中考数学专题提升(一)

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2022-2023学年人教版中考数学复习圆综合压轴题专题提升训练

2022-2023学年人教版中考数学复习《圆综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F．（1）求的值；（2）求证：．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CP是⊙O的切线．点P在AB的延长线上．（1）求证：∠COB＝2∠PCB；（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．3．如图，AC为⊙O的直径，CF切⊙O于点C，AF交⊙O于点D，点B在DF上，BC交⊙O于点E，且∠CAF＝2∠BCF，BG⊥CF于点G，连接AE．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：△CBG∽△ABE；（3）若∠F＝60°，GF＝2，求⊙O的半径长．4．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：∠CAG＝∠ABE；（2）求证：CG＝CD；（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．（1）求证：∠AEB＝∠AFD；（2）若AB＝10，BF＝5，求DF的长；（3）若点G为AB的中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．6．如图，△ABC为⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC，CD为⊙O的直径，DF∥AC交AB、BC于点E、F．（1）求证：DE＝EF；（2）若sin∠B＝，⊙O的半径为5，求CF的长．7．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D三点的⊙O交AB于另一点E，连接AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连接EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形；（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．9．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F，连接BE．（1）求证：DC＝DE；（2）若AE＝4，．求：①BE的长；②cos∠BDF的值．10．如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC＝AB、在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB 于点F，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F．（1）设是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是；（2）不论D点取在半圆什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．11．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接P A，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．12．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若ED＝3，cos F＝，求⊙O的半径．13．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）连接AE并延长与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若AB＝，CD＝9，求线段BC和EG 的长．14．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，且交⊙O于E，C是的中点．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AC＝8，请直接写出CD的长．（3）若DC+DE＝6，求AE的长．15．如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PD与⊙O相切于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO，交PO的延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PB＝3，DB＝4，求⊙O的半径．16．如图，点P是⊙O外一点，P A切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O 于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD＝cm，AC＝8cm，点E是的中点，连接CE，求CE的长．17．如图，点O是等腰△ABC的外心，AD是圆O的切线，切点为A，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，连接AD，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝12，BC＝8．求PC的长．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为，ED＝2，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积．19．如图1，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如图2，如果∠BED＝60°，PD＝，求P A的长．20．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．21．如图，AB是⊙O的直径，延长BA至点P，过点P作⊙O的切线PC，切点为C，过点B向PC的延长线作垂线BE交该延长线于点E，BE交⊙O于点D，已知P A＝1，PC＝OC，（1）求BE的长；（2）连接DO，延长DO交⊙O于F，连接PF，①求DE的长；②求证：PF是⊙O的切线．参考答案1．（1）解：由于AD，BE，CF交于点O，∴＝，＝，＝，∴++＝1；（2）证明：如图，延长AD交⊙O于M，设R为△ABC的外接圆半径，AD，BE，CF交于点O．∵＝＝1﹣＝1﹣，同理有：＝1﹣，＝1﹣，代入++＝1，得（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）＝1，∴++＝2，∴++＝＝．2．（1）证明：∵CP是⊙O的切线，∴OC⊥CP，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠PCB＝∠A，∴∠COB＝2∠A＝2∠PCB；（2）解：如图2中，连接MA．∵点M是弧AB的中点，∴＝，∴∠ACM＝∠BAM，∵∠AMC＝∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴＝，∴AM2＝MC•MN，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵AM＝BM，AB＝6．∴2AM2＝62，∴AM2＝18，∴MC•MN＝18．3．解：（1）如图，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠AEB＝90°．（2）如图∵CF与⊙O相切，∴∠ACF＝90°．∴∠BCF＝90°﹣∠ACE＝∠CAE．∵∠CAF＝2∠BCF．∴∠CAF＝2∠CAE．∴∠CAE＝∠BAE．∴∠BCF＝∠BAE．∵BG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB＝∠AEB＝90°．∵∠BCF＝∠BAE，∠CGB＝∠AEB，∴△CBG∽△ABE．（3）连接BD，如图2所示．∵∠DAE＝∠DCE，∠DAE＝∠BCF，∴∠DCE＝∠BCF．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°．∴CD⊥AF．∵∠DCB＝∠BCF，CD⊥AF，BGCBF，∴BD＝BG．∵∠F＝60°，GF＝2，∠BGF＝90°，∴tan∠F＝＝BG＝tan60°＝，∵BG＝2，∴BD＝BG＝2．∵∠AFC＝60°，∠ACF＝90°，∴∠CAF＝30°．∵∠ADC＝90°，∠CAF＝30°，∴AC＝2CD．∵∠CAE＝∠BAE，∠AEC＝∠AEB，∴∠ACE＝∠ABE．∴AB＝AC．设⊙O的半径为r，则AC＝AB＝2r，CD＝r．∵∠ADC＝90°，∴AD＝r．∴DB＝AB﹣AD＝2r﹣r＝（2﹣）r＝2．∴r＝4+6．∴⊙O的半径长为4+6．4．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠CAG+∠BAG＝90°，∵AD⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠BAG+∠ABE＝90°，∴∠CAG＝∠ABE；（2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，由（1）知，∠CAG＝∠ABE，∵∠CBE＝∠ACG，∴∠CGD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠D，∴∠DGC＝∠D，∴CG＝CD；（3）解：连接AE、CE，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠EBC，∠ACG＝∠EBC，∴∠CAE＝∠ACG，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝AC，∵AC2＝BC2﹣AB2，∴AC2＝﹣42，∴AC＝6，∴AF＝×6＝3，∵BF2＝AF2+AB2，∴BF2＝32+42，∴BF＝5，∵∠ABG＝∠ABF，∠AGB＝∠BAF，∴△BAG∽△BF A，∴BA：BF＝BG：BA，∴4：5＝BG：4，∴BG＝，∵FG＝BF﹣BG，∴FG＝5﹣＝．5．（1）证明：∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠F AD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠F AD，∴∠AEB＝∠AFD；（2）解：如图1，过点F作BM⊥AB于点M．则∠AMF＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，∴∠BFE＝∠AEB，∴BF＝BE＝5，∵∠ABE＝∠AMF＝90°，∠BAE＝∠MAF，∴△AMF∽△ABE，∴，即，设MF＝x，则AM＝2x，∴BM＝10﹣2x，∵BM2+MF2＝BF2，∴（10﹣2x）2+x2＝52，解得x＝3，即MF＝3，∵AE平分∠ABD，AD⊥BC，∴DF＝MF＝3；（3）解：∵∠ADB＝90°，G为AB的中点，∴AG＝DG＝BG，OG⊥AB，∴∠BGD＝∠AGD＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴∠GAD＝45°，∴∠ABD＝45°，过点F作FH⊥AB于点H，如图2，∵AF平分∠BAD，∴FD＝FH，∵∠ABD＝45°，∴BF＝FH＝FD，∵∠AFD＝∠AEB，∠AEB＝∠C，∴∠AFD＝∠C，∴AF＝AC，又∵AD⊥BC，∴FD＝DC，设FD＝DC＝x，则BF＝x，∴．6．（1）证明：如图，连接DB，∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∵DF∥AC，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DFB，∴EB＝EF，∵∠DBF＝90°，∴∠DBE+∠EBF＝∠EDB+∠EFB，∴∠DBE＝∠EDB，∴DE＝EB，∴DE＝EF；（2）解：如图，连接AO，EO，延长AO交BC于点G，∵AB＝AC，∴AG⊥BC，∵OC＝OD，DE＝EF，∴OE∥FC，FC＝2OE，∴∠AEO＝∠B，∵OE⊥OA，在Rt△AEO中，sin∠AEO＝，∵sin∠B＝，⊙O的半径为5，∴＝，∴AE＝，∴OE＝＝＝．∴CF＝2OE＝．7．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA）；（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3,∴DE＝2，AE＝3，∴AD＝5，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为．8．解：（1）证明：∵CE⊥AD，∴EG＝CG，∵CF∥DE，∴∠DEG＝∠FCG，∵∠FGC＝∠DGE，∴△DEG≌△FCG（ASA），∴ED＝FC，∴四边形DCFE为平行四边形，又∵CE⊥DF，∴四边形DCFE是菱形；（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，∴AE＝AC＝4，∵四边形AEDC内接于⊙O，∴∠BED＝∠BCA＝90°，∵四边形DCFE是菱形，∴EF∥DC，DE＝DC，∴∠AEF＝∠ABC，∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，∴DC＝3a，BD＝＝5a，∵BC2+AC2＝AB2，∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，解得a＝或a＝0（舍去），∴DE＝DC＝2，∴AD＝＝＝2．即⊙O的直径长为2．9．解：（1）证明：连接OD，BE，∵OD⊥AC，且DH是⊙O的切线，∴∠ODH＝∠DHA＝90°，∴OD∥CA，∴∠C＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠C，∵∠OBD＝∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DC＝DE；（2）①由（1）可知：OD∥AC，∴∠AEF＝∠ODF，∴∠AFE＝∠OFD，∴△AFE∽△OFD，∴，∵AE＝4，∴OD＝6，∵AB为⊙O的直径，∴；∴BE的长为8；②在Rt△AEB中，，∵∠BDF＝∠BAE，∴．10．解：（1）0＜x＜90，（2）连接BD，可证△BDF∽△ADB，得＝，∵∠DBE＝∠DAC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°﹣∠ADE，∴△BDE∽△ADC，∴＝，∴＝，∴BE＝BF．11．（1）证明：连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA+∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AC＝4，∵OP∥BC，∴∠C＝∠BOP，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴＝，即＝，∴BC＝2．12．（1）证明：连CB、OC，如图，∵BD为⊙O的切线，∴DB⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∵E为BD的中点，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠CBE，而∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线；（2）解：CE＝BE＝DE＝3，在Rt△BFE中，cos F＝，tan F＝＝，∴BF＝4，∴EF＝＝5，∴CF＝CE+EF＝8，在Rt△OCF中，tan F＝＝，∴OC＝6，即⊙O的半径为6．13．（1）证明：如图1，连接OE，OC；∵CB＝CE，OB＝OE，OC＝OC∴△OEC≌△OBC（SSS）∴∠OBC＝∠OEC又∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC＝90°∴∠OBC＝90°∴BC为⊙O的切线．（2）解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B∴DA＝DE，CE＝CB，在Rt△DFC中，CF＝＝1，设AD＝DE＝BF＝x，则x+x+1＝9，x＝4，∵AD∥BG，∴∠DAE＝∠EGC，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED；∵AD∥BG，∵∠AED＝∠CEG，∴∠EGC＝∠CEG，∴CG＝CE＝CB＝5，∴BG＝10，在Rt△ABG中，AG＝＝6，∵AD∥CG，∴＝＝，∴EG＝×6＝．14．（1）证明：连接OC．∵C是的中点，∴AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴DA∥OC，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥DC，∵OC为半径，∴DC为⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴AB＝10，∠ACB＝90°＝∠ADC，∴BC＝＝6，又∵∠DAC＝∠OAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，解得：CD＝4.8．（3）如图，连接EC，作CF⊥AB于F．∵CA平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，∴CD＝CF，∵＝，∴CE＝BC，∴Rt△CDE≌Rt△CFB，∴DE＝BF，∴CF+BF＝CD+DE＝6，设BF＝x，则CF＝6﹣x，由△ACF∽△CBF，可得CF2＝AF•BF，∴（6﹣x）2＝（10﹣x）•x，解得x＝2或9（舍弃），∴BF＝DE＝2，CD＝CF＝4，易证AF＝AD＝8，∴AE＝AD﹣DE＝6．15．（1）证明：∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，∴∠DEO＝∠PBO，∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∴∠PBO＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）由（1）知，PB是⊙O的切线，∴∠PBD＝90°，∵PB＝3，DB＝4，∴PD＝5，∵PC和PB都是⊙O的切线，∴PC＝PB＝3，∠OCD＝90°，∴CD＝2，设⊙O的半径为x，则OC＝x，OD＝4﹣x，则22+x2＝（4﹣x）2，解得，x＝，即⊙O的半径是．16．（1）证明：如图，连接OC，∵P A切⊙O于A．∴OA⊥P A，∴∠P AO＝90°，∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠AOP＝∠COP，在△P AO和△PCO中，∴△P AO≌△PCO（SAS），∴∠P AO＝∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接EA、EB，作BH⊥CE于H，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵OP∥BC，∴PO⊥AC，∴AD＝CD＝AC＝4，在Rt△P AD中，P A＝＝＝，∵∠APO＝∠DP A，∴Rt△P AD∽Rt△POA，∴P A：PO＝PD：P A，即：PO＝：，解得PO＝，∴OD＝PO﹣PD＝3，∵AO＝BO，OD∥BC，∴BC＝2OD＝6，在Rt△ACB中，AB＝＝10，∵点E是的中点，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝45°，∴AE＝BE，∴△BCH和△ABE都是等腰直角三角形，∴CH＝BH＝BC＝3，BE＝AB＝5，在Rt△BEH中，EH＝＝4，∴CE＝CH+EH＝3+4＝7．17．解：（1）直线PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°，∵AB∥DC，∴∠ACD＝∠BAC，∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．∴∠E＝∠BCP，∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝4，∴AC＝AB＝12，在Rt△AMC中，AM＝＝8，设圆O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝8﹣r，在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝，∴CE＝2r＝＝9，OM＝8﹣＝，∴BE＝2OM＝7，∵∠E＝∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴＝，即＝∴PC＝．18．解：（1）证明：连接OD，∵OE∥AB，∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴ED⊥OD，∴ED是圆O的切线；（2）连接CD，交OE于M，在Rt△ODE中，∵OD＝，DE＝2，∴OE＝＝＝，∵OE∥AB，∴△COE∽△CAB，∴＝，∴AB＝5，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，∴AD＝，∴CD＝＝，∵EF∥AB，∴，∴CM＝DM＝CD＝，∴EF＝OE+OF＝4，BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，∴S△ADF＝S梯形ABEF﹣S梯形DBEF＝（AB+EF）•DM﹣（BD+EF）•DM＝×（5+4）×﹣×（+4）×＝．∴△ADF的面积为．19．解：（1）直线PD是否为⊙O的切线．理由如下：连接OD，如图1，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∵∠PDA＝∠PBD，∴∠1＝∠PDA，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠2+∠1＝90°，∴∠PDA+∠2＝90°，即∠PDO＝90°，∴OD⊥PD，∴PD为⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵ED和EB为⊙O的切线，∴ED＝EB，而∠BED＝60°，∴△EDB为等边三角形，∴∠EBD＝60°，∴∠PBD＝30°，∴∠PDA＝30°，而∠ADB＝90°，∴∠P＝30°，在Rt△OAD中，OD＝PD＝×＝1，OP＝2OD＝2，∴P A＝PO﹣OA＝2﹣1＝1．20．证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．21．解：（1）设圆的半径是r，则OP＝P A+r＝1+r，OC＝r，PC＝r．∵PC是圆的切线，∴∠PCO＝90°，∴在直角△PCO中，PC2+OC2＝OP2，即（r）2+r2＝（1+r）2，解得：r＝1或r＝﹣（舍去负值）．在直角△OPC中，cos∠POC＝＝，∴∠POC＝60°，∵∠PCO＝90°，BE⊥BC，∴BE∥OC，∴△OPC∽△BPE，∠B＝∠POC＝60°，∴＝＝，∴BE＝OC＝；（2）①在△OBD中，OB＝OD，∠B＝60°，∴△OBD是等边三角形，BD＝OB＝1，∠BOD＝60°．∴DE＝BE﹣BD＝﹣1＝；②∵在△OPC和△OPF中，，∴△OPC≌△OPF（SAS），∴∠OFP＝∠OCP＝90°，∴PF是⊙O的切线．。

