矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等章节综合学案练习(六)带答案人教版高中数学高考真题汇编
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等考前冲刺专题练习(六)带答案人教版高中数学新高考指导
高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、填空题1．在矩阵b0 1a⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下，将直线651x y-=变成21x y+=，则a b+=（ 0 ）2．矩阵1214A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值是____________评卷人得分二、解答题3．已知矩阵1012,0206A B-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,求矩阵BA1-.（汇编年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））B. [选修4-2:矩阵与变换]本小题满分10分.4．已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B，求满足=AX B的二阶矩阵X．5．已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A ．16．给定矩阵⎢⎣⎡=32A ⎥⎦⎤01，.22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B （1）求A 的特征值21,λλ及对应的特征向量21,αα；（2）求.4B A7．求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量．8．已知矩阵2112,.0112-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B (Ⅰ)计算AB ；(Ⅱ) 若矩阵B 把直线l ：x y ++2=0变为直线l '，求直线l '的方程．2．（矩阵与变换选做题）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．A ．解析：设直线上任一点经变换后，变为，则，又P ′在直线上，∴，从而即与是同一条直线∴，从而．解析：A ．解析：设直线651x y -=上任一点(,)P x y 经变换后，变为00(,)P x y '，则0000b ,0 1 y x x ax by a x ax by y y y y =++⎡⎤⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤==∴⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，又P ′在直线21x y +=上， ∴0021x y +=，从而2()1ax by y ++=即2(21)1ax b y ++=与651x y -=是同一条直线∴26215a b =⎧⎨+=-⎩，从而3,03a a b b =⎧∴+=⎨=-⎩． 2．2或 3 评卷人得分 二、解答题3．B 解:设矩阵A 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--d c b a 22 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ,故a=-1,b=0,c=0,d=21∴矩阵A 的逆矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-=-210011 A , ∴B A 1-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-21001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6021 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅--30214．解：由题意得1312221-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ，…………………………………………………5分=AX B ，1319411222312151-⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦⎣⎦X A B …………………………10分 5．6．7．解：特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--………………………………3分 由()0f λ=，解得121,3λλ==……6分 将11λ=代入特征方程组，得0,0--=⎧⎨--=⎩x y x y 0⇒+=x y ,可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量…………………8分 同理,当23λ=时,由0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩,所以可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………………………………10分 8． (Ⅰ)AB = 2314-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； ………………………………3分 (Ⅱ) 任取直线l 上一点P （x ，y ）经矩阵B 变换后为点(),P x y '''， ……………4分则12201x x x y y y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………6分 2,,x x y y y '=-⎧∴⎨'=⎩∴2,.x x y y y ''=+⎧⎨'=⎩ ……………………………8分 代入x y ++2=0得：220,x y y '''+++=∴320,x y ''++=∴直线l'的方程为320++=．………………………………10分x y。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等课后限时作业(六)带答案人教版高中数学高考真题汇编
高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．(1）求矩阵A= ⎢⎣⎡31 ⎥⎦⎤42的逆矩阵；(2)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β； (3) 已知矩阵M=⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤10，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．2．在直角坐标系xOy 中，点P (x P ，y P )和点Q (x Q ，y Q )满足⎩⎨⎧x Q ＝y P ＋x P ，y Q ＝y P －x P，按此规则由点P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若OQ OP＝m ，∠POQ ＝θ，其中O 为坐标原点，则y ＝m sin(x ＋θ)的图象在y 轴右边第一个最高点的坐标为 ▲ ． 评卷人得分 二、解答题3．选修4—2：矩阵与变换若矩阵012a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 把直线:20l x y +-=变换为另一条直线:40l x y '+-=，试求实数a 值．4．【题文】[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎢⎣⎡=c M 1 ⎥⎦⎤2b 有特征值41=λ及对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=321e ，求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．【结束】5．已知M= 1 -23,-2 11α⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试计算20M α6．求矩阵2411M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值及对应的特征向量。
7． 已知2143M -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，4131N -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求二阶方阵X ，使MX N =.8．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110M ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110N 。
在平面直角坐标系中，设直线012=+-y x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等章节综合检测提升试卷(六)带答案人教版高中数学新高考指导
