备战2019高考数学苏教版必修四提素能高效演练讲义：第2章 平面向量 2.2.3 Word版含答案
苏教版高中数学必修4第2章 平面向量().docx
第2章平面向量（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）1.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量OD等于.2. 有下列四个关系式：①|a·b|=|a|·|b|;②|a·b|≤|a|·|b|;③|a·b|≥|a|·|b|;④|a·b|≠|a|·|b|.其中正确的关系式是.3.在△ABC中，AB边上的高为CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则AD= .4.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|= .5.设x，y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= .6.设a=(13，tan )，b=(cos ，32)，且a∥b，则锐角的值为.7.点P为△ABC所在平面内任一点，且PA+PB+PC=AB，则点P与△ABC的位置关系是.8.对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是.○1若a·b=0，则a=0或b=0;○2若λa=0，λ=0或a=0;○3若a2=b2，则a=b或a=-b;○4若a·b=a·c，则b=c.9. 在△ABC所在平面存在一点O使得OA+ OB + OC= 0，则面积= .10.若将向量a=（1，2）绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b，则b的坐标是.11.已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.12.已知点A（1，-2），若向量AB与a=（2，3）同向，|AB|=213，则点B的坐标为.13. 设OA=(3，1)，OB=(-1，2)，OC⊥OB, BC ∥OA,又OD+OA=OC，则OD的坐标是.14.若对n个向量a1，a2，…，a n存在n个不全为零的实数k1,k2,…,k n，使得k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立，则称向量a1,a2,…,a n为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,2),a2=(1,-1)，a3=(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15.(15分)设a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）. 16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）=2222()()x a b x c d+++-+的最小值.17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b ＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=m b+n c的实数m,n；（2）若（a+k c）∥(2b-a)，求实数k；（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d. 18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-k a+t b垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；（2）求函数k=f（t）的最小值.19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）第2章平面向量（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15.16. 17. 18. 19.第2章 平面向量（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. a +c -b 解析：如图，点O 到平行四边形三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ， 结合图形有OD =OA +AD =OA +BC =OA +OC -OB =a +c -b .2. ○2 解析：|a ·b |=|a ||b ||cos θ|≤|a |·|b |,其中θ为a 与b 的夹角.3.45a -45b 解析：利用向量的三角形法则求解. 如图，∵ a ·b =0，∴ a ⊥b ，∴ ∠ACB =90°， ∴ AB =22AC BC +=5.又CD ⊥AB ,∴ AC 2=AD ·AB ，∴ AD =455. A DOB CC b aA D B∴ AD =45AB =45（a -b ）=45a -45b . 4.5 解析：｜a +b ｜2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=50，即5+2×10+|b |2=50,∴ |b |=5.5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解. ∵ a =（x ,1）,b =（1,y ）,c =（2,-4）, 由a ⊥c 得a ·c =0,即2x-4=0,∴ x =2. 由b ∥c ,得1×（-4）-2y =0,∴ y =-2. ∴ a =（2,1）,b =（1,-2）.∴ a +b =（3,-1）,∴ |a +b |=223(1)+-=.6.π6解析：∵ a ∥b ，∴ 13×32-t a n cos =0，即sin =12，∴ =π6.7. P 在AC 边上 解析：∵ PA +PB +PC =AB ，∴ PA +PC =AB +BP =AP ，即PC =2AP . ∴ A 、C 、P 三点共线，即P 在AC 边上. 8.○2 解析：取a =（1，0），b =（0，-1），满足条件a ·b =0，a 2=b 2，但不能推得a =0或b =0，a =b 或a =-b ，故选项○1、○3均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项○4假. 9.13解析：∵ OA + OB + OC = 0 ，∴ OB + OC = AO ， 设 OB + OC =OD ， ∴O 是AD 的中点， 要求面积之比的两个三角形是同底的三角形， ∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是13， 10. （22-，322） 解析：设b =（x ，y ），则|b |=|a |=，a ·b =|a ||b |·cos π4=××22=522，即x 2+y 2=5，x+2y =522，解得x =22-，y =322（舍去x =322，y =22）.故b =（22-，322）. 11.-25 解析：∵|AB |2+|BC |2=|CA |2，∴ △ABC 为直角三角形，AB ⊥BC ， cos A =35，cos C =45. ∴原式=3×4×0+4×5×(45-)+5×3×(35-)=25-.12.（5，4） 解析：设AB =（x ，y ），∵ AB 与a 同向， ∴ AB =λa （λ>0），即（x ，y ）=λ（2，3）.∴ 2,3.x y λλ=⎧⎨=⎩又|AB |=2，∴ x 2+y 2=52.∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）.∴ 点B 的坐标为（5，4）.13. 1 解析：设OC =(x ,y ),由OC ⊥OB ,得-x+2y =0.① 由BC =OC -OB =(x+1,y-2), BC ∥OA , 得(x+1)-3(y-2)=0.②由①②联立，解得x =14,y =7.故OD =OC -OA =(14，7)-(3，1)=(11，6).14.只要写出-4c ,2c ,c (c ≠0)中一组即可，如-4，2，1等 解析：由k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3＝0得12313,12323,20,421002k k k k k k k k k k ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴ k 1=-4c ,k 2=2c ,k 3=c (c ≠0). 二、解答题15.证明：引入向量a =（a ，b ），b =（c ，d ）. 设向量a 、b 的夹角为，则（ac+bd ）2=（a ·b ）2=（|a ||b |cos ）2≤（|a ||b |）2=（a 2+b 2）（c 2+d 2）. 16.解：引入向量a =（x+a ，b ），b =（c-x ，d ）， 则原函数变为f （x ）=|a |+|b |.∴ f （x ）=|a |+|b |≥|a +b |=22()()x a c x b d ++-++=22()()a c b d +++. ∴ 函数f （x ）的最小值为22()()a c b d +++. 17.解：（1）因为a =m b +n c ,所以（3，2）＝（-m+4n ,2m+n ）,所以5,43,9228.9m m n m n n ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩（2）因为（a +k c ）∥(2b -a ),又a + k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), 所以2（3+4k ）+5（2+k ）＝0，即k =-1613. （3）因为d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4), 又（d -c ）∥(a +b ),|d -c |=1，所以22554,4,4(4)2(1)0,55(4)(1)1,25251,155x x x y x y y y ⎧⎧=+=-⎪⎪---=⎧⎪⎪⎨⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=+=-⎪⎪⎩⎩解得或.所以d =（5254,155++）,或d =（5254,155--）. 18.解：（1）∵ a ⊥b ，∴ a ·b =0.又x ⊥y ，∴ x ·y =0，即［a +（t-3）b ］·（-k a +t b ）=0，-k a 2-k （t-3）a ·b +t a ·b +t （t-3）b 2=0. 将|a |=2，|b |=1代入上式得-4k+t 2-3t =0， 即k =f （t ）=14（t 2-3t ）. （2）由（1）知k =f （t ）=14（t 2-3t ）=14（t-32）2916-, ∴ 当t =32时，k 最小=916-. 19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v 1|2=| v |2+| v 2|2，得| v |=2212-v v =22104-≈9.2（km/h ）. ∵ cos （π-）=21v v =410=25，∴ π-≈1130π，即≈1930π=114°，时间t =d v ≈0.59.2=592（h ）,即约3.3 min. 答：v 1与v 2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B 处，大约行驶3.3 min.v 1 vA v 2。
苏教版数学必修四同步讲义：2.平面向量 章末复习提升课
章末复习提升课1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.1．有关向量的注意点 (1)零向量的方向是任意的．(2)平行向量无传递性，即a ∥b ，b ∥c 时，a 与c 不一定是平行向量． (3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量． 2．向量的运算律中注意点(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b )c ≠a (b·c )．平面向量的线性运算(1)已知A ，B ，C 三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，若pOA →＋qOB →＋rOC →＝0，其中p ，q ，r ∈R ，则p ＋q ＋r ＝________．(2)设坐标平面上有三点A ，B ，C ，i ，j 分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向的单位向量，若向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，那么是否存在实数m ，使A ，B ，C 三点共线？【解】 (1)因为A ，B ，C 三点在同一条直线l 上，所以存在实数λ使AB →＝λAC →，所以OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，(λ－1)OA →＋OB →－λOC →＝0.因为pOA →＋qOB →＋rOC →＝0，所以p ＝λ－1，q ＝1，r ＝－λ，p ＋q ＋r ＝0.故填0.(2)法一：假设满足条件的m 存在，由A ，B ，C 三点共线，即AB →∥BC →， 所以存在实数λ，使AB →＝λBC →，i －2j ＝λ(i ＋m j )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，解得m ＝－2，所以当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线．法二：假设满足条件的m 存在，根据题意，可知i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，所以AB →＝(1，0)－2(0，1)＝(1，－2)，BC →＝(1，0)＋m (0，1)＝(1，m )．由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →，故1×m －1×(－2)＝0，解得m ＝－2，所以当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线．平面向量的数量积在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 【解】 (1)由题意知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)， 则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为210，4 2.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )，由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，即(－2)(3＋2t )＋(－1)(5＋t )＝0.从而5t ＝－11，所以t ＝－115.平面向量的实际应用平面内三个力F 1，F 2，F 3作用于同一点，且处于平衡状态，已知F 1，F 2的大小分别为1 N ，6＋22N ，F 1与F 2的夹角是45°，求F 3的大小及F 3与F 1的夹角．【解】 如图所示，按向量加法的平行四边形法则作F 1，F 2的合力F ， 则F 3＝－F ，F ＝F 1＋F 2. 因为F 1与F 2的夹角是45°， 所以|F |2＝|F 1＋F 2|2 ＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2 ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＋2|F 1||F 2|cos 45° ＝1＋(2＋3)＋2×1×6＋22×22＝23＋4＝(3＋1)2，所以|F |＝3＋1，即F 3的大小为(3＋1)N.设F 1与F 的夹角为θ， 则F 1·F ＝|F 1||F |cos θ＝1×(3＋1)×cos θ＝(3＋1)cos θ.又因为F 1·F ＝F 1·(F 1＋F 2)＝|F 1|2＋|F 1||F 2|cos 45°＝1＋1×6＋22×22＝3＋32， 所以(3＋1)cos θ＝3＋32，即cos θ＝32.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°，所以F 3与F 1的夹角为150°.故F 3的大小为(3＋1)N ，F 3与F 1的夹角为150°.1．已知a ＝(1，2)，2a －b ＝(3，1)，则a ·b ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D ．由已知得a·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2|a |2－a·b ＝2×5－a·b ＝3＋2，故a·b ＝10－5＝5.2．已知e 1，e 2是单位向量，m ＝e 1＋2e 2，n ＝5e 1－4e 2，若m ⊥n ，则e 1与e 2的夹角为( ) A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4解析：选B ．因为m ⊥n ，|e 1|＝|e 2|＝1，所以m·n ＝(e 1＋2e 2)·(5e 1－4e 2)＝5e 21＋6e 1·e 2－8e 22＝－3＋6e 1·e 2＝0.所以e 1·e 2＝12.设e 1与e 2的夹角为θ，则cos θ＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.3．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________． 解析：由已知得(k a －2b )·a ＝0，[k (1，1)－2(2，－3)]·(1，1)＝0， 即(k －4，k ＋6)·(1，1)＝0，k －4＋k ＋6＝0，所以k ＝－1. ★答案★：－14.如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，点F 在BC 上，且BF ＝13BC ．(1)以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →. 解：(1)由已知得AM →＝AD →＋DM →＝12a ＋b .HF →＝HD →＋DC →＋CF →＝12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－23b ＝a －16b . (2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×⎝⎛⎭⎫－12＝－6， 从而AM →·HF →＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113.[学生用书P115(单独成册)])[A 基础达标]1．已知向量AB →与向量BC →共线，下列关于向量AC →的说法中，正确的为( )A ．向量AC →与向量AB →一定同向B ．向量AC →，向量AB →，向量BC →一定共线 C ．向量AC →与向量BC →一定相等 D ．以上说法都不正确解析：选B ．根据共线向量的定义，可知AB →，BC →，AC →这三个向量一定为共线向量，故选B ．2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →解析：选A ．法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB→＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A ．法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A ．3．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：选C ．设向量a 与b 的夹角为θ，因为a ＋b ＋c ＝0， 所以c ＝－(a ＋b )，所以c 2＝(a ＋b )2， 即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ，所以19＝4＋9＋12cos θ，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以a 与b 的夹角为60°.4．