D1_4无穷小无穷大
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1-4无穷大量与无穷小量
证 设 lim f ( x) . x x0 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , 即 1 . f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
M 0, 0,使得当0 x x0 时
推论1 在同一过程中,有极限的函数与无穷小的乘 积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x 2 arctan 1 都是无穷小
xx二、无穷大 Nhomakorabea定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
大),总存在正数(或正数 X ),使得对于适合不等式
练习题答案
一、1、0；
3、 ； 二、0 x 1 .
104 2
2、 lim f ( x) C ； x x
4、 1 . f (x)
证 必要性 设 lim f ( x) A, 令 ( x) f ( x) A, x x0 则有 lim ( x) 0, f ( x) A ( x). x x0 充分性 设 f ( x) A ( x),
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、小结
一、无穷小
1.定义: 如果当x x0 (或 x )时，函数a(x)
的极限为0，那么a(x)叫做x x0 (或 x )时 的无穷小.
极限为0的数列xn也称为n 时的无穷小
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
1-4无穷小与无穷大精品PPT课件
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小,
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
例1
记作：lim f ( x) ()
lim 1
y
x x0
lim 1 x x 0 lim 1 x x 0
o
x
例2 lim e x x lim e x 0 x
例3
1
lim e x
x0
1
lim e x 0
x0
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
1_4无穷小无穷大 极限运算法则
定理 4 . 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 则有
lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = AB
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] = C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n = [ lim f ( x) ] n ( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
x → x0
lim Pn ( x) = Pn ( x0 ).
x → x0
例2. 设 n 次多项式 Pn ( x) = a0 + a1 x + + an x n , 试证
n a lim a x 证: lim Pn ( x) = 0 + a1 lim x + + n
= Pn ( x0 )
x → x0
x →1
1 1 lim = 0 , 函数 当 x → ∞ 时为无穷小; x→ ∞ x x 1 1 lim = 0 , 函数 当 x → −∞ 时为无穷小. x→ − ∞ 1 − x 1− x
定义1. 若 x → x0 (或 x → ∞ ) 时 , 函数 f ( x) → 0 , 则 则称函数 f ( x ) 为 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小 . 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为
1 1 1 lim + + + = 1 n →∞ n n n
n
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 ∀ x ∈ ( x0 , δ 1 ) , u ( x ) ≤ M
《高等数学教学课件汇编》d1-4无穷小无穷大
两个无穷小在一定条件下可以相互替换，它 们的比值为1或-1。
同阶无穷小
两个无穷小在同一自变量变化过程中，其比值是常 数。
高阶无穷小
一个无穷小是另一个无穷小的较高阶数。
无穷小的应用
无穷小在求极限中的应用
通过将非零的无穷小替换为零，简化计算过程。
无穷小在导数定义中的应用
导数定义为函数在某点的切线斜率，而无穷小 在导数定义中起到关键作用。
无穷小在积分中的应用
积分是无穷多个无穷小量相加的结果，利用无穷小的性质可以简化积分的计算。
02
无穷大的概念
定义与性质
定义
无穷大是数学中的一个概念，表示一 个数列、函数或实体的值随着某参数 的增大而无限增大。
性质
无穷大具有一些基本的性质，如两个 无穷大的和不一定是无穷大，但无穷 大与常数的和一定是无穷大。
如果函数f(x)在某点的极限为无穷 大，则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意大。
