定积分求图形的面积和旋转体的
定积分求旋转体体积的公式
定积分求旋转体体积的公式
定积分求旋转体体积的公式是指，在平面直角坐标系中，给定一个函数 $f(x)$ 和两条直线 $x=a$ 和 $x=b$，以 $x$ 轴为旋转轴，将由 $f(x)$，$x=a$，$x=b$ 和 $x$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积公式。
该公式可以表示为：
$V=pi intlimits_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$
其中，$V$ 表示旋转体的体积，$pi$ 表示圆周率，$[f(x)]^2$ 表示由 $f(x)$，$x=a$，$x=b$ 和 $x$ 轴围成的图形在绕 $x$ 轴旋转一周后所得到的圆柱的截面积，$intlimits_{a}^{b} [f(x)]^2
dx$ 表示对 $[f(x)]^2$ 进行定积分，即将其在区间 $[a,b]$ 上的面积求出来。
需要注意的是，当 $f(x)$ 取负值时，旋转体的体积计算方式也会有所不同，需要将 $f(x)$ 的负值部分沿着 $x$ 轴翻折到正半轴上再进行计算。
- 1 -。
定积分的应用绕y轴旋转体的体积
定积分的应用绕y轴旋转体的体积
绕y轴旋转体的体积可以使用定积分来计算。
假设我们要计算在x轴上由函数y=f(x)和y=g(x)所围成的区域绕y轴旋转一周
形成的体积。
首先，我们可以将该区域在y轴上的投影表示为两个曲线
y=f(x)和y=g(x)之间的区域，即：
ΔV = π * (f(x)² - g(x)²) * Δx
其中，ΔV表示该区域在y轴上的投影扫过的小圆柱体的体积，π表示圆周率，f(x)² - g(x)²表示小圆柱体的底面积，Δx表示小
圆柱体的高度。
然后，我们可以将整个区域划分为许多小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后将所有小圆柱体的体积求和，即可得到整个
旋转体的体积：
V = ∫[a,b] π * (f(x)² - g(x)²) dx
其中，[a,b]表示区间[a,b]上的积分，表示我们要计算的区域的
范围。
通过对上述积分进行计算，我们可以得到绕y轴旋转体的体积。
请注意，这个方法适用于任何形状的曲线旋转体。
第六章 定积分的应用
第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。
教学重点:1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等. 教学难点：1、 截面面积为已知的立体体积.2、引力。
§6. 1 定积分的元素法回忆曲边梯形的面积:设y =f (x ）≥0 （x ∈［a ,b ］).如果说积分,⎰=ba dxx f A )(是以[a ,b ］为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数⎰=xa dtt f x A )()(就是以［a ,x ]为底的曲边梯形的面积.而微分dA (x ）=f (x ）dx 表示点x 处以dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值∆A ≈f （x )dx , f (x ）dx 称为曲边梯形的面积元素.以[a ,b ]为底的曲边梯形的面积A 就是以面积元素f （x )dx 为被积表达式,以 ［a ,b ]为积分区间的定积分:⎰=ba dxx f A )(.一般情况下,为求某一量U ,先将此量分布在某一区间［a ,b ］上,分布在［a ,x ]上的量用函数U (x ）表示,再求这一量的元素dU (x ),设dU (x )=u (x ）dx ,然后以u (x ）dx 为被积表达式,以［a ,b ]为积分区间求定积分即得⎰=ba dxx f U )(.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法）.§6. 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积 1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上（x ）与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成,则面积元素为[f 上(x ) f 下（x )］dx ,于是平面图形的面积为dxx f x f S ba ⎰-=)]()([下上.类似地, 由左右两条曲线x =ϕ左（y )与x =ϕ右（y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为⎰-=dc dyy y S )]()([左右ϕϕ。
大学高等数学2平面图形的面积 旋转体的体积计算
为所求量U的元素。 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素
f(x)dx 和积分区间[a ,b]。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为
◆定积分的元素法
复习曲边梯形的面积计算方法（演示）
定积分的元素法分析（演示）
定积分的元素法（演示） 一般地：若所求量U与变量的变化区间[a , b]有关，且关于
[a , b]具有可加性，在[a , b]中的任意一个小区间[x , x+dx]上 找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式
4
t
cos2
t
dt
3a2
2 sin2 2t sin2 t dt
0
3a2
2
2 1 cos 4t 1 cos t dt
40
偶次方化倍角
3a2
2 1 cos 4t
cos t
cos 4t cos t dt
...
3a2
40
8
◆旋转体的体积
旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 旋转一周所得的立体（演示）。
一周而成的立体的体积。
解 如图所示
Vy V1 V2
1 0
x12dy
1
0
x2
2
dy
1
ydy
1 y4dy 3
0
0
10
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 y x3, x 1, y 0
定积分求面积
解决物理问题
微积分基本定理在物理学中有广 泛的应用，例如在计算变速直线 运动的位移、变力做功等问题中
都会用到。
微积分基本定理的证明
证明方法
微积分基本定理的证明通常采用极限 的思想，通过将积分区间分成若干小 区间，然后在每个小区间上应用微元 法，最后取极限得到定积分的值。
关键步骤
证明的关键步骤包括构造原函数、应 用牛顿-莱布尼兹公式和取极限等。
积分常数倍性质
定积分具有积分常数倍性质，即∫[a,b] cf(x) dx = c∫[a,b] f(x) dx。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形的面积。例如，∫ab (f(x)) dx 表示曲线y=f(x)， 直线x=a和x=b所围成的曲边梯形的面积。
长度
定积分也可以用来计算曲线的长度。例如，对于参数方程x=φ(t), y=ψ(t) (a≤t≤b)所表示的曲线，其长度可以表示为∫ab [φ'(t)]^2 + [ψ'(t)]^2 dt。
总结词：量化分析
详细描述：在经济分析中，定积分求面积可 以用于量化各种经济指标。例如，在金融领 域中，可以通过定积分求面积的方法计算出 股票价格、期权价值等金融产品的变化范围 。此外，在市场营销中，也可以使用定积分 求面积的方法计算市场份额、销售量等指标
的变化趋势，从而更好地制定营销策略。
感谢观看
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
微积分基本定理
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，则该函数在区间$[a, b]$上的定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于 由$x=a$到$x=b$的区间内曲线$y=f(x)$与$x$轴、直线$x=a$和直线$x=b$所围成的平面图形的面 积。
定积分的应用(体积、旋转体的侧面积)
1
2
1
4
x2 y2 2
1 1 44 2 ( 2 ) . 3 5 15
3 5 1 x x 2 (2 x 2 x 4 )dx 2( 2 x ) 0 3 5 0
1
1
V y ydy
0
1
2
1
( 2 y )dy
2
2
y
y x
2
则
V 2 y 2 dx 2 ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 ab 1 3 4 ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 a . 3
9
r1 ，下底半 径 为 r2 ， 例 3．已知圆台的上底半 径 为
高 为h ，求它的体积。
例1. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t 解: AdA
2
4a
0 sin 2 d t 2 4 8a sin u d u 0
0 2 2 a (1 cos t ) 2 0 2 2 4 t
2
例3. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为 1 2 a cos2 d 2
y
4
a x
a 2 4 cos 2 d (2 )
0
a sin 2
2
o
a2
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin 所围公共部分的面积 . 答案: A 2 0
解：如图选择坐标系，母线 AB 的方程为
人大版微积分第三版课件定积分应用
线
、 （ a b ）及 轴所围成的平面
图形绕 x轴旋转而成的旋转体，见图6-19，求它
的体积 Vx.