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC→＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选A ．因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2)＝4×⎝⎛⎭⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2. 5．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3解析：选A ．以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝⎛⎭⎫－12，32，设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →＝⎝⎛⎭⎫32，m －32，AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝⎛⎭⎫32，m －32·⎝⎛⎭⎫－12，32＝0，即32×⎝⎛⎭⎫－12＋32⎝⎛⎭⎫m －32＝0， 解得m ＝3，即C (1，3)，因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y 1－x＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎡⎦⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎡⎦⎤32，538上单调递减，在⎝⎛⎦⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝⎛⎭⎫5382－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，故选A ．6．已知平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________． 解析：由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12. 所以|a ＋2b |＝2 3. ★答案★：2 37．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →方向相同的单位向量的坐标为________． 解析：AB →＝(3，－4)，所以与向量AB →方向相同的单位向量 n ＝（3，－4）9＋16＝（3，－4）5＝⎝⎛⎭⎫35，－45. ★答案★：⎝⎛⎭⎫35，－458．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．解析：因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.★答案★： 459．已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)． 求：(1)a ·b 和||a ＋b 的值； (2)a 与b 夹角θ的余弦值．解：由已知，a ＝(3，－2)，b ＝(4，1) (1)a ·b ＝10；||a ＋b ＝|(7，－1)|＝5 2. (2)cos θ＝a ·b ||a ·||b ＝10221221.10．已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形． 证明：因为OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0， 所以OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，所以(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，所以|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，所以OP 1→·OP 2→＝－12， 又cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，所以∠P 1OP 2＝120°. 所以|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝（OP 2→－OP 1→）2＝OP 1→2＋OP 2→2－2OP 1→·OP 2→＝ 3.同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 故△P 1P 2P 3是等边三角形．[B 能力提升]1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________． 解析： 由于a ＋λb ＝(1＋λ，2)，故(a ＋λb )∥c ⇒4(1＋λ)－6＝0， 解得λ＝12.★答案★：122.如图，正六边形ABCDEF 的边长为3，则AC →·DB →＝________． 解析：因为||AC →＝||DB→＝2·3 cos 30°＝3，AC →，DB →夹角为120°， 所以AC →·DB →＝3×3×cos 120°＝－92.★答案★：－923．如图，在△ABC 中，CD →＝2DB →.(1)若AD →＝xAB →＋yBC →(x 、y 为实数)，求x 、y 的值； (2)若AB ＝3，AC ＝4，∠BAC ＝60°，求AD →·BC →的值． 解：(1)因为CD →＝2DB →， 所以AD →－AC →＝2(AB →－AD →)， 所以AD →＝23AB →＋13AC →.又因为AD →＝xAB →＋yBC →＝(x －y )AB →＋yAC →， 所以23AB →＋13AC →＝(x －y )AB →＋yAC →.因为AB →与AC →不共线，所以⎩⎨⎧x －y ＝23，y ＝13，所以x ＝1，y ＝13.(2)AD →·BC →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →)＝13AB →·AC →－23AB →2＋13AC →2＝43.4．(选做题)在四边形ABCD 中，已知BC →∥DA →，AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．(1)求x 与y 的关系式；(2)若AC →⊥BD →，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积．解：(1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，所以DA →＝－AD →＝(－x －4，2－y )．又因为BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)．因为AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，则BC →＝(－6，3)，AC →＝(0，4)，BD →＝(－8，0)．所以|AC →|＝4，|BD →|＝8，所以S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16.当y ＝－1时，x ＝2， 则BC →＝(2，－1)，AC →＝(8，0)，BD →＝(0，－4)． |AC →|＝8，|BD →|＝4，S 四边形ABCD ＝16.综上可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，S 四边形ABCD ＝16.。
备战2019高考数学苏教版必修四提素能高效演练讲义：第2章 平面向量 2.5 Word版含答案
§2.5向量的应用学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．知识点一几何性质与向量的关系设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.思考1 证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案可用向量共线的相关知识：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．思考2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案可用向量垂直的相关知识：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.梳理平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．知识点二向量方法解决平面几何问题的步骤1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．3．把运算结果“翻译”成几何关系．知识点三物理中的量和向量的关系1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加法运算与减法运算．1．功是力F与位移S的数量积．( √)2．力的合成与分解体现了向量的加减法运算．( √)3．某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直．( √)类型一用平面向量求解直线方程例1 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．解 (1)由已知得点D (－1，1)，E (－3，－1)，F (2，－2)，设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →. DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)．∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程． 同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点， 则CN →⊥AB →. ∴CN →·AB →＝0.又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4，4)． ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程．反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．跟踪训练1 在△ABC 中，A (4，1)，B (7，5)，C (－4，7)，求∠A 的平分线所在的直线方程． 解 AB →＝(3，4)，AC →＝(－8，6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为a ＝AB→|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，75. 设P (x ，y )是角平分线上的任意一点， ∵∠A 的平分线过点A ，∴AP →∥a ， ∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得7x ＋y －29＝0.类型二 用平面向量求解平面几何问题例2 已知在正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB .证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，E (1，2)，F (0，1)．(1)∵BE →＝(－1，2)，CF →＝(－2，－1)． ∴BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设点P 坐标为(x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)， FC →＝(2，1)，∵FP →∥FC →，∴x ＝2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.∴|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|， 即AP ＝AB .反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路： (1)向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系．②把相关向量坐标化．③用向量的坐标运算找出相应关系．④把几何问题向量化．跟踪训练2 如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，连结DP ，EF ，求证：DP ⊥EF .证明 方法一 设正方形ABCD 的边长为1，AE ＝a (0<a <1)，则EP ＝AE ＝a ，PF ＝EB ＝1－a ，AP ＝2a ， ∴DP →·EF →＝(DA →＋AP →)·(EP →＋PF →) ＝DA →·EP →＋DA →·PF →＋AP →·EP →＋AP →·PF →＝1×a ×cos180°＋1×(1－a )×cos90°＋2a ×a ×cos45°＋2a ×(1－a )×cos45° ＝－a ＋a 2＋a (1－a )＝0. ∴DP →⊥EF →，即DP ⊥EF .方法二 如图，以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为1，AP ＝λ(0<λ<2)，则D (0，1)，P ⎝⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝⎛⎭⎪⎫22λ，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，22λ.∴DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，22λ－1，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22λ，22λ．∴DP →·EF →＝22λ－12λ2＋12λ2－22λ＝0，∴DP →⊥EF →，即DP ⊥EF .类型三 向量在物理学中的应用命题角度1 向量的线性运算在物理中的应用例3 (1)在重300N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．解 如图，两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300N ，∠AOC ＝30°， ∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°， ∠AOC ＝30°， 则∠OAC ＝90°，从而|OA →|＝|OC →|·cos30°＝1503(N)， |AC →|＝|OC →|·sin30°＝150(N)， 所以|OB →|＝|AC →|＝150(N)．答 与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N. (2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/h ，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．解 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v 1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v 2|＝20(km/h)，设帆船行驶的速度为v ， 则v ＝v 1＋v 2.由题意，可得向量v 1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10，103)，向量v 2＝(20，0)， 则帆船的行驶速度为v ＝v 1＋v 2＝(10，103)＋(20，0)＝(30，103)，所以|v |＝302＋(103)2＝203(km/h)．因为tan α＝10330＝33(α为v 和v 2的夹角，且为锐角)，所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为203km/h.反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算．第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算．跟踪训练3 河水自西向东流动的速度为10km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为103km/h ，求小船的实际航行速度．解 设a ，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作矩形OACB ，连结OC →，如图，则OC →＝a ＋b ，并且OC →即为小船的实际航行速度．∴|OC →|＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＝20(km/h)， tan ∠AOC ＝10310＝3，∴∠AOC ＝60°，∴小船的实际航行速度为20km/h ，按北偏东30°的方向航行． 命题角度2 向量的数量积在物理中的应用例4 已知两恒力F 1＝(3，4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20，15)移动到点B (7，0)．(1)求力F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求力F 1，F 2的合力F 对质点所做的功． 解 (1)AB →＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)． ∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99J 和－3J. (2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)． ∴合力F 对质点所做的功为－102J.反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．跟踪训练4 一个物体受到同一平面内的三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m ，其中|F 1|＝2N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6N ，方向为北偏西30°，求合力F 所做的功．解 以O 为原点，正东方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示．则F 1＝(1，3)，F 2＝(23，2)，F 3＝(－3，33)，所以F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(23－2，2＋43)． 又因为位移s ＝(42，42)，所以合力F 所做的功为W ＝F ·s ＝(23－2)×42＋(2＋43)×42＝42×63＝246(J)．即合力F 所做的功为246J.1．已知一个物体在大小为6N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________J. 答案 300解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉＝6×100×cos60°＝300(J)．2．过点A (2，3)，且垂直于向量a ＝(2，1)的直线方程为________________． 答案 2x ＋y －7＝0解析 设P (x ，y )为直线上一点，则AP →⊥a ，即(x －2)×2＋(y －3)×1＝0，即2x ＋y －7＝0. 3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N ，则每根绳子的拉力大小为______N.答案 10解析 设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角， 且|F 1|＝|F 2|.∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10N ， ∴每根绳子的拉力都为10N.4.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．