高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．表示绕坐标原点顺时针旋转23π的变换的矩阵是 .13223122⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 2．函数221log ()2y x =+的值域为_______________. 关键字：复合函数；求值域；对数 评卷人得分 二、解答题3．已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=.(Ⅰ)求实数,a b 的值;(Ⅱ)若点00(,)p x y 在直线上,且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求点p 的坐标. （汇编年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））矩阵与变换4．已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1) 求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量；(2) 若向量m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－4，求A 4m .5．已知矩阵1221-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A ，515⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B 满足=AX B ，求矩阵X ．6．已知二阶矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3), 且属于特征值3的一个特征向量是11⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 求矩阵A ．7．已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ a b ⎤⎥⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向是是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ； （2）若向量74β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A β的值.8．四边形ABCD 和四边形A B C D ''''分别是矩形和平行四边x yO A D B C 形，其中点的坐标分别为A （－1，2），B （3，2），C （3，－2），D （－1，－2），A '（－1，0），B '（3，8），C '（3，4）,D '（－1，－4）．求将四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''的变换矩阵M ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．2．),1[+∞- 评卷人得分 二、解答题3．解:(Ⅰ)设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上,所以1x by ''+=,即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线上,所以01x =故点P 的坐标为(1,0)4．选修42：矩阵与变换解：(1) 由题意，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －3c －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝2.特征方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，解得λ＝－1，4. 属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(5分) (2) m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－4＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32. ∴ A 4m ＝2A 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－A 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝2(－1)4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－44⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－2－44⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－766－514.(10分) 5．命题立意：本题主要考查矩阵的乘法，考查运算求解能力．解：设X a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 由1252115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦得25 215 a b a b -=⎧⎨--=-⎩，，（7分） 解得7 1 a b =⎧⎨=⎩，，此时71X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（10分）6．解：设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 由1203a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得23a c =⎧⎨=⎩………………………………………… 5分 再由1133113a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得33a b c d +=⎧⎨+=⎩, ∴20b d =⎧⎨=⎩, ∴2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……………………… 10分 7． 8．解：该变换为切变变换，设矩阵M 为 1 0 1k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1 011120k--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．∴20k-+=，解得2k=．所以，M为1 02 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等二轮复习专题练习(六)带答案人教版高中数学高考真题汇编
高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．若点P 在矩阵1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点'P (5,11)，则点P 的坐标是 .(1,2)2．当πcos 12=a 时，行列式211121a a +-的值是 ． 评卷人得分 二、解答题3．选修4—2 矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值3λ=及对应的一个特征向量111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(3,0)，求矩阵M 。
4．已知，点A 在变换T ：2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90o ，得到点、B ．若点B 的坐标为（-3，4），求点A 的坐标．5．已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．6．求曲线22210x xy -+=在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，1011⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦N ． 7．曲线22421x xy y ++=在二阶矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变换为曲线2221x y -=，（1）求实数,a b 的值；（2）求证：矩阵=N ⎢⎣⎡01⎥⎦⎤-12是矩阵M 的逆矩阵8．求出矩阵A=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤-10的特征值和特征向量。
.矩阵A 的特征多项式为)1)(1(1001)(+-=+-=λλλλλf …………………………3分令0)(=λf 得A 的特征值为1或－1将1代入二元一次方程组⎩⎨⎧=++⋅=⋅+-0)1(0001y x y x λλ）（ 解得：0=y令R k k x ∈=,且0≠k于是矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡01…………………………………………6分 同理可得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10…………………………………8分【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 评卷人得分 一、填空题1．2．3 评卷人得分 二、解答题3． 选修4—2 矩阵与变换解析：设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a M ，则由条件得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡11311d c b a ，从而⎩⎨⎧=+=+33d c b a ， 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡0321d c b a ，从而⎩⎨⎧=+-=+-0232d c b a ，联立，解之得2,1==b a ,1,2==d c 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221M4．5．6．7．8．。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等一轮复习专题练习(六)含答案高中数学
得分
二、解答题
3．已知矩阵M＝ 对应的变换将点A(1，1)变为A'(0，2)，将曲线C：xy＝1变为曲线C'．
（1）求实数a，b的值；
（2）求曲线C'的方程．
4．已知矩阵 ,A的一个特征值 ，属于λ的特征向量是 ,求矩阵A与其逆矩阵.