2023年中考数学专题练——1数与式

2023年中考数学专题练——1数与式一．选择题（共11小题）1．（2022•泉山区校级三模）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．（﹣a3）2＝a6D．a2÷a3＝a 2．（2022•鼓楼区校级二模）下列计算正确的是（）A．a+a＝a2B．（2a）2÷a＝4a C．（﹣ab）2＝ab2D．a2⋅a2＝2a2 3．（2022•徐州一模）下列运算中，正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a8C．a2+a3＝a5D．a3÷a2＝1 4．（2022•鼓楼区校级一模）2022的倒数是（）A．2022B．﹣2022C．12022D．−120225．（2022•丰县二模）下列无理数中与3最接近的是（）A．√5B．√6C．√10D．√12 6．（2021•徐州模拟）下列运算中，正确的是（）A．3a+2a＝5a2B．a2•a3＝a6C．a2+a2＝a4D．（﹣a3）2＝a6 7．（2022•贾汪区二模）有理数﹣2022的相反数等于（）A．2022B．﹣2022C．12022D．−120228．（2022•邳州市一模）下列运算中，正确的是（）A．x6÷x2＝x3B．（x2）3＝x5C．x2+x3＝x5D．2x2•x＝2x3 9．（2022•徐州一模）数轴上在√3和√10之间的整数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．（2022•邳州市一模）周末小明与同学相约在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的菜单总共为10个汉堡，x杯饮料，y份沙拉，则他们点的B餐份数为（）A．10﹣x B．10﹣y C．x﹣y D．10﹣x﹣y 11．（2022•睢宁县模拟）下列计算正确的是（）A．2a2﹣a2＝2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（﹣a3b）2＝a6b2D．（2a+3）（a﹣2）＝2a2﹣6二．填空题（共10小题）12．（2022•鼓楼区校级三模）如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多个．（由含n的代数式表示）13．（2022•泉山区校级三模）√4=．14．（2022•丰县二模）太阳距离银河系中心约为250000000000000000公里，其中数据250000000000000000用科学记数法表示为．15．（2022•丰县二模）计算：（x2）3•x﹣2＝．16．（2022•丰县二模）数轴上的点A、B分别表示﹣2、3，则点离原点的距离较近（填“A”或“B”）．17．（2022•徐州二模）2021“双十一”全网成交额约9650亿元．将数据“9650亿”用科学记数法表示．18．（2022•邳州市一模）因式分解：b2﹣4b+4＝．19．（2022•徐州一模）新型冠状病毒呈球形或椭圆形有包膜，直径大约是80～160纳米，1纳米＝10﹣9米．用科学记数法表示160纳米＝米．20．（2021•徐州模拟）分解因式：m2+6m＝．21．（2022•贾汪区二模）已知√a+2有意义，则a的取值范围为．三．解答题（共9小题）22．（2022•鼓楼区校级三模）计算：（1）20220﹣（−12）﹣1﹣|3−√8|；（2）（1+1x−2）÷x−1x−2．23．（2022•丰县二模）计算：（1）（﹣1）2022+|﹣4|+（12）﹣1−√273；（2）(1−1a)÷a2−2a+1a．24．（2022•徐州二模）（1）计算：(12)−2−tan45°−(π−3)0+√4；（2）化简：(1−1x+2)÷x 2−1x+2． 25．（2022•贾汪区二模）计算：（1）20220+(12)−1−|−3|+√−83；（2）(x −1x )÷x 2−2x+1x ． 26．（2022•睢宁县模拟）计算：（1）(−2)3−(−3)−(13)−1+√8；（2）a a 2−4÷（1−2a+2）． 27．（2022•邳州市一模）计算：（1）（﹣1）2022+|﹣5|﹣（13）﹣1+√12；（2）a−1a 2÷（1−1a 2）． 28．（2022•徐州一模）计算：（1）|−√3|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（12）﹣1；（2）（1x+1−1x−1）÷2x 2−1． 29．（2022•徐州一模）计算：（1）√12+4﹣1﹣（12）﹣1+|−√3|；（2）(1x+3−1)×x 2+6x+9x 2−4．30．（2022•鼓楼区校级二模）计算：（1）|−4|−20220+√273−(13)−1；（2）(a +2a+1a )÷a 2−1a．2023年江苏省徐州市中考数学专题练——1数与式参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2022•泉山区校级三模）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．（﹣a3）2＝a6D．a2÷a3＝a 【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、a2•a3＝a5，故B不符合题意；C、（﹣a3）2＝a6，故C符合题意；D、a2÷a3＝a﹣1，故D不符合题意；故选：C．2．（2022•鼓楼区校级二模）下列计算正确的是（）A．a+a＝a2B．（2a）2÷a＝4a C．（﹣ab）2＝ab2D．a2⋅a2＝2a2【解答】解：a+a＝2a，故A错误，不符合题意；（2a）2÷a＝4a，故B正确，符合题意；（﹣ab）2＝a2b2，故C错误，不符合题意；a2⋅a2＝a4，故D错误，不符合题意；故选：B．3．（2022•徐州一模）下列运算中，正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a8C．a2+a3＝a5D．a3÷a2＝1【解答】解：A、a2•a3＝a5，故A符合题意；B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；C、a2与a3不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；D、a3÷a2＝a，故D不符合题意；故选：A．4．（2022•鼓楼区校级一模）2022的倒数是（）A．2022B．﹣2022C．12022D．−12022【解答】解：2022的倒数是12022．故选：C．5．（2022•丰县二模）下列无理数中与3最接近的是（）A．√5B．√6C．√10D．√12【解答】解：∵5＜6＜9＜10＜12＜16，∴√5＜√6＜3＜√10＜√12＜4，与3最接近的是√10，故选：C．6．（2021•徐州模拟）下列运算中，正确的是（）A．3a+2a＝5a2B．a2•a3＝a6C．a2+a2＝a4D．（﹣a3）2＝a6【解答】解：A、3a+2a＝5a，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（﹣a3）2＝a6，原计算正确，故此选项符合题意．故选：D．7．（2022•贾汪区二模）有理数﹣2022的相反数等于（）A．2022B．﹣2022C．12022D．−12022【解答】解：有理数﹣2022的相反数等于2022，故选：A．8．（2022•邳州市一模）下列运算中，正确的是（）A．x6÷x2＝x3B．（x2）3＝x5C．x2+x3＝x5D．2x2•x＝2x3【解答】解：x6÷x2＝x4≠x3，故选项A计算错误；（x2）3＝x6≠x5，故选项B计算错误；x2与x3不是同类项，不能加减，故选项C计算错误；2x2•x＝2x3，故选项D计算正确．故选：D．9．（2022•徐州一模）数轴上在√3和√10之间的整数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：∵1＜3＜4，9＜10＜16，∴1＜√3＜2，3＜√10＜4，∴在√3和√10之间的整数有2，3共2个，故选：C．10．（2022•邳州市一模）周末小明与同学相约在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的菜单总共为10个汉堡，x杯饮料，y份沙拉，则他们点的B餐份数为（）A．10﹣x B．10﹣y C．x﹣y D．10﹣x﹣y【解答】解：∵x杯饮料则在B和C餐中点了x份汉堡，∴点A餐为10﹣x，∴y份沙拉，则点C餐有y份，∴点B餐的份数为：10﹣（10﹣x）﹣y＝x﹣y，故选：C．11．（2022•睢宁县模拟）下列计算正确的是（）A．2a2﹣a2＝2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（﹣a3b）2＝a6b2D．（2a+3）（a﹣2）＝2a2﹣6【解答】解：∵2a2﹣a2＝a2≠2，∴选项A不符合题意；∵（a﹣b）2＝a2﹣2abb+2≠a2﹣b2，∴选项B不符合题意；∵（﹣a3b）2＝a6b2，∴选项C符合题意；∵（2a+3）（a﹣2）＝2a2﹣a﹣6≠2a2﹣6，∴选项D不符合题意；故选：C．二．填空题（共10小题）12．（2022•鼓楼区校级三模）如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多（2n+1）个．（由含n的代数式表示）【解答】解：根据题意有，第1个图形，圆的个数为：1；正三角形的个数为：1×3+1；第2个图形，圆的个数为：2；正三角形的个数为：2×3+1；第3个图形，圆的个数为：3；正三角形的个数为：3×3+1；……，第n个图形，圆的个数为：n；正三角形的个数为：n×3+1；n×3+1﹣n＝3n﹣n+1＝2n+1，∴第n个图形中三角形的个数比圆的个数多（2n+1）个．故答案为：（2n+1）．13．（2022•泉山区校级三模）√4=2．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2，即√4=2．故答案为：2．14．（2022•丰县二模）太阳距离银河系中心约为250000000000000000公里，其中数据250000000000000000用科学记数法表示为 2.5×1017．【解答】解：数据250000000000000000用科学记数法表示为2.5×1017．故答案为：2.5×1017．15．（2022•丰县二模）计算：（x2）3•x﹣2＝x4．【解答】解：（x2）3•x﹣2＝x6•1x2＝x4，故答案为：x4．16．（2022•丰县二模）数轴上的点A、B分别表示﹣2、3，则点A离原点的距离较近（填“A”或“B”）．【解答】解：∵|﹣2|＝2，|3|＝3，∴点A离原点的距离较近，故答案为：A．17．（2022•徐州二模）2021“双十一”全网成交额约9650亿元．将数据“9650亿”用科学记数法表示9.65×1011．【解答】解：9650亿＝965000000000＝9.65×1011．故答案为：9.65×1011．18．（2022•邳州市一模）因式分解：b2﹣4b+4＝（b﹣2）2．【解答】解：b2﹣4b+4＝（b﹣2）2．故答案为：（b﹣2）2．19．（2022•徐州一模）新型冠状病毒呈球形或椭圆形有包膜，直径大约是80～160纳米，1纳米＝10﹣9米．用科学记数法表示160纳米＝ 1.6×10﹣7米．【解答】解：∵1纳米＝10﹣9米，∴160纳米＝160×10﹣9米＝1.6×10﹣7米．故答案为：1.6×10﹣7．20．（2021•徐州模拟）分解因式：m2+6m＝m（m+6）．【解答】解：原式＝m（m+6）．故答案为：m（m+6）．21．（2022•贾汪区二模）已知√a+2有意义，则a的取值范围为a≥﹣2．【解答】解：∵√a+2有意义，∴a+2≥0，解得a≥﹣2，即a的取值范围为a≥﹣2．故答案为：a≥﹣2．三．解答题（共9小题）22．（2022•鼓楼区校级三模）计算：（1）20220﹣（−12）﹣1﹣|3−√8|；（2）（1+1x−2）÷x−1x−2．【解答】解：（1）20220﹣（−12）﹣1﹣|3−√8|＝1﹣（﹣2）﹣（3﹣2√2）＝1+2﹣3+2√2＝2√2；（2）（1+1x−2）÷x−1x−2=x−1 x−2⋅x−2 x−1＝1．23．（2022•丰县二模）计算：（1）（﹣1）2022+|﹣4|+（12）﹣1−√273；（2）(1−1a)÷a2−2a+1a．【解答】解：（1）（﹣1）2022+|﹣4|+（12）﹣1−√273＝1+4+2﹣3＝4；（2）(1−1a)÷a2−2a+1a=a−1a⋅a(a−1)2 =1a−1．24．（2022•徐州二模）（1）计算：(12)−2−tan45°−(π−3)0+√4；（2）化简：(1−1x+2)÷x2−1x+2．【解答】解：（1）原式＝4﹣1﹣1+2＝4；（2）原式=x+2−1x+2•x+2(x+1)(x−1)=x+1 x+2•x+2 (x+1)(x−1)=1x−1．25．（2022•贾汪区二模）计算：（1）20220+(12)−1−|−3|+√−83；（2）(x−1x)÷x2−2x+1x．【解答】解：（1）20220+(12)−1−|−3|+√−83＝1+2﹣3+（﹣2）＝﹣2；（2）(x −1x)÷x 2−2x+1x=x 2−1x ⋅x (x−1)2=(x+1)(x−1)(x−1)2=x+1x−1． 26．（2022•睢宁县模拟）计算：（1）(−2)3−(−3)−(13)−1+√8；（2）a a 2−4÷（1−2a+2）．【解答】解：（1）原式＝﹣8+3﹣3+2√2 ＝﹣8+2√2．（2）原式=a(a+2)(a−2)÷a+2−2a+2 =a(a+2)(a−2)•a+2a=1a−2． 27．（2022•邳州市一模）计算：（1）（﹣1）2022+|﹣5|﹣（13）﹣1+√12；（2）a−1a 2÷（1−1a 2）．【解答】解：（1）（﹣1）2022+|﹣5|﹣（13）﹣1+√12 ＝1+5﹣3+2√3 ＝3+2√3；（2）a−1a 2÷（1−1a 2） =a−1a2⋅a 2(a−1)(a+1)=1a+1．28．（2022•徐州一模）计算：（1）|−√3|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（12）﹣1；（2）（1x+1−1x−1）÷2x 2−1．【解答】解：（1）原式=√3−1+2×√32+2=√3−1+√3+2＝2√3+1；（2）原式＝[x−1(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)]•(x+1)(x−1)2 =x−1−x−1(x+1)(x−1)•(x+1)(x−1)2＝﹣1． 29．（2022•徐州一模）计算：（1）√12+4﹣1﹣（12）﹣1+|−√3|；（2）(1x+3−1)×x 2+6x+9x 2−4．【解答】解：（1）√12+4﹣1﹣（12）﹣1+|−√3| ＝2√3+14−2+√3＝3√3−74；（2）(1x+3−1)×x 2+6x+9x 2−4=1−x−3x+3•(x+3)2(x+2)(x−2)=−2−x x+3•(x+3)2(x+2)(x−2) =−x+3x−2．30．（2022•鼓楼区校级二模）计算：（1）|−4|−20220+√273−(13)−1；（2）(a +2a+1a )÷a 2−1a．【解答】解：（1）|−4|−20220+√273−(13)−1＝4﹣1+3﹣3＝3；（2）(a +2a+1a )÷a 2−1a=a 2+2a+1a •a (a+1)(a−1) =(a+1)2a •a (a+1)(a−1) =a+1a−1．。

初中数学中考模拟专题一经典母题30题

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C． D．试题2:下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．试题3:已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形试题4:某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8试题5:如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm试题6:如图所示的几何体的俯视图是（）A． B． C．D．试题7:不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A．B．C． D．试题8:要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（）A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位试题9:一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）A． B． C． D．试题10:．小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）A． B． C． D．试题11:如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A． B． C． D．试题12:如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④试题13:分解因式：= ．试题14:函数的自变量x的取值范围是．试题15:的平方根是．试题16:如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数（）和（）的图象交于P、Q两点，若=14，则k的值为．试题17:一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买a台这样的电视机需要元．试题18:如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．试题19:如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF= ．试题20:方程的解是．试题21:已知二次函数，当x时，y随x的增大而减小．试题22:如图，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，T n﹣1，用S1，S2，S3，…，S n﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△T n﹣1P n﹣2P n﹣1的面积，则当n=2015时，S1+S2+S3+…+S n﹣1= ．试题23:计算：；试题24:解方程：．试题25:如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（项点是网格线的交点）．（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为．试题26:随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查，随机抽取部分员工，记录每个人消费金额，并将调查数据适当调整，绘制成如图两幅尚不完整的表和图．根据以上信息回答下列问题：（1）a= ，b= ，c= ．并将条形统计图补充完整；（2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在组；（3）若这个企业有3000多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数．试题27:为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1：1.5：2．如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y（元）与用水量xm3之间的函数关系．其中线段AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系．（1）写出点B的实际意义；（2）求线段AB所在直线的表达式；（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？试题28:一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：（1）如果甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请你计算出经销商能盈利多少元？（2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？试题29:如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tanC．试题30:某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x 件时，该网店从中获利y元．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？试题31:已知二次函数的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．（1）求m、n的值；（2）如图，一次函数的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．【试题1答案:A．【解析】试题分析：﹣2的相反数是2，故选A．考点：相反数．试题2答案:C．考点：轴对称图形．试题3答案:B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．试题4答案:C．考点：中位数；加权平均数；众数．试题5答案:B．【解析】试题分析：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，故选B．考点：垂径定理；勾股定理．试题6答案:D．【解析】试题分析：从上面看是一个大正方形，大正方形内部的左下角是一个小正方形，故选D．考点：简单组合体的三视图．试题7答案:C．【解析】试题分析：，由①得，x＞﹣3，由②得，x≤2，故不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．在数轴上表示为：．故选C．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．试题8答案:D．考点：二次函数图象与几何变换．试题9答案:B．【解析】试题分析：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率==．故选B．考点：概率公式．试题10答案:A．【解析】试题分析：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，由题意得．故选A．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．试题11答案:B．【解析】考点：动点问题的函数图象；分段函数；分类讨论；压轴题．试题12答案:C．【解析】试题分析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB==，故①正确；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG ∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=AC=MH，故②正确；③如图2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2，在△ECF和△ECD中，∵CF=CD，∠2=∠DCE，CE=CE，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE，∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴，即2，故③错误；考点：相似形综合题；综合题；压轴题．试题13答案:．【解析】试题分析：==．故答案为：．考点：因式分解-运用公式法．试题14答案:且．【解析】试题分析：根据题意得x≠0且1﹣2x≥0，所以且．故答案为：且．考点：函数自变量的取值范围．试题15答案:±2．【解析】试题分析：的平方根是±2．故答案为：±2．考点：平方根；算术平方根．试题16答案:－20．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；综合题．试题17答案:2000a．【解析】试题分析：2500a×80%=2000a（元）．故答案为：2000a元．考点：列代数式．试题18答案:．【解析】试题分析：如图，连接AM；∵AB=8，AC=3CB，∴BC=AB=2：∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB=90°；由射影定理得：，∴BM=4，cos∠MBA==，故答案为：．考点：垂径定理；解直角三角形；综合题．试题19答案:5．【解析】试题分析：作FG⊥AC，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，∵点F是DE的中点，∴FG∥CD，∴GF= CD=AC=3，EG=EC=BC=2，∵AC=6，EC=BC=4，∴AE=2，∴AG=4，根据勾股定理，AF=5．考点：旋转的性质．试题20答案:x=6．【解析】试题分析：去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0，去括号得：3x﹣6﹣2x=0，整理得：x=6，经检验得x=6是方程的根．故答案为：x=6．考点：解分式方程．试题21答案:＜2（或x≤2）．考点：二次函数的性质．试题22答案:．【解析】考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型；综合题．试题23答案:试题24答案:试题25答案:（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1；（2）根据旋转的性质画出△A2B1C2；（3）利用扇形面积公式求出即可．试题解析：（1）如图；（2）如图；（3）∵BC=3，∴线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：=．故答案为：．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．试题26答案:（1）36，0.30，120，作图见试题解析；（2）C；（3）900．试题解析：（1）观察频数分布表知：A组有18人，频率为0.15，∴c=18÷0.15=120，∵a=36，∴b=36÷120=0.30；∴C组的频数为120﹣18﹣36﹣24﹣12=30，补全统计图为：故答案为：36，0.30，120；（2）∵共120人，∴中位数为第60和第61人的平均数，∴中位数应该落在C小组内；（3）个人旅游年消费金额在6000元以上的人数3000×（0.10+0.20）=900人．考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；条形统计图；中位数．试题27答案:（1）图中B点的实际意义表示当用水25m3时，所交水费为90元；（2）；（3）27．【解析】试题分析：（1）根据图象的信息得出即可；（2）首先求出第一、二阶梯单价，再设出解析式，代入求出即可；（3）因为102＞90，求出第三阶梯的单价，得出方程，求出即可．（3）设该户5月份用水量为xm3（x＞90），由第（2）知第二阶梯水的单价为4.5元/m3，第三阶梯水的单价为6元/m3，则根据题意得90+6（x﹣25）=102，解得，x=27．答：该用户5月份用水量为27m3．考点：一次函数的应用；分段函数；综合题．试题28答案:（1）250；（2）甲店配A种水果3箱，B种水果7箱．乙店配A种水果7箱，B种水果3箱．最大盈利：254（元）．【解析】试题分析：（1）经销商能盈利=水果箱数×每箱水果的盈利；（2）设甲店配A种水果x箱，分别表示出配给乙店的A水果，B水果的箱数，根据盈利不小于110元，列不等式求解，再根据经销商盈利=A种水果甲店盈利×x+B种水果甲店盈利×（10﹣x）+A种水果乙店盈利×（10﹣x）+B种水果甲店盈利×x；列出函数解析式利用函数性质求得答案即可．考点：一元一次不等式的应用；方案型；最值问题；综合题．试题29答案:（1）证明见试题解析；（2）．试题解析：（1）连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB =AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，∴BE ==AE，在RT△BEC中，tanC==．考点：切线的判定．试题30答案:（1）y=；（2）22．【解析】试题分析：（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案；（2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可．试题解析：（1）y =，（2）在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000；在10＜x≤30时，，当时，y取得最大值，∵x为整数，根据抛物线的对称性得x =22时，y有最大值1408，∵1408＞1000，∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；综合题．试题31答案:（1）m=2，n=-2；（2）一次函数的表达式为．【解析】试题分析：（1）利用对称轴公式求得m，把P（﹣3，1）代入二次函数得出n=3m﹣8，进而就可求得n；（2）根据（1）得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定理求得B的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B的坐标，然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式．试题解析：∵对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线，∴，∴m=2，∵二次函数的图象经过点P（﹣3，1），∴9﹣3m+n=1，得出n=3m﹣8．∴n=3m﹣8=﹣2；（2）∵m=2，n=﹣2，∴二次函数为，作PC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则PC ∥BD，∴，∵P（﹣3，1），∴PC =1，∵PA ：PB=1：5，∴，∴BD =6，∴B的纵坐标为6，代入二次函数为得，，解得，（舍去），∴B（2，6），∴，解得，∴一次函数的表达式为．考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．。

中考数学综合能力提升练习一(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

综合能力提升练习一一、单选题1.如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度与时间的函数关系的图象可能是( )①②③④A. ①B. ③C. ①或③D . ②或④2.已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A. 3B. 5C. 8D. 112﹣x﹣2=0的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（）x 1 2 3 42x2﹣x﹣2 ﹣14 13 26A. 4B. 3C. 2D. 14.三棱柱的顶点个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 62+3x+1=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根6.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式符号的判断正确的是（）A. a2﹣b＞0B. a+|b|＞0 C. a+b2＞0 D. 2a+b＞07.满足x-5＞3x+1的x的最大整数是（）A. 0B. -2C. -3D. -48.如图，Rt△APC的顶点A，P在反比例函数y＝的图象上，已知P的坐标为（1，1），tanA=（n≥2的自然数）；当n=2，3，4…2010时，A的横坐标相应为a2， a3， a4，…，a2010，则+++…+=（)A. B. 2021 054 C. 2022060D.二、填空题9.已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A=30°，∠C=2∠B，则∠B=________ °．10.如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 M，N 在边 BC 上，且∠MAN=45°．若 BM=1， =3，则 MN 的长为________ ．11.计算：（ +1）（3﹣）=________．12.一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是________ 边形，它的内角和是________m________时，不等式mx＜7的解集为x＞-5℃,冷库乙的温度是-15℃,则温度高的是冷库________.三、计算题15.计算:16.计算：（）2+（π﹣2016）0﹣4cos60°+（）﹣3．17.先化简，再求值：÷（a﹣），其中a=2+ ，b=2﹣．18.计算（1）计算：+（）﹣1﹣2cos60°+（2﹣π）0；（2）化简：．19.已知x﹣y=5，xy=4，求x2+y2的值．20.解方程：﹣= ．四、解答题21.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的长．22.如图，在四边形ABCD中，AD、BD相交于点F，点E在BD上，且．（1）∠1与∠2相等吗？为什么？（2）判断△ABE与△AC D是否相似？并说明理由．23.计算：|﹣3|﹣2．24.解方程组：．五、综合题25.甲、乙两人周末从同一地点出发去某景点，因乙临时有事，甲坐地铁先出发，甲出发0.2小时后乙开汽车前往．设甲行驶的时间为x（h），甲、乙两人行驶的路程分别为y1（km）与y2（km）．如图①是y1与y2关于x的函数图象．（1）分别求线段OA与线段BC所表示的y1与y2关于x的函数表达式；（2）当x为多少时，两人相距6km？（3）设两人相距S千米，在图②所给的直角坐标系中画出S关于x的函数图象．答案解析部分一、单选题1.如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度与时间的函数关系的图象可能是( )①②③④A. ①B. ③C. ①或③D . ②或④【答案】C【考点】二次函数的图象【解析】【分析】由图中可知：长度d是一开始就存在的，如果点P向上运动，那么d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小；当运动到点A时，距离d为0，然后继续运动，d开始变大；到点P时，回到原来高度相同的位置．①对，②没有回到原来的位置，应排除．④回到原来的位置后又继续运动了，应排除．如果点P向下运动，那么d的距离将逐渐变小，到点A的位置时，距离d为0；继续运动，d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小，到点P时，回到原来高度相同的位置．③对．故选C.2.已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A. 3B. 5C. 8D. 11【答案】C【考点】三角形三边关系【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于：8﹣3=5，小于：3+8=11．则此三角形的第三边可能是：8．故选：C．【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值X围，再进一步选择．2﹣x﹣2=0的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（）x 1 2 3 42x2﹣x﹣2 ﹣14 13 26A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【考点】估算一元二次方程的近似解【解析】【解答】解：根据表格中的数据，知：方程的一个解x的X围是：1＜x＜2，所以方程的其中一个解的整数部分是1．故选D．【分析】根据表格中的数据，可以发现：x=1时，2x2﹣x﹣2=﹣1；x=2时，2x2﹣x﹣2=4，故一元二次方程2x2﹣x﹣2=0的其中一个解x的X围是1＜x＜2，进而求解．4.三棱柱的顶点个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【考点】认识立体图形【解析】【解答】解：一个直三棱柱由两个三边形的底面和3个长方形的侧面组成，根据其特征及欧拉公式V+F﹣E=2可知，它有6个顶点，故选：D．【分析】一个直三棱柱是由两个三边形的底面和3个长方形的侧面组成，根据其特征及欧拉公式V+F﹣E=2进行填空即可．2+3x+1=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根【答案】A【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵a=1，b=3，c=1，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5＞0，∴有两个不相等的实数根．故选A．【分析】首先求得△=b2﹣4ac的值，然后即可判定一元二次方程x2+3x+1=0的根的情况．6.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式符号的判断正确的是（）A. a2﹣b＞0B. a+|b|＞0 C. a+b2＞0 D. 2a+b＞0【答案】A【考点】数轴【解析】【解答】解：根据数轴得a＜﹣1，0＜b＜1，∴a2＞1，b2＜1，∴a2﹣b＞0，故A正确；∴a+|b|＜0，故B错误；∴a+b2＜0，故C错误；∴2a+b＜0，故D错误，故选A．【分析】根据数轴可得出a＜﹣1，0＜b＜1，再判断a2， b2的X围，进行选择即可．7.满足x-5＞3x+1的x的最大整数是（）A. 0B. -2C. -3D. -4【答案】D【考点】解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解【解析】【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1，即可求得结果.x-5>3x+1-2x>6x<-3所以满足条件的x的最大整数是-4故选D.【点评】计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.8.如图，Rt△APC的顶点A，P在反比例函数y＝的图象上，已知P的坐标为（1，1），tanA=（n≥2的自然数）；当n=2，3，4…2010时，A的横坐标相应为a2， a3， a4，…，a2010，则+++…+=（)A. B. 2021 054 C. 2022060D.【答案】B【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质，探索数与式的规律【解析】【分析】设CP=m，由tanA==得AC=mn，则A（1-m，1+mn)，将A点坐标代入y＝中，得出a n=1-m的表达式，寻找运算规律．【解答】依题意设CP=m，∵P点横坐标为1，则C点横坐标为1-m，即a n=1-m，又∵tanA==，∴AC=mn，则A（1-m，1+mn)，将A点坐标代入y＝中，得（1-m)（1+mn)=1，1-m+mn-m2n=1，m（n-1-mn)=0，则n-1-mn=0，1-m=，则a n=1-m=，即=n，∴+++…+=2+3+4+…+2010==2021054．故选B．【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，关键是根据三角函数值设直角三角形的边长，表示A点坐标，根据A点在双曲线上，满足反比例函数解析式，从而得出一般规律．二、填空题9.已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A=30°，∠C=2∠B，则∠B=________ °．【答案】50【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=2∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴30°+3∠B=180°，∴∠B=50°．故答案是：50．【分析】根据三角形内角和是180°列出等式∠A+∠B+∠C=180°，据此易求∠B的度数．10.如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 M，N 在边 BC 上，且∠MAN=45°．若 BM=1， =3，则 MN 的长为________ ．【答案】【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用【解析】【解答】将逆时针旋转得到，连接，是等腰直角三角形，在和中，由勾股定理得，【分析】根据旋转的性质得到对应边、对应角相等；由△ABC是等腰直角三角形，得到△MAN≌△FAN，得到对应角、对应边相等，再根据勾股定理求出MN 的长.11.计算：（ +1）（3﹣）=________．【答案】2【考点】二次根式的混合运算【解析】【解答】解：原式= （ +1）（﹣1）= ×（3﹣1）=2 ．故答案为2 ．【分析】先把后面括号内提，然后利用平方差公式计算．12.一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是________ 边形，它的内角和是________【答案】五；540°【考点】多边形内角与外角【解析】【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于108°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣108°=72°，∴边数n=360°÷72°=5，内角和为（5﹣2）×180°=540°．故答案为：五；540°．【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以一个外角的度数即可得到边数．m________时，不等式mx＜7的解集为x＞【答案】＜0【考点】不等式的性质【解析】【解答】根据不等式mx＜7的解集为x＞，可以发现不等号的方向发生了改变，根据不等式的性质，所以m＜0．【分析】可根据不等式的性质，两边同时除以负数，不等号发生改变.-5℃,冷库乙的温度是-15℃,则温度高的是冷库________.【答案】甲【考点】有理数大小比较【解析】【解答】解：∵-5＞-15∴温度高的是冷库甲故答案为：甲【分析】比较-5和-15的大小，可解答。

