决战2016年中考——二次根式专题辅导
决战2016年中考——二次根式专题辅导
例题15、（2015德州）先化简，再求值： ，其中 ， ．
强化训练《九》：
1、已知： ，则 的值为（ ）
A.5B.6C．3D．4
2、（2015•淄博）已知x= ，y= ，则x2+xy+y2的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
3、已知x= +1，y= ﹣1，则代数式 的值是．
A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x≠1
4．（2014·广州）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（）
A． B． C． D．
5.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2） （3）
（4） （5） (6) .
（7）若 ，则x的取值范围是
（8）若 ，则x的取值范围是。
6.若 有意义，则m能取的最小整数值是；若 是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
例题8、下列各式中属于最简二次根式的是（）．
A． B． C． D．
强化训练《五》：
1、下列根式中，是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2、下列二次根式中，最简二次根式是（）
A. ；B. ；C. ；D.
3、当a＜0，b＜0时，把 化为最简二次根式，正确的是（ ）
A.－ B. C.－ D.
4、在下列根式中，不是最简二次根式的是（）
（5）二次根式加减法步骤：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式。口诀：“一化，二找，三合并”
例题11、计算：
⑴. ⑵.
⑶. ⑷.
例题12、化简下列各式：
（1）
（2） ．
强化训练《七》：
1、下列计算正确的是（）
新人教版初中数学第十六章二次根式复习学案(辅导)
第十六章《二次根式》复习一、知识梳理二、考点梳理【考点1】判断是否为二次根式或最简二次根式 1、下列式子中，一定是二次根式的是( ) Ａ.7 B. x C.63Ｄ. 7-2、下列式子中，一定是二次根式的是（ ) A.2--x B.22+x Ｃ.83D.22b a -3、下列二次根式中,属于最简二次根式的是( ） A.12 B. a 5 C ．3aD. a 3.04、下列不是最简二次根式的是（ ) A.12+x B.39+x C ．y a 2 D.22a 【考点2】二次根式有无意义1、要使x -2有意义，则实数x 的取值范围是2、要使2x -有意义,则实数x 的取值范围是3、要使12+x 有意义,则实数x 的取值范围是4、要使x 43-无意义,则实数x 的取值范围是5、要使aa 2+有意义,则实数a 的取值范围是 二次根式三个概念三个性质两个公式四种运算二次根式最简二次根式同类二次根式)0(0≥≥a a )0()(2≥=a a a )0(2≥=a a a )0,0(≥≥=⋅b a ab b a )0,0(>≥=b a ba ba【考点３】在实数范围内分解因式 １、在实数范围内分解因式=-33a a 2、在实数范围内分解因式=-422x 3、在实数范围内分解因式=+-2222x x 【考点4】最小值问题1、若m 20是一个正整数,则正整数m 的最小值是2、若n 12是一个正整数,则正整数n 的最小值是3、若m 108是一个正整数,则正整数m 的最小值是 【考点5】同类二次根式1、下列二次根式中,能与3合并的二次根式是（ ）Ａ． 6.0 B. 15 C.31D. 332、若最简二次根式1-a 与b -1可以进行合并，则b a +的值是3、下列式子中，能与2合并的是( ) A.6 B. 18 C. 12 D. 4-【考点6】比较大小１、比较大小：2332,7-22-，67-76- 【考点7】等式成立问题1、若22)(a a =,则a 必须满足的条件是( ）A. 0>aB. a 为任意实数C. 0≤aD. 0≥a 2、等式a a -=-2)2(2成立的条件是 3、等式ab b a =⋅成立的条件是 4、等式1112-=-⋅+x x x 成立的条件是5、等式2242-⋅+=-x x x 成立的条件是6、等式ba ba =成立的条件是7、等式2121--=--x x x x 成立的条件是【考点8】求值问题１、已知x 、y 为实数,且032=-+-y x ，则=+y x2、若01222=+++-b b a ,则=-b a ３、若02)1(2=++-b a ,则=+b a 【考点９】整数小数部分问题1、已知10的整数部分是a ,小数部分是b ,求22b a +的值2、若3的整数部分是a ，小数部分是b ,求b a -3的值【考点10】二次根式的加减乘除运算 １、计算：=-222425,=412,=⨯⨯12824,=+22125 =+916，=-2)3.0(,=⋅xy xy 210)0,0(>>y x =2)32(，=mm )0(>m ，=-222，=-2)52(2、计算: (1）4821319125+- (2）29328+- (3))0(164≥+a a a（4）)53)(65(-+ （5)32)2145051183(÷-+（6）483316122+- (7）27)124148(÷+ (8)23312)32(2⋅+-(9))23(12-÷ （10)22)21()21(-+ （11）)1)(1(---+x x x x【考点1１】相反数，绝对值 1、52-的相反数是,绝对值是 ２、23-的相反数是,绝对值是 【考点12】化简求值问题1、若21<<x ，则2)1(3-+-x x 的值为2、已知23+=x ,23-=y ，求33xy y x +的值3、已知223+=a ，223-=b ,求22ab b a -的值4、先化简,再求值：21)121(2+-÷-+a a a ，其中13+=a５、观察下列计算：34)34)(34(34341;23)23)(23(23231;12)12)(12(12121-=-+-=+-=-+-=+-=-+-=+则:(１）=+9101，=+991001（2)从计算结果中找出规律,用含)1(≥n n 的代数式表示：(3）利用这一规律计算：)12014)(201320141341231121(++++++++++ 的值。
中考总复习：分式与二次根式—知识讲解(提高)与例题讲解
中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算错误！未找到引用源。
±错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n =-++进行裂项. (4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质1.0(0)≥≥；a a2.()2(0)a a a =≥； 3.2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩； 4. 积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，； 5. 商的算术平方根的性质：(00)a a a b b b =≥>，. 6.若0a b >≥，则a b >. 要点诠释： 与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a a 与互为有理化因式；（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式；（3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c互为有理化因式.【典型例题】 类型一、分式的意义1．若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于 ．【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得2x ﹣1=0，x +1≠0，由2x ﹣1=0，得x =﹣1或x =1，由x +1≠0，得x ≠﹣1， ∴x =1， 故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．举一反三： 【变式1】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 .【答案】由分式的值为零的条件得3x 2-27=0且x-3≠0，由3x 2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0， ∴x=-3或x=3， 由x-3≠0，得x≠3． 综上，得x=-3，分式23273x x --的值为0．故答案为：-3．【分式与二次根式 ：例1】 【变式2】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是 ．【答案】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则分母22x x m -+≠0，设22y xx m =-+，当△＜0即可，440,1m m -＜＞.答案m ＞1.类型二、分式的性质2．已知,b c c a a b abc+++==求()()()abca b b c c a +++的值.【答案与解析】设b c c a a b k abc+++===,所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+= 所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++ 所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-= 即2k =或()0,a b c ++= 当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-.【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解. 举一反三：【变式】已知111111111,,,6915abbcac +=+=+=求abcab bc ac++的值. 【答案】因为 111111111,,,6915abbc a c+=+=+=各式可加得1111112,6915abc ⎛⎫++⨯=++ ⎪⎝⎭所以11131180a b c ++=，所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++类型三、分式的运算3．已知1,x y zy z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值.【答案与解析】 因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++） 即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【总结升华】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三： 【变式1】已知,,,x y z a b c y z x z x y ===+++且abc o ≠,求111a b ca b c +++++的值. 【答案】由已知得1,y z a x+=所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y za x+++=,所以1a xa x y z=+++,同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 【分式与二次根式：例2】【变式2】已知x ＋y=－4，xy=－12，求+++11x y 11++y x 的值．