答案 22解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD→－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD 2→－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.5．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 连结AO ，∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →， ∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.又∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．一、填空题1．在△ABC 中，已知A (4，1)，B (7，5)，C (－4，7)，则BC 边的中线AD 的长是________．答案552解析 ∵BC 的中点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，5， ∴|AD →|＝552.2．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3，2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4＝________. 答案 (1，2)解析 ∵物体平衡，∴F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0，∴F 4＝－F 1－F 2－F 3＝－(－2，－1)－(－3，2)－(4，－3)＝(1，2)．3．一条河宽为800m ，一船从A 处出发垂直到达河正对岸的B 处，船速为20km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________min. 答案 3解析 ∵v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2， |v 1|＝20，|v 2|＝12， ∴|v 实际|＝|v 1|2－|v 2|2＝202－122＝16(km/h)． ∴所需时间t ＝0.816＝0.05(h)＝3(min)．∴该船到达B 处所需的时间为3min.4．在四边形ABCD 中，若AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为________． 答案 5解析 ∵AC →·BD →＝0， ∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5.5．已知△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点分别为D (1，2)，E (3，4)，F (5，6)，则顶点A 的坐标是________．答案 (7，8)解析 设点A 的坐标为(x ，y )．由已知得DF →＝(4，4)， EA →＝(x －3，y －4)．∵DF →∥EA →且|DF →|＝|EA →|，∴⎩⎪⎨⎪⎧4(y －4)＝4(x －3)，(x －3)2＋(y －4)2＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.∵DF →与EA →同向，故(－1，0)舍去，∴A 点的坐标为(7，8)．6．过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是____________________． 答案 5x －3y －21＝0解析 设P (x ，y )为直线上异于A 的任意一点，∴AP →＝(x －3，y ＋2)，又AP →⊥n ，∴5(x －3)－3(y ＋2)＝0，即5x －3y －21＝0.7．在▱ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________． 答案 12解析 设AB 的长为a (a ＞0)，因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(AD →－12AB →)＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1. 由已知，得－12a 2＋14a ＋1＝1，又因为a ＞0，所以a ＝12，即AB 的长为12.8．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则(AE →＋AF →)·BD →＝________. 答案 －92解析 如图，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1)， ∴C (2，1)．∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，F (1，1)， ∴AE →＋AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，BD →＝(－2，1)，∴(AE →＋AF →)·BD →＝3×(－2)＋32×1＝－92.9．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 －12解析 如图，作OD ⊥AB 于点D ，则在Rt △AOD 中，OA ＝1，AD ＝32，所以∠AOD ＝60°，∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos120°＝1×1×(－12)＝－12.10．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3AM →－AB →－AC →＝0，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________． 答案 1∶3解析 如图，D 为BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．因为3AM →－AB →－AC →＝0，所以3AM →＝2AD →， 所以AM →＝23AD →，所以S △ABM ＝23S △ABD ＝13S △ABC .二、解答题11．在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解 如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB →＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC →|＝|AB →|＝12.5，|AD →|＝25， 所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.12．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，求AE →·AF →的最小值．解 在等腰梯形ABCD 中，由AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos60°＋2×19λ＋λ×1×1×cos60°＋λ·19λ×cos120°＝29λ＋λ2＋1718，由对勾函数的性质知AE →·AF →≥229λ·λ2＋1718＝2918， 当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23(舍负)时，取得最小值2918.13.如图所示，在正三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 上的一个三等分点，且分别靠近点A ，点B ，且AE ，CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .证明 设PD →＝λCD →，并设△ABC 的边长为a ，则有 PA →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ(23BA →-BC →)13BA →＝13(2λ＋1)BA →－λBC →， EA →＝BA →－13BC →.∵PA →∥EA →，∴13(2λ＋1)BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →.于是有⎩⎪⎨⎪⎧13(2λ＋1)＝k ，λ＝13k ，解得λ＝17.∴PD →＝17CD →，∴BP →＝BC →＋CP →＝17BC →＋47BA →，CD →＝23BA →－BC →，从而BP →·CD →＝(17BC →＋47BA →)·(23BA →－BC →)＝821a 2－17a 2－1021a 2cos60°＝0，∴BP →⊥CD →， ∴BP ⊥DC . 三、探究与拓展14．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为________． 答案 2解析 由题意得，AD →·AB →＝52，∵DB →2＝(DA →＋AB →)2＝DA →2＋2DA →·AB →＋AB →2 ＝DA →2＋AB →2－2AD →·AB →＝DA →2＋9－2×52＝5.∴DA →2＝1 ∴AD ＝|DA →|＝1，∴AC ＝2.15．如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4，1)，C (6，8)．(1)求顶点D 的坐标；(2)若DE →＝2EC →，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标． 解 (1)设点D (m ，n )，因为AD →＝BC →， 所以(m ，n )＝(6，8)－(4，1)＝(2，7)， 所以顶点D 的坐标为(2，7)．(2)设点I (x ，y )，则点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72， 由于DE →＝2EC →，故(x E －2，y E －7)＝2(6－x E ，8－y E )，所以E ⎝⎛⎭⎪⎫143，233，由于BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，52，BI →＝(x －4，y －1)，BF →∥BI →，所以52(x －4)＝－3(y －1)，①又AE →∥AI →，所以233x ＝143y ，②解①②得x ＝74，y ＝238.则点I 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，238.。
苏教版必修四第2章平面向量作业题及答案解析：2.2.1
§2.2 向量的线性运算 2．2.1 向量的加法课时目标 1．理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义正确作出两个向量的和．1．向量的加法的定义已知向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则向量OB →叫做a 与b 的和，记作________．即a ＋b ＝OA →＋AB →＝________. 求两个向量和的运算叫做向量的加法． 2．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量________叫做a 与b 的和(或和向量)，记作________，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝________＋________＝________. (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线的非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OC →＝b ，则O 、A 、C 三点不共线，以________，________为邻边作________________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． (3)多边形法则已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的________为始点，第n个向量的________为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．即A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n A n ＋1＝____________.这个法则叫做向量求和的多边形法则． 3．向量加法的运算律(1)交换律:a ＋b ＝________________.(2)结合律:(a ＋b )＋c ＝________________.一、填空题1．化简AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝________.2．已知菱形ABCD 的边长为1，∠BAD ＝120°，则向量AB →＋AD →的模为________．3．在正六边形ABCDEF 中，AB →＝a ，F A →＝b ，则EC →＝________.(用a ，b 表示)4．如图所示，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论不正确的是______．(填相应结论的序号)①AB →＝CD →，BC →＝DA →； ②AD →＋OD →＝DA →； ③AO →＋OD →＝AC →＋CD →； ④AB →＋BC →＋CD →＝DA →.5．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状一定是________．6．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则|AB →＋BC →＋AC →|＝________. 7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝________.8．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝________.9.设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式 (1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________.10．已知△ABC 是正三角形，给出下列等式: ①|AB →＋BC →|＝|BC →＋CA →|； ②|AC →＋CB →|＝|BA →＋BC →|； ③|AB →＋AC →|＝|CA →＋CB →|； ④|AB →＋BC →＋AC →|＝|CB →＋BA →＋CA →|.其中正确的有______．(写出所有正确等式的序号) 二、解答题11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12.如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证:四边形AECF 是平行四边形．能力提升13．已知|AB →|＝3，|BC →|＝5，则|AC →|的取值范围是__________．14．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝__________.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．§2.2 向量的线性运算 2．2.1 向量的加法知识梳理1．a ＋b OB →2．(1)AC → a ＋b AC →0 a a(2)OA OC 平行四边形 OB →(3)始点 终点 3．(1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计 1．0解析 原式＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝0.2．1解析 ∵AB →＋AD →＝AC →，且△ABC 为等边三角形， ∴|AB →＋AD →|＝|AC →|＝1. 3．a ＋b解析 EC →＝FB →＝F A →＋AB →＝a ＋b . 4．①②④ 5．平行四边形解析 ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，∴BC →＝AD →. ∴四边形ABCD 为平行四边形． 6．213解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →| ＝2AB 2＋BC 2＝213. 7.BC →解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋AB →＋BA →＝BC →. 8．2解析 |AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.9．(1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →或AB → 10．①③④解析 AB →＋BC →＝AC →，BC →＋CA →＝BA →， 而|AC →|＝|BA →|，故①正确； |AB →|≠|BA →＋BC →|，故②不正确； 画图可知③，④正确． 11．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5. ∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等， 所以四边形AECF 是平行四边形． 13．[2,8]解析 |AC →|＝|AB →＋BC →|≤|AB →|＋|BC →|＝8， 且|AC →|＝|AB →＋BC →|≥||AB →|－|BC →||＝2.∴2≤|AC →|≤8. 14．0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.。
备战2019高考数学苏教版必修四提素能高效演练讲义：第2章 平面向量 2.1 Word版含答案
