学年高中数学第二章平面向量第22课时平面向量的正交分解与坐标运算练习新人教A版必修4
高中数学人教版必修平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算作业(系列二)
第二章2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算一、选择题1．已知数轴上A 点坐标为－5，AB ＝－7，则B 点坐标是( ) A ．－2 B ．2 C ．12 D ．－12[答案] D[解析] ∵x A ＝－5，AB ＝－7， ∴x B －x A ＝－7，∴x B ＝－12.2．已知e 1、e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3 [答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ， 即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2， ∴⎩⎨⎧3＝6m－4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12k ＝－8. 3．在四边形ABCD 中，若AB →＝－13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形[答案] B[解析] ∵AB →＝－13CD →，∴AB ∥CD ，且AB >CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形．4．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →[答案] A[解析] ∵2AC →＋CB →＝0， ∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＋OB →－2OA →＝0，∴OC →＝2OA →－OB →.5．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( ) A ．a ＝±a |e | B ．a ＝|a |e C ．a ＝－|a |e D ．a ＝±|a |e[答案] D[解析] e 与a 同向时，a ＝|a |e ，e 与a 反向时， a ＝－|a |e ，∴a ＝±|a |e .6．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D [答案] B[解析] ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴AB →与BD →共线，又∵AB →与BD →有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．二、填空题7．轴上三点A 、B 、C 的坐标分别为1、－1、－5，则AC ＋BC ＝________，|AC |＋|BC |＝________.[答案] －10 10[解析] AC ＋BC ＝－6＋(－4)＝－10， |AC |＋|BC |＝6＋4＝10.8．设数轴上A 、B 的坐标分别是2、6，则AB 的中点C 的坐标是________． [答案] 4[解析] ∵x A ＝2，x B ＝6. ∴AB 中点C 的坐标为x C ＝x A ＋x B 2＝2＋62＝4.三、解答题9．设两个非零向量a 与b 不共线，若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线．[解析] ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →、BD →共线， 又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．一、选择题1．设a 、b 是不共线的向量，AB →＝a ＋k b ，AC ＝m a ＋b (k 、m ∈R )，则当A 、B 、C 三点共线时，有( )A ．k ＝mB ．km －1＝0C ．km ＋1＝0D ．k ＋m ＝0[答案] B[解析] ∵A 、B 、C 三点共线， ∴AB →＝nAC →，∴a ＋k b ＝mn a ＋n b ，∴⎩⎨⎧mn ＝1k ＝n，∴mk －1＝0. 2．若O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1等于( )A ．BO →B ．AO →C ．CO →D ．DO →[答案] A[解析] 如图，3e 2－2e 1＝BC →－AB →＝BC →－DC →＝BC →＋CD →＝BD →＝2BO →， ∴BO →＝32e 1－e 1，故选A.3．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向[答案] D[解析] ∵a 、b 不共线且c ∥d ，∴k 1＝1－1，∴k ＝－1，此时c ＝－d ，即c 与d 反向． 4．设四边形ABCD 中，DC →＝12AB →，且|AD →|＝|BC →|，则这个四边形是( )A ．矩形B ．正方形C ．等腰梯形D ．菱形[答案] C[解析] ∵四边形ABCD 中，DC →＝12AB →，∴DC ∥AB ，且DC ≠AB . 又∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是等腰梯形． 二、填空题5．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.[答案]13或－2 [解析] ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ， ∴k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m 1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0， ∴k ＝13或－2.6．已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 、CA 上的点，且BD →＝13BC →，CE →＝13CA →，设AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.[答案] －23a ＋13b[解析] 如图，DE →＝DB →＋BA →＋AE → ＝－13BC →＋BA →＋23AC →＝－13(b －a )－a ＋23b＝－23a ＋13b .三、解答题7．如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，求证：M 、N 、C 三点共线．[解析] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则： BD →＝BA →＋AD →＝－e 1＋e 2， BN →＝13BD →＝－13e 1＋13e 2，MB →＝12e 1，BC →＝AD →＝e 2，MC →＝MB →＋BC →＝12e 1＋e 2，MN →＝MB →＋BN →＝12e 1－13e 1＋13e 2＝16e 1＋13e 2＝13⎝⎛⎭⎫12e 1＋e 2. 故MN →＝13MC →，故M 、N 、C 三点共线．8．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是它的中位线，求证：EF ∥AD ∥BC 且EF ＝12(AD＋BC )．[解析] 在梯形ABCD 中，由AD ∥BC 可知AD →∥BC →且AD →≠0∴可设BC →＝λAD →(λ∈R )． 又EF 是梯形ABCD 的中位线，∴E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴EA →＋EB →＝0，DF →＋CF →＝0.∵EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →，∴2EF →＝(EA →＋EB →)＋(AD →＋BC →)＋(DF →＋CF →)＝AD →＋BC →＝AD →＋λAD →，即EF →＝12(1＋λ)AD →.∴EF →∥AD →，又EF 与AD 没有公共点，∴EF ∥AD ，∴EF ∥AD ∥BC .又由2EF →＝(AD →＋BC →)及AD →与BC →同向，可得|EF →|＝12|AD →＋BC →|＝12(|AD →|＋|BC →|)，∴EF ＝12(AD ＋BC )．综上可知，EF ∥AD ∥BC ，且EF ＝12(AD ＋BC )．9．(2014·济宁鱼台二中高一月考)设a 、b 是不共线的两个非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值．[解析] ∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，∴存在实数λ，使得8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即⎩⎨⎧8＝λk k ＝2λ，解得⎩⎨⎧ k ＝4λ＝2或⎩⎨⎧k ＝－4λ＝－2.故k ＝±4.。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算练习(含解析)新人教A版必修4
第21课时 平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误． 2．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2，3)，B (4，2)，则AB →可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j 答案 C解析 记O 为坐标原点，则OA →＝2i ＋3j ，OB →＝4i ＋2j ，所以AB →＝OB →－OA →＝2i －j ．3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB ＝(2，4)，AC ＝(1，3)，则BD 等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3，5) D ．(2，4) 答案 B解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)，故选B ．4．设a ＝(－1，2)，b ＝(－1，1)，c ＝(3，－2)，用a ，b 作基底，可将向量c 表示为c ＝p a ＋q b ，则( )A ．p ＝4，q ＝1B ．p ＝1，q ＝－4C ．p ＝0，q ＝4D ．p ＝1，q ＝4 答案 B解析 (3，－2)＝p (－1，2)＋q (－1，1)＝(－p －q ，2p ＋q )，得⎩⎪⎨⎪⎧－p －q ＝3，2p ＋q ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－4.5．平面内给定三个向量a ＝(6，1)，b ＝(－2，3)，c ＝(2，2)． (1)求a ＋2b －c ；(2)是否存在实数λ，μ，使得c ＝λa ＋μb?解 (1)a ＋2b －c ＝(6，1)＋2(－2，3)－(2，2)＝(0，5)．(2)假设存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ，则(2，2)＝λ(6，1)＋μ(－2，3)⇒⎩⎪⎨⎪⎧6λ－2μ＝2，λ＋3μ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝12，即存在实数λ＝μ＝12满足等式．6．已知A (7，1)，B (1，4)，直线y ＝2ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1C ．45D ．53答案 A解析 设C (x 0，y 0)，则y 0＝12ax 0．∴AC →＝x 0－7，12ax 0－1，CB →＝1－x 0，4－12ax 0，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－7＝－x 0，12ax 0－1＝24－12ax 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，a ＝2.7．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则△OAB 的面积等于( )A ．15B ．10C ．7．5D ．5 答案 D解析 由题意可知A (4，2)，B (3，4)，|OA →|＝42＋22＝25，|OB →|＝32＋42＝5，AB →＝OB →－OA →＝－i ＋2j ，|AB →|＝－2＋22＝5，|AO →|2＋|AB →|2＝|OB →|2，所以12×25×5＝5．故选D ．8．在△ABC 中，已知A (2，3)，B (6，－4)，G (4，－1)是中线AD 上一点，且|AG →|＝2|GD →|，那么点C 的坐标为( )A ．(－4，2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4，2) 答案 C解析 由题意，知点G 是△ABC 的重心，设C (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2＋6＋x 3＝4，3－4＋y3＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.故C (4，－2)．9．已知△ABC 中，A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，M ，N 是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →．解 因为A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， 所以AB →＝(－4，－3)，AC →＝(－3，－5)． 