【答案】原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y =1121222++++++++y x xy x x y y 1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式， ∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2类型四、分式方程及应用4．a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 【答案与解析】方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x ++=- 整理得(1)10a x -=-. 当a = 1 时,方程无解. 当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 .所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.【总结升华】 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． （1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得：120204020=++x解得x ＝80，经检验x ＝80是原分式方程的解． 答：乙单独整理80分钟完工． （2）设甲整理y 分钟完工，根据题意，得1408030≥+y 解得：y ≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间． （1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y 分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可． 举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（ ） A ．00253010(18060xx -=+）B ．00253010(180xx-=+）C ．00302510(18060x x -=+） D ．00302510(180x x -=+）【答案】设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，00253010(18060x x -=+）故选A ．类型五、二次根式的定义及性质6．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为 ．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0． 故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x 的范围．类型六、二次根式的运算 【分式与二次根式 ：例3】7．（2015春•泗阳县期末）已知m是的小数部分．（1）求m2+2m+1的值；（2）求的值．【答案与解析】解：依题意得21m=-，则121=+m（1）原式=（m+1）2=2；（2）原式=|1m-|=|﹣1﹣（21+）|=2．m【总结升华】此题考查二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和无理数的估算是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2018•苏州模拟）计算：．【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．。
2016中考复习第1讲实数(含二次根式)
幻灯片1数学陕西省第一章数与式第1讲实数及其运算幻灯片2幻灯片3幻灯片4幻灯片5幻灯片6幻灯片7幻灯片81．(2014·陕西)4的算术平方根是( ) A ．－2 B ．2 C ．±2 D ．162．(2013·陕西)下列四个数中最小的数是( ) A ．－2 B ．0 C ．－13D ．53．(2012·陕西)如果零上5℃记作＋5℃，那么零下7℃可记作( )A ．－7℃B ．＋7℃C ．＋12℃D ．－12℃B A A幻灯片94．(2015·陕西)计算：(－23)0＝( )A ．1B ．－32C ．0D .235．(2011·陕西)－23的倒数为( )A ．－32B .32C .23D ．－23AA幻灯片106．(2011·陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875人，将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学记数法表示为()A．1.37×109B．1.37×107C．1.37×108D．1.37×10107．(2014·陕西)计算：(－13)－2＝__ __．8．(2011·陕西)计算：|3－2|＝__________．(结果保留根号)A92－3幻灯片119．(2014·陕西)用科学计算器计算：31＋3tan 56°≈________.(结果精确到0.01)10．(2013·陕西)计算：(－2)3＋(3－1)0＝____． 11．(2013·陕西)比较大小：8cos 31°____35.(填“>”“＝”“<”)12．(2012·陕西)计算：2cos 45°－38＋(1－2)0＝_________.13．(2012·陕西)用科学计算器计算：7sin 69°≈____．(精确到0.01)10.02 －7 ＞－52＋12.47幻灯片1214．(2015·陕西)将实数5，π，0，－6由小到大用“＜”号连起来，可表示为_______________．15．(2015·陕西)计算：3×(－6)＋|－22|＋(12)－3.解：原式＝8－ 2－6＜0＜5＜π幻灯片13【例1】(2015·黔西南州)下列各数是无理数的是()A.4B．－1 3C．πD．－1【例2】(2015·绥化)在实数0，π，227，2，－9中，无理数的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个CB幻灯片14【点评】判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数，初中常见的无理数共分三种类型：(1)化简后含π(圆周率)的式子；(2)含根号且开不尽方的数；(3)有规律但不循环的无限小数．掌握常见无理数类型有助于识别无理数．幻灯片15[对应训练]1．(2015·益阳)下列实数中，是无理数的为( ) A . 3 B .13C ．0D ．－32．(2015·长沙)下列实数中，为无理数的是( ) A ．0.2 B .12C . 2D ．－5A C幻灯片163．下列各数3.14159，－38，0.131131113…，－π，25，－17中，无理数的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个B幻灯片17【例3】 (2015·重庆)计算：4＋(－3)2－20150×|－4|＋(16)－1. 解：原式＝2＋9－1×4＋6＝11－4＋6＝13【例4】 (2015·兰州)计算：2－1－3tan 60°＋(π－2015)0＋|－12|；解：原式＝12－3×3＋1＋12＝－1幻灯片18【点评】实数运算要严格按照法则进行，特别是混合运算，注意符号和顺序是非常重要的．[对应训练]1.(2015·广安)计算：－14＋(2－22)0＋|－2015|－4cos60°.解：原式＝20132．(2015·东营)计算：(－1)2015＋(sin30°)－1＋(35－2)0－|3－18|＋83×(－0.125)3.解：原式＝4－3 2幻灯片19【例5】(2015·资阳)餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为()A．5×1010千克B．50×109千克C．5×109千克D．0.5×1011千克【例6】(2015·内江)一种微粒的半径是0.00004米，这个数据用科学记数法表示为() A．4×106 B．4×10－6C．4×10－5 D．4×105AC幻灯片20【点评】(1)科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细；(2)科学记数法写出这个数后可还原成原数进行检验．幻灯片21[对应训练]1．(2015·青岛)某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001 s．把0.000000001 s 用科学记数法可表示为()A．0.1×10－8s B．0.1×10－9sC．1×10－8s D．1×10－9s2．(2015·海南)据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9420000人，数据9420000用科学记数法表示为9.42×10n，则n的值是()A．4 B．5C．6 D．7DC幻灯片223．(2015·天水)某种细胞的直径是0.000067厘米，将0.000067用科学记数法表示为() A．6.7×10－5 B．6.7×10－6C．0.67×10－5 D．67×10－6A幻灯片23【例7】(2015·绍兴)比较－3，1，－2的大小，下列判断正确的是()A．－3＜－2＜1 B．－2＜－3＜1C．1＜－2＜－3 D．1＜－3＜－2A【例8】(2015·河北)a，b是两个连续整数，若a＜7＜b，则a，b分别是()A．2，3 B．3，2C．3，4 D．6，8【点评】实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几种方法来进行．A幻灯片24[对应训练]1．(2015·武汉)在实数－3，0，5，3中，最小的实数是()A．－3 B．0C．5 D．32．(2015·河南)下列各数中最大的数是()A．－8 B. 3C．πD．53．比较2.5，－3，7的大小，正确的是()A．－3＜2.5＜7 B．2.5＜－3＜7C．－3＜7＜2.5 D.7＜2.5＜－3ADA。
中考培优专题之二次根式
备战中考之二次根式习题一、单选题（共15题；）1.对于任意的正数m 、n 定义运算※为：m ※n={√m −√n (m ≥n )√m +√n (m <n )),计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）A. 2﹣4√6B. 2C. 2√5D. 20 2.要使二次根式√3−2x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A. x ⩾32 B. x ⩽32 C. x ⩾23 D. x ⩽23 3.下列各实数中最大的一个是（ ） A. 5× √0.039 B.3.141πC.√14+√7D. √0.3 + √0.24.已知x 为实数，化简√−x 3−x√−1x的结果为（ ）A. (x −1)√−xB. (−1−x )√−xC. (1−x )√−xD. (1+x )√−x 5.若√x −1+√x +y =0 ，则x 2005+y 2005 的值为： （ ）A. 0B. 1C. -1D. 26.等式√xx−3=√x√x−3成立的条件是（ ） A. x≠3 B. x≥0 C. x≥0且x≠3 D. x>3 7.下列二次根式中，最简二次根式是( ).A. B.C.D.8.已知是正整数，则实数n 的最大值为（ ）A. 12B. 11C. 8D. 39.如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式,那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（ ） A. x≤10 B. x≥10 C. x ＜10 D. x ＞10 10.已知 y =√4−x +√x −4+3 ，则 yx 的值为（ ）A. 43 B. −43 C. 34 D. −34 11.