§2.1向量的概念及表示学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一向量的概念思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．梳理向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．知识点二向量的表示方法思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案可以用一条有向线段表示．思考2 0的模是多少？0有方向吗？答案0的模为0，方向任意．思考3 单位向量的模是多少？答案单位向量的模为1个单位长度．梳理(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用粗体a ，b ，c ，书写时用a →， b →， c →)．(3)向量AB →的大小，也就是向量AB →的长度(或称模)，即有向线段AB →的长度，记作|AB →|.长度为0的向量称为零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 知识点三 向量间的关系思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？它们共线吗？ 答案 因为向量AB →和向量BA →方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？答案 不一定．因为当b ＝0时，a ，c 可以是任意向量． 梳理 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b . ②规定：零向量与任一向量平行．(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．1．向量就是有向线段．( × )提示 向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段． 2．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b .( × )提示 a 与b 都是单位向量，则|a |＝|b |＝1，但a 与b 方向可能不同． 3．若a ＝b ，且a 与b 的起点相同，则终点也相同．( √ )提示 若a ＝b ，则a 与b 的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同．类型一 向量的概念例1 下列说法中，正确的是． ①向量AB →与向量BA →的长度相等；②两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同； ③零向量没有方向；④两个相等向量的起点相同，则终点也相同． 答案 ①④解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；故②③都错误，①④正确．反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．跟踪训练1 下列说法正确的有．(填序号) ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一条直线上； ③向量AB →与BA →是平行向量． 答案 ③解析 ①错误．|a |＝|b |仅说明a 与b 的模相等，不能说明它们方向的关系．②错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上，因此点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上． ③正确．向量AB →和BA →是长度相等，方向相反的两个向量． 类型二 共线向量与相等向量例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．解 (1)因为E ，F 分别是AC ，AB 的中点， 所以EF ∥12BC ，EF ＝12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →与CD →.反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反．(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．跟踪训练2 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →共线的向量有哪些？解 (1)与OA →的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．(2)存在．由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →的长度相等、方向相反的向量有AO →，OD →，FE →，BC →，共4个．(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，共9个． 类型三 向量的表示及应用例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →，BC →，CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， ∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200km.反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．1．下列结论正确的个数是．①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④若|a |>|b |，则a >b . 答案 1解析 ①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a ，b 中有一个为零向量，则a 与b 必共线，故a 与b 不共线，则应均为非零向量，故③对． 2．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同； ②若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；③由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行． 其中，正确说法的个数是． 答案 1解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b 有共线的可能，故②错误；对于③，因为零向量与任一向量平行，故③错误．3．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积为． 答案 3π解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π. 4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →，AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量．解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →.(2)DA →，CF →，FC →.1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．一、填空题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有个． 答案 4解析 ②③④⑤是向量．2．下列说法中正确的个数是．①一个向量方向不确定当且仅当模为0；②共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；③单位向量的模都相等． 答案 23．已知|AB →|＝1，|AC →|＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC →|＝. 答案3解析 由勾股定理可知，BC ＝AC 2－AB 2＝3，所以|BC →|＝ 3.4.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则图中所示向量与向量AD →相等的向量为；图中所示向量与向量OA →共线的向量为；图中所示向量与向量OA →的模相等的向量为．(填图中所画出的向量)答案 OC → DC →，EB → OB →，OC →，DC →，EB →，AD →解析 ∵O 是正三角形ABC 的中心，∴OA ＝OB ＝OC ，易知四边形AOCD 和四边形AOBE 均为菱形，∴与AD →相等的向量为OC →；与OA →共线的向量为DC →，EB →；与OA →的模相等的向量为OB →，OC →，DC →，EB →，AD →.5．若a 0是与a 同向的单位向量，则向量a|a |与单位向量a 0的长度的大小关系是．答案 相等解析 依题意，a 是非零向量，a|a |表示与a 同向的单位向量．6．如图所示，已知AD ＝3，B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模为2的向量有．答案 AC →，CA →，BD →，DB →解析 模为2的向量有AC →，CA →，BD →，DB →.7．以下命题：①|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是． 答案 2解析 ②④错误．8．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为． 答案 菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形． 9．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是．(填序号) 答案 ①③④解析 相等向量一定是共线向量，故①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，故④成立．10.如图，若四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则：(1)图中与AB →共线的向量有； (2)图中与AB →相等的向量有； (3)图中与AB →的模相等的向量有； (4)图中与EC →相等的向量有．答案 (1)DC →，BE →，BA →，CD →，EB →，AE →，EA →(2)DC →，BE →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB → (4)BD → 二、解答题11．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到达D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量．解 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，长度为6千米”． 12．如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证： (1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′――→，AC →＝A ′C ′――→.证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′―→|＝|BB ′―→|，且AA ′→∥BB ′―→. 又∵点A 不在BB ′―→上，∴AA ′∥BB ′， ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴|AB →|＝|A ′B ′――→|.同理|AC →|＝|A ′C ′――→|，|BC →|＝|B ′C ′――→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′――→，且|AB →|＝|A ′B ′――→|， ∴AB →＝A ′B ′――→.同理可证AC →＝A ′C ′――→.13．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →； (2)求|BC →|的最大值与最小值． 解 (1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由(1)所画的图知， ①当点C 位于点C 1或C 2时， |BC →|取得最小值12＋22＝5； ②当点C 位于点C 5或C 6时， |BC →|取得最大值42＋52＝41. 所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5. 三、探究与拓展14．设a 0，b 0是两个单位向量，则下列结论中正确的是．(填序号) ①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0. 答案 ③15.如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量DE →长度相等的向量； (2)写出图中所示向量与向量FD →相等的向量； (3)分别写出图中所示向量与向量DE →，FD →共线的向量．解 (1)与DE →长度相等的向量是EF →，FD →，AF →，FC →，BD →，DA →，CE →，EB →.(2)与FD →相等的向量是CE →，EB →. (3)与DE →共线的向量是AC →，AF →，FC →； 与FD →共线的向量是CE →，EB →，CB →.。
苏教版数学必修4讲义：第2章 2.2 2.2.3 向量的数乘
2.2.3 向量的数乘1.掌握向量数乘的运算及其几何意义.(重点)2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.[基础·初探]教材整理1向量的数乘定义阅读教材P68第一、二、三个自然段，完成下列问题.一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a ＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)λa＝0，则λ＝0.()(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反.()(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍.()【解析】(1)若λa＝0，则λ＝0或a＝0，(1)错误.(2)正确.(3)|－6a|＝6|a|，|3a|＝3|a|，(3)正确.【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2向量数乘的运算律阅读教材P 68倒数第2自然段，完成下列问题.1.λ(μa )＝(λμ)a ；2.(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；3.λ(a ＋b )＝λa ＋λb .1.5×(－4a )＝________.【解析】 5×(－4a )＝5×(－4)a ＝－20a .【答案】 －20a2.a ＝e 1＋2e 2，b ＝3e 1－2e 2，则a ＋b ＝________.【解析】 a ＋b ＝(e 1＋2e 2)＋(3e 1－2e 2)＝4e 1.【答案】 4e 1教材整理3 向量共线定理阅读教材P 70，完成下列问题.如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .1.已知e 1和e 2不共线，则下列向量a ，b 共线的序号是________. ①a ＝2e 1，b ＝2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.【解析】 ∵e 1与e 2不共线，∴①不正确；对于②有b ＝－2a ；对于③有a ＝4b ；④不正确.【答案】 ②③2.已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).则AB →与BD →________.【解析】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB →，。
【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版必修4教案：第二章 平面向量 第2课时 2.2向量
第2课时 §2.2 向量的加法【教学目标】一、知识与技能（1）理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；（2）掌握两个向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算二、过程与方法从物体位移变化规律的探知中总结出向量加法规律三、情感、态度与价值观感受数学和生活的联系，增强学习数学的兴趣【教学重点难点】：：1．如何作两向量的和向量；2．向量加法定义的理解。
【教学过程】一、复习：1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ） （A ）OB 、CD 、FE 、CB （B ）AB 、CD 、FA 、DE（C ）FE 、AB 、CB 、OF （D ）AF 、AB 、OC 、OD二、创设情景 利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为OA ，从景点A 到景点B 的位移为AB ，那么经过C这两次位移后游艇的合位移是OB ，向量OA ，AB ，OB 三者之间有何关系？OBA三、讲解新课： 1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：AB BC AC +=作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =，AB b =，则OB a b =+ .（1） （2）2．向量加法的法则：（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：AB BC AC +=．（2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
b a O BAba b a A B CD3．向量的运算律：交换律：a b b a +=+．结合律：()()a b c a b c ++=++．说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行： 例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．四、例题分析：例1、 如图，一艘船从A点出发以/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。
苏教版高中数学必修4第2章 平面向量 全章复习讲义(含答案解析)
【知识梳理】知识点一：向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法：(1)字母表示法：如,,,a b c r r rL 等.(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB uuu r ，CD uuu r等.(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA u u u r的起点O 为在坐标原点，终点A 坐标为(),x y ，则(),x y 称为OA u u u r 的坐标，记为OA u u u r=(),x y .3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量a r 与b r相等，记为a b =r r .4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：0r与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点二、向量的运算 1.运算定义 运 算 图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA --→+OB --→=OC --→OB --→OA --→-=AB --→记OA --→=(x 1，y 1)，OB --→=(x 2，y 2)则OA OB +uu u r uuu r=(x 1+x 2，y 1+y 2) OB OA -uuu r uu u r=(x 2-x 1，y 2-y 1)OA --→+AB --→=OB --→实数与向量的乘积AB a λ--→→=R λ∈记a →=(x ，y) 则()a x y λλλ→=，两个向量的数量积cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r记1122(,),(,)a x y b x y ==r r则a b →→⋅=x 1x 2+y 1y 22.运算律坐标语言：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==r r，则⇔⊥→→b a 02121=+y y x x(4)两个向量数量积的重要性质：①22||→→=a a 即 2||→→=a a (求线段的长度)；②(垂直的判断)；③cos a ba bθ⋅=⋅r r r r (求角度).注：1. 向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提. 2. 共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题. (1)用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向 量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用：①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)②证明垂直问题，常用垂直的充要条件⇔02121=+y y x x③求夹角问题，利用cos a ba bθ⋅=⋅r r r r⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a ⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a 222221212121y x y x y y x x +++=222222222(3)(75)0,(4)(72)0.716150730802,112cos .602a b a b a b a b a a b b a a b b a b b a b b a b a b bθθ+-=--=+-=-+===∴===∴=or r r r r r r rg g r r r r g r r r r g r r r r r g r r r g r r r g 由已知：即两式相减，得代入其中任一式，得，例10.已知向量(cos(),sin()),(cos(),sin())22a b ππθθθθ=--=--r r ，（1）求证：a b ⊥r r ;（2）若存在不等于0的实数k 和t ，使2(3),,x a t b y ka tb =++=-+r r r u r r r 满足x y ⊥r u r 试求此时2k t t+的最小值。
