2018年秋浙教版八年级数学上《1.3证明》同步练习含答案 (2)
八年级数学上1.3《证明》同步练习题含答案
八年级数学上1.3《证明》同步练习题含答案一选择题1.如图,直线AB∥CD,∠A=70°,∠C=40°,则∠E的度数是(A)A.30°B.40°C.60°D.70°2.若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4,则与之对应的三个内角的度数之比为(C) A.4∶3∶2B.3∶2∶4C.5∶3∶1D.3∶1∶53.直角三角形中的两锐角平分线相交而成的角的度数是(C)A.45°B.135°C.45°或135°D.145°(第4题)4.如图,将一个等边三角形剪去一个角后,∠1+∠2等于(B)A.120°B.240°C.300°D.360°5.如图,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,不能判定AB∥CD的条件是(A)A.∠1=∠2B.∠1+∠2=90°C.∠3+∠4=90°D.∠2+∠3=90°(第5题)(第6题)6.如图,有一条直的宽纸带按图示的方式折叠,则∠α的度数是(C)A.50°B.60°C.75°D.85°7.已知△ABC的三个内角的度数之比为3∶4∶5,则这个三角形是(A)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形二填空题1.如图,在△ABC中,∠B=∠C,E是AC上一点,ED⊥BC,DF⊥AB,垂足分别为D,F,若∠AED =140°,则∠C=__50°__,∠A=__80°__,∠BDF=__40°__,∠ED F=__50°__.,(第1题)(第2题)2.如图,平面镜A与B之间的夹角为120°,光线经平面镜A反射后射在平面镜B上,再反射出去,若∠1=∠2,则∠1=__30°__.(第3题)3.如图,已知AD∥BC,∠EAD=50°,∠ACB=40°,则∠BAC=__90°__.(第4题)4.(1)如图,已知∠ABD=20°,∠ACD=35°,∠BDC=110°,则∠A的度数为55°;(2)在△ABC中,∠A+∠B=110°,∠C=2∠A,则∠A=35°,∠B=75°.5.(1)如图①,在△ABC中,D,E分别是BC,AC边上的点,AD,BE交于点F,则∠1+∠2+∠3+∠C=180°.①②(第5题)(2)如图②,D是△ABC的边AC上一点,E为BD上一点,则∠A,∠1,∠2之间的关系是∠2>∠1>∠A.6.如图,将等腰直角三角形AB C绕点A沿逆时针方向旋转15°后得到△AB′C′,B′C′与AB交于点P,则∠C′PB=__120°__.(第6题)(第7题)7.如图,在△ABC 中,D ,E 分别是AC ,BD 上的点,∠A =65°,∠ABD =∠DCE =30°,则∠BEC 的度数是125°.三解答题1.如图,已知EF 与AB ,CD 分别交于点E ,F ,∠1=∠2.求证:AB ∥CD.【解】∵∠1=∠2(已知),∠2=∠AEF(对顶角相等),∴∠1=∠AEF(等量代换),∴AB ∥CD(同位角相等,两直线平行)2.如图,已知AB ∥CD ,CM 平分∠BCD ,CM ⊥CN.求证:∠NCB =12∠B.【解】∵AB ∥CD(已知),∴∠DCB +∠B =180°(两直线平行,同旁内角互补),∴∠DCB =180°-∠B .又∵CM 平分∠BCD (已知),∴∠MCB =12∠DCB =12(180°-∠B )=90°-12∠B (角平分线的定义).∵CM ⊥CN ,∴∠MCN =90°,∴∠NCB =90°-∠MCB =90°-(90°-12∠B )=12∠B .3.如图,点E ,F 分别在AB ,AD 的延长线上,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:(1)∠A =∠4;(2)AF ∥BC .(第9题)【解】(1)∵∠1=∠2(已知),∴DC∥AB(内错角相等,两直线平行),∴∠A=∠3(两直线平行,同位角相等).∵∠3=∠4(已知),∴∠A=∠4.(2)∵∠A=∠4(已证),∴AF∥BC(同位角相等,两直线平行).(第4题)4.如图,已知AB∥CD,求证:∠α+∠β-∠γ=180°.【解】过点E作EF∥AB,则∠A+∠AEF=180°,∠FED=∠D,∴∠α+∠β-∠γ=180°.(第5题)5.如图,P为△ABC内任意一点,∠1=∠2,求证:∠ACB与∠BPC互补.【解】在△BCP中,∠BPC+∠2+∠BCP=180°,∴∠BPC=180°-(∠2+∠BCP).又∵∠1=∠2,∴∠BPC=180°-(∠1+∠BCP),∴∠BPC=180°-∠ACB,∴∠ACB+∠BPC=180°,即∠ACB与∠BPC互补.(第6题)6.如图,∠xOy=90°,点A,B分别在射线Ox,Oy上移动,BC平分∠DBO,BC与∠OAB的平分线交于点C,试问:∠ACB的大小是否随A,B的移动而发生变化?如果保持不变,请说明理由;如果随A,B的移动而发生变化,请给出变化的范围.【解】∠ACB不随A,B的移动发生变化.理由如下:∵BC,AC分别平分∠DBO,∠BAO,∴∠DBC=12∠DBO,∠BAC=12∠BAO.∵∠DBO+∠OBA=180°,∠OBA+∠BAO+∠AOB=180°,∴∠DBO=∠BAO+∠AOB,∴∠DBO-∠BAO=∠AOB=90°.∵∠DBC+∠ABC=180°,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴∠DBC=∠BAC+∠ACB,∴12∠DBO=12∠BAO+∠ACB,∴∠ACB=12(∠DBO-∠BAO)=12∠AOB=45°.(第7题)7.如图,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求:(1)∠MON的度数;(2)如果已知中∠AOB=α,其他条件不变,求∠MON的度数;(3)如果已知中∠BOC=β(β为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数;(4)从(1)(2)(3)的结果中能得出什么规律?(5)线段的计算与角的计算存在着紧密联系,它们之间可以进行类比,请你模仿(1)~(4),设计一道以线段为背景的计算题,写出其中的规律,并给出解答.【解】(1)∵OM 平分∠AOC (已知),∴∠MOC =12∠AOC (角平分线的定义).又∵ON 平分∠BOC (已知),∴∠NOC =12∠BOC (角平分线的定义),∴∠MON =∠MOC -∠NOC=12∠AOC -12∠BOC =12(∠AOC -∠BOC )=12∠AOB =45°.(2)当∠AOB =α,其他条件不变时,∠MON =α2.(3)当∠BOC =β,其他条件不变时,∠MON =45°.(4)分析(1)(2)(3)的结果和(1)的解答过程可以看出:∠MON 的大小总等于∠AOB 的一半,而与锐角∠BOC 的大小变化没有关系.(第7题解)(5)设计的问题为:如解图所示,已知线段AB =a ,延长AB 至点C ,使BC =b ,M ,N 分别为AC ,BC 的中点,求MN 的长.本题的规律是“MN 的长度总等于AB 的一半,而与BC 的长度变化无关”.理由如下:∵M 是AC 的中点(已知),∴AM =MC =12AC(中点的定义).∵N 是BC 的中点(已知),∴BN =NC =12BC(中点的定义).∴MN =MC -NC =12AC -12BC =12AB =12a.。
浙教版八年级上1.3 证明(2)2018年秋同步练习(含答案)
