天津市十二区县重点学校高三毕业班联考理科数学含答案
天津市十二区县重点学校2021届高三毕业班联考(一)数学(理)试题 Word版含解析
2021年天津市十二区县重点学校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足（z+2i）（2+i）=5，则z=（）A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．【解析】：解：∵复数z满足（z+2i）（2+i）=5，∴（z+2i）（2+i）（2﹣i）=5（2﹣i），化为z+2i=2﹣i，∴z=2﹣3i，故选；C．【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知x，y 满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D． 2【考点】：简洁线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出满足条件的平面区域，将z=x+2y转化为：y=﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，求出即可．【解析】：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=x+2y转化为：y=﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，z max=2，故选：D．【点评】：本题考查了简洁的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．3．（5分）若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值可以等于（）A．4 B． 5 C． 6 D．7【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的K，S的值，由题意，当K=5，S=时应当不满足条件K＜N，退出循环，输出S 的值为，即可得解．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得K=1，S=0，第1次循环，S=，满足条件K＜N，K=2，S=，满足条件K＜N，K=3，S=，满足条件K＜N，K=4，S=，满足条件K＜N，K=5，S=，由题意，此时应当不满足条件K＜N，退出循环，输出S 的值为，故输入的N的值可以等于5．故选：B．【点评】：本题主要考察了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的K，S的值推断循环退出的条件是解题的关键，属于基本学问的考查．4．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该四棱锥的体积等于（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解析】：解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面为上底2，下底四，高为4的梯形，锥体的高为=2，故锥体的体积V==×[×（2+4）×4]×2=8，故选：A【点评】：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2），则双曲线的焦距为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简洁性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：依据题意，点（﹣1，﹣2）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=2，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣1，﹣2）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解析】：解：依据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2），即点（﹣1，﹣2）在抛物线的准线上，则p=2，则抛物线的焦点为（1，0）；则双曲线的左顶点为（﹣3，0），即a=3；点（﹣1，﹣2）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±2x，由双曲线的性质，可得b=6；则c==3，则焦距为2c=6故选：A．【点评】：本题考查双曲线与抛物线的性质，留意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2）”这一条件的运用，另外留意题目中要求的焦距即2c，简洁只计算到c，就得到结论．6．（5分）数列{a n}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n ，则等于（）A．B．C．D．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，可得a n+1﹣a n=n+1，利用“累加求和”可得：a n =，，再利用“裂项求和”即可得出．【解析】：解：∵a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，∴a n+1﹣a n=n+1，∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=，当n=1时也成立，∴a n =，∴，∴数列的前n项和S n =2+…+=2=．∴==．故选：C．【点评】：本题考查了数列的“累加求和”、“裂项求和”方法，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．7．（5分）已知以下4个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②若p：∀x∈R，x2﹣3x﹣2＜0，则￢q：∃x∈R，x2﹣3x﹣2≥0；③设a，b∈R，则a＞b是（a﹣1）|a|＞（b﹣1）|b|成立的充分不必要条件；④若关于实数x的不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，5]．其中正确命题的个数是（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4【考点】：命题的真假推断与应用．【专题】：阅读型；不等式的解法及应用；简易规律．【分析】：运用复合命题的真假和真值表，即可推断①；由全称性命题的否定为存在性命题，即可推断②；由充分必要条件的定义和特殊值比如a=，b=，即可推断③；对x争辩，x=0．x≠0，运用分别参数，结合确定值不等式的性质，求得最小值，即可推断④．【解析】：解：对于①，若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则p∧q不肯定为真命题，则①错误；对于②，若p：∀x∈R，x2﹣3x﹣2＜0，则￢q：∃x∈R，x2﹣3x﹣2≥0，则②正确；对于③，设a，b∈R，当a＞b，比如a=，b=，则（a﹣1）|a|=﹣，（b﹣1）|b|=﹣，推出（a﹣1）|a|＜（b﹣1）|b|，则③错误；对于④，若关于实数x的不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，当x=0，2＜0无解，成立；当x≠0时，即有a＞|﹣2|+|+3|，由|﹣2|+|+3|≥|（+3）﹣（﹣2）|=5，当a≤5时，不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，则④正确．综上可得，②④正确．故选：B．【点评】：本题考查简易规律的基础学问，主要考查复合命题的真假和命题的否定及充分必要条件的推断，同时考查不等式的性质和确定值不等式的基本性质，属于基础题和易错题．8．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[1，2] B．[2，] C．[1，] D．[2，+∞）【考点】：分段函数的应用；函数恒成立问题．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]，的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值，留意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）恒成马上为由t2﹣≤f（x）min，解不等式即可得到所求范围．【解析】：解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x ）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x ）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x ）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t ≤．故选：C．【点评】：本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．（5分）某中学有高中生3500人，学校生1500人，为了解同学的学习状况，用分层抽样的方法从该校同学中抽取一个容量为n的样本，若从学校生中抽取了30人，则n 的值等于100．【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：依据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解析】：解：由分层抽样的定义得n==100，故答案为：100【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，依据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．10．（5分）已知a=dx，在二项式（x2﹣）5的开放式中，含x的项的系数为﹣10．【考点】：二项式系数的性质；定积分．【专题】：二项式定理．【分析】：求定积分求得a的值，在二项开放式的通项公式中，令x的幂指数等于1求出r的值，即可求得含x的项的系数．【解析】：解：a=dx=（2x﹣x2）=2﹣1=1，二项式（x2﹣）5 =（x2﹣）5，∴二项式（x2﹣）5的开放式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r=1，求得r=3，含x的项的系数为﹣=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项开放式的通项公式，求开放式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．11．（5分）已知△ABC中，AB=1，sinA+sinB=sinC，S△ABC=sinC，则cosC=．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：sinA+sinB=sinC，利用正弦定理可得：a+b=c ，利用三角形面积计算公式可得：sinC，ab=，再利用余弦定理即可得出．【解析】：解：∵sinA+sinB=sinC，由正弦定理可得：a+b=c，∵S△ABC =sinC，∴sinC，sinC≠0，化为ab=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC，∴1=﹣2×（1+cosC），解得cosC=．故答案为：．【点评】：本题查克拉正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．12．（5分）如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，且PD=2，BD=6，则AC=6．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：由PDB为圆O的割线，PA为圆的切线，由切割线定理，结合PD=2，BD=6易得PA长，由∠ABC=60°结合弦切角定理易得△PAE为等边三角形，进而依据PE长求出AE长及ED，DB长，再依据相交弦定理可求出CE，进而得到答案．【解析】：解：∵PD=2，BD=6，∴PB=PD+BD=8由切割线定理得PA2=PD•PB=16∴PA=4又∵PE=PA，∴PE=4又∠PAC=∠ABC=60°∴AE=4又由DE=PE﹣PD=2BE=BD﹣DE=4 由相交弦定理可得：AE•CE=BE•ED=8，即CE=2∴AC=AE+CE=6故答案为：6．【点评】：本题考查的学问点是与圆相关的比例线段，依据已知条件求出与圆相关线段的长是解答的关键．13．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为，曲线N的参数方程为（t为参数）．若曲线M与N相交于A，B两点，则线段AB的长等于8．【考点】：简洁曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：把极坐标方程与参数方程分别化为直角坐标方程、一般方程，把方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．【解析】：解：曲线M的极坐标方程为，开放为（ρcosθ﹣ρsinθ）=1，∴x ﹣y=1．曲线N的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：y2=4x．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4．∴|AB|===8．故答案为：8．【点评】：本题考查了直线与抛物线的极坐标方程与参数方程分别化为直角坐标方程、一般方程、直线与抛物线成果问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．14．（5分）已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为．【考点】：平面对量的基本定理及其意义．【专题】：平面对量及应用．【分析】：依据几何图形求解出O点的坐标，先求出，的坐标，再由=x+y，运用向量的坐标相等求解出x，y的值，得出3x+6y=，运用基本不等式求解即可得出最小值．【解析】：解：依据题意，建立坐标系如图，过O作AB的垂直平分线，垂足为E，则A（0，0），C （，0），B（﹣a ，），E （，），O （，m），∵∠BAC=120°，∴，化简得，∴O （，），∴，，，∵=x +y，∴解得，，∴3x+6y=3（）=≥+6=6+，故答案为：．【点评】：本题考查了平面对量的坐标运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是精确求解向量的坐标．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的最大值和最小值．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（Ⅰ）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得单调递减区间；（Ⅱ）由x ∈结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+）+3∈[2，5]，可得最值．【解析】：解：（Ⅰ）化简可得=•2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，∴函数f（x）的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x ∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函数的最大值和最小值分别为5，2．【点评】：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性及最值，属中档题．16．（13分）某银行聘请，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择．现有五人参与聘请，经抽签打算甲、乙两人各自独立参与A组测试，丙独自参与B组测试，丁、戊两人各自独立参与C组测试．若甲、乙两人各自通过A 组测试的概率均为；丙通过B 组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必需且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功．假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题．（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率．（Ⅱ）记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）设丁竞聘成功为M大事，戊竞聘成功为N大事，则大事的总数，而大事M竞聘成功分为两种状况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，再利用概率计算公式即可得出．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．ξ=0表示甲乙丙三人都没有通过；ξ=1表示三人中只有一人通过；ξ=3表示由3人都通过，利用分类争辩和独立大事的概率计算公式及其互斥大事的概率计算公式及其对立大事的概率，列出分布列，求出期望．【解析】：解：（I）设“丁竞聘成功”为M大事，戊竞聘成功为N大事，而大事M竞聘成功分为两种状况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，基本大事的总数为．∴P（M）==．P（N）==．丁、戊都竞聘成功的概率：P（MN）=P（M）P（N）==．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．可得P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．列表如下：∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．【点评】：本题中考查了超几何分布、互斥大事的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望、分类争辩等基础学问与基本方法，属于中档题．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得OD∥AB1，进而由线面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在点P，使得CP⊥面BDC1，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P点不存在．【解析】：证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．又D是AC的中点，∴OD∥AB1．（2分）∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，∴AB1∥面BDC1．（4分）解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）（5分）设=（x，y，z）是面BDC1的一个法向量，则即，令x=1则=（1，，）．（6分）易知=（0，3，0）是面ABC的一个法向量．∴cos ＜，＞=．（8分）∴二面角C1﹣BD﹣C 的余弦值为．（9分）（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．则，即∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1．（14分）【点评】：本题考查的学问点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得OD∥AB1，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题和线面垂直问题转化为空间向量夹角问题．18．（13分）已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），直线l是椭圆C在点B处的切线．设点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2c 时，△AFD是等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设椭圆C的长轴长等于4，当点P运动时，试推断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．【考点】：椭圆的简洁性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）首先，结合给定的条件，得到a=2c，然后，确定其离心率即可；（Ⅱ）分状况进行争辩，然后，结合直线与圆相切的条件进行推断即可．【解析】：解：（Ⅰ）依据题意，得直线l与x轴垂直，∵当|BD|=2c时，有△AFD是等腰三角形．∴AF=DF，∴（a+c）2=（a﹣c）2+（2）2，∴a=2c，∴e=．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF的位置关系是相切，证明如下：∵椭圆C的长轴长等于4，∴a=2，A（﹣2，0），B（2，0），依据（Ⅰ），得椭圆的标准方程为：，设直线l的方程为：y=k（x+2），则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），联立方程组，消去y，并整理，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0=，∴x0=，y0=k（x0+2）=，由于点F（1，0），（1）当k=±时，点P坐标为（1，±），直线PF的方程为x=1，点D的坐标为（2，±2），此时，以BD为直径的圆与直线PF相切；（2）当k ≠±时，直线PF 的斜率为=，直线PF的方程为：y=，∴x ﹣，∴点E到直线PF的距离为d==2|k|，∵|BD|=2R=4|k|，∴以BD为直径的圆与直线PF相切．【点评】：本题重点考查了椭圆的简洁的几何性质、直线与椭圆的位置关系等学问．19．（14分）设数列{b n}，{c n}，已知b1=3，c1=5，b n+1=，c n+1=（n∈N*）（Ⅰ）设a n=c n﹣b n，求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求证：对任意n∈N*，b n+c n为定值（Ⅲ）设S n为数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，求实数p的取值范围．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由b n+1=，c n+1=（n∈N*），可得c n+1﹣b n+1=﹣，可得，利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由b n+1=，c n+1=（n∈N*），相加可得b n+1+c n+1=，由于b1+c1=8，即可证明；（III）由（II）可得：b n=8﹣c n ，得到，变形为，利用等比数列的通项公式可得：，可得S n =4n+，由于对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，可得，对n分类争辩即可得出．【解析】：（I）解：∵b n+1=，c n+1=（n∈N*），∴c n+1﹣b n+1=﹣，∴，a1=c1﹣b1=5﹣3=2，∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为﹣．∴．（II）证明：∵b n+1=，c n+1=（n∈N*），∴b n+1+c n+1=，∵b1+c1=8，∴b2+c2==8，依此类推可得：b n+c n=8为定值．（III）解：由（II）可得：b n=8﹣c n，∴，变形为，∴数列{c n﹣4}为等比数列，首项为1，公比为，∴c n﹣4=，∴，∴S n =4n+=4n+，∴S n﹣4n=，∵对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，∴，∴≤p ≤，当n 为奇数时，p ≤，∴．当n 为偶数时，≤p ≤，∴3≤．∴p=3．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了恒成立问题的等价转化方法、分类争辩思想方法，考查了推理力量与计算力量，属于难题．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点为M，f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行．（Ⅰ）求函数T（x）=xf（x）的单调区间；（Ⅱ）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（Ⅲ）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1+m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】：利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数争辩函数的单调性．【专题】：分类争辩；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）利用导数的几何意义，求函数f（x）在与x轴的交点处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得a值，求出T（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（2）令u=xlnx，再争辩二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具争辩所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类争辩：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出m的取值范围．【解析】：解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，f（x）在M处的切线斜率为k=2a﹣a=a，由f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行，则a=1，∴f（x）=x2﹣x，T（x）=xf（x）=x3﹣x2，T′（x）=3x2﹣2x，T′（x）＞0，可得x ＞或x＜0，T′（x）＜0，可得0＜x ＜，则有T（x）的增区间为（﹣∞，0），（，+∞），减区间为（0，）；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤eu2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0即t≥时，y最小，且为t2﹣t；②当u=≥e即t≤时，y最小，且为e2+（2t﹣1）e+t2﹣t；③当0＜＜e即＜t＜时，y最小且为y|=﹣．（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符；③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符．∴综合①、②、③得m∈（0，1）．【点评】：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数争辩曲线上某点切线方程、利用导数争辩函数的单调性等基础学问，考查运算求解力量、化归与转化思想．属于中档题．。
天津市十二区县重点中学高三毕业班联考理科数学(二)
2007年天津市十二区县重点学校高三毕业班数学理科联考试卷二本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。
第I 卷 (选择题，共50分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么 )(B A P ⋅=)()(B P A P ⋅一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．集合P ＝｛x 」x 2－16<0｝,Q ＝｛x 」x ＝2n ，n ∈Z ｝,则P Q 等于A. ｛—2，0，2｝B. ｛-2,2｝C.｛－2，2，－4，4｝D.｛－2，2，0，－4，4｝ 2．将函数sin 2y x =的图象按向量(,1)2π平移后得到的图象对应的函数解析式是A ．cos 21y x =+B ．cos 21y x =-+C ． sin 21y x =+D ．sin 21y x =-+ 3．若两个平面α与β相交但不垂直，直线m 在平面α内，则在平面β内 A ．一定存在与直线m 平行的直线 ; B ．一定不存在与直线m 平行的直线; C ．一定存在与直线m 垂直的直线 ; D.不一定存在与直线m 垂直的直线. 4．设,f g 都是由A 到A 的映射（其中{}1,2,3A =）其对应法则如下表：则))3((g f 等于 A ．1B ．2C ．3D ．不存在5.设｛n a ｝是等差数列，｛n b ｝为等比数列，其公比1≠q , 且n b ＞0( ,3,2,1=n ) 若11b a =,1111b a =，则A ．66b a =B ．66b a >C ．66b a <D ．66b a >或66b a < 6. 若函数),()10()(+∞-∞≠>-=-在且a a aka x f xx上既是奇函数，又是增函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是7. 已知命题1|32:|>-x p ，0)5(log :221<-+x x q ，则p ⌝是q ⌝的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.设集合{}4,3,2,1=I ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最大的数小于A 中最小的数，则不同的选择方法共有A ．16种B ． 17种C ．18种D ．19种 9.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的直线0=+-m my x 与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为46,22m m +则等于4.A 2.B 6.C 8.D10．已知函数(]()⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈+=1,00,1,)(x ax b x x b ax x f ,其中,0,0>>b a 若)(lim 0x f x →存在,且)(x f 在()1,1-上有最大值,则b 的取值范围是1..>b A 121.≤<b B 1.≥b C 10.≤<b D 第Ⅱ卷 (非选择题，共100分)11．若复数θθθθsin cos sin cos i i z +-=，其中)2,4(ππθ∈，则复数z 对应的点必在第______象限.12.5)1)(2(-+x x 展开式中2x 的系数是 .(用数字作答)13．已知B A ,为椭圆C ：1122=++my m x 的长轴的两个端点，P 是椭圆C 上的动点，且APB ∠的最大值是32π，则实数m 的值是______________.14. 已知球O 的表面积为,4πC B A ,,三点都在球面上,且任意两点间的球面距离为2π,则OA 与平面ABC 所成角的正切值是________________.15. 已知点),(y x P 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+344y x y x ，则动点R M ∈θθθ),sin ,(cos 到点P 的距离||PM 的取值范围是________________.16. 如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ΔABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线 旋转一圈．然后又以A 为圆心AA 3为半径画弧…，这样 画到第n 圈，则所得整条螺旋线的长度=n l ． (用π表示即可) ．三.解答题：本大题6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知向量)21,2(cosB =与向量)2cos ,21(B=共线，其中A, B, C 是△ABC 的内角． （Ⅰ）求角Ｂ的大小； （Ⅱ）求)cos(sin 22A C A -+的取值范围． 18. （本小题满分12分）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮； 已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为31、43； （Ⅰ）求：第三次由乙投篮的概率；（Ⅱ）在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ.19. （本小题满分12分）在五棱锥P-ABCDE 中，PA=AB=AE=2a ，PB=PE=22a ，BC=DE=a ，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCDE ； （Ⅱ）求二面角A-PD-E 的大小；A 3A 2A 1C AB 第16题图（Ⅲ）求点C 到平面PDE 的距离．20.（本大题满分12分）在直角坐标平面上有一点列P 1（11,y x ），),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…对每个正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列}{n x 。
天津市十二重点中学高三数学下学期毕业班联考试卷(二)理(含解析)
天津市十二重点中学高三数学下学期毕业班联考试卷（二）理（含解析）数学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：如果事件、互斥，那么一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解绝对值不等式求出集合中的范围，根据为整数求得集合；再根据并集定义求得结果. 【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，其中涉及到绝对值不等式的求解问题，属于基础题.2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据约束条件做出可行域，将问题转化成在轴截距最大的问题，可知当过点时截距最大，代入点坐标求得的最大值.【详解】根据约束条件可得如下图阴影部分所示的可行域：则当在轴截距最大时，取最大值由平移可知，当过点时，截距最大由得：本题正确选项：【点睛】本题考查线性规划中型的最值的求解，关键是将问题转化为直线在轴截距的最值问题，通过平移来解决.3.执行如图所示的程序框图，若输入的值为9，则输出的结果为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】按照程序框图运行程序，直到时，输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，，，不满足，循环则，，不满足，循环则，，不满足，循环则，，满足，输出结果本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图中根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.4.设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式分别求出的范围，根据解集的包含关系和充要条件的判定方法得到结果.【详解】，则，则是的必要不充分条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够确定解集之间的包含关系，属于基础题.5.已知为直角三角形，，点为斜边的中点，点是线段上的动点，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将利用线性运算进行拆解，根据向量数量积的运算律和已知中的长度关系，将问题转化为与有关的二次函数问题，通过求解二次函数最小值得到结果.【详解】由图形可知：为直角三角形，斜边为，即且，则又为中点且设，则当时，本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积取值范围的求解，关键是能够通过线性运算将所求数量积向已知模长和夹角的向量进行转化，利用向量共线定理，构造出二次函数的形式，从而可以利用二次函数最值的求解方法得到结果.6.已知函数 ,令，则的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式可判断出函数为偶函数且在上单调递增；将的自变量都转化到内，通过比较自变量大小得到的大小关系.【详解】定义域为且为上的偶函数当时，，则在上单调递增；；，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数性质比较大小的问题，能够通过函数的解析式得到函数的奇偶性、单调性，将问题转化为自变量之间的比较是解决问题的关键.7.已知抛物线：的焦点为双曲线：的顶点，过点的直线与抛物线相交于、两点，点在轴上，且满足，若，则的面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用双曲线顶点求出抛物线方程；根据，可知与中点连线垂直于；直线与抛物线联立后，借助韦达定理求出，从而可表示出，利用垂直关系求得，从而三角形面积可求.【详解】由题意可知当直线斜率不存在时，，不合题意可设直线为：，且，，联立，整理得：，由得：若，则，设中点为，则点坐标为由可知，即由椭圆对称性可知，当，仍成立本题正确选项：【点睛】本题考查抛物线中三角形面积的求解问题，关键是能够通过长度的等量关系分析得到，从而得到斜率之间的关系，使得问题得以求解.8.已知函数的图象过点，且在上单调，把的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】代入点求出，根据平移关系和在上单调，确定，从而得到；找到区间内的对称轴，由对称性可得的值，进而代入求得结果.【详解】过点，即又又的图象向右平移个单位后与原图象重合在上单调令，，解得，当时，为的一条对称轴又当，且时，本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9.是虚数单位，复数=__________．【答案】【解析】 【分析】根据复数除法运算的运算法则求解即可. 【详解】【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 10.在的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中常数项等于__________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据二项式系数和为求得，再利用二项式展开式通项公式求得结果. 【详解】由题意得：二项式系数和则展开式通项公式为：当，即时常数项：本题正确结果：【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的问题，关键是能够通过二项式系数和的性质求得.11.已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为__________． 【答案】【解析】 【分析】先求圆锥侧面积，再求球半径，即得球体积.【详解】因为圆锥侧面积为，因此【点睛】本题考查圆锥侧面积、球表面积与体积，考查基本分析求解能力，属基础题.12.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．设点在上，点在上，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】利用参数表示点坐标，将问题转化为求到的距离的最小值；利用点到直线距离公式表示出，利用三角函数知识求得最值.【详解】由可得：设则的最小值即为到的距离的最小值当时，本题正确结果：【点睛】本题考查距离的最值问题的求解，涉及到极坐标与直角坐标的互化，解题关键是将问题转化为点到直线距离的最值问题，通过参数方程的意义，利用三角函数的知识来求解.13.若则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.14.已知函数，函数有四个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】将问题转化为与有四个不同的交点的问题；画出图象后可知，当与在和上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围.【详解】有四个零点等价于与有四个不同的交点当时，，当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增当时，，此时由此可得图象如下图所示：恒过，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点即临界状态为与两段图象分别相切当与相切时，可得：当与相切时设切点坐标为，则又恒过，则即，解得：由图象可知：【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题，其中还涉及到导数几何意义的应用、二次函数的相关知识.解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，角、、所对的边分别为、、，且．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若,，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用切化弦和正弦定理可得，从而求得；（Ⅱ）利用余弦定理构造方程求得，代入三角形面积公式求得结果.【详解】（Ⅰ）由得（Ⅱ），整理可得，解得【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，属于常规题型.16.为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛。
2024届天津市十二区县重点学校一模模拟考试数学试卷(解析版)
2024年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）模拟考数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}12,03A x x B x x =∈-≤<=∈≤<Z N ，则A B = （）A.{}1,0,1,2-B.{}0,1,2C.{}0,1 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解.【详解】由题意{}{}{}{}121,0,1,030,1,2A x x B x x =∈-≤<=-=∈≤<=Z N ，所以{}0,1A B = .故选：C.2.“01x ≤≤”是“11x≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】对11x≥可得01x <≤，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由11x ≥，则110x -≥，即10xx -≥，即()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得得01x <≤，则01x ≤≤不能推出11x ≥，11x≥能推出01x ≤≤，则“01x ≤≤”是“11x≥”的必要不充分条件.故选：B.3.已知函数()32xf x x =+，若()23321log 2,2,log 3a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c b a <<D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】判断出函数的单调性，再结合指数函数以及对数函数的单调性得出233212log 2log 3>>，利用函数的单调性即可得答案.【详解】由于函数32,x y y x ==在R 上均为增函数，故()32xf x x =+在R 上单调递增，由于32023210log 21,2,log log 10321><<<==，故233212log 2log 3>>，故()23231log log 223f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a b <<，故选：D4.下列结论中，错误的是（）A.数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6B.若随机变量()()21,,20.21N P ξσξ~≤-=，则()40.79P ξ≤=C.已知经验回归方程为 1.8y bx=+ ，且2,20x y ==，则9.1b = D.根据分类变量X 与Y 成对样本数据，计算得到29.632χ=，依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验()0.00110.828x =，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001【答案】D 【解析】【分析】A 选项，将数据排序后，根据百分位数的定义得到答案；B 选项，由正态分布的对称性得到答案；C 选项，将样本中心点代入回归方程，求出9.1b= ；D 选项，由29.63210.828χ=<得到D 错误.【详解】A 选项，数据4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9，00760 4.2⨯=，故选取第5个数据作为第60百分位数，即为6，A 正确；B 选项，因为()21,N ξσ，根据对称性可知()()420.21P P ξξ≥=≤-=，故()410.210.79P ξ≤=-=，B 正确；C 选项，已知经验回归方程为 1.8y bx =+ ，且2,20x y ==，则2 1.820b += ，解得9.1b= ，C 正确；D 选项，29.63210.828χ=<，故不能得到此结论，D 错误故选：D5.如图是()y f x =的大致图象，则()f x 的解析式可能为（）A.2()sin f x x x =- B.()|sin |f x x x =-C.()21xf x =- D.21()4f x x x =--【答案】A 【解析】【分析】数形结合和导数分析A 选项函数图像特征，根据(0)0f =，奇偶性，单调性，利用排除法选出正确答案.【详解】对于A 选项2()sin f x x x =-，研究2sin ,y x y x ==的图像可知2()sin f x x x =-与x 轴有两个交点,且一点为坐标原点,另一个点横坐标为正，其他函数都不具备这样的特点.另外因为2sin y x x =-时2cos ,2sin 0y x x y x '''=-=+>所以2cos ,y x x '=-为R 上的增函数，0π2|10,|π>0x x y y ==''=-<=所以2sin y x x =-在R 上在某一个值左侧为减函数，右侧为增函数，结合零点和绝对值对图像的影响可判断A 正确.根据(0)0f =排除D 选项，B 选项根据()()sin sin sin f x x x x x x x-=---=-+=-对于x ∈R 都成立可以判断B 为偶函数，与所给图像不符，所以B 不正确.C 选项根据当0x >时()21xf x =-，为()0,∞+上得增函数与所给图像不符，所以C 不正确.故选：A6.如图，实心正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为,Q R ．若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以R 为顶点，以正方形1111D C B A 的内切圆为底面，另一个圆锥以Q 为顶点，以正方形ABCD 的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（）A.5π848-B.7π848-C.25π824-D.7π86-【答案】D 【解析】【分析】计算出正方体体积、两圆锥的体积及其公共部分的体积即可得.【详解】两圆锥的体积都为221112ππ12π333V r h ==⨯⨯⨯=，则其公共部分为2211π2π1326V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故该正方体剩余部分的体积为3124ππ7π2288366V V V =-⨯+=-+=-.故选：D .7.回文联是我国对联中的一种．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读．不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（）A.30B.36C.360D.1296【答案】B 【解析】【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：在6个数字中任取1个，在6个数字中任取2个排列，由分类计数原理可得结果.【详解】由题意知：组成4位“回文数”，由对称性可知，只需确定后两位数字即可.可分为以下两种情况：当后两位数字重复时，即由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个，则有16C 种；当后两位数字不同时，在6个数字中任取2个，按不同顺序排列，有26A 种.综上，用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：6261C 36A =+.故选：B.8.已知函数()()sin f x A x B ωϕ=++（其中0,0,πA ωϕ>><）的部分图象如图所示，有以下结论：①()11π6f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭②函数π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数③()π26f x f x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭④()f x 在4π11π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③④C.③④D.①④【答案】B 【解析】【分析】借助图象可得()f x 解析式，结合正弦函数的单调性、最值、奇偶性等逐项判断即可得.【详解】由图可得2012A +==，2012B -==，且0ω>，则2πππ2π36T ω⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭，即2ω=，π3π22π,32k k ϕ⨯+=+∈Z ，即5π2π,6k k ϕ=+∈Z ，又π<ϕ，故5π6ϕ=，即()5sin 2π16f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对①：11π5π27π9π2π4π66622⨯+===+，由π2x =时，函数sin y x =取最大值，故11π6f ⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的最大值，故①正确；对②：ππ57sin 2π1sin 2π16366f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故②错误；对③：ππ575sin 2π1sin 2π1sin 2π163666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=-++=-++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()π55sin 2π1sin 2π12666f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③正确；对④：当4π11π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5π7π9πππ2,4π,4π62222x ⎡⎤⎡⎤+∈=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由函数sin y x =在ππ4π,4π22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，故函数()f x 在4π11π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故④正确.故选：B.9.过双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线，切点为A ，直线FA 交直线0bx ay -=于点B ．若3BA AF =，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.355D.263【答案】D 【解析】【分析】取右焦点2F ，连接AO 、2BF ，作2F M AB ⊥于点M ，由题意结合几何性质可得相应的边长及角度间的关系，借助余弦定理列出与a 、b 、c 有关齐次式，计算即可得.【详解】取右焦点2F ，连接AO 、2BF ，作2F M AB ⊥于点M ，由FA 为圆222x y a +=的切线，故FA AO ⊥，又2F M AB ⊥，O 为2FF 中点，故A 为MF 中点，又3BA AF =，故M 为FB 中点，AF b ===，则2FM BM b ==，222F M OA a ==，则22BF c ==，OB ==0bx ay -=为双曲线的渐近线，故有2tan b BOF a∠=，则2cos a BOF c ∠=，在2BOF 中，由余弦定理可得22222cos a BOF c ∠==，则222293a b c =+-，即224b c =-，即()()()222222284c b cb bc -+=-，化简得2285b c =，即222885c a c -=，故263c e a ===.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求法，关键点在于借助题目所给条件，从几何的角度构造辅助线，得到新的长度关系与角度关系，从而结合题意构造相应与a 、b 、c 有关齐次式，得到离心率.第Ⅱ卷二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，则()32ii ,1ia b a b -=+∈+R ，则a b +的值为________．【答案】2-【解析】【分析】根据复数的乘法法则化简得到()i 32i b a b a ++=--，求出2a b +=-.【详解】由题意得()()i 1i 32i a b ++=-，即2i i i 32i b b a a ++=-+，()i 32i b a b a ++=--，故32a b a b -=⎧⎨+=-⎩，故答案为：2-11.设nx x ⎛ ⎝的展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为_________.【答案】15【解析】【详解】试题分析：由二项式系数的性质，可得264n =，解可得，6n =；6x x ⎛ ⎝的展开式为()()16621661C 1C rr r r r r r r T x x x ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅ ⎝，令1602r r --=，可得4r =，则展开式中常数项为15．故答案为：15.12.已知抛物线()220x py p =->的焦点为F ，以点F 为圆心的圆与直线230x y -+=相切于点()2,1A --，则p =__________.【答案】4【解析】【分析】由题意可得直线AF 与直线230x y -+=垂直，进而可得出答案.【详解】0,2p F ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为以点F 为圆心的圆与直线230x y -+=相切于点()2,1A --，所以直线AF与直线230x y -+=垂直，则()()122102p---⨯=---，解得4p =.故答案为：4.13.天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是_________（分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高__________（分数作答）.【答案】①.4350②.1143【解析】【分析】根据互斥事件的概率公式，求得他准点到达天津的概率，再结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】设事件A 为他准点到达天津，事件B 为他乘坐高铁到达天津，事件C 为他乘坐大巴到达天津，若他乘坐高铁，且正点到达天津的概率为()0.60.90.54P AB =⨯=；若他乘坐大巴，且正点到达天津的概率为()0.40.80.32P AC =⨯=；则()430.540.320.8650P A =+==，且()()()()0.54270.3216(|),(|)0.86430.8643P AB P AC P B A P C A P A P A ======,所以乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高271611434343-=.故答案为：4350，114314.在ABC 中，2,1,60AC BC C ==∠=︒，则CA CB +=______；若点P 为ABC 所在平面内的动点，且满足73PC =，则PA PB ⋅ 的取值范围是______．【答案】①.②.537,99⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】借助模长与数量积的关系即可得CA CB +，取AB 中点D ，借助向量的线性运算可得22PA PB PC PC CD CA CB ⋅=+⋅+⋅，逐项计算即可得其取值范围.【详解】2222cos 14122172CA CB CA CB CA CB C ++=∠=⨯++⨯=⋅+⨯ ，故CA CB +=，()()()2PA PB PC CA PC CB PC PC CA CB CA CB⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ()()2121132769PC CA CB PC CA CB⎛⎫=+⋅+=+⋅+ ⎪⨯⨯+ ⎪⎝⎭，取AB 中点D ，则()22cos ,PC CA CB PC CD PC CD PC CD ⋅+=⋅=，2C D ==，[]cos ,1,1PC CD ∈- ，故()7772cos ,cos ,,333PC CA CB PC CD CD PC CD ⎡⎤⋅+==-⎢⎥⎣⎦，故537,99PA PB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦.；537,99⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15.若函数()22441,33441,33x ax a x f x x ax a x ⎧-++≥⎪⎪=⎨⎪+-+<⎪⎩恰有两个不同的零点,m n ，且m n <，则n 的取值范围为______．【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】借助换元法，设43t x =-，可得()224441,03334441,0333t a t a t f x t a t a t ⎧⎛⎫⎛⎫+-+++≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++-+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，令()0f x =可得258,093258,093t t t a t t t ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，再令()258,093258,093t t t g t t t t ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，借助对勾函数性质即可得()g t 的单调性及其值域，若()g t a =恰有两个不同的实数根1t 、2t ，可得122551333t t -<<-<<-，即可得n 的取值范围.【详解】设43t x =-，则43x t =+，则()224441,03334441,0333t a t a t f x t a t a t ⎧⎛⎫⎛⎫+-+++≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++-+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，令()0f x =，显然4,03x t ≠≠,则有258,093258,093t t t a t t t ⎧++>⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，令()258,093258,093t t t g t t t t ⎧++>⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，由对勾函数性质可知，当0t >时，()g t 在50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，当0t <时，()g t 在5,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又552586533393g ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⨯，5525825333393g ⎛⎫⎛⎫-=----= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⨯- ⎪⎝⎭，若()g t a =恰有两个不同的实数根1t 、2t ，且12t t <，则2,63a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，令258693t t ---=，解得253t =-或13t =-，故122551333t t -<<-<<-，即有25454133333m n -<-<-<-<-，故113n -<<.故答案为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键点在与使用换元法及参变分离的方式，得到258,093258,093t t t a t t t ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，再设出函数()258,093258,093t t t g t t t t ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，结合对勾函数的性质得到()g t 的性质，从而借助()g t 的性质研究()g t a =的解的个数，即可得到n 的取值范围.三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为315，12,cos 4b c A -==-．（1）求a 和sin C 的值；（2）求πcos 23C ⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）8a =，15sin 8C =（2）1721564-【解析】【分析】（1）结合面积公式、余弦定理与正弦定理计算即可得；（2）借助二倍角及两角和的余弦公式计算即可得.【小问1详解】在ABC 中，由1cos 4A =-，故A 为钝角，sin 4A ==，ABC的面积为，可得1sin 2bc A =11524bc ⨯=，则24bc =，联立2b c -=，解得6,4b c ==，由22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，可得8a =，由正弦定理得sin sin a c A C =4sin 154C =，解得15sin 8C =；【小问2详解】sin 8C = 且C 为锐角，7cos 8C ∴==，217sin22sin cos ,cos212sin 3232C C C C C ∴=⋅=∴=-=，πππ171715317215cos 2cos2cos sin2sin 33332232264C C C -⎛⎫+=-=⨯-⨯=⎪⎝⎭．17.如图，//AD BC 且2AD BC =，,//AD CD EG AD ⊥且,//EG AD CD FG =且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；（2）求平面EBC 与平面FBC 夹角的余弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，求线段DP 的长．【答案】（1）证明见解析（2）10（3）33【解析】【分析】（1）利用空间向量的方法证明线面平行；（2）根据二面角的定义得到GCF ∠为平面EBC 与平面FBC 的夹角或其补角，然后求余弦值；（3）根据线面角的定义得到OPB ∠为直线BP 与平面ADGE 所成角，然后根据60OPB ∠=︒求线段DP .【小问1详解】如图，以D 为原点，分别以,,DA DC DG 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()2,0,2E ，()1,0,2N ，30,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,0DC = ，()2,0,2DE = ，设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =，则11120220m DC y m DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =，则10y =，11z =-，所以()1,0,1m =- ，因为110MN m ⋅=-=uuu r u r，而MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE .【小问2详解】连接GC ，过点F 作FH DC ⊥于点H ，因为EG AD ∥，AD BC ∥，所以EG BC ∥，则,,,E G C B 共面，因为DG ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以DG AD ⊥，因为AD CD ⊥，CD DG D =I ，,CD DG ⊂平面CDGF ，所以AD ⊥平面CDGF ，因为AD BC ∥，所以BC ⊥平面CDGF ，因为CF ⊂平面CDGF ，所以BC CF ⊥，因为平面EBC ⋂平面FBC BC =，GC ⊂平面EBC ，FC ⊂平面FBC ，所以GCF ∠为平面EBC 与平面FBC 的夹角或其补角，GC ==1CH =，1GF =，CF ==所以222310cos210GC CF GF GCF GC CF +-∠==⋅⋅，所以平面EBC 与平面FBC 夹角的余弦值为31010.【小问3详解】取AD 中点O ，连接OB ，OP ，因为O 为AD 中点，2AD BC =，AD BC ∥，AD CD ⊥，所以OB AD ⊥，因为DG ⊥平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ，所以OB DG ⊥，因为AD DG D = ，,AD DG ⊂平面ADGE ，所以OB ⊥平面ADGE ，所以OPB ∠为直线BP 与平面ADGE 所成角，1OD =，2OB =，60OPB ∠=︒，所以233OP =，33DP ==，所以线段DP 的长为33.18.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，下顶点为B ，椭圆的离心率为53，且AB =（1）求椭圆的方程；（2）已知点M 在椭圆上（M 异于椭圆的顶点），点P 满足6OP OA =（O 为坐标原点），直线BM 与以P 为圆心的圆相切于点Q ，且Q 为BM 中点，求直线BM 斜率．【答案】（1）22194x y +=（2）2或29.【解析】【分析】（1）根据题意列出关于,,a b c 的方程组，求出,,a b c ，从而可求出椭圆的方程；（2）根据题意设直线BM 为2y kx =-，代入椭圆方程化简求出点M 的横坐标，再由Q 为BM 中点，可表示出点Q 的坐标，由6OP OA =求出点P 的坐标，再由直线BM 与以P 为圆心的圆相切于点Q ，可得1PQ BM k k =-⋅可求出k 的值.【小问1详解】由题意得2223AB c e a a b c ⎧==⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得2229,4,5a b c ===，所以椭圆的方程为22194x y +=；【小问2详解】因为椭圆的右顶点为A ，下顶点为B ，所以(3,0),(0,2)A B -，因为点M 在椭圆上（M 异于椭圆的顶点），所以直线BM 的斜率存在且不为零，所以设直线BM 为2y kx =-，由221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22(49)360k x kx +-=，因为0B x =，所以23649M kx k =+，因为Q 为BM 中点，所以21849Q kx k =+，所以222188224949Q Q k y kx k k-=-=-=++，所以22188,4949k Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为(3,0)A ，6OP OA =，所以1,02P ⎛⎫⎪⎝⎭，因为直线BM 与以P 为圆心的圆相切于点Q ，所以1PQ BM k k =-⋅，即2280491181492k k k k --+⋅=--+，整理得292040k k -+=，解得2k =或29k =，所以直线BM 斜率为2或29.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线BM 的方程，代入椭圆方程可表示出M 的坐标，从而可表示出点Q 的坐标，再结合圆的知识列方程可求得结果，考查计算能力，属于中档题.19.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 是等比数列，且满足245,24a S ==，21531,1b a b S =-=+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足()()()*1111,32n n n n c c c S n b n ++=+=-∈N ，（ⅰ）求{}n c 的前21n +项的和21n T +；（ⅱ）求()211n k kk k a bc +=+∑.【答案】（1）21n a n =+，12n n b -=（2）2+12121+1n n T n +=-；()()2+1221112+1412n n k k n k k n a b c n +=++++=∑【解析】【分析】（1）借助等差数列与等比数列基本量计算即可得；（2）借助并项求和法可得21n T +，借助分组求和法与错位相减法可得()211n k kk k a bc +=+∑.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题知：1154624a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，()31221n a n n ∴=+-⋅=+，32153212,116b a b S b q ∴=-==+==⋅，所以12,1q b ==，12n n b -∴=；【小问2详解】（ⅰ）()()112,22n n n n a a nb S n n ++===+，()()()12322nn n c c n n n +∴+⋅+=-⋅，()()213222222n n nn n n c c n n n n++-⋅+==-++，则()()()123211234522121n n n n T c c c c c c c c c c c +++=+++=+++++++ 2222+422+421622422**********+12221464n n n n n n n n +-=-+=+-+-++=-++ ；（ⅱ）()212121111n n n k kk k k k k k k a bc a b c +++===+=+∑∑∑，()1212k k k a b k -⋅=+，则()211202111212213252432n n n n k kk a a b a b a bn b ++=+⨯=+++=⨯++++⋅∑ ，则()211221132524232n n k kk a bn ++==⨯+⨯+++∑ ，故()121212213222222432n n k kn k a bn +=+-⋅=+⨯+⨯+⨯-+∑ ()()()221214123432141212n n n n n ++-=+-+⋅=--+-，故()111221412n k kk n a n b ++==++∑，又2+12121121+1n n k n k c T n ++===-∑，故()()()22+12+1211121221+1+14121412n n n k kk k n n a bc n n n n ++=++=-=+++++∑.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的求和方法，关键点在于求取21n T +时，由题目所给1n n c c ++，通过并项，将12321n c c c c ++++ 分解为()()()12345221n n c c c c c c c ++++++++ .20.已知函数()()()2ln 1,sin f x a x x x x g x x =-++=．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当0,0a x =>时，若在()g x 的图象上有一点列()**11,1,2,3,,,,22i i i A g i n i n ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,3,,i k i n =⋅⋅⋅，（ⅰ）求证：()()316g x f x x >-；（ⅱ）求证：119nii k n =>-∑．【答案】（1）210x y --=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）（ⅰ）令()3sin 6x h x x x =-+，即证()0h x >在0x >时恒成立，借助导数，多次求导后即可得；（ⅱ）计算可得111112sin 2cos 122i i i i k +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由（ⅰ）可得2cos 12x x >-，即可得12311cos 1022i i ++>->，借助放缩法可得1112211712sin 2cos 112262i i i i ++++⎛⎫->-⨯ ⎪⎝⎭，结合等比数列求和公式及放缩即可得证.【小问1详解】当1a =时，()2ln 1f x x x =+，()11f =，所以()2ln 2f x x =+'，曲线()y f x =在点()1,1处切线的斜率为()12f '=，所以切线方程为()121y x -=-，即210x y --=；【小问2详解】（ⅰ）要证()()316g x f x x >-，即证0x >时，3sin 6x x x >-，令()3sin 6x h x x x =-+，即证()0h x >在0x >时恒成立，因为()2cos 12x h x x =-+'，令()2cos 12x m x x =+-，则()sin m x x x =-+'，令()sin n x x x =-+，则()()1cos 0,n x x n x =-≥'在()0,∞+内单调递增，所以()sin000n x >-+=，即()()0,m x m x '>在()0,∞+内单调递增，所以()cos0010m x >+-=,即()()0,h x h x '>在()0,∞+内单调递增，所以()0sin0006h x >-+=，即得证；（ⅱ）*i ∈N 时，1111111122sin sin 1122222i i i i i i i ig g k ++++=⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（ⅰ）知，()2cos 102x m x x =+->，即2cos 12x x >-，则12311cos 1022i i ++>->，所以111112311112sin2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=->-- ⎪ ⎪⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⋅⎝⎭⎝⎭，2246822111171111771111624162222661212414nn i n n i k n n n ++=-⋅⎛⎫⎛⎫>-++++=-⋅=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑ 1771716172184721449n n n n n +=-+⨯>->-=-，即得证.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由（ⅰ）中得到2cos 12x x >-，从而得到12311cos 1022i i ++>->，从而借助放缩法，得到2271162i i k +>-⨯.。
2023届天津市十二区重点中学高三毕业班联考(一)数学试题含答案
2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷选择题（共50分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应的答案标号涂黑.参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+·柱体的体积公式V Sh =.其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）1.设全集{}3,2,1,0,1,2,3U =---，集合{}3,2,2,3A =--，{}3,0,1,2B =-，则()U A B ⋂=ð（）A.∅B.{}1 C.{}0,1 D.{}0,1,22.设x ∈R ，则“2log 1x <”是“260x x +-<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在其定义域上的图像大致是（）A. B.C. D.4.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中a 的值为0.004B.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为1505.已知()f x 是偶函数，且当0x >时，()f x 单调递减，设122a =-，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则()f a ，()f b ，()f c 大小关系为（）A.()()()f c f b f a <<B.()()()f c f b f a >>C.()()()f c f a f b << D.()()()f c f a f b >>6.如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为A ，圆柱的上、下底面的圆心分别为B 、C，若该几何体Ω存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）.已知24BC AB ==，则该组合体的体积等于（）A.56πB.70π3C.48πD.64π7.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊讶世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22214y x a -=（0a >）下支的一部分，以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线分別相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为2a ，则双曲线的方程为（）A.22194y x -= B.221124y x -= C.229124y x -= D.222194y x -=8.已知函数()2cos 2sin 2f x x x x =+-，以下说法中，正确的是（）①函数()f x 关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；②函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③当π2π,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭吋，()f x 的取值范围为()2,0-；④将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度，所得图象对应的解折式为()2sin21g x x =-.A.①②B.②③④C.①③D.②9.如图所示，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 为AB 的中点，0BA BC ⋅=，4BD BA BD AD ⋅=⋅= ，若向量C E 在向量C B上的投影向提的模为4，设M 、N 分别为线段CD 、AD 上的动点，且CM CD λ= ，19AN AD λ=，则EM EN ⋅ 的取值范围是（）A.11,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.1113,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1361,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1161,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦第非选择题（共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）10.设复数z 满足()34i 12i z +=-（i 为虚数单位），则z 的值为______.11.二项式323x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的系数为______.12.已知圆经过点()3,0和点()1,2-，圆心在直线210x y +-=上，则圆的方程为______.13.袋子中装有n 个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为13，则n 的值为______，若从中任取3个球，用X 表示取出3球中黑球的个数，则随机变量X 的数学期望()E X =______.14已知0a >，0b >，且1ab =，则111a b a b+++的最小值为______.15.定义函数()(){}()()()()()(),min ,.f x f x g x f x g x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，设(){}2min11,38h x x xax a =--+--，若()0hx =㤷有3个不同的实数拫，则实数a 的取值范围是______.三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）在ABC △中，内角A 、B 、C的对边分別为a 、b 、c ，已知2sin sin cos tan C A A B =+.（1）求角B 的大小；（2）设2a =，3c =，求b 和()sin 2A B -的值.17.（本小题满分15分）已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA DQ ∥，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、C Q 的中点.（1）求证：E F ∥平面PADQ ；（2）求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得直线A M 与平面PCQ 所成角的正弦值是7，若存在求出PMMC的值，若不存在，说明理由.18.（本小题满分15分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为点F ，A 、B 分别为椭圆C 的上、下顶点，若椭圆中心到直线AF 的距离为其短轴长的14.（1）求椭圆的离心率；（2）过点B 且斜率为k （0k >）的直线l 交椭圆C 于另一点N （异于椭圆的右顶点），交x 轴于点P ，直线AN 与直线x a =相交于点Q ，过点A 且与P Q 平行的直线截椭圆所C 的标准方程.19.（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，其前8项的和为64；数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记211n nn n na c a ab ++-=，*n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）记()12221,1,n n n n n a n a d n b +⎧-⋅⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求221nn kk S d==∑.20.（本小题满分16）已知函数()sin x f x ae x a =--.（注： 2.718281e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0a >时，函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的极值点1x .（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：()f x 在区间()0,π内有唯一的零点0x ，且012x x <.2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学参考答案一、选择题：每小题5分，满分45分题号123456789答案CACDBABDD二、填空题：每小题5分，共30分.（两空中对一个得3分，对两个得5分）10.511.270-12.()2214x y -+=13.2；9714.5215.843a -<<-或8a =-三、解答题：本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（1）解：因为2sin sin cos tan C A A B =+，所以()sin sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos cos cos cos B A B A B A B CC A A B B B B++=+⨯===…………2分所以2sin cos sin C B C =，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，所以1cos 2B =…………4分又()0,πB ∈，所以π3B =；…………5分（2）在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，π3B =，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b .…………8分由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin A =.因为a c <，故cos A =.…………10分因此sin22sin cos 7A A A ==，21cos22cos 17A A =-=.…………12分所以，()11sin 2sin2cos cos2sin 727214A B A B A B -=-=⨯-⨯=.…………14分17.（本小题满分15分）（1）方法一：分别取AB ，CD 的中点G ，H ，连接EG ，GH ，FH ，…………1分由题意可知：点E 、F 分别为线段PB 、C Q 的中点.所以EG PA ∥，FH QD ∥，因为PA DQ ∥，所以EG FH ∥，所以点E ，G ，H ，F 四点共面，因为G ，H 分别为AB ，CD 的中点，所以GH AD ∥，A D ⊂平面ADQP ，GH ⊄平面ADQP ，所以GH ∥平面ADQP ，…………3分又因为FH QD ∥，QD ⊂平面ADQP ，FH ⊄平面ADQP ，所以FH ∥平面ADQP ，…………4分又因为FH GH H ⋂=，FH ，GH ⊂平面EGHF ，所以平面EGHF ∥平面ADQP ，因为EF ⊂平面EGHF ，所以E F ∥平面ADQP .…………5分方法二：因为ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，所以AP ，AB ，AD 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，…………1分则()0,0,3P ，()3,3,0C ，()0,3,1Q ，()3,0,0B ，33,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，31,3,22F ⎛⎫⎪⎝⎭…………3分（建系和对一个点的坐标就给1分，全对给2分，没有出现点的坐标扣1分）所以()0,3,1EF =- ，()3,3,3PC =- ，()3,0,1CQ =-，易知平面PADQ 的一个法向量()1,0,0a =，所以0a E F ⋅= ，所以E F a ⊥，……………….4分又因为EF ⊄平面ADQP ，所以E F ∥平面ADQP .…………5分（2）设平面PCQ 的法向量(),,m x y z =，则00PC m CQ m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z x z +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则3z =，2y =，所以平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m =，…………6分易知平面CQD 的一个法向量()0,1,0n =，设平面PCQ 与平面CQD 夹角为θ，则14cos cos ,7m n θ==，所以平面PCQ 与平面CQD夹角余弦值为7…………8分（设角和作答具备其一即可，均不写扣1分）（3）假设存在点M ，PM PC λ=，[]0,1λ∈，设(),,M x y z ，所以()(),,33,3,3x y z λ-=-，………….9分所以()3,3,33M λλλ-所以()3,3,33AM λλλ=-…………10分由（2）得平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m =，427=12分得212810λλ-+=.即()()21610λλ--=，…………13分12λ∴=或16λ=，…………14分1PM MC ∴=或15PM MC =.…………15分18.（本小题满分15分）（1）由直角三角形面积关系得124bc b =⨯⨯，即124bc b a =⨯⨯解得12c a =…………3分（2）由（1）得2ac =，b ，易得()A ，()0,B，直线l 的方程为y kx =，因为直线l 不过右顶点()2,0c ，所以2k ≠，…………4分2222143x y c c y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得()22340k x +-=，234N x k ∴=+…………6分从而222834333,3434kc k c c N k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，3,0c P k ⎫⎪⎪⎝⎭…………8分直线AN2243333344c k k -==-…………9分故直线AN的方程为34y x k=-+…………10分令2x c =，得32,2c Q c k ⎛⎫-⎪⎝⎭，…………11分直线P Q的斜率322PQ ck k k-=== (12)分()A ，左顶点()2,0Dc -，2AD k =，即22214AD a b =+=，12c a =解得28a =，26b =，22c =.…………14分∴椭圆的标准方程为22186x y +=…………15分19.（本小题满分15分）【详解】（1）因12n n a a +-=，∴数列{}n a 是公差为2d =等差数列，且864S =，18782642a ⨯∴+⨯=，解得11a =，()12121n a n n ∴=+-=-；…………2分设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），因为13b =，3218b b -=，23318q q ∴-=，即260q q --=，解得2q =-（舍去）或3q =，1333n n n b -∴=⨯=…………4分（2）由（1）得()()()21222121213n n nn n n n a c a a b n n +++--==-+⋅…………5分()()()()122111212132213213n n n n n n n n -⎡⎤+=-⎢⎥-+⋅-+⎣⎦=…………6分()()0112231111111112133333535373213213n nn n ⎡⎛⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢ ⎥-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪ ⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅⎤+⋅⎢=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦⎝⎦⎣()0111213213n n ⎛⎫- ⎪ ⎪⨯+⋅⎝⎭=()1122213n n -+⋅=，…………8分（3）()22121,1,n nn n n a n b d a n ++⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⋅⎩ 为偶数为奇数()()2246213521n n n S d d d d d d d d -∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+…………9分()3121352112311111nn n n a a a a a a a a b b b b -⎡⎤++++⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()1232462159131433333n n n n ⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………10分n nP Q =+12324623333n nnP =+++⋅⋅⋅+ （1）23411246222333333n nn n n P +-∴=+++⋅⋅⋅++（2）（1）－（2）：1234122222223333333n n n nP +=++++⋅⋅⋅+-1112112n 12n 2n 333111333313n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=----1323323123223n n n n n P +++⎛⎫∴=-=- ⎪⋅⎝⎭…………12分方法二：()()22121211,21211,,,n k n kk n k n n a a n kb b n d n a n k a +-++⎧=⎪=⎨⎪⎪-=⎧⎪⎪=⎨⎪⎩⋅-⎩-⋅为偶数为奇数()()()()1121232,2,22333143,21143,21k k kk k k k k n k n k k n k k n k -⎧⎪⎨⎪++⎛⎫⎧-== ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪-⋅-=--⋅-=-⎩⎩()2462011211355721233232333333223n n n nn n n n P d d d d -⎡++⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎢⎥⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦①当n 为偶数时，()21159131nn n Q a -⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⋅⎣⎦()()()()1591347434444*22nn n n ⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-=++⋅⋅⋅+==⎣⎦，…………13分②当n 为奇数时，()()1444434*43212n n Q n n n -=++⋅⋅⋅+--=--=-+…………14分21,2,n n n Q n n -+⎧∴=⎨⎩为奇数为偶数121323121,2332312,23n nn n n n n n S P Q n n n ++⎧+⎛⎫--+ ⎪⎪⎪⎝⎭∴=+=⎨+⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数…………15分20.（本小题满分16分）解：（1）()2sin 2x f x e x =--，求导()2cos x f x e x =-'，切线的斜率()0211kf '==-=，又()00f =，所以切点为()0,0，所以，切线方程为y x =…………4分（2）（ⅰ）求导()cos x f x ae x =-'，①当1a ≥时，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1xae >，()cos 0,1x ∈，()0f x ∴'>，则()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；…………6分②当01a <<时，求二阶导()sin 0x f x ae x =+'>'，所以()f x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，又()010f a =-<'，π2π02f ae ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'，所以()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点1x ，…………8分当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一极值点，符合题意，综上，a 的取值范围是()0,1.…………9分（ⅱ）由（ⅰ）知01a <<，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()cos 0xf x ae x =->'，…………10分当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,πx x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以()10,x x ∈时，()()00f x f <=，则()10f x <，又因为()()πππ10f ae a a e =-=->，所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点0x ，即()f x 在()0,π上有唯一零点0x .…………12分因为()12112sin2x f x ae x a =--，由（ⅰ）知()10f x '=，所以11cos x ae x =，则()1112111111cos 2sin2cos 2sin cos x x x x f x ae x a e x x x e =--=--11111cos 2sin x x x e x e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………13分设()2sin x x h x e x e -=--，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos x x h x e x e -'=-+，2x x e e -+> ，2cos 2x <，所以()2cos 0x x h x e e x -'=+->()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增，又()00h =，所以()0h x >，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 0x >，所以()1111112cos 2sin 0x x f x x e x e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.所以()()1020f x f x >=.由前面讨论知112πx x <<，10πx x <<，()f x 在()1,πx 单调递增，所以012x x <.…………16分。
2019年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考数学(理)试卷(含答案)
2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1. 集合2{|ln(1)},{|24},x M y y x N x M N ==+=<则等于（ ）A ．[]0,2B.(0,2) C ．[0,2) D ．(]0,22. 设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤+-0623063201y x y x y x ，则目标函数y x z 2-=的最大值为（ ）A ．3966-B.513- C ．2- D ．2 3.下列三个命题：①命题p ：2,0x R x x ∀∈+<，则p ⌝：2,0x R x x ∃∈+>； ②命题p ：112≤-x ，命题q ：011>-x，则p 是q 成立的充分不必要条件； ③在等比数列{}n b 中，若52b =，98b =，则74b =±； 其中真命题的个数为( )A ．0 B.1 C.2 D.3 4.如图是一个算法流程图，则输出的k 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55.将函数cos26y x π=-（）的图象向左平移(0)ϕϕπ<<的单位后，得到函数cos(2)3y x π=+的图象，则ϕ等于（ ）A ．3πB ．6πC ．2πD ．4π6.已知0.313log 0.6a =,121log 4b =,0.413log 0.5c =,则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ． b a c << B.c a b << C ．b c a << D ．a b c <<7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过原点的直线与双曲线交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC ∆的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．2y x =±B ．y = C．y x= D．y = 8. 已知函数32log (2),2()(3)2,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，1()1g x =x+x -，则方程(())f g x a =的实根个数最多为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. 若i z 21+=，且i z bi a -=⋅+8)(，则=⋅b a ． 10. 已知0=a sinxdx π⎰，则5ax ⎛+ ⎝的二项展开式中，2x 的系数为 ． 11．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为 ．12．直线l ：12x at y t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C：3)4πρθ=-+（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l的距离为，则实数a = ．13.已知0>x ，0>y ，2是x 2与y4的等比中项，则yxx +1的最小值 ． 14. 在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45，高为m ， Q 为折线段B C D --上的动点，2AC AD AE += 设AE AQ ⋅ 的最小值为()f m ，若关于m 的方程()3f m km =-有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222cos )2(2c b a A c b b -+=-. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆的面积4325=∆ABC S ，且5a =，求b c +.16.（本小题满分13分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。
2020年天津市十二校高三毕业班联考答案
5
1 n1
4
3n 2
1
n
4
3 4
An
1
3 14
1 4
2
...
1 4
n1
3n
2
1 4
n
ห้องสมุดไป่ตู้
1
3
1 4
-
1
n
1
4
1 1
3n
2
1 4
n
4
2 - 3n
2
1 4
n1
An
8 3
3n 3
2
1 4
n1
R2n
3T2n1
An
3
1
2n1 a2nb2n
8 3
3n
4
1
n1
………14 分（公式和结果各 1 分）
（Ⅱ）过点 A 做 AH CD ,垂足为 H 以 A 为坐标原点，分别以 AH , AB, AE 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系
A(0,0,0),C(1,2,0), F(0,1,2), D(1,1,0)
设平面 FAC 的一个方向量为 n (x, y, z)
联立椭圆与PQ得： yx423y3x2m1 即 3x2 3mx m2 3 0 2
………10 分
9m2 12 m2 3 3 12 m2 00 m2 12
m2 3 x1 x2 m, x1x2 3
………11 分
PQ
1 k2
x1 x2 2 4x1x2
39 6
1 2
3
...
(n
1)(
1)n 2
（ -
n)(
1 )n1 2
3 2
Tn
1 2
天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考(一)数学试题
一、单选题1.若，则（ ）A．B．C．D．2.已知圆关于直线对称，与交于，两点，设坐标原点为，则的最大值等于（ ）A ．2B ．4C ．8D ．163. 在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，，，）的概率为．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（ ）（参考数据：，）A ．2.9B ．3.2C ．3.8D ．3.94. 半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，棱长为的正方体截去八个一样的四面体，则下列说法错误的是（）A．该几何体外接球的表面积为B．该几何体外接球的体积为C．该几何体的体积与原正方体的体积比为D．该几何体的表面积与原正方体的表面积之比为5.已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，，椭圆上存在点，满足，焦点在轴的双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．6. 在中，若，则下列等式中一定成立的是A．B．C．D．7. 命题是的充分不必要条件；命题事件是对立事件的充要条件是：， 下列命题为真命题的是A．B．C．D．8. 已知中，，那么等于（ ）A ．1B．C．D ．69. 设集合，，那么下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．10. 已知函数，是的导函数，若存在有唯一的零点，且，则实数的取值范围是A．B．C．D．天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考(一)数学试题二、多选题11. 已知全集，集合A ，B满足，则下列关系一定正确的是（ ）A．B．C．D．12. 已知首项为的数列的前项和为，若，则（ ）A ．数列是等比数列B．C．D ．为定值13. 2021年元旦期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为（ ）A．B．C．D．14.对于的展开式，下列说法不正确的是（ ）A ．有理项共5项B ．二项式系数和为512C ．二项式系数最大的项是第4项和第5项D．各项系数和为15. 某校高一（3）班的40位同学对班委会组织的主题班会进行了评分（满分100分），并绘制出如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（）A ．评分在区间内的有2人B ．评分的中位数在区间内C ．评分的众数是90分D ．评分的平均数大于90分16. 已知点在同一个球的球面上，，，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为（ ）A．B．C．D．17. 6个数据构成的散点图，如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程，若在6个数据中去掉后，下列说法正确的是（）A ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强B ．样本相关系数r 变大C ．残差平方和变小D ．决定系数变小18. 在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（ ）A ．，，则的外接圆半径是4B．若，则C ．若，则一定是钝角三角形D．若，则19. 举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（）A．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D．这一星期内乙的日步数的下四分位数是1220020. 双曲线的左右焦点分别为，，倾斜角为的直线过双曲线的右焦点，与双曲线右支交于两点，且，则（）A．双曲线的离心率为B．与内切圆半径比为C．与周长之比为D．与面积之比为21. 已知函数的部分图像如图，则（）A．B．C．将曲线向右平移个单位长度得到曲线D ．点为曲线的一个对称中心22. 如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，.若将正三棱锥绕旋转，使得点E，P分别旋转至点A，处，且A，B，C，D四点共面，点A，C分别位于BD两侧，则（）A．B．C．多面体的外接球的表面积为D．点P与点E旋转运动的轨迹长之比为23.已知函数，则（）A ．的最小值为-1B．点是的图象的一个对称中心三、填空题四、解答题C ．的最小正周期为D ．在上单调递增24.已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（ ）A ．所在的平面与正方体表面的交线为五边形B ．所在的平面与正方体表面的交线为六䢍形C．长度的最大值是D．长度的最小值是25. 已知随机变量服从正态分布，，则__________．26. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足，则tan A 的最大值为___.27.已知把函数（且）的图象向下平移2个单位长度得到的图象，且，若为偶函数，则______．28. 已知，，若，则_________.29. 若离散型随机变量满足：，则______.30. 若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为______________.31.设函数，则满足的的取值范围_____.32. 已知，则___________.33. 已知函数.(1)若，判断在上的单调性，并说明理由；(2)当，探究在上的极值点个数.34. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；(2)当的值为多少时，能使平面？五、解答题35. 在△ABC 中，已知角A 为锐角，且.（1）将化简成的形式；（2）若，求边AC 的长.36. 设分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心（i ）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线的距离；（ii ）求点到直线的距离的最大值.37.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求38. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．39. 如图，在四棱锥中，平面，底面ABCD 满足，且，三角形的面积为(1)画出平面PAB 和平面PCD 的交线，并说明理由，(2)求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.40. 某省2019年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A 等；分数在[70，85）内，记为B 等；分数在[60，70）内，记为C 等；60分以下，记为D 等，同时认定A ，B ，C 等为合格，D 等为不合格，已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C ，D 的所有数据的茎叶图如图2所示．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；（2）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率．41. 已知函数.（1）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）；（2）令，求函数的定义域及不等式的解集.42. 某市公安交管部门曾于2017年底公布了一组统计数据：一年来全市范围内共发生涉及电动自行车的交通事故（一般程序）共3558起，造成326人死亡（因颅脑损伤导致死亡占），死亡人数中有263人未佩戴头盔（占）.驾乘电动自行车必须佩戴头盔，既是守法的体现，也是对家庭和社会负责的表现.该市经过长期开展安全教育，取得了一定的效果.表一是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到的驾乘人员未佩戴头盔的统计数据：表一年度20172018201920202021年度序号x12345未佩戴头盔人数y125012001010920870(1)请利用表一数据求未佩戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程，并预测该路口2022年驾乘人员未佩戴头盔的人数；(2)交管部门从年在该路口发生涉及电动自行车的交通事故案例中随机抽取了50起作为样本制作出表二：未佩戴头盔佩戴头盔合计伤亡61016无伤亡43034合计104050请问能否有的把握认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关？附：参考公式及数据：；，其中.0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87943. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生男生等级优秀合格尚待改进频数155表二：女生女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）求,的值；（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望；（3）由表中统计数据填写列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.男生女生总计优秀非优秀总计45参考公式：，其中.参考数据：0.010.050.012.7063.8416.63544. 甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约．2022年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：人数性别参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数男生3515女生4010今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，．(1)依据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？(2)若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X ，Y ，分别求出X 与Y 的数学期望．参考公式与临界值表：，．六、解答题0.100.050.0102.7063.841 6.63545.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点．（1）求证：∥平面；（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．46.在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过，(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在．证明：为定值．47. 已知平面四边形ABCE（图1）中，，均为等腰直角三角形，M，N分别是AC，BC 的中点，，，沿AC 将翻折至位置（图2），拼成三棱锥D-ABC.(1)求证：平面平面；(2)当二面角的二面角为60°时，①求直线与平面所成角的正弦值；②求C点到面ABD的距离.48. 如图，四棱柱的侧棱底面，四边形为菱形，，分别为，的中点，为上一点.（1）若与相交于点，求证､､三条直线相交于同一点；七、解答题（2）若，，，求点到平面的距离.49. 已知函数.(1)求曲线的斜率为1的切线方程；(2)证明：；(3)设，求在区间上的最大值和最小值.50. 已知为等差数列，公差，且、、成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，证明：．51. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出（）名员工从事第三产业，调整后这名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求的最大值.52. 某单位开展职工文体活动，其中跳棋项目比赛分为初赛和决赛，经过初赛后，甲、乙、丙三人进入决赛．决赛采用以下规则：①抽签确定先比赛的两人，另一人轮空，后面每局比赛由前一局胜者与轮空者进行，前一局负者轮空；②甲、乙进行比赛，甲每局获胜的概率为，甲、丙进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙、丙进行比赛，乙每局获胜的概率为；③先取得两局胜者为比赛的冠军，比赛结束．假定每局比赛无平局且每局比赛互相独立．通过抽签，第一局由甲、乙进行比赛．(1)求甲获得冠军的概率．(2)记比赛结束时乙参加比赛的局数为，求的分布列和数学期望．53. 有研究显示，人体内某部位的直径约10的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤.某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约10的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约10的结节，他做了该项无创血液检测．(1)求患者甲检查结果为阴性的概率；(2)若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；(3)医院为每位参加该项检查且检测结果为阴性的患者缴纳200元保险费，对于在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该保险的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益．54. “斯诺克（Snooker ）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍､障碍”，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲､乙两人进行比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没有平局，已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权.(1)求甲以3∶1赢得比赛的概率；(2)设比赛的总局数为，写出随机变量的分布列并求其数学期望.55. 作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了大影视博物馆：陈情令馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠妃馆，馆内还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品共游客选择，国庆期间甲、乙等名同学准备从以上个影视馆中选取一个景点游览，设每个人只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的，(1)分别求“恰有人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率；八、解答题(2)设表示人中选择博物馆的个数，求的分布列和数学期望.56. 某校高二（1）班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了张相同的卡片，其中只在张卡片上印有“奖”字.(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数的分布列、数学期望及方差；(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.57.如图，三棱台，，，平面平面，，，与相交于点，，且∥平面．(1)求三棱锥的体积；(2)求直线与平面所成角的正弦值．58. 已知，，，且的图象关于点对称.(1)求；(2)设的角、、所对的边依次为、、，外接圆半径为，且，，．若点为边上靠近的三等分点，求的长度.59.已知等差数列的前项和为（1）求；（2）求数列的前项和.60. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点.（1）确定E的位置，使平面；（2）设，，且在第（1）问的结论下，求二面角的余弦值.61. 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知.(1)求角B 的大小；(2)从以下3个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：；④62. 已知函数的最小值为.(1)求的值；(2)若，求的最大值.。
天津市十二区重点学校2023届高三下学期联考(二)考前模拟数学试题(含答案与解析)
2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（二）考前模拟检测数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、单选题（本大题共9小题，共45分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1 已知全集U =R ，集合{}260,{|23}A x x xB x x =-->=∈-<Z ∣，则()UA B ⋂=ð（）A. (]1,3-B. []1,3-C. {}1,0,1,2,3-D. {}0,1,2,32. 设x ∈R ，则“1x <”是“ln 0x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. ln ||1()xx f x e +=图像大致是 A. B.C. D.4. 已知0.75a =，52log 2=b ，πsin 5c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. c b a <<B. b<c<aC. c<a<bD. a c b <<5. 党的二十大报告提出全面推进乡村振兴．为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品.的开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台专营店购物人数y （单位：万人）的数据如下表：日期 2月1日2月2日2月3日2月4日2月5日第x 天 1 2 3 4 5 人数y （单位：万人）75849398100依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数x 与到该电商平台专营店购物的人数y （单位：万人）具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数y 与直播天数x 的线性回归方程为 6.4ˆyx a =+．请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（ ） A 312B. 313C. 314D. 3156. 已知函数23()log 1f x x x =-+，则不等式()0f x >的解集是（ ） A. (1,2)-B. (0,2)C. (2,)+∞D. (,1)(1,2)-∞--7. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为9cm ，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（ ） ( 2.45, 3.14π≈≈)A 320cmB. 322cmC. 326cmD. 330cm8.已知1F ，2F分别是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，焦距为4，若过点1F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的左、右支分别交于A ，B 两点，2122ABF AF F S S =△△，则该双曲线的离心率为（ ） A.B.C.D.9. 将函数()2sin cos 2f x x x x =+的图象向右平移3π个单位，得到()g x 的图象，再将()g x 图象..上的所有点的横坐标变成原来的12，得到()h x 的图象，则下列说法正确的个数是（ ） ①函数()h x 的最小正周期为2π； ②,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()h x 图象的一个对称中心； ③函数()h x 图象的一个对称轴方程为56x π=； ④函数()h x 在区间5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 A. 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10. 若复数i1ia +-为纯虚数，则2i a +=___________. 11. 二项式82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______（用数值表示）. 12. 圆心在直线2x =-上，且与直线20x -=相切于点(-的圆的方程为______. 13. 接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效方法．我国自2021年1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗．截止到2021年5月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若5人去接种新冠疫苗，恰有3人接种同一种疫苗的概率为______．14. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH 中，若(,R)AE AC AF λλμμ=+∈，则λμ+的值为________ ；若正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 八条边上的动点，则AP AB ⋅的最小值为______.的15. 已知R a ∈，函数()211+10π()sin 2,022x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪+⎩，,当0x >时，函数()f x 的最大值是_____；若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 在非等腰ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且3a =，4c =，2C A =. （1）求cos A 的值； （2）求b 的值； （3）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 17. 已知正三棱柱111ABC A B C -，底面边长为2，D 为AB 的中点.（1）证明：1CD A D ⊥；（2）求二面角1D A C A --的大小；（3）求直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值. 18. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =． ①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n =∈N ，数列{}n b 为等比数列，且21a+，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项．（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（2）若数列()()1322(1)11+⋅-=+-⋅--n nn n n n n c a b b b ，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）求证：()2131nii i b b =<-∑．20. 已知函数1()ln (0)f x x m mx =+>，12e ()x g x x-=， （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若10x ∀>，2(0,3)x ∃∈，使()()21eg x f x >成立，求m 的取值范围. （3）当2m =时，若关于x 的方程()f x k =有两个实数根1x ，2x ，且12x x <，求实数k 的取值范围，并且证明：121x x +>.参考答案一、单选题（本大题共9小题，共45分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知全集U =R ，集合{}260,{|23}A x x xB x x =-->=∈-<Z ∣，则()UA B ⋂=ð（）A. (]1,3-B. []1,3-C. {}1,0,1,2,3-D. {}0,1,2,3【答案】D 【解析】【分析】分别求出集合A 、U A ð 、B ，再求交集可得答案.【详解】因为{}()()260,23,A x x x ∞∞=--=--⋃+，所以[]2,3U A =-ð，又因为{}{}{}|323|150,1,2,3,4B x x x x =∈-<-<=∈-<<=Z Z ， 所以(){}0,1,2,3U A B ⋂=ð. 故选：D .2. 设x ∈R ，则“1x <”是“ln 0x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对数函数定义域可知充分性不成立；由对数函数单调性可确定必要性成立. 【详解】当1x <时，若0x ≤，则ln x 无意义，充分性不成立； 当ln 0x <时，01x <<，1x ∴<成立，必要性成立；综上所述：x ∈R ，则“1x <”是“ln 0x <”的必要不充分条件. 故选：B . 3. ln ||1()xx f x e+=图像大致是 A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数()f x 的取值以及单调性即可由排除法判断得出．【详解】当1,x e ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x >，当1,0x e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x <，所以可排除A B ；当0x >时，ln 1()x x f x e+=，其导函数为()1ln 1xx x f x e --'=，当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，当1x =时，()0f x '=，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，所以函数先增后减，排除D ，故正确答案为C ． 故选：C.4. 已知0.75a =，52log 2=b ，πsin 5c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. c b a << B. b<c<aC. c<a<bD. a c b <<【答案】C 【解析】的【分析】将,a b 化为同底的对数形式，根据对数函数单调性可知a b <；利用ππ3sin sin 544<<可得c a <，由此可得结论.【详解】345530.75log 5log 4a ==== ，5552log 2log 4logb ===，<，a b ∴<；ππsin sin 54c =<==，30.754a ==，又3<，c a ∴<； 综上所述：c<a<b . 故选：C.5. 党的二十大报告提出全面推进乡村振兴．为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台专营店购物人数y （单位：万人）的数据如下表：日期 2月1日2月2日2月3日2月4日2月5日第x 天 1 2 3 4 5 人数y （单位：万人）75849398100依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数x 与到该电商平台专营店购物的人数y （单位：万人）具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数y 与直播天数x 的线性回归方程为 6.4ˆyx a =+．请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（ ） A. 312 B. 313C. 314D. 315【答案】C 【解析】【分析】根据回归直线过样本中心，建立方程，可得参数，即可得答案. 【详解】由题意，1234535x ++++==，75849398100905y ++++==，将()3,90代入 6.4y x a =+，可得90 6.43a =⨯+，解得70.8a =，线性回归直线方程为 6.470.8y x =+，将38x =代入上式， 6.43870.8314y =⨯+=. 故选：C.6. 已知函数23()log 1f x x x =-+，则不等式()0f x >的解集是（ ） A. (1,2)-B. (0,2)C. (2,)+∞D. (,1)(1,2)-∞--【答案】C 【解析】【分析】求出函数的定义域，判断出函数在定义域上为单调递增函数，求出函数的零点，即可得答案. 【详解】解：由题意可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 因为2log y x =与31y x =-+在(0,)+∞均为单调递增函数， 所以23()log 1f x x x =-+在(0,)+∞为单调递增函数， 因为23(2)log 110212f =-=-=+， 所以()0f x >的解集为(2,)+∞. 故选：C.7. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为9cm ，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（ ）( 2.45, 3.14π≈≈)A. 320cmB. 322cmC. 326cmD. 330cm【答案】C 【解析】【分析】易知，当球体与正四面体内切时，球体（蛋黄）的体积最大，用等体积法即可求得.【详解】如图，正四面体ABCD ，其内切球O 与底面ABC 切于O 1，设正四面体棱长为a ，内切球半径为r ，连接BO 1交AC 于F ，易知O 1为ABC 的中心，点F 为边AC 的中点.易得：BF =，则2ABC S a =△，123BO BF ==，∴1DO ==，∴3113D ABC ABC V S DO -=⋅⋅= ，∵221443D ABC O ABC O BCD O ABD O ACD O ABC V V V V V V r r ------=+++==⋅⋅=，23a r r =⇒=，∴球O 的体积3344279 2.45 3.1426338V ππ⎫⎫=⋅=⋅=≈⨯⨯≈⎪⎪⎪⎪⎭⎭. 故选：C.8. 已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，焦距为4，若过点1F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的左、右支分别交于A ，B 两点，2122ABF AF F S S =△△，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角形面积得到12AB AF =，将各个线段按比例表示出来，以此表示出A ，B 两点坐标，最后根据双曲线焦半径公式列式计算即可. 【详解】因为2121112222ABF AF F S S h AB h AF =⇒⋅=⋅⋅△△，解得12AB AF = 设1AF t =，22AF t a =+，13BF t =，232BF t a =-根据题意可知2,2t A ⎫-⎪⎪⎭，32,2t B ⎫-⎪⎪⎭设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，设00(,)P x y ，若P 点在双曲线的左支上，则双曲线的焦半径为：10PF ex a =--，20PF ex a =-+，由题意可得()1,0F c -，()2,0F c ，所以1PF =，2PF =根据2200221x y a b -=变形得2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1PF =====0cx a a=--0ex a =--故10PF ex a =--，同理可得20PF ex a =-+，同理可得，若P 点在双曲线的右支上，则双曲线的焦半径为：10PF ex a =+，20PF ex a =-，根据双曲线焦半径公式可得：12A AF ex a e a =--=-，22A AF ex a e a =-+=+；12BF e a =-++，22B BF ex a e a =-=-+-，114AF BF t +==，解得=e . 故选：C9. 将函数()2sin cos 2f x x x x =+的图象向右平移3π个单位，得到()g x 的图象，再将()g x 图象上的所有点的横坐标变成原来的12，得到()h x 的图象，则下列说法正确的个数是（ ） ①函数()h x 的最小正周期为2π； ②,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()h x 图象的一个对称中心； ③函数()h x 图象的一个对称轴方程为56x π=； ④函数()h x 在区间5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】先根据三角函数图象变换求得()h x ，然后由三角函数的最小正周期、对称中心、对称轴、单调性等知识确定正确选项.【详解】()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ()2sin 22sin 2333x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()2sin 43h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.①，()h x 的最小正周期为242T ππ==，①错误. ②，42sin 2sin 0333h ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ②正确. ③，5102sin 2sin 30633h ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，③错误. ④，55,,4,,4,242466322x x x πππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈-∈--∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以函数()h x 在区间5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，④正确.所以正确的一共有2个. 故选：B第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10. 若复数i1ia +-为纯虚数，则2i a +=___________.【解析】【分析】由复数除法法则化简后求得a ，再由复数模的定义求解． 【详解】i (i)(1i)1(1)i 11i 1i (1i)(1i)222a a a a a a +++-++-+===+--+纯虚数，则102a -=且102a +≠，∴1a =，2i 2i a +=+=为11. 二项式82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______（用数值表示）. 【答案】1120 【解析】【分析】先求出二项式82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项，然后令820r -=得4r =，即可求出常数项.【详解】因为二项式82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为8821882C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令820r -=，得4r =，故常数项为4458C 21120T ==. 故答案为：1120.12. 圆心在直线2x =-上，且与直线20x -=相切于点(-的圆的方程为______. 【答案】()2224x y ++= 【解析】【分析】设圆心为()2,C t -，记点(-为A ，由已知直线AC与直线20x -=垂直，由此可求t ，再求AC 可得圆的半径，由此可得圆的方程.【详解】记圆心为点C，点(-为点A ，因为圆心C 在直线2x =-上，故可设圆心C 的坐标为()2,t -， 因为圆C与直线20x -=相切于点(A -， 所以直线CA与直线20x -=垂直， 直线CA，直线20x -=的斜率为1⎛=- ⎝， 所以0=t ，所以圆心为()2,0C -， 圆的半径为2CA r ===，所以圆方程为()2224x y ++=. 故答案为：()2224x y ++=.的13. 接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自2021年1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗．截止到2021年5月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若5人去接种新冠疫苗，恰有3人接种同一种疫苗的概率为______． 【答案】4081【解析】【分析】计算出5人去接种新冠疫苗的不同结果数，以及恰有3人接种同一种疫苗的不同结果数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意，每位接种者等可能地从3种任选一种接种， 由分步乘法计算原理知，共有53243=不同的结果，恰有3人接种同一种疫苗，可先从5人中任选3人并成一组，有35C 种结果，这个小团体有3种疫苗可选，另外两人各有2种疫苗可选，故共有325C 32120⨯⨯=种， 故恰有三人接种同一种疫苗共有120种不同结果， 由古典概型概率计算公式得：1204024381P ==． 故答案为：4081. 14. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH 中，若(,R)AE AC AF λλμμ=+∈，则λμ+的值为________ ；若正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 八条边上的动点，则AP AB ⋅的最小值为______.【答案】 ①.②. -【解析】【分析】以点A 为坐标原点，分别以,AB AF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由AE AC AF λμ=+，列出方程组，求得,λμ，从而得到λμ+；设(,)P x y，则2x ≤≤2AP AB x ⋅= 即可求得AP AB ⋅的最小值.【详解】AF AB ⊥，以点A 为坐标原点，分别以,AB AF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，正八边形内角和为(82)1801080-⨯︒=︒，则110801358HAB ∠=⨯︒=︒，所以，(0,0),(2,0),(2(2,2(0,2(A B C E F H ++,(2,2(0,2(2AE AF AC =+=+=+,因为AE AC AF λμ=+，则(2,2(2(0,2λμ+=+++，所以2(22(2λμ⎧=+⎪⎨+=++⎪⎩，解得22λμ==，所以λμ+=设(,)P x y，则2x ≤≤+(,),(2,0)AP x y AB ==，则2AP AB x ⋅=≥-所以，当点P 在线段GH 上时，AP AB ⋅取最小值-.，-.15. 已知R a ∈，函数()211+10π()sin 2,022x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪+⎩，,当0x >时，函数()f x 的最大值是_____；若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是______． 【答案】 ①.12##0.5 ②. 1(1,2-【解析】【分析】第一空，根据分段函数解析式，对于0x > 时的解析式，利用均值不等式结合正弦函数性质即可求得最小值；第二空，把函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称转化为()(0)f x x < 的图象关于y 轴对称的函数图象与()(0)f x x >仅有两个交点的问题，数形结合，求得答案.【详解】当0x > 时，()11πsin222x x xf x --+=+，令111111()2222,2x x x x f x --+--=+=+≥，当11122x x --= ，即1x =时取等号，即当1x =时，1min ()2f x = ， 令22π()sin,()[1,1]2f x x f x =∴∈-， 又因为2max 2π()(1)sin12f x f ===, 则2max max 1min ()1()()2f x f x f x ==;因为()f x 图象仅有两对点关于y 轴对称，即(),(0)f x x < 的图象关于y 轴对称的函数图象与(),(0)f x x >图象仅有两个交点， 当0x < 时，2()(1)f x x a =++ ， 设其关于y 轴对称的函数为()g x ， ∴2()()(1),(0)g x f x x a x =-=-+>，∵()11πsin2,(0)22x x xf x x --+=>+， 由（1）可知近似图象如图所示：(0)0g =时，1a =-，当()g x 与()f x 仅有两个交点时，112a -<<， 综上，a 的取值范围是1(1,)2- ，故答案为：12；1(1,)2-．【点睛】本题考查了分段函数最值的求解以及参数的范围求解，涉及到三角函数以及均值不等式的知识，综合性较强，解答时要注意数形结合的思想方法,解答的关键是把函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称转化为()(0)f x x < 的图象关于y 轴对称的函数图象与()(0)f x x >仅有两个交点的问题.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 在非等腰ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且3a =，4c =，2C A =. （1）求cos A 的值； （2）求b 的值； （3）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）2cos 3A =； （2）73b =；（3）πcos 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)由正弦定理得34sin sin A C=，根据2C A =，解得cos A ． (2)由余弦定理222–2cos a b c bc A =+，建立方程 216–703b b +=，根据a bc ，，互不相等，求得b ．(3)由2cos 3A =，得sin A =，应用二倍角的三角函数求得sin 2,cos 2A A ，应用两角和差的三角函数求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭. 小问1详解】在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，3a =，4c =， 可得34sin sin A C=， 因为2C A =，所以34sin sin 2A A =，即34sin 2sin cos A A A=， 解得2cos 3A =． 【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理222–2cos a b c bc A =+， 得216–703b b +=，解得3b =或73b =． 由已知a bc ，，互不相等，所以 73b =． 【小问3详解】 因为2cos 3A =，所以sin A =所以sin 22sin cos A A A ==，21cos 22cos 19A A =-=-，所以πππ11cos 2cos 2cos sin 2sin 66692A A A ⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 17. 已知正三棱柱111ABC A B C -，底面边长为2，D 为AB 的中点.（1）证明：1CD A D ⊥；（2）求二面角1D A C A --的大小；（3）求直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；【（2）π4（3【解析】【分析】（1）由正三棱柱的性质可得1BB ⊥平面ABC ，再利用线面垂直的判定定理即可证明CD ⊥平面11ABB A ，即可得1CD A D ⊥；（2）以11A C 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面角的几何关系即可求得二面角1D A C A --的大小为π4；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA 与平面1ACD 【小问1详解】由111ABC A B C -为正三棱柱可知，1BB ⊥平面ABC ， 又CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥，由底面是边长为2的正三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥； 又1BB AB B ⋂=，1,BB AB ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A ； 又1A D ⊂平面11ABB A ，所以1CD A D ⊥； 【小问2详解】取线段11,A C AC 的中点分别为,O E ，连接1,OB OE ，易知11,,OB OE OC 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以11,,OC OE OB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如下图所示;，底面边长为2可得，()()()((111,0,0,,,,A C A B B --，由D 为AB 的中点可得12D ⎛- ⎝，所以()13,,0,2A C DC ⎛== ⎝u u u r u u u r ， 设平面1DAC 的一个法向量为(),,n x y z =，则120302n A C x n DC x z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，可得y z ==；即(1,n =r；易得(1OB =u u u r即为平面1A CA 的一个法向量，所以111cos ,n OB n OB n OB ⋅===r u u u rr u u u r r u u u r ，设二面角1D A C A --的平面角为θ，由图可知θ为锐角，所以1cos cos ,n OB θ==r u u u r ，即π4θ=；即二面角1D A C A --的大小为π4. 【小问3详解】由（2）可知()2,0,0CA =-u u r，平面1DAC的一个法向量为(1,n =r ，设直线CA 与平面1ACD 所成的角为α，所以sin cos ,n α=r u ， 即直线CA 与平面1ACD18. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =． ①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2【解析】【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 、c 方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C 的方程； （2）①分析可知直线PQ 不与y 轴垂直，设直线PQ 的方程为x ty n =+，可知2n ≠±，设点()11,P x y 、()22,Q x y .将直线PQ 的方程的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用1253k k =求出n 的值，即可得出直线PQ 所过定点的坐标；②写出12S S -关于t 的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得12S S -的最大值. 【小问1详解】解：当点P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值， 且最大值为112222AB b ab ab ⋅=⨯==，由题意可得2222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.【小问2详解】解：①设点()11,P x y 、()22,Q x y .若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则12k k =-，不合乎题意. 设直线PQ 的方程为x ty n =+，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ≠±，联立2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩可得()2224240t y tny n +++-=， ()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->，可得224n t <+，由韦达定理可得12224tn y y t +=-+，212244n y y t -=+，则()2121242n ty y y y n -=+， 的所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n yn -++-+-+--=⋅===-++++++++ ()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++，解得12n =-， 即直线PQ 的方程为12x ty =-，故直线PQ 过定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ②由韦达定理可得1224t y y t +=+，()1221541y y t =-+，所以，12121·2S S AM BM y y -=--=====，20t ≥≥因为函数()1fx x x =+在)+∞≥+=，所以，12S S -≤=0=t 时，等号成立， 因此，12S S -的最大值为【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明. 19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n =∈N ，数列{}n b 为等比数列，且21a+，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项．（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（2）若数列()()1322(1)11+⋅-=+-⋅--n nn n n n n c a b b b ，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）求证：()2131nii i b b =<-∑．【答案】（1）21n a n =-；2nn b =.（2）()212211432521n n n T n ++=-⨯++-（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意，由n a 与n S 的关系，即可得到数列{}n a 的通项公式，然后再由等比数列的通项公式得到数列{}n a 的通项公式；（2）根据题意，设n n a b 的前2n 项和为A ，()()1322(1)11n nn n b b +⋅--⋅--的前2n 项和为B ，分别求得,A B 即可得到结果.（3）由题意可得，()21211,22221222n n n n n n u n -=<<≥-⋅+-，然后再结合等比数列的求和公式，即可得到结果. 【小问1详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*n S n n =∈N ，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时也满足； 所以21n a n =-；又因为数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项， 所以223414,18b a b a =+==+=，则32824b q b ===，则2n n b =. 【小问2详解】由（1）可得，()()()()()11322322(1)212(1)112121n n nn nn n n n n n n c a b n b b ++⋅-⋅-=+-⋅=-⋅+-⋅----，令()1232123252412nA n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ①所以()234212123252412n A n +=⨯+⨯+⨯++-⨯ ②-②可得，()1232212222222412n n A n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯()()22212122222412342612n n n n n ++-⨯=+⨯--⨯=-⨯--所以()214326n A n +=-⨯+令()()()()11232,21,2121322,2,2121nn n n nn n n k k v n k k ++⎧-⋅=-∈⎪--⎪=⎨⋅-⎪=∈⎪--⎩Z Z ， 即1111,21,212111,2,2121n n n n n n k k v n k k ++⎧--=-∈⎪⎪--=⎨⎪+=∈⎪--⎩Z Z ，令1232n B v v v v =+++ ， 则22334221111111112121212121212121n n B +=--++--+++-------- 211121n +=-+-则()()()212121212114326143252121n n n n n T A B n n ++++=+=-⨯++-+=-⨯++--【小问3详解】设()2221nn n u =-，则()21211,22221222nn n n n n u n -=<<≥-⋅+-， 则()123122111112221ii nn n i b u u u u u b -==++++<++++-∑12111111112222*********n n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++=+=-< ⎪⎝⎭-20. 已知函数1()ln (0)f x x m mx =+>，12e ()x g x x-=， （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若10x ∀>，2(0,3)x ∃∈，使()()21eg x f x >成立，求m 的取值范围. （3）当2m =时，若关于x 的方程()f x k =有两个实数根1x ，2x ，且12x x <，求实数k 的取值范围，并且证明：121x x +>.【答案】（1）f （x ）在（0，1m ）上单调递减，在（1m，+∞）上单调递增；（2）（0，34e ）；（3）k ＞1﹣ln2，证明见解析. 【解析】【分析】（1）求导得()21mx f x mx-'=，分析()f x '的正负，进而可得f （x ）的单调性，即可得出答案． （2）求出f （x ）min ，令h （x ）＝()eg x ，求出h （x ）min ，只需f （x ）min ＞g （x ）min ，即可得出答案． （3）当m ＝2时，f （x ）＝ln x +12x，分析f （x ）的单调性，进而可得f （x ）min ，若f （x ）＝k 有两个实数根x 1，x 2，且0＜x 1＜12＜x 2，则k ＞1﹣ln2，且ln x 1+112x ＝k ①，ln x 2+212x ＝k ②，推出ln x 1＝ln x 2+212x ﹣112x ，f （x 1）﹣f （1﹣x 2）＝ln x 2+212x ﹣ln （1﹣x 2）﹣212(1)x -，令F （x ）＝ln x +12x﹣ln （1﹣x ）﹣12(1)x -，x ＞12，求导分析F （x ）的单调性，进而可得f （x 1）＜f （1﹣x 2），再结合f （x ）在（0，12）上单调递减，即可得出答案． 【详解】解：（1）221111()mx f x x m x mx-'=-⋅=， 令f ′（x ）＞0，得x ＞1m ， 令f ′（x ）＜0，得0＜x ＜1m， 所以f （x ）在（0，1m ）上单调递减，在（1m，+∞）上单调递增． （2）由（1）知，f （x ）min ＝f （1m）＝ln 111mm m +⋅＝1﹣ln m ， 令h （x ）＝()e g x ＝12ee x x -=＝22e x x -，x ∈（0，3）， h ′（x ）＝22242e e x x x x x --⋅-⋅＝23(2)e x x x--， 在x ∈（2，3）上，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， 在x ∈（0，2）上，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，所以h （x ）min ＝h （2）＝222e 2-＝14，所以1﹣ln m ＞14， 所以0＜m ＜34e ，所以m 的取值范围是（0，34e ）． （3）当m ＝2时，f （x ）＝ln x +12x， 由（1）可知f （x ）在（0，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增，f （x ）min ＝f （12）＝ln 121122+⨯＝1﹣ln2＞0， 若f （x ）＝k 有两个实数根x 1，x 2，且0＜x 1＜12＜x 2， 则k ＞1﹣ln2，所以ln x 1+112x ＝k ①，ln x 2+212x ＝k ②，得ln x 1+112x ＝ln x 2+212x ，所以ln x 1＝ln x 2+212x ﹣112x ，f （x 1）﹣f （1﹣x 2）＝ln x 1+112x ﹣ln （1﹣x 2）﹣212(1)x - ＝（ln x 2+212x ﹣112x ）+112x ﹣ln （1﹣x 2）﹣212(1)x - ＝ln x 2+212x ﹣ln （1﹣x 2）﹣212(1)x - 令F （x ）＝ln x +12x﹣ln （1﹣x ）﹣12(1)x -，x ＞12，22222211111(1)()212(1)(1)2(1)x x x x F x x x x x x x x x '-+-+=-+-=----- 22222211222(1)122(1)2(1)2(1)x x x x x x x x x x x x -+--+-=-=---＝2224412(1)x x x x -+--，因为x ＞12，所以﹣4x 2+4x ﹣1＜0，即F ′（x ）＜0， 所以F （x ）在（12，+∞）单调递减， 所以F （x ）＜F （12）＝1111ln ln(10112222(1)22+---=⨯⨯- 所以f （x 1）＜f （1﹣x 2）， 因为0＜x 1＜12＜x 2，所以﹣12＞﹣x 2，即1﹣12＞1﹣x 2， 所以0＜1﹣x 2＜12，因为f （x ）在（0，12）上单调递减， 所以x 1＞1﹣x 2， 所以x 1+x 2＞1，得证． 【点睛】关键点点睛：1.对于若10x ∀>，2(0,3)x ∃∈，使()()21e g x f x >成立，转化为()()min mine g xf x ⎡⎤>⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦是关键；2.对于双变量问题，我们要想办法找到两变量之间的关系，进而利用关系消元，达到转化为单变量问题；3.对于不等式的证明，可构造函数，利用用导数求函数最值来研究证明.。
天津市十二区县重点校2024届高三下学期第一次模拟考试 数学含答案
2024年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将答题卡交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；2．本卷共9小题，每小题共5分，共45分。
参考公式：·如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足()z 1-i =1+，则z =（）A ．1i-B ．1i+C ．22i-D ．22i+2．已知,a b ∈R ，则“b a >”是“22a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能为（）A ．()sin522x xx f x -=-B ．()cos522x xx f x -=+C ．()cos522x xx f x -=-D ．()sin522x xx f x -=-4．已知函数()1x f x x e =-，若0.61212,log 29a f b f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，134c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n N ==+∈，则5a =（）A ．6B ．9C ．11D ．146．下列说法正确的是（）A ．一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17；B ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到24.712χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验()0.05 3.841x =，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；C ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；D ．若随机变量,ξη满足32ηξ=-，则()()32D D ηξ=-．7．如图是函数()()sin 0,0,22f x K x K ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象，A 是图象的一个最高点，D 是图象与y 轴的交点，,B C 是图象与x 轴的交点，且()0,1,D ABC -△的面积等于2π，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；B ．函数()f x 的最小正周期为2π；C ．函数()f x 的图象可由()2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到；D ．函数()f x 的单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦。
天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考(一)数学试题
一、单选题二、多选题1. 从数学内部看，推动几何学发展的矛盾有很多，比如“直与曲的矛盾”，随着几何学的发展，人们逐渐探究曲与直的相互转化，比如：“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题．如图，在等腰直角三角形中，，，以为直径作半圆，再以为直径作半圆，那么可以探究月牙形面积（图中黑色阴影部分）与面积（图中灰色阴影部分）之间的关系，在这种关系下，若向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．2. 观察下列数的特点1，2，－1，3，－4，7，x ，18，－29，…，其中x 为（ ）A ．12B ．－12C ．11D ．－113. 已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．4.已知复数，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，则周长的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．106. 偶函数和奇函数的图象如图所示，若关于的方程，的实根个数分别为、，则A ．16B ．14C ．12D ．107.函数的定义域是（ ）A．B．C．D．8. 已知，且，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 某冷链运输研究机构对某地2021年冷链运输需求量（单位：吨）进行统计，得到如图所示的饼状图，其中乳制品的冷链运输需求量为108吨，则下列结论正确的是（ ）天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考(一)数学试题天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考(一)数学试题三、填空题四、解答题A ．乳制品在2021年冷链运输需求量中的占比为6%B ．水产品冷链运输需求量为504吨C ．蔬菜冷链运输需求量比乳制品冷链运输需求量多210吨D ．水果与肉制品冷链运输需求量之和为864吨10. 设，，为复数，且，下列命题中正确的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，则D ．若，则在复平面对应的点在一条直线上11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D ．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称12. 在正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，，，，则（ ）A ．当时，存在点F使得B．当时，三棱锥A -CEF 的体积为定值C．当时，存在点使得⊥平面AEF D ．当时，直线EF 与平面BCD所成角的正切值最大为13. 已知抛物线C 经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于2，请写出一个满足条件的C 的标准方程__________．14. 有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为______.15.若的展开式中的系数为7，则实数_________.16.如图所示，直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，，，，异面直线与所成角为45°.(1)求证：平面平面；(2)若点在上，当面积最小时，求三棱锥的体积.17. 已知函数，.(1)若，讨论函数的单调性；(2)证明：当时，函数的图象在函数的图象的下方.18. 如图所示，四棱锥，底面在以AC为直径的圆O上，PO⊥圆O，为等边三角形，，．(1)求证：平面PBD⊥平面PAB；(2)线段PB上是否存在一点M使得直线PA与平面AMC所成角的正弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由．19.在中，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.20. 已知，函数的表达式为．(1)求的定义域；(2)当时，求不等式的解集．21. 已知函数在区间上存在两个极值点，．(1)求实数a的取值范围；(2)若，求证：．。
天津市十二区县重点学校2022届高三下学期毕业班联考(一)数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.在等差数列中，，则此等差数列的前9项之和为（ ）A ．5B ．27C ．45D ．902.把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y ＝（ ）的图象A ．B ．C ．D ．3. 已知，是双曲线的左，右焦点，其半焦距为，点在双曲线上，与轴垂直，到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D ．24. 若复数满足，则（ ）A．B．C．D．5. 已知全集，则=A．B．C ．D ．6. 在梯形ABCD 中，，，，，则（ ）A．B．C．D．7. 在如图所示中，二次函数与指数函数的图象只可为A．B．C．D．8.设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ）A．B ．2C．D．9. 已知，且则下列结论一定正确的有（ ）A．B．C ．ab 有最大值4D．有最小值910. 在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝1，BD＝，三棱锥A －BCD 的所有顶点均在球O 的表面上，若点M 、N 分别为△BCD 与△ABD 的重心，直线MN 与球O 的表面相交于F 、G 两点，则（ ）A ．三棱锥A －BCD的外接球表面积为B ．点O 到线段MN的距离为C．D．11. 下列四个命题正确的是（ ）A ．方程一定表示圆天津市十二区县重点学校2022届高三下学期毕业班联考(一)数学试题 (2)天津市十二区县重点学校2022届高三下学期毕业班联考(一)数学试题 (2)三、填空题四、解答题B．两圆与公共弦所在的直线方程为C．圆上的点到直线的距离最大值为3D ．过点且横截距与纵截距的绝对值相等的直线有两条12.数列的前项为，已知，下列说法中正确的是（ ）A ．为等差数列B ．可能为等比数列C ．为等差数列或等比数列D．可能既不是等差数列也不是等比数列13.已知圆的圆心在直线，半径为，且与直线切于点，则圆的圆心坐标为______；半径______.14. 设集合A={x ∣log 2x<1}, B=, 则A =____________.15. 已知，则__________.16. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知．(1)求角A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，，且，求面积的最大值．17. 已知函数（为常数），函数．(1)若函数有两个零点，求实数的取值的范围；(2)当，设函数，若在上有零点，求的最小值．18.已知函数有两个极值点，，且．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．19. 手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户区间频数2040805010男性用户区间频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考公式：，其中0.100.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.82820. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，且的周长为，求的面积.21.已知双曲线的实轴长为2，直线为的一条渐近线．(1)求的方程；(2)若过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．。
2021年天津市十二区县联考第一次数学理科试卷及答案
2021年天津市十二区县联考第一次数学理科试卷及答案2021年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科试卷及参考答案本试卷分第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分后.考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！第ⅰ卷选择题(共40分后)1．答第ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第ⅰ卷每小题挑选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；例如须要改动，用橡皮擦整洁后，出马涂抹其他答案标号．答案无法答在试题卷上．参照公式：·如果事件a、b互斥，那么p(ab)=p(a)+p(b)∙柱体的体积公式v=sh.其中s表示柱体的底面积,h表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分后，满分40分后．在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.(2+i）=5,则z=1.设复数z满足(z+2i）a.3-2ib.3+2ic.2-3id.2+3i⎧x+y-1≤02.未知实数x,y满足用户约束条件⎧x-y-1≤0,则z=x+2y的最大值为a．-2b．-1c．1d．23.若按右侧算法流程图运转后，输入的结果就是,则输入的n的值6可以等同于a.4b.5c.6d.74.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该四棱锥的体积等于5.未知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y=2px(p>0)的焦点的距为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-1,-2)，则双曲线的焦距为6.数列{an}满足用户a=1n*a7.已知以下4个命题:①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题②若p：∀x∈r,x2-3x-2b是（a-1a>(b-1)b成立的充分不必要条件④若关于实数x的不等式-2x++3xa.1b.2c.3d.48．定义域为r的函数f(x)满足用户f(x+2)=2f(x)-2，当x∈(0.2]时，⎧x2-xx∈(0,1)≤f(x)≤3-t恒设立，则实数，若x∈(0,4]时，t-f(x)=⎧12x∈[1,2]⎧t的值域范围就是a.[1,2]b.⎧2,⎧c.⎧1,⎧d.[2,+∞)2021年天津市十二区县重点学校高三毕业班入学考试（一）第ⅱ卷非选择题(共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分后，共30分后.把答案填上在答题卡中的适当横线11.已知∆abc中,ab=1，sina+sinb=c，sinc，则cosc=_____.1612.如图,∆abc是圆o的内接三角形，pa是圆o的切线，a为切点，pb交ac于点e，交圆o于点d，若pe=pa，∠abc=60，且pd=2，bd=6，则ac＝______.13．在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线m的极坐标方程为)=1,曲线n的参数方程为x=4t2y=4t（t为参数）.若曲线m与n相交于a,b两点，则线段ab的长等于.14.未知o为∆abc的外心，ab=2a,ac=,∠b ac=120,若ao=xab+yac，则3x+6y的最小值为．9．100；10．-10；11．；12．6；13．8；14．6+3三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数f(x)=2cosxx+cosx)+2(ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；(ⅱ)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值．15．（本小题满分13分）解：（ⅰ）f(x)=2x+2cos2x+2……1分=2x+cos2x+3…………2分后=2sin(2x+)+3…………4分=π……………5分后∴f(x)的最轻正周期t=2ππ3ππ2π,k∈z得kπ+≤x≤kπ+,k∈z由2kπ+≤2x+≤2kπ+∴f(x)的单调递减区间为[kπ+（ⅱ）由x∈[0,],k∈z……………7分后3≤sin2x+⎧≤1………11分26⎧⎧所以2≤f(x)≤5………12分因此,f(x)的最大为5,最小值是2……13分数学分析二:f(x)在区间[0,]上单调递减;在区间[,]上单调递增………11分后又f(0)=4,f()=5,f()=2所以f(x)的最小为5,最小值就是2………13分后16．（本小题满分13分）某银行招录，设置了a、b、c三组测试题可供选聘人员挑选.现有五人出席招录，经分组同意甲、乙两人各自单一制出席a组与测试，丙独自出席b组与测试，丁、戊两人各自单一制出席c组与测试．若甲、乙两人各自通过a组与测试的概率均为为；丙通过b组测试的概率3；而c组共设6道测试题，每个人必须且就可以从中自由选择4题答题，至少答错3题者2就竞聘成功.但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.（ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.（ⅱ）记a、b两组通过测试的总人数为ξ，谋ξ的原产列于和希望.16.求解：（ⅰ）设立出席c组与测试的每个人选聘顺利为a事件，则c4+c4c21+83==…………3分后p(a)=4故丁、戊都竞聘成功的概率等于⨯=…………5分（ⅱ）ξ可行0，1，2，3，…………6分后p(ξ=0)=(1-)⨯(1-)=，2318211215p(ξ=1)=(2⨯⨯)⨯(1-)+(1-)2⨯=，[1**********]18p(ξ=2)=(2⨯⨯)⨯+()2⨯(1-)=，3323218214p(ξ=3)=()2⨯=，（每个结果各1分）…………10分故ξ的原产列入：…………11分所以e(ξ)=0⨯+1⨯+2⨯+3⨯=181818181817．（本小题满分13分）如图，三棱柱abc-a1中，aa1⊥面abc，bc⊥ac,bc=ac=2aa1=3，d为ac的中点.（ⅰ）求证：ab1//面bdc1；（ⅱ）谋二面角c1-bd-c的余弦值；（ⅲ）在两端棱aa1上与否存有点p，使cp⊥面bdc1？恳请证明你的结论.17.（本小题满分13分）数学分析一:（ⅰ）证明：依题可以创建例如图的空间直角坐标系c1-xyz， (1)分则c1（0，0，0），b（0，3，2），b1（0，0，2），c（0，3，0），a（2，3，0），d （1，3，0），………2分设n=(x1,y1,z1)就是面bdc1的一个法向量，则⎧⎧nc1b=0,⎧3y1+2z1=0,11⎧即⎧，取n=(1,-,).…………4分⎧⎧nc1d=0⎧x1+3y1=032又ab1=(-2,-3,2),所以ab1⋅m=-2+1+1=0,即ab1⊥m∵ab1⊄面bdc1，∴ab1//面bdc1．…………6分（ⅱ）易知c1c=(0,3,0)是面abc的一个法向量.…………7分cosn,c1c=nc1cn⨯c1c7.…………8分后2.…………9分后7∴二面角c1—bd—c的余弦值为（ⅲ）假设两端棱aa1上存有一点p使cp⊥面bdc1.设p（2，y，0）（0≤y≤3），则cp=(2,y-3,0)，…………10分⎧⎧cpc1b=0,⎧3(y-3)=0,⎧则，即⎧.…………11分cpcd=02+3(y-3)=0⎧⎧1⎧解之⎧y=∴方程组难解.…………12分后∴侧棱aa1上不存在点p，使cp⊥面bdc1.…………13分数学分析二:（ⅰ）证明：相连接b1c,与bc1平行于o，相连接od．∵bcc1b1是矩形，∴o是b1c的中点．…………1分又d是ac的中点，∴od//ab1．…………2分∵ab1⊄面bdc1，od⊂面bdc1，∴ab1//面bdc1．…………4分（ⅱ）解c1b=(0,3,2)，c1d=(1,3,0)，设n=(x1,y1,z1)就是面bdc1的一个法向量，则⎧⎧nc1b=0,⎧3y1+2z1=0,11⎧即⎧，取n=(1,-,).…………6分⎧⎧nc1d=0⎧x1+3y1=032易知c1c=(0,3,0)是面abc的一个法向量.…………7分cosn,c1c==-.…………8分后2.…………9分7∴二面角c1—bd—c的余弦值（ⅲ）假设侧棱aa1上存在一点p使得cp⊥面bdc1.设p（2，y，0）（0≤y≤3），则cp=(2,y-3,0)，…………10分后⎧⎧cpc1b=0,⎧3(y-3)=0,则⎧，即为⎧.…………11分后cpcd=0⎧⎧1⎧2+3(y-3)=0⎧y=3,⎧解之⎧y=∴方程组难解.…………12分后∴侧棱aa1上不存在点p，使cp⊥面bdc1.…………13分18．（本小题满分13分后）未知椭圆c:2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为a,b，(c,0)，直线l是椭圆c在点b处的切线.设点p是椭圆c上异于a，b的动点，直线ap与直线l的交点为d，且当|bd|=时，∆afd就是等腰三角形.（ⅰ）谋椭圆c的距心率；（ⅱ）设立椭圆c的长轴短等同于4，当点p运动时，试判断以bd为直径的圆与直线pf的边线关系，并予以证明．18．（本小题满分13分后）求解：（ⅰ）依题所述a(-a,0)、da,， (1)由|af|=|fd|，得，a+c=化简得a=2c∴e==，………3分a21故椭圆c的距心率就是………4分后（ⅱ）由（ⅰ）及椭圆c的长轴长等于4得，+=1，且a(-2,0),b(2,0),椭圆c的方程为43在点b处的切线方程为x=2.以bd为直径的圆与直线pf相切．……5分证明如下：由题意可设直线ap的方程为y=k(x+2)(k≠0).则点d坐标为(2,4k)，bd中点e的坐标为(2,2k)．⎧y=k(x+2),由⎧2得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0．…………………7分后216k2-12设点p的坐标为(x0,y0)，则-2x0=．12k6-8k2y=k(x+2)=所以x0=，．…………………9分003+4k23+4k2因为点f坐标为(1,0)，（1）当k=±时，点p的座标为(1,±)，直线pf的方程为x=1，点d的坐标为(2,±2).此时以bd为直径的圆(x-2)2+(y1)2=1与直线pf相（2）当k≠±1y04k时，直线pf的斜率kpf=.=22x0-11-4k4k1-4k2(x-1),即x-y-1=0．所以直线pf的方程为y=21-4k21+4k2|2-⨯2k-1|==|2k|………12分故点e至直线pfx-y-=0,(算法二:或直线pf的方程为1-4k21-4k2故点e到直线pf的距离d===2|k|…12分后)21+4k|1-4k2|又因为=2r=4k，故以bd为直径的圆与直线pf相切．综上得，当直线ap绕点a旋转时，以bd为直径的圆与直线pf切线．……13分后解法二:由（ⅰ）及椭圆c的长轴长等于4得，椭圆c的方程为+=1，且a(-2,0),b(2,0),在点b处的切线方程为x=2.以bd为直径的圆与直线pf相切．……5分+=1(y≠0)证明如下:设点p(x,y),则43(1)当x=1时,点点p的坐标为(1,±)，直线pf的方程为x=1，……6分点d的座标为(2,±2).此时以bd为直径的圆(x-2)2+(y1)2=1与直线pf二者(x+2),…8分x+2点的座标为(2,),bd中点e的座标为(2,),故|be|=||…9分后x+2x+2x+2直线pf的斜率为kpf=,x-1yx-1故直线pf的方程为y=(x-1),即x-y-1=0,………10分后x-12y|2-⨯-1|至直线pf的距离d==||=|be|………12分后x+2故以bd为直径的圆与直线pf相切．综上得，当直线ap绕点a旋转时，以bd为直径的圆与直线pf切线．………13分后(2)当x≠1时直线ap的方程为y=19．（本小题满分14分后）设立数列{bn}，{cn}，未知b1=3，c1=5，bn+1=（n∈n）．（ⅰ）设an=cn-bn,求数列{an}的通项公式；2（ⅱ）澄清：对任一n∈n，bn+cn为定值；cn+1=（ⅲ）设sn为数列{cn}的前n项和，若对任意n∈n，都有p⋅(sn-4n)∈[1,3]，求实数p的取值范围．19．（本小题满分14分后）求解：（ⅰ）所以bn+1=4+cncnb=+2，cn+1=n+2，222(bn-cn)=-(cn-bn),即an+1=-an，……………………2分222又a1=c1-b1=2≠0,故数列{an}就是首项为2，公比为-的等比数列，2cn+1-bn+1=所以an=2⋅-⎧．…………………………………………………4分(bn+cn)+4，2b+cn1-4=(bn+cn-8)，………………………………6分所以bn+1+cn+1-8=n 而b1+c1-8=0，所以由上述关系式关系可以得，当n∈n时，bn+cn-8=0恒设立，（ⅱ）解：bn+1+cn+1=即an+bn恒为定值8．……………………8分后⎧bn+cn=8,n-11⎧⎧⎧n-1（ⅲ）由（ⅰ）（ⅱ）知⎧⎧1⎧，所以cn=4+-⎧，…9分⎧2⎧⎧cn-bn=2⋅-⎧2⎧⎧1⎧⎧2⎧⎧所以sn=4n+=4n+⎧1--⎧⎧，……………10分13⎧⎧⎧⎧⎧2⎧⎧⎧1--⎧⎧2⎧2p⎧⎧1⎧⎧⋅⎧1--⎧⎧，所以p⋅(sn-4n)=3⎧⎧⎧2⎧⎧⎧2p⎧⎧1⎧⎧⋅⎧1--⎧⎧≤3，由p⋅(sn-4n)∈[1,3]得1≤3⎧⎧⎧2⎧⎧⎧因为1--⎧>0，所以⎧1⎧⎧1⎧1--⎧1--⎧⎧2⎧⎧2⎧当n为奇数时，随的增大而增大，且=0⎧1⎧⎧1⎧⎧1⎧1--⎧1+⎧1--⎧⎧2⎧⎧2⎧⎧2⎧111当n为偶数时，随的增大而减小，且=>1，nnnn⎧1⎧⎧1⎧⎧1⎧1--⎧1-⎧1--⎧⎧2⎧⎧2⎧⎧2⎧所以，的最大值为，的最小值为2．……………13分nn3⎧1⎧⎧1⎧1--⎧1--⎧⎧2⎧⎧2⎧，………………11分后1⎧1⎧1--⎧⎧2⎧3⎧1⎧1--⎧⎧2⎧42p≤≤2，解得2≤p≤3．33所以，所求实数p的值域范围就是[2,3]．……………………………………14分后20．（本小题满分14分）已知函数f(x)=x2-ax(a≠0)，g(x)=lnx，f(x)图象与x轴异于原点的交点m处的切线与直线x-y+1=0平行.(ⅰ)求函数t(x)=xf(x)的单调区间；(ⅱ)未知实数t∈r，求函数y=f[xg(x)+t],x∈[1,e]的最小值；(ⅲ）令f(x)=g(x)+g'(x)，给定x1,x2∈(1,+∞),x1α,β，存有实数m满足用户：α=mx1+(1-m)x2，β=(1-m)x1+mx2，并且使不等式|f(α)-f(β)|20.（本小题满分14分）(ⅰ)求解:点m(a,0)，f'(x)=2x-a，由题意只须f'(a)=1，故a=1，……1分后∴f(x)=x2-x,t(x)=x-x，t'(x)=3x-2x=3x(x-)……………2分令t'(x)>0，得t(x)的减区间就是(-∞,0),(,+∞)；………………3分令t'(x)(ⅱ)解法一：令u=h(x)=xg(x)+t，（x∈[1,e]），则h'(x)=(xlnx+t)'=lnx+1>0，…………………………5分后∴h(x)在[1,e]单调递增，故当x∈[1,e]时，t≤u≤e+t……………6分因为f(x)=x(x-1)在(-∞,0.5)上单调递减，在(0.5,+∞)上单调递增，故可分以下种情形讨论（1）当e+t≤0.5即t≤0.5-e时f(u)在[t,e+t]上单减至，所以f(u)的最小值是f(e+t)=(e+t)2-(e+t)………………7分（3）当t≥0.5时f(u)在[t,e+t]上单减，所以f(u)的最小值是f(t)=t2-t………9分数学分析二：y=f[xg(x)+t]=[xlnx+t]2-(xlnx+t)=(xlnx)2+(2t-1)(xlnx)+t2-t…5分令u=xlnx，在x∈[1,e]时，u'=lnx+1>0，∴u=xlnx在[1,e]单调递增，0≤u≤e,……………6分y=u2+(2t-1)u+t2-t图象的对称轴u=①当u=1-2t，抛物线开口向上21-2t1≤0即t≥时，ymin=y|u=0=t2-t……………7分后221-2t1-2e≥e即t≤②当u=时，ymin=y|u=e=e2+(2t-1)e+t2-t………8分221-2t1-2e11-2t21-2t21ymin=y|1-2t=()+(2t-1)+t-t=-……………9分u=2242（ⅲ）f(x)=g(x)+g'(x)=lnx+1,f'(x)=1-1=x-1≥0得x≥1所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增……………………10分≥f（1）>0,注意到1①当m∈(0,1)时，有α=mx1+(1-m)x2>mx1+(1-m)x1=x1，α=mx1+(1-m)x2得α∈(x1,x2)，同理β∈(x1,x2)，…………………11分∴由f(x)的单调性知0从而有|f(α)-f(β)|β=(1-m)x1+mx2≤(1-m)x1+mx1=x1，由f(x)的单调性知0∴|f(α)-f(β)|≥|f(x1)-f(x2)|，与题设相符………………13分后③当m≥1时，同理可得α≤x1,β≥x2，得|f(α)-f(β)|≥|f(x1)-f(x2)|，与题设相符.∴综合①、②、③得m∈(0,1)………………14分说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.。
(定稿)2024年天津市十二区重点学校高三毕业班联考(一)答案
2024年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学参考答案一、选择题:每小题5分，满分45分10. }1{- 11. 189- 12. 72 13.51；32 14. b a 3431+ ；3134- 15. ）（），322,22322(----- 三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分14分） 解析：（I ）由正弦定理得：(2sin )cos cos A C B B C =，…………1分显然则， …………3分又，故； …………4分∴由余弦定理可得，整理可得2233a b a -+=， …………5分又2a b +=，解得1a b ==， …………6分 ∴； …………8分（III ）由正弦定理得：，则1sin A ， …………9分∵b =，即，则B A >，故A 为锐角，∴cos A，…………10分∴，…………11分，…………12分∴. …………14分（17）（本小题满分15分）解析（I）【方法1】在三棱柱111ABC A B C-中，连接11AB A B E=，连接DE，由1//AC C P，D是棱1CC的中点，得D是AP的中点，由11ABB A为平行四边形，得E为线段1AB中点，于是1//DE PB，而DE⊂平面1BDA，1PB⊄平面1BDA，所以1//PB平面1BDA.【方法2】在三棱柱111ABC A B C-中，1A A⊥平面ABC，90BAC∠=︒，则直线11111,,A B AC A A两两垂直，以点1A为原点，直线11111,,A B AC A A分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，…………1分由21===AAACAB，得），（0,01A，），（0,021B，），（2,02B，），（1,2D，），（2,0A，），（2,2C，），（2,11M，），（0,4P…………2分设平面1BDA的法向量(,,)n x y z=，则），2,02(1=BA，），1,20(1=DA则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅22211zyDAmzxBAn，令1=y，得），（2,12-=n，…………4分），（0,421-=PB 因为004221=+-⨯=⋅n PB ，所以n PB ⊥1 又因为⊄1PB 平面1BDA ，所以1//PB 平面1BDA . …………5分 （II ）由（I ）平面1BDA 的法向量），（2,12-=n ，又），2,31(--=MP ， 则52145314|432||||||cos |=⨯++-==><n MP n MP n MP ，…………9分所以直线MP 与平面1BDA 所成角的正弦值为52145 …………10分 （III ）设平面1MPB 的一个法向量）（z y x m ,,=，），1,11(1-=M B ，），0,42(1-=P B ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=++-=⋅0420211y x P B m z y x M B m 令1=z ，的），（1,24=m 设平面1MPB 与平面1BDA 夹角为θ，则63218321|228||||||cos |cos =⨯-+==><=n m n m n m ，θ， …………13分所以平面1MPB 与平面1BDA 夹角的余弦值63218. …………15分 （18）（本小题满分15分）解（I ）：设椭圆的半焦距c ，由题意知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+222223221431c b a b c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ， 椭圆的方程1422=+y x …………5分（II ）分析得B A ,两点关于x 轴对称，由题意直线PA 斜率k 存在且不为0，并且纵截距不为0设直线()，，：00≠≠+=m k m kx y PA …………6分⎪⎭⎫⎝⎛-0,k m M …………7分 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1422，化简得()044841222=-+++m kmx x k ， …………8分 设()()2211,,,y x P y x A ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∆+-=⋅+-=+041444182221221k m x x k km x x ， …………10分 直线(),212122x x x x y y y y BP --+=-： …………11分,0=y 令()()()()12122112212212221212.y y y x y x y y x y y y x x x y y y x x x N ++=+++--=+-+-=()()()()mx x k x x m x kx m kx m kx m kx x m kx x 22212121121221++++=++++++=m k m k km k k km m k m k 42418418414422222-=+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=…………14分所以44=-⋅-=⋅kmm k ON OM . …………15分（19）（本小题满分15分） 解析：（I ）1213++=n n n a a ,1=n 令3213=a a 则92=∴a ，,2=n 令5323=a a 则273=∴a ； …………2分由1213++=n n n a a ①，∴当2n ≥时，1213--=n n n a a ②，由÷①②得，当2n ≥时，119n n a a +-=， …………3分 所以数列{}()*2N n a n ∈和数列{}()*21N n a n -∈是等比数列．因为,31=a 1213++=n n n a a ，所以,92=a所以12112393---=⋅=n n n a ，n n n a 212399=⋅=-，因此n n a 3=，从而()1322nn a n a -=>≥，所以数列{}n a 是“G 型数列”． …………6分 （II ）（i ）因为数列{}n a 的各项均为正整数，且{}n a 为“G 型数列”， 所以12n na a +>，所以12n n n a a a +>>，因此数列{}n a 递增．又1n nb a =+， 所以110n n n n b b a a ++-=->，因此{}n b 递增，所以公比1q >． 又{}n b 不是“G 型数列”，所以存在*0n ∈N ，使得0012n n b b +≤，所以2q ≤， …………8分又公比q 为正整数，所以2q =．又1112b a =+=，所以2nn b =，则12-=n n a ． …………10分（ii ）()()12121121212321232n n n n n nn n a a ++++=--=-⨯+>-⨯，因为()()21232422342n n n n n n n +-⨯=+->≥， 所以()142n n n a a n +>≥，所以）（24111≥<+n a a n n n ， …………13分令∑=+=nk k k n a a S 111， 当1n =时，113S =， 当2n ≥时，231223341111111113444n n n n S a a a a a a a a +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭21111111111154411331243121214n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-<+= ⎪⎝⎭- …………15分（其他答案酌情给分）（20）(本小题满分16分)解析：（I ）2)(x x e e x ch -+=，则2)('x x e e x ch --= …………1分所以2)2(22'--=e e ch 所以)(x ch y =在2=x 处的切线斜率为222--ee …………2分（II ）令x x a x e a x x G x sin 2cos )(2)1()(--+--=，则)sin 2)((cos 2sin )(2cos 2)1()('x e a x x x a x x e e a x x G x x x --=---++--= …………3分下面证明：对任意0>x ，0sin 2>-x e x 恒成立 先证明：对任意0>x ，ex e x >.证明如下：设()e e xn x x =-，则()e e xn x '=-，当(),1x ∈-∞时，()0n x '<，函数单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0n x '>，函数单调递增，故()()10n x n ≥=，故e e x x ≥， …………5分 继续证明：对任意0>x ，x x sin >.证明如下：令()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，因此()g x 在),0(+∞上单调递增；所以()()sin 00g x x x g =-≥=，故x x sin > …………7分 当0a ≤时，对()0,x ∀∈+∞，都有0)('>x G ，函数)(x G 在()0,∞+上单调递增， 则013)0()(≥--=>a G x G ，解得31-≤a ； …………8分 当0a >时，对()0,x a ∀∈，都有0)('<x G ，对(),x a ∞∀∈+，都有0)('>x G ， 函数()F x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，则对()0,x a ∀∈，都有013)0()(<--=<a G x G 成立，不符合题意，舍去. 综上所述，实数a 的取值范围是31-≤a . …………9分 （III ）（ⅰ）2)(xx e e x sh --=，令x e e x x sh x F x x --=-=-2)()(，则012)('>-+=-x x e e x F 所以)(x F 在),0(+∞上单调递增，所以00)0()0()()(=-=>-=sh F x x sh x F 所以当0>x 时，x x sh >)(成立； …………10分 （ⅱ）下面证明：当0>x 时，21cos 12x x ≥-成立， 令2211cos )(x x x H +-=，则x x x H +-=sin )(' 由（II ）解答过程，对任意0>x ，x x sin >成立，所以0sin )('>+-=x x x H 所以)(x H 在),0(+∞上单调递增，所以0211cos )(2>+-=x x x H 所以当0>x 时，21cos 12x x ≥-成立 …………11分 令1x n =，1n ≥且*N n ∈，可得211cos 12n n>-， 即222112211cos111124412121n n n n n n ⎛⎫>-=->-=-- ⎪--+⎝⎭， 由题意)()(2)2(x ch x sh x sh ⋅=， 令1x n =，1n ≥且*N n ∈，可得)1()1(2)2(nch n sh n sh ⋅=， 因为12)(>+=-xx e e x ch 所以)1(2)1()1(2)2(n sh n ch n sh n sh >⋅= …………12分由①当0>x 时，x x sh >)(，所以令1x n =，1n ≥且*N n ∈，可得nn sh 1)1(>所以nn sh n ch n sh n sh 2)1(2)1()1(2)2(>>⋅= …………13分 由（II ）解答过程，对任意0>x ，x x sin >成立令1x n =，1n ≥且*N n ∈，可得)1sin(1n n > …………14分 所以）nn n n n sh n ch n sh n sh 1tan()1cos(2)1sin(22)1(2)1()1(2)2(⋅=>>>⋅=又1n ≥且*N n ∈，所以101n<≤，所以)121121(1[2)1cos(2)1tan()2(+--->>n n n nn sh …………15分所以可得)121`121(1)5131(1)311(1[21tan )2(31tan )32(21tan )22(1tan )2(+---++--+-->++++n n n n sh sh sh sh 124212222+-=++-=n nn n n即可得12421tan )2(31tan )32(21tan )22(1tan )2(+->++++n n n nn sh sh sh sh ,(*N n ∈). …………16分。
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2014年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合N M x N x y y M x则},44|{)},1lg(|{2<=+==等于 （ ） A ．[)+∞,0B ．[)1,0C ．()+∞,1D ．(]1,02. 已知y ,x 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-305x y x y x ，则y x z 42+=的最小值是( )A.－6B.5C.38D.－103. 二项式612⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中的常数项是( )A ．15B ．60C ．120D ．2404. 对于实数a 和b ，定义运算b a *，运算原理如右图所示，则式子2221e ln *-⎪⎭⎫⎝⎛的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．23 5. 在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===，则⎪⎭⎫ ⎝⎛π-4A tan 的值为（ ）A ．31B ．43C ．31-D ．36. 线段AB 是圆10221=+y x C ：的一条直径，离心率为5的双曲线2C 以,A B 为焦点．若P是圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则PB PA +的值为（ ）A. 152C.7. 已知实数n ,m ，若100=+≥≥n m ,n ,m 且，则1222+++n n m m 的最小值为( ) A.41B. 154 C.81D.31 8. 函数[]11,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则下列说法中正确命题的个数是（ ）①函数()ln(1)y f x x =-+有3个零点；②若0x >时，函数()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ③函数()f x 的极大值中一定存在最小值；④()()()N k ,k x f x f k∈+⋅=22，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立．A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.设i 是虚数单位,复数ii21+= ． 10. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为 .11. 直线()为参数m m y mx ⎩⎨⎧=λ+=1被抛物线()为参数t t x ty ⎪⎩⎪⎨⎧==241 所截得的弦长为4，则=λ.12.在ABC ∆中，060=∠A ,A ∠的平分线交BC 于D ,若3=AB ，且)R (∈μμ+=31,则13. 如图所示,已知PA 与⊙O 相切,为切点,过点的割线交圆于C B 、两点,弦AP CD //,BC AD 、相交于点E ,F 为CE 上一点,且EDF P ∠=∠,若2:3:=BE CE , 2,3==EF DE ,则PA =___________.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()2132++=x cos x cos x sin x f .(Ⅰ)求()x f 的最小正周期，并求出当[,]62x ππ∈时，函数)(x f 的值域； (Ⅱ)当[,]62x ππ∈时，若8()5=f x , 求()12f x π-的值. 16．（本小题满分13分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：(Ⅰ)估计这60名乘客中候车时间少于分钟的人数；(Ⅱ)现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；(Ⅲ)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X 个组，求X 的分布列及数学期望.17．（本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且EF AB ∥，BE CD ∥，2AB BE ==，1BC CD EF ===.（Ⅰ）若点G 在线段AB 上，且3B G G A =，求证：ADF 平面∥CG ；（Ⅱ）求直线DE 与平面A DF 所成的角的正弦值； （Ⅲ）求锐二面角A DF B --的余弦值.18．（本小题满分13分）设()xx f +=121，若()()[]()(),f f a ,x f f x f n n n n n 201011+-==+其中*N n ∈．（Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：{}n a 为等比数列，并求其通项公式； （Ⅲ）若.n n nn Q ,na a a a T n n n9363642322223212+++=+++= 其中*N n ∈，试比较n2T 与n Q 的大小，并说明理由．19．（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by a x :C (0>>b a )的离心率为22，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为28. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形BCD A 的顶点在椭圆C 上，且对角线BD AC ,均过坐标原点O ，若21-=⋅BD AC k k .(i) 求⋅的范围；(ii) 求四边形BCD A 的面积.20．（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行. (Ⅰ)求(2)f 的值；(Ⅱ)已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.2014年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分. 9．i 5152+；10．π2 ； 11．0； 12 13．4315； 14．()+∞,1 三、解答题15.解：（1）1cos 21()sin 22221sin 2cos 2122sin(2)16+=++=++=++x f x x x x x ππ=π=22T………4分 由26ππ≤≤x ，得67622πππ≤+≤x ………5分 1)62sin(21≤+≤-∴πx………6分 26ππ≤≤∴x 时，函数)(x f 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦………7分(2)83()sin(2)1,sin(2)6565=++=+=f x x x ππ则67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得； 所以4cos(2),65x π+=- ………9分1212+=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-x sin x f………10分=1662+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π+x sin ………11分=571033+………13分...........2分 ...........3分 ...........8分16.解：(Ⅰ)候车时间少于10分钟的人数为 3610510160=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯人； ………3分 (Ⅱ)设“至少有一人来自第二组为事件A ”()1211131035=-=C C A P…………7分(Ⅲ)X 的可能值为1，2，3()1201113103335=+==C C C X P ()1207122310152313252325=++⨯+==C C C C C )C C (X P ()120382331013151513=++⨯==C C C C C X P …………10分 所以X 的分布列为…………11分 408912026712038371211==⨯+⨯+=EX…………13分17．解：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE =. ∵AH HF =∴ 12GH MF ……………………………………………1分 又∵1,2CD BE BE MF∴CD GH∴四边形CDHG 是平行四边形 ∴CGDH ……………………………………………………2分又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面 ∴CG平面ADF ……………………………………………4分（Ⅱ）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=- ……………………………………6分设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简，得32x y z y =⎧⎨=⎩ 令1y =，得(3,1,2)n = ……………8分 设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ，则有7sin n DE n DEθ⋅==⋅. ………………………9分 所以直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为77. (Ⅲ)由已知平面A DF 的法向量1n (3,1,2),BF (0,2,1)== 设平面BDF 的一个法向量2n (x,y,z),BD (1,1,0)==22n BF 02y z 0x y 0n BD 0⎧=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+==⎩⎪⎩ z 2y,x y ∴=-=-令y 1,=-则2n (1,1,2)=-……………………………………………………11分设锐二面角B DF A --的平面角为θ则121212n n cos |cos n ,n |||7|n ||n |146θ=<>===………………………12分所以锐二面角B DF A --………………………13分 18.解：(Ⅰ).)(f )(f a ,)(f 412010201111=+-==…2分（Ⅱ）)(f )](f [f )(f n n n 0120011+==+.a )(f )(f )(f )(f )(f )(f a n n n n n n n n 21201021024012010111-=+-⋅-=+-=+-=+++...3分∴}a {n 是首项为41，公比为21-的等比数列． …4分 ∴}a {n 的通项公式是.*N n .)21(41a 1n n ∈-⋅=-…5分（Ⅲ）,na a )n (a a a T n n n 212321221232+-++++=-.na a )n (a a T n n n 2232212221--+++=-…6分两式相减得.na a a a a T n n n 22321223+++++=∴122221412112114123--⋅⋅++--=n n n )(n ])([T1222142116161--⋅+--=n n )(n )(…7分 ∴).n (T n n 22213191+-=…8分,)n ()n (n Q n 212914++=]21)1n 2(1[91n 3291n 3)1n 2(91n 3Q T n 22n 22n n2-++=⋅+-+⋅+=-.)1n 2(2)1n 2(291n 32n 22n 2++-⋅+= …9分.*N n ∈ ∴只要比较n 22与212)n (+大小． 当n ＝１时，.05)1n 2(22n 2<-=+-即.Q T 12< …10分 当n ＝2时，.07)1n 2(22n 2<-=+-即.Q T 24<…11分当，3n 时≥.)1n 2()n n 1(]2)1n (n n 1[)C C C (])11[(22222n n 1n 0n 2n n 2+=++≥-++>+++=+<n n 2Q T >∴故n ＝1或2时，3n ,Q T n n 2≥<时，n n 2Q T >．（结论不写不扣分）…13分19.解：（I ）由已知，22228222122a b c ,b a ,a c =+=⋅⋅= …………2分于是8222===a ,b ,c…………3分 所以椭圆的方程为14822=+y x …………4分（II ）当直线AB 的斜率不存在时，2OA OB ⋅=，所以⋅的最大值为2. ……5分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，设),(),,(2211y x B y x A联立⎩⎨⎧=++=8222y x m kx y ，得0824)21(222=-+++m kmx x k …………6分()2222244(12)(28)8840km k m k m ∆=-+-=-+>（）…………7分⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+22212212182214k m x x k km x x ∵21-=⋅=⋅BDAC oB oA k k k k 212121-=∴x x y y 2222212121421822121k m k m x x y y +--=+-⋅⋅-=-=∴…………8分2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==222222142182m kkm km k m k ++-++-222812m k k -=+ 22222218214kk m k m +-=+--∴2228)4(k m m -=--∴ 2242k m ∴+= …………9分 2121y y x x +=⋅2222222222844424421212121212m m m k k k k k k ---+-=-===-+++++……10分 2242OA OB ∴-=-≤⋅<因此，[]22,-∈⋅…………11分另解：设直线AB 方程：kx y =，CD 方程：x ky 21-= 分别求出B 、A 的坐标 (2)分情况讨论， k >0时，分析B 、A 所在的象限，求范围 …………占3分 同理0<k 时 …………占1分 结论 …………占1分 (ii)设原点到直线AB 的距离为d ，则22442)4(16642||218242142||4)(2||1||||121||212222222222212212122=+-=--=+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=+⋅-⋅+=⋅=∆m k mm m k m k m k km m x x x x m k m x x k d AB S AOB 13分284==∴∆AOB ABCD S S 四边形.…………14分20. 解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =， …………………2分 ∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= ………………3分 （2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-………4分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ …………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ……………6分②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- …………7分 ③当1202t e -<<即12122e t -<<时，22min 12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- ……………8分 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增……………………………………9分 ∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=， 得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………10分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β< 从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………11分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=， 由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ………………12分 ③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥， 得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. ……………………13分 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ …………………14分。