22.1 比例线段(第5课时)-课件
合集下载
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计5
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计5一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，主要讲述了比例线段的定义、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能运用比例线段解决一些实际问题。
教材通过丰富的实例和练习，帮助学生逐步掌握比例线段的知识，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对线段的概念和性质有一定的了解。
但在比例线段的学习上，学生可能对比例线段的定义和性质理解不够深入，对比例线段的运用能力和解决实际问题的能力有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过合适的教学方法激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索和思考，提高学生的数学素养。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，能够运用比例线段解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和性质。
2.难点：比例线段的运用和解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生主动探究，培养学生的解决问题能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
4.实践操作法：引导学生动手操作，加深对比例线段的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解比例线段的概念和性质。
2.教学素材：准备一些与比例线段相关的实例和练习题，供课堂练习和巩固使用。
3.教学工具：准备尺子、直尺等测量工具，方便学生进行实践操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入比例线段的概念，激发学生的学习兴趣。
《比例线段》课件
在建筑设计中的应用
在建筑设计中，比例线段的应用同样 不可忽视。建筑师需要利用比例来协 调各个部分之间的关系，以创造和谐 、平衡的建筑外观。
例如，在建筑设计图中，建筑师会使 用比例尺来表示实际建筑与设计图纸 之间的比例关系，以确保施工过程中 的准确性。
在地图绘制中的应用
在地图绘制中，比例线段的应用至关重要。地图上的比例尺可以帮助我们了解地 图上的距离与实际距离之间的比例关系。
比例线段的等比性
总结词
比例线段的等比性是指两条线段的长度比值是常数，与线段所在的位置无关。
详细描述
如果两条线段AB和CD的长度比值是常数k，即$frac{AB}{CD} = k$，那么无论这 两条线段在平面上的位置如何变化，它们的长度比值始终保持为k。这个性质在 解决几何问题时非常有用。
比例线段的传递性
02 比例线段的性质
CHAPTER
比例线段的相似性
总结词
比例线段的相似性是指两条线段在长度上成比例，且夹角相 等。
详细描述
如果两条线段AB和CD在长度上成比例，即$frac{AB}{CD} = k$（k为常数），并且它们之间的夹角相等，那么这两条线段 被称为相似的。相似线段在几何学中具有很多重要的性质和 应用。
利用代数方法计算
总结词
利用代数方法，通过建立方程式来求解比例线段问题。
详细描述
代数方法是解决比例线段问题的另一种常用方法。通过建立方程式来表示比例线段的关 系，我们可以求解未知的线段长度。这种方法适用于解决一些涉及比例线段的代数问题
。
05 练习与思考
CHAPTER
基础练习题
基础题目1
已知线段a=10cm，b=5cm， c=2.5cm，d=5cm，判断线段a 、b、c、d是否成比例。
比例线段ppt课件
D． 6
C．
课堂新授
例2 已知＝＝ ，则 ＋ ＝_______.
解题秘方：紧扣“比例的基本性质”用消元法或
参数法求解.
课堂新授
解：方法一
由 ＝ ，得y＝ .
由 ＝ ，得z＝2x.
方法二
易知k ≠
易知x ≠ 0，∴原式＝
设 ＝ ＝ ＝k，∴
课堂新授
如： ＝ ＝来自 →(b1－2b2＋3b3
－
－＋
＝
＝ →
＝
－ －＋
≠ 0).
课堂新授
例1 [母题 教材 P63 练习 T1]已知四个实数a，b，c，d成
比例，其中a＝2，b＝4，c＝5，则d等于(
5-1. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，
也蕴含着“黄金分割” . 如图 5-1，点 P 为线段
AB 的黄金分割点( AP ＞ PB)，则下列结 论中正
确的是 (
D )
A. AB2 ＝ AP2+BP2 B. BP2 ＝ AP·BA
C.
=
－
D.
=
－
课堂新授
例6 如图3.1-2，已知点C是线段AB的黄金分割点，且
解题秘方：根据黄金分割的定义，利用黄金分割
比进行计算 .
解：∵点 C 是靠近点 B 的黄金分割点， AB ＝ 80 cm，
∴ AC=
－
AB ＝(40 － 40) cm.
