圆锥曲线焦点弦的定点分比
【高考】圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹.以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点F 作相应准线的垂线,垂足为K ,以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系.椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为: θρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离,p >0 .当0<e <1时,方程表示椭圆;当e >1时,方程表示双曲线,若ρ>0,方程只表示双曲线右支,若允许ρ<0,方程就表示整个双曲线;当e=1时,方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点),P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点,则 ∵PQ e PF =,∴)cos (p PF e PF +=θ,其中FH p =,=θ〈x 轴,FP 〉 ∴焦半径θcos 1e ep PF -=. 当P 在双曲线的左支上时,θcos 1e ep PF +-=. 推论:若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ,则有epNF MF 211=+.三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ,1、椭圆中,c b c c a p 22=-=,θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中,若M 、N 在双曲线同一支上,θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=; 若M 、N 在双曲线不同支上,2222cos 2cos 1cos 1ac ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中,θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P (x,y )是圆锥曲线上的点,1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,则ex a PF +=1,ex a PF -=2;2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点,当点P 在双曲线右支上时,a ex PF +=1,a ex PF -=2;当点P 在双曲线左支上时,ex a PF --=1,ex a PF -=2;3、若F 是抛物线的焦点,2p x PF +=.。
高考数学《圆锥曲线定点定值问题之定比点差法》
圆锥曲线定点定值问题之定比点差法一:定比点差法原理定比分点:若,MB AM λ=则称点M 为AB 的入定比分点,若()()2211,,,y x B y x A 则⎪⎭⎫ ⎝⎛++++λλλλ1,1:2121y y x x M 若MB AM λ=且NB AN λ-=,则称N M ,调和分割B A ,,根据定义,那么B A ,也调和分割N M ,.1.定理:在椭圆或双曲线中,设A,B 为椭圆或双曲线上的两点。
若存在P ,Q 两点,满足PBAP λ=,QBAQ λ-=,一定有122=±b y y a x x Q P QP 证明:若()()2211,,,y x B y x A , PB AP λ=,则⎪⎭⎫⎝⎛++++λλλλ1,1:2121y y x x P,QB AQ λ-=则⎪⎭⎫⎝⎛----λλλλ1,1:2121y y x x Q ,有2211222222222221x y a b x y a b ①②①—②得:()()()()121212122221.x x x x y y y y a b λλλλλ+-+-±=-即11111112121221212=--•++•±--•++•λλλλλλλλy y y y b x x x x a122=±by y ax x Q P Q P2.在抛物线pxy 22=中,设A,B 为抛物线上的两点。
若存在P ,Q 两点,满足PBAP λ=,QBAQ λ-=,一定有)(Q P Q P x x p y y +=证明:若()()2211,,,y x B y x A , PB AP λ=,则⎪⎭⎫⎝⎛++++λλλλ1,1:2121y y x x P,QB AQ λ-=则⎪⎭⎫ ⎝⎛----λλλλ1,1:2121y y x x Q ,有2112222222y px y px ①②①—②得:22222121122()y y p x x x x λλλ-=+--即22121212121212))()y y y y p x x x x x x x x λλλλλλλλ+-=++-+---(( 12121212))()(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y y y p x x p x x λλλλλλλλλλλλ+-+--+=++--+-+(()(Q P Q P x x p y y +=定比点差的原理谜题解开,就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程。
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题,即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差,得到一个关于弦的中点和斜率的式子,从而减少运算量。
例1:对于椭圆x^2/4+y^2/2=1,如果AB是不平行于对称轴的弦,M是其中点,那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2:对于双曲线x^2/4-y^2/9=1,如果AB是不平行于对称轴的弦,M是其中点,那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2),我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。
例2:对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0),如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点,我们需要判断直线AB是否过定点。
例3:对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2),我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。
例4:对于椭圆x^2/84+y^2/36=1,如果OA垂直OB,且直线AB的斜率为1,我们需要求直线AB的方程。
三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P,如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8,我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。
2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1,如果点P(3,0)在其上,且线段F1P和F2P的长度之和为10,我们需要求离心率。
3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1,如果其右焦点为(5,0),且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点,我们需要求离心率。
4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1,如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0),过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点,且A、B关于点M(0,-2)对称,我们需要求四边形面积的最小值。
