第十一讲 第1课：不等关系与不等式学案
高中数学《不等关系与不等式》导学案
第1课时不等关系与不等式1.不等式的定义所含的两个要点(1)□01<，≤，>，≥或□02≠.(2)□03不等关系．2．比较实数a，b大小的依据(1)文字叙述如果a－b是□04正数，那么a>b；如果a－b是□05零，那么a＝b；如果a－b是□06负数，那么a<b，反之也成立．(2)符号表示a－b>0⇔a□07>b；a－b＝0⇔a□08＝b；a－b<0⇔a□09<b.(3)结论确定任意两个实数a、b的大小关系，只需确定□10它们的差a－b与0的大小关系．3．比较大小的方法(1)作差：比较数(式)的大小常用作差与□110比较．(2)作商：两数(式)为同号时，作商与□121比较．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a 不大于－2，用不等式表示为a ≥－2.( )(2)某隧道入口竖立着“限高4.0米”的警示牌，则经过该隧道的物体的高度h 应满足h <4.0.( )(3)若x 2>0，则x >0.( )(4)若x >1，则x 3＋2x 与x 2＋2的大小关系为x 3＋2x >x 2＋2.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(1)(教材改编P 74T 1(2))一桥头竖立的“限重40 t ”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使货车总重量T 不超过40 t ，用不等式表示为________．(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于3%，蛋白质的含量p 应不少于2.5%，写成不等式组就是________．(3)若x ≠1，则M ＝x 2＋y 2－2x ＋2y 的值与－2的大小关系为________． (4)x 2＋3与2x 的大小关系为________． 答案 (1)T ≤40 (2)⎩⎨⎧f ≥3%，p ≥2.5% (3)M >－2(4)x 2＋3>2x探究1 用不等式(组)表示不等关系例1 某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解 设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0.8＋0.35(x －1)＝1.15＋0.7(y －1)，20≤0.8＋0.35(x －1)≤21，20≤1.15＋0.7(y －1)≤21.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，5567≤x ≤5857，271314≤y ≤29514.∵x ，y 均为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝56，y ＝28或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝29，即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56,28或58,29台计算机． 拓展提升将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接，应特别注意能否取等号． (3)多个不等关系用不等式组表示．【跟踪训练1】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A ，B 含量及成本如下表：若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B.试用x ，y 表示混合食物成本c 元，并写出x ，y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ，又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y .由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56000，800x ＋400y ＋500z ≥63000 及z ＝100－x －y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.探究2 作差法比较大小例2 (1)设m ≠n ，x ＝m 4－m 3n ，y ＝n 3m －n 4，比较x 与y 的大小． (2)已知a >0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋1)，q ＝log a (a 2＋1)，比较p 与q 的大小． 解 (1)x －y ＝(m 4－m 3n )－(n 3m －n 4) ＝(m －n )m 3－n 3(m －n ) ＝(m －n )(m 3－n 3) ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)， ∵m ≠n ，∴(m －n )2>0.又∵m 2＋mn ＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＋3n 24>0，∴(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)>0. ∴x －y >0，∴x >y .(2)p －q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1.当a >1时，a 3＋1>a 2＋1， ∴a 3＋1a 2＋1>1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0； 当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1， ∴a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0. 综上，p －q >0，∴p >q . 拓展提升1.第(1)题通过分解因式和配方判断差的符号，第(2)题通过分类讨论判断差的符号．可以看到，用作差比较法时，判断所作差的符号常用配方法、分解因式法、分类讨论法．2．作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤第一步：作差并变形，其目标应是容易判断差的符号．变形有两种情形： (1)将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． (2)将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步：判断差值与零的大小关系． 第三步：得出结论．【跟踪训练2】 (1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．解 (1)∵x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a ，当a ＝±1时，a ＝1a ；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a . 探究3 作商法比较大小例3 已知a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小． 解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ， ①当a >b >0时，a b >1，a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1；②当0<a <b 时，0<a b <1，a －b <0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1.综上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a .拓展提升作商法比较大小应注意的问题作商法：即通过判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．解[规律小结]1.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．2.关于a≤b或a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者a<b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即，若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b 正确．(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即，若a>b或a＝b之中有一个正确，则a≥b 正确．3.作差法比较两个实数大小的基本步骤(1)作差．(2)变形．将两个实数作差后变形为：①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形式．(3)定号．即判定所得差是大于0，小于0，还是等于0.(4)结论．利用实数大小之间的关系得出结论．注意：变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形．4.作商法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作商； (2)变形；(3)比较商与1的关系．注意：只有同号的两数才适用于作商法比较大小．[走出误区] 易错点⊳用不等式组表示实际问题时理解错误 [典例] 两种药片有效成分见下表：若要求至少提供12 mg 阿司匹林、70 mg 小苏打、28 mg 可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．[错解档案] 设提供A 药片x 片，B 药片y 片，则由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28.[误区警示] 以上不等式对药品成分的限定额度是完全正确的，但是考虑到问题的实际应用性，还应保证两种药片的数量均为非负整数，这一隐含条件往往是容易被忽视的．[规范解答] 设提供A 药片x 片，B 药片y 片(x 、y ∈N )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28，x ≥0(x ∈N )，y ≥0(y ∈N ).[名师点津] 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤： (1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量． (2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)． (3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件).1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .2．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式(组)表示为( )A ．v ≤120 km/h 或d ≥10 m B.⎩⎨⎧v ≤120 km/h ，d ≥10 m C ．v ≤120 km/h D ．d ≥10 m 答案 B解析 依据题意直接将不等关系转化为不等式，即v ≤120 km/h ，d ≥10 m ，注意两个不等关系必须同时成立．3．用“>、<、≥、≤”符号填空(1)(2a ＋1)(a －3)________(a －6)(2a ＋7)＋45； (2)a 2＋b 2________2(a －b －1)． 答案 (1)< (2)≥解析 (1)因为(2a ＋1)(a －3)－[(a －6)(2a ＋7)＋45]＝－6<0，所以(2a ＋1)(a －3)<(a －6)(2a ＋7)＋45.(2)因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)．4．当m >2时，m m 与2m 的大小关系是________． 答案 m m >2m解析 由于m m >0,2m >0，故可采用作商法， ∴m m 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m . ∵m >2，∴m 2>1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m >1.即m m >2m .5．(1)当x >1时，比较x 3与x 2－x ＋1的大小； (2)已知：a <b ，1a <1b ，判定a ，b 的符号．解 (1)x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1 ＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)， 因为x >1，所以(x －1)(x 2＋1)>0， 所以x 3>x 2－x ＋1.(2)因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab <0，① 因为a <b ，所以b －a >0，②综合①②知ab <0，又因为a <b ，所以a <0<b .A 级：基础巩固练一、选择题1．某校对高一划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示为( )A.⎩⎨⎧ x ≥95，y ≥380，z >45B.⎩⎨⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎨⎧x >95，y >380，z ≥45D.⎩⎨⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 x 不低于95分，是x ≥95；y 高于380分，是y >380；z 超过45分，是z >45.2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a >1b B ．