多元函数微分学的几何应用

lim
t t0
f
(t)
r0
9.6 多元函数微分学的几何应用
说明 设 f (t) ( f1(t), f2(t), f3(t))
r 0 (m, n, p),
则lim f (t) t t0
r0
lltt iimmtt00
f1(t) f3(t)
m,
lim
tt0
f 2 (t )
n,
p [ 等价条件 ]
9.6 多元函数微分学的几何应用
M( x0 Δx, y0 Δy, z0 Δz) 割线 MM 的方程为
M ( x0 , y0 , z0 )
z
• M
x x0 y y0 z z0
x
y z
•M
O
y
x
考察割线趋近于极限位置—— 切线的过程
上式分母同除以 t,
x x0 y y0 z z0 , x y z
2
9.6 多元函数微分学的几何应用
引言：
在一元函数微分学中，我们可以利用导数 确定曲线上某点处的切线斜率，并求出其切线 和法线方程。
在多元函数部分，我们可以利用偏导数来 确定空间曲线的切线和空间曲面的切平面。
9.6 多元函数微分学的几何应用
一、一元向量值函数及其导数
设空间曲线Γ的参数方程为
x (t)
质点的加速度向量:
a (t )
d
v
r (t )
dt
小结
求向量值函数的极限：各分量取极限
求向量值函数的导数：各分量求导数
9.6 多元函数微分学的几何应用
例 设 f (t) (cost) i (sint) j t k，求lim f (t).
t
4
解： lim f (t )
t
4
lim
t 4
cos
f (2) (4,4,2), f (2) 42 42 22 6.
所求单位切向量一个是：(4,4,2) 2 , 2 , 1 6 3 3 3
另一个是： 2 , 2 , 1
其指向与t的增长方向一致
3 3 3 其指向与t的增长方向相反
9.6 多元函数微分学的几何应用
二、空间曲线的切线与法平面
t
存在，则称该极限向量为函数 f (t)在t0处的导数或导向量.
记作：
f
(
t
0
)或
dr dt
.
t t0
9.6 多元函数微分学的几何应用
说明 （1）向量值函数可导等价于它的分量函数
都可导，且
f (t0 ) f1(t0 ) i f2(t0 ) j f3(t0 ) k
（2）若在某个区域内每一点都可导，则称
xx
解
取 x为参数,
交线的参数方程为
y 6x2
z 12x2
于是 x 1, y 12x, z 24x
所以交线上与 x 1 对应点的切向量为: 2
T (1, 6,12).
22
9.6 多元函数微分学的几何应用
3.空间曲线的方程为 两个曲面 的交线
设空间曲线方程为
F ( x, G( x,
该函数是该区域上的可导函数；
（3）向量值函数的导数与数量值函数的导 数运算法则形式相同（教材P92）.
（4）向量值函数导向量的几何意义：
9.6 多元函数微分学的几何应用
设空间曲线是向量值函数r f (t), t D的终端曲线，
OM f (t0 ) ON f (t0 t)
取割线 MN的方向向量为
•M
O
y
x
切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量. T ( x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) 平面的点法式
法平面 过M点且与切线垂直的平面. 方程
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0.
19
9.6
多元函数微分学的几何应用
例 求曲线 :
x y
t eu cos udu
0
2sin t cos t
z
1
e3t
x x0 y y0 z z0
在t 0处的切线与法平面方程 . x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
解 当t 0时, x 0, y 1, z 2
x et cos t, y 2cos t sin t, z 3e3t
y, z) y, z)
0 ,
0
确定了隐函数
将yzGFzy((((xxxx,,))yy.,(,z此z)) 曲 00线两方边程分仍别可对用x方求程导组: 求:出yzxy(zxyx((),xxz))(表x),示.)
利用2. 结果, 在M(x0, y0, z0)处,
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,
x(0) 1, y(0) 2, z(0) 3
切线方程 x 0 y 1 z 2
1
2
3
法平面方程 x 2( y 1) 3(z 2) 0
即
x 2 y 3z 8 0.
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0 20
Fz Gz
(
0
x
x0
)
Fz Gz
0.
Fx Gx
(
0
y
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
0
(z
z0
)
25
9.6 多元函数微分学的几何应用
例
求曲线
x
2 x2
y
2 y2
z2 z2
8在点P0
(1,
3,2)的
切线方程和法平面方程. x x0 y y0 z z0
解 法一 直接用公式.
Fy Gy
Fz Gz 0
Fx
Gx
Fy
dy dx
Fz
dz dx
0
Gy
dy dx
Gz
dz dx
0
x x0 y y0 z z0 1 y( x0 ) z( x0 )
Fz Fx dy Gz Gx dx Fy Fz
Fx Fy dz Gx Gy dx Fy Fz
Gy Gz
Gy Gz
利用2.结果,
x x0 y y0 z z0
lim
t t0
f
(t )
(lim t t0
f1 (t ),
lim
t t0
f 2 (t ),
lim
t t0
f 3 (t ))
[ 计算方法 ]
9.6 多元函数微分学的几何应用
3、一元向量值函数的连续性：
设向量值函数 f (t)在点t0的某邻域内有定义，若
lim
twenku.baidu.com0
f (t)
f (t0 )
则称函数 f (t)在t0连续.
1. 空间曲线的方程为参数方程
x x(t)
设空间曲线的方程
y
y(t )
( t ) (1)
z z(t )
(1)式中的三个函数均可导.
z
• M
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
•M
对应于 t t0 t.
