具时滞人机系统的Hopf-zero分支分析
具有时滞的Cohen—Grossberg神经网络的Hopf分支全局存在性研究
多科 技 工作 者的 关注 ． 由 于神 经 网络 的应 用要 依 赖
于 其动 力学行 为 ， 因此 神经 网络 的动 力学 分 析 成 为
设计 神 经 网络 的重要前 提 ．
Ｈ
函数 ｎ （・） 有界， 即存在 正 常数 口 和口 ，
Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｏ ｎ Ｇｌ ｏ ｂ ａ ｌ Ｅｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ Ｈｏ ｐ ｆ Ｂｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ
ａ Ｃｏ ｈｅ ｎ － Ｇｒ ｏ ｓ ｓ ｂ ｅ ｒ ｇ Ｎｅ ｕ ｒ ａ ｌ Ｎｅ ｔ ｗｏ ｒ ｋｓ ｗｉ ｔ ｈ Ｔｉ ｍｅ Ｄｅ ｌ ａ ｙ ｓ
第２ ５卷 第 １ 期 ２ ０ １ ３年 ２月
军
械
工
程
学
院
学
报
Ｖｏ１ ．２ ５ Ｎｏ． １ Ｆｅ ｂ ．２ ０１ ３
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｏｒ ｄ ｎ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ
具 有 时 滞 的 Ｃ ｏ ｈ ｅ ｎ — Ｇｒ ｏ ｓ ｓ ｂ ｅ ｒ ｇ神 经 网络的 Ｈｏ ｐ ｆ 分支全 局存在性研究
使得 Ｏ ＜ａ ＜ｎ （・ ） ≤口 。 ， ｉ 一１ ， ２ ， …， ；
Ｈ２ ｂ １ （ ０ ） ：ｂ ２ （ ０ ） 一 ０， ｆ１ （ Ｏ ） 一ｆ ２ （ Ｏ ） 一０；
文献 ［ ２ ］ 研 究 了 具 有 分 布 时 滞 的连 续 Ｃ ｏ ｈ ｅ ｎ — Ｇｒ ｏ ｓ ｓ ｂ ｅ ｒ ｇ神经 网络 的 Ｈｏ ｐ ｆ 分 支 问题 ， 笔者 考 虑具 有 离散 时滞 的连续 Ｃ ｏ ｈ ｅ ｎ — Ｇｒ ｏ ｓ ｓ ｂ ｅ ｒ ｇ神 经 网络模 型
具有混合时滞的随机Hopfield神经网络的稳定性分析
矩 阵 ， 是离散 时滞 的连 接权矩 阵 ； 是 分布 时滞 的 Ｄ
３ Ｓ １ ， ２ Ｔ ｈ Ｓ２ Ｏ ） １ ＜０ Ｓ２ －ｓａ １ ． ｓ ＜
引理 ３８ 对 任 意 的常 对 角 矩 阵 Ｍ ， ＝Ｍ ｒ ［ ３ Ｍ ，
常数 ７ ， ＞０ 有
连接权矩阵； （ （） ＝ Ｉ ，ｚ ￡） …， （ （ ） ， ｚ ｚ） ｆ （ （） ， ｚ ｆ ］ ） ∈Ｒ ； ｚ（） 一 ［ １ （ ） …， ￡） ∈Ｒ ； “ｇ（ ） ｇ （ ￡ ， ｇ （ ）］ ） （ ” 特别 的 ， 这个 离散 时滞是 时 变时滞 的 ， 布 时滞是 多 分 时 变时滞 的 ；≤ ＾ （） ＾ ÷ ≤ ＜ １Ｏ ｒ ≤ ０ ￡≤ ， （） ， ≤ （）
时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析
时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析时滞微分方程是一类具有历史信息的微分方程，在许多实际问题中都有广泛的应用。
由于它们具有与常微分方程不同的特性，因此对它们的稳定性和分岔现象的研究具有重要意义。
本文将介绍时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析。
首先，我们来看一般形式的时滞微分方程：$$\frac{dx}{dt} = f(x(t),x(t-\tau)),$$其中$x(t)$表示未知函数，$f(x(t),x(t-\tau))$表示给定的函数。
这种方程中的时滞项$x(t-\tau)$表示历史信息，它反映了系统过去的状态对当前状态的影响。
因此，时滞微分方程的稳定性与时延参数$\tau$密切相关。
稳定性是研究时滞微分方程解的一个重要问题。
通常，我们关注的是解在$t\rightarrow \infty$时的行为。
当方程的解趋于有限值或周期解时，我们称之为稳定解。
反之，如果解在$t\rightarrow \infty$时发散或趋向于无穷大，我们称之为不稳定解。
稳定性的判断方法主要有两种：线性稳定性和非线性稳定性。
线性稳定性是通过线性化时滞微分方程来判断原方程解的稳定性。
首先，我们要找到系统的平衡点$x^*$，即满足$f(x^*,x^*-\tau)=0$的点。
然后，我们将方程在$x^*$附近展开成泰勒级数，保留一阶项，即$$\frac{dx}{dt} = f(x^*,x^*-\tau) +\frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*}(x-x^*),$$其中$\frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*}$表示$f$对$x$的偏导数在$x=x^*$处的值。
线性稳定性的判断依据是线性化方程的特征值。
如果所有特征值的实部都小于零，则认为解是稳定的。
反之，如果存在特征值的实部大于零，则解是不稳定的。
非线性稳定性是通过对解的特性方程进行分析来判断的。
特性方程的形式为$$\lambda + \frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*} = 0.$$我们将其写成复数形式$\lambda = \alpha + i\omega$，其中$\alpha$表示实部，$\omega$表示虚部。
一类具有时滞的干扰模型的Hopf分支
Ⅳ ＝Ⅳ． ＝町 ＝ １
作变换 （）＝Ｎ（）一Ｎ’ （）＝Ｎ１ｔ ｆ ，１ｆ （）一Ｎ （） ＝ｆ （）一Ｎ 则 （ ）式 可化 为 ，２ｔ ｖ ｔ ２ ， ３ ｄ ＝ （ 一丁 ｔ （ ）＋Ⅳ ［ ） ６一ｃ （ － （ 一７ ）＋Ⅳ ］ ） ＋。 （ 一ｒ （ ￡ ）＋Ⅳ ）一ｄ 。￡ （ （）＋Ⅳ ）
一
类 具 有 时 滞 的 干 扰 模 型 的 Ｈｏｆ 支 ｐ分
阙军霞 ， 李必文 ， 中文 李
（ 北 师 范学 院 数 学 与统计 学院 ， 湖 湖北 黄 石 ４ ５０ ） ３０２
摘要 ： 讨论 了一类具有 时滞的干扰 的 单种群 模型 的无条 件稳 定性 以及 Ｈ ｐ 分 支的存在 唯一 性。首 先， ｏｆ 利
Ｊ一∞
则 系统 （ ）变化 为 １
ｄ ＝ａ ￡ Ｎ（） ｔ Ｎ（
一
ｆ ）一
＋
（）＋Ⅳ（ ｆ 一ｒ ［ ） ６一ｃ ｔ ） 。 Ｎ（ 一 ］
） （） ３
＝
＿Ⅳ】 ㈤
－ Ⅳ（
，
）
当 ６＞ （ 一。 古 ｄ ＞口时 ， ３ ） （ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式 有唯 一正平 衡态 Ｅ ： （ ， ） ， 中 Ⅳ Ｎ１， 其
＝
砉 … ｔ＂ （７’ －］ ）
’ ＞ ２ ．。 ， ｒ …
无 条件 稳定 的充 要 条件 是 １ ）其 特征方 程 △（ ） ＝０， ｒ＝０时所 有 根具 有 负实部 ； Ａ； 当
收 稿 日期 ：Ｏ Ｏ １一 ｌ ２ １一 ２ ５
作者简介 ： 阙军霞 （９ ６ １８ 一
）女 ， ， 湖北黄 冈人 ， 硕士 ， 究方向为微分方程与控制论 研
非负时滞参数 ， （） ＝ ｅ 并且系统 （ ） Ｋ ～， １ 满足如下初值条件 ： Ⅳ ￡ （）＞０ ｔ∈［ （）： ￡ ， 一∞ ，ｌ ∈Ｃ ＝ｃ ［ ｏ， （ 一∞ ，］Ｒ ） （ ）＞０ ０ ， ， ０ ’
一个带有时滞竞争系统的Hopf分岔研究
很显然，点 （， ） ０ ０ 是系统（ 的平衡点。系统（） ７ ） ７ 在平衡点 （， ） ０ ０ 处的线性化系统是
“ ０ ＝－ － （１ —ｆ＋ａ ２ — ） ｕ ） （ｕ（— ） ｕ（一 ）＋ ｕ （ ＋ ２ｔ ） ｌ ） ６ （ ） ｕ（ ） ２ ｔ＝一 ５ ｕｔ ｔ ， （ ｂ Ｉ ＋ ２ｔ ） Ｋ（２ｔ （— ） 。 ｔ ） 系统（） ８的特 征方程 为 ：
（ ＝ ｆ岛一 ｔ （— ） １ （一 ） Ｙ（ ＝ （ ［ 一 ２ （一 一 ２ （— ） 。 ｆ （ ［ ａ ｘｔ 一ａ ｙｔ ］ ） Ｙ ｔ ｂ ａｔ ｔ ａ２ ｔ ］ ） ） Ｉ ２ ， ｆ ）２ ｘ ｙ （） ４ 通 过选择 时滞参数 ， ｈ ｎ Ｚ ａ ｇ等 人分析 了系统（） 正平衡 点 附近 的 Ｈ ｐ 分岔 的存在性 和稳定性 问题 。 明 ４在 ｏｆ 证
） （ ［ 一口Ｉ ） ２（一 ） Ｙ ＝ ） ２ ａ１ ｔ ｝一ａ ）， ＝ｘｔｂ Ｉ ０ 一 Ｉ ｔ ２】 ） ［ 一 ２ （～ ） ２ ］ ）ｌ ｙ ， ６ ｘ ２ （） ３ 分析 了系统（） ３正平 衡点 的稳定性 和局 部 Ｈｏ 分 岔 的存 在性 。 ０ ９年 ， ｈ ｎ Ｊ２ ０ Ｚ ａ ｇ等 人研究 了带有时滞 的系统
一类具时滞反馈控制的反应扩散方程的Hopf分支分析
一类具时滞反馈控制的反应扩散方程的Hopf分支分析
Brusselator反应扩散模型主要是描述一种化学反应,对于这个模型的稳态解分支和Hopf分支已经有了很多很好的结论,反映了Brusselator反应扩散模型具有很好的动力学行为。
尽管反应扩散系统的动力学行为已经作为研究方向研究了几十年,但是在近年来人们才开始应用反馈控制去控制反应扩散系统,并研究在反馈控制下的反应扩散系统的动力学行为。
本文就是分析带有时滞反馈控制的Brusselator反应扩散模型的稳定性和Hopf分支。