2a >2b C ．|a |>|b | D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 答案 B解析 ∵a <b ，y ＝2x 单调递增，∴2a <2b .故选B.3．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )<0 答案 C解析 ∵c <b <a ，且ac <0，∴a >0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A ，B ，D 均正确． ∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立. 故选C.4．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对生产的某种型号的彩电降价销售，现有4种降价方案：(1)先降价a %，再降价b %； (2)先降价b %，再降价a %； (3)先降价a ＋b 2%；再降价a ＋b2%；(4)一次性降价(a ＋b )%，其中a >0，b >0，a ≠b . 上述方案中，降价幅度最小的是( )A ．方案(1)B ．方案(2)C ．方案(3)D ．方案(4)答案 C解析 设该品牌彩电的原价为“1”，降价后的彩电价格依次为x 1，x 2，x 3，x 4， 则x 1＝(1－a %)(1－b %)，x 2＝(1－b %)(1－a %)， ∴x 1＝x 2否定A ，B.x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2，x 4＝1－(a ＋b )%，x 3－x 4＝14[(a ＋b )%]2>0.故降价幅度最小的是C.二、填空题5．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216解析 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，∴0<x ≤18， 这时菜园的另一条边长为30－x 2＝15－x2. ∴菜园面积S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意S ≥216，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216，∴题中的不等关系用不等式组表示为⎩⎨⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.6．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：________.答案a ＋mb ＋m >ab解析 ∵a ＋m b ＋m －a b ＝(a ＋m )b －a (b ＋m )(b ＋m )b ＝(b －a )m (b ＋m )b >0，∴a ＋m b ＋m >ab.答案>解析三、解答题8．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较a n＋b n与a n－1b＋ab n－1的大小．解(a n＋b n)－(a n－1b＋ab n－1)＝a n－1(a－b)＋b n－1(b－a)＝(a－b)(a n－1－b n－1)，①∵当a＞b＞0时，a n－1＞b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0；②∵当0＜a＜b时，a n－1＜b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0；∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(a n－1－b n－1)＞0.∴a n＋b n＞a n－1b＋ab n－1.9．若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．解(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x2＋y2)(x－y)－(x－y)(x＋y)2＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x<y<0，∴x－y<0，xy>0，∴－2xy <0，－2xy (x －y )>0， 即(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元(x >0)，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．B 级：能力提升练1．若a ，b ，c ，d 均为实数，使不等式a b >cd >0和ad <bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是________(只要举出适合条件的一组值即可)．答案 (2,1，－1，－2)解析 由a b >c d >0知，a ，b 同号，c ，d 同号，且a b －c d ＝ad －bcbd >0. 由ad <bc ，得ad －bc <0，所以bd <0.所以在取(a ，b ，c ，d )时只需满足以下条件即可： ①a ，b 同号，c ，d 同号，b ，d 异号；②ad <bc . 令a >0，b >0，c <0，d <0， 不妨取a ＝2，b ＝1，c ＝－1， 则d <bc a ＝－12，取d ＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．2．设a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小． 解 ∵12log a t ＝log a t ，t ＋12－t ＝t －2t ＋12＝(t －1)22，∴当t ＝1时，t ＋12＝t ；当t ＞0且t ≠1时，t ＋12＞t . ∵当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＞log a t ＝12log a t ； 当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＜log a t ＝12log a t ； 当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .综上可知，当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .当t ＞0且t ≠1时，若a ＞1，则log a t ＋12＞12log a t ；若0＜a ＜1，则log a t ＋12＜12log a t .。
不等关系与不等式教案
不等关系与不等式教案教案标题：不等关系与不等式教案教案目标：1. 理解不等关系的概念，并能够正确运用不等关系符号（大于、小于、大于等于、小于等于）。
2. 掌握解不等式的方法，包括图像法和代数法。
3. 能够在实际问题中运用不等关系和不等式解决数学问题。
教学资源：1. 教材：包含不等关系和不等式的相关知识点。
2. 白板、黑板或投影仪：用于展示教学内容和解题步骤。
3. 练习题：用于巩固学生对不等关系和不等式的理解和运用能力。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾等关系的概念，例如“大于”和“小于”。
2. 提出问题：“在数学中，我们还可以比较两个数的大小，但不一定是相等的关系，你知道这个叫什么吗？”引导学生理解不等关系的概念。
概念讲解（10分钟）：1. 解释不等关系的符号表示，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
2. 通过示例和图示，帮助学生理解不等关系符号的含义和使用方法。
解不等式的方法（15分钟）：1. 图像法：通过绘制数轴和标记关键点的方式，帮助学生直观地理解不等式的解集。
演示解不等式的图像法步骤，并让学生跟随进行练习。
2. 代数法：通过运用数学运算规则和性质，将不等式转化为等价的形式，从而求解不等式。
演示解不等式的代数法步骤，并让学生进行练习。
练习与巩固（20分钟）：1. 给学生分发练习题，包括不等关系的填空题和不等式的求解题。
确保题目涵盖不同难度和类型，以满足不同学生的需求。
2. 引导学生独立或合作完成练习题，并及时给予指导和反馈。
3. 随堂检查学生的练习情况，并解答他们可能遇到的问题。
拓展应用（10分钟）：1. 提出一些实际问题，要求学生利用不等关系和不等式进行求解。
例如：“某超市举行促销活动，商品原价的80%作为折扣，你能计算出打折后的价格吗？”2. 鼓励学生思考如何将实际问题转化为数学不等式，并运用所学知识解决问题。
总结与反思（5分钟）：1. 总结不等关系和不等式的概念和解题方法。
不等关系和不等式 学案
1.1不等关系和不等式课型: 新授设计人：设计时间：1月26日使用时间：课标要求:掌握等式与不等式的定义,会写不等式一、学习目标:1. 通过具体情境,感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2. 了解不等式的意义,使学生经历实际问题中数量关系的分析和抽象过程,感受不等式和等式都是刻画现实世界中数量关系的工具,发展学生的符号感.二、学习重点: 不等式的概念学习难点：不等关系的表示三、学习过程：（一）基础知识：1. 学生自主阅读课本第2页，你能利用不等号分别表示出上述4个问题中的不等关系。
2. 完成课本第4页的做一做和议一议。
思考：你列出的式子与我们以前学过的等式有什么不同？（二）应用提高：1.不等式的概念。
并举例说明。
理解:负数、正数、非负数、非正数、不超过、不高于、不大于、不低于、不小于、的数学符号2. 判断下列式子哪些是不等式？哪些不是？①3＞－1；②3x≤－1;③2x－1;④s=vt;⑤2m＜8－m;⑥5x－3=2x+1;⑦a+b≥c；⑧1+1≠2②规律总结：一个式子是不是不等式，关键是看它是否含有常用的五中不等号其中的一种或几种，若有则是不等式；否则便不是。
（三）拓展反思：1. 设a＜b,用“＜”或“＞”填空。
⑴a+1 b+1⑵a-3 b-3⑶-a -b⑷-4a-5 -4a-32. 用不等式表示：⑴.a与b的和不是负数：.⑵.x的2倍与3的差大于4：.⑶.8与y的2倍的和是负数：（四）课堂小结：我学会了：不明白的地方（或`容易出错的地方）：四、达标测试：基础把握：1.在数学表达式①-2＜0 ②3x-k＞0 ③x=1 ④x≠2 ⑤x+2＞x-1 中是不等式的有（）A．2个 B.3个 C.4个 D.5个2.若a＞b,那么仍能成立的不等式是（）A．ac＞bc B. ac＜bc C.a+1＞b+2 D.a-c＞b-c3.用不等式表示下列数量关系：①.x的相反数大于x的倒数.②.a的平方的相反数不是正数.五、资源链接：中考题：ac大于bc，c是任意实数时,a、b的关系六、学习反思：。
不等关系与不等式导学案
不等关系与不等式导学案文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]不等关系与不等式导学案命制学校：沙市五中命制教师：王旭俐学习目标：1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．学习重点：比较两实数大小．学习难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号学法指导：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系知识链接：在日常生活中，我们经常看到下列标志：问题1：你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；②限制质量：装载总质量G不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5米；④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；⑤时间范围：t∈．问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.自主学习：不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。