若x +y ＝3+2 √2 ，x ﹣y ＝3﹣2 √2 ，则 √x 2−y 2 的值为（ ） A. 4 √2 B. 1 C. 6 D. 3﹣2 √2 12.函数 y =1x+1−√2−3x 中，自变量 x 的取值范围是（ ）A. x ≤23 B. x ≥23 C. x <23 且 x ≠−1 D. x ≤23 且 x ≠−113.利用计算器计算时，依次按键下： ，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）A. 2.5B. 2.6C. 2.8D. 2.914.把代数式(a－1) √11−a的a－1移到根号内，那么这个代数式等于（）A. －√1−aB. √a−1C. √1−aD. －√a−115.一个三角形的三边长分别为1，k，4，化简|2k－5|－√k2−12k+36的结果是( )A. 3k－11B. k＋1C. 1D. 11－3k二、填空题（共15题；）16.若|1001−a|+√a−1002=a，则a−10012=________．17.观察下列运算过程：1+√2=√2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2(√2)2−12=√2−1√2+√3=√3+√2=√3√2(√3+√2)(√3−√2)=√3√2(√3)2−(√2)2=√3−√2……请运用上面的运算方法计算：1+√3+√3+√5√5+√7⋯+√2015+√2017√2017+√2019=________．18.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+√a2−4a+4=________19.√12与最简二次根式5 √a+1是同类二次根式，则a=________．20.读取表格中的信息，解决问题．满足n n n√3+√2≥2014×(√3−√2+1)的n可以取得的最小整数是________．21.已知|6﹣3m|+（n﹣5）2=3m﹣6﹣√(m−3)n2，则m﹣n=________22.若m=√2012−1，则m5﹣2m4﹣2011m3的值是________．23.若√20n是整数，则正整数n的最小值为________．24.已知√a（a﹣√3）＜0，若b=2﹣a，则b的取值范围是________．25.如果（x﹣√x2−2008）（y﹣√y2−2008）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=________．26.已知a、b为有理数，m、n分别表示5−√7的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=________.27.若实数x，y，m满足等式√3x+5y−3−m+(2x+3y−m)2=√x+y−2−√2−x−y，则m+4的算术平方根为________．28.若x、y都为实数，且y=2008√x−5+2007√5−x+1，则x2+y=________。
初中数学 中考复习二次根式专题练习(含答案)
二次根式复习一、知识归纳 （一）二次根式定义1注意：（12，（2）被开方数是非负数2、二次根式在实数范围内有意义的条件是 a ≥0 。
（二）二次根式的性质1、二次根式的双重非负性≥0，a ≥0a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，≥0，2、）2=a (a ≥0)(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜（三）、最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数不含 的因数或因式。
满足：（1）根号内不含有分母，有分母的先通分，再将分母开出来 （2）根号内每个因式或因数的指数都小于根指数2，如果根号内含有因式或因数的指数大于根指数2，就利用，将每个因式或因数的指数都小于根指数2（3）分母内不含有根式，如果分母内含有根号，则利用分母有理化，将根号划去。
（1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点： ①被开方数不含分母；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.=简二次根式.=，且因式2和22()x y +的指数都是1，是最简二次根式.22a b +无法变成一个数（或因式）式.（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似. 对同类二次根式的理解应注意以下几点：（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关. 将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.（3）不是同类二次根式，千万不要合并.（四）二次根式的运算0)=≥，≥0a b=≥，＞00)a b≥，≥0a b0)=≥，＞00)a b二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.4、二次根式加减的步骤：（1）先将二次根式化成。
2016年中考数学专题复习-第六讲-二次根式(含答案)
2016年中考数学专题复习第六讲二次根式【基础知识回顾】一、二次根式式子（）叫做二次根式名师提醒：①二次根式必须注意这一条件，其结果也是一个非负数即：_ ，②二次根式（a≥o）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式。
二、二次根式的几个重要性质：①（）2= （a≥0）；②= =；③= （a≥0 ≥0）；④= (a≥0, b＞0)。
名师提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较2和3的大小，可逆用（）2(a≥0)将根号外的正数移到根号内再比较被开方数的大小。
三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：1、被开方数的因数是，因式是整式，2、被开方数不含的因数或因式。
四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将的二次根式进行合并，合并的方法与合并同类项法则相同2、二次根式的乘除：乘除法则：（a≥0 ≥0）除法法则：=（a≥0，b＞0）3、二次根式的混合运算顺序：先算再算最后算。
名师提醒：①、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去（分母有理化）这一方法进行：如：= = ；②、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用；③、二次根式运算的结果一定要化成。
【重点考点例析】考点一：二次根式有意义的条件例1 （2015•昆明）若二次根式有意义，则x的取值范围是．思路分析：根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．解：解：根据二次根式有意义的条件，1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．点评：此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．跟踪训练1．（2015•鄂州）若使二次根式有意义，则x的取值范围是．考点二：最简二次根式例2 （2015•扬州）下列二次根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．思路分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；B、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；C、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；故选：A点评：本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．跟踪训练2．（2015•锦州）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．考点三：二次根式的混合运算例3 （2015•淄博）计算：．思路分析：首先应用乘法分配律，可得=；然后根据二次根式的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式的值是多少即可．解：==1+9=10。
2016年全国中考真题分类解析二次根式
二次根式一、选择题1.（2016··4分）与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【考点】同类二次根式．【分析】根据化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．【解答】解：A、与﹣的被开方数不同，故A错误；B、与﹣的被开方数不同，故B错误；C、与﹣的被开方数相同，故C正确；D、与﹣的被开方数不同，故D错误；故选：C2.计算3﹣2的结果是（）A． B．2 C．3 D．6【考点】二次根式的加减法．【分析】直接利用二次根式的加减运算法则求出答案．【解答】解：原式=（3﹣2）=．故选：A．3．（20163分）下列计算正确的是（）A．﹣= B．（﹣3）2=6 C．3a4﹣2a2=a2 D．（﹣a3）2=a5【考点】二次根式的加减法；有理数的乘方；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】分别利用有理数的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、二次根式的加减运算法则化简求出答案．【解答】解：A、﹣=2﹣=，故此选项正确；B、（﹣3）2=9，故此选项错误；C、3a4﹣2a2，无法计算，故此选项错误；D、（﹣a3）2=a6，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算以及积的乘方运算、二次根式的加减运算等知识，正确化简各式是解题关键．4.（2016·市B卷·4分）若二次根式有意义，则a的取值围是（）A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2【考点】二次根式有意义的条件．【专题】计算题；实数．【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴a﹣2≥0，即a≥2，则a的围是a≥2，故选A【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．5．（2016·江）在函数y＝3x-中，自变量x的取值围是( )A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4 [答案]D[考点]二次根式与分式的意义。
2016年中考数学复习专题2：二次根式