练:1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1,如果点P在其上,且PF1垂直于F1F2且PF1=4,PF2=3,我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。
圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题
圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题Ø方法导读圆锥曲线是高考的必考内容,主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用,圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题,综合性较强.从近三年高考情况来看,多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系,常与向量、圆等知识结合,难度较大.解题时,充分利用数形结合思想,转化与化归思想,同时注重数学思想在解题中的指导作用,以及注重对运算能力的培养.在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧,注意掌握.如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的.Ø高考真题【2018·全国I卷理·19】设椭圆的右焦点为,过的直线与交于,两点,点M的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:.Ø解题策略【过程分析】第一问,先求出椭圆的右焦点的坐标,由于与轴垂直,所以可求出直线的方程,从而求出点的坐标,再利用直线方程的两点式,即可求出直线的方程;第二问,对直线分三类讨论:当直线与轴重合时,直接求出.当直线与轴垂直时,可直接证得.当直线与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,利用斜率公式表示出,把直线的方程代入椭圆的方程,消去转化为关于X的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明,从而证得.【深入探究】破解此类解析几何题的关键,一是“图形”引路,一般需画出大致图形,把已知条件翻译到图形中,利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出方程;二是“转化”桥梁,即会把要证的两角相等,根据图形的特征,转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系,以及斜率公式即可证得结论.Ø解题过程(1)由已知得,的方程为.由已知可得,点的坐标为或,所以的方程为或.(2)当与轴重合时,.当与轴垂直时,为的垂直平分线,所以.当与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,则,,直线,的斜率之和为.由,得.将代入得.所以,,则.从而,故,的倾斜角互补,所以.综上,.Ø解题分析本题考查椭圆的标准方程及其简单性质、焦点弦斜率问题,考查考生的推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.对比2015年全国I卷理科数学第20题:在直角坐标系中,曲线与直线交于,两点.(1)当时,分别求在点和处的切线方程;(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有说明理由.2018年的全国I卷的第19题只是把2015年全国I卷的第20题的“抛物线”变为“椭圆”,仍然考查直线与圆锥曲线有两个交点的位置关系,都是“求方程”与“相交弦的斜率”问题,只是去掉了原来的是否存在型的外包装.在强调命题改革的今天,通过改编、创新等手段来赋予高考典型试题新的生命,这成为高考命题的一种新走向,所以我们在复习备考的过程中要注意对高考真题的训练,把握其实质,掌握其规律,规范其步骤,做到“胸中有高考真题”,那么我们就能做到以不变应万变.Ø拓展推广1.圆锥曲线过焦点的所有弦中最短的弦过焦点且与对称轴垂直的弦称为通径.(1)椭圆过焦点的最短弦为通径,长为.(2)双曲线过焦点的最短弦为通径或实轴长,长为或.注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线过焦点的最短弦为通径,长为.注意:对于焦点在轴负半轴上,焦点在轴上的抛物线,上述结论仍然成立.2.圆锥曲线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径,利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式.(1)椭圆的焦半径公式①若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的左右焦点,则,.②若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的上下焦点,则,.(2)双曲线的焦半径公式①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的左右焦点,当点在双曲线的左支上时,则,;当点在双曲线的右支上时,则,.①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的上下焦点,当点在双曲线的下支上时,则,;当点在双曲线的上支上时,则,.(3)抛物线的焦半径公式①若为抛物线上任意一点,则;②若为抛物线上任意一点,则;③若为抛物线上任意一点,则;④若为抛物线上任意一点,则.3.圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值(1)椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,(其中).(2)双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,当焦点弦的两个端点,在同支时,;当,在异支时,(其中).注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数(其中).涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.另外熟记圆锥曲线焦点弦的一些重要结论,可以快速求解与焦点弦有关的最值或范围问题.变式训练1如图,椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆交于、两点,直线与轴相交于点,点在直线上,且满足轴.(1)当直线与轴垂直时,求直线的方程;(2)证明:直线AM经过线段的中点.变式训练2已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,抛物线的动弦过点,过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.(1)求抛物线的标准方程;(2)求的最小值.变式训练3设抛物线的焦点为,过且斜率为()的直线与交于两点,.(1)求的方程;(2)求过点且与的准线相切的圆的方程.变式训练4已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于,两点.(1)若以,为直径的圆的方程为,求抛物线的标准方程;(2)过,分别作抛物线的切线,,证明:,的交点在定直线上.变式训练5抛物线的焦点为,是上一点,且.(1)求的方程;(2)过点的直线与抛物线相交于,两点,分别过点,两点作抛物线的切线,,两条切线相交于点,点关于直线的对称点,判断四边形是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.。
圆锥曲线焦点弦的六个性质
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对 于椭 圆 , 0 %e %1 , 因而 d >r , 圆 C与准线 z 相离 ; 对 于抛物线 , P 一1 , 因而 d =r , 圆 C与准线 z 相切 ; 对 于双曲线 , e >l , 因而 d %r , 圆 C与准线 z 相交. 性质三 : 设过 圆锥 曲线 的焦 点 F 的弦 的端 点 A、 B 在该 焦点相应 的准线 上 的射影 分别 为 M 、 N, 该 准线 与 对称轴 ( 椭 圆为 长 轴 , 双 曲线 为 实 轴 ) 的 交点 为 E . 若
A M、 B N相 交 , 则 交点 平分 EF .