1.3证明(2)同步练习【知识盘点】1.三角形的一个外角等于_________的两个内角的和.2.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠C=________.3.在△ABC中,∠B=45°,∠C=72°,那么与∠A相邻的一个外角等于_______.4.如图1所示,△ABC中,D,E分别是AC,BD上的点,且∠A=65°,∠ABD=∠DCE=30•°,则∠BEC的度数是_________.(1) (2) (3) (4)5.按第4题图所示,请你直接写出∠A,∠BEC,∠EDC之间的大小关系,用“<•”号连接____________.6.如图2所示,已知∠BDC=142°,∠B=34°,∠C=28°,则∠A=________.【基础过关】7.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角,则这个三角形是()A.锐角三角形; B.直角三角形; C.钝角三角形; D.都有可能8.若等腰三角形的一个外角为110°,则它的底角为()A.55°B.70°C>55°或70°D.以上答案都不对9.若三角形的三个外角的度数之比为2:3:4,则与之对应的三个内角的度数之比为()A.4:3:2 B.3:2:4 C.5:3:1 D.3:1:510.满足下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是()A.∠B+∠A=∠C B.∠A:∠B:∠C=2:3:5C.∠A=2∠B=3∠C D.一个外角等于和它相邻的一个内角11.如图3所示,在△ABC中,∠ABC与∠BAC的平分线相交于点O,若∠BOC=120°,则∠A为()A.30°B.60°C.80°D.100°12.如图所示,在锐角△ABC中,CD和BE分别是AB和AC边上的高,且CD和BE•交于点P,若∠A=50°,则∠BPC的度数是()A.150°B.130°C.120°D.100°【应用拓展】13.如图4所示,点B,D,E,C在同一条直线上,且∠1=∠2,BD=EC,求证:△ABE≌△ACD.14.如图所示,BC⊥ED,垂足为O,∠A=27°,∠D=20°,求∠ACB与∠B的度数.【综合提高】15.如图所示,已知等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,直线L经过点C,•AD•⊥L,BE⊥L,垂足分别为D,E.(1)证明:△ACD≌△CBE;(2)求证:DE=AD+BE;(3)当直线L经过△ABC内部时,其他条件不变;(2)中的结论还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,这时DE,AD,BE有什么关系?证明你的猜想.。
浙教版八年级数学上册试题 1.3 证明 (含答案)
1.3 证明一、单选题1.如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于()A.50 o B.60 o C.75 o D.85 o2.三角形中∠B的平分线和外角的平分线的夹角是().A.60°B.90°C.45°D.135°3.小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事,另两人也都知道是谁做了这件事.老师在了解情况时,他们三人分别说了下面几句话:小陈:“我没做这件事.”“小张也没做这件事.”小王:“我没做这件事.”“小陈也没做这件事.”小张:“我没做这件事.”“我也不知道谁做了这件事.”已知他们每人都说了一句假话,一句真话,做好事的人是()A.小王B.小陈C.小张D.不能确定4.下列问题你不能肯定的是()A.一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B.三角形与矩形的面积关系C.三角形的内角和D.n边形的外角和5.某超市(商场)失窃,大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走.三个嫌疑犯被警察局传讯,警察局已经掌握了以下事实:(1)罪犯不在甲、乙、丙三人之外;(2)丙作案时总得有甲作从犯;(3)乙不会开车.在此案中,能肯定的作案对象是()A.嫌疑犯乙B.嫌疑犯丙C.嫌疑犯甲D.嫌疑犯甲和丙6.如图,CE是ABC∆的外角ACD∠的平分线,若35∠=( ).∠=,则A∠=,60BACEA.95 B.85 C.75 D.7.如图,将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上.如果∠2=60°,那么∠1的度数为()A.60°B.50°C.40°D.30°8.如图,AB∥CD∥EF,AC∥DF,若∠BAC=120°,则∠CDF=A.60°B.120°C.150°D.180°9.如图,下列推理不正确的是( )A.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠C=180°B.∵∠1=∠2,∴AD∥BCC.∵AD∥BC,∴∠3=∠4D.∵∠A+∠ADC=180°,∴AB∥CD10.下列推理中,错误的是( )A.因为AB⊥EF,EF⊥CD,所以AB⊥CDB.因为∠α=∠β,∠β=∠γ,所以∠α=∠γC.因为a∥b,b∥c,所以a∥cD.因为AB=CD,CD=EF,所以AB=EF11.下列推理正确的是( )A.∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°B.∵∠1+∠3=90°,∠3+∠2=90°,∴∠1=∠2C.∵∠1与∠2是对顶角,又∠2=∠3,∴∠1与∠3是对顶角D.∵∠1与∠2是同位角,又∠2与∠3是同位角,∴∠1与∠3是同位角12.如果一个三角形的三个外角之比为2:3:4,则与之对应的三个内角度数之比为( )A.4:3:2 B.3:2:4 C.5:3:1 D.3:1:5二、填空题13.如图,直线a b∥,Rt△ABC的顶点B在直线a上,∠C=90°,∠β=55°,则∠α的度数为______.14.现有一个三位数密码锁,已知以下3个条件,可以推断正确的密码是__________.①只有一个号码正确且位置正确②只有两个号码正确且位置都不正确③三个号码都不正确15.如图,一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°,∠BCD=60°,这时说管道AB∥CD,是根据___________________________.16.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线与外角∠BAD的平分线的反向延长线交于点F,则∠F=____.17.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____.18.在△ABC中,AB≠AC,若用反证法证明∠B≠∠C,应先假设 _____19.为了从500只外形相同的鸡蛋中找到唯一的一只双黄蛋,检查员将这些鸡蛋按1﹣500的顺序排成一列,第一次先从中取出序号为单数的蛋,发现其中没有双黄蛋,他将剩下的蛋的原来位置上又按1﹣250编号(即原来的2号变为1号,原来的4号变成2号,…,原来的500号变成250号).又从中取出新序号为单数的蛋进行检查,任没有发现双黄蛋,…,如此下去,检查到最后的一个是双黄蛋,问这只双黄蛋最初的序号是_____.20.盒子里有甲、乙、丙三种粒子,若相同种类的两颗粒子发生碰撞,则变成一颗乙粒子;不同种类的两颗粒子发生碰撞,会变成第三种粒子,例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子,现有甲粒子6颗,乙粒子4颗,丙粒子5颗,如果经过各种两两碰撞后,只剩下1颗粒子,给出下列结论:①最后一颗粒子可能是甲粒子;②最后一颗粒子一定不是乙粒子;③最后一颗粒子可能是丙粒子.其中正确结论的序号是:_______.21.完成下面的证明过程.已知:如图,∠1和∠D互余,∠C和∠D互余.求证:AB∥CD.证明:∵∠1和∠D互余(已知),∴∠1+∠D=90°(_____________).∵∠C和∠D互余(已知),∴∠C+∠D=90°(_____________),∴∠1=∠C(__________________),∴AB∥CD(________________________).22.如图,点 A,C,F,B 在同一直线上,CD 平分∠ECB,FG∥CD.若∠ECA 为α度,则∠GFB为________度(用关于α的代数式表示).23.如图,是一副三角板叠放的示意图,则∠α=______.24.如图,现给出下列条件:①1B ∠∠=,②25∠∠=,③34∠∠=,④1D ∠∠=,⑤B BCD 180∠∠+=︒.其中能够得到AB//CD 的条件是_______.(只填序号)三、解答题25.观察下列等式:第个等式为:2113323-=⨯第1个等式为:3223323-=⨯第2个等式为:4333323-=⨯第3个等式为:5443323-=⨯....根据上述等式含有的规律,解答下列问题:(1)第5个等式为:是(2)第n 个等式为:是 (用含n 的代数式表示),并证明26.已知△ABC 中,∠ACB=90°,CD 为AB 边上的高,BE 平分∠ABC ,分别交CD 、AC 于点F 、E ,求证:∠CFE=∠CEF .27.当光线经过镜面反射时,入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等.