苏教版高中数学必修4教案：第二章 平面向量 第4课时 2.2向量的数乘
第4课时 §2.2 向量的数乘【教学目标】一、知识与技能（1）向量数乘定义。
（2）向量数乘的运算律。
二、过程与方法在对有关数乘问题的解决中理解数乘概念和实际意义.三、情感、态度与价值观联系生活实际学习向量的数乘让学生感受数学美【教学重点难点】向量的数乘的定义和运算律一、复习：已知非零向量a ，求作a a +和()()a a -+-．如图：OB a a =+2a =，()()CE a a =-+-二、讲解新课：1．实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ= 时，0a λ=．2．实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ=（结合律）；（2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）；（3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）．3．向量共线定理：内容：a - E a a a O B A CD a -三、例题分析：例1、计算：（1）(3)4a -⨯；（2）3()2()a b a b a +---；（3）(23)(32)a b c a b c +---+例2、 如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线．例3、 判断下列各题中的向量是否共线：（1）21245a e e =-，12110b e e =-； （2）12a e e =+，1222b e e =-，且1e ，2e 共线．（3）当1e ，2e 中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线．例4、设12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，A B C D E若A，B，D三点共线，求k的值．五、课时小结：1．掌握实数与向量的积的定义；2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；3．理解向量共线定理，并会判断两个向量是否共线。
备战2019高考数学苏教版必修四提素能高效演练练习：第2章 平面向量 滚动训练三 Word版含答案
滚动训练三(§2.1～§2.3)一、填空题1．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1，其中正确的是________．(填序号) 答案 ③解析 a 为任一非零向量，故|a |>0.2．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →， 所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →， 所以AB ∥CD ，且AB ＝CD ， 故四边形ABCD 是平行四边形．3．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为________． 答案 25解析 如图所示，因为∠AOC ＝45°，所以设C (x ，－x )， 则OC →＝(x ，－x )．又因为A (－3，0)，B (0，2)．所以λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ，－x ＝2－2λ，解得λ＝25.4．化简13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )的结果是________． 答案 2b －a解析 原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(6b －3a )＝2b －a .5.如图所示，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为________．答案 65解析 如图，延长AG 交BC 于点F ，∵BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →， ∴AF 为边BC 上的中线，∴AF →＝12AB →＋12AC →.又∵CD →＝AD →－AC →＝15AB →＋(λ－1)AC →，且CD →∥AF →.∴(λ－1)∶15＝12∶12，∴15＝λ－1，∴λ＝65.6．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________． 答案 －1或3解析 因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线， 所以m a －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，－3＝λ(2－m ).解得m ＝－1或m ＝3.7．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为________． 答案 13解析 如图，因为AN →＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13.8．已知A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________. 答案112解析 ∵AC →＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)， BD →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.9．已知OA →＝(k ，2)，OB →＝(1，2k )，OC →＝(1－k ，－1)，且相异三点A ，B ，C 共线，则实数k ＝________.答案 －14解析 AB →＝OB →－OA →＝(1－k ，2k －2)， AC →＝OC →－OA →＝(1－2k ，－3)， 由题意可知AB →∥AC →，所以(－3)×(1－k )－(2k －2)(1－2k )＝0， 解得k ＝－14(k ＝1不合题意舍去)．10．在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝______，|AB →＋AC →|＝________. 答案 13解析 易知|AB →＋BC →|＝|AC →|＝1， 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，则|AB →＋AC →|＝|AD →|＝2|AB →|×si n60°＝2×1×32＝ 3.11．D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列结论： ①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④EF →＝12a .其中正确的结论的序号为________． 答案 ①②③解析 如图，AD →＝AC →＋CD →＝－b ＋12CB →＝－b －12a ，①正确；BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，②正确；AB →＝AC →＋CB →＝－b －a ，CF →＝CA →＋12AB →＝b ＋12(－b －a )＝12b －12a ，③正确；④EF →＝12CB →＝－12a ，④不正确．二、解答题12．设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． 解 因为A ，B ，D 三点共线， 故存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →，又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2， 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.13．已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 为基底表示DC →，BC →，EF →.解 连结FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，∴DC ∥FB ，DC ＝FB .∴四边形DCBF 为平行四边形． 依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .三、探究与拓展14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，且3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，则a ∶b ∶c ＝________. 答案 20∶15∶12解析 ∵3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0， ∴3a (BA →＋AC →)＋4bCA →＋5cAB →＝0， ∴(3a －5c )BA →＋(3a －4b )AC →＝0. 在△ABC 中，∵BA →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝5c ，3a ＝4b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝35a ，b ＝34a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶34a ∶35a ＝20∶15∶12.15.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是__________________________．答案 (－1，0)解析 由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)， 则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)， 则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．。
备战2019高考数学苏教版必修四提素能高效演练讲义：第2章 平面向量 2.3.2 第2课时 Word版含答案
第2课时 向量平行的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．知识点 向量平行的坐标表示 已知下列几组向量： (1)a ＝(0，3)，b ＝(0，6)； (2)a ＝(2，3)，b ＝(4，6)； (3)a ＝(－1，4)，b ＝(3，－12)；(4)a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. 思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？答案 (1)(2)中b ＝2a ，(3)中b ＝－3a ，(4)中b ＝－a . 思考2 以上几组向量中，a ，b 共线吗？ 答案 共线．思考3 当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？ 答案 坐标不为0时成比例． 梳理 (1)向量平行的坐标表示①条件：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0.②结论：如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . (2)若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1，P 2三点共线．①当λ∈(0，＋∞)时，P 位于线段P 1，P 2的内部，特别地，当λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点． ②当λ∈(－∞，－1)时，P 在线段P 1P 2的延长线上． ③当λ∈(－1，0)时，P 在线段P 1P 2的反向延长线上．1．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2.( × ) 提示 当y 1y 2＝0时不成立．2．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .( × ) 3．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .( √ )类型一 向量共线的判定与证明例1 (1)下列各组向量中，共线的是________． ①a ＝(－2，3)，b ＝(4，6)； ②a ＝(2，3)，b ＝(3，2)； ③a ＝(1，－2)，b ＝(7，14)； ④a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)． 答案 ④解析 ①中(－2)×6－3×4＝－24≠0， ∴a 与b 不平行；②中2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a 与b 不平行； ③中1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a 与b 不平行； ④中(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a ∥b .(2)已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解 AB →＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， CD →＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0， ∴AB →与CD →共线且方向相反．方法二 ∵CD →＝－2AB →，∴AB →与CD →共线且方向相反．反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪训练1 已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →. 证明 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．∵AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)， ∴AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∴(x 1，y 1)－(－1，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， (x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1， ∴(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，(x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. ∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0，∴EF →∥AB →.类型二 利用向量平行求参数例2 已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？ 解 方法一 k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)．得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.引申探究1．若本例条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？ 解 由例2知当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？解 a ＋k b ＝(1，2)＋k (－3，2)＝(1－3k ，2＋2k )，3a －b ＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4)， ∵a ＋k b 与3a －b 平行， ∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0， 解得k ＝－13.反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解． 跟踪训练2 设向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 答案 2解析 λa ＋b ＝λ(1，2)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)， ∵λa ＋b 与c 共线，∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0， ∴λ＝2.类型三 三点共线问题例3 已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )， 解得k ＝－2或11， 又AB →，AC →有公共点A ，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．跟踪训练3 已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线． 证明 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB ，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．1．已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是________． 答案 －4解析 ∵a ∥b ，∴(－1)×y －2×2＝0，∴y ＝－4.2．与a ＝(6，8)平行的单位向量为____________________________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，6y －8x ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－45.3．已知三点A (1，2)，B (2，4)，C (3，m )共线，则m 的值为________． 答案 6解析 A B →＝(2，4)－(1，2)＝(1，2)．A C →＝(3，m )－(1，2)＝(2，m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，即向量A B →，A C →共线， ∴存在实数λ使得A B →＝λA C →，即(1，2)＝λ(2，m －2)＝(2λ，λm －2λ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，λm －2λ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，m ＝6.即m ＝6时，A ，B ，C 三点共线．4．已知四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标依次是(3，－1)，(1，2)，(－1，1)，(3，－5)．求证：四边形ABCD 是梯形．证明 ∵A (3，－1)，B (1，2)，C (－1，1)，D (3，－5)． ∴AB →＝(－2，3)，CD →＝(4，－6)．∴CD →＝－2AB →，即|AB →|＝12|CD →|，∴AB ∥CD ，且AB ≠CD ， ∴四边形ABCD 是梯形．5．已知A (3，5)，B (6，9)，M 是直线AB 上一点，且|AM →|＝3|MB →|，求点M 的坐标． 解 设点M 的坐标为(x ，y )．由|AM →|＝3|MB →|，得AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →. 由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x ，9－y )． 