推荐生数学试题及答案

2010年推荐生选拔测试数学试题

一、选择题（每小题5分，共25分）

1、下列图中阴影部分面积与算式2

131242-⎛⎫

-++ ⎪⎝⎭

的结果相同的是（ ）

2、一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，

则这个长方体的高和底面边长分别为（ ）

A ．3

， B ．2

， C ．3，2 D ．2，3

3、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（ ）

A. 32

B. π

C. 2π

D. 4

4、如果多项式212x px ++可以分解成两个一次因式的积，那么整数p 的值可取 （ ）个

A ．4 B. 5 C. 8 D. 6

5、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1

人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多（ ）道

A. 15

B. 20

C. 25

D. 30 二、填空题（每小题6分，共30分）

第2题图

主视图 左视图

俯视图

O

E

D

B

A

C

· 6= .

7、满足方程532=-++x x 的x 的取值范围是 . 8、设M 是ABC ∆的重心（即M 是中线AD 上一点，

且AM=2MD ），过M 的直线分别交边AB 、AC 于 P 、Q 两点，且

n QC

AQ

m PB AP ==,，则=+n m 11 .

9、在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（y x ,）称为整点，如果将二次函数

4

39

82-

+-=x x y 的图像与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有 个.

10、已知：M （2，1），N （2，6）两点，反比例函数x k y =

与线段MN 相交，过反比例函数x

k y =上任意一点P 作y 轴的垂线PG,G 为垂足，O 为坐标原点，则△OGP 面积S 的取值范围是

_______________.

三、解答题（共45分，写出必要的文字说明。） 11、（本小题20分）

如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD ． （1）求证：DC =BC ；

（2）若AB =5，AC =4，求tan ∠DCE 的值．

第8题图

12、（本小题25分）

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC 交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

数学试题答案

1-5 BCADB

6

7、23x -≤≤ 8、1 9、25 10、6S 1≤≤ 11. 解：（1）证明：连接OC ∵OA ＝OC

∴∠OAC ＝∠OCA ∵CE 是⊙O 的切线 ∴∠OCE ＝90° ∵AE ⊥CE

∴∠AEC ＝∠OCE ＝90° ∴OC ∥AE ∴∠OCA ＝∠CAD ∴∠CAD ＝∠BAC ∴弧DC ＝弧BC

∴DC ＝BC

（2）∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB ＝90° ∴3452222=-=-=

AC AB BC

∵∠CAE ＝∠BAC ∠AEC ＝∠ACB ＝90° ∴△ACE ∽△ABC ∴AB

AC

BC EC = ∴

543=EC 5

12

=EC ∵DC ＝BC ＝3 ∴5

9

)512(32222=-=-=

CE DC ED

∴4

3

5

1259

tan ===∠EC ED DCE

12．解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8 ∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC

O

E

D

B

A

C

·

∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得

⎩

⎪⎨⎪⎧

0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8 解得⎩⎨⎧

a ＝－

23

b ＝－83

∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－8

3x ＋8

（3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴

EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m

8

∴EF ＝40－5m 4

过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝4

5

∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4

＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）

＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－1

2m 2

＋4m

自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在．

理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－1

2（m －4）2＋8 且

－1

2

＜0， ∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8 ∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．