22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系课件
最有价值的知识是关于方法的知识
例1：根本符号的判断
快速答复：
y
抛物线y=ax2+bx+c如下图，
试确定a、b、c、△的符号：
o
x
问题是数学的心脏
快速答复：
1.抛物线y=ax2+bx+c如下图， 试确定a、b、c、△的符号：
y
o
x
第一是数学，第二是数学，第三是数学。
快速答复：
抛物线y=ax2+bx+c如下图， 试确定a、b、c、△的符号：
3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是__直__线__x_=__- 2_ba_.
4.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是_〔___0_,_c_〕.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号 a＞0 a＜0 b=0
a、b同号 a、b异号
c=0 c＞0 c＜0
图象的特征
开口____向__上_______________ 开口____向__下_______________ 对称轴为___y__轴 对称轴在y轴的_左___侧 对称轴在y轴的_右___侧 经过原点 与y轴交于__正___半轴 与y轴交于__负___半轴
由数定形
14
想一想：
抛物线y=ax2+bx+c在x轴 上方的条件是什么？
a＞0
x
b
2
4ac＜
0
想一想：
抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条 件是什么？
x
变式：不管x取何值时，函数 y=ax2+bx+c〔a≠0〕 的值永远是正值的 练条一件练是：什不么管？x取何值时，函数 y=ax2+bx+c〔a≠0〕的值永远是非负数 的条件是什么？
人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质要点链接★二次函数y=ax ²+bx+c 可配方为：224()24b ac b y a x a a-=++，其顶点坐标为（ ， ），对称轴直线是 . ★求抛物线顶点和对称轴的方法：（1）直接代入顶点公式24(,)24b ac b a a --，对称轴公式2bx a=- （2）将函数y=ax ²+bx+c 配方成y=a （x-h ）²+k 的形式得到顶点坐标和对称轴. ★a 、b 、c 与图象的关系：1.a 正负决定抛物线的 ：a ＞0时， ；a ＜0时， .|a |决定抛物线的开口大小：|a |越大，则 ，|a |越小，则 .2.a 、b 同时决定 ：①当b =0时，对称轴是 ；②左同右异，即当a 、b 同号时，对称轴在 ；当a 、b 异号时，对称轴在 .3.c 决定抛物线与y 轴 ：①当c ＞0时，抛物线与y 轴交点在 ；②当c ＜0时，抛物线与y 轴交点在 ；③当c =0时，抛物线经过 . 题型一 直接利用c bx ax y ++=2获取图象信息例1 下列对于二次函数x x y -=2的图象描述正确的是（ ）A.开口向下B.对称轴是y 轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的 【变式训练1】对于二次函数12842--=x x y 下列说法正确的是（ ） A.图象开口向下 B.顶点坐标是（-1,3） C.当0<x 时，y 随x 的增大而减小 D.图象的对称轴是直线1-=x题型二 确定抛物线c bx ax y ++=2的解析式 角度a 利用平移规律确定抛物线的解析式例2 把抛物线322+-=x x y 沿x 轴向右平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为 角度b 利用待定系数法确定抛物线的解析式例3 抛物线c bx ax y ++=2经过A （-2,4），B （6,4）两点，且顶点在x 轴上，则抛物线的解析式为 .【变式训练2】若函数k h x a y +-=2)(的图象经过原点，最小值为-8且形状与抛物线3222+--=x x y 相同，则此函数的解析式为 ；题型三 根据抛物线c bx ax y ++=2确定a 、b 、c 的关系例4 已知二次函数y=ax ²+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①0<abc ；②c a b -<；③b c 32<；④)1)((≠+<+m b am m b a .其中正确的结论是 （只填序号）例4图 变式3图【变式训练3】已知二次函数y=ax ²+bx+c （a ≠0）的图象如图，现有下列结论：①abc ＞0；②0<++c b a ；③b =2a ；④a+b ＞0.其中正确的结论是 （只填序号）. 题型四 二次函数y=ax ²+bx+c 与一次函数的双图象问题例5 一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax ²+bx+c 在同一坐标系中的图象可能是（ ）题型五 二次函数y=ax ²+bx+c 的实际应用例6 某小说中有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度x 的二次函数，有下列说法： ①该植物在0℃时，每天高度增长量最大；②该植物在-6℃时，每天高度增长量仍能保持在20mm 以上；③该植物与大多数植物不同，6℃以上的环境下高度几乎不增长，其中正确的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个【变式训练4】某学校开展了多场足球比赛，在某场比赛中，一个足球被从地面上向上踢出，它距离地面的高度h （m ）可以用公式t v t h 025+-=表示，其中)(s t 表示足球被踢出后经过的时间，)/(0s m v 是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ）A.5m/sB.10m/sC.20m/sD.40m/s题型六 二次函数的动态问题例7 如图，已知关于x 的二次函数y=x ²+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1,0）和点B ，与y 轴交于点C （0,3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D.（1）求二次函数的解析式.（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标.