[VIP专享]上外附中2010-2011学年高一年级第二学期期末数学试卷
2010-2011学年度第二学期期末数学(文科)试卷
主视图侧视图2010——2011学年度第二学期期末数学（文科）试卷 一、选择题（每题5分，合计60分）1．复数34i i +()（其中i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．7cos6π=（ ）A ．12Ｂ．12-C ．2D ．2-3．双曲线2214yx -=的渐近线方程为（ ）A ．1x =±B ．2y =±C ．2y x =±D ．2x y =±4．记集合M {}24x x =>，N {}230x x x =-≤，则=M N （ ） A ．{}23x x <≤ Ｂ．{}02x x x ><-或 C ．{}23x x -<≤ D ．{}02x x <<5．下图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）A. 9i >B. 10i >C. 11i >D. 12i >6．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径 为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（ ） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π47．已知数列{}n a 为等差数列，且π=++1371a a a ，则)t a n (122a a +的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3-8．下列命题中的假命题．．．是（ ） A ． 0,3<∈∃x R xB ．“0>a ”是“0>a ”的充分不必要条件C ．02,>∈∀x R xD ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题0.00040.00030.00020.00019．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，在下列四个命题中错误．．的是 （ ）A ．若m ∥α，n =βα ，则m ∥n Ｂ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α ，则n ⊥α D ．若m ⊥α，m ∥n ，β⊂n ，则α⊥β10．若方程()20f x -=在(,0)-∞内有解，则()y f x =的图象是（ ）11．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为A ．1718B ．79C ．29D ．11812．对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。
2010-2011学年上海市浦东新区高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
2010-2011学年上海市浦东新区高一第二学期期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．若lg2＝a，则lg5＝（用含有a的代数式表示）．2．计算：sin39°cos9°﹣cos39°sin9°＝．3．函数y＝tanωx（ω＞0）的最小正周期T＝π，则ω＝．4．若sinα=12且π2＜α＜π，则sin（π2+α）＝．5．若tanα＝1，则sin2α+cos2α＝．6．函数f（x）＝log2x（x≥1）的反函数f﹣1（x）＝．7．若函数f（x）＝cos（x+ϕ）（0＜ϕ＜π）是奇函数，则ϕ＝．8．在△ABC中，a＝4，b＝9，C＝150°，则S△ABC＝．9．若sinα=35且π2＜α＜π，则tanα2=．10．若函数f（x）＝log a（x2+1）（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，则函数f（x）的值域为．11．已知函数f（x）＝sin2x﹣sin x cos x+cos2x，当f（x）取最小值时，x＝．12．已知函数y＝f（x）（定义域为D，值域为C）有反函数y＝f﹣1（x），则方程f（x）＝0有解x＝x0，且f（x）＜x（x∈D）的充要条件是y＝f﹣1（x）满足．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分.13．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．2B．sin2C．2sin1D．2sin1 14．函数y＝lg|x|（）A．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上是单调递增函数B．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上是单调递减函数C．是奇函数，在区间（0，+∞）上是单调递增函数D．是偶函数，在区间（0，+∞）上是单调递增函数15．为了得到y＝sin2x的图象，可以将y＝cos2x的图象（）A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向右平移π4个单位16．把a sin θ+b cos θ（a •b ≠0）化成√a 2+b 2sin （θ+ϕ）的形式，下面给出关于辅助角ϕ的说法：①辅助角ϕ一定同时满足sin ϕ=b√a 2+b、cos ϕ=√a 2+b；②满足条件的辅助角ϕ一定是方程tan x =b a的解； ③满足方程tan x =b a的角一定都是符合条件的辅助角ϕ； ④在平面直角坐标系中，满足条件的辅助角ϕ的终边都重合． 其中正确有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．解方程：log 5(x +1)−log 15(x −3)=1．18．已知cos(α−β2)=−√33，sin(α2−β)=4√29，其中π2＜α＜π，0＜β＜π2．求cosα+β2的值．19．如图，函数f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）（A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2）的图象经过点（0，1）（1）求函数f （x ）的解析式； （2）写出函数f （x ）的单调递增区间； （3）若f （x ）=√2，求自变量x 的值．20．如图，甲船在A 处测得：“乙船位于北偏东75°，距离为10海里的C 处，并正沿着北偏东135°的方向，以每小时12海里的速度驶去．”经过半小时，甲船在B 处追上了乙船．求：（1）甲船的行驶速度；（2）甲船的行驶方向（精确到0.1°）21．如图，在单位圆和x轴上各有动点A、B，它们的初始位置都在单位圆和x轴的交点P0处，A处沿逆时针方向旋转θ=π4得到A1，B点沿x轴正方向移动θ=π4个单位得到B1，分别过A1、B1作x轴的平行线和垂线相交于P1（x1，y1），A1点再沿逆时针方向旋转θ=π4得到A2，B1点沿x轴正方向移动θ=π4个单位得到B2，分别过A2、B2作x轴的平行线和垂线相较于P2（x2，y2），…，如此下去得到P n（x n，y n）（n为正整数）（1）求点P1的坐标；（2）计算：y1+y2+…+y2011的值；（3）由点P0，P1，…P n连成的折线与x轴、P n B n所围成的区域面积记为S n，求S8．2010-2011学年上海市浦东新区高一第二学期期末数学试卷参考答案一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．若lg 2＝a ，则lg 5＝ 1﹣a （用含有a 的代数式表示）． 【分析】直接利用对数的运算性质即可进行求解 解：∵lg 2＝a ， 则lg 5＝lg102=1﹣lg 2＝1﹣a故答案为：1﹣a2．计算：sin39°cos9°﹣cos39°sin9°＝12．【分析】逆用两角差的正弦公式即可得答案． 解：∵sin39°cos9°﹣cos39°sin9° ＝sin （39°﹣9°） ＝sin30° =12， 故答案为：12．3．函数y ＝tan ωx （ω＞0）的最小正周期T ＝π，则ω＝ 1 ． 【分析】利用函数y ＝tan ωx （ω＞0）的最小正周期T =πω求解即可． 解：函数y ＝tan ωx （ω＞0）的最小正周期T =πω，由T ＝π得出ω＝1 故答案为：14．若sin α=12且π2＜α＜π，则sin （π2+α）＝ −√32．【分析】利用诱导公式以及已知条件，直接求解即可． 解：因为sin α=12且π2＜α＜π，所以cos α=−√1−(12)2=−√32，sin （π2+α）＝cos α=−√32．故答案为：−√32．5．若tan α＝1，则sin2α+cos2α＝ 1 ． 【分析】利用倍角公式、弦化切即可得出． 解：∵tan α＝1，∴sin2α+cos2α=2sinαcosα+cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=2tanα+1−tan 2αtan 2α+1=2+1−11+1=1． 故答案为1．6．函数f （x ）＝log 2x （x ≥1）的反函数f ﹣1（x ）＝ y ＝2x （x ≥0） ．【分析】根据对数的定义，将对数式化为指数式，得x ＝2y ，再结合原函数的值域就是反函数的定义域，可得要求的反函数． 解：因为函数y ＝log 2x （x ≥1）所以y ≥0，所以函数y ＝log 2x （x ≥1）的反函数是y ＝2x （x ≥0）． 故答案为：y ＝2x （x ≥0）．7．若函数f （x ）＝cos （x +ϕ）（0＜ϕ＜π）是奇函数，则ϕ＝ π2．【分析】通过是奇函数，求出ϕ的值，即可得到结果． 解：因为函数f （x ）＝cos （x +ϕ）（0＜ϕ＜π）是奇函数， 所以ϕ＝k π+π2，k ∈Z ，∵0＜ϕ＜π， 所以ϕ=π2． 故答案为：π2．8．在△ABC 中，a ＝4，b ＝9，C ＝150°，则S △ABC ＝ 9 ．【分析】代入三角形的面积公式S △ABC =12ab sin C 可求三角形的面积解：由三角形的面积公式可得，S △ABC =12ab sin C =12×4×9×12=9．故答案为：9．9．若sin α=35且π2＜α＜π，则tanα2= 3 ．【分析】由π2＜α＜π⇒α2∈（π4，π2）⇒tan α2＞0，依题意，可求得cos α，由正切的半角公式及可求得答案．解：∵sin α=35且π2＜α＜π，∴cos α=2α=−45，α2∈（π4，π2），∴tanα2=√1−cosα1+cosα=√1+451−45=3．故答案为：3．10．若函数f （x ）＝log a （x 2+1）（a ＞0且a ≠1）在（0，+∞）上是增函数，则函数f （x ）的值域为 [0，+∞） ．【分析】由题意可得a ＞1，再由y ＝x 2+1≥1可得，f （x ）＝log a （x 2+1）≥log a 1＝0，由此求得函数f （x ）的值域．解：由于函数y ＝x 2+1、函数f （x ）＝log a （x 2+1）（a ＞0且a ≠1）在（0，+∞）上都是增函数，故a ＞1．再由y ＝x 2+1≥1可得 f （x ）＝log a （x 2+1）≥log a 1＝0， 故函数f （x ）的值域为[0，+∞）， 故答案为[0，+∞）．11．已知函数f （x ）＝sin 2x ﹣sin x cos x +cos 2x ，当f （x ）取最小值时，x ＝π4+kπ（k ∈Z ） ． 【分析】根据三角恒等变换公式，化简得到f （x ）＝1−12sin2x ，可得当sin2x ＝1时，f （x ）有最小值12，由此结合三角函数的图象与性质，即可得到本题的答案．解：∵sin 2x +cos 2x ＝1，sin x cos x =12sin2x∴函数f （x ）＝sin 2x ﹣sin x cos x +cos 2x ＝1−12sin2x当sin2x ＝1时，即2x =π2+2kπ（k ∈Z ）时，即x =π4+kπ（k ∈Z ）时，f （x ）＝1−12sin2x 有最小值12故答案为：π4+kπ（k ∈Z ）12．已知函数y ＝f （x ）（定义域为D ，值域为C ）有反函数y ＝f ﹣1（x ），则方程f （x ）＝0有解x ＝x 0，且f （x ）＜x （x ∈D ）的充要条件是y ＝f ﹣1（x ）满足 f ﹣1（0）＝x 0，f ﹣1（x ）＜x ，x ∈C ．或 y ＝f ﹣1（x ）的图象在直线y ＝x 的下方，且与y 轴交与点（0，x 0） ． 【分析】利用反函数和原函数的定义域和值域互换的性质，直接转化即可确定它的一个充要条件．解：因为函数与反函数图象关于直线y＝x对称，f（x）＝0有解x＝a，故f﹣1（0）＝x0，∵f（x）＞x（x∈D），∴f﹣1（x）＜x，x∈C．即y＝f﹣1（x）的图象在直线y＝x的下方，且与y轴交与点（0，x0），故答案为：f﹣1（0）＝x0，f﹣1（x）＜x，x∈C．或y＝f﹣1（x）的图象在直线y＝x的下方，且与y轴交与点（0，x0）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分.13．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．2B．sin2C．2sin1D．2sin1【分析】连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是1sin1，弧长公式求弧长即可．解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1故半径为1sin1这个圆心角所对的弧长为2×1sin1=2sin1故选：C．14．函数y＝lg|x|（）A．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上是单调递增函数B．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上是单调递减函数C．是奇函数，在区间（0，+∞）上是单调递增函数D．是偶函数，在区间（0，+∞）上是单调递增函数【分析】根据y＝lg|x|的奇偶性及单调性，逐一分析答案，逐一比照后可得答案．解：设f（x）＝lg|x|，则f（﹣x）＝lg|﹣x|＝lg|x|，故原函数为偶函数；当x＞0时，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，f（x）＝lg（﹣x）在（﹣∞，0）上单调递减；对照选项，D正确．故选：D ．15．为了得到y ＝sin2x 的图象，可以将y ＝cos2x 的图象（ ） A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向右平移π4个单位【分析】由于 y ＝sin2x ＝cos （2x −π2）＝cos2（x −π4），再根据y ＝A sin （ωx +∅）的图象变换规律得出结论．解：∵y ＝sin2x ＝cos （2x −π2）＝cos2（x −π4），∴将y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位，即可得到 y ＝cos2（x −π4）的图象，故选：D ．16．把a sin θ+b cos θ（a •b ≠0）化成√a 2+b 2sin （θ+ϕ）的形式，下面给出关于辅助角ϕ的说法：①辅助角ϕ一定同时满足sin ϕ=b√a 2+b、cos ϕ=√a 2+b；②满足条件的辅助角ϕ一定是方程tan x =b a的解； ③满足方程tan x =b a的角一定都是符合条件的辅助角ϕ； ④在平面直角坐标系中，满足条件的辅助角ϕ的终边都重合． 其中正确有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据辅助角公式可得sin ϕ=√a 2+b、cos ϕ=a √a 2+b，由此可得结论．解：由于a sin θ+b cos θ=√a 2+b 2（√a 22sin θ√a 2+bcos θ），令sin ϕ=√a 2+b、cos ϕ=√a 2+b，可得a sin θ+b cos θ=√a 2+b 2sin （θ+ϕ），且tan ϕ=ba，故①②④正确．由于满足方程tan x =b a的角x 的终边重合或互为反向延长线，故不一定都是符合条件的辅助角ϕ， 故③不正确， 故选：C ．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．解方程：log 5(x +1)−log 15(x −3)=1．【分析】利用对数的运算性质可脱去对数符号，转化为关于x 的方程即可求得答案． 解：∵log 5(x +1)−log 15(x −3)=1，∴log 5（x +1）+log 5（x ﹣3）＝log 55，∴（x +1）•（x ﹣3）＝5，其中，x +1＞0且x ﹣3＞0 解得x ＝4． 故方程的解是418．已知cos(α−β2)=−√33，sin(α2−β)=4√29，其中π2＜α＜π，0＜β＜π2．求cos α+β2的值．【分析】首先根据角的范围和同角三角函数的基本关系求出sin （α−β2）和cos （α2−β）的值，然后由两角和与差公式展开cos α+β2=cos[（α−β2）﹣（α2−β）]，将相应的值代入即可．解：∵π2＜α＜π，0＜β＜π2 cos （α−β2）=−√33，∴0＜β2＜π4π4＜α2＜π2sin （α−β2）=1−(−√33)2=√63cos （α2−β）=1−(429)2=79∴cosα+β2=cos[（α−β2）﹣（α2−β）]＝cos （α−β2）cos （α2−β）+sin （α−β2）sin （α2−β）=−√33×79+4√29×√63=√32719．如图，函数f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）（A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2）的图象经过点（0，1）（1）求函数f （x ）的解析式；（2）写出函数f （x ）的单调递增区间； （3）若f （x ）=√2，求自变量x 的值．