中考数学专题训练第1讲有理数(原卷版)

有理数易错点梳理易错点01 误把0当成正数0既不是正数也不是负数.0是正数与负数的分界点。

易错点02 误以为带“+”号的数就是正数.带“-”号的数就是负数不能简单地理解为带“+”号的数就是正数.带“-”号的数就是负数。

例如：当0>a 时.a 表示正数.a -表示负数；当0=a 时.a 与a -都表示0；当0<a 时.a 表示负数.a -表示正数。

易错点03 误把无限循环小数看成无理数有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式.所以有限小数和无限循环小数都是有理数；无限不循环小数是无理数。

易错点04 误把数轴当成线段数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

易错点05 混淆“单位长度”和“长度单位”单位长度是指具体的时间内具体的长度为1；长度单位是指毫米、厘米、分米、米、千米等。

它们是完全不同的概念。

易错点06 误认为0的倒数是00的相反数是0,0的绝对值为0,0没有倒数。

易错点07 混淆n a -与na )(-的意义 n a -表示n a 的相反数.n a )(-表示n 个a -相乘。

易错点08 运用加法交换律时弄错符号运用加法交换律时.在交换各加数的位置时.要连同它前面的符号一起交换.不能漏掉符号。

易错点09 运用分配律时易漏乘运用分配律时.括号内的每一项都要乘以括号外的数.不要漏乘。

考向01 正负数的概念易错点梳理例题分析例题1：（2021·青海西宁·中考真题）中国人最先使用负数.魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中.用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正.黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2）.根据这种表示法.可推算出图2所表示的算式是（）A ．()()36+++B ．()()36++-C ．()()36-++D ．()(36)-+-考向02 数轴的概念例题2：（2021·广东广州·中考真题）如图.在数轴上.点A 、B 分别表示a 、b .且0a b +=.若6AB =.则点A 表示的数为（）A ．3-B ．0C ．3D ．6-考向03 相反数的概念例题3：（2021·湖南永州·中考真题）1||202--的相反数为（）A ．2021-B ．2021C ．12021-D ．12021考向04 绝对值和概念和非负性例题4：（2021·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（）A ．||x x <B ．若|1|2x -+取最小值.则0x =C ．若11x y >>>-.则||||x y <D ．若|1|0x +≤.则1x =-考向05 有理数大小的比较例题5：（2021·四川巴中·中考真题）下列各式的值最小的是（）A ．20B ．|﹣2|C ．2﹣1D ．﹣（﹣2）考向06 有理数加减法的运算例题6：（2021·四川广元·中考真题）计算()32---的最后结果是（）A ．1B ．1-C ．5D ．5-考向07 科学计数法例题7：（2021·山东青岛·中考真题）2021年3月5 日.李克强总理在政府工作报告中指出.我国脱贫攻坚成果举世瞩目.5575万农村贫困人口实现脱贫．5575万＝55750000.用科学记数法将55750000表示为（）A ．4557510⨯B ．555.7510⨯C ．75.57510⨯D ．80.557510⨯一、单选题1．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）-2021的绝对值是（） A ．2021- B ．12021- C ．2021 D ．120202．（2021·浙江·温州市教育教学研究院一模）2的相反数是（）A ．2B ．12 C ．2- D ．4-3．（2021·安徽·合肥一六八中学模拟预测）下列是有理数的是（）A ．tan 45︒B ．sin 45︒C ．cos45︒D ．sin 60︒ 4．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）如图.数轴上点A 表示的数为（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．15．（2021·广东·佛山市华英学校一模）在2. 1.5-.0.23-这四个数中最小的数是（） A ．2 B ． 1.5- C ．0 D ．23- 6．（2021·浙江·翠苑中学二模）计算42=（）A ．8B ．18C ．16D ．1167．（2021·内蒙古东胜·二模）截止2021年4月17日.全国接种新冠病毒疫苗达到81.89810⨯剂次.则数据81.89810⨯表示的原数是（）A ．1898000B ．18980000C ．189800000D ．1898000000 8．（2021·安徽·安庆市第四中学二模）计算：2﹣(﹣2)等于（）A ．﹣4B ．4C ．0D ．1 二、填空题9．（2021·福建·泉州五中模拟预测）计算：1012(3)2--+-=_______． 10．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）实数a 与b 在数轴上对应点的位置如图所示.a ＜c ＜﹣b .且c 为整数.则实数c 的值为________．微练习11．（2021·广东·执信中学模拟预测）()0222cos4512 3.14π--+︒-+--＝____________ 12．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）新华社北京5月11日电11日发布的第七次全国人口普查结果显示.全国人口共141178万人.与2010年第六次全国人口普查数据相比.增加7206万人.增长5.38%.年平均增长率为0.53%．数据表明.我国人口10年来继续保持低速增长态势．用科学记数法将数据“7206万”表示为 __．三、解答题13．（2021·广西·南宁十四中三模）计算：()()3425284+-⨯--÷．14．（2021·云南昭通·二模）计算：1020211(1)|2|3-⎛⎫+-+--- ⎪⎝⎭(-2021)． 15．（2021·黑龙江·二模）计算： 1202031(1)83-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭16．（2021·吉林长春·二模）计算：()()20111323π--+---+⎛⎫ ⎪⎝⎭。

备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(一)

备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》（一）1．已知：等边△ABC中．（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求的值；（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求的值．2．（1）发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．填空：①∠DCE的度数是；②线段CA、CE、CD之间的数量关系是．（2）探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC 边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．（3）应用如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长．3．（1）问题发现：如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC的延长线上，连接CE，求证：△ABD≌△ACE．（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D点在边BC的延长线上，连接CE．请判断：①∠ACE的度数为．②线段BC，CD，CE之间的数量关系是．（3）问题解决：在（2）中，如果AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长．4．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM＝，当N在F→C路径上时，CN＝．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．5．已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．（1）如图1，∠ABC＝60°，射线BM在∠ABC内，∠ADB＝60°，求证：∠BDC ＝60°．请根据以下思维框图，写出证明过程．（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADB＝30°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数．②当射线BM在BC下方，请问∠BDC的度数会变吗？若不变，请说明理由；若改变，请直接写出∠BDC的度数．（3）在第（2）题的条件下，作AF⊥BD于点F，连结CF，已知BD＝6，CD＝2，求△CDF的面积．6．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．填空：①则的值为；②∠EAD的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC＝4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E 在△ABC外，∠CBE＝150°，∠ACE＝60°．（1）求∠ADC的度数．（2）判断△ACE的形状并加以证明．（3）连接DE，若DE⊥CD，AD＝3，求DE的长．8．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC，垂足为G，连接HG，判断△GHC 的形状，并说明理由．9．如图，已知在ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点E与点M在AC所在直线的两侧，AE⊥AB，AE＝BC，点N在AC边上，CN＝AM，连接ME、BN；（1）根据题意，补全图形；（2）ME与BN有何数量关系，判断并说明理由；（3）点M在何处时BM+BN取得最小值？请确定此时点M的位置，并求出此时BM+BN 的最小值．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，以AB为一边向上作等边三角形ABD，点E在BC垂直平分线上，且EB⊥AB，连接CE，AE，CD．（1）判断△CBE的形状，并说明理由；（2）求证：AE＝DC；（3）填空：①若AE，CD相交于点F，则∠AFD的度数为．②在射线AB上有一动点P，若△PBC为等腰三角形，则∠ACP的度数为．参考答案1．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，∵点M是BC的中点，∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°，∵∠AMN＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BM＝2BN，AB＝2BM，设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，∴AN＝3x，∴；（2）证明：如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°，∴△AMG为等边三角形，∴AM＝AG，∴BM＝CG，∵∠AGM＝∠ABC＝60°，∴∠MGC＝∠NBM＝120°，∵MG∥BC，∴∠GMC＝∠MCB，∵∠MNB＝∠MCB，∴∠GMC＝∠MNB，∴△MGC≌△NBM（AAS），∴MG＝BN，∵△AMG为等边三角形，∴AM＝MG，∴AM＝BN；（3）如图3，过点P作PM∥BC交AB于点M，∴△AMP为等边三角形，∴AP＝MP，∠AMP＝60°，∵P为AC的中点，∴AP＝PC，∴MP＝PC，∵∠ACB＝60°，∴∠EMP＝∠PCF＝120°，∵∠AEP＝∠PFC，∴△PCF≌△PME（AAS），∴CF＝ME，∴BF﹣BE＝BC+CF﹣ME+MB，又∵P为AC的中点，MP∥BC，∴MB＝，∴BF﹣BE＝BC+BC＝，∴．2．（1）发现解：①∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；故答案为：120°，②∵△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴CA＝BC＝CE+CD；故答案为：CA＝CE+CD．（2）探究∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°．∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，∵CB＝CD+DB＝CD+CE，∴CA＝CD+CE．（3）应用DA＝5或．作DE⊥AB于E，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝2，∵∠BDC＝90°，DB＝DC，∴DB＝DC＝，∠BCD＝∠CBD＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D四点共圆，∴∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴BE＝6﹣DE，∵BE2+DE2＝BD2，∴DE2+（6﹣DE）2＝26，∴DE＝1，DE＝5，∴AD＝或AD＝5．3．（1）问题发现：证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形∴AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）类比探究：①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，在△ACE与△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°，故答案为：45°；②∵△ACE≌△ABD，∴BD＝CE，∴BC+CD＝CE，故答案为：BC+CD＝CE；（3）问题解决：解：在（2）中，同（1）的方法可证：△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，在Rt△BAC中，，∴，又∵CD＝1，由（2）得CE＝BC+CD＝3，在Rt△BAC中，，则线段DE的长是．4．解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t．故答案为：8﹣t；6﹣3t．②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，8﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣1（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，8﹣t═3t﹣6，解得，t＝3.5，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t＝18﹣3t，解得，t＝5，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8﹣t＝3t﹣18，解得，t＝6.5，综上所述，当t＝3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．5．（1）证明：在BM上取一点E，使AE＝AD．∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等边三角形．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAE＝60°﹣∠EAC＝∠CAD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB＝120°，∴∠BDC＝120°﹣60°＝60°．（2）①在BD上取一点E，AE＝AD，如图2，∵∠ABC＝∠ADB＝30°，且AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠AED＝∠ADE＝30°，∴∠BAC＝∠EAD＝120°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB＝180°﹣30°＝150°，∴∠BDC＝150°﹣30°＝120°．②会变．如图3．在DB延长线上取一点E，使得AE＝AD，同理可得：△BAE≌△CAD，∴∠ADC＝∠E＝30°，∴∠BDC＝∠ADE+∠ADC＝30°+30°＝60°．（3）如图，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，且AE＝AD，AF⊥DE，∴，作CH⊥BM，如图4，∵∠BDC＝120°，∴∠CDH＝60°，∴∠DCH＝30°，∴，∴，∴如图5，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，且AE＝AD，AF⊥DE，∴，，∴．6．解：（1）∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE即∠CBE＝∠ABD，∵∠ACB＝∠BED＝45°，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∠BED＝∠BDE＝45°，∴AB＝BC，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∠DAB＝∠ECB＝45°，∴＝1，∠EAD＝45°+45°＝90°．故答案为：1，90°．（2），∠EAD＝90°．理由如下：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，∠BAC＝∠BDE＝30°，∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan60°＝，在Rt△DBE中，tan∠BED＝＝tan60°＝，∴＝，又∵∠ABD＝∠EBC，∴△ABD∽△∠CBE，∴＝＝，∠BAD＝∠ACB＝60°．∵∠BAC＝30°，∴∠EAD＝∠BAD+∠BAC＝60°+30°＝90°．（3）如图，由（2）知：＝＝，∠EAD＝90°，∴AD＝CE，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝4，∴AC＝8，AB＝4，∵∠EAD＝∠EBD＝90°，且点M是DE的中点，∴AM＝BM＝DE，∵△ABM为直角三角形，∴AM2+BM2＝AB2＝（4）2＝48，∴AM＝BM＝2，∴DE＝4，设EC＝x，则AD＝x，AE＝8﹣x，Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，∴（8﹣x）2+（x）2＝（4）2，解之得：x＝2+2（负值舍去）．∴EC＝2+2．∴AD＝CE＝2+6．∴线段AD的长为（2+6）．7．（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，∴△DBC是等边三角形．∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°．在△ADB和△ADC中，∵，∴△ADC≌△ADB（SSS）．∴∠ADC＝∠ADB．∴∠ADC＝（360°﹣60°）＝150°．（2）解：△ACE是等边三角形．理由如下：∵∠ACE＝∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠ECB．∵∠CBE＝150°，∠ADC═150°，∴∠ADC＝∠EBC．在△ACD和△ECB中，∵，∴△ACD≌△ECB（ASA）．∴AC＝CE．∵∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形．（3）解：连接DE．∵DE⊥CD，∴∠EDC＝90°．∵∠BDC＝60°，∴∠EDB＝30°．∵∠CBE＝150°，∠DBC＝60°，∴∠DBE＝90°．∴EB＝DE．∵△ACD≌△ECB，AD＝3，∴EB＝AD＝3．∴DE＝2EB＝6．8．（1）解：∠ADE＝45°．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠ACM＝∠ACB，∴∠ACM＝∠ABC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ADE＝45°；（2）（1）中的结论成立证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝45°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝90°．即∠DAE＝90°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝45°．（3）△CGH为等腰直角三角形．理由如下：∵∠BCA＝∠ACE＝45°，∴∠GCH＝90°，又∵AH⊥BC，AG⊥CE，∴AG＝AH，∵∠ACG＝∠AGC＝45°，∴AG＝CG，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠HCA＝∠HAC＝45°，∴AH＝HC，∴CH＝CG，∴△CGH为等腰直角三角形．9．解：（1）如图1所示：（2）ME＝BN．证明：延长AM交BC于点F，如图．∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM．∵AE⊥AB，∴∠MAE+∠BAM＝90°．∴∠MAE+∠CAM＝90°∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AF⊥BC．∴∠C+∠CAM＝90°．∴∠MAE＝∠C．又∵AM＝CN，AE＝BC，∴△AME≌△CNB（SAS）．∴ME＝BN．（3）由（2）知ME＝BN，则当B，M，E三点共线时，此时BM+BN取得最小值，点M的位置如图2，∵AB＝5，BC＝6，∴AE＝BC＝6，∴BE＝＝＝．∴BM+BN的最小值是．10．解：（1）△CBE是等边三角形．理由如下：∵点E在BC垂直平分线上，∴EC＝EB，∵EB⊥AB，∴∠ABE＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠CBE＝60°，∴△CBE是等边三角形．（2）∵△ABD是等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝90°，∵EB⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DBC，由（1）可知：△CBE是等边三角形，∴EB＝CB，∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC；（3）①设AB与CD交于点G，∴∠EAB＝∠CDB，又∵∠AGC＝∠BGD，∴∠AFD＝∠ABD＝60°．故答案为：60°．②∵△BCP为等腰三角形，当BC＝BP时，如图2，∠ABC＝∠BCP+∠BPC＝30°，∴∠BCP＝15°，∴∠ACP＝90°+15°＝105°；当PC＝PB时，如图3，∴∠PCB＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACP＝60°；当BP＝BC时，如图4，∵∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠CPB＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ACP＝90°﹣75°＝15°．综合上述可得∠ACP的度数为15°或60°或105°．故答案为：15°或60°或105°．。

九年级数学中考提升冲刺训练(一)(含答案)

