2017年江苏省常州二十四中九年级上学期数学期中试卷与解析

2016-2017学年江苏省常州二十四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）下列方程中，一元二次方程有（）①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③；④x2=1；⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（3分）已知m是方程2x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式6m2﹣3m的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．43．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）4．（3分）⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P的⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF ≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤6．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C．D．7．（3分）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.58．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙O上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值为（）A．2+B．2+C．1 D．2二、填空题9．（3分）已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么d=cm．10．（3分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a=．11．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=．12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE+∠BDE=．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=﹣1，则∠ACD=°．14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACD=90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC 于点G，交AD于点F．若S=S四边形EBCG，则=．△AEG15．（3分）已知直线L与半径为4的圆0相交，则点O到直线L的距离d可取的整数值是．16．（3分）将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价2元，其销售量就减少8个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？设每个商品涨价x元，可列方程．17．（3分）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是．18．（3分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．三、解答题19．解方程：（1）2x2﹣6x+1=0（2）x（2x﹣1）=3（2x﹣1）20．在边长为1的正方形网格中，有△ABC和半径为2的⊙P．（1）以点M为位似中心，在网格中将△ABC放大2倍得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；（2）在（1）所画的图形中，求线段AB的对应线段A′B′被⊙P所截得的弦DE的长．21．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥C，交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（1）若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．22．已知某市2015年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；（2）若某企业2015年10月份的水费为620元，求该企业2015年10月份的用水量；（3）为鼓励企业节约用水，该市自2016年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2015年收费标准收取水费外，超过80吨的部分每吨另加收元的污水处理费，若某企业2016年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业3月份的用水量．23．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH 的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．24．定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四点．根据上述定义，（1）当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是，（2）当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB的长）为（3）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．25．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作射线AC与斜边EF平行，已知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．2016-2017学年江苏省常州二十四中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）下列方程中，一元二次方程有（）①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③；④x2=1；⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确；②方程含有两个未知数，错误；③不是整式方程，错误；④符合一元二次方程定义，正确；⑤符合一元二次方程定义，正确．故选：B．2．（3分）已知m是方程2x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式6m2﹣3m的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵m是方程2x2﹣x﹣1=0的一个根，∴把x=m代入方程2x2﹣x﹣1=0得：2m2﹣m﹣1=0，∴2m2﹣m=1，∴6m2﹣3m=3（2m2﹣m）=3×1=3，故选：C．3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）【解答】解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），∵只有∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BO′D≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选：C．4．（3分）⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P的⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外【解答】解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），∴OP==＜5，因而点P在⊙O内．故选：A．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF ≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤【解答】解：①、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，②、∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，∴∠AOC≠∠AEC，③、∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴BC平分∠ABD，④、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°，∵点O为圆心，∴AF=DF，⑤、由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故选：D．6．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C．D．【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．A．∵==，对应边==，≠，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B．∵=，对应边==，≠，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C．∵=，对应边=，即：=，∠C=∠C，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；D．∵==，=，≠，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；故选：C．7．（3分）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【解答】解：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠OFC=∠OEC=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形CFOE是矩形，∵OE=OF，∴矩形CFOE是正方形，∴OF=EC，设⊙O的半径为r，则DE=CD﹣CE=2﹣r，OE=r，∵OE∥AC，∴△OED∽△ACD，∴，∴，r=1.5，故选：B．8．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙O上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值为（）A．2+B．2+C．1 D．2【解答】解：由题意可得，当AD与⊙C相切时，△ABE的面积最大，此时点D 在D1的位置，如下图所示，连接CD 1，则∠CD1A=90°，∴△CD1A∽△OE1A，∴∵OA=2，AC=3，CD1=1，∴，∴，∴=2+，故选：B．二、填空题9．（3分）已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么d= 1.2cm．【解答】解：∵a：b=c：d，∴ad=bc，∴2d=4×0.6，∴d=1.2cm．10．（3分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a=2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，∴a2﹣4=0，∴a=±2，∵a+2≠0，即a≠﹣2，∴a=2．故答案为：2．11．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=3．