例如:在图①、图②中都有12,34∠=∠∠=∠.设镜子AB 与BC 的夹角ABC α∠=.(1)如图①,若90α=︒,判断入射光线EF 与反射光线GH 的位置关系,并说明理由.(2)如图②,若90180a ︒<<︒,入射光线EF 与反射光线GH 的夹角FMH β∠=.探索α与β的数量关系,并说明理由.(3)如图③,若130α=︒,设镜子CD 与BC 的夹角BCD ∠为钝角,入射光线EF 与镜面AB 的夹角109()0x x ∠=︒<<︒.已知入射光线EF 从镜面AB 开始反射,经过(n n 为正整数,且3n ≤)次反射,当第n 次反射光线与入射光线EF 平行时,请直接写出BCD ∠的度数(可用含x 的代数式表示).答案一、单选题1.C 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B7.D8.A 9.C10.A 11.B 12.C二、填空题13.35°14.52015.同旁内角互补,两直线平行16.45°17.540°18.∠B=∠C19.25620.①②③.21.互余的定义;互余的定义;同角的余角相等;内错角相等,两直线平行. 22.90°﹣2α 23.75°24.①②⑤三、解答题25.解:(1)观察等式可知:第5个等式为:6553323-=⨯;故答案为:6553323-=⨯;(2)第n 个等式为:13323n n n +-=⨯,证明:左边1333333(31)23n n n n n n +=-=⨯-=-=⨯=右边∴等式成立. 26.解:根据互余、角平分线及对顶角等相关知识即可得出答案.证明:如图,∵∠ACB =90°,∴∠1+∠3=90°,∵CD ⊥AB ,∴∠2+∠4=90°,又∵BE 平分∠ABC ,∴∠1=∠2,∴∠3=∠4,∵∠4=∠5,∴∠3=∠5,即∠CFE =∠CEF .27.解:()1,EF GH理由如下:在BEG 中,23180,α∠+∠+=︒90,α=︒2390,∴∠+∠=︒12180,34180,12,34FEG EGH ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=∠∠=∠, 1234360FEG EGH ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒,180FEG EGH ∴∠+∠=,//EF GH ∴;()22180βα=-︒.理由如下:在BEG 中,23180α∠+∠+=23180,α∴∠+∠=︒-12,1MEB ∠=∠∠=∠2,MEB ∴∠=∠22,MEG ∴∠=∠34,4MGB ∠=∠∠=∠3,MGB ∴∠=∠23,MGE ∴∠=∠在MEG 中,180MEG MGE β∠+∠+=︒(0)18MEG MGE β∴=︒-∠+∠180(2223)=-∠+∠(802)123=∠+∠-1802(180)2180αα=︒︒=--- ;()390x ︒+或140︒如图,当夹角为钝角时,根据(2)中的结论,得 ∠FEG=2∠BCD-180°,根据平行线性质,得:∠FEG=∠PAH=2∠NAH=2x ,∴∠BCD=1802902x x ︒+=︒+;如图,当夹角为直角时,根据(1)中的结论,得∠EBC=50°,根据三角形外角性质,得:∴∠BCD=∠EBC+∠BEC=50°+90°=140°.∴∠BCD的度数为90x︒+或140°.。
浙教版数学八年级上1.3证明(2)同步练习含答案
1.3 证明(2)一.选择题1.如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=20°,∠COD=100°,则∠C的度数是( ) A.80° B.70° C.60° D.50°2.已知△ABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠A等于( )A.40° B.60° C.80° D.90°3.一个三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7,则这个三角形一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形4.珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同,如图,若∠ABC=120°,∠BCD=80°,则∠CDE等于().A.20° B.60° C.80° D.90°5、如图所示,∠BDC=148°,∠B=34°,∠C=38°,那么∠A等于().A .70°B .76°C .80°D .90°二.填空题6、命题“同旁内角互补”中,题设是________, 结论是_________.7、如图,与∠1构成同位角的是______,与∠2构成内错角的是______.8.已知:如图,在 △ ABC 中,BD 是∠ABC 的角平分线,∠BDC=75°,∠A=40°,求∠ABC = 度9、在△ABC 中,如果∠B=45°,∠C=72°,那么与∠A 相邻的一个外角等于_________度.10、直角三角形中两个锐角的差为20°,则两个锐角的度数分别为________度,_______度.三.解答题11、用反证法证明:两条直线被第三条直线所截.如果同旁内角不互补,那么这两条直线不平行.D CBA已知:如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2≠180°.求证:l1与l2不平行.证明:假设l1_________ l2,则∠1+∠2_________ 180°(两直线平行,同旁内角互补).这与_________ 矛盾,故_________ 不成立.所以_________ .12、(本小题满分12分)已知:如图,AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,交AB于G,交CA延长线于E,∠1=∠2.第12题图求证:AD平分∠BAC,填写分析和证明中的空白.分析:要证明AD平分∠BAC,只要证明 = _________ ,而已知∠1=∠2,所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系,由已知BC的两条垂线可推出_________ ∥_________ ,这时再观察这两对角的关系已不难得到结论.证明:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)∴_________ ∥_________ (_________ ).∴_________ = _________ (两直线平行,内错角相等),_________ = _________ (两直线平行,同位角相等),∵_________ (已知),∴_________ ,即AD平分∠BAC(_________ ).13、如图,在△A BC中,CH是外角∠ACD的平分线,BH是∠ABC的平分线,∠A=58°,求∠H 的度数.第13题图14.图一个零件的形状如图所示,规定∠CAB=90°,∠B,∠C应分别等于32°和21°,检验工人量得∠BDC=148°,就说这个零件不合格,请你运用三角形的有关知识说明此零件不合格的理由.15.如图所示,已知AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB,∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以说明.1.3(2)1、C2、A 3.D 4.A 5.B6、题设是两个角是同旁内角,结论是这两个角互补.7、∠∠8、70度 9、117 10、35 5511、解:已知:如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2≠180°.求证:l1与l2不平行.证明:假设l1∥l2,则∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补).这与∠1+∠2≠180°矛盾,故假设不成立.所以l1与l2不平行.用反证法证明问题,先假设结论不成立,即l1∥l2,根据平行线的性质,可得∠1+∠2=180°,与已知相矛盾,从而证得l1与l2不平行.证明:假设l1∥l2,则∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补),这与∠1+∠2≠180°矛盾,故假设不成立.