(3)一次函数
一次函数(3) 课件 2022-2023学年人教版八年级数学下册
新知探究
解：∵ A 点坐标为(3, 0)，则OA=3
∵S△A0B==6
∴OB=4
① 当B点在 y 轴正半轴时，坐标为(0, 4)
∴ b=4 将 A (3, 0) 代入y=kx+4 得：0=3k+4
解得Βιβλιοθήκη 因此新知探究当B点在 y 轴负半轴时，坐
标为(0, -4)
则 b=-4
b 4
将 A (3, 0) 代入y=kx-4, 得：0=3k-4
分析：求一次函数y=kx+b的解析式，关键是求出k，b的值，从已知条 件可以列出关于k，b的二元一次方程组，并求出k，b
因为点(3, 5) 与点 (-4, -9)在函数图象上，则 这两点的坐标一定适合解析式
新知探究
例1 已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个 一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 一设 把点(3，5)与(-4，-9)分别代入，得：
新知探究
（2）设购买量为 x kg，付款金额为 y 元. 当 0≤x≤2 时，y=5x.
当 x＞2时，y=4（x-2） +函1数0=图4象x+如2图. 所示.
y 与 x 的函数解析式也可以合起来 表示为
新知练习 3. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始 4min 内只进水不出 水，在随后的 8min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个 常数，容器内的水量 y（单位：L）与时间 x（单位：min）之间的关系 如图所示.
解方程组得
这个一次函数解析式为
新知探究
2. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y=2x平行，且过点(2, -1)，求这个一次函数的解析式.
一次函数讲解
一次函数讲解一次函数是初中数学中最基础、最简单的函数之一。
它是一种线性函数，由一个常数和一个一次项组成。
在本文中，我们将深入探讨一次函数的定义、图像、性质、应用以及解题技巧。
一、定义一次函数也称为线性函数，其定义为：f(x) = kx + b，其中k 和b分别是常数，x是自变量，f(x)是因变量。
其中，k称为函数的斜率，b称为截距。
二、图像一次函数的图像是一条直线。
其中，斜率k表示这条直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为0表示直线水平。
截距b表示直线与y轴的交点。
三、性质1.一次函数是一种线性函数，其图像是一条直线。
2.斜率k表示直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为0表示直线水平。
3.截距b表示直线与y轴的交点。
4.一次函数的自变量和因变量成正比例关系。
5.一次函数的定义域为实数集，值域为实数集。
四、应用1.物理学中，一次函数可以用来描述速度、加速度等物理量的变化规律。
2.经济学中，一次函数可以用来描述商品价格、销售量等经济变量的关系。
3.工程学中，一次函数可以用来描述电压、电流等工程量的变化规律。
4.统计学中，一次函数可以用来描述数据的线性趋势。
五、解题技巧1.求斜率k：斜率k可以通过两个点的纵坐标之差除以横坐标之差来求得。
2.求截距b：截距b可以通过直线与y轴的交点来求得。
3.求函数解析式：可以通过已知的两个点的坐标来求得函数解析式。
4.求函数值：可以直接代入自变量的值来求得函数值。
六、例题解析1.已知一次函数y = 2x + 3，求当x = 5时的函数值。
解：将x = 5代入函数中，得到y = 2 × 5 + 3 = 13。
因此，当x = 5时，函数值为13。
2.已知一次函数y = kx + 2，当x = 3时，y = 5；当x = 4时，y = 8。
求函数解析式。
解：根据已知条件，可以列出如下方程组：k × 3 + 2 = 5k × 4 + 2 = 8解得k = 1。
一次函数的知识点总结
一次函数的知识点总结一次函数（亦称为一元一次方程）是数学中的一种基础概念，被广泛应用于各个领域。
它是解决实际问题、建立模型的重要工具之一。
通过对一次函数的知识点的总结和理解，我们可以更好地掌握它的应用与运用。
一次函数的一般形式是y = ax + b，其中a和b是常数。
在这个式子中，x是自变量，y是因变量，a是斜率，b是截距。
通过这个式子，我们可以解读出函数的几个重要信息。
首先，斜率a决定了函数图像的倾斜程度。
当a为正数时，函数图像从左下向右上倾斜；当a为负数时，图像则从左上向右下倾斜。
斜率a的绝对值越大，图像的倾斜程度就越大；反之，绝对值越小，则倾斜越缓和。
其次，截距b代表了函数图像与y轴的交点，也是函数图像在x轴上的截距。
当b为正数时，图像在y轴上方与其相交；当b为负数时，则在y轴下方与其相交。
截距b的绝对值越大，函数图像与y轴的交点就越偏离原点。
在了解了一次函数的一般形式后，我们可以进一步深入研究它的性质和运用。
一次函数的性质之一是它的图像总是一条直线。
这是因为在一次函数中，x和y之间的关系是线性的，即y随着x的增加而按同样的比例增加或减少。
另一个重要的性质是一次函数的图像是无限延伸的。
无论我们选择什么样的x值，总能找到一个相应的y值来满足函数关系。
这也与实际问题的建模有关，我们可以根据函数的性质去逼近或预测实际数据。
一次函数在实际问题中的应用十分广泛。
例如，在经济学中，我们可以使用一次函数来建立供需关系模型，通过斜率和截距的分析，得出产品价格和销售数量之间的关系。
在物理学中，一次函数可以描述物体的匀速直线运动，通过斜率可以计算速度大小。
在工程学领域，一次函数可以用来描述材料的线性关系，通过截距可以计算起始值。
在解决实际问题时，我们可以利用一次函数的性质进行分析推理。
例如，如果我们知道函数的图像经过两个点，我们可以利用这两个点的坐标来确定函数的斜率和截距。
这个过程被称为解方程，可以通过代入、消元等方法进行。
初中数学一次函数的图象和性质
一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：若两个变量x,y存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b为常数)的形式，则称y是x的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）。
（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ，0）和（0，b）的一条直线。
（3）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、一次函数图象的性质：（1）图象在平面直角坐标系中的位置:（2）增减性：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。
4、求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种：一是由已知函数推导，如例题1；二是由实际问题列出两个未知数的方程，再转化为函数解析式，如例题4的第一问。
三是用待定系数法求函数解析式，如例2的第二小题、例7。
其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程，得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中。
二、例题举例：例1、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。
分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x 的关系。
解：∵y=2y1y1=3x+2,∴y=2(3x+2)=6x+4,即变量y与x的关系为：y=6x+4。
例2、解答下列题目（1）（甘肃省中考题）已知直线与y轴交于点A，那么点A的坐标是（）。
（A）（0，–3）（B）（C）（D）（0，3）（2）(杭州市中考题)已知正比例函数，当x=–3时，y=6．那么该正比例函数应为（）。
辅导讲义3(一次函数的图像及性质)
面积相等的两部分，那么b的值为
16.（2011湖北黄石）已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为
考点4用待定系数法求一次函数的解析式
[例4]（2011广东株洲）直线L过A、B两点，A（ ， ），B（ ， ），
则直线L的解析式为.
22.（桂林）如图，是一个正比例函数的图像，把该图像向左平移
一个单位长度，得到的函数图像的解析式为.
23.（天津）已知一次函数的图象过点 与 ，则该函数的图象与 轴交点的坐标为__________.
A．y=x+1B.y=x-1C.y=xD.y=x-2
19.把直线一次函数y=6x+1向下平移2个单位，再向右移动３个单位得到的图像解析式为________
20.（湖北黄石）将函数y＝－6x的图象 向上平移5个单位得直线 ，则直线 与坐标轴围成的三角形面积为.
21.直线L1经过点A（-3，1）、B（0，2），该直线向右平移3个单位得到直线L2，则直线L2的解析式为.
2.已知直线y＝2x＋8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______；
与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________.
3.一次函数 与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______；
与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________.
考点2一次函数y=kx+b(k 0)图像与性质
学员编号：年级：课时数：3课时
学员姓名：辅导科目：学科教师：
2020-2021【名校提分专用】中考数学系统复习 第三单元 函数 第10讲 第1课时 一次函数的图象与性质(8年真题
第10讲 一次函数第1课时 一次函数的图象与性质命题点1 一次函数的图象与性质1．(2011·河北T5·2分)一次函数y ＝6x ＋1的图象不经过(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2014·河北T6·2分)如图，直线l 经过第二、三、四象限，l 的解析式是y ＝(m －2)x ＋n ，则m 的取值范围在数轴上表示为(C)A BC D3．(2015·河北T14·2分)如图，直线l: y ＝－23x －3与直线y ＝a(a 为常数)的交点在第四象限，则a 可能在(D)A ．1＜a ＜2B ．－2＜a ＜0C ．－3≤a ≤－2D ．－10＜a ＜－44．(2016·河北T5·3分)若k ≠0，b ＜0，则y ＝kx ＋b 的图象可能是(B)A B C D命题点2 确定一次函数的解析式5．(2017·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy 中，A(0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E.点B ，E 关于x 轴对称，连接AB.(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式；(2)设面积的和S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值； (3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．解：(1)把y ＝0代入y ＝－38x －398，得x ＝－13.∴C(－13，0).1分把x ＝－5代入y ＝－38x －398，得y ＝－3.∴E(－5，－3).2分∵点B ，E 关于x 轴对称，∴B(－5，3)． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，－5k ＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝25，b ＝5.∴直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.5分(2)∵CD ＝8，DE ＝DB ＝3，OA ＝OD ＝5. ∴S △CDE ＝12×8×3＝12，S 四边形ABDO ＝12×(3＋5)×5＝20.∴S ＝32.8分(3)当x ＝－13时，y ＝25x ＋5＝－15≠0，∴点C 不在直线AB 上，即A ，B ，C 三点不共线．∴他的想法错在将△CDB 与四边形ABDO 拼接后看成了△AOC.10分6．(2018·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－12x ＋5的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1交于点C(m ，4)． (1)求m 的值及l 2的解析式； (2)求S △AOC －S △BOC 的值；(3)一次函数y ＝kx ＋1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值．解：(1)把C(m ，4)代入一次函数y ＝－12x ＋5，可得4＝－12m ＋5，解得m ＝2，∴C(2，4)．设l 2的解析式为y ＝ax ，则4＝2a ，解得a ＝2. ∴l 2的解析式为y ＝2x.(2)过点C 作CD ⊥AO 于点D ，CE ⊥BO 于点E ，则CD ＝4，CE ＝2，∵y ＝－12x ＋5的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，令x ＝0，则y ＝5，令y ＝0，则x ＝10，∴A(10，0)，B(0，5)． ∴AO ＝10，BO ＝5.∴S △AOC －S △BOC ＝12×10×4－12×5×2＝15.(3)k 的值为32或2或－12.命题点3 一次函数的平移7．(2013·河北T23·10分)见本书P46变式训练3重难点1 一次函数的图象与性质已知，函数y ＝(1－2m)x ＋2m ＋1，试解决下列问题：图1 图2(1)当m ≠12时，该函数是一次函数，当m ＝－12时，该函数是正比例函数；(2)当m ＝2时，直线所在的象限是第一、二、四象限； (3)函数的图象如图1所示，则m 的取值范围是－12<m<12；(4)当m<12时，y 随x 的增大而增大；(5)当函数y ＝(1－2m)x ＋2m ＋1向上平移3个单位长度时得到y ＝(1－2m)x ＋2，则m 的值为－1； (6)若函数图象与x 轴的交点坐标为A ，与y 轴的交点为B(0，3)，则△ABO 的面积为92；(7)函数图象必过点(1，2)；(8)若函数图象与直线y ＝x －1交于点(2，1)，则关于x 的不等式x －1>(1－2m)x ＋2m ＋1的解集是x>2； (9)当m ＝0时，y ＝x ＋1，将正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2按如图2所示方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x ＋1和x 轴上，则点B 10的坐标是(210－1，29)． 【变式训练1】 (2018·湘潭)若b ＞0，则一次函数y ＝－x ＋b 的图象大致是(C)【变式训练2】 (2018·石家庄裕华区一模)一次函数y ＝(m －1)x ＋(m －2)的图象上有点M(x 1，y 1)和点N(x 2，y 2)，且x 1>x 2，下列叙述正确的是(B)A ．若该函数图象交y 轴于正半轴，则y 1<y 2B ．该函数图象必过点(－1，－1)C．无论m为何值，该函数图象一定过第四象限D．该函数图象向上平移一个单位长度后，会与x轴正半轴有交点方法指导根据图象经过的象限可确定k，b的符号：易错提示养成画图的习惯，注意数形结合的方法.重难点2 确定一次函数的解析式(2018·唐山乐亭县一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B(m，4)．(1)求直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴交于点M，求△AOM的面积；(3)过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围．【变式】(4)将(3)中条件“过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线l1，l2的交点分别为C，D”保持不变，“当点C 位于点D上方时”改为“且CD＝2”，求点C的坐标．【思路点拨】(1)点B在直线y＝2x上，所以m＝2，即点B(2，4)，利用待定系数法可得直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴的交点坐标，利用三角形的面积公式求出三角形的面积；(3)点C位于点D的上方，l1>l2，即当n<2时．(4)当CD＝2时，需分点C在点D上方和下方进行讨论．【自主解答】解：(1)∵直线y＝2x经过点B，∴4＝2m，∴m＝2，即B(2，4)．设直线l1的解析式为y＝kx＋b，∵直线l1的经过点A，B，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－6k ＋b ，4＝2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝3.∴直线l 1的解析式为y ＝12x ＋3.(2)∵当x ＝0时，y ＝3，∴M(0，3)． ∴S △AOM ＝12×6×3＝9.(3)n<2.(4)①当点C 在点D 上方时，有12x ＋3－2x ＝2，解得x ＝23.此时点C 的坐标为(23，103)；②当点C 在点D 下方时，有2x －(12x ＋3)＝2，解得x ＝103.此时点C 的坐标为(103，143)．【变式训练3】 (2018·郴州)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且∠AOC ＝60°，A 点的坐标是(0，4)，则直线AC 的解析式是y ＝－33x ＋4． 【变式训练4】 (2013·河北T23·10分)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P 从点A 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x ＋b 也随之移动，设移动时间为t 秒． (1)当t ＝3时，求l 的解析式；(2)若点M ，N 位于l 的异侧，确定t 的取值范围；(3)直接写出t 为何值时，点M 关于l 的对称点落在坐标轴上． 解：(1)∵直线y ＝－x ＋b 交y 轴于点P(0，b)， ∴由题意，得b ＞0，t ≥0，b ＝1＋t. 当t ＝3时，b ＝4， ∴y ＝－x ＋4.(2)当直线y ＝－x ＋b 过点M(3，2)时，2＝－3＋b ， 解得b ＝5.∵5＝1＋t ，∴t ＝4.当直线y ＝－x ＋b 过点N(4，4)时，4＝－4＋b ， 解得b ＝8.∵8＝1＋t ，∴t ＝7.∴4＜t ＜7.(3)当t ＝1时，该对称点落在y 轴上； 当t ＝2时，该对称点落在x 轴上．方法指导用待定系数法求函数解析式是必须掌握的一种方法．要熟练掌握解二元一次方程组的方法．一次函数的图象与坐标轴的交点坐标是直线上的特殊点，常常与其他点构成三角形等图形，也是常见的一种命题形式．易错提示注意“分类讨论”思想的应用． 重难点3 一次函数与方程、不等式的关系(2017·台州改编)如图，直线l 1：y ＝2x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋4相交于点P(1，b)．(1)求b ，m 的值；(2)直接写出关于x 的不等式2x ＋1<mx ＋4的解集；(3)垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1，l 2分别交于点C ，D.若线段CD 长为2，求a 的值．【思路点拨】 (1)把点P 的坐标代入l 1求出b ，再将(1，b)代入l 2求出m ；(2)观察图象，由两直线的交点P 的横坐标可得；(3)C ，D 两点横坐标相同时，线段CD 的长等于其纵坐标的差，但要注意有两种情况．【自主解答】解：(1)∵点P(1，b)在直线l 1：y ＝2x ＋1上，∴b ＝2×1＋1＝3.∵点P(1，3)在直线l 2：y ＝mx ＋4上， ∴3＝m ＋4.∴m ＝－1. (2)x<1.(3)当x ＝a 时，y C ＝2a ＋1，y D ＝4－a.∵CD ＝2，∴|2a ＋1－(4－a)|＝2，解得a ＝13或a ＝53.∴a 的值为13或53.【变式训练5】(2018·河北模拟)观察函数y 1和y 2的图象，当x ＝0，两个函数值的大小关系为(A)A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1≥y 2 【变式训练6】(2018·呼和浩特)若以二元一次方程x ＋2y －b ＝0的解为坐标的点(x ，y)都在直线y ＝－12x ＋b －1上，则常数b ＝(B)A.12B ．2C ．－1D ．1【变式训练7】 (2018·资阳)已知直线y 1＝kx ＋1(k ＜0)与直线y 2＝mx(m ＞0)的交点坐标为(12，12m)，则不等式组mx －2＜kx ＋1＜mx 的解集为(B)A ．