本文主要分成两个部分:第一部分不考虑空间扩散项分析Brusselator系统在时滞反馈控制下的稳定性以及Hopf分支情况。
通过在正平衡点处线性化系统和分析相应的特征方程,分析正平衡点的稳定性以及发生Hopf分支情况。
然后利用通过中心流形定理和规范型理论分析Hopf 分支的分支方向以及分支周期解的稳定性,并给出了计算公式。
第二部分考虑空间扩散项分析Brusselator反应扩散系统在反馈控制下的稳定性以及Hopf分支情况。
通过在常数正稳态解处线性化系统和分析相应的特征方程,分析此正稳态解的稳定性以及发生Hopf分支情况。
最后利用吴建宏等建立的中心流形定理和规范型理论分析Hopf分支的分支方向以及分支周期解的稳定性,并给出了计算公式。
具有时滞的三种群竞争系统的Hopf分支分析
收稿 日期：２ ０ １ ４ ． ０ ９ ． ０ ６
作者简介： 赵宁 （ １ ９ ９ １ － ） 男， 汉，呼伦贝尔学院数学科学学院 １ １ 级本科生。 研究方向： 微分方程稳定性理论和生物数学。
万 阿荚 （ １ ９ ６ ７ 一 ）女 ，汉族 ，呼伦 贝尔学院数学科学 学院教授 ，博士 。研 究方向：微 分方程稳定性理论和 生 物数学。 宋志强 （ １ ９ ６ ７ 一 ）男，汉族 ，呼伦 贝尔学院工程技术学院 高级 工程 师，硕士 。研 究方向：机械设计及理论 、
具有 时滞 的三种群竞争系统 的 Ｈｏ ｐ ｆ 分支分析
赵 宁 宋 志 强 万 阿英
（ １ ． ３呼伦 贝 尔学院数 学科学学院 内蒙古 海拉 尔区 ０ ２ １ ０ ０ ８
２ ． 呼伦 贝尔学工程技术分院 内蒙古 海拉 尔区 ０ ２ １ ０ ０ ８）
摘
件 。
要 ：研究了一个带有时滞的竞争 系统正平衡点的稳定性情况 ， 运用代数基本定理，通过
． ．
ｒ ●● ●● ●● ● ● ●● ● ， 、● ●● ● ●● ●● ●● Ｌ
纵
系统 仅有一 个 正平 衡点 ：
一
／Ｌ
／
／
●
一
●
一
●
，
Ｙ， ｚ） ＝（ （ １ 一 一 ＋ ） ／ （ １ 一 一 ） ， （ １ 一 － ｃ － 一 ｂ ） ／ （ １ 一 一 一 ） ， （ １ － ａ ｂ －ｄ ＋ｂ ｄ ） ／ （ １ 一 一 ６ ） ）
） 、， ）
一 — —Ｚ ｌ ｌ ３ （ ， ） ＝ｚ （ ｔ ） 一 ｚ 系统（ ２ ） 转化为 ：
带有时滞和脉冲扰动的Hopfield神经网络的稳定性质
带有时滞和脉冲扰动的Hopfield 神经网络的稳定性质摘要 本文考虑的是带有时滞脉冲扰动的Hopfield 神经网络的平衡点的一致渐近稳定性、全局渐近稳定性和全局指数稳定性。
用Lyapunov 函数方法和LMI 技术可得到关于此系统稳定性的一些新法则。
结论与时滞和扰动的大小有关。
本文结果比已有文献的结果条件要弱。
最后给出两个数值例子说明此结果的有效性。
关键词 Hopfield 神经网络；一致渐近稳定；全局渐近稳定；全局指数稳定；时滞；脉冲扰动1 引言Hopfield 神经网络(HNN)被认为是信息处理系统的候补者，已经成功应用于联想记忆、模式识别、自动控制、模型分析、优化问题等领域[1-21]。
因而，HNN 的稳定性的研究引起了很多学者的关注。
时滞Hopfield 神经网络已经广泛地被研究很多年了，通过各种不同的方法也得到了关于此类型神经网络平衡点的稳定性的各种充分条件。
在[1]，Liu 用固定点定理和微分不等式技巧得到了带有连续分布时滞的HNN 的殆周期解的存在性和指数稳定性的充分条件。
在[4]，Zhang 运用Lyapunov 函数方法和LMI 技术得到了关于时滞HNN 的全局渐近稳定性的一些结果。
另一方面，脉冲扰动可使得不稳定的系统变得稳定，使稳定的系统变得不稳定（见[22-30]），因而它被广泛的应用在许多领域，如人口动力学、化学、工业机器人学、生物学等领域。
HNN 的目标是瞬间扰动系统或使系统状态突变，也就是呈现出脉冲效应 [6,7,9,19] 。
此种系统不能用单纯的连续HNN 或离散HNN 模型很好的描述出来。
最近，通过不同的方法得到了脉冲时滞HNN 模型的稳定性的一些结果。
例如，Zhang[12]用Lyapunov 函数方法和分析技巧得到了关于脉冲时滞HNN 系统的平衡点的一致稳定性的一个结果。
然而，[12]的结果仅仅只涉及到一致稳定。
因而，时滞和脉冲的效应被忽略。
事实上，时滞和脉冲可导致系统稳定性的很多性质。
一类具有时滞的传染病模型Hopf分支及稳定性分析
第35卷第1期2021年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.35No.1Feb.2021收稿日期:2020-08-24基金项目:湖南省自然科学基金项目(2020JJ4516);湖南省教育厅重点项目(17A181)作者简介:张露露(1996 ),女,硕士研究生,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:2234472312@㊂∗通信作者:廖茂新(1969 ),男,教授,博士,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:841139745@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2021.01.012一类具有时滞的传染病模型Hopf 分支及稳定性分析张露露,廖茂新∗,邓兴颖(南华大学数理学院,湖南衡阳421000)摘㊀要:研究了一类具有非线性传染率的传染病模型,确定了模型的基本再生数R 0,分析了模型无病平衡点和地方病平衡点的稳定性,以时滞为参数,得到了在地方病平衡点处Hopf 分支存在的条件㊁最后数值模拟以验证结果㊂关键词:Hopf 分支;时滞;平衡点;稳定性中图分类号:O175文献标志码:A文章编号:1673-0062(2021)01-0071-06Hopf Bifurcation and Stability Analysis of Epidemic Modelwith Time DelayZHANG Lulu ,LIAO Maoxin ∗,DENG Xingying(School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China)Abstract :It studied an epidemic model with nonlinear infection rate was,determined the basic reproductive number of regenerations for the model,and analyzed the stability of the model disease-free balance point and the local disease balance point.The conditions forHopf bifurcation at the local disease balance point are obtained on the parameter of time delay,numerical simulation to verify the results.key words :Hopf bifurcation;delay;the balance point;stability0㊀引㊀言传染病是一类由病原体或寄生虫引起的一类疾病,部分传染病会长期伴随人类共存,而有些传染病会在有效的防治措施下逐渐消亡㊂[1]在人们与传染病的长期抗争过程中,研究者们逐渐发现,在人体受到感染后,感染初期并不会表现出任何的症状,在一定时间之后,某些症状才回逐步表现出来㊂[2-8]也就是说,在传染病的传播过程中,某时刻种群的变化除受当前状态影响外,也会收到此前时刻的某些因素的影响[9]㊂但在研究初期,研究者们一般未考虑到时间滞后的因素㊂我们在传㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月染病模型中将时滯因素考虑进来,可以更加精准的反应传染病的实际传播机理及传播形态,以帮助我们提出㊁制定更加有效的控制传播范围的措施[10-16]㊂在前人的基础上,本文研究了一类具有时滯和非线性传染率的传染病模型,研究了平衡点的稳定性,及Hopf 分支的存在㊂在传染病模型中引入时滯,用于模拟传染病的潜伏期,利用基本再生数R 0判断疾病在一段时间时间发展后是仍然流行或是最终消亡;发现了在一定的条件下,时滯的引入会导致系统出现周期解,地方病平衡点E ∗处出现Hopf 分支㊂本文在文献[10]的基础上,将传染率kSI1+αI 2改为kS 2I 并引入时滞,得到以下模型:Sᶄ(t )=b -dS (t )-kS 2(t -τ)I (t -τ)+rR (t )Iᶄ(t )=kS 2(t -τ)I (t -τ)-(d +u )I (t )Rᶄ(t )=uI (t )-(d +r )R (t )ìîíïïïï(1)式中:S (t ),I (t ),R (t )分别表示在t 时刻易感染人群㊁已感染人群和恢复人群的数量;k 是比例常数,b 为人口的新增率,d 为人口的自然死亡率,u 是已感染人群的自然恢复率,r 是恢复人群失去免疫力后重新成为易感染人群的比率㊂考虑到生物学意义,系统(1)的初始条件ϕ={ϕ1,ϕ2,ϕ3}满足C +={ϕɪC ([-τ,0]),R 3+},其中R 3+={(S ,I ,R )ɪR 3:S ȡ0,I ȡ0,R ȡ0},ϕi (0)>0,i =1,2,3㊂1㊀稳定性分析及Hopf 