所以结论成立,l1与l2不平行.9、解:要证明AD平分∠BAC,只要证明∠BAD=∠CAD,而已知∠1=∠2,所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系,由已知BC的两条垂线可推出EF∥AD,这时再观察这两对角的关系已不难得到结论.证明:∵ AD⊥BC,EF⊥BC(已知),∴ EF∥AD(在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行).∴ ∠1=∠BAD(两直线平行,内错角相等),∠2=∠CAD(两直线平行,同位角相等).∵ ∠1=∠2(已知),∴ ∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC(角平分线的定义).12、解:∵ ∠A=58°,∴ ∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣58°=122°①.∵ BH是∠ABC的平分线,∴ ∠HBC=∠ABC.∵ ∠ACD是△ABC的外角,CH是外角∠ACD的平分线,∴ ∠ACH=(∠A+∠ABC),∴ ∠B CH=∠ACB+∠ACH=∠ACB+(∠A+∠ABC).∵ ∠H+∠HBC+∠ACB+∠ACH=180°,∴ ∠H+∠ABC+∠ACB+(∠A+∠ABC)=180°,即∠H+(∠ABC+∠ACB)+∠A=180°②,把①代入②得,∠H+122°+58°=180°,∴ ∠H=29°.13、证明:∵ ∠3 =∠4,∴ AC∥BD.∴ ∠6+∠2+∠3 = 180°.∵ ∠6 =∠5,∠2 =∠1,∴ ∠5+∠1+∠3 = 180°.∴ ED∥FB.14.不合格.理由:连结AD并延长至E点,∵∠CDE=∠C+∠CAD,∠BDE=∠B +∠BAD,∴∠CDB=∠B+∠C+∠CAB=143°≠148°,∴这个零件不合格:15.①∠APC=∠PAB+∠PCD;②∠APC=360°-(∠PAB+∠PCD);③∠APC=∠PAB-∠PCD;④∠APC=∠PCD-∠PAB.证明略。
【八年级数学试题】八年级数学上1.3证明(二)同步集训(浙教版带答案)
八年级数学上1.3证明(二)同步集训(浙教版带答案)1.3 证明(二)(第1题)1.(1)如图,已知∠ABD=20°,∠AcD=35°,∠BDc=110°,则∠A的度数为55°;(2)在△ABc中,∠A+∠B=110°,∠c=2∠A,则∠A=35°,∠B=75°.2.(1)如图①,在△ABc中,D,E分别是Bc,Ac边上的点,AD,BE交于点F,则∠1+∠2+∠3+∠c=180°.①②(第2题)(2)如图②,D是△ABc的边Ac上一点,E为BD上一点,则∠A,∠1,∠2之间的关系是∠2 ∠1 ∠A.3 如图,将等腰直角三角形ABc绕点A沿逆时针方向旋转15°后得到△AB′c′,B′c′与AB交于点P,则∠c′PB=__120°__.(第3题) ( 第4题)4.如图,在△ABc中,D,E分别是Ac,BD上的点,∠ A=6 5°,∠ABD=∠DcE=30°,则∠BEc的度数是125°.5.如图,直线AB∥cD,∠A=70°,∠c=40°,则∠E的度数是(A)(第5题)A 30°B 40°c 60°D 70°6.若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4,则与之对应的三个内角的度数之比为(c)A.4∶3∶2 B.3∶2∶4c.5∶3∶1 D.3∶1∶57.直角三角形中的两锐角平分线相交而成的角的度数是(c)A.45° B.135°c.45°或135° D.145°(第8题)8.如图,将一个等边三角形剪去一个角后,∠1+∠2等于(B)A 120°B 240°c 300°D 360°(第9题)9.如图所示,在△ABc中,∠c=∠ABc=2∠A,BD是Ac边上的高线,求∠DB c的度数.【解】设∠A=x,则∠c=∠ABc=2x,∴x+2x+2x=180°(三角形三个内角之和为180°),解得x=36°∴∠c=2×36°=72°在△BDc中,∵∠BDc=90°(已知),∴∠DBc=180°-90°-72°=18°(第10题)10.如图,∠A+∠B+∠c+∠D+∠E的度数是__180°__.【解】延长cE交AB于点,则∠D+∠DEc=∠HB,∠HB+∠B =∠Ac∵∠Ac+∠c+∠A=180°,∴∠A+∠B+∠c+∠D+∠E=180°(第11题)11.如图,图中∠1,∠ 2,∠3,∠4的关系为(A)A ∠1+∠2=∠4-∠3B ∠1+∠2=∠3+∠4c ∠1-∠2=∠4-∠3D ∠1-∠2=∠3-∠4【解】∵∠AEF是△BED的外角,∴∠AEF=∠2+∠3∵∠4是△AEF的外角,∴∠4=∠1+∠AEF,∴∠4=∠1+∠2+∠3,∴∠1+∠2=∠4-∠312.如图,已知AB∥cD,∠1∶∠2∶∠3=1∶2∶3求证BA平分∠EBF下面给出证法一.(第12题)证法一设∠1,∠2,∠3的度数分别为x,2x,3x∵AB∥cD(已知),∴∠2+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补),即2x+3x=180°,解得x=36°,∴∠1=36°,∠2=72°∵∠EBA+(∠1+∠2)=180°(邻补角的定义),∴∠EBA=72°=∠2∴BA平分∠EBF请阅读证法一后,找出与证法一不同的证法,并写出证明过程.【解】设∠1,∠2,∠3的度数分别为x,2x,3x∵∠3是△BFG的一个外角,∴∠BGF=∠3-∠1=3x-x=2x(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和).又∵AB∥cD(已知),∴∠EBA=∠EGF=2x(两直线平行,同位角相等).又∵∠2=2x,∴∠EBA=∠2,∴BA平分∠EBF13.(1)如图,将△ABc纸片沿DE折叠成图①,此时点A落在四边形BcDE内部,则∠A与∠1,∠2之间有一种数量关系保持不变,请找出这种数量关系并说明理由;(2)若折成图②或图③,即点A落在BE或cD上时,分别写出∠A 与∠2,∠A与∠1之间的关系式,并说明理由;(3)若折成图④,写出∠A与∠1,∠2之间的关系式,并说明理由;(第13题)(4)若折成图⑤,写出∠A与∠1,∠2之间的关系式,并说明理由.【解】(1)∠1+∠2=2∠A理由如下如解图①,延长BE,cD交于点P,则△BcP即为折叠前的三角形,由折叠的性质知∠DAE=∠DPE连结AP,由三角形的外角性质知∠1=∠EAP+∠EPA,∠2=∠DAP+∠DPA,则∠1+∠2=∠DAE+∠DPE=2∠DAE,即∠1+∠2=2∠A(2)图②中∠2=2∠A理由如下如解图②,由三角形的外角性质知∠2=∠DPE+∠DAE=2∠DAE,即∠2=2∠A(第13题解)图③中∠1=2∠A理由如下如解图③,∠1=∠EAP+∠P=2∠EAP,即∠1=2∠A(3)∠2-∠1=2∠A理由如下如解图④,由三角形的外角性质知∠2=∠3+∠P,∠3=∠1+∠A,即∠2=∠P+∠1+∠A=2∠A+∠1,故∠2-∠1=2∠A(4)∠1-∠2=2∠A理由如下如解图⑤,∠3=∠A+∠2,∠1=∠3+∠P,即∠1=∠A+∠2+∠P=2∠A+∠2,故∠1-∠2=2∠A14.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.(第14题)(1)如图①,若AB∥cD,点P在AB,cD外部,则有∠B=∠BD,又因∠BD是△PD的外角,故∠BD=∠BPD+∠D,得∠BPD=∠B-∠D 将点P移到AB,cD内部,如图②,以上结论是否仍成立?若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD,∠B,∠D之间有何数量关系?请证明你的结论;(2)在图②中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线cD于点Q,如图③,则∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之间有何数量关系(不需证明)?(3)根据(2)的结论求图④中∠A+∠B+∠c+∠D+∠E+∠F的度数.【解】 (1)不成立,结论是∠BPD=∠B+∠D证明如下延长BP交cD于点E∵AB∥cD,∴∠B=∠BED又∵∠BPD=∠BED+∠D,∴∠BPD=∠B+∠D(2)∠BPD=∠BQD +∠B+∠D(3)设Ac与BF交于点G,连结DG由(2)的结论,得∠AGB=∠A+∠B+∠E∵∠c+∠cDG+∠cGD=180°,∠F+∠FDG+∠FGD=180°,∴∠cGF+∠c+∠D+∠F=360°∵∠AGB=∠cGF,∴∠A+∠B+∠c+∠D+∠E+∠F=360°。