【分析】（1）由函数图象的顶点纵坐标可得A ；再由函数的周期求得ω；再由函数的图象过点（0，1），结合|ϕ|＜π2，求得 ϕ，从而求得函数的解析式． （2）令2k π−π2≤12x +π6≤2k π+π2，k ∈z ，求得x 的范围，故函数的增区间． （3）由f （x ）=√2，求得sin （12x +π6）=√22，可得 12x +π6=2k π+π4，或 12x +π6=2k π+3π4，k ∈z ，由此求得x 的值．解：（1）由函数图象的顶点纵坐标可得A ＝2，再由函数的周期为2[（x 0+2π）﹣x 0]=2πω，求得ω=12．再由函数的图象过点（0，1），可得2sin ϕ＝1，故sin ϕ=12．再由|ϕ|＜π2，可得 ϕ=π6，故函数的解析式为 f （x ）＝2sin （12x +π6）．（2）令2k π−π2≤12x +π6≤2k π+π2，k ∈z ，求得 4k π−4π3≤x ≤4k π+2π3，故函数的增区间为[4k π−4π3，4k π+2π3]，k ∈z ． （3）若f （x ）=√2，则有2sin （12x +π6）=√2，sin （12x +π6）=√22，∴12x +π6=2k π+π4，或12x +π6=2k π+3π4，k ∈z ．解得 x ＝4k π+π6，或 x ＝4k π+7π6，k ∈z ． 20．如图，甲船在A 处测得：“乙船位于北偏东75°，距离为10海里的C 处，并正沿着北偏东135°的方向，以每小时12海里的速度驶去．”经过半小时，甲船在B 处追上了乙船．求：（1）甲船的行驶速度；（2）甲船的行驶方向（精确到0.1°）【分析】（1）在△ABC中根据余弦定理，结合题中数据算出AC＝14（海里），再由航行的时间为半小时可得甲船的行驶速度；（2）根据正弦定理，算出∠BAC≈22°，从而AB的方向角∠SAB≈83°，可得甲船的航行方向．解：（1）由已知，∠ACB＝120°，AC＝10，BC＝6，…（1分）所以AB2＝AC2+BC2﹣2•AC•BC•cos∠ACB＝100+36+60＝196，…可得AB＝14（海里），…∴甲船的速度为140.5=28（海里/时），…（2）由正弦定理，△ABC中，ABsinC =BC sinA，可得14sin120°=6sinA，…解之得sin A=37sin120°=3√314，…∴∠BAC≈22°，得∠SAB≈83°…答（1）甲船的速度为140.5=28（海里/时），（2）甲船的航行方向约为南偏东83°．…21．如图，在单位圆和x轴上各有动点A、B，它们的初始位置都在单位圆和x轴的交点P0处，A处沿逆时针方向旋转θ=π4得到A1，B点沿x轴正方向移动θ=π4个单位得到B1，分别过A 1、B 1作x 轴的平行线和垂线相交于P 1（x 1，y 1），A 1点再沿逆时针方向旋转θ=π4得到A 2，B 1点沿x 轴正方向移动θ=π4个单位得到B 2，分别过A 2、B 2作x 轴的平行线和垂线相较于P 2（x 2，y 2），…，如此下去得到P n （x n ，y n ）（n 为正整数）（1）求点P 1的坐标；（2）计算：y 1+y 2+…+y 2011的值；（3）由点P 0，P 1，…P n 连成的折线与x 轴、P n B n 所围成的区域面积记为S n ，求S 8．【分析】（1）根据定义求P 1的坐标．（2）根据定义寻找y n 的规律，得到纵坐标取值的周期性，并根据规律进行求和． （3）确定折现对应的图形，利用三角形或梯形的面积公式求面积．解：（1）根据定义可知点P 1的横坐标x =1+π4，纵坐标为y =1×sin π4=√22， 即P 1的坐标：(1+π4，√22)． （2）由定义可知，A 沿逆时针方向旋转θ=π4后，得到每个点的纵坐标分别为√22，1，√22，0，−√22，−1，−√22，0，√22，1，√22，0，…，体现了周期性，周期数为8．且在一个周期内的和为√22+1+√22+0−√22−1−√22+0=0， 所以y 1+y 2+…+y 2011=y 1+y 2+y 3=√22+1+√22=1+√2． （3）由题意知当n ＝8时，点A 沿着单位圆运动一周，此时对应的折现面积上下两部分相同．所以S8=2(S△P0B1P1+S梯形P1B1B2P2+S梯形P2B2B3P3+S△P3B3P4)=4(S△P0B1P1+S梯形P1B1B2P2)=4[12×π4×√22+(√22+1)×π42]=√2π4+√2π4+π2=√2π2+π2=√2+12π．。
2010—2011学年度第二学期期末考试高一数学参考答案
2010—2011学年度第二学期期末考试高一数学参考答案及评分标准命题人：齐力一、选择题：DBACB BCDCA CA 二、填空题：（13）85，1.6; (14)221- (15) 2; (16) 12三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；字迹工整、清楚。
） （17）(本小题满分1０分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(1,0)A -，(4,0)B ，(0,)C c ．（I ）若AC BC ⊥，求c 的值；（II ）若3c =，求ACB ∠的余弦值. 解：（I ）(1,)AC c =，(4,)BC c =-，由AC BC ⊥，得0AC BC ⋅=，所以，240c -=，所以，2c =±. …………5分 （II ）当3c =时，10CA =5CB =，(1,3)CA =--，(4,3)CB =- 因此，10cos CA CB ACB CA CB⋅∠==. ……………………………1０分 （18）(本小题满分12分)已知函数()sin f x x ω=（0ω>）.(I ) 当1ω=时，函数()y f x =经过怎样的变换得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，请写出变化过程；(II )若()y f x =图象过2(,0)3π点，且在区间(0,)3π上是增函数，求ω的值. 解：（I ）方法1 保持每点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移12π个单位。
方法2 向左平移6π个单位，再保持每点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半。
………………………4分（II ）由()y f x =的图象过2(,0)3π点，得2sin 03πω=，所以23k πωπ=，k ∈Z .即32k ω=，k ∈Z .又0ω>，所以*k ∈N . 当1k =时，32ω=，3()sin 2f x x =，其周期为43π，此时()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数； 当k ≥2时，ω≥3，()sin f x x ω=的周期为2πω≤2433ππ<， 此时()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上不是增函数. 所以，32ω=. ……………………12分 （19）（本小题满分12分）某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人），现用分层抽样方法（按A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）.从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如表1和表2.（I ）先确定x ，y ，再在下图中完成表1和表2的频率分布直方图.就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（II ）分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 解：（I ）由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名.故485325x ++++=，得5x =， …………………………………………1分 6361875y +++=，得15y = . …………………………………………2分 频率分布直方图如下……………5分从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小 . ……………7分 （II ）485531051151251351451232525252525A x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 6153618115125135145133.875757575B x =⨯+⨯+⨯+⨯=，2575123133.8131.1100100x =⨯+⨯= ……………………………………11分A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1 . …………………………………12分（20）(本小题满分12分)某商场实行优惠措施，若购物金额x 在800元以上(含800元)打8折；若购物金额在500元以上(含500元)打9折，否则不打折．请设计一个算法程序框图，要求输入购物金额x ，能输出实际交款额，并写出程序．【解析】 程序框图程序：…………………12分（21）(本小题满分12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（Ⅰ）设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；（Ⅱ）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？（Ⅲ）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．【解析】 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4’表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4’)，(3,2)，(3,4)，(3,4’)，(4,2)，(4,3)，(4,4’)，(4’，2)，(4’，3)，(4’4)，共12种不同情况．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌的牌面数字只能是2,4,4’，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4’，2)，(4’，3)，共5种，故甲胜的概率P 1＝512，同理乙胜的概率P 2＝512.因为P 1＝P 2，所以此游戏公平．（22）(本小题满分12分)已知向量],2,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cosπ∈-==x x x x x 且 （Ⅰ）求a b ⋅与a b +；（Ⅱ）求函数()2f x a b a b =⋅-+的最小值； （Ⅲ）若()f x a b a b λ=⋅-+的最小值是23-，求实数λ的值. 解：xx x xx x x xx x x b a x xx x x cos 2cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos )2sin 23sin ,2cos 23(cos 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos)1(22==+=-++=+-+=+=-=⋅ 3)1(cos 21cos 4cos 2cos 42cos )()2(22--=--=-=+-⋅=x x x x x x f 3)(,1cos 0]1,0[cos ]2,0[min -===∴∈∴∈x f x x x x 时，当π.11232121)(201)(0(45232121122)(221)2(cos 21cos 2cos 2cos 22cos )()3(22min min min 222=±=-=----=<<-=≤=-=--=--=≥---=--=-=λλλλλλλλλλλλλλλ综上，，得由时，当（舍去）时，当舍去），得由时，当x f x f x f x x x x x x f。
2018-2019学年上海市上海外国语大学附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海外国语大学附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题 1．函数1lgy x=的大致图像是下列哪个选项（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】化简1lg x，然后作图，值域小于0部分翻折关于x 轴对称即可. 【详解】1lglg x x=-Q ， 1lg y x∴=的图象与lg y x =-关于x 轴对称，将0y <部分向上翻折，图象变化过程如下：x 轴上方部分图形即为所求图象.故选：B. 【点睛】本题主要考查图形的对称变化，掌握关于轴对称是解决问题的关键.属于中档题. 2．已知三角形ABC ，如果222sin sin sin A B C +<，则该三角形形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上选项均有可能 【答案】B【解析】由正弦定理化简已知可得：2220a b c +-<，由余弦定理可得cos 0C <，可得C 为钝角，即三角形ABC 的形状为钝角三角形.【详解】 由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，222sin sin sin A B C +<， 可得222222a b c R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2220a b c +-<， ∴由余弦定理可得：222cos 02a b c C ab +-=<，又()0,C π∈，∴C 为钝角，即三角形ABC 为钝角三角形.故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.3．已知()2462n f n =++++L L ，则(1)f n +比()f n 多了几项（ ） A ．1 B ．nC ．1n +D ．12n -【答案】D【解析】由()f n 写出(1)f n +，比较两个等式得多了几项. 【详解】由题意()2462nf n =++++L L ，则()()()(1)2462222242n n n n n f n ++++++=++++++L L ，那么： ()()()()242(1)222n n n n f n f n ++++++=+-L ，又1221,422,623,,222nn -=⨯=⨯=⨯=⨯L∴(1)f n +比()f n 多了12n -项.故选：D. 【点睛】本题考查对函数的理解和带值计算问题，属于基础题. 4．甲：1n n a a d +-=（d 是常数） 乙：122n n n a a a ++=+丙：212n a a a an bn ++⋯+=+（a 、b 是常数）丁：n a kn b =+（k 、b 是常数），以上能成为数列{}n a 是等差数列的充要条件的有几个（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由等差数列的定义和求和公式、通项公式的关系，以及性质，即可得到结论. 【详解】数列{}n a 是等差数列，设公差为d ， 由定义可得1n n a a d +-=（d 是常数），且21121n n n n a a a a a a d +++==-=--=L （d 是常数），()212111222n n n n d d S a a a na d n a n +⎛⎫=++⋯+=+=++ ⎪⎝⎭， 令1,22d da b a ==+，即212n a a a an bn ++⋯+=+（a 、b 是常数）， 等差数列通项()()111n a a n d nd a d =+-=+-， 令1,k d b a d ==-，即n a kn b =+（k 、b 是常数）， 综上可得甲乙丙丁都对. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的关系，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题.二、填空题5．函数f （x ）＝log 2（x +1）的定义域为_____． 【答案】{x |x ＞﹣1}【解析】利用对数的真数大于0，即可得解. 【详解】()()2log 1f x x =+函数的定义域为：{|10}x x +>,解得：{|1}x x >-， 故答案为：{|1}x x >-. 【点睛】本题主要考查对数函数定义域，考查学生对对数函数定义的理解，是基础题. 6．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 【答案】二【解析】由点P （tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限． 【详解】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0， 则角α的终边在第二象限， 故答案为二．点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号． 7．已知等差数列{}n a ，若192x a a a a +=+，则x =______. 【答案】8【解析】利用等差数列的通项公式直接求解. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，由192x a a a a +=+，得()111181a a a d a d x d +=++-++，解得8x =. 故答案：8. 【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 8．若x ∈R ，方程9320x x --=的解为______. 【答案】{}3log 2【解析】运用指数方程的解法，结合指数函数的值域，可得所求解． 【详解】由9320x x --=，即()()13230xx+-=， 因30x >，解得32x =，即3log 2x =. 故答案：{}3log 2. 【点睛】本题考查指数方程的解法，以及指数函数的值域，考查运算能力，属于基础题. 9．