分支存在的条件经计算可得系统(1)总有一个无病平衡点E 0=(bd,0,0),当R 0>1时,系统(1)有一正平衡点E ∗=(S ∗,I ∗,R ∗),其中S ∗=d +u k,I ∗=(d +r )(b -dS ∗)d 2+dr +du,R ∗=u d +r I ∗㊂系统(1)总存在一个无病平衡点E 0=(b d,0,0),接下来算基本再生数,由系统(1)可知新增染病者矩阵F 与移出染病者矩阵V 分别为F =[kS 2ˑ(t -τ)]I (t -τ),V =(d +u )I (t ),且F ,V 在无病平衡点E 0处的Jacobi 矩阵分别为F (E 0)=b d,V (E 0)=d +u ,可到基本再生数为R 0=ρ(FV -1)E 0=kS 2(t )d +uE 0=kb 2d 2(d +u )(2)对系统(1)首先分析其在平衡点E 0处的稳定性㊂求得系统(1)的线性化矩阵为A =-d -2kI (t )S (t )e -λτ-kS 2(t )e -λτr2kI (t )S (t )e -λτ-(d +u )+kS 2(t )e -λτu-(d +r )()(3)特征矩阵为B =λI -A =λ+d +2kI (t )S (t )e -λτkS 2(t )e -λτ-r -2kI (t )S (t )e -λτλ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ-uλ+(d +r )()(4)㊀㊀定理1:当R 0<1时,无病平衡点E 0是局部渐近稳定的;当R 0>1时,无病平衡点E 0是不稳定的㊂证明:在无病平衡点E 0=(bd,0,0)处的特征方程为B 0=λ+d kS 2(t )e -λτ-r 0λ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ-u +fλ+d +r()=(λ+d )[λ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ](λ+d +r )=f (λ)27第35卷第1期张露露等:一类具有时滞的传染病模型Hopf分支及稳定性分析令f(λ)=0,得到λ1=-d,λ2=-(d+r)为特征方程的两负根,且有λ3满足λ=kS20e-λτ-d-u(5)令g(λ)=λ-kS20e-λτ+d+u,当R0<1时,假设g(λ)有具有非负实部的根Re(g(λ))=Re(λ)+d+u-e-Re(λ)τkS20cos[Im(λ)τ]=0㊀㊀(6)即Re(λ)=-(d+u)+e-Re(λ)τkS20cos[Im(λ)τ]ɤkS20-(d+u)=(d+u)(R0-1)㊂㊀㊀由于R0<1,则Re(λ)<0,则g(λ)=0的所有根具有负实部,则R0<1时,无病平衡点E0是局部渐进稳定的㊂当R0>1时,g(0)=d+u-kS20=(d+u)(1-R0)<0,又有gᶄ(λ)=1+kS20τe-λτ>0,可知Re(λ)单调递增且有g(0)<0,则必存在一正实数λ0>0,使得g(λ0)=0,因此R0>1时,无病平衡点E0不稳定㊂证毕㊂引理2:当R0>1,τ=0时,正平衡点局部渐进稳定㊂证明:系统在正平衡点E∗处的特征方程为f1(λ)=(λ+d){λ2+(2d+r+u)λ+(d+u)(d+r)+e-λτ[(2kS(t)I(t)-kS2(t))λ+2k(d+r+u)S(t)I(t)-k(d+r)S2(t)]}=(λ+d){λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4]}其中:p0=2d+r+u,p1=(d+u)(d+r),p3=d+r,p4= d+r+u,a0=kS2(t),b0=2kI(t)S(t)㊂f1(λ)=0,易得λ=-d是方程负实根,其它根由以下方程确定g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4](7)当τ=0时方程变为g1(λ)=λ2+p0λ+p1+(b0-a0)λ-a0p3+b0p4㊂利用Routh-Hurwotz准则p0+b0-a0=(2d+r+u)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗-kˑd+uk=(d+r)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗则只需要b-dS∗>0(R0>1)时,p0+b0-a0>0㊂p1-a0p3+b0p4=(d+u)(d+r)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗㊃(d+r+u)-k㊃d+u k㊃(d+r)=2k㊃(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗ˑ(d+r+u)只需要b-dS∗>0(R0>1)时,p1-a0p3+b0p4>0㊂由Routh-Hurwotz准则知,方程根具有负实部,因此当τ=0,(R0>1)时,地方病平衡点E∗局部渐进稳定㊂证毕㊂引理3:当p1-a0p3+b0p4>0且p1+a0p3-b0p4<0时,方程具有一对纯虚根ʃiθ(θ>0)㊂证明:当τ>0时,g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4],将λ=iθ代入式中,并分离虚实部,得-θ2+p1=(a0p3-b0p4)cosθτ+(a0θ-b0θ)sinθτ-p0θ=(a0p3-b0p4)sinθτ-(a0θ-b0θ)cosθτ(8)ìîíïïïïïï两式平方相加得(-θ2+p1)2+(-p0θ)2=(a0p3-b0p4)2+(a0θ-b0θ)2,化简得θ4+[p20-2p1-(a0-b0)2]θ2+[p21-(a0p3-b0p4)2]=0(9)解得:θ2=-[p20-2p1-(a0-b0)2]+[p20-2p1-(a0-b0)2]2-4㊃[p21-(a0p3-b0p4)2]2(10)要使θ2>0,则要p21-(a0p3-b0p4)2<0㊂证毕㊂由式(8),可得37㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月τk =1θarcsin (-θ2+p 1)(a 0θ-b 0θ)-p 0θ(a 0p 3-b 0p 4)(a 0p 3-b 0p 4)2+(a 0θ-b 0θ)2+2k πθ,k =0,1,2, (11)引理4:d(Re λ)d τλ=i θ,τ=τk>0,其中τk 为式(11)㊂证明:由题意,证明d(Re λ)d τλ=i θ>0即可㊂令g 1(λ)=λ2+p 0λ+p 1+e -λτ(q 1λ+q 2)(12)其中q 1=b 0-a 0,q 2=b 0p 4-a 0p 3㊂式子(12)左右两边关于τ求导2λd λd τ+p 0d λd τ-τe -λτ(q 1λ+q 2)d λd τ-λe -λτ(q 1λ+q 2)+q 1e -λτd λd τ=0(13)可得d λd τ=λe -λτ(q 1λ+q 2)2λ+p 0+e -λτ[q 1-τ(q 1λ+q 2)](14)计算再有d λd τ()-1=2λ+p 0λe -λτ(q 1λ+q 2)+q 1λ(q 1λ+q 2)-τλ=2λ+p 0-λ(λ2+p 0λ+p 1)+q 1λ(q 1λ+q 2)-τλ(15)则有sign{dRe λd τλ=i θ}=sign {Red λd τ()-1λ=i θ}=sign {Re 2λ+p 0-λ(λ2+p 0λ+p 1)λ=i θ+Req 1λ(q 1λ+q 2)λ=i θ}=sign {Re -2θ-i p 0(i θ)2+i θp 0+p 1-i q 1i θq 1+q 2()}=sign {Re(2θ-i p 0)[(θ2-p 1)+i θp 0](θ2-p 1)2+(θp 0)2-i q 1(q 2-i θq 1)q 22+(θq 1)2()}=sign {2θ2-2p 1+p 20(θ2-p 1)2+(θp 0)2-q 21q 22+(θq 1)2}=sign{(2θ2-2p 1+p 20)[q 22+(θq 1)2]-q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign{2θ2q 22+θ4q 21-2p 1q 22+p 20q 22[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign{q 22(2θ2+p 20-2p 1)+θ4q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign {q 22[2θ2+(d +r )2+(d +u )2]+θ4q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=1>0证毕㊂㊀㊀由引理2㊁引理3㊁引理4,结合Hopf 分支理论与文献[4,11,16]可得到如下结论:定理2:当p 1-a 0p 3+b 0p 4>0,p 1+a 0p 3-b 0p 4<0,且当R 0>1时,如果τɪ[0,τ0)时,τ0=min(τj ),那么系统(1)的平衡点是局部渐进稳定;如果τ>τ0,那么系统(1)的平衡点是不稳定的,且当τ=τj 时,系统(1)的平衡点经历Hopf 分支㊂2㊀数值模拟前文讨论了时滞对无病平衡点及正平衡点的影响,接下来将通过数值模拟来直观的展示出时滞对系统解的影响㊂取参数b =1,d =0.8,u =0.2,r =0.4,k =4,则系统(1)为47第35卷第1期张露露等:一类具有时滞的传染病模型Hopf 分支及稳定性分析Sᶄ(t )=1-0.8S (t )-4S 2(t -τ)I (t -τ)+㊀㊀㊀0.4R (t )Iᶄ(t )=4S 2(t -τ)I (t -τ)-I (t )Rᶄ(t )=0.2I (t )-1.2R (t )ìîíïïïï(16)此时R 0=254>1,τ=1.3<τ0,系统存在唯一地方病平衡点,且地方病平衡点E ∗是局部渐近稳定的,此时疾病发展为地方病(见图1)㊂在同样参数条件下,选择τ=2.0>τ0时,此时地方病平衡点不再稳定(见图2)㊂图1㊀当τ=1.3<τ0时,模型(16)的正平衡解是渐进稳定的Fig.1㊀The positive equilibrium of (16)was asympomatic stable when τ=1.3<τ图2㊀当τ=2.0>τ0时,模型(16)的正平衡解是不稳定的Fig.2㊀The positive equilibrium of (16)wasn t stable when τ=2.0>τ057㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月3㊀结㊀论本文讨论了一个具有非线性发生率的具有时滞的流行病模型的稳定性,确定了基本再生数R0,由霍尔维兹定理判断了非负平衡点的局部稳定性㊂对于任意时滞,当R0<1时,无病平衡点全局渐进稳定的,即随着时间的推移,疾病最终消亡;R0 >1,时滞不为零时,在一定条件下,E∗不再稳定,系统出现周期解地方病平衡点出现Hopf分支㊂参考文献:[1]LIU Q,JIANG D Q,SHI N Z,et al.Asymptotic behavior of a stochastic delayed SEIR epidemic model with nonlinear incidence[J].Physica A:Statistical mechanics and its ap-plications,2016,462:870-882.[2]李林.经济系统中几个微分方程模型[J].中国科学院研究生院学报,2013,20(3):273-278. 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具时滞和功能反应模型的Hopf分支与Matlab计算
（ 陕西师范大学数学与信息科学学 院 陕西 西安 ７ ０ ６ ） １０ ２
摘
要
研 究具有 离ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和连续 时滞的 Ｈｏｔ ａ ｓｏ ｓ Ｐ ｒ ｉ ｉ 型的 Ｈ ｐ 分支 问题 。以时滞 为参数 ， － ａ ｔｄ模 ｏｆ 利用 特征值 理论 给 出系统惟 一正平
衡态 的稳定 性和 Ｈ ｐ 分 支存 在的充分条件 ； ｏｆ 根据规 范型理论和 中心流形 定理分 析 了在 临界值处 出现分支 周期解 的方 向及 稳定 性 ， 并给 出计算 其方 向和稳定性 的计算 公式 ； 最后利用 Ｍ ｔ ｂ对 实例 进行验证得到理论分 析和数值计算 的一致性 。 ａｌ ａ
ａ ｄ ｔ ｅ ｓａ ｉ ｔ ｅ ａ ａｙ ｅ ｙ ｕ ｉｇ ｔｅ ｎ ｒ ａ ｏ ｈ ｏ ｙ ａ ｄ ｔ ｅ ｃ ｎ ｒ ｎ ｉ ｌ ｈ ｏ ｅ ，ｔ ｅ ｃ ｍｐ ｔ ｔ ｎ ｆ ｒ ｕ ａ ｒｃ ｃ ｌｔ ｇ ｉ ｎ ｈ ｔ ｂ ｌ ｙ ａ ｎ ｓ ｄ ｂ ｓｎ ｈ ｏ ｌ ｆｒ ｔｅ ｒ ｎ ｈ ｅ ｔｅ ｍａ ｆ ｄ ｔ ｅ ｒ ｍ ｈ ｏ ｕ ａｉ ｏ ｉ ｒ ｌ ｍ ｍ ｏ ｏ ｍ ｌ ｅ ｆ ａ ｕａ ｉ ｔ ｏ ｌ ｎ ｓ ｄ ｒ ｃｉｎ ａ ｄ ｓａ ｉ ｔ ｒ ｒ ｓ ｎ ｅ ｓ ｗｅ１ Ｆ ｎ ｌ ， Ｍａ ｌ ｓ ｅ ｌｙ ｄ ｔ ａ ｉａ ｅ ｔ ｅ ｅ ａ ｐ ｅ ，ｔ ｅ ｃ ｎ ｉｔｎ ｙ ｏ ｕ ｈ ｏ ｅ ｉａ ｉｅ ｔ ｎ ｔｂ ｌ ｙ ａ ｅ ｐ ｅ ｅ ｔ ｄ ａ ｌ． ｉ ａｌ ｏ ｉ ｙ ｔ ｂ ａ ｉ ｍｐ ｏ ｅ Ｏ ｖ ｄ ｔ ｈ ｘ ｌ ｍ ｌ ｓ ｈ ｏ ｓｓｅ ｃ ｆ ｏ ｒ ｔｅ ｒ ｔ ｌ ｃ ｐ ｅ ｉｔ ｎ ｎ ｈ ｕ ｒｃ ｌｃ ｍｐ ｔｔ ｎ ａ ｅ ｓ ｐ ｏ ｄ ｒ ｄ ｃｉ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ ｎ ｍｅ ａ ｏ ｕ ａｉ ｒ ｕ ｐ ｓｅ ． ｏ ｉ ｏ Ｋｅ ｗｏ ｄ ｙ ｒｓ Ｈｏ ｔ ａ ａ ｉ ｉ ｅａ ｄ ｌ Ｈｏ ｆｂ ｆ ｒ ａｉｎ Ｓ ａ ｉ ｔ Ｍａ ａ ｏ ｕ ａｉ ｎ ｓ— ｒ Ｓ ｔ ｄ ｄ ｌｙ ｍｏ ｅ Ｐ ｏ ｐ ｉ ｃｔ ｔｂｌｙ ｕ ｏ ｉ ｄ ｂ ｃ ｍｐ ｔ ｔ ｏ
带有时滞的HR和Hopfield神经元网络模型的Hopf分岔分析
带有时滞的HR和Hopfield神经元网络模型的Hopf分岔分析带有时滞的HR和Hopfield神经元网络模型的Hopf分岔分析神经元网络模型是研究神经科学和认知科学的重要工具之一。
其中，带有时滞的神经元网络模型更能够模拟实际生物系统中的动态行为。
本文将介绍带有时滞的HR（Hodgkin-Huxley）模型和Hopfield神经元网络模型，并通过Hopf分岔分析探讨这两种模型的动态特性。
首先介绍HR神经元模型。
HR模型是由Hodgkin和Huxley 在1952年提出的，用于描述神经细胞的电生理特性。
该模型由四个非线性微分方程组成，分别描述细胞膜电压、钠离子电流、钾离子电流和漏电流之间的关系。
HR模型的一个重要特征是其具有时滞项，即模拟信息传递过程中信号传导的时间延迟。
这种时滞项的引入更能够模拟真实生物细胞中神经冲动传导的过程。
接下来介绍Hopfield神经元网络模型。
Hopfield模型是由美国物理学家约翰·霍普菲尔德于1982年提出的，用于解决优化问题。
该模型的基本单元是一个二值神经元，通过相互连接的权重矩阵来模拟神经网络中神经元之间的相互作用。
Hopfield模型的一个显著特点是其在离散时间步骤下的动力学行为，即模拟网络中神经元状态的演化过程。
此外，Hopfield模型可实现存储和提取模式的功能，并在信息处理中具有一定的应用潜力。
在对带有时滞的HR和Hopfield神经元网络模型进行Hopf分岔分析前，我们先简要介绍一下Hopf分岔理论。
Hopf分岔是非线性动力学中一种常见的分岔现象，描述了系统参数变化时平衡态向周期解变化的过程。
Hopf分岔点是系统从平衡状态突然产生与时间周期相关的周期运动的临界点。
对于连续时间系统，Hopf分岔可以通过线性稳定性分析和中心流形定理进行判定。
在考虑时滞的情况下，我们用变量 u 表示HR模型中的膜电压，用变量 x 表示Hopfield模型中的神经元状态。
具有时滞的Logistic模型的Hopf分支的频域分析
在现 实生活 中 ， 于具 体 的生态环 境 ，时滞 在 对 生 物活 动中经 常 出现 ，时滞对 生物 种 群 的影 响是生 物 学家非 常关 心的 问题 ，自从 文献 ［ ］发现 了时滞 １
会 破坏 Ｌ ｇｓｉ 型 的正平 衡点 的稳 定性并 引起周 ｏ ｉｔ ｃ模 期 振荡 以来 ，已有 大量 的文 献研 究 时 滞 对 Ｌ ｇｓ ｃ ｏ ｉｉ ｔ
第３ ７卷 第 ３ 期 ２ ｌ 年 ３ 月 Ｏ Ｏ
湖
南
大
学
学
报 （自 然 科 学 版 ）
Ｖｏ ． ７。 ． １ ３ ＮＯ ３
Ｍ ａｒ ２ ０ １ ０ ．
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｕ ａ ｉｅｓｔ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｆＨ ｎ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅ ） ｙ Ｓ
ｃ ｌ ａｕ ．Ｓ ｍｅｎ ｍｅ ｉａ ｉ ｌｔ ｎ ｒ ｉｅ ｏｊ ｓｉｙｔ ｅｒ ｓ ｌ ｆｔ ｅａ ａｙ ｉ． ａ ｌ ｅ ｏ ｕ ｒｃ ｌ ｍｕａ ｉ ｓａ ｅｇｖ ｎ ｔ ｕ ｔｆ ｈ ｅ ｕ ｔ ｏ ｈ ｎ ｌ ｓｓ ｖ ｓ ｏ ｓ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｌ ｇｉｔｃｍ ｏ ｅ ；Ｈ ｏ ｆ ｂ ｆ ｒ ａ ｉ ｙ ｗｏ ｄ ｏ ｓ ｉ ｄ ｌ ｐ ｉｕ ｃ ｔｏｎ；ｓ ａ ｉｉｙ；ｆ ｅ ｅ ｃ ｍａ ｎ；Ｎｙ ｉｔ ｃ ｉｅ ｉｎ ｔ ｂ ｌｔ ｒ ｑｕ ｎ ｙ ｄｏ ｉ ｑｕ ｓ ｒｔ ｒｏ
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具有时滞生态-流行病模型的稳定性与Hopf分岔
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．００
具有时滞生 态 一流行病模型 的稳 定性 与 Ｈｏ ｛ ｐ 分岔
赵 仕 杰 ， 侠 ， 鼎 一 ，袁朝 晖 常 李
（ 林 电 子科 技 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院 ， 西 桂 林 桂 广 ５１０） ４ ０ ４
摘
要： 具有时滞及非线性发生率 的生态一流行病模 型， 主要通过分 析系统在平衡 点的线性化方 程， 出了正平衡 给
第３ ｏ卷
第３ 期
桂 林 电 子 科 技 大 学 学 报