九年级数学中考提升冲刺训练（一）姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题1．|﹣|的值是（）A．2020 B．﹣2020 C．﹣D．2．2019年末到2020年3月16日截止，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者达到15万人，将数据15万用科学记数表示为（）A．1.5×104B．1.5×103C．1.5×105D．1.5×1023．如图，这是一个机械模具，则它的左视图是（）A．B．C．D．4．下列运算中，错误的是（）A．x2•x3＝x6B．x2+x2＝2x2C．（x2）3＝x6D．（﹣3x）2＝9x2 5．下列图形中，是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．一组数据：3、6、7、5、4，则这组数据的中位数是（）A．4 B．4.5 C．5 D．67．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．|c|＞|a| B．ac＞0 C．c﹣b＞0 D．b+c＜08．已知3+m＝n，则m可能是（）A．3B．C．D．9．若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．310．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，过B作BG ∥DE交AD于G，BG与AF交于点M．对于下列结论：①AF⊥DE；②G是AD的中点；③∠GBP＝∠BPE；④S△AGM ：S△DEC＝1：4．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题11．计算：（﹣3）﹣1+（﹣4）0＝．12．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝．13．一个n边形的内角和等于720°，则n＝．14．若a＝2019，b＝2020，则[a2（a﹣2b）﹣a（a﹣b）2]÷b2的值为．15．某数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C．从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得树梢A的仰角为30°，则树高为米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）16．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是（结果用含a，b代数式表示）．三．解答题17．解不等式组：18．先化简，再求值：（+）÷，其中x＝6．19．如图，在△ABC中，（1）求作：∠BAD＝∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）条件下，求证：AB2＝BD•BC．20．今年3月，某集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．评估成绩n（分）评定等级频数90≤n≤100 A 280≤n＜90 B b70≤n＜80 C15n＜70 D 6根据以上信息解答下列问题：（1）求m，b的值；（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中，任选2家介绍营销经验，用树状图或列表法求其中至少有一家是A等级的概率．21．某商场购进一批LED灯泡与普通白炽灯泡，其进价与标价如下表．该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡按标价打九折销售，销售完这批灯泡后可以获利3200元．（1）求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进两种灯泡120个，并在不打折的情况下销售完．若销售完这两批灯泡的获利不超过总进货价的28%，则最多再次购进LED灯泡多少个？LED灯泡普通白炽灯泡进价（元）45 25标价（元）60 3022．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．（1）求△ABC三边的长；（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）相交于A，B 两点，点A坐标为（﹣3，2），点B坐标为（n，﹣3）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是5，求点P的坐标．（3）利用函数图象直接写出关于x的不等式kx+b＜的解集．24．定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．①证明△ABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝13，弦AD＝5，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求出线段EF的长；②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝∠EBA，请直接写出点H的坐标．参考答案一．选择题1．解：，故选：D．2．解：15万＝15×104＝1.5×105．故选：C．3．解：从左边看，得到的图形只有一列两层，第一层是正方形，第二层的正方形里面有实心的圆圈，故选：B．4．解：A．x2•x3＝x5，故本选项符合题意；B．x2+x2＝2x2，故本选项不合题意；C．（x2）3＝x6，故本选项不合题意；D．（﹣3x）2＝9x2，故本选项不合题意．故选：A．5．解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．6．解：把数据按从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，7，则中位数是5．故选：C．7．解：由数轴可知，﹣4＜a＜﹣3，﹣1＜b＜0，2＜c＜3，∴|c|＜|a|，A错误；ac＜0，B错误；c﹣b＞0，C正确；b+c＞0，D错误；故选：C．8．解：根据3+m＝n，得到3与m为同类二次根式，则m可能是3，故选：A．9．解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，∴α+β＝2，αβ＝m，∵+＝＝＝﹣，∴m＝﹣3；故选：B．10．解：∵正方形ABCD，E，F均为中点∴AD＝BC＝DC，EC＝DF＝BC，∵在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC，∵∠DEC+∠CDE＝90°，∴∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DGF，∴AF⊥DE，故①正确，∵BG∥DE，GD∥BE，∴四边形GBED为平行四边形，∴GD＝BE，∵BE＝BC，∴GD＝AD，即G是AD的中点，故②正确，∵BG∥DE，∴∠GBP＝∠BPE，故③正确．∵BG∥DG，AF⊥DE，∴AF⊥BG，∴∠ANG＝∠ADF＝90°，∵∠GAM＝∠FAD，∴△AGM∽△AFD，设AG＝a，则AD＝2a，AF＝a，∴＝．∵△ADF≌△DCE，∴S△AGM ：S△DEC＝1：5．故④错误．故选：C．二．填空题11．解：原式＝+1＝，故答案为：12．解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，∴BD＝CD，AE＝CE，∵EF∥CD，∴＝＝1，即AF＝FD，∴EF为△ADC的中位线，∴EF＝CD，∴EF＝BD，∵EF∥BD，∴＝＝，∴DG＝2FG＝2，∴FD＝2+1＝3，∴AD＝2FG＝6．故答案为6．13．解：依题意有：（n﹣2）•180°＝720°，解得n＝6．故答案为：6．14．解：原式＝（a3﹣2a2b﹣a3+2a2b﹣ab2）]÷b2＝﹣a，当a＝2019时，原式＝﹣2019．故答案为：﹣201915．解：根据题意可知：∠ABC＝90°，CD＝10，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝CB，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，BD＝CD+BC＝10+AB，∴tan30°＝，即＝，解得AB≈13.7（米）．答：树高约为13.7米．故答案为：13.716．解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b 故答案为：a+8b．方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形∴口朝上的有5个，口朝下的有四个，而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b，故答案为a+8b．三．解答题17．解：解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥﹣，∴原不等式组的解集为﹣5≤x＜2．18．解：（+）÷＝＝﹣＝，当x＝6时，原式＝＝＝．19．（1）解：如图，∠BAD为所作；（2）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B∴△ABD∽△CBA，∴AB：BC＝BD：AB，∴AB2＝BD•BC．20．解：（1）∵C等级频数为15，占60%，∴m＝15÷60%＝25；∴b＝25﹣15﹣2﹣6＝2；（2）∵B等级频数为2，∴B等级所在扇形的圆心角的大小为：×360°＝28.8°；（3）评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：∵由图可知，共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，∴P（至少有一家是A等级）＝＝．21．解：（1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡y个．根据题意，得：，解得，答：该商场购进LED灯泡200个，普通白炽灯泡100个．（2）设再次购进LED灯泡m个．（60﹣45）m+（30﹣25）（120﹣m）+3200≤28%[45×200+25×100+45m+25（120﹣m）] 解得：m≤59，∵m取正整数，∴m的最大值为59则最多再次购进LED灯泡59个．22．解：（1）AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝＝4；（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，连接AD，AD＝＝2，∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF＝AB•AC﹣π•AD2＝20﹣5π．23．解：（1）∵双曲线y＝（m≠0）过点A（﹣3，2），∴m＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数表达式为y＝﹣，∵点B（n，﹣3）在反比例函数y＝﹣的图象上，∴n＝2，∴B（2，﹣3）．∵点A（﹣3，2）与点B（2，﹣3）在直线y＝kx+b上，∴解得∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣1；（2）如图，在x轴上任取一点P，连接AP，BP，由（1）知点B的坐标是（2，﹣3）．在y＝﹣x﹣1中令y＝0，解得x＝﹣1，则直线与x轴的交点是（﹣1，0）．设点P的坐标是（a，0）．∵△ABP的面积是5，∴•|a+1|•（2+3）＝5，则|a+1|＝2，解得a＝﹣3或1．则点P的坐标是（﹣3，0）或（1，0）；（3）关于x的不等式kx+b＜的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．24．（1）①证明：如图1中，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠A+2∠ABD＝90°，∴△ABD为“类直角三角形”．②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°，∴∠ABE+2∠A＝90°，∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°∴∠A＝∠CBE，∴△ABC∽△BEC，∴＝，∴CE＝＝，（2）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AD＝5，AB＝13，∴BD＝＝＝12，①如图2中，当∠ABC+2∠C＝90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF＝∠DOA，∵∠DBF+∠DAF＝180°，且∠CAD＝∠AOD，∴∠CAD+∠DAF＝180°，∴C，A，F共线，∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°∴∠C＝∠ABF，∴△FAB∽△FBC，∴＝，即＝，∴AC＝．②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，∴∠C+2∠ABC＝90°，∵∠CAD＝∠CBF，∠C＝∠C，∴△DAC∽△FBC，∴＝，即＝，∴CD＝（AC+5），在Rt△ADC中，CD2+AD2＝AC2，∴AC＝（舍去负值），综上所述，当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或．25．解：（1）将A（﹣3，0）、B（2，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x+3；（2）①将E（m，2）代入y＝﹣x+3中，得﹣m+3＝0，解得m＝﹣2或1（舍去），∴E（﹣2，2），∵A（﹣3，0）、B（2，0），∴AB＝5，AE＝，BE＝2，∴AB2＝AE2+BE2，∴∠AEB＝∠DOB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°，∴∠EAB＝∠ODB，（Ⅰ）当△FEA∽△BOD时，∴∠AEF＝∠DOB＝90°，∴F与B点重合，∴EF＝BE＝2，（Ⅱ）当△EFA∽△BOD时，∴∠AFE＝∠DOB＝90°，∵E（﹣2，2），∴EF＝2，故：EF的长为2或2；②点H的坐标为（﹣，）或（﹣，），（Ⅰ）过点H作HN⊥CO于点N，过点G作GM⊥HN于点M，∴∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°，∴∠CHN＝∠MGH，∵HN⊥CO，∠COP＝90°，∴HN∥AB，∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH，∵E（﹣2，2），C（0，3），∴直线CE的解析式为y＝x+3，∴P（﹣6，0），∴EP＝EB＝2，∴∠APE＝∠EBA，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠APE＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，∴GC∥PB，又C（0，3），∴G点的纵坐标为3，代入y＝﹣x+3中，得：x＝﹣1或0（舍去），∴MN＝1，∵∠AEB＝90°，AE＝，BE＝2，∴tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH＝，设CN＝MG＝m，则HN＝2m，MH＝m，∴MH+HN＝2m+m＝1，解得，m＝，∴H点的橫坐标为﹣，代入y＝x+3，得：y＝，∴点H的坐标为（﹣，）．（Ⅱ）过点H作MN⊥PB，过点C作CN⊥MH于点N，过点G作GM⊥HM于点M，∴CN∥PB，∴∠NCH＝∠APE，由（Ⅰ）知：∠APE＝∠EBA，则∠NCH＝∠EBA，∵∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠HCN+∠NHC＝∠MHG+∠NHC＝90°，∴∠HCN＝∠MHG，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠EBA＝∠HCN＝∠MHG，由（Ⅰ）知：tan∠EBA＝，则tan∠MHG＝＝tan∠GCH＝，设MG＝a，则MH＝2a，∵∠NCH＝∠MHG，∠N＝∠M，∴△HMG∽△CNH，∴，∴NH＝2a，CN＝4a，又C（0，3），∴G（﹣3a，3﹣4a），代入y＝﹣x+3中，得，a＝或0（舍去），∴CN＝，∴H点的橫坐标为﹣，代入y＝x+3，得，y＝．∴点H的坐标为（﹣）．综合以上可得点H的坐标为（﹣，）或（﹣）．。

初中中考数学专题01 实数(原卷版)

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）专题01 实数一、选择题1. （2024湖北省）在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作20+元，则支出10元记作（） A. 10+元B. 10-元C. 20+元D. 20-元2. （2024广西）下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（） A.B.C.D.3. （2024河北省）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（）A.B. C.D.4. （2024四川达州）有理数2024的相反数是（） A. 2024B. 2024-C.12024D. 12024-5. （2024黑龙江齐齐哈尔）实数-5相反数是（） A. 5B. 5-C.15D. 15-6. （2024山东枣庄）下列实数中，平方最大的数是（） A. 3B.12C. 1-D. 2-7. （2024贵州省）下列有理数中最小的数是（） A. 2-B. 0C. 2D. 48. （2024甘肃威武）下列各数中，比-2小的数是（） A. 1-B. 4-C. 4D. 19. （2024山东威海）一批食品，标准质量为每袋454g ．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（） A. 7+B. 5-C. 3-D. 1010. （2024福建省）下列实数中，无理数是（） A. 3-B. 0C.23D.511. （2024天津市）计算3-（-3）的结果是（） A. 6B. 3C. 0D. －612. （2024吉林省）若（﹣3）×口的运算结果为正数，则口内的数字可以为（） A. 2B. 1C. 0D. 1-13. （2024四川内江）16的平方根是（） A. 4-B. 4C. 2D. 4±14. （2024天津市）估算 10的值在（） A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间15. （2024北京市）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（） A.16810⨯B. 17210⨯C. 17510⨯D. 18210⨯16. （2024福建省）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT （《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（） A. 696110⨯B. 2696.110⨯C. 46.96110⨯D. 50.696110⨯17. （2024山东威海）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（） A. 5110-⨯B. 6110-⨯C. 7110-⨯D. 8110-⨯18. （2024河南省）如图，数轴上点P 表示的数是（）A. 1-B. 0C. 1D. 219. （2024四川南充）如图，数轴上表示2的点是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D20. （2024深圳）如图，实数a ，b ，c ，d 在数轴上表示如下，则最小的实数为（）A. aB. bC. cD. d21. （2024北京市）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. 1b >-B. 2b >C. 0a b +>D. 0ab >22. （2024江苏扬州）实数2的倒数是（） A. 2-B. 2C. 12-D.1223. （2024陕西省）-3的倒数是（） A. 3 B.13C. 13-D. 3-二、填空题1. （2024武汉市）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作3+℃，则零下2℃记作_________℃．2. （2024江苏连云港）如果公元前121年记作121-年，那么公元后2024年应记作__________年．3. （2024安徽省）10，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为22710______227（填“>”或“<”）． 4. （2024黑龙江齐齐哈尔）共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为______． 5. （2024湖北省）写一个比1-大的数______． 6. （2024重庆市B ）计算：023-+=______． 7. （2024四川广安）39=______． 8. （2024广西）3__．9. （2024内蒙古赤峰）请写出一个比5小的整数_____________10. （2024四川成都市）若m ，n 为实数，且()2450m n ++-=，则()2m n +的值为______． 11. （2024河北省）已知a ，b ，n 均为正整数．（1）若101n n <<+，则n =______；（2）若1,1n a n n b n -<<<<+，则满足条件的a 的个数总比b 的个数少______个．12. （2024北京市）联欢会有A ，B ，C ，D 四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。

2021年九年级中考数学勾股定理复习高频考点靶向专题提升练习

2021年中考数学《勾股定理》复习高频考点靶向专题提升练习专题一：勾股定理中的多解问题1. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是( )A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.52. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为．3. 已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．4. 若△ABC的三边a，b，c满足(a－c)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC的形状是 .5. 已知△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，BC边上的高AD＝8cm，则边BC的长为 .专题二：利用勾股定理求阴影部分面积1.如图，图中有一个正方形，此正方形的面积是( )A.16B.8C.4D.22. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和3.如图，在正方形ABCD中，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是________.4.如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm2.5.如图是由四个直角边分别为3和4的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，那么阴影部分面积为．6.如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请写出S1，S2，S3的数量关系：．专题三：利用勾股定理解决折叠问题1. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53B.52C.83 D ．52. 有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm ，BC=8cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE(如图)，则CD 等于( )A.254cmB.223cmC.74cmD.53cm3. 如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE=OD ，则AP 的长为________.4. 如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝．5.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.专题四：勾股定理的验证及实际应用1. 如图，一棵大树在离地面9m高的B处断裂，树顶A落在离树底BC12m处，则大树断裂之前的高度为( )A.9mB.15mC.21mD.24m2. 如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵树高4m，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行( )A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m3. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭(ji ā)生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”(注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺)这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．若把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是尺．4. 意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是( )A．S1＝a2＋b2＋2ab B．S1＝a2＋b2＋abC．S2＝c2D．S2＝c2＋12ab5. 超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？(3≈1.732)6. 如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m.(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长．(2)直接写出喷泉B到小路AC的最短距离．7. 如图，是某次机器人创意大赛中一位参赛队员设计的机器人行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B.问从点A到点B的直线距离是多少？专题五：勾股定理的解决最值范围、面积类问题1. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b 的面积为( )A.3B.4C.5D.72. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤133. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边分别为a，b，斜边为c，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是 .4. 如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是．5. 如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，E是AB的中点，H是AD上任意一点．如果AB＝AC＝BC＝10，那么HE＋HB的最小值是．6.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的长方形斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，求阳光透过的最大面积.7. 如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A 开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少？。

北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—相似三角形综合解答题(含解析)

