高中数学选修综合试卷
高中数学选修一综合测试题重点易错题(带答案)
高中数学选修一综合测试题重点易错题单选题1、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±12x B．y=±2xC．y=±4x D．y=±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d=√b2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0.因为d=√b2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=±12x.故选：A2、已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为（）A．√2a B．√3a C．√23a D．√33a答案：D分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解由正方体的性质，AB1∥DC1,D1B1∥DB，AB1∩D1B1=B1，DC1∩DB=D，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a,a,0)，A 1(a,0,a )，C (0,a,0)，B 1(a,a,a )，D 1(0,0,a ) 所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−a,0)，AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,a,a )，B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,−a,0)．连接A 1C ，由CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(0,a,a )=0，CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(−a,−a,0)=0，且AB 1∩B 1D 1=B 1，可知A 1C ⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ⃑ =(1,−1,1)， 则两平面间的距离d =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑ |n ⃑ ||=√3=√33a ． 故选：D3、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0，这两圆的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得，圆C 1圆心(0,0)，半径为7；圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16，圆心(3,4)，半径为4， 两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B.4、已知直线斜率为k ，且−1≤k ≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[0,π3]∪[π2,3π4)B ．[0,π3]∪[3π4,π)C．[0,π6]∪[π2,3π4)D．[0,π6]∪[3π4,π)答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 解：直线l的斜率为k，且−1≤k≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.5、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为（）A．3x−y−4√3=0B．x−y−√3=0C．x+y−√3=0D．x+y+√3=0答案：D分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k=tan135°=−1，所以直线方程为y+2√3=−(x−√3)，即x+y+√3=0，故选：D6、如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN∥OP的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)， 对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，MN ∥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A7、已知直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则l 的方程为（ ） A ．x +3y −10=0B ．x −3y +8=0C ．3x +y −6=0D ．2x +3y −11=0 答案：A分析：直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切可知k l =−1k op，再使用点斜式即可.直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则k l =−1k op=−13−01−0=−13,故直线l 的方程为y −3=−13(x −1)，即x +3y −10=0. 故选：A.8、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB:DC =2:1，则三角形ABD 面积的最小值是（ ）A ．43(√3−1)B ．43(√3+1)C ．4√33D ．√33答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C 的坐标，利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式，可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ，代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B (−1,0)，C (1,0)， 设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169，所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD 面积的最小值为S △ABD =12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A多选题9、对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是（ ） A ．开口向上，准线方程为y ＝－116B ．开口向上，焦点为(0,116) C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，准线方程为y ＝－1 答案：AB分析：根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可. 由题设，抛物线可化为x 2=y4，∴开口向上，焦点为(0,116)，准线方程为y =−116. 故选：AB10、已知直线l 1：x −y −1=0，动直线l 2：(k +1)x +ky +k =0 (k ∈R )，则下列结论正确的是（ ） A ．存在k ，使得l 2的倾斜角为90∘B ．对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都不垂直答案：ABD分析：当k=0时可判断A；直线l1与l2均过点(0,−1)可判断B；当k=−12时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于−1可判断D，进而可得正确选项.对于A：当k=0时，直线l2：x=0，此时直线l2的倾斜角为90∘，故选项A正确；对于B，直线l1与l2均过点(0,−1)，所以对任意的k，l1与l2都有公共点，故选项B正确；对于C，当k=−12时，直线l2为12x−12y−12=0，即x−y−1=0与l1重合，故选项C错误；对于D，直线l1的斜率为1，若l2的斜率存在，则斜率为−k+1k≠−1，所以l1与l2不可能垂直，所以对任意的k，l1与l2都不垂直，故选项D不正确；故选：ABD.11、已知F为椭圆C：x24+y22=1的左焦点，直线l：y=kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A．1|AF|+4|BF|的最小值为2B．△ABE面积的最大值为√2C．直线BE的斜率为12k D．∠PAB为钝角答案：BC分析：A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，|AF|+|BF|=4，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值94，A项错误；B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值；C项，由对称性，可设A(x0,y0)，则B(−x0,−y0)，E(x0,0)，则可得直线BE的斜率与k的关系；D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得k PA⋅k PB=−b2a2=−12，又由C项可知k PB=k BE=12k，得k PA⋅k AB=−1，即∠PAB=90°，排除D项.对于A，设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AF′BF为平行四边形，∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=4，∴1|AF|+4|BF|=14(|AF|+|BF|)(1|AF|+4|BF|)=14(5+|BF||AF|+4|AF||BF|)≥94，当且仅当|BF|=2|AF|时等号成立，A 错误；对于B ，由{x 24+y 22=1y =kx 得x =√1+2k 2，∴|y A −y B |√1+2k 2，∴△ABE 的面积S =12|x A ||y A −y B |=4|k|1+2k 2=41|k|+2|k|≤√2，当且仅当k =±√22时等号成立，B 正确；对于C ，设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，E(x 0,0)， 故直线BE 的斜率k BE =0+y 0x 0+x 0=12⋅y 0x 0=12k ，C 正确；对于D ，设P(m,n)，直线PA 的斜率额为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ⋅k PB = n−y 0m−x 0⋅n+y 0m+x 0=n 2−y 02m 2−x 02，又点P 和点A 在椭圆C 上，∴m 24+n 22=1①，x 024+y 022=1②，①−②得n 2−y 02m 2−x 02=−12，易知k PB =k BE =12k ，则k PA ⋅12k =−12，得k PA =−1k ，∴k PA ⋅k AB =(−1k )⋅k =−1，∴∠PAB =90°，D 错误. 故选：BC.小提示：椭圆常用结论：已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，AB 为椭圆经过原点的一条弦，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，若k PA ,k PB 都存在，则k PA ⋅k PB =−b 2a 2. 填空题12、设a∈R，若直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，则直线l的斜率是___________.答案：1分析：利用直线的斜率公式求解.解：因为直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，=1，所以直线l的斜率是k=3−2a+1−a所以答案是：113、已知圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A､B两点，则公共弦AB的长是___________.答案：2分析：两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.解：由题意AB所在的直线方程为：(x2+y2+2x−4y−5)−(x2+y2+2x−1)=0，即y=−1，因为圆x2+y2+2x−1=0的圆心O(−1,0)，半径为r=√2，所以，圆心O(−1,0)到直线y=−1的距离为1，所以|AB|=2√2−12=2.所以答案是：214、直线y=kx+2(k>0)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为________．答案：60∘分析：由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．∵直线y=kx+2(k>0)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，所以，圆心O(0,0)到直线kx−y+2=0的距离d=√22−(√3)2=1，=1，解得k=√3(k>0)．即√k2+1设直线的倾斜角为θ(0∘≤θ<180∘)，则tanθ=√3，则θ=60∘．因此，直线y=kx+2(k>0)的倾斜角为60∘．所以答案是：60∘．解答题15、设直线l 的方程为(a +1)x +y −3+a =0（a ∈R ）. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第三象限，求a 的取值范围. 答案：(1)0或3 (2)[−1,3]分析：（1）通过讨论−3+a 是否为0，求出a 的值即可； （2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可.（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0； 若a ≠3，则3−a a+1=3−a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y −3=0， ∴a 的值为0或3.（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y =−(a +1)x +3−a ， 则{−(a +1)≤03−a ≥0 ，解得−1≤a ≤3，∴a 的取值范围是[−1,3].。
高中数学选修一综合测试题考点精题训练(带答案)
高中数学选修一综合测试题考点精题训练单选题1、已知双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率e 为（ ）A ．2√33B ．2√63C ．√3D ．2 答案：A分析：根据题意渐近线的斜率为tan π6=√33，所以该渐近线的方程为y =√33x ，所以2a2=(√33)2，求得a=√6，利用c =√a 2+b 2，求得c 即可得解. ∵双曲线x 2a2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，tan π6=√33， ∴该渐近线的方程为y =√33x ，∴2a 2=(√33)2，解得a =√6或−√6（舍去），∴c =√a 2+b 2=2√2， ∴双曲线的离心率为e =c a=√2√6=2√33． 故选：A ．2、若直线y =3x −1与双曲线C:x 2−my 2=1的一条渐近线平行，则实数m 的值为（ ） A ．19B ．9C ．13D ．3 答案：A分析：根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.C:x 2−my 2=1的渐近线方程满足x =±√my ，所以渐进线与y =3x −1平行，所以渐近线方程为y =±3x ，故m =19故选：A3、已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°,|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为（ ） A ．√72B ．√132C ．√7D ．√13 答案：A分析：根据双曲线的定义及条件，表示出|PF 1|,|PF 2|，结合余弦定理可得答案.因为|PF1|=3|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2|PF2|=2a，所以|PF2|=a，|PF1|=3a；因为∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2−2×3a⋅a⋅cos60°，整理可得4c2=7a2，所以e2=c2a2=74，即e=√72.故选：A小提示：关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键.4、若椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（）A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为√3C．存在点P，使PF1⊥PF2D．|PF1|的取值范围是[1,3]答案：C分析：根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点P位于上下顶点时，△PF1F2面积的最大即可判断选项B；当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大与90∘比较即可判断选项C；当点P为椭圆C的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.由椭圆方程可知a=2，b=√3，从而c=√a2−b2=1．对于选项A；根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=4，又|F1F2|=2c=2，所以△PF1F2的周长是2a+2c=6，故选项A正确；对于选项B：设点P(x1,y0)(y0≠0)，因为|F1F2|=2，则S△PF1F2=12|F1F2|⋅|y0|=|y0|．因为0<|y0|≤b=√3，则△PF1F2面积的最大值为√3，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．此时，|PF1|=|PF2|=a=2，又|F1F2|=2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2=60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|=a+c=3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|=a−c=1，所以|PF1|∈[1,3]，故选项D正确．故选：C.小提示：名师点评椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(−c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2=θ，则（1）焦点三角形的周长为2a+2c；（2）当点P为椭圆短轴的一个端点时，∠F1PF2=θ为最大；（3）S△PF1F2=12PF1×PF2×sinθ，当|y0|=b时，即点P为椭圆短轴的一个端点时S△PF1F2取最大值，为bc；（4）S△PF1F2=b2tanθ2.5、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±12x B．y=±2xC．y=±4x D．y=±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d=√b2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0.因为d=√b2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=±12x.故选：A6、下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．y=x−2B．x−y+2=0C．x2+y4=1D．x+y+2=0答案：B分析：纵截距就是令x=0是y的值，令每一个选项中的x为0，解出y，最后选出符合题意的.直线x+y+2=0的纵截距为−2，直线x2+y4=1的纵截距为4，直线x−y+2=0的纵截距为2，直线y=x−2的纵截距为−2. 故选：B. 7、设F 1,F 2是椭圆x 212+y 224=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且cos∠F 1PF 2=13.则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．6B ．6√2C ．8D ．8√2 答案：B分析：利用椭圆的几何性质，得到|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3，进而利用cos∠F 1PF 2=13得出|PF 1|⋅|PF 2|=18，进而可求出S △PF 1F 2 解：由椭圆x 212+y 224=1的方程可得a 2=24,b 2=12，所以c 2=a 2−b 2=12，得a =2√6,c =2√3 且|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3， 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1||PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=4a 2−4c 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4b 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4×12−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|，而cos∠F 1PF 2=13，所以，|PF 1|⋅|PF 2|=18， 又因为，cos∠F 1PF 2=13，所以sin∠F 1PF 2=2√23， 所以，S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|⋅sin∠F 1PF 2=12×18×2√23=6√2故选：B8、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(0,14]B ．(14,1)C ．(12,1)D ．[12,1)答案：D分析：先由椭圆的定义结合已知求得|PF 1|,|PF 2|，再由|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|求得a,c 的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=32a，|PF2|=12a，而|PF1|−|PF2|≤|F1F2|=2c，当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立，即32a−12a≤2c，即a≤2c，则e=ca≥12，即12≤e<1.故选：D．多选题9、已知抛物线C：y=14x2的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（）A．C的准线方程为y=−116B．直线y=x−1与C相切C．若M(0,4)，则|PM|的最小值为2√3D．若M(3,5)，则△PMF的周长的最小值为11答案：BCD分析：将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由Δ=0判断B，设点P(x,y)，表示出|PM|2，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出△PMF的周长的最小值，即可判断D.解：抛物线C：y=14x2，即x2=4y，所以焦点坐标为F(0,1)，准线方程为y=−1，故A错误；由{y=14x2y=x−1，即x2−4x+4=0，解得Δ=(−4)2−4×4=0，所以直线y=x−1与C相切，故B正确；设点P(x,y)，所以|PM|2=x2+(y−4)2=y2−4y+16=(y−2)2+12≥12，所以|PM|min=2√3，故C正确；如图过点P作PN⊥准线，交于点N，|NP|=|PF|，|MF|=√32+(5−1)2=5，所以C△PFM=|MF|+|MP|+|PF|=|MF|+|MP|+|PN|≥|MF|+|MN|=5+6=11，当且仅当M、P、N三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD10、已知a⃑=(1,0,1)，b⃑⃑=(−1,2,−3)，c⃑=(2,−4,6)，则下列结论正确的是（）A．a⃑⊥b⃑⃑B．b⃑⃑∥c⃑C．⟨a⃑,c⃑⟩为钝角D．c⃑在a⃑方向上的投影向量为(4,0,4)答案：BD分析：利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.因为1×(−1)+0×2+1×(−3)=−4≠0，所以a⃑，b⃑⃑不垂直，A错，因为c⃑=−2b⃑⃑，所以b⃑⃑∥c⃑，B对，因为a⃑⋅c⃑=1×2+0×(−4)+1×6=8，所以cos⟨a⃑,c⃑⟩>0，所以⟨a⃑,c⃑⟩不是钝角，C错，因为c⃑在a⃑方向上的投影向量|c⃑|⋅cos⟨a⃑,c⃑⟩⋅a⃑⃑|a⃑⃑|=a⃑⃑⋅c⃑|a⃑⃑|2a⃑=82(1,0,1)=(4,0,4)，D对，故选：BD.11、（多选）已知直线l:x −my +m −1=0，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =√33或m =−√33C ．