18.已知函数f(x)=,g(x)=x2-3ax+2a2(a＜0),若不存在实数x使得f(x)＞1和g(x)＜0同时成立,试求a的范围.
极值与导数常见题型归纳讲义2023届高三数学二轮专题复习
函数的极值与导数常见题型归纳题模一：函数极值的概念与判定 1. 下列结论中正确的是（ ） A.导数为零的点一定是极值点B.如果在x 0附近的左侧f′（x ）＞0，右侧f′（x ）＜0，那么f （x 0）是极大值C.如果在x 0附近的左侧f′（x ）＞0，右侧f′（x ）＜0，那么f （x 0）是极小值D.如果在x 0附近的左侧f′（x ）＜0，右侧f′（x ）＞0，那么f （x 0）是极大值 2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点________个；有极小值点________个． 2. 已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为，且，那么下列情形不可能出现的是（ ） A.， B.是的极小值点 C.是的极小值点 D.是的极小值点题模二：具体函数的极值1. 下列函数中，0x =是极值点的函数式（ ） A.3y x =- B.2cos y x = C.sin y x x =- D.1y x=2. 函数f （x ）=14x 4-13x 3+x 2-2在R 上的极值点有（ ） A.3个 B.2个 C.1个D.0个3. 已知函数．求的极小值．4. 已知函数f （x ）=2f′（1）lnx -x ，则f （x ）的极大值为____．5. 已知函数f （x ）=（x+t ）2+4ln （x+1）的图象在点（1，f （1））处的切线垂直于y 轴． （1）求实数t 的值； （2）求f （x ）的极值．题模三：已知含参函数极值点求参数1.函数f （x ）=x 3+ax 2+3x -9，已知f （x ）在x=-3时取得极值，则a=（ ） A.2 B.3 C.4D.5()f x ()a b ，'()f x ()a b ，()f x ()a b ，()f x ()g x R ()f x ()g x 0x =0()()f x g x ≥x R ∀∈()()0f x f x ≤0x -()f x -0x -()f x -0x -()f x --()3213232f x x x x =-+()f x 题模精讲.2 设函数．若的两个极值点为、，且，求实数________．3. 若函数y=e 1a x -（）+4x （x∈R ）有大于零的极值点，则实数a 范围是（ ）A.a ＞-3B.a ＜-3C.a ＞-13D.a ＜-134. 若函数321111()(1)3245f x a x ax x =-+-+在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .题模四：已知含参函数极值情况求参数范围1. 若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A.(0,1)B.(,1)-∞C.(0,)+∞D.1(0,)22. 已知三次函数f （x ）=ax 3-x 2+x 在（0，+∞）上存在极大值点，则a 的范围是（ ）A.(0，13)B.(0，13]C.(-∞，13)D.(-∞，0)∈(0，13)3. 已知f （x ）=22(1)x bx --无极值，则b 的值为（ ）A.1B.2C.3D.44. 已知函数，，且有极值．求实数的取值范围．1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ A.y=x 3B.y=ln （-x ）C.y=xe -xD.y=x+2x2.关于函数()32f x x x x =-+，下列说法正确的是（ ）A.有极大值，没有极小值B.有极小值，没有极大值C.既有极大值也有极小值D.既无极大值也无极小值3. 已知函数f （x ）=（x 2+a ）•e x （x∈R ）在点A （0，f （0））处的切线l 的斜率为-3． （1）求a 的值以及切线l 的方程；（2）求f （x ）在R 上的极大值和极小值．4.已知函数f （x ）=（x 2+ax -2a 2+3a ）e x （x∈R ），若a∈R ，求函数f （x ）的单调区间与极值．5. 函数f （x ）=x 2+aln （1+x ）有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则实数a 的范围是()()326322f x x a x ax =+++()f x 1x 2x 121x x =a =()ln f x ax x =+(1)x e ∈，()f x a 随堂练习____．6. 已知函数y=ax 3+bx 2，当x=1时，有极大值3． （1）求a ，b 的值；（2）求函数y 的极小值．7. 设函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当为何值时，函数有极值？并求出极大值．8. 若函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1在R 上无极值点，则实数m 的取值范围是____．9. 函数y=x 3-2ax+a 在（0，1）内有极小值，则实数a 的取值范围是（ ）A.（0，3）B.（0，32） C.（0，+∞） D.（-∞，3）10 已知f （x ）与g （x ）是定义在R 上的连续函数，如果f （x ）与g （x ）仅当x=0时的函数值为0，且f （x ）≥g （x ），那么下列情形不可能出现的是（ ） A.0是f （x ）的极大值，也是g （x ）的极大值 B.0是f （x ）的极小值，也是g （x ）的极小值 C.0是f （x ）的极大值，但不是g （x ）的极值 D.0是f （x ）的极小值，但不是g （x ）的极值11设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ）A.x=12为f （x ）的极大值点B.x=12为f （x ）的极小值点C.x=2为 f （x ）的极大值点D.x=2为 f （x ）的极小值点()()3211132f x x ax a x =-+-1a =()y f x =()00，a ()y f x =12 已知函数f （x ）=4x +a x -lnx -32，其中a∈R ，且曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y=12x ． （∈）求a 的值；（∈）求函数f （x ）的单调区间与极值．13 已知函数，试讨论的极值 ．14已知函数（）．讨论在区间上的极值点．15 若函数f （x ）=21x ax ++在x=1处取极值，则a=____．16 如果函数322()f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，那么a = ，b = ．()ln f x ax x =+()f x ()2ln 2x f x a x =-1a >()f x ()1e ，答案解析题模一：函数极值的概念与判定 1.【答案】B 【解析】导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点，故A 错；如果在x 0附近的左侧f′（x ）＞0，右侧f′（x ）＜0，则函数先增后减，则f （x 0）是极大值； 如果在x 0附近的左侧f′（x ）＜0，右侧f′（x ）＞0，则函数先减后增，则f （x 0）是极小值； 故选B ．2.【答案】2；1【解析】从的图象可知在内从左到右的单调性依次为增→减→增→减， 根据极值点的定义可知在内只有2个极大值点，1个极小值点．3.【答案】D【解析】A 项，（）是的极大值点，不一定是最大值点，故不正确； B 项，是把的图象关于轴对称，因此，是的极大值点； C 项，是把的图象关于轴对称，因此，是的极小值点；D 项，是把的图象分别关于轴、轴对称，因此是的极小值点．题模二：具体函数的极值 1.【答案】B【解析】A ．230y x '=-<，所以无极值点；B ．2cos sin y x x '=-，在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上0y '>，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上0y '<，所以0x =是极大值点；C ．cos 10y x '=-≤，所以无极值点；D ．210y x'=-<，所以无极值点．2.【答案】C 【解析】f′（x ）=x 3-x 2+2x=x （x 2-x+2），∈x 2-x+2＞0，∈x∈（-∞，0）时，f′（x ）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0； ∈x=0是函数f （x ）的极小值点． 故选：C ．.3【答案】极小值为．【解析】．列表如下：1 2 + 0 - 0 +单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，的极小值为． '()f x ()f x ()a b ，()a b ，0x 00x ≠()f x ()f x -()f x y 0x -()f x -()f x -()f x x 0x ()f x -()f x --()f x x y 0x -()f x --()223f =23212f x x x x x '=-+=--x ()1-∞，()12，()2+∞，()f x '()f x ()f x ()23f =4.【答案】2ln2-2【解析】由于函数f （x ）=2f′（1）lnx -x ，则f′（x ）=2f′（1）×1x-1（x ＞0），f′（1）=2f′（1）-1，故f′（1）=1，得到f′（x ）=2×1x -1=2xx-，令f′（x ）＞0，解得：0＜x ＜2，令f′（x ）＜0，解得：x ＞2， 则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数， 故f （x ）的极大值为f （2）=2ln2-2 故答案为：2ln2-25.【答案】（1）t=-2（2）f(x)极大值=4，f （x ）极小值=1+4ln2 【解析】（1）∈f （x ）=（x+t ）2+4ln （x+1），∈f '(x)=2(x+t)+41x +，∈函数f （x ）=（x+t ）2+4ln （x+1）的图象在点（1，f （1））处的切线垂直于y 轴，∈f '(1)=2(1+t)+42=0，解得t=-2．（2）由（1）知f '(x)=2(1)1x x x -+，x ＞-1，由f′（x ）＞0，得0＜x ＜1；由f′（x ）＜0，得-1＜x ＜0或x ＞1， ∈f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（-1，0），（1，+∞）， ∈f(x)极大值=f （0）=4，f （x ）极小值=f （1）=1+4ln2． 1.【答案】D 【解析】∵f′（x ）=3x 2+2ax+3，又f （x ）在x=-3时取得极值 ∈f′（-3）=30-6a=0 则a=5． 故选D2.【答案】9．【解析】．已知，从而，所以．3.【答案】B 【解析】因为函数y=e 1a x -（）+4x ，所以y′=（a -1）e 1a x -（）+4（a ＜1），所以函数的零点为x 0=11a -ln 41a-，因为函数y=e 1a x -（）+4x （x∈R ）有大于零的极值点，()()218622f x x a x a '=+++()()120f x f x ''==122118a x x ==9a =所以x 0=11a -ln 41a -＞0，即ln 41a-＜0， 解得：a ＜-3． 故选B ．4.【答案】15a --<或15a -+>或1a =【解析】即21()(1)04f x a x ax =-+-=有解.当–10a =时，满足.当–10a ≠时，只需2(1)0a a ∆=+->.题模四：已知含参函数极值情况求参数范围 1.【答案】D【解析】∵()2'36f x x b =-，由题意，函数'()f x 图象如右图．''(0)0,(1)0,f f ⎧<⎪∴⎨>⎪⎩即60,360,b b -<⎧∴⎨->⎩得102b <<．故选D 2.【答案】D【解析】由题意知，f′（x ）=3ax 2-2x+1，∈三次函数f （x ）=ax 3-x 2+x 在（0，+∞）上存在极大值点， ∈f′（x ）=3ax 2-2x+1=0有两个不同的正实数根或一正一负根， ∈当a ＞0时，此时3ax 2-2x+1=0有两个不同的正实数根， ∈44310203103a aa⎧⎪=-⨯⨯>⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，即0＜a ＜13，∈当a ＜0时，此时3ax 2-2x+1=0有一正一负根，只须∈＞0，即4-12a ＞0，∈a ＜13，∈a ＜0综上所述，a 的范围是(-∞，0)∈(0，13)故选D ．3.【答案】B 【解析】∵f′（x ）=32(1)2(2)(1)x x b x ----=32(1)(1)x b x -+--， ∈若函数f （x ）=22(1)x bx --无极值，则1-b=-1，∈b=2．故选B ．4.【答案】． 11e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，【解析】由求导可得，令，可得． ∵，∴，∴ 又因为所以，有极值，实数的取值范围为．1.【答案】D 【解析】由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项y=x 3单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值． 故选：D ．2.【答案】D【解析】∵()22123213033f x x x x ⎛⎫'=-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立，∴()f x 在R 上单调递增，∴既无极大值也无极小值，故选D ．3.【答案】（1）a=-3，3x+y+3=0 （2）极大值为6e -3，极小值为-2e 【解析】（1）f （x ）=（x 2+a ）•e x ∈f'（x ）=（x 2+2x+a ）•e x … 所以f'（0）=-3∈a=-3，…（4分）所以f （0）=-3，切线方程为3x+y+3=0；…（2）f （x ）=（x 2+a ）•e x ∈f'（x ）=（x 2+2x -3）•e x =（x+3）（x -1）e x ∈f'（x ）=0∈x=-3或x =1，…当x∈（-∞，-3），f'（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x∈（-3，1），f'（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x∈（1，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）单调递增，… 所以极大值为f （-3）=6e -3，极小值为f （1）=-2e ．…4.【答案】见解析 【解析】f′（x ）=[x 2+（a+2）x -2a 2+4a]e x令f′（x ）=0 解得x=-2a 或x=a -2以下分三种情况讨论．()ln f x ax x =+1()f x a x '=+1()0f x a x '=+=1a x=-(1)x e ∈，111x e ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，11a e ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，(1)x e ∈，()f x a 11e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，极大值x 11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1a -1e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()f x '+0-()f x ↗↘随堂练习（1）若a ＞23，则-2a ＜a -2．当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化如下表： -所以f （x ）在（-∞，-2a ），（a -2，+∞）内是增函数在（-a ，a -2）内是减函数 函数f （x ）在x=2处取得极大值f （-2a ），且f （-2a ）=3ae -2a函数f （x ）在x=a -2处取得极小值f （a -2），且f （a -2）=（4-3a ）e a -2（2）若a ＜23则-2a ＞a -2当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化如下表：函数f （x ）在x=2处取得极小值f （-2a ），且f （-2a ）=3ae -2a函数f （x ）在x=a -2处取得极大值f （a -2），且f （a -2）=（4-3a ）e a -2（3）若a=23则-2a=a -2函数f （x ）在（-∞，+∞）内单调递增，此时函数无极值5.【答案】（0，12）【解析】∵f （x ）定义域为（-1，+∞），又f′(x)=2x+1ax +，令f'（x ）=0，则2x+1ax +=0，∈函数在（-1，+∞）内有两个不同的实数根， ∈a=-2x （x+1），令y 1=a ，y 2=-2x （x+1）， 如图示：∈0＜a ＜12． 6.【答案】（1）a=-6，b=9（2）0 【解析】（1）y′=3ax 2+2bx ，当x=1时，y′|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3， 即3203a b a b +=⎧⎨+=⎩，a=-6，b=9（2）y=-6x 3+9x 2，y′=-18x 2+18x ，令y′=0，得x=0或x=1当x ＞1或x ＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x ＜1时，y′＞0，函数单调递增． ∈y 极小值=y|x=0=0．7.1）；（2）．【解析】．（1）当时，，则曲线在点处的切线方程为； （2）显然，当时，即时函数有极值．1 + 0 - 0 +递增极大值点递减极小值点递增此时，函数极大值为．1+ 00 +递增极大值点 递减极小值点递增此时，函数极大值为 ． 综上，．8.【答案】[13，+∞）【解析】f′（x ）=3x 2+2x+m ，∈函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1在R 上无极值点， ∈f （x ）在R 上是单调函数，∈∈=4-12m≤0，解得m≥13，0y =()24(1)26=2223aa a f x a a -⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩极大值，，()()()2111f x x ax a x x a '=-+-=---⎡⎤⎣⎦1a =()00k f '==()y f x =()00，0y =11a -≠2a ≠2a <11a -<x ()1a -∞-，1a -()11a -，()1+∞，()f x '()f x ()y f x =()()2116f a a -=-x ()1-∞，()11a -，1a -()f x '-()f x ()y f x =()213f =-()24(1)26=2223a a a f x a a -⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩极大值，，故答案为：[13，+∞）．9.【答案】B【解析】根据题意，y'=3x 2-2a=0有解，所以a ＞0 23a 所以23a 所以023a 1 0＜23a ＜1 0＜a ＜3210【答案】C【解析】根据题意和图形知结合函数的图象分析：可得A ，B ，D 可能．当0是f （x ）的极大值时，不是g （x ）的极值是不可能的，选C ．11【答案】D【解析】∈f （x ）=2x+lnx ； ∈f′（x ）=-22x +1x =22x x ； x ＞2∈f ′（x ）＞0；0＜x ＜2∈f ′（x ）＜0．∈x=2为 f （x ）的极小值点．故选：D ．12【答案】（Ⅰ）54，（Ⅱ）函数f （x ）的单调递增区间为（5，+∞）； 单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值-ln5．【解析】（∈）∈f （x ）=4x +a x -lnx -32， ∈f′（x ）=14-2a x -1x， ∈曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y=12x ． ∈f′（1）=14-a -1=-2，解得：a=54， （∈）由（∈）知：f （x ）=4x +54x -lnx -32，f′（x ）=14-254x -1x =22454x x x --（x ＞0）， 令f′（x ）=0，解得x=5，或x=-1（舍），∈当x∈（0，5）时，f′（x ）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x ）＞0，故函数f （x ）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值-ln5．13【答案】当时，函数不存在极值；当时，函数在处取得极大值．无极小值．【解析】函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+=． 当a≥0时，f'（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．当a ＜0时，由f'（x ）＞0，解得0＜x ＜-，此时函数递增．由f'（x ）＜0，解得x ＞-此时函数递减．此时函数在x=-处取得极大值．无极小值． 综上所述：当时，函数不存在极值；当时，函数在处取得极大值．无极小值．14【答案】的极小值点为【解析】，导数=， ≥e ，即a≥e 2时，在区间（1，e ）上单调递减，无极值点．②当＜e ，即1＜a ＜e 2时，在区间(1)上单调递减，在区间(，e)单调递增，则的极小值点为，无极大值点．15【答案】3【解析】f′（x ）=22222(1)x x x a x +--+=222(1)x x a x +-+． 因为f （x ）在1处取极值，所以1是f′（x ）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为316【答案】411-，【解析】22()32.(1)320,(1)110f x x ax b f a b f a b a =++=++==+++=′由已知得′，22334311.9a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩⎩⎩，，，联立解得或，当3a =-时，1x =不是极值点． 当411a b ==-，时满足题意．0a ≥0a <1x a=-()f x 1x 1ax x+1a 1a1a0a ≥0a <1x a=-()f x x a ()2ln 2x f x a x =-()a f x x x '=-2x a x-()()x a x a +-a ()f x ()f x a ()f x a a ()f x a。
2024学年安徽省阜阳市颍河中学高考模拟信息卷(押题卷)数学试题(七)试卷
2024学年安徽省阜阳市颍河中学高考模拟信息卷（押题卷）数学试题（七）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)af a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞2．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．343．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-4．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27B ．33C ．39D ．445．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝7．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 8．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．329．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．10210．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．3511．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．1712．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3B ．2 C ． 33D ． 22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版).docx
2020-2021学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.若&为离散型随机变量，且&〜B（5, §）,则其方差。
（0 =（）OA.—B. —C. 1D.39 32.下面几种推理过程是演绎推理的是（）A.某中学高二有10个班，一班有51人，二班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人B.根据等差数列的性质，可以推测等比数列的性质C.由6=3+3, 8 = 3+5, 10=3+7,…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和D.平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分3.若函数f（.r）=e x+ax - 1的图象经过点（1, e）,则曲线y=f（.r）在点（2, f（2））处的切线的斜率4=（'）A. . eB. e+1C. e-D. e2+l4.在一次数学测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比丙高.乙：我的成绩比丙高.丙：甲的成绩比我和乙的都高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A.甲、乙、丙B.乙、丙、甲C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙5.六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（）A. 48B. 72C. 90D. 1206.某射手射击所得环数X的分布列如表，已知X的数学期望E（X） =8.9,则y的值为（）A.0.8B. 0.4C. 0.6D. 0.27.2019年1月28日至2月3日(腊月廿三至腊月廿九)我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X (单位：万)近似服从正态分布N (10, 0.82),则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为( )A.竺B.二C. 39D.业128 64 64 1288.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x (每分钟鸣叫的次数)与气温y (单位：°C)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了v关于x的线性回归方程=0.25x+k,A. 33°CB. 34°CC. 35°CD. 35.5°C9.若把单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为(A. 17B. 18C. 19D. 2010.设a=lnV2> b旦馨~，5c=ln5,则a, b, c的大小关系为( )A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a11.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美” .现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若/ (x)是f (x) 的导函数，f (-r)是f (x)的导函数，则曲线y=f (.r)在点(x, f (x))处的曲率|f" (x) | _K=A-若曲线f (x) =lnx+x与g (x)=石在(1, 1)处的曲率分别(x)]2)2Ki为Ki, K2,——=( )K2A. —B. —C. 4D. 24 212.设函数/ (x)是奇函数f (x) (x£R)的导函数，当x>0时,(x) < - -f (x),X 且/ (1) <0,则使得(寸-9) f (x) <0成立的工的取值范围( )A. ( -3, 0) U (3, +8)B. ( - oo, - 3)U (3, +8)C. ( - 3, 0) U (0, 3)D. ( - 8, -3)U (0, 3)二. 填空题(共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上), 4i ，一一—13.已知复数z= °为虚数单位)，z表示z的共貌复数，则z=.14.已知(3x2+3.r - 2) (x-1) 5 = ao+flix+- ■ +OJX1,则«2+«4+«6=.15.从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的序号是•①如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法；②如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法；③如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法；④如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法.16.已知函数f (x) =lQa2 - 2a[x+3ln (3x) ]+x2+Zn2 (3x),若存在xo使得f (xo)忍*■成立，则实数a的值为 .三、解答题(共6小题，17、18题10分，19、20、21题各12分，22题附加题20分，请写出必要的解答过程)17.已知必七)11二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3.(1)求〃的值；(2)求展开式中/项的系数.18.已知函数f (x) =*+〃，曲线y=f (x)在点(1, £)处的切线方程为3x-3y+l=0.(1)求实数m, n的值；(2)令g (x) =f (x) +破2 - 3。
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
人教A版必修一二次函数与方程不等式同步练习题(含答案及解析)