5．已知二阶矩阵 将点 变换为 ,且属于特征值 的一个特征向量是 ,求矩阵 ．
高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人得分一Fra bibliotek填空题1．已知矩阵 ，若矩阵 对应的变换把直线 ： 变为直线 ，求直线 的方程.
2．在直角坐标系中，已知椭圆 ，矩阵阵 ， ，求在矩阵 作用下变换所得到的图形的面积.
设 为椭圆 上任一点，它在 的作用下所对应的点为 ，则 ，………………6分
∴ ，即 ，………………10分
代入 得 ，………………12分
∴ .………………14分
评卷人
得分
二、解答题
3．选修4—2：矩阵与变换
解（1）由题知， ＝ ，即
解得 ……………………4分
（2）设P'(x，y)是曲线C'上任意一点，P'由曲线C上的点P(x0，y0)经矩阵M所表示的变换得到，
6．试用行列式解二元一次方程组
7．已知矩阵A ，其中 ，若点 在矩阵A的变换下得到 ．
（1）求实数 的值；
（2）矩阵A的特征值和特征向量．
8．已知 ， ，试计算：
1．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等强化训练专题练习(六)带答案人教版高中数学高考真题汇编
高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．方程0c os s in s in c os =x x xx 的解为_____)(,42Z k k x ∈+=ππ______. 2．行列式cos sin 66sin cos 66ππππ的值是 0.5 。
评卷人得分 二、解答题3．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2214x C y '+=：，求a b +的值．4．已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．【答案与解析】【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．5．已知矩阵33,A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的特征向量为23,2a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求矩阵A 的逆矩阵 6．给定矩阵⎢⎣⎡=32A ⎥⎦⎤01，.22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B （1）求A 的特征值21,λλ及对应的特征向量21,αα；（2）求.4B A7．试求曲线x y sin =在先经过矩阵M =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦的变换，再经过矩阵N =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦的变换后所得的新曲线方程．8．已知曲线22142x y +=经过变换T 变成曲线22124x y +=．求变换T 对应的矩阵．（要求写出两个不同的矩阵）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．2．考查行列式运算法则= 评卷人得分 二、解答题3． （选修4-2：矩阵与变换）设曲线C ：221x y +=上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 所对应的变换作用下得到点111(,)P x y ，则1100x a x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即11a x xb y y=⎧⎨=⎩． …………………………………………………………5分 又点111(,)P x y 在曲线2214x C y '+=：上，所以221114x y +=，则2214ax by +=为曲线C 的方程．又曲线C 的方程为221x y +=，故24a =，21b =，因为00a b ＞，＞，所以3a b +=． …………………………………………………………10分4．5．6．7．8．（选修4—2：矩阵与变换）解：0110T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，或0110T -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；或0110T -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，或0110T ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，20202T ⎡⎤±⎢⎥=⎢⎥⎢⎥±⎣⎦．10分 【注意】每写对一个给5分．。
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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．当πcos 12
=a 时，行列式211121a a +-的值是 ．
2．方程0cos sin sin cos =x
x x
x 的解为_____)(,42Z k k x ∈+=ππ______. 评卷人 得分
二、解答题
3．选修4—2：矩阵与变换
若矩阵012a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
M 把直线:20l x y +-=变换为另一条直线:40l x y '+-=，试求实数a 值．
4．已知矩阵,,103R a a A ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=若点)3,2(-P 在矩阵A 的变换下得到点).3,3(/P （1） 则求实数a 的值；（2）求矩阵A 的特征值及其对应的特征向量. (本小题满分13分)
5．（选修4—2：矩阵与变换）。
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2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、填空题
1．已知 ， ，则 的值为
2．三阶行列式 第2行第1列元素的代数余子式为 ，则 ____________．
评卷人
得分
二、解答题
3．（本小题满分10分，矩阵与变换）
已知矩阵 的一个特征根为 ，它对应的一个特征向量为 ．
（1）求 与 的值；（2）求 ．
4．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵 ， ，计算 ．
5．已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为 ，并且矩阵M对应的变换将点 变成点 ，求出矩阵M.