直线l 恒过点(2,1)D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则m =1或m =−1 答案：BD分析：讨论m =0和m ≠0时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为(x −1)−m (y −1)=0判断直线过定点，判断C 的正误. 当m =0时，直线l:x =1，斜率不存在，当m ≠0时，直线l 的斜率为1m ，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m ，∴1m=tan60°=√3或1m=tan120°=−√3，∴m =√33或m =−√33，故B 选项正确；直线l 的方程可化为(x −1)−m (y −1)=0，所以直线l 过定点(1,1)，故C 选项错误； 当m =0时，直线l:x =1，在y 轴上的截距不存在， 当m ≠0时，令x =0，得y =m−1m，令y =0，得x =1−m ，令m−1m=1−m ，得m =±1，故D 选项正确．故选：BD ． 填空题12、已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0），矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |=6，则双曲线E 的标准方程是______． 答案：x 214−y 234=1分析：如图所示，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则可得|MN |=2c =2，|BN |=52，再利用双曲线的定义可得a 2=14，即求.由题意得|AB |=3，|BC |=2．如图所示，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，在Rt △BMN 中，|MN |=2c =2，故|BN |=√|BM|2+|MN |2=√(32)2+22=52．由双曲线的定义可得2a =|BN |−|BM |=52−32=1， 则a 2=14，又2c =2，所以c =1，b 2=34．所以双曲线E 的标准方程是x 214−y 234=1．所以答案是：x 214−y 234=1.13、若直线l 1：2x +ay −2=0与直线l 2：x −y +a =0平行，则直线l 1与l 2之间的距离为______． 答案：√22分析：先根据直线l 1与l 2平行求出参数a ，再由两平行直线间的距离公式可得答案. ∵直线l 1与l 2平行，∴21=a−1≠−2a，解得a =−2，∴直线l 1：x −y −1=0，直线l 2：x −y −2=0， ∴直线l 1与l 2之间的距离d =√1+1=√22． 所以答案是：√2214、直线y =kx +2(k >0)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为________． 答案：60∘分析：由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．∵直线y =kx +2(k >0)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3，所以，圆心O (0,0)到直线kx −y +2=0的距离d =√22−(√3)2=1， 即√k 2+1=1，解得k =√3(k >0)．设直线的倾斜角为θ(0∘≤θ<180∘)，则tanθ=√3，则θ=60∘． 因此，直线y =kx +2(k >0)的倾斜角为60∘． 所以答案是：60∘． 解答题15、如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2，CC 1=3，点D, E 分别在棱AA 1和棱 CC 1上，且AD =1 CE =2, M 为棱A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B −B 1E −D 的正弦值； （Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√306；（Ⅲ）√33. 分析：以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，得出C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即可证明出C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）可知平面BB 1E 的一个法向量为CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，计算出平面B 1ED 的一个法向量为n ⃑ ，利用空间向量法计算出二面角B −B 1E −D 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值.依题意，以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C 1(0,0,3)、 A 1(2,0,3)、B 1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3). （Ⅰ）依题意，C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,0)，B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−2,−2)， 从而C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2−2+0=0，所以C 1M ⊥B 1D ； （Ⅱ）依题意，CA⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,1)，ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,−1)． 设n ⃑ =(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量， 则{n ⃑ ⋅EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即{2y +z =02x −z =0， 不妨设x =1，可得n ⃑ =(1,−1,2)．cos <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⋅n ⃑ |CA ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2×√6=√66， ∴sin <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√1−cos 2<CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√306．所以，二面角B −B 1E −D 的正弦值为√306； （Ⅲ）依题意，AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,2,0)．由（Ⅱ）知n ⃑ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos <AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2√2×√6=−√33． 所以，直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33.小提示：本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.。
高中数学选修1-1综合测试题及答案
高中数学选修1-1综合测试题及答案选修1-1模拟测试题一、选择题1.若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有（）A。
p真q真B。
p假q假C。
p真q假D。
p假q真2.“cos2α=－35π/21”是“α=kπ+π/2,k∈Z”的（）A。
必要不充分条件B。
充分不必要条件C。
充分必要条件D。
既不充分又不必要条件3.设f(x)=sinx+cosx，那么(。
)A。
f'(x)=cosx-sinxB。
f'(x)=cosx+sinxC。
f'(x)=-cosx+sinxD。
f'(x)=-cosx-sinx4.曲线f(x)=x^3+x－2在点P处的切线平行于直线y=4x－1，则点P的坐标为（）A。
(1,0)B。
(2,8)C。
(1,0)和(-1,-4)D。
(2,8)和(-1,-4)5.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=6，则|PA|的取值范围是A。
[1,4]B。
[1,6]C。
[2,6]D。
[2,4]6.已知2x+y=0是双曲线x^2－λy^2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率为（）A。
2B。
3C。
5D。
无法确定7.抛物线y^2=2px的准线与对称轴相交于点S，PQ为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦，则∠PSQ的大小是（）A。
π/3B。
2π/3C。
3π/2D。
与p的大小有关8.已知命题p：“|x－2|≥2”，命题“q:x∈Z”，如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A。
{x|x≥3或x≤－1,x∈Z}B。
{x|－1≤x≤3,x∈Z}C。
{-1,0,1,2,3}D。
{1,2,3}9.函数f(x)=x^3+ax－2在区间(1,+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是（）A。
[3,+∞]B。
[-3,+∞]C。
(-3,+∞)D。
(-∞,-3)10.若△ABC中A为动点，B、C为定点，B(-a1,0)，C(a2,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA，则动点A的轨迹方程是（）A。
高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)
综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析 从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0， 即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。
高中数学选修1-2综合测试题及参考答案
高中数学选修1-2（人教A 版）综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.独立性检验，适用于检查______变量之间的关系 （ ） A.线性 B.非线性 C.解释与预报 D.分类2.样本点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的样本中心与回归直线a x b y ˆˆˆ 的关系（ ）A.在直线上B.在直线左上方C. 在直线右下方D.在直线外 3.复平面上矩形ABCD 的四个顶点中，C B A 、、所对应的复数分别为i 32 、i23 、i32 ，则D点对应的复数是（ ）A.i 32B.i 23C.i 32D.i 23 4.在复数集C内分解因式5422 x x 等于（ ）A.)31)(31(i x i xB.)322)(322(i x i xC.)1)(1(2i x i xD.)1)(1(2i x i x5.已知数列 ,11,22,5,2，则52是这个数列的 （ ） A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项6.用数学归纳法证明)5,(22n N n n n成立时，第二步归纳假设正确写法是（ ）A.假设k n 时命题成立B.假设)(N k k n 时命题成立 C.假设)5( n k n 时命题成立 D.假设)5( n k n 时命题成立 7.2020)1()1(i i 的值为 （ ）A.0B.1024C.1024D.10241 8.确定结论“X 与Y 有关系”的可信度为5.99℅时，则随即变量2k 的观测值k 必须（ ） A.大于828.10 B.小于829.7 C.小于635.6 D.大于706.29.已知复数z满足||z z ，则z的实部（ ）A.不小于0B.不大于0C.大于0D.小于0 10.下面说法正确的有 ( ) （1）演绎推理是由一般到特殊的推理； （2）演绎推理得到的结论一定是正确的； （3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
高中数学选修2-1综合试卷
高中数学选修2-1综合试卷数学选修2-1一、选择题1.椭圆的焦点坐标为（XXX.）。
2.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于（B）。
3.在正方体中，异面直线与所成角的大小为（45°），则顶点A的轨迹方程是（x+y+z=0）。
4.已知中，点O为正方体的中心，异面直线所成角为60°，则顶点A的轨迹方程是（x+y+z=0）。
5.已知在抛物线上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（8）。
6.命题“的否定是（）。
7.给出如下四个命题：1.若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；2.命题“若，则”的否命题为“若，则”；3.“，”的否定是“，”；4.在中，“”是“”的充要条件。
其中正确的命题的个数是（B）。
8.椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（0）。
9.若A点坐标为（-3,0），是椭圆的最大值为（4），的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则（AP+PF=6）。
10.若点O和点F分别为椭圆的最大值为3的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则（OP²=OF²+FP²）。
11.直线l：过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（y=±(x²/2)）。
12.四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且∠BAC=∠BCD=45°，平面ABCD且平面PCD所成角的正弦值为（1/3），则PB与平面的法向量为（-2,1,2）。
二、填空题13.抛物线的准线方程为（y=p）。
14.若方程的曲线是椭圆，则k的取值范围是（0<k<1）。
15.“”是“直线和直线平行”的充要条件。
16.给出下列命题：直线l的方向向量为（1,2,3），直线l的方向向量1，2，3，直线m的方向向量2,1,1，平面的法向量1,2，-1，则向量1,2，-1与平面垂直；平面经过三点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，u=2,3，-1是平面的法向量，则真命题的是（命题1和命题3）。
(完整版)高中数学选修(2-3)综合测试题(3)附答案
高中数学选修（2-3）综合测试题（3）一、选择题1．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，若从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的爬法有（ ） Ａ．4种 Ｂ．6种 Ｃ．8种 Ｄ．10种2．乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（ ）Ａ．225()A Ｂ．225()C Ｃ．22254()C A · Ｄ．22252()C A · 3．已知集合{}123456M =，，，，，，{}6789N =，，，，从M 中选3个元素，N 中选2个元素，组成一个含有5个元素的集合T ，则这样的集合T 共有（ ）Ａ．126个 Ｂ．120个 Ｃ．90个 Ｄ．26个 4．342(1)(1)(1)n x x x +++++++L 的展开式中2x 的系数是（ ）Ａ．33n C +Ｂ．32n C +Ｃ．321n C +- Ｄ．331n C +-5．200620052008+被2006除，所得余数是（ ）Ａ．2009 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．16．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ） Ａ．0.665 B ．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285 7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则(|)P B A 的值等于（ ）Ａ．13 Ｂ．118 Ｃ．16 Ｄ．198．在一次智力竞赛的“风险选答”环节中，一共为选手准备了A ，B ，C 三类不同的题目，选手每答对一个A 类、B 类、C 类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则要扣去300分、200分、100分，而选手答对一个A 类、B 类、C 类题目的概率分别为0.6，0.7，0.8，则就每一次答题而言，选手选择（ ）题目得分的期望值更大一些（ ） Ａ．A 类 Ｂ．B 类 Ｃ．C 类 Ｄ．都一样 9．已知ξ的分布列如下：ξ 1 2 3 4P1413 16 14并且23ηξ=+，则方差D η=（ ）Ａ．17936 Ｂ．14336 Ｃ．29972 Ｄ．2277210．若2~(16)N ξ-，且(31)P ξ--≤≤0.4=，则(1)P ξ≥等于（ ） Ａ．0.1 Ｂ．0.2 Ｃ．0.3 Ｄ．0.4 11．已知x ，y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 y1 3 5 7则y 与x 的回归方程必经过（ ） Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5) 12．对于2()P K k ≥，当 2.706k >时，就约有的把握认为“x 与y 有关系”（ ） Ａ．99% Ｂ．99.5% Ｃ．95% Ｄ．90% 二、填空题13．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 （用数字作答）． 14．某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 （结果用分数表示）．15．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是 ．16．空间有6个点，其中任何三点不共线，任何四点不共面，以其中的四点为顶点共可作出个四面体，经过其中每两点的直线中，有 对异面直线． 三、解答题17．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，则有多少种不同的出牌方法？18．已知数列{}n a 的通项n a 是二项式(1)n x +与2(1)n x +的展开式中所有x 的次数相同的各项的系数之和，求数列的通项及前n 项和n S ．19．某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a 元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖． (1)求各会员获奖的概率；(2)设场馆收益为ξ元，求ξ的分布列；假如场馆打算不赔钱，a 最多可设为多少元？ 20．在研究某种新药对猪白痢的防治效果时到如下数据：存活数 死亡数 合计 未用新药 101 38 139 用新药 129 20 149 合计23058288试分析新药对防治猪白痢是否有效？21．甲有一个箱子，里面放有x 个红球，y 个白球（x ，y ≥0，且x +y =4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？ (2)在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的期望．高中数学选修（2-3）综合测试题（3）CDCDB ACBAA CD 13．672 14.11919015.乙 16. 15，45 17.解：由于张数不限，2张2，3张A 可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类.出牌的方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有55A 种方法；（2）2张2一起出，3张A 一起出，有25A 种方法； （3）2张2一起出，3张A 分开出，有45A 种方法；（4）2张2一起出，3张A 分两次出，有2335C A 种方法； （5）2张2分开出，3张A 一起出，有35A 种方法；（6）2张2分开出，3张A 分两次出，有2435C A 种方法； 因此共有不同的出牌方法5242332455535535860A A A C A A C A +++++=种． 18.解：按(1)nx +及2(1)n x +两个展开式的升幂表示形式，写出的各整数次幂，可知只有当2(1)nx +中出现x 的偶数次幂时，才能与(1)n x +的x 的次数相比较．由0122(1)n n nnn n n x C C x C x C x +=++++L ， 132120242213212222222222(1)()()n nn nn n n nnnnnx C C x C x C x C x C x Cx--+=++++++++L L可得0122422222()()()()nnn n n n n n n n n a C C C C C C C C =++++++++L01202422222()()n n n n n n n n n n C C C C C C C C =+++++++++L L 2122n n -=+， 2122nn n a -=+∵，∴222462112(222)(22222(21)(41)223nn nn n S =++++++++=-+⨯-L L122112122(21)(2328)33n n n n +++=-+-=+-·， 2111(2328)3n n n S ++=-∴·．19.解：(1)抽两次得标号之和为12的概率为11116636P =+=；抽两次得标号之和为11或10的概率为2536P =，故各会员获奖的概率为1215136366P P P =+=+=． （2）ξ 30a -30100-30P1365363036由1530(30)(70)300363636E a ξ=-⨯+-⨯+⨯≥， 得580a ≤元．所以a 最多可设为580元． 20.解：由公式计算得2288(1012038129)8.65813914923058k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于8.658 6.635>，故可以有99%的把握认为新药对防治猪白痢是有效的．21.解：(1)要想使取出的3个球颜色全不相同，则乙必须取出黄球，甲取出的两个球为一个红球一个白球，乙取出黄球的概率是14，甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是11246x y C C xy C =·，所以取出的3个球颜色全不相同的概率是14624xy xy P ==·，即甲获胜的概率为24xyP =，由0x y ，≥，且4x y +=，所以12424xy P =≤2126x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭·，当2x y ==时取等号，即甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大. (2)设取出的3个球中红球的个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2，3.212221441(0)12C C P C C ξ===·，1112122222212144445(1)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，2111122222212144445(2)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，212221441(3)12C C P C C ξ===·，所以取出的3个球中红球个数的期望：15510123 1.512121212E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。
数学：《综合测试题》(新人教A版选修2-3)