又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3．5，－4)，而M ，N 分别为AB ，AC 的中点， 所以F 为AD 的中点．故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1．75，2)．10．如图，已知OA →＝p ，OB →＝q ，OC →＝r ，且AB →＝2BC →． (1)试用p ，q 表示r ；(2)若A 72，12，B 52，32，求点C 的坐标．解 (1)OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋12AB →＝OB →＋12(OB →－OA →)＝32OB →－12OA →， ∴r ＝－12p ＋32q ．(2)设C (x ，y )，AB →＝(－1，1)， BC →＝x －52，y －32，∵AB →＝2BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －5＝－1，2y －3＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴C (2，2)．一、选择题1．若向量a ＝(x －2，3)与向量b ＝(1，y ＋2)相等，则( ) A ．x ＝1，y ＝3 B ．x ＝3，y ＝1 C ．x ＝1，y ＝－5 D ．x ＝5，y ＝－1 答案 B解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，3＝y ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.2．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫133，83C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫133，43D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43答案 D解析 ∵c ＝13(2b －a )＝23b －13a ，∴(x ，y )＝23(－4，－3)－13(5，－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－83－53，－2＋23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43．故选D ．3．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1，2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7，6)B ．(7，6)C ．(6，7)D ．(7，－6) 答案 D解析 设D (x ，y )，由AD →＝BC →，得(x －5，y ＋1)＝(2，－5)，∴x ＝7，y ＝－6． 4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．{(1，2)}B ．{(1，2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅ 答案 C解析 令(1，2)＋λ1(3，4)＝(－2，－2)＋λ2(4，5)， 即(1＋3λ1，2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝0.故M 与N 只有一个公共元素是(－2，－2)．5．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α，β∈R 且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 答案 D解析 设OC →＝(x ，y )，OA →＝(3，1)，OB →＝(－1，3)． ∵OC →＝αOA →＋βOB →，∴(x ，y )＝α(3，1)＋β(－1，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－β，y ＝α＋3β.又∵α＋β＝1，∴x ＋2y －5＝0，应选D ． 二、填空题6．已知A (2，3)，B (1，4)，且12AB →＝(sin α，cos β)，α，β∈－π2，π2，则α＋β＝________．答案π6或－π2解析 ∵12AB →＝12(－1，1)＝－12，12＝(sin α，cos β)，∴sin α＝－12且cos β＝12，∴α＝－π6，β＝π3或－π3．∴α＋β＝π6或－π2．7．设向量OA →绕点O 逆时针旋转π2得向量OB →，且2OA →＋OB →＝(7，9)，且向量OB →＝________．答案 －115，235解析 设OA →＝(m ，n )，则OB →＝(－n ，m )，所以2OA →＋OB →＝(2m －n ，2n ＋m )＝(7，9)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝7，m ＋2n ＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝235，n ＝115.因此，OB →＝－115，235．8．已知点A (－1，－1)，B (1，3)，C (x ，5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈R ，则x ＝________．答案 2解析 取O (0，0)，由OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，得 (x ，5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ＋－λ，5＝－λ＋－λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2.三、解答题9．已知A (1，－2)，B (2，1)，C (3，2)和D (－2，3)，以AB →，AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →．解 ∵AB →＝(1，3)，AC →＝(2，4)， AD →＝(－3，5)，BD →＝(－4，2)，CD →＝(－5，1)，∴AD →＋BD →＋CD →＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m ，n ，使得AD →＋BD →＋CD →＝mAB →＋nAC →， ∴(－12，8)＝m (1，3)＋n (2，4)， 即(－12，8)＝(m ＋2n ，3m ＋4n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝－12，3m ＋4n ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，n ＝－22.∴AD →＋BD →＋CD →＝32AB →－22AC →．10．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y ，2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示． (1)证明：对任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1，1)，b ＝(1，0)，求向量f (a )及f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 是常数)的向量c 的坐标． 解 (1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a＋n b＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(m a＋n b)＝(ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，mf(a)＋nf(b)＝m(a2，2a2－a1)＋n(b2，2b2－b1)＝(ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，∴f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)成立．(2)f(a)＝(1，2×1－1)＝(1，1)，f(b)＝(0，2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y，2y－x)＝(p，q)，∴y＝p，2y－x＝q，∴x＝2p－q，即向量c＝(2p－q，p)．。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
学年高中数学第二章平面向量..平面向量的正交分解及坐标表示新人教A版必修
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案一、选择题(本大题共7小题，每题5分，共35分) 1．M(2，3)，N(3，1)，那么NM →的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(－1，2) C ．(－2，1) D ．(1，－2)2．在平面直角坐标系中，|a |＝2022，a 与x 轴的正半轴的夹角为π3，那么向量a 的坐标是( )A ．(10092，10092)B ．(－10092，10092)C ．(1009，10093)D ．(10093，1009)3．如图L238所示，向量MN →的坐标是( )图L238A ．(1，1)B ．(－1，－2)C ．(2，3)D ．(－2，－3)4．假设向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，c ＝(4，2)，那么c ＝( ) A ．3a －b B ．3a ＋b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b5．点A(1，3)，B(4，－1)，那么与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，假设表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，那么向量c 等于( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)7．向量AB →与a ＝(3，－4)的夹角为π，且|AB →|＝2|a |，假设A 点的坐标为(－1，2)，那么B 点的坐标为( )A ．(－7，10)B ．(7，10)C ．(5，－6)D ．(－5，6)二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)8．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，3)，点B 的坐标为(6，5)，O 为坐标原点，那么OA →＝________，OB →＝________．9．假设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(－3，4)，那么12AB →＝________．10．AB →＝(1，2)，CB →＝(－3，－4)，那么AC →＝__________．11．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，假设PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，那么BC →＝________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．13．(13分)a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，将以下向量表示成x a ＋y b 的形式． (1)p ＝(2，3)； (2)q ＝(－3，2)．。
2022版人教A版高中数学必修第二册练习题--平面向量的正交分解、平面向量加减乘运算的坐标表示
