数学分析3课件：ch21 二重积分的概念
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二重积分的概念和几何意义
二重积分是数学中的一种重要概念，用于计算平面上的曲面面积、质量、质心等物理量。
它可以理解为在平面上对某个区域进行累积求和的操作。
几何意义上，二重积分可以被解释为平面上某个区域的面积。
具体而言，给定一个平面区域R，可以将该区域划分为许多小的面积元素，然后通过对这些面积元素的面积进行求和来计算整个区域的面积。
当面积元素的大小无限趋近于零时，对所有面积元素的求和就得到了准确的区域面积。
数学上，二重积分可以表示为：
∬R f(x, y) dA
其中，f(x, y) 是被积函数，表示在平面上某点(x, y) 处的函数值；R 是积分的区域，它可以是一个矩形、圆形或更复杂的曲线边界所围成的区域；dA 是微元面积元素。
二重积分的计算可以通过不同的积分方法进行，如直角坐标系下的重叠叠加、极坐标系下的极坐标转化、变量替换等方法。
除了计算面积，二重积分还可以用于计算质心、质量、重心、惯性矩等物理量，具体应用在物理学、工程学、经济学等领域。
总而言之，二重积分是用于计算平面区域上某个函数的累积效应，其几何意义为计算该区域的面积。
通过二重积分，可以对平面上的曲面进行量化分析和计算。
《二重积分计算》课件
探索二重积分在几何问题中的应用，如面积和体积计算。
二、计算方法
1
1. 积分区域为矩形或直角梯形
学习如何计算矩形或直角梯形形状的积
2. 积分区域为一般图形
2
分区域。
掌握将一般图形的积分区域化为标准形
式来计算二重积分。
3
3. 二重积分的性质
了解二重积分的线性性质、区域可加性 质、乘性质和区域可减性质。
七、问题解答
回答大家在学习过程中遇到的问题，确保所有疑惑都得到解答。
八、结束语
恭喜您完成了本次《二重积分计算》的课程！希望本课件对您的学习有所帮 助，继续努力，探索更多数学的奥秘！
作业练习
通过练习题检验你对二重积分 计算的理解和掌握程度。
五、实践案例
工程实践中的二重积分
了解工程实践中如何应用二重积 分解决实际问题。
统计学中的二重积分
探索统计学中如何利用二重积分 分析数据和概率分布。
建筑设计中的二重积分
了解建筑设计中如何应用二重积 分计算面积和体积。
六、扩展阅读
进一步探索二重积分的相关知识和应用领域，拓宽你的数学视野。
三、应用
质心和重心
探索如何利用二重积分计算物体的质心和重心坐标。
面积和弧长
了解如何通过二重积分计算图形的面积和曲线的弧长。
积分坐标变换
学习如何应用坐 技巧
总结二重积分的计算方法，掌 握其中的技巧和要点。
小结
回顾课程的重点内容，帮助你 巩固所学知识。
《二重积分计算》PPT课 件
欢迎大家来到《二重积分计算》的课件！本课程将带您深入了解二重积分的 基本概念、几何意义和计算方法。让我们一起开始探索吧！
一、概述
什么是二重积分
二、计算方法
1
1. 积分区域为矩形或直角梯形
学习如何计算矩形或直角梯形形状的积
2. 积分区域为一般图形
2
分区域。
掌握将一般图形的积分区域化为标准形
式来计算二重积分。
3
3. 二重积分的性质
了解二重积分的线性性质、区域可加性 质、乘性质和区域可减性质。
七、问题解答
回答大家在学习过程中遇到的问题，确保所有疑惑都得到解答。
八、结束语
恭喜您完成了本次《二重积分计算》的课程！希望本课件对您的学习有所帮 助，继续努力，探索更多数学的奥秘！
作业练习
通过练习题检验你对二重积分 计算的理解和掌握程度。
五、实践案例
工程实践中的二重积分
了解工程实践中如何应用二重积 分解决实际问题。
统计学中的二重积分
探索统计学中如何利用二重积分 分析数据和概率分布。
建筑设计中的二重积分
了解建筑设计中如何应用二重积 分计算面积和体积。
六、扩展阅读
进一步探索二重积分的相关知识和应用领域，拓宽你的数学视野。
三、应用
质心和重心