人教A版必修一二次函数与方程不等式同步练习题一单项选择题1．已知关于x的不等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x+4＞0得解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（2，6） B．（﹣∞，2）∪（6，+∞）C．（﹣∞，2]∪（6，+∞） D．[2，6）2．不等式对任意实数x都成立，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．C．D．3．若函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≤﹣1或a≥0} B．{a|a＜﹣1或a＞0} C．{a|﹣1≤a≤0} D．{a|﹣1＜a＜0}4．关于x的不等式（x﹣1）（x﹣a）＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A．{a|4＜a＜5} B．{a|4＜a＜5或﹣3＜a＜﹣2}C．{a|4＜a≤5} D．{a|4＜a≤5或﹣3≤a＜﹣2}5．不等式x2﹣3|x|＜0的解集为（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜3}6．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]∪[3，4）B．[﹣2，﹣1]∪[3，4]C．[﹣2，﹣1）∪（3，4] D．（﹣2，﹣1）∪（3，4）7．已知关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b，下列结论正确的是（）A．当a＜b＜1，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为∅B．当a＝2时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式C．不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝D．不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b﹣a＝48．若a、b、c均大于0，且，则a（a+b+c）+bc的最大值为（）A．B．C．D．2二多项选择题9．已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f（x）＞0，则实数m的值可能是（） A．x0﹣2 B．x+C．x+D．x+210．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，则（）A．a＞0 B．不等式ax+c＞0的解集为{x|x＜6}C．a+b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为11．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（）A．a2﹣b2≤4 B．a2+≥4C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4三填空题12．研究问题：“已知关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0有如下解法：由，令，则，所以不等式cx 2﹣bx+a ＞0的解集为．参考上述解法，已知关于x 的不等式的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），则关于x 的不等式的解集 ．13．定义域为R 的函数f （x ）满足f （x+2）＝2f （x ），当x ∈[0，2]时，，若x ∈[4，6]时，f （x ）≥t 2﹣2t ﹣4恒成立，则实数t 的取值范围是 ．14．已知函数f （x ）＝﹣x 2+ax+b 的最大值为0，若关于x 的不等式f （x ）＞c ﹣1的解集为{x|m ﹣4＜x ＜m}，则实数c 的值为 ． 15．已知y 1＝x+m ，，若对∀x 1∈[0，1]，总∃x 2∈[1，2]，使得y 1（x 1）＞y 2（x 2），则实数m 的取值范围是 ．注：y 1（x 1）表示的是函数y 1＝x+m 中x 1对应的函数值，y 2（x 2）表示的是中x 2对应的函数值． 四 解答题16．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax+2a 2+2．（1）关于x 的方程f （x ）＝2a 2有解，求实数a 的取值范围；（2）求函数f （x ）在区间的最小值．17．已知函数f （x ）＝x 2+bx+c （b ，c ∈R ）．（1）当c ＝b 时，解关于x 的不等式f （x ）＞1；（2）若f （x ）的值域为[1，+∞），关于x 的不等式f （x ）＜a 的解集为（m ，m+4），求实数a 的值；（3）设g （x ）＝，函数f （g （x ））的最大值为1，且当时，恒成立，求b 2+c 2的取值范围．18．知函数f （x ）＝log 2x+1，g （x ）＝f （x 2）+[f （x ）]2．（1）求方程g （x ）＝2的解集；（2）若f （x ）的定义域是[1，16]，求函数g （x ）的最值；（3）若不等式[f （x ）]2+log 2x+4＞m •f （x ）对于∀x ∈[1，16]恒成立，求m 的取值范围． 19．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax （a ＞0）．（1）当a ＝2时，解关于x 的不等式﹣3＜f （x ）＜5； （2）对于给定的正数a ，有一个最大的正数M （a ），使得在整个区间[0，M （a ）]上，不等式|f （x ）|≤5恒成立．求出M （a ）的解析式；（3）函数y ＝f （x ）在[t ，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a 和t 的值．20．已知f （x ）＝﹣3x 2+a （6﹣a ）x+12．（1）若不等式f （x ）＞b 的解集为（0，3），求实数a 、b 的值；（2）若a ＝3时，对于任意的实数x ∈[﹣1，1]，都有f （x ）≥﹣3x 2+（m+9）x+10，求m 的取值范围．21．已知集合A ＝{x|﹣1≤x ≤2}，B ＝{x|x 2﹣2mx+m 2﹣1≤0}．（1）命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，且p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若∀x ∈A ，都有x 2+m ≥4+3x ，求实数m 的取值范围．22．已知定义在R 上的函数f （x ）＝x 2﹣x+k ，其中k 为常数．（1）求解关于x 的不等式f （x ）＜kx 的解集；（2）若f （2）是f （a ）与f （b ）的等差中项，求a+b 的取值范围．人教A版必修一二次函数与方程不等式同步练习题参考答案与解析1.分析:对m讨论，分m＝2，m＞2，结合二次函数的图象和判别式的符号，可得所求范围．解：①当m＝2时，4＞0，解集为R，②当m＞2且△＝4（m﹣2）2﹣16（m﹣2）＜0，即2＜m＜6时，不等式解集为R，综上可得，m的取值范围是[2，6）．故选D．2.分析:题意转化为（3﹣m）x2+（2﹣m）x+2﹣m≥0对任意实数x恒成立，分二次项系数是否为0，即m＝3和m≠3两种情况分类讨论可得结果．解：∵恒成立，不等式等价于3x2+2x+2≥m（x2+x+1），即（3﹣m）x2+（2﹣m）x+2﹣m≥0对任意实数x恒成立，①当3﹣m＝0，即m＝3时，不等式为﹣x﹣1≥0，对任意实数x不恒成立，不满足题意；②当3﹣m≠0，即m≠3时，则，解得m≤2，综上可得，实数m的取值范围是（﹣∞，2]．故选A．3.分析:根据函数的定义域为R，转化为﹣1≥0恒成立，结合指数函数的性质以及一元二次不等式的解法进行转化求解即可．解：∵f（x）的定义域为R，∴﹣1≥0，得≥1恒成立，得x2+2ax﹣a≥0恒成立，即判别式△＝4a2+4a≤0，得a（a+1）≤0，得﹣1≤a≤0，故选C．4.分析:对a讨论，写出解集，再根据题目要求求出对应的a的范围．解：①当a＞1时，解得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，②当a＜1时，解得a＜x＜1，此时解集中的整数为0，﹣1，﹣2，则﹣3≤a＜﹣2．故a∈{a|﹣3≤a＜﹣2或4＜a ≤5}，故选D．5.分析:根据x2﹣3|x|＜0去绝对值可得或，然后解不等式组即可．解：∵x2﹣3|x|＜0，∴或，∴0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴不等式的解集为{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}．故选B．6.分析:不等式化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，只需讨论a＞1，a＜1时，求出解不等式的解集，再根据不等式的解集中恰有两个整数，求出a的取值范围．解：关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0可化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时，解不等式得1＜x＜a；当a＜1时，解不等式得a＜x＜1；由不等式的解集中恰有两个整数，则3＜a≤4或﹣2≤a＜﹣1，所以a的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（3，4]．故选C．7.分析:A：由x2﹣3x+4≤b，利用判别式即可判断；B：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2﹣3x+4＝（x﹣2）2+1的图象以及y＝a和y＝b，利用图象可判断；C：根据不等式的解集求出b 的值，再判断a是否小于1；D：利用不等式求出a的值，即可得到结论．解：对于A：由x2﹣3x+4≤b，可得3x2﹣12x+16﹣4b≤0，又b＜1，所以△＝48（b﹣1）＜0，从而不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为∅，故A正确；对于B：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝x2﹣3x+4＝（x﹣2）2+1的图象以及y＝a和y＝b，如图所示，由图可知，当a＝2时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为{x|xA ≤x≤xC}∪{x|xB≤x≤xD}的形式，故B错误；由不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，可知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b，由当x＝b时，函数值是b，可得b2﹣3b+4＝b，解得b＝或b＝4，由a2﹣3a+4＝b＝，解得a ＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故C错误；当b＝4时，由a2﹣3a+4＝b＝4，解得a＝0或a＝4，a＝0满足a≤1，此时b﹣a＝4﹣0＝4，故D正确．故选AD．8.分析:根据题意，分析可得a（a+b+c）+bc＝a2+ab+ac+bc＝（a+b）（a+c），结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，a，b，c都是正数，且，则a（a+b+c）+bc＝a2+ab+ac+bc＝（a+b）（a+c）≤[]2＝＝；当且仅当a+b＝b+c时等号成立，故a2+ab+ac+bc的最大值为，故选C．9.分析:根据题意，分析可得a＜0，c＞0，由根与系数的关系可得m＞0，由二次函数的性质分析零点﹣1到对称轴的距离，进而可得m﹣（﹣1）的取值范围，又由x0∈（﹣1，m），变形可得m与x的关系，据此分析选项可答案．解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，则有f（﹣1）＝a+b+c ＝0，又由a＜b＜c，则a＜0，c＞0，方程ax2﹣bx+c＝0的两个根为﹣1和m，则有（﹣1）×m＝﹣m＝＜0，必有m＞0，由a＜b，a＜0，得＜1①，由0＝a+b+c＞a+b+b＝a+2b，得﹣＜，即＞﹣②，由①②得：﹣＜＜1．函数f（x）＝ax2﹣bx+c的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为x＝，则﹣＜＜，∴零点﹣1到对称轴的距离d∈（，），另一零点为m＞0，则有m﹣（﹣1）＝m+1＝2d∈（，3），因为f（x0）＞0，所以x∈（﹣1，m），故0＜m﹣x＜（2d）min ，∴x＜m≤+x，综合四个选项，实数m的值可能是x+或+x，故选BC．10.分析:由已知可得﹣2，3是方程ax2+bx+c＝0的两根，则由韦达定理可得：，且a＜0，解得c＝﹣6a，b＝﹣a，然后对应各个选项逐个判断即可．解：由已知可得﹣2，3是方程ax2+bx+c＝0的两根，则由韦达定理可得：，且a＜0，解得c＝﹣6a，b＝﹣a，所以A错误，选项B：ax+c＞0化简为x﹣6＜0，解得x＜6，B正确，选项C：a+b+c＝a﹣a﹣6a＝﹣6a＞0，C正确，选项D：cx2﹣bx+a＜0化简为：6x2﹣x﹣1＜0，解得﹣，D正确，故选BCD．11.分析:由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a，b的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D．解：根据题意，函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，必有a2﹣4b＝0，即a2＝4b，（b＞0），依次分析选项：对于A，a2﹣b2﹣4＝4b﹣b2﹣4＝﹣（b2﹣4b+4）＝﹣（b﹣2）2≤0，b＝2时，等号成立，即有a2﹣b2≤4，故A正确；对于B，a2+＝4b+≥2＝4，当且仅当b＝时，取得等号，故B正确；对于C，由x1，x2为方程x2+ax﹣b＝0的两根，可得x1x2＝﹣b＜0，故C错误；对于D，由x1，x2为方程x2+ax+b﹣c＝0的两根，可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝b﹣c，则|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2﹣4（b﹣c）＝a2﹣4b+4c＝4c＝16，解得c＝4，故D正确．故选ABD．12.分析:先明白题目所给解答的方法：ax2﹣bx+c＞0化为，类推为cx2﹣bx+a＞0，解答不等式；然后依照所给定义解答题目即可．解：关于x的不等式+＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），用替换x，不等式可以化为：可得,可得,故答案为：．13.分析:先确定当x∈[0，2]时，f（x）的最小值为﹣，利用函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），可得x∈[4，6]时，f（x）的最小值为﹣1，从而可得﹣1≥t2﹣2t﹣4，即可得出结论．解：当x∈[0，1）时，f（x）＝x2﹣x∈[﹣，0],当x∈[1，2]时，f（x）＝（x﹣2）x∈[﹣，0],∴当x∈[0，2]时，f（x）的最小值为﹣，又∵函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），当x∈[2，4]时，f（x）的最小值为﹣，当x∈[4，6]时，f（x）的最小值为﹣1，∵x∈[4，6]时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，∴﹣1≥t2﹣2t﹣4,∴（t+1）（t﹣3）≤0，解得：﹣1≤t≤3，故答案为：﹣1≤t≤3．14.分析:根据题意，由二次函数的性质可得△＝0，即a2+4b＝0，由不等式的解集可得方程f（x）＝c﹣1即﹣x2+ax﹣﹣c+1＝0的两根分别为：m﹣4，m，利用根与系数的关系分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝﹣x2+ax+b的最大值为0，则二次函数f（x）与x轴只有一个交点，所以△＝0，即a2+4b＝0，变形可得b＝﹣,关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为{x|m﹣4＜x ＜m}，所以方程f（x）＝c﹣1即﹣x2+ax﹣﹣c+1＝0的两根分别为：m﹣4，m，则有（m﹣4）+m ＝﹣a，m（m﹣4）＝+c﹣1，则有[m﹣（m﹣4）]2＝[m+（m﹣4）]2﹣4m（m﹣4）＝a2﹣4（+c ﹣1）＝4﹣4c＝16，解可得：c＝﹣3；故答案为：﹣3．15.分析:将∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[1，2]，使得y1（x1）＞y2（x2），转化为y1（x）min＞y2（x）min，借助一次函数，二次函数的性质求解最大，最小值，再得到m的取出范围．解：对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[1，2]，使得y1（x1）＞y2（x2），等价于y1（x）min＞y2（x）min，由于y＝x+m在x∈[0，1]单调递增，因此y1（x）min＝y1（0）＝m；而+2m﹣3，对称轴为x＝，（1）若＜1，即m＜2，，即，得﹣2＜m＜2，（2）若，即2≤m≤4，，即m＞，得﹣6＜m＜2，而2≤m≤4，即m无解，（3）若＞2，即m＞4，，∴m＞，得m无解．综上，m的取出范围为（﹣2，2）．16.分析:（1）关于x的方程f（x）＝2a2有解，则Δ≥0，从而解不等式即可得出实数a的取值范围；（2）函数f（x）的对称轴为x＝a，开口向上，按照a≤﹣，﹣＜a＜和a≥分类，分别根据函数的单调性，进而得出最小值．解：（1）由关于x 的方程f （x ）＝2a 2有解，等价于x 2﹣2ax+2＝0有解，∴Δ＝（﹣2a ）2﹣4×2≥0，解得a ≤﹣或a ≥，故实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）； （2）根据题意，f （x ）＝x 2﹣2ax+2a 2+2，x ∈[﹣，]，对称轴为x ＝a ，开口向上，当a ≤﹣时，函数在[﹣，]上单调递增，此时f （x ）min ＝f （﹣）＝2a 2+3a+；当﹣＜a ＜时，函数在[﹣，a]上单调递减，在[a ，]上单调递增，此时f （x ）min ＝f （a ）＝a 2+2；当a ≥时，函数在[﹣，]上单调递减，此时f （x ）min ＝f （）＝2a 2﹣3a+，综上，函数在区间[﹣，]的最小值为f （x ）min ＝．17.分析:（1）首先将所给的不等式写成两根式的形式，然后分类讨论确定不等式的解集即可，（2）由三个二次的关系得到方程的两个根之差为4，据此可得实数a 的值，（3）由题意将c 表示为含有b 的等式，然后求得实数b 的取值范围，最后结合二次函数的性质可得求b 2+c 2的取值范围． 解：（1）当c ＝b 时，由f （x ）＞1得x 2+bx+b ﹣1＞0，即（x+b ﹣1）（x+1）＞0，当1﹣b ＞﹣1，即b ＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1﹣b ，+∞），当b ＝2时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），当b ＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣b ）∪（﹣1，+∞）．（2）由f （x ）的值域为[1，+∞），得，因为关于x 的不等式f （x ）＜a 的解集为（m ，m+4），所以m ，m+4是方程f （x ）＝a 的两个实根，即x 2+bx+c ﹣a ＝0的两根之差为4，所以，则，得a ＝5．（3），则，,则x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，又，因为f （g （x ））的最大值为1，所以f （x ）在xe[﹣3，﹣2）上的最大值为1，由f （x ）图象开口向上，得，即，则c ＝3b ﹣8，且b ≤5，此时由x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，得x 2+bx+3b ﹣8≥0恒成立，且f （﹣2）≥0，得b ≥4，要满足x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，则Δ≤0，b 2﹣4（3b ﹣8）≤0，解得4≤b ≤8，综上，4≤b ≤5，此时b 2+c 2＝b 2+（3b ﹣8）2＝10b 2﹣48b+64∈[32，74]．18.分析:（1）依题意，g （x ）＝2可化简为+4log 2x ＝0，解之即可得到方程g （x ）＝2的解集；（2）依题意得1≤x 2≤16⇒1≤x ≤4⇒0≤log 2x ≤2，换元，令t ＝f （x ）＝log 2x+1，则t ∈[1，3]，于是可得h （t ）＝（t+1）2﹣2，利用二次函数的单调性即可求得函数g （x ）的最值；（3）令t ＝f （x ）＝log 2x+1，则t ∈[1，5]，则不等式[f （x ）]2+log 2x+4＞m •f （x ）对于∀x ∈[1，16]恒成立⇔t 2+t+3＞mt 对于∀t ∈[1，5]恒成立⇔m ＜t++1（1≤t ≤5）恒成立，利用基本不等式即可求得m 的取值范围． 解：（1）∵f （x ）＝log 2x+1，∴g （x ）＝f （x 2）+[f （x ）]2＝2log 2x+1++2log 2x+1＝+4log 2x+2，由g （x ）＝2得：+4log 2x ＝0，解得：log 2x ＝0或log 2x ＝﹣4，∴x ＝1或x ＝，∴方程g （x ）＝2的解集为{，1}；（2）∵f （x ）的定义域是[1，16]，∴1≤x 2≤16，∴1≤x ≤4，∴0≤log 2x ≤2，∴f （x ）＝log 2x+1∈[1，3]，令t＝f（x）＝log2x+1，则t∈[1，3]，则h（t）＝g（x）＝+4log2x+2＝（t﹣1）2+4（t﹣1）+2＝（t+1）2﹣2，t∈[1，3]．∵h（t）＝（t+1）2﹣2的对称轴方程为t＝﹣1，∴y＝（t+1）2﹣2在区间[1，3]上单调递增，∴h（t）min ＝h（1）＝2，h（t）max＝h（3）＝14．即g（x）min＝2，g（x）max＝14．（3）若不等式[f（x）]2+log2x+4＞m•f（x）对于∀x∈[1，16]恒成立，令t＝f（x）＝log2x+1（1≤x≤16），则t∈[1，5]，则上式等价于t2+t+3＞mt对于∀t∈[1，5]恒成立⇔m＜t++1（1≤t≤5）恒成立，∵t++1≥2+1，当且仅当t＝，即t＝时取“＝”，∴m＜2+1．19.分析:（1）a＝2时，把不等式﹣3＜f（x）＜5化为不等式组﹣3＜x2﹣4x＜5，求出解集即可；（2）由二次函数的图象与性质，讨论a＞0时|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立时，M（a）最大，此时对应的方程f（x）＝±5根的情况，从而求出M（a）的解析式；（3）f（x）＝（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）＝f（2a）＝0，分类讨论，利用y＝f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝x2﹣4x，∴不等式﹣3＜f（x）＜5可化为﹣3＜x2﹣4x＜5，解得，∴不等式的解集为（﹣1，1）∪（3，5）；（2）∵a＞0时，f（x）＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，∴当﹣a2＜﹣5，即a＞时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax＝﹣5的较小的根，即M（a）＝a﹣；当﹣a2≥﹣5，即0＜a≤时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax＝5的较大的根，即M（a）＝a+；综上，M（a）＝．（3）f（x）＝（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）＝f（2a）＝0．①若t＝0，则a≥t+1，且f（x）min ＝f（a）＝﹣4，或f（x）min＝f（2）＝﹣4，当f（a）＝﹣a2＝﹣4时，a＝±2，a＝﹣2不合题意，舍去.当f（2）＝4﹣4a＝﹣4时，a＝2，②若t+2＝2a，则a≤t+1，且f（x）min＝f（a）＝﹣4，或f（x）min＝f（2a﹣2）＝﹣4，当f（a）＝﹣a2＝﹣4时，a＝±2，若a＝2，t＝2，符合题意；若a＝﹣2，则与题设矛盾，不合题意，舍去.当f（2a﹣2）＝﹣4时，a＝2，t＝2.综上所述，a＝2，t＝0和a＝2，t＝2符合题意．20.分析:（1）根据不等式f（x）＞b的解集知对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b 的值；（2）a＝3时问题转化为mx≤2对于任意的实数x∈[﹣1，1]都成立，讨论m的取值情况，从而求出m的取值范围．解：（1）因为f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12，不等式f（x）＞b的解集为（0，3），所以0和3是一元二次方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣12+b＝0的两实数根，所以，解得a＝3，b＝12；（2）当a＝3时，f（x）＝﹣3x2+9x+12，不等式f（x）≥﹣3x2+（m+9）x+10可化为﹣3x2+9x+12≥﹣3x2+（m+9）x+10，即mx≤2对于任意的实数x∈[﹣1，1]都成立；m＝0时，mx＝0≤2显然成立；m＞0时，mx≤2化为x≤，即≥1，解得m≤2，即0＜m≤2；m＜0时，mx≤2化为x≥，即≤﹣1，解得m≥﹣2，即﹣2≤m＜0；综上知，m的取值范围是[﹣2，2]．21.分析:（1）求出集合B的取值范围，根据p是q的必要非充分条件，即可求得m的取值范围（2）由若∀x∈A，得不等式的定义域，解关于m的不等式，即可求得m的取值范围．解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．22.分析:（1）对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法可得结论；（2）由等差中项的性质可得关于a，b的等式，再利用基本不等式即可得结论解：（1）由f（x）＜kx，可得x2﹣x+k＜kx，即（x﹣k）（x﹣1）＜0，当k＝1时，不等式的解集为∅；当k＜1时，不等式的解集为（k，1）；当k＞1时，不等式的解集为（1，k）．（2）若f（2）是f（a）与f（b）的等差中项，则2（2+k）＝（a2﹣a+k）+（b2﹣b+k），整理得a2+b2﹣（a+b）＝4，∴4＝a2+b2﹣（a+b）＝（a+b）2﹣（a+b）﹣2ab≥（a+b）2﹣（a+b）﹣2（）2，解得﹣2≤a+b≤4，所以a+b的取值范围为[﹣2，4]．。
考点20利用导数证明不等式(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版
考点20利用导数证明不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果【核心题型】题型一 将不等式转化为函数的最值问题待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．【例题1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知1201x x <<<，下列不等式恒成立的是（ ）A ．1221e e x xx x <B ．2112ln ln x x x x >C ．1122ln ln x x x x <D ．11e ln x x >【变式1】（2024·全国·模拟预测）下列正确结论的个数为（ ）①13sin1010π> ②141sin sin 334< ③16tan 16> ④()tan π3sin 3->A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2】（2024·四川成都·三模）已知函数2()ln ,f x ax x a =-ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)设0,()()a g x f x bx >=+，且1x =是()g x 的极值点，证明：2+ln 12ln 2b a £-.【变式3】（2024·四川成都·三模）已知函数()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---Î.(1)若12a =，证明：()0f x >；(2)若函数()f x 在()0,π内有唯一零点，求实数a 的取值范围.题型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x 与e x ，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．【例题2】（2023·河南开封·模拟预测）已知13a =，13e 1b =-，4ln 3c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知1e 1ln ,0aa b =+>，则下列结论正确的是（ ）A ．e 2a b<-B ．1lna b<C ．1a b<-D ．1e lnba<【变式2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数()()1122e ,e e e 1xxx x f x m m g x -=+-=++.(1)当0m =时，证明：()e xf x -<；(2)当0x <时，()g x t ³，求t 的最大值；(3)若()f x 在区间()0,¥+存在零点，求m 的取值范围.【变式3】（2024·贵州黔西·一模）已知函数29()ln 22f x x x x x =--.(1)判断()f x 的单调性;(2)证明:1352193ln(21)35721n n n n -æö++++>-+ç÷+èøL .题型三 适当放缩证明不等式导数方法证明不等式中，最常见的是e x 和ln x 与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对e x 和ln x 进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时取等号；(2)ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取等号．【例题1】（2024·河北沧州·一模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为413,1,e Sn S a S >=，则数列{}n a 的公比q 满足（ ）A ．01q <£B ．10q -<<C ．1q >D ．1q £-【变式1】（2024·广东·模拟预测）令()sin 0.5cos1cos 2cos ,N n a n n °°°°+=+++ÎL ．则n a 的最大值在如下哪个区间中（ ）A ．(0.49,0.495)B ．(0.495,0.5)C ．(0.5,0.505)D ．(0.505,0.51)【变式2】（2024·全国·模拟预测）设整数1p >，1x >-且0x ¹，函数()(1)1p f x x px =+--．(1)证明：()0f x >；(2)设0x >，证明：ln(1)x x +<；(3)设*n ÎN ，证明：111321232ln(1)n n n n ++++<-+L ．【变式3】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数()(1)1(1)r f x x rx x =+-->-，0r >且1r ¹．(1)讨论()f x 的单调性；(2)6332的大小，并说明理由；(3)当*n ÎN时，证明：2sin 176n kk n =<+å．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（22-23高三上·四川绵阳·开学考试）若1201x x <<<，则（ ）A ．2121e e ln ln x xx x ->-B ．2121e e ln ln x xx x -<-C ．1221e e x xx x >D ．1221e e x xx x <2．（2023·陕西咸阳·三模）已知12023a =，20222023eb -=，1cos 20232023c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a>>D ．a c b>>3．（23-24高三上·云南保山·期末）已知16a =，7ln 6b =，1tan 6c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b<<D ．c<a<b4．（2024·全国·模拟预测）设13ln4,tan tan1,22a b c ==+=，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a<<C ．c<a<bD ．a c b<<二、多选题5．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）函数()21ln 2f x x ax a x =-+的两个极值点分别是12,x x ，则下列结论正确的是（ ）A ．4a >B ．22128x x +<C ．1212x x x x +=D ．()()()221212164f x f x x x +<+-6．（2023·福建·模拟预测）机械制图中经常用到渐开线函数inv tan x x x =-，其中x 的单位为弧度，则下列说法正确的是（ ）A ．inv x x ×是偶函数B ．inv x 在ππ(π,π)22k k --+上恰有21k +个零点（N k Î）C ．inv x 在ππ(π,π)22k k --+上恰有41k +个极值点（N k Î）D ．当π02x -<<时，inv sin x x x <-三、填空题7．（2023·海南·模拟预测）已知函数()1ln e x x af x --=，()1x a g x x--=，若对任意[)1,x ¥Î+，()()f x g x £恒成立，则实数a 的取值范围是 .8．（2023·河南开封·模拟预测）实数x ，y 满足()23e 31e x y x y -£--，则3xy -的值为 ．四、解答题9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数()21()1ln 2f x x x =--.(1)求()f x 的最小值；(2)证明：47ln332>.10．（2024·广东佛山·二模）已知()21e 4e 52x xf x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.11．（2023·四川成都·二模）已知函数()e sin xf x x -=.(1)求()f x 在()()0,0f 处的切线方程；(2)若0x 是()f x 的最大的极大值点，求证：()01f x <<综合提升练一、单选题1．（22-23高三上·河南·阶段练习）若32e 3ln 22x yx y +-=+，其中2,2x y >>，则（ ）A ．e x y<B ．2x y>C ．24e xy>D ．2e x y>2．（2023·福建·模拟预测）已知ln 2a =，1e b a=-，2a c a =-，则（ ）A ．b c a>>B ．b a>C ．c a b>>D．c b a>>3．（2023·河北衡水·三模）若a =1b =-，c =则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a<<D ．a c b<<4．（2023·新疆·三模）已知数列{}n a 中，11a =，若1nn nna a n a +=+（N n *Î），则下列结论中错误的是（ ）A ．325a =B ．1111n na a +-£C ．1ln 1nn a <-（2,N n n *³Î）D ．2111112n n a a ++-<5．（2023·河南·模拟预测）设a ，b 为正数，且2ln ab a b=-，则（ ）.A ．112a b<<B ．12a b<<C ．112ab <<D ．12ab <<6．（2024·上海虹口·二模）已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导数满足()()f x g x ¢£¢，给出两个命题：①对任意12,x x ÎR ，都有()()()()1212f x f x g x g x -£-；②若()g x 的值域为[]()(),,1,1m M f m f M -==，则对任意x ÎR 都有()()f x g x =.则下列判断正确的是（ ）A ．①②都是假命题B ．①②都是真命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①是真命题，②是假命题7．（2024·四川泸州·三模）已知0x >，e ln 1x y +=，给出下列不等式①ln 0x y +<；②e 2x y +>；③ln e 0y x +<；④1x y +>其中一定成立的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2024·四川攀枝花·三模）已知正数,,a b c 满足ln e c a b b ca ==，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．b c a>>二、多选题9．（2023·福建龙岩·二模）已知函数()ln n f x x n x =-（*n ÎN ）有两个零点，分别记为n x ，n y （<n n x y ）；对于0a b <<，存在q 使)()()(()n n n f f f a q b a b -=-¢，则（ ）A ．()n f x 在()1,+¥上单调递增B ．e n >（其中e 2.71828=L 是自然对数的底数）C ．11n n n n x x y y ++-<-D ．2q a b<+10．（2023·河南信阳·模拟预测）已知,,,a b c d ÎR ，满足0a b c d >>>>，则（ ）A ．sin sin a b >B ．sin sin a a b b ->-C ．a bd c>D ．ad bc ab cd+>+11．（2024·河北沧州·一模）已知函数()e xf x =与函数()211g x x =+-的图象相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且12x x <，则（ ）A ．121y y =B ．211exy =C ．21211y y x x ->-D ．221x y =三、填空题12．（2023·四川成都·三模）已知函数()2()2ln 32f x x a x x =+-+，a ÎR .当1x >时，()0f x >，则实数a 的取值范围为．13．（23-24高三下·广东云浮·阶段练习）若实数a ，b 满足()()221ln 2ln 1a b a b -³+-，则a b += ．14．（2024·全国·模拟预测）若实数a ，b ，c 满足条件：()2e e 2e 1a b ca b c a -++-+=-，则444abca b c ++的最大值是 ．四、解答题15．（2024·青海西宁·二模）已知函数()()()2222ln R f x x a x a x a =+--Î．(1)若2a =，求()f x 的极值；(2)若()()2222ln g x f x a x x =+-+，求证：()12g x ³．16．（2024·山东济南·二模）已知函数()()()22l ,n 1e x f x ax x g x x ax a =--=-ÎR .(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：()()f x g x x +³.17．（2024·上海松江·二模）已知函数ln y x x a =×+（a 为常数），记()()y f x x g x ==×.(1)若函数()y g x =在1x =处的切线过原点，求实数a 的值；(2)对于正实数t ，求证：()()()ln 2f x f t x f t t a +-³-+；(3)当1a =时，求证：e ()cos x g x x x+<.18．（2024·上海嘉定·二模）已知常数m ÎR ，设()ln mf x x x=+，(1)若1m =，求函数()y f x =的最小值；(2)是否存在1230x x x <<<，且1x ，2x ，3x 依次成等比数列，使得()1f x 、()2f x 、()3f x 依次成等差数列？请说明理由．(3)求证：“0m £”是“对任意()12,0,x x Î+¥，12x x <，都有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-”的充要条件．19．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2e ln 1xf x a x =-+．(1)若2a =，讨论()f x 的单调性．(2)若0x >，1a >，求证：()1ln 2f x a a >-．拓展冲刺练一、单选题1．（2023·上海奉贤·二模）设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和,若一个数列满足对任意的正整数n ,不等式11n n S S n n +<+恒成立,则称数列{}n a 为和谐数列,有下列3个命题:①若对任意的正整数n 均有1n n a a +<,则{}n a 为和谐数列;②若等差数列{}n a 是和谐数列,则n S 一定存在最小值;③若{}n a 的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有( )个A ．0B ．1C ．2D ．32．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）已知0.19e a -=，0.9b =，2ln0.91c =+，则（ ）A ．b c a>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．b a c>>3．（2023·湖南长沙·一模）已知()e 0.1e 0.1a +=-，e e b =，()e 0.1e 0.1c -=+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c<<D ．a c b<<4．（2024·青海·二模）定义在R 上的函数()f x 满足()()2231218f x f x x x --=-+，()f x ¢是函数()f x 的导函数，以下选项错误的是（ ）A ．()()000f f ¢+=B ．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y --=C ．()()f x f x m -¢³在R 上恒成立，则2m £-D ．()()74ee xf x f x -³-¢-二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且221n n n a S a -=，则（ ）A ．=n aB ．1n na a +>C ．1ln n nS n S -³D ．212n n n S S S +++>6．（2024·全国·模拟预测）已知1e 1ln ,0aa b=+>，则下列结论正确的是（ ）A ．e 2a b >-B ．1lna b<C ．1e lnb a<D ．1a b>-三、填空题7．（2023·浙江温州·二模）已知函数e e()ln ln f x x x x x=++-，则()f x 的最小值是 ；若关于x 的方程()22f x ax =+有1个实数解，则实数a 的取值范围是.8．（2023·福建福州·模拟预测）已知定义在()0,¥+上函数()f x 满足：()()ln 1x f x x +<<，写出一个满足上述条件的函数()f x = .四、解答题9．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()()sin ln sin f x x x =-，()1,2x Î(1)求()f x 的最小值；(2)证明：()sin sin eln sin 1x xx x -×->.10．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数()()ln 1R af x x a x=+-Î．(1)当2a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)设函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()()()1212f x f x x x ¢¢=¹，证明：()()1211f x f x a++>．11．（2024·山西晋城·二模）已知函数()()e x f x x a x a =-++（a ÎR ）．(1)若4a =，求()f x 的图象在0x =处的切线方程；(2)若()0f x ³对于任意的[)0,x Î+¥恒成立，求a 的取值范围；(3)若数列{}n a 满足11a =且122nn n a a a +=+（*n ÎN ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：[]1ln (1)(2)3n S n n +<++．。