高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（1）一、选择题1．已知{}{}{}123013412a b R ∈-∈∈，，，，，，，，，则方程222()()x a y b R -++=所表示的不同的圆的个数有（ ）Ａ．3×4×2=24 Ｂ．3×4+2=14 Ｃ．(3+4)×2=14 Ｄ．3+4+2=9答案：Ａ2．神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成，每两人为一组，若指定翟志刚、聂海胜两人一定同在一个小组，则这六人的不同分组方法有（ ）Ａ．48种 Ｂ．36种 Ｃ．6种 Ｄ．3种答案：Ｄ3．41nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是（ ）Ａ．第3项 Ｂ．第4项 Ｃ．第7项 Ｄ．第8项答案：Ｂ4．从标有1，2，3，…，9的9张纸片中任取2张，数字之积为偶数的概率为（ ） Ａ．12 Ｂ．718 Ｃ．1318 Ｄ．1118答案：Ｃ5．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（ ） Ａ．35 Ｂ．25 Ｃ．110 Ｄ．59答案：Ｄ6．正态总体的概率密度函数为2()8()x x f x -∈=R ，则总体的平均数和标准差分别为（ ）Ａ．0，8 B ．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，2答案：Ｄ7．在一次试验中，测得()x y ，的四组值分别是(12)(23)(34)(45)A B C D ，，，，，，，，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）Ａ．1y x=+Ｂ．2y x=+Ｃ．21y x=+Ｄ．1y x=-答案：Ａ8．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）Ａ．48 Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．20答案：Ｃ9．若随机变量η的分布列如下：0 1 2 30 .1.2.2.3.1.1则当()0.8P xη<=时，实数x的取值范围是（）Ａ．x≤2 Ｂ．1≤x≤2 Ｃ．1＜x≤2 Ｄ．1＜x＜2答案：Ｃ10．春节期间，国人发短信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信拜年的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事的拜年短信数为（）Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．8答案：Ａ11．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为（）Ａ．13Ｂ．25Ｃ．56Ｄ．23答案：Ａ12．已知随机变量1~95Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P kξ=取得最大值的k值为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5答案：Ａ二、填空题13．某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示的不同信号的种数有种．答案：8014．已知平面上有20个不同的点，除去七个点在一条直线上以外，没有三个点共线，过这20个点中的每两个点可以连 条直线．答案：17015．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是41(0.1)-．其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．答案：①③16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 （以数值作答）． 答案：1363三、解答题17．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． （1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ （3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？ （4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？ 解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44256=种．（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有24C 种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法：12124432144C C C A =···种． （3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有144种放法.（4）先从四个盒子中任意拿走两个有24C 种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有3142C C ·种放法；第二类：有24C 种放法.因此共有31342414C C C +=·种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：241484C =·种．18．求25(1)(1)x x +-的展开式中3x 的系数．解：解法一：先变形，再部分展开，确定系数.252232423(1)(1)(1)(1)(12)(133)x x x x x x x x x +-=--=-+-+-．所以3x 是由第一个括号内的1与第二括号内的3x -的相乘和第一个括号内的22x -与第二个括号内的3x -相乘后再相加而得到，故3x 的系数为1(1)(2)(3)5⨯-+-⨯-=．解法二：利用通项公式，因2(1)x +的通项公式为12rr r T C x +=·， 5(1)x -的通项公式为15(1)k k k k T C x +=-·， 其中{}{}012012345r k ∈∈，，，，，，，，，令3k r +=， 则12k r =⎧⎨=⎩，，或21k r =⎧⎨=⎩，，或30k r =⎧⎨=⎩，．故3x 的系数为112352555C C C C -+-=·．19．为了调查胃病是否与生活规律有关，某地540名40岁以上的人的调查结果如下：患胃病 未患胃病 合计 生活不规律 60 260 320 生活有规律 20 200 220 合计80460540根据以上数据比较这两种情况，40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？解：由公式得2540(6020026020)32022080460k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 2540(120005200)24969609.6382590720000259072⨯-==≈．9.6387.879>∵，∴我们有99.5%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病.20．一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定（1）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过实验被否认的概率； （2）新药完全无效，但通过实验被认为有效的概率．解：记一个病人服用该药痊愈率为事件A ，且其概率为p ，那么10个病人服用该药相当于10次独立重复实验.(1) 因新药有效且p =0.35，故由n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率公式知，实验被否定（即新药无效）的概率为：0010119223371010101010101010(0)(1)(2)(3)(1)(1)(1)(1)0.514x P P P P C p p C p p C p p C p p +++=-+-+-+-≈．（2）因新药无效，故p =0.25，实验被认为有效的概率为： 10101010101010(4)(5)(10)1((0)(1)(2)(3))0.224P P P P P P P +++=-+++≈．即新药有效，但被否定的概率约为0.514； 新药无效，但被认为有效的概率约为0.224.21．A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为ξη，． (1)求ξη，的概率分布列； (2)求E ξ，E η．解：（1）ξη，的可能取值分别为3，2，1，0．2228(3)35575P ξ==⨯⨯=；22312223228(2)35535535575P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 2331231322(1)3553553555P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；1333(0)35525P ξ==⨯⨯=．由题意知3ξη+=， 所以8(0)(3)75P P ηξ====； 28(1)(2)75P P ηξ====； 2(2)(1)5P P ηξ====； 3(3)(0)P P ηξ====．ξ的分布列为3218752875325η的分布列为1238752875325（2）82823223210757552515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为3ξη+=，所以23315E E ηξ=-=．22．某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从这个工业部门内随机抽选了个企业作样本，有如下资料：产量（千件）x 生产费用 （千元）y79 162 88 185 100 165 120 190 140185完成下列要求：（1）计算x 与y 的相关系数；（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验； （3）设回归直线方程为y bx a =+，求系数a ，b ．解：利用回归分析检验的步骤，先求相关系数，再确定0.05r ． (1)制表ii y 2i x 2i y i i x y1 40 150 1600 22500 60002 42 140 1764 19600 5880 3481602304256007680产量（千件）x 生产费用 （千元）y40 150 42 140 48 160 55 170 651504 55 170 3025 28900 9350 5 65 150 4225 22500 97506 79 162 6241 26244 127987 88 185774434225 16280 8 100165 10000 27225 16500 9 120190 14400 36100 22800 10140185 1960034225 25900 合计 777 1657 7090327711913293877777.710x ==，1657165.710y == 270903ix =∑，2277119i y =∑，132938iix y=∑220.808(709031077.7)(2771910165.7)r =≈-⨯-⨯．即x 与Y 的相关关系0.808r ≈． （2）因为0.75r >．所以x 与Y 之间具有很强的线性相关关系． （3）1329381077.7165.70.398709031077.7b -⨯⨯=≈-⨯，165.70.39877.7134.9a =-⨯=．高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（2）一、选择题1．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，若从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的爬法有（ ） Ａ．4种 Ｂ．6种 Ｃ．8种 Ｄ．10种答案：Ｃ2．乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（ ） Ａ．225()AＢ．225()CＣ．22254()C A · Ｄ．22252()C A ·答案：Ｄ3．已知集合{}123456M =，，，，，，{}6789N =，，，，从M 中选3个元素，N 中选2个元素，组成一个含有5个元素的集合T ，则这样的集合T 共有（ ）Ａ．126个 Ｂ．120个 Ｃ．90个 Ｄ．26个答案：Ｃ4．342(1)(1)(1)n x x x +++++++的展开式中2x 的系数是（ ）Ａ．33n C +Ｂ．32n C +Ｃ．321n C +- Ｄ．331n C +-答案：Ｄ5．200620052008+被2006除，所得余数是（ ） Ａ．2009 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1答案：Ｂ6．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ） Ａ．0.665 B ．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285答案：Ａ7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则(|)P B A 的值等于（ ）Ａ．13 Ｂ．118 Ｃ．16 Ｄ．19答案：Ｃ8．在一次智力竞赛的“风险选答”环节中，一共为选手准备了A ，B ，C 三类不同的题目，选手每答对一个A 类、B 类、C 类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则要扣去300分、200分、100分，而选手答对一个A 类、B 类、C 类题目的概率分别为0.6，0.7，0.8，则就每一次答题而言，选手选择（ ）题目得分的期望值更大一些（ ） Ａ．A 类 Ｂ．B 类 Ｃ．C 类 Ｄ．都一样答案：Ｂ9．已知ξ的分布列如下：4并且23ηξ=+，则方差D η=（ ） Ａ．17936Ｂ．14336Ｃ．29972Ｄ．22772答案：Ａ10．若2~(16)N ξ-，且(31)P ξ--≤≤0.4=，则(1)P ξ≥等于（ ） Ａ．0.1 Ｂ．0.2 Ｃ．0.3Ｄ．0.4答案：Ａ11．已知x ，y 之间的一组数据：则y 与x 的回归方程必经过（ ） Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5)答案：Ｃ12．对于2()P K k ≥，当 2.706k >时，就约有的把握认为“x 与y 有关系”（ ） Ａ．99% Ｂ．99.5% Ｃ．95% Ｄ．90%答案：Ｄ二、填空题13．912xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（用数字作答）．答案：67214．某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为（结果用分数表示）．答案：119 19015．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是．答案：乙16．空间有6个点，其中任何三点不共线，任何四点不共面，以其中的四点为顶点共可作出个四面体，经过其中每两点的直线中，有对异面直线．答案：15，45三、解答题17．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，则有多少种不同的出牌方法？解：由于张数不限，2张2，3张A可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类.出牌的方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有55A种方法；（2）2张2一起出，3张A一起出，有25A种方法；（3）2张2一起出，3张A分开出，有45A种方法；（4）2张2一起出，3张A分两次出，有2335C A种方法；（5）2张2分开出，3张A一起出，有35A种方法；（6）2张2分开出，3张A分两次出，有2435C A种方法；因此共有不同的出牌方法5242332455535535860A A A C A A C A+++++=种．18．已知数列{}n a 的通项n a 是二项式(1)n x +与2(1)n x +的展开式中所有x 的次数相同的各项的系数之和，求数列的通项及前n 项和n S ．解：按(1)n x +及2(1)n x +两个展开式的升幂表示形式，写出的各整数次幂，可知只有当2(1)n x +中出现x 的偶数次幂时，才能与(1)n x +的x 的次数相比较．由0122(1)n n nnn n n x C C x C x C x +=++++，132120242213212222222222(1)()()n nn nn nnnnnnnx C C x C x C x C x C x Cx--+=++++++++可得00122422222()()()()n nn n n n n n n n n a C C C C C C C C =++++++++01202422222()()n nn n n n n n n n C C C C C C C C =+++++++++2122n n -=+， 2122n n n a -=+∵，∴222462112(222)(22222(21)(41)223n nnnn S =++++++++=-+⨯-122112122(21)(2328)33n n n n +++=-+-=+-·，2111(2328)3n n n S ++=-∴·．19．某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a 元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖．(1)求各会员获奖的概率；(2)设场馆收益为ξ元，求ξ的分布列；假如场馆打算不赔钱，a 最多可设为多少元？解：(1)抽两次得标号之和为12的概率为11116636P =+=； 抽两次得标号之和为11或10的概率为2536P =， 故各会员获奖的概率为1215136366P P P =+=+=． （2）30a-30100-31365363036由1530(30)(70)300363636E a ξ=-⨯+-⨯+⨯≥， 得580a ≤元．所以a 最多可设为580元．20．在研究某种新药对猪白痢的防治效果时到如下数据：存活数死亡数 合计未用新药 101 38 139用新药 129 20 149合计23058288试分析新药对防治猪白痢是否有效？解：由公式计算得2288(1012038129)8.65813914923058k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于8.658 6.635>，故可以有99%的把握认为新药对防治猪白痢是有效的．21．甲有一个箱子，里面放有x 个红球，y 个白球（x ，y ≥0，且x +y =4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？ (2)在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的期望．解：(1)要想使取出的3个球颜色全不相同，则乙必须取出黄球，甲取出的两个球为一个红球一个白球，乙取出黄球的概率是14，甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是 11246x yC C xy C =·，所以取出的3个球颜色全不相同的概率是14624xy xy P ==·，即甲获胜的概率为24xy P =，由0x y ，≥，且4x y +=，所以12424xy P =≤2126x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭·，当2x y ==时取等号，即甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大.(2)设取出的3个球中红球的个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2，3.212221441(0)12C C P C C ξ===·，1112122222212144445(1)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，2111122222212144445(2)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，212221441(3)12C C P C C ξ===·，所以取出的3个球中红球个数的期望：15510123 1.512121212E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．22．规定(1)(1)mxA x x x m =--+，其中x ∈R ，m 为正整数，且01x A =，这是排列数m n A (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．（1）求315A -的值；（2）排列数的两个性质：①11m m n n A nA --=，②11m m mn n n A mA A -++= (其中m ，n 是正整数)．是否都能推广到m x A (x ∈R ，m 是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；（3）确定函数3x A 的单调区间．解：（1）315(15)(16)(17)4080A -=-⨯-⨯-=-；（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是①11m m x x A xA --=，②11()m m m x x x A mA A x m -*++=∈∈R N ，．事实上，在①中，当1m =时，左边1x A x ==，右边01x xA x -==，等式成立；在②中，当1m =时，左边10111x x x A A x A +=+=+==右边，等式成立；当2m ≥时，左边(1)(2)(1)(1)(2)(2)x x x x m mx x x x m =---++---+=(1)(2)(2)[(1)]x x x x m x m m ---+-++1(1)(1)(2)[(1)1]mx x x x x x m A +=+--+-+==右边，因此②11()m m m x x x A mA A x m -*++=∈∈R N ，成立．（3）先求导数，得32()362xA x x '=-+．令23620x x -+>，解得x <x >因此，当x ⎛∈- ⎝⎭∞时，函数为增函数，当x ⎫∈+⎪⎪⎝⎭∞时，函数也为增函数，令23620x x -+≤x ，因此，当x ∈⎣⎦时，函数为减函数，∴函数3x A 的增区间为⎛- ⎝⎭∞，⎫+⎪⎪⎝⎭∞；减区间为⎣⎦．。
部编版高中数学选修一综合测试题带答案知识点梳理
(名师选题)部编版高中数学选修一综合测试题带答案知识点梳理单选题1、已知双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率e 为（ ）A ．2√33B ．2√63C ．√3D ．2 2、在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则a ⋅(b ⃑ +c )的值为（ ） A ．1B ．0C ．-1D ．-23、双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)过焦点F 1的弦AB ，A 、B 两点在同一支上且长为m ，另一焦点为F 2，则△ABF 2的周长为（ ）．A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m 4、设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于D,E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．325、动点P 在抛物线x 2=4y 上，则点P 到点C (0,4)的距离的最小值为（ ） A ．√3B ．2√3C ．12√3D ．126、下列直线方程纵截距为2的选项为（ ）A ．y =x −2B ．x −y +2=0C ．x2+y4=1D ．x +y +2=07、如图，在直三棱柱ABC −AB 1C 1中，AC =3,BC =4,CC 1=3,∠ACB =90∘ ，则BC 1与A 1C 所成的角的余弦值为（ ）A ．3√210B ． √33C ． √24D ． √558、已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(0,14]B ．(14,1)C ．(12,1)D ．[12,1) 多选题9、已知圆C 1：x 2+y 2−10x −10y =0和圆C 2：x 2+y 2−6x +2y −40=0则（ ） A ．两圆相交B ．公共弦长为4√10 C ．两圆相离D ．公切线长4√10 10、已知双曲线W:x 22+m−y 2m+1=1，（ ）A ．m ∈(−2,−1)B ．若W 的顶点坐标为(0,±√2)，则m =−3C ．W 的焦点坐标为(±1,0)D ．若m =0，则W 的渐近线方程为x ±√2y =0 11、设椭圆C:x 24+y 2=1的的焦点为F 1，F 2，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．A ．离心率e =√32B ．|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的最大值为3C ．△PF 1F 2面积的最大值为2√3D ．|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为2 填空题12、在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)满足：x2+y2+z2=16，平面α过点M(1,2,3)，且平面α的一个法向量n⃑=(1,1,1)，则点P在平面α上所围成的封闭图形的面积等于__________.13、在直角坐标系中，若A(2,1)、B(1,2)、C(0,y)(y∈R)，则|AC|+|BC|的最小值是______．部编版高中数学选修一综合测试题带答案(三十五)参考答案1、答案：A分析：根据题意渐近线的斜率为tan π6=√33，所以该渐近线的方程为y =√33x ，所以2a 2=(√33)2，求得a=√6，利用c =√a 2+b 2，求得c 即可得解. ∵双曲线x 2a2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，tan π6=√33， ∴该渐近线的方程为y =√33x ，∴2a 2=(√33)2，解得a =√6或−√6（舍去），∴c =√a 2+b 2=2√2， ∴双曲线的离心率为e =ca =√2√6=2√33． 