x ＞12B.12＜x ＜32C ．x ＜32D ．0＜x ＜32方法指导1．解决此类题一般是先找出两函数值相等时x 的值，然后过这点作x 轴的垂线，在这个点的左侧和右侧，必然存在不等关系，最后观察图象，上方的函数值大于下方的函数值．2.在坐标系内的线段长，若线段平行于x(y)轴，则线段长等于其横(纵)坐标的差．,易错提示)线段CD 长为2时，有两种情况，在交点P 的左右都有可能．1．(2018·玉林)等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是(B)A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．二次函数2．(2018·沈阳)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是(C)A ．k>0，b>0B ．k>0，b<0C ．k<0，b>0D ．k<0，b<03．(2017·呼和浩特)一次函数y ＝kx ＋b 满足kb ＞0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过(A)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．(2017·怀化)一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P(－2，3)，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，则△AOB 的面积是(B)A.12B.14C ．4D ．85．(2018·唐山乐亭县一模)如图的坐标平面上有四直线l 1，l 2，l 3，l 4，其中方程3x －5y ＋15＝0对应的直线为(A)A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 46．(2018·济宁)在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点．若x 1<x 2，则y 1>y 2.(填“>”“<”或“＝”)7．(2017·荆州)将直线y ＝x ＋b 沿y 轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y 轴的对称点落在平移后的直线上，则b 的值为4．8．【分类讨论思想】(2018·昆明)如图，点A 的坐标为(4，2)，将点A 绕坐标原点O 旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A ′，则过点A ′的正比例函数的解析式为y ＝－43x 或y ＝－4x ．9．(2018·淮安)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(－2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1.(1)求k ，b 的值；(2)若点D 在y 轴负半轴上，且满足S △COD ＝13S △BOC ，求点D 的坐标．解：(1)当x ＝1时，y ＝3x ＝3， ∴点C 的坐标为(1，3)．将A(－2，6)，C(1，3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝6，k ＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝4.(2)当y ＝0时，－x ＋4＝0. 解得x ＝4.∴点B 的坐标为(4，0)．设点D 的坐标为(0，m)(m ＜0)， ∵S △COD ＝13S △BOC ，即－12m ＝13×12×4×3.解得m ＝－4.∴点D 的坐标为(0，－4)． 10．【数形结合思想】(2018·廊坊模拟)如图，正方形ABCD 的边长为2，BC 边在x 轴上，BC 的中点与原点O 重合，过定点M(－2，0)与动点P(0，t)的直线MP 记作l.(1)若l 的解析式为y ＝2x ＋4，判断此时点A 是否在直线l 上，并说明理由； (2)当直线l 与AD 边有公共点时，求t 的取值范围．解：(1)此时点A 在直线l 上． ∵BC ＝AB ＝2，点O 为BC 中点，∴点B(－1，0)，A(－1，2)．把点A 的横坐标x ＝－1代入解析式y ＝2x ＋4，得 y ＝2，等于点A 的纵坐标2， ∴此时点A 在直线l 上．(2)由题意可得，点D(1，2)，及点M(－2，0)，当直线l 经过点D 时，设l 的解析式为y ＝kx ＋t(k ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋t ＝0，k ＋t ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，t ＝43. 由(1)知，当直线l 经过点A 时，t ＝4.∴当直线l 与AD 边有公共点时，t 的取值范围是43≤t ≤4.11．(2018·保定竞秀区模拟)如图，已知直线l 1：y ＝－2x ＋4与直线l 2：y ＝kx ＋b(k ≠0)在第一象限交于点M.若直线l 2与x 轴的交点为A(－2，0)，则k 的取值范围是(D)A ．－2<k<2B ．－2<k<0C ．0<k<4D ．0<k<2 12．【数形结合思想】(2018·宿迁)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l ，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l 的条数是(C)A ．5B ．4C ．3D ．2 13．(2018·河北模拟)若P(m ＋1，m －1)在直线y ＝－x ＋3的下方，则m 的取值范围是m ＜32．14．(2018·保定竞秀区二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的解析式为：y ＝kx ＋x －k ＋1.若将直线l 绕A 点旋转，如图所示，当直线l 旋转到l 1位置时，k ＝2且l 1与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ；当直线l 旋转到l 2位置时，k ＝－25且l 2与y 轴交于点D.(1)求点A 的坐标；(2)直接写出B ，C ，D 三点的坐标，连接CD ，求△ADC 的面积；(3)已知坐标平面内一点E ，其坐标满足条件E(a ，a)，当点E 与点A 距离最小时，直接写出a 的值．解：(1)当k ＝2时，y ＝3x －1， 当k ＝－25时，y ＝35x ＋75.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －1，y ＝35x ＋75，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴点A 的坐标为(1，2)．(2)B(0，－1)，C(13，0)，D(0，75)．∴BD ＝125，OC ＝13.∴S △ADC ＝S △ADB －S △BDC ＝12×125×1－12×125×13 ＝45. (3)a ＝32.。
2023中考数学一轮复习专题3
专题3.1 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（知识讲解）【基本考点要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想； ⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题. 【知识点梳理】考点一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x ； 点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x ； 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x ； 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x ；点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数；点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数；点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ′关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +.特别说明：（1）注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限； （2）平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标.考点二、函数 1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.特别说明：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 .2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象的性质一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过(0，b )点和)0,(kb-点的一条直线．①当k>0时，y 随x 的增大而增大；②当k<0时，y 随x 的增大而减小．特别说明：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k. 确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法. 3.反比例函数及其图象性质 （1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数. 三种形式：k y x=(k ≠0)或kx y =1-(k ≠0)或xy=k(k ≠0). （2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； ②比例系数0≠k ；③自变量x 的取值为一切非零实数； ④函数y 的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象 ①图象的画法：描点法列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）； 描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是x y =和x y -=）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.④反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xk y = （0≠k ）上任意点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为k . （4）反比例函数性质：反比例函数 )0(≠=k xky k 的符号k>0k<0图像性质①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0； ②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y 随x 的增大而减小.①x 的取值范围是x ≠0，y 的取值范围是y ≠0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k ） （6）“反比例关系”与“反比例函数”： 成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系.特别说明：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算1． 已知点P （3a ﹣15，2﹣a ）．（1）若点P 到x 轴的距离是1，试求出a 的值；（2）在（1）题的条件下，点Q 如果是点P 向上平移3个单位长度得到的，试求出点Q 的坐标；（3）若点P 位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P 的坐标．【答案】（1）1a =或3a =；（2）(12,4)Q -或(6,2)Q -；（3）(6,1)P --或(3,2)P --． 【分析】（1）根据“点P 到x 轴的距离是1”可得21a -=，由此即可求出a 的值；（2）先根据（1）的结论求出点P 的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得； （3）先根据“点P 位于第三象限”可求出a 的取值范围，再根据“点P 的横、纵坐标都是整数”可求出a 的值，由此即可得出答案．解：（1）点P 到x 轴的距离是1，且(315,2)P a a --，21a ∴-=，即21a -=或21a -=-，解得1a =或3a =；（2）当1a =时，点P 的坐标为(12,1)P -， 则点Q 的坐标为(12,13)Q -+，即(12,4)Q -， 当3a =时，点P 的坐标为(6,1)P --， 则点Q 的坐标为(6,13)Q --+，即(6,2)Q -， 综上，点Q 的坐标为(12,4)Q -或(6,2)Q -； （3）点(315,2)P a a --位于第三象限，315020a a -<⎧∴⎨-<⎩，解得25a <<， 点P 的横、纵坐标都是整数，3a ∴=或4a =，当3a =时，3156,21a a -=--=-，则点P 的坐标为(6,1)P --， 当4a =时，3153,22a a -=--=-，则点P 的坐标为(3,2)P --， 综上，点P 的坐标为(6,1)P --或(3,2)P --．【点拨】本题考查了点到坐标轴的距离、象限内点的坐标特点、点的坐标平移规律和一元一次不等式组的解法等知识，属于基础题，熟练掌握平面直角坐标系的基本知识是解题关键．举一反三：【变式】已知点()22,5P a a -+，解答下列各题． （1）点P 在x 轴上，求出点P 的坐标；（2）点Q 的坐标为=()4,5，直线PQ y ∥轴；求出点P 的坐标；（3）若点P 在第二象限，且它到x 轴、y 轴的距离相等，求22012021a +的值． 【答案】（1）()12,0P -； （2）()4,8P ； （3）220120212020a += 【分析】（1）利用x 轴上P 点的纵坐标为0求解即可得；（2）利用平行于y 轴的直线上的点的横坐标相等列方程求解即可；（3）在第二象限，且到x 轴、y 轴的距离相等的点的横纵坐标互为相反数，再利用相反数的性质列方程求解可得1a =-，将其代入代数式求解即可．（1）解：∵点P 在x 轴上，∵P 点的纵坐标为0， ∵50a +=， 解得：5a =-， ∵2212a -=-， ∵()12,0P -．（2）解：∵直线PQ y ∥轴，∵224a -=， 解得：3a =， ∵58a +=， ∵()4,8P ． （3）解：∵点P 在第二象限，且它到x 轴、y 轴的距离相等， ∵2250a a -++=． 解得：1a =-． ∵22012021a + ()220112021=-+2020=，∵22012021a +的值为2020．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标特点．分别考查了坐标轴上点的坐标特点、平行于坐标轴的直线上点坐标的特点、到坐标轴距离相等的点的坐标特点，理解题意，熟练掌握坐标系中不同条件下的坐标特点是解题关键．2．在平面直角坐标系中，将点(),1A a a -先向左平移3个单位得点1A ，再将1A 向上平移1个单位得点2A ，若点2A 落在第三象限，则a 的取值范围是（ ）A ．23a <<B ．3a <C ．2a >D ．2a <或3a >【答案】A【分析】根据点的平移规律可得()2311A a a --+，，再根据第三象限内点的坐标符号可得．解：点()1A a a -，先向左平移3个单位得点1A ，再将1A 向上平移1个单位得点()2311A a a --+，，点'A 位于第三象限，30110a a -<⎧∴⎨-+<⎩， 解得：23a <<， 故选：A ．【点拨】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．举一反三：【变式1】平面直角坐标系中，将点A （2m ，1）沿着x 的正方向向右平移（23m +）个单位后得到B 点，则下列结论：①B 点的坐标为（223+m ，1）；①线段AB 的长为3个单位长度；①线段AB 所在的直线与x 轴平行；①点M （2m ，23m +）可能在线段AB 上；①点N （22m +，1）一定在线段AB 上．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】根据平移的方式确定平移的坐标即可求得B 点的坐标，进而判断∵，根据平移的性质即可求得AB 的长，进而判断∵，根据平移的性质可得线段AB 所在的直线与x 轴平行，即可判断∵，根据纵坐标的特点即可判断∵∵解：∵点A （2m ，1）沿着x 的正方向向右平移（23m +）个单位后得到B 点， ∵B 点的坐标为（223+m ，1）； 故∵正确；则线段AB 的长为23m +； 故∵不正确；∵A （2m ，1），B （223+m ，1）；纵坐标相等，即点A ，B 到x 轴的距离相等 ∵线段AB 所在的直线与x 轴平行； 故∵正确若点M （2m ，23m +）在线段AB 上； 则231m +=，即21m =-，不存在实数21m =- 故点M （2m ，23m +）不在线段AB 上； 故∵不正确同理点N （22m +，1）在线段AB 上； 故∵正确综上所述，正确的有∵∵∵，共3个 故选B【点拨】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，掌握平移的性质是解题的关键．类型二、一次函数3．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当2x >-时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）112y x =-；（2）112m ≤≤ 【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；（2）由题意可先假设函数()0y mx m =≠与一次函数y kx b =+的交点横坐标为2-，则由（1）可得：1m =，然后结合函数图象可进行求解．解：（1）由一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为112y x =-； （2）由题意可先假设函数()0y mx m =≠与一次函数y kx b =+的交点横坐标为2-，则由（1）可得：()12212m -=⨯--，解得：1m =，函数图象如图所示：∵当2x >-时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值时，根据一次函数的k 表示直线的倾斜程度可得当12m =时，符合题意，当12m <时，则函数()0y mx m =≠与一次函数y kx b =+的交点在第一象限，此时就不符合题意，综上所述：112m ≤≤． 【点拨】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．举一反三：【变式】在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(0,1)-．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数y x m =-+的值小于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）1y x =-；（2）1m ≤ 【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（0，-1）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，0），即可得出当1x >时，y x m =-+都小于1y x =-，根据1x >，可得m 可取值1，可得出m 的取值范围．解：（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到， ∵1k =．∵一次函数y x b =+的图象过点(01)-，， ∵1b =-．∵这个一次函数的表达式为1y x =-． （2）由（1）得y=x -1， 解不等式-x+m ＜x -1得12m x +>由题意得11,2m +≤ 故m 的取值范围1m ≤【点拨】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．4．为落实省体育中考的要求，增强学生的身体素质．某校计划今年购买一批篮球和实心球共100粒，已知去年篮球的单价为80元，实心球的单价为36元．由于物价上涨，预计今年篮球的价格比去年上涨20%，实心球的价格不变，若购买蓝球的总费用不低于购买实心球的总费用，为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入多少元？【答案】为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入5280元．