专题05 二次根式☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．（2015的结果是（ ） ABC． D． 【答案】B ．考点：二次根式的乘除法．2．（2015徐州）使1-x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B ．x≥1 C ．x ＞1 D ．x≥0 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵1-x 有意义，∴x ﹣1≥0，即x≥1．故选B ． 考点：二次根式有意义的条件． 3．（2015扬州）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）A ．30 B．12C ．8D．21【答案】A ． 【解析】试题分析：A．符合最简二次根式的定义，故本选项正确；B=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； C=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； D=故选A ．考点：最简二次根式．4．（2015）AB C D 【答案】C ．考点：同类二次根式． 5．（2015宜昌）下列式子没有意义的是（ ）A B C D【答案】A ．【解析】试题分析：A A 符合题意；B 有意义，故B 不符合题意；C 有意义，故C 不符合题意；D 有意义，故D 不符合题意；故选A ．考点：二次根式有意义的条件． 6．（2015潜江）下列各式计算正确的是（ ）A =B ．1-=C ． 363332=⨯D 3= 【答案】D ．考点：1．二次根式的乘除法；2．二次根式的加减法．7．（2015有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C．【解析】试题分析：由题意得，2x+6≥0，解得，x≥﹣3，故选C．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．二次根式有意义的条件．8．（2015钦州）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=))m nm n-≥+<，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A．2-B．2 C．D．20【答案】B．【解析】试题分析：∵3＞2，∴3※，∵8＜12，∴8※，∴（3※2）×（8※12）=）×=2．故选B．考点：1．二次根式的混合运算；2．新定义．9．（2015孝感）已知2x=-，则代数式2(7(2x x++的值是（）A．0 BC．2+D．2-【答案】C．【解析】试题分析：把2x=代入代数式2(7(2x x+++得：2(7(2++=(743+-+-+= 49481-++2+．故选C．考点：二次根式的化简求值．10．（2015荆门）当12a<<10a+-=的值是（）A．1-B．1C．23a-D．32a-【答案】B．考点：二次根式的性质与化简．11．（2015随州）若代数式11x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．1x ≠B ．0x ≥C ．0x ≠D ．0x ≥且1x ≠ 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵代数式11x +-有意义，∴100x x -≠⎧⎨≥⎩，解得0x ≥且1x ≠．故选D ．考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．12．（2015淄博）已知，则22x xy y ++的值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．7【答案】B ． 【解析】 试题分析：原式=2()x y xy +-=2=21-=51-=4．故选B ．考点：二次根式的化简求值．13．（2015朝阳）估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）A ．5和6B ．6和7C ．7和8D ．8和9【答案】B ． 【解析】试题分析：原式=2+，∵6＜2+＜7，∴的运算结果在6和7两个连续自然数之间，故选B ．考点：1．估算无理数的大小；2．二次根式的乘除法．14．（2015． 【答案】5．考点：二次根式的乘除法．15．（2015泰州）计算：21218-等于 ．【答案】． 【解析】试题分析：原式=2-==．故答案为：考点：二次根式的加减法．16．（20153x =-，则x 的取值范围是 ．【答案】x≤3． 【解析】3x =-，∴3﹣x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3．考点：二次根式的性质与化简． 17．（2015攀枝花）若2y =+，则y x = ．【答案】9． 【解析】试题分析：2y =+有意义，必须30x -≥，30x -≥，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴y x =23=9．故答案为：9．考点：二次根式有意义的条件．18．（2015毕节）实数a ，ba b--= ．【答案】b -．考点：1．实数与数轴；2．二次根式的性质与化简．19．（2015有意义，则实数x 的取值范围是 ．【答案】x≥0且x≠1． 【解析】x≥0，x ﹣1≠0，∴实数x 的取值范围是：x≥0且x≠1．故答案为：x≥0且x≠1．考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．20．（2015陕西省）计算：()3212263-⎪⎭⎫⎝⎛+-+-⨯．【答案】8．【解析】试题分析：根据二次根式的乘法法则、绝对值的意义、负整数整数幂的意义化简后合并即可． 试题解析：原式=8++=8-++=8． 考点：1．二次根式的混合运算；2．负整数指数幂．21．（2015大连）计算：11)()2-+．【答案】1+考点：1．二次根式的混合运算；2．零指数幂．22．（2015山西省）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数． 【答案】1，1． 【解析】试题分析：分别把1、2代入式子化简即可．试题解析：第1个数，当n=1时，原式=1．第2个数，当n=2时，原式22]-=1．考点：1．二次根式的应用；2．阅读型；3．规律型；4．综合题．【2014年题组】1．（2014年四川甘孜中考）使代数式有意义的x的取值范围是（）A．x≥0 B．﹣5≤x＜5 C． x≥5 D． x≥﹣5【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，x+5≥0，解得x≥﹣5．故选D．考点：二次根式有意义的条件．2.（2014有意义，则实数x的取值范围是（）A.x≥一1 B．x≥一1且x≠3 C．x>-l D．x>-1且x≠3【答案】D．考点：1.二次根式有意义的条件；2.分式有意义的条件．3.（2014年镇江中考）若x、y()22y10+-=，则x y+的值等于（）A.1 B.32 C.2 D.52【答案】B．【解析】()22y10+-=，∴()212x10x22y10y1⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎩∴13x y122+=+=．故选B．考点：1.二次根式被开方数和偶次幂的非负性质；2.求代数式的值．4.（2014年甘肃白银中考）下列计算错误的是（）A. •=B. +=C. ÷=2D. =2【答案】B．【解析】试题分析：A36=，计算正确；B，不能合并，原题计算错误；C、2==，计算正确；D=故选B．考点：二次根式的混合运算．5.（2014年山东省聊城市中考）下列计算正确的是（）A．2×3=6 B. += C. 5﹣2=3D . ÷=【答案】D．【解析】试题分析：A、23318=⨯⨯=，故A错误；B、不是同类二次根式，不能相加，故B错误；C、不是同类二次根式，不能相减，故C错误；D、÷==D正确；故选D．考点：二次根式的加减法、乘除法．6.（2014）A．B CD【答案】D．考点：同类二次根式．7.（2014年凉山中考）已知12x x==，则x12+x22= ．【答案】10．【解析】试题分析：∵12x x==，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=2212210 +-=-=．考点：二次根式的混合运算．8.（2014年哈尔滨中考）计算：=．【答案】3．【解析】试题分析：312-=23﹣3=3．考点：二次根式的加减法．9.（2014=．【答案】2．考点：二次根式的乘除法．10.（2014年辽宁大连中考）（13）-1．【答案】【解析】试题分析：分别进行二次根式的乘法运算，二次根式的化简，负整数指数幂的运算，然后合并即可求出答案．试题解析：原式考点：1.二次根式的混合运算；2.负整数指数幂．☞考点归纳归纳1：二次根式的意义及性质基础知识归纳：二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0．注意问题归纳：1.首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2、利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．【例1】函数()0y x2=-中，自变量x的取值范围是．【答案】x≥0且x≠2且x≠3．考点：二次根式有意义的条件．归纳 2：最简二次根式与同类二次根式 基础知识归纳： 1.最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 注意问题归纳：最简二次根式的判断方法：1.最简二次根式必须同时满足如下条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；（2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1． 2．判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关． 【例2】下列二次根式中，能与3合并的是（ ）A ．18;B ．31; C ．－8; D ．24【答案】B ．考点：同类二次根式． 归纳 3：二次根式的运算 基础知识归纳： （1）．二次根式的加减法:实质就是合并同类二次根式．合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）．二次根式的乘除法 二次根式的乘法：ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）． 二次根式的除法：b ab a =（a ≥0，b ＞0）．注意问题归纳：正确把握运算法则是解题的关键【例3】如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②1ba=，③b=-其中正确的是（）①②B．②③C．①③D．①②③【答案】B．【解析】∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0=0a，b不能做被开方数，（故①错误）1ba=（故②正确），③b=-（故③正确）．故选B．考点：二次根式的运算．归纳4：二次根式混合运算基础知识归纳:先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．注意问题归纳：注意运算顺序．【例4】计算：4(1-．考点：二次根式的运算．归纳5：二次根式运算中的技巧基础知识归纳：1.二次根式的被开方数是非负数；2.非负数的性质．注意问题归纳：【例5】若-2，则（x+y）y=【答案】14．【解析】由题意得，x-4≥0且4-x≥0，解得x≥4且x≤4，∴x=4，y=-2，∴x+y）y=（4-2）-2=14．考点：二次根式的运算．☞1年模拟1．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）要使+有意义，则x应满足（）A．12≤x≤3 B．x≤3且x≠12C．12＜x＜3 D．12＜x≤3【答案】D．考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．2．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知0＜a＜b，，x，y的大小关系是（）A．x＞y B．x=y C．x＜y D．与a、b的取值有关【答案】C．