故选：A ． 2、答案：B分析：由正方体的性质可知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 两两垂直，从而对a ⋅(b ⃑ +c )化简可得答案 由题意可得AB ⊥AD,AB ⊥AA 1,所以a ⊥b ⃑ ,a ⊥c ，所以a ⋅b ⃑ =0,a ⋅c =0， 所以a ⋅(b ⃑ +c )=a ⋅b ⃑ +a ⋅c =0， 故选：B 3、答案：C分析：由双曲线定义得到|BF 2|−|BF 1|=2a ，|AF 2|−|AF 1|=2a ，两式相加得到|BF 2|+|AF 2|=4a +m ，进而求出周长.由双曲线的定义得：|BF 2|−|BF 1|=2a ①，|AF 2|−|AF 1|=2a ②， 两式相加得：|BF 2|−|BF 1|+|AF 2|−|AF 1|=4a ， 即|BF 2|+|AF 2|−|AB |=|BF 2|+|AF 2|−m =4a ， 所以|BF 2|+|AF 2|=4a +m ，故△ABF 2的周长为|BF 2|+|AF 2|+|AB |=4a +2m . 故选：C4、答案：B分析：因为C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2√a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.∵C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=ba x，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=−ba x，解得{x=ay=−b故E(a,−b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 5、答案：B分析：设出点P坐标，用两点间距离公式表达出点P到点C(0,4)的距离，配方后求出最小值.设P (x,x 24)，则|PC |=√x 2+(x 24−4)2=√116(x 2−8)2+12，当x 2=8时，|PC |取得最小值，最小值为2√3故选：B 6、答案：B分析：纵截距就是令x =0是y 的值，令每一个选项中的x 为0，解出y ，最后选出符合题意的.直线x +y +2=0的纵截距为−2，直线x2+y4=1的纵截距为4，直线x −y +2=0的纵截距为2，直线y =x −2的纵截距为−2. 故选：B. 7、答案：A分析：建立空间直角坐标系，写出CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，由夹角公式可得结果. 如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A 1(3,0,3)，B (0,4,0)，C 1(0,0,3)， 所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,0,3)，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−4,3)，所以cos⟨CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |CA1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√2×5=3√210， 所以直线BC 1与A 1C 所成角的余弦值为3√210． 故选：A. 8、答案：D分析：先由椭圆的定义结合已知求得|PF 1|,|PF 2|，再由|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|求得a,c 的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，又∵|PF 1|=3|PF 2|，∴|PF 1|=32a ，|PF 2|=12a ， 而|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|=2c ，当且仅当点P 在椭圆右顶点时等号成立， 即32a −12a ≤2c ，即a ≤2c ，则e =ca ≥12，即12≤e <1. 故选：D ． 9、答案：AB分析：先将圆的一般方程化为标准，再计算圆心间距离判断两圆的位置关系，最后根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案.圆C 1的标准方程为：(x −5)2+(y −5)2=50，圆心为（5，5）半径为 r 1=5√2 圆C 2 的标准方程为：(x −3)2+(y +1)2=50，圆心为（3，-1）半径为 r 2=5√2 所以两圆心的距离：d =√(5−3)2+[5−(−1)]2=2√10， ∴0<d <r 1+r 2,∴两圆相交，选项A 正确，选项C 错误； 设两圆公共弦长为L ，则有：(L2)2+(d2)2=r 2(r =r 1=r 2)∴L =4√10，选项B 正确，选项D 错误. 故选：AB 10、答案：BD分析：本题首先可根据双曲线的解析式得出(2+m )(1+m )>0，通过计算即可判断出A 错误，然后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B 正确，再然后分为m >−1、m <−2两种情况，依次求出c 2，即可判断出C 错误，最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果. A 项：因为方程x 22+m −y 2m+1=1表示双曲线，所以(2+m )(1+m )>0，解得m >−1或m <−2，A 错误； B 项：因为W 的顶点坐标为(0,±√2)， 所以−m −1=(√2)2，解得m =−3，B 正确；C 项：当m >−1时，c 2=(2+m )+(m +1)=2m +3，当m <−2时，c 2=−(2+m )−(m +1)=−2m −3，C 错误； D 项：当m =0时，双曲线W 的标准方程为x 22−y 2=1， 则渐近线方程为x ±√2y =0，D 正确， 故选：BD. 11、答案：AD分析：根据椭圆方程求出a 、b 、c ，即可判断A ，设P(x,y)根据二次函数的性质判断BD ，由S △PF 1F 2=12|y|⋅2c 判断C ； 解：因为椭圆C:x 24+y 2=1，所以a 2=4，b 2=1，所以a =2，b =1，c =√a 2−b 2=√3，所以F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，e =c a=√32，故A 正确；设P(x,y)，所以PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(√3−x,−y)，所以|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(x −√3)2+y 2=(x −√3)2+1−x 24=3x 24−2√3x +4=34(x −43√3)2，因为−2≤x ≤2，所以当x =−2时(|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2)max=7+4√3，即|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |max =2+√3，故B 错误；因为S △PF 1F 2=12|y|⋅2c =12|y|×2√3=√3|y|，又−1⩽y ⩽1，所以当y =±1时，即P 在短轴的顶点时△PF 1F 2面积的取得最大值，(S △PF 1F 2)max=√3×1=√3，故C 错误；对于D ：|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2|PO ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√x 2+y 2=2√3x 24+1，因为−2≤x ≤2，所以1≤3x 24+1≤4，所以2≤|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |≤4，故D 正确； 故选：AD 12、答案：4π分析：由题意，点P 在球面上，所以点P 在平面α上所围成的封闭图形即为平面α截球面所得的截面圆，根据球的截面性质求出截面圆的半径r 即可求解.解：由题意，点P 在以(0,0,0)为球心，半径为4的球面上，所以点P 在平面α上所围成的封闭图形即为平面α截球面所得的截面圆，因为平面α的方程为1×(x −1)+1×(y −2)+1×(z −3)=0，即x +y +z −6=0，所以球心(0,0,0)到平面α的距离为d==2√3，√12+12+12所以截面圆的半径r=√42−(2√3)2=2，截面圆的面积为S=πr2=4π，所以点P在平面α上所围成的封闭图形的面积等于4π.所以答案是：4π.13、答案：√10分析：作点A关于y轴的对称点M(−2,1)，由对称性可得|AC|=|MC|，再利用当点C为线段BM与y轴的交点时，|AC|+|BC|取最小值可得结果.由题意可知，点C在y轴上，点A关于y轴的对称点为M(−2,1)，由对称性可得|AC|=|MC|，所以，|AC|+|BC|=|MC|+|BC|≥|MB|=√(1+2)2+(2−1)2=√10，当且仅当点C为线段BM与y轴的交点时，等号成立，故|AC|+|BC|的最小值为√10.所以答案是：√10.。
高中数学选修一综合测试题专项训练(带答案)
高中数学选修一综合测试题专项训练单选题1、设圆C 1:x 2+y 2−2x +4y =4，圆C 2:x 2+y 2+6x −8y =0，则圆C 1，C 2的公切线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：B分析：先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．由题意，得圆C 1:(x −1)2+(y +2)2=32，圆心C 1(1,−2)，圆C 2:(x +3)2+(y −4)2=52，圆心C 2(−3,4)，∴5−3<|C 1C 2|=2√13<5+3，∴C 1与C 2相交，有2条公切线． 故选：B ．2、经过点(－√2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ） A ．y ＋√2 =√33(x －2)B ．y ＋2＝√3(x －√2) C ．y －2=√33(x ＋√2)D ．y －2＝√3(x ＋√2) 答案：C分析：根据k =tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解. 直线的斜率k =tan30°=√33，由直线的点斜式方程可得y －2＝√33(x ＋√2)， 故选：C ．3、已知点P(x ，y)在直线x −y −1=0上的运动，则(x −2)2+(y −2)2的最小值是（ ） A ．12B ．√22C ．14D ．√34 答案：A分析：(x −2)2+(y −2)2表示点P(x ，y)与(2，2)距离的平方，求出(2，2)到直线x −y −1=0的距离，即可得到答案.(x −2)2+(y −2)2表示点P(x ，y)与(2,2)距离的平方，因为点(2,2)到直线x −y −1=0的距离d =√2=√22， 所以(2,2)的最小值为d 2=12． 故选：A4、动点P ，Q 分别在抛物线x 2=4y 和圆x 2+y 2−8y +13=0上，则|PQ|的最小值为（ ） A ．2√3B ．√3C ．12√3D ．32√3 答案：B分析：设P (x 0,14x 02)，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案. 设P (x 0,14x 02)，圆化简为x 2+(y −4)2=3，即圆心为（0,4），半径为√3，所以点P 到圆心的距离d =√(x 0−0)2+(14x 02−4)2=√116(x 02)2−x 02+16，令t =x 02，则t ≥0，令f(t)=116t 2−t +16，t ≥0，为开口向上，对称轴为t =8的抛物线，所以f(t)的最小值为f (8)=12， 所以d min =√12=2√3，所以|PQ|的最小值为d min −√3=2√3−√3=√3. 故选：B5、已知圆C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0，C 2:(x +32)2+(y −32)2=112，则这两圆的公共弦长为（ ）A ．4B ．2√2C ．2D ．1 答案：C分析：先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.由题意知C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0，C 2:x 2+y 2+3x −3y −1=0，将两圆的方程相减，得x +y −3=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x +y −3=0.又因为圆C 1的圆心为(−2,1)，半径r =3，所以圆C 1的圆心到直线x +y −3=0的距离d =√2=2√2.所以这两圆的公共弦的弦长为2√r2−d2=2√32−(2√2)2=2. 故选：C.6、设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（）A．[√22,1)B．[12,1)C．(0,√22]D．(0,12]答案：C分析：设P(x0,y0)，由B(0,b)，根据两点间的距离公式表示出|PB|，分类讨论求出|PB|的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为x02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以|PB|2=x02+(y0−b)2=a2(1−y02b2)+(y0−b)2=−c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2，因为−b≤y0≤b，当−b3c2≤−b，即b2≥c2时，|PB|max2=4b2，即|PB|max=2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤√22；当−b3c2>−b，即b2<c2时，|PB|max2=b4c2+a2+b2，即b4c2+a2+b2≤4b2，化简得，(c2−b2)2≤0，显然该不等式不成立．故选：C．小提示：本题解题关键是如何求出|PB|的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．7、如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC=−35，AB⊥BD，则E的离心率为（）A ．√52B ．√173C ．√102D ．√5 答案：B分析：利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用|BF 2|表示|BF 1|,|AF 1|,|AB|，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.依题意，直线CA,DB 都过点F 1，如图，有AB ⊥BF 1，cos∠BAF 1=35，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=2a +m ，显然有tan∠BAF 1=43，|AB|=34|BF 1|=34(2a +m)，|AF 2|=32a −14m ，因此，|AF 1|=2a +|AF 2|=72a −14m ，在Rt △ABF 1，|AB|2+|BF 1|2=|AF 1|2，即916(2a +m)2+(2a +m)2=(72a −14m)2，解得m =23a ，即|BF 1|=83a,|BF 2|=23a ，令双曲线半焦距为c ，在Rt △BF 1F 2中，|BF 2|2+|BF 1|2=|F 1F 2|2，即(23a)2+(83a)2=(2c)2，解得ca =√173， 所以E 的离心率为√173. 故选：B小提示：方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法，由已知条件得出关于a,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8、已知直线l 1:√3x +y =0与直线l 2:kx −y +1=0，若直线l 1与直线l 2的夹角是60°，则k 的值为（ ） A ．√3或0B ．−√3或0 C ．√3D ．−√3 答案：A分析：先求出l 1的倾斜角为120°，再求出直线l 2的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k . 直线l 1:√3x +y =0的斜率为k 1=−√3，所以倾斜角为120°. 要使直线l 1与直线l 2的夹角是60°， 只需直线l 2的倾斜角为0°或60°， 所以k 的值为0或√3. 故选：A 多选题9、下列四个命题中，错误的有（ ） A ．若直线的倾斜角为θ，则sinθ>0 B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0≤θ≤πC ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tanθD ．若一条直线的斜率为tanθ，则此直线的倾斜角为θ 答案：ABCD分析：根据倾斜角与斜率的定义判断即可；解：因为直线的倾斜角的取值范围是[0,π)，即θ∈[0,π)，所以sinθ≥0， 当θ≠π2时直线的斜率k =tanθ，故A 、B 、C 均错误； 对于D ：若直线的斜率k =tan 4π3=√3，此时直线的倾斜角为π3，故D 错误；故选：ABCD10、(多选)已知三条直线x －2y ＝1，2x ＋ky ＝3，3kx ＋4y ＝5相交于一点，则k 的值为（ ） A ．－163B ．－1C ．1D ．163分析：由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k 的值 解：由{x −2y =12x +ky =3，得{x =6+k4+ky =14+k ，所以三条直线的交点为(6+k4+k ,14+k)，所以3k ⋅6+k 4+k+4⋅14+k =5，化简得3k 2+13k −16=0，解得k =1或k =−163， 故选：AC11、已知直线l 经过点P(3,1)，且被两条平行直线l 1：x +y +1=0和l 2：x +y +6=0截得的线段长为5，则直线l 的方程为（ ） A ．x =2B ．x =3 C ．y =1D ．y =2 答案：BC分析：先分析当直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3，符合题意；再分析直线l 的斜率存在时，先求出A,B 的坐标，解方程(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52求出k 的值，综合即得解.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3， 此时与l 1、l 2的交点分别为A(3,−4)，B(3,−9)， 截得的线段AB 的长|AB|=|−4+9|=5，符合题意， 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x −3)+1， 解{y =k(x −3)+1x +y +1=0 得A(3k−2k+1,−4k−1k+1)，解{y =k(x −3)+1x +y +6=0 得B(3k−7k+1,−9k−1k+1)，由|AB|=5，得(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52，解得k =0，即所求的直线方程为y =1，综上可知，所求直线l 的方程为x =3或y =1，填空题12、已知抛物线y 2=2px (p >0)，圆(x −p 2)2+y 2=1与y 轴相切，斜率为k 的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A ，D 两点，与圆交于B ，C 两点(A ，B 两点在x 轴的同一侧)，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，λ∈[2,4]，则k 2的取值范围为___________. 答案：[8,16+12√2]分析：先求出p ，然后设出直线，让直线与抛物线联立，再根据向量之间的关系及韦达定理求出x A ,x D ，再利用抛物线的定义及条件建立等式，再转化为不等式求解即可.由圆的方程可知，其圆心坐标为(p2,0)，当圆与y 轴相切可知p2=1，得p =2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，抛物线方程为y 2=4x ，设斜率为k 的直线方程为y =k(x −1)，设A(x A ,y A ),D(x D ,y D )，直线与抛物线联立， {y =k(x −1)y 2=4x，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 所以x A +x D =2k 2+4k 2①，x A x D =1②所以|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AF ⃑⃑⃑⃑⃑ |−1=x A +1−1=x A ，|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DF ⃑⃑⃑⃑⃑ |−1=x D +1−1=x D ， 而AB⃑⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则有|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=λ|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |，λ∈[2,4]， 所以x A =λx D ③，由①，③解得x A =λ(2k 2+4)(λ+1)k 2,x D =2k 2+4(λ+1)k 2，代入②有λ(λ+1)2⋅(2k 2+4)2k 4=1，变形得(2k 2+4)2k 4=(λ+1)2λ，因为λ∈[2,4]，所以(λ+1)2λ=λ+1λ+2∈[92,254]，所以92≤(2k 2+4)2k 4≤254，变形得√2≤2k 2+4k 2≤52，解得8≤k 2≤16+12√2. 所以答案是：[8,16+12√2].小提示：关键点睛：解决本题的关键一是先求出抛物线方程，二是运用抛物线的定义，三是解不等式. 13、设m ∈R ，圆M:x 2+y 2−2x −6y =0，若动直线l 1:x +my −2−m =0与圆M 交于点A 、C ，动直线l2:mx−y−2m+1=0与圆M交于点B、D，则|AC|+|BD|的最大值是________．答案：2√30分析：求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出|AC|+|BD|，利用基本不等式即可求出其最大值.x2+y2−2x−6y=0⇒(x−1)2+(y−3)2=10，圆心M(1，3)，半径r＝√10，x+my−2−m=0⇒x−2+m(y−1)=0⇒l1过定点E(2,1)，mx−y−2m+1=0⇒m(x−2)−y+1=0⇒l2过定点E(2,1)，且l1⊥l2，如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形，设|MF|=d，0≤d≤|ME|=√5，则|MG|=√|ME|2−|EG|2=√|ME|2−|MF|2=√5−d2，则|AC|+|BD|＝2√10−d2+2√10−(5−d2)=2(√10−d2+√5+d2)⩽2√2(10−d2+5+d2)=2√30，当且仅当10−d2=5+d2即d=√102时取等号.所以答案是：2√30.14、已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|−|MF1|的最小值为___________. 答案：2√2−5分析：首先根据椭圆的定义将|MN|−|MF1|的最小值转化为|MN|+|MF2|−4，再根据|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据|ME|+|MF2|≥|EF2|求得|MN|−|MF1|的最小值.如图，由M为椭圆C上任意一点，则|MF1|+|MF2|=4又N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴|MN|−|MF1|=|MN|−(4−|MF2|)=|MN|+|MF2|−4≥|ME|+|MF2|−5≥|EF2|−5，当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立.∵F2(1,0)，E(3,2)，则|EF2|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，∴|MN|−|MF1|的最小值为2√2−5．所以答案是：2√2−5．小提示：思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.解答题15、如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD为6√3m，行车道总宽度BC为2√11m，侧墙高EA，FD为2m，弧顶高MN为5m.（1）以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1m为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为0.5m ，问车辆通过隧道的限制高度是多少？答案：（1）x 2+(y +3)2=36；（2）3.5m . 分析：（1）设出圆的方程，代入F,M 即可求解；（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，求出点P 的坐标，即可得出答案. （1）由题意，有E(−3√3,0)，F(3√3,0)，M(0,3).∵所求圆的圆心在y 轴上，∴设圆的方程为(x −0)2+(y −b)2=r 2（b ∈R ，r >0）， ∵F(3√3,0)，M(0,3)都在圆上， ∴{(3√3)2+b 2=r 202+(3−b )2=r 2，解得{b =−3r 2=36 .∴圆的标准方程是x 2+(y +3)2=36.（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ， 则CP =ℎ+0.5.将点P 的横坐标x =√11代入圆的方程，得(√11)2+(y +3)2=36， 得y =2或y =−8（舍去）.∴ℎ=CP −0.5=(2+2)−0.5=3.5(m ). 故车辆通过隧道的限制高度为3.5m .。
