ARMA模型的特性(精)

第三章 ARMA 模型的特性本章为本书重点之一，主要掌握三类模型的格林函数形式、平稳性和可逆性条件、AFC 和PAFC 的形式和特点。

第一节 线性差分方程一、 后移(Backshift)算子:1. 定义：后移算子B 定义为1t t BX X -=，从而m t t m B X X -=。

2. 后移算子的性质：(1) 常数的后移算子为常数：Bc c =(2) 分配律：()m n m n t t t t m t n B B X B X B X X X --+=+=+ (3) 结合律：()m n m n m t t t n t m n B B X B B X B X X ---=== (4) 后移算子B 的逆为前移算子11t t B X X -+=(5) 对于1ϕ<，无限求和得2233(1 (1)t X B B B X Bϕϕϕϕ++++=-前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分别表示为：()t t X B a θ=()t t B X a ϕ= ()()t t B X B a ϕθ=其中：212()1n n B B B B ϕϕϕϕ=---- 212()1m m B B B B θθθθ=----二、 线性差分方程11221122t t t n tnt t t m t mX X X X a a a aϕϕϕθθθ----------=---- 可将写成()()t t B X B a ϕθ=这里212()1n n B B B B ϕϕϕϕ=---- 212()1m m B B B B θθθθ=----差分方程通解为：()()t X C t I t =+ 这里，C (t)是齐次方程解，I (t)是特解。

三、 齐次方程解的计算无重根 考虑齐次差分方程 ()0t B X ϕ=其中12()(1)(1)(1)n B G B G B G B ϕ=---假定G 1，G 2，…，G n 是互不相同，则在时刻t 的通解：1122t ttt n nX AG A G A G =+++ 其中A i 为常数（可由初始条件确定）。

重根 设()0B ϕ=有d 个相等的根10G -，可验证通解为 2101210()d tt d X A At A t A t G --=++++ 对一般情形，当()B ϕ的因式分解为 /120(1)(1)(1)(1)d n G B G B G B G B ----齐次方程解便是 /101()d n tjt k jiij i C t G A t DG-===+∑∑因此，齐次方程解是由衰减指数项G t 、多项式t j 、衰减正弦项D t sin(2πf 0t+F)，以及这些函数的组合混合生成的。

上述过程中计算i G 并不方便，通常通过解方程1212...0nn n n λϕλϕλϕ------=得到其根为：,1,2,...,i i n λ=。

由于1212...0nn n n λϕλϕλϕ------=的根与21210n n B B B ϕϕϕ----=的根互为倒数，因此i i G λ=。

非齐次方程的特解通常情况下不容易得到，没有一个“万能钥匙”，需要具体问题具体分析，只能对一些具有特殊形式非齐次项的方程进行讨论。

此处丛略。

第二节 格林函数(Green ’s function)和平稳性(Stationarity)一、 格林函数(Green ’s function)1、 定义：设零均值平稳序列{,0,1,2,...}t X t =±±能够表示为t j t j j X G a ∞-==∑ （1）则称上式为平稳序列t X 的传递形式，式中的加权系数j G 称为格林（Green ）函数，其中01G =。

2、 格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。

式（1）可以记为()t t X G B a = （2）其中()0jjj G B G B∞==∑。

式（1）表明具有传递形式的平稳序列t X 可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“()0jjj G B G B∞==∑”的作用而生成，j G 是j 个单位时间以前加入系统的干扰项t j a -对现实响应t X 的权，亦即系统对t j a -的“记忆”。

二、 AR （1）系统的格林函数由AR （1）模型111111212111().........t t t t t tt t t t t t X X a X X a X a a a a ϕϕϕϕαϕϕ------=⇒=+=++==+++即：10jtt j j X a ϕ∞-==∑则AR(1)模型的格林函数1j j G ϕ=。

如若11ϕ→，则j G 随着j 的增大而缓慢减小，表明系统的记忆较强；相反，若10ϕ→，则j G 随着j 的增大而急剧减小，表明系统的记忆较弱.例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR （1）系统对扰动t α的记忆情况（三个序列由同一正态白噪声序列模拟生成）：-4-20246102030405060708090100-4-224610203040506070809010010.9t t t X X a -=+ 10.1t t t X X a -=+-6-4-2024610203040506070809010010.9t t t X X a -=-+比较前后三个不同参数的图，可以看出： （１） 1ϕ取正值时，响应波动较平坦。

（２） 1ϕ取负值时，响应波动较大。

（３） 1ϕ越大，系统响应回到均衡位置的速度越慢，时间越长。

由于21111211220......jt t jt t t t t t j X aa a a a a a ϕϕϕθθ∞-----===+++=+++∑其中1j j ϕθ=，因此AR （1）模型可用一个无限阶MA 来逼近，这说明AR 模型是一种长效记忆模型。