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图 3
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当且仅 当 A B  ̄3 7轴时 , l ABl 有最 小值
最短.
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一
对于双曲线 , 证 明如下 : 如图 3 , 设 双 曲线方程 为
圆锥曲线的定比分点
一、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。
比如:①如果椭圆弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是(答:);②已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:);③试确定m的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线对称(答:);特别提醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验!二圆锥曲线的几何性质:你了解下列结论吗?(1)双曲线的渐近线方程为;(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,≠0)。
如与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为_______(答:)(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为;(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;(6)若抛物线的焦点弦为AB,,则①;②(7)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB 恒经过定点三.动点轨迹方程:(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;(2)求轨迹方程的常用方法:①直接法:直接利用条件建立之间的关系;如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:或);②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为(答:);③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为(答:);(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:);(3) 一动圆与两圆⊙M:和⊙N:都外切,则动圆圆心的轨迹为(答:双曲线的一支);④代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点P是抛物线上任一点,定点为,点M分所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:);⑤参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。
圆锥曲线焦点弦的六个性质
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圆锥曲线焦点弦的六个性质
作者:莫记福
来源:《中学教学参考·理科版》2013年第05期
高中所学的圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的焦点弦有许多共同的性质,本文研究其中的六个性质及其简洁证明,供读者参考.首先要指出的是,本文研究的双曲线的焦点弦是指
过焦点且端点在同一支上的弦.
性质一:圆锥曲线过焦点的所有弦中,通径最短.
对于椭圆,证明如下:如图1,设椭圆方程为x2a2 +y2b2 =1(a>b>0)
,右焦点为F(c,0),右准线l的方程为x=a2c ,l与x轴交于点E,过焦点F作一直线与椭圆交于A、B两点,记AB的中点为C,分别过点A、B、C作直线l的垂线AM、BN、CD,垂足分别为M、N、D,则由椭圆的第二定义得:。
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16.过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线,交双曲线于 两点,则 的值为________.
17.过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线,与抛物线分别交于 、 两点( 在 轴左侧),则 _______________________.
注意:夹角不是直线的倾斜角,而是直线与焦点所在轴的夹角,这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线,交双曲线于 两点,求弦长 .
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1.椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9.已知椭圆 ,若过左焦点的直线交椭圆于 两点,求 .
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式:
我们有如下结论:
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式:
(1)双曲线 的焦点弦长公式:
同支弦 ;异支弦 ,统一为: ;
(2)双曲线 的焦点弦长公式:
同支弦 ;异支弦 ,统一为: .
3.抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式:
(1)抛物线 的焦点弦长公式: ;
(2)抛物线 的焦点弦长公式: ;
说明:特殊情形,当倾斜角为 时,即为椭圆的通径,通径长 .
2.双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2.设双曲线 ,其中两焦点坐标为 ,过 的直线 的倾斜角为 ,交双曲线于 , 两点,求弦长 .
可得如下结论2:
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式:
(1) 为双曲线 的左、右焦点,过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点,则 .
