高二数学教案：直线和平面所成角与二面角(4)

D C B
P
A
直线和平面所成的角与二面角（4）——习题题1
一、课题：直线和平面所成角与二面角（4）——习题课1 二、教学目标：1．进一步掌握二面角及二面角的概念；
2．进一步熟悉二面角的三种作法，了解其它求法．
三、教学重点、难点：二面角平面角的构造方法． 四、教学过程： （一）复习：
1．二面角的概念，二面角平面角的作法及二面角平面角的范围； 2．面面垂直的判定和性质定理； （二）新课讲解：
例1．如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ∆∆'==，二面角P BC A --的平面角
为θ，
求证：cos S S '⋅=．
证明：过P 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ．
∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PD ⊥， ∴BC AD ⊥，
∴PDA ∠为二面角P BC A --的平面角， 即PDA θ∠=， ∵PA ⊥面ABC ， ∴PA AD ⊥．
∵PAD ∆是直角三角形，
∴cos AD
PAD PD
∠=． 又∵11
,22
PBC ABC S BC PD S S BC AD S ∆∆'=
⋅==⋅=， ∴cos S PAD S '
∠=，
∴cos S S
θ'
=即cos S S '⋅=．
说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法．
例2．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且
90BAD ∠=o ，又二面角A BD C --为直二面角，
求二面角A CD B --的大小． 解：过A 作AH BD ⊥于H ，
∵二面角A BD C
--为直二面角，
∴AH⊥面BCD．
取CD中点E，F为DE中点，连接,
HF AF
∵BE CD
⊥，
∴//
HF BE，
∴EF CD
⊥，
∴HF CD
⊥
∴AFH
∠为二面角A BD C
--的平面角．
令AB a
=，则,
AH BE
===
∴
4
HF a
=，
∴在Rt AHF
∆中tan
AH
AFH
HF
∠==
∴arctan
3
AFH
∠=．
即二面角A CD B
--的大小为arctan
3
．
例3．设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，
1,
AC BC CD
===
求（1）AC与平面BCD所成角的大小；
（2）二面角A BC D
--的大小；
（3）异面直线AB和CD的大小．
解：（1）∵AO⊥面BCD，
∴AO CO
⊥，
∴ACO
∠为AC与面BCD所成角．
∵1,
BC CD
==
∴BD=∴
1
2
CO BD
==，
O
E
D
C
F
B
A
D'D C'B'
B
A'
∴cos 2ACO ∠=
，∴6
ACO π∠=， 即AC 与平面BCD 所成角的大小为6
π
． （2）取BC 中点E ，连接,OE AE ，
∴//OE CD ．∵CD BC ⊥，
∴OE BC ⊥．又∵AO ⊥面BCD ，
∴AE BC ⊥，∴AEO ∠为二面角A BC D --的平面角．
又∵11,222
OE CD AO =
==，∵AO OE ⊥，
∴tan 2AO AEO OE ∠=
=
．∴arctan 2
AEO ∠=． 即二面角A BC D --
的大小为． （3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ，
∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角． 易求得45OEF ∠=o ，
即异面直线AB 和CD 所成角为45o ．
五、小结：1．二面角的求法；
2．二面角的构造方法．
六、作业： 补充：
1．在正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为AA '的中点，求截面DMB '与底面ABCD 所成较
小的二面角的大小．（用cos S S
θ'
=
可以求得）
2．如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，
求（1）二面角B AC D ''--的大小； （2）二面角B B C A '--的大小．。