讲课等比数列第2课时

解得q2＝4， ∴q＝2或q＝－2. ∴所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8， －32.
等比数列的性质如下： 设an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an} 是递增数列； 当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是 递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an} 是摆动数列． (2)an＝am·qn－m(m，n∈N*)． (3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有 am·an＝ap·aq.
提
升
知
7.
能
提
升
C
知
能
提
升
8. 0<q<1
知
9.
能
提
升
知
12. 10.
能
提
升
知
能
提
升
知
11.
能
提
升
知
能
提
升
解法三 解法四：设首项为 a1，公比为 q，
a1q＝2 则 5 a1q ＝162
2 a1＝ ， 3 ，解得 q＝3，
2 a1＝－ ， 3 或 q＝－3.
2 ∴a10＝a1q ＝ ×39＝13 122 或 a10＝a1q9 3
9
2 ＝－ · (－3)9＝13 122. 3
1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新 的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( ) A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列 C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列
解析： 设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为 bn＝anan＋1.
答案：
a＋d2 a－d＋ ＝16， a 由条件得 a＋a＋d＝12. a＝4， 解得 d＝4 a＝ 9， 或 d＝－6.
∴当 a＝4，d＝ 4 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 a＝ 9，d＝－ 6 时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
类比：等比数列的常用性质
qn－m am·n a
2.等比数列{an}满足 a1>0且q>1或a1<且0<q<1 时，{an}是递增数列； 满足 a1>0，且0<q<1或a1<0且q>1 时，{an} 是递减数列．
3．在任意两个非零实数a和b之间，也可以 插入n个数使之成为等比数列，但要注意，在 实数范围内，当ab>0，q>0时，a，b之间 任意 个数，当ab>0，q<0 可以插入 时，a，b之间可以插入 偶数 个数， 当ab<0时，在a和b之间可以插入 奇数个数．
a6 8 1 32 2 ∴q ＝a ＝32＝4或 q ＝ 8 ＝4. 4 1 ∴q＝± 或 q＝± 2. 2 1 答案： ± 或± 2 2
4．在等比数列{an}中，a2009＝a2011＝3，则 a2010＝( ) A．3 B．－3 C．±3 D．9 解析：a2010＝ ＝±3.
答案：C
5．{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10， a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则 bn＝________.
＋
课
1.
堂
测
评
B
课
2.
堂
测
评
D
课
3.
堂
测
评
B
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堂
测
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4.
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测
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5.
堂
测
评
3或27
知
能
提
升
B
知
能
提
升
C
知
能
提
升
A
知
能
提
升
】
4.若方程x2-5x+m=0与x2-10x+n=0的四个根适当排列后，恰好
m 组成一个首项为1的等比数列，则 的值是 【 n
D
1 4
A.
4
B.
2
C.
1 2
D.
典例剖析
【例 1】 在等比数列 an 中，若 a2＝2，a6＝162，求 a10.