已知tan 2θ=，则()()()()sin 90cos 90sin 180sin 180θθθθ︒︒︒︒++-=--+______.【答案】34【解析】利用诱导公式将原式化简，再正余弦转化为正切代值即可. 【详解】tan 2θ=Q ，∴原式cos sin cos sin tan 1213sin sin 2sin 2tan 224θθθθθθθθθ++++=====+⨯.故答案：34【点睛】本题考查诱导公式的应用，熟练掌握诱导公式是关键，属于基础题．10．若各项均为正数的等比数列{}n a ，1111,1024a a ==，则它的前n 项和为______. 【答案】21n -【解析】利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出它的前n 项和. 【详解】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，由1111,1024a a ==，得101111024a a q =⋅=，且0q >，解得2q =，∴它的前n 项和为()1122112n n nS ⨯-==--.故答案：21n -. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．11．函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．【答案】(,1)-∞-【解析】先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出. 【详解】由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数22log (56)y x x =--的定义域为(,1)(6,)-∞-+∞U .令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.【点睛】复合函数法：复合函数[]()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则[]()y f g x =必为减函数．12．函数sin cos cos sin 44y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期T =___________. 【答案】π【解析】利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期. 【详解】依题意ππsin sin 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数的周期2ππ2T ==. 故填：π. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 13．已知一个扇形的周长为4，则扇形面积的最大值为______. 【答案】1【解析】表示出扇形的面积，利用二次函数的单调性即可得出. 【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，则弧长l r α=，∴24r r α+= ，即42rα=-， ∴该扇形的面积()22221142211122S r r r r r r α⎛⎫=⋅=-=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1,2r α==时取等号.∴该扇形的面积的最大值为1.故答案：1. 【点睛】本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.14．函数arcsin arccos (11)y x x x =+-≤≤的值域为______.【答案】2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由反三角函数的性质得到arcsin arccos 2x x π=-，即可求得函数的值域.【详解】由()()sin arcsin 11x x x =-≤≤，则()()sin arccos cos arccos 112x x x x π⎛⎫-==-≤≤ ⎪⎝⎭， ()sin arcsin sin arccos 2x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，又[]arcsin ,,arccos 0,,arccos ,22222x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-∈-∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦Q ， arcsin arccos 2x x π∴=-，即arcsin arccos 2x x π∴+=，∴函数()arcsin arccos 11y x x x =+-≤≤的值域为2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案：2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查反三角函数的性质及其应用，属于基础题.15．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan ,sin 710αβ==，则2αβ+=______. 【答案】4π【解析】利用同角三角函数的基本关系求得tan β的值，利用二倍角的正切公式，求得tan 2β，再利用两角和的正切公式，求得()tan 2αβ+的值，再结合2αβ+的范围，求得2αβ+的值． 【详解】11tan ,,0,,731022παβαβ⎛⎫=<=<∈ ⎪⎝⎭Q 0,,0,66ππαβ⎛⎫⎛⎫∴∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，cos β==sin 1tan cos 3βββ==，22tan 3tan 211tan 4βββ==<- 20,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()520,12παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-⋅24παβ∴+=，故答案：4π. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，二倍角的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．16．等差数列{}n a ，()sin n n b a =，存在正整数t ，使得n t n b b +=，*n N ∈，若集合{}*|,nx x b n N =∈有4个不同元素，则t 的可能取值有______个.【答案】4【解析】由题意得{}n b 为周期数列，集合有4个不同元素，得4t ≥，在分别对t 取值讨论即可. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d +-=，()sin n n b a =，由题意，存在正整数t ，使得n t n b b +=，又集合{}*|,n x x b n N =∈有4个不同元素，得4t ≥，当4t =时，()()4sin sin n n a a +=，即()()()4sin sin 4sin 2n n n a a d a k π+=+=+，∴442n n n a a d a k π+=+=+，或42n n a d a k ππ+=-+（舍）， ∴242k k d ππ==，取1k =，则2d π=，在单位圆上的4个等分点可取到4个不同的正弦值，即集合{}*|,n x x b n N=∈可取4个不同元素；当5t =，()()5sin sin n n a a +=，即()()()5sin sin 5sin 2n n n a a d a k π+=+=+，∴25k d π=，在单位圆上的5个等分点不可能取到4个不同的正弦值，故舍去； 同理可得：当6t =，7t =，8t =，集合{}*|,n x x b n N =∈可取4个不同元素；当9t ≥时，29k d π≤，单位圆上至少9个等分点取4个不同的正弦值，必有至少3个相等的正弦值，不符合集合{}*|,n x x b n N =∈的元素互异性，故不可取应舍去.故答案：4. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，理解分析问题能力，属于难题.三、解答题17．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对应的边，已知3,4a b ==，ABC S ∆，求c 的长度.【解析】由已知利用三角形的面积公式可得sin C ，可得3C π∠=或23C π∠=，然后分类讨论利用余弦定理可求c 的值. 【详解】由题意得1=sin 2ABC S ab C ∆=sin 2C =， ∴3C π∠=或23C π∠=，又2222cos c a b ab C =+-，当3C π∠=时， 2229161213c a b ab =+-=+-=，可得c =，当23C π∠=时， 2229161237c a b ab =++=++=，可得c =. 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础题. 18．已知函数()2sin()2cos ,[,]62f x x x x πππ=+-∈. （1）若4sin 5x =，求函数()f x 的值； （2）求函数()f x 的值域.【答案】（1）35+；（2）[]1,2. 【解析】【详解】（1）43sin ,[,],cos 525x x x ππ=∈∴==-Q ,13()2(sin cos )2cos cos 225f x x x x x x +⇒=+-=-=. （2）由（1）()2sin()6f x x π=-,51,sin()1236626x x x ππππππ≤≤∴≤-≤⇒≤-≤Q, ∴函数()f x 的值域为[1，2].19．近年来，我国自主研发的长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.火箭推进剂的质量为M ，去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m ，火箭的飞行速度为v ，初始速度为0v ，已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：0ln 1M v v w m ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，其中w 是火箭发动机喷流相对火箭的速度，假设00v =，3(/)w km s =，25()m t =，ln x 是以e 为底的自然对数， 2.71828e ≈L L ，7.911.216.733313.916,41.82,261.56eee≈≈≈.（1）如果希望火箭飞行速度v 分别达到第一宇宙速度()7.9/km s 、第二宇宙速度()11.2/km s 、第三宇宙速度()16.7/km s 时，求M 的值（精确到小数点后面1位）.（2）如果希望v 达到()16.7/km s ，但火箭起飞质量最大值为()2000t ，请问w 的最小值为多少（精确到小数点后面1位）？由此指出其实际意义. 【答案】（1）()322.9t ()1020.5t ()6514.0t （2）见解析【解析】（1）弄清题意，将相关数据代入齐奥尔科夫斯基公式：0ln 1M v v w m⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，即可得出各个等级的速度对应的M 的值；（2）弄清题意与相关名词，火箭起飞质量即为2000m M +≤，将公式变形0ln 1ln Mm Mv v w w m m +⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分离出()ln m M +，解不等式即可得3.7w ≥，w 的最小值为()3.7/km s .【详解】（1）由题意可得00v =，3(/)w km s =，25()m t =，且0ln 1M v v w m⎛⎫=+⋅+⎪⎝⎭， 3ln 125M v ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，当v 达到第一宇宙速度()7.9/km s 时，有7.93ln 125M ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()7.932525322.9M et ∴=-≈；当v 达到第二宇宙速度()11.2/km s 时，有11.23ln 125M ⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()11.2325251020.5M et ∴=-≈；当v 达到第三宇宙速度()16.7/km s 时，有16.73ln 125M ⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()16.7325256514.0M et ∴=-≈.（2）因为希望v 达到()16.7/km s ，但火箭起飞质量最大值为()2000t ，0ln 1ln Mm M v v w w m m +⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ln 16.7,2000,25m Mw m M m m+⎛⎫∴⋅=+≤=⎪⎝⎭， ()16.7ln ln ln 2000m m M w ∴+=+≤，即16.7ln 25ln 2000w+≤，得 3.7w ≥， w ∴的最小值为()3.7/km s比较（1）中当v 达到第三宇宙速度()16.7/km s 时，()16.7325256514.0M et =-≈；火箭起飞质量为()6539m M t +≈，此时()3/w km s =，v 达到()16.7/km s ，但火箭起飞质量最大值为()2000t ，w 的最小值为()3.7/km s .由以上说明实际意义为：不是火箭的推进剂质量越大，火箭达到的速度越大，当减少推进剂质量，增大火箭发动机喷流相对火箭的速度，同样可以达到想要的速度. 【点睛】本题是一个典型的数学模型的应用问题，用数学的知识解决实际问题，这类题目关键是弄清题意；建立适当的函数模型进行解答．属于中档题. 20．研究正弦函数()sin ()f x x x R =∈的性质 （1）写出其单调增区间的表达式（2）利用五点法，画出()sin ()f x x x ππ=-≤≤的大致图像 （3）用反证法证明()sin ()f x x x R =∈的最小正周期是2π【答案】（1）()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）见解析（3）见解析【解析】（1）利用正弦函数的图象和性质即可得解； （2）利用五点法作函数()sin y A ωx φ=+的图象即可；（3）先证明()(2)f x f x π+=，再假设存在02T π<<，使得()()f x T f x +=，令0x =，可得T π=，令4x π=，可得5sinsin 44ππ=，得到矛盾，即可得证. 【详解】（1）单调递增区间为22,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以单调递增区间的表达式为()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）列表：描点，连线，可得函数图象如下：（3）证明：()()(2)sin 2sin f x x x f x ππ+=+==，假设存在02T π<<，使得()()f x T f x +=，即()sin sin ,x T x x R +=∈， 令0x =，则()sin 0sin00T +==，即T π=； 再令4x π=，可得5sinsin 44ππ=，得到矛盾， 综上可知()sin ()f x x x R =∈的最小正周期是2π.【点睛】本题主要考查了正弦函数的单调性，五点法作函数()sin y A ωx φ=+的图象，考查了反证法的应用，属于中档题.21．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，20n a n =-，*n N ∈，如果118b a =，44b a = （1）求{}n b 的通项公式（2）n n n c a b =⋅，求{}n c 的最大项的值（3）将1122n n a b a b a b -+-++-L 化简，表示为关于n 的函数解析式()f n【答案】（1）2nn b =（2）192（3）()()()()()1113922,14218243552n n n n n f n n n n ++⎧---≤≤⎪⎪=⎨⎪++--≥⎪⎩， 【解析】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求；（2）判断{}n c 的单调性，可得所求最大值；（3）讨论当4n ≤时，当5n ≥时，由分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和. 【详解】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，20n a n =-，*n N ∈， 由118b a =，44b a =，可得12b =，416b =， 解得：2q =，∴数列{}n b 的通项公式：2n n b =.（2）由题意得()202nn n n c a b n =⋅=-⋅，()()()11192202182n n n n n c c n n n ++∴-=-⋅--⋅=-⋅， ∴当118n ≤≤时，{}n c 递增；当19n ≥时，{}n c 递减；由1918192c c ==，可得{}n c 的最大项的值为192.（3）由题意得202nn n a b n -=--，()1122n n f n a b a b a b =-+-++-L当4n ≤时，2020n n --≥；()()()()1220122022202n f n n ∴=--+--++--L()()()()1220120220222nn ⎡⎤=-+-++--+++⎣⎦L L ()()1139222n n n +=--- 当5n ≥时，2020n n --<()()()()()11403221520824352n n f n n n n +∴=+++-++-=++--L L 综上函数解析式()()()()()1113922,14218243552n n n n n f n n n n ++⎧---≤≤⎪⎪=⎨⎪++--≥⎪⎩， 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题.。