2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不多于，不超过符号语言＞＜≥≤边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a<b；若a－b 是零，则a＝b.问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．比较两个实数a、b大小的依据文字语言符号表示如果a ＞b ，那么a －b 是正数； 如果a ＜b ，那么a －b 是负数； 如果a ＝b ，那么a －b 等于0，反之亦然a >b ?a －b >0 a <b ?a －b <0 a ＝b ?a －b ＝01．上面的“?”表示“等价于”，即可以互相推出．2．“?”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.不等式的基本性质问题1：若a 提示：正确．∵a >b ，b >c ，∴a －b >0，b －c >0. ∴(a －b )＋(b －c )>0.即a －c >0.∴a >c .问题2：若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ，对吗？为什么？ 提示：正确．∵a ＞b ，∴a －b ＞0，∴a ＋c －b －c ＞0 即a ＋c ＞b ＋c .问题3：若a ＞b ，则ac ＞bc ，对吗？试举例说明．提示：不一定正确，若a ＝2，b ＝1，c ＝2正确．c ＝－2时不正确．不等式的性质(1)对称性：a >b ?b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ?a >c ； (3)可加性：a >b ?a ＋c >b ＋c . 推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ?a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：⎭⎬⎫a >bc >0?ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0?ac <bc ；推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0?ac >bd ；(5)正数乘方性：a >b >0?a n>b n(n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0?n a >nb (n ∈N *，n ≥2)．1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性． 合作探究：某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ∈N ，y ∈N .用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速80 km/h 的路标； (2)桥头上限重10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%，蛋白质的含量p 不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h ， 则v ≤80.(2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.(3)⎩⎨⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%.(1)x 2＋3与2x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． (1)(x 2＋3)－2x ＝x 2－2x ＋3 ＝()x －12＋2≥2＞0， ∴x 2＋3＞2x .(2)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2 ＝a 2(a －b )－b 2(a －b )＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，且a ≠b ， ∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0. ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0， 即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．2．比较x3＋6x与x2＋6的大小．解：(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)∵x2＋6＞0.∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，即x3＋6x＞x2＋6.当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，即x3＋6x＝x2＋6.当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，即x3＋6x＜x2＋6.已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：a－c ＞b－d.∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，即a－c＞b－d＞0，∴0＜1a－c＜1b－d，又∵e＜0，∴ea－c ＞eb－d.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.3．已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp.证明：∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp.∴－ap＜－bp，又m＞n，即n＜m.∴n－ap＜m－bp.已知1＜a＜4,2＜b＜8.试求2a＋3b与a－b的取值范围．∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24∴8＜2a＋3b＜32.∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，即－7＜a－b＜2.故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．【探究一】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【探究二】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．在本例条件下，求ab的取值范围．∵2＜b＜8，∴18＜1b＜12，而1＜a＜4，∴1×18＜a·1b＜4×12，即18＜ab＜2.故ab 的取值范围是(18，2)．不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．例：已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求ab的取值范围．解：因－6＜a＜8,2＜b＜3.∴13＜1b＜12，(1)当0≤a＜8时，0≤ab＜4；(2)当－6＜a＜0时，－3＜ab＜0.由(1)(2)得：－3＜ab＜4.利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝53，λ2＝－23.又－53≤53(a＋b)≤53，－2≤－23(a－2b)≤－23，所以－113≤a＋3b≤1.(注：本题可以利用本章第三节内容求解)1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( )A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200解析：选 D 据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是( )A．M＞－5 B．M＜－5C．M≥－5 D．M≤－5解析：选A M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(x＋2)2＋(y－1)2＞0.故M＞－5.3．如果a＞b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)＜0.答案：c－2b4．若－10＜a＜b＜8，则|a|＋b的取值范围是________．解析：∵－10＜a＜8，∴0≤|a|＜10，又－10＜b＜8，∴－10＜|a|＋b＜18.答案：(－10,18)5．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；(2)若－1＜a＜b＜0，试比较1a，1b，a2，b2的大小．解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．∵x≤1，∴x－1≤0.又3x2＋1＞0，∴(x－1)(3x2＋1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.(2)∵－1＜a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴a2＞b2＞0.∵a＜b＜0，∴a·1ab＜b·1ab＜0，即0＞1a＞1b，∴a2＞b2＞1a＞1b.一、选择题1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( ) A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．与x有关解析：选A M－N＝x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34＞0.∴M＞N.2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y ≥380z >45B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y >380z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95y >380z >45D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45解析：选D 由题中x 不低于95即x ≥95，y 高于380即y >380， z 超过45即z >45.3．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0， 又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.4．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2α－β3的范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，56πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，56πC.()0，πD ．⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π. 5．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋bC．若a＞b，c＜d，则ac＞bdD．若a2＞b2，则－a＜－b解析：选B 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.二、填空题6．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.解析：a2＋b2＋c2－＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.答案：＞7．已知|a|＜1，则11＋a与1－a的大小关系为________．解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1.∴1＋a＞0,1－a＞0.即11＋a 1－a ＝1 1－a2∵0＜1－a2≤1，∴11－a2≥1，∴11＋a≥1－a.答案：11＋a≥1－a8．某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：件，最高产值为________万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330， 当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.所以应开发A 类电子器件20件，能使产值最高，为330万元． 答案：20 330 三、解答题9．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h ；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋需用4 h ；生产每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t ．试根据这些数据预测明年的产量．解：设明年的产量为x 袋，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ≤200×2 100x ≥80 0000.02x ≤600＋1 200，解得80 000≤x ≤90 000.预计明年的产量在80 000到90 000袋之间． 10．(1)a ＜b ＜0，求证：b a ＜a b； (2)已知a ＞b ，1a ＜1b，求证：ab ＞0.证明：(1)由于ba－ab＝b2－a2ab＝?b＋a??b－a?ab，∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，∴?b＋a??b－a?ab＜0，故ba＜ab.(2)∵1a＜1b，∴1a －1b＜0，即b－aab＜0，而a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0.。
不等式与不等关系导学案
§不等关系与不等式例 1.用不等式表示出下边的不等关系（1）a 与 b 的和是非负数【学习目标】（2）某公路立交桥对经过车辆的高度h"限高 3m"认识不等关系和不等式，掌握不等式的性质，会用不等式的性质解决一些简单的问题。
【学法指导】（3）有一个两位数大于 50 而小于 60，其个位数字比十位数字大 21．实数的运算性质与大小次序关系是不等式这一章的理论基础；是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依照。
变式：某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100 克含蛋白质 6 个单位，含淀粉 4 2．比较两个实数 a 与 b 的大小，归纳为判断它们的差 a-b的符号。
个单位；米饭每 100 克含蛋白质 3 个单位，含淀粉7 个单位．某快餐企业给学生配餐，3．作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完整平方式或几个完整平方式的“和”现要求每盒起码含 8 个单位的蛋白质和10 个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x百克、，也可两者并用。
【问题导学】米饭 y 百克，试写出 x, y 知足的条件．(阅读教材 72-74 页 )1．现实世界中存在着相等关系，同时也存在着关系，所以，我们需要研究以下问题：（1）怎样用不等式表示不等关系（2）不等式有哪些性质例 2：已知 a＞b＞0 ， c0 ，求证：cc【自主学习】a b 2．实数 a 与 b 的大小次序与实数的运算性质之间的关系：设 a, b R, 则 a-b ＞0； a-b=0a-b ＜0。