6．变换 是逆时针旋转 的旋转变换，对应的变换矩阵是 ；变换 对应用的变换矩阵是 。
解析：(1） ；
(2）设矩阵M的逆矩阵为 ，则由 = 得： ， ，解之得： ，
8．(1)因为MN= = ，NM= = ，
所以M和N互为逆矩阵．
(2)向量e1= 在M的作用下，其像与其保持共线，即 = = ，
向量e2= 在M的作用下，其像与其保持共线，即 = ，
所以e1和e2是M的特征向量．………………………………………………………10分
(1)若 ，请你写出二阶矩阵M；
(2）求二阶矩阵M的逆矩阵。
8．给定矩阵M= ，N= 及向量e1= ，e1= .
(1)证明M和N互为逆矩阵；
(2)证明e1和e1都是M的特征向量．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、填空题
1．
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等考前冲刺专题练习(六)含答案人教版高中数学真题技巧总结提升
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检测
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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．设矩阵2738⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，则a b c d +++= ▲ ． 2．方程0c os s in s in c os =x
x x
x 的解为_____)(,42Z k k x ∈+=ππ______. 评卷人 得分
二、解答题
3．已知矩阵,,103R a a A ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=若点)3,2(-P 在矩阵A 的变换下得到点).3,3(/P （1） 则求实数a 的值；（2）求矩阵A 的特征值及其对应的特征向量. (本小题满分13分)
4．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝３及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
， 并且
M 对应的变换将点（－１，２）变换成（９，１５）， 求矩阵M ．。
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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分
一、填空题
1．现代社会对破译密码的难度要求越来越高，有一处密码把英文的明文（真实名）按字母分解，其中英文a ，b ，c …，z 这26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3…，26这26个正整数。
（见下表）
a b c d e f g h i J k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
用如下变换公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≤∈+≤≤∈+=')
2,261,(132
)
2,261,(2
1整除能被整除不能被x x N x x x x N x x x 将明文转换成密
码。
如：132
1
2525::,1713288=+→=+→
再如变成即q h ，即y 变成m ； 上述变换规则，若将明文译成的密码是live ，那么原来的明文是
2．函数2
21
log ()2
y x =+的值域为_______________. 关键字：复合函数；求值域；对数 评卷人 得分
二、解答题。
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所以变换后的曲线方程为 ．…………………10分
7．（B）解：（Ⅰ） ，
所以点 在 作用下的点 的坐标是 。…………………………5分
(Ⅱ） ，
设 是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是 ，
则 ，
也就是 ，即 ，
所以，所求曲线的方程是 。……………………………………………10分
8．解：（1）
(2）特征值3对应特征向量为 ，特征值-1对应特征向量为
评卷人
得分
二、解答题
3．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵 ， ，计算 ．
4．已知M= ，试计算
5．已知矩阵 的逆矩阵 ，向量 .
（1）求矩阵A；
（2）求A2a的值.
6．变换T是绕坐标原点逆时针旋转 的旋转变换，求曲线 在变换T作用
下所得的曲线方程．
7．变换 是逆时针旋转 的旋转变换，对应的变换矩阵是 ；变换 对应用的变换矩阵是 。
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、填空题
1．圆 在矩阵 对应的变换作用下的曲线方程为___________．
2．直线 在矩阵 作用下变换得到的图形与 的位置关系是___.
(Ⅰ）求点 在 作用下的点 的坐标；
(Ⅱ）求函数 的图象依次在 ， 变换的作用下所得曲线的方程。
8．已知矩阵 ，其中 ，若点P（1,1）在矩阵A的变换下得到点P’(0,-3)，
(1）求实数a的值；(2）求矩阵A的特征值及特征向量
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等章节综合检测专题练习(六)带答案新人教版高中数学名师一点通
高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分一、填空题1．现代社会对破译密码的难度要求越来越高，有一处密码把英文的明文（真实名）按字母分解，其中英文a ，b ，c …，z 这26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3…，26这26个正整数。
（见下表）a b c d e f g h i J k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14151617181920212223242526用如下变换公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈+=')2,261,(132)2,261,(21整除能被整除不能被x x N x x x x N x x x 将明文转换成密码。
如：13212525::,1713288=+→=+→再如变成即q h ，即y 变成m ； 上述变换规则，若将明文译成的密码是live ，那么原来的明文是2．函数221log ()2y x =+的值域为_______________. 关键字：复合函数；求值域；对数 评卷人得分二、解答题3．已知矩阵M ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1 对应的变换将点A (1，1)变为A' (0，2)，将曲线C ：xy＝1变为曲线C'． （1）求实数a ，b 的值； （2）求曲线C' 的方程．4．设a ，R b ∈，若矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=b a A 10把直线42:-=x y l 变换为直线12:'-=x y l ，求a ，b 的值.5．已知矩阵14a A b⎛⎫=⎪⎝⎭的逆矩阵12316m A n -⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪⎝⎭，向量31a -⎛⎫= ⎪-⎝⎭.（1）求矩阵A ； （2）求A 2a 的值.6．已知矩阵33,A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的特征向量为23,2a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求矩阵A 的逆矩阵 7．已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 221的一个特征值为3，求其另一个特征值。
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高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分一、填空题1．直线1+=x y 在矩阵⎢⎣⎡11 ⎥⎦⎤-20作用下变换得到的图形与122=+y x 的位置关系是___.2．在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
当9n =时，11223399a a a a+++⋅⋅⋅+=45 。
评卷人得分二、解答题3．二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-. (1)求矩阵M 的逆矩阵1-M ；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线:24m x y -=，求l 的方程．4．给定矩阵3122,22311A B ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦. (1)求矩阵A 的逆矩阵;(2)设椭圆2214x y +=在矩阵AB 对应的变换下得到曲线F ,求F 的面积. (本小题满分14分)5．已知曲线C ：1xy =，若矩阵22222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.6．已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．7．(1)求矩阵2312A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵； (2)利用逆矩阵知识解方程组2310230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩8．已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．2．1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 评卷人得分二、解答题3． 213122-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；40x +=； 4． (1)设矩阵A的逆矩阵为a cb d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦1001a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, ……………2分 即2210232301a b c d a b c d ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦, ……………………………………………………4分 故2120,230231a b c d a b c d +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩, ………………………………………………………6分解之得3,2,2,1a b c d =-===-, 从而矩阵A的逆矩阵为13221A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. ……………………………………………8分(2)由已知得31122022231101AB ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦,………………………………………10分设()00,y x P 为椭圆上任意一点,点M 在矩阵AB 对应的变换下变为点00(,)P x y ''',则有000010201x x y y ⎡⎤⎡⎤'⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即000012x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩,所以00002x x y y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩, ………………………12分又点P 在椭圆上,故220014x y +=,从而2200()()1x y ''+=,故曲线F 的方程为221x y +=,其面积为π. ………………………………………………………………………………14分5．6．（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A的属于11λ=的特征向量，则有110110a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦①， ………4分又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有210100a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦②， ………6分 根据①②，则有1010200a b c d a c --=⎧⎪-+-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩,,,,………………………………………………………………8分从而21a b c d ==-==,,,,因此2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， …………………………………………10分 7．(1)12312A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦(2)75X -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦8．解：矩阵A 的特征多项式为 ()f λ=3101λλ--+=(3)(1)λλ-+ ， ……………………………2分 令()f λ=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-． ………………4分 当λ1=3时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得333x y x y y +=⎧⎨-=⎩,，∴0y =，取1x =，得到属于特征值3的一个特征向量1α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ； ……………………………7分当λ2=1-时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得3x y xy y +=-⎧⎨-=-⎩,，取1x =，则4y =-，得到属于特征值1-的一个特征向量2α=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ……………………………10分。
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高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分一、填空题1．设矩阵2738⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d +++= ▲ ．2．三阶行列式21145324---k第2行第1列元素的代数余子式为10-，则=k ____________．评卷人得分二、解答题3． （本小题14分）设矩阵0 0a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中0,0a b ><）.（1）若2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵-1M ；（2）若曲线22:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线2/2:14x C y +=，求,a b 的值.4．已知曲线C ：222y x -=.（1）将曲线C 绕坐标原点顺时针旋转045后，求得到的曲线C '的方程； （2）求曲线C '的焦点坐标.5．已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 221的一个特征值为3，求其另一个特征值。