（1） 用分点 a x0 x1 x2 xn b
把区间 [a,b] 分成 n个小区间
[xi1, xi ](i 1, 2, , n)
这些小区间的长分别为 xi xi xi1(i 1, 2, , n)
定积分的应用
平面图形的面积 旋转体的体积
已知函数 求由曲线 梯形的面积 .
在区间
，
，
上连续，如何 所围成的曲边
1. 如果在 见图6-10
则由定积分
上
，
的几何意义知：
2. 如果在
上
，见图6-11，
3. 对于在
上函数
面积 可以表示为
有时取正有时取负，见图6-12，
类似地，由曲线 x ( y)( 0)，直线 y c, y d 及 y
n
因此整个旋转体体积 Vx
[ f (i )]2 xi
i 1
（3） 记
x
max
1in
xi
当分点数
n , x 0
整个旋转体的体积
n
Vx
lim
x0
i 1
[
f
(i )]2 xi
b
[
f
(
x)]2dx
a
同理可得绕y轴旋转而成的旋转体的体积的计算公式为
Vy
d [( y)]2dy
c
求椭圆
分别绕 轴与 轴旋转产生的旋转体体积
4b a2 ab
a4
a2 x2 dx
例 求抛物线 y2 2x 与直线 y x 4
2
所围成的图形的面积.
定积分在几何中的应用
782020年第 5 期中定积分在几何中的应用杨姜维一、平面图形的面积（一）以为积分变量的情形1.在直角坐标中，设曲线（）与直线及轴所围成的平面图形面积为，则面积元素，面积。
例1：求曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。
解：如图1，面积元素，图形面积=2.设曲线与直线及轴所围成的图形面积为，则面积元素，面积。
3.设由，所围成的平面图形的面积：函数由大减小（上减下），积分从左到右；那么，第一种情况里面的面积公式，也可以看作是，轴即直线。
例2：求直线与抛物线所围成的平面图形的面积。
解：由图2分析可知，交点面积元素，图形面积4.任意由所围成的平面图形（图3）的面积。
例3：求抛物线，与轴及直线在第一象限所围成的平面图形的面积。
解：如图4，由交点面积+（二）以为积分变量的情形1.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
2.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
3.由曲线直线及轴围成的平面图形面积：若，。
可看作是函数由大减小（右减左），积分从下到上。
例4：计算抛物线与直线所围成的图形的面积。
定积分在几何中的应用，主要体现在求解平面图形的面积和旋转体的体积等，文中主要介绍了求解平面图形面积的几种情形，即分别以为积分变量来讨论；求旋转体体积的两种情况，即曲线分别围绕轴和轴旋转一周所得的立体体积。
JIAO HAI TAN HANG／教海探航解：如图5，由交点为方便计算，选取为积分变量，则有4.任意由曲线直线及轴围成的平面图形面积：。
二、旋转体的体积一个平面图形围绕其所在平面上的一条直线旋转一周而成的立体即为旋转体，常见的旋转体有圆柱体、圆锥、圆台、球体等,这些都有对应的体积公式，面对日常生活中所用到的水杯、花瓶等立体物件，求解体积时可考虑以下情况：（一）曲线绕轴旋转的情形由连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
（二）曲线绕轴旋转的情形由曲线、直线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
第26讲 定积分在平面图形面积的应用
图5.18
以什么变量为积分变量，要看围成的图形的特点，灵活适 当地运用好面积计算公式会起到简化计算的效果。
补充
x 0, x 求计算：由 所围成的图形的面积。
y
2 和
y cos x, y sin x
5 4
0
4
x
定积分在平面图形面积的应用
定积分在几何方面有着广泛的应用，可以用定 积分计算平面图形的面积，旋转体的体积，平面 曲线的弧长等。这里只介绍用定积分计算平面图 形面积的基本方法。 对于平面上不规则图形的面积，我们可以应用定 积分计算，现在分为两种情况讨论：
1．当积分变量为 x 时，平面图形面积的计算方法 当函数 y f x , y g x 在区间 [a, b] 上连续，且 f x g x 时，如图5.14所示。 b s 所围成图形面积计算公式为 a [ f ( x) g ( x)]dx
1
2
1 0
1 3
例5.5.5
求由双曲线 xy 1 与直线 y x ， x 2 所围成的平面图形的面积。
解：如图5.17所示，选择 x 为积分变量 令
xy 1 解得交点 A 的坐标为(1 , 1) y x
2 1
所以所围图形面积
S 1 ( x )dx x
＝
1 2 ( x 2 ln x ) 1 2
图5.18
例5.5.6
2 求计算：由两条抛物线 y 2 x 和 y x 4 所围成的图形的面积。
解： 如图5.18所示，选择 y 为积分变量
2 y 令 2 x ，得交点坐标 (2, 2), (8, 4) y x 4 4 y2 所以所围图形面积 A 2 ( y 4 )dy 18 2
经济学微积分定积分的应用求面积体积
(3) 生产多少单位产品才能获得最大利润；
(4) 最大利润是多少?
