幂函数2教案

幂函数2教案
教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。

本课的教学重点是掌握常见幂函数的概念和性质，难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。

幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。

组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。

对于幂函数，只需重点掌握这五个函数的图象和性质。

学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。

因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

教学目标：
㈠知识和技能
1．了解幂函数的概念，会画幂函数，，的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。

2．了解几个常见的幂函数的性质。

㈡过程与方法
1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

2．使学生进一步体会数形结合的思想。

㈢情感、态度与价值观
1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

2．利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

教学重点
常见幂函数的概念和性质
教学难点
幂函数的单调性与幂指数的关系
教学过程
突破思路
本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型．通过研究y＝x、y ＝x2、y＝x3、y＝x－1、y＝等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数a＞0时，幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增；当幂指数a＜0时，幂函数的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习．
合作讨论
问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？
（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝．
思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．（1）定义域为［0，＋），（2）（3）（4）定义域都是R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数．它们的图象都经过
点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．
问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？
（1）y＝x－1；（2）y＝x－2；（3）y＝；（4）y＝．
思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x|x≠0}，（3）的定义域是（0，＋）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，
（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线．
思维过程
研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比．【例题】讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．思路：函数y＝是幂函数．
（1）要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．
（2）∵xR，∴x2≥0．∴y≥0．
（3）f（－x）＝＝＝f（x），
∴函数y＝是偶函数；
（4）∵n＝＞0，
∴幂函数y＝在［0，＋］上单调递增．
由于幂函数y＝是偶函数，
∴幂函数y＝在（－，0）上单调递减．
（5）其图象如下图所示．
新题解答
【例1】比较下列各组中两个数的大小：
（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），．
解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，
∵1.5＜1.7，∴＜，
（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．
（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，
∵＝，＝，又＞，
∴＞．
点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
【例2】设函数f（x）＝x3，
（1）求它的反函数；
（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围．
解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1（x）＝x．
（2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x的图象都经过点（0，0）和（1，1）．
∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；
在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知
f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；
f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．
点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．
【例3】求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．
解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．
当t＝－1时，ymin＝3．
∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．
点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
变式练习
1．函数y＝（x2－2x）的定义域是（）
A．{x|x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）
C．（－∞，0）］［2，＋∞］D．（0，2）
解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．
答案：B
2．函数y＝（1－x2）的值域是（）
A．［0，＋∞］B．（0，1）
C．（0，1）D．［0，1］
解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，则y＝．
∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．
答案：D
3．函数y＝的单调递减区间为（）
A．（－∞，1）B．（－∞，0）
C．［0，＋∞］D．（－∞，＋∞）
解析：函数y＝是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B．
答案：B
4．若a＜a，则a的取值范围是（）
A．a≥1B．a＞0
C．1＞a＞0D．1≥a≥0
解析：运用指数函数的性质，选C．
答案：C
5．函数y＝的定义域是（）
A．5≥x≥－3B．5＞x＞－3
C．x≥5或x≤－3D．R
解析：由（15＋2x－x2）3≥0．
∴15＋2x－x＜20．∴－3≤x≤5．
答案：A
6．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．
解析：m的取值应该使函数为偶函数．故m＝－1．
答案：m＝－1
7．已知函数y＝．
（1）求函数的定义域、值域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）求函数的单调区间．
解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝，
（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，
∴t＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．
（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，
∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小．
又∵函数y＝在t［0，16］时，y随t的增大而增大，
∴函数y＝的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］．
答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］；
（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；
（3）（1，3］．
规律总结
1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；
2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．。