（3）有一个动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M ，N 运动到何处时，△MNB 的面积最大，试求出最大面积.【变式训练5】如图，已知抛物线y=x²+bx+c过点A（1,0），C（0，-3）.（1）求此抛物线对应的函数解析式，并确定其顶点.（2）在抛物线上存在一动点P，使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标.中考演练考法一 二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质例1.（2018成都）关于二次函数1422-+=x x y ，下列说法正确的是（ ） A.图象与y 轴的交点坐标为（0,1） B.图象的对称轴在y 轴的右侧 C.当0<x 时，y 的值随x 值的增大而减小 D.y 的最小值为-3【变式训练1】（2018攀枝花）抛物线222+-=x x y 的顶点坐标为（ ） A.（1,1） B.（-1,1） C.（1,3） D.（-1,3） 考法二 求二次函数的解析式 例2.（2018宁波）已知抛物线c bx x y ++-=221经过点)23,0(),0,1(. （1）求该抛物线的函数解析式； （2）将抛物线c bx x y ++-=221平移，使其顶点恰好落在原点，写出一种平移的方法及平移后的函数解析式.【变式训练2】（2018乌鲁木齐）把抛物线3422+-=x x y 向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为 .【变式训练3】（2018湖州）已知抛物线)0(32≠-+=a bx ax y 经过点)0,3(),0,1(-，求b a ,的值考法三 抛物线c bx ax y ++=2与一次函数的双图象问题例3.（2017阜新）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数c ax y +=的图象可能是（ ）【变式训练4】（2018德州）函数122+-=x ax y 和a ax y -=（a 是常数且0≠a ）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）考法四 二次函数c bx ax y ++=2的图象与c b a ,,的关系例4.（2018日照）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列结论：①0<abc ；②02<-b a ；③22)(c a b +>；④若点),1(),,3(21y y -都在抛物线上，则有21y y >.其中正确的结论有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个例4图 变式5图【变式训练5】（2017遵义）如图，抛物线c bx ax y ++=2经过点（-1,0），对称轴为l ，有下列结论：①0>abc ；②0=+-c b a ；③02<+c a ；④0<+b a .其中，所有正确的结论是（ ）A.①③B.②③C.②④D.②③④考法五 二次函数的综合应用例5.（2018宁夏）如图，抛物线c bx x y ++-=231经过点)0,33(A 和点B （0,3），且这个抛物线的对称轴为直线l ，顶点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB 、AC 、BC ，求△ABC 的面积.【变式训练6】（2018南通）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线k k x k x y 25)1(222-+--=（k 为常数）.（1）若抛物线经过点),1(2k ，求k 的值；（2）若抛物线经过点),2(1y k 和点),2(2y ，且21y y >，求k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新的抛物线，当1≤x ≤2时，新抛物线对应的函数有最小值23-，求k 的值.课后作业1.用配方法将二次函数982--=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式为（ ）A.7)4(2+-=x yB.25)4(2--=x yC.7)4(2++=x yD.25)4(2-+=x y2.如图，二次函数bx ax y +=2的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P 的横坐标为-1，则一次函数b x b a y +-=)(的图象大致是（ ）3.如图，抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=1，且过点（3,0），有下列结论：①0>abc ；②a-b+c ＜0；③3a-c ＞0.其中正确结论的个数有（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.二次函数342++=x x y 的图象是由c bx ax y ++=2的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则=a ，=b ，=c . 5.已知抛物线y=ax ²+bx+c 的图象如图，则|a-b+c |+|2a+b |= .6.已知如图，抛物线y=ax ²+bx+c 经过A （1,0），B （5,0），C （0,5）三点.（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标、对称轴；（3）若过点C 的直线与抛物线交于点E （4，m ），连接CB ，BE ，并求出△CBE 的面积.人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质7.如图，已知抛物线过点A（4,0），B（-2,0），C（0，-4）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点M是抛物线AC上段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小时，求点M的坐标.11 / 11。
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第2课时)
有一个抛物线形的立交桥,这个桥拱的 最大高度为16m,跨度为40m,现把它放在如图 所示的直角坐标系里,若要在离跨度中心点M 5m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶,铁柱应 取多长?