浙教版-数学-八年级上册-1.3 证明2 作业
证明2一、选择题1.一个三角形的两个内角和小于第三个内角,这个三角形是()三角形.A.锐角B.钝角C.直角D.等腰2.三角形的三个内角()A.至少有两个锐角B.至少有一个直角C.至多有两个钝角D.至少有一个钝角3.一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和,这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.何类三角形不能确定4.一个三角形的两个内角之和小于第三个内角,那么该三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.都有可能5.一个三角形的三个内角的度数比是1:2:1,这个三角形是().A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形6.(2013•河北)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2=()A.90°B.100° C.130°D.180°7.(2010•双流县)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点,∠A=50°,则∠D=()A.15°B.20°C.25°D.30°8.如图,直线l1∥l2,∠1=40°,∠2=65°,则∠3=()A.65°B.70°C.75°D.85°二、填空题9.(2012•梧州)如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥B C于点D,若∠BAC=128°,∠C=36°,则∠DAE的度数是_______10.(2012•连云港)如图,将三角尺的直角顶点放在直线a上,a∥b,∠1=50°,∠2=60°,则∠3的度数为_______11.(2008•沈阳)已知△ABC中,∠A=60°,∠AB C.∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC的度数为________度.12. 如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D.E分别是边AB.AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A'重合,若∠A=70°,则∠1+∠2=____________.13. 一个角是80°的等腰三角形的另两个角为____________.14. 如图,已知,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E.F,点G在直线EF上,GH⊥AB,若∠EGH=32°,则∠DFE的度数为____________.参考答案一、选择题1.B2.A3.A4.C5.D6.B7.C8.C二、填空题9. 10° 10. 70°11.120 12.140°13.80°,20°或50°,50°.14.58°。
8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明(2)与三角形外角性质有关的证明
浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明(2)与三角形外角性质有关的证明【知识点-部分】一、三角形的内角和定理及推论:1、三角形的内角和定理:三角形三个内角的和等于180°;推论:由一个公理或定理直接推出的真命题,叫做这个公理或定理的推论;推论可以当做定理使用。
2、三角形内角和定理的推论:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
二、辅助线:1、当问题的条件不够用、不够集中时,需添加辅助线,构造新图形,形成新关系,找到已知与未知的联系,把问题转化成已经会解的情况,我们把在原图上添加的线叫做辅助线。
注:(1)辅助线通常画为虚线;(2)添加辅助线往往结合学习过的定理或概念。
【典型例题-精选部分】【例1】如图所示,∠A,∠1,∠2的从大到小关系是。
【例2】如图,AB∥CD,∠ABE=60°,∠D=50°,则∠E的度数为。
【例3】如图,在△ABC中,外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点O,且∠BOC=40°,则∠A的度数为。
【例4】将一把直尺与一块三角尺如图放置,若∠1=45°,则∠2的度数为。
【例5】将一副三角尺如图叠放,则图中∠α=°。
【例6】如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在外的处,折痕为DE。
如果,,,那么下列式子中正确的是()A、B、C、D、【例7】已知:如图,∠ADE=∠A+∠B,求证:DE∥BC。
【例8】如图,已知四边形ABDC,求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C。
【例9】如图,∠B=36∘,∠D=50∘,AM,CM分别平分∠BAD和∠BCD,AM交BC于点R,CM交AD于点Q,BC与AD交于点P,求∠M的度数。
【例10】如图,在△ABC中,点E在AC上,∠AEB=∠ABC。
(1)图1中,作∠BAC的角平分线AD,分别交CB、BE于D、F两点,求证:∠EFD=∠ADC;(2)图2中,作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD,分别交CB、BE的延长线于D、F两点,试探究(1)中结论是否仍成立?为什么?【例11】已知:如图一:△ABC 中,BO 平分∠ABC,CO 平分外角∠ACD。
八年级数学上册 1.3 证明(二)课时训练 (新版)浙教版
E D C B A D CBA 三角形内角和定理 同步练习一、选择题1.如图所示,BC ⊥AD,垂足是C,∠B=∠D,则∠AED 与∠BED 的 关系是( )A.∠AED>∠BEDB.∠AED <∠BED ;C.∠AED=∠BEDD.无法确定2.关于三角形内角的叙述错误的是( )A.三角形三个内角的和是180°;B.三角形两个内角的和一定大于60°C.三角形中至少有一个角不小于60°;D.一个三角形中最大的角所对的边最长 3.下列叙述正确的是 ( )A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和;B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角;C.三角形中至少有两个锐角;D.三角形中至少有一个锐角.4.△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,则△ABC 是( )A.钝角三角形B.等腰直角三角形;C.直角三角形D.等边三角形 5.在△ABC 中,∠A-∠B=35°,∠C=55°,则∠B 等于( ) A.50° B.55° C.45° D.40° 6.三角形中最大的内角一定是( )A.钝角B.直角;C.大于60°的角D.大于等于60°的角二、填空题1.直角三角形的两个锐角___________.2.在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC 是________三角形.3.在△ABC 中,∠A=∠B=110∠C,则∠C=_______. 4.在△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠A-∠B+•∠C=•120•°,•则∠A =•_______,•∠B=______. 5.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,A D ⊥BC 于D,则∠B=∠________,∠C=∠________. 6.在一个三角形中,最多有______个钝角,至少有______个锐角. 三、计算题1.如图,已知:∠A=∠C. 求证:∠ADB=∠CEB.E DCBA2.如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C =65°,AE ⊥BC 于E,AD 平分∠BAC,求∠DAE 的度数.ED CBA3.