2022版人教A版高中数学必修第二册--6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示基础过关练题组一平面向量的正交分解及坐标表示1.(2020山东威海文登高一下期中)如图所示,{e1,e2}为单位正交基底,则向量a,b 的坐标分别是()A.(3,4),(2,-2)B.(2,3),(-2,-3)C.(2,3),(2,-2)D.(3,4),(-2,-3)2.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =()A.2i+3jB.4i+2jC.2i-jD.-2i+j3.(2021湖北黄冈高一下期中)已知A(1,2),B(5,4),C(x,3),D(-3,y),且AB⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x,y 的值分别为()A.-7,-5B.7,-5C.-7,5D.7,54.在平面直角坐标系中,|a|=2 020,a与x轴正半轴的夹角为π,则向量3a=.题组二平面向量的加、减运算的坐标表示5.(2020辽宁沈阳高一上期末)已知向量a =(2,1),b =(-4,-2),则a +b = ( ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1)6.(2021四川成都玉林中学高一下期中)若向量a =(-1,2),b =(1,-1),则b -a = ( ) A.(-2,3) B.(0,1) C.(-1,2) D.(2,-3)7.已知点A (1,0),B (3,2),向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.(0,-1) B.(1,-1) C.(1,0) D.(-1,0)8.在平行四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3),则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 . 题组三 平面向量数乘运算的坐标表示9.(2021重庆外国语学校高一期中)设i ,j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量,O 为坐标原点,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4i +2j ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3i +4j ,则2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是 ( )A.(1,-2)B.(7,6)C.(5,0)D.(11,8)10.(2021江苏镇江中学高一下期中)若向量a =(1,2),b =(3,4),c =(-1,0),且c =x a +y b ,则x +y = ( )A.-2B.-1C.0D.111.(多选)已知向量e 1=(-1,2),e 2=(2,1),若向量a =λ1e 1+λ2e 2,则使λ1λ2<0成立的a 可能是 ( )A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)12.(2021江西南昌十三中等四校高一上期末联考)已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(-2,1)、(2,-1)、(0,1),且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求点P 、Q 和向量PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.题组四 平面向量共线的坐标表示13.(2021广东深圳中学高一下期中)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,cos α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-sin α),若A ,B ,C 三点共线,则tan α的值为( )A.-2B.-12C.12D.214.(2020安徽滁州九校高一上期末联考)已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4),若(a +λb )∥c ,则实数λ=( ) A.2 B.1 C.12D.1415.(2021黑龙江鹤岗一中高一下月考)已知e 1,e 2是平面内两个不共线的向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+e 2,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1+λe 2,EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2e 1+e 2,且A ,E ,C 三点共线. (1)求实数λ的值;(2)若e 1=(2,1),e 2=(2,-2),求BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标; (3)已知D (3,5),在(2)的条件下,若A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A 的坐标.能力提升练题组一 平面向量加、减、数乘运算的坐标表示及应用 1.(2020北京首师大附中高一上期末,)如图,正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ +μAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ-μ的值为 ( )A.3B.2C.1D.-32.(2021江西南昌十三中等四校高一上期末联考,)将一圆周的六个等分点分成两组相间的三点,它们所构成的两个正三角形去掉内部六条线段后可以形成 一个正六角星,如图所示的正六角星以原点O 为中心,若将以O 为起点,正六角星的12个顶点为终点的有向线段所表示的向量都写为a x +b y 的形式,则a +b 的最大值为( )A.2B.3C.4D.53.(2021安徽师范大学附属外国语学校高一下期中,)在△ABC 中,AB =6,BC =8,AB⊥BC ,M 是△ABC 外接圆上一动点,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ,μ∈R,则λ+μ的最大值是( )A.1B.54C.43D.2 4.(2020重庆北碚实验中学高一上期末,)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R),则m +n = .题组二 平面向量共线的坐标表示5.(2021江苏南京鼓楼高一下期中,)设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-1),OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b ,0),其中O 为坐标原点,a >0,b >0,若A ,B ,C 三点共线,则1a+2b的最小值为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.9 6.()设向量a =(λ+2,λ2-cos 2θ),b =(μ,μ2+sinθ),其中λ,μ,θ∈R .若a =2b ,则λμ的最小值为 .7.(2020山东泰安第二中学高一下期中,)(1)若a =(2cos α,1),b =(sin α-√5,-1),且a∥b ,求tan α;(2)已知O 为坐标原点,点A (4,0),B (4,4),C (2,6),求AC 与OB 的交点P 的坐标. 8.()已知A ,B ,C 的坐标分别为(0,0),(-1,1),(cos α,sin α),α∈(0,π).(1)若A ,B ,C 三点共线,求角α的值;(2)若D (s ,t ),且四边形ABCD 为平行四边形,求s +t 的取值范围.答案全解全析 基础过关练1.C 由题图可知a=2e 2+3e 1,b=2e 2-2e 1,∴a=(2,3),b=(2,-2).故选C.2.C 记O 为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2i+3j ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4i+2j ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2i-j .3.C 易得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3-x ,y -3). ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{-3-x =4,y -3=2,解得{x =-7,y =5.故选C .4.答案 (1 010,±1 010√3)解析 设a =(x ,y ),则x =2 020cos π3=1 010,|y |=2 020sin π3=1 010√3,故a =(1 010,±1 010√3). 5.A ∵a =(2,1),b =(-4,-2), ∴a +b =(-2,-1),故选A .6.D 因为a =(-1,2),b =(1,-1),所以b -a =(1,-1)-(-1,2)=(2,-3),故选D .7.A ∵A (1,0),B (3,2),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2).∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),故选A . 8.答案 (-3,-5)解析 由题意可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)-(2,4)=(-1,-1),∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).9.D 由题可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4),所以2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(11,8). 10.D 因为向量a =(1,2),b =(3,4),c =(-1,0),且c =x a +y b , 所以(-1,0)=(x +3y ,2x +4y ), 所以{x +3y =-1,2x +4y =0,可得x +y =1,故选D .11.AC 设a =(x ,y ). ∵a =λ1e 1+λ2e 2, ∴(x ,y )=λ1(-1,2)+λ2(2,1),∴{x =-λ1+2λ2,y =2λ1+λ2,解得{λ1=2y -x5,λ2=2x+y 5.对于A 选项,λ1=-15,λ2=25,λ1λ2<0,A 符合;对于B 选项,λ1=25,λ2=15,λ1λ2>0,B 不符合;对于C 选项,λ1=15,λ2=-25,λ1λ2<0,C 符合;对于D 选项,λ1=-25,λ2=-15,λ1λ2>0,D 不符合.故选AC .12.解析 易得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2), ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(-2,0)=(-6,0), CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-4). 设P (x ,y ),则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y -1), ∴{x =-6,y -1=0,解得{x =-6,y =1, ∴P (-6,1).同理可得Q (4,-3),∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,-4). 13.A 因为A ,B ,C 三点共线,所以向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以-sin α-2cos α=0, 即tan α=-2,故选A .14.C 由题意得,a +λb =(1+λ,2)和c =(3,4)平行,故(1+λ)×4-2×3=0,解得λ=12.故选C .15.解析 (1)由题意可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+e 2)+(-e 1+λe 2)=e 1+(1+λ)e 2, ∵A ,E ,C 三点共线,∴存在实数k ,使得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =kEC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即e 1+(1+λ)e 2=k (-2e 1+e 2), 得(1+2k )e 1=(k -1-λ)e 2.∵e 1,e 2是平面内两个不共线的向量, ∴{1+2k =0,k -1-λ=0,解得{k =-12,λ=-32.(2)由(1)得BE⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-32e 2, 则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC⃗⃗⃗⃗⃗ =-3e 1-12e 2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2). (3)∵A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 设A (x ,y ),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-x ,5-y ),又BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-7,-2),∴{3-x =-7,5-y =-2,解得{x =10,y =7,∴点A 的坐标为(10,7). 能力提升练1.D 如图,建立平面直角坐标系.设AB =2,则A (0,0),C (2,2),D (0,2),E (1,2), ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2), ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAE ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(0,2)=λ(2,2)+μ(1,2), ∴{0=2λ+μ,2=2λ+2μ,∴{λ=-1,μ=2.∴λ-μ=-3,故选D .2.D 建立如图所示的直角坐标系.设x =(1,0),则y =(-32,√32),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,√32),OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3), 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a x +b y 得{a -32b =32,√32b =√32,解得{a =3,b =1, 则a +b =4,同理可得OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的a +b 的值分别为5,1, 再由对称性知OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的a +b 的值分别为-4,-5,-1,易知所求最大值只能在这六个值中取得,故所求最大值为5.