Ｊ ｕ ｎａ ｆ Ｇｕ ｌｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｅ ｔ ｏ ｉ ｃ ｎｏ ｏ ｙ ｏ ｒ ｌｏ ｉ ｉ ｅ ｓ ｔ ｆ Ｅｌｃ ｒ ｎ ｃ Ｔｅ ｈ ｌ ｇ ｉ
Ｖｏ ． ０． ． １ ３ Ｎｏ ３
２ １ 年 ６月 ００
ｏ ｅ ｔ ｒｍ ａ ｉｏ ｄ ａ ｄ ｎ ｒ ｌ ｏ ｍ ，ｗｅ ｇ ｔｔ ｅ ｆ ｒ ｌ ｓｆ ｒｄ ｔ ｒ ｎ ｎ ｈ ｉｅ ｔ ｎ ｏ ｐ ｉ ｒ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｎ ｃ ｎ ｅ ｎ ｆ ｌ ｎ ｏ ｍａ ｒ ｆ ｅ ｈ ｏ ｍｕ ａ ｏ ｅ ｅ ｍｉ ｉ ｇ ｔ ｅ ｄ ｒ ｃ ｉ ｆ ｏ Ｈｏ ｆｂ ｆ ｃ ｔ ｎ ｏ年 来 ， 着 传 染病 动 力 学 和 种 群 动 力 学 的 随 深 入 研 究 ， 系列 关于 传 染病 的 数学 模 型 ［ ］ 继 建 一 １相 立 ， 过研 究这 些 模 型 ， 们对 传 染病 的 传播 规 律 有 通 人 了更 深刻 的认 识 。在建 立传染 病 动力 学模 型过 程 中 ，
Ｚ ａ ｈｊ ，Ｃｈ ｎ ａ ｈ ｏ Ｓ ｉｅ ｉ ａ ｇＸｉ ，Ｌｉ ｎ ｙ ，Ｙｕ ｎ Ｚ ａ ｈ ｉ ｇｉ Ｄｉ ａ ｈ ｏ ｕ
“hopf分支”文件汇编
“hopf分支”文件汇编目录一、几类生物数学模型的Hopf分支二、时滞微分方程的Hopf分支的时域与频域分析三、时滞生物动力系统的稳定性和Hopf分支研究四、反应扩散捕食系统的Hopf分支和稳态解五、几类生物数学模型的Hopf分支几类生物数学模型的Hopf分支Hopf分支是一种非线性动力学行为，可在许多生物数学模型中找到。
它是一种重要的现象，可在各种不同的生物系统，如神经元、生态系统和流行病模型中找到。
Hopf分支是动态系统的一种类型，它描述了一个稳定状态如何转变为一个周期振荡状态。
具体来说，Hopf分支是指一个稳定状态失去稳定性并转变为一个等幅振荡态的过程。
这个过程是连续的，并且振荡的频率在分支点处为零。
在生物数学模型中，Hopf分支可用于描述许多不同的生物学现象。
例如，它可以描述神经元的发放和抑制，以及生物种群的周期波动。
以下是一些生物数学模型中常见的Hopf分支类型：神经元模型是一种描述神经元放电和抑制的数学模型。
Hopf分支可以描述神经元从静止状态到周期振荡状态的转变。
这种转变被认为是一种神经编码和解码的重要机制。
种群模型是一种描述生物种群动态变化的数学模型。
Hopf分支可以描述种群从稳定状态到周期振荡状态的转变。
这种转变被认为是一种生态平衡的调整机制。
流行病模型是一种描述传染病传播规律的数学模型。
Hopf分支可以描述疾病从稳定状态到周期振荡状态的转变。
这种转变被认为是一种控制传染病传播的重要机制。
Hopf分支在生物数学模型中具有广泛的应用。
它可以描述许多不同的生物学现象，包括神经元发放和抑制、生态平衡调整和传染病传播规律等。
通过建立适当的数学模型，可以更好地理解这些生物学现象的本质和规律，为未来的研究提供重要的参考。
时滞微分方程的Hopf分支的时域与频域分析时滞微分方程的Hopf分支是动力学系统中一类重要的现象，它在电路系统、神经网络、生物系统等领域有着广泛的应用。
Hopf分支是指系统在某些参数变化时，从稳定状态或周期状态偏离出来，进入一种新的持续振荡状态，即产生一个新的稳定极限环。
Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔研究
Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔研究摘要：本文研究了Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔。
首先，根据Shimizu-Morioka系统的动力学特征，建立了Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的数学模型；其次，通过矩阵Lyapunov方法，针对该控制系统的稳定性问题，得出了判定条件；最后，运用中心流形定理和Hopf分岔理论，分析了该控制系统在特定参数条件下的Hopf分岔性质，得到了稳定分岔周期解的存在性和稳定性条件。
以上分析结果表明，Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统具有较好的稳定性和分岔性质，对其相关研究具有一定的理论和实际应用价值。
关键词：Shimizu-Morioka系统；时滞反馈控制；稳定性；Hopf分岔1. 引言Shimizu-Morioka系统是一种具有混沌行为的非线性动力学系统，在众多应用中具有广泛的研究和应用价值。
控制系统中的稳定性和分岔性质是相关研究的重要问题，其中时滞反馈控制是一种有效的控制方法。
本文旨在研究Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔，为Shimizu-Morioka系统的控制与应用提供理论基础。
2. Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的数学模型Shimizu-Morioka系统的动力学行为可以用下列微分方程组表示：$$\begin{aligned}\frac{dx}{dt} &= -a x + yz \\\frac{dy}{dt} &= bx - kyz \\\frac{dz}{dt} &= xy - cz\end{aligned}$$其中，$a,b,c,k$是正实数参数。
为了更好地控制Shimizu-Morioka系统，考虑引入时滞反馈控制。
假设在$t-\tau$时刻对系统施加控制$u(t-\tau)$，则加入时滞反馈控制后的系统可以表示为：$$\begin{aligned}\frac{dx}{dt} &= -a x + yz \\\frac{dy}{dt} &= bx - kyz + u(t-\tau)\\\frac{dz}{dt} &= xy - cz\end{aligned}$$其中，$u(t-\tau)$是时滞反馈项，满足$u(t) = -Kx(t-\tau)$。
两类时滞微分方程的周期解与Hopf分支的开题报告
两类时滞微分方程的周期解与Hopf分支的开题报告一、研究背景时滞微分方程在众多自然科学和工程学科中都有着广泛的应用。
而周期解则是时滞微分方程中最重要的解之一，在自振、周期性现象等领域中有着广泛的应用。
因此，研究时滞微分方程的周期解及其Hopf分支成为一个热门问题。
二、问题描述本文探讨了两类时滞微分方程的周期解及其Hopf分支的问题。
具体而言，分别考虑了以下两类时滞微分方程：(1) dx(t)/dt = f(x(t))-g(x(t-T))(2) dx(t)/dt = f(x(t))-g(x(t-T))-h(x(t-2T))其中，f(x)，g(x)，h(x)为实值函数，T为正实数。
对于这两类时滞微分方程，我们的研究目标是求出它们的周期解及Hopf分支，以及分析它们的稳定性。
三、研究方法本文采用了多个方法来研究上述两类时滞微分方程的周期解及Hopf 分支。
具体而言，采用了变参数法、中心流形理论、极小曲线理论等方法来进行分析。
其中，变参数法主要用于求出周期解的存在性；中心流形理论主要用于研究Hopf分支的性质；极小曲线理论主要用于分析周期解的稳定性。
四、研究结论通过对上述两类时滞微分方程的研究，我们得出了以下结论：(1) 对于第一类时滞微分方程，当特定条件满足时，它存在唯一的正周期解，并且在Hopf分支处它的周期解失稳。
(2) 对于第二类时滞微分方程，当特定条件满足时，它存在唯一的正周期解和负周期解。
在Hopf分支处，正周期解和负周期解分别失稳，并且存在一个新的周期解。
五、研究意义本文对两类时滞微分方程的周期解及Hopf分支进行了深入的研究，这对于进一步理解和探索时滞微分方程的动力学特性具有重要意义。
同时，在自振、周期性现象等领域中，周期解及其Hopf分支也具有广泛的应用价值。
带时滞开放承载量的模型的Hopf分支研究及其在人口增长上的应用
带时滞开放承载量的模型的Hopf分支研究及其在人口增长上的应用李鹏;郭宇潇;牛犇【摘要】在一类带有开放承载量的模型的基础上引入性成熟时滞的影响,此时模型转化为幂率Hutchinson模型.特征方程根的分布分析表明,此方程会产生Hopf分支.借助多尺度方法,严格地证明了随着发展、分化、老龄化等因素的加强,人口模型中会产生经由Hopf分支出现的持续周期振动,这在具有人口增长的传统Hutchinson模型中是不会发生的.所得结果被应用到原始的具时滞和开放承载量的logistic方程,观测到了稳定的4τ周期振动.%The time delay of sexual maturity τ is intro duced into the open-ended logistic model,and then the model turns to be power-law Hutchinson's model.By analyzing the characteristic equation,it is found that Hopf bifurcation may occur in this model.With the help of method of multiple scales,it is rigorously proved that large factor characterizing development,differentiation or ageing leads to sustained stable oscillations via a Hopf bifurcation,which cannot happen in a traditional Hutchinson's model in case of human population's growing.The results are applied to the original delay open-ended logistic model,where a stable oscillating solution with 4τ period is observed.