【分析】设完成计划需购买x 个篮球，需要投入的费用为w 元，根据总价=单价×数量，即可得出w 关于x 的函数关系式，由购买篮球的总费用不低于购买实心球的总费用，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出x 的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．解：设完成计划需购买x 粒篮球，需要投入的费用为w 元．依题意，得w=80（1+20%）x +36（100-x）．化简得：w=60x+3600．因为购买篮球的总费用不低于购买实心球的总费用，所以：80（1+20%）x ≥36（100-x），解得x≥3 2711．又x是整数，所以x的最小值为28．因为k=60＞0，所以，w随x的增大而增大，所以，当x=28时，w的最小值为60×28+3600=5280．答：为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入5280元．【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，根据各量之间的关系，找出题目中得函数关系式是解题的关键．【变式】2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．已知所需费用y（元）与购买洗手液的数量x（瓶）之间的函数图象如图所示．（1）根据图象可知，洗手液的单价为元/瓶，请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）请求出a的值；（3）如果该高校共有m名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．【答案】（1）4，1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩．（2）720a =元；（3）当100m <时选活动一：一律打9折合算；当100m =时选活动一：活动二均可，当100m >时选活动二合算．【分析】（1）利用购买100瓶费用400元，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，根据单价×件数=费用均可列出函数均可；（2）利用两函数值相等联立方程组 3.63.280a x a x =⎧⎨=+⎩，解方程组均可； （3）该高校共有m 名教职工，教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．一共买2m 瓶分类三种情况两函数作差比较均可．解：（1）400元购买100瓶，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，19410y x =⨯⋅， 1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩， 故答案为4，1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩． （2）联立 3.63.280a x a x =⎧⎨=+⎩， 解得720{200a x ==， ∵720a =；（3）该高校共有m 名教职工，教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．一共买2m 瓶， 当2200m 时，即100m <时选活动一：一律打9折合算；∵12 3.6242 1.6050y y m m m m -=⨯-⨯=-<≤，；()12 3.62 3.22800.880050100y y m m m m -=⨯-⨯-=-<<≤；当100m =时选活动一：活动二均可，()12 3.62 3.22800.8800100y y m m m m -=⨯-⨯-=-==；当100m >时选活动二合算，()12 3.62 3.22800.8800100y y m m m m -=⨯-⨯-=->>．【点拨】本题考查列一次函数关系，利用一次函数值相等联立方程组，解方程组，根据函数自变量的取值范围进项方案设计，掌握列一次函数关系的方法，利用函数值相等联立方程组，解方程组，根据函数自变量的取值范围进项方案设计．类型三、反比例函数5．如图，一次函数11y k x b =+的图象与反比例函数22k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()1,2，点B 的纵坐标为1-．（1）求这两个函数的表达式；（2）点C 为反比例函数图象上的一点，且点C 在点A 的上方，当CAB AOB S S =△△时，求点C 的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y 1=x +1，反比例函数的解析式为y 2=2x；（2）C 点的坐标为（-．【分析】（1）把A 点坐标代入反比例函数解析式可求得k 2的值，把点B 的纵坐标代入求得横坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据题意点C 就是直线y =x +1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，求得平移后的直线解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得C 的坐标．解：（1）把点A （1，2）代入反比例函数y 2=2k x得，k 2=1×2=2， ∵反比例函数的解析式为y 2=2x ， 将y =-1代入y 2=2x 得，-1=2x，交点x =-2， ∵B （-2，-1），将A 、B 的坐标代入y 1=k 1x +b 得221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得11k b =⎧⎨=⎩， ∵一次函数的解析式为y 1=x +1；（2）∵y 1=x +1，∵直线与y 轴的交点为（0，1），∵点C 为反比例函数图象上的一点，且点C 在点A 的上方，S ∵CAB =S ∵AOB ，∵点C 就是直线y =x +1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，将直线y =x +1向上平移1个单位后得到y =x +2，解22y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得11x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（舍） ， ∵C 点的坐标为（-．【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．举一反三：【变式】如图，反比例函数(k 0,x 0)k y x=≠>的图象与矩形OABC 的边AB ，BC 分别交于点F ，点E ，点D 为x 轴负半轴上的点，4CDE S =△．（1）求反比例函数的表达式；（2）求证：BE BF CE AF=．【答案】（1）8y x=；（2）见解析 【分析】 （1）连接OE ，根据矩形的性质得到//BC AD ，得到4COE DCE S S ==△△，由点E 在反比例函数(k 0,x 0)k y x=≠>的图象上，于是得到结论； （2）设8,E m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,F n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是得到8,B n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0A n ，求得CE m =，BE n m =-，()888n m BF m n mn-=-=，8AF n =，即可得到结论． 解：（1）如图，连接OE ．∵四边形OABC 是矩形，∵//BC AD ．∵4COE DCE S S ==△△．∵点E 在反比例函数(k 0,x 0)k y x =≠>的图象上， ∵8k ．∵反比例函数的表达式为8y x=； （2）点F ，点E 在反比例函数(k 0,x 0)k y x =≠>的图象上， ∵设8,E m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,F n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵8,B n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(,0)A n ． ∵CE m =，BE n m =-，888()n m BF m n mn -=-=，8AF n=． ∵BE n m CE m-=，8()8n m BF n m mn AF m n--==． ∵BE BF CE AF=．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，反比例函数k 的几何意义，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．类型四、函数综合应用6、已知：如图，双曲线y=k x（k ≠0）与直线y ＝mx （m ≠0）交于A （2，4）、B 两点，点D 是x 轴上一点，C 在双曲线上且是AD 的中点．（1）求双曲线和直线AB 的函数表达式；（2）连结BC ，求△ABC 的面积．【答案】（1）8y x=；y =2x ；（2）12 【分析】 （1）把A 点坐标代入双曲线和直线AB 的解析式中求解即可；（2）分别求出B ，C 的坐标，然后求出三角形ABC 的三边长，利用勾股定理的逆定理判定三角形ABC 为直角三角形，然后求解面积即可．解：（1）∵双曲线y=k x（k ≠0）与直线y ＝mx （m ≠0）交于A （2，4）， ∵4242k m⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得28m k =⎧⎨=⎩， ∵双曲线的解析式为8y x=，直线AB 的解析式为2y x =； （2）设8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0D n ， ∵C 是AD 的中点， ∵240,22n C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭即2,22n C +⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∵82m=， ∵4m =,∵C （4，2）， 联立82y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得24x y =-⎧⎨=-⎩或24x y =⎧⎨=⎩（舍去）， ∵B （-2，-4），∵()()22242248AC =-+-=，()()222244272BC =--+--=，()()222224480AB =--+--=，∵222AC BC AB +=，∵∵ABC 是直角三角形，∵111222ABC S =AC BC=⨯△．【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．举一反三：【变式】如图所示，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0m ,，0m <，点B 与点A 关于原点对称，直线y =与双曲线k y x=交于C ，()1,D t 两点． （1）求双曲线的解析式；（2）当四边形ACBD 为矩形时，求m 的值．【答案】（1）y =（2）-2 【分析】 （1）由点D 的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出t 值，进而得出点D 的坐标，代入双曲线即可求出解析式；（2）根据勾股定理得出OD 长度，再根据矩形的性质可得出OB ＝OA=OC=OD =2，根据点 A 的坐标即可求出m 值．解：（1）将()1,D t 代入y =，得：t =∵(D ，∵1k =∵双曲线的解析式是y =．（2）由(D 得：2OD =． ∵四边形ACBD 为矩形，∵12AO BO AB ==，12CO DO CD ==，AB CD =， ∵2AO BO CO DO ====，又∵0m <，∵2m =-．【点拨】本题考查了正比例函数的性质与反比例函数的性质，矩形的性质，解题的关键是根据矩形性质找出OA=OD ，本题属于中档题，难度不大，熟知各函数和各图形的性质是解题关键.7．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标是（3，4），BA ①x 轴于点A ，点B 在反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图象上，将①OAB 向右平移，得到①O 'A 'B '，O 'B '交双曲线于点C （3a ，a ）．（1）求k ，a 的值；（2）求出①OAB 向右平移到O A B '''△的距离；（3）连接OB ，BC ，OC ，求①OBC 的面积．【答案】（1）12k =，2a =；（2）∵OAB 向右平移4.5个单位长度得到O A B '''△；（3）9OBC S =【分析】（1）根据题意可直接进行求解k 的值，然后再把点C 代入进行求解即可；（2）过点C 作CD ∵x 轴于点D ，由（1）可得CD =2，进而可得点D 为O A ''的中点，然后问题可求解；（3）由（1）及题意易得OBC ADCB S S =梯形，然后根据梯形的面积公式进行求解即可． 解：（1）∵点B 坐标是（3，4），BA ∵x 轴于点A ，点B 在反比例函数y ＝k x的图象上， ∵3412k =⨯=，∵O 'B '交双曲线于点C （3a ，a ），∵312a a ⋅=，解得：2a =±，∵x ＞0，∵2a =；（2）过点C 作CD ∵x 轴于点D ，如图所示：由（1）可得：点()6,2C ，∵OD =6，CD =2，由平移的性质可得：4,3AB A B OA O A ''''====，90OAB O A B '''∠=∠=︒， ∵CD//A B ''，∵O DC O A B ''''∽， ∵12CD O D A B O A '==''''， ∵ 1.5O D '=，∵ 4.5OO OD O D ''=-=，∵∵OAB 向右平移4.5个单位长度得到O A B '''△；（3）如（2）图，∵,OBC ODC OAB ODCB ADCB ODCB SS S S S S =-=-四边形梯形四边形，由反比例函数k 的几何意义可得2OAB ODC k S S ==， ∵OBC ADCB S S =梯形，由（2）可得：3,4,2,6OA AB CD OD ====，∵3AD OD OA =-=，∵()()11243922OBC ADCB S S CD AB AD ==⨯+⨯=⨯+⨯=梯形．【点拨】本题主要考查反比例函数k 的几何意义及与几何的综合，熟练掌握反比例函数k 的几何意义及函数的性质是解题的关键．。
一次函数高一数学知识点
一次函数高一数学知识点一次函数是高中数学中的基础知识点之一，也是日常生活中经常使用的数学概念之一。
它在数学中有着广泛的应用，而且对于高中学生来说，掌握一次函数的相关知识点是非常重要的。
本文将围绕一次函数的定义、性质、图像及应用等方面进行详细的介绍。
1. 一次函数的定义一次函数又称线性函数，它的定义如下：f(x) = kx + b其中，k和b分别是常数，k称为一次函数的斜率，b称为一次函数的截距。
一次函数的定义域是整个实数集，值域也是整个实数集。
2. 一次函数的性质（1）斜率：一次函数的斜率表示了函数图像的倾斜程度。
当斜率k>0时，函数图像向上倾斜；当斜率k<0时，函数图像向下倾斜；当斜率k=0时，函数图像为水平的。
（2）截距：一次函数的截距表示了函数图像与y轴的交点位置。
当截距b>0时，函数图像与y轴的交点在原点上方；当截距b<0时，函数图像与y轴的交点在原点下方；当截距b=0时，函数图像与y轴的交点在原点上。
（3）单调性：一次函数的单调性表示了函数图像的变化趋势。
当斜率k>0时，函数图像单调递增；当斜率k<0时，函数图像单调递减。
3. 一次函数的图像一次函数的图像是一条直线，其特点取决于斜率和截距的值。
当斜率k>0时，函数图像从左下方向右上方倾斜；当斜率k<0时，函数图像从左上方向右下方倾斜；当斜率k=0时，函数图像平行于x轴。
4. 一次函数的应用一次函数在实际问题中有着广泛应用，以下列举几个常见的应用场景：（1）速度与时间关系：当物体以匀速运动时，速度与时间之间的关系可以用一次函数来表示。
其中，斜率代表了速度的大小，截距代表了起始位置。
（2）物品价格与销量关系：在市场经济中，物品的价格和销量之间存在着一种关系，一次函数可以用来描述价格与销量的变化规律。
（3）工资与工作时长关系：在职场中，工资与工作时长之间通常存在着一种线性关系，一次函数可以用来表示工资与工作时长的变化趋势。
一次函数的图像(解析版)
5.4一次函数的图像一、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.要点：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线：当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质： 正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线； 一次函数(0)y kx b k =+≠图象和性质如下：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定： （1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.一、单选题1．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ）A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-【答案】A【提示】将选项各点坐标代入，即可判断．【解答】A ．当4x =时，=3y -，故点()4,3-在函数图象上，A 项符合题意； B ．当4x =-时，33y =≠-，故点()4,3--不在函数图象上，B 项不符合题意； C ．当2x =-时， 1.51y =≠，故点()2,1-不在函数图象上，C 项不符合题意； D ．当3x =-时， 2.254y =≠，故点()3,4-不在函数图象上，D 项不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 2．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()2,1-，且平行于直线2y x =-，则b 的值为（ ） A ．2- B ．1C ．3-D ．4【答案】C【提示】根据两直线平行，一次项系数相等求出k 的值，再利用待定系数法求解即可． 【解答】解：∵一次函数y kx b =+与直线2y x =-平行， ∴一次函数解析式为2y x b =-+，∵一次函数2y x b =-+经过点()21-，， ∴()122b =-⨯-+， ∴3b =-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正确求出2k =-是解题的关键． 3．关于函数21y x =--，下列结论正确的是（ ） A ．图象必经过点()2,1- B ．y 随x 的增大而增大C ．当12x >时，0y < D ．图象经过第一、二、三象限 【答案】C【提示】根据一次函数的性质可进行排除选项．【解答】解：由函数21y x =--可知：20k =-<，10b =-<，则y 随x 的增大而减小，且该函数图象经过第二、三、四象限，故B 、D 选项错误；当2x =-时，则()2213y =-⨯--=，所以函数图象经过点()2,3-，故A 选项错误； 当12x >-时，0y <，所以当12x >时，0y <说法正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．4．已知一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像经过1)A y ，2)B y ，3(5,)C y ，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<【答案】D【提示】根据一次函数的增减性判断即可． 【解答】解：∵3m <， ∴(3)0k m =-<， ∴y 随x 的增大而减小，又∵点1)A y ，2)B y ，3(5,)C y 均在一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像上，∵()()22277,525,2728===,∴7527<<， ∴231y y y <<, 故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，无理数的估算，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 5．三个正比例函数的表达式分别为①y ax =；②y bx =③y cx =，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b >>aC ．b a c >>D ．b c >>a 【答案】C【提示】先根据函数图象经过的象限得出0a >，0b >，0c <，再根据直线越陡，k 越大得出答案． 