解：(1)
C( x) C(0)
x
C(t)dt 200
x
(16 0.002t)dt
0
0
16x 0.001x2 200
(2) L( x) R( x) C( x) px C( x) (20 0.001x)x (16x 0.001x2 200) 0.002x2 4x 200
S
2
y
4
2
dy
18.
选x为积分变量
2
8
S 0 2x ( 2x ) dx 2 ( 2x ( x 4))dx 18.
例：求由曲线 y 1 与y x, x 2 所围面积。
x
解： 画草图，
y y 1
x
2
1
S
1
(x
)dx x
c
d
b
S S1 S2 S3
f ( x)dx
a
c
f ( x)dx
d
f ( x)dx
b
a | f ( x) | dx
由y f ( x), x a, x b及x轴所围图形的面积为
b
S a | f ( x) | dx
一条曲线（积分变量为y）
y
d
x (y)
y
d
y
d
x (y) e
c
c
c
O
x
O
x
O
x
(1) ( y) 0 (2) ( y) 0
定积分侧面积绕x轴和y轴公式
一、概述在数学领域中，积分是一种非常重要的概念，它广泛应用于物理学、工程学和经济学等多个领域。
而定积分侧面积绕x轴和y轴的公式则是定积分的一个重要应用，它在求解旋转体的体积和表面积等问题中发挥着重要作用。
本文将围绕定积分侧面积绕x轴和y轴公式展开详细的阐述，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二、定积分侧面积绕x轴的公式1.1 定积分侧面积的定义在介绍定积分侧面积绕x轴的公式之前，首先需要明确定积分侧面积的概念。
当我们需要计算曲线围成的封闭图形绕x轴旋转一周所形成的立体的侧面积时，就需要用到定积分侧面积的概念。
这个侧面积可以通过定积分的方法来求解，得到的结果就是旋转体的侧面积。
1.2 定积分侧面积绕x轴的公式设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且非负（f(x)≥0），曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体侧面积S可表示为：S = ∫[a,b] 2πy√(1+(f'(x))^2) dx其中f'(x)表示f(x)的导函数。
三、定积分侧面积绕y轴的公式除了绕x轴旋转的情况之外，我们还会遇到绕y轴旋转的情况。
与绕x 轴类似，当曲线y=f(x)在区间[a,b]上连续且非负（f(x)≥0）时，曲线y=f(x)与y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体侧面积也可以通过定积分的方法来求解。
2.2 定积分侧面积绕y轴的公式曲线y=f(x)与y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体侧面积S可表示为：S = ∫[a,b] 2πx√(1+(f'(y))^2) dy其中f'(y)表示f(y)的导函数。
四、定积分侧面积绕轴的实例分析3.1 求解绕x轴旋转的示例现以具体函数y=x^2在区间[0,1]上绕x轴旋转一周为例，来计算其旋转体的侧面积。
根据上述给出的公式，可以得到：S = ∫[0,1] 2πx√(1+(2x)^2) dx= π∫[0,1] 2x√(1+4x^2) dx= π∫[0,1] 2x√(4x^2+1) dx3.2 求解绕y轴旋转的示例再以具体函数y=x^2在区间[0,1]上绕y轴旋转一周为例，来计算其旋转体的侧面积。
(完整版)§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用（A ）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y =与822=+y x （两部分都要计算）2）xy 1=与直线x y =及2=x3）xe y =，xe y -=与直线1=x4）θρcos 2a =5）t a x 3cos =，t a y 3sin =１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线θρae=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -=333上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力(B)1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 23=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122-=x y 所围成图形的面积6、求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a8、由曲线()16522=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线()32132-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度(C)1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H V π2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值3、求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章 定积分应用 习 题 答 案（A ）1、1）342+π，346-π 2）2ln 23- 3）21-+ee 4）2a π 5）283a π2、23a π 3、()ππ2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，564π 6、3334R 7、3432- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3732727a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2211t a aGmu F y 22t a a Gmu F x +-=λ(B)1、1）⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=pp p dy p y y p S 322316223 或()⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+-++=20229231622322pp p p dx px x p dx px px S2）⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=pp p p p dy p y dy y p V 33322215272223πππ 2、()⎰=-=10231dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=10222103dx x x V3、()()⎰⎰-=-+-=244222cos sin sin cos πππdx x x dx x x A()()()()()()⎰⎰=-+-=24224022cos sin sin cos πππππdx x x dx x x V4、抛物线在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A = 5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122-=x y 的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,23，()2,3- ⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122491224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan由()a x y -=αtan ，ax y 42=得两交点纵坐标为()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα所以()()dy a y yctg a A y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2142αα ()()32222csc 34csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=()()3232csc 34csc 4ααa a -=()32csc 38αa =因为πα<<0 当2πα=时 ()3csc α取得最小值为1所以 当2πα=时 过焦点的弦与抛物线ax y 42=所围成的图形面积()32csc 382απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小7、1）()()πθθθθπππ45cos 321cos 1212232302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A2）()()[]⎰⎰-=++=ππππθθθθθ22220241cos sin 21sin 21a d a d a A 8、()()⎰⎰------+=44442222165165dx xdx xV ππ()()⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+=4422222160165165ππdx xx9、解法同题810、提示：()32132-=x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,2 所求弧长()⎰+=212'12dx y s由()32132-=x y 得()yx y 2'1-=于是()()()()()1231321134222'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y于是得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰12598123122321221dx x S(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成所以()⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy x V 222ππR HR R HR y yR ---=332ππ()[]()[]3323H R R H R R R -----=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H π2、解：()⎰-=tdx x t S 11sin sin ()⎰-=22sin sin πtdx t x S()()⎰-=tdx x t t S 1sin sin +()⎰-2sin sin πtdx t x=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛-+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t S π，得驻点2421ππ==t t易知()()002''1''<>t S t S122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭⎫⎝⎛=πS S3、解：设()00,y x 为曲线x y =()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：()00021x x x y y -=- 即0022x x y y +=得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围的平面图形面积为：3164222004000-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S3164200-+=x x 问题即求31642-+=xx S ()40≤≤x 的最小值 令022321=+=--xxS 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值所以 当2=x 时，S 最小 即所求切线即为：2222+=x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面上提升时，做功微元为()()dx x r x r g dW +-=22π()()g r dx x r x r g dW W r r r r 42234ππ⎰⎰--=+-==。
微积分 第六章 第四节 定积分的应用
4ab
1
ab .