探索如何利用二重积分计算物体的质心和重心坐标。
面积和弧长
了解如何通过二重积分计算图形的面积和曲线的弧长。
积分坐标变换
学习如何应用坐 技巧
总结二重积分的计算方法，掌 握其中的技巧和要点。
小结
回顾课程的重点内容，帮助你 巩固所学知识。
《二重积分计算》PPT课 件
欢迎大家来到《二重积分计算》的课件！本课程将带您深入了解二重积分的 基本概念、几何意义和计算方法。让我们一起开始探索吧！
一、概述
什么是二重积分
《数学二重积分》课件
《数学二重积分》PPT课 件
数学二重积分的概念与应用
引言
本课件旨在介绍数学二重积分的定义、计算方法、应用和性质，以及换元法和计算技巧。 通过深入浅出的讲解和实例演示，帮助你掌握此重要数学概念。
数学二重积分的定义
二重积分是对二元函数在一个平面区域上的积分运算。 了解二重积分的概念和计算方法，为后续的应用和性质提计算
通过二重积分可以计算平面区域的面积，是几何学中重要的应用。
质量的计算
二重积分可以用于计算平面图形的质量分布，例如薄片的密度。
负荷的计算
在物理学和工程学中，利用二重积分可以计算平面上的负荷分布。
数学二重积分的性质
1 二重积分的线性性质
二重积分具有线性运算的性质，便于对复杂问题进行简化和分析。
2 二重积分的积分区域可加性
当将积分区域分割为多个子区域时，二重积分可以按子区域进行分别计算后相加。
数学二重积分的换元法
1 二重积分的变量替换
通过适当的变量替换，可以将复杂的二重积分转化为更简单的形式。
2 二重积分的雅可比行列式
雅可比行列式是换元法中的重要工具，用于计算变量替换后的积分。
数学二重积分的计算技巧
1 对称性的利
利用数学二重积分的对称性，可简化计算并提高效率。
数学二重积分的概念与应用
引言
本课件旨在介绍数学二重积分的定义、计算方法、应用和性质，以及换元法和计算技巧。 通过深入浅出的讲解和实例演示，帮助你掌握此重要数学概念。
数学二重积分的定义
二重积分是对二元函数在一个平面区域上的积分运算。 了解二重积分的概念和计算方法，为后续的应用和性质提计算
通过二重积分可以计算平面区域的面积，是几何学中重要的应用。
质量的计算
二重积分可以用于计算平面图形的质量分布，例如薄片的密度。
负荷的计算
在物理学和工程学中，利用二重积分可以计算平面上的负荷分布。
数学二重积分的性质
1 二重积分的线性性质
二重积分具有线性运算的性质，便于对复杂问题进行简化和分析。
2 二重积分的积分区域可加性
当将积分区域分割为多个子区域时，二重积分可以按子区域进行分别计算后相加。
数学二重积分的换元法
1 二重积分的变量替换
通过适当的变量替换，可以将复杂的二重积分转化为更简单的形式。
2 二重积分的雅可比行列式
雅可比行列式是换元法中的重要工具，用于计算变量替换后的积分。
数学二重积分的计算技巧
1 对称性的利
利用数学二重积分的对称性，可简化计算并提高效率。
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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感谢您的观看
积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
《二重积分的概念》课件
《二重积分的概念》
二重积分是数学中的重要概念之一，通过该概念可以解决很多实际问题。本 课件将带你深入了解二重积分的定义、计算方法以及应用领域。
简介
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和 作用。
为什么要学习二重积分？
探讨为什么二重积分在数学 和实际应用中如此重要。
二重积分的应用领域
展示二重积分在不同领域中 的广泛应用。来自 定义1 二重积分符号表示
解释二重积分的符号表示方法和含义。
2 矩形，极限与边界
介绍二重积分中矩形区域的边界和极限的概念。
3 二重积分的计算方法