3．常用不等式的性质：（1）a＞b ___ ;（2）a＞b,b＞c；（3） a＞b a c b c ；（ 4）a＞b, c＞0ac变式： .用不等号 ">"或"<" 填空bc ：（1） a b,c d a c b d;（5）a＞b, c＜0ac bc ：（6）a＞b, c＞d a c b d ；（2) a b 0, c d0ac bc;（7）a＞b＞0, c＞d＞0ac bd ；（8）a＞b＞0, n N , n＞1a n b n , n a n b 。
数学：不等关系与不等式导学案
数学：不等关系与不等式导学案3.1 《不等关系与不等式》（1)导学案姓名班级组别组名【学习目标】1、通过问题情境，感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;2、会用不等式(组）表示实际问题中的不等关系；3、理解不等式(组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【重点】用不等式(组）表示实际问题中的不等关系；【难点】用不等式(组）正确表示不等关系。
【知识链接】大于用表示，小于用表示，不大于用表示，不小于用表示，正数用表示,负数用表示，非负数用表示，非正数用表示知识点1:现实世界和日常生活中常见的不等关系问题1：用不等式表示下列不等关系：（1）a与b的和是非正数；(2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”;（3）右图是限速为40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h,表示为40(4）设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，表示为问题2: 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本，据市场调查,若单价每提高0。
1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？(1)根据题意，提价前杂志的定价为元，提价后杂志的定价为元，因此提高了元;（2）由（1）可知,价格提高了0。
1元的倍，即个0.1元；（3）由(2)可知，销售量减少了2000本的倍，即本,因此，提价后的销售量为本;（4）提价后的销售总收入=销售量⨯单价，因此可表示为,不低于用表示，所以可得到不等式为知识点2：现实世界和日常生活中常见的不等式组关系问题3：用不等式组表示下列不等关系：（1)中国“神州七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11。
2km/s。
表示为（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪f的含量应不少于2。
5﹪,蛋白质p的含量应不少于2。
3﹪。
表示为(3）铁路旅行常识规定：旅客每人免费携带物品——杆状物长度w 不超过200cm，重量m不超过20kg. 表示为问题4：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm 的两种。
3.1.1 不等关系与不等式(导学案)
§3.1.1 不等关系与不等式学习目标1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.3. 掌握不等式的基本性质；4. 会将一些基本性质结合起来应用.学习过程一、课前预习1、看教材7273~P P 第6行，回答下列问题（1）问题1、问题2、问题3都是用不等式来表示生活中含有不等关系的实际问题，你能表示出来吗？（2）用不等式表示不等关系：a 与b 的和是非负数_________________（3）教材74P 练习第2题：如图，在一个面积为3502m 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍，用不等式表达此不等关系。
2、看教材7374~P P 第7行，回答下列问题（1）比较两实数的大小基本结论“如果a-b 是正数，那么a>b ；如果a-b 等于零，那么a=b ；如果a-b 是负数，那么a<b.反过来也对”有什么作用？（2）能证明性质1~性质6吗？（3）性质1~性质8，有几条性质中要有正数这个条件？二、合作探究题型一：比较大小例1 比较大小：（1）____________115265--； （2）(3)(5)a a +- (2)(4)a a +-.（3）327+ 4（4）710+ 314+（5）22(21)(21)a a a a ++-+与22(1)(1)a a a a ++-+的大小题型二：基本性质的综合应用例2 已知0,0,a b c >><求证c c a b>. 例3 已知0a b >>，0c d >>，求证：a b d c >.例4 已知[2,5]a ∈，[3,7]b ∈，求a b +，a b -，a b的取值范围例5 已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.例6 已知0x >，求证：112x x +<+本节学习后的小结：方法总结：比较大小常用的方法： “作差法”、“作商法”（1）作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论（2）作商法（两式的符号要相同）的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论§3.1.1 不等关系与不等式(解析版)学习目标1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.3. 掌握不等式的基本性质；4. 会将一些基本性质结合起来应用.学习过程一、课前预习1、看教材7273~P P 第6行，回答下列问题（1）问题1、问题2、问题3都是用不等式来表示生活中含有不等关系的实际问题，你能表示出来吗？（2）用不等式表示不等关系：a 与b 的和是非负数____0a b +≥_____（3）教材74P 练习第2题：如图，在一个面积为3502m 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍，用不等式表达此不等关系。
《不等式与不等关系》第一课时导学案
《不等式与不等关系》第一时导学案【教学目标】．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2讲授新）用不等式表示不等关系引例1：限速40/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40/h，写成不等式就是：引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2%，蛋白质的含量p应不少于23%，写成不等式组就是——用不等式组来表示问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则。
问题2：某种杂志原以每本2元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高01元，销售量就可能相应减少XX本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式问题3：某钢铁厂要把长度为4000的钢管截成00和600两种。
按照生产的要求，600的数量不能超过00钢管的3倍。
怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？解：假设截得00的钢管x根，截得600的钢管根。
(教学案)3.1.1不等关系与不等式Word版含解析
3.1.1 不等关系与不等式教学设计1、教学目标：一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；二、过程与方法采用探究法，设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.2、内容分析：本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步开展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的根本理论，并能用实数的根本理论来比拟两个代数式的大小．教学重点：1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.比拟实数与代数式的大小关系，教学难点：教学难点：准确比拟两个代数式的大小．3、学情分析：通过初中的学习学生会比拟两数的大小，在此根底上让学生体会概括能力、数学建模能力和分析问题的能力.4、设计思路：以问题链的形式完成的，问题1,2，3是逻辑根底，得出定义，第四个问题得出代数式比拟大小的方法，是前三个问题开展后的自然回归.三、教学过程我以生活中的常见的食品和饮品〔如巧克力、康师傅绿茶〕成分说明引出本节课的课题.让学生自己再举生活中的例子，学生活泼了，学生举的例子有：1、今天的天气：“最低气温是17℃，最高气温是30℃.〔设温度为t℃〕2、马路上的限速的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度，不超过；3、ΔABC的两边之和大于第三边；4、人的高矮比拟，等等.〔设计意图：1.调动学生了的积极性.2.可以让学生知道数学来源于生活.〕为了调动学生的积极性我抛出了一个问题：网购，现在比拟流行网购，让学生在网购中学习?不等关系与不等式?，我想在网上买一部和一部平板，可是网上买和平板的店太多了，我想请同学们帮我做选择，怎样根据我手中的钱购置呢？引出问题1：一个电子控想买同一品牌的和平板各一部，他最多花5000元购置，使用时间至少3年，请问这里有没有隐含的不等关系？有了不多的资金，怎么分配资金呢？应当根据需求分配资金，这样可以拉紧老师和学生之间的距离，进而引出问题2：电子控能接受的价格在1500——2500元，平板价格在2000——3000元，买这两种物品，它们的价格应满足怎样的不等式？有了资金和需求哪买什么样品牌的和平板呢？问题3.经过市场调查，得到几组数据：(a)名称日销售数量第一位华为3857第二位小米2841第三位苹果2757第四位三星1962第五位OPPO 1571(b).其中价格区间在2000--2500之间的销售量特别大.这些调查中有没有蕴含着不等关系？可以用不等式来刻画吗？〔设计意图：把实际问题转化为数学模型来处理，加深学生对数学与生活联系的认识，让学生树立应用数学的意识.〕学生就可以自己归纳出不等式的定义了.含有不等号〔>，<，≥，≤，≠〕的式子，叫做不等式.〔设计意图：让学生用数学的观点进行观察、归纳，培养用由特殊到一般的归纳能力.〕问题4：为了少花钱，技术控在网上与店家进行了砍价大战，最终店主为客户提供了两种优惠，优惠一：每件九折；优惠二：不超过2000元〔含2000元〕的局部按原价，超过2000的局部打八折，假设你是技术控，你会选择哪种优惠？〔小组合作完成〕〔设计意图：通过学生之间合作，培养学生的分析问题和处理数据的能力.〕我又设计了3个思考题.思考1：实数可以比拟大小，对于两个实数,其大小关系有哪几种可能？思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？大数对应的点位于小数对应的点的右边.思考3：如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？得出结论：; ;这样我们得出结论：上面等价符号的左式反映的是实数的大小顺序，右式反映的那么是实数的运算，合起来就成为实数的运算与实数大小顺序之间的关系.它是不等式这一章的理论根底.〔设计意图：降低问题4的难度，为处理代数式的比拟大小做准备.〕让学生先知道如何比拟两个实数的大小，进而知道如何比拟两个代数式的大小，做差比拟，也就突出了本节课的重点——做差比拟法.和的大小.解：，因为，所以因此、都为正数且时，试比拟代数式与的大小.〔让学生展例如2〕〔设计意图：通过例题1再次熟悉做差比拟法，标准学生的答题思路与步骤，培养学生的严谨的学习习惯.〕为了加深学生对不等关系与不等式的理解，设计了思考题：生活中熟悉的为什么糖水中加的糖越多越甜呢?(浓度问题〕转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，假设再加m(m>0)克糖，那么糖水更甜了，为什么?〔设计意图：让学生再次了解生活中的实例，充分调动了学生的积极性，这样可以让学生学会用数学的眼光去看待生活模型，建立生活与科学之间的联系，更好的表达数学的应用之美.〕本节课我以问题为载体，所有问题的处理都是让学生自主探究与小组合作，老师只是起引导作用，引导学生亲身体验不等式的概念，把握重点；表达了新课标下的以学生为主体的新理念，通过设计思考题来降低难度，突破难点；通过本节课的学习会让学生对数学产生更大的学习兴趣，使学生感受数学源于生活又效劳于生活的学科价值.。
《不等式与不等关系》第一课时导学案
《不等式与不等关系》第一课时导学案《不等式与不等关系》第一课时导学案【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm 两种。
按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。
不等关系和不等式导学案