高中数学选修2-1全册综合测试题含答案
选修2-1综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知p ：2x －3<1，q ：x 2－3x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标为( ) A ．(116，0) B ．(－116，0) C ．(0,1) D ．(0，－1)3．已知命题p ：3是奇数，q ：3不是质数．由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的命题中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－3,0) C ．(－12,0) D ．(－60，－12)5．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”是全称命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0.A ．0B ．1C ．2D ．36．设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(m ＋1,0,2m )，b ＝(6,2n －1,2)，若a ∥b ，则m 与n 的值分别为( ) A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12D ．－5，－2 8．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．4 29．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.32C.53D ．210．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点EF 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°11．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④12．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，设线段P 1P 2的中点为P .若直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．14．已知命题p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．15．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.16．如图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为________．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．18．(12分)求证：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．20．(12分)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C 的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．22．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．1．解析 p ：x <2，q ：0<x <3.∴pD ⇒/q ，qD ⇒/p .∴p 是q 的既不充分也不必要条件．答案 D2．解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，∴焦点坐标为(0,1)．答案 C2．解析 命题p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”、“綈p ”为假，故应选B.答案 B4．解析 由x 24＋y 2k ＝1表示双曲线知，k <0，且a 2＝4，b 2＝－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4，∵1<e <2，∴1<4－k 4<4.∴4<4－k <16，∴－12<k <0.答案 C5．解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B6．解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．答案 C7．解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝6λ，0＝λ(2n －1)，2m ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝15，n ＝12，λ＝15.∴m ＝15，n ＝12.答案 A 8．解析 设双曲线的焦距为2c ，由双曲线方程知c 2＝3＋p 216，则其左焦点为(－3＋p 216，0)．由抛物线方程y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p 2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，3＋p 216＝p 24，且p >0，解得p ＝4.答案 C9．解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8a 3，|PF 2|＝2a 3.又|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a .∴c a ≤53.即e ≤53.答案 C10．解析 建立空间直角坐标如图所示．设AB ＝2，则EF →＝(0，－1,1)．BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →·BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝28·2＝12， 故EF 与BC 1所成的角为60°.答案 B11．解析 直线y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，所以与①不相交．②中圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋3＝0的距离d ＝35< 3.所以与②相交．把y ＝－2x －3代入x 22＋y 2＝1，得x 22＋4x 2＋12x ＋9＝1，即9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D.答案 D12．解析 设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21， 而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21. ∴k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1，∴k 1·k 2＝－12. 答案 A13．解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”答案 任意一个三角形都有外接圆14．解析 “p 是q 的必要不充分条件”的逆否命题是“q 是p 的必要不充分条件”．∴{x |1≤x ≤2}{x |a ≤x ≤a ＋2}，∴0≤a ≤1. 答案 0≤a ≤115．答案 －14 816．解析 由题意知，AC 1＝22＋22＋1＝3，AC ＝22＋22＝22，在Rt △AC 1C 中，cos ∠C 1AC ＝AC AC 1＝223.答案 22317．解 由|x －1|>m －1的解集为R ，知m －1<0，∴m <1.即p ：m <1.又f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，∴5－2m >1，即m <2，即q ：m <2.若p 真q 假，则⎩⎨⎧ m <1，m ≥2，m 不存在． 若p 假q 真，则⎩⎨⎧ m ≥1，m <2，∴1≤m <2.综上知，实数m 的取值范围是[1,2)．18．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1，所以a ＋2b ＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上可知，a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．解 显然直线l 垂直于x 轴不合题意，故设所求的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程化简，得x 2＋2kx －2＝0.由根的判别式Δ＝4k 2＋8＝4(k 2＋2)>0，于是有k ∈R .设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1.① 因为y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，代入① ，得2k －(1x 1＋1x 2)＝1.② 又因为x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，代入②得k ＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1.20．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c 由已知得⎩⎨⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧ a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y 2＝e 2.而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．① 由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，它是两条平行于x轴的线段．21．解 (1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D (32，－12，2)．易知AB →＝(3，1,0)，AC 1→＝(0,2，2)，AD →＝(32，12，2)．设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0.解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2310×3＝105.由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为10 5.22．解(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D 1E ∥A 1B .又D 1E ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∴D 1E ∥平面A 1BD .(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA ＝1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,2,2)，A 1(1,0,2)．∴DA 1→＝(1,0,2)，DB →＝(1,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BD 的一个法向量，由n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，得⎩⎨⎧x ＋2z ＝0，x ＋y ＝0，取z ＝1，则n ＝(－2,2,1)．又DC 1＝(0,2,2)，DB →＝(1,1,0)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面C 1BD 的一个法向量，由m ⊥DC 1→，m ⊥DB →， 得⎩⎨⎧ 2y 1＋2z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取z 1＝1，则m ＝(1，－1,1)．设m 与n 的夹角为α，二面角A 1－BD －C 1为θ，显然θ为锐角，∴cos α＝m ·n |m ||n |＝－39×3＝－33.∴cosθ＝3 3，即所求二面角A1－BD－C1的余弦值为3 3.。
高中数学选修试题及答案
高中数学选修试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)答案：C2. 函数f(x) = 2x + 1的反函数是：A. f^(-1)(x) = (x - 1) / 2B. f^(-1)(x) = (x + 1) / 2C. f^(-1)(x) = x / 2 + 1D. f^(-1)(x) = x / 2 - 1答案：A3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 若直线y = 2x + 1与直线y = -x + 4相交，则交点的横坐标是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 3答案：A6. 已知等差数列{an}的前三项依次为1，4，7，则该数列的第五项是：A. 10B. 11C. 12D. 13答案：C7. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25，则圆心坐标为：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)答案：A8. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是：A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (0, 0)答案：A9. 函数f(x) = x / (x^2 + 1)的值域是：A. (-1, 1)B. (0, 1)C. (-∞, 0)D. (0, +∞)答案：B10. 已知向量a = (3, -4)，b = (-2, 6)，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ = 1/5B. cosθ = 1/3C. cosθ = -1/5D. c osθ = -1/3答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = __________。
高中数学选修二综合测试题必考考点训练(带答案)
高中数学选修二综合测试题必考考点训练单选题1、已知等差数列{a n}的公差d为正数，等比数列{b n}的公比为q，若a1=b1=1,a2=b2,a14=b4，则d+q=（）A．4B．5C．6D．7答案：B分析：分析得到q>1，再解方程组{1+d=q1+13d=q3即得解.由a2=b2,a14=b4，得{1+d=q1+13d=q3，因为d>0,∴q>1，所以q3−1q−1=13,∴q2+q−12=0，解得q=3,d=2,d+q=5.故选：B.2、若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a∈R，且a≠0)，则此数列是（）A．等差数列B．等比数列C．等差数列或等比数列D．既不是等差数列，也不是等比数列答案：C分析：当n=1时，求出a1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1) 然后对a-1是否为0讨论即可当n=1时，a1=S1=a-1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1).当a-1=0，即a=1时，该数列为等差数列，当a≠1时，该数列为等比数列.故选:C小提示：等比数列各项都不等于0.3、在正项数列{a n }中，首项a 1=2，且(2a n 2,a n−12)(n ∈N ∗,n ≥2)是直线x −8y =0上的点，则数列{a n }的前n 项和S n =（ ） A ．1−(−2)n2B ．2n+1−2C ．2n+1D ．1−2n 2答案：B分析：由题意，代入点坐标进入直线方程可得a n =2a n−1，即数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，利用等比数列求和公式即得解在正项数列{a n }中，a 1=2，且(2a n 2,a n−12)是直线x −8y =0上的点， 可得2a n 2=8a n−12，所以a n =2a n−1，可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 则{a n }的前n 项和S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2.故选：B4、等差数列{a n }中，a 1=1，a 6=2a 3.设b n =2a n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，若S m =62，则m 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：C分析：首先求数列{a n }的通项公式，然后利用等比数列的前n 项和公式，求m 的值. 设{a n }的公差为d ，由题意得a n =1+(n −1)d ，因为a 6=2a 3， 所以1+(6−1)d =2[1+(3−1)d ]，解得d =1，故a n =n ，则b n =2n . 所以数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n =2−2n+11−2=2n+1−2，由S m =62得2m+1−2=62，解得m =5. 故选：C.5、已知函数f (x )=x 2+alnx 的图象在(1，f （1）)处的切线经过坐标原点，则函数y =f (x )的最小值为（ ） A ．12−12ln2B ．14+ln2C ．12+12ln2D ．1 答案：C解析：利用导数的几何意义求出a =−1，从而可得f (x )=x 2−lnx ，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最值.函数f (x )=x 2+alnx ，则f (1)=12+aln1=1 且f ′(x )=2x +ax ，所以f ′(1)=2+a ，所以f ′(1)=f (1)−01−0=1=2+a ，解得a =−1，所以f (x )=x 2−lnx ，（x >0） f ′(x )=2x −1x ，令f ′(x )≥0，即2x −1x ≥0，解得x ≥√22， 令f ′(x )<0，即2x −1x <0，解得0<x <√22， 所以函数在区间(0,√22)上单调递减，在区间[√22,+∞)上单调递增. 所以f (x )min =f (√22)=(√22)2−ln√22=12−ln √22=12+12ln2.故选：C6、已知函数f(x)=axlnx−4x，在区间(0,3)内任取两个实数x 1，x 2，且x 1≠x 2，若不等式f (x 2+1)−f (x 1+1)x 1−x 2<1恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．-4B ．-2C ．-1D ．4 答案：A分析：将不等式转化为f (x 1+1)−f (x 2+1)(x 1+1)−(x 2+1)>−1恒成立，表示函数y =f(x +1)的图象在(0,3)内任意两点间连线的斜率大于-1，即y =f(x)的图象在(1,4)内任意两点间连线的斜率大于-1.求导函数，进行参变分离得a ≥−x −4x =−(x +4x )在x ∈(1,4)内恒成立.由基本不等式可求得a 的最小值. 解：在区间(0,3)内任取两个实数x 1，x 2，且x 1≠x 2， 不等式f (x 2+1)−f (x 1+1)x 1−x 2<1恒成立，即不等式f (x 1+1)−f (x 2+1)(x 1+1)−(x 2+1)>−1恒成立，它表示函数y =f(x +1)的图象在(0,3)内任意两点间连线的斜率大于-1， 即y =f(x)的图象在(1,4)内任意两点间连线的斜率大于-1.所以f ′(x )=ax +4x 2≥−1在x ∈(1,4)内恒成立，即a ≥−x −4x =−(x +4x )在x ∈(1,4)内恒成立.当x ∈(1,4)时，x +4x ≥4，则−(x +4x )≤−4，当且仅当x =2时等号成立， 所以a ≥−4，a 的最小值为-4. 故选：A.7、设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .若q >1，a m +a m+2=52a m+1，且S 2m =9S m ，m ∈N ∗，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B分析：先利用条件a m +a m+2=52a m+1求出公比q 的值，然后利用等比数列求和公式以及S 2m =9S m 可求出正整数m 的值.因为a m +a m+2=52a m+1，所以a m +a m q 2=52a m q ，得到q 2−52q +1=0， 因为q >1，所以q =2. 由S 2m =9S m ，得a 1(1−22m )1−2=9×a 1(1−2m )1−2，又a 1≠0，所以1−22m =9(1−2m )， 因为m ∈N ∗，则1−2m ≠0， 所以1+2m =9，解得m =3， 故选：B8、在数列{a n }中，a 1=−14,a n =1−1a n−1(n ≥2,n ∈N ∗)，则a 2021的值为（ ）A ．−14B ．5C ．45D ．54 答案：B分析：根据递推关系可判断数列为周期数列，从而可求a 2021. 因为在数列{a n }中，a 1=−14,a n =1−1an−1，所以a n+2=1−1a n+1=1−11−1a n=1−a na n−1=−1a n−1=−11−1a n−1−1=a n−1，故{a n}是周期数列且周期为3，故a2021=a673×3+2=a2=1−1−14=5.故选：B.多选题9、如图是导函数y=f′(x)的图象，则下列说法错误的是（）A．(−1,3)为函数y=f(x)的单调递增区间B．(0,5)为函数y=f(x)的单调递减区间C．函数y=f(x)在x=0处取得极大值D．函数y=f(x)在x=5处取得极小值答案：BC分析：根据导函数函数值的正负与函数单调性的关系，以及函数极值点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.由图可知，当x<−1时，f′(x)<0，故f(x)单调递减；当x∈(−1,3)，f′(x)>0，故f(x)单调递增；当x∈(3,5)，f′(x)<0，故f(x)单调递减；当x>5，f′(x)>0，故f(x)单调递增，且f′(−1)=0，f′(1)=0，f′(5)=0，则该函数在x=−1和x=5处取得极小值；当x=3处取得极大值.故选：BC.10、（多选）已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的为（）A ．实线是f (x )的图象，虚线是f ′(x )的图象B ．实线是f ′(x )的图象，虚线是f(x)的图象C ．不等式组{f (x )>f ′(x )0<x <4的解集为(0,23)D ．不等式组{f (x )>f ′(x )0<x <4的解集为(1,43)答案：BC分析：根据函数的单调性与导数的关系可判断AB 选项的正误，根据图象可判断CD 选项的正误. 结合图象，若虚线是f ′(x )的图象，则当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，则f (x )在(0,2)上单调递减，与实线中f (x )在(0,2)上不单调矛盾，不满足题意， 故实线为f ′(x )的图象，虚线为f (x )的图象，故A 不正确，B 正确；由图象知不等式组{f (x )>f ′(x )0<x <4的解集为(0,23)，故C 正确，D 不正确．故选：BC ．11、(多选)数列{an }为等差数列，Sn 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则（ ） A ．a 1＝1B ．d ＝－23C ．a 2＋a 12＝10D ．S 10＝40 答案：ACD分析：根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解. 设数列{an }的公差为d ，则由已知得S 7＝7(a 1+a 7)2，即21＝7(a 1+5)2，解得a 1＝1.又a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23. 所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.由{an }为等差数列，知a 2＋a 12＝2a 7＝10. 故选：ACD 填空题12、我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列{n(n+1)2}就是二阶等差数列，数列{n(n+1)2} (n ∈N ∗) 的前3项和是________．答案：10分析：根据通项公式可求出数列{a n }的前三项，即可求出． 因为a n =n(n+1)2，所以a 1=1,a 2=3,a 3=6．即S 3=a 1+a 2+a 3=1+3+6=10． 所以答案是：10.小提示：本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．13、已知函数f (x )=13x 3+ax 2+(a +2)x +3在(−∞,+∞)上存在极值点，则实数a 的取值范围是_____________.答案：{a|a <−1 或a >2}解析：计算f′(x )，然后转化为f′(x )=0有解，可得a 的范围，最后进行简单检验可得结果. 由题可知：f′(x )=x 2+2ax +a +2，因为函数f (x )在(−∞,+∞)上存在极值点，所以f′(x )=0有解 所以Δ=4a 2−4×1×(a +2)≥0，则a ≤−1或a ≥2当a =−1或a =2时，函数y =f′(x )与x 轴只有一个交点，即f′(x )≥0 所以函数f (x )在(−∞,+∞)单调递增，没有极值点，故舍去所以a<−1或a>2，即{a|a<−1或a>2}所以答案是：{a|a<−1或a>2}14、数列{a n}满足a n=a n+1+2，且a1=1，则它的通项公式a n=______．答案：−2n+3##3−2n分析：根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答.因数列{a n}满足a n=a n+1+2，即a n+1−a n=−2，因此数列{a n}是首项为1，公差为−2的等差数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=1+(n−1)×(−2)=−2n+3.所以答案是：−2n+3解答题15、已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n=√S n+√S n−1(n∈N∗且n≥2).(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n.(2)求数列{1a n a n+1答案：(1)a n=2n−1(2)T n=n2n+1分析：（1）由a n=S n−S n−1(n≥2)及题意可得数列{√S n}为等差数列，从而求出S n=n2，从而可求出答案；（2）利用裂项相消法即可求出答案．（1）∵a n=S n−S n−1(n≥2)，∴a n=(√S n−√S n−1)(√S n+√S n−1)(n≥2)，又a n=√S n+√S n−1(n≥2,n∈N∗),a n>0，∴√S n−√S n−1=1(n≥2)，∴数列{√S n}是以√S1=√a1=√1=1为首项，1为公差的等差数列，∴√S n=1+(n−1)=n，∴S n=n2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1，当n=1时，a1=1，满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n−1；（2）由（1）可知，a n=2n−1，T n=1a1a2+1a2a3+1a3a4+⋯+1a n a n+1=11×3+13×5+15×7+⋯+1(2n−1)(2n+1)=12×[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12×(1−12n+1)=n2n+1，∴当n∈N∗时，T n=n2n+1．。