解:由题意,知抛物线的顶点坐标为
(20,16),点B(40,0),
∴可设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+16.
.
(3)解这个方程组得 次函数的解析式为
. 所以所求的二 .
解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. ∵函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,
a b c 0.
∴
a b c 4,
4a 2b c 7.
解这个方程组,得a=2,b=-3,c=5.
∴所求的二次函数的解析式是y=2x2-3x+5.
顶点式求二次函数解析式
已知二次函数图象的顶点为(2,-4),且与y 轴交于点(0,3),求这个二次函数的解析式.
引导:二次函数解析式的顶点式为
,
二次函数图象顶点为(2,-4)的二次函数的解
析式可设为
,点(0,3)在二次函数的
图象上,所以点的坐标满足函数解析式,所以
将点(0,3)代入得
,解得
,所
以所求二次函数的解析式为
h)²+k;交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂)
一般式求二次函数解析式
如果一个二次函数的图象经过
(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数 的解析式吗?如果能,求出这个二次函数的解析式.
(1)已知二次函数图象经过三点,有三个独立条
件,所以可设二次函数的解析式为
.
(2)将三点坐标代入得方程组为
人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c=0的图象和性质(共22张PPT)
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c a-b+c=0 a+b+c=0 c=1
解得 a=-1, b=0, c=1
故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1
课堂练习
1、一个二次函数，当自变量x 0时，函数值y 1， 当x 2与 1 时，y 0.求这个二次函数的解析式。
2 2、一个二次函数的图象经过（0，0），（1，1）， （1，9）三点，求这个二次函数的解析式。
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是
求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的
坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出 a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式
例2 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
回顾：用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 这个一次函数的解析式。
Байду номын сангаас
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,
因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），
22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》ppt课件
5 2 3 x 2 x 1 1 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
2 2 3x 1 配方后的表达 3
式通常称为配 方式或顶点式
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x 1 2.
2
化简:去掉中括号
例7 已知抛物线
和
y x
1
2
(m 4) x 2(m 1)
x 4x 6 2 (1)求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点 总在y2抛物线上;
y
2
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
b 4ac b a x .化简:去掉中括号 2a 4a
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性 质
函数y=ax²+bx+c的图象
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(一) 公开课精品课件
点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,则下
列结论正确的是
( B)
A.y1<y2<y3
B.y2<y1<y3
C.y3<y1<y2
D.y1<y3<y2
〔解析〕因为A(1,2),B(3,2)在抛物线上,所以该抛物线的对称轴为 直线x=2,且C(5,7)在该抛物线上,所以抛物线的开口向上.因为抛物 线上到对称轴的距离越大的点,其纵坐标越大,又因为点M到对称 轴的距离为2-(-2)=4,点N到对称轴的距离为2-(-1)=3,点K到对称轴 的距离为8-2=6,所以y2<y1<y3.
学公式的推导与应用,或提供新闻背景材料等.考查内
容既有考查基础知识的试题,又有考查自学能力和探
索能力等综合素质的试题.解决阅读理解题的关键是
把握实质,并在其基础上作出回答,首先仔细阅读信息, 收集处理信息,以领悟数学知识或感悟数学思想方法, 然后运用新知识解决新问题,或运用范例形成科学的 思维方式和思维策略,或归纳与类比作出合情判断和
∴得到的图象对应函数的特征数为[2,-3]
②∵一个函数的特征数是[2,3],
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∵另一个函数的特征数是[3,4],
∴y=x2+3x+4=
x
3 2
2
+
7 4
=
x
1
1 2
2
+2
1 4
.