解：解法一：∵a6＝a2q4，其中，a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 解法二：∵2、6、10三数成等差数列， ∴a2、a6、a10成等比数列． a62 ∴a62＝a2a10，∴a10＝ ＝13 122. a2
解析：{an}是公差不为零的等差数列，设首项为 a1，公差为 d，∵ a7，a10，a15 是等比数列{bn}的连续三项， ∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)·(a1＋14d)， 2 整理可得 d＝－ a1.设数列{bn}的公比为 q， 3 则 q＝ a10 a1＋9d 5 ＝ ＝ . a7 a1＋6d 3
若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1，a1＋ 性质3 an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝… 若{an}、{bn}分别是以d1、d2为公差的等差数列， 性质4 则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列 若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k、 性质5 m∈N*)组成公差为md的等差数列
[点评 ]
等比数列的“对称设项”方法为当项数 n 为奇数
时，先设中间一个数为 a ，再以公比为 q 向两边对称地依 a 次设项即可，如三个数成等比数列，可设为 ，a，aq；当 q a 项数 n 为偶数且公比大于 0 时， 先设中间两个数为 和 aq， q 再以公比为 q2 向两边对称地依次地设项即可， 如四个数成 a a 等比数列，可设为 3， ，aq，aq3，六个数成等比数列可设 q q a a a 为 5，3， ，aq，aq3，aq5. q q q
(4)数列 {λan}(λ 为不等于零的常数 ) 仍是公比为 q 的等比数 列；若 {bn}是公比为 r 的等比数列，则{an·bn}是公比为 q·r 1 1 的等比数列；{ }是公比为 的等比数列；{|an|}是公比为|q| an q 的等比数列． (5)在{an}中，每隔 k(k∈N*)项取其一项，按原来顺序排列， 所得新数列仍为等比数列且公比为 qk 1. (6)在等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的 符号也相同．
类型三 例3.三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等 于91，求原来的等比数列。
[例4] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后 三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的 和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四 个数．
[解]
a＋d2 方法 1：设这四个数依次为 a－d，a，a＋d， ， a
an＋1an＋2 an＋2 2 所以 ＝ ＝q ， 数列{bn}是公比为 q2 的等比数列． an anan＋1
B
2．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4 ＋2a3a5 ＋a4a6＝36，那么a3＋a5的值等于( ) A．6 B．10 C．15 D．20 解析： 由题意知：a2a4＝a32，a4a6＝a52 ∴a32＋2a3a5＋a52＝36，即(a3＋a5)2＝36， ∴a3＋a5＝6，故选6. 答案： A
7 (1)在等比数列{an}中，a5＝4， 2 a10＝27，则q＝________. (2)已知数列{an}为等比数列，a4＝25，a6＝
27，则log2a6－log2a4＝__________.
2
7 a10 5 5＝2 ＝25， 解析：(1) ＝q ，∴q a5 22
∴q＝ 2.
7 a6 a6 2， 2＝ 2 ＝22， (2)由于 log2a6－log 2a4＝log2 ， 而 ＝q ∵q a4 a4 25
B
) C．50 D．75
解析：解法一：∵a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5， ∴a8·a9·a10·a11＝52＝25.故选B. 解法二：由已知：a1q6·a1q11＝aq17＝5， ∴a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10 ＝a·q34＝(aq17)2＝52.故选B.
等比数列的性质
1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质的由 来． 2.理解等比数列的性质并能应用． 3.掌握等比数列的性质并能综合运用.
回忆：等差数列的常用性质
性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m、n∈N*)
若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m， 性质2 n∈N*)，则ak＋al＝am＋an
类型二
4．已知数列{an}为等比数列，若a1＋a2＋a3＝7， a1·a2·a3＝8，求数列{an}的通项公式．
解析： ∵a22＝a1a3，代入已知， 得 a23＝8，∴a2＝2. 2 2 设前三项为q，2,2q，则有q＋2＋2q＝7. 整理，得 2q2－5q＋2＝0， 1 ∴q＝2 或 q＝2. a1＝4， a1＝1， － 1 － ∴ 或 1 an＝2n 1 或 an＝4·2n 1. q＝2， q＝2.
2a a 方法 2：设这四个数依次为 －a， ，a，aq(a≠0)， q q 2a －a＋aq＝16， q 由条件得 a ＋a＝12. q
q＝2， 解得 a＝8
1 q＝ ， 3 或 a＝3.
∴当 q＝2，a＝ 8 时，所求四个数为 0,4,8,16； 1 当 q＝ ，a＝3 时，所求四个数为 15,9,3,1. 3 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
3．在等比数列{an}中，a1·a9＝256，a4＋a6＝ 40，则公比q＝________.
解析： 根据 a1·9＝a4·6， a a
a ＋a ＝40， 4 6 列方程组 a4·6＝256. a a ＝32， 4 解得 a＝3×(5)n－1. ∴bn＝b1q