 9 B.a2 4a 5 (a 2)2 9 C.a2 4a 5 a(a 4) 5 D.a2 4a 4 (a 2)2
2.下列多项式能分解因式的（ B） 做一做
A. a2 D. a2 b2
(3)(x2+y2)2-4x2y2
(4)(a2+4)2-16a2
小结
（1）如何准确地对一个多项式进行 因式分解；
（2）学会检查每一个多项式的因式都不 能分解为止
基础训练：
3.把下列各式分解因式：
做一做
(1)(x 1)2 (2 y 1)2
(2)4(m n)2 9(2m 3n)2
(3) x2 4 y2 4xy
(4)(a b)2 6(a b) 9
综合训练： 4.把下列各式分解因式：
(1)a3 - 2a2b + ab2 (2)(x2 + 3x)2 - (x - 1)2 (3)xy2 - 4x2 - 1 y4
知识回顾: 1.什么叫因式分解?
把一个多项式写成几个整式的积的形 式叫做因式分解. 2.因式分解有哪些方法？
（1）提公因式法； （2）运用公式法：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2 =（a+b)2 a2- 2ab+b2 = (a- b)2
1.下列从左到右的变形中，是 做一做
因式分解的是（ D ）