【新教材】新人教A版必修一 正切函数的图像与性质 教案
【新教材精创】5.4.3 正切函数的图像与性质 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第一册
第五章三角函数
5.4.3 正切函数的图像与性质
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.3 正切函数的图像与性质。
本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验，通过运用数形结合的思想方法和类比思想，对正切函数的图像与性质进行研究，并应用函数性质解决问题。
是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。
因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。
发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标学科素养
1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、
值域、奇偶性和单调性。
并能够应用正切函
数的图象和性质解决相关问题。
2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函
数的图象。
3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生
数形结合和类比的思想方法。
a.数学抽象：函数性质的总结；
b.逻辑推理：由正切函数性质解决y＝A tan(ωx＋
φ)的性质；
c.数学运算：运用函数性质解决问题；
d.直观想象：函数图像与函数性质相对应；
e.数学建模：正切函数的性质及应用；
教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性
教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。
多媒体。
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象教案 新人教A版必
正切函数的性质与图像一教材分析：《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展，是对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫。
一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述.但对正切函数，教材先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象. 主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的体现得更加全面. 在此也向学生进一步说明华罗庚先生的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数学的美无处不在，数学无处不美。
为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《几何画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
二教学目标（一）知识与技能目标：1.在对正切函数已有认知的基础上，理解正切函数的性质。
2.通过已知的性质，利用正切线，得到正切曲线。
3.根据正切曲线，完善正切函数的性质。
（二）过程与方法目标：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．（三）情感态度价值观目标在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三教学重点利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质.四教学难点正切函数的单调性和值域五学法与教法学生已基本掌握正切函数的定义、诱导公式等知识；基本掌握了从代数角度研究函数单调性、奇偶性、周期性的方法.但是由于该课涉及到的知识内容较多，特别是涉及到正切线时，学生会感到困难.我班学生有扎实的知识基础，学习的主动性和积极性也较高，已基本形成自主学习的习惯和能力.有合作学习的经验和氛围.因此学生学法为合作交流，教法为探究与发现式。
高中数学人教A版第一章三角函数正切函数的性质与图象导学案新必修_
7
π .
|ω|
( ) π
π
(3)正切函数在 － ＋kπ， ＋kπ (k∈Z)上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调
2
2
减区间.
课时作业
一、选择题
( )π
3
1.函数 y＝tan x＋ ，x∈R 且 x≠ π＋kπ，k∈Z 的一个对称中心是( )
5
10
A.(0，0)
( ) π
B. ，0 5
( ) 4
( ] π
单调递减区间为 － ＋kπ，kπ (k∈Z)，周期为 π. 2
反思与感悟 (1)作出函数 y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数 y＝f(x)图象在 x 轴上方的部分；
5
②将函数 y＝f(x)图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折.
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可.
ππ 答案 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间(－ ， )上的图象.作法如下：
22 (1)作直角坐标系，并在直角坐标系 y 轴的左侧作单位圆. (2)把单位圆的右半圆分成 8 等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点(横坐标是一个周期的 8 等分点，纵坐标是相应的正切线的长度). (4)连线，得到如图①所示的图象.
3
33
2
π
3π
2π)，∴x＝0， ，π， .故选 B.
2
2
5.比较大小：tan 1________tan 4.
答案 ＞
解析 由正切函数的图象易知 tan 1＞0，
π tan 4＝tan(4－π)，而 0＜4－π＜1＜ ，
2
( ) π π
人教版A高中数学必修第一册5.4.3 正切函数的图像与性质 教学设计(2)
【新教材】5.4.3 正切函数的图像与性质教学设计（人教A版）本节课是三角函数的继续,三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.而本课内容是正切函数的性质与图像.首先根据单位圆中正切函数的定义探究其图像,然后通过图像研究正切函数的性质.课程目标1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.数学学科素养1.数学抽象:借助单位圆理解正切函数的图像;2.逻辑推理: 求正切函数的单调区间;3.数学运算:利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.4.直观想象:正切函数的图像;5.数学建模:让学生借助数形结合的思想,通过图像探究正切函数的性质.重点:能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用;难点:掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.教学方法:以学生为主体,小组为单位,采用诱思探究式教学,精讲多练。
教学工具:多媒体。
一、情景导入三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质,那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来,能否得到正切函数的图像与性质.要求:让学生自由发言,教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本,引入新课阅读课本209-212页,思考并完成以下问题1. 正切函数图像是怎样的?2. 类比正弦、余弦函数性质,通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性 质?要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.正切函数,且图象:2.观察正切曲线,回答正切函数的性质: 定义域: ()z k k x ∈+≠2ππ 值域:R （-∞,+∞）最值: 无最值 渐近线:x =π2+kπ( k ∈Z) 周期性:最小正周期是π 奇偶性: 奇函数 单调性:增区间,,22k k k z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭图像特征:无对称轴,对称中心:(kπ2,0)k ∈Z 四、典例分析、举一反三 题型一 正切函数的性质 例1 求函数f ( x )＝tan 23x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域、周期和单调递增区间、【答案】定义域:{x |x ≠2k ＋13,k ∈Z };最小正周期为2;单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－53＋2k ，13＋2k ,k ∈Z . 【解析】由π2x ＋π3≠k π＋π2,得x ≠2k ＋13( k ∈Z )、所以函数f ( x )的定义域是{x |x ≠2k ＋13,k ∈Z };R x xy ∈=tan ()z k k x ∈+≠ππ2由于ππ2＝2,因此函数f ( x )的最小正周期为2.由－π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π,k ∈Z ,解得－53＋2k ＜x ＜13＋2k ,k ∈Z .因此,函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－53＋2k ，13＋2k ,k ∈Z . 