无穷大定理二
如果函数f(x)在某点的极限为无穷 小，则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意小。
无穷大定理三
如果函数f(x)在某点的极限不存在， 则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意变化。
无穷小与无穷大定理的应用
应用一
利用无穷小定理判断函数在某点的极限是否 存在。
应用二
利用无穷大定理判断函数在某点的极限是否 存在。
应用三
利用无穷小定理和无穷大定理研究函数的性 质和变化规律。
THANKS
感谢观看
《高等数学教学课件 汇编》d1-4无穷小
同阶无穷小
两个无穷小在同一自变量变化过程中，其比值是常 数。
高阶无穷小
一个无穷小是另一个无穷小的较高阶数。
无穷小的应用
无穷小在求极限中的应用
通过将非零的无穷小替换为零，简化计算过程。
无穷小在导数定义中的应用
导数定义为函数在某点的切线斜率，而无穷小 在导数定义中起到关键作用。
无穷小在积分中的应用
积分是无穷多个无穷小量相加的结果，利用无穷小的性质可以简化积分的计算。
02
无穷大的概念
定义与性质
定义
无穷大是数学中的一个概念，表示一 个数列、函数或实体的值随着某参数 的增大而无限增大。
性质
无穷大具有一些基本的性质，如两个 无穷大的和不一定是无穷大，但无穷 大与常数的和一定是无穷大。
如果函数f(x)在某点的极限为无穷 大，则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意大。
无穷大定理二
如果函数f(x)在某点的极限为无穷 小，则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意小。
无穷大定理三
如果函数f(x)在某点的极限不存在， 则存在一个无穷大区间(x0-∞, x0+∞)，在该区间内f(x)的值可以 任意变化。
无穷小与无穷大定理的应用
应用一
利用无穷小定理判断函数在某点的极限是否 存在。
应用二
利用无穷大定理判断函数在某点的极限是否 存在。
应用三
利用无穷小定理和无穷大定理研究函数的性 质和变化规律。
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[最新]无限大和无限小-一点数学上的常识
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无穷大和无穷小-一点数学上的知识无穷小。
这个概念无疑常常困扰没有受过现代数学训练的阅读者们，这是很自然的事情，因为它可以从直觉上意识得到，却又难于精确地把握：无穷小是什么？是不是可以精确定义的数学概念？它是一个数？还是一段长度？能不能对无穷小做计算？诸如此类等等。
由于这个概念几乎天然的和各种哲学式的思辨联系在一起，使得甚至哲学家们也对它颇为关注，——当然，还有数之不尽的民科们。
关于无穷小的讨论者，最著名的大概莫过于莱布尼茨，他花了大把的精力试图精确阐述无穷小的概念并且以此作为整个微积分学的基石。
在莱布尼茨看来，无穷小是一个比任何数都小但是不等于零的量，对它可以做四则运算，尤为关键的是可以做除法：两个相关的无穷小量的比值就是一个函数的导数。
以此为基本语言他开始建立微积分学的基本理论，——他基本上成功了。
直至今天，数学家采用的关于微分的记号仍然来自莱布尼茨，而数学学科内部关于微积分学的专门称呼——“分析学”——也来自于莱布尼茨自己对他的理论的叫法：无穷小分析。
尽管牛顿和莱布尼茨在微积分的发明权上争得不可开交，可是几个世纪过去，至少在这两件事情上莱布尼茨大获全胜。
可是，也许你想不到的一件吊诡的事情是：尽管莱布尼茨在微积分学的建立过程里做出如此重要的贡献，他的思想的基石——无穷小量——却是一个在今天的数学语言里被完全抛弃了的概念。
人们发现这个词汇除了带来混乱之外并没有什么特别的用处，于是作为一种语言，它被丢弃了。
事实上，即使在莱布尼茨的同时期人看来，无穷小也是一个有点让人不舒服的词：比任何大于零的数都小，却不是零。
我们当然可以把它仅仅作为一种人为的逻辑概念来使用，可是这样一个怪东西的存在，既使得数学的基本对象——实数的结构变得混乱，也在很多场合带来了麻烦的难于回答的问题（尽管它也确实带来了不少方便）。
在分析学蓬勃发展的十八世纪，一代又一代数学大师为此争论不休，大家混乱而各行其是地使用这个词，却没人能说清楚它的精确含义。
D1_4无穷小无穷大D1_5极限运算法则
(2) lim(u1u2 um ) (lim u1 )(lim u2 )(lim um );
(3) lim(cu) c lim u cA(c为常数） ;
(4) lim(u m ) (lim u) m Am (m N );
(5)lim(u ) (lim u) A (m N , 且A 有意义);
高等数学（上）
24/36
x2 2x a ★例16 若 lim b(a, b为非零常数), x 3 x 3 求a, b.
4 x3 例17 若 lim ( 2 ax b) 0, (a, b为常数), 求a, b. x x 1
高等数学（上）
25/36
极限计算的思路分析
推论2 有限个无穷小之积为无穷小.
高等数学（上）
4/36
定义2 若任给 M >0, 总存在 一切满足不等式
则称函数 当
(正数X), 使对
( x X )的X,总有
①
( x ) 时为无穷大,记作
(lim f ( x) ).
x
若在定义2中将①式改为 则记作
( f ( x) M ) ,
则极限直接等于.