高一下期期末数学试题及答案
2010~2011学年度下期期末考试高中一年级 数学 参考答案一、C A C A D BC B A D C D 二、13．3 14．-2 15．19- 16．②三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17.解：1sin 2α=,α为第二象限角, cos 2α∴=- ……………………2分 2sin()44sin 2cos 21sin cos cos sin4462sin cos 2cos παααππααααα+∴+++=+分分)()sin cos 22cos sin cos ααααα+=+ (8)分 22cos α=6==-⎝⎭…………………10分 18．解：()s i n (0,||)2y A x πωϕωϕ=+><的图象的最近两条对称轴之间的距离为π，22T ππω∴==，…………2分1.ω∴= …………4分又因为它是奇函数，所以()k k ϕπ=∈Z ，…………6分 由||2πϕ<得0.ϕ=sin .y A x ∴= …………………8分 sin y A x =的图象过点,22π⎛⎫⎪⎝⎭，2sin , 2.2A A π∴=∴= ………………… 11分故所求函数的解析式为2sin y x =. ………………… 12分19．解：（Ⅰ）因为⊥a b ，所以0,⋅=a b …………………2分即sin cos 0θθ+=,sin cos ,θθ=-tan 1.θ=- …………………4分 所以,.4k k πθπ=-∈Z （或者3,.4k k πθπ=+∈Z ） …………………6分 （Ⅱ）因为//a b ，所以sin cos 10,θθ-= …………………9分sin 22θ∴=，这是不可能的.所以θ不存在. …………………12分20．解: （Ⅰ） 散点图略． ……………………4分（Ⅱ）4166.5i i i x y ==∑，4222221345686ii x==+++=∑ ，4.5x = ， 3.5y =，…………………6分 266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b-⨯⨯-===-⨯-; …………………8分 ˆˆ 3.50.7 4.50.35,ay bx =-=-⨯=所求的回归方程为0.70.35y x =+． ……………………10分（Ⅲ） 当x =8时, 0.780.35 5.95y =⨯+=．∴该同学第8年的年收入是5.95万元． ………………12分21．解：（Ⅰ）设课外兴趣小组中有x 名男同学，则45,45154x=+解得x =3，所以男同学的人数为3、女同学的人数分别为1. ……………3分（Ⅱ）把三名男同学和一名女同学分别记为123,,,,a a a b 则选取两名同学先后做实验的基本事件有：()()()()()()1213121232,,,,,,,,,,,,a a a a a b a a a a a b ()1,,b a()()()31323,,,,,,a a a a a b ()()23,,,,b a b a 共12种， …………………5分其中有一名女同学的情况有6种， …………………6分所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61.122P ==…………7分（Ⅲ）由题知，138********41,5x ++++==2394040424441,5x ++++==…………………9分()()()()()22222213841404141414241444145s -+-+-+-+-==，()()()()()222222239414041404142414441 3.2.5s -+-+-+-+-==……11分221221,.x x s s ∴=<故同学B 的实验更稳定. …………………12分22．解：0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，20,2x π⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，[]cos20,1.x ∈ ………………… 2分cos3cos sin3sin cos(3)cos 4x x x x x x x ⋅=-=+=a b ，2cos 2x +==a b ，……………4分()()sin2cos42sin2cos2cos4sin4cos 44f x x x x xx x x λλλλπλ∴=⋅-+=-⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭a b a b …………………6分0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]40,x π∴∈，54,,444x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦由444x πππ≤+≤，得30;16x π≤≤由5444x πππ≤+≤，得3.164x ππ≤≤ ………8分 所以当0λ>时，()f x 的单调减区间为30,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调增区间为3,164ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；…10分当0λ<时，()f x 的单调增区间为30,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间为3,164ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ……12分。
上外附中2010-2011学年高一年级第二学期期末数学试卷
2010-2011学年高一年级第二学期期末数学试卷命题人：黄诚一、填空题（共14题，每题3分，共42分）1、 函数110+=x y 的反函数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．2、 已知等腰三角形的底角的正弦值等于54，则该三角形的顶角的正切值为＿＿＿． 3、 函数2sin 42-=x y 的值域为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 4、 函数)54(log 25--=x x y 的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 5、 计算()()()()._____________25sin 55cos 25cos 35cos =-︒-︒--︒+︒x x x x 6、 若⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=<<=55arccos ,20,1010sin βπαα，则._____________=+βα 7、 方程02sin 3sin 22=-+x x 的解集是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 8、 四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的长分别为8厘米与12厘米，它们的夹角为322arccos，则__________=ABCD S 四边形平方厘米． 9、若函数x m x x f 2cos 2sin )(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数._____=m10、函数)arccos(sin x y =，)32,3(ππ-∈x 的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．11、函数xy tan 11-=的定义域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．12、函数)32sin(π-=x y 的图像向左平移3π个单位，再将图像上的每个点的横坐标压缩到原来的21后，所得函数图像的解析式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 13、当[]π,0∈x 时，方程m x x =+cos sin 只有一个解，则m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿．14、已知()2,≥∈*n N n n 是常数，且n x x x ,...,,21是区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内任意实数，当366=n 时，函数13221cos sin ......cos sin cos sin )(x x x x x x x f n n +++=的最大值为＿＿＿＿＿＿． 二、选择题（共4题，每题3分，共12）15、等式2log 22=x 成立是等式1log 2=x 成立的 （ ）班级__________ 考试号_________ 姓名______________ ………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………(A)充分非必要条件. (B)必要非充分条件. (C)充要条件. (D)非充分非必要条件. 16、在ABC ∆中，A a B b cos cos ⋅=⋅，则ABC ∆的形状是 （ ）(A)等腰或直角三角形. (B)等腰三角形. (C)直角三角形. (D)等腰直角三角形.17、已知角B A 、为锐角，且A B B A sin sin )cos(=⋅+，则A ta n 的最大值是 （ ） (A)42. (B)22. (C)３2. (D)22. 18、如下图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><在一个周期内的图像，M 、N分别是其最高点、最低点，MC x ⊥轴，且矩形MBNC ． ( )则A ω⋅的值为(A) 16.(B)(C) 6. (D)三、解答题（共6题， 6+7+8+8+8+9分，共46分） 19、已知βα,为锐角，且71cos =α，().1411cos -=+βα求βsin 的值．20、已知ABC ∆的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+． （1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．21、已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --=（1）写出函数)(x f 的单调递增区间；（2）求方程03)(2=+x f 的解集．22、三角函数内容丰富，公式很多。
上海市高一第二学期期末数学试卷(共3套,含参考答案)
a2<1，则实数a的取值范围是3，并且θ是第三象限角，则tanθ=tan(π+α)cos(π-α)⋅sin(π+α)= 10、函数y=cos x2x+ϕ)是偶函数，则ϕ的一个值为（2（C）ϕ=-（A）⎢-4,17⎤(17⎣8,+∞)8⎥⎦（B）(-∞,-4)上海高一第二学期期末数学试卷一、填空题（44分）1、计算lg0.014=2、函数y=x+1（x≥0）的反函数是3、若log14、方程4x-9⨯2x+8=0的解是25、已知扇形的圆心角为π，半径为5，则扇形的弧长l等于36、已知sinθ=-17、化简：sin(π-α)⋅tan(2π-α)cos(2π-α)8、化简：cos200cos(α-200)-cos700sin(α-200)=9、函数y=log(sin x cos x)的单调递减区间是122-sin x的值域是311、计算arcsin(sinπ)=4二、选择题（16分）12、若函数y=sin(1）（A）ϕ=-π（B）ϕ=-ππ4（D）ϕ=-π813、“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的（）条件（A）充分非必要（B）必要非充分（C）充要（D）非充分非必要14、函数y=cos2x+3sin x的值域是（）⎡（C）[-4,4]（D）(-∞,-4)(4,+∞)15、函数f(x)=4+log(x-1)（a>0,a≠1）的图像恒经过定点P，则点P的坐标是（a（A）（1，4）（B）（4，1）（C）（2，4）（D）（4，2））三、解答题（6+8+8+8+10）16、解方程：log(9x-1-5)=log(3x-1-2)-2112217、已知tanα=1710π，sinβ=，α,β∈(0,)，求α+2β10218、在地面某处测得塔顶的仰角为θ，由此向塔底沿直线走3千米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底沿同一直线走3千米，测得塔顶仰角为4θ（三个测量点都在塔的同一侧），试求θ与塔高。
2010-2011-高一下期末-闸北
2010学年度第二学期高一数学学科期末练习卷考生注意：1．本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚． 3．本试卷共有14道试题，满分100分．考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共9小题，每小题4分，满分36分）1．设函数13)(+=x x f ，则=-)2(1f ▲ .2．若某地人口按每年%1的比率增长，则该地人口达到原来的2倍只需 ▲ 年．(取整) 3．下列三个命题，其中，所有真命题的序号为 ▲ ．① 第一象限的角都是锐角； ② 若α是第一象限的角，则2α也必是第一象限的角；③ 59π-弧度的角与 36的角是终边相同的角．4．若α、β为锐角，且满足2tan =α，55)cos(-=+βα，则βtan 的值为 ▲ ．5．在ABC ∆中，若 30A =， 135C =，2BC =，则ABC ∆的面积为 ▲ ．6．当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船等待营救．甲船立即将消息告知在甲船南偏东 30，相距10海里C 处的乙船，乙船距离渔船 ▲ 海里．7．函数32=y 与y )0(cos 3sin π≤≤+=x x x 图像交点的横坐标为 ▲ ．8．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，)N (2*1∈+=+n S a S n n n ，则=6a ▲ ．9．设等比数列}{n a 的公比为21，对于*∈N n ，n n a b 2log=，若当且仅当6=n 时，数列{}n b 的前n 项和取得最大值，则1b 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共5小题，每题的分数依次为12、12、12、14、14，满分64分） 10．求函数4loglog 42xx y ⋅=在闭区间 [1, 8] 上的最大值和最小值．11．（1）设)Z (2∈≠k k πα，请运用任意角的三角比定义证明：)csc )(sec cos (sin cot tan αααααα-+=-．（2）设)Z (∈≠k k πα，求证：αααα2cos 4)2tan2(cot2sin =-．12．请以两角差的正弦公式y x y x y x sin cos cos sin )sin(-=-为已知条件，推导两角和的余弦公式，进而推导半角的正弦公式．13．已知正割函数x y sec =在区间)2,0(π上的图像如图（请看答题卡）所示，请在所示范围内画出正割函数的大致图像，指出它的定义域、值域和基本性质，并任选其基本性质之一给予证明．14．假设某市2010年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底 （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2010年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？高一数学学科期末练习卷参考答案与评分标准（2011.6）一、1．12log 3-； 2．70； 3．③；4．34； 5．13-； 6．310；7．31arcsin32-π； 8．32-； 9．)6,5(．二、10．解一：)2(loglog22-=x x y …………………………………………………5分81≤≤x ，3log02≤≤∴x ……………………………………………………………………3分故，问题转化为：求二次函数)2(21-=t t y 在闭区间[0,3]上的最大值和最小值．所以，当1=t 时，21min -=y ； …………………………………………………2分当3=t 时，23max =y ． ……………………………………………………………2分解二：)1(loglog244-=x x y …………………………………………………………5分81≤≤x ， 23log04≤≤∴x ……………………………………………………………………3分故，问题转化为：求二次函数)1(2-=t t y 在闭区间[0,23]上的最大值和最小值．所以，当1=t 时，21min -=y ； …………………………………………………2分当23=t 时，23max=y ． ……………………………………………………………2分解三：)4lg (lg lg )2(lg 212-=x x y (5)分81≤≤x ，lg8lg 0≤≤∴x ……………………………………………………………………3分令x t lg =，问题转化为：求二次函数)4lg ()2(lg 212-=t t y 在闭区间[0,8lg ]上的最大值和最小值．所以，当2lg =t 时，21min -=y ；…………………………………………………2分当8lg =t 时，23max =y ．……………………………………………………………2分11．