【解析】试题分析：x-y=-=，∵0＜a＜b，∴22b=+＜4b-＜0，∴x-y＜0．故选C．考点：二次根式的化简．3．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）2−x，那么x取值范）围是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2【答案】A．【解析】＝2−x，∴x-2≤0，解得：x≤2．故选A．考点：二次根式的性质与化简．4．（2015届山东省聊城市中考模拟）下列运算正确的是（）A．2a2+3a2=6a2 B=C=D．1111b ba a---=--【答案】D．【解析】试题分析：A．2a2+3a2=5a2，故本选项错误；B+无法计算，故本选项错误；C=，故本选项错误；D．1111b ba a---=--，正确．故选D．考点：1．二次根式的加减法；2．合并同类项；3．分式的基本性质；4．二次根式的乘除法．5．（2015＝2−x，那么x取值范）围是（A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2 【答案】A．【解析】＝2−x，∴x-2≤0，解得：x≤2．故选A．考点：二次根式的性质与化简．6．（2015届北京市门头沟区中考二模）在函数y=中，自变量x的取值范围是．【答案】x≥1．考点：1．函数自变量的取值范围；2．二次根式有意义的条件．7．（2015，则x的取值范围是．【答案】x≤3．【解析】，∴3-x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．考点：二次根式的性质与化简．8．（2015x+1）0都有意义，则x的取值范围为．【答案】x＞-1且x≠1．【解析】试题分析：根据题意得：101010x x x +⎧≥-≠+≠⎪⎨⎪⎩解得：x ＞-1且x ≠1．故答案为：x ＞-1且x ≠1．考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件；3．零指数幂． 9．（2015届河北省沙河市二十冶第三中学九年级上学期第二次模拟数学）若∣b-1∣=0，且一元二次方程20kx ax b ++=有实数根，则k 的取值范围是 ．【答案】k ≤4且k ≠0．考点：1．根的判别式；2．绝对值；3．二次根式的性质．10．（2015届云南省剑川县九年级上学期第三次统一模拟考试数学试卷）已知x 、y 是实数，并且096132=+-++y y x ，则2014)(xy 的值是_______【答案】1． 【解析】试题分析：先将式子变形，然后根据二次根式和偶次幂的性质求出x 和y 的值，再代入到所求式子中即可因为096132=+-++y y x ,即0)3(132=-++y x ,所以03013=-=+y x 且,解得3,31=-=y x ,所以1)1()331()(201420142014=-=⨯-=xy考点：1．二次根式的性质；2．偶次幂的性质；3．完全平方公式． 11．（2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）若3，m, 5为三角形三边，则22)8()2(---m m ＝ ．【答案】2m －10．【解析】试题分析：因为3，m, 5为三角形三边，所以5-3＜m ＜5+3，即2＜m ＜8，所以22)8()2(---m m=m-2-（8-m ）=m-2-8+m=2m－10．考点：1．三角形的三边关系；2．二次根式的性质．12．（2015届四川省雅安中学九年级一诊数学试卷）观察下列各式：=，= ，=请你将发现的规律用含自然数(1)n n ≥的等式表示出来．(n=+（1n≥）．【解析】试题分析：∵(1=+；(2=+；∴(n=+（1n≥）．(n=+（1n≥）．考点：规律型．13．（2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）（1）计算：312760tan2)21(1--+--【答案】3．考点：1．负整数次方；2．特殊教的三角函数值；3．二次根式；4．绝对值．14．（2015届云南省剑川县九年级上学期第三次统一模拟考试数学试卷）计算：24)32()21(801-+-+-【答案】1．【解析】试题分析：根据二次根式的性质及运算法则进行计算试题解析：原式=1221222=--+．考点：二次根式的混合运算．15．（2015届北京市门头沟区中考二模）计算：()01163tan60()3--π-︒+．【答案】4．【解析】试题分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：解：原式=13-+=4．考点：1．实数的运算；2．零指数幂和负整数指数幂；3．特殊角的三角函数值和二次根式的化简．16．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）计算：（）【答案】．考点：二次根式的混合运算．。
中考数学备考专题复习： 二次根式(含解析)
中考备考专题复习：二次根式一、单选题1、（2016•曲靖）下列运算正确的是（）A、3 ﹣=3B、a6÷a3=a2C、a2+a3=a5D、（3a3）2=9a62、把分母有理化后得（）A、4bB、2C、D、3、若，则xy的值为（）A、3B、8C、12D、44、下列各式中，不是二次根式的是（）A、B、C、D、5、已知：m，n是两个连续自然数（m＜n），且q=mn．设p=+，则p( ).A、总是奇数B、总是偶数C、有时是奇数，有时是偶数D、有时是有理数，有时是无理数6、（2015•钦州）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A、2﹣4B、2C、2D、207、若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（）A、B、或C、D、8、（2016•自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A、B、C、D、9、（2016•眉山）下列等式一定成立的是（）A、a2×a5=a10B、C、（﹣a3）4=a12D、10、（2016•潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（）A、﹣2a+bB、2a﹣bC、﹣bD、b11、（2016•龙岩）与- 是同类二次根式的是（）A、B、C、D、12、（2016•梅州）二次根式有意义，则x的取值范围是（）A、x＞2B、x＜2C、x≥2D、x≤213、（2016•贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A、x＜1B、x≤1C、x＞1D、x≥114、（2016•雅安）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（）A、B、C、D、15、（2016•呼伦贝尔）若1＜x＜2，则的值为（）A、2x﹣4B、﹣2C、4﹣2xD、2二、填空题16、若，则a-b+c=________ ．17、若两个最简二次根式与可以合并，则a=________ ．18、（2016•自贡）若代数式有意义，则x的取值范围是________．19、（2016•天津）计算（+ ）（﹣）的结果等于________．20、（2016•曲靖）如果整数x＞﹣3，那么使函数y= 有意义的x的值是________（只填一个）三、计算题21、（2016•攀枝花）计算；+20160﹣| ﹣2|+1．22、（2016•荆州）计算：．四、解答题23、已知 + =0，求的值.24、实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：25、我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数与的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．①判断与是否互为倒数，并说明理由；②若实数是的倒数，求x和y之间的关系．五、综合题26、（2016•黄石）观察下列等式：第1个等式：a1= = ﹣1，第2个等式：a2= = ﹣，第3个等式：a3= =2﹣，第4个等式：a4= = ﹣2，按上述规律，回答以下问题：(1)请写出第n个等式：a n=________；(2)a1+a2+a3+…+a n=________．27、（2016•桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式S= （其中a，b，c是三角形的三边长，p= ，S为三角形的面积），并给出了证明例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：∵a=3，b=4，c=5∴p= =6∴S= = =6事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9(1)用海伦公式求△ABC的面积；(2)求△ABC的内切圆半径r．答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，二次根式的加减法【解析】【解答】解：A、由于3 ﹣=（3﹣1）=2 ≠3，故本选项错误；B、由于a6÷a3=a6﹣3=a3≠a2，故本选项错误；C、由于a2与a3不是同类项，不能进行合并同类项计算，故本选项错误；D、由于（3a3）2=9a6，符合积的乘方与幂的乘方的运算法则，故本选项正确．故选D．【分析】根据二次根式的加减法、同底数幂的除法、合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方的运算法则解答．本题考查了二次根式的加减法、同底数幂的除法、合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方的运算法则，熟记法则是解题的关键．2、【答案】D【考点】分母有理化【解析】【解答】==．故选D．【分析】根据二次根式的除法法则计算，再分母有理化．3、【答案】C【考点】二次根式的化简求值【解析】【解答】根据题意得：，解得：，则xy=12．故选C．【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．4、【答案】B【考点】二次根式的定义【解析】【解答】形如叫二次根式。
中考专题二次根式
22．
5 4 11
－
4 2 － ； 11 7 3 7
23．（a2
n ab － m m
mn ＋
n m
m n ）÷a2b2 ； n m
24．（ a ＋
b ab ab a b ）÷（ ＋ － ） （a≠b） ． a b ab ab b ab a
（五）求值： （每小题 7 分，共 14 分）
1 3
1 3
2 48 3
1 1 2） a a a a
2
2
⑵.
a b a b 2 ab a b a b
二．随堂练习
1. 计算及化简：
1 1 ⑴. a a a a
2 2
⑵.
a b a b 2 ab a b a b
8
1 x
1 2 ) 4 等于„„„„„„„„„（ x
（D）2x
2 x
（B）－
2 x
（C）－2x
中国领先的中小学教育品牌 19．化简
a3 ( a＜0 ) 得„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ a （A） a （B）－ a （C）－ a （D） a
（A） ( a b )
3 2 4a 2 1 与 6a 2 1 是同类二次根式，则 a ______ 2 3
知识点八：二次根式的化简和计算
1）因式的外移和内移 2）二次根式的加减法先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 3）二次根式的乘除法： （注整数的运算定律同样适用）
例：1） 2 12 3 1 5
）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ A.
