化工原理3.2热传导

间变化(一维定态温度场)。
x
11
取dx的薄层，作热量衡算：
Qx
=
Q x + dx
+ dx ⋅
A⋅ ρ
⋅cp
∂t ∂θ
对于定态温度场
∂t ∂θ
=0
∴ Qx = Qx+dx = Q = const
傅立叶定律： Q = −λA dt dx
边界条件为：
x = 0时，t = t1 x = b时，t = t2
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1 ln r4
λ1 r1
λ 2 r2
λ 3 r3
∑ =
2πl(t1 − t4 ) 3 1 ln ri+1
λ i=1 i
ri
（4）平壁：各处的Q和q均相等；
圆筒壁：不同半径r处Q相等，但q却不等
23
24
对于n层圆筒壁：
∑ ∑ ∑ Q＝2πn l
(t1 1
− tn+1) ln ri+1
=
λ i =1 i
ri
t1 − tn+1 ＝t1 − tn+1
n bi λ A i=1 i mi
n
Ri
i =1
Q = 2πr1lq1 = 2πr2lq2 = 2πr3lq3 = L r1q1 = r2q2 = r3q3 = L
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例4-2-1 球形壁内的一维定态热传导 有一球形容器，内外壁半径分别为r1和r2，内外 壁温度分别为t1和t2，容器壁的导热系数为λ，试推 导此球形壁内的Q的计算式。
r = r2时，t = t2
∫ ∫ 得：
r2
t2
Qdr = − λ 2πrldt
r1
t1
λ不随t而变
∫ ∫ Q
r2 1 dr = −2πlλ
t2
dt
r1 r
t1
Q = 2πlλ (t1 − t2 ) ln r2 r1
21
讨论：
（1）上式可以为写
Q = (r2 − r1 )2πlλ(t1 − t2 ) = (t1 − t2 )( A2 − A1 )
b1
b2
b3
λ1 A λ2 A λ3 A
∑ ∑ =
Δti bi
=
t1 − t4 3 bi
= t1 − t4 = 总推动力 Ri 总热阻
∑ ∑ λi A i=1 λi A
推广至n层： Q＝ t1 − tn+1 ＝ t1 − tn+1
n
n
∑ ∑ bi
i=1 λi A
Ri
i =1
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三、各层的温差
(t1
−
一、 通过单层圆筒壁
假定：一维、 稳定温度场
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取dr同心薄层圆筒，作热量衡算：
Qr
=
Qr +dr
+
2πrldrρc p
∂t ∂θ
对于定态温度场 ∂t = 0 ∂θ
∴ Qr = Qr+dr = Q = const
傅立叶定律
Q = −λA dt dr
Q = −λ ⋅ 2πrl dt dr
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边界条件 r = r1时，t = t1
Δt R
=
推动力 热阻
推动力： Δt = (t1 − t2 )
热阻：R = b λA
（2）分析平壁内的温度分布
∫ ∫ b
t2
Qdx = − λAdt
0
t1
上限由 x = b时，t = t2 为 x = x时，t = t
Q
=
λ x
A(t1
−
t)
⇒
t
=
t1
−
Qx λA
14
λ不随t变化， t～x成呈线形关系 λ随t变化关系为： λ = λ0 (1 + at)
λ r2 r1 t1 t2
t1>t2
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解：极坐标Q = −λA dt dr
A = 4πr 2
边界条件：r = r1 , t = t1;r = r2 , t = t2
∫ ∫ Q = −λ(4πr 2 ) dt dr
⇒Q
r2 dr r r1 2
=
−λ(4π )
t2 dt
t1
球壁Q
=
4πr1r2λ (t1 − r2 − r1
31
λ = f（结构, 组成, 密度, 温度, 压力） （3）各种物质的导热系数
λ金属固体 > λ非金属固体 > λ液体 > λ气体
7
λ的大概范围：