考点17导数与函数的单调性(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版
考点17导数与函数的单调性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用【知识点】1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上________f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上________函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是________2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的 ；第2步，求出导数f ′(x )的；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解【核心题型】题型一 不含参函数的单调性确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．(),3-¥D ．()3,+¥【变式1】（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(),e -¥-B ．()e,0-C ．(),0¥-D ．()1,0-【变式2】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数()f x 的导函数为()f x ¢，若当0x <时()2af x x x=-，且()10f ¢-=.则()f x 的单调增区间为 .【变式3】（2024·河南开封·三模）已知函数()33ln f x x x =-，()f x ¢为()f x 的导函数．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()()()9g x f x f x x¢=--的单调区间和极值．题型二 含参数的函数的单调性(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点【例题2】（多选）（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数()322f x x ax x=++（R a Î）的大致图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1】（2024·天津·二模）已知()()ln R f x x ax x a =+×Î，(1)当2a =时，求()f x 在点()()e e f ，处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若函数()f x 存在极大值，且极大值为1，求证：()2e xf x x -£+．【变式2】（2024·陕西商洛·三模）已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =--ÎR ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a >时，若函数()2e e 2x x g x a =+和()22h x a x =的图象在()0,1上有交点，求实数a 的取值范围．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()(2)ln f x a x a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()9ln f x a >．（参考数据：ln 20.693»）题型三 函数单调性的应用由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0 (或f ′(x )<0)在该区间上存在解集命题点1 比较大小或解不等式【例题3】（2024·四川成都·模拟预测）若函数()f x 对任意的x ÎR 都有()()f x f x ¢<恒成立，则2(2)f 与2e (ln 2)f 的大小关系正确的是（ ）A ．2(2)f >2e (ln 2)fB ．2(2)f =2e (ln 2)fC ．2(2)f <2e (ln 2)f D ．无法比较大小【变式1】（2023·全国·模拟预测）比较11101011a =-，ln1.2b =，0.115ec =的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c>>D ．a b c>>【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知函数()()21e ln 12xf x x a x =--+.(1)证明：当1a £时，()1f x ≥对[)0,x Î+¥恒成立.(2)若存在()1212,x x x x ¹，使得()()12f x f x =，比较()()1211x x ++与2e e a的大小，并说明理由.【变式3】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数()()2ln 12x f x x =++.(1)当[)0,x Î+¥时，比较()f x 与x 的大小；(2)若函数()2cos 2x g x x =+，且()()2e 10,0a f g b a b æö=->>ç÷èø，证明：()()211f b g a +>+.命题点2 根据函数的单调性求参数【例题4】（2023·全国·模拟预测）若对任意的1x ，2(,)x m Î+¥，且12x x <，122121ln ln 2x x x x x x -<-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,e e æöç÷èøB ．1,e e éùêúëûC ．1,e ¥éö+÷êëøD ．1,e æö+¥ç÷èø【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期中）设()0,1a Î，若函数()(1)x xf x a a =++在()0,¥+递增，则a 的取值范围是（ ）A．B．ö÷÷øC．ö÷÷øD．æççè【变式2】（多选）（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x =--，下列命题正确的是（ ）A ．若1x =是函数()f x 的极值点，则1a =B ．若()10f =，则()f x 在[]0,2x Î上的最小值为0C ．若()f x 在()1,2上单调递减，则1a ≥D ．若()()l ln x x f x -≥在[]1,2x Î上恒成立，则2a ≥【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数2()e 1x f x a x =+-在(0,)+¥上单调递增，则a 的取值范围是 ．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知函数()e ln x f x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（ ）．A ．2e B ．eC ．1e -D ．2e -2．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设()af x x a x=-+在()1,+¥上为增函数，则实数a 取值范围是（ ）A ．[)0,¥+B ．[)1,+¥C ．[)2,-+¥D ．[)1,-+¥3．（2024·云南楚雄·一模）若a b >，则函数()2()y a x a x b =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x 使得1()0>f x ，且2()0f x >，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[ln 3,2)B ．(0,2ln 3]-C ．(0,2ln 3)-D ．[2ln 3,2)-5．（2024·全国·模拟预测）已知8sin 15a =，3ln 2b =，25c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c b a>>二、多选题6．（2023·全国·模拟预测）已知函数()33f x x x =-，则（ ）A ．函数()()()'g x f x f x =× 是偶函数B ．y x =-是曲线()y f x =的切线C ．存在正数(),a f x 在(),a a -不单调D ．对任意实数a ，()(f a f a £+7．（23-24高三上·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间()0,1上是减函数的是（ ）A ．()exf x =B ．()sin f x x =-C ．()1f x x=D ．3()2f x x x=-三、填空题8．（2024·云南大理·模拟预测）函数()12ln f x x x =--的最大值为.9．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e e e x x x g x x x =--，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .四、解答题10．（2024·江西南昌·一模）已知函数()()2ln2ln f x x x x =+-.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 的最大值.11．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数()2ln f x ax x x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.综合提升练一、单选题1．（2023·贵州毕节·一模）给出下列命题：①函数2()2x f x x =-恰有两个零点；②若函数()4a af x x x =-+在(1,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是[1,)-+¥；③若函数()f x 满足()(1)4f x f x +-=，则12918101010f f f æöæöæö+++=ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ；④若关于x 的方程20x m -=有解，则实数m 的取值范围是(0,1].其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()32f x ax bx cx d =+++的大致图象如图所示，则（ ）A ．0,0,0a b c >><B ．0,0,0a b c ><<C ．0,0,0a b c ><>D ．a 0,b 0,c 0<>>3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()()()1e x f x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（ ）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2e 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()4e e 2e x x xf x x =--，()f x ¢为()f x 的导函数，()()e xf xg x ¢=，则（ ）A ．()g x 的极大值为24e 2-，无极小值B ．()g x 的极小值为24e 2-，无极大值C ．()g x 的极大值为4ln22-，无极小值D ．()g x 的极小值为4ln22-，无极大值5．（2024·全国·模拟预测）已知13,,ln2e 14a b c ===-，则它们之间的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．c b a<<6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数()2e x axf x -=在区间()1,3上单调递增，则a 的可能取值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2024·全国·模拟预测）若22ln 2e a -=，12e b =，ln 24c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．a c b<<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c<<8．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数()e ln xf x a x =-有两个大于1的零点，则a 的取值范围可以是（ ）A ．(]0,1B ．1e 1,e æùçúèûC ．1ee ,e æùçúèûD ．)e 12e e ,e +éë二、多选题9．（22-23高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数21e 1xx y x -=×-，则（ ）A ．函数的极大值点为=0x B ．函数的极小值点为=0x C ．函数在(1,)+¥上单调递增D ．函数在31,2æöç÷èø上单调递减10．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数3()f x x mx n =--，其中,m n ÎR ，下列选项中，能使函数()y f x =有且仅有一个零点的是（ ）A ．1m =-，1n =B ．0m =，1n =C ．3m =，2n =D ．3m =，3n =-11．（2023·山东泰安·一模）已知函数()()()ln f x x x ax a =-ÎR 有两个极值点1x ，2x ()12x x <，则（ ）A ．102a <<B ．2112x a<<C ．21112x x a->-D ．()10<f x ，()212f x >-三、填空题12．（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为 ．13．（2023·湖南·模拟预测）已知函数()sin esin a xf x a x =-，对于任意12,x x ÎR ，都有()()12e 2f x f x -£-，则实数a 的取值范围为 .14．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()()()222e 22e 0x xf x a x a x a =--->恰有两个零点，则=a .四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()ln f x x ax bx =+-．(1)当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在2x =处取得极值ln 2，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2()e x f x a a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()4ln 2f x a ≥+．17．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21ln 12f x x x a x =+++，a ÎR ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a <-时，()21a f x +>．18．（2024·青海·模拟预测）已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有3个不同的零点，求m 的取值范围．19．（2023·全国·模拟预测）已知函数()e xf x ax b =+-，其中e 为自然对数的底数．(1)若()f x 在区间(]1,2上不是单调函数，求a 的取值范围．(2)当0x ≥时，()2112f x x b ≥+-恒成立，求a 的取值范围．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在()0,¥+上单调递减的是（ ）A ．()32xxf x -=+B ．()2222x xxxf x ---=+C ．()3f x x x=-D ．()(12log f x x =2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()32()log 2(0a f x x ax x a a =-+->且1)a ¹在区间(1,)+¥上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．20,3æùçúèûB ．2,13éö÷êëøC ．(1,2]D ．[2,)+¥3．（2024·甘肃兰州·三模）函数()21ln f x x ax x =-++-，若()f x 在0,12æöç÷èø是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,2]-¥B ．(,2)-¥C ．(,3]-¥D ．(3),-¥4．（2024·全国·模拟预测）已知 2.012.0111110312,ln ,1001011021001015a b c æöæö=++==+ç÷ç÷èøèø，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<b c aD ．<<c a b二、多选题5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()321f x x ax ax =+-+，则下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 为R 上的单调函数，则3a <-B ．若2a =时，()f x 在()1,1-上有最小值，无最大值C ．若()1f x -为奇函数，则0a =D ．当0a =时，()f x 在1x =处的切线方程为310x y --=6．（2024·云南曲靖·一模）下列不等式正确的是（ ）A ．πe e π>B ．1ln 0.99-<C ．15sin 15<D ．11sin 3π<三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知1a >，0b >，1c >，且e e ln a b a b --==a ，b ，c 的大小关系为 ．（用“<”连接）8．（2023·安徽·二模）若不等式2ln 23x ax a -£-对(0,)"Î+¥x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题9．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数()()321f x ax bx a =++ÎR ，当2x =时，()f x 取得极值3-．(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最值．10．（2024·陕西西安·三模）已知函数1()ln ()m f x mx x m x-=--ÎR ，函数1π()ln ,[0,cos 2g x x x q q =+Î在区间[1,)+¥上为增函数．(1)确定q 的值，求3m =时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设函数()()()h x f x g x =-在,()0x Î+¥上是单调函数，求实数m 的取值范围．11．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数()ln 1f x x mx =++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1m =时，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=①求证：12n n a -£；②求证：22223111(1)(1(1e na a a +++<L ．。
高考数学真题07 导数中的问题(教师版)
专题07 导数中的问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ) 曲线y ＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．1．答案 y ＝1e x y ＝－1e x 解析 因为y ＝ln|x|，当x ＞0时y ＝ln x ，设切点为(x 0，ln x 0)，由y ′＝1x，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0，所以切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过坐标原点，所以－ln x 0＝1x 0(－x 0)，解得x 0＝e ，所以切线方程为y －1＝1e (x －e)，即y ＝－1e x ；当x ＜0时y ＝ln(－x )，设切点为(x 1，ln(－x 1))，由y ′＝1x，所以y ′|x ＝x 1＝1x 1，所以切线方程为y －ln(－x 1)＝1x 1 (x －x 1)，又切线过坐标原点，所以－ln(－x 1)＝1x 1(－x 1)，解得x 0＝－e ，所以切线方程为y －1＝－1e (x ＋e)，即y ＝－1e x ；故答案为y ＝1e x ；y ＝－1ex ． 2．(2022·新高考Ⅱ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________．2．答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析 ∵y ＝(x ＋a )e x ，∴y ′＝(x ＋1＋a )e x ，设切点为(x 0，y 0),则y 0＝(x 0 ＋a )e x 0,切线斜率k ＝(x 0＋1＋a )e x 0，切线方程为y －(x 0＋a )e x 0＝(x 0＋1＋a )e x 0(x －x 0)．∵切线过原点，∴－(x 0＋a )e x 0＝(x 0＋1＋a )e x 0(－x 0)，整理得，x 02＋a x 0－a ＝0．∵切线有两条，∴△＝a 2＋4a >0,解得a <－4或a >0，∴a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)，故答案为(－∞，－4)∪(0，＋∞)．3．(2022·全国乙文)函数f (x )＝cos x ＋(x ＋1)sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为( )A ．－π2，π2B ．－3π2，π2C ．－π2，π2＋2D ．－3π2，π2＋2 3．答案 D 解析 f ′(x )＝－sin x ＋sin x ＋(x ＋1)cos x ＝(x ＋1)cos x ，所以f (x )在区间(0，π2)和(3π2，2π)上f ′(x )>0， 即f (x )单调递增；在区间(π2，3π2)上f ′(x )＜0，即f (x )单调递减，又f (0)＝f (2π)＝2，f (π2)＝π2＋2，f (3π2)＝－(3π2＋1)＋1＝－3π2，所以f (x )在区间[0，2π]上的最小值为－3π2，最大值为π2＋2．故选D ． 4．(2022·新高考Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－x ＋1，则( )A ．f (x )有两个极值点B ．f (x )有三个零点C ．点(0，1)是曲线y ＝f (x )的对称中心D ．直线y ＝2x 是曲线y ＝f (x )的切线4．答案 AC 解析 由题，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0得x ＞33或x ＜－33，令f ′(x )＜0得－33＜x ＜33， 所以f (x )在(－33，33)上单调递减，在(－∞，－33)，(33，＋∞)上单调递增，所以x ＝±33是极值点，故A 正确；因f (－33)＝1＋239>0，f (33)＝1－239>0，f (－2)＝－5＜0，所以，函数f (x )在(－∞，－33)上有一个零点，当x ≥33时，f (x )≥f (33)>0，即函数f (x )在(33，＋∞)上无零点，综上所述，函数f (x )有一个零点，故B 错误；令h (x )＝x 3－x ，该函数的定义域为R ，h (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－h (x )，则h (x )是奇函数，(0，0)是h (x )的对称中心，将h (x )的图象向上移动一个单位得到f (x )的图象，所以点(0，1)是曲线y ＝f (x )的对称中心，故C 正确；令f ′(x )＝3x 2－1＝2，可得x ＝±1，又f (1)＝f (－1)＝1，当切点为(1，1)时，切线方程为y ＝2x －1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y ＝2x ＋3，故D 错误．故选AC ．5．(2022·新高考Ⅱ) 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3，0)中心对称，则( ) A ．f (x )在区间(0，5π12)单调递减 B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12有两个极值点 C ．直线x ＝7π6是曲线y ＝f (x )的对称轴 D ．直线y ＝32－x 是曲线y ＝f (x )的切线 5．答案 AD 解析 由题意得，f (2π3)＝sin(4π3＋φ)＝0，所以4π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－4π3＋k π，k ∈Z ， 又0<φ<π，所以k ＝2时，φ＝2π3，故f (x )＝sin(2x ＋2π3)．对A ，当x ∈(0，5π12)时，2x ＋2π3∈(2π3，3π2)，由正弦函数y ＝sin u 图象知y ＝f (x )在(0，5π12)上是单调递减；对B ，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，11π12时，2x ＋2π3∈(π2，5π2)，由正弦函数y ＝sin u 图象知y ＝f (x )只有1个极值点，由2x ＋2π3＝3π2，解得，即x ＝5π12为函数的唯一极值点；对C ，当x ＝7π6时，2x ＋2π3＝3π，f (7π6)＝0，直线x ＝7π6不是对称轴；对D ，由y ′＝2cos(2x ＋2π3)＝－1，得cos(2x ＋2π3)＝－12，解得2x ＋2π3＝2π3＋2k π(k ∈Z )或2x ＋2π3＝4π3＋2k π(k ∈Z )，从而得，x ＝k π(k ∈Z )或x ＝π3＋k π(k ∈Z )，所以函数y ＝f (x )在点(0，32)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2cos 2π3＝－1，切线方程为y ＝32－x ．故选AD ． 6．(2022·全国乙理)已知x ＝x 1和x ＝x 2分别是函数f (x )＝2a x －ex 2(a >0且a ≠1)的极小值点和极大值点．若 x 1＜x 2，则a 的取值范围是____________．6．答案 (1e，1) 解析 f ′(x )＝2ln a a x －2ex ，因为x 1，x 2分别是函数f (x )＝2a x －ex 2的极小值点和极大值 点，所以函数f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上递减，在(x 1，x 2)上递增，所以当x ∈(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)时，f ′(x )＜0，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0，若a >1时，当x ＜0时，2ln a a x >0，2ex ＜0，则此时，f ′(x )>0，与前面矛盾，故a >1不符合题意，若0<a <1时，则方程2ln a a x －2ex ＝0的两个根为x 1，x 2，即方程ln a a x ＝ex 的两个根为x 1，x 2，即函数y ＝ln a a x 与函数y ＝e x 的图象有两个不同的交点，∵0<a <1，∴函数y ＝a x 的图象是单调递减的指数函数，又∵ln a <0，∴y ＝ln a a x 的图象由指数函数y ＝a x 向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|ln a |倍得到，如图所示：设过原点且与函数y ＝g (x )的图象相切的直线的切点为(x 0，ln a a x 0)，则切线的斜率为g ′(x )＝ln 2a a x 0，故切线方程为y －ln a a x 0＝ln 2a a x 0(x －x 0)，则有－ln a a x 0＝－x 0 ln 2a a x 0，解得x 0＝1 ln a ，则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数y ＝ln a a x 与函数y ＝e x 的图象有两个不同的交点，所以e ln 2a <e ，解得1e<a <e ，又0<a <1，所以1e <a <1，综上所述，a 的范围为(1e，1)． 7．(2022·新高考Ⅱ) 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A ．[18，814]B ．[274，814]C ．[274，643] D ．[18，27] 7．答案 C 解析 ∵ 球的体积为36π，所以球的半径R ＝3，设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则l 2＝2a 2＋h 2，32＝2a 2＋(3－h )2．所以6h ＝l 2，2a 2＝l 2－h 2，所以正四棱锥的体积V ＝13Sh ＝13×4a 2×h ＝23×(l 2－l 436)×l 26＝19(l 4－l 636)，所以V ′＝19(4l 3－l 56)＝19l 3 (24－l 26)，当3≤l ≤26时，V ′＞0，当26≤l ≤33时，V ′＜0，所以当l ＝26时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又l ＝3时，V ＝274，l ＝33时， V ＝814．所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是[274，643]．故选C ． 【知识总结】1．导数的几何意义(1)f ′(x 0)的几何意义：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y ＝f (x )上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f (x )的定义域；②求导函数f ′(x )；③由f ′(x )>0的解集确定函数f (x )的单调递增区间，由f ′(x )<0的解集确定函数f (x )的单调递减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f (x )在区间M 上单调递增，则f ′(x )≥0(x ∈M )恒成立；若可导函数f (x )在区间M 上单调递减，则f ′(x )≤0(x ∈M )恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集；③若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，则I 是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f ′(x )＝0；③判断f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0附近两侧的符号变化：若左正右负，则x 0为极大值点；若左负右正，则x 0为极小值点；若不变号，则x 0不是极值点．