高中数学选修一综合测试题常考点(带答案)
高中数学选修一综合测试题常考点单选题1、设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（）A．[√22,1)B．[12,1)C．(0,√22]D．(0,12]答案：C分析：设P(x0,y0)，由B(0,b)，根据两点间的距离公式表示出|PB|，分类讨论求出|PB|的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为x02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以|PB|2=x02+(y0−b)2=a2(1−y02b2)+(y0−b)2=−c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2，因为−b≤y0≤b，当−b3c2≤−b，即b2≥c2时，|PB|max2=4b2，即|PB|max=2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤√22；当−b3c2>−b，即b2<c2时，|PB|max2=b4c2+a2+b2，即b4c2+a2+b2≤4b2，化简得，(c2−b2)2≤0，显然该不等式不成立．故选：C．小提示：本题解题关键是如何求出|PB|的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．2、已知圆(x−1)2+y2=4内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（）A．x−y−1=0B．x+y−3=0C．x+y+3=0D．x=2答案：B分析：设圆心C，由圆的对称性可知过点P与CP垂直的直线被圆所截的弦长最短由题意可知，当过圆心且过点P(2,1)时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，圆心为C(1,0)，P(2,1)，则由两点间斜率公式可得k CP=1−02−1=1，所以与PC垂直的直线斜率为k=−1，则由点斜式可得过点P(2,1)的直线方程为y−1=−1×(x−2)，化简可得x+y−3=0，故选：B3、已知直线l1:√3x+y=0与直线l2:kx−y+1=0，若直线l1与直线l2的夹角是60°，则k的值为（）A．√3或0B．−√3或0C．√3D．−√3答案：A分析：先求出l1的倾斜角为120°，再求出直线l2的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k.直线l1:√3x+y=0的斜率为k1=−√3，所以倾斜角为120°.要使直线l1与直线l2的夹角是60°，只需直线l2的倾斜角为0°或60°，所以k的值为0或√3.故选：A4、点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是（）A．(1,0)B．(0,1)C．(0,−1)D．(2,1)答案：B分析：设出对称点，根据对称关系列出式子即可求解.解：设点A(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是B(a,b)，则有{b−2a−1=1a+1 2+b+22−2=0，解得a=0，b=1，故点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是(0,1). 故选：B.小提示：方法点睛：关于轴对称问题：（1）点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0的对称点A′(m,n)，则有{n−bm−a×(−AB)=−1A⋅a+m2+B⋅b+n2+C=0；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.5、已知F是椭圆C:x24+y23=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为(1,1)，则|PQ|+|PF|的最大值为（）A．3B．5C．√41D．13答案：B分析：由|PQ|+|PF|=|PQ|+2a−|PF′|≤|QF′|+2a，结合图形即得.因为椭圆C:x24+y23=1，所以a=2,b=√3,c=1，F(−1,0)，则椭圆的右焦点为F′(1,0)，由椭圆的定义得：|PQ|+|PF|=|PQ|+2a−|PF′|≤|QF′|+2a=5，当点P在点P′处，取等号，所以|PQ|+|PF|的最大值为5，故选：B.6、圆x2+y2+2x−4y−6=0的圆心和半径分别是（）A．(−1,−2)，11B．(−1,2)，11C．(−1,−2)，√11D．(−1,2)，√11答案：D分析：先化为标准方程，再求圆心半径即可.先化为标准方程可得(x +1)2+(y −2)2=11，故圆心为(−1,2)，半径为√11. 故选：D.7、已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点，则AB 的中点M 到C 的准线l 的距离的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：设出直线AB 的方程x =my +2，联立后利用弦长公式表达出AB ，求出AB 长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到AB 的中点M 到C 的准线l 的距离为AB 的一半，进而求出点M 到C 的准线l 的距离的最小值. 如图，分别过点A ，M ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，E ， 则|MD |=|AC |+|BE |2=|AF |+|BF |2=|AB |2设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 联立{x =my +2y 2=8x ，整理得y 2−8my −16=0，则y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16.|AB |=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8(1+m 2)⩾8∴|MD |⩾4. 故选：B.8、如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −CC⃑⃑⃑⃑⃑ 1=（ ）A ．AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．D 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D ．DB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：B分析：由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．连接AC 、A 1C ，可得AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，又CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ． 故选：B. 多选题9、我们通常称离心率为√5−12的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1，A 1,A 2,B 1,B 2为顶点，F 1,F 2为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A ．|A 1F 1|,|F 1F 2|,|F 2A 2|为等比数列B ．∠F 1B 1A 2=90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO //A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1,F 2 答案：BD分析：若|A 1F 1|,|F 1F 2|,|F 2A 2|为等比数列，可得(a −c )2=(2c )2，则求出离心率可判断A ；由勾股定理以及离心率公式可判断B ；根据k PO =k A 2B 1结合斜率公式可判断C ；由四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆的半径为c 可得ab =c√a 2+b 2，求出离心率可判断D. 解：∵C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，∴A 1(−a,0),A 2(a,0),B 1(0,b ),B 2(0,−b )，F 1(−c,0),F 2(c,0)， 对于A ：|A 1F 1|,|F 1F 2|,|F 2A 2|为等比数列， 则|A 1F 1|⋅|F 2A 2|=|F 1F 2|2 ， ∴(a −c )2=(2c )2 ∴a −c =2c ，∴e =13不满足条件，故A 错误；对于B ：∠F 1B 1A 2=90°, ∴|A 2F 1|2=|B 1F 1|2+|B 1A 2|2 ∴(a +c )2=a 2+a 2+b 2, ∴c 2+ac −a 2=0 即∴e 2+e −1=0解得e =√5−12或e =−√5−12（舍去）满足条件.故B 正确；对于C ：PF 1⊥x 轴，且PO //A 2B 1，∴P (−c,b 2a ) ∵k PO =k A 2B 1即b 2a−c =b−a 解得b =c ∵a 2=b 2+c 2， ∴e =ca =√2c=√22不满足题意，故C 错误；对于D ：四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1,F 2， 即四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆的半径为c ， ∴ab =c√a 2+b 2 ∴c 4−3a 2c 2+a 4=0 ∴e 4−3e 2+1=0解得e 2=3+√52（舍去）或e 2=3−√52∴e =√5−12，故D 正确.故选：BD10、如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM =2A 1M ，C 1N =2B 1N ．设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，若∠BAC =90°，∠BAA 1=∠CAA 1=60°，AB =AC =AA 1=1，则下列说法中正确的是（ ）A ．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13a +13b ⃑ +23cB ．|MN |⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√53C ．AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．cos⟨AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=16答案：BD分析：利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得. MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +A 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +C 1N ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13BA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +23CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =13(AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )+AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +23(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =13a +13b ⃑ +13c ，故A 错误； 由题可知|a |=|b ⃑ |=|c |=1，a ⋅b ⃑ =0，a ⋅c =b ⃑ ⋅c =12，∴|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=19(a +b ⃑ +c )2=19(a 2+b ⃑ 2+c 2+2a ⋅b ⃑ +2a ⋅c +2b ⃑ ⋅c )=59，∴|MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√53，故B 正确；因为AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =a +c ，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =c+b ⃑ −a ， 则cos⟨AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |AB1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=⃑ √(a ⃑ +c )2√(c +b ⃑ −a ⃑ )=a ⋅b ⃑ −a 2+c 2+b ⃑ ⋅c=12√3×√3=16，故C 错误，D 正确．故选：BD.11、已知m 为3与5的等差中项，n 为4与16的等比中项，则下列对曲线C:x 2m +y 2n=1描述正确的是（ ）A ．曲线C 可表示为焦点在y 轴的椭圆B ．曲线C 可表示为焦距是4的双曲线 C ．曲线C 可表示为离心率是√22的椭圆D ．曲线C 可表示为渐近线方程是y =±√2x 的双曲线 答案：ACD分析：由已知条件先求出m,n 的值，从而可得曲线C 的方程，然后根据曲线方程分析判断即可 由m 为3与5的等差中项，得2m =3+5=8，即m =4， 由n 为4与16的等比中项，得n 2=4×16=64，即n =±8， 则曲线C:x 2m +y 2n=1的方程为x 24+y 28=1或x 24−y 28=1．其中x 24+y 28=1表示焦点在y 轴的椭圆，此时它的离心率e =ca=√a 2−b 2a 2=√1−b 2a 2=√1−48=√22，故A 正确，C 正确；其中x 24−y 28=1表示焦点在x 轴的双曲线，焦距为2c =2√a 2+b 2=2√4+8=4√3，渐近线方程为y = ±b a x =±2√22x =±√2x ，故B 不正确，D 正确．故选:ACD ． 填空题12、已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |=6，则C 的准线方程为______. 答案：x =−32分析：先用坐标表示P ，Q ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点F (p2,0),∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为p2，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为±p ,不妨设P(p2,p),因为Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，所以Q 在F 的右侧， 又∵|FQ|=6，∴Q(6+p2,0),∴PQ⃑⃑⃑⃑⃑ =(6,−p) 因为PQ ⊥OP ，所以PQ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP ⃑⃑⃑⃑⃑ = p 2×6−p 2=0, ∵p >0,∴p =3， 所以C 的准线方程为x =−32 所以答案是：x =−32.小提示：利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.13、已知√x 2+y 2+√(x −8)2+(y −6)2=20，则|3x −4y −100|的最值为_________. 答案：最大值为100+25√3，最小值为100−25√3.分析：由√x 2+y 2+√(x −8)2+(y −6)2=20，可知点(x,y)的轨迹表示以定点A(0,0)，B(8,6)的距离之和为定长20的椭圆，进而结合点到直线的距离得到答案.满足题设的点P(x,y)的轨迹是定点A(0,0)，B(8,6)的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的中心在M(4,3)、长半轴a 满足2a =20，即a =10.线段AB 长为√82+62=10，即c =5，所以椭圆的短半轴长b =5√3.又椭圆长轴所在直线方程为y =34x .如图可知，使得椭圆与直线y =34x +m 有公共点的m 的取值范围是原点到直线y =34x +m 的距离不超过5√3.即|3×0−4×0+4m|5≤5√3，解得−25√34≤m≤25√34.椭圆上任意一点P(x,y)均满足−25√34≤y−34x≤25√34.由−25√3−100≤3x−4y−100≤25√3−100<0，得|3x−4y−100|的最大值为100+25√3，最小值为100−25√3.所以答案是：最大值为100+25√3，最小值为100−25√3.14、已知直线x−√3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点．若|AB|=6，则r的值为_________．答案：5分析：根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式|AB|=2√r2−d2，即可求得r．因为圆心(0,0)到直线x−√3y+8=0的距离d=√1+3=4，由|AB|=2√r2−d2可得6=2√r2−42，解得r=5．所以答案是：5．小提示：本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．解答题15、已知椭圆C:x225+y2m2=1(0<m<5)的离心率为√154，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．答案：（1）x225+16y225=1；（2）52.分析：（1）因为C:x225+y2m2=1(0<m<5)，可得a=5，b=m，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）方法一：过点P作x轴垂线，垂足为M，设x=6与x轴交点为N，可得△PMB≅△BNQ，可求得P点坐标，从而求出直线AQ的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得△APQ的面积.（1）∵C:x225+y2m2=1(0<m<5)∴a=5，b=m，根据离心率e=ca =√1−(ba)2=√1−(m5)2=√154，解得m=54或m=−54(舍)，∴C的方程为：x225+y2(54)2=1，即x225+16y225=1．（2）［方法一］：通性通法不妨设P,Q在x轴上方，过点P作x轴垂线，垂足为M，设直线x=6与x轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，∠PMB=∠QNB=90°，又∵∠PBM+∠QBN=90°，∠BQN+∠QBN=90°，∴∠PBM=∠BQN，根据三角形全等条件“AAS”，可得：△PMB≅△BNQ，∵x225+16y225=1，∴B(5,0)，∴|PM|=|BN|=6−5=1，设P点为(x P,y P)，可得P点纵坐标为y P=1，将其代入x225+16y225=1，可得：x P225+1625=1，解得：x P=3或x P=−3，∴P点为(3,1)或(−3,1)，①当P点为(3,1)时，故|MB|=5−3=2，∵△PMB≅△BNQ，∴|MB|=|NQ|=2，可得：Q点为(6,2)，画出图象，如图∵A(−5,0), Q(6,2)，可求得直线AQ的直线方程为：2x−11y+10=0，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为d=√22+112=√125=√55，根据两点间距离公式可得：|AQ|=√(6+5)2+(2−0)2=5√5，∴△APQ面积为：12×5√5×√55=52；②当P点为(−3,1)时，故|MB|=5+3=8，∵△PMB≅△BNQ，∴|MB|=|NQ|=8，可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图∵A(−5,0), Q(6,8)，可求得直线AQ的直线方程为：8x−11y+40=0，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为d=√82+112=√185=√185，根据两点间距离公式可得：|AQ|=√(6+5)2+(8−0)2=√185，∴△APQ面积为：12×√185×√185=52，综上所述，△APQ面积为：52.［方法二］【最优解】：由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作PE⊥x轴，垂足为E．设D(6,0)，由题知，△PEB≌△BDQ．故BP QB=PE BD=PE 1⇒PE =1⇒x p =±3，①因为P(3,1),A(−5,0),Q(6,2)，如图，所以，S △APQ =S △AQD −S PEDQ −S △PEA =52．②因为P(−3,1),A(−5,0),Q(6,8)，如图，所以S △APQ =S △AQD −S PEDQ −S △PEA =52．综上有S △APQ =52 ［方法三］：由已知可得B (5,0)，直线BP,BQ 的斜率一定存在，设直线BP 的方程为y =k (x −5)，由对称性可设k <0，联立方程{y =k(x −5),x 225+16y 225=1,消去y 得(1+16k 2)x 2−160k 2x +16×25k 2−25=0， 由韦达定理得5x P =16×25k 2−251+16k 2，所以x P =80k 2−51+16k 2，将其代入直线BP 的方程得y P =−10k1+16k 2，所以P (80k 2−51+16k 2,−10k1+16k 2)，则|BP|=√(80k 2−51+16k 2−5)2+(−10k 1+16k 2)2=10√1+k21+16k 2．因为BP⊥BQ，则直线BQ的方程为y=−1k(x−5)，则Q(6,−1k ),|BQ|=√1+(−1k)2=√1+k2k2．