• 金属固体：101～102W/(m.K) • 建筑材料：10-1～100W/(m.K) • 绝缘材料：10-2～ 10-1W/(m.K) • 液体：10-1～ 100W/(m.K) • 气体：10-2～ 10-1W/(m.K)
8
固体 金属：λ纯金属> λ合金 非金属：同样T下，ρ↑ λ ↑
在一定温度范围内： λ = λ0 (1 + at )
式中 λ0, λ ── 0℃、 t℃时的导热系数，W/(m·K)； a ── 温度系数。
对大多数金属材料：a < 0 ，t ↑ λ↓ 对大多数非金属材料：a > 0 ， t ↑ λ ↑
(r2
−
r1
) ln
r2 r1
b ln A2 λ A1
=
(t1
− t2) b
=
Δt R
=
推动力 热阻
λAm
b = r2 − r1
Am
=
A2 − A1 ln A2 / A1
对数平均面积
（2） r2 < 2 r1
Am
=
A1 + 2
A2
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（3）圆筒壁内的温度分布
上限从
∫ ∫ r2
t2
Qdr = − λ 2πrldt
r1
t1
r = r2时，t = t2 改为 r = r时，t = t
Q
=
−2πlλ (t
−
t1
)/
ln
r r1
⇒
t～r成对数曲线变化
t
=
t1
−
Q 2πlλ
ln
r r1
二、通过多层圆筒壁
Q＝ 2πl(t1 − t2 ) = 2πl(t2 − t3 ) = 2πl(t3 − t4 )
1 ln r2
1 ln r3
∫ ∫ 得：
b
t2
Qdx = − λAdt
0
t1
λ不随t而变
Q
=
λ b
A(t1
−
t2 )
=
t1
− t2 b
λA
式中 A ── 平壁的面积，m2； b ── 平壁的厚度，m； λ ── 平壁的导热系数，W/(m·℃)或W/(m·K)；
t1,t2 ── 平壁两侧的温度，℃。
13
讨论：
（1）可表示为
Q
=
3-2 热传导
书P131
Байду номын сангаас
3-2-1 有关热传导的基本概念 3-2-2 傅立叶定律 3-2-3 导热系数（热导率） 3-2-4 通过平壁的定态热传导 3-2-5 通过圆筒壁的定态热传导
1
3-2-1 有关热传导的基本概念
一、温度场和等温面
温度场：在某时刻，物体（空间）各点的温度分布。
t = f (x, y, z,θ )
分子微观运动的宏观表现
固体 液体 气体
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• 热传导——傅立叶定律 Q = −λA dt dr
平壁
Q = t1 − t2 = t2 − t3 = t3 − t4 ＝ t1 − t4
b1 λ1 A
b2 λ2 A
b3 λ3 A
∑ bi
i λi A
圆筒壁 Q＝ 2πl(t1 − t2 ) = 2πl(t2 − t3 ) = 2πl(t3 − t4 )
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负号表示传热方向与温度梯度方向相反
用热通量来表示
q
=
dQ dA
=
−λ
∂t ∂n
对一维定态热传导
dQ = −λdA dt ⇒ Q = −λA dt
dx
dx
λ表征材料导热性能的物性参数； λ越大，导热性能越好。
6
3-2-3 导热系数（热导率） λ=− q ∂t / ∂n
（1）λ在数值上等于单位温度梯度下的热通量 （2）λ是分子微观运动的宏观表现
二、温度梯度
t-Δt
grad
r t
=
lim
Δt = ∂t
Δn→0 Δn ∂n
t
t+Δt
Q
dA n
温度梯度是一个点的概念。
温度梯度是一个向量。
方向垂直于该点所在等温面，以温度增的方向为正。
一维定态热传导 dt / dx
4
3-2-2 傅立叶定律 热传导速率： dQ = −λdA ∂t ∂n
式中 dA ── 导热面积，m2； ∂t/∂n ── 温度梯度，℃/m或K/m； λ ── 导热系数，W/(m·℃)或W/(m·K)。
1 ln r2 + 1 ln r3
λ1
r1 λ 2
r2
Q'=
2πl(t1 − t3 )
1 ln r2 + 1 ln r3
λ2
r1 λ 1
r2
λ2 = 5 λ1 r1 = 12.5mm r2 = 37.5mm r3 = 62.5mm
1 ln r2 + 1 ln r3 λ 2 ln r2 + ln r3
t2 )
=
(t1 r2
− t2) − r1
=
(t1
− b