北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—相似三角形综合解答题1．如图在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为点E且点E在AD上，BE交PC于点F．（1）求证：△ABE∽△DEC；（2）当AD＝25时，且AE＜DE时，求tan∠PCB的值；（3）当BP＝9时，求BE•EF的值．2．如图，在△ABC中，BA＝BC，AB＝kAC．点F在AC上，点E在BF上，BE＝2EF．点D 在BC延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE＝180°．（1）求证：∠CAD＝∠EAB；（2）求的值（用含k的式子表示）；（3）如图2，若DH＝AH，求的值（用含k的式子表示）．3．已知在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D．（1）在图1中，写出其中两对相似三角形．（2）已知BD＝1，DC＝2，将△CBD绕着点D按顺时针方向进行旋转得到△C'BD，连接AC'，BC．①如图2，判断AC'与BC之间的位置及数量关系，并证明；②在旋转过程中，当点A，B，C'在同一直线时，求BC的长．4．如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上的一点（不与点C，D重合），点F在边CB的延长线上，且AE＝AF，连接EF交AB于点M，交AC于点N．（1）求证：AE⊥AF；（2）若∠BAC＝2∠BAF，求证：AF2＝AM•AB；（3）若CE＝nDE，求的值（用含n的式子表示）．5．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD 上．（1）求证：△ABF∽△DFE；（2）若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值；（3）在△ABF中，AF＝5cm，BF＝10cm，动点M从点B出发，在BF边上以每秒2cm的速度向点F匀速运动，同时动点N从点A出发，在AB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为ts（0≤t≤5），连接MN，若△ABF与以点B，N，M为顶点的三角形相似，求t的值．6．【基础探究】如图1，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB，AC为对角线，AD•CB＝DC•AC．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）若AC＝8，AB＝12，则AD＝．【应用拓展】如图2，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC为对角线，AD•CB＝DC•AC，E为AB的中点，连结CE、DE，DE与AC交于点F．若CB＝6，CE＝5，请直接写出的值．7．已知：∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA，直线CB分别交于点F，点G．（1）如图1，当点F在射线CA上时，①求证：PF＝PE；②设CF＝a（0＜a＜1），试求CG的值（用含a的代数式表示）；（2）如图2，点F在AC延长线上，连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．8．（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．9．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M是边AB上的动点（不与A，B 重合），MQ⊥BC于点Q，MN∥BC，交AC于点N，连接NQ．（1）求证：△QBM∽△AMN；（2）若点M为AB的中点（如图2），求QB的长；（3）若四边形BMNQ为平行四边形（如图3），求QB的长．10．如图，已知△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点P，Q同时从AB两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是2cm/s，点Q运动的速度是4cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．11．问题初探：数学兴趣小组在研究四边形的旋转时，遇到了这样的一个问题．如图1，四边形ABCD和BEFG都是正方形，BH⊥AE于H，延长HB交CG于点M．通过测量发现CM＝MG．为了证明他们的发现，小亮想到了这样的证明方法：过点C作CN⊥BM于点N．他已经证明了△ABH≌△BCN，但接下来的证明过程，他有些迷茫了．（1）请同学们帮小亮将剩余的证明过程补充完整；（2）深入研究：若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图2所示），且（其中k＞0），请直接写出线段CM、MG的数量关系为；（3）拓展应用：在图3中，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，连接BD、CE，F为BD中点，则AF与CE的数量关系为．12．如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）如图2，过点A作AM⊥CD于M，交BC于点E，若，求的值；（3）如图3，N为CD延长线上一点，连接AN、BN，若，∠NBD＝2∠ACD，则tan∠ACN的值为．13．如图（1），点E为正方形ABCD内一动点，连接CE，DE，且∠DEC＝90°，以CE为边向右侧作等腰直角三角形ECF，∠ECF＝90°，连接AF，BF．（1）求∠BFE的度数；（2）如图（2），连接AE，若∠AEF＝90°．①求证：＝；②求tan∠AFE的值．14．（1）阅读解决华罗庚是我国著名的数学家，他推广的优选法，就是以黄金分割法为指导，用最可能少的试验次数，尽快找到生产和科学实验中最优方案的一种科学试验方法．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点，它们的比值为．在图①中，若AB＝12m，则BC的长为 cm；（2）问题解决如图②，用边长为40m的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点为H，折痕为CG．证明：G是AB的黄金分割点；（3）拓展探究如图③在边长为m的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF，CB交于点P．发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想这一发现，并说明理由，15．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在△ABC与△AED中，BA＝BC，EA＝ED，且△ABC～AED，所以称△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接EB，DC，则称为“关联比”．下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：（1）当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，且α＝90°时，①在图2中，若点E落在AB上，则“关联比”＝；②在图3中，探究△ABE与△ACD的关系，并求出“关联比”的值．（2）如图4，当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，且α＝120°，①“关联比”＝．②AB＝2时，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，线段BC扫过的面积是．[迁移运用]（3）如图5，△ABC与△AED为“关联等腰三角形”．若∠ABC＝∠AED＝90°，AC＝4，点P为AC边上一点，且PA＝1，点E为PB上一动点，当点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为．16．【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点，可以猜想：DE∥BC且DE＝BC．对此，我们可以用演绎推理给出证明．证明：在△ABC中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴，请根据教材提示，结合图1，写出完整证明过程．【结论应用】如图2，在△ABC中AD垂直于∠ABC的平分线BE于点E，且交BC边于点D，点F为AC 的中点．若AB＝6，BC＝10，求EF的长．【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，D为AC中点，将AD绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AD1，连结CD1，取CD1的中点E，连结BE．则△BEC面积的最大值为．17．【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若CE⊥BD，则的值为．【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝18，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处，得到△CBD，点F为线段AD上一动点，连接CF，作DE⊥CF交AB于点E，垂足为点G，连接AG．设，求AG的最小值．18．类比推理是根据两个或两类对象在一系列属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理．借助类比推理可以发现解决问题的方法．如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，＝m，点D、F分别是边AB、AC上的点，∠B＝2∠ADF，过点A作AE⊥DF交DF的延长线于点E，求的值．为了获取解决问题的方法，小敏先假设m＝1，点D与点B重合（图（2）），此时她发现BE 是∠ABC的角平分线，因为BE又与AE垂直，所以她想到将AE与BC延长，于是她求出了的值．（1）图（2）中，∠CAE＝ °，小敏求出的＝；（2）接着在m＝1的条件下，她让点D与点B不重合，如图（3），请尝试探究此时的值；（3）最后她类比特例中采用的方法，成功地解决的原题．请结合特例探究的经验，尝试求出原题图（1）中的值．（4）如图（4），∠C＝90°，点D、F分别在BC、AC边上，连接AD、BF交于点M，过点A作AE⊥BF，BC＝mAF，CF＝mBD．请直接写出的值．19．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，且B，D，E三点恰好在一条直线上．（1）如图①，连接CE，求证：△ABD∽△ACE；（2）如图②，若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，延长AE，BC交于点F，若，求的值；（3）如图③，若△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝6，点G为△ABC内一点，连接AG，BG，CG，且∠BAG＝∠GBC，∠BGC＝90°，BG＝2GC，请直接写出AG的长．20．几何学的产生，源于人们对土地测量的需要，后来由实际问题抽象成为数学问题．初中数学常见的几何模型有很多，通过整理归纳，可以从这些基本模型中找到其所藻蕴含的规律．【提出问题】如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，△ADE绕点A旋转，连结BD、EC，小明通过探究得到∠ABD与∠BCE的大小存在某种数量关系，具体探究过程如下．【探究问题】小明先将上述问题“特值化”，如图1，令AB＝1，AD＝，∠ABD＝100°，则可证明△ABD和△ACE相似，进而可求得∠BCE的度数．请你帮助小明完成解答过程．【解决问题】将问题“一般化”，如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，∠ABD与∠BCE满足的数量关系为．【拓展应用】如图3，过线段AB的端点B作射线BM⊥AB，Rt△ADE的直角顶点D在射线BM上运动，连结BE，若AB＝4，＝，则BE的最小值为．答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵BE⊥CG，∴∠BEC＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠CED＝∠DCE，∴△ABE∽△DEC；（2）解：当AD＝25时，如图：由（1）知△ABE∽△DEC，∴＝，设AE＝m，则DE＝25﹣m，∴＝，解得：m＝9或m＝16，经检验，m＝9或m＝16是原分式方程的解，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16，∴CE＝20，BE＝15，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，BP＝PG，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴＝，设BP＝BF＝PG＝n，∴＝，∴n＝，经检验，n＝是原分式方程的解，∴BP＝，∴tan∠PCB＝＝＝；（3）解：连接FG，如图：∵∠GEF＝∠PGC＝90°，∴BF∥PG，由（2）知BF＝PG＝BP＝9，∴四边形BPGF是菱形，GF＝9，∴BP∥GF，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴＝，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108．2．（1）证明：∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠ACD+∠DAE＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°∴∠DAE＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠CAE＝∠BAC﹣∠CAE，即∠CAD＝∠BAE；（2）解：如图1，过点C作∠ACM＝∠ABE，交AD于点M，∵∠DAC＝∠BAE，∴△AEB∽△AMC，∴＝＝，∵AB＝kAC，∴AM＝AE，CM＝BE，∵BE＝2EF，∴CM＝EF，∵∠AEF＝∠EAB+∠ABE，∠DMC＝∠MAC+∠ACM，∴∠DMC＝∠AEF，∵∠ACB＝∠D+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠EAE，∠DAE＝∠ACB，∴∠D＝∠FAE，∴△DCM∽△AFE，∴＝，∴DM＝AE，∴AD＝AM+DM＝AE，∴＝；（3）解：如图2，过点B作BN∥AC交AE延长线于点N，∵∠D＝∠CAH，∠AHC＝∠DHA，∴△AHC∽△DHA，∴＝，＝＝，∴AH2＝CH•DH，AD＝AC，∵AB＝kAC，∴AD＝AB，∵＝，∴AE＝AB，设AH＝2a，AB＝BC＝b，则DH＝3a，AE＝b，∵BN∥AC，BE＝2EF，∴NE＝2AE＝b，∵EH＝AH﹣AE＝EN﹣NH，∴NH＝b﹣2a，∵AH2＝HC•DH，∴CH＝a，∴CD＝a，由（2）知，BN＝ak，∵△ADH∽△NBH，∴＝，∴＝，整理得：9b2﹣12ab﹣20a2k2＝0，解得：b1＝a（舍去），b2＝a，∴＝．3．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD，△BCD∽△BAC；（2）①，AC'⊥BC，理由如下：由（1）知，在图1中，△ABC∽△CBD∽△ACD，∴，如图2，∵∠BDC'＝∠CDA＝90°，∴∠BDC＝∠C'DA，∴△DBC∽△DC'A，∴，∠DC'A＝∠DBC，∵∠DEB＝∠CEC'，∴∠C'FE＝∠BDC'＝90°，∴AC'⊥BC，∴，AC'⊥BC；②如图，当点A、B、C'在同一直线上时，由①知，，AC'⊥BC，设BC＝x，AC'＝2x，在Rt△ACB中，由勾股定理得，x2+（2x﹣）2＝（2）2，解得x＝（负值舍去），如图，当A、C'、B在同一直线上时，同理可得，x2+（2x+）2＝（2）2，解得x＝（负值舍去），综上：BC＝或．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，∴∠D＝∠ABF＝90°，在Rt△ABF与Rt△ADE中，，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴∠FAB＝∠EAD，∵∠EAD+∠BAE＝90°，∴∠FAB+∠BAE＝90°，∴∠FAE＝90°，∴AE⊥AF；（2）证明：∵∠BAC＝45°，∠BAC＝2∠BAF，∴∠BAF＝22.5°，由（1）知，∠DAE＝∠BAF＝22.5°，∵∠DAC＝45°，∴∠CAE＝22.5°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AE＝AF，AE⊥AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°，∴∠AFM＝∠ACE，∴△AFM∽△ACE，∴＝，∴AF2＝AC•AM，∵AC＝AB，∴AF2＝AM•AB；（3）解：∵CE＝nDE，∴设DE＝1，CE＝n，由（1）知，Rt△ABF≌Rt△ADE，∴BF＝DE＝1，∴BC＝AB＝CD＝1+n，∴FC＝n+2，∴FE＝＝＝，∵BM∥CE，∴△BFM∽△CFE，∴＝，∴FM＝，∵∠AEN＝∠ACE＝45°，∠EAN＝∠CAE，∴△AEN∽△ACE，∴＝，∵AE＝＝，AC＝CD＝（n+1），∴EN＝＝＝，∴＝＝．5．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝180°﹣∠BFE＝90°，又∵∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE；（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE＝，∴设DE＝a，EF＝3a，则DF＝2a，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴CE＝EF＝3a，CD＝DE+CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，由（1）得：△ABF∽△DFE，∴，∴tan；（3）解：∵AF＝5cm，BF＝10cm，∴AB＝5cm，∵∠ABF＝∠NBM，①当△ABF∽△NBM时，如图，此时，，即，∴t＝2.5；②当△ABF∽△MBN时，如图，此时，即，∴t＝，综上，t＝2.5或．6．（1）证明：∵∠ADC＝∠ACB，，∴△ADC∽△ACB，∴∠DAC＝∠CAB，∴AC平分∠DAB；（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AB×AD，∵AC＝8，AB＝12，∴64＝12AD，∴AD＝，故；（3）解：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，∴AB＝2CE＝10，∴AC＝8，∵△ADC∽△ACB，∴AD＝＝6.4，由（1）知∠DAC＝∠EAC，∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴△AFD∽△CFE，∴．7．（1）①证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N．∵CD是∠ACB的平分线，∴PM＝PN．由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90°，∴∠1+∠FPN＝90°，∵∠2+∠FPN＝90°，∴∠1＝∠2．∴△PMF≌△PNE（AAS）．∴PF＝PE．②解：∵CP＝，∴CN＝CM＝1．∵△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1﹣a．∴CE＝2﹣a．∵CF∥PN，∴△GCF∽△GNP，∴．∴CG＝（0＜a＜1）．（2）解：当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时，∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG，∴∠G＝∠1．∴FG＝FE．∴CG＝CE．在Rt△EGP中，EG＝2CP＝2．②当点F在AC延长线上时，∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2．∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠3，∠2＝∠3，∴∠5＝∠2．易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4．∴FC＝CP＝．∴FM＝1+．易证△PMF≌△PNE，可得EN＝1+．∵CF∥PN，∴．∴GN＝﹣1．∴EG＝2．8．（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴＝＝＝；（3）解：①∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝＝，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴＝＝；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC＝＝．9．解：（1）∵MQ⊥BC，∴∠BQM＝90°＝∠A，∵MN∥BC，∴∠B＝∠AMN，∴△QBM∽△AMN；（2）在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，根据勾股定理得，BC＝5，∵点M为AB的中点，且AB＝3，∴AM＝BM＝＝，∵∠B＝∠B，∠BQM＝∠BAC＝90°，∴△QBM∽△ABC，∴，∴，∴QB＝；（3）∵四边形BMNQ为平行四边形，∴BQ＝MN，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，设AM＝3a，则MN＝5a，∵四边形BMNQ为平行四边形，∴BQ＝MN，∴BQ＝MN＝5a，由（1）知，△QBM∽△AMN，∴，∴，∴a＝，∴BQ＝5a＝．10．解：（1）结论：△PBQ是等边三角形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝12，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵t＝2，∴AP＝4，BQ＝8，∴PB＝AB﹣AP＝8，∴BP＝BQ，∵∠B＝60°，∴△PBQ是等边三角形．（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E由QB＝4t，得QE＝4t•sin60°＝2t由AP＝2t，得PB＝12﹣2t∴S△BPQ＝×BP×QE＝（12﹣2t）×2t＝﹣2t2+12t．（3）∵QR∥BA∴∠QRC＝∠A＝60°，∠RQC＝∠B＝60°∴△QRC是等边三角形∴QR＝RC＝QC＝12﹣4t∵BE＝BQ•cos60°＝×4t＝2t∴EP＝AB﹣AP﹣BE＝12﹣2t﹣2t＝12﹣4t∴EP∥QR，EP＝QR∴四边形EPRQ是平行四边形∴PR＝EQ＝2t又∵∠PEQ＝90°，∴四边形EPRQ是矩形，∴∠APR＝∠PRQ＝90°∵△APR∽△PRQ，∴∠QPR＝∠A＝60°∴tan60°＝，即＝解得t＝∴当t＝s时，△APR∽△PRQ．11．解：（1）过G作GQ⊥BM于点Q，∵BH⊥AE，∴∠GQB＝∠BHE＝90°，∠HBE+∠BEH＝90°，∵正方形BEFG，∴BE＝BG，∠GBE＝90°，∴∠HBE+∠QBG＝90°，∴∠QBG＝∠BEH，∴△EBH≌△BGQ（AAS），∴BH＝GQ，∵△ABH≌△BCN，∴BH＝CN，∴CN＝GQ，又∵∠CMN＝∠QMG，∴△CMN≌△GMQ（AAS），∴CM＝MG，∴M为CG的中点．（2）过点C作CN⊥BM于点N，过G作GQ⊥BM于点Q．∵∠ABC＝90°，∴∠ABH+∠CBN＝90°，∵∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠CBN＝∠BAH，∴△ABH∽△BCN，同理可得：△BEH∽△BGQ．∵，∴，∴，∵∠AMN＝∠GMQ，∴△CMN∽△GMQ，∴，∴MG＝k2CM．故MG＝k2CM；（3）延长AF至点G，使AF＝FG，∵AF＝FG，BF＝DF，∴四边形ABGF为平行四边形，∴AD∥BG，AD＝BG，∴∠ABG+∠BAD＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝180°，∴∠ABG＝∠BAD，∵∠ACB＝∠AED＝30°，∴AC＝AB，AE＝AD＝BG，∴，∴△CAE∽△ABG，∴，∴，∴CE＝2AF．故CE＝2AF．12．（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A＝90°，∴△ABC∽△ACD，∴，∴AC2＝AD•AB；（2）解：过点E作EF⊥AB交AB于点F，∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠DAC＝90°，∴∠DAM+∠ADM＝∠ADM+∠ACD＝90°，∴∠DAM＝∠ACD，∵∠ABC＝∠ACD，∴∠DAM＝∠ABC，∴△AEB为等腰三角形，∴AE＝BE，AF＝BF＝AB，又∵△ABC∽△ACD，∴，∵＝，令CD＝a，则BC＝2a，AB＝2AC，在Rt△ABC中，BC2＝AB2+AC2，∴AC＝a，AB＝a，∴AF＝AB＝a，AD＝AC＝a，∵∠ACD＝∠ABC，∴sin∠ACD＝sin∠ABC，即，∴AM＝＝a，又∵∠BAE＝∠ACD，∠EFA＝∠DCA＝90°，∴Rt△AEF∽Rt△ADC，∴，∴AE＝＝a，∴＝，∴；（3）解：作∠NBD的角平分线BP交DN于点P，过点A作AF⊥CN于F，∴∠NBP＝∠PBD＝∠NBD，∵∠NBD＝2∠ACD，∴∠NBP＝∠PBD＝∠ACD，且∠PDB＝∠ADC，∴∠BPD＝∠BAC＝90°，∴BP⊥DN，在△BNP和△BDP中，，∴△BNP≌△BDP（ASA），∴BN＝BD，NP＝DP，∵∠PBD＝∠ACD，∠PDB＝∠ADC，∴△PDB∽△ADC，∴，由（1）知，AC2＝AD•AB，在Rt△ADC中，AC2＝CD2﹣AD2，AB＝AD+BD，∴CD2﹣AD2＝AD（AD+BD），∵CD＝，BN＝3，BD＝BN＝3，即（）2﹣AD2＝AD2+3AD，解得AD＝1或AD＝﹣（舍去），∵＝＝，∴PD＝AD＝，∵NP＝DP，∴DN＝2PD＝，AC＝2，∵AF•DC＝AD•AC，∴AF＝，在Rt△ADF中，DF＝＝，∴NF＝ND+DF＝+＝，在Rt△ANF中，tan∠ANC＝＝．故．13．（1）解：在正方形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°，又∵△ECF是等腰直角三角形，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∠CFE＝45°，∴∠ECF﹣∠ECB＝∠BCD﹣∠ECB，∴∠DCE＝∠BCF，∴△DEC≌△BFC（SAS），∴∠BFC＝∠DEC＝90°，∴∠BFE＝∠EFC＝45°；（2）①证法1：如图2中，将DE边沿着D点顺时针旋转90°得到DH边，连接CH，EH，则DE＝DH．∴∠EDH＝∠ADC＝90°，∠DHE＝∠DEH＝45°，∴∠ADE＝∠CDH，∠HEC＝45°，又∵AD＝CD，∴△ADE≌△CDH（SAS），∴AE＝CH，又∵∠AEF＝∠DEC＝90°，∠CEF＝45°，∴∠AED＝135°＝∠DHC，∴∠EHC＝90°，即EH＝CH，∴，，∴；证法2：如图3中，连接AC．∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝135°，∴∠AED＝360°﹣∠AEC﹣∠DEC＝135°，∴∠AEC＝∠AED，又∵∠DAE+∠EAC＝45°，∠ACE+∠EAC＝45°，∴∠DAE＝∠ACE，∴△ADE∽△CAE，∴，∵EC＝CF，ED＝BF，∴；②解法1：如图2中，∵AE＝CH，∴，即CE＝，∵EF＝，∴EF＝2AE，即tan∠AFE＝；解法2：如图3中，∵△ADE∽△CAE，∴，又∵EF＝，∴tan∠AFE＝．14．（1）解：∵＝，∴＝，整理得：BC2+12BC﹣144＝0，解得：BC1＝6﹣6，BC2＝﹣6﹣6（舍去），则BC的长为（6﹣6）cm，故（6﹣6）；（2）证明：如图②，分别延长DA、CG交于点M，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠BCG＝∠M，由折叠的性质可知：∠BCG＝∠ECG，∴∠ECG＝∠M，∴EC＝EM，由勾股定理得：EC＝＝＝20（cm），∴AM＝（20﹣20）cm，∵AD∥BC，∴△MAG∽△CBG，∴＝＝＝，∴G是AB的黄金分割点；（3）当PB＝BC时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点，理由如下：∵CF⊥BE，∴∠CBE+∠BCF＝90°，∵∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，∵AD∥BC，∴△AFE∽△BFP，∴＝，∵F是AB的黄金分割点，∴＝，∴＝，∵AE＝BF，∴BP＝AB＝BC．15．解：（1）①∵△ABC与△AED为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝45°，＝＝，∠AED＝∠CBA＝90°，∴DE∥CB，若点E落在AB上，则点D落在AC上，∴＝＝，故；②∵△ABC与△AED为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝45°，＝＝，∠AED＝∠CBA＝90°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠EAC，∴∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴＝＝；（2）①如图4，过点E作EF⊥AD于点F，则∠AFE＝90°，∵AE＝DE，∠AED＝α＝120°，∴∠EAD＝∠EDA＝30°，AF＝DF，∴AE＝2EF，AF＝EF，∴AD＝2AF＝2EF，∴＝，同理：∠BAC＝30°，＝＝，∴∠EAD+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，故；②如图4﹣1，由①可知，＝，∴AC＝AB＝2，由旋转的性质得：∠BAB'＝∠CAC'＝60°，△ABC≌△AB'C'，∴线段BC扫过的面积＝△ABC的面积+扇形CAC'的面积﹣（△AB'C'的面积+扇形BAB'的面积）＝扇形CAC'的面积﹣扇形BAB'的面积＝﹣＝，故；（3）如图6同（2）得：△CAD∽△BAE，∴∠ACD＝∠ABE，∴点D所经过的路径是线段CD，此时CP＝AC﹣AP＝4﹣1＝3，PD＝AP＝1，∠CPD＝90°，∴CD＝＝＝，∴当点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为，故．16．解：【教材呈现】如图1中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴＝＝，∠ADE＝∠B，∴DE∥BC；【结论应用】如图2中，∵BE⊥AD，∴∠BEA＝∠BED＝90°，∵BE平分∠ABE，∴∠ABE＝∠DBE，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∴∠BAE＝∠BDE，∴BA＝BD，∴AE＝DE，∵AF＝FC，∴EF＝CD，∵AB＝BD＝6，BC＝10，∴CD＝BC﹣BD＝10﹣6＝4，∴EF＝CD＝2．【拓展延伸】如图3中，连接DE，过点D作DH⊥BC于H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∵AD＝DC，∴AD＝AC＝，∵DH∥AB，AD＝DC，∴BH＝HC，∴DH＝AB＝，∵AD＝DC，ED1＝EC，∴DE＝AD1＝，∴点E在以D为圆心，为半径的圆上运动，∴点E到直线BC的最大距离＝DE+DH＝+＝，∴△BCE的面积的最大值＝×4×＝．故．17．（1）解：如图1，设DE与CF交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，在△AED和△DFC中，，∴△AED≌△DFC（AAS），∴DE＝CF，即＝1，故1；（2）解：如图2，设DB与CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠EDC＝90°，AB＝CD，AD∥BC，∵CE⊥BD，∴∠DGC＝90°，∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，∴∠ECD＝∠ADB，∵∠CDE＝∠A，∴△DEC∽△ABD，∴＝＝，故；（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，∵CG⊥EG，∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCH为矩形，∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∵∠A＝∠H＝90°，∴△DEA∽△CFH，∴，∴，∴DE•AB＝CF•AD；（4）解：如图4，过点C作CH⊥AD于H，过点A作AN⊥DC于N，取CD的中点O，连接AO，CO，∵DE⊥CF，CH⊥AD，∴∠BAD＝∠EGF＝90°＝∠CHF，∴∠AEG+∠AFG＝180°，又∵∠AFG+∠CFH＝180°，∴∠AEG＝∠CFH，∴△DAE∽△CHF，∴＝，∴CH＝AD＝，∵将△ABD沿BD翻折，∴AD＝CD＝18，又∵∠ADC＝∠ADC，∠CHD＝∠AND＝90°，∴△AND≌△CHD（AAS），∴AN＝CH＝，∴DN＝＝＝，∵点O是CD的中点，∴DO＝CO＝9，∴NO＝，∴AO＝＝，∵∠CGD＝90°，∴点G在以CD为直径的圆上运动，∴当点G在线段AO上时，AG有最小值为﹣9．18．解：（1）如图1，延长AE，交BC的延长线于G，∵∠ABC＝2∠ABE，∴∠ABE＝∠GBG，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠BEG，∵BE＝BE，∴△ABE≌△GBE（ASA），∴AE＝EG，∴AG＝2AE，∵∠AFE＝∠BFC，∴∠CAE＝∠CBD＝＝22.5°，∵AC＝BC，∠ACB＝∠ACG＝90°，∴△ACG≌△BCF（ASA），∴AG＝DF，∴，故22，5°，；（2）如图2，作DH⊥AC，交AE的延长线于G，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠ADH＝90°﹣∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ADH，∴AH＝DH，∴△ADH是等腰直角三角形，∴∠ADH＝∠ABC＝2∠ADE，由（1）得，AG＝DF，AG＝2AE，∴；（3）如图3，作DH⊥AC，交AE的延长线于G，∴∠AHD＝∠C＝90°，∵∠HAD＝∠CAB，∴△AHD∽△ACB，∴＝m，由上可知，AG＝2AE，∠GAH＝∠HDF，∠AHG＝∠DHF＝90°，∴△AHG∽△DHF，∴，∴，∴；（4）如图4，作AG⊥AC，截取AG＝BD，∵∠C＝90°，∴AG∥BC，∴四边形AGBD是平行四边形，∴AD∥BG，∴∠∠EMA＝∠GBF，∵BC＝mAF，CF＝mBD，∴，∴，∵∠FAG＝∠C＝90°，∴△FAG∽△BCF，∴∠FAG＝∠CBF，，∴∠AFG+∠BFC＝∠CBF+∠BFC＝90°，∴∠BFG＝90°，∴∠BFG＝∠E＝90°，∴△AME∽△GBF，∴．19．（1）证明：∵DE∥BC，∴，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：如图1，连接CE，由（1）知，△ABD∽△ACE，∴＝＝tan∠ABC＝tan30°＝，∠ACE＝∠ABD，∴∠BEC＝∠BAC＝90°，∵∠AED＝60°，∴∠FEC＝180°﹣∠AED﹣∠AEC＝30°，∵∠ABC＝30°，∴∠FEC＝∠ABC，∵∠F＝∠F，∴△FEC∽△FBA，∴，∵＝，∴，∴；（3）解：如图2，将△ABG绕点A旋转∠BAC的度数至△ACG′，连接CG′，∴AG＝AG′，∠GAG′＝∠BAC，∵AB＝AC，∴，∴△AGG′∽△ABC，∴∠AGG′＝∠ABC，∵∠AGB+∠BAG+∠ABG＝180°，∠BAG＝∠CBG，∴∠AGB+∠CBG+∠ABG＝180°，∴∠AGB+∠ABC＝180°，∴∠AGB+∠AGG′＝180°，∴B、G、G′共线，∴∠CGG′＝90°，设CG＝a，则CG′＝BG＝2a，∴BC＝a，GG′＝＝，。

备战中考数学二轮专题归纳提升真题平面直角坐标系规律探究问题(解析版)