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线焦点弦公式
圆锥曲线焦点弦公式
圆锥曲线是指圆锥与平面相交而产生的曲线。
焦点弦是指通过
焦点,并且与曲线相交于两点的直线。
对于圆锥曲线的焦点弦公式,具体的形式取决于所讨论的具体曲线类型,比如椭圆、双曲线或抛
物线。
下面我将分别介绍这三种情况下的焦点弦公式。
对于椭圆而言,焦点弦的公式可以表示为,对于椭圆
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$。
对于双曲线而言,焦点弦的公式可以表示为,对于双曲线
$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$,焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = -1$。
对于抛物线而言,焦点弦的公式可以表示为,对于抛物线$y^2
= 4ax$,焦点弦的公式可以表示为$y = mx + \frac{a}{m}$。
需要注意的是,以上给出的焦点弦公式是简化的形式,实际应
用中可能会根据具体问题的要求进行变形。
焦点弦在几何学和物理
学中有着重要的应用,比如在光学中的折射定律、天体运动中的轨
道分析等方面都有着重要的作用。
希望这些信息能够帮助到你理解焦点弦的公式。
圆锥曲线焦点弦的公式及应用
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用,与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点,过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为,且。
(1)当焦点内分弦时,有;(2)当焦点外分弦时(此时曲线为双曲线),有。
证明设直线是焦点所对应的准线,点在直线上的射影分别为,点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得,,又,所以。
(1)当焦点内分弦时。
如图1,,所以。
图1(2)当焦点外分弦时(此时曲线为双曲线)。
如图2,,所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦(此时曲线为双曲线)和内分焦点弦时公式的不同,这一点很容易不加区别而出错。
例1(2009年高考全国卷Ⅱ理科题)已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点。
若,则的离心率为()解这里,所以,又,代入公式得,所以,故选。
例2(2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题)已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点,若,则()解这里,,设直线的倾斜角为,代入公式得,所以,所以,故选。
例3 (08高考江西卷理科第15题)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,与抛物线交于两点(点在轴左侧),则有____图3解如图3,由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角,当点在轴左侧时,设,又,代入公式得,解得,所以。
例4(2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题)已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,则的离心率为___解设直线与焦点所在的轴的夹角为,则,又,代入公式得,所以。
例5(自编题)已知双曲线的离心率为,过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
有关圆锥曲线的经典结论
一、椭圆1.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.2.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.3.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.5.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.二、双曲线1. PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.2. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.3. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)4.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.5.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P 和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)椭圆1.椭圆22221x ya b+=(a>b>o)的两个顶点为1(,0)A a-,2(,0)A a,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221 x ya b-=.2.过椭圆22221x ya b+=(a>0, b>0)上任一点00(,)A x y任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且22BCb xka y=(常数).3.若P为椭圆22221x ya b+=(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22a c co a cαβ-=+. 1. 设椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin sin sin cea αβγ==+.2. 若椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L ,则当0<e1时,可在椭圆上求一点P ,使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.3. P 为椭圆22221x y a b +=(a >b >0)上任一点,F1,F2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P三点共线时,等号成立.4. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.5. 已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0),O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.(1)22221111||||OP OQ a b +=+;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;(3)OPQS ∆的最小值是2222a b a b +.6. 过椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则||||2PF eMN =.7. 已知椭圆22221x y a b +=( a >b >0) ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<. 8. 设P 点是椭圆22221x y a b +=( a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=. 9. 设A 、B 是椭圆22221x y a b +=( a >b >0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.10. 