（1）证 设),(y x P 是角α终边上任意一点，且0||22>=+=r yx OP ，…1分则由任意角的三角比定义，有rx ry ==ααcos ,sin ，yx xy ==ααcot ,tan ，yr xr ==ααcsc ,sec ，xyx yy x xy 22cot tan -=-=-=∴αα左，………………………………………2分.))(()csc )(sec cos (sin 22xyx y y r x r r x r y -=-+=-+=αααα右 ……………2分左=右，所以，原式成立． ………………………………………………1分（2）设)(Z k k ∈≠πα，求证：αααα2cos 4)2tan2(cot 2sin =-．证明一：左==--+=ααααααα2cos 4)sin cos 1sin cos 1(cos sin 2右. ……………6分证明二：αααααααααα22cos 4cot 2cos sin 22tan2tan12sin )2tan2tan1(2sin =⋅=-⋅=-. 6分12．解：y x y x y x sin cos cos sin )sin(-=-解法一：用y -替换y ，得y x y x y x y x y x cos sin cos sin )sin(cos )cos(sin )sin(+=---=+……………2分由诱导公式，有])2sin[()](2sin[)cos(y x y x y x --=+-=+ππy x y x y x y x sin sin cos cos sin )2cos(cos )2sin(-=---=ππ即：=+)cos(y x y x y x sin sin cos cos -=． …………………………4分解法二：在公式y x y x y x sin cos cos sin )sin(-=-中，用y --2π替换y ，得)cos (cos )sin (sin )2sin(cos )2cos(sin )](2sin[y x y x y x y x y x ---=-----=++πππ即：=+)cos(y x y x y x sin sin cos cos -=． ……………………………………6分令x y =，得x x x 22sin cos 2cos -=，……………………………………2分由于1sincos 22=+x x ，所以x x 2sin212cos -=． ……………………………1分用2x 替换x ，得2sin 21cos 2x x -=， 故推得半角的正弦公式2cos 12sinxx -±=．………………………………………3分13．画图4分，定义域、值域各1分，其它每个基本性质1分；证明一个基本性质3分定义域：)(2Z k k x ∈+≠ππ，值域：),1[]1,(+∞--∞正割函数的基本性质：奇偶性：偶函数；证明：任取2πk x ≠，有)(sec cos 1)cos(1)sec()(x f x xx x x f ===-=-=-所以，正割函数x y sec =是偶函数．● 单调区间：单调递减区间)2,22(πππk k +-和)223,2(ππππk k ++，Z k ∈；单调递增区间)22,2(πππk k +和)2,22(ππππk k ++，Z k ∈.证明正割函数在区间)22,2(πππk k +（Z k ∈）上为增函数：任取2121),22,2(,x x k k x x <+∈πππ，则0cos ,0cos 21>>x x ，且21cos cos x x >，0cos cos cos cos cos 1cos 1sec sec 21122121<-=-=-x x x x x x x x ，所以，正割函数在在区间)22,2(πππk k +（Z k ∈）上为增函数.●最大值和最小值：无.证明：反证法：假设有最大值0M ，显然10>M ， 则对于所有2πk x ≠，有0)(M x f ≤.令11sec 0>+=M x ，得)1,0(11cos 0∈+=Mx ，所以，存在0x ，使得1sec 00+=M x ，与0M 为正割函数的最大值矛盾.所以正割函数无最大值，同理可证正割函数无最小值.●零点：无.证明：因为]1,1[cos -∈x ，所以1|sec |≥x ，故方程0sec =x 无解， 所以，正割函数无零点. ●周期：π2.证明：设2πk x ≠，有)(sec cos 1)2cos(1)2sec()2(x f x xx x x f ===+=+=+πππ，所以，π2是正割函数的周期.14．解（1）设中低价房面积形成数列{}n a ，由题意可知{}n a 是等差数列． 其中2501=a ，50=d ，则,22525502)1(2502n n n n n S n +=⨯-+=………………3分令,4750225252≥+n n 即019092≥-+n n ，因为*∈N n ，所以10≥n ．………3分到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．………1分 （2）设新建住房面积形成数列}{n b ，由题意可知}{n b 是等比数列，其中4001=b ，08.1=q ，则1)08.1(400-⋅=n n b ，由题意可知n n b a 85.0>．有85.0)08.1(40050)1(2501⋅⋅>⋅-+-n n ，………………………………………………4分 使用计算器解得满足上述不等式的最小正整数6=n ．……………………………………2分 到2015年底，当年建造的中低价房面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．…1分。
2010-2011学年高一第二学期期末试卷
2010-2011学年高一第二学期期末试卷听力试题第一节（共5小题；每小题1．5分，满分7．5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．Where are the two speakers?A. At home.B. At a shop.C. At School.2．What will the man probably do？A. Have a dinner．B. Clean the table.C. Road the notebook．3．When will the man come back?A．At 10:20．B. At 10：30．C．At 10：40．4．Where do the two speakers meet？A．In the library．B. lit the classroom. C．On the way to the library．5．What do we learn a about Tom？A．He has always beer a good student．B．He used to study very hard.C．He is a good student now．第二节（15小题每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从每题所给的A,B，C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6至7题。
6．What is the woman？A. A manager.B. A reporter.C. A driver.7．How far does the man live from the place of his work？A．5 kilometers. B．6 kilometers. C．More than 10 kilometers.听第7段材料，回答第8至9题。
上海市上海外国语大学附属中学2018-2019学年付高一下学期数学期末考试卷
上海外国语大学附属中学2018-2019高一下期末考试卷2019.6一.填空题（本大题共有12题，前6题每题4分，后6题每题5分，共54分）1.函数2log (1)y x =+的定义域是 .2.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限.3.已知等差数列{}n a ，若192x a a a a +=+，则x = .4.若x R ∈，方程9320x x--=的解为 . 5.已知tan 2θ=，则()()()()sin 90cos 90sin 180sin 180θθθθ︒++︒-=︒--︒+ . 6.若各项均为正数的等比数列{}n a ，11a =，111024a =，则它的前n 项和为 .7.函数()22log 56y x x =--的单调递减区间是 . 8.函数sin cos 4y x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭cos sin 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为 . 9.已知一个扇形的周长为4，则扇形面积的最大值为 .10.函数arcsin arccos y x x =+(11)x -≤≤的值域为 .11.已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan 7α=，sin β=，则2αβ+= . 12.等差数列{}n a ，()sin n n b a =，存在正整数t ，使得n t n b b +=，*n N ∈，若集合{}*,n x x b n N =∈有4个不同元素，则t 的可能取值有 个.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.函数1lg y x=的大致图像是下列哪个选项（ ） A. B.C. D. 14.已知三角形ABC ，如果222sin sin sin A B C +<，则该三角形形状为（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上选项均有可能15.已知()2462n f n =++++L ，则(1)f n +比()f n 多了几项（ ）A.1B.nC.1n +D.12n -16.甲：1n n a a d +-=（d 是常数）乙：122n n n a a a ++=+丙：212n a a a an bn +++=+L （a 、b 是常数）丁：n a kn b =+（k 、b 是常数）以上能成为数列{}n a 是等差数列的充要条件的有几个（ ）A.1B.2C.3D.4三、解答题（本大题共5题，共76分，解答时写出必要的步骤）17.在ABC △，,,a b c 分别为角,,A B C 所对应的边，已知3a =，4b =，ABC S =△c 的长度.18.已知函数()2sin 2cos 6x f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若4sin 5x =，求函数()f x 的值； （2）求函数()f x 的值域.19.近年来，我国自主研发的长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平，火箭推进剂的质量为M ，去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m ，火箭的飞行速度为v ，初始速度为0v ，已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：0ln 1M v v w m ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，其中w 是火箭发动机喷流相对火箭的速度，假设00v =，3(/)w km s =，25()m t =，ln x 是以e 为底的自然对数， 2.71828e ≈……，（1）如果希望火箭飞行速度v 分别达到第一宇宙速度7.9（/km s ）、第二宇宙速度11.2（/km s ）、第三宇宙速度16.7（/km s ）时，求M 的值（精确到小数点后面1位）（2）如果希望v 达到16.7（/km s ），但火箭起飞质量最大值为2000（t ），请问w 的最小值为多少（精确到小数点后面1位）？由此指出其实际意义.20.研究正弦函数()sin ()x f x R x =∈的性质（1）写出其单调递增区间的表达式；（2）利用五点法，在下列图中画出()sin ()x x x f ππ=-≤≤的大致图像；（3）利用反证法证明()sin ()x f x R x =∈的最小正周期是2π.21.等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，20n a n =-，*n N ∈，如果118b a =，44b a = （1）求{}n b 的通项公式（2）n n n c a b =⋅，求{}n c 的最大项的值；（3）将1122n n a b a b a b -+-++-L 化简，表示为关于n 的函数解析式()f n .。
2011年高一年级期第二学期月考数学试卷110315附详细答案
闵行（文绮）中学2011年第二学期高一年级月考数学试卷 2011.3一． 填空题（共12小题，每小题4分，共48分）1. 函数()f x =2. 计算： 23log 3log 4⋅=__________.3. 与2009︒终边相同的最小正角是4. 计算：105︒=__________rad5. 试画出函数()12log 1y x =-的大致图像.6. 函数()()211f x x x =+≤-的反函数是()1f x -=_______________.7. 集合(){}lg A y y x ==-，{}12x B y y -==,则A B =_______________.8. 函数()213log 2y x =-的递增区间是________________.9. 若角α的终边经过点(1,A -,则cos α= ；tan α= ．10. 半径为2cm 的扇形的的面积为43π2cm ，则该扇形的中心角的弧度为________.11. 某种汽车安全行驶的稳定性系数u 随使用年数t 的变化规律是0tu u e λ-=，其中0u 、λ是正常数．经检测，当2t =时，00.90u u =，则当稳定系数降为00.50u 以下时，该种汽车的使用年数至少为_________（结果精确到1）．12. 函数()x x x f --=22，有下列四个结论，则正确的结论是_______________．① ()x f 的图象关于原点对称 ② ()x f 在R 上是增函数③ 128log 33f-⎛⎫= ⎪⎝⎭④ ()x f 没有最小值二． 选择题（共4小题，每小题4分，共16分）13． “3πα=”是“sin 2α=”的----------------------------------------------------------------- ( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分又非必要条件14． 下列命题中真命题的个数是 --------------------------------------------------------------------( )①{}{}36090,18090,k k Z k k Z ααββ=⋅︒±︒∈==⋅︒+︒∈；② ()()cos 2cos k k Z παα+=∈；③ 若4α=，则sin 0cos 0αα><且.A ．0 个B ．1 个C ． 2 个D ． 3 个15． 函数xx y ||lg =的图象大致是------------------------------------------------------------------( )A ．B ．C ．D ．16． 若2log 1sin x α=+()R α∈，则函数24312x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为-------------------------( )A ．(]0,2B ． 11,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦三． 简答题（共4小题，共计56分，每小题要有必要的解题过程）17． （本题满分12分）解方程：（1）239xx += （2）()()22log 95log 322x x -=-+18． （本题满分12分,第1小题满分4分，第2小题满分8分）设()x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，()12log f x x =，（1） 当0<x 时，求()x f 的表达式；（2） 解不等式()2f x ≤；19． （本题满分16分,第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知函数()()()231log 1xx f x xx ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（1） 若()14f x =，求x 的值；（2） 若()112f x ≤≤，求满足要求的x 的取值范围；（3） 试讨论关于x 的方程a x f =)((a 为常数，且R a ∈)的解的个数，若存在解时写出相应的解．20． （本题满分16分,第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>a ，()x x ab x f 22+=是R 上的偶函数.（1）求b a ,的关系；（2）用定义证明()x f 在()0,+∞为增函数；（3）当[],1x ββ∈-+（0>β）时，()f x 的值域是12,2ββ+⎡⎤⎣⎦，求a 的值.2011年高一第二学期月考数学试卷（解答） 11—3-071. [)1,+∞2. 23. 209︒4.712π5. 略6. )2x ≥7. ()0,+∞ 8. (,-∞ 9. 12-10.23π11. 14 12. ① ② ③13. A 14. C 15. D 16. D17.（满分12分）解：（1）239xx += 24x x ⇒=+1º 当0x ≥时 24x x =+ 解得4x =- 不满足要求2º 当0x <时 24x x -=+ 解得43x =-满足要求；所以原方程的解为43x =-（6分）（2）()()22log 95log 322xx-=-+原方程可化为()234330x x-⋅+=()()31330x x ⇒-⋅-=31x ⇒=或 33x = 0x ⇒= 或 1x =经检验：1x =是原方程的解，0=x 为増根， （6分）18．（12分）解： （1）当0<x 时，0x -> ()()12log f x x ⇒-=-∵()f x 是奇函数 ∴()()()()122log log f x f x x x =--=--=- （4分）（2）由题意，得()12200140log 2log 24x x x x x x >⎧<⎧⎪⎪⇒≥-≤<⎨⎨≤-≤⎪⎩⎪⎩或或又()00f =，所以不等式的解集[]14,0,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（8分）19．（满分16 分）.解：（1）31log 4x = 或 x =（4分） （2） []3log 2,02,2x ⎡⎤∈-⎣⎦（4分）（3）当[){}3,0a ∈+∞时 方程有一解，其解为2a x =；（2分）当()0,3a ∈时 方程有两解，其解为2ax =和3log x a =； （2分）当(),0a ∈-∞时 方程无解. （2分）20.（满分16分）解：()()()211112122a f f a ab b b =-⇒+=+⇒=由题意：()1122x xab f x a R ⎛⎫==+⎪⎝⎭显然当是上的偶函数时，.()()()()()()12121212201221020,x x x x x x f x f x a f x +<<⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭+∞设所以在上是增函数.()()()()()()[]()()()()()()()()()1112111220,31,1010221112221424442161610412f x R f f f x f f x f f a f a a a a aa a a a a a ββββββββββββ+++++∞-=<+∴∈-+≤≤+⎧==>⎪⎨⎛⎫+=+= ⎪⎪⎝⎭⎩⎛⎫=+= ⎪⎝⎭±⇒-+==>∴=由上已证可知：在上是偶函数且在上是增函数所以当有由题意由式得解得满足要求时，：代入。