解题技巧:（求单调区间的步骤）用“基本函数法”求函数y ＝A tan( ωx ＋φ)( A ＞0,ω＞0)的单调区间、定义域及对称中心的步骤: 第一步:写出基本函数y ＝tan x 的相应单调区间、定义域及对称中心;第二步:将“ωx ＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间( 用不等式表示)中的“x ”; 第三步:解关于x 的不等式、 跟踪训练一1、下列命题中:①函数y ＝tan( x ＋φ)在定义域内不存在递减区间;②函数y ＝tan( x ＋φ)的最小正周期为π;③函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称;④函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像关于直线x ＝π4对称、 其中正确命题的个数是( )A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个【答案】D 、【解析】 :①正确,函数y ＝tan( x ＋φ)在定义域内只存在递增区间、②正确、③正确,其对称中心为⎝⎛⎭⎫k 2π－π4，0( k ∈Z )、④函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4不存在对称轴、所以①②③正确,故选D.题型二 比较大小 例2 0tan167与0tan173 【答案】0tan167tan173<. 【解析】090167173180<<< 又tan ,y x =在0(90,270)上是增函数00tan167tan173∴<解题技巧:( 比较两个三角函数值的大小)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较、 跟踪训练二1、若f ( x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4,则( )A 、f ( 0)＞f ( －1)＞f ( 1)B 、f ( 0)＞f ( 1)＞f ( －1)C 、f ( 1)＞f ( 0)＞f ( －1)D 、f ( －1)＞f ( 0)＞f ( 1)【答案】A【解析】 f ( x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫－3π4，π4内是增函数、 又0,－1∈⎝⎛⎭⎫－3π4，π4,0＞－1,∴f ( 0)＞f ( －1)、 又f ( x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π4，5π4上也是增函数,f ( －1)＝tan ⎝⎛⎭⎫－1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4－1＝tan ⎝⎛⎭⎫5π4－1. ∵5π4－1,1∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4,且5π4－1＞1,∴f ( －1)＞f ( 1)、 从而有f ( 0)＞f ( －1)＞f ( 1)、 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本213页习题5.4.正切函数是在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上学习的,学生相对而言容易掌握,单调性方面学生需要注意是开区间且只有增区间.。
高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的图像与性质教案新人教A版
§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。
研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。
教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。
正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。
这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。
在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。
【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。
本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。
3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。
教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。
学高中数学三角函数三角函数的图象与性质正切函数的性质与图象教师用书教案新人教A版必修
１．４．３正切函数的性质与图象学习目标核心素养１．能画出正切函数的图象．（重点）２．掌握正切函数的性质．（重点、难点）３．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．（易混点）１．通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养.２．通过对正切函数性质的应用，提升学生数学运算素养.正切函数的图象与性质解析式y＝tan x图象定义域错误!值域R周期π奇偶性奇函数对称中心错误!，k∈Z单调性在开区间错误!，k∈Z内都是增函数[提示] 不是，在错误!中，当k为偶数时，在函数图象上，当k为奇数时，不在函数图象上．１．函数f（x）＝tan错误!的单调增区间为（）Ａ．错误!，k∈ZＢ．错误!，k∈ZＣ．错误!，k∈ZＤ．错误!，k∈ZC[令kπ—错误!＜x＋错误!＜kπ＋错误!（k∈Z）得kπ—错误!＜x＜kπ＋错误!（k∈Z），故单调增区间为错误!（k∈Z）．]２．函数y＝tan错误!的定义域为．错误![因为２x—错误!≠kπ＋错误!，k∈Z，所以x≠错误!＋错误!，k∈Z，所以函数y＝tan错误!的定义域为错误!.]３．函数y＝tan ３x的最小正周期是．错误![函数y＝tan ３x的最小正周期是错误!.]４．函数y＝tan错误!的对称中心是．错误!（k∈Z）[令x—错误!＝错误!（k∈Z）得x＝错误!＋错误!（k∈Z），∴对称中心为错误!（k∈Z）．]有关正切函数的定义域、值域问题【例１】Ａ．（—１,１）Ｂ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）Ｃ．（—∞，１）Ｄ．（—１，＋∞）（２）求下列函数的定义域：１y＝错误!；２y＝lg（错误!—tan x）．思路点拨：（１）错误!→错误!（２）１中注意分母不为零且y＝tan x本身的定义域；２中注意对数大于零⇒从而得到定义域．（１）B[当—错误!＜x＜0时，—１＜tan x＜0，∴错误!＜—１；当0＜x＜错误!时，0＜tan x＜１，∴错误!＞１．即当x∈错误!∪错误!时，函数y＝错误!的值域是（—∞，—１）∪（１，＋∞）．]（２）[解] １要使函数y＝错误!有意义，需使错误!所以函数的定义域为错误!.２因为错误!—tan x＞0，所以tan x＜错误!.又因为tan x＝错误!时，x＝错误!＋kπ（k∈Z），根据正切函数图象，得kπ—错误!＜x＜kπ＋错误!（k∈Z），所以函数的定义域是错误!.１．求正切函数定义域的方法（１）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x有意义，即x≠错误!＋kπ，k∈Z.（２）求正切型函数y＝A tan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋错误!，k∈Z，解得x.２．解形如tan x＞a的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．错误!１．求函数y＝错误!＋lg（１—tan x）的定义域．[解] 要使函数y＝错误!＋lg（１—tan x）有意义，则错误!即—１≤tan x＜１．当x∈错误!上满足上述不等式的x的取值范围是错误!.又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为错误!.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性的周期为．（２）已知函数y＝tan错误!，则该函数图象的对称中心坐标为．（３）判断下列函数的奇偶性：１y＝３x tan ２x—２x４；２y＝cos错误!＋tan x.思路点拨：（１）形如y＝A tan（ωx＋φ）（Aω≠0）的周期T＝错误!，也可以用定义法求周期．（２）形如y＝A tan（ωx＋φ）（Aω≠0）的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝错误!，k∈Z求出．（３）先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f（—x）与f（x）的关系．（１）错误!（２）错误!（k∈Z）[（１）法一：（定义法）∵tan错误!＝tan错误!，即tan错误!＝tan错误!，∴f（x）＝tan错误!的周期是错误!.法二：（公式法）f（x）＝tan错误!的周期T＝错误!.（２）由x—错误!＝错误!（k∈Z）得x＝错误!＋错误!（k∈Z），所以图象的对称中心坐标为错误!，k∈Z.]（３）[解] １定义域为错误!，关于原点对称，又f（—x）＝３（—x）tan ２（—x）—２（—x）４＝３x tan ２x—２x４＝f（x），所以它是偶函数．２定义域为错误!，关于原点对称，y＝cos错误!＋tan x＝sin x＋tan x，又f（—x）＝sin（—x）＋tan（—x）＝—sin x—tan x＝—f（x），所以它是奇函数．１．函数f（x）＝A tan（ωx＋φ）周期的求解方法．（１）定义法．（２）公式法：对于函数f（x）＝A tan（ωx＋φ）的最小正周期T＝错误!.（３）观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．２．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f（—x）与f（x）的关系．提醒：y＝tan x，x≠kπ＋错误!