0
22
2 0
sinn
xdx
n
n
n
n
1 1
n n n n
3 2 3 2
3 4 4 5
1 2 2 3
, n为正偶数
2
, n为大于1的奇数
19
例4 计算由曲线 y2 2x 和直线 y x 4所围成
的图形的面积. 解 两曲线的交点
y
y2 2x
(8, 4)
2
Vy 2
1 x 2x2dx .
0
o 1x
35
例12 求由曲线 y ( x 1)( x 2) 和 x 轴所围平面图
形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积.
解
Vy 2
2
x( x 1)( x 2)dx
.
1
2
y
y
a
b
12
o
xo
x
y f (x)
“套筒法”推广：
由平面图形 0 a x b, f ( x) y 0 绕 y 轴
t (t 2 x2 )dx
1
(
x2
t
2
)
dx
0
t
y
1
y = x2
[t 2 x
x3 3
]
t 0
x3 [
3
t
2
x]
1 t
4t 3 t 2 1 ， 0 t 1
3
3
t2
S2
S1
o
t1 x
S 4t 2 2t
令
2t(2t 1)
0 ，得驻点:
t
0, t
1，
2
经比较，当t 1 时两面积和最小.
定积分在实际问题中的应用
第二节 定积分在实际问题中的应用 Application of Definite Integral教学目的: 熟练掌握求解平面图形的面积方法,并能灵活、恰当地选择积分变量;会求平行截面面积已知的立体的体积,并能求解旋转体的体积;能够解决物理应用中变力作功、液体压力方面的问题.内 容: 定积分几何应用;定积分在物理中的应用. 教学重点: 求解平面图形的面积;求旋转体的体积.教学难点: 运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积教学方法: 精讲:定积分的几何应用;多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积 教学内容:一、定积分的几何应用1. 平面图形的面积设函数12(),()y f x y f x ==均在区间[,]a b 上连续,且12()(),[,]f x f x x a b ≥∈,现计算由12(),(),,y f x y f x x a x b ====所围成的平面图形的面积.分析求解如下:(1) 如图6-3所示,该图形对应变量x 的变化区间为[,]a b ,且所求平面图形的面积S 对区间[,]a b 具有可加性.(2) 在区间[,]a b 内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应的小曲边梯形的面积,可用以dx 为底,12()()f x f x -为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替.即面积微元为12[()()]dS f x f x dx =-(3) 所求图形的面积22[()()]baS f x f x dx =-⎰图6-3【例1】 求曲线xy e =，直线0,1x x ==及0y =所围成的平面图形的面积.解 对应变量x 的变化区间为[0,1],在[0,1]内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应小窄条的面积用以dx 为底,以()()0xxf xg x e e -=-=为高的矩形的面积近似代替,即面积微元x dS e dx =于是所求面积1101x xS e dx e e ===-⎰【例2】 求曲线2y x =及22y x =-所围成的平面图形的面积.解 由222y x y x ⎧=⎨=-⎩求出交点坐标为(1,1)-和(1,1),积分变量x 的变化区间为[1,1]-,面积微元 [()()]dS f x g x dx =-即222(2)2(1)dS x x dx x dx=--=-于是所求面积12112022(1)4(1)1140383S x dxx dxx x -=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭=⎰⎰若平面图形是由连续曲线(),(),(()()),,x y x y y y y c y d ϕψψϕ==≤==所围成的,其面积应如何表达呢?分析求解如下:(1) 对应变量y 的变化区间为[,]c d ,且所求面积S 对区间[,]c d 具有可加性. (2) 在y 的变化区间[,]c d 内任取一小区间[,]y y dy +,其所对应的小曲边梯形的面积可用以()()y y ϕψ-为长,以dy 为宽的矩形面积近似代替,即面积微元为[()()]dS y y dy ϕψ=-于是所求面积[()()]dcS y y dy ϕψ=-⎰【例3】 求曲线2x y =,直线2y x =-所围成的平面图形的面积.解 由22x y y x ⎧=⎨=-⎩解得交点坐标为(1,1)-和(4,2),则对应变量y 的变化区间为[1,2]-,此时2()2,()y y y y ϕψ=+=,则面积微元2[()()](2)dS y y dyy y dyϕψ=-=+-于是所求面积2221123(2)211212392S dS y y dyy y y --==+-⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭=⎰⎰【例4】 求由2y x =及y x =所围成的平面图形的面积.解 为了确定积分变量的变化范围,首先求交点的坐标.由2y x y x ⎧=⎨=⎩得交点(0,0),(1,1).方法一选x 为积分变量,则对应x 的变化区间为[0,1],此时(),f x x =2()g x x =面积微元2[()()]()dS f x g x dx x x dx =-=-于是12023()111111023236S x x dxx x =-⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭⎰方法二选y 为积分变量,对应y 的变化区间为[0,1],此时()y ϕ=,()y y ψ=则面积微元[()()])dS y y dy y dy ϕψ=-=于是1322)121032211326S y dyy y =⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-=⎰注:由此例可知,积分变量的选取不是唯一的,但在有些问题中,积分变量选择的不同,求解问题的难易程度也会不同.【例5】 求椭圆22221x y a b+=的面积.解 椭圆关于x 轴,y 轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即1044aS S ydx ==⎰利用椭圆的参数方程cos sin x a ty b t=⎧⎨=⎩ 应用定积分的换元法,sin dx a tdt =-,且当0x =时,,2t x a π==时,0t =,于是222024sin (cos )4sin 1cos24214sin 22240S b t a t dtab tdttab dt t ab t abπππππ=-=-=⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2. 