故选D .3.C 易得AC =√AB 2+BC 2=10.以AC 的中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A (-5,0),C (5,0).设M 的坐标为(5cos θ,5sin θ),过点B 作 BD 垂直于x 轴,垂足为D.易得sin ∠BAC =45,cos ∠BAC =35,∴BD =AB sin ∠BAC =245,AD =AB cos ∠BAC =185,∴OD =AO -AD =75,∴B (-75,245).易得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(185,245),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5cos θ+5,5sin θ). ∵AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(5cos θ+5,5sin θ)=λ(185,245)+μ(10,0),∴μ=12cos θ−38sin θ+12,λ=2524sin θ,∴λ+μ=12cos θ+23sin θ+12=56sin (θ+φ)+12其中tan φ=34,∴当sin (θ+φ)=1时,(λ+μ)max =56+12=43.4.答案 3解析 如图所示,建立平面直角坐标系.由题得A (1,0),∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0). ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7, ∴cos α=√210,sin α=7√210,又∵|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴C (15,75),即OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(15,75). ∵cos (α+45°)=√22(cos α-sin α)=-35,sin (α+45°)=√22(sin α+cos α)=45,∴B (-35,45),即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-35,45). ∵OC⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R), ∴{15=m -35n ,75=45n ,解得{m =54,n =74,∴m +n =3.5.C ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-1),OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b ,0), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a -1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b -1,2). ∵A ,B ,C 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为共线向量, ∴2(a -1)-(-b -1)=0,即2a +b =1. ∵a >0,b >0,∴1a +2b =(1a +2b)(2a +b ) =2+2+b a +4a b≥4+2√b a ·4a b =8, 当且仅当b a=4a b ,即a =14,b =12时取等号,故1a +2b 的最小值为8,故选C . 6.答案 -6解析 ∵a =2b ,∴{λ+2=2μ,λ2-cos 2θ=μ+2sinθ,消去λ,得4μ2-9μ+4=cos 2θ+2sin θ=-sin 2θ+2sin θ+1=-(sin θ-1)2+2,又-2≤-(sin θ-1)2+2≤2,∴-2≤4μ2-9μ+4≤2,解得14≤μ≤2,∴12≤1μ≤4, ∴-8≤-2μ≤-1. 又λ=2μ-2,∴λμ=2−2μ,则-6≤λμ≤1,故λμ的最小值为-6. 7.解析 (1)∵a ∥b ,∴-2cos α-(sin α-√5)=0,∴sin α+2cos α=√5,∴sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α=5,∵sin 2α+cos 2α=1,∴sin 2α+4sinαcosα+4cos 2αsin 2α+cos 2α=5, ∴tan 2α+4tanα+4tan 2α+1=5,即4tan 2α-4tan α+1=0,∴(2tan α-1)2=0,∴tan α=12. (2)解法一:由O ,P ,B 三点共线,可设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4λ,4λ),λ∈(0,1),则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4λ-4,4λ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,6).由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=34,所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3),所以点P 的坐标为(3,3).解法二:设P (x ,y ),则OP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),因为OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4),且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以x 4=y 4,即x =y. 又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -4,y ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,6),且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以(x -4)×6-y ×(-2)=0,解得x =y =3,所以点P 的坐标为(3,3).8.解析 (1)由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α,sin α). ∵A ,B ,C 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴-sin α-cos α=0,即tan α=-1,∵α∈(0,π),∴α=3π4. (2)∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线. 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α-s ,sin α-t ),∴cos α-s =-1,sin α-t =1,∴s =cos α+1,t =sin α-1,∴s +t =sin α+cos α=√2sin (α+π4). ∵α∈(0,π),∴α+π4∈(π4,5π4), ∴sin (α+π4)∈(-√22,1], ∴√2sin (α+π4)∈(-1,√2], 由(1)知,α≠3π4,∴s +t ≠0. 故s +t 的取值范围是(-1,0)∪(0,√2].。
新人教版高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课时提升作业2
平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·大同高一检测)给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误.2.(2014·广东高考)已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则b-a= ( )A.(-2，1)B.(2，-1)C.(2，0)D.(4，3)【解析】选B.b-a=(3，1)-(1，2)=(2，-1).3.已知=(5，-3)，C(-1，3)，=2，则点D坐标是( )A.(11，9)B.(4，0)C.(9，3)D.(9，-3)【解析】选D.设点D的坐标为(x，y)，则=(x，y)-(-1，3)=(x+1，y-3).又因为=2=2(5，-3)=(10，-6)，所以解得所以点D坐标为(9，-3).【误区警示】求向量坐标时要注意的易错点(1)已知向量的起点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去起点坐标.(2)要注意区分向量的坐标与向量终点的坐标.4.(2014·唐山高一检测)若a=(2，1)，b=(1，0)，则3a+2b的坐标是( )A.(5，3)B.(4，3)C.(8，3)D.(0，-1)【解析】选C.3a+2b=3(2，1)+2(1，0)=(8，3).5.(2014·本溪高一检测)已知A(2，-3)，=(3，-2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为( )A.B(5，-5)，M(0，0)B.B(5，-5)，MC.B，M(0，0)D.B，M【解析】选B.因为A(2，-3)，=(3，-2)，所以B(5，-5)，M，即M.【变式训练】(2013·牡丹江高一检测)已知A(2，3)，B(4，-3)，点P在直线AB上，且||=||，则点P的坐标为( )A. B.(8，-15)C.或(8，-15)D.或(6，-9)【解题指南】一方面注意分析与的关系，另一方面注意利用方程思想求点P的坐标.【解析】选C.设点P的坐标为(x，y)，=(x，y)-(2，3)=(x-2，y-3)，=(4，-3)-(x，y)=(4-x，-3-y).因为||=||，所以=或=-，所以(x-2，y-3)=(4-x，-3-y)，或(x-2，y-3)=-(4-x，-3-y)，所以或解得或所以点P的坐标为或(8，-15).6.(2013·沧州高一检测)对于向量m=(x1，y1)，n=(x2，y2)，定义m⊗n=(x1x2，y1y2).已知a=(2，-4)，且a+b=a ⊗b，那么向量b等于( )A. B.C. D.【解析】选A.设b=(x，y)，由新定义及a+b=a⊗b，可得(2+x，y-4)=(2x，-4y)，所以2+x=2x，y-4=-4y，解得x=2，y=，所以向量b=.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2013·北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则=.【解题指南】建立直角坐标系，写出三个向量的坐标，利用解方程组的方法解出λ，μ.【解析】以向量a，b的交点为原点，原点向右的方向为x轴正方向，正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系，则a=(-1，1)，b=(6，2)，c=(-1，-3)，根据c=λa+μb得(-1，-3)=λ(-1，1)+μ(6，2)，即解得λ=-2，μ=-，所以=4.答案：48.已知a的方向与x轴的正向所成的角为120°，且|a|=6，则a的坐标为.【解析】作向量=a，则||=6，所以点A的坐标为(6cos120°，6sin120°)，即(-3，3)，所以a的坐标为(-3，3).答案：(-3，3)9.(2014·苏州高一检测)已知A(2，3)，B(1，4)，且=(sinx，cosy)，x，y∈，则x+y=.【解题指南】利用A(2，3)，B(1，4)表示出，结合=(sinx，cosy)，利用坐标唯一求得x，y的值.【解析】因为A(2，3)，B(1，4)，所以=(1，4)-(2，3)=(-1，1)，故=，所以sinx=-，cosy=，又x，y∈，所以x=-，y=±，从而x+y=或x+y=-.答案：或-三、解答题(每小题10分，共20分)10.以原点O及点A(2，-2)为顶点作一个等边△OAB，求点B的坐标及向量的坐标.【解析】因为△OAB是等边三角形，所以||=||=||=4.又以Ox为始边，OA为终边的角为或-(如图)，所以当B在OA上方时，以OB为终边的角为，由任意角三角形函数的定义，得==(2，2)，所以=-=(2，2)-(2，-2)=(0，4)，当B在OA下方时，以OB为终边的角为或-，得=(0，-4)，所以=-=(0，-4)-(2，-2)=(-2，-2)，综上所述，B(2，2)，=(0，4)或B(0，-4)，=(-2，-2).11.已知向量=(4，3)，=(-3，-1)，点A(-1，-2).(1)求线段BD的中点M的坐标.(2)若点P(2，y)满足=λ(λ∈R)，求λ与y的值. 【解析】(1)设B(x1，y1)，因为=(4，3)，A(-1，-2)，所以(x1+1，y1+2)=(4，3)，所以所以所以B(3，1).同理可得D(-4，-3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2==-，y2==-1，所以M.(2)由=(3，1)-(2，y)=(1，1-y)，=(-4，-3)-(3，1)=(-7，-4)，又=λ(λ∈R)，所以(1，1-y)=λ(-7，-4)=(-7λ，-4λ)，所以所以一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·成都高一检测)若=(3，6)，=(1，2)，则= ( )A.(2，-4)B.