(2)求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值的一般步骤①求函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的极值；②比较函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【同类问题】题型一 曲线的切线方程1．(2021·全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． 1．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所 以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0．2．(2020·全国Ⅱ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋12．答案 B 解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率为k ＝f ′(1) ＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1．3．(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程 为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x3．答案 D 解析 法一 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0．因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ． 法二 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f (x )＝x 3＋x (经检验，f (x )为奇函数)，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法三 易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．4．(2020·全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．4．答案 2x －y ＝0 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，因为y ＝ln x ＋x ＋1，所以y ′＝1x＋1，所以切线的斜率 为1x 0＋1＝2，解得x 0＝1．所以y 0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．5．(2019·全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝05．答案 C 解析 设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1) 处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0．故选C ．6．(2021·新高考Ⅱ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a6．答案 D 解析 根据y ＝e x 图象特征，y ＝e x 是下凸函数，又过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线， 则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a ．故选D ．7．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)7．答案 C 解析 设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1 ＝2，∴x 20＝1，∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上，∴y 0＝x 30－x 0＋3，∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3．∴切点P 为(1，3)或(－1，3)．8．(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ， －1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．8．答案 (e ，1) 解析 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m )．又切线过点 (－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1．故点A 的坐标为(e ，1)． 9．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为 ．9．答案 (0，0) 解析 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0，∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)．10．过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________．10．答案 (1，＋∞) 解析 由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )，则切线方程的斜率k ＝0'|x x y =＝0e x a >0， ∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)，又P (1，e)在切线上，∴0e x a (2－x 0)＝e ，即e a＝0e x (2－x 0)有两个不同的解，令φ(x )＝e x (2－x )，∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ，又x →－∞时，φ(x )→0；x →＋∞时，φ(x )→－∞，∴0<e a<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 题型二 曲线的公切线方程11．(2020·全国Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x ＋12 C ．y ＝12x ＋1 D ．y ＝12x ＋1211．答案 D 解析 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①．设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0>0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程y ＝12x ＋12． 12．已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为 ．12．答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1 解析 设l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)，则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ，∴f ′(x 1)＝1e x ，∴切点为(x 1，1e x )，切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即y ＝1e x ·x －11e x x ＋1e x，①，同理设l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②，由题意知，①与②相同，∴111122121e e , e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⇒=⎪⎨⎪-+=+⎩③④把③代入④有－11e x x ＋1e x ＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x －1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1．13．若直线l 与曲线y ＝e x 及y ＝－14x 2都相切，则直线l 的方程为________．13．答案 y ＝x ＋1 解析 设直线l 与曲线y ＝e x 的切点为(x 0，0x e )，直线l 与曲线y ＝－14x 2的切点为 ⎝⎛⎭⎫x 1，－x 214，因为y ＝e x 在点(x 0，0x e )处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝0x e ，y ＝－x 24在点⎝⎛⎭⎫x 1，－x 214处的切线的斜率为y ′|x ＝x 1＝⎝⎛⎭⎫－x 2|x ＝x 1＝－x 12，则直线l 的方程可表示为y ＝0x e x －x 0e 0x e ＋0x e 或y ＝－12x 1x ＋14x 21，所以⎩⎨⎧ 0x e ＝－x 12，－x 00x e ＋0x e ＝x 214，所以0x e ＝1－x 0，解得x 0＝0，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1．14．曲线C 1：y ＝ln x ＋x 与曲线C 2：y ＝x 2有________条公切线．14．答案 1 解析 由y ＝ln x ＋x 得y ′＝1x＋1，设点(x 1，ln x 1＋x 1)是曲线C 1上任一点，∴曲线C 1在点(x 1， ln x 1＋x 1)处的切线方程为y －(ln x 1＋x 1)＝⎝⎛⎭⎫1x 1＋1(x －x 1)，即y ＝⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x ＋ln x 1－1．同理可得曲线C 2在点(x 2，x 22)处的切线方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)，即y ＝2x 2x －x 22．依题意知两切线重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1x 1＋1＝2x 2，ln x 1－1＝－x 22，消去x 2得1x 21＋2x 1＋4ln x 1－3＝0，①，令f (x )＝1x 2＋2x ＋4ln x －3(x >0)，则f ′(x )＝－2x 3－2x 2＋4x ＝4x 2－2x －2x 3＝2(2x ＋1)(x －1)x 3，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴f (x )只有一个零点．即方程①只有一个解，故曲线C 1与C 2只有1条公切线．15．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ ．15．答案 8 解析 方法一 因为y ＝x ＋ln x ，所以y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2．所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1) 处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1．因为y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，所以a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0．由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8．方法二 同方法一得切线方程为y ＝2x －1．设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．因为y ′＝2ax ＋(a ＋2)，所以0|x x y '＝＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8. 16．(2016·课标全国Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝e x 的切线，则b ＝________．16．答案 0或1 解析 设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2的切点为(x 1，y 1)，与曲线y ＝e x 的切点为(x 2，y 2)，y ＝ln x ＋2的导数为y ′＝1x ，y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，可得k ＝e x 2＝1x 1．又由k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝e x 2－ln x 1－2x 2－x 1，消去x 2，可得(1＋ln x 1)·(x 1－1)＝0，则x 1＝1e 或x 1＝1，则直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2的切点为⎝⎛⎭⎫1e ，1或(1,2)，与曲线y ＝e x 的切点为(1，e)或(0，1)，所以k ＝e －11－1e＝e 或k ＝1－20－1＝1，则切线方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1，可得b ＝0或1．17．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．17．答案 1－ln 2 解析 y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)．y ＝ln(x ＋1)的切线为 y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2)．∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln2． 18．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1，0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( )A ．0B ．－1C ．3D ．－1或318．答案 D 解析 由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1，0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g x ＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3，所以a ＝－1或a ＝3．19．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为________．19．答案 ⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞ 解析 由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ，由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)，与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e 2x x +，记f (x )＝12e 2x x +，则f ′(x )＝122e (2)4x x x +-，当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当x ＝2时，f (x )min ＝e 24．∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞． 20．已知曲线f (x )＝ln x ＋1与g (x )＝x 2－x ＋a 有公共切线，则实数a 的取值范围为 ．20．答案 8 解析 设切线与f (x )＝ln x ＋1相切于点P (x 0，ln x 0＋1)，f ′(x 0)＝1x 0，∴切线方程为y －(ln x 0＋ 1)＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x 0x ＋ln x 0，y ＝x 2－x ＋a ，得x 2－⎝⎛⎭⎫1＋1x 0x ＋a －ln x 0＝0，∴Δ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 02－4(a －ln x 0)＝0，即1x 20＋2x 0＋1－4a ＋4ln x 0＝0，即4a ＝1x 20＋2x 0＋1＋4ln x 0有解，令φ(x )＝1x 2＋2x＋1＋4ln x (x >0)，φ′(x )＝－2x 3－2x 2＋4x ＝4x 2－2x －2x 3＝2(2x ＋1)(x －1)x 3，当x ∈(0，1)时，φ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝4，又x →＋∞时，φ(x )→＋∞，故φ(x )的值域为[4，＋∞)，所以4a ≥4，即a ≥1，故实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 题型三 函数的性质21．设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) 21．答案 B 解析 由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x －1)ln x ＋2(x 2－x )·1x－2x ＋2＝(4x － 2)ln x ．由f ′(x )＜0可得(4x －2)ln x ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x －2＞0，ln x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2＜0，ln x ＞0，解得12＜x ＜1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，1，选B ．22．已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为 ．22．答案 ⎝⎛⎭⎫0，π6，⎝⎛⎭⎫5π6，π 解析 f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)．令f ′(x )＝0，得x ＝π6或x ＝5π6，当0<x <π6时，f ′(x )>0，当π6<x <5π6时，f ′(x )<0，当5π6<x <π时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6和⎝⎛⎭⎫5π6，π上单调递增，在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上单调递减．23．函数f (x )＝2|sin x |＋cos2x 在[－π2，π2]上的单调递增区间为( ) A ．[－π2，－π6]和[0，π6] B ．[－π6，0]和[π6，π2] C ．[－π2，－π6]和[π6，π2] D ．[－π6，π6] 23．答案 A 解析 由题意，因为f (－x )＝2|sin(－x )|＋cos(－2x )＝2|sin x |＋cos2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数，当0≤x ≤π2时，f (x )＝2sin x ＋cos2x ，则f ′(x )＝2cos x －2sin2x ，令f ′(x )≥0，得sin x ≤12，所以0≤x ≤π6，由f (x )为偶函数，可得当－π6≤x ≤0时，f (x )单调递减，则在[－π2，－π6]上单调递增，故选A ． 24．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点24．答案 D 解析 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2(x ＞0)，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以x ＝2为f (x )的极小值点．25．已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e，则f (x )的极大值点为( )A ．1eB ．1C ．eD ．2e 25．答案 D 解析 f ′(x )＝2e f ′(e)x －1e ，故f ′(e)＝1e ，故f (x )＝2ln x －x e ，令f ′(x )＝2x －1e>0，解得0<x <2e ，令 f ′(x )<0，解得x >2e ，故f (x )在(0，2e)上递增，在(2e ，＋∞)上递减，∴x ＝2e 时，f (x )取得极大值2ln 2，则f (x )的极大值点为2e ．26．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．126．答案 A 解析 f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1．∵x ＝－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即(4－2a －4＋a －1)e －3＝0，得a ＝－1．∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1．由f ′(x )＞0，得x ＜－2或x ＞1；由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜1．∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值点为1，∴f (x )的极小值为f (1)＝－1．27．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( ) A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增 B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值1227．答案 ABC 解析 由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，即[xf (x )]′＝ln x x ，设g (x )＝xf (x )， 即g ′(x )＝ln x x，由g ′(x )＞0得x ＞1，由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12．故选ABC ． 28．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为2 28．答案 ABC 解析 由f (x )＝0，得x 2＋x －1＝0，∴x ＝－1±52，故A 正确．f ′(x )＝－x 2－x －2e x ＝ －(x ＋1)(x －2)e x，当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1，2)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，∴f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，故B 正确．又f (－1)＝－e ，f (2)＝5e2，且当x →－∞时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→0，∴f (x )的图象如图所示，由图知C 正确，D 不正确．29．已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是________．29．答案 －332解析 ∵f (x )的最小正周期T ＝2π，∴求f (x )的最小值相当于求f (x )在[0，2π]上的最小 值．f ′(x )＝2cos x ＋2cos2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1)＝4cos 2x ＋2cos x －2＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)．令f ′(x )＝0，解得cos x ＝12或cos x ＝－1，x ∈[0，2π]．∴由cos x ＝－1，得x ＝π；由cos x ＝12，得x ＝53π或x ＝π3．∵函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，f (π)＝2sinπ＋sin2π＝0，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＋sin 2π3＝332，f ⎝⎛⎭⎫53π＝－332，f (0)＝0，f (2π)＝0，∴f (x )的最小值为－332． 30．(多选)设函数f (x )＝x ＋e |x |e|x |，则下列选项正确的是( ) A ．f (x )为奇函数 B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1D ．f (x )的最小值为－1e＋1 30．答案 BCD 解析 f (x )＝x e |x |＋1，不满足f (－x )＝－f (x )，故A 项错误；令g (x )＝x e |x |，则g (－x )＝－x e|－x |＝ －x e |x |＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，则f (x )关于点(0，1)对称，B 项正确；设f (x )＝x e|x |＋1的最大值为M ，则g (x )的最大值为M －1，设f (x )＝x e|x |＋1的最小值为N ，则g (x )的最小值为N －1，当x ＞0时，g (x )＝x e x ，所以g ′(x )＝1－x ex ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0，所以当0＜x ＜1时，g (x )单调递增，当x ＞1时，g (x )单调递减，所以g (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为g (1)＝1e，由于g (x )为奇函数，所以g (x )在x ＝－1处取得最小值，最小值为g (－1)＝－1e ，所以f (x )的最大值为M ＝1e＋1，最小值为N ＝－1e＋1，故C 、D 项正确．故选B 、C 、D ．。
2025届新疆克拉玛依市高级中学高考数学必刷试卷含解析
2025届新疆克拉玛依市高级中学高考数学必刷试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-2．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =，则12PF PF +=（ ） A ．4B ．8C ．42D ．473．已知函数()(1)xf x x a e =--，若22log ,a b c ==则（ ）A ．f (a )<f (b ) <f (c )B ．f (b ) <f (c ) <f (a )C ．f (a ) <f (c ) <f (b )D ．f (c ) <f (b ) <f (a )4．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．835．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤7．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-8．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．859．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．10．己知46a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>11．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln 2D ．2ln 212．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省天一中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学(强化班)试题
江苏省无锡市锡山区天一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试卷（强化班）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2} 2．下列各式中，表示y是x的函数的有（）①y＝x﹣（x﹣3）；②；③；④．A．4个B．3个C．2个D．1个3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题不正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若a，b∈R，则C．若a＞b＞0且c＞0，则D．若a＜b，则ac2＜bc24．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥5B．a≥4C．a≤5D．a≥65．函数f（x）＝﹣2x+的图象大致是（）A．B．C．D．6．函数的递减区间是（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）和（0，1）C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）、g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，0）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列叙述中正确的是（）A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“a＞1”是“”的充分不必要条件10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a可能的取值为（）A．0B．1C．D．﹣111．已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（）A．B．的最大值为C．a+2b的最大值为2D．12．已知定义在[1，+∞）上的函数，下列结论正确的为（）A．函数f（x）的值域为[0，+∞）B．当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4C．函数f（x）在x∈[10，16]上单调递减D．f（2021）＝54三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则当x＜0时，f（x）＝．14．已知命题p：∃x0∈[]，2x02﹣λx0+1＜0，则命题p的否定为；若命题p为真命题，则λ的取值范围为．15．已知函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则不等式的解集为．16．已知非负实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣5）＜0}，非空集合B＝{x|1﹣2a2≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）当a＝1时，求（∁R A）∩∁R B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求a的取值范围，（请在“①充分；②必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）18．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝2，f（x+2）﹣f（x）＝2x+4．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[m，m+1]，其中m∈R，求f（x）的最小值．19．已知定义域为R的函数f（x）＝x3+x+a是奇函数．（1）求a的值；（2）证明：函数f（x）在R上是增函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图（如图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式．（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？21．已知函数，其中a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的值域；（2）函数y＝f（x）能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；（3）f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．22．对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），存在实数x0，使f（x0）＝mx0，成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．（1）当a＝1，b＝﹣2时，求f（x）关于参数1的不动点；（2）当a＝1，b＝2时，函数f（x）在x∈（0，2]上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；（3）对于任意的，总存在b∈[2，5]，使得函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，试求m的取值范围．江苏省无锡市锡山区天一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试卷（强化班）【参考答案】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}【分析】利用不等式的解法化简集合A，求出∁R B，可得图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A【解答】解：A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，∁R B＝{x|x≥1}则图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A＝{x|1≤x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2．下列各式中，表示y是x的函数的有（）①y＝x﹣（x﹣3）；②；③；④．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据函数的定义即可判断．