已知椭圆22221x y a b +=( a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.11. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.12. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.13. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).14. (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)15. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 16. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.17. 双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x y a b +=. 18. 若P 为双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则t a n t 22c a co c a αβ-=+(或t a n t 22c a co c a βα-=+).19. 设双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )cea αγβ==±-.20. 若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L ,则当1<e1时,可在双曲线上求一点P ,使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.21. P 为双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上任一点,F1,F2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P三点共线且P 和2,A F 在y轴同侧时,等号成立.22. 双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.23. 已知双曲线22221x y a b -=(b >a >0),O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥.24. (1)22221111||||OP OQ a b +=-;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;(3)OPQS ∆的最小值是2222a b b a -.25. 过双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则||||2PF eMN =.26. 已知双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0),A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或220a b x a +≤-. 27. 设P 点是双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b γ∆=. 28. 设A 、B 是双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-. 29. (2) 2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PABa b S b a γ∆=+.30. 已知双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.31. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.32. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.33. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).34. (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).35. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 36. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.圆锥曲线中的一些定点、定值、定比等结论结论1:设椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>和双曲线222222221(0,0)x y a b a b -=>>共焦点1(,0)F c -,2(,0)F c ,P 是两曲线的一个交点,经过点P 的椭圆和双曲线的斜率分别为1k ,2k ,则121k k =-. 结论2:设抛物线22(0)y px p =>和椭圆22221(0)x y a b a b+=>>共焦点(,0)(0)F c c >,P 是两曲线的一个交点,椭圆的离心率是e ,经过点P 的两曲线切线的斜率为1k 和2k ,则2121(1)2k k e =-.(试选此题证明)结论3:设抛物线22(0)y px p =>和双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>共焦点(,0)(0)F c c >,P是两曲线的一个交点,双曲线的离心率是e ,经过点P 的两曲线切线的斜率为1k 和2k ,则2121(1)2k k e =-.结论4:抛物线的两条弦平行的充要条件是这两条弦的中点连线平行(或重合)于该抛物线对称轴.(试证明)结论5:椭圆与双曲线的两条平行弦的中点连线经过椭圆的中心.(试证明)结论6:过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点M (a ,0)作直线MA 与直线MB 交该椭圆于A ,B 两点,若MA ⊥MB ,则直线必过定点2222()(,0)a a b a b -+.(试证明)结论7:过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的任意定点M (x 0, y 0)作直线MA 与直线MB 交椭圆于A ,B 两点,若MA ⊥MB ,则直线必过定点2222002222(,)a b b a x y a b a b --++.结论8:过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意定点M (x 0, y 0)作直线MA 与直线MB 交椭圆于A ,B 两点,若k M A ·k MB =m 22()b m a ≠,则直线必过定点2222002222(,)a b b a x y a b a b --++.结论9:直线AB 与抛物线22(0)y px p =>相交于点A 和B ,若OA ⊥OB ,则此直线必过定点(2,0)p .结论10:直线与抛物线22(0)y px p =>交于A ,B 两点,M 是其顶点,当k M A ·k MB =m (0)m ≠时,直线恒过定点2(,0)pm-.(试用三种方法证明) 结论11:过抛物线22(0)y px p =>的任意定点M (x 0, y 0)作直线AM 与MB 交双曲线于A ,B 两点,当k M A ·k MB =m (0)m ≠时,直线AB 恒过定点002(,)px y m-+-. 结论12:已知抛物线22(0)y px p =>过点F (m ,0) (0)m ≠的直线交抛物线于点M 、N ,交y 轴于点P ,若 ,PM MF PN NF λμ==,则1λμ+=-.(试用三种方法证明)结论13:已知抛物线y 2=2px (p >0),过点M (0, m )(m ≠0)的直线与抛物线相交于不同的两点A 、B ,与x 轴相交于C (c ,0), 求证:|MC |2=|MA |·|MB |.结论14:已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,过点F (m ,0)的直线交椭圆于点M 、N ,交y 轴于点P ,若,PM MF λ= PN NF μ=,则2222a m a λμ+=-.