【中考冲刺】初三数学培优专题 01 二次根式的化简与求值(含答案)(难)
二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】 当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简（1(ba b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】 （1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】 设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4. 若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A. x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1. 已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2. 已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3. 已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4. a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A . 1B . 2C . 3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把(1)a - ）A .B C. D . （武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得4x 2－4x －2 001＝0． 例2 (1)原式＝()aba b a b++()1ba b b a b⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦·a b b -＝2ab (2)原式＝()()()()257357257357+-++++＝26－5．(3)原式＝()()()()633326332+-+++＝316332+++＝62-；（4）原式＝()()()5332233323325231-+-+-++＝332-．例3 x ＋y ＝26，xy ＝1，于是x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝22，x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)＝426，x 6＋y 6＝(x 3＋y 3)2－2x 3y 3＝10582．∵0＜65-＜1，从而0＜()665-＜1，故10 581＜()665+＜10582． 例4 x ＋21x +＝211y y ++＝21y +－y …①；同理，y ＋21y +＝211x x ++＝21x +－x …②．由①＋②得2x ＝－2y ，x ＋y ＝0． 例5 (1)构造如图所示图形，PA ＝24x +，PB ＝()2129x -+．作A 关于l 的对称点A '，连A 'B 交l 于P ，则A 'B ＝22125+＝13为所求代数式的最小值． (2)设y ＝()2245x -+＋()2223x -+，设A (x ，0)，B (4，5)，C (2，3)．作C 关于x 轴对称点C 1，连结BC 1交x 轴于A 点．A 即为所求，过B 作BD ⊥CC 1于D 点，∴AC ＋AB ＝C 1B ＝2228+＝217． 例 6 m ＝()2212111a a -+-•+＋()2212111a a ---•+＝()211a -+＋()211a --．∵1≤a ≤2，∴0≤1a -≤1，∴－1≤1a -－1≤0，∴m ＝2．设S ＝m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S ＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S ＝211－2－94＋47＝1 999．A 级 1．1 2．52- 3．0 提示：令1997＝a ，1999＝b ，2001＝c ． 4． (17，833)，(68，612)，( 153，420) 5．B 6．C 7．B 8．A 9．(1)()2x y + (2)原式＝32625++-＝()()22325+-＝325++．(3)116- (4)532--(5)32+ 10．48提示：由已知得x 2 ＋5x ＝2，原式＝(x 2＋ 5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)． 11．由题设知x ＞0，(27913x x ++＋27513x x -+)(27913x x ++－27513x x -+)＝14x ．∴27913x x ++－27513x x -+＝2，∴227913x x ++＝7x ＋2，∴21x 2－8x－48＝0．其正根为x ＝127． 12．n ＝2 提示：xy ＝1，x ＋y ＝4n ＋2． B 级 1． 64 2．1 提示：仿例4，由条件得x ＝y ，∴(x －22008x -)2＝2 008，∴x 2－2008－x 22008x -＝0，∴22008x -(22008x -－x )＝0，解得x 2＝2 008．∴原式＝x 2－2 007＝1． 3．9554．1 提示：∵(32－1)a ＝2－1，即1a＝32－1． 5．B 提示：由条件得a ＋b 3＝3＋3，∴a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4． 6．B 提示：a －b ＝6－1－2＞322+－1－2＝0．同理c －a ＞0 7．B 8．B 9．D 提示：注意隐含条件a －1＜0． 10．(1)1 998 999. 5 提示：设k ＝2 000，原式＝212k k --． (2)910 提示：考虑一般情形()111n n n n +++＝1n －11n + (3)原式＝()()8215253532+-++-＝()()253253532+-++-＝53+．(4)2－53- 11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD ，BCMN ．设MP ＝x ，则CP ＝21x +，AP ＝()211x +-，AC ＝5，AM ＝2，∴AC ≤PC ＋PA ＜AM ＋MC ，，则5≤21x +＋()211x +-＜1＋2 12．设y ＝2841x x -+－2413x x -+＝()2245x -+－()2223x -+，设A (4，5)，B (2，3)，C (x ，0)，易求AB 的解析式为y ＝x ＋1，易证当C 在直线AB 上时，y 有最大值，即当y ＝0，x ＝－1，∴C (－1，0)，∴y ＝22． 13．33a bb c ++＝()()()()3333a bb cb c b c +-+-＝()222333ab bc bac b c -+--为有理数，则b 2 －ac ＝0．又a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋b 2)＝()2c b a ++－2b （a ＋b ＋c ）＝（a ＋b＋c ）（a －b ＋c ），∴原式＝a －b ＋c 为整数．。
(完整版)2016中考数学总复习：二次根式 人教版(精品教案)
第讲二次根式二次根式的有关概念二次根式一般地，形如(①）的式子叫做二次根式。
最简二次根式必须同时满足：()被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）.二次根式的性质两个重要的性质（）＝(②)．＝＝④（＜)。
))积的算术平方根＝·(≥，≥）。
商的算术平方根＝(≥,〉).二次根式的运算二次根式的加减先将各根式化为⑤,然后合并被开方数⑥的二次根式.二次根式的乘法·＝⑦（≥，≥）二次根式的除法＝⑧(≥,＞）二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方,再算⑨，最后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号）。
绝对值：；偶次幂：;非负数的算术平方根：（≥）是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：（)非负数形式有最小值为零；（）几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．命题点二次根式有意义的条件（·绵阳）要使代数式有意义，则的(）．最大值是．最小值是．最大值是．最小值是此命题点的考查多是在求函数自变量的取值范围中一同考查，另外需注意的是：若是使复合型的式子有意义，必须得使每个式子有意义．．(·宜昌）下列式子没有意义的是()．（·株洲）取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义（)．－．．．．(·内江)函数＝＋中自变量的取值范围是（）．≤．≤且≠．＜且≠ ．≠．(·乐山)函数＝的自变量的取值范围是．命题点二次根式的运算(·广元)计算:－－.【解答】对于二次根式的混合运算，其运算顺序同实数的运算顺序，即是先乘方，再乘除,最后加减．在二次根式的乘法运算中,若能使用整式乘法公式则尽量使用公式可使计算简便．运算结果一定要是最简二次根式．．（·安徽)计算×的结果是()．．．（·凉山）下列根式中,不能与合并的是（)．(·眉山)计算:－＝．．(·滨州)计算（＋）(－)的结果为．命题点非负数的性质(·资阳）已知：（＋）＋＝,则－－的值为．【思路点拨】首先根据非负数的性质可求出的值和－＝，进而可求出－－的值．本题主要考查非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为时，必须满足其中的每一项都等于.．（·攀枝花)已知实数,，满足＋＋＋＝，且为负数,则的取值范围是()．＞．＜．＞－．＜－．（·巴中）若、、为三角形的三边，且、满足＋（－）＝，则第三边的取值范围是．．(·巴中）若直角三角形的两直角边长为、，且满足＋－＝，则该直角三角形的斜边长为．．（·重庆卷)化简的结果是(）．．2 ．．．（·重庆卷)计算－的值是（)．．．．(·金华)在式子、、、中，可以取和的是()．（·宁夏）下列计算正确的是（)＋＝÷＝．(）－＝．（－)＝．(·济宁)如果＞,＋＜，那么下面各式：①＝，②·＝，③÷＝－,其中正确的是()．①②．②③．①③．①②③．（·南京）计算的结果是．．(原创)若最简二次根式与是同类二次根式，则＝，＝．．（·临沂）计算:(＋－）（－＋）．．已知、、满足＋＋（－）＝.()求、、的值；(）试问以、、为边能否构成三角形?如果能构成三角形，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．．(·随州)若代数式＋有意义，则实数的取值范围是（)．≠．≥．≠．≥且≠．(·孝感)已知＝－，则代数式(＋)＋(＋)＋的值是（)．．＋．－．(原创）对于任意不相等的两个实数、,定义运算※如下：※＝，如※＝＝.那么※＝．．观察下面的变形规律：＝－,＝－，＝－,＝－，…解答下面的问题：(）若为正整数，请你猜想＝；（）计算（＋＋＋…错误!）×(错误!＋)．参考答案考点解读考点①≥②≥③④－考点⑤最简二次根式⑥相同⑦⑧⑨乘除各个击破例题组训练≥例原式＝－－＝－（＋)－＝－－－＝－.题组训练。