（k∈Z）的对称中心坐标为错误!，k∈Z.错误!２．判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝错误!；（２）f（x）＝tan错误!＋tan错误!.[解] （１）由错误!得f（x）的定义域为错误!，不关于原点对称，所以函数f（x）既不是偶函数，也不是奇函数．（２）函数定义域为错误!，关于原点对称，又f（—x）＝tan错误!＋tan错误!＝—tan错误!—tan错误!＝—f（x），所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用[探究问题]１．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋错误!（k∈Z）隔开，所以它的单调区间只在错误!（k∈Z）内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x１＝错误!，x２＝错误!π，x１<x２，但tan x１＝tan x２.２．如果让你比较tan错误!与tan错误!的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例３】（１）不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：１tan 错误!与tan错误!；２tan错误!与tan错误!.（２）求函数y＝３tan错误!的单调区间．思路点拨：（１）错误!→错误!（２）错误!→→错误![解] （１）１因为tan错误!＝tan错误!，tan错误!＝tan错误!，又0＜错误!＜错误!＜错误!，y＝tan x在错误!内单调递增，所以tan错误!＜tan错误!，即tan错误!＜tan错误!.２因为tan错误!＝—tan错误!，tan错误!＝—tan错误!，又0＜错误!＜错误!＜错误!，y＝tan x在错误!内单调递增，所以tan错误!＞tan错误!，所以—tan错误!＜—tan错误!，即tan错误!＜tan错误!.（２）y＝３tan错误!＝—３tan错误!，由—错误!＋kπ＜２x—错误!＜错误!＋kπ，k∈Z得，—错误!＋错误!π＜x＜错误!＋错误!π，k∈Z，所以y＝３tan错误!的减区间为错误!，k∈Z.１．将本例（２）中的函数改为“y＝３tan错误!”，结果又如何？[解] 由kπ—错误!<错误!x—错误!<kπ＋错误!（k∈Z），得２kπ—错误!<x<２kπ＋错误!π（k∈Z），∴函数y＝３tan错误!的单调递增区间是错误!（k∈Z）．２．将本例（２）中函数改为“y＝lg tan错误!”，结果又如何？[解] 因为函数y＝lg x在（0，＋∞）上为增函数，所以函数y＝lg tan x的单调递增区间就是函数y＝tan x（tan x＞0）的单调递增区间，令kπ＜２x—错误!＜kπ＋错误!（k∈Z），得错误!＋错误!＜x＜错误!＋错误!（k∈Z），故y＝lg tan错误!的增区间为错误!，k∈Z.１．求函数y＝A tan（ωx＋φ）（A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数）的单调区间的方法．（１）若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ—错误!＜ωx＋φ＜kπ＋错误!，k∈Z，解得x的范围即可．（２）若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan（ωx＋φ）转化为y＝A tan[—（—ωx—φ）]＝—A tan （—ωx—φ），即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．２．运用正切函数单调性比较大小的步骤．（１）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．（２）运用单调性比较大小关系．提醒：y＝A tan（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）只有增区间；y＝A tan（ωx＋φ）（A＜0，ω＞0）只有减区间．１．正切函数的图象正切函数有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋错误!，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝—错误!，x＝错误!，然后描出三个点（0,0），错误!，错误!，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．２．正切函数的性质（１）正切函数y＝tan x的定义域是错误!，值域是R.（２）正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝A tan（ωx＋φ）（Aω≠0）的周期为T＝错误!.（３）正切函数在错误!（k∈Z）上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．１．下列说法正确的是（）Ａ．正切函数的定义域和值域都是RＢ．正切函数在其定义域内是单调增函数Ｃ．函数y＝|tan x|与y＝tan x的周期都是πＤ．函数y＝tan|x|的最小正周期是错误!C[y＝tan x的定义域为错误!，所以A错；由正切函数图象可知B错；画出y＝tan x，y＝|tan x|和y＝tan|x|的图象可知C正确，D错误，因为y＝tan|x|不是周期函数．]２．在下列函数中同时满足：１在错误!上递增；２以２π为周期；３是奇函数的是（）Ａ．y＝tan xＢ．y＝cos xＣ．y＝tan错误!Ｄ．y＝—tan xC[A，D的周期为π，B中函数在错误!上递减，故选Ｃ．]３．函数y＝|tan x|在错误!上的单调减区间为．错误!和错误![如图，观察图象可知，y＝|tan x|在错误!上的单调减区间为错误!和错误!.]４．求函数y＝tan错误!的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] １由错误!—错误!≠kπ＋错误!，k∈Z，得x≠２kπ＋错误!，k∈Z，∴函数的定义域为错误!.２T＝错误!＝２π，∴函数的最小正周期为２π.３由kπ—错误!＜错误!—错误!＜kπ＋错误!，k∈Z，得２kπ—错误!＜x＜２kπ＋错误!，k∈Z，∴函数的单调递增区间为错误!，k∈Z.４由错误!—错误!＝错误!，k∈Z，得x＝kπ＋错误!，k∈Z，∴函数图象的对称中心是错误!，k∈Z.。
正切函数的图像与性质教案
正切函数的图像与性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解正切函数的定义，掌握正切函数的图像与性质；（2）学会运用正切函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察正切函数的图像，探索正切函数的性质；（2）利用数形结合思想，研究正切函数的单调性、周期性等性质。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的数学审美观，感受数学的对称美；（2）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）正切函数的定义；（2）正切函数的图像与性质。
2. 教学难点：（1）正切函数的单调性；（2）正切函数的周期性。
三、教学准备1. 教师准备：（1）正切函数的图像与性质的相关知识；（2）教学课件或黑板。
2. 学生准备：（1）掌握锐角三角函数的基本概念；（2）了解正切函数的定义。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习锐角三角函数的基本概念，引导学生回顾正切函数的定义；（2）提问：你们认为正切函数的图像会是什么样的呢？2. 探究正切函数的图像与性质（1）教师展示正切函数的图像，引导学生观察并描述正切函数的图像特点；（2）学生分组讨论，探索正切函数的单调性和周期性；3. 应用拓展（1）教师提出实际问题，引导学生运用正切函数解决问题；（2）学生独立解答，分享解题思路和方法。
五、课堂小结本节课我们学习了正切函数的定义、图像与性质，通过观察图像、探索性质，我们了解了正切函数的特点。
我们还学会了如何运用正切函数解决实际问题。
希望同学们在课后继续深入学习和思考，掌握更多的数学知识。
六、教学反馈与评价1. 课堂提问：在教学过程中，教师应根据学生的回答情况，及时给予评价和反馈，鼓励学生积极参与课堂讨论。
2. 课后作业：布置有关正切函数图像与性质的练习题，要求学生在课后巩固所学知识，提高解题能力。
3. 学习评价：通过课堂表现、课后作业和小组讨论，评价学生在正切函数图像与性质方面的掌握程度。
七、教学改进1. 针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度，以便更好地满足学生的学习需求；2. 在教学中，注重引导学生运用数形结合思想，提高学生解决问题的能力；3. 加强与学生的互动，鼓励学生提问、发表见解，提高课堂氛围。
5.4.3 正切函数的图像与性质教学设计(人教A版)
5.4.3 正切函数的图像与性质教学设计（人教A版）
《正切函数的性质与图象》是人教A版高中数学必修第一册第五章《三角函数》第四节《三角函
数的图象与性质》第三小节的内容，前承正弦函数、余弦函数的图象与性质，后启三角函数图象的平
移伸缩变换.从知识层面上讲，研究正切函数的主要性质，并在此基础上描绘出函数的大致图象；从方
法层面上讲，由函数性质研究函数图象，为学生提供更多的研究数学问题的视角；从思想层面上讲，
利用类比思想，类比研究正、余弦函数图象与性质的方法，研究正切函数的性质与图象.本节课有助于
发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.
二、教学目标
1.知识与技能
（1）在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质；
（2）利用正切线画出正切函数的图象，得到正切曲线.
2.过程与方法
（1）经历类比研究正弦函数、余弦函数图象与性质的过程，体会“数形结合”的数学思想；
（2）掌握正切函数的图象与性质，了解研究数学问题更多的视角.
学会在函数性质的指导下有效地作图、研究图象，体验理性思考；通过教学活动的实施，切实提
高学生的“四基”、“四能”、数学核心素养及个性心理品质.
