北京东城区示范校2011届高三综合练习试题(一)(数学理)

北京东城区示范校2010—2011学年度高三综合练习（一）数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设,P Q 为两个非空实数集合，定义集合P Q +={},a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，{1,2,6}Q =，则P Q +中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．62．设3.02131)21(,31log ,2log ===c b a ，则c b a ,,大小关系为 （ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<3．已知向量a 与b 的夹角为120o，3,=+=a a b 则b 等于 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．14．向量1()2x =a ，(cos 2,cos )x x =b ，()f x =⋅a b ，为了得到函数)(x f y =的图象，可将函数x y 2sin =的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度5．等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ）A ．62B ．92 C ．122D ．1526． 函数()⎩⎨⎧≥-<+-=,0,1,0,1x x x x x f 则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是 （ ）A ．{}121|-≤≤-x x B ．{}1|≤x xC ．{}12|-≤x x D ．{}1212|-≤≤--x x7．函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x , 有()()0f x f x +-=,()()1g x g x -=,且当0x ≠时，()1g x ≠，则)(1)()(2)(x f x g x f x F +-=的奇偶性为（ ） A ．奇函数非偶函数 B ．偶函数非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数8．设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当2x S x S ∈∈时，有，给出如下三个命题：①若{}1,1m S ==则；②若11,1;24m l =-≤≤则③若1,022l m =-≤≤则；其中正确的命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（n *∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列．记数列1652021,200,}1{x x x x x x n+=+++则且为调和数列= ． 10．若等边ABC ∆的边长为M 满足1263CM CB CA =+，则B M A M ⋅=_________． 11．已知变量,x y 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，设(0)z a x y a =+>, 若当z 取得最大值时对应的点有无数个，则a 值为 ．12．在△ABC 中，内角C B A,,的对边分别是c b a ,,，若22a b -=，sin C B =，则A 角大小为 ．13．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 14已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x,y ∈R ，都有()()()f x y xf y yf x ⋅=+成立．数列{}n a 满足(2)n n a f =()n ∈*N ，且12a =．则数列的通项公式n a =__________________ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()fOP OQ α=⋅，求()αf 的值域．16．（本小题满分13分）在等比数列｛n a ｝中，0,()n a n *>∈N ，公比(0,1)q ∈，且153528225a a a a a a ++=， 3a 与5a 的等比中项为2． （1）求数列｛n a ｝的通项公式；（2）设2log n n b a = ，数列｛n b ｝的前n 项和为n S ，当312123nS S S S n++++最大时，求n 的值． 17．（本小题满分13分）正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，,E F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD翻折成直二面角A DC B --．（1）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （2）求二面角E DF C --的余弦值；（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？证明你的结论．18．（本小题满分13分） 已知函数2()()()(,,).f x x a x b a b a b =--∈<R（1）当1,2a b ==时，求曲线()(2,(2))y f x f =在点处的切线方程；（2）设12,()x x f x 是的两个极值点，3()x f x 是的一个零点，且3132,.x x x x ≠≠证明：存在实数41234,,,,x x x x x 使得按照某种顺序排列后构成等差数列，并求4x ．19．（本小题满分14分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 244n S n n =-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；A B CDEFA BCD E F（2）设2n n n a b =，数列{}nb 的前n 项和为n T ，求证：141<≤n T ．20．（本小题满分14分） 已知函数()2()1ln 1,0f x x a x a a =---∈≠R ().（1）当8a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间2[1,1]e e ++上的最小值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B 2． A 3．B 4． D 5． C 6． C 7．B 8． D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9． 20 ; 10． -2 ; 11． 35； 12．6π； 13． 1 ； 14． n n 2⋅ 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知可得54sin ,53cos ==αα…………………………2分 6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫⎝⎛-∴……………………3分1043321542353+=⨯+⨯=…………………………4分（Ⅱ）()fOP OQ α=⋅ ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭……………………6分ααsin 21cos 23+=………………………………7分 sin 3πα⎛⎫=+⎪⎝⎭………………………………8分[0,)απ∈ 4[,)333πππα∴+∈………………………………9分sin 13πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭………………………………12分()αf ∴的值域是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦………………………………13分16．（本小题满分13分）解：（1）因为a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25，所以，23a + 2a 3a 5 +25a ＝25又a n ＞o ，∴a 3＋a 5＝5，…………………………3分 又a 3与a 5的等比中项为2，所以，a 3a 5＝4而q ∈（0,1），所以，a 3＞a 5，所以，a 3＝4，a 5＝1，12q =，a 1＝16，所以， 1511622n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭…………………………6分（2）b n ＝log 2 a n ＝5－n ，所以，b n ＋1－b n ＝－1， 所以，{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列。

8分所以，(9),2n n n S -=92n S nn -= …………………………10分所以，当n≤8时，n S n ＞0，当n ＝9时，n S n ＝0，n ＞9时，n Sn＜0，当n ＝8或9时，1212n S S Sn++∙∙∙+最大。

……………………13分17．（本小题满分13分）解：法一：（I ）如图：在△ABC 中， 由E 、F 分别是AC 、BC 中点， 得EF //AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ．∴AB ∥平面DEF ．（II ）∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角∴AD ⊥BD ∴AD ⊥平面BCD取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ∴EM ⊥平面BCD 过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角…………6分在Rt △EMN 中，EM =1，MN =23∴tan ∠MNE cos ∠MNE =721………………………8分 （Ⅲ）在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE……………………10分A B CD E FM NPQ证明如下：在线段BC 上取点P 。