特别地,当F 为焦点时,222a bλμ+=-.(试证明)结论15:已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>,过点F (m ,0)的直线交椭圆于点M 、N ,交y 轴于点P ,若,P M M F λ= P N N F μ= ,则2222a m a λμ+=-.特别地,当F 为焦点时,222a b λμ+=. 结论16:A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的两点,且OA ⊥OB ,则22221111||||O A O B a b +=+.(试证明) 结论17:A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的两点,且OA ⊥OB ,则22221111||||O A O B a b +=-. 结论18:设12,,,nP P P 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的n 个点,且122311n n n POP P OP P OP P OP -∠=∠==∠=∠ ,则222221211111()2nn OP OP OP a b +++=+ .(试用极坐标方法证明)结论19:若M 、N 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点,P 是椭圆上不同于M 、N 的任意一点,且,PM PN k k 存在,则22PM PN b k k a⋅=-.(试用点差法证明和函数与方程思想证明)结论20:若M 、N 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点,P 是双曲线上不同于M 、N 的任意一点,且,PM PN k k 存在,则22PM PNb k k a⋅=. 结论21:直线AB 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B 两点,M 是AB 的中点,且直线AB 、OM 的斜率存在,证明:22OM ABb k k a⋅=-.结论22:直线AB 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于A 、B 两点,M 是AB 的中点,且直线AB 、OM 的斜率存在,证明:22OM ABb k k a⋅=. 结论23:过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 作双曲线的渐近线的平行线,分别交渐近线于点M 、N ,则224a b PM PN -⋅= .(试证明)结论24:设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ,P 是双曲线上异于顶点的一个动点,从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP (O 为坐标原点)分别交于Q 和R 两点.若,OR OP OQ OP λμ==,则1λμ=.结论25:设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ,P 是双曲线上异于顶点的一个动点,从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP (O 为坐标原点)分别交于Q 和R 两点.则2OR OQ OP ⋅= .(试证明23条)结论26:过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上任意一点P 作双曲线的渐近线的垂线,垂足分别为M 、N ,则22224()a b b a PM PN c -⋅= .结论27:过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点P 作双曲线的切线交两条渐近线分别于M 、N ,O 为坐标原点,则22OM ON a b ⋅=-.结论28:过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点,则2||AOBS AB ∆=38p .结论29:过x 轴上一点A (-m ,0)(m >0)引动直线与抛物线22(0)y px p =>相交于M 、N 两点,过点M 、N 分别作抛物线的切线,则两条切线的交点的轨迹方程是x =m (y y ><.(试证明)结论30:过x 轴上一点2(,0)(0)a A a m m >>引一条动直线与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于M 、N 两点,过点M 、N 分别作椭圆的切线,则两条切线的交点轨迹方程是x =m (y y ><.结论31:过x 轴上一点2(,0)()a A m a m >引一条动直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于M 、N 两点,过点M 、N 分别作双曲线的切线,则两条切线的交点轨迹方程是x =m (y y ><.结论32:过直线x =m (y y ><上一点引抛物线22(0)y px p =>的两条切线,切点分别为M 、N ,则M 、N 的连线过定点(-m ,0). (试证明)结论33:过直线x =m (y y ><(a >m >0)上一点引椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两条切线,切点分别为M 、N ,则M 、N 的连线过定点2(,0)a m .结论34:过直线x =m (y y <()m a >上一点引双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条切线,切点分别为M 、N ,则M 、N 的连线过定点2(,0)a m. 结论35:抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,过焦点F 作两条互相垂直的弦AB ,CD ,设弦AB ,CD 的中点分别为M 、N ,则线段MN 恒过定点3(,0)2pT ,且以AB ,CD 为直径的两圆公共弦中点的轨迹是以OT 为直径的圆. (试证明)结论36:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点F (c ,0)(或F (-c ,0)),过焦点F 作两条互相垂直的弦AB ,CD ,设弦AB ,CD 的中点分别为M 、N ,则线段MN 恒过定点222(,0)a cT a b +或(222(,0)a c T a b -+),且以AB ,CD 为直径的两圆公共弦中点的轨迹是过定点为T 的圆.。
圆锥曲线的焦点弦公式及其应用
J Z 一 ) = a
一
C
一b2 } a Z - 2 n0 a t
-
2 t n0 an 0 c
b + ( 一 C t n n 2) a 0 2 。— a
f 2
一2
・
・
解 由知1一 i2 又 : 已 得譬 4 。 ’ 一 一
,E II D
21 0 0年 第 3期
数 学 教 育 研 究
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4 综 合 应 用
例 4 ( 0 9湖 南 卷 理 ) 平 面 直 角 坐 标 系 z y 20 在 O 中 , P 到 点 F( o 的 距 离 的 4倍 与 它 到 直 线 z一 2 点 3, ) 的 距 离 的 3 之 和记 为 d, P 点 运 动 时 , 倍 当 d恒 等 于 点 P 的横 坐 标 与 1 8之 和 . ( I)求 点 P 的轨 迹 C; ( Ⅱ)设 过 点 F 的 直线 I与 轨 迹 C 相 交 于 M , 两 N 点 , 线 段 MN 长 度 的最 大值 . 求 解 :(工)设 点 P 的 坐 标 为 ( ) 贝 d 一 z, , U
(U) 已 知 过 点 F1 一 2 0 倾 斜 角 为 0的 亘 线 交 椭 ( ,)
设 点 A、 的坐 标 分 为 ( Y ) ( z Y ) 则 由 上 B z , 和 z ,z ,
式 得 31 z 一 。 2+ z 2
—
a2
ct n a 2 0
t
: .