(-2，4)C.(-2，-4)D.(2，4)【解题指南】利用向量的减法法则可知=-.【解析】选C.=-=(1，2)-(3，6)=(-2，-4).2.(2014·绍兴高一检测)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足=α+β，其中α，β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0【解析】选D.设C(x，y)，则=(x，y)，又=α+β=(3α-β，α+3β)，所以即又α+β=1，所以x+2y-5=0.3.设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，若表示向量4a，3b-2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )A.(1，-1)B.(-1，1)C.(-4，6)D.(4，-6)【解析】选D.由题意得4a+(3b-2a)+c=0，所以2a+3b+c=0，所以c=-2a-3b=-2(1，-3)-3(-2，4)=(-2，6)-(-6，12)=(4，-6).4.(2014·上饶高一检测)若a-b=(1，2)，a+b=(4，-10)，则a等于( )A.(-2，-2)B.(2，2)C.(-2，2)D.(2，-2)【解析】选D.因为a-b=(1，2)，所以2a-b=(2，4)，又a+b=(4，-10)，所以3a=(6，-6)，a=(2，-2).二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·厦门高一检测)已知A(-1，2)，B(2，8).若=，=-，则的坐标为.【解析】因为=(2，8)-(-1，2)=(3，6)，所以==(1，2)，=-=(-2，-4)，故=+=(-1，-2)，所以=(1，2).答案：(1，2)【变式训练】(2013·邢台高一检测)已知点A(2，4)，向量a=(3，4)，且=2a，则点B的坐标为. 【解析】因为=2a=2(3，4)=(6，8)，所以=+=(2，4)+(6，8)=(8，12).答案：(8，12)6.已知A(-3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||=2，且∠AOC=.设=λ+(λ∈R)，则λ=.【解析】由题意得向量与x轴正向所成的角是，又||=2，所以点C的坐标是，即(-2，2)，所以=(-2，2)，因为A(-3，0)，B(0，2)，所以=(-3，0)，=(0，2)，=λ+=λ(-3，0)+(0，2)=(-3λ，2)，所以-3λ=-2，λ=.答案：三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014·常德高一检测)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=(2，4)，=(1，3)，求的坐标.【解析】因为=-=(1，3)-(2，4)=(-1，-1)，==(-1，-1)，所以=-=(-1，-1)-(2，4)=(-3，-5).【误区警示】解答本题一方面容易忽视平行四边形法则的应用，另一方面容易弄错与的关系.8.(2014·洛阳高一检测)已知向量u=(x，y)与向量v=(y，2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.(1)证明：对任意向量a，b及常数m，n，恒有f(m a+n b)=mf(a)+nf(b)成立.(2)设a=(1，1)，b=(1，0)，向量f(a)及f(b)的坐标.(3)求使f(c)=(p，q)(p，q是常数)的向量c的坐标.【解析】(1)设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，则m a+n b=(ma1+nb1，ma2+nb2)，所以f(m a+n b)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)，又mf(a)+nf(b)=m(a2，2a2-a1)+n(b2，2b2-b1)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)，所以f(m a+n b)=mf(a)+nf(b)成立.(2)f(a)=(1，2×1-1)=(1，1)，f(b)=(0，2×0-1)=(0，-1).(3)设c=(x，y)，则f(c)=(y，2y-x)=(p，q)，所以y=p，2y-x=q，解得x=2p-q，所以c=(2p-q，p).。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理、正交分解与坐标表示练习(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示一、选择题1．已知平行四边形ABCD ，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A.AB →，DC →B.AD →，BC →C.BC →，CB →D.AB →，DA →【答案】D【解析】选项A 、B 、C 中的向量都共线，选项D ，由于AB →，DA →不共线，所以是一组基底，故选D 。
2．等边三角形ABC 中，的夹角等于与BC AB （ ） A ．600 B ．900 C ．1200 D ．1500【答案】C 。
【解析】的夹角是与BC AB 角B 的补角，角B 为600.故选B 。
3．如图所示，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a 、b 表示AD →，则AD →等于( )A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14b 【答案】 B【解析】 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .故选B. 4．四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，BD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形【答案】 B5．若向量a ，b 的夹角为30°，则向量－a ，－b 的夹角为( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°【答案】 B【解析】 因为“向量a ，b 的夹角”与“向量－a ，－b 的夹角”作在同一起点处时为对顶角，故二者相等均为30°.故选B 。
6.在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点， AM 与DE 相交于点N ， 若AN →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 等于( )A ．1 B.12 C.14 D.18 【答案】 C 【解析】AN →＝12(AD →＋AE →)＝12(14AB →＋14AC →)＝18AB →＋18AC →，∴x ＝y ＝18，即x ＋y ＝18＋18＝14.故选C 。
高中数学 2_3_2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算试题 新人教A版必
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算一、选择题1．【题文】若向量()2,3a =，()1,2b =-,则a b -的坐标为（ ）A ．()1,5B ．()1,1C ．()3,1D ．()3,52．【题文】已知向量()3,2OA =-，()5,1OB =--，则向量12AB 的坐标是( ) A ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()8,1-D ．()8,13.【题文】已知()3,2M -，()5,1N --且12MP MN =，则点P 的坐标为( ) A ．()8,1- B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫--⎪⎝⎭D ．()8,1- 4．【题文】已知四边形ABCD 为平行四边形，其中()5,1A -，()1,7B -，()1,2C ，则顶点D 的坐标为( )A ．()7,0- B ．()7,6 C ．()6,7 D ．()7,6-5.【题文】已知O 为坐标原点，向量()1,3OA =,()3,1OB =-,且2AP PB =,则点P 的坐标为（ ）A ．()2,4- B ．24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．71,33⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()2,4-6．【题文】已知向量()1,2=a ，()2,3=b ，()3,4=c ，且12λλ=+c a b ，则1λ，2λ的值分别为( )A ．2,1-B ．1,2-C ．2,1-D ．1,2-7．【题文】在△ABC 中，D 为BC 边的中点，若()2,0BC =，()1,4AC =，则AD =（ ）A ．()2,4--B ．()0,4-C ．()2,4D ．()0,48．【题文】已知四边形ABCD 为平行四边形，()1,2A -，()0,0B ，()1,7C ，则点D 的坐标是（ ）A ．()9,9-B ．()9,0-C ．()0,9D ．()0,9-二、填空题9．【题文】若()1,3A -，()3,4a =，2AB a =，则点B 的坐标为 ．10．【题文】已知向量()11,2e =-，()25,2e =-，向量()4,0a =-，用1e ，2e 表示向量a ，则a = ．11.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0A ，()0,1B ，点C 在第一象限内，AOC ∠π6=，且2OC =，若OC OA OB λμ=+，则λμ+的值是_________．三、解答题12．【题文】已知()2,2a =-，()3,4b =-，()1,5c =，求：（1）322a b c -+；（2）()2a b c -+．13.【题文】如图所示，已知△ABC 中，()()()7,8,3,5,4,3A B C ，,M N 是,AB AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于F ，求DF ．14. 【题文】已知()()()2,4,3,1,3,4,A B C ----且3,2CM CA CN CB ==,求点,M N 的坐标及向量MN 的坐标.2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算 参考答案及解析1. 【答案】C【解析】向量()2,3a =，()1,2b =-，则()3,1a b -=．故选C ．考点：平面向量的坐标运算.【题型】选择题【难度】较易2. 【答案】A 【解析】()()()()111115,13,28,14,22222AB OB OA ⎛⎫=-=----=-=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭． 考点：平面向量的坐标运算.【题型】选择题【难度】较易3. 【答案】C【解析】设(),P x y ，由题意得()()113,28,14,22x y ⎛⎫-+=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1x =-，32y =-，故选C. 考点：向量的坐标表示.【题型】选择题【难度】较易4. 【答案】D【解析】设(),D x y ，由题意得AD BC =，∴()()5,12,5x y -+=-，∴7x =，6y =-，故选D.考点：平面向量的坐标运算.【题型】选择题【难度】较易5. 【答案】C【解析】设(),P x y ，则(),OP x y =，所以()1,3AP x y =--，()3,1PB x y =---，由2AP PB =得()()123,321x x y y -=⨯--=⨯--，解得31,37==y x .故选C. 考点：平面向量的坐标运算.【题型】选择题【难度】一般6. 【答案】D【解析】由121223,234,λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得121,2.λλ=-⎧⎨=⎩故选D.考点：平面向量的坐标运算.【题型】选择题【难度】一般7. 【答案】D 【解析】()()()()()111,42,01,41,00,422AD AC DC AC BC =-=-=-=-=，故选D ． 考点：平面向量的坐标运算.【题型】选择题【难度】一般8. 【答案】C【解析】设D 的坐标为(),x y ，∵()1,2A -，()0,0B ，()1,7C ，∴()1,2AB =-，()1,7DC x y =--，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB DC =，∴11x -=，72y -=-，解得0x =，9y =.考点：平面向量的坐标运算.【题型】选择题【难度】一般9. 【答案】()7,5【解析】()1,3A -，()3,4a =，2AB a =，设(),B m n ，则()()1,36,8m n -+=，所以7m =，5n =，即B 点的坐标为()7,5．【难度】较易10. 【答案】12e e --【解析】设12a e e λμ=+，∵()11,2e =-，()25,2e =-，()4,0a =-，∴()()()()4,01,25,25,22λμλμλμ-=-+-=-+-，∴54,220,μλλμ-=-⎧⎨-=⎩解得1λ=-，1μ=-，∴12a e e =--. 考点：平面向量的坐标运算.【题型】填空题【难度】一般11. 1【解析】由题意，知()1,0OA =，()0,1OB =．设(),C x y ，则(),OC x y =．∵OC OA OB λμ=+，∴()()()(),1,00,1,x y λμλμ=+=．∴,,x y λμ=⎧⎨=⎩又∵π6AOC ∠=，2OC =，∴π2cos6x λ===π2sin 16y μ===，∴1λμ+=.考点：平面向量的坐标运算.【题型】填空题【难度】较难12. 【答案】（1）()10,24-（2）()9,17-【解析】()2,2a =-，()3,4b =-，()1,5c =，（1）()()()()3226,66,82,1010,24a b c -+=---+=-.（2）()()()()210,121,59,17a b c -+=-+=-．【难度】较易13. 【答案】()1.75,2【解析】()()()7,8,3,5,4,3A B C ，()()()()37,584,3,47,383,5.AB AC ∴=--=--=--=-- 又D 是BC 的中点，()()1 3.5,42AD AB AC ∴=+=--,又,M N 分别为,AB AC 的中点, F ∴为AD 的中点,()1 1.75,2.2DF AD ∴=-= 考点：平面向量的坐标运算的应用.【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】见解析【解析】()()()2,4,3,1,3,4,A B C ----()()1,8,6,3,CA CB ∴== ()()331,83,24,CM CA ∴===()()226,312, CB === 设(),,M x y 则()3,4,CM x y =++33,424,x y +=⎧∴⎨+=⎩解得0,20,x y =⎧⎨=⎩ ∴点M 坐标为()0,20M .同理可得()9,2N ，()()90,2209,18.MN ∴=--=-考点：平面向量的坐标运算的应用.【题型】解答题【难度】一般。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.22.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算练