空间立体的体积(1) 平行截面面积为已知的立体的体积设某空间立体垂直于一定轴的各个截面面积已知,则这个立体的体积可用微元法求解. 不失一般性,不妨取定轴为x 轴,垂直于x 轴的各个截面面积为关于x 的连续函数()S x ,x 的变化区间为[,]a b .该立体体积V 对区间[,]a b 具有可加性.取x 为积分变量,在[,]a b 内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应的小薄片的体积用底面积为()S x ,高为dx 的柱体的体积近似代替,即体积微元为()dV S x dx =于是所求立体的体积()baV S x =⎰【例6】 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角α,计算这个平面截圆柱体所得契形体的体积.解 取该平面与底面圆的交线为x 轴建立直角坐标系,则底面圆的方程为222x y R +=,半圆的方程即为y = 在x 轴的变化区间[,]R R -内任取一点x ,过x 作垂直于x 轴的截面,截得一直角三角形,其底长为y ,高度为tan y α,故其面积2221()tan 21tan 21()tan 2S x y y y R x ααα=⋅⋅==- 于是体积2222233()1tan ()21tan ()211tan ()232tan 3RR RR R R V S x dxR x dx R x dx R R x x R R αααα---==-=-=--=⎰⎰⎰(2) 旋转体的体积 类型1:求由连续曲线()y f x =,直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成立体的体积. 过任意一点[,]x a b ∈作垂直于x 轴的平面,截面是半径为()f x 的圆,其面积为2()()S x f x π=,于是所求旋转体的体积2()()babaV S x dxf x dxπ==⎰⎰【例7】 求由2y x =及1,0x y ==所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成立体的体积.解 积分变量x 轴的变化区间为[0,1],此处2()f x x =,则体积511224001()055x V x dx x dx ππππ====⎰⎰【例8】 连接坐标原点O 及点(,)P h r 的直线,直线x h =及x 轴围成一个直角三角形,求将它绕x 轴旋转一周而成的圆锥体的体积.解 积分变量x 的变化区间为[0,]h ,此处()y f x =为直线OP 的方程ry x h=,于是体积222202322033hh r V x dxh r x dxh h r x r hh ππππ⎛⎫= ⎪⎝⎭==⋅=⎰⎰类型2:求由连续曲线()x y ϕ=,直线,y c y d ==及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体的体积()c d <.过任意一点[,]y c d ∈,作垂直于y 轴的平面,截面是半径为()y ϕ的圆,其面积为2()()S y y πϕ=,于是所求旋转体的体积2()()d dccV S y dy y dy πϕ==⎰⎰【例9】 求由3,8y x y ==及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体的体积.解 积分变量y 的变化区间为[0,8],此处()x y ϕ==于是体积828358339655V dyy dyy ππππ====⎰⎰【例10】求椭圆22221x y a b+=分别绕x 轴、y 轴旋转而成椭球体的体积.解 若椭圆绕x 轴旋转,积分变量x 的变化区间为[,]a a -,此处()y f x ==于是体积2222222322()1433a x aa a V dxb a x dxaa b a x x ab a a ππππ--==-⎡⎤=-=⎢⎥-⎣⎦⎰⎰若椭圆绕y 轴旋转,积分变量y 的变化区间为[,]b b -,此处()x y ϕ==,于是体积2222222322()1343by bb b V dya b y dyb b a b y y bb a b ππππ--==-⎛⎫=- ⎪-⎝⎭=⎰⎰二、定积分在物理中的应用 1. 变力所做的功 如果一个物体在恒力F 的作用下,沿力F 的方向移动距离s ,则力F 对物体所做的功是 W F S =⋅. 如果一个物体在变力()F x 的作用下作直线运动,不妨设其沿Ox 轴运动,那么当物体由Ox 轴上的点a 移动到点b 时,变力()F x 对物体所做的功是多少? 我们仍采用微元法,所做的功W 对区间[,]a b 具有可加性.设变力()F x 是连续变化的,分割区间[,]a b ,任取一小区间[,]x x dx +,由()F x 的连续性,物体在dx 这一小段路径上移动时, ()F x 的变化很小,可近似看作不变的,则变力()F x 在小段路径上所做的功可近似看作恒力做功问题,于是得到功的微元为()dW F x dx =将微元从a 到b 积分,得到整个区间上力所做的功()baW F x dx =⎰【例11】将弹簧一段固定,令一段连一个小球,放在光滑面上,点O 为小球的平衡位置.若将小球从点O 拉到点()M OM s =,求克服弹性力所做的功. 解 由物理学知道,弹性力的大小和弹簧伸长或压缩的长度成正比,方向指向平衡位置O ,即F kx =-其中k 是比例常数. 若把小球从点O (0)x =拉到点()M x s =,克服弹性力F ,所用力f 的大小与F 相等,但方向相反,即f kx =,它随小球位置x 的变化而变化.在x 的变化区间[0,]s 上任取一小段[,]x x dx +,则力f 所做的功的微元dW kxdx =于是功22sk W kxdx s ==⎰【例12】某空气压缩机,其活塞的面积为S ,在等温压缩的过程中,活塞由1x 处压缩到2x 处,求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功. 解 由物理学知道,一定量的气体在等温条件下,压强p 与体积V 的乘积为常数k ,即pV k =由已知,体积V 是活塞面积S 与任一点位置x 的乘积,即V Sx =,因此k kp V Sx ==于是气体作用于活塞上的力k k F pS S Sx x==⋅=活塞作用力kf F x=-=-,则力f 所做的功的微元 kdW dx x=-于是所求功211212ln ln x x x x k W dxxx k xk x =-==⎰【例13】一圆柱形的贮水桶高为5米,底圆半径为3米,桶内盛满了水.试问要把桶内的水全部吸出需做多少功. 解 取深度x 为积分变量,则所求功W 对区间[0,5]具有可加性.应用微元法,在[0,5]上任取一小区间[,]x x dx +,则所对应的小薄层的质量239dx dx πρπρ==. 