【解答】解：∵y ax =和y bx =的图象经过一、三象限，y cx =的图象经过二、四象限， ∴0a >，0b >，0c <， ∵直线y bx =比直线y ax =陡， ∴b a >， ∴b a c >>， 故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当0k >时，函数图象经过一、三象限；当0k <时，函数图象经过二、四象限；直线越陡，k 越大．6．将直线21y x =+向下平移2个单位长度后，得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（ ） A ．与x 轴交于点20（，） B ．与y 轴交于点()0,1-C ．y 随x 的增大而减小D ．与两坐标轴围成的三角形的面积为12【答案】B【提示】首先根据函数图像平移法则，向下平移2个单位，则给函数解析式右端减2，即可得到平移后的直线方程；接下来根据一次函数图像的性质分析与坐标轴围成面积，交点坐标以及y 随x 的变化关系，即可得解．【解答】解：将直线21y x =+向下平移2个单位长度后得到直线21221y x x =+-=-，A 、直线21y x =-与x 轴交于1,02⎛⎫⎪⎝⎭，故本选项不合题意；B 、直线21y x =-与y 轴交于()0,1-，故本选项，符合题意；C 、直线21y x =-，y 随x 的增大而增大，故本选项不合题意；D 、直线21y x =-与两坐标轴围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的平移及性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 7．如图中表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数，mn≠0）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【提示】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m 、n 的符号，然后根据m 、n 同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当0mn >，y mnx =过一，三象限，m ，n 同号，同正时y mx n =+过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；②当0mn <时，y mnx =过二，四象限，m ，n 异号，则y mx n =+过一，三，四象限或一，二，四象限．观察图象，只有选项C 符合题意， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当00k b >>，，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限； ②当00k b ><，，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限； ③当00k b <>，时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限； ④当00k b <<，时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．8．已知一次函数y kx b =+（0k ≠），如表是x 与y 的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．函数的图象向上平移4个单位长度得到2y x =-的图象C ．函数的图象不经过第三象限D ．若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y < 【答案】C【提示】首先把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，解方程组，即可求得一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答．【解答】解：把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，得42b k b =⎧⎨+=⎩ 解得24k b =-⎧⎨=⎩故该一次函数的解析式为24y x =-+，故该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C 正确；20k ＜，∴y 随x 的增大而减小，故A 错误；若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y ＞，故D 错误； 将该函数的图象向上平移4个单位长度得到28y x =-+的图象，故B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键． 9．如图，直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，，点()2P n ，在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点．当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（ ）A ．()2,0-或()3.0B ．()2,0或()3.0C ．()1,0或()4.0D ．()2,0或()4.0 【答案】B【提示】根据题意，可以求得点A 点B 和点P 的坐标，设出点M 的坐标再根据分类讨论的方法结合勾股定理即可求得点M 的坐标． 【解答】解：∵直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，∴当0y =，102x m +=，1012m ⨯+=， 解得1m =，2x =-，∴点A 坐标为(20)-，， ∵点()2P n ，在直线l 上 ∴当2y =，1212n =+， 解得2n =，即()22P ，设M 点坐标为()0a ，当AM PM ⊥ 时，此时点P 与点M 横坐标相同，即2a n == ， ∴(20)M ，； ②当AP PM ⊥时，此时()222AM a =+ ，()2224PM a =-+ ，222[(2(2)]220AP =--+= ，根据勾股定理得()()2224202a a -++=+，解得，3a =，∴(30)M ，；综上所述∴(20)M ，或(30)M ，； 故选B ．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，动点中的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．10．已知直线483y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将ABM 沿AM折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B '处，则直线AM 的函数解析式是（ ）A ．142y x =-+ B ．243y x =-+ C ．132y x =-+ D ．133y x =-+【答案】C【提示】先求出点,A B 的坐标，从而得出,OA OB 的长度，运用勾股定理求出AB 的长度，然后根据折叠的性质可知,AB AB MB MB ''==，OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=，运用勾股定理列方程得出OM 的长度，即点M 的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：当0x =时，4883y x =-+=，即(0,8)B ，当0y =时，6x =，即(6,0)A ，所以226810AB AB '=+=，即(4,0)B '-，设OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=， ∴在Rt B OM '中，B O OM B M ''+=， 即2224(8)x x +=-， 解得：3x =， ∴(0,3)M ， 又(6,0)A ，设直线AM 的解析式为y kx b =+，则063k b b =+⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AM 的解析式为132y x =-+．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出(0,3)M 的坐标是解本题的关键．二、填空题11．正比例函数()32y a x =-的图象过第一、三象限，则a 的取值范围是______． 【答案】23a ＞##23a <【提示】根据正比例函数的图象经过第一、三象限，得k>0，即320a -＞，计算即可得解． 【解答】解：由正比例函数()32y a x =-的图象经过第一、三象限， 可得：320a -＞，则23a ＞．故答案为：23a ＞．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y=kx （k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小． 12．已知直线1L ：26y x =-，则直线1L 关于x 轴对称的直线2L 的函数解析式是______． 【答案】26y x =-+##62y x =-【提示】直接根据关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数进行解答即可． 【解答】解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数， ∴直线1L ：y=2x-6与直线2L 关于x 轴对称， 则直线2L 的解析式为-y=2x-6，即y=-2x+6． 故答案为：y=-2x+6．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．13．如图，正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），当2x <时，1y ___________2y （填“>”或“＜”）【答案】＜【提示】根据两函数图象及交点坐标，即可解答．【解答】解：正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），∴由图象可知：当2x <时，12y y <， 故答案为：＜．【点睛】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 14．已知(,1)A n n +、(1,4)B n n -+、(,)C m t 是正比例函数y kx =图象上的三个点，当3m >时，t 的取值范围是______． 【答案】9t <-【提示】根据,A B 两点在y kx = 上求出k 得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．【解答】将点A 与点B 代入y kx = ，得：141n knn k n +=⎧⎨+=-⎩（） ， 两式相减，得：3k =- ， 3y x ∴=-，∴ y 随x 的增大而减小，当3m = 时，339t =-⨯=-， ∴ 当m ＞3时，t ＜-9，故答案为：t ＜-9.【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题．15．在平面直角坐标中，点()3,2A --、()1,2B --，直线()0y kx k =≠与线段AB 有交点，则k 的取值范围为______． 【答案】232k ≤≤##223x ≥≥ 【提示】因为直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，所以当直线y ＝kx （k≠0）过()1,2B --时，k 值最大；当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，然后把B 点和A 点坐标代入y ＝kx （k≠0）可计算出对应的k 的值，从而得到k 的取值范围． 【解答】解：∵直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，∴当直线y ＝kx （k≠0）过B （﹣1，﹣2）时，k 值最大，则有﹣k ＝﹣2，解得k ＝2； 当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，则﹣3k ＝﹣2，解得k ＝23， ∴k 的取值范围为232k ≤≤．故答案为：232k ≤≤． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉一次函数图象的性质．16．直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点，两直线相交于x 轴上同一点A ． （1）:m n =________（2）若8ABC S =△，点A 的坐标是______________ 【答案】 2:3 ()4,0或()4,0-【提示】根据两直线相交同一点，则横坐标相同，即可；设A 的坐标为：()0a ，，根据8ABC S =△，则12ABCSBC a =⨯⨯，解出a ，即可． 【解答】∵直线8y mx =-和直线12y nx =-相交x 轴上同一点A ∴08mx =-，012nx =-∴直线8y mx =-与x 轴的交点为8,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，直线12y nx =-与x 轴的交点为12,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴812m n= ∴:2:3m n =；设A 的坐标为：()0a ， ∵8ABC S =△ ∴12ABCSBC a =⨯⨯ ∵直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点 ∴点()0,8B -，()0,12C - ∴1482ABCSa =⨯⨯= ∴4a =∴4a =±∴点A 的坐标为()4,0或()4,0-． 故答案为：2:3；()4,0或()4,0-．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象与性质．17．已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，O 为坐标原点． 若△AOB 的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．【答案】443y x =--或443y x =+【提示】分两种情况：当点B 在y 轴正半轴时，当点B 在y 轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．【解答】解：点(3,0)A ，3OA ∴=，AOB ∆的面积为6，∴162OA OB ⋅=， ∴1362OB ⨯⋅=，4OB ∴=，(0,4)B ∴或(0,4)-，将(3,0)A ，(0,4)B 代入(0)y kx b k =+≠得： 304k b b +=⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-+，将(3,0)A ，(0,4)B -代入(0)y kx b k =+≠得：304k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-，综上所述：一次函数的解析式为：443y x =-+或443y x =-，故答案为：443y x =-+或443y x =-．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，OC AB ⊥于点C ，P 是线段OC 上的一个动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒，得到线段'AP ，连接'CP ，则线段'CP 的最小值为______．【答案】222-【提示】由点P 的运动确定P '的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小．【解答】解：由已知可得()()0,44,0A B ， ∴三角形OAB 是等腰直角三角形，OC AB ⊥，()2,2C ∴，又P 是线段OC 上动点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒， P 在线段OC 上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，当P 在O 点时和P 在C 点时分别确定P'的起点与终点，'P ∴的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，∴当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小，在AOB 中，4AO AN ==，42AB =424NB ∴=，又Rt HBN 是等腰直角三角形，422HB ∴=-('24422CP OB BH ∴=--=---=．故答案为2．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．三、解答题19．已知一次函数()2312y k x k =--+．(1)当k 为何值时，图像与直线29y x =+的交点在y 轴上？ (2)当k 为何值时，图像平行于直线2y x =-？ (3)当k 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 【答案】(1)1k = (2)0k = (3)2k <【提示】（1）先求出直线29y x =+与y 轴的交点坐标，把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出k 的值；（2）根据两直线平行时其自变量的系数相等，列出方程，求出k 的值即可； （3）根据比例系数0<时，数列出不等式，求出k 的取值范围即可． 【解答】（1）解：当0x =时，9y =，∴直线29y x =+与y 轴的交点坐标为()09，， ∵一次函数()2312y k x k =--+的图像与直线29y x =+的交点在y 轴上， ∴()203129k k -⨯-+=， 解得：1k =；（2）解：∵一次函数()2312y k x k =--+的图像平行于直线2y x =-，即直线2y x =-向上或向下平移312k -+个单位后的图像与一次函数()2312y k x k =--+的图像重合，∴22k -=-且3120k -+≠，20k -≠， 解得：0k =．（3）解：∵y 随x 的增大而减小，解得：2k <．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征及函数性质，图形平移等知识点．熟练掌握一次函数的性质是题的关键．20．如图，直线OA 经过点()4,2A --．(1)求直线OA 的函数的表达式；(2)若点()12,P n 和点()25,Q n 在直线OA 上，直接写出12n n 、的大小关系； (3)将直线OA 向上平移m 个单位后经过点()2,4M ，求m 的值． 【答案】(1)12y x = (2)12n n < (3)m=3【提示】（1）设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中，可求出k 的值； （2）根据函数的增减性分析即可；（3）先求出平移后的函数解解析式，由此可求出m 的值． (1)解：设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中得：24k -=-，12k =， 故函数解析式为：12y x =； (2)解：∵0k >，∴y 随x 的增大而增大， ∵()12,P n ，()25,Q n 中，2＜5，(3)解：设平移后函数解析式为：12y x b =+， 将()2,4M 代入函数解析式中得：1422b =⨯+，解得：3b =， 故函数的解析式为：132y x =+， 故m=3．【点睛】本题考查根据函数图象求正比例函数的解析式，求函数的增减性，函数图象的平移． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点O 和点A ，将直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒，再向上平移2个单位长度得到直线2l ．求直线1l 与2l 的解析式．【答案】直线1l 的解析式是2y x =；直线2l 的解析式是122y x =-+ 【提示】根据A 点坐标，利用待定系数法求直线1l 的解析式；同理求出旋转90︒后的直线解析式，再根据“上加下减”求出向上平移2个单位后的解析式．【解答】解：由图象可知：点A 的坐标是(2,4)，点A 逆时针旋转90︒后得到点A '的坐标是(4,2)-， 设直线1l 的解析式是1y k x =， 则可得：124k =， 解得：12k =，故直线1l 的解析式是2y x =．设直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒后的直线解析式是2y k x =， 把点(4,2)A '-代入2y k x =，得242k -=，解得212k =-，即12y x =-．故可得直线2l 的解析式是122y x =-+． 【点睛】本题考查一次函数的旋转与平移，解题的关键是能够利用待定系数法求函数解析式，并掌握函数图象平移的规律． 22．如图，直线13342y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，．