当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x ，9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x ，9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝152，y ＝11.故点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，11.1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行． (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．一、填空题1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 答案 －6解析 因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.2．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x ＝________. 答案 －2 解析 因为a与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x ，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.3．已知三点A (－1，1)，B (0，2)，C (2，0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是________． 答案 (1，－1)4．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________． 答案 15．已知a ＝(2，1)，b ＝(x ，－2)，且a ＋b 与2a －b 平行，则x ＝________. 答案 －4解析 因为(a ＋b )∥(2a －b )，又a ＋b ＝(2＋x ，－1)，2a －b ＝(4－x ，4)，所以(2＋x )×4－(－1)×(4－x )＝0，解得x ＝－4.6．若三点A (－2，－2)，B (0，m )，C (n ，0)(mn ≠0)共线，则1m ＋1n的值为________．答案 －12解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，因为AB →＝(2，m ＋2)，AC →＝(n ＋2，2)，所以4－(m ＋2)(n ＋2)＝0，所以mn ＋2m ＋2n ＝0，因为mn ≠0，所以1m ＋1n ＝－12.7．已知e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2，当a ∥b 时，实数λ＝________. 答案 －2解析 ∵e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2， ∴a ＝2(1，0)＋(0，1)＝(2，1)，b ＝λ(1，0)－(0，1)＝(λ，－1)． 又∵a ∥b ，∴2×(－1)－1×λ＝0，解得λ＝－2.8．已知向量OA →＝(k ，6)，OB →＝(4，5)，OC →＝(1－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝________. 答案176解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－1)， BC →＝OC →－OB →＝(－3－k ，5)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，即(4－k )×5＋(－3－k )＝0，k ＝176.9．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________． 答案 (0，－2)解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6，8)－(－2，0)＝(8，6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)，即D 点的坐标为(0，－2)．10．已知A (－1，4)，B (x ，－2)，若C (3，3)在直线AB 上，则x ＝________. 答案 2311．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________． 答案 λ＝μ12．设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________． 答案 {m |m ∈R 且m ≠6}解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形． ∴AB →，AC →不共线． 又∵AB →＝OB →－OA →＝(1，1)， AC →＝(m －2，4)，∴1×4－1×(m －2)≠0. 解得m ≠6.∴m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠6}． 二、解答题13．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1，3)，B (2，－2)，C (4，－1)． (1)若AB →＝CD →，求点D 的坐标；(2)设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值． 解 (1)设点D 的坐标为(x ，y )．由AB →＝CD →，得(2，－2)－(1，3)＝(x ，y )－(4，－1)， 即(1，－5)＝(x －4，y ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y ＋1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6.所以点D 的坐标为(5，－6)．(2)因为a ＝AB →＝(2，－2)－(1，3)＝(1，－5)，b ＝BC →＝(4，－1)－(2，－2)＝(2，1)，所以k a －b ＝k (1，－5)－(2，1)＝(k －2，－5k －1)，a ＋3b ＝(1，－5)＋3(2，1)＝(7，－2)．由k a －b 与a ＋3b 平行，得(k －2)×(－2)－(－5k －1)×7＝0，解得k ＝－13.三、探究与拓展14．已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)，使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋b ，则m 的取值范围是____________． 答案 {m |m ∈R 且m ≠－3}解析 根据平面向量的基本定理知，a 与b 不共线，即2m －3－3m ≠0，解得m ≠－3. 所以m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠－3}．15．如图所示，已知在△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．解 ∵OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.∵OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又∵CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，CM →∥CB →，∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.。
备战2019高考数学苏教版必修四提素能高效演练讲义：第2章 平面向量 2.3.1 Word版含答案
§2.3向量的坐标表示2.3.1 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解平面向量的正交分解及向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一平面向量基本定理思考1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．梳理(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．知识点二向量的正交分解思考一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？答案能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．梳理正交分解的含义一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( ×)提示只有不共线的两个向量才可以作为基底．2．零向量可以作为基向量．( ×)提示由于0和任意向量共线，故不可作为基向量．3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( ×)提示基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底．类型一 对基底概念的理解例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 跟踪训练1 e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．①e 1＋e 2，e 1＋3e 2；②3e 1－2e 2，4e 2－6e 1；③e 1＋2e 2，e 2＋2e 1；④e 2，e 1＋e 2；⑤2e 1－15e 2，e 1－110e 2. 答案 ②⑤解析 由题意，知e 1，e 2不共线，易知②中，4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，即3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e 1－15e 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1－110e 2，∴2e 1－15e 2与e 1－110e 2共线，⑤不能作基底．类型二 用基底表示向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →，∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →. 解 取CF 的中点G ，连结EG .∵E ，G 分别为BC ，CF 的中点， ∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝43a ＋23b .又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC →＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫43a ＋23b＝23a ＋43b . 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 如图所示，在△AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →.解 OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →. 设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则 OP →＝OM →＋mMB →＝13OA →＋m (OB →－OM →)＝13a ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －13a ＝13(1－m )a ＋m b ， OP →＝ON →＋nNA →＝12OB →＋n (OA →－ON →)＝12b ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝12(1－n )b ＋n a . ∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝15，m ＝25.∴OP →＝15a ＋25b .类型三 平面向量基本定理的应用例3 在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，求λ＋μ的值． 解 方法一 (基向量法) 由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2AC →＝0， 得⎝⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0. 又因为AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.方法二 (待定系数法) 如图所示，连结MN并延长交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以，45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，即AT →＝54λAM →＋54μAN →.因为T ，M ，N 三点共线，所以54λ＋54μ＝1，所以λ＋μ＝45.反思与感悟 当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练3 已知向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，且a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，试求λ，μ的值．解 将a ＝e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2代入c ＝λa ＋μb ，得c ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(3e 1－2e 2)＝(λ＋3μ)e 1＋(λ－2μ)e 2.因为c ＝2e 1＋3e 2，且向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝2，λ－2μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝135，μ＝－15.1．已知OA →＝a ，OB →＝b ，C 为线段AO 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点，则OD →＝________________.(用a ，b 表示)答案 49a ＋13b2．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________.答案 －15 －12解析 ∵向量e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.3．如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________．答案 a ＋b 2a ＋c解析 由平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，以a ，c 为基底时将BD →平移，使点B 与点A 重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到．4．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 DE →＝DB →＋BE → ＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →，又∵AB →与AC →不共线，∴λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝－16＋23＝12.1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据． 2．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 3．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、填空题1．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－5k 2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝________. 答案 －2或132．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b . 答案 23 －13解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b ，所以e 1＋e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b . 3．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________． ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →. 答案 ①③解析 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD →与AB →不共线，CA →与DC →不共线，而DA →∥BC →，OD →∥OB →，故①③可作为基底．4．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________． 答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4.5．设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为________． 答案 4解析 因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2， 所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.6．已知非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →(λ∈R )，则x ，y 满足的关系是____________． 答案 x ＋y －2＝07．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为________． 答案 85解析 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.8．设e 1与e 2是两个不共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－2e 1＋5e 2，若实数λ，μ满足λa ＋μb ＝5e 1－e 2，则λ，μ的值分别为____________． 答案 1，－1解析 由题设λa ＋μb ＝(3λe 1＋4λe 2)＋(－2μe 1＋5μe 2)＝(3λ－2μ)e 1＋(4λ＋5μ)e 2.又λa ＋μb ＝5e 1－e 2，由平面向量基本定理，知⎩⎪⎨⎪⎧3λ－2μ＝5，4λ＋5μ＝－1.解得λ＝1，μ＝－1.9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝________________. 答案 23a ＋13b解析 如图，设CF →＝λCD →，AE →＝μAF →，则CD →＝OD →－OC →＝12b －12a ，故AF →＝AC →＋CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12λa ＋12λb .∵AF →＝1μAE →＝1μ(AO →＋OE →)＝1μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋14b ＝12μa ＋14μb ，∴由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－12λ＝12μ，12λ＝14μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝34，∴AF →＝23a ＋13b .10.