第十二章 ARCH和GARCH估计s

2 ) 0 t
1 2 p 0
恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟
从而得到扰动项方差的同方差性情形。 假设：
ˆ0 ˆ1u ˆ 2u ˆ pu ˆt2 ˆt21 ˆt22 ˆt2 p u
其中，û t 表示从原始回归模型（12.1.1）估计得到的OLS 残差。
2 t 1
q
2 t q

这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为 GARCH-M模型。
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一、均值方程(Mean equation) 在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形 式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程 包含常数，可在列表中加入C。如果需要一个更复杂的均 值方程，可以用公式的形式输入均值方程。 如果解释变量的表达式中含有ARCH—M项，就需要 点击对话框右上方对应的按钮。EViews5.0中的ARCH-M 的下拉框中，有4个选项： 1.选项None表示方程中不含有ARCH−M项； 2.选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差； 3.选项Variance则表示在方程中含有条件方差 2。 4.选项Log(Var)，表示在均值方程中加入条件方差的 对数ln( 2)作为解释变量。
方差序列可以被命名为GARCH1，GARCH2等等。取平方
根得到如View/Conditional SD Gragh所示的条件标准偏差。
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§12.4 非对称ARCH模型
在资本市场中，经常可以发现这样的现象：资产的向下 运动通常伴随着比之程度更强的向上运动。为了解释这一现 象，Engle和Ng（1993）绘制了好消息和坏消息的非对称信 息曲线。
var( ut ) 0 u
2 t
2 1 t 1
然而，容易加以推广。 例如，一个ARCH (p)过程可以写为：
var( ut ) t2 0 1ut21 2ut22 put2 p
（12.1.3）
3
如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0 ：var( u 这时
§12.1 自回归条件异方差模型
自 回 归 条 件 异 方 差 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建 立条件方差模型并对其进行预测的。 ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle, R.)提出，并 由博勒斯莱文 (Bollerslev, T., 1986) 发展成为 GARCH (Generalized ARCH)——广义自回归条件异方差。这
定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小
与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的OLS估计 无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。
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ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检
验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归：
2 2 2 ˆ ˆ ˆ ut 0 1ut 1 qut q t
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三、估计选项（Options） EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只
要点击Options按钮并按要求填写对话即可。
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ARCH估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了 均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数， 标准误差， z- 统计量和方差方程系数的 P 值。在方程中 ARCH的参数对应于，GARCH的参数对应于 。在表的
E t 1 ( yt ) 0 1 x1t 2 x2t k xkt (12.1.2)
由于 yt 的 均 值 近 似等于式 （ 12.1.1 ）的估计值 ，所以式 （12.1.1）也称为均值方程。
2
由于(12.1.1)中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我 们称它为ARCH(1)过程：
底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值方
程。 注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准， 例如R2也就没有意义了。
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ARCH模型的视图与过程
一旦模型被估计出来， EViews 会提供各种视图和过程进 行推理和诊断检验。 一、ARCH模型的视图 1. Actual, Fitted, Residual 窗口列示了各种残差形式。
些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金
融时间序列分析中。
1
12.1.1 ARCH模型
为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型：
yt 0 1 x1 t k xk t ut
Et-1(yt)，有如下的关系：
(12.1.1)
如果 ut 的均值为零，对 yt 取基于(t-1)时刻的信息的期望，即
的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指 数的票面收益（returet）依赖于一个常数项，通货膨胀率t 以 及条件方差(风险)：
returet 1 2 t ut
2 t
u u
2 t 2 1 t 1
2 p t p
1
5
在标准化的GARCH(1,1)模型中：
yt xt γ ut
(12.1.4)
2 t 1
u
2 t 2 t 1
(12.1.5)
其中：xt 是1×(k+1)维外生变量向量，γ 是(k+1)×1维系数向 量。 (12.1.4)中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量
函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差 ，所
以它被称作条件方差，式(12.1.5)也被称作条件方差方程 。
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(12.1.5)中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1．常数项（均值）： 2 ．用均值方程 (6.1.11) 的扰动项平方的滞后来度量 从前期得到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。 3．上一期的预测方差：t2-1 （GARCH项）。 GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项 （括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第 二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特 例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2-1的说明。
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6.1.3 ARCH的检验
下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的 两种方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。 1. ARCH LM检验 Engle在1982年提出检验残差序列中是否存在ARCH 效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test）， 即ARCH LM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设
u u d
2 t 2 t 1 2 t 1 t 1
2 t 1
用一个或两个 t2的滞后值代替许多 ut2的滞后值，这就是 广义自回归条件异方差模型 (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简记为GARCH模 型 ) 。在 GARCH 模型中，要考虑两个不同的设定：一个
是条件均值，另一个是条件方差。
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方差方程的回归因子 方程(12.1.5)可以扩展成包含外生的或前定回归因子 z的 方差方程：
u zt
2 t 2 t 1 2 t 1
（12.1.6）
注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。 可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从 而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以 要求：
2 的自相关性 显示直到所定义的滞后阶数的平方残差 û t
和偏自相关性，计算出相应滞后阶数的 Ljung-Box 统计量。 平方残差相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性
（ARCH）。如果残差中不存在 ARCH，在各阶滞后自相关
和偏自相关应为 0，且 Q 统计量应不显著。可适用于使用 LS ， TSLS，非线性 LS估计方程。显示平方残差相关图和 Q-统计 量，选择View/Residual Tests/Correlogram Squared Residual， 在打开的滞后定义对话框，定义计算相关图的滞后数。
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12.1.3 ARCH-M模型
金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得 更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益 应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种 利用条件方差表示预期风险的模型被称为 ARCH 均值模型 (ARCH-in-mean) 或 ARCH-M 回归模型。在 ARCH-M 中我们 把条件方差引进到均值方程中:
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12.1.2 GARCH(1, 1)模型
我们常常有理由认为 ut 的方差依赖于很多时刻之前 的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的 应用更是如此）。这里的问题在于，我们必须估计很多 参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意
识到方程 (6.1.8) 不过是 t2 的分布滞后模型，我们就能够
z t xt
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高阶GARCH(p, q)模型
高阶GARCH模型可以通过选择大于1的 p 或 q 得到估
计，记作GARCH(p, q)。其方差表示为：
t2 i ut2i j t2 j .
i 1 j 1
q
p
（12.1.7）
这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。
式中 û t 是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残 差所作的回归。这个检验回归有两个统计量： （1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所 作的一个省略变量检验； （2）TR2 统计量是Engle’s LM检验统计量，它是观测
值个数 T 乘以回归检验的 R2 ；
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2.
平方残差相关图
波动性
0
信息