将这一薄层水吸出桶外时,需提升的距离近似为x ,因此需做功的近似值,即功的微元为99dW x dx xdx πρπρ=⋅=于是所求功52952259022W xdxx πρπρπρ=⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰将339.810/N m ρ=⨯,得62259800 3.46102W J π=⋅≈⨯2.液体压力现有面积为S 的平板,水平置于密度为ρ,深度为h 的液体中,则平板一侧所受的压力(F pS h S p ρ==为水深为h 处的压强值)若将平板垂直放于该液体中,对应不同的液体深度,压强值也不同,那么平板所受压力应如何求解呢? 设平板边缘曲线方程为(),()y f x a x b =≤≤,则所求压力F 对区间具有可加性,现用微元法来求解. 在[,]a b 上任取一小区间[,]x x dx +,其对应的小横条上各点液面深度均近似看成x ,且液体对它的压力近似看成长为()f x 、宽为dx 的小矩形所受的压力,即压力微元为()dF x f x dx ρ=⋅于是所求压力()baF x f x dx ρ=⋅⎰【例14】有一底面半径为1米,高为2米的圆柱形贮水桶,里面盛满水.求水对桶壁的压力. 解 积分变量x 的变化区间为[0,2],在其上任取一小区间[,]x x dx +,高为dx 的小圆柱面所受压力的近似值,即压力微元为212dF x dx xdx ρππρ=⋅⋅=于是所求压力为22222402x F xdx πρπρπρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰将339.810/N m ρ=⨯代入3449.810 3.9210F N ππ=⨯⨯=⨯【例15】有一半径3R =米的圆形溢水洞,试求水位为3米时作用在闸板上的压力.解 如果水位为3米,积分变量x 的变化区间为[0,]R ,在其上任取一小区间[,]x x dx +,所对应的小窄条上所受压力近似值,即压力微元22dW x ydxx ρρρ=⋅=⋅= 于是所求压力()0220322203212()22323RRRF R x R x R ρρρρ=⎛=-- ⎝=--=⎰⎰ 将339.810/,3N m R m ρ=⨯=代入得51.76410F N =⨯课堂练习:1. 求由曲线y x =与y =.2.求由3,1,0y x y x ===所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成立体的体积.3. 有一截面积220S m =,深为5m 的水池盛满了水.用抽水泵把这水池中的水全部抽出需做多少功?小结: 学习了定积分的几何应用和物理应用,要求能熟练应用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积.作业:P123-2(2),(6).4(3),11。
定积分的几何应用
第一节定积分的几何应用⏹一、定积分的微元法⏹二、用定积分求平面图形的面积⏹㈠、在直角坐标系中求平面图形的面积⏹㈡、在极坐标系下求平面图形的面积⏹三、用定积分求体积⏹㈡、旋转体的体积⏹四、平面曲线的弧长一、定积分的微元法微元法是运用定积分解决实际问题的常用方法.定积分所要解决的问题是求非均匀分布的整体量（如:曲边梯形面积).采用“分割取近似,求和取极限”的四个步骤,通过分割将整体问题化为局部问题,以均匀代替非均匀（或以直代曲)求得近似值,再通过求和取极限得到精确值.其中第二步是关键.下面先回顾求曲边梯形面积的四个步骤⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);ii i x f A ∆≈∆)(ξ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积)分为部分量(小曲边梯形面积）之和;A i A ∆求曲边梯形面积的四个步骤:∑=∆≈n i ii x f A 1)(ξ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);∑=→∆=n i i i x f A 10)(lim ξλ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.于是面积就是将这些微元在区间上的“无限累加”, 即从到的定积分.这个方法通常称为微元分析法,简称微元法.a b x 其中形式与积分式中的被积式具有相同的形式.如果把用替代, 用替代, 这样上述四个步骤简化为两步：x x f d )(i x ∆i i x f ∆⋅)(ξi ξx d 第二步找到面积微元求定积分.x x f d )(第一步选取积分变量并确定其范围；x [,]a b⏹概括可得：凡是具有可加性连续分布的非均匀量的求和问题, 一般可通过微元法得到解决．⏹操作步骤：⑴建立坐标系,选取积分变量并确定积分区间；⑵找到相应的微元；⑶以此微元作积分表达式,在积分区间上求定积分.由微元法分析：其中面积微元为，它表示高为、底为的一个矩形面积.x x f d )()(x f x d ㈠、在直角坐标系中求平面图形的面积⒈⑴由定积分几何意义可知,当时,由曲线，直线与轴所围成的曲边梯形的面积为定积分即0)(≥x f )(x f y =()d ba A f x x =⎰b x a x ==,)(b a <x A 二、用定积分求平面图形的面积⑵由定积分几何意义可知,当时,由曲线，直线与轴所围成的曲边梯形的面积A为.()0f x ≤)(x f y =()d b aA f x x =-⎰b x a x ==,)(b a <x )(x f ⑶当在区间上的值有正有负时，则曲线，直线与轴围成的面积是在轴上方和下方曲边梯形面积的差.同样可由微元法分析x ],[b a )(x f y =b x a x ==,x )(b a <其中面积微元为.xx g x f A d )]()([d -=bx a x ==,))()((x g x f ≥),(),(x g y x f y ==⎰-=ba xx g x f A d )]()([⒉一般地，根据微元法由曲线及直线所围的图形（如图所示）的面积为[注意]：曲线的上下位置(),()y f x y g x ==[由微元法分析]：(1)在区间上任取小区间,在此小区间上的图形面积近似于高为,底为的小矩形面积,从而得面积微元为[,]a b ]d ,[x x x +d x xx g x f A d )]()([d -=[()()]f x g x -(2)以为被积表达式,在区间作定积分就是所求图形的面积.[()()]f x g x -[,]a b ⎰-=ba xx g x f A d )]()([类似地,由曲线及直线所围成的平面图形(如图所示)的面积为),(),(y x y x ϕφ==))()((y y ϕφ≥d y c y ==,⎰-=d cy y y A d )]()([φϕd [()()]d A y y yϕφ=-其中面积微元[注意]：曲线的左右位置.(),()x y x y φϕ==利用微元法求面积：例1计算由两条抛物线所围成图形的面积．yx x y ==22,解:⑴作出图形，确定积分变量，解方程组得两条抛物线的交点为(0,0)和(1,1)，则积分区间为[0,1]．