【解答】解：根据函数的定义，当自变量x在它的允许取值范围内任意取一个值，y都有唯一确定的值与之对应，故①④表示y是x的函数，在②中由，知x∈∅，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y是x的函数，在③中，当x＝0时，y对应的两个值，故不表示y是x的函数，，故选：C．【点评】本题主要考查函数的定义及其构成要素，准确理解函数的概念，是解题的关键．3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题不正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若a，b∈R，则C．若a＞b＞0且c＞0，则D．若a＜b，则ac2＜bc2【分析】直接利用不等式的性质判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：由于a＞b＞0，所以，故A正确；对于B：根据基本不等式，，故B正确；对于C：若a＞b＞0且c＞0，则，故C正确；对于D：当c＝0时，不等式不成立．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥5B．a≥4C．a≤5D．a≥6【分析】首先求得实数a的取值范围，然后结合选项确定满足题意的条件即可．【解答】解：由于函数在区间[1，2]上单调递减，故函数在区间上的最大值为，从而，据此可得命题为真的一个充分不必要有条件为a≥6．故选：D．【点评】本题主要考查函数的单调性及其应用，恒成立问题的处理方法，充分不必要条件的判定等知识，属于基础题．5．函数f（x）＝﹣2x+的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由函数解析式易知x＜0时，f（x）＞0，且f（2）＜0，由此利用排除法得解．【解答】解：当x＜0时，，故排除选项BD；又，故排除选项A．故选：C．【点评】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．6．函数的递减区间是（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）和（0，1）C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）【分析】分x≥0和x＜0两种情况，利用复合函数单调性的判断法则求解即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝，由﹣x2+1≥0，解得﹣1≤x≤1，又t＝﹣x2+1的单调递减区间为（0，+∞），且y＝为单调递增函数，所以f（x）的单调递减区间为（0，1）；当x＜0时，f（x）＝，因为t＝（x+1）2的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），且y＝为单调递增函数，所以f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）．综上所述，f（x）的单调递减区间为（0，1）和（﹣∞，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了复合函数单调性的判断，含有绝对值函数的应用，二次函数以及幂函数单调性的应用，属于中档题．7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】依题意，可求得集合A＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），B＝（，），要使A∩B中恰好有两个整数解，分析可知，只能是3和4，再列式求解即可．【解答】解：A＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，由题意，Δ＝9a2﹣16＞0，且a＞0，∴解得a＞，B＝（，），又0＜＝＜2，∴要使A∩B中恰好有两个整数解，则只能是3和4，令f（x）＝x2﹣3ax+4，则，解得＜a≤，∴a的取值范围是（，]．故选：C．【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查一元二次方程和一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．8．已知函数f（x）、g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，0）【分析】由已知结合函数的奇偶性可求g（x），由函数的单调性定义分析可得＞0，令h（x）＝g（x）+4x，则h（x）＝g（x）+4x在（1，2）上单调递增，而h（x）＝g（x）+4x＝ax2+4x+2，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，则f（﹣x）+g（﹣x）＝ax2+x+2，两式相加可得f（x）+f（﹣x）+g（x）+g（﹣x）＝2ax2+4，又由f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，所以2g（x）＝2ax2+4，即g（x）＝ax2+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，变形可得＞0，令h（x）＝g（x）+4x，则h（x）＝g（x）+4x在（1，2）上单调递增，所以h（x）＝g（x）+4x＝ax2+4x+2，若a＝0，则h（x）＝4x+2在（1，2）上单调递增，满足题意；若a≠0，则h（x）＝ax2+4x+2是对称轴为x＝﹣的二次函数，若h（x）在（1，2）上单调递增，只需或，解得a＞0或﹣1≤a＜0，综上，a≥﹣1．即a的取值范围为[﹣1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算，关键是求出g（x）的解析式．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列叙述中正确的是（）A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“a＞1”是“”的充分不必要条件【分析】利用一元二次方程的根与判别式之间的关系可判断A的正误，利用充分条件、必要条件及充要条件的概念可判断BCD的正误．【解答】解：对于A，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则Δ＝b2﹣4ac＜0⇔ac＞b2≥0，故A正确；对于B，若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R，则a＝b＝0，c≥0或a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0，故“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充分不必要条件，故B错误；对于C，若方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根，则a＜0，故“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件，故C错误；对于D，若a＞1，则，反之，不可，则“a＞1”是“”的充分不必要条件，故D正确，故选：AD．【点评】本题考查充分条件、必要条件及充要条件的概念，考查一元二次不等式及其应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题．10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a可能的取值为（）A．0B．1C．D．﹣1【分析】根据新定义对a的值分类讨论，当a＝0或a＝﹣1时，集合B＝∅，此时满足B⊆A，则集合A，B构成“鲸吞”，当a＞0时，B＝{﹣}，此时集合A，B只能构成“蚕食”，然后讨论集合A，B的公共元素，进而可以求解．【解答】解：当a＝0或a＝﹣1时，集合B＝∅，此时满足B⊆A，则集合A，B构成“鲸吞”，当a＞0时，B＝{﹣}，此时集合A，B只能构成“蚕食”，所以当A，B集合有公共元素﹣＝﹣1时，解得a＝2，当A，B集合的公共元素为时，解得a＝，故选：ACD．【点评】本题考查了新定义的应用以及集合元素的性质，涉及到集合的包含关系的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．11．已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（）A．B．的最大值为C．a+2b的最大值为2D．【分析】利用基本不等式可判断A、B的正误；将a＝1﹣b2＞0，代入a+2b，利用配方法可判断C的正误；利用乘“1”法可判断D的正误．【解答】解：对于A，∵a，b＞0，a+b2＝1，∴+b≤＝（当且仅当a＝b2＝，即a＝，b＝时取等号），故A错误；对于B，1＝a+b2≥2b⇒b≤（当且仅当a＝b2＝，即a＝，b＝时取等号），即的最大值为，故B正确；对于C，∵a，b＞0，a+b2＝1，∴a＝1﹣b2＞0，∴0＜b＜1，∴a+2b＝1﹣b2+2b＝﹣（b﹣1）2+2＜2，故C错误；对于D，＝（）（a+b2）＝1+4++≥5+2＝9（当且仅当＝，即2a＝b2，即a＝，b＝时取等号），故D正确；故选：BD．【点评】本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．12．已知定义在[1，+∞）上的函数，下列结论正确的为（）A．函数f（x）的值域为[0，+∞）B．当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4C．函数f（x）在x∈[10，16]上单调递减D．f（2021）＝54【分析】通过对函数f（x）的分析，可以得到函数f（x）的图象，进而求出函数f（x）的值域，以及BCD三个选项的正确与否．【解答】解：当1≤x≤2时，﹣≤x﹣≤，所以0≤|x﹣|，0≤2|x﹣|≤1，当2＜x≤4时，1＜≤2，故f（）∈[0，1]，2f（）＝[0，2]，以此类推，我们作出函数f（x）的图象，如图，可以总结出f（x）在[2m，3×2m﹣1）上单调递增，在（3x2m﹣1，2m﹣1]上单调递减，且在[2m，2m+1]上，当x＝3×2m﹣1处取得最大值，f（3×2m﹣1）＝2m，函数f（x）的值域为[0，+∞），A正确；当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4，B正确；函数f（x）在x∈[10，12]上单调递增，在x∈（12，16]单调递减，故C错误；因为2021∈（3×29，211]，所以l经过点（2048，0）与（1536，1024），设直线：y＝kx+b，从而得到，解得：y＝﹣2x+4096，所以当x＝2021时，y＝﹣2×2021+4096＝54，D正确．故选：ABD．【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则当x＜0时，f（x）＝x ﹣．【分析】由奇函数的定义和已知区间上的解析式，转化可得所求解析式．【解答】解：函数f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），当x＞0时，，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x+＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x﹣．故答案为：x﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．14．已知命题p：∃x0∈[]，2x02﹣λx0+1＜0，则命题p的否定为∀x∈[，2]，2x2﹣λx+1≥0；若命题p为真命题，则λ的取值范围为．【分析】命题的否定，存在改为任意．【解答】解：命题P的否定为∀x∈[]，2x2﹣λx+1≥0．因为命题P为真，分离参量得λ＞2x0+，其中，故答案为：．【点评】本题考查了存在量词和全称量词的转换，也考查了存在性问题含参不等式的求解，考查基本功，难度不大．15．已知函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则不等式的解集为（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．【分析】根据函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，可得函数值正负的分布情况，等价于或，从而可得出答案．【解答】解：因为函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，则函数y＝f（x+1）关于y轴对称，又函数y＝f（x）是由函数y＝f（x+1）向右平移1个单位得到的，所以函数y＝f（x）关于x＝1对称，因为函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，且f（﹣3）＝0，所以当1≤x＜5时，f（x）＞0，当x＞5时，f（x）＜0，当﹣3＜x＜1时，f（x）＞0，当x＜﹣3时，f（x）＜0，由，得或，所以或，解得x＞5或﹣3＜x＜﹣2，即不等式的解集为（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．16．已知非负实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为6．【分析】根据，利用基本不等式即可得出答案，注意同时取等号．【解答】解：因为a+b＝2，所以＝＝．当且仅当，即a＝0，b＝2时取等号，所以的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查基本不等式求最值的方法，属于基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣5）＜0}，非空集合B＝{x|1﹣2a2≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）当a＝1时，求（∁R A）∩∁R B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求a的取值范围，（请在“①充分；②必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）【分析】（1）a＝1时，求出集合B，由此能求出（∁R A）∩∁R B）；（2）选①可得，由此能求出实数a的取值范围；选②可得，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，B＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x（x﹣5）＜0}＝{x|0＜x＜5}，∴∁R A＝{x|x≤0或x≥5}，∁R B＝{x|x＜﹣1或x＞3}，∴（∁R A）∩∁R B）＝{x|x＜﹣1或x≥5}；（2）若选①充分，∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴，解得a≥2，故a的取值范围为{a|a≥2}；若选②必要，∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴，解得0≤a＜，故a的取值范围为{a|0≤a＜}．【点评】本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝2，f（x+2）﹣f（x）＝2x+4．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[m，m+1]，其中m∈R，求f（x）的最小值．【分析】（1）设f（x）的解析式，得到关于a，b的方程，解出即可求出f（x）的解析式；（2）通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c，由f（0）＝2，则c＝2，又f（x+2）﹣f（x）＝2x+4，则a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）＝2x+4，则4ax+4a+2b＝2x+4，则，解得：，故f（x）＝x2+x+2；（2）由f（x）＝x2+x+2，对称轴是x＝﹣1，①m+1≤﹣1即m≤﹣2时，f（x）在[m，m+1]递减，f（x）min＝f（m+1）＝m2+2m+，②m＜﹣1＜m+1即﹣2＜m＜﹣1时，f（x）在[m，﹣1）递减，在（﹣1，m+1]递增，故f（x）min＝f（﹣1）＝；③m≥﹣1时，f（x）在[m，m+1]递增，f（x）min＝f（m）＝m2+m+2；综上：f（x）min＝．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查二次函数的性质，是中档题．19．已知定义域为R的函数f（x）＝x3+x+a是奇函数．（1）求a的值；（2）证明：函数f（x）在R上是增函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）利用奇函数的定义可求a的值；（2）根据函数单调性的定义可证明函数f（x）在R上是增函数；（3）根据函数的奇偶性和单调性可得关于x的不等式，根据判断式的符号可求实数的取值范围．【解答】（1）解：因为f（x）为奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x）即f（x）+f（﹣x）＝0，所以x3+x+a+（﹣x）3+（﹣x）+a＝0，可得a＝0．（2）证明：任意x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x13+x1+a﹣（x23+x2+a）＝x13﹣x23+x1﹣x2＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22+1）＝（x1﹣x2）[（x1+x2）2+x22+1]，因为x1＜x2，故x1﹣x2＜0，而[（x1+x2）2+x22+1＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数．（3）不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0等价于f（kt2+kt）＜﹣f（kt﹣1），因为f（x）为奇函数，故f（kt2+kt）＜f（﹣kt+1）对任意的t∈R恒成立，因为f（x）在R上是增函数，所以kt2+kt＜﹣kt+1对任意的t∈R恒成立，即kt2+2kt﹣1＜0对任意的t∈R恒成立，若k＝0，则不等式﹣1＜0对任意的t∈R恒成立，故符合；若k≠0，则，解得﹣1＜k＜0，综上，﹣1＜k≤0，即实数k的取值范围（﹣1，0]．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．20．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图（如图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式．（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？【分析】（1）设DQ＝y，则x2+4xy＝200，所以y＝，代入S＝4 200x2+210×4xy+80×4×y2，化简即可得到结果．（2）利用基本不等式即可求出S的最小值．【解答】解：（1）设DQ＝y，则x2+4xy＝200，所以y＝，∴S＝4 200x2+210×4xy+80×4×y2＝38 000+4 000x2+，即S＝38 000+4 000x2+（0＜x＜10）．（2）S＝38 000+4 000x2+≥38 000+2＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即x＝时，S min＝118 000（元）．故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，是中档题．21．已知函数，其中a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的值域；（2）函数y＝f（x）能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；（3）f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，求得函数解析式，分别求得各段函数的值域，从而求得函数值域；（2）对a分类讨论，根据x∈（1，2]段函数单调性判断原函数单调性，从而求得参数范围；（3）由f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，分离参数化为恒成立，分别求得分段函数上的最大值，从而求得的范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，则x∈（0，1）时，f（x）∈[1，3]；当x∈（1，2]时，f（x）∈[，1），则f（x）的值域为[，3]，（2）若函数y＝f（x）在定义域上单调，当a＞0时，因在x∈（1，2]上函数单减，则y＝f（x）单调递减，则满足，解得a≥1，当a＝0时，函数无单调性，不符合题意，当a＜0时，因在x∈（1，2]上函数单增，则y＝f（x）单调递增，则满足，解得a≤﹣2，综上所述，若使函数y＝f（x）为定义域上的单调函数，实数a的范围为（﹣∞，2]∪[1，+∞），（3）由f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，即f（x）＝，化简得恒成立，当x∈[0，1]时，由＝＝3﹣x+﹣6，令t＝3﹣x∈[2，3]，h（t）＝t+﹣6，由对勾函数单调性知，函数h（t）在t＝2时，取最大值h（2）＝﹣，则a，当x∈（1，2]时，满足，即a≥﹣2，综上所述，f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，实数a的取值范围为[﹣．+∞）．【点评】本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．22．对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），存在实数x0，使f（x0）＝mx0，成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．（1）当a＝1，b＝﹣2时，求f（x）关于参数1的不动点；（2）当a＝1，b＝2时，函数f（x）在x∈（0，2]上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；（3）对于任意的，总存在b∈[2，5]，使得函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，试求m的取值范围．【分析】（1）当a＝1，b＝−2时，结合已知可得f（x）＝x2−x−3＝x，解方程可求；（2）当a＝1，b＝﹣2时，转化为问题f（x）＝x2+3x+1＝mx在（0，2]上有两个不同实数解，进行分离，结合二次函数的性质可求．（3）方程f（x）＝mx恒有两个不等实根，即Δ＞0，即对于任意的，总存在b∈[2，5]使之成立，转化为，令，再分类讨论即可求解．【解答】解：（1）当a＝1，b＝−2时，f（x）＝x2−x−3，令f（x）＝x，可得x2−x−3＝x，即x2−2x−3＝0，解得x＝3 或x＝−1，当a＝1，b＝−2 时，关于参数1的不动点为﹣1和3；（2）由已知得为问题f（x）＝x2+3x+1＝mx在（0，2]上有两个不同实数解，即x2+（3−m）x+1＝0在x∈（0，2]上有两个不同解，令g（x）＝x2+（3−m）x+1，所以，解得，所以m的范围是（5，]．（3）由题意知，函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，所以方程f（x）＝mx，即ax2+（b+1−m）x+b−1＝0（a≠0）恒有两个不等实根，则Δ＝（b+1−m）2−4a（b−1）＞0，即，对任意的，总存在b∈[2，5]使之成立，即，即，令，根据二次函数性质，令，则b−1＝|m−2|，解得：b＝|m−2|+1，①当|m−2|+1≤2，即1≤m≤3 时，函数h（b）在[2，5]单调递增，则，解得：m＜1或m＞5，综上：m≤−2或m≥6，②当2＜|m−2|+1＜5，即m≤−2 或m≥6时，函数h（b）在[2，5]单调递减，则解得：m＜1或m＞5，综上：m≤−2或m≥6③2＜|m−2|+1＜5，即m∈（−2，1）∪（3，6）时，函数h（b）在[2，5]先减后增，h（b）max＝max{h（5），h（2）}，令h（5）＞h（2），解得：m∈（−4，0），1°故m∈（−2，0）时，h（b）max＝h（5）＞4，结合①得：m∈[0，1）∪（5，6），2°故m∈[0，1）∪（3，6）时，h（b）max＝h（2）＞4，结合②得：m∈[0，1）∪（5，6），综上：m∈（−∞，2）∪（5，+∞）．【点评】本题考查函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于难题．21。
高中数学必修第一册 《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练(学生版+解析版)
高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练一、单选题l. (2022·四川绵阳·高一期末〉下列结论正确的是（〉A.若的b，则。
c>bc c.若。
＞b，则。
＋c>b+cl I B.若α＞b，则－〉－a D D.着。
＞b，则。
2> b22.(2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末〉已知α＜b<O，则（〉A.a2 <abB.ab<b2C.a1 <b1D.a2 >b i3.(2022·陕西汉中·高一期末〉若关于工的不等式，咐2+2x+m>O的解集是R，则m的取值范围是（〉A.(I, +oo)B.(0, I〕C.( -J, I)D.(J, +oo)4.(2022·广东珠海高一期末〉不等式。
＋l)(x+3)<0的解集是（〉A.RB.②c.｛对－3<x<-I} D.{xi x<-3，或x>-l}5. (2022·四川甘孜·高一期末〉若不等式似2+bx-2<0的解集为｛xl-2<x<I｝，则。
÷b=( )A.-2B.OC.ID.26. (2022·湖北黄石·商一期末〉若关于X的不等式x2-ax’＋7＞。
在（2,7）上有实数解，则α的取值范围是（〉A.（唱，8)B.（叫8] c.（叫2./7) D.（斗）7.(2022·新疆乌市一中高一期末〉已知y=(x-m)(x-n)+2022(n> m），且α，β（α〈别是方程y=O的两实数根，则α，β，111,n的大小关系是（〉A.α＜m<n＜βC.m＜α〈β＜nB.m＜α＜n＜βD.α＜m＜β＜n8.(2022·浙江·杭州四中高一期末〉已失11函数y＝κ－4+...2....(x>-1），当x=a时，y取得最小值b，则。
广东省佛山市禅城区2022-2023学年高三上学期统一调研测试(一) 数学试题含答案
禅城区2023届高三统一调研测试（一）数 学注意事项:1．答卷前,考生要务必填涂答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}065|2<−−=x x x A ，则A =R （）A ．{}|16x x −<<B ．{}|23x x <<C ．{}|23x x x ≤≥或D ．{}|16x x x ≤−≥或2.已知复数z 满足(2i)(2i)5z +−=，则=z （ ）A ．3B ．2C ．5D ．63．设函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数4.已知ABC △中，2AB =，3AC =，60A ∠=，且13BM BC = ，AN NB = ，则AC NM ⋅=（）A ．25B ．27C ．8 D ．95. 己知函数2()12xxf x =+，则对任意实数x ，有（ ）A . ()()1f x f x −+=B . ()()0f x f x −−=C . ()()0f x f xD . ()()1f x f x −−=− 6. 若{}n a 是等差数列，且2a ，2022a 是方程2430x x −+=的两个根，则32202312222a a a a ××××= （ ）A ．4046B ．4044C ．40462D ．404427. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα°<<°，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（ ） ABCD8. 已知一组数据4321,,,x x x x 的平均数是3，方差是2，则由1，521−x ，522−x ，523−x ，524−x 这5个数据组成的新的一组数据的方差是（ ）A ．4B ．6C ．532 D ．536二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9. 已知函数()()11,02ln ,0x x f x x x − ≥ = −< ，则（ ）A ．12log 54f=B ．()f x 在1x =−处的切线是1y x =−− C ．()f x 在R 上单调递减 D ．当2a ≤时，函数()y f x x a =−−有两个零点10. 若224a b +=，a ∈R ,b ∈R ,且0ab ≠，则（ ）A ．2ab >B ．a b +≤C ．22log log 1a b +≤D ．111a b+<11. 九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为31，且每人选择相互独立，则（ ） A ．三人选择社团一样的概率为91 B ．三人选择社团各不相同的概率为98C ．至少有两人选择篮球社的概率为277D ．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为7512．“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96， ，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10， ，则下列说法中正确的是( )A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9732410×+ C ．“提丢斯数列”的前31项和为30321211010×+ D ．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13．首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N (100，102)，若测量10000株水稻，株高在(110,120)的约有__株．(若X ～()2,N µσ, ()0.6826P X µσµσ−<<+=, ()220.9544P X µσµσ−<<+=) 14. 已知函数()f x 的最小正周期为π，且在()64ππ，上单调递减，则()f x = ____．（写出符合条件的一个答案即可）15．已知数列{}n a 满足(12122n n a a a a n −+++−=− 且)*N n ∈，且24a =，则n a =___________. 16. 设110a =，111e 1b =−，1111ln 1010c =，则a ，b ，c 的大小关系是________.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.( 10分) 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin B a B +．（1）求角A 的大小； （2）若a =3sin 2sin B C =，求ABC △的面积．18．( 12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，满足112b a ==，22b a =，34b a =．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）记数列n n a b的前n 项和为n T ．若m 表示不大于m的正整数的个数，求1210+++ ．19．( 12分)已知函数()32227f x x ax a x =−+−, a ∈R . （1）若1x =是()f x 的极大值点，求a 的值；（2）若过点()0,1A 可以作曲线()f x 的三条切线，求a 的取值范围.20．( 12分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2π3A =．（1）若6a =，ABC △的面积为D 为边BC 的中点，求AD 的长度；（2）若E 为边BC 上一点，且AE =:2:BE EC c b =，求2b c +的最小值．21．( 12分) 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该市A 县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A 县参加市赛．已知A 县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为54，通过初赛后再通过决赛的概率依次为85，125，165，假设他们之间通过与否互不影响． （1）求这3人中至少有1人通过初赛的概率； （2）设这3人中参加市赛的人数为ξ，求ξ的分布列；（3）某品牌商赞助了A 县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：方案1：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为32，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖1000元； 方案2：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖600元，进入了市赛的选手奖1200元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．22．( 12分) 设()()1ln f x a x x =−. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当1x ≥时，()1ex x f x −−≥恒成立，求a 的取值范围.禅城区2023届高三统一调研测试（一） 数学参考答案一、选择题: 1-4. DCBB 5-8. ACAC 二、选择题: 9.BD 10.BC11.ACD12.BCD三、填空题: 13. 1359； 14.()sin f x x =−；()cos f x x =；()cos 2f x x =；()()sin 2f x A x ϕ=+,其0A >，6ϕπ≤≤π. 其它符合条件的答案均可；15．2n n a =； 16.b a c <<.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（1）由正弦定理可知::sin :sin :sin a b c A B C =，cos sin sin C A B A B +，……………………………………………………2分()cos sin C A B A B A B =+=， …………………………3分sin sin sin A B A B =， ………………………………………………………………4分(),0,πA B ∈ ，sin 0B ∴≠，tan A ∴，即π3A =. ………………………………5分 （2）由3sin 2sin B C =，得32b c =， ……………………………………………………6分 由余弦定理可得2222cos 28a b c bc A =+−=， …………………………………………7分 则222932842b b b +−=，即27284b =， …………………………………………………8分 解得4b =，6c =， …………………………………………………………………………9分 故ABC △的面积为11sin 4622S bc A ==××=． …………………………10分18.