使BC BP 31=，过P 作PQ ⊥CD 与点Q ， ∴PQ ⊥平面ACD ∵33231==DC DQ 在等边△ADE 中，∠DAQ =30° ∴AQ ⊥DE ∴AP ⊥DE………………………………13分法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，2）B （2，0，0）C （0，)0,3,1(),1,3,0(),,0,32F E ……4分 平面CDF 的法向量为)2,0,0(=DA 设平面EDF 的法向量为),,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n DF 即)3,3,3(0303-=⎪⎩⎪⎨⎧=+=+z y y x 取 721,cos =>=<n DA 所以二面角E —DF —C 的余弦值为721…8分x（Ⅲ）在平面坐标系xDy 中，直线BC 的方程为323+-=x y 设)2,332,(),0,332,(--=-x x x x P 则x DE AP 31340=⇔=⇔=⋅⇔⊥∴…………………12分 所以在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE …………………………14分 另解：设332023),0,,(=∴=-=⋅y y DE AP y x P 则 又)0,32,(),0,,2(y x y x --=-= …………………………12分323)32)(2(//=+∴-=--∴y x xy y x把x y 31,34332=∴==代入上式得所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE (13)y18．（本小题满分13分）6（Ⅰ）解：当a=1,b=2时， 因为f’（x ）=（x-1）（3x-5） ............．．2分 故'(2)1f = (3)f （2）=0, (4)所以f （x ）在点（2,0）处的切线方程为y=x - 2 ………．．5分 （Ⅱ）证明：因为f ′（x ）＝3（x －a ）（x －23a b+），……………．7分 由于a <b ． 故a <23a b+． 所以f （x ）的两个极值点为x ＝a ，x ＝23a b+ ………．．9分 不妨设x 1＝a ，x 2＝23a b+， 因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f （x ）的零点，故x 3＝b ． (10)又因为23a b +－a ＝2（b －23a b+）， x 4＝12（a ＋23a b +）＝23a b +，所以a ，23a b +，23a b+，b 依次成等差数列，所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝23a b+． (13)19．（本小题满分14分）解：当1n =时，111a S ==． ……1分当2n ≥时，1--=n n n S S a ()()[]41414422+----+-=n n n n52-=n ． ……3分∵11=a 不适合上式,∴⎩⎨⎧≥-==.2,52,1,1n n n a n …4分（2）证明: ∵1,12252,22n n n nn a b n n ⎧=⎪⎪==⎨-⎪≥⎪⎩．当1=n 时，11,2T =当2n ≥时，23111252222n nn T --=++++, ①234111112725222222n n n n n T +---=+++++． ② ①－②得:23111211252()222222n n n n T +-=-+++- 211125(1)222n n n -+-=--得211(2)2n nn T n -=-≥， ……8分 此式当1=n 时也适合．∴∈--=n n T nn (2121N )*． ∵*210()2nn n ->∈Ν， ∴1n T <． ……10分 当2n ≥时，111212123(1)(1)0222n n n n n n n n T T ++++---=---=>， ∴1(2)n n T T n +<≥． ……12分 ∵12131,1244T T ==-=， ∴21T T <． 故2n T T ≥，即*1()4n T n ≥∈N ．综上，*11()4n T n ≤<∈N ． ……………．．14分 20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：⑴当1x >时, 2()(1)8ln(1)f x x x =---,282(1)8'()2(1)11x f x x x x --=--=--．由'()0f x >得22(1)80x -->, 解得3x >或1x <-． 注意到1x >,所以函数()f x 的单调递增区间是(3,)+∞．由'()0f x <得22(1)80x --<,解得13x -<<, 注意到1x >,所以函数()f x 的单调递减区间是(1,3)．⑵当1x <时，2()(1)8ln(1)f x x x =---，282(1)8'()2(1)11x f x x x x --+=-+=--，由'()0f x >得22(1)80x --<,解得13x -<<， 注意到1x <,所以函数()f x 的单调递增区间是(1,1)-．由'()0f x <得22(1)80x -->,解得3x >或1x <-， 由1x <,所以函数()f x 的单调递减区间是(,1)-∞-． 综上所述，函数()f x 的单调递增区间是(1,1)-，(3,)+∞； 单调递减区间是(,1)-∞-，(1,3)． ┅┅┅┅5分（Ⅱ）当2[1,1]x e e ∈++时,2()(1)ln(1)f x x a x =---， 所以222(1)242'()2(1)111a x a x x a f x x x x x ---+-=--==--- ………7分设2()242g x x x a =-+-． ⑴当0a <时，有0∆<, 此时()0g x >,所以'()0f x >,()f x 在2[1,1]e e ++上单调递增． 所以2min ()(1)f x f e e a =+=- ………… 9分 ⑵当0a >时,1642(2)80a a ∆=-⨯-=>．令'()0f x >,即22420x x a -+->,解得1x >+或1x <（舍）;令'()0f x <,即22420x x a -+-<,解得11x <<．①若211e ≥+,即42a e ≥时, ()f x 在区间2[1,1]e e ++单调递减， 所以24min ()(1)2f x f e e a =+=-．②若2111e e +<+<+,即2422e a e <<时, ()f x在区间[1,1e +上单调递减,在区间2[1]2e ++上单调递增,所以min ()(1ln 222a f x f a =+=-．③若11e ≤+,即202a e <≤时, ()f x 在区间2[1,1]e e ++单调递增， 所以2min ()(1)f x f e e a =+=-． …………．．13分 综上所述,当0a <或202a e <≤时,2min ()(1)f x f e e a =+=-; 当2422e a e <<时,min ()2a f x a =-;当42a e ≥时,4min ()2f x e a =-． ┅┅┅┅14分。