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算一、A组1.下列可作为正交分解的基底的是()A.等边三角形ABC中的B.锐角三角形ABC中的C.以角A为直角的直角三角形ABC中的D.钝角三角形ABC中的解析:选项A中,的夹角为60°;选项B中,的夹角为锐角;选项D中,的夹角为锐角或钝角,所以选项A,B,D都不符合题意.选项C中,的夹角为∠A=90°,则选项C符合题意.答案:C2.向量=(2x,x-1),O为坐标原点,则点A在第四象限时,x的取值范围是()A.x>0B.x<1C.x<0或x>1D.0<x<1解析:∵=(2x,x-1),∴点A的坐标为(2x,x-1).当点A在第四象限时,⇒0<x<1.答案:D3.已知向量a,b满足a+b=(1,3),a-b=(3,-3),则a,b的坐标分别为()A.(4,0),(-2,6)B.(-2,6),(4,0)C.(2,0),(-1,3)D.(-1,3),(2,0)解析:由①+②得2a=(4,0),①-②得2b=(-2,6),∴a=(2,0),b=(-1,3).答案:C5.已知向量=(3,4),将其向左平移一个单位,再向上平移一个单位后,所得向量的坐标为.解析:∵向量平移后还和原向量相等,∴所得向量坐标为(3,4).答案:(3,4)6.已知A(3,-5),B(-1,3),点C在线段AB上,且=3,则点C的坐标是.解析:设C(x,y),则=(x-3,y+5),3=3(-1-x,3-y)=(-3-3x,9-3y).∵=3,∴解得x=0,y=1,即点C的坐标是(0,1).答案:(0,1)7.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为.解析:由已知可得4a+3b-2a+c=0,∴c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(-2,6)-(-6,12)=(4,-6).答案:(4,-6)8.已知点O(0,0),A(1,3),B(2,4),且=2=3.(1)求A',B'两点及向量的坐标;(2)若-2=0,求的坐标.解:(1)=2=2(1,3),=3=3(2,4).故A'(2,6),B'(6,12).=(6,12)-(2,6)=(4,6).(2)设P(x,y),则=(x-1,y-3).则(4,6)-2(x-1,y-3)=(0,0).即(6-2x,12-2y)=(0,0).由向量相等知解得故P(3,6),=(3,6).9.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及+t.(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第二象限?(2)四边形OABP能成为平行四边形吗?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解:(1)+t=(1+3t,2+3t).若点P在x轴上,则2+3t=0⇒t=-;若点P在y轴上,则1+3t=0⇒t=-;若点P在第二象限,则解得-<t<-.(2)=(1,2),=(3-3t,3-3t).若四边形OABP为平行四边形,需,于是此方程组无解.故四边形OABP不能成为平行四边形.10.已知三点A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P满足+λ(λ∈R).(1)λ为何值时,点P在正比例函数y=x的图象上?(2)若点P在第三象限,求λ的取值范围.解:设点P坐标为(x1,y1),则=(x1-2,y1-3).+λ=(5-2,4-3)+λ(7-2,10-3),即+λ=(3+5λ,1+7λ),由+λ,可得(x1-2,y1-3)=(3+5λ,1+7λ),则解得∴点P的坐标是(5+5λ,4+7λ).(1)令5+5λ=4+7λ,得λ=.∴当λ=时,点P在函数y=x的图象上.(2)∵点P在第三象限,∴解得λ<-1.∴λ的取值范围是{λ|λ<-1}.二、B组1.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2等于()A.(5,-1)B.(-1,5)C.(6,-2)D.(-4,9)解析:=(4,2)-(2,-1)=(2,3),=(1,5)-(4,2)=(-3,3),故+2=(2,3)+2(-3,3)=(-4,9).故选D.答案:D2.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于()A.(-2,6)B.(-4,0)C.(7,6)D.(-2,0)解析:∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即即c=(-2,0).故选D.答案:D3.已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论:①存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y);②若a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2;③若a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点O;④若a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y).其中,正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:由平面向量基本定理可知,①正确;②不正确,例如,a=(1,0)≠(1,3),但1=1;因为向量可以平移,所以a的坐标(x,y)与a的始点是不是原点无关,故③错误;a的坐标不一定与终点坐标相同,故④错误.故选B.答案:B4.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是()A.(1,5)或(5,5)B.(1,5)或(-3,-5)C.(5,-5)或(-3,-5)D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)解析:设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D.(1)若平行四边形为▱ABCD,则,∴D(-3,-5);(2)若平行四边形为▱ACDB,则,∴D(5,-5);(3)若平行四边形为▱ACBD,则,∴D(1,5).综上所述,点D坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).答案:D5.在△ABC中,点M在AC上,且=3,点N是BC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=.解析:=(1,5)-(4,3)=(-3,2).∵点N是BC的中点,∴=2=(-6,4).∴=(4,3)+(-6,4)=(-2,7).∴=3=3(-2,7)=(-6,21).答案:(-6,21)6)若α,β是一组基底,γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为.解析:因为向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),所以有a=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4), 设a=x(-1,1)+y(1,2),则有解得答案:(0,2)7.已知点B(1,0)是向量a的终点,向量b,c均以原点O为起点,且b=(-3,4),c=(-1,1)与a的关系为a=3b-2c,求向量a的起点坐标.解:a=3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-7,10).设a的起点为A(x,y),则a==(1-x,-y),∴∴A(8,-10).∴向量a的起点坐标为(8,-10).8A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),用作为基底来表示.解:∵=(1,3),=(2,4),=(-3,5),=(-4,2),=(-5,1),∴=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).设=λ+μ,则(-12,8)=λ(1,3)+μ(2,4), 即∴=32-22.。
2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算练习新人教B版必修4
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课时跟踪检测 [A 组 基础过关]1．已知a ＝(－2,3)，b ＝(1,5)，则3a ＋b 等于( ) A ．(－5,14) B.(5,14) C ．(7,4)D.(5,9)解析：3a ＋b ＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选A. 答案：A2．设向量AB →＝(2,3)，且点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为( ) A ．(1,1) B.(－1，－1) C ．(3,5)D.(4,4)解析：OB →＝OA →＋AB →＝(1,2)＋(2,3)＝(3,5)，故选C. 答案：C3．已知AB →＝(5，－3)，C (－1,3)，CD →＝2AB →，则点D 的坐标为( ) A ．(11,9) B.(4,0) C ．(9,3)D.(9，－3)解析：设D (x ，y )，由CD →＝2AB →得(x ＋1，y －3)＝2(5，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝10，y －3＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－3，故D (9，－3)．答案：D4．设A ，B ，C ，D 四点的坐标依次为(－1,0)，(0,2)，(4,3)，(3,1)，则四边形ABCD 为( )A ．正方形 B.矩形 C ．菱形D.平行四边形解析：∵AB →＝(0,2)－(－1,0)＝(1,2)， DC →＝(4,3)－(3,1)＝(1,2)，∴AB →＝DC →.∴AB ∥DC 且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．故选D. 答案：D5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4) B.(－3，－5) C ．(3,5)D.(2,4)解析：BD →＝AD →－AB →＝AC →－AB →－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．故选B. 答案：B6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1－λ2＝________. 解析：由c ＝λ1a ＋λ2b ，得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2，∴λ1－λ2＝－3.答案：－37．平面上三个点，分别为A (2，－5)，B (3,4)，C (－1，－3)，D 为线段BC 的中点，则向量DA →的坐标为________．解析：因为D 为线段BC 的中点，由线段的中点坐标公式x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22可以求得D ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，再由向量的坐标公式得DA →＝(2，－5)－⎝⎛⎭⎪⎫1，12＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－112.