三、教学重点与难点
1.教学重点：掌握正切函数的性质和图象.
2.教学难点：类比、数形结合思想的应用.
四、教学流程设计
2
正切曲线是被相互平行的直线
,2
x k k Z π
π=
+∈所隔开的无穷多支
六、板书设计。
新教材人教A版高中数学必修第一册 5.4.3正切函数的性质与图象 精品学案
5．4.3 正切函数的性质与图象1．会求正切函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期．2．掌握正切函数y ＝tan x 的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性． 3．掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．正切函数y ＝tan x 的图象与性质⎧⎫温馨提示：(1)正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋k π，2＋k π(k ∈Z )内都是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数．(2)正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(k π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，－1，k ∈Z ，两线为直线x ＝k π＋π2和直线x ＝k π－π2，其中k∈Z ，这样可以快速地作出正切函数的图象．1．正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π2，k ∈Z 有公共点吗？直线y ＝a 与y ＝tan x的图象相邻两交点之间的距离是多少？[答案] 没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成的由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π 2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) (4)正切函数没有对称轴，但有对称中心．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√题型一正切函数的定义域【典例1】 求下列函数的定义域： (1)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4；(2)y ＝1tan x .[思路导引] (1)将x ＋π4看成一个整体．由正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z 求解；(2)tan x ≠0且tan x 有意义．[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z. (2)由tan x ≠0且tan x 有意义得x ≠k π且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2，k ∈Z ，所以函数y ＝1tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2，k ∈Z .求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .[针对训练] 1．函数f (x )＝1tan x －1的定义域是____________．[解析] 若使函数f (x )有意义，需使tan x －1≠0，即tan x ≠1.∵tan x 有意义， ∴x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴f (x )＝1tan x －1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .[答案] {x |x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z }题型二与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 【典例2】 (1)求f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期；(2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [思路导引] 解(1)利用T ＝π|ω|，解(2)时先看定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看f (－x )与f (x )及－f (x )的关系来判断奇偶性．[解] (1)由正切函数的最小正周期，可得T ＝π2.∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，∴它是奇函数．正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期性、奇偶性(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)若函数y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π或φ＝k π＋π2(k ∈Z )，否则为非奇非偶函数．(3)正切函数是奇函数，所以原点是y ＝tan x 的对称中心，同样，结合y ＝tan x 的图象，可以得到⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0k ∈Z 都是正切函数的对称中心．[针对训练]2．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，0对称；③f (x )的图象关于(π－φ，0)对称； ④f (x )是以π为最小正周期的周期函数． 其中不正确的说法的序号是________．[解析] ①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错误；观察正切函数y ＝tan x 的图象，可知y ＝tan x 关于⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2得x＝k π2－φ，分别令k ＝1,2知②、③正确，④显然正确．[答案] ①题型三正切函数的单调性及应用【典例3】 (1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调区间；(2)比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5的大小；(3)解不等式tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤ 3.[思路导引] (1)将12x －π4看成一个整体；(2)比较大小时应将角化到同一个单调区间内；(3)将x ＋π3看成一个整体，结合y ＝tan x 的图象求解．[解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋3π4 ＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.(3)将x ＋π3看成一个整体，由函数y ＝tan x 的图象可知在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足tan x ≤3的解应满足－π2<x ≤π3，再结合y ＝tan x 的周期，得k π－π2<x ＋π3≤k π＋π3，k ∈Z ，即k π－56π<x ≤k π，k ∈Z ，所以不等式tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－56π<x ≤k π，k ∈Z .[变式] 若本例(1)改为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12x ，其单调减区间是_______．[解析] ∵y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4∴k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z .故函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋3π2，(k ∈Z )(1)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．②若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．(2)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(3)解关于tan x 的不等式：先写出这个不等式在一个周期⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的解，再结合周期性得出x 的解集．[针对训练]3．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的单调增区间为________．[解析] 由题意知，k π－π2<12x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，即k π－3π4<12x <k π＋π4，k ∈Z .所以2k π－3π2<x <2k π＋π2，k ∈Z ，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z )．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 4．比较大小：tan 65π________tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π； [解析] tan 65π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π5＝tan π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝tan π7，因为－π2<π7<π5<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以tan π7<tan π5，即tan 65π>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π. [答案] >5．