3.1不等关系与不等式班级： 姓名： 小组：【教学目标】1、能通过客观事物的基本数量关系，建立不等观念;2、通过具体情境了解不等式（组）的实际背景，了解一些不等式的基本性质;3、掌握不等关系和不等式，并能够熟练的运用. 【研学流程】 一、【学】 不等式的基本关系：（1）a >b ⟺b >a （对称性） （2）a >b,b >c ⟺a >c (传递性) （3）a >b ⟺a +c >b +c (加法不变性)（4）a >b,c >0⟹ac >bc ；a >b,c <0⟹ac <bc （乘法单调性） 二【交】交流以下问题：生活中存在哪些数量关系可以建立不等观念？如何用不等式表示这些不等观念？ 三【展】用不等式（组）表示生活中的不等关系 四【导】1、情境引入限速40km/ℎ的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车行驶速度不超过40km/ℎ,写成不等式v ⩾40 某品牌酸奶的质量检测规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于25%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是：{f ⩾2.5%p ⩾2.3%2、不等关系问题1 设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d ⩽AB .问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以销售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？分析 若杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8−x−2.50.1)x 万元那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式(8−x−2.50.1)x ⩾20问题3 某钢铁厂要把长度为4000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍，怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 分析 假设截得500 mm 钢管x 根，截得600 mm 钢管y 根.根据题意，应有如下的不等关系：(1) 截得两种钢管的总长度不能超过4000 mm ；(2) 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍； (3) 截得两种钢管的数量都不能为负.要求同时满足上述三个不等关系，可以用不等式组来表示：{500x +600y ⩽40003x ⩾yx ⩾0y ⩾03、不等式的性质（1）a >b ⟺b >a （对称性）（2）a >b,b >c ⟺a >c (传递性) （3）a >b ⟺a +c >b +c (加法不变性)（4）a >b,c >0⟹ac >bc ；a >b,c <0⟹ac <bc （乘法单调性） 思考：利用上诉性质，证明不等式的下列性质 （1）a >b,c >d ⟹a +c >b +d （2）a >b >0,c >d >0⟹ac >bd（3）a >b >0,n ∈N ∗,n >1⟹a n >b n ;√a n>√b n证明：（1）a >b ⟹a +c >b +cc >d ⟹c +b >d +b}⟹a +c >b +d（2）a >b >0,c >0⟹ac >bc c >d >0,b >0⟹bc >bd }⟹ac >bd（3）a >b >0,n ∈N ∗,n >1⟹a b>1⟹(a b)n >1⟹a n >b n ;a >b >0,n ∈N ∗,n >1⟹a b>1⟹(a b )1n >1⟹a 1n >b 1n即 √a n >√b n例1：已知a >b >0,c <0,求证ca >cb . 证明：a >b >0⟹ab >0⟹1ab >0⟹a ∙1ab>b ∙1ab 即 1b>1a由于c <0,可得 ca >cb五、【用】1、用不等式表示下列关系： （1）a 与b 的和是非负数;（2）某公路立交桥对通过车辆的高度ℎ“限高4m ”;2、某夏令营有48人，出发前从A 、B 两种型号的帐篷中选择一种.A 型号帐篷比B 型号的少5顶.若只选A 型号，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满。
不等式与不等关系教案
不等式与不等关系教案教案标题：不等式与不等关系教案目标：1. 学生能够理解不等式和不等关系的概念。
2. 学生能够解决简单的一元一次不等式，并理解解集的含义。
3. 学生能够在实际问题中应用不等式和不等关系。
教学准备：1. 幻灯片或黑板/白板2. 笔和纸3. 一些实际问题的示例4. 不等式和不等关系的定义和性质的学习材料教学流程：一、导入（5分钟）1.通过示例问题引入不等式的概念，例如：“小明现在身高150厘米，他想知道自己是否已经超过了平均身高，该怎么判断？”二、概念讲解（10分钟）1.解释不等式的定义和符号表示，例如：“不等式是一个数学语句，其中包含不等于号（<,>）。
”2.引导学生了解不等关系，例如：“不等关系是比较两个数之间的大小关系，如大于、小于、大于等于、小于等于。
”三、解决一元一次不等式（15分钟）1.通过示例解决一元一次不等式，让学生熟悉解题步骤和方法。
2.学生进行课堂练习，检查答案。
四、实际问题应用（15分钟）1.给学生提供一些实际问题的示例，要求学生用不等式和不等关系来解决问题。
2.让学生分享解决问题的过程和答案。
五、巩固与拓展（10分钟）1.进行一些巩固练习，确保学生掌握了不等式和不等关系的概念和解题方法。
2.拓展练习，提升学生的思维能力和应用水平。
六、作业布置（5分钟）1.布置一些相关的作业题目，巩固学生的知识和技能。
2.鼓励学生积极思考，并提供必要的指导和支持。
教学反思：在教学过程中，要确保学生理解不等式和不等关系的概念，并能够运用到实际问题中。
教师可以通过引入示例问题、课堂练习和实际问题应用等方式，激发学生的兴趣并提高他们的学习效果。
在教学过程中，要适时进行巩固和拓展，确保学生牢固掌握所学知识。
3.1不等关系与不等式(第一课时)学案
※高二文科班数学课堂学习单※3.1 不等关系与不等式（1）一，学习目标:1、 理解实际问题中的不等关系2、 掌握数的大小比较方法3、 掌握不等式的性质二，自学导航：p72—p741、电脑用户计划用不超过500元的资金，购买单价分别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3张，磁盘至少买2盒，写出满足上述所有不等关系的不等式．2、填写《方案》p49要点2，并判断下列命题的对错，并说明理由．(1)c a <c b且c >0则a >b ； (2)a >b 且c >d 则ac >bd ； (3)a >b >0且c >d >0则a d >b c ； (4)a c 2>b c2则a >b . (5)若c >a >b >0则a c －a >b c －b. 3、（1）已知x<1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小；(2)已知a >0，b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．4、 我生成的问题：三，我的收获：1，本节课的知识结构2，本节课我学到的方法3，本节课的易错点四，课堂检测：1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y ≥380z >45B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y >380z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧ x >95y >380z >45D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45 2．设a >b >c ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a |c |>b |c |B ．ab >ac C.1a <1b <1c D ．a －|c |>b －|c | 3．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <B 或A >BD ．A >B4．一个两位数，个位数字为a ，十位数字为b ，且两位数大于50，用不等关系表示为________．5．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：_____ ___.五，作业1．若m ≠2且n ≠－1，则M ＝m 2＋n 2－4m ＋2n 的值与－5的大小关系为( )A ．M >－5B ．M <－5C ．M ＝－5D ．不确定Δ2．设a >1>b >－1，则下列不等式中恒成立的是( )A.1a <1bB.1a >1b C ．a 2>2b D ．a >b 23．已知a >b ，则下列不等式：①a 2>b 2；②1a <1b ；③1a －b >1a.其中不成立的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．比较大小：x 2＋y 2＋z 2________2(x ＋y ＋z )－4Δ5．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写成不等式为________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．6．已知a >b >0，c <d <0，e <0求证：e a －c >e b －d.。
1.不等关系与不等式的性质导学案
1．不等关系【教学目标】①理解不等式的意义。
②能根据条件列出不等式。
③能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义。
【教学重点】①通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。
②根据实际问题建立合理的不等关系。
【教学难点】根据实际问题建立合理的不等关系【教学过程】第一环节：创设情景，引入新课（1）我们学过等式，等式的定义是什么？（2）我们知道相等关系的量可以利用等式来描述。
同时，我们也知道现实生活中还存在许多反映不等关系的量。
比如，研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时；体育考试中合格的分数要不低于60分。
请同学们也举一些不等关系的例子。
第二环节：问题提出（1）某厂今年的产值是a元，预计明年年产值增长率高于20%，如果明年的产值是b 元，那么b和a满足的关系式是。
（2）如果某等腰三角形的底边用a cm表示，这边上的高为4 cm，如果这个三角形的面积不大于8 cm²，那么a应该满足的关系式为。
（注意：不大于的含义）（3）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。
设行李的长、宽、高分别为 a cm、b cm、c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式。
第三环节：归纳定义一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
（特别的，不等号还包含“≠”）第四环节：运用巩固1、用“＜”或“＞”号填空：(1) －7____－5；(2) (－3)4____34；(3) (－4)2____(－3)2；(4) |－0.5|____|－1000|；(5) 3＋4____1＋4；(6) 5＋3____12－5；(7) 6×3____4×3；(8) 6×(－3)____4×(－3)2、用适当的符号表示下列关系：（1）a 是非负数；（2）直角三角形斜边 c 比它的两直角边a、b 都长；（3）x 与17 的和比它的5倍小；（4）两数的平方和不小于这两数积的2倍。
高中数学 不等关系与不等式学案 新人教A版必修1
浙江省临海市白云高级中学高中数学 不等关系与不等式学案 新人教A 版必修1 学习目标：1、感知生活中的不等关系，掌握实数的大小与不等式的关系会比较两个代数式的大小。
2、掌握常用不等式的基本基本性质，会将一些基本性质结合起来应。
学习重点：通过具体情境，建立不等式模型。
学习难点：从具体问题中如何抽象出数学模型建立不等。
一、新课探究： 定义：表示不等关系的式子——用不等号“〈”，“〉”””，““≤≥连结.1.数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.2.对于任意两个实数a 和b ，a=b ，a>b ，a<b 三种关系中，有且仅有一种关系成立.3.实数比较大小的方法：(作差法或作商法)b a b a >⇔>-0；b a b a <⇔<-0；b a b a =⇔=-0若a,b +∈R 则 ⇔〉1b a ，⇔=1b a ，⇔〈1b a 。
4、不等式的性质：(1),(2)(3),0(4),0(5),(6)0,0(7)0,(,1)(8)(,2)n n a b b c a b a c b ca b c ac bc a b c ac bca b c d a c b d a b c d a c b d a b a b n N n a b n N n >>⇒>⇒++>>⇒><⇒>>⇒++>>>>⇒++>>∈≥>>∈≥基础过关：1.对于实数a,b,c ，下列四个命题中假命题为（ ）A.若b a b a 11,>>，则0,0<>b a B.若b a >则bc ac <C.若22bc ac >则b a >D.若0>>>b a c 则b c ba c a ->-2.若01,0<<-<b a 则（ ）A. 2ab ab a >>B. a ab ab >>2C. 2ab b ab >>D. a ab ab >>23.已知a,b,c,d R ∈，且b da cab -<->,0，则下列各式恒成立的是（ ）A. ad bc <B. ad bc >C. d b c a >D. d bc a <4.若011<<b a 则下列结论不正确的是（ ）A.22b a <B. 2b ab <C.2>+b aa b D.b a b a +〉+二、例题探究：例1、比较的大小，其中x R ∈.2232(1)56259(2)1x x x x x x ++++-+与当x>1时，x 与例2、（1）0,0,cca b c a b >><>已知求证 （2）0,12xx >>+已知例3：已知31<+<-b a ，且422<+<b a ，求b a 3+的取值范围课后作业：1.若a>b,c>d ，则下列不等式成立的是（ ） A.a+d>b+c B.ac>bd C.d ac a 〉 D.d-a<c-b2.若a<b<0，则下列不等关系中不能成立的是（ ） A. b a 11〉 B. b b a 11〉- C.b a -〉- D.b a -〉3.若a,b 是任意实数，且a>b ，则( )A.22b a 〉B.1〉a bC.lg(a-b)>0D. ba )21()21(〈4.已知a>b>c ，则a c c b b a -+-+-111的值（ ）A.为正数B. 为非正数C. 为非负数D.不确定5.已知x>y>z ，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（ ） A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x y >z y6.已知22πβαπ〈〈〈-，则βα-的取值范围是 。