O
y
x
17
t
t t
18
9.6 多元函数微分学的几何应用
当M M ,即t 0时 , M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0
x x0 y y0 z z0
lim Δx Δt0 t
limΔy Δt 0t
limΔz z Δt 0 t
• M
曲线在M处的切线方程
x x0 y y0 z z0 x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
1
y( x0 ) z( x0 )
24
9.6 多元函数微分学的几何应用
所以GF((xx,,
y, z) y, z)
0 ,
0
在点
M(x0,
y0,
z0)处的
切线方程为
x x0 Fy Fz
y y0 Fz Fx
z z0 Fx Fy
,
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为
Fy Gy
9.6 多元函数微分学的几何应用
第9章 多元函数微分法 及其应用
z
z f (x, y)
•M
y
O
y
x
P
D
x
9.6 多元函数微分学的几何应用
9.6 多元函数微分学的 几何应用
一元向量值函数及其导数 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 全微分的几何意义 小结 思考题
第9章 多元函数微分法及其应用
9.6 多元函数微分学的几何应用
（3）向量值函数的图像
设向量 r 的起点在坐标原点，则终
点M随t的改变而移动，点M的轨迹 Γ
称为向量值函数 r=f(t) 的终端曲 x
线，也称为该函数的图像，记作Γ
反过来，向量值函数
z
•M
rf
(t)
o
y
r f (t) ( f1(t), f2 (t), f3 (t))
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,
1
y( x0 ) z( x0 )
法平面方程为
1 ( x x0 ) y( x0 )( y y0 ) z( x0 )(z z0 ) 0.
21
9.6 多元函数微分学的几何应用
例 在抛物柱面 y 6x2 与 z 12x2的交线上,
求对应 x 1 的点处的切向量. 2
结论：
导向量 f (t0 )是向量值函数
r f (t)的终端曲线在点M x
处的一个切向量.
z
• M r •N
o
y
注意：该切向量指向与t 的增长方向一致！
9.6 多元函数微分学的几何应用
（5）向量值函数导向量的物理意义：
质点的运动速度向量:
v(t)
d
r
r(t)
dt
速度方向总是与运动方向一致！
代入公式, 得切线方程 x 1 y 3 z 2 , 3 3 0
26
9.6 多元函数微分学的几何应用
法平面方程公式:
Fy Gy
Fz Gz
(
0
x
x0
)
Fz Gz
0
Fx Gx
(y
0
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
0
(z
z0
)
代入公式, 得法平面方程
3x 3y 6 0.
27
r
MN
f (t0 t)
f (t0 )
x
t t
t
z
N • M r •
f (t0 )
f (t0 t)
o
y
令 N M , 即 t 0 , 得切线的方向向量：
T
dr dt
df1(t) , df2(t) , df3(t )
dt dt dt
t t0
tt0
9.6 多元函数微分学的几何应用
称为曲线Γ 的向量方程。
9.6 多元函数微分学的几何应用
2、一元向量值函数的极限：
设向量值函数f(t)在点t0的某一去心邻域内有定义，
若存在一个常向量r0对于任意正数，总存在正数，
使得当t满足0 t t0 时，不等式 f (t) r 0 总成立，
则称 r 0 为 f (t)当t t0时的极限，记作
Fz Fx Gz Gx 0
Fx Fy Gx Gy 0
令 F( x, y, z) x2 y2 z2 8,
Fx
P0
2 x P0
2,
Fy
P0
2y P0
2
3, Fz P0 2z P0 4;
令G( x, y, z) x2 y2 z2,
Gx P0 2 x P0 2, Gy P0 2 y P0 2 3, Gz P0 2z P0 4,
9.6 多元函数微分学的几何应用
2. 空间曲线的方程为 两个柱面 的交线
x
设曲线直角坐标方程为
x0 y y0 z z0
y z
y( x) ,
z( x)
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
x x
令
x为参数,
曲线的参数方程是
y
y(
x)
z z( x) 由前面得到的结果, 在M(x0, y0, z0)处,
1 法平面方程为
y( x0 ) z( x0 )
下面求出.
1 ( x x0 ) y( x0 )( y y0 ) z( x0 )(z z0 ) 0.
23
9.6 多元函数微分学的几何应用
F ( x, G( x,
y( x),z( x)) y( x),z( x))
0 ,
0
两边分别对
x求全导数:
说明：（1）向量值函数连续等价于它的分量函数 都连续；
（2）若在某个区域内每一点都连续，则称 该函数是该区域上的连续函数
9.6 多元函数微分学的几何应用
4、一元向量值函数的导数：
设向量值函数 r f (t)在点t0的某邻域内有定义，若
lim r lim f (t0 t) f (t0 )
t0 t t0
y
(t )
z (t)
t [ , ]
若记 r xi yj zk
f (t) (t)i (t) j (t)k
则Γ 方程成为： r f (t) ((t), (t),(t))
t [ , ]
9.6 多元函数微分学的几何应用
1、一元向量值函数的定义：
设数集D R，则映射f：D Rn为一元
向量值函数，记作r f (t) t D
其中D叫函数的定义域，t为自变量，r 叫因变量。
说明：（1）向量值函数是数量值函数的推广 （2）在R3中，若向量值函数的三个分量依次为 f1(t)、 f2(t)、 f3(t)
则可表示为 f (t) f1(t)i f2 (t) j f3(t)k ( f1(t), f2(t), f3(t))
t
i
lim
t 4
sin
t
j
lim
t 4
t
k
2
i
2
j
k
2 24
9.6 多元函数微分学的几何应用
例 设空间曲线Г的向量方程为
r f (t) (t 2 1),4t 3,2t 2 6t), t R
求曲线Г在与t0=2相应点处的单位切向量.
解： f (t) (2t,4,4t 6), t R