高等数学（上）
21/36
★一般有如下结果：
a0 x m a1 x m1 am lim x b x n b x n 1 b 0 1 n
为非负常数)
高等数学（上）
22/36
例12 计算 lim
x x x x x
x
. ( 型)
高等数学（上）
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6.分子、分母同除以无穷大量法 2 x3 3x 2 5 例10 计算 lim 3 . (型) x 7 x 4 x 2 1
1-4无穷小与无穷大1-5(部分)
am bn
为非负常数 )
Qm (x0 ) 0,
lim Pn (x) Pn (x0 ) . xx0 Qm (x) Qm (x0 )
Qm (x0 ) 0, Pn (x0 ) 0,
Qm (x0) 0, Pn (x0) 0,
lim Pn (x) . xx0 Qm (x)
目前可通过因式分解的方法处理,以后有更好的方法.
当
时,有
当
时,有
则 0, 取 min1 , 2 , 当 0 x x0 时, 有
<
2
2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
lim
n
n
1
1
n
1
2
n
1
n
ln
2
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
xx0
u
例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 = 6. 6
1 6
例8 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数
当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) )
x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),
1-4 无穷小与无穷大
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
返回
x x0
lim f ( x )
M 0, 0,当0 x x0 , f ( x ) M
x x0
lim f ( x )
M 0, 0,当0 x x0 , f ( x ) M
1
,
, 0, 使得当 x x 0 时 0
1
1 即 . f ( x)
1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
返回
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 lim . x 1 x 1
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x 0是函数y f ( x ) 的图形的铅直渐近线.
返回
注意 1.无穷大是变量, 不能与很大的数混淆;
2.切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无 界变量未必是无穷大. 无穷大是其绝对值不断增大的变量。
x
lim f ( x )
返回
M 0, X 0,当x X , f ( x ) M
1 例1 证明 lim . x 1 x 1
证 M 0.
当0 x 1 ,
1 1 M x 1
x x0
取
1 M
1 y x 1
(1) 取 x 0 1 2k 2 y ( x 0 ) 2 k , 当k充分大时, y( x 0 ) M . 2 1 ( 2) 取 x 0 ( k 0,1,2,3,) 2 k
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
返回
x x0
lim f ( x )
M 0, 0,当0 x x0 , f ( x ) M
x x0
lim f ( x )
M 0, 0,当0 x x0 , f ( x ) M
1
,
, 0, 使得当 x x 0 时 0
1
1 即 . f ( x)
1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
返回
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 lim . x 1 x 1
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x 0是函数y f ( x ) 的图形的铅直渐近线.
返回
注意 1.无穷大是变量, 不能与很大的数混淆;
2.切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无 界变量未必是无穷大. 无穷大是其绝对值不断增大的变量。
x
lim f ( x )
返回
M 0, X 0,当x X , f ( x ) M
1 例1 证明 lim . x 1 x 1
证 M 0.
当0 x 1 ,
1 1 M x 1
x x0
取
1 M
1 y x 1
(1) 取 x 0 1 2k 2 y ( x 0 ) 2 k , 当k充分大时, y( x 0 ) M . 2 1 ( 2) 取 x 0 ( k 0,1,2,3,) 2 k
1-4 无穷大量与无穷小量
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x 0 时, 恒有 u u M , M
当x x 0时, u 为无穷小.
M
.
1 例4. 求 lim x sin x 0 x
解：当x 0时, x是无穷小量. 1 sin 有界, x 1 当x 0时, x sin 是无穷小量. x 1 即 lim x sin 0. x 0 x
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)
要点:
无穷大量的定义: lim f ( x ) . 注意无穷大量是认为没有极限的.
无穷大量与无穷小量的关系
证: 设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x
(3) 当x 0 时, lg x ;
当x 时, lg x .
(4) 当x 时,2 x . (注意当x 时,2 x 0)
1 例2. 证明 lim . x 1 x 1
证: M 0. 要使 1 M , x 1
1 1 只要 x 1 , 取 , M M 1 1 当0 x 1 时, 就有 M. M x 1
无穷小量的定义: lim f ( x ) 0.
有极限的函数与无穷小量的关系: f ( x ) A ( x ). 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量与无穷小量的关系.
当x x 0时, u 为无穷小.
M
.
1 例4. 求 lim x sin x 0 x
解：当x 0时, x是无穷小量. 1 sin 有界, x 1 当x 0时, x sin 是无穷小量. x 1 即 lim x sin 0. x 0 x
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)
要点:
无穷大量的定义: lim f ( x ) . 注意无穷大量是认为没有极限的.