如图,在正方形ABCD 中,已知∠AEF=30°,∠BCF=28°,求∠EFC 的度数.E FDCBA四、如图,一块梯形玻璃的下底及两腰的一部分被摔碎,量得∠A=120•°,•∠D=105°,你能否求出两腰的夹角∠P 的度数.PDCBA五、小明在证明“三角形内角和等于180°”时用了如图所示的辅助线的方法,即延长BC到D,延长AC 到E,过点C 作CF ∥AB,你能接着他的辅助线的做法证明出来吗?EFDC BA六、请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD 如图所示.DCBA七、我们已经证明了“三角形的内角等于180°”,易证“四边形的内角和等于360°=2×180°,五边形的内角和等于540°=3×180•°……”试猜想一下十边形的内角等于多少度?n 边形的内角和等于多少度?答案:一、1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D二、1.互余 2.直角 3.150° 4.90°,30° 5.∠DAC;∠BAD 6.1;2三、1.∵∠A+∠B+∠ADB=∠C+∠B+∠CEB又∵∠A=∠C,∠B=∠B∴∠ADB=∠CEB2.∵∠B+∠C+∠BAC=180°∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-66°=84°又∵AD平分∠BAC∴∠DAC=12∠BAC=12×84°=42°∵AE⊥BC∴∠EAC=90°-∠C=90°-66°=24°∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=42°-24°=18°3.∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=90°∴∠AFE=90°-∠AEF=90°-30°=60°∠BFC=90°-∠BCF=90°-28°=62°∴∠EFC=180°-∠AFE-∠BFC=180°-60°-62°=58°四、∵∠PAD+∠BAD=180°∠PDA+∠ADC=180°∴∠PAD=180°-∠BAD=180°-120°=60°∠PDA=180°-∠ADC=180°-105°=75°又∵∠P+∠PAD+∠PDA=180°∴∠P=180°-∠PAD-∠PDA=180°-60°-75°=45°五、∵AB∥CF∴∠A=∠ACF ∠B=∠FCD又∵∠ACB=∠DCE∴∠A+∠B+∠C=∠ACF+∠FCD+∠DCE=180°六、连接AC ∵∠B+∠BAC+∠AC B=180°∠D+∠DAC+∠ACD=180°∴(∠B+∠BAC+∠ACB)+(∠D+∠DAC+∠ACD)=180°+180°∴∠B+∠D+(∠BAC+∠DAC)+(∠ACB+∠ACD)=360°∴∠B+∠C+∠BAD+∠BCD=360°即四边形ABCD的内角和等于360°.七、十边形的内角和:(10-2)×180°=1440°n边形的内角和:(n-2)×180°.附:什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心,因此会出现很多过度焦虑。
秋浙教版八年级数学上册练习:1.3证明(二)
1.3 证明(二)1. 如图,ZACD =120° ZB = 20° 则/ A 的度数为(C )A . 120°B . 90°C . 100°D . 30°2. 如图,CE 是厶ABC 的外角/ACD 的平分线.若 Z B = 35° ZACE = 60°则/A 的度数为(C )A . 35°B . 95C . 85°D . 753. 如图,平面上直线a , b 分别过线段OK 的两端点,则a , b 相交所成的锐角是(A )A . 60°B . 30°C . 70°D . 8°4. 如图,直线 AB II CD , ZA = 70° ZC = 40° 则 Z E 等于(A )A . 30°B . 40°C . 60°D . 70° 5. 若三角形的三个外角的度数之比为 2 : 3 : 4,则与之对应的三个内角的度数之比为(C )A . 4 : 3 : 2B . 3 : 2 : 4C . 5 : 3 : 1D . 3 : 1 : 5 6.如图,11 //I2,则下列式子成立的是(B ) A . Z a+ Z 3+ Z Y = 180,(第1题))AC. Z 卩+ Z 一Z a= 180D . Z a— Z 3+ Z Y= 1807. 如图,点A, C, F, B在同一条直线上,CD平分Z ECB, FG //CD.若Z ECAa的度数为a,则Z GFB = 90°—2(用含a的代数式表示).8. 如图,已知D为厶ABC的边BC的延长线上一点,DF丄AB于点F,且交AC 于点E, ZA = 34°, ZD= 42 ° 求Z ACD 的度数.【解】v DF丄AB,•••Z BFD = 90°.vZ BDF + Z B+Z D = 180°,• Z B= 180°— Z BFD — Z D= 180°—90°—42°= 48°,「.Z ACD = Z A+ Z B= 34°+ 48°= 82°A . Z 1+ Z 2= Z 4—Z 3,(第6(第8C. Z 1—Z 2= Z 4—Z 3D . Z 1—Z 2= Z 3—Z 4【解】vZ AEF是△ BED的外角,•••Z AEF =Z 2+ Z 3.vZ 4 是厶AEF 的外角,/.Z 4 =Z 1 + Z AEF,•Z 4=Z 1+ Z 2+ Z 3,•Z 1 + Z 2= Z 4— Z 3.10. 如图,在厶ABC 中,D 是BC 边上一点,Z1= Z 2, Z3=Z 4, ZBAC = 63° 则Z CAD的度数为24_ .【解】vZ 1 = Z 2, Z 3= Z 4, Z 3=Z 1+Z 2,•Z 3=Z 4= 2Z 1, /Z CAD = 180°—4 Z 1.vZ BAC= 63° /Z 1+ 180°—4Z 1 = 63°解得Z 1 = 39° /Z CAD = 180°—4X 39°= 24°11. 如图,ZB= 36° ZD = 50° AM , CM 分别平分Z BAD 和Z BCD , AM 交BC 于点R, CM交AD于点Q, BC与AD交于点P,则Z M的度数为__43_°.【解】vZ ARC是△ ARB和△ CRM的外角,• Z ARC= Z B+Z BAR= Z M + Z RCM.同理,Z AQC= Z D + Z QCD = Z DAM + Z M ./•Z B+Z BAR+ Z D +Z QCD = Z RCM + Z DAM + 2Z M.••• AM , CM 分别平分Z BAD 和Z BCD ,•••Z BAR= Z DAM , Z QCD = Z RCM,••• 2Z M = Z B+Z D ,1 1• Z M = 2(Z B+ Z D) = 2^ (36 °50°) = 43°(第12题)12. 已知:如图,在厶ABC中,ZB> ZC, AE为Z BAC的平分线,AD丄BC于点1D.求证:Z DAE = 2(Z B-Z C).【解】T AE为Z BAC的平分线,1 1•Z BAE = ?Z BAC = 2(180 - Z B- Z C).••• AD丄BC, /Z BAD = 90°—Z B,1 1•Z DAE = Z BAE— Z BAD =空(180 ° Z B— Z C)—(90 — Z B) = 2(Z B—Z C).数学乐园(7(第13 题)13.如图,Z A + Z B +Z C+Z D + Z E+Z F+Z G = __540°_.导学号:91354003【解】连结DG,AC ,DF.vZ BAG = Z CAG + Z BAC , Z BCD = Z ACB + Z ACD , Z CDE = Z CDF + Z EDF ,Z EFG= Z DFE + Z DFG , Z CAG + Z ACD = Z CDG + Z AGD , /-Z BAG + Z B + Z BCD + Z CDE + Z E+ Z EFG + Z AGF = Z GAC + Z BAC + Z B + Z ACB + Z ACD +Z CDF + Z EDF + Z E+ Z DFE + Z DFG+ Z AGF = (Z BAC + Z B+ Z ACB) + (Z CAG + Z ACD + Z CDF +Z DFG +Z AGF) + (Z EDF + Z E+ Z DFE) = 180°+ (Z CDG+ Z AGD+ Z CDF + Z DFG + Z AGF) + 180°= 180°+ 180°+ 180°= 540°.。