不等式tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥1的解集为______________． [解析] 由已知可得k π＋π4≤2x ＋π4<k π－π2， 解得k π2≤x <k π2－3π8，k ∈Z ，∴不等式tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | k π2≤x <k π2－38π，k ∈Z .[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π2≤x <k π2－38π，k ∈Z课堂归纳小结1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.2.正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z， 值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.1．下列说法正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数D ．y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数 [解析] 由正切函数的图象可知D 正确． [答案] D2．函数y ＝1tan x －1的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z B ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z [解析] 若使函数y ＝1tan x －1有意义，需使tan x －1>0，即tan x >1. 结合正切曲线，可得k π＋π4<x <k π＋π2(k ∈Z )． 所以函数y ＝1tan x －1的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )．[答案] D 3．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋3的最小正周期是( )A ．4B ．4πC ．2πD ．2[解析] 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋3的最小正周期T ＝ππ2＝2，故选D.[答案] D4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( )A ．(0,0)B.⎝⎛⎭⎪⎫π5，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45π，0D ．(π，0)[解析] ∵y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )∴x ＋π5＝k π2，(k ∈Z )∴x ＝k π2－π5(k ∈Z )当k ＝2时，x ＝45π，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫45π，0. [答案] C5．函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π3的值域为________．[解析] y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)． [答案] (－3，1)课后作业(四十六)复习巩固一、选择题 1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠π4，x ∈RB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4，x ∈RC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，x ∈R ，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，x ∈R ，k ∈Z[解析] ∵y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ∴x －π4≠k π＋π2(k ∈Z )即x ≠k π＋3π4，(k ∈Z )．[答案] D2．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8[解析] 当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x ＝π8与函数的图象不相交．故选D.[答案] D3．函数y ＝tan x1＋cos x ( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数 [解析] 函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2且x ≠π＋2k π，k ∈Z ，关于原点对称．设y ＝f (x )＝tan x1＋cos x，则f (－x )＝tan (－x )1＋cos (－x )＝－tan x1＋cos x ＝－f (x )．所以y ＝f (x )是奇函数．故选A. [答案] A4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1D.π4[解析] 由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan4x, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tanπ＝0，故选A. [答案] A5．方程tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3在[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2[解析] 由题意知，2x ＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，所以x ＝k π2，k ∈Z ，又x ∈[0,2π)．所以x ＝0，π2，π，3π2，共4个．故选B.[答案] B 二、填空题6．函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________． [解析] 因为y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4上都是增函数， 所以y ≥tan π4＝1或y ≤tan 3π4＝－1. [答案] (－∞，－1]∪[1，＋∞)7．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时单调递增的区间是________．[解析] 由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时单调递增的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π(k ∈Z )，⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π，2k π＋3π2(k ∈Z )． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π(k ∈Z )，⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π，2k π＋3π2 (k ∈Z )8．已知函数f (x )＝x ＋tan x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________．[解析] 设g (x )＝x ＋tan x ，显然g (x )为奇函数．∵f (a )＝g (a )＋1＝2，∴g (a )＝1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝0.[答案] 0三、解答题9．设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. (1)求函数f (x )的周期，对称中心；(2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．[解] (1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π. 令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )， 则x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎪⎫－π3，5π3内的简图(如图)．10．已知函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫kx －π3(k ∈N *)的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．[解] 因为1<T <32， 所以1<πk <32，即2π3<k <π. 因为k ∈N *，所以k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3. 由3x －π3≠π2＋k π得，x ≠5π18＋k π3，k ∈Z ，定义域不关于原点对称， 所以f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数． 由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π得，－π18＋k π3<x <5π18＋k π3，k ∈Z . 所以f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的单调增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z . 