圆 c于 A, B两 点求 证 :ABI I —
2 tn ・z十 a ca 0 t n 一 n 2— 0. a2 b
2
. 2
÷
x
已 知 椭 圆 c:
圆锥曲线的极坐标方程 焦半径公式 焦点弦公式
椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为
ρ = ep . 1 − e cosθ
其中 p 是定点 F 到定直线的距离,p>0 .
当 0 e 1 时,方程表示椭圆
当 e>1 时,方程表示 曲线,若ρ>0,方程只表示 曲线右支,若允
许ρ 0,方程就表示整个 曲线
当 e=1 时,方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
推论 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F,则有 1 + 1 = 2 . MF NF ep
、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F,
1、椭圆中, p = a 2 − c = b2 , MN = ep +
ep
= 2ab2 .
c
c
1− ecosθ 1− ecos(π −θ) a2 − c2 cos2 θ
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
湖北省天门中学 薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定
直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹.
以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点 F 作相
应准线的垂线,垂足为 K,以 FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系.
3、抛物线中, MN = p +
p
= 2p .
1 − cosθ 1 − cos(π − θ ) sin 2 θ
四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P x,y 是圆锥曲线 的点,
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,则 PF1 = a + ex ,、 F2 分别是 曲线的左、右焦点,
设 F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点),P 为椭圆( 曲线 的右支、抛物线) 任一点,则
圆锥曲线定比分焦点弦求离心率
圆锥曲线定比分焦点弦求离心率圆锥曲线定比分焦点弦与其离心率的关系
在圆锥曲线中,离心率是一个重要的参数,它描述曲线与圆的偏离程度。
对于给定的焦点弦,我们可以通过以下定理确定圆锥曲线的离心率:
定理:对于一个离心率为 e 的圆锥曲线,焦点弦长为 2a,焦点与弦中点的距离为 c,则:
```
e = sqrt(1 - (c / a)^2)
```
推导:
从圆锥曲线方程出发,我们可以导出以下恒等式:
```
c^2 = a^2(1 - e^2)
```
这个恒等式可以通过利用焦点和准线的定义以及弦中点到焦点的距离等于弦长的一半来推导出。
将上述恒等式代入定理中,即可得到:
```
e = sqrt(1 - (c / a)^2)
```
应用:
该定理可以用于求解圆锥曲线的离心率,已知焦点弦长度和焦点到弦中点的距离。
例如:
对于椭圆,焦点弦长为 10,焦点到弦中点的距离为 6,则离心率为:
```
e = sqrt(1 - (6 / 10)^2) = sqrt(1 - 0.36) = 0.8
```
对于抛物线,焦点弦长为 2a,焦点到弦中点的距离为 a,则离心率为:
```
e = sqrt(1 - (a / a)^2) = sqrt(0) = 0
```
对于双曲线,焦点弦长为 2a,焦点到弦中点的距离为 c,则离心率为:
```
e = sqrt(1 - (c / a)^2) > 1
```
结论:
焦点弦及其与焦点的距离提供了求解圆锥曲线离心率的便捷方法。
通过应用上述定理,我们可以轻松确定曲线与圆偏离的程度。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹.以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点F 作相应准线的垂线,垂足为K,以FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系.椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为 θρcos 1e ep −=. 其中p 是定点F 到定直线的距离,p>0 .当0 e 1时,方程表示椭圆当e>1时,方程表示 曲线,若ρ>0,方程只表示 曲线右支,若允许ρ 0,方程就表示整个 曲线当e=1时,方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点),P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点,则 PQ e PF =, )cos (p PF e PF +=θ,其中FH p =,=θ x 轴,FP 焦半径θcos 1e ep PF −=. 