讨论如何计算二重积分，包括积分的顺序和方法。
计算二重积分
1
二重积分的理解
阐述二重积分的几何意义和算术解释。
矩形区域的二重积分
2
教授计算矩形区域上二重积分的具体步
骤。
3
极坐标下的二重积分
介绍如何计算采用极坐标表示的二重积 分。
应用
二重积分在几何学中的 应用
展示二重积分如何用于计算 曲线长度、曲面面积和体积。
二重积分在物理学中的 应用
探讨二重积分在物体质量、 质心和力矩计算中的应用。
二重积分在其他领域中 的应用
介绍二重积分在金融、经济 学和生态学等领域中的实际 应用。
总结
1 二重积分的重要性和应用价值
总结二重积分在数学和实际应用中的重要性和价值。
2 未来研究方向
探讨二重积分领域的未来发展和研究方向。
3 最后思考
引导听众思考二重积分带给数学和实际问题的启示。
参考文献
提供相关论文和书籍的参考文献，供进一步学习和研究。
二重积分是数学中的重要概念之一，通过该概念可以解决很多实际问题。本 课件将带你深入了解二重积分的定义、计算方法以及应用领域。
简介
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和 作用。
为什么要学习二重积分？
探讨为什么二重积分在数学 和实际应用中如此重要。
二重积分的应用领域
展示二重积分在不同领域中 的广泛应用。来自 定义1 二重积分符号表示
解释二重积分的符号表示方法和含义。
2 矩形，极限与边界
介绍二重积分中矩形区域的边界和极限的概念。
3 二重积分的计算方法
讨论如何计算二重积分，包括积分的顺序和方法。
计算二重积分
1
二重积分的理解
阐述二重积分的几何意义和算术解释。
矩形区域的二重积分
2
教授计算矩形区域上二重积分的具体步
骤。
3
极坐标下的二重积分
介绍如何计算采用极坐标表示的二重积 分。
应用
二重积分在几何学中的 应用
展示二重积分如何用于计算 曲线长度、曲面面积和体积。
二重积分在物理学中的 应用
探讨二重积分在物体质量、 质心和力矩计算中的应用。
二重积分在其他领域中 的应用
介绍二重积分在金融、经济 学和生态学等领域中的实际 应用。
总结
1 二重积分的重要性和应用价值
总结二重积分在数学和实际应用中的重要性和价值。
2 未来研究方向
探讨二重积分领域的未来发展和研究方向。
3 最后思考
引导听众思考二重积分带给数学和实际问题的启示。
参考文献
提供相关论文和书籍的参考文献，供进一步学习和研究。
二重积分的概念与性质-PPT精品文档
的体积为
Vlim λ0 i1
f(ξi,ηi)σi.
第一节 二重积分的概念与性质
1. 求曲顶柱体的体积
由于这种特殊和式的极限应用极广，实际工作 中各个领域中的不少问题，通常都要化为这种和式 的极限。因此，有必要对这种和的极限进行一般性 的研究。
为了研究问题方便起见，数学上人们就把这种 特殊结构的和的极限称为二重积分。
者之间的共性与区别.
第一节 二重积分的概念与性质
（一）问题的提出
曲顶柱体 以曲面zf(x,为y)顶，以xy平面上区域D为
底，以通过D的边界且与z轴平行的柱面为侧面的立体。
１．曲顶柱体的体积(volume)
zf(x,y)
（曲顶）柱体体积=？
特点：曲顶 D （平顶）柱体体积 =底面积 × 高
特点：平顶
以常代变Δ Si f(ξi)Δ xi;
n
n oa
积零为整 S Si f(ξi)Δxi.
bx
i1
i1
无限累加
n
b
Slλ i0m i1f(ξi)Δ xi af(x)dx.
第一节 二重积分的概念与性质
1. 求曲顶柱体的体积
曲顶柱体: 以xOy平面上的
有界闭区域D为底, 其侧面为以 D的边界线为准线, 而母线平行于 z轴的柱面， 其顶是连续曲面
(3)若f (x,y)在D的某些子区域上为正的, 在D的另一些
子区域上为负的， 则 f (x, y)dσ表示在这些子区域上
曲顶柱体体积的代数和. D
（4）当 f(x,y时), 1 则 d =区域D的面积.
