高中数学第六章推理与证明61合情推理和演绎推理612类比基础达标湘教版2-2.

6．1.2 类 比
基础达标 限时20分钟
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适
( )．
A ．三角形
B ．梯形
C ．平行四边形
D ．矩形 答案 C
2．给出下面四个类比结论 ( )． ①实数a ，b ，若ab ＝0则a ＝0或b ＝0；类比向量a ，b ，若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0
②实数a ，b ，有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；类比向量a ，b ，有(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2 ③实数a ，有|a |2＝a 2，类比向量a ，有|a|2＝a 2
④实数a ，b 有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比向量a ，b 有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0 其中类比结论正确的命题个数为 ( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 D
3．三角形的面积S ＝12
(a ＋b ＋c )·r ，其中a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角 形内切圆的半径，利用类比推理；可以得出四面体的体积为( )．
A ．V ＝13
abc B ．V ＝13
Sh C ．V ＝13
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r D ．V ＝13
(ab ＋bc ＋ac )h 答案 C
4．如图(1)有面积关系
S △PA 1B 1S △PAB ＝PA 1·PB 1PA ·PB ，则图(2)有体积关系VP －A 1B 1C 1V P －ABC
＝________.
答案 PA 1·PB 1·PC 1PA ·PB ·PC
5．类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结
论为________．
解析 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象，从而有结论．
答案 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
6．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，且SA 、SB 、
SC 和底面ABC ，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC ，SAC ，SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
解 在△DEF 中(如图)，由正弦定理得
d sin D ＝
e sin E ＝
f sin F
. 于是，类比三角形中的正弦定理，
在四面体S －ABC 中，
我们猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3
成立． 综合提高 限时25分钟
7．在等差数列{a n }中，若a n ＞0，公差d ≠0，则有a 4a 6＞a 3a 7，类比上述性
质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，公比q ≠1，则关于b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系正确的是
( )． A ．b 5b 7＞b 4b 8
B ．b 7b 8＞b 4b 5
C ．b 5＋b 7＜b 4＋b 8
D ．b 7＋b 8＜b 4＋b 5 答案 C
8．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：
①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；
③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是 ( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析 ①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1>0，但复数a 与b 不能比较大小．
答案 C
9．定义：a b ，b c ，c d ，d a 的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4)
则图中甲、乙运算式可表示为________．
答案 d b ，c a
10．.(2010·广东汕头)在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线
段的比为AE EB ＝AC BC
，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．
解析 △ABC 中作ED ⊥AC 于D ，EF ⊥BC 于F ，则ED ＝EF .
∴AC
BC
＝
S△ACE
S△BCE
＝
AE
EB
，
类比：在三棱锥A－BCD中，过直线AB作一平面垂直于CD，并交CD于点H，则∠AHB 是二面角A－CD－B的平面角，连结EH，则EH是∠AHB的角平分线．
∴AE
EB
＝
AH
BH
＝
S△ACD
S△BCD
.
答案AE
EB
＝
S△ACD
S△BCD
11．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和S n，则有如下性质：
①通项：a n＝a m＋(n－m)d；
②若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m、n、p、q∈N＋)；
③若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p(m、n、p∈N＋)；
④S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{b n}中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假．解在等比数列{b n}中，公比为q，前n项和为S n，则可以得到：
①通项：b n＝b m·q n－m(真命题)；
②若m＋n＝p＋q，则b m·b n＝b p·b q(m，n，p，q∈N＋)(真命题)；
③若m＋n＝2p，则b m·b n＝b2p(m，n，p∈N＋)(真命题)；
④S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等比数列(真命题)．
12．(创新拓展)(2011·福建)设V为全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：
对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质p.
现给出如下映射：
①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；
②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；
③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.
分析映射①②③是否具有性质p.
解a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，
λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)．
对于①，f1(m)＝x－y
∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)y2]
＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)．
λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)
f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．
∴①具有性质p.
对于②，f2(m)＝x2＋y，设a＝(0,0)，b＝(1,2)，
λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，
f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3，
而λf(a)＋(1－λ)b＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)．又λ∈R，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)不恒成立故②不具有性质p.
对于③，f3(m)＝x＋y＋1，
f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋(1－λ)y2]＋1 ＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，
又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1) ＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋λ＋(1－λ)
＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1.
∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)
③具有性质p.。