2018年秋浙教版八年级数学上册练习:1.3 证明(一)
1.3 证明(一)A组1.如图,下面的推理正确的是(D)A.∵∠1=∠2,∴AB∥CDB.∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AD∥BCC.∵AD∥BC,∴∠3=∠4D.∵∠ABC+∠DAB=180°,∴AD∥BC,(第1题)),(第2题))2.如图,若a∥b,则∠1的度数为(C)A.90°B.80°C.70°D.60°(第3题)3.如图,下列条件中,能证明AD∥BC的是(D)A.∠A=∠CB.∠B=∠DC.∠B=∠CD.∠C+∠D=180°4.字母a,b,c,d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种,将它们两两组合,并用字母连接表示,如表是三种组合与连接的对应表,由此可推断图形的连接方式为a⊕c.组合,,,连接,a⊕b,b⊕d,d⊕c(第5题)5.如图,∠1与∠D互余,∠C与∠D互余.求证:AB∥CD.【解】∵∠1与∠D互余,∠C与∠D互余(已知),∴∠1=∠C(同角的余角相等),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).(第6题)6.如图,直线a∥b,三角形纸板的直角顶点A落在直线a上,两条直线分别交直线b 于B,C两点.若∠1=42°,求∠2的度数.【解】∵直线a∥b,∠1=42°(已知),∴∠ACB=42°(两直线平行,内错角相等).又∵∠BAC=90°(已知),∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=48°(三角形的内角和为180°),∴∠2=∠ABC=48°(对顶角相等).(第7题)7.如图,∠1=∠2,∠D=50°,求∠B的度数.【解】∵∠1=∠AGF(对顶角相等),∠1=∠2(已知),∴∠2=∠AGF(等量代换),∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),∴∠B+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补),∴∠B=180°-∠D=180°-50°=130°.B组(第8题)8.如图,已知直线a∥b,直角三角形ABC的顶点B在直线a上,∠C=90°,∠β=55°,则∠α的度数为__35°__.【解】过点C作CE∥a.∵a∥b,∴CE∥a∥b,∴∠BCE=∠α,∠ACE=∠β=55°.∵∠ACB=90°,∴∠α=∠BCE=∠ACB-∠ACE=35°.(第9题)9.如图,已知AB ∥CD ,EF 与AB ,CD 分别相交于点E ,F ,EP ⊥EF ,与∠EFD 的平分线FP 相交于点P ,且∠BEP =50°,则∠EPF 的度数为__70°__.【解】 ∵EP ⊥EF ,∴∠PEF =90°. 又∵∠BEP =50°,∴∠BEF =∠BEP +∠PEF =140°.∵AB ∥CD ,∴∠BEF +∠EFD =180°, ∴∠EFD =40°. ∵FP 平分∠EFD , ∴∠EFP =12∠EFD =20°.∵∠PEF +∠EFP +∠EPF =180°,∴∠EPF =70°.10.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,BE 平分∠ABC ,分别交AC ,CD 于点E ,F .求证:∠CEF =∠CFE .(第10题)【解】 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE .∵∠ACB =90°,CD ⊥AB ,∴∠CEF +∠CBE =90°,∠DFB +∠ABE =90°, ∴∠CEF =∠DFB . 又∵∠CFE =∠DFB ,∴∠CEF =∠CFE .11.阅读:如图①,∵CE ∥AB ,∴∠1=∠A ,∠2=∠B ,∴∠ACD =∠1+∠2=∠A +∠B .这是一个有用的事实,请用这个事实,在图②中的四边形ABCD 内引一条和边平行的直线,求出∠A +∠B +∠C +∠D 的度数.(第11题)(第11题解)【解】 如解图,过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ,则∠A +∠ADE =180°,∠B +∠BED =180°.由题意,得∠BED =∠C +∠CDE ,∴∠A +∠B +∠C +∠CDA =(∠A +∠ADE )+(∠CDE +∠C )+∠B =180°+∠BED +∠B =180°+180°=360°.数学乐园12.如图,∠EOF =90°,点A ,B 分别在射线OE ,OF 上移动,连结AB 并延长至点D ,∠DBO 的平分线与∠OAB 的平分线交于点C ,试问:∠ACB 的度数是否随点A ,B 的移动而发生变化?如果保持不变,请说明理由;如果随点A ,B 的移动而发生变化,请给出变化的范围.(第12题)【解】 ∠ACB 的度数不随点A ,B 的移动发生变化.理由如下: ∵BC ,AC 分别平分∠DBO ,∠BAO , ∴∠DBC =12∠DBO ,∠BAC =12∠BAO .∵∠DBO +∠OBA =180°,∠OBA +∠BAO +∠AOB =180°, ∴∠DBO =∠BAO +∠AOB ,∴∠DBO -∠BAO =∠AOB =90°.∵∠DBC +∠ABC =180°,∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°, ∴∠DBC =∠BAC +∠ACB , ∴12∠DBO =12∠BAO +∠ACB , ∴∠ACB =12(∠DBO -∠BAO)=12∠AOB =45°.。
2018年秋八年级数学上册 第1章 三角形的初步知识 1.3 证明(一)练习 (新版)浙教版
1.3 证明(一)A组1.如图,下面的推理正确的是(D)A.∵∠1=∠2,∴AB∥CDB.∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AD∥BCC.∵AD∥BC,∴∠3=∠4D.∵∠ABC+∠DAB=180°,∴AD∥BC,(第1题)) ,(第2题)) 2.如图,若a∥b,则∠1的度数为(C)A. 90° B. 80°C. 70° D. 60°(第3题)3.如图,下列条件中,能证明AD∥BC的是(D)A.∠A=∠CB.∠B=∠DC.∠B=∠CD.∠C+∠D=180°4.字母a,b,c,d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种,将它们两两组合,并用字母连接表示,如表是三种组合与连接的对应表,由此可推断图形的连接方式为a⊕c.组合,,,连接,a⊕b,b⊕d,d⊕c(第5题)5.如图,∠1与∠D互余,∠C与∠D互余.求证:AB∥CD.【解】∵∠1与∠D互余,∠C与∠D互余(已知),∴∠1=∠C(同角的余角相等),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).(第6题)6.如图,直线a∥b,三角形纸板的直角顶点A落在直线a上,两条直线分别交直线b 于B,C两点.若∠1=42°,求∠2的度数.【解】∵直线a∥b,∠1=42°(已知),∴∠ACB=42°(两直线平行,内错角相等).又∵∠BA C=90°(已知),∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=48°(三角形的内角和为180°),∴∠2=∠ABC=48°(对顶角相等).(第7题)7.如图,∠1=∠2,∠D=50°,求∠B的度数.【解】∵∠1=∠AGF(对顶角相等),∠1=∠2(已知),∴∠2=∠AGF(等量代换),∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),∴∠B+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补),∴∠B=180°-∠D=180°-50°=130°.B组(第8题)8.如图,已知直线a∥b,直角三角形ABC的顶点B在直线a上,∠C=90°,∠β=55°,则∠α的度数为__35°__.【解】过点C作CE∥a.∵a∥b,∴CE∥a∥b,∴∠BCE=∠α,∠ACE=∠β=55°.∵∠ACB=90°,∴∠α=∠BCE=∠ACB-∠ACE=35°.(第9题)9.如图,已知AB∥CD,EF 与AB ,CD 分别相交于点E ,F ,EP ⊥EF ,与∠EFD 的平分线FP 相交于点P ,且∠BEP=50°,则∠EPF 的度数为__70°__.