无穷大量与无穷小量的关系
证: 设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x
(3) 当x 0 时, lg x ;
当x 时, lg x .
(4) 当x 时,2 x . (注意当x 时,2 x 0)
1 例2. 证明 lim . x 1 x 1
证: M 0. 要使 1 M , x 1
1 1 只要 x 1 , 取 , M M 1 1 当0 x 1 时, 就有 M. M x 1
无穷小量的定义: lim f ( x ) 0.
有极限的函数与无穷小量的关系: f ( x ) A ( x ). 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量与无穷小量的关系.
1-4无穷小与无穷大
2019年5月10日星期五
蚌埠学院 高等数学
14
x 时，不是无穷大量。
证明：取 xn 2n , yn 0
xn 2n , (n ), yn 0, 不是无穷大.
2019年5月10日星期五
蚌埠学院 高等数学
9
说明：证明函数的极限不存在时，只须找一串点
x1, x2 , xn , 使 f (xn ) 的极限不存在。
100 75 50 25
2 N 0
2
0,
yn
2 N 0
2
M.
所以， y x sin x 在 (0, ) 上是无界的。
2019年5月10日星期五
蚌埠学院 高等数学
11
三、无穷小量与无穷大量的关系
1) lim f (x) 0 且 f (x) 0, lim 1 .
x
蚌埠学院 高等数学
3
2、无穷小量和极限的关系
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为 x x0
时的无穷小量 .
证: lim f (x) A
x x0
0, 0, 当 0 x x0 时,有
第一章
一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小量与无穷大量的关系 四、小结与思考判断题
2019年5月10日星期五
蚌埠学院 高等数学
1
一、无穷小量
1、定义：如果函数 f (x) 当 x→x0 (或x→∞) 时 的极限为零，那么，称函数 f (x) 为 x→x0 (或x→∞) 时的无穷小。
《无穷小和无穷大》课件
无穷小序列
讨论无穷小序列的定义及其特点。
无穷大序列
介绍无穷大序列的定义和性质。
性质
无穷小性质
探讨无穷小的性质， 比如加法、乘法和 极限运算。
无穷大性质
讨论无穷大的性质， 如无穷大和有界函 数的关系。
无穷小与有 界函数
探讨无穷小和有界 函数之间的关联。
无穷大与趋 向无穷函数
讨论无穷大和趋向 无穷函数之间的关 系。
讨论
1
无穷小的判定
介绍判断一个数是否为无穷小的方法
无穷大的判定
2
和技巧。
讨论判断一个数是否为无穷大的方法
和策略。
3
常用的无穷小和无穷大
列举常见的无穷小和无穷大，并探究
可比无穷大和同阶无穷小
4
它们的应用。
解释可比无穷大和同阶无穷小的概念 及其重要性。
应用
洛必达法则
介绍洛必达法则及其在无穷小 和无穷大中的应用。
泰勒公式
解释泰勒公式及其在无穷小和 无穷大中的作用。
解析几何中的应用
探讨无穷小和无穷大在解析几 何中的实际应用。
总结
定义和性质回顾
回顾无穷小和无穷大的定义及其性质。
应用场景总结
总结无穷小和无穷大在不同领域中的应用场景。
未来深入学习方向
指导听众进一步学习无穷小和无穷大相关领域的知识。
ห้องสมุดไป่ตู้
参考文献
提供相关学术文献和参考资料，供听众进一步学习和研究。
《无穷小和无穷大》PPT 课件
# 无穷小和无穷大 介绍无穷小和无穷大的概念及其重要性。
前言
1 基础研究
2 概念讨论
无穷小和无穷大在研究区间内函数性质中 扮演着重要角色。
高等数学教学课件 第四节 无穷小与无穷大
1
2k
(k0,1,2,3,)
2
y(xk)2k2,
当 k充分 ,y(x 大 k)M 时 . 无界，
(2 )取 x k 2 k 1 (k 0 ,1 ,2 ,3 , )
当 k充分 , x大 k ,时
但 y ( x k ) 2 k s2 i k n 0M . 不是无穷大．
10/15
例 1 证l明 im1 .
x x 0
x x 0
即 对 0 , 0 ,当 0 x x 0时 ,有
f(x ) A (f(x ) A ) 0
故 lim f(x)A . x x0
6/15
意义： （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
（2）给出了函 f(x数 )在x0 附近的近似表达
式f(x)A, 误差为 (x).
练习题答案
一、1、0；
3、； 二、0 x 1 .