∵点 D 是靠近点 A 的黄金分割点， AB ＝ 80 cm，
初中数学《比例线段》课件
• 请你任意写出某两个数（不为零）的比，并 求出它们的比值 • 根据比值相等，寻找你的“幸运搭档”，联 立比例式
如果两个数a、b的比值与另两个 数c、d的比值相等，那么这四个 数a、b、c、d成比例。
a c a : b c : d或 b d
（a,b,c,d均不为零）
3 9 (1)比例式 的两个内项的积为 18 ， 2 6 两个外项的积为 18 。
一样
有关a、b、c、d成立的比例式吗？
a c a b d c d b , , , , b d c d b a c a
b d c d b a c a , , , a c a b d c d b
例1、根据下列条件，求
a 的值。 b
(1)2a 3b
a b (2) 5 4
利用等式性质
设比值法
3 1 bb b 解法三： a 3 3 a-b a-b 4 1 由 可知，a= b, 代入 ，则 4 b 4 4 b b b b 4
例 2、 a c ab cd （1）已知 你能推出
b d
b d
成立吗？为什么？
（2）已知
a c a+c a ，判断 = = 是否成立？为什么？ b d b+d b
课堂小结: 你学到了什么？还有什么疑惑吗？
1、比例有如下性质:
a c ad bc (a,b,c,d均不为零) b d
3、判断四个数成比例的基本方法： （1）计算a:b和c:d的值是否相等；（2）计算ad和bc的值是否相等
2、对比例式变形检验:是否满足“ 外项之积等于内项之积”
4、比例式变形的常用方法:
a 2b 1 (3) b 4
旧题重现——解方程：
如果两个数a、b的比值与另两个 数c、d的比值相等，那么这四个 数a、b、c、d成比例。
a c a : b c : d或 b d
（a,b,c,d均不为零）
3 9 (1)比例式 的两个内项的积为 18 ， 2 6 两个外项的积为 18 。
一样
有关a、b、c、d成立的比例式吗？
a c a b d c d b , , , , b d c d b a c a
b d c d b a c a , , , a c a b d c d b
例1、根据下列条件，求
a 的值。 b
(1)2a 3b
a b (2) 5 4
利用等式性质
设比值法
3 1 bb b 解法三： a 3 3 a-b a-b 4 1 由 可知，a= b, 代入 ，则 4 b 4 4 b b b b 4
例 2、 a c ab cd （1）已知 你能推出
b d
b d
成立吗？为什么？
（2）已知
a c a+c a ，判断 = = 是否成立？为什么？ b d b+d b
课堂小结: 你学到了什么？还有什么疑惑吗？
1、比例有如下性质:
a c ad bc (a,b,c,d均不为零) b d
3、判断四个数成比例的基本方法： （1）计算a:b和c:d的值是否相等；（2）计算ad和bc的值是否相等
2、对比例式变形检验:是否满足“ 外项之积等于内项之积”
4、比例式变形的常用方法:
a 2b 1 (3) b 4
旧题重现——解方程：
《比例线段》PPT课件
节水量 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
/m3 家庭数/
2 4 671 个
23．4 用样本估计总体
3．(4分)(2013·新疆)某校九年级420名学生参加植树活动，随机调 查了50名学生植树的数量，并根据数据绘制了如下条形统计图，请估 计该校九年级学生此次植树活动约植树_1_6_8_0____棵．
若a－a b＝35，则ba＝___52_____．
8．(4 分)美是一种感觉，当人体下半身与身高的比值越接近
0.618 时，越给人一种美感，如图，某女士身高 165 cm，下半身长 x
与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的
高度大约为( C )
A．4 cm
B．6 cm
23．4 用样本估计总体
(2)从优等品数量的角度看， 因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好； 从平均数的角度看， 因A技术种植的西瓜质量的平均质量更接近5 kg，所以A技术较好； 从方差的角度看， 因B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为 稳定； 从市场销售角度看， 因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量较多，且平均质量更接 近5 kg，因而更适合推广A种技术
污染指数(w) 天数(天)
40 60 80 100 120 3 5 10 6 5
23．4 用样本估计总体
11．(16分)(2013·云南)近年来，中学生的身体素质普遍下降，某 校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体 育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼 时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图：
23．4 用样本估计总体
10．(8分)为了估计某市空气质量情况，某同学在30天里 做了如下记录：