专题01 平面直角坐标系规律探究问题【知识点梳理】1、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P （a ，b ）与关于x 轴对称点的坐标为（a ，-b ）点P （a ，b ）与关于y 轴对称点的坐标为（-a ，b ）点P （a ，b ）与关于原点对称点的坐标为（-a ，-b ）口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号 2、点的平移点P （a ，b ）沿x 轴向右（或向左）平移m 个单位后对应点的坐标是(a ±m,b )；点P （a ，b ）沿y 轴向上（或向下）平移n 个单位后对应点的坐标是(a,b ±n ). 口诀：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.3、两点间的距离：在x 轴或平行于x 轴的直线上的两点P 1 (x 1,y )，P 2 (x 2,y )间的距离为|x 1−x 2| 在y 轴或平行于y 轴的直线上的两点P 1 (x ,y 1)，P 2 (x ,y 2)间的距离为|y 1−y 2| 任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2【典例分析】【例1y)经过某种变换后得到点P ′(−y +1,x +2)，我们把点P ′(−y +1,x +2)叫做点P(x,y)的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…、nP 、…，若点p 1的坐标为（2，0），则点P 2022的坐标为_____。

【答案】（1，4）．解析：解：P 1 坐标为（2，0），则P 2坐标为（1，4），P 3坐标为（-3，3），P 4坐标为（-2，-1），P 5坐标为（2，0），∴P n 的坐标为（2，0），（1，4），（-3，3），（-2，-1）循环， ∵2022=4×505+2， ∴P 2022 坐标与P 2点重合，故答案为（1，4）．【练1】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P′（y -1，-x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，2），则A 2023的坐标为________【答案】（-3，0）解析：解：∵A1（3，2），A2（1，-2），A3（-3，0），A4（-1，4），A5（3，2），…，∴点A n的坐标4个一循环．∵2023=505×4+3，∴点A2023的坐标与点A2的坐标相同．∴A2023的坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）．【练2】某同学在平面直角坐标系内设计了一个动点运动的编程．若一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，则点A2022的坐标为（）A．（22021﹣1，22021+1）B．（22022﹣1，22022+1）C．（22022﹣2，22022+2）D．（22021﹣2021，22021+2021）【答案】B【解析】解：∵一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，∴A n（2n﹣1，2n+1），∴A2022的坐标为：（22022﹣1，22022+1），故选：B．【练3】对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2022（1，﹣1）＝．【答案】（21011，21011）【解析】解：由题意可得：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8）…当n为奇数时，P n（1，﹣1）＝（0，），当n为偶数时，P n（1，﹣1）＝（2n2，2n2），∴P2022（1，﹣1）应该等于（21011，21011）．故答案是：（21011，21011）．【例2】如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2022的坐标是（）A．（2022，0）B．（2022，2）C．（2021，﹣2）D．（2022，﹣2）【答案】A【解析】解：观察图形可知，点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，2022÷4＝505…2，故点A2022坐标是（2022，0）．故选：A．【练1】如图，动点P1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2020，1）C．（2022，0）D．（2022，1）【答案】C【解析】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位，∴2022=4×505+2．当第505循环结束时，点P位置在（2020，0），在此基础之上运动两次到（2022，0）．故选C．【练2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（）A．（2022，1）B．（2022，2）C．（2022，﹣2）D．（2022，0）【答案】D【解析】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，故选：D．【练3】如图，平面直角坐标系中，一个点从原点O出发，按向右→向上→向右→向下的顺序依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点A1，第二次移到点A2，第三次移到点A3，…，第n次移到点A n，则点A2022的坐标是_____________.【答案】（1011,1）.【解析】观察图象可知，点A的纵坐标每4个点循环一次，∵2022=505×4+2，∴点A2022的纵坐标与点A2的纵坐标相同，∵A2（1，1），A6（3,1），A10（5,1）……，∴点A2022的坐标是（1011,1）.【例3】如图，在平面直角坐标系上有个点A（-1，O），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（-1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2(1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是( )A.(-505, 1011)B.(505, 1010)C.(-506, 1010)D.(506, 1011)【答案】D【解析】解：设第n次跳动至点A n，观察，发现：A（-1，0），A1（-1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（-2，2），A5（-2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（-3，4），A9（-3，5），…，∴A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）．∵2022=505×4+2，∴A2022（505+1，505×2+1），即（506，1011）．故选：D．【练1】如图所示，在平面直角坐标系上有个点P（1,0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位……依此规律跳动下去，点P第99次跳动至点P99的坐标是_____【答案】（-25，50）【解析】解：由题中规律可得出如下结论：设点Px的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4（n-1）和4n-3，在y轴左侧的点的下标是：4n-2和4n-1；判断P199的坐标，就是看99=4（n-1）和99=4n-3和99=4n-2和99=4n-1这四个式子中哪一个有负整数解，从而判断出点的横坐标.由上可得：点P第99次跳动至点P99的坐标是（-25，50）故答案为：（-25，50）.【练2】如图，在平面直角坐标系上有点A0(1,0)，点A0第一次跳动至点A1(−1,1)，第二次点A1跳动至点A2(2,1)，第三次点A跳动至点A3(−2,2)，第四次点A3跳动至点A4(3,2)，……依2此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（）A．2023B．2022C．2021D．2020【答案】A【解析】观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2022次跳动至A2022点的坐标是（1012，1011），第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，∴点A2021与点A2022之间的距离=1012﹣（﹣1011）=2023．故选：A．【练3】在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（）A．（673，2021）B．（674，2021）C．（﹣673，2021）D．（﹣674，2021）【答案】B【解析】解：因为A1（0，1），A2（1，2），A3（﹣1，3），A4（﹣1，4），A5（2，5），A6（﹣2，6），A7（﹣2，7），A8（3，8），…A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数），∵3×674﹣1＝2021，∴n＝674，所以A2021（674，2021），故选：B．【例4】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1）（1，1）,（1，2），（2，2）……根据这个规律，第2022个点的坐标为________【答案】（45，6）【解析】解：观察图形，可知：第1个点的坐标为（1，0），第4个点的坐标为（1，1），第9个点的坐标为（3，0），第16个点的坐标为（1，3），…，∴第（2n-1）2个点的坐标为（2n-1，0）（n为正整数）．∵2025=452，∴第2025个点的坐标为（45，0）．又∵2025-3=2022，∴第2022个点在第2025个点的上方3个单位长度处，∴第2022个点的坐标为（45，3）．故答案为：（45，3）．【练1】如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（）A．（﹣12，﹣12）B．（15，18）C．（15，﹣12）D．（﹣15，18）【答案】B【解析】解：根据题意可知：O A1＝3，A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18，A9A10＝30，∴A1点坐标为（3，0），A2点坐标为（3，6），A3点坐标为（﹣6，6），A4点坐标为（﹣6，﹣6），A5点坐标为（9，﹣6），A6点坐标为（9，12），以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，∴A10点坐标为（15，18），故选：B．【练2】如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→（0，1）→（0，2）→…，且每秒移动一个单位，那么第2022秒时，点所在位置的坐标是（）A ．（2，44）B ．（41，44）C ．（44，41）D ．（44，2）【答案】【解析】解：观察可发现，点到（0，2）用4＝22秒，到（3，0）用9＝32秒，到（0，4）用16＝42秒，则可知当点离开x 轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y 轴时的纵坐标为时间的平方，此时时间为奇数的点在x 轴上，时间为偶数的点在y 轴上, ∵2022＝452﹣3＝2025﹣3，∴第2025秒时，动点在（45，0），故第2022秒时，动点在（45，0）向左一个单位，再向上2个单位，即（44，2）的位置．故选：D ．【练3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3,−1)…根据这个规律探索可得，第99个点的坐标为( )A.(14,−1)B.(14,0)C.(14,1)D.(14,2)【答案】C【解析】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n 个有n 个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y 轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为(n,n−12)，(n,n−12−1)，…，(n,1−n 2)；偶数列的坐标为(n,n2)，(n,n2−1)，…，(n,1−n2)， ∵1+2+3+4+……+13=91∴第99个点位于第14列自上而下第7行．−6)，即(14,1)．代入上式得(14,142故选C．【例5】如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2022的坐标为．【答案】（12135，0）【解析】解：∵∠AOB＝90°，点A（3，0），B（0，4），根据勾股定理得AB＝5，根据旋转可知：OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，所以点A1（12，3），A2（15，0）；继续旋转得A3（24，3），A4（27，0）；…发现规律：A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），∵2022＝2n，∴n＝1011，∴点A2022的坐标为（12135，0），故答案为：（12135，0）．【练1】如图，动点P从（0，3）出发沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到长方形的边时点P的坐标为．【答案】（0，3【解答过程】解：如图所示：经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6＝337∴当点P第2022次碰到矩形的边时与P点起点位置重合，∴点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【练2】如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2019次，依次得到点P1,P2,P3,...,P2022，则点P2022的坐标是（）A.(2022,2)B.(2022,√3)C.(4043,2)D.(4043, √3)【答案】D【解析】解：由题意可知P1是1P的横坐标是3，P3的横坐标是5，P4的横坐标是7…依此类推下去，P n的横坐标是2n-1,∴P2022的横坐标是2×2022-1=4043纵坐标都是√3，故选：D．连续作旋转变换，依【练3】如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对OAB次得到Δ1，Δ2，Δ3，Δ4，…，则∆2022的直角顶点的坐标为______.【答案】（8088，0）【解析】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），∴AB=√32+42=5由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2022÷3=674，∴∆2022的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点；∵674×12=8088，∴∆2022的直角顶点的坐标为（8088，0）.故答案为（8088，0）.【例6】如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推……则正方形OB2021B2022C2022的顶点B2022的坐标是_____.【答案】（0,-22011）【解析】解：∵正方形OA1B1C1的边长为1，∴OB1=√2∴OB2=2∴B2（0，2），同理可知B3（-2，2），B4（-4，0），B5（-4，-4），B6（0，-8），B7（8，-8），B9（16，16），B10（0，32）．由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的√2倍，∵2022÷8=252⋯⋯6，∴B8n+6（0，-24n+3），∴B2022（0,-22011）．故答案为：（0,-22011）．【练1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，0A1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2022的坐标是_____．【答案】（0,-22011）【解析】解：由等腰直角三角形的性质，可知：A 1（1，1），A 2（0，2），A 3（﹣2，2），A 4（0，﹣4），A 5（﹣4，﹣4），A 6（0，﹣8），A 7（8，﹣8），A 8（16，0），A 9（16，16），A 10（0，32），A 11（﹣32，32），…，∵2022＝252×8+6∴点A 8n+6的坐标为（0，24n+3）（n 为自然数）．∴点A 2022的坐标为（0，24×252+3），即（0,-22011），故答案为：（0,-22011）．【练2】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）.长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点2A ，作正方形A 2B 2C 2C 1……按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为_____．【答案】5×(32)4042.【解析】解：∵点A 的坐标为（1,0），点D 的坐标为（0,2）∴正方形ABCD 的边长为√5，设其面积为S 1=5，依此类推，接下来的面积依次为S 2,S 3,S 4⋯⋯第2022个正方形的面积为S 2022，又∵三角形相似，∴ OA OD =A 1B AB =A 2B 1A 1B 1=⋯=12. ∴ S 2=5×94，S 3=5×(94)2…… ∴S 2022=5×(94)2022−1=5×(94)2021=5×(32)4042.【练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线B n B n+1都在y 轴上，且B n B n+1的长度依次增加1个单位长度，顶点A n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为；用n的代数式表示A n的纵坐标：．【答案】2；【解析】解：作A1D⊥y轴于点D，则B1D＝B1B2÷2＝（3﹣1）÷2＝1，∴A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+12，同理可得A2的纵坐标＝OB2+（B2B3）÷2＝3+（6﹣3）÷2 4.5，∴A n的纵坐标为，故答案为2，．。

备战2021中考数学考点专题训练——专题一：一次函数(word解析版)