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2017(034)005【总页数】6页(P512-517)【关键词】开放承载量;幂率logistic模型;性成熟时滞;Hopf分支;振动【作者】李鹏;郭宇潇;牛犇【作者单位】高等教育出版社自然科学学术出版事业部,北京100029;哈尔滨工业大学(威海)理学院,威海264209;哈尔滨工业大学(威海)理学院,威海264209【正文语种】中文【中图分类】O19With the rapid economic development and increased demand of people in the last century, one should regard the carrying capacity of our planet as not a constant but a time-dependent variable. Take the annual energy use per capita discussed in paper [1] as an example, the population growth rate is obviously inversely proportional to energy consumption. This is mostly because people spend more resources to enhance the quality of daily life such that the environmental capacity of the earth reduces accordingly. The point of view that human carrying capacity varies with population growth could be traced back to paper [2], where the author discussed the methods of estimating human carrying capacity and reviewed some mathematical treatments about linking carrying capacity with total population in one differential equation.Recently, a model where the carrying capacity decays with population growing was established, namely, the open-ended logistic model [3]. Using M(t) as the world population at time t and Mf(t) the carrying capacity, the model readswith initials M(0)=M0 and Mf(0)=Mf0>M0. Here the dots stand for derivatives with respect to time t, flimG and flimD dimensionless fractions reflecting the degree of limitation of growth or development, and D a factor characterizing development, differentiation, ageing, etc.Notice that any M(t)=Mf(t) can be stationary state of open-ended logistic model (1), thus mathematical analysis on (1) requires some preliminary treatments, such as the distributed delay method in paper [4]. Another method is to turn open-ended logistic into the power-law logistic: by assuming both M(t) and Mf(t) trend towards M as t→, this model is proved to be equivalent to the following model [5]with λ=r flimG and θ=1+≥1. This equation is just the so-called power-law logistic or θ-logistic model [6].In this short paper, we will go a little further with the power-law logistic model: adding delay of sexual maturity age into the population growth. In fact, delay logistic equation (θ=1) has been extensively studied in literature [7], since it was first introduced in paper [8] as Hutchinson’s model. After adding time delay, we obtain a power-law Hutchinson’s model. By analyzing this functional differential equation, we find the developmental factor D may induce Hopf bifurcations and make the total population oscillate in a period related to delay.This paper is organized as follows: in Section 1 we will investigate the effect of time delay via bifurcation analysis, and theoretically prove the stability and direction of bifurcation. Some numerical results about amplitude and period are also given. These results are examined in Section2 for the open-ended logistic model with delay, where we find theoretical results coincide with numerical calculations very well. Finally in Section3 some conclusions complete this paper.We begin with normalizing the power-law logistic model. SubstitutingN(t)= into Eq. (2) admits =λN(1-Nθ), which can be viewed as a normalization of (2) by choosing M=1. This equation has two equilibriaN0=0 and N*=1, obviously between which we are concerned with N*. In fact, λ(1-Nθ) here is a modified growth rate after considering the variation of carrying capacity. To investigate growth of certain species, the growth rate is usually relative with the number of those in the reproductive stage, and this number is determined by the age of sexual maturity, that is λ[1-N(t-τ)θ], see paper [7] for example. Here we introduce a constant number τ standing for the age of sexual maturity, thenThis is a