1
∴将抛物线y=x2+2x+3先向左平移
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)
C. y=(x-2)2-1
D. y= 1 (x-2)2-1 2
分层作业
3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y= 1 x2-2x+3 相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为( )
2
A. y= 1 (x-2)2+1
2
B. y= 1 (x+2)2-1
2
C. y= 1 (x+2)2+1
2
D. y= 1 (x-2)2-1
分层作业
【拓展延伸作业】
6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积.
分层作业
解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC， ∴OC=OB=3. ∴C(0.3), 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0，3)代入得， -3a=3. ∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；
∴DE=4-2=2，
∴S△CDB= 1 DE·OB= 1 ×2×3=3
2
2
分层作业
7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(0，-1)和(2，7)
(1)求二次函数解析式及对称轴
(2)若点(-5，y1)(m，y2)是抛物线上不同的两个点，且 y1+y2=28，求 m 的值
解：把（0，-1)和(2，7)分别代入 y=x2+bx+c 可得： (2)把 x=-5 代入二次函数得：y1=14，
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质ppt课件
而减小，则实数b的取值范围是(
D)
习
A.b≥－1
B.b≤－1
C.b≥1
D.b≤1
课 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图
y
堂
练 象如图所示，则下列结论：
习 （1）a、b同号；
（2）当x＝－1和x＝3时，函数值相等；
（3）4a＋b＝0；
（4）当其y中＝正－确2时的，是x的（值2）只能. 取0；
解：y=(x2-2x)+1
解：y=2(x2-2x)+6
y=(x2-2x+12)+1-1×12
y=2(x2-2x+12)+6-2×12
y=(x-1)2
y=2(x-1)2-4
顶点坐标为(1，0)
顶点坐标为(1，4)
探 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
索 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨 求
a、b异号
对称轴在y轴的_右___侧
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴交于__正___半轴
c＜0
与y轴交于__负___半轴
典 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
例 精
①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
D
y
其中正确
析 的个数是(
)
A．1
B．2
当x＜h时,y随着x的增大而 增大；当x＞h时， y随着x的增大而减小.
最值
x=h时，y最小=k
x=h时，y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的函数图象和性质(1)
a+b+c>0
点在x轴下方
a+b+c<0
点在x轴上
a+b+c=0
（8）a-b+c的符号：
由x=-1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上
a-b+c>0 a-b+c<0 a-b+c=0
练习
11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中下不正确的是 （ D ）
根据图形填表：
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标 对称轴 位置
b
4ac b2 ,
2a 直线x
4ab
2a
由a,b和c的符号确定
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
配方: y 3x2 6x 5
3 x2 2x 5
3
提取二次项系数
老师提示:
3
x2
2x11
5 3
配方:加上再减去一次 项系数绝对值一半的 平方
3x
12
2 3
整理:前三项化为平方形 式，后两项合并同类项
配方后的表达 3x 12 2. 化简:去掉中括号
式通常称为顶
点式
简单说成：一提、二配、三化简
【左同右异】
⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置：
① c＞0 ↔图象与y轴交点在x轴上
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质②
当已知抛物线的顶点坐标或对称 轴和最值时，通常设函数的解析式为 项点式，然后代入另一点的坐标，解 关于a的一元一次方程
(a,x1,x2为 常数，a≠0)，其中是抛物 线与x轴两个交点的横坐标
当已知抛物线与x轴的两交点坐标 或一个交点的坐标和对称轴时,通常设 函数的解析式为交点式，然后代入另 一点的坐标,解关于a的一元一次方程
情景引入
请你回忆:确定一次函数的解析式需要函数图象上几 个点的坐标?这几个点需要满足什么条件? 请你猜想:确定二次函数的解析式需要几个点的坐标? 这几个点需要满足什么条件?
1
人教版九年级数学上册 第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质②
15
知识点二：根据 y=a(x -h)2+k(a≠0)求二次函数解析式
学以致用
1.二次函数 y=x²+px+q的最小值是4,且当 x=2时，y=5，则p,q
的值为（ ）.
A.p=-2，q=15
B.p=-2，q=5或 p=-6，q=13
C.p=-6，q=13
D.p=2，q=-5或 p=6，q=-13
对于二次函数，我们先探究下面问题.
