系统辨识与全参数估计习题

系统辨识与参数估计课程习题

一、 选择题：答案唯一，在（ ）填入正确答案的编号。

1. 对于批量最小二乘格式L L L E Y +θΦ=，其最小二乘无偏估计的必要条件是（ ）。

A. 输入序列}{k u 为“持续激励”信号

B. L E 与T

L L T L ΦΦΦ-1)(正交 C. L E 为非白噪声向量 D. 0}{=L E E

2. 对象模型为T

k k k y e ϕθ=+时，采用递推最小二乘估计后的残差序列的计算式为

（ ）。

A. 1ˆT k k k k y εϕθ-=-

B. 1ˆT k k k k y εϕθ-=-

C. ˆT k k k k y εϕθ=-

D. 11ˆT k k k k y εϕθ--=-

3. 在上题的条件下，递推最小二乘算法中的增益矩阵k K 可以写成（ ）。

A. 11k k P ϕ--

B. 1k k P ϕ-

C. 1k k P ϕ-

D. k k P ϕ 4. 可以同时得到对象参数和干扰噪声模型参数的估计算法是（ ）。

A. 辅助变量法

B. 广义最小二乘法

C. 最小二乘限定记忆法

D. 相关最小二乘两步法 5. 增广最小二乘估计的关键是（ ）。

A. 将控制项增广进k ϕ中，并用残差项取代进行估计

B. 将输出项增广进k ϕ中，并用残差项取代进行估计

C. 将噪声项增广进k ϕ中，并用残差项取代进行估计

D. 将噪声项增广进k ϕ中，并用输出项取代进行估计

答案：1. B 2. C 3. D 4. B 5. C ■ 二、 判断题：以○表示正确或×表示错误。

1．估计残差平方和最小是确定辨识过程对象结构的唯一标准。（ ） 2．最小二乘估计的批量算法和递推算法在数学上是等价的。（ ） 3．广义最小二乘法就是辅助变量法和增广最小二乘法交替试用。（ ）

4．在递推最小二乘算法中，若置0>==T

k P P P ，则该算法也能克服“数据饱和”

现象，进而可适用于时变系统。（ ）

5．用神经网络对SISO 非线性系统辨识，采用的是输入层和输出层均为一个神经元的三层前馈神经元网络结构。（ ） 答案： 1. × 2. ○ 3. × 4. ○ 5. ×

■

三、 设y 和n 21x ,x ,x 之间满足关系)x a x a x a (ex p y n n 2211+++= ，试图利用y 和

n 21x ,x ,x 的观测值来估计参数n 21a ,a ,a ，请将该模型化成最小二乘格式。

答案：θϕT

n n 2211x a x a x a ln(y)z =+++==

其中，[][]n 21T n 21T

x ,,x ,x a ,,a ,a ==ϕθ

■

四、 对于多输入单输出（MISO ）系统可由下面的模型描述

k k k e u z B y z A +=---111)()(

其中，k u 为系统的m ×1维输入向量；k y 为系统的标量输出；k e 为标量i.i.d 随机噪

声；1

-z 为延迟算子，即11--=k k y y z ；)(1-z A 为标量参数多项式，)(1-z B 为1×m 的

参数多项式向量：

a a n n z a z a z A ---+++= .1)(111

b b n n z B z B B z B ---+++= .)(1101

请写出：最小二乘递推算法公式和计算步骤或流程。 答案：

根据题意，可写出最小二乘格式为：

k T

k k e y +=θϕ

其中，

[]T n k T k T k n k k k T k b

a

u u u y y y 12121,,;,,----------= ϕ

1201,,,;,,,a

b

T n n a a a B B B θ⎡⎤=⎣⎦

因此，采用批量最小二乘法估计时，设采集数据时刻为k=1,2,…,L ，则有批量最小二乘格式为：

L L L E Y +Φ=θ

其中，

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=L L y y y Y 2

1，⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ΦT L T T L ϕϕϕ 21，⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=L L e e e E 21

从而，批量最小二乘估计公式为：

L T

L L T L Y ΦΦΦ=-1)(ˆθ

递推最小二乘估计公式为：

)ˆ(ˆˆ11---+=k T k k k k k y K θϕθθ

k k T k k k k P P K ϕϕϕ111--+=，k

k T

k k T

k k k k k P P P P P ϕϕϕϕ11

111----+-= 初始估计：0ˆ0

=θ，I P 20γ=，2

γ是一个充分大的正数。

计算流程为：

（0） 给定0,,ˆ0

0=k P θ； （1） 量测1+k y ，组成T

k 1+ϕ； （2） 计算1+k K ；

（3） 计算1

ˆ+k θ； （4） 输出估计结果，并由误差限或数据长度L 来确定是否停止估计。若条件满足，

则停止估计；否则，继续进行。

（5） 计算1+k P ；

（6） 1+⇐k k ，返回到（1）。 ■

五、 对于SISO 系统的数学模型

k k k v u z B y z A +=---111)()(

其中，k u 和k y 分别为系统的输入输出量，k v 为干扰噪声，)(1

-z A 和)(1

-z B 为参数多项式：

a a n n z a z a z A ---+++= 1111)(

b b n n z b z b b z B ---+++= 1101)(

且b a n n >，1

-z 为延迟算子，即11--=k k y y z 。

1． 对于量测k u 、k y ，N k ,2,1=，写出估计系统参数的最小二乘批量算法详细公式。