因为|BP|=|BQ|，所10√1+k21+16k2=√1+k2k2，256k4−68k2+1=0，即(64k2−1)(4k2−1)=0，故k2=164或k2=14，即k=−18或k=−12．当k=−18时，点P，Q的坐标分别为P(−3,1),Q(6,8),|PQ|=√130，直线PQ的方程为y=79x+103，点A到直线PQ的距离为√13026，故△APQ的面积为12×√13026×√130=52．当k=−12时，点P，Q的坐标分别为P(3,1),Q(6,2),|PQ|=√10，直线PQ的方程为y=13x，点A(−5,0)到直线PQ的距离为√102，故△APQ的面积为12×√102×√10=52．综上所述，△APQ的面积为52．［方法四］：由（1）知椭圆的方程为x225+16y225=1，A(−5,0),B(5,0)．不妨设P(x0,y0)在x轴上方，如图．设直线AP:y=k(x+5)(k>0)．因为|BP|=|BQ|,BP⊥BQ，所以y0=|BN|=1,y Q=|BM|=5−x0．由点P在椭圆上得x0225+1625=1，所以x02=9．由点P 在直线AP 上得1=k (x 0+5)，所以x 0=1−5k k．所以(1−5k k)2=9，化简得16k 2=10k −1．所以5−x 0=5−(1k −5)=10k−1k=16k ，即Q(6,16k)．所以，点Q 到直线AP 的距离d =√k 2+1=√k 2+1． 又|AP|=√(x 0+5)2+y 02=√k 2+1(x 0+5)=√k 2+1k．故S △APQ =12AP ⋅d =12⋅√k 2+1k√k 2+1=52．即△APQ 的面积为52．［方法五］：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设D(6,0)， 由题知△PCB ≌△BDQ ，所以BP QB=PC BD=PC 1⇒PC =1⇒x p =±3．（1）P(3,1),A(−5,0),Q(6,2)．则S △APQ =12√(|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ |)2−(|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ |)2=12|x 1y 2−x 2y 1|=12|8×2−11×1|=52． （其中AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1,y 1),AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2)）． （2）P(−3,1),A(−5,0),Q(6,8)．同理，S △APQ =12√(|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ||AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ |)2−(AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ )2=12|x 1y 2−x 2y 1|=12|2×8−11×1|=52． （其中AP⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1,y 1),AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2)） 综上，△APQ 的面积为52．【整体点评】（2）方法一：根据平面几何知识可求得点P 的坐标，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，再根据距离公式即可求出三角形的面积，是通性通法；方法二：同方法一，最后通过面积分割法求△APQ 的面积，计算上有简化，是本题的最优解；方法三：通过设直线BP 的方程y =k (x −5)与椭圆的方程联立，求出点P 的坐标，再根据题目等量关系求出k 的值，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的面积，思想简单，但运算较繁琐；方法四：与法三相似，设直线AP 的方程AP:y =k(x +5)(k >0)，通过平面知识求出点P 的坐标，表示出点Q ，再根据距离公式即可求出三角形的面积；方法五：同法一，只是在三角形面积公式的选择上，利用三角形面积的正弦形式结合平面向量的数量积算出．。
部编版高中数学选修二综合测试题带答案典型例题
(名师选题)部编版高中数学选修二综合测试题带答案典型例题单选题，则该函数在x=1处的切线斜率为（）1、已知函数f(x)=x−1xA．0B．1C．2D．32、我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长3、设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（）A．139B．153C．144D．178，对任意的n∈N∗都有na n=(n+2)a n+1，则S2021=（）4、已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=12A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010115、若函数f(x)=x 2−ax +lnx 在区间(1,e )上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,+∞)B ．(−∞,3]C ．[3,e 2+1]D ．[e 2+1,3]6、若等差数列的首项是−24，且从第10项开始大于0，则公差d 的取值范围是（ ） A ．[83,+∞)B ．(−∞,3)C ．[83,3)D ．(83,3]7、已知函数f (x )=(x −1)(x −2)(x −3)，则曲线y =f (x )在点(2,0)处的切线方程为（ ） A ．y =x +2B ．y =−x +2C ．y =x −2D ．y =−x −28、设曲线y =e 2ax (e =2.718…为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线2x −y −1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则a =（ ） A ．−1B ．−14C ．14D ．1 多选题9、若直线y =12x +b 是函数f(x)图像的一条切线，则函数f(x)可以是（ ）A ．f(x)=1x B ．f(x)=x 4C ．f(x)=sinx D ．f(x)=e x 10、下列四个选项中，不正确的是（ ） A ．数列23,34,45,56，…的一个通项公式是a n =n n+1B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，−1，1，−1，…与数列−1，1，−1，1，…是同一数列D ．数列12,14，…，12n 是递增数列11、设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，S 1=1，S n+1=n+2nS n ，且b n =a n+12an a n+2，则下列结论正确的是（ ）A ．a 2021=2021B ．S n =n (n+1)2C ．b n =1−1n (n+2)D ．13≤T n −n <34填空题12、已知数列{a n }满足a 1=32，a n+1=3a na n +3，则数列{a n }的通项公式为______．部编版高中数学选修二综合测试题带答案(四十四)参考答案1、答案：C分析：利用导数的定义求解.因为f(1+Δx)−f(1)=(1+Δx)−11+Δx −(1−11)，=Δx+1−11+Δx =Δx+Δx1+Δx，所以斜率k=limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx，=limΔx→0(1+11+Δx)=1+1=2．故选：C2、答案：C分析：先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}，其中a1=15寸，a13=135寸，公差为d寸，则135=15+12d，解得d1=10（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}，首项b1=135，末项b13=15，公差d2=−10（单位都为寸）.故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7=b1+6d2=135−60=75，∵秋分的晷长为a7，∴a7=a1+6d1=15+60=75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；∵小雪的晷长为a11，∴a11=a1+10d1=15+100=115，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4=a1+3d1=15+30=45，b4=b1+3d2=135−30=105，∴b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.故选：C.小提示：关键点点睛：本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.3、答案：B分析：根据数列的通项公式，可得数列{an}为等差数列，即可求得a1,d，进而可得前n项和S n，所求可化简为S15−2S3，代入公式，即可得答案.∵an＝2n－7，∴a n+1−a n=2(n+1)−7−(2n−7)=2，∴数列{an}为等差数列，且a1＝－5，d＝2.∴前n项和S n=na1+n(n−1)d2=−5n+n(n−1)×22=n2−6n.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝−a1−a2−a3+a4+⋅⋅⋅+a15=−S3+(S15−S3)=S15−2S3=153.故选：B4、答案：C解析：由na n=(n+2)a n+1，可得n(n+1)a n=(n+1)(n+2)a n+1，数列{n(n+1)a n}为常数列，令n=1，可得n(n+1)a n=2a1=1，进而可得a n=1n(n+1)，利用裂项求和即可求解.数列{a n}满足a1=12，对任意的n∈N∗都有na n=(n+2)a n+1，则有n(n+1)a n=(n+1)(n+2)a n+1，可得数列{n(n+1)a n}为常数列，有n(n+1)a n=2a1，得n(n+1)a n=1，得a n=1n(n+1)，又由a n=1n(n+1)=1n−1n+1，所以S2021=1−12+12−13+⋅⋅⋅12021−12022=1−12022=20212022．故选：C小提示：方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如a n =(−1)n f (n )类型，可采用两项合并求解. 5、答案：B分析：由f ′(x )≥0分离常数a ，利用构造函数法，结合导数，求得a 的取值范围. 依题意f ′(x )=2x −a +1x ≥0在区间(1,e )上恒成立，即a ≤2x +1x在区间(1,e )上恒成立，令g (x )=2x +1x(1<x <e )，g ′(x )=2−1x 2=2x 2−1x 2=(√2x+1)(√2x−1)x 2>0，g (x )在(1,e )上递增，g (1)=3， 所以a ≤3.所以a 的取值范围是(−∞,3]. 故选：B 6、答案：D分析：直接写出等差数列的通项公式，由a 9⩽0且a 10>0联立不等式组求得公差d 的取值范围． 解：∵等差数列的首项是−24，则等差数列的通项公式为a n =−24+(n −1)d ， 要使从第10项开始为正，则由{a 10=−24+9d >0a 9=−24+8d ⩽0 ，解得：83<d ⩽3．故选：D ． 7、答案：B分析：求得函数f (x )的导数，得到切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.由题意，函数f (x )=(x −1)(x −2)(x −3)=(x −2)[(x −1)(x −3)]， 可得f ′(x )=(x −1)(x −3)+(x −2)[(x −1)(x −2)]′， 所以曲线y =f (x )在点(2,0)处切线的斜率为k =f ′(2)=−1, 所以切线方程为y −0=−(x −2)，即y =−x +2. 故选：B. 8、答案：B分析：由导数的几何意义，求得切线的方程y =2ax +1，根据围成的四边形有外接圆，得到切线与直线2x −y −1=0垂直，列出方程，即可求解.由题意，函数f (x )=e 2ax ，可得f ′(x )=2ae 2ax ，则f ′(0)=2a ， 即曲线y =e 2ax 在点(0,1)处的切线的斜率为k =2a ， 所以切线方程为y −1=2ax ，即y =2ax +1，要使得切线与直线2x −y −1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆， 则满足两直线垂直，即2a ×2=−1，解得a =−14.故选：B. 9、答案：BCD分析：求得已知直线的斜率k ，对选项中的函数分别求导，可令导数为k ，解方程即可判断结论 解：直线y =12x +b 的斜率为k =12，由f(x)=1x的导数为f ′(x)=−1x2，即切线的斜率小于0，故A 不正确；由f(x)=x 4的导数为f ′(x)=4x 3，而4x 3=12，解得x =12，故B 正确；由f(x)=sinx 的导数为f ′(x)=cosx ，而cosx =12有解，故C 正确；由f(x)=e x 的导数为f ′(x)=e x ，而e x =12，解得x =−ln2，故D 正确， 故选：BCD小提示：此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题 10、答案：ACD分析：由a 1=12≠23可判断A ；由数列的通项公式以及n ∈N ∗可判断B ；由数列定义可判断C ；由递减数列定义可判断D ． 对于A ，当通项公式为a n =n n+1时，a 1=12≠23，不符合题意，故选项A 错误；对于B ，由数列的通项公式以及n ∈N ∗可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B 正确； 对于C ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C 错误； 对于D ，数列12,14，…，12n是递减数列，故选项D 错误．故选：ACD ． 11、答案：ABD分析：对于AB ，通过累乘法求出{S n }的通项公式，进而求出{a n }的通项公式，即可求解； 对于CD ，通过{a n }的通项公式求出{b n }的通项公式，再通过裂项相消求T n ，进而求解. 由题意，得S n+1S n=n+2n， ∴当n ≥2时，S n =S n S n−1×S n−1S n−2×⋅⋅⋅×S 2S 1×S 1=n+1n−1×n n−2×⋅⋅⋅×31×1=n (n+1)2，又当n =1时S 1=1也符合上式， ∴S n =n (n+1)2，易得a n =n ，∴a 2021=2021，故A ，B 正确； b n =a n+12an a n+2=(n+1)2n (n+2)=1+1n (n+2)=1+12(1n −1n+2)，∴T n =n +12(1−13+12−14+13−15+⋅⋅⋅+1n−1−1n+1+1n −1n+2)=n +12(1+12−1n+1−1n+2) =n +34−12(1n+1+1n+2)<n +34， 易知{T n −n}单调递增，∴T n −n ≥T 1−1=13，∴13≤T n −n <34，故C 错误，D 正确.故选:ABD ． 12、答案：a n =3n+1分析：对递推数列两边同时去倒数，可得1an+1−1a n=13，所以数列{1a n}是首项为23，公差为13的等差数列，即可求出数列{a n }的通项公式. 因为a 1=32，a n+1=3a na n+3，所以1a n+1=a n +33a n =13+1a n，即1an+1−1a n=13，所以数列{1a n}是首项为23，公差为13的等差数列，所以1a n=23+13(n −1)=n+13，所以a n =3n+1．所以答案是：a n =3n+1.。
部编版高中数学选修一综合测试题重点易错题
(名师选题)部编版高中数学选修一综合测试题重点易错题单选题1、已知直线斜率为k，且−1≤k≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（）A．[0,π3]∪[π2,3π4)B．[0,π3]∪[3π4,π)C．[0,π6]∪[π2,3π4)D．[0,π6]∪[3π4,π)答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 解：直线l的斜率为k，且−1≤k≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.2、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为（）A．3x−y−4√3=0B．x−y−√3=0C．x+y−√3=0D．x+y+√3=0答案：D分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k=tan135°=−1，所以直线方程为y+2√3=−(x−√3)，即x+y+√3=0，故选：D3、如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是（）A．B．C ．D ．答案：A分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)， 对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，MN ⊥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,-2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A4、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形， AA 1＝AB ，M 是A 1C 1的中点，则AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为（ ） A ．710B ．√1510C ．√8510D ．−√1510答案：B分析：取AC 的中点D ，以D 为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC =2，则A (0,−1,0),M (0,0,2),B(−√3,0,0),N (−√32,−12,2)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，平面BCC 1B 1的一个法向量为n ⃗ =(√32,−32,0)设AM 与平面BCC 1B 1所成角为α，向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 所成的角为θ， 所以sinα=|cosθ|=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=32√5×√3=√1510， 即AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√1510． 故选：B ．5、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB:DC =2:1，则三角形ABD 面积的最小值是（ ）A ．43(√3−1)B ．43(√3+1)C ．4√33D ．√33答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C 的坐标，利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式，可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ，代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B (−1,0)，C (1,0)， 设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169，所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD 面积的最小值为S △ABD =12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A6、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左､右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．(0,√63)B．(√63,1)C．(√23,1)D．(0,√23).答案：B分析：由题设以线段A1A2为直径的圆为x2+y2=a2，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.由题设，以线段A1A2为直径的圆为x2+y2=a2，与直线bx−ay+2ab=0相交，所以√a2+b2<a，可得3b2=3(a2−c2)<a2，即e2>23，又0<e<1，所以√63<e<1.故选：B7、点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（）A．(−1,−3)B．(−1,−4)C．(4,1)D．(2,3)答案：A分析：根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解. 设点P(2,0)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为(a,b)，则{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b 2+1=0，解得{a =−1b =−3.所以点Q 的坐标为(−1,−3) 故选：A.8、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点和上顶点分别为点F (c,0)(b >c )和点A ，直线l:6x −5y −28=0交椭圆于P,Q 两点，若F 恰好为△APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ） A ．√22B ．√33 C ．√55D ．2√55答案：C分析：由题设F (c,0),A (0,b )，利用F 为△APQ 的重心，求出线段PQ 的中点为B (3c2,−b2)，将B 代入直线方程得9c +5b 2−28=0，再利用点差法可得2a 2=5bc ，结合a 2=b 2+c 2，可求出a, b, c ，进而求出离心率.由题设F (c,0),A (0,b ),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则线段PQ 的中点为B (x 0,y 0)，由三角形重心的性质知AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(c,−b)=2(x 0−c,y 0)，解得：x 0=3c 2,y 0=−b 2即B (3c 2,−b 2)代入直线l:6x −5y −28=0，得9c +5b 2−28=0①.又B 为线段PQ 的中点，则x 1+x 2=3c,y 1+y 2=−b ， 又P,Q 为椭圆上两点，∴x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1，以上两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，所以k PQ =y 1−y 2x1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x 2y1+y 2=−b 2a 2×3c−b =65，化简得2a 2=5bc ②由①②及a 2=b 2+c 2，解得：{a =2√5b =4c =2，即离心率e =√55.故选：C.小提示：方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c ，从而求出e ；②构造a,c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．多选题9、已知Р是圆O:x 2+y 2=4上的动点，直线l 1:xcosθ+ysinθ=4与l 2:xsinθ−ycosθ=1交于点Q ，则（ ） A ．l 1⊥l 2B ．直线l 1与圆O 相切C ．直线l 2与圆O 截得弦长为2√3D ．|PQ |长最大值为√17+2 答案：ACD分析：由两直线垂直的条件判断A ，由圆心O 到直线l 1的距离判断B ，由O 到直线l 2的距离结合勾股定理求弦长判断C ，求出Q 到圆心O 的距离的最大值加圆O 半径判断D ． 圆O 半径为2，cosθ⋅sinθ+sinθ⋅(−cosθ)=0，所以l 1⊥l 2，A 正确； 圆心O 到l 1的距离为d =√cos 2θ+sin 2θ=4>2，l 1与圆O 相离，B 错误；圆心O 到直线l 2的距离为d ′=22=1，所以弦长为2√22−12=2√3，C 正确；由{xcosθ+ysinθ=4xsinθ−ycosθ=1 ，得{x =4cosθ+sinθy =4sinθ−cosθ ，即Q(4cosθ+sinθ,4sinθ−cosθ)，所以|OQ |=√(4cosθ+sinθ)2+(4sinθ−cosθ)2=√17， 所以|PQ |长最大值为√17+2，D 正确 故选：ACD ．10、已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点P ，过C 上一点M 作l 的垂线，垂足为Q ，若四边形MQPF 为矩形，则（ ）A ．准线l 的方程为x =−1B ．矩形MQPF 为正方形C ．点M 的坐标为(1，2)D ．点M 到原点O 的距离为√5 答案：ABD分析：各选项根据抛物线的定义和性质可以得出结论. 