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，－112 8．已知A (－1,2)，B (2,8)．若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，求CD →的坐标．解：设C (x ，y )，由AC →＝13AB →，得(x ＋1，y －2)＝13(3,6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4，∴C (0,4)． 设D (m ，n )，由DA →＝－23AB →，得(－1－m,2－n )＝－23(3,6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＝－2，2－n ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝6，∴D (1,6)，∴CD →＝(1,2)．[B 组 技能提升]1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－6,21) B.(－2,7) C ．(6，－21)D.(2，－7)解析：PQ →－PA →＝AQ →＝(－3,2)，Q 是AC 的中点，∴AQ →＝QC →，∴PC →＝PQ →＋QC →＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)． ∵BP →＝2PC →，∴BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝(－6,21)． 答案：A2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3，2)D.(1,3)解析：设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A.答案：A3．在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (3，1)，将向量OP →绕点O 逆时针旋转90°后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是________．解析：∵点O (0,0)，P (3，1)，∴OP →＝(3，1)， ∴|OP →|＝2，且OP →的方向与x 轴正方向的夹角为30°， ∵OP →绕点O 逆时针旋转90°后得到向量OQ →， ∴OQ →的方向相对于x 轴正方向的转角为120°. 设OQ →＝(x 1，y 1)，则x 1＝|OP →|cos120°＝－1，y 1＝|OP →|sin120°＝ 3.∴OQ →＝(－1，3)，∴Q 点的坐标为(－1，3)． 答案：(－1，3)4．已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正半轴上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．解析：在题设的直角坐标系下，有A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，所以AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)．所以2AB →＋3BC →＋AC →＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)．答案：(3,4)5．已知A (3,2)，B (0,5)，C (－2,1)，且CP →＝2CA →，求点P 的坐标及BP →的坐标． 解：设P (x ，y )，∵A (3,2)，B (0,5)，C (－2,1)， ∴CP →＝(x ＋2，y －1)，CA →＝(5,1)． ∵CP →＝2CA →，∴(x ＋2，y －1)＝(10,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝10，y －1＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝3.∴P (8,3)，BP →＝(8，－2)．6．已知三点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，点P 满足 AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R)． (1)λ为何值时，点P 在正比例函数y ＝x 的图象上？ (2)设点P 在第三象限，求λ的范围． 解：(1)由AP →＝AB →＋λAC →，得AP →－AB →＝λAC →， 即BP →＝λAC →.设P 点的坐标为(x P ，y P )，则(x P －5，y P －4)＝λ(5,7)． 若P 点在y ＝x 的图象上，则x P ＝y P . 设x P ＝y P ＝a ， 于是⎩⎪⎨⎪⎧a －5＝5λ，a －4＝7λ，解得λ＝12，∴当λ＝12时点P 在正比例函数y ＝x 的图象上．(2)P 点在第三象限，∴x P ＜0且y P ＜0. 由(1)知(x P －5，y P －4)＝λ(5,7)，得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝5λ＋5，y P ＝7λ＋4.∴5λ＋5＜0且7λ＋4＜0，解得λ＜－1. ∴点P 在第三象限时λ的范围为(－∞，－1)．。
2020高中人教A版数学必修4：第22课时 平面向量的正交分解与坐标运算 Word版含解析
第22课时 平面向量的正交分解与坐标运算一、选择题1．已知i, j 分别是方向与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，设a ＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x ∈R )，则向量a 位于( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D解析：因为a ＝(x 2＋x ＋1，－x 2＋x －1)，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0，－x 2＋x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34＜0，故a 位于第四象限．2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 的坐标是( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1) D ．(7，－1) 答案：B解析：∵a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，∴－3a －2b ＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－7，－1)．3．已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →＝( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(1,1)D ．(－1，－1) 答案：D解析：12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →＝( ) A ．(2,4) B ．(3,5)C ．(1,1)D ．(－1，－1) 答案：C解析：DA →＝－AD →＝－BC →＝－(AC →－AB →)＝(1,1)．5．若AB →＝(1,1)，AD →＝(0,1)，BC →＋CD →＝(a ，b )，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：A解析：BC →＋CD →＝BD →＝AD →－AB →＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a ＝－1，b ＝0，a ＋b ＝－1. 6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) 答案：D解析：由题意知：4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0⇒d ＝(－2，－6)，故选D. 二、填空题7．已知向量AB →＝(－1,2)，AC →＝(3，－1)，则向量BC →的坐标为________． 答案：(4，－3)解析：BC →＝AC →－AB →＝(3，－1)－(－1,2)＝(4，－3)． 8．若a ＝(1,2)，b ＝(－1,0)，则2a －b ＝________. 答案：(3,4)解析：2a －b ＝(2,4)－(－1,0)＝(3,4)．9．平面上有A (－2,1)、B (1,4)、D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连结DC 并延长，取点E 使CE →＝14DE →，则点E 的坐标为________．答案：(－8，－53)解析：设C (x ，y )，由AC →＝12BC →，得(x ＋2，y －1)＝12(x －1，y －4)．即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝12x －1，y －1＝12y －4.解得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝－2.即C (－5，－2)．又E 在DC 延长线上， ∴CE →＝14DE →，设E (a ，b )，则(a ＋5，b ＋2)＝14(a －4，b ＋3)解之得a ＝－8，b ＝－53.∴E (－8，－53)．三、解答题10．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，OP →＝OA →＋tAB →.求：t 分别为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？解：由题意，OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，所以t ＝－13；若P 在第二象限，只需⎩⎨⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.11．已知A (8，－1)、B (2,5)，点C 是直线AB 上一点，且AC →＝－5BC →，求点C 的坐标和AC →的坐标．解：设C (x ，y )，则AC →＝(x －8，y ＋1)，BC →＝(x －2，y －5)． ∵AC →＝－5BC →.∴(x －8，y ＋1)＝－5(x －2，y －5)，即⎩⎨⎧x －8＝－5x －2y ＋1＝－5y －5，得⎩⎨⎧x ＝3y ＝4.∴C (3,4)．AC →＝(3,4)－(8，－1)＝(－5,5)．12．在△ABC 中，已知A (2,3)，B (6，－4)，G (4，－1)是中线AD 上一点，且|AG →|＝2|GD →|，那么点C 的坐标为( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2) 答案：C解析：由题意，知点G 是△ABC 的重心，设C (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2＋6＋x 3＝4，3－4＋y3＝－1.解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2.故C (4，－2)． 13．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解：(1)a ＝AB →＝(5，－5) b ＝BC →＝(－6，－3)c ＝CA →＝(1,8)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(6，－42)(2)a ＝m b ＋n c ，∴(5，－5)＝(－6m ，－3m )＋(n,8n )＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )⎩⎨⎧－6m ＋n ＝5－3m ＋8n ＝－5解得m ＝－1，n ＝－1.(3)设M(x，y)，则CM→＝(x＋3，y＋4)＝(3,24)→＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．x＋3＝3，x＝0，y＋4＝24，y＝20.M(0,20)．同理N(9,2)∴MN。
必修第二册 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 习题 (新人教A版)