综合运用11．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增B ．最小正周期是2πC ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 [解析] 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 错误；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，令k ＝1得到x ＝π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是函数的对称中心，故C 正确；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选C.[答案] C12．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1[解析] ∵y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数， ∴ω<0且T ＝π|ω|≥π. ∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.[答案] B13．已知函数f (x )＝tan(x ＋φ)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0且|φ|<π2，则φ＝________.[解析] 由题意得π3＋φ＝k π2(k ∈Z )，即φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π6或φ＝－π3. [答案] π6或－π314．函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1为________函数(填“奇”或“偶”)． [解析] 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π－π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称． f (－x )＋f (x )＝lgtan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．[答案] 奇15．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中 θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值； (2)求使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数的θ的取值范围．[解] (1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43. 因为x ∈[－1，3]，所以当x ＝33时，f (x )取得最小值－43，当x ＝－1时，f (x )取得最大值233. (2)f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图象的对称轴为x ＝－tan θ.因为y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，所以－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。
2019-2020学年新人教A版必修一 正切函数的图象与性质 教案
正切函数的图象与性质【例1】 (1)函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域是________． (2)函数y ＝tan(sin x )的值域为________．(3)求函数y ＝－tan 2x ＋2tan x ＋5，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π3的值域．[思路探究] (1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域． (2)利用正弦函数的有界性及正切函数图象求值域． (3)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z(2)[－tan 1，tan 1] [(1)要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4. 又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z.] (2)因为－1≤sin x ≤1，且[－1,1]⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以y ＝tan x 在[－1,1]上是增函数， 因此tan(－1)≤tan x ≤tan 1，即函数y ＝tan(sin x )的值域为[－tan 1，tan 1]． (3)解：令t ＝tan x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π3，∴t ＝tan x ∈[－3，3)， ∴y ＝－t 2＋2t ＋5＝－(t －1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t ＝1，∴t ＝1时，取最大值6，t＝－3时，取最小值2－23，∴函数y ＝－tan 2x ＋2tan x ＋5，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π3时的值域为[2－23，6]．1．求正切函数定义域的方法及求值域的注意点：(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z ；(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．2．解正切不等式的两种方法：(1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合； (2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．1．求函数y ＝tan x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的定义域．[解] 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≠0，x ＋π6≠π2＋k π(k ∈Z )，解得⎩⎪⎨⎪⎧π4＋k π≤x <π2＋k π，x ≠－π6＋k π，x ≠π3＋k π，(k ∈Z )．所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4＋k π，π3＋k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z ).正切函数的奇偶性、周期性【例2】 (1)函数y ＝4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋6的周期为________．(2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；②f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[思路探究] (1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图象来求． (2)可按定义法的步骤判断．(1)π3 [由于ω＝3，故函数的周期为T ＝π|ω|＝π3.](2)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z， 不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数． ②函数定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z， 关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )， 所以函数是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法： (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．2．(1)求f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z， 关于原点对称，∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴函数是奇函数.正切函数的单调性1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？[提示] 不是．函数的单调性是相对于定义域内的某个区间而言的．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．正切函数的定义域能写成⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，(k ∈Z )吗？为什么？[提示] 不能．因为正切函数的定义域是，它表示x 是不等于π2＋k π(k ∈Z )的全体实数，而⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )只表示k 取某个整数时的一个区间，而不是所有区间的并集．【例3】 (1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．[思路探究] (1)可先令y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，从而把12x －π4整体代入⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 这个区间内解出x 便可．