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，12b =，12a =，由题意可得2223422223q d q b a b d a =+ ⇒==+= ， ……………………………………………………1分 整理可得：2320q q −+=， …………………………………………………………………2分解得22q d = = 或1q d = = （舍）， …………………………………………………………………3分所以()2122n a n n =+−×=，1222n n n b −=⋅=． …………………………………………5分 （2）因为12122n n n n a n n b −==⋅，则()01221111111231n n T n n −−=×+×+×++−×+×，()12311111111231222222n nn T n n −=×+×+×++−×+×， ……………6分两式相减得0123111111111222122222222212nn n n n nn n n T − − + =++++−=−=− − ， 整理得1242n n n T −+=−， …………………………………………………………………………10分 显然4n T <，且1102n nn n T T ++−=>，故{}n T 为递增数列， 因为11T =，22T =，311234T <=<，43434T =−>， 所以11=，12=，32T =，4n ≥时，3n =，所以121026+++=． ……………………………………………………12分 19.【解析】（1）()22'34f x x ax a =−+，由()()()2'134130f a a a a =−+=−−=得1a =或3a =.…2分 当1a =时，()()()2'341311f x x x x x =−+=−−，由()'0f x >得13x <或1x >，由()'0f x <得113x <<， 所以()f x 在1,3 −∞− ，()1,+∞上单调递增，在1,13上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意，舍去.…………………………………………………4分当3a =时，()()()2'3129313f x x x x x =−+=−−，可得()f x 在(),1−∞，()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值.综上所述，3a =.…………………………………………………………………………………………6分 （2）设点()00,P x y 是()f x 上任意一点，则()f x 在点P 处的切线为：()()()322220000002734y x ax a x xax a x x −−+−=−+−，将点()0,1A 代入，整理得23004ax x =+， ……………………………………………………8分 方法1：整理得：320040x ax −+=，令()324h x x ax =−+，依题意，()h x 有三个零点. ()22'3233a h x x ax x x=−=−……………………………………………………9分当0a <时，()h x 在2,3a −∞ ，()0,+∞递增，在2,03a递减，且()080h =>，所以()h x 只有一个零点； 当0a >时，()h x 在(),0−∞，2,3a +∞ 递增，在20,3a递减，且()040h =>，要使()h x 有三个零点，则23a h388027a =−<，解得3a >. 综上所述，a 的取值范围是()3,+∞. …………………………………………………………………12分方法2：显然00x ≠，所以0204ax x =+，依题意，此方程要有三个解. 令()24g x x x =+，0x ≠，则()()()23332248'x x x x g x x x −++−==， …………………………………10分当(),0x ∈−∞时，()'0g x >，()g x 递增，且()g x 的取值范围是(),−∞+∞ 当()0,2x ∈时，()'0g x <，()g x 递减，且当0x →时，()g x →+∞ 当()2,x ∈+∞时，()'0g x >，()'g x 递增，且当x →+∞时，()g x →+∞所以，当()23a g >=时，0204a x x =+有三个解， 综上所述，a 的取值范围是()3,+∞. ……………………………………………………12分 20. 【解析】（1）因为112sin sin 223Sbc A bc π==，即8bc =， …………1分 由余弦定理可得222a b c bc =++，22368b c ∴=++，得2228b c +=， …………2分又D 为边BC 的中点，1()2AD AB AC ∴=+， ………………………………………3分 则()222211()244AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+ ， ………………………………4分 ()()()22221112cos 5442884c cb A b c cb b =+−+=−+==， ………………5分即AD =∴中线AD…………………………………………………6分（2）E 为边BC 上一点，:2:BE EC c b =，22c BE BC c b∴=+， ……………………7分()22c AE ABAC AB c b ∴−=−+， 即()22c b AE c AC bAB +=+ ， ………………8分22222222226(2)(2)423c b c AC bAB b c b c b c b c ∴+=+=+−= ，)2c b bc +=，即21bc+， ………………………………………………………10分)214224c bb cb c b c b c∴+=++=++≥………………………………11分当且仅当4c bb c=，即2b c ==2b c +有最小值………………………12分 21.【解析】（1）3人都没通过初赛的概率为1251)541(30=−=P ， 所以这三人中至少有1人通过初赛的概率125124101=−=P P ．……………………………………2分 （2）依题意ξ可能取值为0,1,2,3. 设事件A 表示“甲参加市赛”，事件B 表示“乙参加市赛”，事件C 表示“丙参加市赛”，则451()582P A =×=，451()5123P B =×=，451()5164P C =×=， ……………………4分则1231(0)()2344P P ABC ξ===××=，()12311312111(=1)23423423424P P ABC ABC ABC ξ=++××+××+××==，()1131111211(2)2342342344P P ABC ABC ABC ξ==++=××+××+××=，()1111(3)23424P P ABC ξ===××=，所以ξ的分布列为：7分 （3）方案1：设三人中奖人数为X ，所获奖金总额为Y 元，则X Y 1000=， 且X ～)32,3(B ，所以20003231000)(1000)(=××==X E Y E 元， ………………………9分 方案2： 记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z 元，方法1：则Z 的所有可能取值为1800，2400，3000，3600， 2则2450241360041300024112400411800)(=×+×+×+×=Z E ， ………………………………11分 因为()()E Z E Y >，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．………12分方法2：()1111113012342442412E ξ=×+×+×+×=，方案2等价于只要参加了选拔赛即奖励600元，进入了市赛的选手再奖600元．则()13()36006001800600245012E Z E ξ=×+=+×=，……………11分 因为()()E Z E Y >，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．………12分 22.【解析】（1）由()()1ln f x x x =−得()1'ln 1f x x x=+−，0x >, ……………………………1分 因为()'f x 在()0,+∞上递增，且()'10f =， ………………………………2分 所以当1x <时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >， ………………………………3分 所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增. ………………………………4分（2）令()()()11e e 1ln x x g x x f x x a x x −−=−−=−−−，1x ≥.则()11'e11ln x g x a x x −=−−−+，令()()'h x g x =，则()1211'e x h x a x x − =−+ ………6分 ①若12a ≤时，()()()1222211111111'e 10222x x x h x x x x x x−+− ≥−+≥−+=≥ ………7分所以()h x 在()1,+∞单调递增，则()()10h x h ≥=，即()'0g x ≥， ……………………………8分 所以()g x 在()1,+∞单调递增，则()()10g x g ≥=，符合题意. ………………………………9分 ②若12a >时，()'1120h a =−<，()'1ln 20h a +>， 所以存在()01,1ln 2x a ∈+，使()0'0h x =， ………………………………10分 且当()01,x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减，所以()()()'10g x h x h =<=，所以()g x 在()01,x 单调递减，则()()10g x g <=，不符合题意. ………………………………11分 综上所述，a 的取值范围是1(,]2−∞. ………………………………12分。
南通中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)
江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,22.函数()f x =）A .(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c<< B.b c a<< C.a c b<< D.c b a <<4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323dC.60150dD.90670d6.下列可能是函数2||1x x y e-=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A.B.C.D.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-8.已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0D.112.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.16.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}C x x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()xg x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v 0123Q0.71.63.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.20.已知()42135x f x a++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.22.设函数()()0,1xxf x a k aa a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,2【答案】C 【解析】【分析】由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A B x x = ≤≤．故选：C ．2.函数()f x =）A.(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()f x =120x-≥，即21x ≤，解得0x ≤，所以函数()f x 的定义域为(,0]-∞.故选：A.3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c << B.b c a<< C.a cb << D.c b a<<【答案】C 【解析】详解】分析：利用对数函数与指数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1比较即可.详解：0.5log 20a=<，0.521b =>；210.54c ==.故a c b <<.故选：C.点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当a b c ==时，222223,3a b c a ab bc ac a ++=++=，所以222a b c ab bc ac ++=++，当222a b c ab bc ac ++=++时，2220a b c ab bc ac ++---=，所以2222222220a b c ab bc ac ++---=，所以()()()2222222220aab b a ac c b bc c -++-++-+=，所以()()()2220a b a c b c -+-+-=，因为()()()2220,0,0a b a c b c -≥-≥-≥，所以()()()2220a b a c b c -=-=-=，所以a b c ==，所以a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的充要条件，故选：C5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323d C.60150d D.90670d【答案】B 【解析】【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''，2rr '=，结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r ，土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '，由题意知：2r r '=，10753T d '=，所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭，所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=，故选：B.6.下列可能是函数2||1x x y e -=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域和部分区间的函数值确定正确选项.【详解】函数2||1x x y e -=的定义域为R ，所以AB 选项错误.当1x >时，2||10x x y e-=>，所以D 选项错误.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-【答案】D 【解析】【分析】由函数值域为R ，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题.【详解】当x m <时，()7563f x x =+单调递增，所以()7563f x m <+当x m ≥时，()2x f x =单调递增，所以()2m f x ≥，要使得函数值域为R ，则75263m m +≥恒成立，令1275,263m y m y =+=，如图所示：由图可知12,y y 有两个交点，且交点的横坐标分别为121,2m m =-=，所以若要75263m m +≥，则[]1,2m Î-，也即函数()f x 的值域为R 时，则实数m 的取值范围为：[]1,2m Î-，故选：D.8.已知0x>，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】先根据题意得到112y x +=，从而得到1215y x y x+++=，再根据“1”的妙用及基本不等式即可求解．【详解】由0x>，0y >，2x y xy +=，则112y x +=，则11121125y x y x y x+++++=+=，所以12112112115x y x y y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+++=+⨯+⨯ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1211112115x y y x x y y x ⎛⎫++=⨯+++⨯++⎝⎭12114221155x y y x x y y x ⎛⎫++≥+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭．当且仅当121211x y y x x y y x ++⨯=⨯++，即2x =，23y =时，等号成立，所以211x y x y +++的最小值为45．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 【答案】AD 【解析】【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于幂函数y x α=过点()2,8，所以28α=，解得3α=，所以3y x =.()0,0，满足3y x =，A 选项正确.3y x =是奇函数，所以B 选项错误.3y x =在R 上递增，所以C 选项错误.3y x =值域为R ，所以D 选项正确.故选：AD【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>【答案】BCD 解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法判断出正确答案.【详解】A 选项，若0,0ab c >>=，则22ac bc =，所以A 选项错误.B 选项，若0a b >>，则()()22220,a b a b a b a b -=+->>，所以B 选项正确.C 选项，若0a b <<，0a b -<，则()220,a ab a a b a ab -=->>，()220,ab b b a b ab b -=->>，则22a ab b >>，所以C 选项正确.D 选项，若0a b <<，0b a ->，所以11110,b a a b ab a b--=>>，所以D 选项正确.故选：BCD 11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0 D.1【答案】ABC 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性，不等式转化为21<2t t +-，求解即可.【详解】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则()f x 在(),0-∞上是单调增函数，由()()212f t f t +>-，得21<2t t +-，即23830t t +-<，解得133t -<<，范围内的整数有2,1,0--.故选：ABC12.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称【答案】AD 【解析】【分析】A.根据()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数判断；B.由()g x 的图像关于直线1x =对称，得到()()11g x g x -=+判断；C.利用奇偶性的定义判断；D.由()()11g x g x -=+，得到()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌判断.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，所以()00f =，故A 正确；因为()g x 是定义在R 上的函数，且()g x 的图像关于直线1x =对称，所以()()11g x g x -=+，()1g 不一定为0，故B 错误；因为()()()g f x g f x g f x 轾轾轾-=-¹-臌臌臌，故C 错误；因为()()11g x g x -=+，则()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌，所以()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称，故D 正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数运算，化简求得表达式的值.【详解】依题意，原式()123233log 3336=+=+=.故答案为：6【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，属于基础题.14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.【答案】3-【解析】【分析】由()()21f xg x x x +=-+可得()()21f xg x x x -+-=++，从而结合奇偶性根据函数的奇偶性可得()()21f x g x x x -=++，于是解得()g x x =-，即可得所求.【详解】因为()()21f x g x x x +=-+①，所以()()21f xg x x x -+-=++由函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，则()(),()()f x f xg x g x =-=--所以()()21f x g x x x -=++②则①-②可得：()22g x x =-，所以()g x x =-则()33g =-．故答案为：3-．15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.【答案】2解析】【分析】由题意得240a b -≤，再利用基本不等式求解即可【详解】因为a ，b 是非零实数，且不等式20x ax b -+≥恒成立，所以20x ax b -+=有两个相等的实数根或无实数根，即240a b ∆=-≤得24a b ≤，2112422b b a b +≥+≥=，当且仅当24142a bb b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩满足条件且同时取等号.故答案为：216.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.【答案】①.[)2,+∞②.(]0,1【解析】【分析】(1)1a =代入函数解析式，利用零点分段讨论，去绝对值，根据单调性，求函数的值域.(2)a 为正实数时，利用零点分段讨论，去绝对值，分类讨论函数的单调性，求函数最小值，得到函数最小值为2时a 的取值范围.【详解】(1)当1a =，函数()22,02=2,0222,2x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-≤<⎨⎪-≥⎩，0x <时，()22f x x =-单调递减，有()()02f x f >=；02x ≤<时，()2f x =；2x ≥时，()22f x x =-单调递增，有()()22f x f ≥=，所以当1a =，函数()f x 的值域为[)2,+∞.(2)a 为正实数时，()()()()21,022=12,0212,a x x f x x ax a x x a a x x a ⎧⎪-+<⎪⎪=+--+≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，0x <时，()()21f x a x =-+单调递减，有()()02f x f >=；2x a ≥时，()()12f x a x =+-单调递增，有()22f x f a a⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，20x a ≤<时，()()12f x a x =-+，①若01a <<，函数()()12f x a x =-+单调递增，有a 22<，()22f x a ≤<，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；②若1a =，()2f x =，22a=，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；③若1a >，函数()()12f x a x =-+单调递减，有a 22>，()22f x a <≤，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2a ，a22>，不合题意.综上可知，正实数a 的取值范围为(]0,1.故答案为：[)2,+∞；(]0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}Cx x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|25U A B x x =-<≤ ð（2）5a ≤【解析】【分析】（1）求出集合A 、U B ð，再求交集可得答案；（2）根据B CB = 可得BC ⊆，求出a 的范围即可.【小问1详解】{}{}261264222264x x A x x x x -⎧⎫=≤≤=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|5U B x x =≤ð，所以{}|25U A B x x =-<≤ ð；【小问2详解】若B CB = ，则B ⊆，所以5a ≤，所以实数a 的取值范围为5a ≤.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()x g x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.【答案】（1）(],1-∞（2）12t t <【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可；（2）根据两个函数在()0,1上的值域来比较较1t ，2t 的大小即可.【小问1详解】函数()222f x x x a =-+-，对称轴1x =，所以函数()f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，则211m -≤，1m £，故实数m 的取值范围为(],1-∞.【小问2详解】①()()20f g =，即20242=a a -+-，解得3a =；②当()0,1x ∈时，()()()212232=10,1x x t f x x =-+-∈=-，()()2=31,3x t g x =∈，所以121t t <<，即12t t <.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v0123Q 00.7 1.6 3.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.【答案】（1）选择函数模型32Q av bv cv =++；()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤（2）该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.1【解析】【分析】（1）对题中所给的函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式；（2）根据题意列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.【小问1详解】若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[]0,3v ∈上为单调减函数，这与实验数据相矛盾，所以不选择该函数模型.从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由实验数据可得：0.7842 1.62793 3.3a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得0.10.20.8a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求函数解析式为()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤.【小问2详解】设超级快艇在AB 段的航行费为y （万元），则所需时间为3v（小时），其中03v ≤≤，结合（1）知()()23230.10.20.8v 0.317y v v v v ⎡⎤=-+=-+⎣⎦，所以当1v =时，y 取最小值为2.1所以当该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.120.已知()42135x f x a ++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．【答案】（1）()7235x f x a +=+，定点()7,8-；（2）见解析.【解析】【分析】（1）令21xt +=，可得出12t x -=，然后利用换元法可求出函数()y f x =的解析式，并利用指数等于零求出函数()y f x =图象所过定点的坐标；（2）由()235f x a>+，可得出722x a a +->，然后分01a <<和1a >两种情况讨论，利用函数x y a =的单调性可解出不等式722x a a +->.【详解】（1）令21x t +=，可得出12t x -=，()174223535t t f t a a -++∴=+=+，()7235x f x a +∴=+，令702x +=，得7x =-，且()07358f a -=+=，因此，函数()y f x =图象恒过的定点坐标为()7,8-；（2）由()235f x a >+，即7223355x a a++>+，可得722x a a +->.当01a <<时，函数x y a =是减函数，则有722x +<-，解得11x <-；当1a >时，函数x y a =是增函数，则有722x +>-，解得11x >-.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了指数型函数图象过定点以及指数不等式的求解，一般在解指数不等式时，需要对底数的取值范围进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.【答案】（1）2a=-，8b =-（2）=17c 【解析】【分析】（1）根据条件得出关于,a b 的方程，解出即可；（2）先由顶点坐标得,a b 关系，则不等式化为2244a x ax c +++<，则,8m m +是对应方程的两根，结合韦达定理即可求.【小问1详解】由()()11f x f x +=-，得22(1)(1)1)1(()a b a bx x x x ++=+-+++-，解得2a =-由()20f -=，得()2420f a b -=-+=，则8b =-.【小问2详解】函数()f x 的值域为[)1,+∞，又其顶点坐标为24(,24a b a --，即2414b a -=，则244a b +=，不等式()f x c <可化为：2244a x ax c +++<，即22404a x ax c +++-<的解集为(),8m m +，即方程22404a x ax c +++-=的两根为12,8x m x m ==+，所以1221244x x a a x x c +=-⎧⎪⎨+⋅=-⎪⎩，可得22121212||()464x x x x x x -=+-⋅=，即224()4()644a a c +---=，解得=17c 22.设函数()()0,1x x f x a k a a a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.【答案】22.1k =-23.()f x 在R 上单调递减，证明见解析24.6t >-【解析】【分析】（1）由()00f =求得k 的值.（2）由()10f <求得a 的取值范围，利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上单调递减.（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得t 的取值范围.【小问1详解】由于()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()010,1f k k =+==-，此时()x x f x a a -=-，()()x x f x a a f x --=-=-，满足()f x 是奇函数，所以1k =-.【小问2详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，若()()()2111110a a a f a a a a+--=-==<，则01a <<，所以()f x 是减函数，证明如下：任取12x x <，则()()()112212x x x x f x f x a a a a ---=---1221122111x x x x x x x x a a a a a a a a --=-+-=-+-()121212121211x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由于12x x <，01a <<，所以1212,0x x x x a a a a >->，所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以()f x 在R 上单调递减.【小问3详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，()f x 是定义在R 上的奇函数，依题意，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<恒成立，即()()119243x x f t f -+-+⋅+<-⋅恒成立，由（2）得()f x 在R 上单调递减，所以119243x x t -+-+⋅+>-⋅，1112143439322x x x x t -+-+-+-+-+=⋅--⋅>()211211122232333x x x x ++-+-+⎛⎫=-+=-+⋅ ⎪⎝⎭恒成立，令13,10,1x t x t +=+≥≥，则对于函数()221y t t t =+≥，函数在[)1,+∞上单调递增，最小值为21213+⨯=，所以()2113232x x ++-+⋅的最大值为236-´=-，所以6t >-.【点睛】根据奇函数的定义求参数，当奇函数在0x =处有定义时，必有()00f =，由这个方程求得参数后，要注意验证函数是否满足奇偶性的定义.求解二次项的函数的最值问题，可以考虑利用换元法，结合二次函数的性质来进行求解.。
高一上学期数学期末考测试卷(提升)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
的值可以是（
）
A．3
B．4
C．5
D． 16 3
【答案】BC
【解析】作出函数 f x 的图象，如图所示，
设 f x1 f x2 f x3 f x4 t ， 由图可知，当 0 t 1时，直线 y t 与函数 f x 的图象有四个交点，
交点的横坐标分别为 x1, x2 , x3, x4 ，且 x1 x2 x3 x4 ，
因为
x
0,
π 3
,
2x
π 6
π, 6
5π 6
，函数
y
sint
在
π 6
,
5π 6
上不单调，故
D
错误．
故选：ABC．
10．（2023 秋·江苏南通 ）下列命题中，真命题的是（ ）
A． x R ，都有 x2 x x 1
B．
x 1,
，使得
x
x
4
1
6
.