5
知识点一：根据y= ax2 +bx+c(a≠0)求二次函数解析式
新知探究
(1)由几个点的坐标可以确定二次函数?这几个点 应满足什么条件? (2) 如果一个二次函数的图象经过(-1, 10)，(1, 4), (2, 7)三 点，能求出这个二次函数的解析式吗?如果能，求出这个 二次函数的解析式.
21
知识点三：根据 y=a(x - x1)(x- x2)(a≠0)求二次函数解析式
人教版九年级上册学数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性课件
c的正负
y 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 x -1
课堂小结
1. 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
2. 数学思想方法：数形结合． 3. 常用解题方法：赋值法．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
数学思想方法：数形结合．
的图象上的三个点．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
课堂小结
开口方向
y 3
2 1
2a
决定抛物线与y轴的交点位置
巩固落实
类型一：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断各项系数符号．
例1. 若二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，
你可以判断出 a，b，c的符号吗？ a <0
y
3
x
b
2-a
>
0
2
b >0
1
c >0
-2 -1 O -1
1 2 3x
巩固落实
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
-2 -1 O -1
1 2 3x
a的正负
y 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 x -1
对称轴位置
开口方向
y 3
2 1
课堂小结
－
b 2a
的正负
a的正负
b的正负
y 3 2 1
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即 y a x 12 2 .将（2，3）代入,得 3 a 2 12 2
.∴a=1.故所求抛物线的解析式为 y x2 2x 3 . （2）设所求抛物线解析式为，将（1，-1）、
它的对称轴是直线 : x b . 2a
它的顶点是( b , 4ac b2 ). 2a 4a
例2 根据下列已知条件，分别求出对应的二次函数解析式：
（1）已知抛物线的顶点坐标是（1，2），且过点（2，3）；
（2）已知抛物线经过（1，-1）、（0，1）、（-1，13）三点.
解：（1）根据题意，设所求抛物线的解析式为
的形式为 2
，其顶点坐标为
2.如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线
y=ax2+bx+c的大致图象为（ B ）
A.
B.
C.
D.
3.根据下列已知条件，分别求出对应的二次函数解析 式： （1）二次函数的图象经过点（0，-1），对称轴是， 且二次函数有最大值；
y 3x2 6x 1
（2）二次函数的图象经过点（3，-2），与x轴交于 （-1，0），（2，0）两点.
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象 和性质
一、问题导入
问题1 你能说出二次函数 y 4(x 2)2 1 图象的开口方 向，对称轴，顶点坐标吗？
问题2 函数 y 4(x 2)2 1图象与y=-4x2怎的图象有什
么关系？
问题3 函数 y 4(x 2)2 1 具有哪些性质？
问题4 不画出图象，你能直接说出函数y 1 x2 6x 21 2
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
问题5 已知一次函数图象上两个点的坐标，可以用待定 系数法求出它的解析式，那么，要求出一个二次函数的 解析式，需要几个独立的条件呢？
二、探索新知
问题 把二次函数y=1 x²-6x+21化成y=a（x-h）²+k 2
（0，1）、（-1，13）三点代入，解a=5,b= -7,c=1.故所求抛物线的解析式为y 5x2 7x 1.
四、巩固练习
问题2 根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析
式：
1.把二次函数解析式
y＝= 1
x2＋+2x＋+4
化成y=a(x-
h)2+k
2
1 x 22 2
(-2,2)
的形式吗？并指出它的图像的对称轴和顶点坐标.
三、掌握新知
例1 对于任意一个二次函数y=ax²+bx+c，如何确定它的图象 的开口方向、对称轴和顶点坐标？
解：y ax2 bx c
a(x2 b x) c a
a[x2 b x( b )2 ( b )2 ] c a 2a 2a
y 1 x2 1 x 2 3 33
五、归纳小结
通过本节课的学习，你学到了什么知识？
有何体会？
我曾听到有人说我是数学的反对者， 是数学的敌人，但没有人比我更尊重数学， 因为它完成了我不曾得到其成就的业绩。
――哥德
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
a(x b )c b2 .
2a
4a
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
化简
抛物线的顶点式 y a(x b )2 4ac b2 .
2a
4a
二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.