(1)求直线CD 的解析式；(2)判断ACD 的形状，并说明理由． 【答案】(1)39y x =-+(2)ACD 是等腰三角形，理由见解析【提示】（1）先求出点C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线CD 的解析式即可； （2）先求出点A 的坐标，进而求出AC CD AD 、、的长即可得到答案．【解答】（1）解：∵直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，， ∴33342m =+，∴2m =，∴点C 的坐标为()23，， ∴2330k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴39k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为39y x =-+； （2）解：ACD 是等腰三角形，理由如下： 对于13342y x =+，当0y =时，2x =-，∴点A 的坐标为()20-，， ∴()()22522035AD AC ==--+-=，，()()22233010CD =-+-=，∴AD AC =，∴ACD 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数3124y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，OM AB ⊥，垂足为点M ．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求OM 的长；(3)存在直线AB 上的点N ，使得12OAN OAB S S ∆∆=，请求出所有符合条件的点N 的坐标． 【答案】(1)A (160)，，B (0)12，； (2)9.6OM =； (3)N (86)，或(246)-，．【提示】（1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A ，B 坐标； （2）利用三角形的面积的计算即可求出OM ；（3）设出点N 的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可． 【解答】（1）解：令0x =， ∴12y =， ∴B (0)12，， 令0y =， ∴31204x -+=，∴16x =， ∴A (160)，；（2）解：由（1）知，A (160)，，B (0)12，， ∴1612OA OB ==，，∴196202OAB S OA OB AB =⨯===，△，∵OM AB ⊥， ∴11209622OAB S AB OM OM =⨯=⨯⨯=△， ∴9.6OM =；（3）解：由（2）知，96OAB S =△，16OA =， ∵直线AB 上的点N ， ∴设N 3(12)4m m -+，， ∵12OAN OAB S S =△△， ∴111||16||8||9648222OAN N N N S OA y y y =⨯=⨯⨯=⨯=⨯=△，∴38|12|484m ⨯-+=，∴8m =或24m =， ∴N (86)，或(246)-，． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目．24．当m ，n 为实数，且满足1m n +=时，就称点(),m n 为“和谐点”，已知点()0,7A 在直线l ：y x b =+，点B ，C 是“和谐点”，且B 在直线l 上． (1)求b 的值及判断点()2,1F -是否为“和谐点”； (2)求点B 的坐标；(3)若AC =C 的横坐标． 【答案】(1)7b =，点()2,1F -是“和谐点”(2)()34B -，(3)点C 的横坐标为1或7-【提示】（1）将点()0,7A 代入直线l ：y x b =+，可得b 的值，根据“和谐点”的定义即可判断； （2）点B 是“和谐点”，所以设出点B 的横坐标，表示出纵坐标，因为点B 在直线l ：7y x =+上，把点B 代入解析式中求得横坐标，进而求得点B 的坐标；（3）点C 是“和谐点”，所以设出点C 的横坐标为c ，表示出纵坐标1c -，根据勾股定理即可得出当52AC =时对应的点C 的横坐标．【解答】（1）解：∵点A 在直线y x b =+上， ∴把()0,7A 代入y x b =+， ∴7b =，∵点()2,1F -，()211+-=， ∴点()2,1F -是“和谐点”； （2）解：∵点B 是“和谐点”，∴设点B 的横坐标为p ，则纵坐标为1p -，点B 的坐标为(),1p p -， ∵点B 在直线l ：7y x =+上，∴把点(),1B p p -代入y=x+7得，3p =-， ∴14p -=，∴()34B -，； （3）解：设点C 的横坐标为c ， ∵点C 是“和谐点”， ∴纵坐标1c -，当52AC =时，()221752AC c c =+--=， 解得7c =-或1，∴点C 的横坐标为1或7-．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据定义判断一个点是不是“和谐点”，勾股定理等知识，理解新定义是解题的关键．25．对于函数y x b =+，小明探究了它的图象及部分性质．下面是他的探究过程，请补充完整：(1)自变量x 的取值范围是 ；(2)令b 分别取0，1和2-，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m 的值是 ，n 的值是 ．(3)根据表中数据，补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象；(4)结合函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象，写出函数y x b =+中y 随x 的变化的增减情况；(5)点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图象上，当12>0x x 时，若总有12<y y ，结合函数图象，直接写出1x 和2x 大小关系．【答案】(1)任意实数(2)3，1-(3)见解析(4)当0x>时，函数y 随x 的增大而增大，当<0x 时，函数y 随x 的增大而减小(5)210x x <<或120x x <<【提示】（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；（2）把2x =-代入1y x =+，求得3m =，把=1x -代入2y x =-，求得1n =-；（3）根据表格数据补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像即可；（4）观察图像即可求得；（5）根据图像即可得到结论．【解答】（1）解：函数y x b =+中，自变量x 可以是全体实数，故答案为：全体实数；（2）解：把2x =-代入1y x =+，得3y =，把=1x -代入2y x =-，得1y =-，∴3,1m n ==-，故答案为：3，1-；（3）解：补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像如下：（4）解：由图知，当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小； 故答案为：当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小； （5）解：∵点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图像上，当120x x >时，∴点11(,)x y 和点22(,)x y 在y 轴的同一侧，观察图像，当120x x >时，若总有12y y <，即210x x <<或120x x <<．【点睛】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图像，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键．。
中考数学：一次函数的性质与应用问题真题+模拟(原卷版北京专用)
中考数学一次函数的性质与应用问题【方法归纳】（1）一次函数与方程、不等式之间的关系：利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与x轴和y轴交点、不等式的解集、一次函数的平移、参数的确定等、（2）一次函数与几何图形的面积问题:首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（3）一次函数的优化问题:通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（4）用函数图象解决实际问题:从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．2.一次函数的应用（1）分段函数问题：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．（2）函数的多变量问题：解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．（3）常见题型：行程问题、表格问题、图象问题、最大利润问题、方案问题常用的解题思路：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(4,3)，(−2,0)，且与y轴交于点A．(1)求该函数的解析式及点A的坐标；(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图x的图象向下平移1个单位长度得到．象由函数y=12（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2016·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(−6,0)的直线l1与直线l2:y= 2x相交于点B(m,4)．（1）求直线l1的表达式；（2）过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．2．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=−k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=−k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．3.（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1，2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京房山·二模）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=ax+b(a≠0)经过点A（1，2），与x轴交于点B（3，0）．(1)求该直线的解析式；(2)过动点P(0，n)且垂直于y轴的直线与直线l交于点C，若PC≥AB，直接写出n的取值范围．2．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，且经过点（2，2）．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．3．（2022·北京东城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=k(k≠0)经过点xA(2,−1)，直线l：y=−2x+b经过点B(2,−2)．(1)求k,b的值；(2)过点P(n,0)(n>0)作垂直于x轴的直线，与双曲线y=k(k≠0)交于点C，与直线l交于点xD．①当n=2时，判断CD与CP的数量关系；②当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．4．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=−x的图象平移得到，且经过点(1,1)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．5．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移4个单位长度得到．(1)求这个一次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A，函数y=mx(m<0)的图象与一次函数y= kx+b的图象的交点为B，记线段OA，AB，BO围成的区域（不含边界）为W，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若区域W内恰有2个整点，直接写出m的取值范围．6．（2022·北京密云·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,−3)和点B(5,2)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x≥2时，对于x的每一个值，函数y=mx+2(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．7．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b的图象与x轴交于点(4,0)，且与反比例函数y=m的图象在第四象限的交点为(n,−1)．x(1)求b，m的值；<y p<4，连接OP，结(2)点P(x p,y p)是一次函数y=−x+b图象上的一个动点，且满足mx p合函数图象，直接写出OP长的取值范围．8．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由x平移得到，且过点(0,−1)．函数y=12(1)求这个一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式；(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx+1的值大于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，求m的取值范围．9．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b 的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．10．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与直线y=x平行，且过点(2,1)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)直线y=kx+b(k≠0)分别交x，y轴于点A，点B，若点C为x轴上一点，且S△ABC=2，直接写出点C的坐标．11．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象平x，且经过点A(2,2)．行于直线y=12(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<2时，对于x的每一个值，一次函数y=kx+b(k≠0)的值大于一次函数y=mx−1(m≠0)的值，直接写出m的取值范围．x+b与直线l2:y=2x 12．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=12交于点A(m,n)．(1)当m=2时，求n，b的值；(2)过动点P(t,0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别是C，D．当t≤1时，点C位于点D上方，直接写出b的取值范围．13．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1,2)，Q(−2,2)，函．数y=mx(1)当函数y=m的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=－x－m．x(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组{y>mxy<−x−m（m<0），求m的取值范围．14．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，1）．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．15．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)，B(3,m)．(1)如果点A，B均在反比例函数y1=kx的图象上，求m的值；(2)如果点A，B均在一次函数y2=ax+b的图象上，①当m=2时，求该一次函数的表达式；②当x≥3时，如果不等式mx−1>ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．16．（2022·北京一七一中一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y=kx(k≠0)的两个交点分别为A(−3,−1)，B(1,m).(1)求k和m的值；(2)求直线l的解析式；(3)点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y=k(k≠0)于点Q.当点Q位x于点P的左侧时，求点P的纵坐标n的取值范围.17．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0) x的图象向上平移3个单位长度得到．的图象由函数y=12(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．18．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（0，2）．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．19．（2022·北京门头沟·一模）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的整数倍，那么点M就是点P的k倍关联点．(1)当点P1的坐标为(−1.5,0)时，①如果点P1的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是；②如果点M(x，y)是点P1的k倍关联点，且满足x=−1.5，−3≤y≤5．那么k的最大值为________；(2)如果点P2的坐标为(1,0)，且在函数y=−x+b的图象上存在P2的2倍关联点，求b的取值范围．20．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:y≡kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，⊙O的半径为1，当k=1,b=1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；(2)点M的坐标为(1,0)，①如图2，若⊙M的半径为1，当b=1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于4√5，求k的取值5范围；②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．21．（2022·北京房山·一模）如图1，一次函数y=kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y 轴交于点B，且经过点C（2，m）．(1)当m=9时，求一次函数的解析式并求出点A的坐标；2(2)当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k（k≠0）的值，求k 的取值范围．22．（2022·北京房山·一模）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_____________；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4，求⊙O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√3为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是6√6，直接写出直线l的函数解析式．23．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|；若|x1−x2|<|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1−y2|．(1)已知点A(−1,0)，B为y轴上的一个动点，2①若点A与点B的“非常距离”为4，直接写出点B的坐标：；②求点A与点B的“非常距离”的最小值；(2)已知C是直线y=1x+2上的一个动点，2①若点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②若点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．24．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）已知一次函数y1=2x+m的图象与反比例函数y2=k(k>0)的x图象交于A，B两点．(1)当点A的坐标为(2,1)时．①求m，k的值；②当x>2时，y1______y2（填“>”“=”或“<”）．(2)将一次函数y1=2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，使得点A，B关于原点对称，求m的值26．（2022·北京西城·xOy中，直线l1:y=kx+b与坐标轴分别交于A(2,0)，B(0,4)两点．将直线l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线l2:y=m(x−4)(m≠0)分别交于点C，D．(1)求k，b的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．①当m=1时，区域W内有______个整点；②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．27．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．28．（2022·北京十一学校一分校一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k的图象与直线yx＝mx交于点A（2，2）．(1)求k，m的值；(2)点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交（x＞0）的图象于点N．函数y=kx①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．29．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x1,y1)，给出如下定义：当点Q(x2,y2)满足x1+x2=y1+y2时，称点Q是点P的等和点．已知点P(2,0)．(1)在Q1(0,2)，Q2(−2,−1)，Q3(1,3)中，点P的等和点有______；(2)点A在直线y=−x+4上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；(3)已知点B(b,0)和线段MN，对于所有满足BC=1的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围．30．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝ax（a≠0）过点A（﹣2，1），直线l2：y＝mx+n过点B（﹣1，3）．(1)求直线l的解析式；(2)用含m的代数式表示n；(3)当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝ax的值小于函数y＝mx+n的值，求m的取值范围．。