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案 43解析 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.二、解答题11．判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2，e 1－e 2表示出来．解 (1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立．(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾．所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2，e 1－e 2表示出来．12.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．解 如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt △OCD 中，∵|OC →|＝23， ∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.13．在梯形ABCD 中，AB →∥CD →，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k .设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.解 方法一 如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ， ∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →， ∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC → ＝k ＋12e 2. 方法二 如图所示，过C 作CE ∥DA ，交AB 于点E ，交MN 于点F .同方法一可得DC →＝k e 2.则BC →＝BE →＋EC →＝－(AB →－DC →)＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2，MN →＝MF →＋FN →＝DC →＋12EB →＝DC →＋12(AB →－DC →) ＝k ＋12e 2. 方法三 如图所示，连结MB ，MC .同方法一可得DC →＝k e 2，BC →＝e 1＋(k －1)e 2.由MN →＝12(MB →＋MC →)，得MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 三、探究与拓展14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OD →＝kOC →(0<k <1)，则AD →＝OD →－OA →＝kOC →－OA →＝(k λ－1)OA →＋k μOB →.∵D 是OC 与AB 的交点，∴A ，D ，B 三点共线，∴AD →，AB →共线．设AD →＝mAB →，又AB →＝OB →－OA →，∴(k λ－1)OA →＋k μOB →＝mOB →－mOA →.∵OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k λ－1＝－m ，k μ＝m ，∴k λ－1＝－k μ，即k (λ＋μ)＝1，∴λ＋μ＝1k>1. 15．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．(1)证明 若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)解 设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b .(3)解 由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.1 向量的加法讲义 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案
2.2.1 向量的加法学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．(重点)2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点)3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．(难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养一、向量的加法 1．向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法． 2．向量加法的运算法则 (1)三角形法则：如图，已知向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则向量OB →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →.(2)平行四边形法则：如图，已知两个不共线的非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OC →＝b ，以OA ，OC 为邻边作▱OABC ，则以O 为起点的对角线上的向量OB →＝a ＋b ，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则．二、向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (3)a ＋0＝0＋a ＝a . (4)a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.1．思考辨析(1)两个向量相加就是两个向量的模相加．( ) (2)两个向量相加，结果有可能是个数量．( )(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加．( )[解析] (1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(2)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的向量相加．[答案] (1)× (2)× (3)×2．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于________． AC →[(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →.] 3.AB →＋BC →＋CA →＝________. 0 [AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0.]向量加法的三角形法则和平行四边形法则【例1】 如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .思路点拨：根据三角形法则或平行四边形法则求解．[解] 法一：可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即为a ＋b ＋c (用到向量加法运算律)． 如图①，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB →＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；(3)再作向量OD →＝c ；(4)作▱CODE ，则OE →＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c .则OE →即为所求．向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.1．如图所示，求作向量和．(1) (2) (3)[解] 如图中①，②所示，图① 图② 图③首先作OA →＝a ，然后作AB →＝b ， 则OB →＝a ＋b . 如图③所示，作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，再作CD →＝c ，则AD →＝AC →＋CD →＝(a ＋b )＋c ，即AD →＝a ＋b ＋c .向量的加法运算【例2】 (1)在正六边形ABCDEF 中，AB →＝a ，AF →＝b ，则AC →＝________，AD →＝________，AE →＝________.(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________.思路点拨：(1)结合正六边形的性质及向量的平行四边形法则求解．(2)由向量加法的三角形法则求解．(1)2a ＋b 2a ＋2ba ＋2b (2)0 [(1)如图，连结FC 交AD 于点O ，连结OB ，由平面几何知识得四边形ABOF ，四边形ABCO 均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有AO →＝AB →＋AF →＝a ＋b .在平行四边形ABCO 中，AC →＝AB →＋AO →＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b .AD →＝2AO →＝2a ＋2b . 而FE →＝AO →＝a ＋b ，由三角形法则得：AE →＝AF →＋FE →＝b ＋a ＋b ＝a ＋2b . (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝0.]1．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.2．运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．2.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式： (1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.[解] (1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →. (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0. 向量加法在实际问题中的应用[探究问题]1．速度、位移等物理量是向量吗？为什么？提示：是向量．因为它们既有大小，又有方向，具有向量的两个要素．2．利用向量加法解决实际问题的关键是什么？提示：关键是把实际问题向量模型化，并借助向量加法知识解决实际问题． 【例3】 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h ，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在某某岸M 处，对岸北偏东30°有一码头N ，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)思路点拨：(1)结合向量共线知识求解； (2)借助三角形的边角关系求解．[解] (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h ；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h ，此时小船是静止的．(2)如图所示，设MA →表示水流的速度，MN →表示小船实际过河的速度． 设MC ⊥MA ，|MA →|＝|MB →|＝10，∠CMN ＝30°. ∵MA →＋MB →＝MN →， ∴四边形MANB 为菱形． 则∠AMN ＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．在△MNB 中，|BN →|＝|MN →|＝|MB →|＝10，∴∠BMN ＝60°，而∠CMN ＝30°，∴∠CMB ＝30°， 所以小船要由M 直达码头N ，其航向应为北偏西30°.解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答.3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解] 如图所示，设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)． 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°. 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.教师独具1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用． 2．要掌握向量加法的三个问题 (1)求作向量的和． (2)向量加法运算． (3)向量加法的应用．3．求作向量和时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点．1．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝( ) ①AD →；②DB →；③BC →；④CB →. A ．①③ B ．②④ C ．①④D ．②③A [∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴BC →＝AD →，∴BC →＋DC →＋BA →＝AD →＋DC →＋BA →＝AC →＋BA →＝BC →.] 2．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b ＝________. AC →[a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.]3．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________．矩形 [由图知|BC →＋BA →|＝|BD →|. 又|BC →＋AB →|＝|AD →＋AB →|＝|AC →|， ∴|BD →|＝|AC →|.∴四边形ABCD 为矩形．] 4．化简： (1)CD →＋BC →＋AB →； (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FG →.[解] (1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FG →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋FG →＝AC →＋CF →＋FG →＝AF →＋FG →＝AG →.。
数学新学案同步精致讲义必修四苏教版：第2章 平面向量 2.2.3
2.2.3 向量的数乘学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一 向量数乘的定义思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？ ★答案★ 向量．思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ ★答案★ 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同． －3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反． 梳理 向量的数乘实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |；(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反；当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘． 知识点二 向量数乘的运算律思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ ★答案★ 结合律，分配律． 梳理 向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理思考 若b 与非零向量a 共线，是否存在λ满足b ＝λa ？若b 与向量a 共线呢？ ★答案★ 若b 与非零向量a 共线，存在λ满足b ＝λa ；若b 与向量a 共线，当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa . 梳理 (1)向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . (2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示 当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示 由向量共线定理可知其正确． 3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示 若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.类型一 向量数乘的基本运算例1 (1)化简：14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )]．解 14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )]＝14(4a ＋8b －20a ＋8b ) ＝14(－16a ＋16b )＝－4a ＋4b . (2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .解 ⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ， ①－4x ＋3y ＝b ， ②由①×3＋②×2，得x ＝3a ＋2b ， 代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ， 所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．跟踪训练1 (1)计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a －8a )＋(b ＋3b ) ＝－10a ＋4b .(2)若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________________. ★答案★ 29a －29b ＋19c解析 因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，3y －23a ＋23b －13c ＝0，所以y ＝29a －29b ＋19c .类型二 向量共线的判定及应用 命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线；(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线． (1)解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________． ★答案★ A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值． 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思与感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________. ★答案★ 1解析 由于A ，B ，P 三点共线，则AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实数λ使得AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →. ∴x ＝1－λ，y ＝λ，则x ＋y ＝1. 类型三 用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________________.(用a ，b 表示)★答案★ 13a ＋23b解析 示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．跟踪训练4 如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.