C．任意非零实数 a,b ，都有 b a 2 ab
f x 在 , 上不具单调性，故 B 错误；
f x 图象与 x 轴只一个交点，即有且只有一个零点，故 C 正确；
令
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
，解得
x
3 2
，从图象看，
f
(x)
关于
3 2
,
0
对称，下面证明：
由 f x x 1 x 2 ，
得
f
3 2
x
x
1 2
x1 2
，
f
3 2
x
x
1 2
x 1 2
x 1 2
x 1， 2
则
f
3 2
2023-2024学年河南省洛阳市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省洛阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若命题p ：∃x ＞0，x 2﹣2x +1＜0，则￢p 为（ ）A ．∃x ＞0，x 2﹣2x +1≥0B ．∀x ＞0，x 2﹣2x +1≥0C ．∃x ≤0，x 2﹣2x +1＞0D ．∀x ≤0，x 2﹣2x +1＞02．已知集合M ＝{（x ，y ）|y ＝3x +4}，N ＝{（x ，y ）|y ＝x 2}，则M ∩N ＝（ ）A ．{﹣1，4}B ．{1，4}C ．{（﹣1，1），（4，16）}D ．（﹣1，1），（4，16）3．若幂函数f （x ）＝x m 的图象过点（2，√2），则实数m ＝（ ）A ．2B ．3C ．﹣1D ．124．已知﹣1＜a ＜2，﹣2＜b ＜3，则下列不等式错误的是（ ）A ．﹣3＜a +b ＜5B ．﹣4＜a ﹣b ＜4C ．2＜ab ＜6D ．a 2+b 2＜135．已知a =(32)0.1，b =(32)0.2，c =(94)0.04，则a ，b ，c 之间的大小关系为（ ） A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c6．已知U 为全集，集合A ，B 为U 的两个子集，则“A ⊆∁U B ”的充要条件是（ ）A ．B ⊆∁U A B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．∁U A ⊆B7．已知a ＞b ＞c ，a ﹣c ＝5，则（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2的最小值为（ ）A ．25B ．252C ．5D ．528．已知函数 f （x ）＝a x （1﹣2x ）（a ＞0 且a ≠1）是奇函数，则a ＝（ ）A ．2B ．√2C ．√22D ．12二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
专题04 函数的单调性(原卷版)
专题04 函数的单调性函数的单调性与导数的关系 已知函数f (x )在区间(a ，b )上可导，(1)如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增； (2)如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递减； (2)如果f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内是常数函数．注意：1．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．(1)在函数定义域内讨论导数的符号．(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”． 考点一 不含参数的函数的单调性 【方法总结】利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．【例题选讲】[例1](1)定义在[－2，2]上的函数f (x )与其导函数f ′(x )的图象如图所示，设O 为坐标原点，A ，B ，C ，D 四点的横坐标依次为－12，－16，1，43，则函数y ＝f (x )ex 的单调递减区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫－16，43B ．⎝⎛⎭⎫－12，1C ．⎝⎛⎭⎫－12，－16 D ．(1，2) (2)已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可以是( )(3)函数f (x )＝x 2＋x sin x 的图象大致为( )(4)函数f (x )＝x ＋21－x 的单调递增区间是________；单调递减区间是________．(5)设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．(6)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞) (7)设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) (8)已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为 ． (9)函数f (x )＝2|sin x |＋cos2x 在[－π2，π2]上的单调递增区间为( )A ．[－π2，－π6]和[0，π6]B ．[－π6，0]和[π6，π2]C ．[－π2，－π6]和[π6，π2]D ．[－π6，π6](10)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝sin2xB ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x [例2] 已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求实数k 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．【对点训练】1．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2，1)上f (x )单调递增B ．在区间(1，3)上f (x )单调递减C ．在区间(4，5)上f (x )单调递增D ．在区间(3，5)上f (x )单调递增 2．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．(多选)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数f (x )的图象的是( )4．函数f (x )的导函数f ′(x )有下列信息：①f ′(x )>0时，－1<x <2；②f ′(x )<0时，x <－1或x >2；③f ′(x )＝0时，x ＝－1或x ＝2． 则函数f (x )的大致图象是( )5．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )6．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )A B C D 7．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞C ．(－∞，－1)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 8．函数f (x )＝(x －2)e x 的单调递增区间为 ．9．函数f (x )＝(x －1)e x －x 2的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 10．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，1) 11．函数y ＝x ＋3x＋2ln x 的单调递减区间是( )A ．(－3，1)B ．(0，1)C ．(－1，3)D ．(0，3) 12．函数f (x )＝x ln x ＋x 的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫1e 2，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫0，1e 2C ．⎝⎛⎭⎫e e ，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫0，e e 13．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)B ．(0，1)和(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1，2) 14．函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是________．15．函数f (x )＝e x cos x 的单调递增区间为________． 16．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间上单调递增( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．(π，2π)C ．⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π) 17．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________．18．(多选)若函数 g (x )＝e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x ) 具有M 性质．下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝sin x D ．f (x )＝x19．已知函数f (x )＝12x 3＋x 2．(1)求曲线f (x )在点⎝⎛⎭⎫－43，f ⎝⎛⎭⎫－43处的切线方程； (2)讨论函数y ＝f (x )e x 的单调性．20．设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4．(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．考点二 比较大小或解不等式 【方法总结】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．【例题选讲】[例3](1)在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )＜0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) (3)已知奇函数f (x )是R 上的增函数，g (x )＝xf (x )，则( )A ．g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－32)＞g (2－23)B ．g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－23)＞g (2－32)C ．g (2－32)＞g (2－23)＞g ⎝⎛⎭⎫log 314D ．g (2－23)＞g (2－32)＞g ⎝⎛⎭⎫log 314 (4)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1) (5)已知函数f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，则不等式f (2x －3)>1的解集为 ．(6)设函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －cos x ，则不等式f (2x －1)＋f (x －2)>0的解集为( ) A ．(－∞，1) B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫13，＋∞ D ．(1，＋∞) 【对点训练】1．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为 ．2．已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a3．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a4．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12， c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是 ．6．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋2e x －2e －x ，其中e 为自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－1，12D ．⎣⎡⎦⎤－1，12 7．若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为 ．8．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x <2f (1)的解集为 ． 考点三 根据函数的单调性求参数 【方法总结】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f (x )在区间D 上存在递增(减)区间． 方法一：转化为“f ′(x )>0(<0)在区间D 上有解”；方法二：转化为“存在区间D 的一个子区间使f ′(x )>0(<0)成立”． (2)函数f (x )在区间D 上递增(减)．方法一：转化为“f ′(x )≥0(≤0)在区间D 上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D 是函数f (x )的单调递增(减)区间的子集”． 【例题选讲】[例4](1)若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，1) C ．(－∞，2] D ．(－∞，2) (2)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 ．(3)若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间(0，π)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．(－∞，1] (4)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4a 2x ＋a －4a ，0<x ≤a ，x －x ln x ，x >a 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2]B ．[e ，e 2]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)(5)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 ． (6)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ．[例5] 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围； (3)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上不单调，求a 的取值范围．[例6] 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b ．(1)若f (x )与g (x )的图象在x ＝1处相切，求g (x )；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．【对点训练】1．已知函数f (x )＝x 2＋ax，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞) 2．已知函数f (x )＝13ax 3－x 2＋x 在区间(0，2)上是单调增函数，则实数a 的取值范围为________．3．若y ＝x ＋a 2x (a ＞0)在[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是 ．4．若函数f (x )＝x 2＋1＋ax 2x 在[13，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 5．已知函数f (x )＝sin2x ＋4cos x －ax 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，3]B ．[3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[0，＋∞) 6．若函数g (x )＝ln x ＋12x 2－(b －1)x 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]7．已知函数f (x )＝ln x ＋(x －b )2(b ∈R )在⎣⎡⎦⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．9．(多选)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．2 10．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．11．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ．(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．12．已知函数f (x )＝e x －ax e x －a (a ∈R )．(1)若f (x )在(0，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围；(2)求证：x 在(0，2)上任取一个值，不等式1x －1e x －1<12恒成立(注：e 为自然对数的底数)。
最新高考数学二轮复习-专题一-微重点2-函数的公切线问题-学案讲义
微重点2函数的公切线问题函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．考点一求两函数的公切线例1(2023·湘潭模拟)已知直线l 是曲线y ＝e x －1与y ＝ln x ＋1的公切线，则直线l 的方程为__________．答案y ＝e x －1或y ＝x解析设直线l 与曲线y ＝e x －1相切于点P (a ，e a －1)，与曲线y ＝ln x ＋1相切于点Q (b ，ln b＋1)，则e a＝1b ＝ln b －e a ＋2b －a，整理得(a －1)(e a －1)＝0，解得a ＝1或a ＝0，当a ＝1时，l 的方程为y ＝e x －1；当a ＝0时，l 的方程为y ＝x .规律方法求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．跟踪演练1(2023·南平模拟)已知曲线y ＝a ln x 和曲线y ＝x 2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l ，则直线l 的方程为__________．答案2e x －y －e ＝0解析设曲线g (x )＝a ln x 和曲线f (x )＝x 2在公共点(x 0，y 0)处的切线相同，则f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝ax，由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，x 0＝a x 0，20＝a ln x 0，解得a ＝2e ，x 0＝e ，故切点为(e ，e)，切线斜率k ＝f ′(x 0)＝2e ，所以切线方程为y －e ＝2e(x －e)，即2e x －y －e ＝0.考点二与公切线有关的求值问题例2(2023·德阳模拟)已知曲线y ＝e x 在点(x 1，y 1)处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，y 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于()A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案B解析根据常用函数的导数可知y ＝e x ⇒y ′＝e x ，y ＝ln x ⇒y ′＝1x，则两函数在点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)处的切线分别为y －y 1＝1e x(x －x 1)，y －y 2＝1x 2(x －x 2)，化简得y ＝1e xx ＋(1－x 1)1e x，y ＝1x 2x ＋ln x 2－1，由题意可得112121e (1)e ln 1x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，，化简得x 1x 2＋x 2－x 1＋1＝0⇒(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.规律方法利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．跟踪演练2已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，若经过点A (0，－1)存在一条直线l与f (x )的图象和g (x )的图象都相切，则a 等于()A ．0B ．－1C ．3D ．－1或3答案D解析设直线l 与f (x )＝x ln x 相切的切点为(m ，m ln m )，由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝1＋ln x ，可得切线的斜率为1＋ln m ，则切线方程为y －m ln m ＝(1＋ln m )(x －m )，将A(0，－1)代入切线方程可得－1－m ln m＝(1＋ln m)(0－m)，解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，＝x－1，＝x2＋ax，可得x2＋(a－1)x＋1＝0，由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.考点三判断公切线条数例3(2023·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是() A．0B．1C．2D．3答案C解析设公切线与y＝x2的切点为(x1，x21)，与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)，y＝x2的导数为y′＝2x，y＝ln x的导数为y′＝1x，则在切点(x1，x21)处的切线方程为y－x21＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x21，则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝1x2(x－x2)，即y＝1x2x＋ln x2－1，x1＝1x2，21＝1－ln x2，整理得到x21－ln x1＝1＋ln2，令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，f′(x)>0⇒x>22；f′(x)<0⇒0<x<22，∴f(x)f(x)min＝f＝12＋12ln2<1＋ln2，即函数f(x)与y＝1＋ln2的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的图象与直线y ＝1＋ln 2有两个交点，则方程x 21－ln x 1＝1＋ln 2有两个不相等的正根，即曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝ln x 公切线的条数是2.规律方法运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．跟踪演练3已知函数f (x )＝x 2－4x ＋4，g (x )＝x －1，则f (x )和g (x )的公切线的条数为()A ．3B ．2C ．1D ．0答案A解析设公切线与f (x )和g (x )分别相切于点(m ，f (m ))，(n ，g (n ))，f ′(x )＝2x －4，g ′(x )＝－x －2，g ′(n )＝f ′(m )＝g (n )－f (m )n －m，解得m ＝－n －22＋2，代入化简得8n 3－8n 2＋1＝0，构造函数h (x )＝8x 3－8x 2＋1，h ′(x )＝8x (3x －2)，则h (x )在(－∞，0)23，＋∞在0，23h (0)>0，极小值h 23<0，故函数h (x )的图象和x 轴有3个交点，方程8n 3－8n 2＋1＝0有三个解，故公切线有3条．考点四求参数的取值范围例4(2023·保定模拟)若曲线f (x )＝kx(k <0)与g (x )＝e x 有三条公切线，则k 的取值范围为()A.－1e ，0B.－∞，－1e C.－2e ，0 D.－∞，－2e答案A解析设公切线为l ，P (x 1，y 1)是l 与f (x )的切点，由f (x )＝kx，得f ′(x )＝－kx 2，设Q (x 2，y 2)是l 与g (x )的切点，由g (x )＝e x ，得g ′(x )＝e x ，所以l 的方程为y －y 1＝－kx 21(x －x 1)，因为y 1＝kx 1，整理得y ＝－k x 21x ＋2k x 1，同理y －y 2＝2e x(x －x 2)，因为y 2＝2e x，整理得y ＝2e xx ＋2e x(1－x 2)，依题意，可得222121e 2e (1)x x k x k x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，消去x 1，得4k ＝－2e x(x 2－1)2，由题意此方程有三个不相等的实根，设h (x )＝－e x (x －1)2，即直线y ＝4k 与曲线h (x )有三个不同的交点，因为h ′(x )＝e x (1－x 2)，令h ′(x )＝0，则x ＝±1，当x <－1或x >1时，h ′(x )<0；当－1<x <1时，h ′(x )>0，所以h (x )有极小值为h (－1)＝－4e －1，h (x )有极大值为h (1)＝0，因为h (x )＝－e x (x －1)2，e x >0，(x －1)2≥0，所以h (x )≤0，当x 趋近于－∞时，h (x )趋近于0；当x 趋近于＋∞时，h (x )趋近于－∞，故h (x )的大致图象如图．所以当－4e －1<4k <0，即－1e <k <0时，直线y ＝4k 与曲线h (x )有三个交点．规律方法利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k 的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．跟踪演练4(2023·桂林模拟)若曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝e xa(a >0)存在公切线，则实数a的取值范围是()A ．(0,1)，e 24C.e 24，2 D.e 24，＋∞答案D解析y ＝x 2在点(m ，m 2)处的切线斜率为2m ，y ＝e xa (a >0)处的切线斜率为e na ，如果两个曲线存在公切线，那么2m ＝e n a .又由斜率公式得到2m ＝m 2－e na m －n，由此得到m ＝2n －2，则4n －4＝e na有解，则y ＝4x －4，y ＝e xa的图象有公共点．当直线y ＝4x －4与曲线y ＝e x a 相切时，设切点为(s ，t )，则e s a ＝4，且t ＝4s －4＝e sa ，可得t ＝4，s ＝2，即有切点(2,4)，a ＝e 24，故a 的取值范围是a ≥e 24.专题强化练1．已知直线l 为曲线y ＝x ＋1＋ln x 在A (1,2)处的切线，若l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1也相切，则a 等于()A ．0B ．－4C ．4D ．0或4答案C解析因为y ＝x ＋1＋ln x ，所以y ′＝1＋1x，所以y ′|x ＝1＝2，所以曲线y ＝x ＋1＋ln x 在A (1,2)处的切线方程为y －2＝2x －2，即y ＝2x .由于切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，＝ax2＋(a＋2)x＋1，＝2x，得ax2＋ax＋1＝0，当a＝0时，1＝0，不成立；又a≠0，两线相切有一切点，所以Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4或a＝0(舍去)．2．(2023·保定模拟)若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x>0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)的公切线，则m＋n等于()A．4B．5C．6D．8答案B解析设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3(x>0)相切于点(a，a3)，与曲线y＝－x2＋nx－6(x>0)相切于点(b,3b＋m)，对于函数y＝x3(x>0)，y′＝3x2，则3a2＝3(a>0)，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2.对于函数y＝－x2＋nx－6(x>0)，y′＝－2x＋n，则－2b＋n＝3(b>0)，又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，又b>0，所以b＝2，n＝7.所以m＋n＝－2＋7＝5.3．已知曲线C1：y＝x3，曲线C2：y＝cos x－1与直线l：y＝0，则()A．l与C1，C2均相切B．l与C1，C2均不相切C．l与C1相切，l与C2不相切D．l与C1不相切，l与C2相切答案A解析设曲线C1：y＝x3在点A(x0，y0)处的切线的斜率为0，则3x20＝0，y0＝x30，所以x0＝0，y0＝0，切线方程为y＝0，设曲线C2：y＝cos x－1在点B(x1，y1)处的切线的斜率为0，则－sin x1＝0，y1＝cos x1－1，所以x1＝2kπ，y1＝0或x1＝2kπ＋π，y1＝－2，取x 1＝0，y 1＝0可得切线方程为y ＝0，所以l 与C 1，C 2均相切．4．对于三次函数f (x )，若曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y ＝xf (x )在点(1,2)处的切线重合，则f ′(2)等于()A ．－34B ．－14C ．－4D ．14答案B解析设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，∵f (0)＝d ＝0，∴f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝c ＝2－01－0＝2，设g (x )＝xf (x )，则g (1)＝f (1)＝a ＋b ＋2＝2，即a ＋b ＝0，①又∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(1)＝f (1)＋f ′(1)＝2，∴f ′(1)＝0，即3a ＋2b ＋2＝0，②由①②可得a ＝－2，b ＝2，c ＝2，∴f ′(2)＝－14.5．与曲线f (x )＝x 3－x 和y ＝x 2＋14均相切的直线l 有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案C解析由f ′(x )＝3x 2－1，所以y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 31－x 1)＝(3x 21－1)(x －x 1)，整理得y ＝(3x 21－1)x －2x 31.设g (x )＝x 2＋14，直线l 与g (x )的图象相切于点(x 2，g (x 2))，因为g ′(x )＝2x ，所以切线方程为y 222x 2(x －x 2)，整理得y ＝2x 2x －x 22＋14，x 21－1＝2x 2，2x 31＝－x 22＋14，(*)整理得－2x31－14＝94x41－2x31－32x21＝x214(9x21－8x1－6)＝0，当9x21－8x1－6＝0时，Δ＝82＋4×9×6>0，方程有两个非零实数根，x1＝0也满足方程，故x1有3个解，所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条．6．若存在斜率为3a(a>0)的直线l与曲线f(x)＝12x2＋2ax－2b与g(x)＝3a2·ln x都相切，则实数b的取值范围为()A.233,e4⎤- ⎥⎦⎛⎝∞ B.234,e3⎤- ⎥⎦⎛⎝∞C.232e3⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞ D.233e2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞答案A解析设直线l与f(x)，g(x)的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为f(x)＝12x2＋2ax－2b，g(x)＝3a2·ln x，所以f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝3a2 x，因为直线l与f(x)，g(x)都相切，所以x1＋2a＝3a2x2＝3a，解得x1＝x2＝a，则两切点重合，即f(a)＝g(a)，12a2＋2a2－2b＝3a2·ln a，2b＝52a2－3a2·ln a，设h(a)＝522－3a2·ln a(a>0)，则h′(a)＝2a－6a ln a＝2a(1－3ln a)，当0<a<13e时，h′(a)>0，h(a)单调递增；当a>13e时，h′(a)<0，h(a)单调递减，则h(a)max＝13 (e) h＝221333 5e3e ln e 2-⋅＝233e 2，因为当a→＋∞时，h(a)→－∞，所以2b≤233e 2，即b≤233e 4，所以实数b的取值范围为233,e4⎤- ⎥⎦⎛⎝∞.7．(2023·嘉兴模拟)已知直线l与曲线C1：y＝x2和C2：y＝－1x均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．答案2解析由已知得C1，C2的导函数分别为y′＝2x，y′＝1 x2，设C1，C2上的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有y1－y2x1－x2＝2x1＝1x22＝x21＋1x2x1－x2，1＝2，y1＝4，2＝12，y2＝－2，故l：y＝4x－4与坐标轴的交点坐标分别为(1,0)，(0，－4)，围成的三角形面积为12×1×4＝2.8．已知曲线C1：y＝e x＋a和曲线C2：y＝ln(x＋b)＋a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的最大值为________．答案9 4解析令f(x)＝e x＋a，g(x)＝ln(x＋b)＋a2，则f′(x)＝e x，g′(x)＝1x＋b，设斜率为1的切线在C1，C2上的切点横坐标分别为x1，x2，由题知1e x ＝1x 2＋b＝1，∴x 1＝0，x 2＝1－b ，两点处的切线方程分别为y －(1＋a )＝x 和y －a 2＝x －(1－b )，故a ＋1＝a 2－1＋b ，即b ＝2＋a －a 2＋94≤94.所以b 的最大值为94.9．请你举出与函数f (x )＝e 2x －1在(0,0)处具有相同切线的一个函数：________.答案y ＝x 2＋2x (答案不唯一)解析由题意得f ′(x )＝2e 2x ，故f ′(0)＝2e 0＝2，故函数f (x )＝e 2x －1在原点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ；故可考虑如函数g (x )＝ax 2＋bx 的形式，此时g ′(x )＝2ax ＋b ，故g ′(0)＝b ＝2，取a ＝1，此时g (x )＝x 2＋2x .10．若函数f (x )＝ln x ＋ax 与函数g (x )＝x 2的图象有两条公切线，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，1)解析设公切线与函数f (x )，g (x )分别切于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则过A ，B 的切线分别为y ＋ln x 1－1，y ＝2x 2x －x 22，a ＝2x 2，x 1－1＝－x 22，由ln x 1－1＝－x 22得x 1＝221e x -，代入1x 1＋a ＝2x 2得a ＝2x 2－221e x -，依题意知y ＝a 与y ＝2x －21ex -有两个不同的交点，令φ(x )＝2x －21e x -，∵φ′(x )＝2－2x 21e x -，令φ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；∴φ(x )max ＝φ(1)＝1，又x →－∞时，φ(x )→－∞；x→＋∞时，φ(x)→－∞，故a<1.。
2024届湖南省汨罗市第二中学高考冲刺模拟数学试题
2024届湖南省汨罗市第二中学高考冲刺模拟数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．c c a b> B ．22ac bc ＜ C ．lna lnb ＜D ．11()()22ab<2．52mx ⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-23．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A ．52B ．1C ．2D ．04．已知关于xsin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A1B1C ．2D7．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 8．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞10．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则AB 元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．10212．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ） A ．224B ．72-C ．52-D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
18.已知函数f(x)=,g(x)=x2-3ax+2a2(a＜0),若不存在实数x使得f(x)＞1和g(x)＜0同时成立,试求a的范围.