上海上海外国语大学附属双语学校数学高一下期末经典测试题(培优专题)
一、选择题1．(0分)[ID ：12724]已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（ ） A ．2B ．7C ．2D ．12．(0分)[ID ：12720]如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-373．(0分)[ID ：12718]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元4．(0分)[ID ：12706]已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122± C 110± D ．322± 5．(0分)[ID ：12705]已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 6．(0分)[ID ：12703]已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +的最小值是（）A ．6-B ．3-C ．4-D ．2-7．(0分)[ID ：12698]如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π8．(0分)[ID ：12694]设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m9．(0分)[ID ：12685]已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=（ ）A ．50B ．2C ．0D ．50-10．(0分)[ID ：12683]为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 17611．(0分)[ID ：12668]已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．58-B ．58 C ．78-D ．7812．(0分)[ID ：12651]在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上13．(0分)[ID ：12645]如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线14．(0分)[ID ：12711]设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,515．(0分)[ID ：12648]已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题16．(0分)[ID ：12813]函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 17．(0分)[ID ：12812]奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21xf x =-，则()2log 11f =______.18．(0分)[ID ：12784]若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________.19．(0分)[ID ：12761]在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________． 20．(0分)[ID ：12759]已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且0578a b c GA GB GC ++=，则角B 的大小是__________．21．(0分)[ID ：12734]过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____． 22．(0分)[ID ：12729]若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____． 23．(0分)[ID ：12810]若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ．24．(0分)[ID ：12799]底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2. 25．(0分)[ID ：12742]如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．三、解答题26．(0分)[ID ：12904]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 27．(0分)[ID ：12900]已知23()sin cos 3cos 2f x x x x =+- （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）求函数()f x 在[0，]π上的单调递增区间.28．(0分)[ID ：12892]a b c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，已知tan 3sin a B b A =. （1）求cos B ；（2）若3a =，17b =，求ABC ∆的面积.29．(0分)[ID ：12845]记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．30．(0分)[ID ：12829]某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[)90,100之间的概率．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．B4．A5．A6．A7．C8．B9．C10．C11．C12．A13．B14．C15．A二、填空题16．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答17．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题18．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题19．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径20．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件21．2x﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB最小则分析可得圆心C到直线l的距离最大此时直线l与直线垂直即可算出的斜率求得直线l的方程【详解】由题得当∠ACB最小时直线l与直线垂直此时又故又直线l过点22．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题23．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线24．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为25．【解析】在正四棱锥中顶点S在底面上的投影为中心O即底面ABCD在底面正方形ABCD中边长为2所以OA=在直角三角形SOA中所以故答案为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =， 所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+137=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．D解析：D 【解析】 【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-， 再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案． 【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC =，∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（）， 整理可得：12AB 33AD AC +＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=＝∴ A =-12AB C ⋅，∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-．， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．3．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．4．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 5．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =. 当3,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A解析：A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--， 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+222[(3)3]x y =+--，所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-， 故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．8．B解析：B 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.9．C解析：C 【解析】 【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦ 50500=⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．10．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176，代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 11．C解析：C 【解析】 由题意可得：1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择C 选项.12．A解析：A 【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．13．B解析：B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===，35,,722MF BF BM ==∴=．BM EN ∴≠，故选B ． 【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．14．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C15．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示，从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.二、填空题16．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答解析：5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 试题分析：因为,所以只要求函数的减区间即可.解可得,即,所以,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用． 【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.17．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题 解析：511-【解析】【分析】易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由01x 时，()21xf x =-即可求解 【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 又222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[]216log 0,111∈， 则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：511- 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题18．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题 解析：()4,5-【解析】 【分析】令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围. 【详解】令2x t =，由(2,1)x ∃∈--可得11,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()24210x x m m -++> 则问题等价于存在11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2210m m t t -++>， 分离参数可得221t m m t +->-若满足题意，则只需221mint m m t +⎛⎫->- ⎪⎝⎭，令()22111t h x t t t +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令1m t =，()2,4m ∈则()2,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-，则只需220m m ->-，整理得2200m m --<， 解得m ∈()4,5-. 故答案为：()4,5-. 【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.19．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径 解析：213【解析】画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知11132360,,33OEO O E O A ∠===,在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==,所以外接圆半径2211421133r OA OO O A ==+=+=. 20．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件解析：3π【解析】由向量的平行四边形法则可得GA GC BG +=，代入0578a b cGA GB GC ++=可得()()05787a b c b GA GC -+-=，故578a b c==，则5,7,8a t b t c t ===．由余弦定理可得22222564491cos 802t t t B t +-==，故3B π=，应填答案3π． 点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为()()05787ab c b GA GC -+-=，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系578a b c==，最后运用余弦定理求出3B π=，使得问题获解． 