一次函数实践教学反思(3篇)
第1篇摘要：一次函数是中学数学教学中的重要内容，它不仅有助于学生掌握基础的数学知识，还能培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文通过对一次函数实践教学的反思，总结了教学过程中的成功经验和不足之处，并提出了相应的改进措施，以期为今后的教学提供借鉴。
一、引言一次函数是中学数学教学中的基础内容，它涵盖了函数的定义、性质、图像等内容。
在实践教学过程中，教师需要引导学生通过观察、分析、推理等方法，深入理解一次函数的本质，并能够运用一次函数解决实际问题。
本文通过对一次函数实践教学的反思，总结教学过程中的得失，以期为今后的教学提供参考。
二、实践教学过程中的成功经验1. 注重理论联系实际，提高学生的应用能力在实践教学过程中，我注重将一次函数的理论知识与实际生活相结合，通过举例说明一次函数在生活中的应用，如温度、速度、距离等。
例如，在讲解一次函数的图像时，我以气温变化为例，让学生观察气温与时间之间的关系，从而理解一次函数图像的特点。
这种教学方法有助于提高学生的应用能力，使他们能够将所学知识运用到实际生活中。
2. 采用多样化的教学方法，激发学生的学习兴趣为了激发学生的学习兴趣，我在教学中采用了多种教学方法。
例如，利用多媒体技术展示一次函数的图像，让学生直观地感受函数的变化规律；通过小组合作探究，让学生在交流讨论中共同解决问题；设计有趣的数学游戏，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
这些方法有助于提高学生的学习兴趣，使他们在主动探究中掌握知识。
3. 关注学生的个体差异，实施分层教学在实践教学过程中，我关注学生的个体差异，根据学生的不同学习基础，实施分层教学。
对于基础较好的学生，我鼓励他们深入探究一次函数的性质，拓展知识面；对于基础较差的学生，我耐心讲解，帮助他们克服困难，逐步提高。
这种分层教学有助于提高全体学生的学习效果。
三、实践教学过程中的不足之处1. 对一次函数知识的讲解不够深入在实践教学过程中，我发现部分学生对一次函数的性质理解不够深入，对于一些特殊情况的处理不够灵活。
12.2一次函数(3)-待定系数法
创设情境 提出问题
1、复习：
3 画出 y 2 x 和 y x 3 的图象 2
2、反思：
你在作这两个数图象时，分别描了几个点？
可以有不同取法吗？
从数到形
函数解析 式y=kx+b
选取
满足条件的两定点
画出 一次函数的 图象直线 l
( x1, y1 )与(x2 , y2 )
b=2
k•4+b=6 解得 k=1
｛b=2
所以该一次函数的表达式为 y=x+2
已知一次函数的图象, 如何求函数 的解析式？
y=kx+b
-4
y 5
(3,5) 3 x
0
(-4,-9)
-9
例3、已知一次函数的图像经过点A(-2,-1), 且与直线y=2x-3平行,求此函数的表达式？ 解：设一次函数的解析式是y=kx+b, 已知一次函数的图像与直线y=2x-3平行,则k=2， ∴y=2x+b ∵一次函数的图像经过点A(-2,-1), ∴-4+b=-1 b=3 ∴此函数的表达式是y=2x+3
（0，-4） ， 5、直线y=2x+b过点（1，-2），则它与y轴交点坐标为：
6、已知一次函数y= 2x＋b图象经过点A 3 （－1，1），则b=_____；该函数图象经 5 过B（1，___）和C（-1.5 ，0） 7、直线l是一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象， y 2 （1）ｋ＝-0.5，ｂ＝＿＿ （2）当ｘ＝30时，
提出问题 形成思路
1.利用图像求函数的解析式
y=2x
3 y x +3 2
图1
2.分析与思考
图2
确定正比例 函数的表达 式需要几个 一 条件？确定 一次函数的 表达式需要 两 几个条件？
【人教版】2020届中考数学系统复习 第三单元 函数 第10讲 第1课时 一次函数的图象与性质(8年真题训练)练
第10讲 一次函数第1课时 一次函数的图象与性质命题点1 一次函数的图象与性质1．(2011·河北T5·2分)一次函数y ＝6x ＋1的图象不经过(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2014·河北T6·2分)如图，直线l 经过第二、三、四象限，l 的解析式是y ＝(m －2)x ＋n ，则m 的取值范围在数轴上表示为(C)A BC D3．(2015·河北T14·2分)如图，直线l: y ＝－23x －3与直线y ＝a(a 为常数)的交点在第四象限，则a 可能在(D)A ．1＜a ＜2B ．－2＜a ＜0C ．－3≤a ≤－2D ．－10＜a ＜－44．(2016·河北T5·3分)若k ≠0，b ＜0，则y ＝kx ＋b 的图象可能是(B)A B C D命题点2 确定一次函数的解析式5．(2017·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy 中，A(0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E.点B ，E 关于x 轴对称，连接AB.(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式；(2)设面积的和S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．解：(1)把y ＝0代入y ＝－38x －398，得x ＝－13.∴C(－13，0).1分把x ＝－5代入y ＝－38x －398，得y ＝－3.∴E(－5，－3).2分∵点B ，E 关于x 轴对称，∴B(－5，3)． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，－5k ＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝25，b ＝5.∴直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.5分(2)∵CD ＝8，DE ＝DB ＝3，OA ＝OD ＝5. ∴S △CDE ＝12×8×3＝12，S 四边形ABDO ＝12×(3＋5)×5＝20.∴S ＝32.8分(3)当x ＝－13时，y ＝25x ＋5＝－15≠0，∴点C 不在直线AB 上，即A ，B ，C 三点不共线．∴他的想法错在将△CDB 与四边形ABDO 拼接后看成了△AOC.10分6．(2018·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－12x ＋5的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1交于点C(m ，4)． (1)求m 的值及l 2的解析式； (2)求S △AOC －S △BOC 的值；(3)一次函数y ＝kx ＋1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值．解：(1)把C(m ，4)代入一次函数y ＝－12x ＋5，可得4＝－12m ＋5，解得m ＝2，∴C(2，4)．设l 2的解析式为y ＝ax ，则4＝2a ，解得a ＝2. ∴l 2的解析式为y ＝2x.(2)过点C 作CD ⊥AO 于点D ，CE ⊥BO 于点E ，则CD ＝4，CE ＝2，∵y ＝－12x ＋5的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，令x ＝0，则y ＝5，令y ＝0，则x ＝10，∴A(10，0)，B(0，5)．∴AO ＝10，BO ＝5.∴S △AOC －S △BOC ＝12×10×4－12×5×2＝15.(3)k 的值为32或2或－12.命题点3 一次函数的平移7．(2013·河北T23·10分)见本书P46变式训练3重难点1 一次函数的图象与性质已知，函数y ＝(1－2m)x ＋2m ＋1，试解决下列问题：图1 图2(1)当m ≠12时，该函数是一次函数，当m ＝－12时，该函数是正比例函数；(2)当m ＝2时，直线所在的象限是第一、二、四象限； (3)函数的图象如图1所示，则m 的取值范围是－12<m<12；(4)当m<12时，y 随x 的增大而增大；(5)当函数y ＝(1－2m)x ＋2m ＋1向上平移3个单位长度时得到y ＝(1－2m)x ＋2，则m 的值为－1； (6)若函数图象与x 轴的交点坐标为A ，与y 轴的交点为B(0，3)，则△ABO 的面积为92；(7)函数图象必过点(1，2)；(8)若函数图象与直线y ＝x －1交于点(2，1)，则关于x 的不等式x －1>(1－2m)x ＋2m ＋1的解集是x>2； (9)当m ＝0时，y ＝x ＋1，将正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2按如图2所示方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x ＋1和x 轴上，则点B 10的坐标是(210－1，29)． 【变式训练1】 (2018·湘潭)若b ＞0，则一次函数y ＝－x ＋b 的图象大致是(C)【变式训练2】 (2018·石家庄裕华区一模)一次函数y ＝(m －1)x ＋(m －2)的图象上有点M(x 1，y 1)和点N(x 2，y 2)，且x 1>x 2，下列叙述正确的是(B)A ．若该函数图象交y 轴于正半轴，则y 1<y 2B ．该函数图象必过点(－1，－1)C ．无论m 为何值，该函数图象一定过第四象限D ．该函数图象向上平移一个单位长度后，会与x 轴正半轴有交点 方法指导根据图象经过的象限可确定k ，b 的符号：易错提示养成画图的习惯，注意数形结合的方法. 重难点2 确定一次函数的解析式(2018·唐山乐亭县一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A(－6，0)的直线l 1与直线l 2：y ＝2x 相交于点B(m ，4)．(1)求直线l 1的解析式；(2)直线l 1与y 轴交于点M ，求△AOM 的面积；(3)过动点P(n ，0)且垂直于x 轴的直线与l 1，l 2的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，直接写出n 的取值范围．【变式】 (4)将(3)中条件“过动点P(n ，0)且垂直于x 轴的直线l 1，l 2的交点分别为C ，D ”保持不变，“当点C 位于点D 上方时”改为“且CD ＝2”，求点C 的坐标．【思路点拨】 (1)点B 在直线y ＝2x 上，所以m ＝2，即点B(2，4)，利用待定系数法可得直线l 1的解析式；(2)直线l 1与y 轴的交点坐标，利用三角形的面积公式求出三角形的面积；(3)点C 位于点D 的上方，l 1>l 2，即当n<2时．(4)当CD ＝2时，需分点C 在点D 上方和下方进行讨论．【自主解答】 解：(1)∵直线y ＝2x 经过点B ， ∴4＝2m ，∴m ＝2，即B(2，4)． 设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵直线l 1的经过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－6k ＋b ，4＝2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝3.∴直线l 1的解析式为y ＝12x ＋3.(2)∵当x ＝0时，y ＝3，∴M(0，3)． ∴S △AOM ＝12×6×3＝9.(3)n<2.(4)①当点C 在点D 上方时，有12x ＋3－2x ＝2，解得x ＝23.此时点C 的坐标为(23，103)；②当点C 在点D 下方时，有2x －(12x ＋3)＝2，解得x ＝103.此时点C 的坐标为(103，143)．【变式训练3】 (2018·郴州)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且∠AOC ＝60°，A 点的坐标是(0，4)，则直线AC 的解析式是y ＝－3x ＋4． 【变式训练4】 (2013·河北T23·10分)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P 从点A 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x ＋b 也随之移动，设移动时间为t 秒． (1)当t ＝3时，求l 的解析式；(2)若点M ，N 位于l 的异侧，确定t 的取值范围；(3)直接写出t 为何值时，点M 关于l 的对称点落在坐标轴上． 解：(1)∵直线y ＝－x ＋b 交y 轴于点P(0，b)， ∴由题意，得b ＞0，t ≥0，b ＝1＋t. 当t ＝3时，b ＝4， ∴y ＝－x ＋4.(2)当直线y ＝－x ＋b 过点M(3，2)时，2＝－3＋b ， 解得b ＝5.∵5＝1＋t ，∴t ＝4.当直线y ＝－x ＋b 过点N(4，4)时，4＝－4＋b ， 解得b ＝8.∵8＝1＋t ，∴t ＝7. ∴4＜t ＜7.(3)当t ＝1时，该对称点落在y 轴上； 当t ＝2时，该对称点落在x 轴上．方法指导用待定系数法求函数解析式是必须掌握的一种方法．要熟练掌握解二元一次方程组的方法．一次函数的图象与坐标轴的交点坐标是直线上的特殊点，常常与其他点构成三角形等图形，也是常见的一种命题形式．易错提示注意“分类讨论”思想的应用． 重难点3 一次函数与方程、不等式的关系(2017·台州改编)如图，直线l 1：y ＝2x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋4相交于点P(1，b)．(1)求b ，m 的值；(2)直接写出关于x 的不等式2x ＋1<mx ＋4的解集；(3)垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1，l 2分别交于点C ，D.若线段CD 长为2，求a 的值．【思路点拨】 (1)把点P 的坐标代入l 1求出b ，再将(1，b)代入l 2求出m ；(2)观察图象，由两直线的交点P 的横坐标可得；(3)C ，D 两点横坐标相同时，线段CD 的长等于其纵坐标的差，但要注意有两种情况．【自主解答】解：(1)∵点P(1，b)在直线l 1：y ＝2x ＋1上，∴b ＝2×1＋1＝3.∵点P(1，3)在直线l 2：y ＝mx ＋4上， ∴3＝m ＋4.∴m ＝－1. (2)x<1.(3)当x ＝a 时，y C ＝2a ＋1，y D ＝4－a.∵CD ＝2，∴|2a ＋1－(4－a)|＝2，解得a ＝13或a ＝53.∴a 的值为13或53.【变式训练5】(2018·河北模拟)观察函数y 1和y 2的图象，当x ＝0，两个函数值的大小关系为(A)A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1≥y 2 【变式训练6】(2018·呼和浩特)若以二元一次方程x ＋2y －b ＝0的解为坐标的点(x ，y)都在直线y ＝－12x ＋b －1上，则常数b ＝(B)A.12B ．2C ．－1D ．1【变式训练7】 (2018·资阳)已知直线y 1＝kx ＋1(k ＜0)与直线y 2＝mx(m ＞0)的交点坐标为(12，12m)，则不等式组mx －2＜kx ＋1＜mx 的解集为(B)A ．x ＞12B.12＜x ＜32 C ．x ＜32D ．0＜x ＜32方法指导1．解决此类题一般是先找出两函数值相等时x 的值，然后过这点作x 轴的垂线，在这个点的左侧和右侧，必然存在不等关系，最后观察图象，上方的函数值大于下方的函数值．2.在坐标系内的线段长，若线段平行于x(y)轴，则线段长等于其横(纵)坐标的差．,易错提示)线段CD 长为2时，有两种情况，在交点P 的左右都有可能．1．(2018·玉林)等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是(B)A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．二次函数2．(2018·沈阳)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是(C)A ．k>0，b>0B ．k>0，b<0C ．k<0，b>0D ．k<0，b<03．(2017·呼和浩特)一次函数y ＝kx ＋b 满足kb ＞0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过(A)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．(2017·怀化)一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P(－2，3)，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，则△AOB 的面积是(B)A.12B.14C ．4D ．85．(2018·唐山乐亭县一模)如图的坐标平面上有四直线l 1，l 2，l 3，l 4，其中方程3x －5y ＋15＝0对应的直线为(A)A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 46．(2018·济宁)在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点．若x 1<x 2，则y 1>y 2.(填“>”“<”或“＝”)7．(2017·荆州)将直线y ＝x ＋b 沿y 轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y 轴的对称点落在平移后的直线上，则b 的值为4．8．【分类讨论思想】(2018·昆明)如图，点A 的坐标为(4，2)，将点A 绕坐标原点O 旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A ′，则过点A ′的正比例函数的解析式为y ＝－43x 或y ＝－4x ．9．(2018·淮安)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(－2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1.(1)求k ，b 的值；(2)若点D 在y 轴负半轴上，且满足S △COD ＝13S △BOC ，求点D 的坐标．解：(1)当x ＝1时，y ＝3x ＝3， ∴点C 的坐标为(1，3)．