由抛物线C ：y 2=4x ，得其准线l 的方程为x =−1，A 正确；由抛物线的定义可知|MQ |=|MF |，又因为四边形MQPF 为矩形，所以四边形MQPF 为正方形，B 正确；所以|MQ|=|MF|=p=2，点M的坐标为(1，±2)，所以|MO|=√5，C错误，D正确．故选：ABD．11、关于抛物线y2=−2x，下列说法正确的是（）A．开口向左B．焦点坐标为(−1,0)C．准线为x=1D．对称轴为x轴答案：AD分析：根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.对选项A，y2=−2x，开口向左，故A正确；,0)，故B错误；对选项B，y2=−2x，焦点为(−12，故C错误；对选项C，y2=−2x，准线方程为x=12对选项D，y2=−2x，对称轴为x轴，故D正确.故选：AD填空题12、已知函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点，则常数k的取值范围是___________.答案：0≤k<√33分析：根据题意，函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点，等价于y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象有两个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.由函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点，可知y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，当y =√1−x 2与y =−k (x −2)的图象相切时，√k 2+1=1，即k =±√33， 由图可知−k <0，故相切时k =√33， 因此结合图象可知，当0≤k <√33时，y =√1−x 2与y =−k (x −2)的图象有两个不同的交点，即当0≤k <√33时，函数f (x )=√1−x 2+k (x −2)有两个不同的零点.所以答案是：0≤k <√33. 13、已知点F 是椭圆x 2a 2+y 2=1(a >1)的右焦点，点P (0,3)到椭圆上的动点Q 的距离的最大值不超过2√5，当椭圆的离心率取到最大值时，则|PQ |+|QF |的最大值等于__________． 答案：3√2+2√10##2√10+3√2分析：设Q (x 0,y 0)，求得|PQ |的表达式，对a 进行分类讨论，结合二次函数的性质、椭圆的定义来求得|PQ |+|QF |的最大值. 设Q (x 0,y 0)，则x 02a 2+y 02=1，即x 02=a 2−a 2y 02且y 0∈[−1，1]．因为|PQ |=√x 02+(y 0−3)2=√a 2−a 2y 02+y 02−6y 0+9=√(1−a 2)y 02−6y 0+9+a 2，而a >1，即1−a 2<0，所以，当31−a 2≤−1，即1<a ≤2时，当y 0=−1时，|PQ |取得最大值，|PQ |max =4≤2√5． 又因为椭圆的离心率e =√a 2−1a 2=√1−1a 2，因此当a =2时，e 最大．设椭圆的左焦点为F 1，则F 1(−√3，0)，因此|PQ |+|QF |=|PQ |+2a −|QF 1|=|PQ |−|QF 1|+4， 所以当Q 在PF 1的延长线上时，|PQ |−|QF 1|取得最大值， (|PQ |−|QF 1|)max =|PF 1|=√(√3)2+32=2√3， 因此|PQ |+|QF |的最大值为2√3+4． 当31−a 2>−1，即a >2时，当y 0=31−a 2时，|PQ |取得最大值，|PQ |max =√−91−a 2+a 2+9，由√−91−a2+a2+9≤2√5解得2≤a2≤10，即2<a≤√10．又因为椭圆的离心率e=√a2−1a2=√1−1a2，因此当a=√10时，e最大．设椭圆的左焦点为F1，则F1(−3，0)，因此|PQ|+|QF|=|PQ|+2a−|QF1|=|PQ|−|QF1|+2√10，所以当Q在PF1的延长线上时，|PQ|−|QF1|取得最大值，(|PQ|−|QF1|)max=|PF1|=√(−3)2+32=3√2，因此|PQ|+|QF|的最大值为3√2+2√10．综上所述，|PQ|+|QF|的最大值为3√2+2√10．所以答案是：3√2+2√10小提示：在椭圆有关线段和差的最值问题求解的过程中，可考虑利用椭圆的定义进行转换，从而求得最值.。
部编版高中数学选修一综合测试题常考点
(名师选题)部编版高中数学选修一综合测试题常考点单选题1、设A (2,−3)，B (−3,−2)，直线l 过点P (1,2)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．k ≤−1或k ≥5B ．−5≤k ≤1 C ．−1≤k ≤5D ．k ≤−5或k ≥1 答案：D分析：如图，求出k PA ,k PB 可得斜率k 的取值范围.由题设可得k PA =2−(−3)1−2=−5,k PB =−2−2−3−1=1，因为直线l 与线段AB 相交，则k ≥1或k ≤−5， 故选：D.2、已知A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等，则a =（ ） A ．2B ． 92C ．2或−8D ．2或92 答案：D分析：利用点到直线距离公式进行求解即可.因为A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等， 所以有22=22⇒|13−4a |=5⇒a =2，或a =92，故选：D3、已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是（ ）A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(−32,+∞)答案：A分析：把圆的方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化为标准型，利用r2>0，解出k的取值范围. 方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．故选：A.4、已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）与双曲线C2:x2a22−y2b22=1（a2>0，b2>0）有公共焦点F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P．若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，曲线C1，C2的离心率分别为e1和e2，则1e1−1e2=（）A．1B．2C．3D．4答案：B分析：设曲线C1，C2的焦距为2c，则可得|PF2|=|F1F2|=2c，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出a1,a2,c 的关系，变形后可得结果.设曲线C1，C2的焦距为2c．△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，则|PF2|=|F1F2|=2c．由点P在第一象限，知|PF1|=2a1−|PF2|=2a2+|PF2|，即2a1−2c=2a2+2c，即a1−a2=2c，即1e1−1e2=2．故选：B5、点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是（）A．(1,0)B．(0,1)C．(0,−1)D．(2,1)答案：B分析：设出对称点，根据对称关系列出式子即可求解.解：设点A (1,2)关于直线x +y −2=0的对称点是B (a,b )，则有{b−2a−1=1a+12+b+22−2=0，解得a =0，b =1，故点(1,2)关于直线x +y −2=0的对称点是(0,1). 故选：B.小提示：方法点睛：关于轴对称问题：（1）点A (a,b )关于直线Ax +By +C =0的对称点A ′(m,n )，则有{n−bm−a ×(−AB)=−1A ⋅a+m2+B ⋅b+n2+C =0 ； （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 6、已知点M 在椭圆x 218+y 29=1上运动，点N 在圆x 2+(y −1)2=1上运动，则|MN |的最大值为（ ）A ．1+√19B ．1+2√5C ．5D ．6 答案：B分析：根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.解：设圆x 2+(y −1)2=1的圆心为C (0,1)，则|MN |≤|MC |+r =|MC |+1， 设M(x 0,y 0)，则x 0218+y 029=1⇒x 02=18−2y 02，所以|MC |=√x 02+(y 0−1)2=√x 02+y 02−2y 0+1=√18−2y 02+y 02−2y 0+1 =√−y 02−2y 0+19=√−(y 0+1)2+20≤2√5，当且仅当y 0=−1时取得最大值，所以|MN |≤|MC |+1≤2√5+1． 故选：B ．7、直线y =k (x −1)+2恒过定点（ ） A ．(−1,2)B ．(1,2) C ．(2,−1)D ．(2,1) 答案：B分析：由x =1时，y =2可得到定点坐标.当x −1=0，即x =1时，y =2，∴直线y =k (x −1)+2恒过定点(1,2).故选：B.8、在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A (2,0),B(3,2−√3),C(1,2+√3), D (4,a )，若它们都在同一个圆周上，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．√3 答案：C分析：设出圆的一般式x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，根据A (2,0),B(3,2−√3),C(1,2+√3),求出{D =−4E =−4F =4，然后将点D (4,a )带入圆的方程即可求得结果. 设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意得{22+02+2D +F =032+(2−√3)2+3D +(2−√3)E +F =012+(2+√3)2+D +(2+√3)E +F =0，解得{D =−4E =−4F =4 ，所以x 2+y 2−4x −4y +4=0，又因为点D (4,a )在圆上，所以42+a 2−4×4−4a +4=0，即a =2. 故选：C. 多选题9、已知圆O ：x 2+y 2=4和圆M ：x 2+y 2+4x −2y +1=0相交于A ，B 两点，下列说法正确的是（ ） A ．圆O 与圆M 有两条公切线 B ．圆O 与圆M 关于直线AB 对称 C ．线段AB 的长为√112D ．E ，F 分别是圆O 和圆M 上的点，则|EF |的最大值为4+√5 答案：ABD解析：写出两圆的圆心与半径判断两圆的位置关系可知A 正确，利用圆的方程求直线的方程，由圆心与直线关系可判断B ，利用圆的弦的性质可判断C ，根据圆上两点最大距离判断D. 圆O ：x 2+y 2=4的圆心为(0,0)，半径r =2，圆M ：x 2+y 2+4x −2y +1=0，即(x +2)2+(y −1)2=4，其圆心为(−2,1)，半径R =2,所以0=R −r <|OM|=√5<R +r =4,两圆相交， 对于A ，因为圆O 与圆M 相交，所以有两条公切线，A 正确；对于B ，两圆方程相减得4x −2y +5=0，即直线AB 的方程为 4x −2y +5=0，因为圆心O (0,0)与圆心M (−2,1)关于直线AB 对称，且两圆半径相等，所以B 正确； 对于C ，由B 的结论可知，|AB|=2√R 2−(OM 2)2=2√4−54=√11，故C 错误；对于D ，E ，F 分别是圆O 和圆M 上的点，则|EF |的最大值为|MO|+r +R =√5+4，故D 正确， 故选：ABD小提示：关键点点睛：由圆的位置关系可知圆的公切线的条数，由两圆的方程可求公共弦所在直线方程，根据圆心关于直线对称可判断圆的对称性，利用半径，半弦长，弦心距的关系求弦长都要熟练掌握，灵活运用. 10、（多选）已知圆C:(x −1)2+(y −2)2=25，直线l:(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0.则以下几个命题正确的有（ ）A ．直线l 恒过定点(3,1)B ．圆C 被y 轴截得的弦长为4√6C ．直线l 与圆C 恒相交D ．直线l 被圆C 截得最长弦长时，直线l 的方程为2x −y −5=0 答案：ABC解析：求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断．直线l 方程整理得m(2x +y −7)+x +y −4=0，由{2x +y −7=0x +y −4=0 ，解得{x =3y =1，∴直线l 过定点P(3,1)，A正确；在圆方程中令x =0，得1+(y −2)2=25，y =2±2√6，∴y 轴上的弦长为4√6，B 正确； (3−1)2+(1−2)2=5<25，∴P(3,1)在圆内，直线与圆一定相交，C 正确；直线l 被圆C 截得弦最长时，直线过圆心(1,2)，则(2m +1)+2(m +1)−7m −4=0，m =−13，直线方程为13x +23y −53=0，即x +2y −5=0．D 错．故选：ABC ．小提示：关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题．（1）直线方程整理为关于参数的方程，然后由恒等式知识可得定点坐标．（2）直线与圆的位置关系的判断，若直线所过定点在圆内，则直线与圆相交，若定点在圆上，则直线与圆相交或相切，定点在圆外，直线与圆的三种位置关系都有可能．（3）直线过圆心时弦长最长，直线所过定点是弦中点时，弦长最短．11、点F1，F2为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2=90°，则椭圆C方程可以是（）A．x225+y29=1B．x225+y216=1C．x218+y29=1D．x216+y29=1答案：AC分析：设椭圆上顶点为B，由题满足∠F1BF2≥90°，即|BF1|2+|BF2|2≤|F1F2|2，可得a2≥2b2，即可得出答案.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，设椭圆上顶点为B，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2=90°，则需∠F1BF2≥90°，∴|BF1|2+|BF2|2≤|F1F2|2，即a2+a2≤4c2，∵c2=a2−b2，2a2≤4a2−4b2，则a2≥2b2，所以选项AC满足.故选：AC.填空题12、椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为√33，直线x−2y+b=0与椭圆交于P，Q两点，且PQ中点为E，O为原点，则直线OE的斜率是_______．答案：−43分析：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，利用点差法即可求出直线OE的斜率；解：因为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为√33，所以e=ca=√1−b2a2=√33，所以b2a2=23设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，所以k PQ=y1−y2x1−x2=12，E(x1+x22,y1+y22)，因为P，Q在椭圆上，所以{x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，两式作差得x12−x22a2+y12−y22b2=0，即y12−y22x12−x22=−b2a2，即(y1−y2)(y1+y2)(x1−x2)(x1+x2)=−23，即k PQ⋅k OE=−23，所以k OE=−43所以答案是：−4313、双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√102，则其渐近线的斜率是__________．答案：±√62分析：由e=ca =√102，结合c2=a2+b2，可得4b2=6a2，即得解∵e=√102，又e=ca∴4c2=10a2，4a2+4b2=10a2，即4b2=6a2∴k=±ba =±√62．所以答案是：±√62。
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数学选修2-1
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.椭圆的焦点坐标为
A. B. C. D.
2.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )
A. B. C. D. 2
3、在正方体中，异面直线与所成角的大小为
A. B. C. D.
4、中，，，，则顶点A的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
5.已知在抛物线上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
6.命题“，”的否定是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7.给出如下四个命题：
若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
命题“若，则”的否命题为“若，则”；
“，”的否定是“，”；
在中，“”是“”的充要条件．
其中正确的命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为
A. B. C. D.
9.若A 点坐标为，是椭圆的左焦点，点P 是该椭圆上的动点，则
的最大值为
A. B. C. D.
10.若点O和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
的最大值为 A. 2 B. 3 C. 6 D. 8
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11.直线l：过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为
A. B. C. D.
12.四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，
且，，平面ABCD且，则PB与平
面PCD所成角的正弦值为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.抛物线的准线方程为_______．
14.若方程的曲线是椭圆，则k的取值范围是______ ．
15.“”是“直线和直线平行”的______ 条件
填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”
16.给出下列命题：
直线l的方向向量为，直线m的方向向量1，，则l与m垂直；
直线l的方向向量1，，平面的法向量，则；
平面、的法向量分别为1，，0，，则；
平面经过三点0，，1，，2，，向量u，是平面的法向
量，则．其中真命题的是______把你认为正确命题的序号都填上
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.命题P：函数有意义，命题q：实数x满足．
当且为真，求实数x的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.已知命题p：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线：
表示双曲线”．
若命题p是真命题，求m的取值范围；
若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．
19.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为，离心率等于
求椭圆C的标准方程；
过椭圆右焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于AB两点，求AB的长．
20.已知双曲线C ：的离心率为，虚轴端点与焦点的距离为．
求双曲线C的方程；
已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB 的中点在圆上，求m的值．
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21.如图，在三棱柱中，四边形和均为正方形，且所在平面互相垂直．
Ⅰ求证：；Ⅱ求直线与平面所成角的大小．
22.如图，棱锥的底面ABCD是矩形，平面ABCD，，
．求证：平面PAC；求二面角余弦值的大小；
求点C到平面PBD的距离．
2-1数学
1【答案】A 解：根据题意，椭圆的方程为，其焦点在y 轴上，且，
，则，则椭圆的焦点为；
2、【解析】解：椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，
故选B．
3.【解析】解：，
异面直线直线与所成的角为，
为等边三角形，．故选：C．
由，得异面直线与所成的角为C.
4.【答案】B
解：中，，，，
点A的轨迹是以B，C 为焦点的椭圆，，，则，
所求椭圆方程为：，．故选B．
5.【解析】解：设点在抛物线上的射影为M ，则，
依题意，，即，即点F到抛物线准线的距离等于4．故
选：B．
6.【答案】D
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“，”
的否定是：，；故选：D．
7.【解析】【分析】
解：若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；
命题“若，则”的否命题为“若，则”，故正确；
“，”的否定是“，”，故正确；
在中，“”“”“”“”，
故“”是“”的充要条件，故正确【答案】D
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8.解：设弦的两端点为，，代入椭圆得，
两式相减得，即
，
9.【解析】解：椭圆即为，
可得，，，，
那么，所以
根据三角形三边关系可知，
当点P位于时，的差最大，此时与A点连线交椭圆于，
易得，此时，也得到最大值，其值为．故选：B．
求得椭圆的标准方程，可得，，，所以
，由此结合图象能求出的最大值．
10.【解析】解：由题意，，设点，则有，解得，因为，，所以，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，所以当时，取得最大值，故选C．
11.【解析】解：直线l：经过点，可得，即，
由题意可得直线l平行于渐近线，可得，
由解得，，则双曲线的方程为．故选：A．
12.【解析】解：依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，
AP
为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，
，，则0，，
0，，2，，3，，
从而0，，2，，3，，
设平面PCD的法向量为b，，即
，不妨取，则，，所以平面PCD 的一个法向量为2，，所以PB与平面PCD 所成角的正弦值，
，故选：B．
13.【答案】【解答】解：，且表示焦点在y 正半轴上的抛物线，
准线方程为，故答案为．
14.【答案】且解：由曲线表示椭圆，
可得，即，解得，且．故答案为且
15.【答案】充分不必要
解：时，和平行，是充分条件，
若直线和直线平行，
则，解得：或，不是必要条件，故答案为充分不必要．
16.【答案】【解析】解：对于，，1，，
，，直线l与m 垂直，正确；
对于，1，，，，，或，错误；对于，1，，0，，与不共线，不成立，错误；对于，点0，，1，，2，，1，，1，，向量u ，是平面的法向量，，即；则，正确．综上，以上真命题的序号是．
17.【答案】解：由得，
即，其中，得，，
则p ：，．若，则p ：，由解得．
即q ：．若为真，则p，q 同时为真，即，解得，
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实数x的取值范围．若是的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，即是的真子集．所以，解得．实数a的取值范围为．18.【答案】解：若p为真：则，解得，或；
若q为真，则，即，
是q的必要不充分条件，则，或
即或解得或．
19.【答案】解：由题意的焦点在x轴上，设椭圆方程：，由，
，则，则，椭圆的方程为：；直线的AB的斜率，则直线AB的方程为，则，整理得：
，设，，则，，
，的长．
20【答案】解：由题意，得，，，解得，，，所求双曲线C的方程为：．设，，线段AB的中点为，由得判别式，
，，
点，在圆上，，．
21.【答案】Ⅰ连接，由题设，，，所以是二面角的平面角．又平面平面，所以，即，
所以平面，进而．由四边形是正方形，得，
因此平面，故BC
Ⅱ易知CA，CB ，两两垂直，建立如图所示坐标系，设，则0，，1，，1，，0，，0，，1，，，设平
面的法向量为y ，．由得可取，得0，
．设与平面所成的角为，所以，又，所以．
22【答案】证明：棱锥的底面ABCD 是矩形，平面ABCD ，，．
，，
是正方形，，，平面PAC．解：
棱锥的底面ABCD是矩形，
平面ABCD ，，．
，，
是二面角的平面角，，，
，，二面角余弦值为．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则2，，0，，2，，0，，0，，2，，2，，设平面PBD 的法向量y ，，则，取，得1，，点C到平面PBD的距离：
．
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