(2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，最后利用y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的单调性判断大小关系． [解] (1)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，(k ∈Z )，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )，无增区间．(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是增函数，∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.求y ＝A tan (ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2求得x 的范围即可.比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内.3．(1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调区间； (2)比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．[解] (1)∵y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4单调区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )，∴k π－π2<2x －3π4<k π＋π2(k ∈Z )，k π2＋π8<x <k π2＋5π8，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递增区间为 ⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，k π2＋5π8k ∈Z .(2)由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎪⎫－12π5.(教师用书独具)1．对函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋k (ω≠0)周期的两点说明(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋k (ω≠0)的最小正周期T ＝π|ω|.(2)当ω>0时，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋k 具有周期性，最小正周期是πω.2．“三点两线法”作正切曲线的简图(1)“三点”分别为(k π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，－1，其中k ∈Z ；两线为直线x ＝k π＋π2和直线x ＝k π－π2，其中k ∈Z (两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．3．解答正切函数图象与性质问题应注意的两点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的.1．函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x ≤π4且x ≠0的值域是( ) A ．[－1,1] B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)B [根据函数的单调性可得．]2．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是( ) A ．π B ．2πωC ．πωD ．π2ωC [直线y ＝3与函数y ＝tan ωx 的图象的相邻交点间的距离为y ＝tan ωx 的周期，故距离为πω.]3．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的定义域是________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z3 [由题意知x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠π3＋k π(k ∈Z )．故定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝ 3.]4．函数y ＝－tan x 的单调递减区间是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) [因为y ＝tan x 与y ＝－tan x 的单调性相反，所以y ＝－tan x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．] 5．求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．[解] (1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z. (2)要使函数有意义，则3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象(图略)，得k π－π2<x <k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z.。
人教版高一数学教学设计-正切函数的图像与性质()docx
第五章三角函數5.4.3 正切函數的圖像與性質本節課選自《普通高中課程標準實驗教科書數學必修1本（A版）》第五章的5.4.3 正切函數的圖像與性質。
本節的主要內容是由正弦函數、余弦函數的圖像與性質學習的經驗，通過運用數形結合的思想方法和類比思想，對正切函數的圖像與性質進行研究，並應用函數性質解決問題。
是學生對函數學習方法掌握情況的一次大檢閱。
因此注意對學生研究函數方法的啟發，本節的學習有著極其重要的地位。
發展學生數學直觀、數學抽象、邏輯推理、數學建模的核心素養。
究，培養學生數形結合和類比的思想方法。
e.數學建模：正切函數的性質及應用；教學重點：正切函數的週期性、定義域、值域、奇偶性和單調性教學難點：能夠應用正切函數的圖像和性質解決相關問題。
多媒體當x ∈[0,ππ) 時，隨狓的增大，線段AT 的長度也在增的長度趨向於無窮大．相從圖5.4.11可以看出，正切曲線是被與的一系列直線x=x2+kπ，k∈Z所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的．３.單調性觀察正切曲線可知，正切函數在區間(-ππ, ππ)上單調遞增．由正切函數的週期性可得，正切函數在每一個區間 (-ππ+k π, ππ+k π),k ∈Z,上都單調遞增．４.值域當x ∈(-ππ, ππ)時，ta x x 在（－∞，＋∞）內可取到任意實數值，但沒有最大值、最小值．因此，正切函數的值域是實數集R ． 典例解析例６. 求函數x =xxx (π2x +x3)的定義域、週期及單調區間．分析：利用正切函數的性質，通過代數變形可以得出相應的結論．解：引數x 的取值應滿足;π2x +x 3 ≠x2+kπ,k∈Z ；即;x ≠13+2k ,k∈Z所以，函數的定義域是{x |x ≠13+2k ,k∈Z }設z=π2x +x 3，又xxx (x +x )=xxxx ，所以tan [(π2x +x 3)+x ]=xxx (π2x +x3)即; tan [π2(x +2)+x 3]=xxx (π2x +x3) 因為∀x ∈{x |x ≠13+2k ,k∈Z },都有tan [π2(x +2)+x3]=xxx (π2x +x3)2．函數f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的定義域是________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【解析】 由題意知x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠π3＋k π(k ∈Z )．故定義域為⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝3.【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z 33．函數y ＝－tan x 的單調遞減區間是________． 【解析】 因為y ＝tan x 與y ＝－tan x 的單調性相反， 所以y ＝－tan x 的單調遞減區間為⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )4．函數y ＝|tan x |的週期為________． 【解析】 作出y ＝|tan x |的圖像，如圖所示．的理解，增強學生的直觀想像、數學抽象、數學運算、邏輯推理的核心素養。
高中数学 正切函数的图象和性质教案 新人教A版必修1
第三十四教时教材：正切函数的图象和性质目的：学会画出正切函数的图象，并掌握正切函数的性质。
过程：一、课题：正切函数的图象和性质。
二、正切函数x y tan =的图象。
1．首先考虑定义域：()z k k x ∈+≠2ππ2．为了研究方便，再考虑一下它的周期： ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan ππ且的周期为π=T （最小正周期） 3．因此我们可选择⎪⎫⎛-2,2ππ的区间作出它的图象。
R x x ∈，四、例题：例一、 比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小。
解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 4π，52tan517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-， 又：⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即。
例二、 讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质。