将A(－2，6)，C(1，3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝6，k ＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝4.(2)当y ＝0时，－x ＋4＝0. 解得x ＝4.∴点B 的坐标为(4，0)．设点D 的坐标为(0，m)(m ＜0)， ∵S △COD ＝13S △BOC ，即－12m ＝13×12×4×3.解得m ＝－4.∴点D 的坐标为(0，－4)． 10．【数形结合思想】(2018·廊坊模拟)如图，正方形ABCD 的边长为2，BC 边在x 轴上，BC 的中点与原点O 重合，过定点M(－2，0)与动点P(0，t)的直线MP 记作l.(1)若l 的解析式为y ＝2x ＋4，判断此时点A 是否在直线l 上，并说明理由； (2)当直线l 与AD 边有公共点时，求t 的取值范围．解：(1)此时点A 在直线l 上． ∵BC ＝AB ＝2，点O 为BC 中点， ∴点B(－1，0)，A(－1，2)．把点A 的横坐标x ＝－1代入解析式y ＝2x ＋4，得 y ＝2，等于点A 的纵坐标2， ∴此时点A 在直线l 上．(2)由题意可得，点D(1，2)，及点M(－2，0)，当直线l 经过点D 时，设l 的解析式为y ＝kx ＋t(k ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋t ＝0，k ＋t ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，t ＝43.由(1)知，当直线l 经过点A 时，t ＝4.∴当直线l 与AD 边有公共点时，t 的取值范围是43≤t ≤4.11．(2018·保定竞秀区模拟)如图，已知直线l 1：y ＝－2x ＋4与直线l 2：y ＝kx ＋b(k ≠0)在第一象限交于点M.若直线l 2与x 轴的交点为A(－2，0)，则k 的取值范围是(D)A ．－2<k<2B ．－2<k<0C ．0<k<4D ．0<k<2 12．【数形结合思想】(2018·宿迁)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l ，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l 的条数是(C)A ．5B ．4C ．3D ．2 13．(2018·河北模拟)若P(m ＋1，m －1)在直线y ＝－x ＋3的下方，则m 的取值范围是m ＜32．14．(2018·保定竞秀区二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的解析式为：y ＝kx ＋x －k ＋1.若将直线l 绕A 点旋转，如图所示，当直线l 旋转到l 1位置时，k ＝2且l 1与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ；当直线l 旋转到l 2位置时，k ＝－25且l 2与y 轴交于点D.(1)求点A 的坐标；(2)直接写出B ，C ，D 三点的坐标，连接CD ，求△ADC 的面积；(3)已知坐标平面内一点E ，其坐标满足条件E(a ，a)，当点E 与点A 距离最小时，直接写出a 的值．解：(1)当k ＝2时，y ＝3x －1， 当k ＝－25时，y ＝35x ＋75.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －1，y ＝35x ＋75，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点A 的坐标为(1，2)．(2)B(0，－1)，C(13，0)，D(0，75)．∴BD ＝125，OC ＝13.∴S △ADC ＝S △ADB －S △BDC ＝12×125×1－12×125×13 ＝45. (3)a ＝32.。
一次函数的应用
一次函数的应用知识要点1.一次函数(1)一次函数的形式b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0），正比例函数的形式kx y =（k 为常数，k ≠0）正比例函数是特殊的一次函数 (2)、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。
2.一次函数的性质和正比例函数的性质（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
,／k ／的决定直线的倾斜程度，／k ／越大直线越陡，／k ／越小直线越缓 b 代表与y 轴交点的纵坐标。
当b>0 直线交y 轴正半轴 b<0直线交y 轴负半轴3.一次函数与y 轴的交点坐标为（0，b ）；一次函数与x 轴的交点坐标，另y 等于0，求出x 的值.即（—kb，0）4.一次函数与坐标轴围成的三角形面积：21×／与x 轴的交点横坐标／×／与y 轴的交点纵坐标／5.两个一次函数k 1=k 2,b 1 ≠ b 2两直线平行k 1≠k 2,b 1= b 2两直线相交于y 轴上的点（0，b ）、k 1×k 2=-1.两直线垂直6.直线y=2x 向上平移三个单位得到y=2x+3，向下平移三个单位得到y=2x-37.在实际问题的图像常取在第一象限，读图时注意x 轴y 轴代表的信息，若图中有两条直线应标注各个直线的名称。
8.一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应x 的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．典型例题1．某移动公司开设了两种通信业务：“全球通”要缴月租费50元．另外每分钟通话费元；“神州行”不缴月租费，但每分钟通话费元．若一个月通话x（min），两种收费方式的费用分别为y1和y2元．、（1）求y1、y2与x的函数解析式（2）一个月内通话多少分钟，两种收费方式的费用是相同的（3）若x=300，选择哪种收费方式更合适2．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，如图所示的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为km；（2）请解释图中点B的实际意义；、（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．3．某市出租汽车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费元．)（1）写出应收车费y（元）与出租汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式．（2）小明乘坐出租车行驶4千米应付多少元（3）若小华付车费元，则出租车行驶了多少千米4．李老师每天坚持晨跑．如图反映的是李老师某天6：20从家出发小跑到赵化北门，在北门休息几分钟后又慢跑回家的函数图象．其中x（分钟）表示所用时间，y（千米）表示李欢离家的距离．（1）分别求出线段0≤x≤10和15≤x≤40的函数解析式；.（2）李老师在这次晨跑过程中什么时间距离家500米$5．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm ）与所挂物体的质量（kg ）之间的关系如下表：所挂物体的质量（kg ） 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度（cm ）^12131415（1）如果物体的质量为x kg ，弹簧长度为y cm ，根据上表写出y 与x 的关系式； （2）当物体的质量为时，根据（1）的关系式，求弹簧的长度；（3）当弹簧的长度为17cm 时，根据（1）的关系式，求弹簧所挂物体的质量．【6．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球定价每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的九折优惠．某边需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）设购买乒乓球盒数为x （盒），在甲商店付款为y 甲（元），在乙商店付款为y 乙（元），分别写出y 甲，y 乙与x 的关系式；（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算]7．百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，某市举行龙舟赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时，路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）最先达到终点的是队，比另一对早分钟到达；（2）在比赛过程中，乙队在第分钟和第分钟时两次加速；（3）求在什么时间范围内，甲队领先（4）相遇前，甲乙两队之间的距离不超过30m的时间范围是．'8．甲、乙两个工程队共同修建一条乡镇公路，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队遇到山坡路段，工作效率降低，当乙队完成山坡路段时恰好公路修建完成，此时甲队工作了60天，设甲、乙两队各自修建的公路的长度为y（米），甲队工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．（1）求甲队的工作效率；（2）求乙队在山坡路段施工时，y与x之间的函数关系式；（3）求这条乡镇公路的总长度．9．如图，在四中八年级学生耐力测试赛中，甲、乙两学生跑的距离S（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD．根据图象的信息，解答以下问题：（1）甲同学前15秒跑了米，同学先到终点．（2）出发后第几分钟两位同学第一次相遇本次测试的全程是多少米^（3）两位同学第二次相遇是在距终点多远的地方10．某校张老师暑假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：（1）设学生数为x（人），甲旅行社收费为y甲（元），乙旅行社收费为y乙（元），两家旅行社的收费各是多少（2）哪家旅行社收费较为优惠:经典练习11．某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的进价与售价（单位：元/箱）如下表所示类别进价$售价甲2436乙3348（1）若某商场为购进甲、乙两种矿泉水共投入资金为13800元．①该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱②全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元（2）若设购进甲种矿泉水x箱，全部售完后商场共获得利润为y元．~③求出y与x之间的函数关系式；④若商场进货部门拟定了两种进货方案：方案a：甲、乙两种矿泉水各进250箱，方案b：甲种矿泉水进300箱，乙种矿泉水进200箱，哪一种进货方案获利大12．小王计划租一间商铺，下面是某房屋中介提供的两种商铺的出租信息：设租期为x（月），所需租金为y（元），其中x为大于1的整数．（元），（1）若小王计划租用的商铺为90m2，请分别写出在商座A，B租商铺所需租金yA（元）与租期x（月）之间的函数关系式；yB（2）在（1）的前提下，请你帮助小王分析：根据租期，租用哪个商座的商铺房租更低．\13．甲乙两台智能机器人从同一地点P出发，沿着笔直的路线行走了450cm到点Q．甲比乙先出发，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．甲匀速走完全程．两机器人行走的路程y（cm）与时间x（s）之间的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙比甲晚出发秒，乙提速前的速度是每秒cm，t= ；（2）当x为何值时，乙追上了甲（3）若两台机器人到达终点Q后迅速折返，并保持折返前的速度继续匀速行走返回到点P，乙比甲早到多长时间)14．一个容积为400升的水箱，安装A、B两个进水管向水箱注水，注水过程中A水管始终打开，两水管进水的速度保持不变，当水箱注满时，两水管自动停止注水，注水过程中水箱中水量y（升）与A管注水时间x（分）之间的函数图象如图所示．（1）分别求出A、B两注水管的注水速度．（2）当8≤x≤16时，求y与x之间的函数关系式．（3）当两水管的注水量相同时，直接写出x的值．15．为了保证安全，某仓库引进A型、B型两台机器人搬运某种有毒货物到仓库存放，这两台机器人充满电后，各能连续工作5h，按照指令，A型机器人于某日零时开始搬运，过（kg）与A型了1h，B型机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（kg）与A 机器人搬运时间x（h）之间的关系图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB型机器人的时间x（h）之间的关系图象，根据图象提供的信息解答下列问题：（1）点P表示的意义为：当x=3h时（2）直接写出线段OG所表示的搬运量与时间x（h）之间的关系式（3）A型机器人每小时搬运有毒货物kg，B型机器人每小时搬运有毒货物kg．—（4）到工作结束（各5h），A型、B型两台机器人共搬运多少有毒货物16．一辆机动车以40km/h的速度匀速行驶若干小时候，邮箱中剩余的油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的关系如下：行驶时间t（h） 0 1 2 3}…剩余油量Q（L） 42 36 30 24…根据以上信息，解答下列问题：（1）机动车出发前油箱内存油L；每小时耗油量为L；（2）写出Q与t的函数关系式；（3）若该机动车从出发到目的地的路程为300km，问邮箱中的油够用吗为什么（17．我市某风景区门票价格如图所示，某旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元．@18．如图，分别表示甲步行与乙汽自行车（在同一条路上）行走的路程S甲、S乙与时间t的关系，观察图象并回答下列问题：（1）乙出发时，乙与甲相距千米；（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为小时；（3）乙从出发起，经过小时与甲相遇；（4）甲行走的平均速度是多少千米/小时（5）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗为什么￥19．某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购买量在3000kg 以上（含3000kg）的顾客采用两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元．（1）分别写出该公司两种购买方案付款金额y（元）与所购买的水果量x（kg）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少并说明理由．20．移动营业厅推出两种移动电话计费方式：方案一，月租费用15元/月，本地通话费用元/分钟，方案二，月租费用0元/月，本地通话费用元/分钟．（1）以x表示每个月的通话时间（单位：分钟），y表示每个月的电话费用（单位：元），分别表示出两种电话计费方式的函数表达式；（2）问当每个月的通话时间为300分钟时，采用哪种电话计费方式比较合算…21．小文，小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一时间后，小亮骑自行车沿相同路线行走，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与小文出发时间t（分）之间的关系如图所示．（1）求小文和小亮的速度各是多少（2）求学校到少年宫的距离．（3）求图中的a，b的值．22．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，乙出发2h后甲再出发，且甲、乙两人离A地的距离y甲、y乙与时间x之间的函数图象如图所示．（1）乙的速度是km/h；（2）当2≤x≤5时，求y甲关于x的函数解析式；；（3）当甲与B地相距120km时，乙与A地相距多少千米23．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，根据图象中的信息解答以下问题：（1）A，B两地相距km；（2）分别求出摩托车和汽车的行驶速度；（3）若两图象的交点为P，求点P的坐标，并指出点P的实际意义．《参考答案与试题解析1．某移动公司开设了两种通信业务：“全球通”要缴月租费50元．另外每分钟通话费元；“神州行”不缴月租费，但每分钟通话费元．若一个月通话x（min），两种收费方式的费用分别为y1和y2元．（1）求y1、y2与x的函数解析式（2）一个月内通话多少分钟，两种收费方式的费用是相同的（3）若x=300，选择哪种收费方式更合适【解答】解：（1）根据题意得y1=50+；]y2=；（2）当y1=y2，则50+=，解得x=250．∴通话250分钟两种费用相同；（3）当x=300时，y1=50+=50+×300=170，y2==×300=180，∴y1＜y2，∴选择“全球通”比较合算．2．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，如图所示的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为900 km；(（2）请解释图中点B的实际意义；（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）由图象可得，甲、乙两地之间的距离为900km，故答案为：900；（2）图中点B的实际意义时当两车出发4小时时相遇；（3）由题意可得，慢车的速度为：900÷12=75km/h，快车的速度为：（900﹣75×4）÷4=150km/h，[即慢车的速度是75km/h，快车的速度是150km/h；（4）由题可得，点C是快车刚到达乙地，∴点C的横坐标是：900÷150=6，纵坐标是：900﹣75×6=450，即点C的坐标为（6，450），设线段BC对应的函数解析式为y=kx+b，∵点B（4，0），点C（6，450），∴，得，即线段BC所表示的y与x之间的函数关系式是y=225x﹣900（4≤x≤6）．3．某市出租汽车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费元．？（1）写出应收车费y（元）与出租汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式．（2）小明乘坐出租车行驶4千米应付多少元（3）若小华付车费元，则出租车行驶了多少千米【解答】解：（1）y=，y=（2）x=4时y=×4+=（元）小明乘坐出租车行驶4千米应付元（3）y=时+=，所x=11若小华付车费元，则出租车行驶了11千米4．李老师每天坚持晨跑．如图反映的是李老师某天6：20从家出发小跑到赵化北门，在北门休息几分钟后又慢跑回家的函数图象．其中x（分钟）表示所用时间，y（千米）表示李欢离家的距离．（1）分别求出线段0≤x≤10和15≤x≤40的函数解析式；￥（2）李老师在这次晨跑过程中什么时间距离家500米【解答】解：（1）设OA的解析式为y1=kx，则10k=2，解得k=，所以，y=x，设直线BC解析式为y2=k1x+b，∵函数图象经过点（15，2），（40，0），∴，解得．所以，直线BC解析式为y=﹣x+；~∴线段0≤x≤10的函数解析式为y1=x（0≤x≤10），线段15≤x ≤40的函数解析式为y 2=﹣x+（15≤x ≤40）；（2）当y 1=时，=x ，x=当y 2=时，=﹣x+，x==， ∴李老师在这次晨跑过程中分别于6点分和6点分距离家500米．5．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm ）与所挂物体的质量（kg ）之间的关系如下表：所挂物体的质量（kg ） 0 1 2 & 34 5 6 7弹簧的长度（cm ） 12 13 14 $15 （1）如果物体的质量为x kg ，弹簧长度为y cm ，根据上表写出y 与x 的关系式；（2）当物体的质量为时，根据（1）的关系式，求弹簧的长度；（3）当弹簧的长度为17cm 时，根据（1）的关系式，求弹簧所挂物体的质量．【解答】解：（1）由表可知：常量为，12，所以，弹簧总长y （cm ）与所挂重物x （㎏）之间的函数关系式为y=+12，（2）当x=时，y=×+12=，∴弹簧的长度是；（3）当y=17时，即+12=17，…∴x=10，∴弹簧所挂物体的质量是10kg ．6．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球定价每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的九折优惠．某边需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）设购买乒乓球盒数为x （盒），在甲商店付款为y 甲（元），在乙商店付款为y 乙（元），分别写出y 甲，y 乙与x 的关系式；（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算【解答】解：（1）y 甲=20×4+5（x ﹣4）=60+5x （x ≥4）；y乙=20××4+5×=+72（x≥4）；（2）y甲=y乙时，60+5x=+72，解得x=24，即当x=24时，到两店一样合算；y甲＞y乙时，60+5x＞+72，解得x＞24，即当x＞24时，到乙店合算；。