D
4.二重积分的性质
V bπ[f(x)]2dx. a
已知平行截面面积的几何体的体积
二重积分的概念及几何意义
二重积分的概念及几何意 义
二重积分是对平面上的函数在一个有界区域上进行累加的操作。它的定义、 运算法则以及几何意义都非常重要。
二重积分的定义
二重积分是将一个二元函数在一个有界的平面区域上分割成无数个微小的面积元，然后对每个面积元进 行加权求和的过程。
二重积分的运算法则
对于二重积分，我们可以使用积分的线性性质、交换积分次序等法则来简化计算过程。
二重积分与平面区域的几何意义
通过对二重积分的计算，我们可以求得平面上某个区域的面积、质心、惯性矩等几何特性。
二重积分在工程和物理中的应用
工程
二重积分可以用于计算建筑物的稳定性、材料的密度分布等。
物理
二重积分可以描述流体的质量、电场的势能分布等物理现象。
通过实例理解二重积分
1
Example 1
计算平面上一个有界区域的面积。
2
Example 2
计算平面内一个复杂形状的重心位置。
3
Example 3
计算平面上一颗星星的惯性矩。
计算二重积分的方法
我们可以使用直接计算法、坐标变换法等方法来求解二重积分。
二重积分的性质和定理
1 性质 1
二重积分与积分次序无关。
2 性质 2
二重积分的值与积分路径无关。
3 定理 1
如果被积函数在区域上连续，那么二重积分与紧致子区域的积分是一致的。
二重积分是对平面上的函数在一个有界区域上进行累加的操作。它的定义、 运算法则以及几何意义都非常重要。
二重积分的定义
二重积分是将一个二元函数在一个有界的平面区域上分割成无数个微小的面积元，然后对每个面积元进 行加权求和的过程。
二重积分的运算法则
对于二重积分，我们可以使用积分的线性性质、交换积分次序等法则来简化计算过程。
二重积分与平面区域的几何意义
通过对二重积分的计算，我们可以求得平面上某个区域的面积、质心、惯性矩等几何特性。
二重积分在工程和物理中的应用
工程
二重积分可以用于计算建筑物的稳定性、材料的密度分布等。
物理
二重积分可以描述流体的质量、电场的势能分布等物理现象。
通过实例理解二重积分
1
Example 1
计算平面上一个有界区域的面积。
2
Example 2
计算平面内一个复杂形状的重心位置。
3
Example 3
计算平面上一颗星星的惯性矩。
计算二重积分的方法
我们可以使用直接计算法、坐标变换法等方法来求解二重积分。
二重积分的性质和定理
1 性质 1
二重积分与积分次序无关。
2 性质 2
二重积分的值与积分路径无关。
3 定理 1
如果被积函数在区域上连续，那么二重积分与紧致子区域的积分是一致的。
二重积分的概念及性质PPT共46页
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
二重积分的概念及性质
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
谢谢你的阅读
二重积分概念课件-PPT课件
定理20.1
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 对任给的 0, 总存在直线网 T, 使得 S ( T ) s ( T ) . P P
( 2 )
证 必要性 设有界图形 P 的面积为 I P . 由定义 1, 有 I I I . P 0, 由 I P 及 I P 的定义知道, 分别 P P 存在直线网 T 1 与 T 2 , 使得
P ; (ii) i 上的点都是 P 的外点, 即 i (iii) i 上含有 P 的边界点.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
将所有属于第(i) 类小矩形
(图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来, 记这个和数为 (这 ( T ) sP (T ), 则有 s P R
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
于是由(3)可得
P
sT () I, S () T I .
P
从而对直线网 T 有 S () TsT () . P P
S () TsT () . P P
2
P
P
2
充分性 设对任给的 0, 存在某直线网 T, 使得
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们称平面图形 P 是有界的, 如果存在一矩形 R , 使得 P R.
设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点;
二重积分的定义PPT课件
于是整个曲顶柱体就被分成若干小的曲顶柱体。
任取一个小区域Di ，
并且在Di内任取一点 Pi ，
将以 Di 为底，曲面S为顶的曲顶柱体
地看作是以Di 为底，高度等于 f(Pi) 柱体。
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因此这个小柱体的体积近似地等于
Vi f (Pi ) i
各个小柱体的体积之和 就是整个柱体体积的近似值：
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x, y 称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
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如果 f (x在, Dy上) 可积,
分区域D ,
这时
可用平行坐标轴的直线来划 因此面积元素
m f ( x, y)d M
设f
(
D
x, y
)
0,
(
x,
y)
D,
则曲顶柱体
的体积介于以D为底,
以m为高和以M为高的两个
平顶柱体体积之间.
证
md f (x, y)d Md
D
D
D
再用性质1和性质3,
证毕.
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性质6 (二重积分中值定理)
设f ( x, y)在闭区域
D上连续, σ为D的面积,
当f ( x, y) (3)
在D上的若干部分区域上是正的,
而在其它的部分区域上是负的. 在D上的二重积分就等于
那末, f ( x, y)
这些部分区域上的
柱体体积的代数和.
数学分析课件 二重积分概念共36页文档
数学分析课件 二重积分概念
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
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SP (T ) sP (T ) .
（2）
证明 必要性.设平面有界图形P的面积为IP，则有I P I P IP.
0, 由I P和I P的定义, 直线网T1和T2, 使得
sP
(T1)
IP
2
，S
P
(T2
)
IP
2
.
记直线网T为T1和T2合并所成, 就有
sP (T1) sP (T )，SP (T2 ) SP (T ).