09高三数学不等式测验题 姓名 ________________1、对于三个集合C B A ,,，条件C B A A C C B B A ==⊆⊆⊆是,,的( C )A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 非充分非必要条件 2．不等式121x <-的解集为( B )A ．13(,1)(1,)22B ．13(,)(,)22-∞+∞C ．3(,1)(,)2-∞+∞ D. 13(,1)(,)22+∞3．集合1{|0}1x A x x -=<+、{|B x x b a =-<，若"1"a =是""A B ⋂≠∅的充分条件，则b 的取值范围可以是( D )A ．20b -≤< B.02b <≤ C. 31b -<<- D.12b -≤<4. 若a 、b 都是正数，则关于x 的不等式－b ＜x1＜a 的解集是 ( C )A.(－b 1,0)∪(0,a1) B.(－a 1,0)∪(0,b 1) C.(－∞,－b 1)∪(a 1,+∞) D.(－a 1,b1)5. 已知h ＞0，设甲:两实数a 、b 满足|a －b|＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h,则( B )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 6.当x ∈［－1,3］时，不等式a ≥x 2－2x －1恒成立，则a 的最大值和最小值分别为 ( B )A.2，－1B.不存在，2C.2，不存在D.－2，不存在 7.设关于x 的不等式lg(19)x x a ++->恒成立,则a 的取值范围是 ( A )A.(),1-∞B.(],1-∞C.()1,+∞D.[)1,+∞8.已知函数2()(0)f x ax bx c a =++>,αβ、为方程()f x x =的两根,且10,0x aαβα<<<<<,给出下列不等式,其中成立的是 ( B )错误！未找到引用源。
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09高三数学不等式测验题 姓名 ________________1、对于三个集合C B A ,,，条件C B A A C C B B A ==⊆⊆⊆是,,的( C )A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 非充分非必要条件 2．不等式121x <-的解集为( B )A ．13(,1)(1,)22B ．13(,)(,)22-∞+∞C ．3(,1)(,)2-∞+∞ D. 13(,1)(,)22+∞3．集合1{|0}1x A x x -=<+、{|B x x b a =-<，若"1"a =是""A B ⋂≠∅的充分条件，则b 的取值范围可以是( D )A ．20b -≤< B.02b <≤ C. 31b -<<- D.12b -≤<4. 若a 、b 都是正数，则关于x 的不等式－b ＜x1＜a 的解集是 ( C )A.(－b 1,0)∪(0,a1) B.(－a 1,0)∪(0,b 1) C.(－∞,－b 1)∪(a 1,+∞) D.(－a 1,b1)5. 已知h ＞0，设甲:两实数a 、b 满足|a －b|＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h,则( B )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 6.当x ∈［－1,3］时，不等式a ≥x 2－2x －1恒成立，则a 的最大值和最小值分别为 ( B )A.2，－1B.不存在，2C.2，不存在D.－2，不存在 7.设关于x 的不等式lg(19)x x a ++->恒成立,则a 的取值范围是 ( A )A.(),1-∞B.(],1-∞C.()1,+∞D.[)1,+∞8.已知函数2()(0)f x ax bx c a =++>,αβ、为方程()f x x =的两根,且10,0x aαβα<<<<<,给出下列不等式,其中成立的是 ( B )错误！未找到引用源。
()x f x > 错误！未找到引用源。
()f x α< 错误！未找到引用源。
()f x α> 错误！未找到引用源。
()x f x <A.错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
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C.错误！未找到引用源。
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D.错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
9．若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是 ( D )（A ）3 （B ）3 （C ）2 （D ）2310．若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( A )A ．2∈M ，0∈M ；B ．2∉M ，0∉M ；C ．2∈M ，0∉M ；D ．2∉M ，0∈M ． 11.若a ＞b ＞1,P=b a lg lg ⋅,Q=21(lga+lgb),R=lg(2b a +),则___________ .P ＜Q ＜R12. 若log x (2x 2+1)＜log x (3x)＜0成立，则x 的取值范围是 _______________ (31，21) 13.若满足|x －2|＜a 的x 都适合不等式|x 2－4|＜1，则正数a 的取值范围是________(0，5－2］ 14.已知0a b >>,则()216a b a b +-的最小值. 是________1615、设数集3{|}4M x m x m =≤≤+，1{|}3N x n x n =-≤≤，且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的长度的最小值是____．11216．关于[](3)3 3 ,,-x k x m n n m ≥+-2的不等式:4-x 的解集为若=3，则实数k 的值等于 317、（本题13分）函数12--=x xy 的定义域为集合A ，关于x 的不等式)0)(lg(2lg >+<a x a ax 的解集为B ，求使A B A =⋂成立的实数a 的取值范围. 解：由已知{}21≤<=x x A ，由)0)(lg(2lg >+<a x a ax 得⎩⎨⎧>+<.02,2ax x a ax 因为0>a ，则⎩⎨⎧><-.0,)12(x a x a （1）当，120,21,012-<<>>-a a x a a 时即即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<=120a a x x B ，由 A B A =⋂可知B A ⊆，所以3221,212<<>-a a a 得.(2)当),0(210,012+∞=≤<≤-B a a 时即，恒满足条件.有（1）（2）可得320<<a 18.已知函数f (x )=264xx -+,g (x )=x 2－3ax +2a 2(a ＜0)，若不存在．．．实数x 使得f (x )＞1和g (x )＜0同时成立，试求a 的范围. 解:由f (x )＞1，得264x x -+＞1,化简整理得)2)(3()1)(2(+-+-x x x x ＜0.解得－2＜x ＜－1或2＜x ＜3.即f (x )＞1的解集为A ={x |－2＜x ＜－1或2＜x ＜3}.由g (x )＜0得x 2－3ax +2a 2＜0,即(x －a )(x －2a )＜0(a ＜0).则g (x )＜0的解集为B ={x |2a ＜x ＜a ,a ＜0}.根据题意，有A ∩B =∅.因此，a ≤－2或－1≤2a ＜0. 故a 的范围是{a |a ≤－2或－21≤a ＜0}. 19. 求关于x 的方程01)1(22=++++-a x a a ax 至少有一个正根的充要条件 解：（1）当1,0==x a 时成立.(2)当0≠a 时，因为0)1()1(4)1(2222≥-+=+-++=∆a a a a a a ，设方程两个根是2,1x x ，则aa x x a a a x x 1,121221+=++=+方程有一个正根01.01,0<<-⎪⎩⎪⎨⎧<+≠⇔a aa a 即.方程有两个正根.0.01,01,02>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>++≠⇔a aa a a a a 即综上可得所求充要条件是1->a20．设2()()f x x b x c b c =++、为常数，方程()0f x x -=的两个实根为12,x x ,且满足1210,1x x x >->. (1)求证：22(2)b b c >+；(2)设10t x <<,试比较()f t 与1x 的大小;(3)若当[1,1]x ∈-时，对任意的x 都有()1f x ≤|，求证：12b +≤.解：（1）∵方程f (x )-x =0的两根为x 1、x 2,∴(x 2-x 1)2=(x 2+x 1)2-4x 1x 2=b 2-2b +1-4c .∵x 2-x 1>1,∴b 2-2b +1-4c >1.∴b 2>2(b +2c ).(2)∵x 1是方程f (x )-x =0的根，∴x 1=f (x 1).∴f (t )-x 1=f (t )-f (x 1)=(t -x 1)(t +x 1+b )=(t -x 1)(t +1-x 2). ∵0<t <x 1,∴t -x 1<0.∵x 2-x 1>1,∴x 1+1-x 2<0.∴t +1-x 2<x 1+1-x 2<0.故f (t )-x 1>0. (3)∵x ∈［-1,1］时，恒有|f (x )|≤1,∴|f (0)|=|c |≤1,|f (1)|=|1+b+c |≤1.∴|1+b |=|1+b+c-c |≤|1+b+c |+|-c |=|1+b+c |+|c |≤1+1=2.21．设曲线32132ax y bx cx =++在点x 处的切线斜率为()k x ，且(1)0k -=,对一切实数x ，不等式()()1212x k x x ≤≤+恒成立（0a ≠）.（1）求()1k 的值；（2）求函数()k x 的表达式；（3）求证：()1221n nk i n i >∑+=。
解：（1）解：()2k x ax bx c =++，()()1212x k x x ≤≤+ , ()()1111112k ∴≤≤+=, ()11k ∴= (2)解：1(1)002(1)1112b k a bc k a b c a c ⎧=⎧⎧-=-+=⎪⎪⎪⇒∴⎨⎨⎨=++=⎪⎪⎩⎩⎪+=⎩ ()k x x ≥ 122ax x c x ∴++≥, 11120,40,2416ax x c ac ac -+≥∆=-≤∴≥，又2()1416a c ac +≤=即1111,,1616164ac ac a c ≤≤∴=∴==()()11112214244k x x x x ∴=++=+ (3)证明:()()1421k x x =+∴原式()()()444222112131=++++++…()421n ++1114222234⎡=+++⎢⎢⎣…()121n ⎤⎥+⎥+⎦ 1114344523⎡>+++⎢⨯⨯⨯⎣…()()112n n ⎤+⎥++⎥⎦1111114233445⎛=-+-+-+ ⎝…()12111441222222n n n n n n n ⎫⎛⎫++=-=⨯=⎪ ⎪+++++⎭⎝⎭ 22、设n 为正整数，规定： fn n x f f f x f 个]})([{)(=，已知⎩⎨⎧--=1)1(2)(x x x f )21()10(≤<≤≤x x ．（1）解不等式：x x f ≤)(；（2）设集合{}2,1,0=A ，对任意A x ∈，证明：x x f =)(3；（3）求)98(2007f 的值；（4）若集合{}]2,0[,)(12∈==x x x f x B ，证明：B 中至少包含有8个元素．解：（1）①当0≤x ≤1时，由)1(2x -≤x 得，x ≥32．∴32≤x ≤1． ②当1＜x ≤2时，因1-x ≤x 恒成立．∴1＜x ≤2． 由①，②得，)(x f ≤x 的解集为{x |32≤x ≤2}． （2）∵2)0(=f ，0)1(=f ，1)2(=f ，∴当0=x 时，0)1())2(()))0((()0(3==-==f f f f f f f ； 当1=x 时，1)2())0(()))1((()1(3====f f f f f f f ； 当2=x 时，2)0())1(()))2((()2(3====f f f f f f f ．即对任意A x ∈，恒有x x f =)(3． （3）92)981(2)98(1=-=f ，914)92())98(()98(2===f f f f ，951914)914())98(()98(23=-===f f f f ， 98)951(2)95())98(()98(34=-===f f f f ， 一般地，)98()98(4r r k f f =+（∈r k ，*N ）．∴95)98()98(32007==f f （4）由（1）知，32)32(=f ，∴32)32(=n f ．则32)32(12=f ．∴B ∈32． 由（2）知，对0=x ，或1，或2，恒有x x f =)(3，∴x x f x f ==⨯)()(3412．则0，1，2B ∈． 由（3）知，对98=x ，92，914，95 ，恒有x x f x f ==⨯)()(3412，∴98，92，914，95B ∈． 综上所述，32，0，1，2，98，92，914，95B ∈．∴B 中至少含有8个元素．14.解：由a>b>0知a-b>0,2222222166464().21624()b a b a b a b a a a b a b a a +-⎛⎫∴-≤=∴+≥+≥= ⎪-⎝⎭当且仅当2264,a b a b a ==-都成立时,即当22,2a b ==时, ()216a b a b +-取得最小值16.解析：1. A 中若m =0不成立.B 中若c ＜0不成立. C 中a 3－b 3＞0⇒(a －b )(a 2+ab +b 2)＞0∵a 2+ab +b 2=(a +2b )2+43b 2＞0恒成立，故a －b ＞0.∴a ＞b .又∵ab ＞0,∴a1＜b 1.D 中a 2＞b 2⇒(a +b )(a －b )＞0，不能说明a ＞b .故选C.2. ∵3x ＞0,27y ＞0,∴z =3x +27y +3≥2y x 273⋅+3=2y x 33++3=223+3=9(仅当3x =27y ，即x =3y 时取“=”).3. a ＞b ＞1⇒lga ＞0,lgb ＞0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>+==⋅>+=Q b a ab b a R P b a b a Q )lg (lg 21lg )2lg(lg lg )lg (lg 21⇒R ＞Q ＞P.4. 对于log x (3x )＜0，若x ＞1,则3x ＜1,矛盾，故0＜x ＜1.又2x 2+1＞3x ＞1,∴31＜x ＜21. 5. －b ＜x 1＜a ⇔－b ＜x 1＜0或0＜x ＜a ⇔x ＜－b 1或x ＞a1. 6. |a －b |=|(a －1)－(b －1)|≤|a －1|+|b －1|＜2h .故应选B.7. |x －2|＜a 的解是2－a ＜x ＜2+a ,|x 2－4|＜1的解是－5＜x ＜－3或3＜x ＜5.由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≤-32,25a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤.52,23a a 由于a 是正数，前一不等式组无解，后一不等式组的解是0＜a ≤5－2.答案:A 8. 分离参数法求参数的最值，转化求函数的最大值.设f(x)=x 2－2x －1=(x －1)2－2.当x ∈［－1,3］时，f(x)最大值为2，故a ≥2.故选B.9. 当a 2－1≠0时，需a 2－1＜0且Δ＜0；当a 2－1=0,即a =±1时，代入验证.答案:A 10.1910x x ++-≥恒成立,()lg 191x x ∴++-≥ 恒成立,1a ∴<.11.01,11,011a a a <<∴+><-< ()()()()11log 10,log 10a a a a +-∴-<+<且()()()()11log 1log 11a a a a +--+= 故：B 不一定成立；C 应相等； D 应 “≤”.12.设()().F x f x x =-由已知αβ、是F()0x =的两根,得()()().F x a x x αβ=--0,,0,x a ααβ<<<>()()0F x f x x ∴=->即()f x x >；[]()()()()f x F x x x a x x ααααβ-=-+=---- ()(1)x ax a αβ=-+-.10,110x a ax a aαβββ<<<<∴<∴+-> ()f x α∴<. 二.填空题：13. :ab =a +b +3≥2ab +3，即ab －2ab －3≥0.解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去).∴ab ≥9(当且仅当a =b =3时，取等号).答案:［9,+∞)14. ∵(x +y )·(x 1+y 4)=5+x y +y x4≥9,又∵x +y =4，∴(x 1+y 4)min =49.∴m ≤49,即(－∞,49］.答案:(－∞,49］15. 由②，abadbc -＞0,又ab ＞0⇒bc －ad ＞0，即bc ＞ad ，说明由①②③.同理可证明其他情况.答案:0 16. :∵|a+b|－|a －b|≤|(a+b)－(a －b)|=|2b|=2|b|,∴①是真命题.∵a 、b ∈R +,x ≠0,∴ax 与x b 同号.∴|ax+x b |=|ax|+|xb|≥2||||x b ax ⋅=2ab .∴②是真命题.∵|x －y|<ε,∴|x|－|y|≤|x －y|<ε.∴|x|－|y|<ε.移项得|x|<|y|+ε,∴③是真命题.当a=－1,b=2时,有ab<0. |a|－|b|=1－2=－1,|a+b|=|－1+2|=1,则此时|a|－|b|≠|a+b|.∴④是假命题. ∴真命题的序号为①②③.答案:①②③。