三、AR 系统的平稳性1、由平稳性的定义求AR(1)系统的平稳性条件将AR （1）模型11t t t X X a ϕ-=+两边平方再取数学期望，得到1122112221112221()()()()2()()t t t t t t t t aE X E X a E X E a E X a E X ϕϕϕϕσ----=+=++=+如果序列t X 是平稳的，则有122()()t t E X E X -=，由上式可得 2221(1)()ta E X ϕσ-= 2221()(1)at E X σϕ=-由于2()t E X 是非负的，所以2210(1)aσϕ≥-，从而11ϕ<，这就是AR （1）模型的平稳性条件。

利用滞后算子B ，AR （1）模型可以写为()t t B X a ϕ=式中1()1B B ϕϕ=-，那么平稳性条件11ϕ<就等价于()0B ϕ=的根在单位圆外（或1()0ϕλλϕ=-=的根落在单位圆内）。

上述平稳条件可以推广到AR （n ）模型，即()t t B X a ϕ=其中：212()1n n B B B B ϕϕϕϕ=----的平稳性条件为：()0B ϕ=的根在单位圆外（或1212()0n n n n ϕλλϕλϕλϕ--=----=的根在单位圆内）。

2、由格林函数求AR(1)模型的平稳性条件对于AR(1)系统来说，其平稳性条件也可以由格林函数得出。

如果系统受扰后，该扰动的作用渐渐减小，直至趋于零，即系统响应随着时间的增长回到均衡位置，那么，该系统就是平稳的。

相对于格林函数来说，就是随着j →∞，扰动的权数0j G →，由于j G ＝1jϕ故必有j →∞，10jϕ→，显然，11ϕ<这就是AR(1)系统平稳性条件。

反过来，若11ϕ<，则称AR(1)为渐近稳定的，也必是平稳的。

11ϕ=时，j G =1; 当1ϕ=1时,j G =(-1)j 当1ϕ=-1时这时，虽然响应不回到其均衡位置，但仍是有界的，这时系统为临界稳定的，系统可能存在某种趋势或季节性。

当11ϕ>时，j →∞，j G →∞，任意小的扰动只要给定足够的时间，就会使系统响应正负趋于无穷，永远不会回到其均衡位置，这时系统便是不稳定的，当然是非平稳的。

例：求AR （2）模型的平稳域 解：特征方程212()0ϕλλϕλϕ=--=的根1λ=，2λ=122λλϕ=-，121λλϕ+=根据AR 模型的平稳性的条件1(1,2)i i λ<=2121ϕλλ=<()()21121212111ϕϕλλλλλλ+=+-=---()()21121212()111ϕϕλλλλλλ-=--+=-++ 由于12,ϕϕ是实数，12,λλ必同为实数或共轭复数，由于1(1,2)i i λ<=，因此()()21121111ϕϕλλ=-±±<故AR （2）模型的平稳域为22121111ϕϕϕϕϕ⎧<⎪+<⎨⎪-<⎩ 四、格林函数与Wold 分解(Wold ’s Decomposition)所谓Wold 分解也叫正交分解，其核心就是把一个平稳过程分解成不相关的随机变量的和。

由于这一思想是由Wold 引入(1938年)到时序分析中的，故叫做Wold 分解。

他认为可以用线性空间来解释ARMA 模型的解。

在n 维线性空间Ln 中，n 个线性无关的向量12,,...n a a a 称为空间的一组基。

设β可由12,,...n a a a 线性表示：1122...n n k a k a k a β=+++其中i k 由向量β和i a 唯一确定，i k 称为向量β关于基i a 的坐标。

如果用线性空间的观点来看AR(1)模型的解10j t t j j X a ϕ∞-==∑由于t j a -是相互独立的，可看作线性空间的基j α(或无限维坐标轴)，显然t X 可由t j a -线性表示，其系数j G 就是t X 对于t j a -的坐标，t X 就是j G t j a -的正交向量的和。

因而上式也叫做Wold 分解式，其系数叫Wold 系数。

格林函数和Wold 系数是同一客体从不同角度观察的结果，二者是完全一致的。

Wold 系数是线性空间解释，格林函数是系统解释。

五、ARMA 模型格林函数的通用解法ARMA(n,m)模型()()t B X B ϕθ=且 ()t t X G B a =则 ()()()B G B B ϕθ=令 *,00,j jj nj nϕϕ≤≤⎧=⎨>⎩*,00,l l l m l mθθ≤≤⎧=⎨>⎩则()()()B G B B ϕθ=化为**000j k l j k l j k l B G B B ϕθ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑比较等式两边B 的同次幂的系数，可得**0,1,2,3,...lj l jl j Gl ϕθ-===∑由上式，格林函数可从1l =开始依次递推算出。