3.1.不等关系和不等式性质(导学案)1
3.1 不等关系与不等式导学案通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；新知导学（预习教材P65-67）1、不等关系与不等式（1）用数学符号“”、“”、“”、“”、“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的关系。
（2）含有的式子，叫做不等式。
（3）a≥b即为；a≤b即为。
（4）__________的不等式，叫做同向不等式。
（5）对于任意两个实数a和b，在a=b,a>b,a<b三种关系中，有________种关系成立。
（6）事实不等式：a-b>0⇔_____; a-b<0⇔_____; a-b=0⇔________2、不等式的性质(1) 性质1（对称性）a＞b ⇔____ ；(2) 性质2（传递性）a＞b,b＞c ⇒，(3) 性质3 a＞b⇔_____ 。
推论1（移项法则）a+b＞c⇔。
推论2 a＞b，,c＞d ⇒。
推论2的推广a＞b，c＞d，…m＞n ⇒a+c+…+m＞b+d+…+n。
(4) 性质4 . a＞b，c＞0⇒; a＞b，c＜0 ⇒。
推论1. a＞b＞0，c＞d＞0⇒。
推论1的推广.a＞b＞0，c＞d＞0，…m＞n＞0 ⇒a c·…·m＞bd·…·n推论2 a＞b＞0 ⇒（n∈N+，n＞1）。
推论3 a＞b＞0⇒（n∈N+，n＞1）。
1、下列命题中，①当x=2时，x≥2成立.②当x≥2时，x=2成立.③当x≥2和x≤2都成立时，x=2成立④a>b⇒ac2>bc2其中真命题的个数为（）A、1.B、2.C、3.D、4.2、下列不等式中①x2+3＞2x（x∈R）；②a2+a≥2a-1 (a∈R);③a2+b2≥2(a-b-1)。
其中正确的个数为（）A、0B、1C、2D、33、如果a+b＞0,b＜0，则一定有（）A、a＞b＞-a＞-bB、a＞-a＞b＞-bC 、a ＞-b ＞b ＞-aD 、-a ＞-b ＞a ＞b4、若x ∈（2,6），y ∈（1,4），则（x+y ）∈ ；（x-y ）∈ ；x/y ∈ 。
不等关系与不等式经典教案
不等关系与不等式经典教案不等关系与不等式【学习目标】1．了解不等式(组)的实际背景．2．掌握比较两个实数大小的方法．3．掌握不等式的八条性质．【学法指导】1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可．2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论．3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．一、知识温故a－b＞0?；a－b＝0?；a－b＜0?.3．常用的不等式的基本性质(1)a>b?b a(对称性)；(2)a>b，b>c?a c(传递性)；(3)a>b?a＋c b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc；(5)a>b，c>d?a＋c b＋d；(6)a>b>0，c>d>0?ac bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n；(8)a>b>0，n∈N，n≥2?n b.二、经典范例问题探究一实数比较大小问题1(实数比较大小的依据)在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：如果a－b是正数，那么；如果a－b是负数，那么；如果a－b等于零，那么.以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b.问题2(作差法比较实数的大小)向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论．问题探究二不等式的基本性质问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质．请同学们借助前面的性质证明性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.问题4 初学者对不等式的八条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形(证明不等式和求解不等式)的重要依据．请同学们解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用．解不等式：－16x ＋34<23x －112.小结(1)当问题中同时满足几个不等关系时，应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，则选用几个字母分别表示这些变量即可．(2)解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将所有不等关系都找出来．(3)若有表格、图象等，读懂表格，图象对解决这类问题很关键．变式练习1：某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？变式练习2：已知x ＜1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．小结作差后变形是比较大小的关键一环，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．变式练习3：(1)比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小；(2)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．变式练习4：已知a 、b 、c 为实数，判断以下各命题的真假．(1)若a >b ，则ac bc 2，则a >b ； (3)若a ab >b 2； (4)若c >a >b >0，则a c －a >bc －b； (5)若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.小结在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定．变式练习5:判断下列各命题是否正确，并说明理由．(1)若c a <c< bdsfid="149" p=""></c<>b 且c >0，则a >b ；(2)若a >b >0且c >d >0，则 a d> b c； (3)若a >b ，ab ≠0，则1a <1b ；(4)若a >b ，c >d ，则ac >bd .三、过关测试一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2 C.ac 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a <="" bdsfid="188"c.1ab=""d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><="" bdsfid="191" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a="">4．若x ∈(e －1,<="" bdsfid="194" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a="">1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <a<=""<="" bdsfid="198" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a >0<="" bdsfid="202" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2 二、填空题<="" bdsfid="206" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．<="" bdsfid="210" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．<="" bdsfid="214" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与1 <="" bdsfid="218" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 2<="" bdsfid="222" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 的大小关系为________．<="" bdsfid="226" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．三、解答题<="" bdsfid="230" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b<="" bdsfid="234" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" a ＋b<="" bdsfid="238" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 的大小．<="" bdsfid="242" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<=""<="" bdsfid="246" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．<="" bdsfid="250" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 能力提升<="" bdsfid="254" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 13．若0<="" bdsfid="259" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1 <="" bdsfid="264" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 2<="" bdsfid="269" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 14．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2 <="" bdsfid="274" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" ＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．<="" bdsfid="279" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<=""<="" bdsfid="284" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 四、课后练习<="" bdsfid="289" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 一、选择题<="" bdsfid="294" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是<="" bdsfid="299" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" ( )<="" bdsfid="304" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" A.1a <1<="" bdsfid="309" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" b B ．a 2>b 2 C.a<="" bdsfid="314" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" c 2＋1>b<="" bdsfid="319" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" c 2＋1 D ．a |c |>b |c | 2．已知a 、b 为非零实数，且a<="" bdsfid="325" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" A ．a 2<="" bdsfid="332" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" B ．a 2b <="" bdsfid="337"c.1ab="" p=""><="" bdsfid="340" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<=""<="" bdsfid="347" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" D.b a<="" bdsfid="357" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 3．