2016年中考数学微测试系列专题04二次根式含解析北师大版
专题04 二次根式学校：___________姓名：___________班级：___________一、选择题：（共4个小题）1．【2015凉山州】下列根式中，不能与3归并的是（）A ．13B．13C．23D．12【答案】C．【解析】【考点定位】同类二次根式．2．【2015简阳镇金学区】下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．9 B．7 C．20 D．1 3【答案】B．【解析】试题分析：因为，因此选项A、C、D都不是最简二次根式，只有是最简二次根式，故选B．【考点定位】最简二次根式．3．【2015钦州】关于任意的正数m、n概念运算※为：m※n=))m n m nm n m n≥<，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A．246- B．2 C．25 D．20 【答案】B ． 【解析】【考点定位】1．二次根式的混合运算；2．新概念．4．【2015淄博】已知x =512-，y =512+，则22x xy y ++的值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．7【答案】B ．【解析】试题分析：原式=2()x y xy +-=251515151()2222-+-++-⋅=2(5)1-=51-=4．故选B． 【考点定位】二次根式的化简求值．二、填空题：（共4个小题）5．【2015资阳雁江区中考适应】要使式子121-x 在实数范围内成心义，则x 的取值范围是 ． 【答案】x ＞12． 【解析】 试题分析：依照题意，得2x -1＞0，解得，x ＞12． 【考点定位】1．二次根式成心义的条件；2．分式成心义的条件．6．【2015毕节】实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则2a ab --= ．【答案】b -．【解析】【考点定位】1．实数与数轴；2．二次根式的性质与化简．7．【2015乐山五通桥九年级调考】已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x ＝ 【答案】1． 【解析】试题分析：因为2＜x ＜3，因此x -2＞0，x -3＜0，因此3)2(2-+-x x =x -2+3-x =1．【考点定位】二次根式的性质与化简．8．【2015攀枝花】若332y x x =-+-+，则y x = ． 【答案】9．【解析】试题分析：332y x x =-+-+成心义，必需30x -≥，30x -≥，解得：x =3，代入得：y =0+0+2=2，∴y x =23=9．故答案为：9．【考点定位】二次根式成心义的条件．三、解答题：（共2个小题）9．【2015简阳镇金学区】有一道练习题是：关于式子2244a a a --+先化简，后求值，其中2a =．小明的解法如下： 2244a a a --+=22(2)a a --=2(2)a a --=2a +=22+．小明的解法对吗？若是不对，请更正．【答案】小明的解法不对．观点析．【解析】【考点定位】二次根式的性质与化简．10．【2015山西省】阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．任务：请依照以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．【答案】1，1．【解析】试题分析：别离把一、2代入式子化简即可．试题解析：第1个数，当n 1515(5+-55． 第2个数，当n 221515[((]225-625625[445+--55． 【考点定位】1．二次根式的应用；2．阅读型；3．规律型；4．综合题．。
【火线100天】(广西专版)2016中考数学复习集训第5讲二次根式
【火线100天】(广西专版)2016中考数学复习集训第5讲二次根式第5讲二次根式二次根式的有关概念二次根式的性质二次根式的运算1绝对值：|a|，偶次幂：a，非负数的算术平方根：a(a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：(1)非负数形式有最小值为零；(2)几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．命题点1二次根式有意义的条件(2022年贵港)x＋2在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．要使二次根式有意义，只需根号内的式子大于或等于零，即可求得结果．1x－3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( ) A．x3 B．x≥3 C．x－3 D．x≥－32．(2022年贵港)下列四个式子中，x的取值范围为x≥2的是( ) A.x－21x－2x－2C.x－22－x2n3x＋1＋2－x有意义的x的取值范围是( ) A．x≥－1 B．－1≤x≤2 C．x≤2 D．－1＜x＜2 命题点2 二次根式的运算1计算：1221483＝________. 3把二次根式被开方数中能开得尽方的因数或因式开方出来，或把被开方数的分母开方出来，化成最简二次根式后再按照运算顺序进行运算，运算结果一定要化为最简二次根式．1．(2022年贵港)计算×5的结果是( ) A.8 B.15 C．35 D．32．(2022年柳州模拟)下列运算中，结果正确的是( ) A．43－33＝1 B.23＝6 C．212 2127＝________. 3D.（－4）×（－9－4－9 3．(2022年河池)计算：4．计算：(92－522＝________. 52(2－3)＋6.21．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A.1 2B.4C.3D.82．(2022年达州)－2x＋4有意义，则实数x的取值范围是( ) A．x≥－2 B．x＞－2 C．x＜2 D．x≤23．(2022年崇左)下列根式中，与2是同类二次根式的是( ) A.12 B.8 C.6 D.324．(2022年连云港)计算（－3）的结果是( ) A．－3 B．3 C．－9 D．9 5．(2022年滨州)估计5在( )A．0～1之间B．1～2之间C．2～3之间D．3～4之间6．(2022年重庆A卷)12的结果是( ) A．43 B．3 C．32 D．67．(2022年泸州)已知实数x、yx－1＋|y＋3|＝0，则x＋y的值为( ) A．－2 B．2 C．4 D．－4 8．(2022年梧州)下列计算正确的是( )A.23＝5B.8＝42C．32－2＝3 D.23＝622229．(原创)32＝53＝35－3＝5－3＝5－3＝2；④3123.他拿给好朋友聪聪看，聪聪告诉他只做对了( ) A．4道B．3道C．2道D．1道10．若x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．11．(2022年衡阳)计算：8－2＝________. 12．(2022年威海)计算：45－2×50＝________. 513．(2022年自贡)化简：|3－2|＝________.14．(2022年龙岩)已知m、n为两个连续的整数，且11n，则m＋n＝________. 15．(2022年来宾)计算：－(－2)＋(1＋π)－|－2|＋8.316．(2022年钦州)对于任意的正数m、n，定义运算律为：m※n＝mn（mn），计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A．2－6 B．2 C．25D．20参考答案考点解读①a≥0 ②≥0 ③a ④－a ⑤最简二次根式各个击破例1 x≥－2题组训练1.B 2.C 3.B 例2 73题组训练 1.B 2.C 3.3 4.2 原式＝2×2－23＋6 ＝2－6＋6 ＝2. 整合集训C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.A 8.D 9.D 原式＝2＋1－2＋22 ＝3＋2. 16.B。
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考点一：二次根式的识别★方法导引★：判定二次根式的方法：（1）有二次根号“；（2）被开方数非负；例题1、当a 为实数时，下列各式中哪些是二次根式？ 10+a ，a ，2a ，12-a ，12+a ，2)1(-a . （答：a 、2a 、12+a 、2)1(-a ）强化训练《一》：1 ）．A ．4B ．3C ．2D ．12、下列各式中一定是二次根式的是（ ）A 、3-；B 、x ；C 、12+x ； D 、1-x3、下列各式一定是二次根式的是（ ） A.7- B.m C.12+a D.334不是二次根式的有考点二：二次根式有意义的条件★ 方法导引★：二次根式有意义的条件：被开方数非负；0a ≥）例题2．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）2+x －x 23-；（2）x -－11+x ； （3）2||12--x x ； 例题3．设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn = 。