（如右图所示）⎩⎨⎧==22xy xyx⑵在积分区间[0,1]上任取一小区间，与之相应的窄条的面积近似地等于高为、底为的矩形面积（如上页图中阴影部分的面积）,从而得面积微元]d ,[x x x +2x x -x d x x x A d )(d 2-=xx x A A d )(d 1210⎰⎰-==31013132323=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xx求定积分得所求图形面积为解:(方法一)(1) 作图，选定为积分变量，解方程组得两曲线的交点为(1,1)，可知积分区间为[0,1].（如右图所示）⎩⎨⎧-==22)2(x y x yy 例２:求曲线与轴围成平面图形的面积．x 22)2(,-==x y x y(2)在区间[0,1]上任取小区间，对应的窄条面积近似于高为底为的矩形面积，从而面积微元为y y --)2(y y y A d ])2[(d --=yy d )1(2-=[,dy]y y +d y 3201)342(d )1(2231=-=-=⎰y y y y A （3）所求图形的面积为在[0,1]上的微元为在[1,2]上的微元为xx A d d 21=xx A d )2(d 22-=解:(方法二)若选取作为积分变量，容易得出积分区间为[0,2]，但要注意，面积微元在[0,1]和[1,2]两部分区间上的表达式不同（如下图所示）x故所求面积为⎰⎰+=102121d d A A A 122201d (2)d 23x x x x=+-=⎰⎰这种解法比较繁琐，因此，选取适当的积分变量，可使问题简化．另外，还应注意利用图形的特点（如对称性），以简化分析、运算．解由右图所示选取为积分变量，记第一象限内阴影部分的面积为，利用函数图形的对称性，1A y 例3求与半圆所围图形的面积．)0(222>=+x y x x y =2⎰--==1221d )2(22yy y A A 3212(2arcsin )0232123y y y y π=⋅-+-=+可得图形的面积为:⏹[步骤]：⏹⑴作草图，确定积分变量和积分限；⏹⑵求出面积微元；⏹⑶计算定积分．⏹[注意]：⏹⑴积分变量选取要适当；⏹⑵合理利用图形的特点（如对称性）.)(βα<即曲边扇形的面积微元为曲边扇形的面积为⎰=βαθθd )]([212r A θθd )]([21d 2r A =㈡、在极坐标系下求平面图形的面积计算由曲线及射线围成的曲边扇形的面积（如下图所示）．βθαθ==,)(θr r =利用微元法，取极角为积分变量，它的变化区间为.在任意小区间上相应的小曲边扇形的面积可用半径为中心角为的圆扇形的面积近似代替，θ],[βα]d ,[θθθ+)(θr r =θd解:取为积分变量,面积微元为于是θ21d ()d 2A a θθ=3222220340232d )(21ππθθθπa a a A =⋅==⎰例４计算阿基米德螺线上对应于从０变到的一段曲线与极轴所围成图形的面积.（右图所示）θγa =)0(>aπ2θ例5计算双纽线所围成的平面图形的面积（下图所示）θ2cos 22a r =)0(>a 解因,故的变化范围是,图形关于极点和极轴均对称．面积微元为21d cos 2d 2A a θθ=02≥r θ]45,43[ππ-24024021cos 2d 4214sin 222a A a aππθθθ==⋅⋅=⎰故所求面积为•设一立体介于过点且垂直于轴的两平面之间，如果立体过且垂直于轴的截面面积为的已知连续函数，则称此立体为平行截面面积已知的立体，如右图所示．,x a x b ==x x[],x a b ∈()A x x ㈠、平行截面面积已知的立体体积．下面利用微元法计算它的体积．()d baV A x x=⎰于是所求立体的体积为d ()d V A x x=即体积微元为[],a b 取为积分变量,它的变化区间为,立体中相应于上任一小区间的薄片的体积近似等于底面积为,高为的扁柱体的体积(右图所示)，()A x d xx [],a b [],d x x x+解：(法一)取平面与圆柱体底面的交线为轴,底面上过圆中心且垂直于轴的直线为轴,建立坐标系.如右图所示此时,底圆的方程为立体中过点且垂直于轴的截面是一个直角三角形.xxxy 222x y R+=x例6一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角(如下图)，计算这个平面截圆柱所得立体的体积.R α它的两条直角边的长度分别是及即及于是截面面积为y 22R x -tan y α22tan R x α-221()()tan 2A x R x α=-故所求立体的体积为223231()t a n d212t a n t a n 233RRVRx xx R R xRRααα-=-⎛⎫=-=⎪-⎝⎭⎰(法二)取坐标系同上（下图所示），过轴上点作垂直于轴的截面,则截得矩形,其高为、底为,y y ytan y α222R y -22()2tan A y y R yα=⋅-从而截面面积为于是所求立体的体积为220222232223()d 2tan d tan d().2tan ()032tan 3RR RV A y yy R y yR y R y R R y R αααα==⋅-=---=-⋅-=⎰⎰⎰从而,所求的体积为㈡、旋转体的体积应用定积分计算由曲线直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而形成的立体体积（下图所示）,x a x b==()yf x =x x x 取为积分变量,其变化区间为,由于过点且垂直于轴的平面截得旋转体的截面是半径为的圆,其面积为x x[],a b ()f x []2()()A x f x π=[]2()d ()d bbaaV A x x f x xπ==⎰⎰该旋转体的体积为类似地,若旋转体是由连续曲线,直线及轴所围成的图形,绕轴旋转一周而成(下图所示),()x y ϕ=,y c y d ==y y ()2d dc V y y πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰解：如右图所示,所求体积例７求由曲线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积.(0)xy a a =>,2x a x a==x x 22222d d 1212aa a a V y x a xx a a a x a ππππ=⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭=⎰⎰例8求底圆半径为高为的圆锥体的体积．h r 解以圆锥体的轴线为轴，顶点为原点建立直角坐标系（下图所示）过原点及点的直线方程为．此圆锥可看成由直线及轴所围成的三角形绕轴旋转而成，(,)P h r r y xh=x h =ry x h =x x x故其体积为220023220d d 133hhhr V y x x xh r x r h h ππππ⎛⎫== ⎪⎝⎭=⋅=⎰⎰设有一条光滑曲线弧,现在计算它的长度（称为弧长）．()()y f x a x b =≤≤s所谓光滑曲线是指曲线在上连续，在内各点存在不垂直于轴的切线，并且切线随切点的移动而连续转动；即在上连续，在内连续．