当P 在 曲线的左支 时,θcos 1e ep PF +−=. 推论 若圆锥曲线的弦MN 过焦点F,则有epNF MF 211=+.、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 过焦点F, 1、椭圆中,cb c c a p 22=−=,θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−=. 2、 曲线中,若M、N 在 曲线同一支 ,θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−= 若M、N 在 曲线 同支 ,2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN −=−−+−=θθθ. 3、抛物线中,θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =−−+−=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P x,y 是圆锥曲线 的点,1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,则ex a PF +=1,ex a PF −=22、若1F 、2F 分别是 曲线的左、右焦点,当点P 在 曲线右支 时,a ex PF +=1,a ex PF −=2 当点P 在 曲线左支 时,ex a PF −−=1,ex a PF −=23、若F 是抛物线的焦点,2p x PF +=.。
5圆锥曲线的定比分点专题
圆锥曲线的定比分点专题一、点差法:1、斜率0k ≠的直线l 交椭圆2222:1x y E a b+=于A B ,两点,线段AB 的中点为M ,则k ______OM k =二、利用线段设点(相似三角形),等腰直角三角形2、已知A B C ,,是抛物线2y x =上不同的三个点,且ABC ∆是以B 为直角的等腰直角三角形,求ABC ∆面积的最小值。
3、已知M N ,为椭圆2212x y +=上两点,若直线MN 与两坐标轴分别相交于C D ,两点,且MC CD DN ==,则直线MN 的斜率为__________三、用定比分点坐标公式设点若()112200()()A x y B x y P x y ,,,,,,且AP PB λ=,则12012011x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩四、设点+消元1、设点+代点+消元2、设点+代点+直线同构 4、过椭圆2222:1x y E a b +=外一点00()P x y ,作椭圆的两条切线PM PN M N ,,,切点,则直线MN 方程为_______5、已知椭圆22:14x E y +=,过点(2)P ,1的两条动直线分别交E 于A B ,和C D ,,直线AD 和BC 交于点T ,证明:点T 在定直线上,并求定直线方程。
6、已知椭圆22:143x y E +=,过点(1)T ,1的两条直线交E 分别为A B ,和C D ,,直线AD 和BC 交于点P ,求证:P 在定直线上。
7、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,离心率2e =,过(2A ,1) (1)求C 的方程(2)点M N ,在C 上,且AM AN AD MN ⊥⊥,,D 为垂足,证明:存在定点Q 使得DQ 为定值,。
1_2_圆锥曲线定点定值问题之定比点差法
1_2_圆锥曲线定点定值问题之定比点差法一、圆锥曲线定点定值问题圆锥曲线定点定值问题是数学中的一个重要分支,它是求解由圆锥曲线上的点来确定曲线的定值问题。
这类问题常用于统计图形、机械工程、测绘学、几何拓扑等领域的应用。
圆锥曲线定点定值问题一般包括以下四个方面:1. 求取圆锥曲线的函数形式:即给定圆锥曲线的一些特征点(如圆心、焦点或直线),求出该曲线的函数表达式;2. 求取满足定点定值条件的曲线:即给定一组点,求出在这组点上取得指定值的曲线;3. 求取满足定值定点条件的曲线:即给定一组值,求出能使这组值在指定点上取得的曲线;4. 求取满足定点定值定切线条件的曲线:即给定曲线上的一组点及其对应的切线方向,求出在这些点上取得指定的值的曲线。
二、定比点差法方法,它基于圆锥曲线的定义,将曲线上的每两点之间的比率作为关键参数,从而构造出满足定值定点条件的曲线。
定比点差法的基本思想是:给定圆锥曲线上的N个点,根据定义求出每两点之间的比率,即点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的比率为R=y1/y2,将R作为新的曲线的参数。
令新曲线的关于x的函数为f(x),则f(x1)=y1,f(x2)=y2,有f(x1)/f(x2)=R,即f(x2)=[f(x1)]/R,再令f(x3)=y3,则f(x3)=[f(x2)]/R,一般情况下,新曲线的函数可表示为:f(xn)=[f(xn-1)]/R其中n=2,3,…,N,即可求解出新曲线的函数f(x),此函数满足圆锥曲线定点定值问题的要求,即给定N个点的坐标,求出在这N个点上取得指定的值的曲线的函数。
定比点差法的主要优点是,它可以快速求解满足定点定值条件的曲线,并且不需要太多的计算量。
但是,该方法有一定的局限性,即只能用于求解给定点的曲线,无法求解给定值的曲线。
种优秀方法,由于其简单易行,使用比较广泛,是一个值得研究的重要问题。
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