解法: 类似定积分解决问题的思想
1)“分割” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1,2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个小曲顶柱体
2)“近似代替”在每个 中任取一点
则
3)“求和”
Vk f (k ,k )k (k 1,2,,n)
n
f (k ,k ) k
k 1
4)“取极限”
n
V lim f (k ,k ) k ,
I P 0, 即 0, T, 使得 SP (T) .
定理21.2 平面图形P可求面积的充要条件是 : P的边界K的
面积为零.
定理21.3 若曲线K是定义在[a,b]上的连续函数f (x)的图象,
则曲线K的面积为零.
证明 由于f (x)在[a,b]上连续,从而在[a,b]上一致连续.
0, 0, 使得当分划a x0 x1 xn b满足 max {xi}
§2 直角坐标系下二重积分的计算
1. 矩形域上二重积分的计算
定理21.8 设f (x, y)在矩形区域D [a,b][c, d ]上可积, 且对
每个x [a,b], 积分cd f (x, y)dy存在, 则累次积分 abdxcd f (x, y)dy
存在, 且
f (x, y)dxdy abdxcd f (x, y)dy.
定义
若选用平行于坐标轴的直线网分割D, 则 xy. 此时常把 D f (x, y)d记为
D f (x, y)d xdy.
n
n
和式S(T ) Mii , s(T ) mii ,分别称为f (x, y)关于分割T的
i1
i1
上和与下和
定理21.4 f (x, y)在D上可积的充要条件是 :
1in
时，f
( x)在[ xi 1,
xi ]上的振幅都成立i
.
ba
K被[xi1, xi ]上宽xi高i的矩形覆盖，其面积总和为
n
ixi
i 1
ba
n i 1
xi
.
曲线K的面积为零.
二、二重积分的定义及其存在性
1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:
底： xoy 面上的有界闭区域 D 顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
T 0 k 1
其中 T max dk .
1k n
定义2 设 f (x, y) 是定义在可求面积的有界闭区域 D上的函数 ,
I是一个确定的数，
则称 f (x, y)在D上可积 , 称 I 为 f (x, y) 在D上的二重积分. 记作
积分和
积分表达式
x , y 称为积分变量
积分域 被积函数 面积元素
定义1 若平面图形P的内面积I P等于它的外面积I P,则称P为 可求面积, 并称其共同值IP I P I P为P的面积.
思考题:
P {(x, y) | (x, y) [0,1][0,1], x, y为有理数}是否可求面积？
定理21.1 平面图形P可求面积的充要条件是 : 0, T , 使得
第(i)类i面积之和，记为 和数 sP (T),
第(i)和(iii)类i面积之和，记为 和数 SP (T)，
则有
sP (T) SP (T)。 内面积
外面积
由确界存在定理得到: I P sup{sP (T)}, I P inf{SP (T)}.
T
T
sP (T) SP (T), 0 I P I P.
三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y) d D2 f (x, y) d
4. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
Hale Waihona Puke 5. 特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
故直线网 T使得
SP (T ) sP (T ) . 充分性.设 0, T, 使得(2)成立. 因sP (T ) I P I P SP (T ),故
I P I P SP (T ) sP (T ) . 由的任意性得，I P I P，P可求面积.
推论 平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积
D f (x, y)d D f (x, y) d
6. 设
D 的面积为 ,
则有
m D f (x, y) d M
7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 ,则至少存在一点
D f (x, y)d f ( , )
在闭区域D上 使
简单直接应用
面积 D1d D d
作业：P.229 1, 2, 4, 5.
因此
s
mik yk mik yk
(1)
D
证明 令F (x) cd f (x, y)dy, 并作分割
a x0 x1 xr b, c y0 y1 ys d,
记ik [xi1, xi ][ yk 1, yk ], Mik和mik为f (x, y)在ik上的上确界
和下确界，则 在ik上mik f (i , y) Mik , 从而
lim S(T) lim s(T).
T 0
T 0
定理21.5 f (x, y)在D上可积的充要条件是 : 0, D的某个 分割T, 使得 S(T ) s(T ) .
定理21.6 有界闭区域D上的连续函数必可积.
定理21.7 设f (x, y)是定义在有界闭区域D上的有界函数. 且 其不连续点集E是零面积集, 则f (x, y)在D上必可积.
第21章 重积分
§1 二重积分的概念
一、平面图形的面积
为了研究定义在平面图形上的函数的积分, 我们首先讨论平面 图形的面积. 下面以矩形面积为基础，定义一般平面图形的面积。 设P是平面有界图形, 用直线网T分割P, 得三类小矩形i :
(i) i上的点都是P的内点； (ii) i上的点都是P的外点； (iii) i上含有P的边界点。