104 2
2、limf(x)C； x x
4、 1 . f(x)
18/15
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证：必要性 设lim f(x)A, 令 (x )f(x )A , x x0 则l有 im (x)0, f(x ) A (x ). x x0 充分性 设 f(x ) A (x ), 其 中 (x)是x当 x0时的,无穷小
5/15
则 li（ m f(x ) A ) lim (x ) 0
的函数值 f ( x)总满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大,记作
lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
8/15
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
无穷小与无穷大及四则运算ppt课件
本文首先引入了无穷小与无穷大的概念，并详细解释了无穷小的定义，即当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于零的变量。着，通过实例演示了如何判断一个函数是否为无穷小，并深入探讨了无穷小的性质，包括有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小，以及有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。此外，还通过具体例子展示了如何利用这些性质进行极限运算。最后，本文对无穷小进行了比较，定义了高阶、低阶、同阶以及等价无穷小，并通过实例加以说明。这些内容为理解和应用无穷小与无穷大在四则运算中的规则提供了坚实的基础。
D1_4无穷小无穷大
无穷小运算法则
定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0,
当
时,有
当
时,有
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2
2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
引例 . x 0 时, 3 x , x2 , x 都是无穷小, 但
lim x2 0, x0 3x
lim x 1 , x0 3x 3
lim
x0
3x x2
,
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0,则称 是比 高阶的无穷小, 记作
lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为 x x0
时的无穷小量 .
证: lim f (x) A
x x0
0, 0, 当 0 x x0 时,有
f (x) A
f (x) A lim 0
x x0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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①
则称函数
当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) )
x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),
则记作
( lim f (x) )
x x0 ( x )
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三、无穷小与无穷大的关系
定理4. 在自变量的同一变化过程中,
D1_4无穷小无穷大
二、 无穷大
( lim f (x) )
x
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在
(正数 X ) , 使对
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数
当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) )
x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),
(自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
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内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
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思考与练习 P37 题1 , 4
作业 P37-38 3； 6 ; 7；8
定义1. 若
(或 x ) 时, 函数
则
则称函数 为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
证: lim f (x) A
x x0
f ( x) A , 其中 为 x x0
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn
2n
1 π
π 2
(n 1, 2 ,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
lim sin
n
1 xn
lim sin(2n π
n
1-4无穷小与无穷大-15页PPT精品文档
蚌埠学院 高等数学
13
四、小结与判断题
注意：无穷小与无穷大是相对于过程而言的。 内容: 无穷小量和无穷大量及其倒数关系。 判断题： （1） 无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数； （2） 无界变量是无穷大. 作业：P41 2（2）、4（1）
17.09.2019
蚌埠学院 高等数学
14
谢谢你的阅读
知识就是财富 丰富你的人生
x2
M
17.09.2019
蚌埠学院 高等数学
8
取 m i,n }{ 因 , ,当 此 x 时 , M
2 M x2
所以，
2x lim
x2 x 2
注5：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一定是 无穷大量。
例３：证明函数 yxsinx在 (0,)是无界的，但 x 时，不是无穷大量。
第一章
一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小量与无穷大量的关系 四、小结与思考判断题
17.09.2019
蚌埠学院 高等数学
1
一、无穷小量
1、定义：如果函数 f (x) 当 x→x0 (或x→∞) 时 的极限为零，那么，称函数 f (x) 为 x→x0 (或x→∞) 时的无穷小。
注1：不要认为无穷小量是一个很小很小的数；
比如 lim , lim
x x
x x
例2 证明
2x
lim
x2 x 2
证： x 2 ,取 1 ,x ( 3 , 1 ) 即 , x 2 1
M0, 2x 2 x 2 x2 x2 x2
要使
2x M x2
只须
2 M,也就 ,x是 22
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
§01-4无穷
无穷大也有一些运算： （1）同方向的有限个无穷大相加也是无穷大。 （2）非零常数与无穷大的乘积是无穷大。 （3）有限个无穷大的乘积也是无穷大。
6
二、极限的四则运算（P44）
7
8
三、复合函数求极限法则（P48）
作业： 习题1-4 4，6 习题1-5 1(7)(9)(11)(12) (13)(14)，2(2)，3 或练习册1-3
y tan x
y
1 x
y
y ln x
o
2
x
o
x
o
x
2
说明：10 无穷大不是很大很大的数。
20 无穷大的两个组成部分：xx0；f(x) (或x ) 30 无穷大是极限不存在的特例，无穷大与无界
3
4
三、无穷小与无穷大的关系
5
§1-5 极限运算法则 一、无穷小的运算（P43） 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小。 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
§1-4 无穷小与无穷大 本节我们讨论两种特殊的变化趋势 一、无穷小
说明：10 无穷小不是很小很小的数，也不是0；但0是无穷小， 且0是无穷小中唯一的常数。 20 无穷小的两个组成部分：xx0；f(x)0 (或x ) 30 无穷小是极限存在的特例，它与极限有如下关系：Βιβλιοθήκη 1二、无穷大 引例
y
y
9
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(或 x ) 时 , 函数
则
则称函数
为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim
f ( x) A
f ( x) A , 其中 为 x x0
时的无穷小量 .