()y f x =[],a b (,)a b x[],a b ()f x ()f x '(,)ab 四、平面曲线的弧长以为积分变量，相应于上任一小区间的一段弧长可用曲线在点处切线上相应小段直线的长度来近似代替（如上图所示）．x [],a b [,]x x dx +s MN ∆=MT (,())x f x 切线上小段直线的长度为因而弧长微元（也称为弧微分）为从到积分得()222(d )d 1()d x y y x'+=+2d 1()d s y x'=+[]221()d 1()d b b aas y x f x x''=+=+⎰⎰a b例9求曲线的长．233d x y t t -=-⎰解函数的定义域为，故于是23,3,3y x ⎡⎤'-=-⎣⎦且22d 1()d 4d s y x x x'=+=-332234d 24d s x x x x-=-=-⎰⎰233002sin 22cos 2cos d 8cos d x tt t t t tππ=⋅⋅=⎰⎰3144(sin 2)3.23t t ππ=+=+()t αβ≤≤若曲线弧由参数方程给出，其中在上具有连续导数，则弧微元为从而，所求弧长为{()()x t y t ϕψ==(),()t t ϕφ[,]a β[][]22d ()()d s t t tϕψ''=+()22[][()]d as t t tβϕψ''=+⎰AB例10求曲线上相应于从到一段的弧长（其中）．(cos sin ),(sin cos )x a t t t y a t t t =+=-0t =t π=0a >d at t=解因为，所以从而()cos ,()sin x t at t y t at t''==()()2222d [()][()]d cos sin d s x t y t t at t at t t''=+=+220d 22ta s at t aπππ===⎰第二节定积分在的物理学中的应用一、变力作功二、液体的压力设一物体受连续变力的作用,沿力的方向作直线运动,求物体从移动到,变力所作的功（如下图所示）.()F x a b ()F x 由于是变力,因此这是一个非均匀变化的问题.所求的功为一个整体量,在上具有可加性,可用定积分的微元法求解.()F x [,a b 、变作在上任一小区间.由于是连续变化的,当很小时变化不大可近似看作常力,因而在此小段上所作的功近似为在上的功微元.因此,从到变力所作的功为()F x [,]a b d ()d W F x x =a b ()d ba W F x x =⎰[,]ab [,d ]x x x +d x ()F x[析]：这个电场对周围的电荷有作用力，由库仑定律知，位于轴上距原点米处的单位正电荷受到的电场力大小为（牛顿），其中为常数．x x 2()q F x k x=k 例1把电量为+ （库仑）的点电荷放在轴原点处,形成一个电场,当这个单位正电荷在电场中从处沿轴至处时,求电场力对它所作的功（下图所示）．q x x a =(x b a =<x解取为积分变量，其变化区间为，功微元为于是功为x [,]a b 2d ()dd q W F x x k x x ==211d ()b b a q kq W k x kq x a b x==-=-⎰解建立坐标系，如右图所示.取深度为积分变量，其变化区间为[0,5]，x 例2一圆柱形的贮水桶高为５米，底圆半径为３米，桶内盛满了水．试问要把桶内的水全部吸出，需作多少功？功微元所求的功为d 98009d 88200d W x x x xπ=⋅=5025088200d 8820023462000W x x x ππ==⋅≈⎰二、液体的压力由物理学可知,在深为处液体的压强为,其中是液体的密度，（牛顿／千克）.如果有一面积为的平板，水平地放置在液体中深为处，则平板一侧所受的压力为h p g h ρ=⋅⋅h A F P A g h Aρ=⋅=⋅⋅⋅9.8g =ρ⏹如果平板垂直放在液体中，那么由于液体的深度不同，就不能用上式计算平板一侧所受到的压力，须用定积分求解．下面举例说明．例3一个横放的半径为的圆柱形油桶盛有半桶油，油的密度为．计算桶的圆形一侧所受的压力．R解建立坐标系，如右图所示取为积分变量，它的变化区间为．则压力微元为x [0,]R 22d 2d F g x R x x ρ=⋅-得所求压力()()2201222220322232d d()20323R R F gx R x x g R x R x R g R x gR ρρρρ=-=---=-⋅-=⎰⎰。
定积分绕x和y的面积体积公式
定积分绕x和y的面积体积公式
一、定积分求平面图形面积。
1. 绕x轴旋转体的体积公式推导及应用。
- 面积公式。
- 由曲线y = f(x)，y = g(x)（f(x)≥slant g(x)）以及直线x = a，x = b（a < b）所围成的平面图形的面积S=∫_a^b[f(x) - g(x)]dx。
- 绕x轴旋转体的体积公式。
- 设y = f(x)是区间[a,b]上的连续函数，这个区域绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=π∫_a^b[f(x)]^2dx。
- 如果是由曲线y = f(x)，y = g(x)（f(x)≥slant g(x)）以及直线x = a，x = b （a < b）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=π∫_a^b([f(x)]^2-[g(x)]^2)dx。
2. 绕y轴旋转体的体积公式推导及应用。
- 面积公式。
- 由曲线x = φ(y)，x=ψ(y)（φ(y)≥slantψ(y)）以及直线y = c，y = d（c < d）所围成的平面图形的面积S=∫_c^d[φ(y)-ψ(y)]dy。
- 绕y轴旋转体的体积公式。
- 设x=φ(y)是区间[c,d]上的连续函数，这个区域绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=π∫_c^d[φ(y)]^2dy。
- 如果是由曲线x = φ(y)，x=ψ(y)（φ(y)≥slantψ(y)）以及直线y = c，y = d （c < d）所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=π∫_c^d([φ(y)]^2-[ψ(y)]^2)dy。
旋转体体积和侧面积的计算公式
旋转体体积和侧面积的计算公式
一，旋转体体积
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
二，旋转体侧面积
旋转体侧面积公式是：2π∫（1，t）（t-x）/x^2dx+2π∫（t，2）（x-t）/x^2dx。
1、根据定积分公式可得：2π∫(1,t)(t-x)/x^2dx+2π∫(t,2)(x-t)/x^2dx。
2、一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。
3、表面积是指所有立体图形的所能触摸到的面积之和。
球体表面积计算公式为：S=4πR^2。
4、定积分就是求函数f（X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。