一次函数与二次函数
一次函数与二次函数一、引言在数学中，一次函数和二次函数是代数学中常见的函数类型。
它们在数学和实际应用中有着广泛的应用和重要性。
本文将分别介绍一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及实际应用，并着重探讨它们的区别和联系。
二、一次函数1. 定义一次函数又被称为线性函数，它的定义可以表示为：f(x) = ax + b其中，a和b为常数。
2. 性质（1）斜率和截距：一次函数的斜率用a表示，表示直线与x轴正向所成角的正切值。
截距用b表示，表示直线与y轴交点的纵坐标。
（2）图像：一次函数的图像是一条直线，斜率为正表示向上斜，斜率为负表示向下斜。
（3）特殊情况：当a为0时，一次函数化为常数函数f(x) = b，图像为水平直线。
3. 实际应用（1）经济学：一次函数可以用来描述市场需求曲线、供应曲线以及成本函数等经济学中的关系模型。
（2）物理学：一次函数可以用来描述匀速直线运动的位移、速度、加速度等物理量之间的关系。
三、二次函数1. 定义二次函数是指形如下式的函数：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数且a ≠ 0。
2. 性质（1）顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中，b为一次项系数，a为二次项系数，f表示函数。
（2）开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定，当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
（3）图像：二次函数的图像通常是一个抛物线。
3. 实际应用（1）物理学：二次函数可以用来描述自由落体运动的位置、速度等物理量之间的关系。
（2）金融学：二次函数可以用来模拟金融衍生品的价格变动曲线、风险管理模型等。
四、一次函数与二次函数的区别和联系1. 区别（1）定义：一次函数是一次多项式，二次函数是二次多项式。
（2）图像形状：一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。
（3）解的个数：一次函数的解只有一个，即一次方程的根；而二次函数可以有零个、一个或两个解，即二次方程的根。
函数专题突破3 一次函数
函数专题突破三 一次函数类型一、一次函数（正比例函数）的概念例1、下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？例3、写出下列各题中x 与y 之间的解析式，并判断y 是否是x 的一次函数.（1）在时速为70千米的匀速运动中，路程y (千米)与时间x (小时)的关系；（2）居民用电标准是每千瓦时0.53元，则电费y (元)与用电量x (千瓦时)之间的关系；（3）汽车离开A 站4千米，再以40千米/时的平均速度行驶了t 小时，那么汽车离开A 站的距离y (千米)与时间(小时)之间的关系；（4）某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费用，则旅客需交的行李费y (元)与携带行李重量x (千克)之间的关系.A.①B.①②C.②③D.①④ 检测2、已知函数3)2(32+-=-m x m y 是关于x 的一次函数，则m =__________ ．检测3、红星机械厂有煤80吨，每天需烧煤5吨，求工厂余煤量y (吨)与烧煤天数x (天)之间的函数表达式，指出y 是不是x 的一次函数，并求自变量x 的取值范围.类型二、一次函数（正比例函数）的图象与性质例4、已知在函数b kx y +=，其中常数0>k 、0<b ，那么这个函数的图象不经过的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例5、（1）直线x k y )1(2+=一定经过第__________象限.（2）直线m x y -+=3不过第二象限，则m 的取值范围是多少？（3）一次函数m x m y -+-=3)1(的图象经过第一、三、四象限，则m 的取值范围是_____ .例6、一次函数k kx y +=的图象可能是（ ）A. B. C. D.例7、已知点),1(a M 和点),2(b N 是一次函数12+-=x y 图象上的两点，则a 与b 的大小关系是______.A. －1B. 1C. 3D. －1或3检测2、一次函数b kx y -=的图象(其中0<k ，0>b 大致是（ ） A. B. C. D.检测3、一次函数a x a y -+-=3)2(一定经过第________象限. 检测4、如图，两直线b kx y +=1和k bx y +=2在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）A. B. C. D.检测5、若一次函数b kx y +=的图象经过点)1,(1x A ，)2,(2-x B ，已知21x x <，则k ____0.(填“>”、“<”或“=”) 类型三、根据条件确定一次函数的解析式例8、如图，该直线是某个一次函数的图象，则此函数的解析式为__________.例9、如图，正比例函数x y 2=的图象与一次函数b kx y +=的图象交于点)2,(m A ，一次函数图象经过点)1,2(--B ，与y 轴的交点为C ，与x 轴的交点为D .（1）求一次函数解析式. （2）求C 点的坐标. （3）求AOD ∆的面积.例10有交点时，b 的取值范围是( )检测1、一次函数b kx y +=的图象经过点)3,8(-M ，且当4=x 时，0=y .（1）求函数的解析式；（2）求函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.检测2、如图，一次函数的图象经过A ，B 两点，则这个一次函数的解析式是( )检测4、 如图，在平面直角坐标系中，直线y =2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．若点P （－1，a ）在△AOB 内部，则a 的取值范围是（ ）A.0＜a ＜2B.0＜a ＜2.5C.2＜a ＜4D.0＜a ＜4类型四、利用一次函数解决实际问题 例11、小丽一家利用元旦三天驾车到某景点旅游，小汽车出发前油箱有油)(36L ，行驶若干小时后，中途在加油站加油若干升，油箱中剩余油量)(L Q 与行驶时间)(h t 之间的关系如图所示，根据图象回答问题.（1）汽车行驶_____（h ）后，中途加油_____（L ）.（2）求加油前油箱剩余油量Q 与行驶时间t 之间的函数关系式.（3）如果加油站距景点)(200km ，车速为)/(80h km ，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由.例12、现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示：按每千克16元收费，另收包装费3元.设小明快递物品x 千克.（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y （元）与x （千克）之间的函数关系式.（2）小明选择哪家快递公司更省钱.例13、在国道202公路改建工程中，某路段长4000米，由甲乙两个工程队拟在30天内(含30天)合作完成，已知两个工程队各有10名工人(设甲乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天的工作量相同，乙工程队每人每天的工作量相同)，甲工程队1天，乙工程队2天共修路200米；甲工程队2天，乙工程队3天共修路350米. （1）试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米？（2）甲乙两个工程队施工10天后，由于工作需要需从甲队抽调m人去学习新技术，总部要求在规定时间内完成，请问甲队可以抽调多少人？（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲乙两队需各做多少天？最低费用为多少？检测1、一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm．（1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式；（2）该蚊香可点燃多长时间？检测2、为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需要通过A港口，B港口分别运送100吨和50吨生活物资，已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨.若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示.（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总费用y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围.（2）求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案.检测3、为了落实党中央提出的“惠民政策”，我市今年计划开发建设A、B两种户型的“廉租房”共40套.投入资金不超过200万元，又不低于198万元.开发建设办公室预算：一套A型“廉租房”的造价为5.2万元，一套B型“廉租房”的造价为4.8万元.（1）请问有几种开发建设方案？（2）哪种建设方案投入资金最少？最少资金是多少万元？（3）在（2）的方案下，为了让更多的人享受到“惠民”政策，开发建设办公室决定通过缩小“廉租房”的面积来降低造价、节省资金.每套A户型“廉租房”的造价降低0.7万元，每套B户型“廉租房”的造价降低0.3万元，将节省下来的资金全部用于再次开发建设缩小面积后的“廉租房”，如果同时建设A、B两种户型，请你直接写出再次开发建设的方案.【综合训练】【实战演练】1、下列函数中，一次函数一共有（ ）个.A.1个B.2个C.3个D.4个2、直角三角形两个锐角A ∠与B ∠的函数关系是（ ）A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数3、已知点),(b k 为第四象限内的点，则一次函数b kx y +=的图象大致是（ ）A. B. C. D.4、一次函数b kx y +=1与a x y +=2的图象如图，则下列结论中：①0<k ；②0>a ；③0>b ；④a b k +<+1.正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45、对于函数12+-=x y ，下列结论正确的是（ ）A.它的图象必经过点)2,1(-B.它的图象经过第一、二、三象限C.当1>x 时，0<yD.y 的值随x 值的增大而增大6、点),1(1y 、),2(2y 都在一次函数b kx y +=)0(>k 的图象上，则1y ____2y (填“>”或“=”或“<”).7、已知变量y 与x 的函数图象如图，则函数关系式为（ ） 2289、如图，矩形ABCD 的边AB 在y 轴上，AB 的中点与原点重合，2=AB ，1=AD ，过定点)0,3(Q 和动点),0(a P 的直线与矩形ABCD 的边有公共点，则a 的取值范围是（ ）10、高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转车出租车取游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y(千米)与乘车时间t(小时)的关系如图所示. 请结合图象解决下面问题：（1）高铁的平均速度是每小时多少千米？（2）当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？（3）若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？11、孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升.某校计划购进A ，B 两种树木共100棵进行校园绿化升级.经市场调查：购买A 种树木2棵，B 种树木5棵，共需600元；购买A 种树木3棵，B 种树木1棵，共需380元.（1）求A 种，B 种树木每棵各多少元.（2）因布局需要，购买A 种树木的数量不少于B 种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其它因素），实际付款总金额按市场价九折优惠.请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.12、m x m y m 3)1(+-=表示一次函数，则m 等于________13、若一次函数b x y +-=2的图像不经过第三象限，试确定b 的取值范围_________.14、已知等腰三角形的周长为20，底边长为y ，腰长为x .（1）直接写出y 与x 的函数关系式，自变量x 的取值范围？（2）画出函数图象.15、已知一次函数32++=k kx y 的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x 的增大而减小，则k 所能取得的整数值为_____.16、已知一次函数32++=k kx y 的图象一定过第三象限，求k 的取值范围.17、已知直线)0(≠=k kx y 经过点)4,2(-，那么该直线的表达式为________；若该直线向右平移3个单位后得到的直线表达式为________．18、把直线x y 2-=绕原点逆时针旋转︒90，得到的直线的解析式为__________. 19、如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数x y 2=的图象相交于点B ，则这个一次函数的解析式是（ ）A. 32+=x yB. 3-=x yC. 32-=x yD. 3+-=x y20、在上一题的条件下，在直线AB 上是否存在一点P ，使得OAB OBP S S ∆∆=3？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.。
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一次函数
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. （2014温州）一次函数y =2x +4的图象与y 轴交点的坐标是（ ）
2. （2014邵阳）已知点M （1，a ）和点N （2，b ）是一次函数y =﹣2x +1图象上的两点，则a 与b 的大小关系是（ ）
3.下列四个点中，在正比例函数5
y x =-
的图象上的点是（ ） A ．()25， B ．()52， C ．()25-， D ．()52-，
4. (2014陕西)若点A （﹣2，m ）在正比例函数y=﹣x 的图象上，则m 的值是（ ） A ．-2 B ．2 C ．1 D ． ﹣1
5.一次函数(2)2y m x =--的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．0m > C ．2m < D ．2m >
6.直线1y x =-的图象经过的象限是（ ）
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
7. 若一次函数y kx b =+的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的正半轴相交，那 么对k 和b 的符号判断正确的是（ ）
A ．00k b >>，
B ．00k b ><，
C ．00k b <>，
D ．00k b <<，
8.已知一次函数()0y kx b k =+≠经过()21-，、()34-，两点，则它的图象不经过．．．（ ）． （A ）第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限 （D ）第四象限
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0,3），△OAB 沿x 轴向右平移后得到
△O 'A 'B '，点A 的对应点在直线3
4
y x =上一点，则点B 与其对应点B '间的距离为（ ） （A ）
9
4
. （B ）3. （C ）4. （D ）5 .
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.已知点(5)A a -，，(4)B b ，在直线32y x =-+上，则a ________b ． 12. 在一次函数23y x =+中，y 随x 的增大而__________（填“增大”或“减小”）
13. （2014泰州）将一次函数y =3x ﹣1的图象沿y 轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为 ．
14.已知一次函数3y kx k =+-的图象经过点（2，3），则k 的值为_________．
15. 在正比例函数3y mx =-中，函数y 的值随x 的增大而增大，则(5)P m ， 在第________象限． 16. 将直线 y =－x +4 向下平移3个单位后，得到的直线所对应的函数关系式为 . 17.（2014株洲）直线y =k 1x +b 1（k 1＞0）与y =k 2x +b 2（k 2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y
轴围城的三角形面积为4，那么b 1﹣b 2等于 ．
18. （2014四川成都）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=2x+1的图象经过P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，
y 2）两点，若x 1＜x 2，则y 1 y 2．（填“＞”“＜”或“=”）
19.（2014四川广安）直线y=3x+2沿y 轴向下平移5个单位，则平移后
直线与y 轴的交点坐标为 ．
20.（2014山东烟台）如图，已知函数y =2x +b 与函数y =kx ﹣3的
图象交于点P ，则不等式kx ﹣3＞2x +b 的解集是 ． 三、解答题（共40分）
21. 如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，－2）．
（1）求直线AB 所对应的函数关系式．
（2）点C 在直线AB 上，且S △BOC =2，求点C 的坐标．
2
22. (2014年四川资阳)如图，一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象过点P （﹣，0），且与反比例函数
m
y x
（m ≠0）的图象相交于点A （﹣2，1）和点B ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比
例函数的函数值．
23.（2014福建泉州）某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车
沿直线轨道AC 做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A ，B 出发，沿轨道到达C 处，在AC 上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t （分）后甲、乙两遥控车与B 处的距离分别为d 1，d 2，则d 1，d 2与t 的函数关系如图，试根据图象解决下列问题： （1）填空：乙的速度v 2= 米/分． （2）写出d 1与t 的函数关系式．
（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车
的信号不会产生相互干扰．
24. （2014新疆）如图1所示，在A ，B 两地之间有汽车站C 站，客车由A 地驶往C 站，货车由B
地驶往A 地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C 站飞路程y 1，y 2（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象． （1）填空：A ，B 两地相距_______千米．
（2）求两小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式． （3）客、货两车何时相遇．
25. （2014新疆）如图，直线y =﹣x +8与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，动点P 从A 点出发，
以每秒2个单位的速度沿AO 方向向点O 匀速运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿BA 方向向点A 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ≤3）． （1）写出A ，B 两点的坐标．
（2）设△AQP 的面积为S ，试求出S 与t 之间的函数关系式；并求出当t 为何值时，△AQP
的面积最大．
（3）当t 为何值时，以点A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABO 相似，并直接写出此时点Q 的
坐标．。