若x ∈(e<="" bdsfid="364" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" －1,<="" bdsfid="371" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" 1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则<="" bdsfid="378" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<=""<="" bdsfid="385" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" ( )<="" bdsfid="392" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" A ．a <c<="" bdsfid="397" p=""> <="" bdsfid="400" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="405" p="">B ．c <c<="" bdsfid="406" p=""><b<="" bdsfid="407" p=""> <="" bdsfid="410" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="414" p=""><b<="" bdsfid="415" p="">C ． b <c<="" bdsfid="416" p=""><="" bdsfid="419" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="423" p=""><c<="" bdsfid="424" p="">D ． b <a<="" bdsfid="425" p=""><="" bdsfid="428" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="432" p=""><c<="" bdsfid="433" p="">4．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为<="" bdsfid="436" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="440" p=""><c<="" bdsfid="441" p="">( )<="" bdsfid="444" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="448" p=""><c<="" bdsfid="449" p="">A ．M <n< bdsfid="450" p=""></n<><="" bdsfid="453" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="457" p=""><c<="" bdsfid="458" p="">B ．M ≤N<="" bdsfid="461" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="465"p=""><c<="" bdsfid="466" p="">C ．M >N<="" bdsfid="469" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="473" p=""><c<="" bdsfid="474" p="">D ．M ≥N<="" bdsfid="477" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="481" p=""><c<="" bdsfid="482" p="">5．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是<="" bdsfid="485" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="489" p=""><c<="" bdsfid="490" p=""><="" bdsfid="493" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="497" p=""><c<="" bdsfid="498" p="">( )<="" bdsfid="501" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="505" p=""><c<="" bdsfid="506" p="">A ．ab >ac<="" bdsfid="509" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="513" p=""><c<="" bdsfid="514" p="">B ．ac >bc<="" bdsfid="517" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="521" p=""><c<="" bdsfid="522" p="">C ．a |b |>c |b | <="" bdsfid="525" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="529" p=""><c<="" bdsfid="530" p=""><="" bdsfid="533" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="537" p=""><c<="" bdsfid="538" p="">D ．a 2>b 2>c 2 <="" bdsfid="541" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="545" p=""><c<="" bdsfid="546" p="">二、填空题<="" bdsfid="549" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="553" p=""><c<="" bdsfid="554" p="">6．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________．<="" bdsfid="557" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="561" p=""><c<="" bdsfid="562" p="">7．若x ∈R ，则x 1＋x 2与1<="" bdsfid="565" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="569" p=""><c<="" bdsfid="570" p="">2<="" bdsfid="573" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="577" p=""><c<="" bdsfid="578" p="">的大小关系为________． 8．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．三、解答题<="" bdsfid="581" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="585" p=""><c<="" bdsfid="586" p="">9．比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R .<="" bdsfid="589" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="593" p=""><c<="" bdsfid="594" p="">10．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b<="" bdsfid="597" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="601" p=""><c<="" bdsfid="602" p="">a ＋b<="" bdsfid="605" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="609" p=""><c<="" bdsfid="610" p="">的大小．<="" bdsfid="613" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="617" p=""><c<="" bdsfid="618" p="">11.已知12<60,15 <="" bdsfid="622" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="626" p=""><60,15b 的取值范围．<="" bdsfid="630" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="634" p=""><60,15四、探究与拓展<="" bdsfid="638" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="642" p=""><60,1512．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．<="" bdsfid="646" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="650" p=""><60,15<="" bdsfid="654" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="658" p=""><60,15部分参考答案：<="" bdsfid="662" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="666" p=""><60,15问题2：设原来a 克糖水中含糖b 克，加入m 克糖后，糖水浓度变大了，用不等式表示为b a<="" bdsfid="671" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="675" p=""><60,15a ＋m<="" bdsfid="680" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="684"p=""><60,15(其中a ，b ，<="" bdsfid="689" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="693" p=""><60,15m 均为正数，且a >b )．证明如下：b ＋m a ＋m －b a ＝a (b ＋m )－b (a ＋m )a (a ＋m )＝m (a －b )<="" bdsfid="698" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="702" p=""><60,15a (a ＋m )，<="" bdsfid="707" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="711" p=""><60,15又a ，b ，m 均为正数且a >b ，∴a －b >0，m (a －b )>0，a (a ＋m )>0，∴<="" bdsfid="716" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="720" p=""><60,15m (a －b )<="" bdsfid="725" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="729" p=""><60,15a (a ＋m )<="" bdsfid="734" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="738" p=""><60,15>0.<="" bdsfid="743" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="747" p=""><60,15因此，<="" bdsfid="752" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="756" p=""><60,15b ＋m a ＋m >b<="" bdsfid="761" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="765" p=""><60,15a立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="774" p=""><60,15，也就是糖水浓度更大了，糖水变得更甜了．问题3：<="" bdsfid="779" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="783" p=""><60,15证明<="" bdsfid="788" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="792" p=""><60,15<="" bdsfid="797" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="801" p=""><60,15<="" bdsfid="806" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="810" p=""><60,15<="" bdsfid="815" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="819" p=""><60,15?a ＞b ＞0c ＞0<="" bdsfid="824" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="828" p=""><60,15?ac ＞bc ＞0<="" bdsfid="833" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="837" p=""><60,15<="" bdsfid="842" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="846" p=""><60,15?