n
(2) 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限
或
注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. 3.
x
lim
sin x x
0 _____ ;
1 x
2. 4.
x
lim x sin 1
x x0
( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
试证
lim Pn ( x) Pn ( x0 ).
证: lim Pn ( x)
x x0
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定理 5 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 且 B≠0 , 则有
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f ( x) A , g ( x) B
(其中 , 为无穷小)
于是
f ( x) g ( x) ( A ) ( B ) ( A B) ( )
由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
第一章
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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
1. 函数极限与数列极限的关系 定理1.
x x0
lim f ( x) A
xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn
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例1. 求
解:
lim 1 x 0
y
sin x x
x
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 .
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二、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有 证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
x x0
x x0
lim f [ ( x) ] lim f (u ) A
u
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例7. 求
解: 令 u 已知
x3 x 9
2
lim u
x 3
1 6
1 6
∴ 原式 =
6 6
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例8 . 求 解: 方法 1 令 u x , 则 lim u 1,
x 1
x 1 x 1
u 1 u 1
2
u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim ( x 1)( x 1) x 1
x 1
lim( x 1)
x 1
2
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第六节 极限存在准则及 两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限
解: 令 t x , 则
t
lim (1 1)
t
t
lim
1
t
( x)
说明 ：若利用 原式
( x )
1 lim (1 ( x ) )
e,
则
1
lim
x
(1
1 x ) x
1
e
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内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用
xn 1 2n
1 xn 1 xn
及 xn 1 2n 2
(n 1, 2 ,)
有
n
lim sin
lim sin 2n 0
n
n
lim sin
lim sin(2n ) 1 2
n
由定理 1 知
不存在 .
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lim
x 1 x3
x 3
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求
解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x 5x 4 2x 3
2
1 5 1 4 2 1 3
2
0
x 1
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例6 . 求
t
sin t t
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t 0 sin t
1
例4. 求
解: 原式 = lim
2 x 2 sin 2 2
x0
x
sin lim x 2 x 0 2
1
x 2
1 2 2 1
2
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2.
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例6. 求
x
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
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定理1. lim f ( x) A
x x0 ( x )
xn x0 , f ( xn ) 有定义
且
( xn )
有 lim f ( xn ) A .
n
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
n
xn x0 ,
使 lim f ( xn ) 不存在 .
法2 找两个趋于
n
的不同数列 xn 及 xn , 使
n
lim f ( xn ) lim f ( xn )
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例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
注意使用条件
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法 1) x x0 时, 用代入法
0
( 分母不为 0 )
2) x x0 时, 对 0 型 , 约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
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例3. 设有分式函数
多项式 , 若 试证:
x x0 x x0
其中
都是
lim P ( x )
证:
Q ( x )
说明: 若 例4.
不能直接用商的运算法则 .
lim ( x 3)( x 1) 3)( x 3)
x 3 ( x
结束
定理6 . 若 lim xn A , lim yn B , 则有
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn y n AB
n
(3) 当 yn 0 且 B 0时, lim
xn yn
n
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
lim f ( x) A
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
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二、 两个重要极限
1
x
B D
o C A
证: 当 x ( 0 , ) 时， 2
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积 即 故有 亦即 显然有
1 sin 2
x
1 tan x 2
(0 x ) 2 (0 x ) 2
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定理 4 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n [ lim f ( x) ] n 例2. 设 n 次多项式
(1) 利用数列极限判别函数极限不存在 法1 找一个数列 xn : xn x0 , 且 xn x0 ( n )
使 lim f ( xn ) 不存在 .
n
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn 及 xn , 使
n
lim f ( xn ) lim f ( xn )
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推论: 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B, 且 f ( x) g ( x),
则 A B . ( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .