1.3等比数列的性质 第2课时教案(北师大版必修五)

第2课时 等比数列的性质
知能目标解读
1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.
2.理解等比数列的性质及应用.
3.掌握等比数列的性质并能综合运用.
重点难点点拨
重点：等比数列性质的运用.
难点：等比数列与等差数列的综合应用.
学习方法指导
1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.
2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列{a n }中依次取出的数为a k ,a k +m ,a k +2m ,a k +3m ,…,则k m
k a a 2+=m k m k a a ++2=m
k m k a a 23++=…=q m (q 为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列.
3.如果数列{a n }是等比数列，公比为q,c 是不等于零的常数，那么数列{ca n }仍是等比数列，且公比仍为q ;{|a n |}|q |.我们可以设数列{a n }的公比为q ,且满足n n a a 1+=q ,则n n ca ca 1+=n
n a a 1+=q ,所以数列{ca n }仍是等比数列，公比为q .同理，可证{|a n |}也是等比数列，公比为|q |.
4.在等比数列{a n }中，若m+n=t+s 且m,n,t,s ∈N +则a m a n =a t a s .理由如下：因为a m a n =a 1q m-1·a 1q n-1 =a 21q m+n-2,a t a s =a 1q t-1·a 1q s-1=a 21q t+s-2,又因为m+n=t+s ,所以m+n -2=t+s -2,所以a m a n =a t a s .从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积.
5.若{a n }，{b n }均为等比数列，公比分别为q 1,q 2,则
（1）{a n b n }仍为等比数列，且公比为q 1q 2. (2) {n
n b a }仍为等比数列，且公比为21q q . 理由如下：（1）n
n n n b a b a 11++=q 1q 2,所以{a n b n }仍为等比数列，且公比为q 1q 2;(2) n n n n b a b a 11
++·n n a b =21q q , 所以｛n n b a }仍为等比数列，且公比为2
1q q .
知能自主梳理
1.等比数列的项与序号的关系
（1）两项关系
通项公式的推广：
a n =a m · (m 、n ∈N +).
(2)多项关系
项的运算性质
若m+n=p+q (m 、n 、p 、q ∈N +)，
则a m ·a n = .
特别地，若m+n =2p (m 、n 、p ∈N +），
则a m ·a n ＝ .
2.等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的平方），即 a 1·a n ＝a 2·
=a k · =a 2
1 n
2 (n 为正奇数). ［答案］ 1.q n-m a p ·a q a 2p
2.a n-1 a n-k+1 思路方法技巧
命题方向 运用等比数列性质a n =a m ·q n-m (m 、n ∈N +)解题
［例1］ 在等比数列{a n }中，若a 2=2,a 6=162,求a 10.
［分析］ 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q ,再求a 10.
［解析］ 解法一：设公比为q ,由题意得
a 1q =2 a 1=32 a 1=-3
2 ，解得 ，或 .
a 1q 5=162 q =3 q =-3
∴a 10=a 1q 9=32×39=13122或a 10=a 1q 9=-3
2×（-3）9=13122. 解法二：∵a 6=a 2q 4,
∴q 4=26a a =2
162=81, ∴a 10=a 6q 4=162×81=13122.
解法三：在等比数列中，由a 26=a 2·a 10得
a 10=2
26a a =21622=13122. ［说明］ 比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.
变式应用1 已知数列{a n }是各项为正的等比数列，且q ≠1,试比较a 1+a 8与a 4+a 5的大小. ［解析］ 解法一：由已知条件a 1>0,q >0，且q ≠1,这时
(a 1+a 8)-(a 4+a 5)=a 1(1+q 7-q 3-q 4)=a 1(1-q 3)·（1-q 4）
=a 1(1-q ) 2(1+q+q 2)(1+q+q 2+q 3)>0,。