备战2021中考数学考点专题训练——专题一：一次函数1．快车与慢车分別从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示．（1）甲乙两地之间的路程km；快车的速度为km/h；慢车的速度为km/h；（2）出发小时后，快慢两车相遇；（3）求快慢两车出发几小时后第一次相距150km？2．为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）3．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：2 5 20 23 30离开宿舍的时间/min0.2 0.7离宿舍的距离/km（Ⅱ）填空：①食堂到图书馆的距离为km；②小亮从食堂到图书馆的速度为km/min；③小亮从图书馆返回宿舍的速度为km/min；④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为min．（Ⅲ）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．4．表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．x﹣1 0y﹣2 1（1）求直线1的解析式；（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．5．小张和小王是同一单位在A、B两市的同事，已知A、B两市相距400km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）．已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20km．两人距B市的距离y（km）与小张行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）小王的速度为km/h，a的值为；（2）求小张加速前的速度和b的值；（3）在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为何值时，两人相距20km？6．如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝kx+b交于点E（m，4），直线l1与坐标轴交于点A、B，l2与x轴和y轴分别交于点C、D，且OC＝2OB，将直线l1向下平移7个单位得到直线l3，交l2于点F，交y轴于点G，连接GE．（1）求直线CD的解析式；（2）求△EFG的面积．7．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距离A地的距离为y（km）．甲车行驶的时间为x（h），y与x之间的函数图象如图所示．（1）求甲车距离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；（2）当乙车到达A地时，求甲车距离A地的距离．8．在平面直角坐标系中，点A（a，6），B（5，b），（1）若a，b满足+（a﹣b﹣1）2＝0，求点A，B的坐标；（2）如图1，点C在在直线AB上，且点C的坐标为（m，n），求m，n应满足怎样的关系式？（3）如图2，将线段AB平移到EF，且点D在直线EF上，且D点的纵坐标为x，当满足S≥S△AOB时，求x的取值范围．△DOE9．某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．日期销售记录6月1日库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg （除了促销降价，其他时间售价保持不变）．6月9日从6月1日至今，一共售出200kg．6月10、11日这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．6月12日补充进货200kg，成本价8.5元/kg．6月30日800kg水果全部售完，一共获利1200元．10．如图，直线y＝x+9分别交x轴、y轴于点A、B，∠ABO的平分线交x轴于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）若点M与点A、B、C是平行四边形的四个顶点，求CM所在直线的解析式．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且AB＝BC．（1）求点C的坐标及直线BC的函数表达式；（2）点D（a，2）在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接DE．（ⅰ）若∠BDE＝45°，求△BDE的面积；（ⅱ）在点E的运动过程中，以DE为边作正方形DEGF，当点F落在直线BC上时，求满足条件的点E的坐标．12．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标（﹣，4），△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．（1）求直线BD的解析式；（2）求△BOH的面积；（3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+8交x轴于点A，交y轴于点B，点C在AB上，AC＝5，CD∥OA，CD交y轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，同时点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AB匀速运动，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜3），△PCQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点Q作RQ⊥AB交y轴于点R，连接AD，点E为AD中点，连接OE，求t为何值时，直线PR与x轴相交所成的锐角与∠OED互余．14．如图，直线y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线y2＝kx﹣6交于点C（4，2）．（1）b＝；k＝；点B坐标为；（2）在线段AB上有一动点E，过点E作y轴的平行线交直线y2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形；（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得以P，Q，A，B为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB 的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标．（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH，设点P的运动时间为t秒．①若△MPH的面积为1，求t的值；②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．16．已知：如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝mx+10m交x轴于B，交y轴于A，△AOB的面积为50．（1）求m的值；（2）P为BA延长线上一点，C为x轴上一点，坐标为（6，0），连接PC，D为x轴上一点，连接PD，若PD＝PC，P点横坐标为t，△PCD的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，过C作CF⊥AB于F，当D在BO上时，过D作DG⊥CP于G，过F 作FE⊥DG于E，连接PE，当PE平分△PDG周长时，求E点坐标．17．问题：如图1，△ABC中，AB＝a，∠ACB＝α．如何用直尺和圆规作出点P，均使得∠APB＝α？（不需解答）尝试：如图2，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．（1）请用直角三角尺（仅可画直角或直线）在图2中画出一个点P，使得∠APB＝45°（2）如图3，若AC＝BC＝，以点A为原点，直线AB为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，直线y＝（b≥0）交x轴于点M，交y轴与点N．①当b＝7+时，请仅用圆规在射线MN上作出点P，使得∠APB＝45°；②请直接写出射线MN上使得∠APB＝45°或∠APB＝135°时点P的个数及相应的b的取值范围；应用：如图4，△ABC中，AB＝a，∠ACB＝α，请用直尺和圆规作出点P，使得∠APB＝α，且AP+BP最大，请简要说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）18．已知，平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k交x轴A，交y轴正半轴于点B，直线y＝﹣x+b经过点A，交y轴正半轴于点C，且BC＝5OC．（1）如图1，求k的值；（2）如图2，点P为第二象限内直线AC上一点，过点P作AC的垂线，交x轴于点D，交AB于点E，设点P的横坐标为t，△ADE的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，Q为线段PE上一点，PQ＝PC，连接AQ，过点C作CG⊥AQ 于G，交直线AB于点F，连接QF，若∠AQP＝∠FQE，求点F的坐标．19．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．20．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B（2，3），点C（3，）．（1）求直线AB的解析式；（2）点P（m，0）是x轴上的一个动点，过点P作直线PM∥y轴，交直线AB于点M，交直线BC于点N（P，M，N三点中任意两点都不重合），当MN＝MP时，求点M的坐标；（3）如图2，取点D（4，0），动点E在射线BC上，连接DE，另一动点P从点D出发，沿线段DE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段EB以每秒个单位的速度运动到终点B，当点E的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？请直接写出此时点E的坐标．备战2021中考数学考点专题训练——专题一：一次函数参考答案1．快车与慢车分別从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示．（1）甲乙两地之间的路程km；快车的速度为km/h；慢车的速度为km/h；（2）出发小时后，快慢两车相遇；（3）求快慢两车出发几小时后第一次相距150km？【答案】解：（1）由函数图象可得，甲乙两地之间的路程是560km，快车的速度为：560÷（5﹣1）＝140（km/h），慢车的速度为：560÷（5+4﹣1）＝70（km/h），故答案为：140，70；（2）设出发a小时时，快慢两车相遇，140a+70a＝560，解得，a＝，即出发小时后，快慢两车相遇，故答案为：；（3）快慢两车出发b小时后第一次相距150km，140b+70b＝560﹣150，解得，b＝，即快慢两车出发小时后第一次相距150km2．为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）【答案】解：（1）设ME的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由ME经过（0，50），（3，200）可得：，解得，∴ME的解析式为y＝50x+50；（2）设BC的函数解析式为y＝mx+n，由BC经过（4，0），（6，200）可得：，解得，∴BC的函数解析式为y＝100x﹣400；设FG的函数解析式为y＝px+q，由FG经过（5，200），（9，0）可得：，解得，∴FG的函数解析式为y＝﹣50x+450，解方程组得，同理可得x＝7h，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间h，7h；（3）（9﹣7）×50＝100（km），答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km．3．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：2 5 20 23 30离开宿舍的时间/min0.2 0.7离宿舍的距离/km（Ⅱ）填空：①食堂到图书馆的距离为km；②小亮从食堂到图书馆的速度为km/min；③小亮从图书馆返回宿舍的速度为km/min；④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为min．（Ⅲ）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．【答案】解：（Ⅰ）由图象可得，在前7分钟的速度为0.7÷7＝0.1（km/min），故当x＝2时，离宿舍的距离为0.1×2＝0.2（km），在7≤x≤23时，距离不变，都是0.7km，故当x＝23时，离宿舍的距离为0.7km，在28≤x≤58时，距离不变，都是1km，故当x＝30时，离宿舍的距离为1km，故答案为：0.2，0.7，1；（Ⅱ）由图象可得，①食堂到图书馆的距离为1﹣0.7＝0.3（km），故答案为：0.3；②小亮从食堂到图书馆的速度为：0.3÷（28﹣23）＝0.06（km/min），故答案为：0.06；③小亮从图书馆返回宿舍的速度为：1÷（68﹣58）＝0.1（km/min），故答案为：0.1；④当0≤x≤7时，小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为0.6÷0.1＝6（min），当58≤x≤68时，小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为（1﹣0.6）÷0.1+58＝62（min），故答案为：6或62；（Ⅲ）由图象可得，当0≤x≤7时，y＝0.1x；当7＜x≤23时，y＝0.7；当23＜x≤28时，设y＝kx+b，，得，即当23＜x≤28时，y＝0.06x﹣0.68；由上可得，当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式是y＝．4．表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．x﹣1 0y﹣2 1（1）求直线1的解析式；（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．【答案】解：（1）∵直线l′：y＝bx+k中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，∴，解得，∴直线1′的解析式为y＝3x+1；∴直线1的解析式为y＝x+3；（2）如图，解得，∴两直线的交点为（1，4），∵直线1′：y＝3x+1与y轴的交点为（0，1），∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：＝；（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x＝；把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；当a﹣3+＝0时，a＝，当（a﹣3+0）＝时，a＝7，当（+0）＝a﹣3时，a＝，∴直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为或7或．5．小张和小王是同一单位在A、B两市的同事，已知A、B两市相距400km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）．已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20km．两人距B市的距离y（km）与小张行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）小王的速度为km/h，a的值为；（2）求小张加速前的速度和b的值；（3）在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为何值时，两人相距20km？【答案】解：（1）由图象可得，小王的速度为：80÷1＝80（km/h），a＝400÷80﹣1＝4，故答案为：80，4；（2）设小张加速前的速度为xkm/h，2.4x＝（x+20）×（4.4﹣2.4），解得，x＝100，b＝400﹣2.4×100＝160，即小张加速前的速度为100km/h，b的值是160；（3）由题意可得，相遇前：100x+80（x+1）＝400﹣20解得，x＝，相遇后到小张返回前：100x+80（x+1）＝400+20解得，x＝，小张返回后到小王到达A市前：80×（x+1）＝（400﹣100×2.4）+（100+20）×（x﹣2.4）+20，解得，x＝4.7（舍去），小王到达A市到小张返回到A市前，（400﹣100×2.4）+（100+20）×（x﹣2.4）+20＝400，解得，x＝，由上可得，在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为何值时，两人相距20km．6．如图，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝kx+b交于点E（m，4），直线l1与坐标轴交于点A、B，l2与x轴和y轴分别交于点C、D，且OC＝2OB，将直线l1向下平移7个单位得到直线l3，交l2于点F，交y轴于点G，连接GE．（1）求直线CD的解析式；（2）求△EFG的面积．【答案】解：（1）∵直线l1：y＝x+3经过点E（m，4），∴4＝+3，解得m＝2，∴E（2，4），∵直线l1与坐标轴交于点A、B，∴A（﹣6，0），B（0，3），∵OC＝2OB，∴OC＝6，∴C（6，0），把C（6，0），E（2，4）代入直线l2：y＝kx+b得，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6；（2）将直线l1向下平移7个单位得到直线l3：y＝x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，∴G（0，﹣4），由，解得，∴F的坐标为（，﹣），∴S△EFG＝S△DFG﹣S△DEG＝﹣＝．7．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距离A地的距离为y（km）．甲车行驶的时间为x（h），y与x之间的函数图象如图所示．（1）求甲车距离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；（2）当乙车到达A地时，求甲车距离A地的距离．【答案】解：（1）设甲车从A到B地对应的函数解析式为y＝kx，1.5k＝180，得k＝120，即甲车从A到B地对应的函数解析式为y＝120x，设甲车从B到A对应的函数解析式为y＝ax+b，甲车从A到B用的时间为：300÷120＝2.5，则函数y＝ax+b过点（2.5，300），（5.5，0），，解得，，即甲车从B到A对应的函数解析式为y＝﹣100x+550；（2）乙车的速度为：（300﹣180）÷1.5＝80（km/h），乙车从B到A的时间为：300÷80＝（小时），将x＝代入y＝﹣100x+550，得y＝﹣100×+550＝175，即当乙车到达A地时，甲车距离A地的距离是175km．8．在平面直角坐标系中，点A（a，6），B（5，b），（1）若a，b满足+（a﹣b﹣1）2＝0，求点A，B的坐标；（2）如图1，点C在在直线AB上，且点C的坐标为（m，n），求m，n应满足怎样的关系式？（3）如图2，将线段AB平移到EF，且点D在直线EF上，且D点的纵坐标为x，当满足S≥S△AOB时，求x的取值范围．△DOE【答案】解：（1）由a，b满足+（a﹣b﹣1）2＝0可知，解得，∴点A（3，6），B（5，2）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+c，把点A（3，6），B（5，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，∵点C在在直线AB上，且点C的坐标为（m，n），∴2m+n＝12；（3）设直线EF的解析式为y＝﹣2x+d，∴E（，0），F（0，d），∵EF＝AB，∴（）2+d2＝（3﹣5）2+（6﹣2）2，解得d＝﹣4或4（舍去），∴直线EF为y＝﹣2x﹣4，E（﹣2，0），∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，∴直线AB与x轴，y轴的交点分别为（6，0），（0，12），∴S△AOB＝﹣﹣＝12，∵点D在直线EF上，且D点的纵坐标为x，∴D（x，﹣2x﹣4），∴S△DOE＝×|﹣2x﹣4|＝|﹣2x﹣4|，∵S△DOE≥S△AOB，∴|﹣2x﹣4|≥×12，解得x≤﹣10或x≥6，∴当满足S△DOE≥S△AOB时，x的取值范围是x≤﹣10或x≥6．9．某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．日期销售记录6月1日库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg （除了促销降价，其他时间售价保持不变）．6月9日从6月1日至今，一共售出200kg．6月10、11日这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．6月12日补充进货200kg，成本价8.5元/kg．6月30日800kg水果全部售完，一共获利1200元．【答案】解：（1）200×（10﹣8）＝400（元）答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元；（2）设点B坐标为（a，400），根据题意得：（10﹣8）×（600﹣a）+（10﹣8.5）×200＝1200﹣400，解这个方程，得a＝350，∴点B坐标为（350，400），设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，则：，解得，∴线段BC所在直线对应的函数表达式为．10．如图，直线y＝x+9分别交x轴、y轴于点A、B，∠ABO的平分线交x轴于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）若点M与点A、B、C是平行四边形的四个顶点，求CM所在直线的解析式．【答案】解：（1）∵直线y＝x+9分别交x轴、y轴于点A、B，∴x＝0时，y＝9，当y＝0时，x+9＝0，解得x＝﹣12．∴A（﹣12，0），B（0，9）．∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝＝＝15，过点C作CD⊥AB于点D，如图1，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD＝CO，∵BC＝BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），∴BD＝BO＝9，CO＝CD，∴AD＝AB﹣BD＝15﹣9＝6，设CO＝x，则AC＝12﹣x，CD＝x，∵CD2+AD2＝AC2，∴x2+62＝（12﹣x）2，解得x＝．∴C（﹣，0）．（2）如图2，当AB为平行四边形的一边时，∵CM∥AB，∴设CM的解析式为y＝x+b，∴，解得b＝，∴直线CM的解析式为y＝．当AB为平行四边形的对角线时，BM∥AC，AM∥BC，∴BM＝AC＝AO﹣OC＝，∴M（﹣，9）．设直线CM的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴CM的解析式为y＝﹣3x﹣．综合以上可得：CM所在直线的解析式为y＝x+或y＝﹣3x﹣．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且AB＝BC．（1）求点C的坐标及直线BC的函数表达式；（2）点D（a，2）在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接DE．（ⅰ）若∠BDE＝45°，求△BDE的面积；（ⅱ）在点E的运动过程中，以DE为边作正方形DEGF，当点F落在直线BC上时，求满足条件的点E的坐标．【答案】解：（1）∵直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（3，0），B（0，6），∴OA＝3，OB＝6，∵AB＝BC，OB⊥AC，∴OC＝OA＝3，∴C（﹣3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝2x+6．（2）如图，取点Q（﹣1，3），连接BQ，DQ，DQ交AB于E．∵D（a，2）在直线y＝﹣2x+6上，∴2＝﹣2a+6，∴a＝2，∴D（2，2），∵B（0，6），∴QB＝＝，QD＝＝，BD＝＝2，∴BD2＝QB2+QD2，QB＝QD，∴∠BQD＝90°，∠BDQ＝45°，∵直线DQ的解析式为y＝﹣x+，∴E（0，），∴OE＝，BE＝6﹣＝，∴S△BDE＝××2＝．（3）如图，过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N．∵四边形DEGF是正方形，∴∠EDF＝90°，ED＝DF，∵∠EDF＝∠MDN＝90°，∴∠EDN＝∠DFM，∵DE＝DF，DN＝DM，∴△DNE≌△DMF（SAS），∴∠DNE＝∠DMF＝90°，EN＝FM，∴点F在x轴上，∴当点F与C重合时，FM＝NE＝5，此时E（0，7），同法可证，点F′在直线y＝4上运动，当点F′落在BC上时，E（0，﹣1），综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，7）或（0，﹣1）．12．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标（﹣，4），△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．（1）求直线BD的解析式；（2）求△BOH的面积；（3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵四边形ABCO是矩形，B（﹣，4），△ODE是由△OCB旋转得到，∴OC＝OD＝4，∴D（4，0），设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．（2）∵E（4，），∴直线OE的解析式为y＝x，由，解得，∴H（，），∴OH＝＝，∵OB＝＝，∴S△BOH＝•OB•OH＝××＝．（3）如图，由题意F（0，3），D（4，0），∴OF＝3，OD＝4，∴DF＝＝5，当DM1为菱形的对角线时，M1（﹣4，0），N1（0，﹣3）．当DM＝DF时，M2（﹣1，0）或M3（9，0），可得N2（﹣5，3），3（5，3），当DF为对角线时，M4（，0），可得N4（，3），综上所述，满足条件的点N的坐标为（0，﹣3）或（﹣5，3）或（5，3）或（，3）．13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+8交x轴于点A，交y轴于点B，点C在AB上，AC＝5，CD∥OA，CD交y轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，同时点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AB匀速运动，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜3），△PCQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点Q作RQ⊥AB交y轴于点R，连接AD，点E为AD中点，连接OE，求t为何值时，直线PR与x轴相交所成的锐角与∠OED互余．【答案】解：（1）如图1中，∵直线y＝﹣x+8交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（6，0），B（0，8）∴OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝＝10，∵AC＝5，∴AC＝BC＝5，∵CD∥OA，∴BD＝OD＝4，∴D（0，4）．（2）如图2，作PF⊥AB于点F，PA＝6﹣tPF＝PA sin∠PAF＝（6﹣t），∴CQ＝5﹣t，S＝•CQ•PF＝（5﹣t）•（6﹣t）＝t2﹣6t+12．（3）如图3中，作OG⊥AD于点G，在Rt△AOD中，AD＝＝＝2，∵S△AOD＝•OD•OA＝•AD•OG∴OG＝＝，∴DG＝＝＝，∵DE＝AE＝，∴GE＝DE﹣DG＝﹣＝，∵∠OED+∠OPR＝90°，∠OED+∠EOG＝90°，∴∠OPR＝∠EOG，∴tan∠OPR＝tan∠EOG＝∵BR＝＝＝﹣t，∵tan∠OPR＝＝，OP＝t，∴OR＝t，当R在y轴的负半轴上，如图3中，OR＝BR﹣8＝﹣t，∴t＝﹣t，解得t＝，当R在y轴的正半轴上，如图4中，OR＝8﹣BR＝t﹣，∴t＝t﹣，解得t＝，综上，当t值为或，直线PR与x轴相交所成的锐角与∠OED互余．14．如图，直线y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线y2＝kx﹣6交于点C（4，2）．（1）b＝；k＝；点B坐标为；（2）在线段AB上有一动点E，过点E作y轴的平行线交直线y2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形；（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得以P，Q，A，B为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵直线y2＝kx﹣6交于点C（4，2），∴2＝4k﹣6，∴k＝2，∵直线y1＝﹣x+b过点C（4，2），∴2＝﹣2+b，∴b＝4，∴直线解析式为：y1＝﹣x+4，直线解析式为y2＝2x﹣6，∵直线y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A，B两点，∴当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝8，∴点B（0，4），点A（8，0），故答案为：4，2，（0，4）；（2）∵点E在线段AB上，点E的横坐标为m，∴，F（m，2m﹣6），①当0≤m≤4时∴．∵四边形OBEF是平行四边形，∴BO＝EF，∴，解得：；②当4≤m≤8时，2m﹣6﹣（）＝4，解得，综上所述：当或时，四边形OBEF是平行四边形；（3）存在．理由如下：①若以AB为边，AP为边，如图1所示：∵点A（8，0），B（0，4），∴．∵四边形BAPQ为菱形，∴AP＝AB＝4＝BQ，AP∥BQ，∴点Q（4，4），点Q'（﹣4，4），若以AB为边，AP是对角线，如图1，∵四边形ABPQ是菱形，∴OB＝OQ＝4，∴点Q（0，4）；②以AB为对角线，如图2所示：∵四边形APBQ是菱形，∴AP＝BP＝BQ，AP∥BQ，∵BP2＝OP2+OB2，∴AP2＝（8﹣AP）2+16，∴AP＝5，∴BQ＝5，∴点Q（5，4）综上所述：若点P为x轴上一点，当点Q坐标为或剧哦（0，﹣4）或（5，4）时，使以P，Q，A，B为顶点的四边形是菱形．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB 的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标．（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH，设点P的运动时间为t秒．①若△MPH的面积为1，求t的值；②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．【答案】解：（1）设直线AB交CD于E．∵直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4），∵OC＝BC＝2，四边形AOCD是矩形，∴D（﹣4，2），当y＝2时，2＝x+4，∴x＝﹣2，∴E（﹣2，2）．（2）①如图2﹣1作MF⊥OA于F．在Rt△AMF中，∵∠AFM＝90°，AM＝t，∠MAF＝45°，∴AF＝FM＝t当点P在线段OE上时，S△PHM＝×2×（4﹣t﹣t）＝1解得t＝．如图2﹣2中，当点P在线段DE上时，同法可得：S△PHM＝×2×（t+t﹣4）＝1解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．②如图2﹣3中，BP+PH+HQ存在最小值．连接CQ交AO于H，作HP⊥CD于P，∵BC＝PH，BC∥PH，∴四边形BCHP是平行四边形，∴BP＝CH，∵BP+PH+HQ＝CH+BC+HQ＝BC+CQ＝定值，根据两点之间线段最短，可知此时BP+PH+HQ的值最小，∵B（0，4），A（4，0），∵AQ＝AB，∴Q（﹣8，﹣4），∵C（0，2），Q（﹣8，﹣4），∴直线CQ的解析式为y＝x+2，令y＝0，解得x＝﹣，∴H（﹣，0），∴P（﹣，2）．16．已知：如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝mx+10m交x轴于B，交y轴于A，△AOB的面积为50．（1）求m的值；（2）P为BA延长线上一点，C为x轴上一点，坐标为（6，0），连接PC，D为x轴上一点，连接PD，若PD＝PC，P点横坐标为t，△PCD的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，过C作CF⊥AB于F，当D在BO上时，过D作DG⊥CP于G，过F 作FE⊥DG于E，连接PE，当PE平分△PDG周长时，求E点坐标．【答案】解：（1）由题意可得：A（0，10m），B（﹣10，0），∴S△AOB＝×10×|10m|＝50，∴m＝1或﹣1（舍弃）∴m＝1．（2）如图1中，∵PD＝PC，P点横坐标为t，C（6，0），∴CD＝2|6﹣t|，∴S△PCD＝×2|6﹣t|×|10+t|＝|t2+4t﹣60|，当t＞6时，S＝t2+4t﹣60，当﹣10＜t＜6时，S＝﹣t2﹣4t+60．（3）如图2中，在边CD的下方作⊙K与CD相切于点E，与PD相切于点R，与PC相切于点Q，连接PK，CK，DK，EK，PK交CD于T，作FW⊥PK于W．∵DE＝DR，GE＝GQ，PR＝PQ，∵PD+DE＝PG+EG，∴PE平分△PDG的周长，∴当F，E，K共线时，PE平分△PDG的周长，∵DK平分∠RDG，PK平分∠DPG，∴∠DKP＝∠DGP＝45°，∵∠DTK＝90°，∴∠KDT＝∠DCK＝45°，∴∠DKC＝90°，∴DT＝TC﹣TK＝6﹣t，∵EF⊥DG，DG⊥PC，∴FK∥PQ，∴∠FKW＝∠CPT，∵FW⊥PK，∴tan∠FKW＝tan∠CPT，∴＝，∵BC＝16，△FBC是等腰直角三角形，∴F（﹣2，8），∵K（t，t﹣6），∴＝，解得t＝2，∴P（2，12），D（﹣2，0），K（2，﹣4），∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x+18，直线FK的解析式为y＝﹣3x+2，∵DG⊥PQ，∴直线DG的解析式为y＝x+，。