6．已知矩阵A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111a ，其中R a ∈，若点)1,1(P 在矩阵A 的变换下得到)3,0('-P ．（1）求实数a 的值；（2）矩阵A 的特征值和特征向量．7．如果曲线2243=1x xy y ++在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换得到曲线221x y -=，求a b +的值8．已知曲线C ：1=xy(1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； (2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．02．14- 评卷人得分二、解答题3． （1）01 2103-⎤⎡⎥⎢=⎥⎢⎣⎦1M ； ………………………7分（2）2,1a b ==. ………………………14分 4．选修4—2：矩阵与变换解：22222222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=22222222x y x y ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦=x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦………………………2分 得到22'2222'22x x y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得到 22222222x x y y x y ⎧''=-⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩代入222y x -=，得1y x=………………………5分 （2）（法一）曲线222y x -=的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，22222222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=22⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，22222222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦02⎡⎤⎢⎥⎣⎦=22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 矩阵变换后，曲线C '焦点坐标是(2,2),(2,2)--…………………………………10分 （法二）曲线222y x -=的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，将点(0,2),(0,2)-分别代入 22'2222'22x x y y x y⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得到(2,2),(2,2)--，矩阵变换后，曲线C '焦点坐标是(2,2),(2,2)--…………………………………10分 5．6．（B ） （1）a=-4 （4分）（2）特征值 3，-1 特征向量（1，-2） （1，2）（6分） 7．28．解 (1）由题设条件，000022cos 45sin 4522sin 45cos 452222M ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 2222'2222:'22222222M x y x x x T y y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即有22'2222'22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得2('')22('')2x x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C 的方程为22''2y x -=。
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．当πcos 12=a 时，行列式211121a a +-的值是 ．
2．方程0c os s in s in c os =x
x x
x 的解为_____)(,42Z k k x ∈+=ππ______. 评卷人 得分
二、解答题
3．选修4—2：矩阵与变换
若矩阵012a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
M 把直线:20l x y +-=变换为另一条直线:40l x y '+-=，试求实数a 值．
4．已知矩阵,,103R a a A ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=若点)3,2(-P 在矩阵A 的变换下得到点).3,3(/P （1） 则求实数a 的值；（2）求矩阵A 的特征值及其对应的特征向量. (本小题满分13分)
5．（选修4—2：矩阵与变换）
已知直线:1l ax y +=在矩阵 2 30 1A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下变为直线:1l x by '+=. （1）求实数a ，b 的值；
（2）若点00()P x y ，在直线l 上，且0000x x A y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，求点P 的坐标．
6．已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下变为直线':1l x by +=.
(Ⅰ)求实数,a b 的值;
(Ⅱ)若点00(,)p x y 在直线上,且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,求点p 的坐标. （汇编年普通高等
学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））矩阵与变换
7．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝３及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
， 并且
M 对应的变换将点（－１，２）变换成（９，１５）， 求矩阵M ．
8．求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的逆矩阵. 【解析】 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。
满分10分。
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分 一、填空题
1．3
2． 评卷人
得分 二、解答题
3．设直线l 上任意一点(,)P x y 在矩阵M 作用下的点P '的坐标为(,)x y ''， 则'012'x a x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,2.x ax y x y '=⎧⎨'=-+⎩
……………………………4分 将点(,)P x y '''代入直线:40l x y '+-=，
得(1)240a x y -+-=．
即直线l 的方程为1202
a x y -+-=． 所以3a =． ……………………………10分
4． （13分）
（1）1=a ；
（2）特征值1,321-==λλ
对应的特征向量分别为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41,0121αα 5． 解：（1）设直线l 上一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换下得点(,)x y ''，
则 2 30 1x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴23x x y y y '=+⎧⎨'=⎩
代入直线l '，得2(3)x b y ++=，∴2,2a b ==-；……5分
（2）点00(,)P x y 在直线l 上，∴0021x y +=，
由00002 30 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得000023x x y y y =+⎧⎨=⎩，∴00351
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴31(,)55
P -.…………………………10分 6．解:(Ⅰ)设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''
由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩
又点(,)M x y '''在l '上,所以1x by ''+=,即(2)1x b y ++=
依题意121a b =⎧⎨+=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩
(Ⅱ)由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得00000
2x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线上,所以01x =
故点P 的坐标为(1,0)
7．设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则1133113a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故3,3a b c d =⎧⎨=⎩
++． ……………4分 19215a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故29,215a b c d -=⎧⎨-=⎩
++． ………………………………………………7分
联立以上两方程组解得1,4,3,6a b c d =-==-=，故M =1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
． ………………10分
8．设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,
x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩
解得：1,2,2,3x z y w =-===-， 从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.。