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，∴x1+x2=﹣=﹣=﹣1，x1•x2===﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3．故答案是：3．12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE+∠BDE= 90°．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ADE与∠ACE是同弧所对的圆周角，∴∠ADE=∠ACE，∴∠ACE+∠BDE=∠ADB=90°故答案为：90°．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=﹣1，则∠ACD=112.5°．【解答】解：如图，连接OC．∵DC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，∵BD=﹣1，OA=OB=OC=1，∴OD=，∴CD===1，∴OC=CD，∴∠DOC=45°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCA=∠DOC=22.5°，∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=22.5°+90°=112.5°．故答案为：112.5．14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACD=90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G ，交AD 于点F ．若S △AEG =S 四边形EBCG ，则= ．【解答】解：∵EF ∥BD∴∠AEG=∠ABC ，∠AGE=∠ACB ，∴△AEG ∽△ABC ，且S △AEG =S 四边形EBCG∴S △AEG ：S △ABC =1：4，∴AG ：AC=1：2，又EF ∥BD∴∠AGF=∠ACD ，∠AFG=∠ADC ，∴△AGF ∽△ACD ，且相似比为1：2，∴S △AFG ：S △ACD =1：4，∴S △AFG =S 四边形FDCGS △AFG =S △ADC∵AF ：AD=GF ：CD=AG ：AC=1：2∵∠ACD=90°∴AF=CF=DF∴CF ：AD=1：2．15．（3分）已知直线L 与半径为4的圆0相交，则点O 到直线L 的距离d 可取的整数值是 0，1，2，3 ．【解答】解：∵直线L 与半径为4的圆0相交，∴点O 到直线L 的距离d 的取值范围为：0≤d ＜4，∴d 可取的整数值是0，1，2，3．故答案为：0，1，2，3．16．（3分）将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价2元，其销售量就减少8个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？设每个商品涨价x元，可列方程（50﹣40+x）[500﹣x•（8÷2）]=8000．【解答】解：设每个商品涨价x元，则每件商品的利润为：50﹣40+x，销量为：500﹣x•（8÷2），故可列方程：（50﹣40+x）[500﹣x•（8÷2）]=8000．故答案为：（50﹣40+x）[500﹣x•（8÷2）]=8000．17．（3分）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°．【解答】解：作OD⊥AB，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°，故答案为：60°或120°．18．（3分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．【解答】解：延长D4A和C1B交于O，∵AB∥A2C2，∴△AOB∽△D2OC2，∴=，=1，D C2=C1C2=2，∵AB=BC∴==∴OC2=2OB，∴OB=BC2=3，∴OC2=6，设正方形A2C2C3D3的边长为x1，同理证得：△D2OC2∽△D3OC3，∴=，解得，x1=3，∴正方形A2C2C3D3的边长为3，设正方形A3C3C4D4的边长为x2，同理证得：△D3OC3∽△D4OC4，∴=，解得x 2=，∴正方形A3C3C4D4的边长为；设正方形A4C4C5D5的边长为x3，同理证得：△D4OC4∽△D5OC5，∴=，解得x=，∴正方形A4C4C5D5的边长为；以此类推…．正方形A nC n﹣1C nD n的边长为；﹣1∴正方形A9C9C10D10的边长为．故答案为．三、解答题19．解方程：（1）2x2﹣6x+1=0（2）x（2x﹣1）=3（2x﹣1）【解答】解：（1）∵a=2，b=﹣6，c=1，∴△=36﹣4×2×1=28＞0，∴x==，即x1=，x2=；（2）∵x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）=0，（2x﹣1）（x﹣3）=0，∴2x﹣1=0或x﹣3=0，解得：x=或x=3．20．在边长为1的正方形网格中，有△ABC和半径为2的⊙P．（1）以点M为位似中心，在网格中将△ABC放大2倍得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；（2）在（1）所画的图形中，求线段AB的对应线段A′B′被⊙P所截得的弦DE的长．【解答】解：（1）如图△A´B´C´为所求的图形，（2）连接PD，作PF⊥DE于点F，则DE=2DF，在Rt△PDF中，PD=2，PF=1，∴DF==∴DE=221．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥C，交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（1）若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠OAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=EAD，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）解：作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：∴∠DFA=∠DEA=90°，在△EAD和△FAD中，，∴△EAD≌△FAD（AAS），∴AF=AE=8，DF=DE，∵OA=OD=5，∴OF=3，在Rt△DOF中，DF===4，∴DE=DF=4．22．已知某市2015年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；（2）若某企业2015年10月份的水费为620元，求该企业2015年10月份的用水量；（3）为鼓励企业节约用水，该市自2016年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2015年收费标准收取水费外，超过80吨的部分每吨另加收元的污水处理费，若某企业2016年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业3月份的用水量．【解答】解：（1）由图象知：当x≥50时，y关于x的函数是一次函数．设y关于x的函数关系式y=kx+b，则，解得，所以，y关于x的函数关系式是y=6x﹣100．（2）由图可知，当y=620时，x＞50，所以，6x﹣100=620，解得x=120，所以该企业2013年10月份的用水量为120吨；（3）由题意得6x﹣100+（x﹣80）=600，化简得：x2+40x﹣14000=0，解得：x1=100，x2=﹣140（不合题意，舍去），所以这个企业2015年3月份的用水量是100吨．23．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH 的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．【解答】解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=12﹣3﹣1=8（m），∴GM=MH=4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r，∵MN=2m，∴OM=（r﹣2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴OG2=OM2+42，∴r2=（r﹣2）2+16，解得：r=5，答：小桥所在圆的半径为5m．24．定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四点．根据上述定义，（1）当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是2，（2）当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB的长）为（3）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．【解答】解：（1）当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离，即为2；故答案为：2；（2）当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如图2，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．故答案为：；（3）如图3所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为：2≤m≤6：当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：故d===（2≤m＜4）．故d=．25．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作射线AC与斜边EF平行，已知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）四边形EFPQ是菱形．理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，∵t=5，∴AP=2×5=10．∵点Q是AP的中点，∴AQ=PQ=5．∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，∴EF==5，∴PQ=EF=5．∵AC∥EF，∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．又∵∠QHA=∠FDE=90°，∴△AHQ∽△EDF，∴==．∵AQ=EF=5，∴AH=ED=4．∵AE=12﹣4=8，∴HE=8﹣4=4，∴AH=EH，∴AQ=EQ，∴PQ=EQ，∴平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，此时AQ=t，EM=EF=，AD=12﹣t，DE=4．∵EF∥AC，∴△DEM∽△DAQ，∴=，∴=，解得t=；②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上．Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时，过点Q作QH⊥AB于H，如图③，则有∠HQD=∠HDQ=45°，∴QH=DH．∵△AHQ∽△EDF（已证），∴==，∴==，∴QH=，AH=，∴DH=QH=．∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，∴++t=12，∴t=5；Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时，过点Q作QH⊥AB于H，如图④，同理可得DH=QH=，AH=．∵AB=AD+DB=AH﹣DH+DB=12，DB=t，∴﹣+t=12，∴t=10．综上所述：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。