<="" bdsfid="851" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="855" p=""><60,15c ＞d ＞0立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="864" p=""><60,15b ＞0<="" bdsfid="869" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="873" p=""><60,15?bc ＞bd ＞0<="" bdsfid="878" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="882" p=""><60,15?ac ＞bd .<="" bdsfid="887" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="891" p=""><60,15问题4：解－16x ＋34<23x －1<="" bdsfid="896" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="900" p=""><60,1512?－2x ＋9<8x －1 (不等式两边都乘以12，不等式方向不改变)<="" bdsfid="905" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="909" p=""><60,15?－2x <8x －10 (不等式两边都加上－9)<="" bdsfid="914" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="918" p=""><60,15?－10x <－10 (不等式两边都加上－8x )?x >1 (不等式两边都乘以－1<="" bdsfid="923" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="927" p=""><60,1510，不等式方向改变)<="" bdsfid="932" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="936" p=""><60,15<="" bdsfid="941" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="945" p=""><60,15变式练习1：设软件数为x ，磁盘数为y ，根据题意可得<="" bdsfid="950" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="954" p=""><60,15?<="" bdsfid="959" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="963" p=""><60,1560x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ，<="" bdsfid="968" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="972" p=""><60,15y ≥2且y ∈N.<="" bdsfid="977" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="981" p=""><60,15<="" bdsfid="986" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="990" p=""><60,15变式练习2：∵(x 3<="" bdsfid="995" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="999" p=""><60,15－1)－(2x 2<="" bdsfid="1004" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="1008" p=""><60,15－2x ): ＝x 3<="" bdsfid="1013" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="1017" p=""><60,15－2x 2<="" bdsfid="1022" c.1ab="" d.b="" p="" ，则下列命题成立的是(="" ．a=""><a<="" <c<="" bdsfid="1026" p=""><60,15＋2x －1 ＝(x 3。
3.1不等关系与不等式教案
一、复习准备： 1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？ 1.实数的运算性质与大小顺序之间的关系（1）如果a b -是正数，那么a b >； a b ->0⇔a >b ；如果a b -等于零，那么a b =； a b -=0⇔a =b如果a b -是负数，那么a b <. a b -<0⇔a <b ）.反之也成立，就是.（；【例1】b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若在添上m 克糖()0m >，问：糖水是否变甜了. 请依据此事实，提炼一个不等式并回答问题.2.不等式的性质：1.性质1（对称性）如果 a>b ，那么 ；如果b a <，那么 .即a b b a >⇔<.2.性质2（传递性）如果,a b b c >>，那么 .即,a b b c a c >>⇒>.同理 .3.性质3（加法法则）如果 a>b ，那么a c + b c +.（是不等式移向法则的基础）4.性质4（乘法法则）如果 a>b ，0c >，那么 . 如果 a>b ，0c <，那么 . （a 、b 可以是数字，也可以是代数式，运用过程中一定要注意c 的符号）5.性质5（同向可加性）如果,a b c d >>，那么a c + b d +.（两个或多个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向）6.性质6（同向可乘性）如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd .7.性质7（乘方法则）如果 ，那么,n n a b >（n ∈N ，2n ≥）.8.性质8（开方法则）如果，那么>（n ∈N ，2n ≥）.（性质6、7、8注意条件）【例2】用不等号“>”或“<”填空:(1),a b c d a c ><⇒- b d -.(2)0,0a b c d >><<⇒ac bd .(3)0a b >>⇒（4）0>ab ，则a b a 1⇔> b 1；0<ab ，则a b a 1⇒> b 1. 【变式训练】比较下列两数(或代数式)的大小:(2)()22121x y x y +++-与. 【例3】已知 1260,1536a b <<<<，则a b -及a b 的取值范围分别是. 【变式训练】 1.已知22ππαβ-<<<，求αβ-的范围.2.若二次函数()y f x =的图象过原点，且()()112,314,f f ≤-≤≤≤求()2f -的取值范围.教学过程一、复习不等式性质二、讨论讲解【例1】已知0,0a b c >><,求证:c c a b >. 【变式练习】1.已知0,0a b c d >>>>,求证>2.已知0,0,0,a bc d e >><<<求证：e e a c b d>--. 【例2】 若0,0a b >>,求证:22b a a b a b+≥+. 【变式练习】已知a 、b . 【例3】若R b a ∈,，求证: ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）；【变式训练】证明下列不等式(1)若0,>b a ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）；(2)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）； （3）若0,>b a ，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+（当且仅当b a =时取“=”）.。
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第十一讲 不等式
第1课：不等关系与不等式
一．课标要求
1、教学目标：①了解现实世界和日常生活中的不等关系
②了解不等式（组）的实际背景
③了解证明不等式的基本方法：比较法
2、教学重点：不等式的基本性质，及其应用 二．要点精讲
1、实数的大小比较法则：
设a ，b ∈R ，则a>b ⇔ ；a ＝b ⇔ ；a<b ⇔ .
实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的 就可以了.
实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.2、不等式的5个性质定理及其3条推论定理1（对称性） a>b ⇔
定理2（同向传递性） a>b ，b>c ⇒ 定理3（加法性质） a>b ⇔a ＋c > b ＋c
推论 （同向不等式相加） a>b ，c>d ⇒
定理4（乘法性质） a>b ，c>0⇒ a>b ，c<0⇒
推论1 (非负数同向相乘法) a>b≥0，c>d≥0⇒ 推论2（乘方性质）a>b ＞0 ⇒n n b a > (n ∈N 且n>1)定理5（开方性质） a>b ＞0⇒>
n
a n
b
(n ∈N 且n>1) 倒数法则：a>b ，a b ＞0 ⇒
1a
1b
；
1a
＜
1b
，a b ＞0 ⇒ a b （要求同号
即可，而不要求两数都大于零。
） 【课前预习】
1.已知-1＜a ＜0,那么-a,-a 3,a 2的大小关系是（ ）
A. a 2＞-a 3＞-a
B.-a ＞a 2＞-a 3
C.–a 3＞a 2＞-a
D.a 2＞-a ＞-a 3
2.若m ＜0,n ＞0且m+n ＜0，则下列不等式中成立的是 ( )
A.-n ＜m ＜n ＜-m
B.-n ＜m ＜-m ＜n
C.m ＜-n ＜-m ＜n
D. m ＜-n ＜n ＜-m 3.已知a ＜0,-1＜b ＜0,那么下列不等式成立的是（ ）
A. a ＞ab ＞ab 2
B.ab 2＞ab ＞a
C.ab ＞a ＞ab 2
D.ab ＞ab 2＞a
4．（2008·广东文）设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．0b a ->
B ．330a b +<
C ．22
0a b -< D ．0b a +>
5.（2008·厦门模拟）
y
x ＞1的一个充分不必要条件是 （ ）
A.x ＞y
B.x ＞y ＞0
C.x ＜y D .y ＜x ＜0
三．典例解析 例1．（1）（06上海文，14）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）
（A ）
11a b
< （B < （C ）22a b < （D ）||||a b >
（2）（06江苏，8）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．
的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）a
a a
a 112
2+
≥+
（C ）2
1||≥-+
-b
a b a （D ）a a a a -+≤+-+213
例2．（1）（2003京春文，1）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ）
A .a +c >b +d
B .a －c >b －d
C .ac >bd D.c
b
d a >
（2）（1999上海理，15）若a <b <0，则下列结论中正确的命题是（ ）
A b
a 1
1>和||1||1b a >均不能成立 B .
b b
a 11>
-和
|
|1||1b a >
均不能成立
C .不等式a
b
a 11
>-和（a +b
1）2>（b +a 1
）2均不能成立 D.不等式
|
|1|
|1b a >
和（a +
b
1）2>（b +
a
1）2均不能成立
例3、比较下列各组中两个代数式的大小；
（1） 2
(3)2)(4)x x x ---与（ （2）当x ＞1时，3x 与2
1x x -+
例4、（12分）已知-1＜a+b ＜3且2＜a-b ＜4,求2a+3b 的取值范围.
变式：设f(x)=ax 2
+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
【课外作业】
1.已知a,b,c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是 （ ） A.
a
b ＞
a
c B.
c
a b -＞0 C.
c
b
2
＞
c
a
2
D.
ac
c a -＜0
2.已知a 、b 、c 满足c ＜b ＜a,且ac ＜0,那么下列选项中一定成立的是 （ ）
A.ab ＞ac
B.c(b-a)＜0
C.cb 2＜ab 2
D.ac(a-c)＞0 3.设a ＞1＞b ＞-1,则下列不等式恒成立的是（ ）
A.
b
a 11< B.
b
a
11>
C.2
2
1b
a >
D.a>b 2
4、（1）比较x 6
+1与x 4
+x 2
的大小，其中x ∈R ; (2)设a ∈R ,且a ≠0,试比较a 与a
1的大小.
5、设 2＜a ≤5； 3≤b ＜10；求a b +，a b -，
a b
四、思维总结
1、必须熟练掌握不等式的性质。
2、比较法比较两数的大小，有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；。