解 ∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a ，又∵D ，E 为边AB 的两个三等分点， ∴AD →＝13AB →＝23b －a ，∴CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .1．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝________. ★答案★ 23e解析 2a －3b ＋c ＝2×5e －3×(－3e )＋4e ＝23e . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝________. ★答案★ 2AM →解析 如图，作出平行四边形ABEC ，M 是对角线的交点，故M 是BC 的中点，且是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________.★答案★ 12解析 ∵m 与n 共线，∴m ＝λn ， 即(2λ－1)e 1＋(k －λ)e 2＝0， ∵e 1，e 2是两个不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－1＝0k －λ＝0，∴k ＝12.4．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则向量y ＝________________.(用a ，b ，c 表示) ★答案★421a －17b ＋17c 解析 因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，所以72y ＝23a ＋12c －12b ， 所以y ＝421a －17b ＋17c .5．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题． 4．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，A ，P ，B 三点共线⇔m ＋n ＝1.一、填空题1．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________.★答案★ a ＋10b2．化简16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]＝________.★答案★ －2a ＋4b解析 原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .3．在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →＝________.(用a ，b 表示)★答案★ 23a ＋43b解析 由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →，解得BC →＝23a ＋43b .4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.★答案★ 23解析 ∵A ，B ，D 三点共线，∴13＋λ＝1，λ＝23.5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. ★答案★ 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 6．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝__________.(用a ，b 表示)★答案★ 12a ＋b解析 连结CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°.∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ， ∴CD ∥AO ，∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .7．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的是________．(填序号) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . ★答案★ ①②解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．8．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3CD →，则AB →＝____________.(用a ，b 表示) ★答案★ －13a ＋43b解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →＝－13a ＋43b .9．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则________三点共线． ★答案★ A ，B ，D10．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)★答案★ 14b －14a解析 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a )．二、解答题11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，试求实数k 的值． 解 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )， ∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0， ∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b . ∵a 与b不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0λk －2＝0，∴k ＝± 6.12．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )． 解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c ) ＝6a ＋2b .13．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点， ∴BN →＝12b ，DM →＝12a .∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋12a ＝c ，①a ＋12b ＝d .②①×2－②，得b ＝23(2c －d )，②×2－①，得a ＝23(2d －c )．∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .三、探究与拓展14．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________． ★答案★ －1或315．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形． 证明 如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．。
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2.2.3 向量的数乘学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一 向量数乘的定义思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？ 答案 向量．思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 答案 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同． －3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反． 梳理 向量的数乘实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |；(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反；当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘． 知识点二 向量数乘的运算律思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ 答案 结合律，分配律． 梳理 向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理思考 若b 与非零向量a 共线，是否存在λ满足b ＝λa ？若b 与向量a 共线呢？ 答案 若b 与非零向量a 共线，存在λ满足b ＝λa ；若b 与向量a 共线，当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa . 梳理 (1)向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . (2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示 当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示 由向量共线定理可知其正确． 3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示 若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.类型一 向量数乘的基本运算例1 (1)化简：14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )]．解 14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )]＝14(4a ＋8b －20a ＋8b ) ＝14(－16a ＋16b )＝－4a ＋4b . (2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .解 ⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ， ①－4x ＋3y ＝b ， ②由①×3＋②×2，得x ＝3a ＋2b ， 代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ， 所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．跟踪训练1 (1)计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a －8a )＋(b ＋3b ) ＝－10a ＋4b .(2)若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________________. 答案 29a －29b ＋19c解析 因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，3y －23a ＋23b －13c ＝0，所以y ＝29a －29b ＋19c .类型二 向量共线的判定及应用 命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线；(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线． (1)解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________． 答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值． 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2， 由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思与感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________. 答案 1解析 由于A ，B ，P 三点共线，则AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实数λ使得AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →. ∴x ＝1－λ，y ＝λ，则x ＋y ＝1. 类型三 用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________________.(用a ，b 表示)答案 13a ＋23b解析 示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．跟踪训练4 如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.解 ∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a ，又∵D ，E 为边AB 的两个三等分点， ∴AD →＝13AB →＝23b －a ，∴CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .1．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝________. 答案 23e解析 2a －3b ＋c ＝2×5e －3×(－3e )＋4e ＝23e . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝________. 答案 2AM →解析 如图，作出平行四边形ABEC ，M 是对角线的交点，故M 是BC 的中点，且是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________.答案 12解析 ∵m 与n 共线，∴m ＝λn ， 即(2λ－1)e 1＋(k －λ)e 2＝0， ∵e 1，e 2是两个不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－1＝0k －λ＝0，∴k ＝12.4．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则向量y ＝________________.(用a ，b ，c 表示) 答案421a －17b ＋17c 解析 因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，所以72y ＝23a ＋12c －12b ， 所以y ＝421a －17b ＋17c .5．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题． 4．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，A ，P ，B 三点共线⇔m ＋n ＝1.一、填空题1．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________.答案 a ＋10b2．化简16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]＝________.答案 －2a ＋4b解析 原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .3．在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →＝________.(用a ，b 表示)答案 23a ＋43b解析 由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →，解得BC →＝23a ＋43b .4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 ∵A ，B ，D 三点共线，∴13＋λ＝1，λ＝23.5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 6．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝__________.(用a ，b 表示)答案 12a ＋b解析 连结CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°.∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ， ∴CD ∥AO ，∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .7．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的是________．(填序号) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . 答案 ①②解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．8．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3CD →，则AB →＝____________.(用a ，b 表示) 答案 －13a ＋43b解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →＝－13a ＋43b .9．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则________三点共线． 答案 A ，B ，D10．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)答案 14b －14a解析 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a )．二、解答题11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，试求实数k 的值． 解 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )， ∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0， ∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b . ∵a 与b不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0λk －2＝0，∴k ＝± 6.12．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )． 解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c ) ＝6a ＋2b .13．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点， ∴BN →＝12b ，DM →＝12a .∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋12a ＝c ，①a ＋12b ＝d .②①×2－②，得b ＝23(2c －d )，②×2－①，得a ＝23(2d －c )．∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .三、探究与拓展14．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________． 答案 －1或315．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形． 证明 如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．。