2021-2022学年北师大版九年级数学中考复习压轴题专题提升训练(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学中考复习压轴题专题提升训练（附答案）1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若S△EOF＝，则k的值为（）A．B．C．7D．2．在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE 的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC ＝150°时，请直接写出的值．3．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB 和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N．【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；【探究证明】（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．4．在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．5．已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l 的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．7．在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC＝∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF＝CD；（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．8．如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，连接BP，CP．（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作∠BCD＝∠BAP，CD＝AP，连接DP，求∠CPD的度数；（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，当BP＝CP时，连接EP并延长，交AC 于点F，若AB＝4BP，求证：4EF＝3AB；（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，连接MP．若∠CMP＝150°，AB ＝6a，MP＝a，△ABC的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．9．（1）已知△ABC，△ADE如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，∠BAC＝∠DAE ＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接BE，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，直线AF 交BE于点G．求证：BG＝EG．（2）已知△ABC，△ADE如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．连接BE，CD，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．10．已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．（1）当n＝60时，①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：；②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）当n＝90时，①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出DC的长．11．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．12．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE．（1）求证：△DCE≌△DAF；（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF 于点G，连接HB，HC．①求证：HD＝HB；②若DK•HC＝，求HE的长．13．综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．（1）∠EAF＝°，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠P AQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则＝；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：BM2+DN2＝MN2．14．实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；（2）若AB＝，则线段AP的长为．15．【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．∴∠AEF＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF．∵l1∥l2，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE＝DF．又S△ABC＝BC•AE，S△DBC＝BC•DF．∴S△ABC＝S△DBC．【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．16．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE＝x，连接BE．（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；（2）设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y＝，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）如图②，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l 分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．17．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是（填序号）．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF＝+1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE ＝30°时，直接写出线段OC的长．18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．（1）求证：CF⊥FB；（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．19．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，①当m＝时，求线段CF的长；②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．20．【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．（1）求证：△BCE≌△CDG．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，CE＝9，求线段DE的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若＝k，＝，求的值（用含k的代数式表示）．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A 为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．22．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．（1）求证：△ABF∽△CBE；（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；（3）在（2）的条件下，若BC＝，直接写出△PMN面积的最大值．23．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为；【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD 翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．①求的值；②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．24．在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）25．如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC 的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．（1）求证：BN＝CN；（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．①求证：△TOM∽△AOC；②设TM与AC相交于点P，连接PD，求证：PD∥CM，PD＝CM．26．问题提出如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．27．【证明体验】（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．28．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．试探究BD与CE的关系；（2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；（3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值．29．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B 作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．30．如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．参考答案1．解：延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，如图，∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，∴AG⊥x轴．∵AO⊥AD，∴∠DAE+∠OAG＝90°．∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠D＝90°．∴∠D＝∠OAG．在△DAE和△AOG中，．∴△DAE≌△AOG（AAS）．∴DE＝AG，AE＝OG．∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE，∴AD＝CD＝DE．设DE＝4a，则AD＝OA＝5a．∴OG＝AE＝．∴EG＝AE+AG＝7a．∴E（3a，7a）．∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，∴k＝21a2．∵AG⊥GH，FH⊥GH，AF⊥AG，∴四边形AGHF为矩形．∴HF＝AG＝4a．∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴x＝．∴F（）．∴OH＝a，FH＝4a．∴GH＝OH﹣OG＝．∵S△OEF＝S△OEG+S梯形EGHF﹣S△OFH，S△EOF＝，∴．××﹣＝．解得：a2＝．∴k＝21a2＝21×＝．故选：A．2．解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，∴F A＝FQ，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴FQ＝CF，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，由旋转知，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝90°，∴∠CBF+∠BEC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF+∠BEC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BEC，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BEC＝∠CFE，∴CF＝CE＝2，∴AF＝FQ＝CF＝；（2）AG＝CD，理由：延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，∵G是BE的中点，∴AG＝ME，∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠DAE＝∠CAM，∴∠DAC＝∠EAM，∵AB＝AM，AB＝AC，∴AC＝AM，∵AD＝AE，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴CD＝EM，∴AG＝CD；（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°，∴∠DAE＝60°，∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，∵∠AEC＝150°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，∵∠AEC＝150°，∴∠ABC+∠AEC＝180°，∴点A，B，C，E四点共圆，∴∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°，∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°，∵AE＝DE，∴AN＝DN，∴BE是AD的垂直平分线，∴AG＝DG，BA＝BD＝AC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，∴∠ACE＝∠ABE＝15°，∴∠DCE＝45°，∵∠DEC＝90°，∴∠EDC＝45°＝∠DCE，∴DE＝CE，∴AD＝DE，设AG＝a，则DG＝a，由（2）知，AG＝CD，∴CD＝2AG＝2a，∴CE＝DE＝CD＝a，∴AD＝a，∴DN＝AD＝a，过点D作DH⊥AC于H，在Rt△DHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a，∴DH＝a，根据勾股定理得，CH＝a，在Rt△AHD中，根据勾股定理得，AH＝＝a，∴AC＝AH+CH＝a+a，∴BD＝a+a，∴＝＝．3．解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，∴△DAE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠AFB＝90°，在Rt△BAF中，M是BF的中点，∴AM＝FM＝BM＝BF，∴DE＝2AM．∵AM＝FM，∴∠AFB＝∠MAF，又∵∠ADE+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠MAF＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠MAF）＝90°，即AN⊥DN；故答案为DE＝2AM，DE⊥AM．（2）仍然成立，证明如下：延长AM至点H，使得AM＝MH，连接FH，∵M是BF的中点，∴BM＝FM，又∵∠AMB＝∠HMF，∴△AMB≌△HMF（SAS），∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，∴AB∥HF，∴∠HFG＝∠AGF，∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形，∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，AD＝AB＝FH，∠EAG＝∠AGF，∴∠EAD＝∠EAG+∠DAB＝∠AFG+∠AGF＝∠AFG+∠HFG＝∠AFH，∴△EAD≌△AFH（SAS），∴DE＝AH，又∵AM＝MH，∴DE＝AM+MH＝2AM，∵△EAD≌△AFH，∴∠ADE＝∠FHA，∵△AMB≌△HMF，∴∠FHA＝∠BAM，∴∠ADE＝∠BAM，又∵∠BAM+∠DAM＝∠DAB＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠DAM）＝90°，即AN⊥DN．故线段DE与AM之间的数量关系是DE＝2AM．线段DE与AM之间的位置关系是DE ⊥AM．4．解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，由旋转知：EP＝EB，∴△BPE是等边三角形，∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠AEP＝∠CBP，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∴△APE≌△CPB（SAS），∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，即∠APC＝∠BPE＝60°，∴△APC是等边三角形，方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，∴PE∥BC∥AD，∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴四边形ADQE是菱形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，∴△AEQ是等边三角形，∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，∵四边形BCQE是平行四边形，∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，∴∠AEP＝∠AQC，∴△AEP≌△AQC（SAS），∴AP＝AC；（2）AB2+AD2＝2AF2，理由：如图2，连接CF，在▱ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AE＝BC，∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°，∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF，∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF（SAS），∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°，∵sin∠ACF＝，∴AC＝＝＝＝AF，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+AD2＝2AF2；（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，∵BE＝AB，AB＝CD，∴AB＝CD＝2BE，设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，∴GM＝GN，∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，＝＝＝＝2，∴S△CDG＝2S△ADG，∴S△CDG＝S△ACD＝a2，由（1）知PE∥BC，∴∠AEH＝∠B＝60°，∵∠H＝90°，∴AH＝AE•sin60°＝a，∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，∴＝＝．②如图4，当点E在AB延长线上时，由①同理可得：S△CDG＝S△ACD＝××2a××3a＝a2，S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，∴＝＝，综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴△AEG∽△CDG，∴＝（）2，＝，①当点E在AB上时，∵BE＝AB，∴AE＝BE＝AB＝CD，∴＝（）2＝，又∵＝＝，∴＝，即＝3，∴＝＝3，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，∴AE＝AD，∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，∴△AED≌△EAP（SAS），∴S△AED＝S△EAP，∴＝•＝•＝3×＝；②如图4，当点E在AB延长线上时，∵BE＝AB，∴AE＝AB＝CD，由①知，AD＝AE＝CD，∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，∴＝＝，∵＝（）2＝（）2＝，∴＝••＝××＝；综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．5．解：（1）猜想：OC＝OD．理由：如图1中，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACO＝∠BDO＝90°在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OC＝OD，故答案为：OC＝OD；（2）数量关系依然成立．理由：过点O作直线EF∥CD，交AC的延长线于点E，∵EF∥CD，∴∠DCE＝∠E＝∠CDF＝90°，∴四边形CEFD为矩形，∴∠OFD＝90°，CE＝DF，由（1）知，OE＝OF，在△COE与△DOF中，，∴△COE≌DOF（SAS），∴OC＝OD；（3）①结论成立．理由：如图3中，延长CO交BD的延长线于点E，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD，∴∠ACO＝∠E，∵点O为AB的中点，∴AO＝BO，又∵∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE（AAS），∴CO＝OE，∵∠CDE＝90°，∴OD＝OC＝OE，∴OC＝OD．②结论：AC+BD＝OC．理由：如图3中，∵∠COD＝60°，OD＝OC，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC，∠OCD＝60°，∵∠CDE＝90°，∴tan60°＝，∴DE＝CD，∵△AOC≌△BOE，∴AC＝BE，∴AC+BD＝BD+BE＝DE＝CD，∴AC+BD＝OC．6．解：（1）如图，在Rt△PDQ中，AD＝cm，∠PQD＝60°，∴tan60°＝＝，∴DQ＝AD＝1cm．（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．（3）当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD 于点N，同（1）可得MQ＝AD＝1cm．∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝（x+1）cm，当x+1＝3时x＝2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC＝＝，∴∠DBC＝30°，∵∠PQD＝60°，∴∠DEQ＝90°．∵sin30°＝＝，∴EQ＝DQ＝，∵sin60°＝＝，∴EN＝EQ＝（x+1）cm，∴y＝DQ•EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2）cm，∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x2﹣2x+2）cm2，∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝（﹣x2+x﹣）cm2（2＜x≤3）．当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝（4﹣x）cm，∴y＝DC•CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．综上所述，y＝7．（1）证明：如图①中，∵EA＝ED，∠EAD＝45°，∴∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠AED＝90°，∵BF＝FD，∴EF＝DB，∵∠CAB＝90°，∴∠CAD＝∠BAD＝45°，∵∠ABC＝∠AED＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AD垂直平分线段BC，∴DC＝DB，∴EF＝CD．（2）解：如图②中，结论：EF＝CD．理由：取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点O．∵∠CAD＝90°，CT＝DT，∴AT＝CT＝DT，∵EA＝ED，∴ET垂直平分线段AD，∴AO＝OD，∵∠AED＝90°，∴OE＝OA＝OD，∵CT＝TD，BF＝DF，∴BC∥FT，∴∠ABC＝∠OFT＝45°，∵∠TOF＝90°，∴∠OTF＝∠OFT＝45°，∴OT＝OF，∴AF＝ET，∵FT＝TF，∠AFT＝∠ETF，F A＝TE，∴△AFT≌△ETF（SAS），∴EF＝CD．如图③中，结论：EF＝CD．理由：取AD的中点O，连接OF，OE．∵EA＝ED，∠AED＝60°，∴△ADE是等边三角形，∵AO＝OD，∴OE⊥AD，∠AEO＝∠OED＝30°，∴tan∠AEO＝＝，∴＝，∵∠ABC＝∠AED＝30°，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∵AO＝OD，BF＝FD，∴OF＝AB，∴＝，∴＝，∵OF∥AB，∴∠DOF＝∠DAB，∵∠DOF+∠EOF＝90°，∠DAB+∠DAC＝90°，∴∠EOF＝∠DAC，∴△EOF∽△DAC，∴＝＝，∴EF＝CD．8．解：（1）如图1，连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，在△BAP和△BCD中，，∴△BAP≌△BCD（SAS），∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD，∵∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠CBD+∠PBC＝60°，即∠PBD＝60°，∴△BDP是等边三角形，∴∠BPD＝60°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BPC＝90°，∴∠CPD＝∠BPC﹣∠BPD＝90°﹣60°＝30°；（2）如图2，连接AP交BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BP＝CP，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝AB，∴AD＝AB•sin∠ABC＝AB•sin60°＝AB，∵AB＝4BP，∴BP＝AB，∴PD＝＝＝AB，∴PD＝AD，即点P是AD的中点，∵EC＝3BE，∴BE＝BC，BC＝4BE，∵BD＝BC，∴BE＝BD，即点E是BD的中点，∴EP是△ABD的中位线，∴EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴＝＝＝，∴4EF＝3AB；（3）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，交AC于点F，作PH⊥AC于点H，由（2）得：AD＝AB＝3a，∠ACB＝60°，BC＝AC＝AB＝6a，∵∠CMP＝150°，∴∠PMF＝180°﹣∠CMP＝180°﹣150°＝30°，∵∠CHP＝90°，∴PH＝PM•sin∠PMF＝a•sin30°＝a，MH＝PM•cos∠PMF＝a•cos30°＝a，∵EF⊥BC，∴∠CEF＝90°，∴∠CFE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∴∠CFE＝∠PMF，∴PF＝PM＝a，∴FH＝PF•cos∠PFH＝a•cos30°＝a，∵AM＝2MC，∴CM＝AC＝×6a＝2a，∴CF＝CM++MH+HF＝5a，∴EF＝CF•sin∠ACB＝5a•sin60°＝a，∴PE＝EF﹣PF＝a﹣a＝a，∴S1﹣S2＝S△ABC﹣S△BCP＝BC•AD﹣BC•PE＝BC•（AD﹣PE）＝×6a×（3a ﹣a）＝a2．9．（1）证明：如图，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，∴△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠ACB+∠ACE＝90°，则CE⊥BD，∵AF⊥BD，∴AF∥CE，BF＝FC，∴＝＝1，∴BG＝EG．（2）解：如图，过点D作DM⊥AG，垂足为点M，过点C作CN⊥AG，交AG的延长线于点N，在△ABC和△AED中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°，设AE＝a，AB＝b，则AD＝a，AC＝b，∵∠1+∠EAF＝90°，∠2+∠EAF＝90°，∴∠1＝∠2，∴sin∠1＝sin∠2，∴＝，即＝＝＝，同理可证∠3＝∠4，＝＝，∴＝，∴DM＝CN，在△DGM和△CGN中，有：，∴△DGM≌△CGN（AAS），∴DG＝CG，∴＝1．10．解：（1）①当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，∴BC＝AC，EC＝DC，又∵BE＝BC﹣EC，AD＝AC﹣DC，∴BE＝AD，故答案为：BE＝AD；②BE＝AD，理由如下：当点D不在AC上时，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）①BE＝AD，理由如下：当n＝90时，在等腰直角三角形DEC中：＝sin45，在等腰直角三角形ABC中：＝，∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，∴∠ECB＝∠DCA在△DCA和△ECB中，，∴△DCA∽△ECB，∴，∴BE＝，②DC＝5或，理由如下：当点D在△ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图所示：∵AB＝3，AD＝1由上可知：AC＝AB＝3，BE＝＝，又∵BE∥AC，∴∠EBF＝∠CAF＝90°，而∠EFB＝∠CF A，∴△EFB∽△CF A，∴＝＝，∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝3，∴BF＝＝，在Rt△EBF中：EF＝＝＝，又∵CF＝3EF＝3×＝，∴EC＝EF+CF＝＝5（或EC＝4EF＝5），在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC•cos45°＝5×＝5．当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H∵AC＝3，AD＝1，∠DAC＝45°∴AH＝DH＝，CH＝AC﹣AH＝，∴CD＝＝＝，综上所述，满足条件的CD的值为5或．11．解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：如图2，连接AC、BD，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：如图1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，连接CG、BE，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∵∠AME＝∠BMN，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．12．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，∵CE＝AF，∴△DCE≌△DAF（SAS）；（2）①∵△DCE≌△DAF，∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF，∴∠FDE＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，∴△DFE为等腰直角三角形，∵DH⊥EF，∴点H是EF的中点，∴DH＝EF，同理，由HB是Rt△EBF的中线得：HB＝EF，∴HD＝HB；②∵四边形ABCD为正方形，故CD＝CB，∵HD＝HB，CH＝CH，∴△DCH≌△BCH（SSS），∴∠DCH＝∠BCH＝45°，∵△DEF为等腰直角三角形，∴∠DFE＝45°，∴∠HCE＝∠DFK，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠DKF＝∠HEC，∴△DKF∽△HEC，∴，∴DK•HC＝DF•HE，在等腰直角三角形DFH中，DF＝HF＝HE，∴DK•HC＝DF•HE＝HE2＝，∴HE＝1．13．（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，∴ABC，△ADC都是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，∴∠EAF＝（∠BAC+∠DAC）＝45°，∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∵CB＝CD，∴CE＝CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．（2）解：结论：PQ＝BP+DQ．理由：如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，∵∠P AQ＝45°，∴∠P AT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，∴∠P AT＝∠P AQ＝45°，∵AP＝AP，∴△P AT≌△P AQ（SAS），∴PQ＝PT，∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，∴PQ＝BP+DQ．故答案为：PQ＝BP+DQ．（3）解：如图3中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC＝AB，∵∠BAC＝∠P AQ＝45°，∴∠BAM＝∠CAQ，∴△CAQ∽△BAM，∴＝＝，故答案为：．（4）证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∵∠DAN＝∠BAR，∴∠BAM+∠BAR＝45°，∴∠MAR＝∠MAN＝45°，∵AR＝AN，AM＝AM，∴△AMR≌△AMN（SAS），∴RM＝MN，∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，∴∠RBM＝90°，∴RM2＝BR2+BM2，∵DN＝BR，MN＝RM，∴BM2+DN2＝MN2．14．操作一：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，即∠EAF＝45°，故答案为：45；操作二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，由操作一得：∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN＝45°，∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，∴∠NFE＝∠CFE＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60；（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，在△ANP和△FNE中，，∴△ANP≌△FNE（ASA）；（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，∴AP＝FE，PN＝EN，∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，∴∠NEF＝∠CEF＝60°，∴∠AEB＝60°，∵∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝1，∴AE＝2BE＝2，设PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，∵AN+EN＝AE，∴a+a＝2，解得：a＝﹣1，∴AP＝2a＝2﹣2，故答案为：2﹣2．15．解：【类比探究】过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∵DE＝CE，EF⊥CD，∴DF＝CF＝CD＝2，∠ADC＝∠EFD＝90°，∴AD∥EF，∴S△ADE＝S△ADF，∴S△ADE＝×AD×DF＝×4×2＝4；【拓展应用】如图③，连接CF，∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°，∴∠BDC＝∠GCF，∴BD∥CF，∴S△BDF＝S△BCD，∴S△BDF＝BC×BC＝8．16．解：（1）设EF＝m．∵BC＝14，BD＝6，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣6＝8，∵AD＝8，∴AD＝DC＝8，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝AD＝8，∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FG＝GH＝EF＝m，∠EHG＝∠FGH＝90°，∴∠AHE＝∠FGC＝90°，∵∠DAC＝∠C＝45°，∴∠AEH＝∠EAH＝45°，∠GFC＝∠C＝45°，∴AH＝EH＝m，CG＝FG＝m，∴3m＝8，∴m＝，∴EF＝．（2）∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥AC，∴∠DEF＝∠DAC，∠DFE＝∠C，∵∠DAC＝∠C，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝x，DA＝DC＝8，∴AE＝CF＝8﹣x，∴EH＝AE＝（8﹣x），EF＝DE＝x，∴y＝＝＝，∴y＝（0＜x＜8）．（3）如图②中，由（2）可知点P在y＝上，设直线MN的解析式为y＝kx+b，把P（a，）代入得到，＝ka+b，∴b＝﹣ka，∴y＝kx+﹣ka，∴N（0，﹣ka），M（a﹣，0），∴ON＝﹣ka，OM＝a﹣∴△MON的面积＝•ON•OM＝×（6﹣a2k﹣）≥×（6+2）•＝6，∴△MON的面积的最小值＝6．解法二：过点P作PR⊥OM于M，PQ⊥ON于Q．设P（a，b），由△NQP∽△NOM，∴＝，设＝＝k，∴MO＝，NQ＝kON，ON＝，∴S△MON＝•OM•ON＝•＝•，∴k＝时，△OMN的面积的最小值为×＝6．17．解：（1）如图1，由作图得，OC＝OD，OE＝OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，∴∠PGO＝∠PHO＝90°，∵OE﹣OC＝OF﹣OD，。

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二轮专题提升专题提升(一) 综合型问题1．[2012·荆门]如图Z－1－5，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD 上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为(C)图Z－1－5A．2B．2 3C. 3 D．3【解析】∵△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠QBF＝30°.∵BF＝2，FQ⊥BP，∴BQ＝BF·cos30°＝2×32＝ 3.∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2 3.在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°，∴PE＝12BP＝ 3.故选C.2．[2010·黄冈]已知四条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形的面积是12，则k的值为(A)A．1或－2 B．2或－1C ．3D ．4【解析】依题意过(0，－3)的直线y ＝kx －3与y ＝－1，y ＝3，x ＝1所围的四边形有两种情况．分别求出各顶点的坐标(含k )，利用面积等于12分别求出k ＝1或－2.选A.3．[2012·嘉兴]如图Z －1－6，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC .点D 是AB 的中点，连结CD ，过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD ，CA 于点E ，F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF .给出以下四个结论：①AGAB＝FG FB ；②点F 是GE 的中点；③AF ＝23AB ；④S △ABC ＝5S △BDF ，其中正确结论的序号是 ①③ ．图Z －1－6【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥BC .∵AG ⊥AB ，∴AG ∥BC ， ∴△AFG ∽△CFB ， ∴AG CB ＝FG FB .∵BA ＝BC ，∴ AG AB ＝FGFB ，故①正确；∵∠ABC ＝90°，BG ⊥CD ，∴∠DBE ＋∠BDE ＝∠BDE ＋∠BCD ＝90°，∴∠DBE＝∠BCD.∵AB＝CB，点D是AB的中点，∴BD＝12AB＝12CB，∴tan∠BCD＝BDBC＝12，∴在Rt△ABG中，tan∠ABG＝AGAB＝12.∵AGAB＝FGFB，∴FG＝12FB，故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF∶CF＝AG∶BC＝1∶2，∴AF＝13AC.∵AC＝2AB，∴AF＝23AB，故③正确；∵BD＝12AB，AF＝13AC，∴S△ABC＝6S△BDF，故④错误．故答案为①③.4．[2011·芜湖]如图Z－1－7，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数y＝kx经过正方形AOBC对角线的交点，半径为(4－22)的圆内切于△ABC，则k的值为__4__．图Z－1－7【解析】设圆心为I，正方形对角线交点为P，则PC＝PI＋IC＝4－22＋2 (4－22)＝22，∴BC＝4＝OB，∴P点坐标为(2，2)．∵点P在y＝kx上，∴k＝22＝4.5．[2011·南通]如图Z－1－8，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y＝33x相切，设半圆C1，半圆C2，半圆C3的半径分别是r1，r2，r3，则当r1＝1时，r3＝__9__．图Z－1－8【解析】依题意直线y＝33x与x轴的夹角为30°，分别过C1，C2，C3作过切点的半径，交直线y＝33x于P1，P2，P3.又过C1作C1B⊥C2P2于B，则C1C2＝1＋r2，C2B＝r2－1，则1＋r2＝2(r2－1)，r2＝3，同理得3＋r3＝2(r3－3)，r3＝9.6．[2011·金华]如图Z－1－9，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A，B和C，D，连结OA，此时有OA∥PE.(1)求证：AP＝AO；(2)若AB＝12，求tan∠OPB的值；(3)若以图中已标明的点(即P，A，B，C，D，O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为________，能构成等腰梯形的四个点为________或________或________．图Z－1－9【解析】(1)证∠APO＝∠POA；(2)作OH⊥AB于H，由垂径定理求OH，又∵P A＝AO，∴PH＝AO＋AH，计算tan∠OPB＝OHPH就容易了；(3)由OA∥PE知OC∥PF，从而寻找菱形和等腰梯形．解：(1) 证明：∵PG平分∠EPF，第6题答图∴∠DPO＝∠BPO.∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，∴AP＝AO.(2) 过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝HB＝12AB＝6.又∵OA＝10，∴OH＝OA2－AH2＝8. 又∵PH＝P A＋AH＝AO＋AH＝16，∴tan ∠OPB＝OHPH＝816＝12.(3)P，A，O，C A，B，D，C P，A，O，D P，C，O，B 7．[2012·荆门]荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼(俗称黑鱼)共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图Z －1－10所示．(1)请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y (元)与进货量x (千克)之间的函数关系式；(2)若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%，95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？图Z －1－10解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧26x （20≤x ≤40），24x （x >40）.(2)设该经销商购进乌鱼x 千克，则购进草鱼(75－x )千克，所需进货费用为w 元．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x >40，89%×（75－x ）＋95%x ≥93%×75，解得x ≥50.由题意得w ＝8(75－x )＋24x ＝16x ＋600. ∵16＞0，∴w 的值随x 值的增大而增大． ∴当x ＝50时，75－x ＝25，w 最小＝1 400(元)．答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1 400元．8．[2012·恩施]如图Z－1－11，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB.图Z－1－11(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)连结AF，BF，求∠ABF的度数；(3)如果CD＝15，BE＝10，sin A＝513，求⊙O的半径．解：(1)证明：连结OB.∵OB＝OA，CE＝CB，∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC.又∵CD⊥OA,∴∠A＋∠AED＝∠A＋∠CEB＝90°，∴∠OBA＋∠ABC＝90°，∴OB⊥BC.∴BC是⊙O的切线．(2)连结OF，∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF，又OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF＝60°.∴∠ABF＝12∠AOF＝30°.(3)过点C作CG⊥BE于点G，由CE＝CB，∴EG＝12BE＝5.又Rt△ADE∽Rt△CGE，∴sin ∠ECG ＝EG CE ＝sin A ＝513， ∴CE ＝EG sin ∠ECG＝13，∴CG ＝CE 2－EG 2＝12.又CD ＝15，CE ＝13，∴DE ＝2. 由Rt △ADE ∽Rt △CGE ，得AD CG ＝DEGE ， ∴AD ＝DE GE ·CG ＝245，∴⊙O 的半径为2AD ＝485.9．[2012·兰州]若x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A ，B 两个交点间的距离为： AB ＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－4c a＝b 2－4ac a 2＝b 2－4ac |a |.参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)，抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形． (1)当△ABC 为等腰直角三角形时，求b 2－4ac 的值；(2)当△ABC 为等边三角形时，求b 2－4ac 的值．图Z －1－12解：(1)当△ABC 为等腰直角三角形时，过C 作CD ⊥AB ，，则AB ＝2CD . ∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴Δ＝b 2－4ac >0，则 ||b 2－4ac ＝b 2－4ac ，∴AB ＝b 2－4ac||a ＝b 2－4aca.又∵CD ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4ac －b 24a ＝b 2－4ac4a ，第9题答图∴b 2－4ac a ＝b 2－4ac2a ，∴b 2－4ac ＝（b 2－4ac ）24.∵b2－4ac>0，∴b2－4ac＝4.(2)当△ABC为等边三角形时，由(1)可知CD＝32AB，∴b2－4ac4a＝32×b2－4aca.∵b2－4ac>0，∴b2－4ac＝12.。