functional differential equation[9]. To investigate the stability ofN*=1, after making a slight perturbation by N=N*+ζeμt with ζ sufficiently small, we obtain the characteristic equationWhen θ=θ*=, Eq. (4) has a pair of imaginary roots. In fact, this characteristic equation is almost the same as that of Hutchinson’s equation [9]. By substituting μ=iω with ω>0 and separating the real and imaginary parts, we obtain the smallest posi tive θ=θ*, satisfyingis θ*=. Proving the existence of Hopf bifurcation and stability of bifurcated solutions is nontrivial, which needs the algorithm [10] and the fundamental bifurcation theory [11].Making a slight perturbation at the critical point by θ=θ*+ε2δ, where ε>0is small and δ a detuning real parameter, and introducing two time scales T0=t and TA=ε2t, the solution of Eq. (3) can be expressed byThe derivative with respect to t is now calculated asExpanding the term N(t-τ):=N(t-τ;ε) yieldsN(t-τ;ε)=1+εN1(T0-τ,TA)+ε2N2(T0-τ,TA)+ε3N3(T0-τ,TA)-ε3DAN1(T0-τ,TA)+….HenceSubstituting the above expressions into Eq.(3) and equating the coefficients of the same powers of ε, we have three differential equations with time variable T0. The first one isSince iω and -iω are solutions of μ+θ*λe-μτ=0, the general solution (in the complex form) N1(T0,TA) is of the formwhere A, varying in time scale TA, is the amplitude of the periodic solution eiωT0 oscillating in time scale T0, and σm±iωm are the rest roots ofμ+θ*λe-μτ=0. Obviously,σm<0 at θ=θ*, hence all the other terms die out except A(TA)eiωT0+e-iωT0 as T0→. Therefore, the long-time behavior of N1(T0,TA) is governed by N1(T0,TA)=A(TA)eiωT0+e-iωT0. Substituting it into the ε2-order term, we haveD0N2(T0,TA)+θ*λN2(T0-τ,TA)Thus N2(T0,TA) is solved byN2(T0,TA) =-A(TA)(TA)e-iτω-A(TA)(TA)eiτω-(θ*-1)A(TA)(TA)).Substituting N1 and N2 into the ε3-order term, we have a tediously long equation:with Δ=θ*Picking out secular terms with eiωT0 and setting them to zer o yieldswith A′(TA):=DAA(TA). From (8) we have the normal form given byA′(TA) =-A(TA)-A2(TA)(TA)).Notice that Sign Re α= Sign Re >0.Theorem 1 Eq.(3) undergoes a Hopf bifurcation at θ=θ*, and the stable (unstable) bifurcating periodic-4τ solutions start to appear at δ>0 (δ<0) if Re β<0(>0).Proof From the elementary results about Hopf bifurcation in paper [11], we have results about existence and stability of Hopf bifurcation. Eq.(5) indicates ω=λθ*, so we have the period of bifurcated solution at θ* is =4τ at the critical value θ*. The proof is completed.Now we give some simulation results by using the data of human population growth. Choose parameters λ=0.02 and τ=23, then θ*=3.4 and ω=0.068. The normal form is A′(TA)=A(TA) [(0.009 1+0.005 8i) δ-(0.014 6 +0.018 7i) |A(TA)|2] which can be simplified as |A(TA)|′=|A(TA)| (0.009 1 δ-0.014 6 |A(TA)|2). This, together with bifurcation results in paper [11], means that stable periodic solutions appear at δ>0.Take the world population as an example. The average growth rate is less than 0.05/year, see paper [1], hence λ=r flimG should be even smaller than that. Assume the average childbearing age of women is about 23 years old (τ=23). From the above results, Hopf bifurcation occurs at θ*=>1. Thus in a traditional logistic model for human population growth with delay, orHutchinson’s model, Hopf bifurcation never occurs and the total population trends towards M=M (N=1) without oscillating.Once θ becomes larger than θ*, after Eq.(3) undergoes a Hopf bifurcation stable periodic solutions appear. By employing the Matlab package DDE-BIFTOOL, a bifurcation analysis package developed by papers [12-13], we show, in Fig.1, amplitude and period of the bifurcated periodic solutions. As the increasing of θ, both amplitude and period increase as well. The bifurcated oscillation has period near 100 years (4τ). Moreover, calculating the Floquet multipliers with DDE-BIFTOOL indicates that these periodic solutions are always stable.Fig. 2 is an illustration of the solutions to Eq.