21．2x ﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点解析：2x ﹣4y +3＝0 【解析】 【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.22．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题 解析：323+【解析】 【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】 解：x 1>，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++-- ()123x 13233x 1≥-⋅+=+-，（当且仅当313x =+取等号） 故答案为233+． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．23．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．24．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为 解析：【解析】 【分析】 【详解】圆柱的侧面积为22416ππ⨯⨯=25．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为 42【解析】在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以，在直角三角形SOA 中SO ===所以112233V sh ==⨯⨯=故答案为3三、解答题 26．（1）22(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.【解析】 【分析】（1）根据由圆心在直线y =6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程. 【详解】（1）圆M 的标准方程为22(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,.由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x 因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切 所以007<<x ，圆N 的半径为0x 从而0075-=+x x 解得01x =.所以圆N 的标准方程为22(1)(6)1x y -+-=. （2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201402-=-. 设直线l 的方程为12y x m =+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离==d因为===BC OA而2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭BC MC d 所以2(25)2555-=+m解得152m = 或52m =-.故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=.【点睛】本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.27．（1）对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈（2）单调递增区间为[0，]12π和7[,]12ππ【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式对函数进行整理，可得()sin(2)3f x x π=+，令2()32x k k Z πππ+=+∈即可求出对称轴.（2）由（1）知，令222()232k x k k Z πππππ-+++∈，即可求出函数的单调递增区间，令0k =和1可求得函数在[0，]π上的单调递增区间. 【详解】解：（1）已知2()sin cos f x x x x =+1sin 2cos 2)2x x =+ sin(2)3x π=+，令2()32x k k Z πππ+=+∈，解得：()212k x k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 的对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈. （2）由（1）得：令：222()232k x k k Z πππππ-+++∈，整理得：5()1212k x k k Z ππππ-++∈，当0k =和1时， 函数在[0，]π上的单调递增区间为[0，]12π和7[,]12ππ. 【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了三角函数的对称轴求解，考查了三角函数单调区间的求解.本题的关键是对函数解析式的化简.本题的易错点是在求单调区间时，解不等式求错.28．（1）1cos 3B =；（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cos B 的值；（2）利用余弦定理求出c 的值，并利用同角三角函数的平方关系求出sin B 的值，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积. 【详解】（1）因为tan 3sin a B b A =，所以sin tan 3sin sin A B B A =， 又sin 0A >，所以sin 3sin cos BB B =，因为sin 0B >，所以1cos 3B =； （2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，则21179233c c =+-⨯⨯⨯， 整理得2280c c --=，0c >，解得4c =.因为1cos 3B =，所以sin 3B ==，所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B == 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.29．（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.30．（1）2，25；（2）0.012；（3）0.7. 【解析】【分析】(1)先由频率分布直方图求出[)50,60的频率，结合茎叶图中得分在[)50,60的人数即可求得本次考试的总人数；(2)根据茎叶图的数据，利用(1)中的总人数减去[)50,80外的人数，即可得到[)50,80内的人数，从而可计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高；(3)用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】(1)分数在[)50,60的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[)50,60之间的频数为2，∴全班人数为2250.08=． (2)分数在[)80,90之间的频数为25223-=；频率分布直方图中[)80,90间的矩形的高为3100.01225÷=． (3)将[)80,90之间的3个分数编号为1a ，2a ，3a ，[)90,100之间的2个分数编号为1b ，2b ，在[)80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：()12a ,a ，()13a ,a ，()11a ,b ，()12a ,b ，()23a ,a ，()21a ,b ，()22a ,b ，()31a ,b ，()32a ,b ，()12b ,b 共10个，其中，至少有一个在[)90,100之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[)90,100之间的概率是70.710=． 【点睛】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.。
上海外国语大学附属外国语学校2016-2017学年高一下学期期中考试数学试卷
2016学年上外附中高一年级下学期期中数学试卷2017.4一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 若函数()231,3log ,3x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，则()()9f f = .2. 函数()()log 230,1a y x a a =-+>≠的图象恒过一定点.3.若cos α=，则2tan α= . 4.135的圆心角所对的弧长为3π，则圆圆半径是 .5．已知11sin ,sin 32αβ==，则()()sin sin αβαβ+⋅-= . 6.已知5sin 13θ=-，且θ是第三象限角，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ . 7.已知角α的终边在13y x =上，则sin α= . 8.已知1sin cos 2αα+=-，则22tan co t αα+= . 9.若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值等于 . 10.若tan 2α=，则222sin sin cos cos αααα-+= .11.设函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()y x f x =-的图象经过点()2,5，则函数()13y f x -=+的图象一定过点 .12.已知()sin 21,,22f x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，那么()cos10f = . 13.函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为 .14.设,αβ为锐角，且满足()22sin sin sin αβαβ+=+，则αβ+= .15.已知225sin sin 3sin αβα-+=，则函数22sin sin y αβ=+的最小值为 .二、选择题：16．下列4个命题中：（1）存在()0,x ∈+∞，使不等式23x x<成立；（2）不存在()0,1x ∈，使不等式23log log x x <；（3）任意的()0,x ∈+∞，使不等式2log 2x x <成立；（4）任意的()0,x ∈+∞，使不等式21log x x<成立.其中正确的命题个数是（ ） A. （1）（3） B. （1）（4） C. （2）（3） D.（2）（4）17．角α的终边在第三象限，那么3α的终边不可能在的象限是第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 18．tan ,tan αβ是一元二次方程240x ++=的两根，,,02παβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么()cos αβ+等于A. 2B. 2-12- D.1219．若定义在()(),11,-∞+∞上的函数()y f x =满足()()11f x f x +=-，且当()1,x ∈+∞时，()231x f x x -=-则下列结论中正确的是 A.存在t R ∈，使()2f x ≥在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立 B. 存在t R ∈，使()02f x ≤≤在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立 C. 存在t R ∈，使()f x 在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数 D. 存在t R +∈，使()f x 在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数 20．设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()1122341x x x x x ++的取值范围是 A. ()3,-+∞ B. (]3,3- C. [)3,3- D.(),3-∞三、解答题：21.已知()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求β的值.22.已知sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两根322πθπ<<，求角θ.23.扇形AOB 的中心角为2,0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆1O 与圆1O 外切，与,OA OB 相切的圆2O ，问sin θ为何值时，圆2O 的面积最大？最大值是多少？24.设函数()()0,1x x f x ka a a a -=->≠是奇函数.（1）求常k 数的值；（2）若()813f =，且函数()()222x xg x a a mf x -=+-在区间[)1,+∞上的最小值为-2，求实数m 的值.25.若函数()f x 的定义域为R,满足对任意12,x x R ∈，有()()()1212f x x f x f x +≤+,则称()f x 为“V 形函数”.若函数()g x 定义域为R ，恒大于0，且对任意12,x x R ∈，恒有()()()1212lg lg lg f x x f x f x +≤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则称()g x 为“对数V 形函数”.（1）当()2f x x =时，判断()f x 是否是“V 形函数”并说明理由；（2）当时()52x g x =+判断()g x 是否是“对数V 形函数”，并说明理由；（3）若函数()f x 是“V 形函数”，且满足对任意x R ∈都有()2f x ≥，问()f x 是否是“对数V 形函数”？请加以证明，如果不是，请说明理由.。
上海市上海外国语大学附属上外高中2024届数学高一下期末综合测试试题含解析
上海市上海外国语大学附属上外高中2024届数学高一下期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+，则72是这个数列的（ ）A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项2．若110b a<<，则下列不等式不成立．．．的是( ) A ．11a b a>- B ．a b <C ．a b >D ．22a b >3．若满足条件60,3,C AB BC a =︒==的三角形ABC 有两个，那么a 的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,2D ．()1,24．若过点()2,M m -，(),4N m 的直线与直线50x y -+=平行，则m 的值为（ ） A ．1 B ．4 C ．1或3D ．1或45．圆：被直线截得的线段长为（ ）A ．2B ．C ．1D ．6．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ．2πB ．2πC ．6πD ．4π7．若三个球的半径的比是1：2：3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的（ ）倍． A ．B ．C ．D ．8．下列四个结论正确的是（ ）A ．两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行B ．两条直线没有公共点，则这两条直线平行C ．两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行D ．两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行9．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝010．函数()32=3f x x x -的对称中心是（ ） A ．()1,2B ．()1,2--C ．()1,2-D ．()1,2-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届上海市上外附中数学高一下期末学业质量监测试题含解析
2024届上海市上外附中数学高一下期末学业质量监测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝12．在平行四边形ABCD 中，6,4AB AD ==，若点,M N 满足,2BM MC DN NC ==且48AN AM ⋅=，则AB AD ⋅=A ．10B ．25C ．12D ．153．已知函数1cos 2()sin 2xf x x-=，则有A ．()f x 的图像关于直线π2x =对称 B ．()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()f x 的最小正周期为π2D ．()f x 在区间()0,π内单调递减4．在直角梯形ABCD 中，//,90AB CD D ︒∠=，2,AB CD M =为BC 的中点，若(,)AM AD AB λμλμ=+∈R ，则λμ+=A ．1B ．54C ．34D ．235．在△ABC 中，若a sin A +b sin B ＜c sin C ，则△ABC 是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．都有可能6．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，,a b 的夹角为30°，则a b •等于( ) A ．32B ．3C ．23D ．127．等差数列中，若，，则（ ） A ．2019B ．1C ．1009D ．10108．已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且1471692a a a ，，成等差数列，则3S =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．99．已知数列{}n a 满足：()*122,n n a a n n n N-=+≥∈，17a=-，则该数列中满足311n a ≤≤的项共有（ ）项A ．0B ．1C ．2D ．510．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海高一数学下学期期末测试卷