课时2 平面向量的正交分解及坐标表示(35分钟 100分)基础 达标掌握平面向量的正交分解及坐标表示 素养 突破通过平面向量的正交分解及坐标表示提高学生数学运算及逻辑推理素养1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把这个向量正交分解.2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,我们分别取x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ,j 作为基底.对于坐标平面内的任意向量a ,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x ,y ,使得a=xi+yj. 我们把有序实数对(x ,y )叫做向量a 的坐标,记做a=(x ,y ),其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标,y 叫做向量a 在y 轴上的坐标.3.相等向量的坐标相同,即a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),a=b ⇔x 1=x 2且y 1=y 2.题组一 平面向量的正交分解及坐标表示的概念1.(8分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,若OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1),则点A 的坐标为 ( )A .(2,1)B .(-2,1)C .(-2,-1)D .(2,-1)2.(8分)已知i ,j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量,O 为坐标原点,若A 的坐标为(-1,3),则( ) A .OA⃗⃗⃗⃗⃗ =-i+3j B .OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3i+j C .OA⃗⃗⃗⃗⃗ =i -3j D .OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3i -j 3.(8分)给出下面几种说法: ①相等向量的坐标相同;②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;③平面上一个点与以原点为起点,该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是( )A .0B .1C .2D .34.(8分)已知向量a的方向与x轴的正方向的夹角是30°,且|a|=4,则a的坐标为.5.(13分)在平面直角坐标系中画出下列向量(1)a=(1,2);(2)b=(-1,2).题组二平面向量的正交分解及坐标表示的应用6.(8分)若向量a=(x+2,4)与向量b=(1,y-2)相等,则()A.x=1,y=6B.x=1,y=-6C.x=-1,y=6D.x=-1,y=-67.(8分)已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量,O为原点,设⃗⃗⃗⃗⃗ =(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则点A位于() OAA.第一、二象限B.第二、三象限C.第三象限D.第四象限8.(13分)已知向量a=(x+3y,2x+y+2),b=(y-2x+1,3x-y+7),若a=b,求实数x,y的值.9.(13分)如图,分别用基底{i,j}表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.10.(13分)以原点O及点A(-4,0)为顶点作一个等边△OAB,求向量OB课时2 平面向量的正交分解及坐标表示1.D 解析:本题考查平面向量的正交分解及坐标表示的概念.因为O 为原点,OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1),所以点A 的坐标为(2,-1).2.A 解析:本题考查平面向量的正交分解及坐标表示的概念.由平面向量坐标的概念知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(-1,3),所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ =-i+3j. 3.D 解析:本题考查平面向量坐标的概念.由向量坐标的定义可知①②③都正确.4.(2√3,2)或(2√3,-2) 解析:本题考查向量坐标的综合运算.设a=(x ,y ),则x=4cos 30°=2√3,y=4sin 30°=2,或x=4cos(-30°)=2√3,y=4sin(-30°)=-2,故a=(2√3,2)或(2√3,-2).5.解析:本题考查在平面直角坐标系中画出向量.(1)(2)6.C 解析:本题考查两向量相等.由a=b 可得x+2=1,y -2=4,所以x=-1,y=6.7.D 解析:本题考查向量的坐标表示.∵x 2+x+1>0,-(x 2-x+1)<0,∴点A 位于第四象限,故选D 项.8.解析:本题考查向量相等求参数.由题意可得方程组{x +3y =y -2x +1,2x +y +2=3x -y +7.整理得{3x +2y =1,x -2y =-5.解得{x =-1,y =2. 9.解析:本题考查向量的正交分解及坐标.由图可知,a=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3i+2j ,所以a=(-3,2).同理,b=-3i -2j=(-3,-2),c=3i -2j=(3,-2),d=3i+2j=(3,2).10.解析:本题考查向量的坐标的应用.因为O (0,0),A (-4,0),且△OAB 为等边三角形,若点B 在x 轴上方,则B (-4cos 60°,4sin 60°),即B (-2,2√3),所以OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2√3),即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(-2,2√3).同理,若B 在x 轴下方,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2√3).。
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第22课时 平面向量的正交分解与坐标运算
1.2
1
2．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )．
3．平面向量的坐标运算
已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
(1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
(2)λa ＝(λx 1，λy 1)(λ∈R )．
(3)若A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，则AB →
＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
一、选择题 1．已知i, j 分别是方向与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，设a ＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2
－x ＋1)j (其中x ∈R )，则向量a 位于( )
A ．第一、二象限
B ．第二、三象限
C ．第三象限
D ．第四象限 答案：D
解析：因为a ＝(x 2＋x ＋1，－x 2
＋x －1)，
x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋3
4＞0，
－x 2
＋x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34
＜0，
故a 位于第四象限．
2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 的坐标是( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1) D ．(7，－1) 答案：B
解析：∵a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，
∴－3a －2b ＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－7，－1)．
3．已知向量AB →＝(2,4)，AC →
＝(0,2)，则12
BC →＝( )
A ．(－2，－2)
B ．(2,2)
C ．(1,1)
D ．(－1，－1) 答案：D
解析：12BC →＝12(AC →－AB →)＝1
2
(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.
4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →
＝( ) A ．(2,4) B ．(3,5)
C ．(1,1)
D ．(－1，－1) 答案：C
解析：DA →＝－AD →＝－BC →＝－(AC →－AB →
)＝(1,1)．
5．若AB →＝(1,1)，AD →＝(0,1)，BC →＋CD →
＝(a ，b )，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：A
解析：BC →＋CD →＝BD →＝AD →－AB →
＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a ＝－1，b ＝0，a ＋b ＝－1. 6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6) 答案：D
解析：由题意知：4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0⇒d ＝(－2，－6)，故选D. 二、填空题
7．已知向量AB →＝(－1,2)，AC →＝(3，－1)，则向量BC →
的坐标为________． 答案：(4，－3)
解析：BC →＝AC →－AB →
＝(3，－1)－(－1,2)＝(4，－3)． 8．若a ＝(1,2)，b ＝(－1,0)，则2a －b ＝________. 答案：(3,4)
解析：2a －b ＝(2,4)－(－1,0)＝(3,4)．
9．平面上有A (－2,1)、B (1,4)、D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12
BC →
，连
结DC 并延长，取点E 使CE →＝14
DE →
，则点E 的坐标为________．
答案：(－8，－5
3
)
解析：设C (x ，y )，由AC →＝12BC →
，得(x ＋2，y －1)＝12
(x －1，y －4)．
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2＝1
2x －，
y －1＝1
2
y －
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－5，
y ＝－2.
即C (－5，－2)．又E 在DC 延长线上，
∴CE →＝14
DE →
，设E (a ，b )，
则(a ＋5，b ＋2)＝1
4
(a －4，b ＋3)
解之得a ＝－8，b ＝－53.∴E (－8，－5
3
)．
三、解答题
10．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，OP →＝OA →＋tAB →
.求：t 分别为何值时，P 在x 轴上？
P 在y 轴上？P 在第二象限？
解：由题意，OP →＝OA →＋tAB →
＝(1＋3t,2＋3t )．
若P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，所以t ＝－2
3；
若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，所以t ＝－1
3
；
若P 在第二象限，只需⎩⎪⎨
⎪⎧
1＋3t <0，
2＋3t >0，
∴－23<t <－13
.
11．已知A (8，－1)、B (2,5)，点C 是直线AB 上一点，且AC →＝－5BC →
，求点C 的坐标和AC →
的坐标．
解：设C (x ，y )，则AC →＝(x －8，y ＋1)，BC →
＝(x －2，y －5)． ∵AC →＝－5BC →.
∴(x －8，y ＋1)＝－5(x －2，y －5)，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －8＝－x －y ＋1＝－y －，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3y ＝4.∴C (3,4)． AC →＝(3,4)－(8，－1)＝(－5,5)．
12．在△ABC 中，已知A (2,3)，B (6，－4)，G (4，－1)是中线AD 上一点，且|AG →|＝2|GD →|，那么点C 的坐标为( )
A ．(－4,2)
B ．(－4，－2)
C ．(4，－2)
D ．(4,2) 答案：C
解析：由题意，知点G 是△ABC 的重心，设C (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧
2＋6＋x 3＝4，
3－4＋y
3＝－1.
解得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝－2.故C (4，－2)．
13．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →
＝3c ，CN →
＝－2b .
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；
(3)求M 、N 的坐标及向量MN →
的坐标．
解：(1)a ＝AB →＝(5，－5) b ＝BC →
＝(－6，－3) c ＝CA →
＝(1,8)
3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(6，－42)
(2)a ＝m b ＋n c ，∴(5，－5)＝(－6m ，－3m )＋(n,8n )＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )
⎩
⎪⎨
⎪⎧
－6m ＋n ＝5－3m ＋8n ＝－5解得m ＝－1，n ＝－1.
(3)设M (x ，y )，则CM →
＝(x ＋3，y ＋4)＝(3,24)
x ＋3＝3，x ＝0，y ＋4＝24，y ＝20.M (0,20)．同理N (9,2)∴MN →
＝(9,2)－(0,20)＝(9，
－18)．。