强化训练《二》：1.（2015•滨州）如果式子有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是( )A .B .C .D . 2.（2015•绵阳）要使代数式有意义，则x 的（ ） A ．最大值是 B ．最小值是 C ．最大值是 D ．最小值是3.（2015•内江）函数y =+中自变量x 的取值范围是（ ） A ． x ≤2 B ．x ≤2且x ≠1 C ． x ＜2且x ≠1 D ． x ≠14．（2014·广州）若代数式1x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠ B ．0x ≥ C ．0x > D ．01x x ≥≠且5. x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2）121+-x （3）45++x x （4） （5）1213-+-x x (6).（7）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （8）若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。
6. 若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．7. 已知a 、b ，求a 、b 的值．8. 若2004a a -=，则22004a -=_____________； 9. 若433+-+-=x x y ，则=+y x 10.若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则y x =考点三：二次根式的非负性★ 方法导引★：a 的算术平方根0≥a例题4．已知a b c 、、满足2(0a c --=．(1)求a b c 、、的值；(2)判断以a b c 、、为边能否构成三角形?若能构成三角形，此三角形是什么形状?并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．强化训练《三》：1、若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<<m B 、2≥m C 、2<m D 、2≤m 2．若0125=+-+++b a b a ，则()=-2015a b （ ）A 、-1B 、1C 、52015D 、-52015 3、若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是4．（2015•资阳）已知：()260a +，则224b b a --的值为_________．5．若2(a 与|b ＋1|互为相反数，则1b a -的值为 6．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．7．已知a 、b 、c 是△ABC ()240b -=，则第三边c 的取值范围是__________8、已知,a b (10b -=，则20052006ab -=____________ 9．已知04412=+-+--b b b a ，求边长为b a ,的等腰三角形的周长．10．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xy y x +-2的值．考点四：二次根式性质的运用★方法导引★：（1）平方法则：2a = a ，当0a >时（2||a == 0， 当0a =时a -，当0a <时例题5、根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1）3)3(2+=+x x ；（2）x x -=2；（3）122+-x x ＝1－x ；例题6、已知2＜x ＜3，化简：例题7、如图，实数、________=强化训练《四》：1、若12x ）A. 21x -B. 21x -+C. 3D. -32、若23a 等于（ ）A.52a -B.12a -C.25a -D.21a -3、若3＜m ＜4 ） A ．7＋2m B ．2m －7 C ．7－2m D ．－1－2m4、实数,a b b -的结果是（ ）A ．1B ．b+1C ．2aD ．12a -5．一个三角形的三边长分别为1、k 、4，则化简|2k －5|－36122+-k k 的结果是（ ）A ．3k －11B ．k ＋1C ．1D ．11－3k 6、填空：（1）-=_________.（2）=（3）a 、b 、c 为三角形的三条边，则7、（2015•山东日照）若=3﹣x ，则x 的取值范围是 _______ ． 8、当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________． 9、把(a -(2)a -移到根号内得 ． 10、已知0＜x ＜111、若实数a 、b 、cb c c a -+-= ．12、已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：化简：||)(||22b b c c a a ---++-13、实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示：化简：a a b +14已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足.09622=+-+-b b a 试求△ABC 的c 边的长．考点五：最简二次根式★ 方法导引★：最简二次根式必须满足三个条件：（1）被开方数不能含分数或分式；（2）被开方数不能含开的尽方的因数或因式；（3）分母不含二次根式。
例题8、下列各式中属于最简二次根式的是（ ）．A ．12+xB ．52y x C ． 12 D ．5.0强化训练《五》： 1、下列根式中，是最简二次根式的是（ ）2、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A. C. D.3、 当a ＜0，b ＜0时，把b a 化为最简二次根式，正确的是（ ） A. －ab b 1 B. ab b 1 C.－ab b-1 D.ab b 4、在下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.5、下列根式： ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个6、在根式 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7、下列二次根式：①32，②5.0，③224b a +，④311a ，⑤25，⑥8中，是最简二次根式的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个考点六：同类二次根式★ 方法导引★判定几个根式是否为同类二次根式必须满足两个条件：（1）化成最简二次根式；（2）被开方数相同。
口诀：“一化，二看”例题9）例题10、若最简二次根式____,____==。
a b强化训练《六》：1、（2015•凉山）下列根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．2、（2014•中江县一模）下列根式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.3、下列根式中，与( )A B C D4a的值是( )A．4 B．5 C．6 D．85、下面说法正确的是（）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式6）7．若最简二次根式b a，b的值为（）A、a=0,b=2 B．a=2,b=0 C．a=－1 ,b=1 D．a=1,b=－28是同类二次根式的是。
9，则它的周长是 cm。
10、______a=。
考点七：二次根式的化简与计算★方法导引★：二次根式的化简与计算常用法则：（1）平方法则：2a =（2(0)a a =≥（30,0)a b ≥≥其中，，注：此法则含正用和逆用（40,0)a b =≥>其中，，注：此法则含正用和逆用 （5）二次根式加减法步骤：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式。
口诀：“一化，二找，三合并”例题11、计算：⑴.⑵(231⎛+ ⎝⑶. (()2771+-- ⑷. ((((22221111例题12、化简下列各式：（1（2强化训练《七》：1、下列计算正确的是（ ）A ．954=+B ．22-2-=）（ C ．6318=÷ D ．22223=-2、下列各式计算正确的是（ ）A ．1= C ．363332=⨯ D 33、下列计算错误的是（ ）A =B =C +=．3=4、下列式子中正确的是（ ）=a b =-C. (a b =-2== 5、（2013•佛山）化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6、（2014•绵阳三模）已知a=+2，b=，则a 与b 的关系是（ ）A.a=bB.ab=1C.a=﹣bD.ab=﹣17、计算：（1）331248++； （2）)3223)(3223(+-；（3）2+ （4）（235+-）（235--）．8、计算：（1）272833-+-； （2）22)2664(÷-；（3）（4）9、化简：(7－52)2014·(－7－52)2015＝______________． 10、化简下列各式：（1 （2）（3 （4）227614⨯÷)7581()3125.0(---考点八：关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题★方法导引★a ，则a 。
例题13、已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值例题14、若a ，b 为有理数，且8+18+81=a+b 2，则b a = .强化训练《八》：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 2．(2015•南京)估计介于（ ） A ．0.4与0.5之间 B ．0.5与0.6之间 C ．0.6与0.7之间 D ．0.7与0.8之间3、（2015•自贡）若两个连续整数x y 、 满足x 1y <，则x y +的值是4、若m 3，则估计m 的值所在的范围是A ． 2＜m ＜3B ． 1＜m ＜2C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜55、x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．6） A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间 7、10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是______8、设4-2的整数部分为a ，小整数部分为b ，则ba 1-的值为_______ 9、已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn ＋bn 2＝1，则2a ＋b ＝__________。