一、 填空题1．角α是第Ⅱ象限的角，则2α是第 象限的角.2．已知2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形面积为 .3.已知,23tan =α则ααα2cos 1cos 2sin 2+-=_____________ . 4．已知53sin )cos(cos )sin(=---αβααβα，那么β2cos 的值是___ 5．化简=++-+--)cos()2cos(sin cos 2sin 1θπθπθθθ 6．在]2,2[ππ-∈x 时，函数x x y cos sin 3+=的最大值为 ；此时=x . 7．在ABC ∆中，B A B A tan tan 33tan tan =++，则=∠C8．设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b +=9. 已知12e e 、是夹角为2π的两个单位向量，向量12122,,a e e b ke e =-=+若//a b ，则实数k 的值为 ．10．函数)(,2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值＝ . 11．方程5.02sin =x 在],[ππ-内的解的个数是12．方程sin 1,sin 2x x x x +=+=及1sin 22x x +=在区间]2,0[π的根分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为 .13. 某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A与钟面上标12的点B 重合．将A B ，两点间的距离(cm)d 表示成(s)t 的函数，则d = _____，其中[]060t ∈，．14．给出下列命题：①y=)sin 1lg(sin 2x x ++是奇函数；②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<； ③函数)32sin()(π-=x x f 的一个对称中心是)0,32(π； ④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数sin(2)4y x π=+的图象， 其中正确命题的序号是____________（把正确命题的序号都填上）.二、选择题：15．若1tan()44πβ-=,则tan β等于（ ） A. 35 B. 53 C. 34 D. 43 16.已知a 、b 是非零向量且满足(2)-⊥a b a ，(2)-⊥b a b ，则a 与b 的夹角是A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π 17.若α是△ABC 的最小内角，则函数ααcos sin -=y 的值域为（ ） A.[]2,2- B.⎥⎦⎤ ⎝⎛--213,1 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--213,1 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--213,1 18．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是( ) A.2B.3C.23D.32 三、解答题19．设函数f (x )＝x x x 22cos 3sin 2sin 3-- (x ∈R)．⑴求该函数的初相； ⑵ 在直角坐标系中，用“五点”法作出函数f (x )在一个周期内的大致图象； ⑶ 求当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π , f (x )的值域。
上海市高一下学期期末数学试卷(带参考答案)
上海市高一下学期期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.点P 从点()1,0-出发，沿单位圆221x y +=顺时针方向运动3π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 . 2.已知1tan 2x =，则2sin 3sin cos 1x x x +-= . 3.已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为 .4.方程sin 2sin x x =在区间[)0,2π内解的个数是 . 5．在用数学归纳法证明()221111,1n n a a a aa n N a++*-++++=≠∈-时，在验证1n =时，等式左边为 .6.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 .7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则{}n a 公比为 .8.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =-且11n n n a S S ++=，则n S = .9.已知()214732lim6752n a n n n →+∞++++-⎡⎤⎣⎦=--，则a = .10.函数()2sin 2cos f x x x =+在区间2,3πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的值是 .11.如图，在Rt ABC ∆内有一系列的正方形，它们的边长依次为12,,,,n a a a ，若AB a =，则所有正方形的面积的和为 . 12,n n ，都有12.定义N *在上的函数()f x ，对任意的正整数()()()12121f n n f n f n +=++，且()11f =，若对任意的正整数n ，有()21n n a f =+，则n a = . 二、选择题：13.()f x 为奇函数，当0x >时，()()arccos sin f x x π=-则0x <时，()f x =A. ()arccos sin xB. ()arccos sin x π+C. ()arccos sin x -D. ()arccos sin x π--14.如图是函数()()()sin 0,0,,f x A x A x R ωϕωϕπ=+>><∈的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是①函数()f x 的最小正周期为2π ②函数()f x的振幅为③函数()f x 的一条对称轴方程为712x π= ④函数()f x 的单调递增区间是7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⑤函数()f x 的解析式为()223f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭A. ③⑤B. ③④C. ④⑤D. ①③15.设数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>， 则下列结论错误的是A. 0d <B. 70a =C. 95S S >D. 67,S S 均为n S 的最大值 16.数列{}n a 的通项222cossin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则30S = A. 510 B. 495 C. 490 D. 470 17.已知二次函数()()21211y a a x a x =+-++，当1,2,3,,,a n =时，其抛物线在x 轴上截得线段长依次为12,,,,n d d d ，则()12lim n n d d d →+∞++的值是A. 1B. 2C. 3D. 418.对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[][]()11,,n n n n a b a b n N *++⊂∈；②()lim 0n n n b a →+∞-=；则[],n n a b 为区间套，下列可以构成区间套的数列是A. 12,23n n n n a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 21,31nn n n a b n ⎛⎫== ⎪+⎝⎭C. 11,13nn n n a b n -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭D. 32,21n n n n a b n n ++==++三、解答题：19.已知函数的最小正周期是（1）求ω的值；（2）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值x 的集合.20.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222b c a bc +=+ （1）求角A 的大小； （2）若cos 2,3B b ==求ABC ∆的面积.21.已知数列{}n a 满足()111,21.n n a a a n N *+==+∈若数列{}n b 满足：()()121114441.n n bb b b n a n N ---*⋅⋅=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：{}n b 是等差数列.22.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态建设，并以此发展旅游业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上一年减少20%，本年度当地旅游收入估计是400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加25%. （1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出,n n a b 的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入.23.（1）若对任意的n N *∈，总有()211n A Bn n n n +=+++成立，求常数,A B 的值； （2）在数列{}n a 中，()()1112,2,221n n n a a a n N n n n *-+==+∈≥+，求通项n a ； （3）在（2）的条件下，设()1212n n n b n a +=++，从数列{}n b 中依次取出第1k 项，第2k 项，,第n k 项，按原来的顺序组成新数列{}n c ，其中11,,.n n k m k k r n N *+=-=∈试问是否存在正整数,m r ，使得()12lim n n c c c S →+∞+++=且416113S <<成立？若存在，求出,m r 的值；若不存在，说明理由.。
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班级__________ 考试号_________ 姓名______________
…………………密○………………………………………封○………………………………………○线………………………… 43m1“m”-J52G0m10m42“49-2kZ()21gL3-”0360@k%3-“g/”17Dm2B%J/Tg0d1-Z3P81¬-AA_2"o70)Xc0?y258z6n”217 NE)
7、 方程 2sin2 x 3sin x 2 0 的解集是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 8、 四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 的长分别为 8 厘米与 12 厘米，它们的夹角
为 arccos
22 3
，则 S四边形ABCD
__________
平方厘米．
9、若函数 f (x) sin 2x m cos 2x 的图像关于直线 x 对称，则实数 m _____ . 8
3
1
到原来的 后，所得函数图像的解析式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
2
13、当 x 0, 时，方程 sin x cos x m 只有一个解，则 m 的取值范围是
＿＿＿＿＿＿．
14、已知 n
n N,n
2
是常数，且
x1,
x2
,...,
xn
是区间
0,
2
内任意实数，当
n 366 时，函数 f (xn ) sin x1 cos x2 sin x2 cos x3 ...... sin xn cos x1 的最大值为
（
）
(A)等腰或直角三角形. (B)等腰三角形. (C)直角三角形. (D)等腰直角三角形.
17、已知角 A、B 为锐角，且 cos( A B) sin B sin A ，则 tan A 的最大值是
（
）
2
(A) .
4
2
(B) .
2
(C)３ 2 .
(D) 2 2 .
18、如下图是函数 y Asin(x ) ( A 0, 0,| | ) 在一个周期内的图像， M 、 2
21、已知函数 f (x) cos4 x 2sin x cos x sin4 x. （1）写出函数 f (x) 的单调递增区间；（2）求方程 2 f (x) 3 0 的解集．
22、三角函数内容丰富，公式很多。如果你仔细观察、敢于设想、科学求证，那么你也能
发现其中的一些奥秘。请你完成以下问题：
（1）计算： cos 2 cos88 _______; cos5 cos85 ______ . （直接写答案）
sin 47 sin133
sin 50 sin130
（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． （用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．）
＿＿＿＿＿＿．
第1页共7页
二、选择题（共 4 题，每题 3 分，共 12）
15、等式 log2 x2 2 成立是等式 log2 x 1 成立的
（
）
(A)充分非必要条件. (B)必要非充分条件. (C)充要条件. (D)非充分非必要条件.
16、在 ABC 中， b cos B a cos A ，则 ABC 的形状是
班级__________ 考试号_________ 姓名______________
…………………………密○………………………………………封○………………………………………○线………………………… 43m1“m”-J52G0m10m42“49-2kZ()21gL3-”0360@k%3-“g/”17Dm2B%J/Tg0d1-Z3P81¬-AA_2"o70)Xc0?y258z6n”217 NE)
4、 函数 y log5 (x2 4x 5) 的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
5、 计算 cos35 xcos25 x cos55 xsin25 x _____________ .
6、 若 sin
10 10
,0
2
,
arccos
5 5
，则
_____________ .
23、已知函数
f
(x)
sin
2x cos 2x 1
2 sin(
x)
cos(
2
x)
．
4
（1）当 x [ , ] 时，求 f (x) 的最大值； 66
（2）若 0 ，且 f ( ) 2 ，求 tan 的值．
第3页共7页
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N 分别是其最高点、最低点， MC x 轴，且矩形 MBNC 的面积为
7
．
(
)
12
则 A 的值为
1
(A) .
6
7
(B) .
6
yM
O .
B 5
6.
x
2
(C) .
6
7
(D) .
12
43m1“m”-J52G0m10m42“49-2kZ()21gL3-”0360@k%3-“g/”17Dm2B%J/Tg0d1-Z3P81¬-AA_2"o70)Xc0?y258z6n”217 NE)
12
C
N
三、解答题（共 6 题， 6+7+8+8+8+9 分，共 46 分）
19、已知 , 为锐角，且 cos 1 ， cos 11. 求 sin 的值．
7
14
20、已知 ABC 的周长为 2 1，且 sin A sin B 2 sin C ． （1）求边 AB 的长；（2）若 △ABC 的面积为 1 sin C ，求角 C 的度数． 6
2010-2011 学年高一年级第二学期期末数学试卷
命题人：黄诚
一、填空题（共 14 题，每题 3 分，共 42 分）
1、 函数 y 10x 1的反函数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 4
2、 已知等腰三角形的底角的正弦值等于 ，则该三角形的顶角的正切值为＿＿＿．
5 3、 函数 y 4sin2 x 2 的值域为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
10、函数 y arccos(sin x) ， x ( , 2 ) 的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 33
11、函数 y 1 的定义域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 1 tan x
12、函数 y sin(2x ) 的图像向左平移 个单位，再将图像上的每个点的横坐标压缩
3