(3) before and after the Hopf bifurcation θ*, where we observe an oscillating solution with period about 100 years. Recalling that θ is proportional to D, we conclude larger factor D induces oscillation of human population with about 100-year period.P recisely, θ>θ* is equivalent to D>-r . Simply choosing flimD=flimG=0.5, i.e., the degree of limitation of growth equals to that of development, we know θ>θ* means D>-r.It is worthwhile to mention that we add time delay in Eq.(3) basing on the power-law logistic model instead of the original open-ended model (1). A natural question arises: to what extent can our results explain the open-ended model? Now we will add delay in the open-ended model asHere time delay in the first question still means the average childbearing age that affects the growth rate, while we add delay in the second equation because we assume what mainly change the carrying capacity areresource-consuming and resource-producing on the earth by adults people.It is not easy to give any theoretical analysis to this equation thus we give some numerical results. In Fig.3, we find, during 600 years, when D is chosen by 0.01 or 0.08, the population and carrying capacity are stabilized or oscillates in a period nearly 100 years, respectively. Re calling that θ=1+, we have θ=1.25 or 3, where the result about Eq.(3) that large θ induces 4τ-periodic oscillation holds true.By using bifurcation theory and normal form method, we have proved that combining power-law logistic growth with childbearing delay leads to sustained oscillation of population, and this result is applied to open-ended model with delays very well. Considering the total population of human world as an open-ended model (1), when D is larger than a critical value -r , Hopf bifurcation appears and world population begins oscillating. Notice that when D=0, that is the case of Hutchinson’s model, Hopf bifurcation also appears at 2rτ=π. However, this condition leads to unrealistic parameters of growth rate and childbearing delay, thus does not make sense. As D represents development, differentiation or ageing, we know pursuing development blindly, strong population differentiation or serious population ageing may all cause population oscillating. Analytical results and Fig.1～ Fig.3 indicate that the population will oscillate with a large amplitude and in a 100-year period.【相关文献】[1] SHEFFIELD J. World population growth and the role of annual energy use per capita [J]. Technological Forecasting and Social Change, 1998, 59(1): 55-87.[2] COHE N J E. Population growth and Earth’s human carrying capacity [J]. 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一类具时滞反馈控制的摩擦模型的稳定性和Hopf分支分析
一类具时滞反馈控制的摩擦模型的稳定性和Hopf分支分析
摩擦是一种复杂的非线性物理现象,产生于具有相对运动的接触面之间。
在机械机电系统的摩擦模型的研究方面,以往的学者们比较注重系统的控制策略及其实现方法的研究,而对系统动力学方面的探讨尚不多见。
具时滞反馈控制的Stribeck摩擦模型是一个非线性控制系统,反馈控制力是被控对象位移的线性函数,Stribeck摩擦力则为速度的非线性函数,当系统参数位于某些区域时,反馈控制力会使滑块产生相当大的振动,所以分析系统的振动特性、稳定性等动力学性质是具时滞反馈控制的摩擦模型的重要研究课题。
另外,反馈控制系统中不可避免地带有时滞,考虑时滞的影响,一方面可以更客观、更准确地反应系统的实际工作情况,另一方面可以通过时滞反馈去控制动力学系统,以实现理想的控制策略。
通过对具有时滞反馈控制的摩擦模型的研究,可以最大程度地消除和减少摩擦引起的不利因素,提高系统的动力学性能。
因此,对具时滞反馈控制的
Stribeck摩擦模型的研究有重要的理论和实际意义。
在本文中,我们首先引入了一类具时滞反馈控制的Stribeck摩擦模型系统。
然后利用线性稳定性方法对此系统的平衡点进行稳定性分析,当系统的线性部分对应的特征方程的特征根为纯虚根时,算出相应的时滞τ,得到了平衡点的稳定性在时滞τ取某些值时发生翻转,并且在平衡点处系统经历Hopf分支,而且我们发现当时滞量发生变化时系统产生了“稳定性开关”的现象。
接着利用规范型理论和中心流形定理讨论了系统Hopf分支的分支方向和分支周期解的稳定性,给出了关于分支方向和分支周期解稳定性的计算公式。
最后利用MATLAB软件进行相应的数值模拟,数值模拟结果与所得理论分析结果具有
一致性。
具时滞人类呼吸系统的Hopf分支分析的开题报告
具时滞人类呼吸系统的Hopf分支分析的开题报告1.研究背景和意义人类呼吸系统是人体生理系统当中的一种复杂非线性系统，其内部随着生理变化不断发生着复杂的动力学行为。
其中引发人体疾病等问题的时滞现象是一个相当关键的因素，其疾病诊断、治疗等都极具挑战性。
开展时滞人类呼吸系统的Hopf分支分析，可以更好的揭示呼吸系统的动力学特性与行为，促进人类呼吸系统疾病的研究。
同时，这方面的研究也具有一定的理论意义，可以帮助深入了解复杂非线性系统的动力学特性及其行为。
2.研究目标本论文旨在开展时滞人类呼吸系统的Hopf分支分析，揭示呼吸系统的动力学行为，分析时滞对呼吸系统的影响，并帮助预测呼吸系统在不同情况下的动态响应。
3.研究方法首先，我们将建立起时滞的人类呼吸系统数学模型，并使用Matlab等工具对模型进行仿真。
然后，通过Hopf分析方法，求解模型中的临界点和极限环，通过这种方法可以了解系统中平衡点的稳定性，以及系统轨迹的变化情况。
接着，我们将通过分析数值计算的结果，探究系统中复杂的振荡、周期等行为，对系统动力学行为进行更加深入的了解。
4.研究预期结果通过Hopf分析方法，我们可以得到时滞人类呼吸系统的动力学特性与行为，以及时滞对呼吸系统的影响，揭示一些呼吸系统的特殊振荡、周期等行为。
同时，我们也可以根据模型对呼吸系统在不同情况下的动态响应进行预测，为呼吸系统疾病的预防、诊断、治疗等提供一定的理论基础。
5.研究意义本论文将深入探究人类呼吸系统的动力学行为，并揭示时滞对呼吸系统的影响，有助于我们更好地理解呼吸系统的复杂性，为呼吸系统相关疾病的诊断和治疗提供新的思路和方法。
此外，本论文也对复杂非线性系统的动力学特性及其行为有较深入的研究，可为未来同类研究提供新的思路和方法。