略解：定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且 值域：R 非奇非偶函数 在⎪⎭⎫⎝⎛+-4,43ππππk k 上是增函数。
图象可看作是x y tan =的图象向左平移4π单位。
五、小结：z k k x R x x y ∈+≠∈=,2,tan ππ且的图象，性质。
六、作业：P71练习 1，2，3，4，6P72习题4.10 1，2，3，4。
高中数学正切函数的性质与图象(1)教案新人教A版
高中数学人教 A 版精选教课设计集：正切函数的性质与图象（1）教课目标：知识目标： 1. 用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；能力目标： 1. 理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性责问题的方法；德育目标：培育仔细学习的精神；教课要点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；教课难点：正切函数的性质。
讲课种类：新讲课教课模式：启迪、引诱发现教课.教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：问题：正弦曲线是如何画的？正切线 ?练习正切线，画出以下各角的正切线：．下边我们来作正切函数和余切函数的图象．二、解说新课：1．正切函数y tan x 的定义域是什么？x | x k , k z22．正切函数是否是周期函数？tan x tan x x R,且 x k, k z ，2∴是 y tan x x R, 且 x k, k z 的一个周期。
2是否是正切函数的最小正周期？下边作出正切函数图象来判断。
3．作y tan x ，x,的图象22说明：（1）正切函数的最小正周期不可以比 小，正切函数的最小正周期是 ；（ 2）依据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，获取正切函数y tan x x R ，且 xk k z 的图象，称“正切曲线” 。
2yy3Ox2322 x2（3）由图象能够看出， 正切曲线是由被互相平行的直线x kk Z 所分开的无2穷多支曲线构成的。
4．正切函数的性质 指引学生察看，共同获取：（ 1）定义域：x | xk , k z ；2（ 2）值域： R察看：当 x 从小于 kk z ，x k时， tan x22当 x 从大于2 k k z ， xk 时， tan x。
（ 3）周期性： T2；（ 4）奇偶性：由 tanx tan x 知，正切函数是奇函数；（ 5）单一性：在开区间k , k kz 内，函数单一递加。
2 25. 余切函数 y=cotx 的图象及其性质（要修业生认识） ：y cot x tanxtan x——马上 y tan x 的图象，向左平移个单222位，再以 x 轴为对称轴上下翻折，即得ycot x 的图象定义域： x R 且 x k , k z值域： R ，当 xk , k2k z 时 y 0，当 x k, k k z 时 y 02周期： T 奇偶性：奇函数单一性：在区间 k , k1上函数单一递减6. 解说典范：例 1 比较 tan13 与 tan17 的大小45解：tan13 tan ， tan17 tan2，4455又： 02tan x 在 0, 内单一递加，4, y5 2tantan 2 tantan2 13 17 4,, 即 tan4tan5455例 2 议论函数 ytan x的性质4略解：定义域：x | x R 且x k, k z4值域： R奇偶性：非奇非偶函数单一性：在k3, k上是增函数44图象：可看作是y tan x 的图象向左平移单位4例 3 求函数 y ＝ tan2 x 的定义域解：由 2x ≠ k π ＋， ( k ∈ Z)得 x ≠k2＋ ，( k ∈ Z)24∴y ＝ tan2 x 的定义域为：｛ x ｜ x ∈ R 且 x ≠k＋ ， k ∈Z ｝2 4例 4 察看正切曲线写出知足以下条件的 x 的值的范围： tan x ＞ 0解：画出 y ＝tan x 在( －， ) 上的图象， 不难看出在此区间上知足 tan x ＞ 0 的 x 的范围为：220＜ x ＜2联合周期性，可知在x ∈ R ，且 x ≠ k π ＋ 上知足的 x 的取值范围为 ( k π ， k π ＋ )( k ∈ Z)22例 5 不经过求值，比较 tan135 °与 tan138 °的大小解：∵ 90°＜ 135°＜ 138°＜ 270°又∵ y ＝ tan x 在 x ∈(90 °， 270°) 上是增函数 ∴ t an135 °＜ tan138 ° 三、稳固与练习P ． 71．练习 2，3， 6求函数 y ＝ tan2 x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－ π ，π ］内的图象解：（ 1）要使函数y ＝tan2 x 存心义，一定且只须 2x ≠＋ ｋπ ，ｋ∈ Z2即 x ≠＋k， ｋ∈ Z42∴函数 y ＝ tan2 x 的定义域为｛ x ∈ R ｜， x ≠k ｋ∈Z ｝ ，42（2）设 ｔ＝2x ，由 x ≠k ＋，ｋ ∈ Z ｝知 ｔ ≠422ｋπ ，ｋ∈ Z∴ y ＝ tan ｔ的值域为（－∞，＋∞）即y ＝ tan2 x 的值域为（－∞，＋∞）（ 3）由 tan2 （ x ＋ ）＝ tan （ 2x ＋ π ）＝ tan2 x2∴y＝tan2 x 的周期为．2（4）函数y＝ tan2 x在区间［－π，π］的图象如图四、小结：本节课学习了以下内容：1. 由于正切函数y tanx 的定义域是{ x | x R, x k, k Z} ，因此它的图象被32x,,...... 等互相平行的直线所分开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
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《正切函数的图像与性质》导学案
【学习目标】：会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
【重点难点】正切函数的图象及其主要性质。
【学法指导】
利用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质 【知识链接】
1。
画出下列各角的正切线：
2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数x y tan =图象：
3.把上述图象向左、右扩展,得到正切函数R x x
y ∈=tan ，且
()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，
称“正切曲线"
4。
观察正切曲线，回答正切函数的性质：
定义域： 值域： 最值： 渐近线: 周期性： 奇偶性 单调性： 图像特征： 三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
【学习过程】
例1。
讨论函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=4tan πx y 的性质
变式训练1。
求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期
例2。
求函数y ＝2
tan x 1
－的定义域
变式训练2.y
例3。
比较tan 27π与tan 107
π
的大小
变式训练3.tan 65π与tan (－135
π
)
【学习反思】 1、数学知识： 2、数学思想方法： 【基础达标】 一、选择题
1。
函数)4
3tan(2π
+=x y 的周期是 （ ）
（A)
32π （B) 2π (C ）3π （D)6
π 2。
函数)4
tan(x y -=π
的定义域为 （ )
（A)},4
|{R x x x ∈≠
π
（B ）},4
|{R x x x ∈-
≠π
(C) },,4
|{Z k R x k x x ∈∈+
≠π
π （D ）},,4
3|{Z k R x k x x ∈∈+
≠π
π 3。
下列函数中，同时满足(1)在（0,
2
π
)上递增,(2)以2π为周期,（3)是奇函数的是 ( ）
（A)x y tan = （B ）x y cos = （C)x y 21tan = （D ）x y tan -= 二、填空题
4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________。
5.给出下列命题:
（1)函数y =sin|x ｜不是周期函数; (2）函数y =｜cos2x +1/2｜的周期是π/2； （3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4）函数y =sin （5π/2+x ）是偶函数; （5)函数y =tan(2x +π/6）图象的一个对称中心为(π/6，0)
其中正确命题的序号是_______________（注：把你认为正确命题的序号全填上） 三、解答题
6。
求函数y=lg （1-tanx ）的定义域
【拓展提升】 一、选择题
1、tan (,)2
y x x k k Z π
π=≠+
∈在定义域上的单调性为（ ）。
A ．在整个定义域上为增函数
B ．在整个定义域上为减函数
C ．在每一个开区间(,
)()2
2
k k k Z π
π
ππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(2,
2)()2
2
k k k Z π
π
ππ-
++∈上为增函数
2、下列各式正确的是（ ）。
A ．1317tan()tan()45ππ-<-
B ．1317
tan()tan()45ππ->- C ．1317
tan()tan()45
ππ-=- D ．大小关系不确定
3、若tan 0x ≤,则( ）。
A ．22,2
k x k k Z π
ππ-
<<∈ B ．2(21),2
k x k k Z π
ππ+
≤<+∈
C ．,2
k x k k Z π
ππ-
<≤∈ D ．,2
k x k k Z
π
ππ-
≤≤∈
二、填空题 4、函数tan 2()tan x
f x x
=
的定义域为. 5、函数sin tan y x x =+的定义域为。
三、解答题 6、函数tan()4
y x π
=-的定义域是（ ）。