【解】 ∵EP⊥EF,∴∠PEF =90°. 又∵∠BEP=50°,∴∠BEF =∠BEP+∠PEF=140°. ∵AB ∥CD ,∴∠BEF +∠EFD=180°, ∴∠EFD =40°. ∵FP 平分∠EFD,∴∠EFP =12∠EFD=20°.∵∠PEF +∠EFP+∠EPF=180°, ∴∠EPF =70°.10.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,BE 平分∠ABC,分别交AC ,CD 于点E ,F .求证:∠CEF=∠CFE.(第10题)【解】 ∵BE 平分∠ABC, ∴∠ABE =∠CBE.∵∠ACB =90°,CD ⊥AB ,∴∠CEF +∠CBE=90°,∠DFB +∠ABE=90°, ∴∠CEF =∠DFB. 又∵∠CFE=∠DFB, ∴∠CEF =∠CFE. 11.阅读:如图①,∵CE ∥AB ,∴∠1=∠A,∠2=∠B,∴∠ACD =∠1+∠2=∠A+∠B.这是一个有用的事实,请用这个事实,在图②中的四边形ABCD 内引一条和边平行的直线,求出∠A+∠B+∠C+∠D 的度数.(第11题)(第11题解)【解】 如解图,过点D 作DE∥AB 交BC 于点E ,则∠A+∠ADE=180°,∠B +∠BED =180°.由题意,得∠BED =∠C +∠CDE ,∴∠A +∠B +∠C +∠CDA =(∠A +∠ADE )+(∠CDE +∠C )+∠B =180°+∠BED +∠B =180°+180°=360°.数学乐园12.如图,∠EOF =90°,点A ,B 分别在射线OE ,OF 上移动,连结AB 并延长至点D ,∠DBO 的平分线与∠OAB 的平分线交于点C ,试问:∠AC B 的度数是否随点A ,B 的移动而发生变化?如果保持不变,请说明理由;如果随点A ,B 的移动而发生变化,请给出变化的范围.(第12题)【解】 ∠ACB 的度数不随点A ,B 的移动发生变化.理由如下: ∵BC ,AC 分别平分∠DBO,∠BAO , ∴∠DBC =12∠DBO,∠BAC =12∠BAO.∵∠DBO +∠OBA=180°,∠OBA +∠BAO+∠AOB=180°, ∴∠DBO =∠BAO+∠AOB,∴∠DBO -∠BAO=∠AOB=90°.∵∠DBC +∠ABC=180°,∠ABC +∠ACB+∠BAC=180°, ∴∠DBC =∠BAC+∠ACB, ∴12∠DBO=12∠BAO+∠ACB, ∴∠ACB =12(∠DBO-∠BAO)=12∠AOB=45°.。
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1.3 证明(一)
A组
1.如图,下面的推理正确的是(D)
A.∵∠1=∠2,∴AB∥CD
B.∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AD∥BC
C.∵AD∥BC,∴∠3=∠4
D.∵∠ABC+∠DAB=180°,∴AD∥BC
,(第1题)) ,(第2题)) 2.如图,若a∥b,则∠1的度数为(C)
A.90° B.80°
C.70° D.60°
(第3题)
3.如图,下列条件中,能证明AD∥BC的是(D)
A.∠A=∠C
B.∠B=∠D
C.∠B=∠C
D.∠C+∠D=180°
4.字母a,b,c,d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种,将它们两两组合,并用字母连接表示,如表是三种组合与连接的对应表,由此可推断图形的连接方式为a⊕c.
组合,,,连接,a⊕b,b⊕d,d⊕c
(第5题)
5.如图,∠1与∠D互余,∠C与∠D互余.求证:AB∥CD.
【解】 ∵∠1与∠D互余,
∠C与∠D互余(已知),
∴∠1=∠C(同角的余角相等),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
(第6题)
6.如图,直线a∥b,三角形纸板的直角顶点A落在直线a上,两条直线分别交直线b于B,C两点.若∠1=42°,求∠2的度数.
【解】 ∵直线a∥b,∠1=42°(已知),
∴∠ACB=42°(两直线平行,内错角相等).
又∵∠BAC=90°(已知),
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=48°(三角形的内角和为180°),
∴∠2=∠ABC=48°(对顶角相等).
(第7题)
7.如图,∠1=∠2,∠D=50°,求∠B的度数.
【解】 ∵∠1=∠AGF(对顶角相等),
∠1=∠2(已知),
∴∠2=∠AGF(等量代换),
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),
∴∠B+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠B=180°-∠D=180°-50°=130°.
B组
(第8题)
8.如图,已知直线a∥b,直角三角形ABC的顶点B在直线a上,∠C=90°,
∠β=55°,则∠α的度数为__35°__.
【解】 过点C作CE∥a.
∵a ∥b ,∴CE ∥a ∥b ,
∴∠BCE =∠α,∠ACE =∠β=55°.
∵∠ACB =90°,
∴∠α=∠BCE =∠ACB -∠ACE =35°.
(第9题)
9.如图,已知AB ∥CD ,EF 与AB ,CD 分别相交于点E ,F ,EP ⊥EF ,与∠EFD 的平分线FP 相交于点P ,且∠BEP =50°,则∠EPF 的度数为__70°__.
【解】 ∵EP ⊥EF ,∴∠PEF =90°.
又∵∠BEP =50°,
∴∠BEF =∠BEP +∠PEF =140°.
∵AB ∥CD ,∴∠BEF +∠EFD =180°,
∴∠EFD =40°.
∵FP 平分∠EFD ,
∴∠EFP =∠EFD =20°.
12∵∠PEF +∠EFP +∠EPF =180°,
∴∠EPF =70°.
10.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,BE 平分∠ABC ,分别交
AC ,CD 于点E ,F .求证:∠CEF =∠CFE .
(第10题)
【解】 ∵BE 平分∠ABC ,
∴∠ABE =∠CBE .
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠CEF+∠CBE=90°,∠DFB+∠ABE=90°,
∴∠CEF=∠DFB.
又∵∠CFE=∠DFB,
∴∠CEF=∠CFE.
11.阅读:如图
①,∵CE∥AB,∴∠1=∠A,∠2=∠B,∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.这是一个
有用的事实,请用这个事实,在图②中的四边形ABCD内引一条和边平行的直线,求出
∠A+∠B+∠C+∠D的度数.
(第11题)
(第11题解)
【解】 如解图,过点D作DE∥AB交BC于点E,则∠A+∠ADE=180°,
∠B+∠BED=180°.
由题意,得∠BED=∠C+∠CDE,
∴∠A+∠B+∠C+∠CDA=(∠A+∠ADE)+(∠CDE+∠C)+∠B=180°
+∠BED+∠B=180°+180°=360°.
数学乐园
12.如图,∠EOF=90°,点A,B分别在射线OE,OF上移动,连结AB并延长至
点D,∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C,试问:∠ACB的度数是否随点
A,B的移动而发生变化?如果保持不变,请说明理由;如果随点A,B的移动而发生变化,请给出变化的范围.
(第12题)
【解】 ∠ACB 的度数不随点A ,B 的移动发生变化.理由如下:∵BC ,AC 分别平分∠DBO ,∠BAO ,
∴∠DBC =∠DBO ,12∠BAC =∠BAO .
12∵∠DBO +∠OBA =180°,∠OBA +∠BAO +∠AOB =180°,∴∠DBO =∠BAO +∠AOB ,
∴∠DBO -∠BAO =∠AOB =90°.
∵∠DBC +∠ABC =180°,∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°,∴∠DBC =∠BAC +∠ACB ,
∴∠DBO =∠BAO +∠ACB ,
1212∴∠ACB =(∠DBO -∠BAO)=∠AOB =45°.1212。