/m3 家庭数/
2 4 671 个
23．4 用样本估计总体
3．(4分)(2013·新疆)某校九年级420名学生参加植树活动，随机调 查了50名学生植树的数量，并根据数据绘制了如下条形统计图，请估 计该校九年级学生此次植树活动约植树_1_6_8_0____棵．
若a－a b＝35，则ba＝___52_____．
8．(4 分)美是一种感觉，当人体下半身与身高的比值越接近
0.618 时，越给人一种美感，如图，某女士身高 165 cm，下半身长 x
与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的
高度大约为( C )
A．4 cm
B．6 cm
23．4 用样本估计总体
(2)从优等品数量的角度看， 因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好； 从平均数的角度看， 因A技术种植的西瓜质量的平均质量更接近5 kg，所以A技术较好； 从方差的角度看， 因B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为 稳定； 从市场销售角度看， 因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量较多，且平均质量更接 近5 kg，因而更适合推广A种技术
污染指数(w) 天数(天)
40 60 80 100 120 3 5 10 6 5
23．4 用样本估计总体
11．(16分)(2013·云南)近年来，中学生的身体素质普遍下降，某 校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体 育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼 时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图：
23．4 用样本估计总体
10．(8分)为了估计某市空气质量情况，某同学在30天里 做了如下记录：
《比例线段》PPT课件 (公开课获奖)2022年沪科版 (1)
D EA,B D FBC .找出图中的一组比例
线段（用小写字母表示）,并说明理由．
Ｄ bc ＡＥ
a Ｃ
d Ｆ
Ｂ
8 例3
如图是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆
市在高雄市的哪个方向？到高雄市的实际距离是
多少km？(比例尺1：9000000)
注意：求角度时要注意方位。
台北 基隆
解：从图上量出高雄市到基隆市的距离 约35mm,设实际距离为s，则
A
∠A=40°( 已知 ) ∴∠B+∠C=___1_40°
D 1
B
E 2
C
又∵∠B+ ∠C+ ∠1+ ∠2=____3_6_0° ∴ ∠1+∠2＝__2_20°
通过这节课的学习活 动你有哪些收获？
你还有什么困惑吗？
两条线段的长度比是 ２：４＝ 1
两
2
条
线
2、设线段ＡＢ＝200cm，ＡＣ＝４m, 段
两条线段的长度比是 220000：：４４0＝0＝ 1
单 位
2
要
统
一
两条线段的长度比叫做这两条线段的比
记作:
AB 1 AC 2
1
A′
1
B′
A
B
C
AB AC
=
2 5
AB
A′B′
2
=2 2
1 =2
C′
AC
A′C′
5
=2 5
1
2
怎样求n边形的内角和呢？
An A1
A2
A5
A3
A4
从n边形的一个顶点出 发，可以引 (n－3) 条 对角线，它们将n边形 分为 (n－2) 个三角形， n边形的内角和等于 180°× (n－2) ．
比例线段ppt
THANK YOU.
应用：在解决实际问题时，常常需要利用比例线段来 解决长度测量、面积计算等问题。
高手练习题
总结词：解决复杂的比例线段问题，掌握综合运用技 巧
综合运用：需要综合运用比例线段的基本性质和几何 学、物理学、工程学等领域的知识。
详细描述
技巧：需要灵活运用比例的性质，掌握相似三角形的 判定和性质，了解等腰三角形的性质等。
乘法规则
总结词
比例线段的乘法运算是通过将两条线段相乘来获得新的比例 线段。
详细描述
给定比例线段AB和CD，若需要找到与它们成相同长度比例的 新线段EF，可以通过在对应点E和F之间添加一个点G，使得 EG和FG与原线段AB和CD等长，从而得到新的比例线段EF。
除法规则
总结词
比例线段的除法运算是通过将一条线段除以另一个线段来获得新的比例线段 。
详细描述
全等三角形具有相同的边和角，因此它们对应的线段成比例 。在证明比例线段时，可以构造全等三角形，并利用全等三 角形的性质来证明线段之间的比例关系。
利用相似三角形证明
总结词
相似三角形是证明比例线段的另一种有效工具，通过相似三角形的性质，可 以将比例线段的证明转化为相似三角形的证明。
详细描述
相似三角形具有相同的角和相似的边，因此它们对应的线段成比例。在证明 比例线段时，可以构造相似三角形，并利用相似三角形的性质来证明线段之 间的比例关系。
详细描述
给定比例线段AB和CD，若需要找到与它们成相同长度比例的新线段EF，可以 通过在对应点E和F之间添加一个点G，使得EG和FG与原线段CD和AB等长， 从而得到新的比例线段EF。
04
比例线段的证明方法
利用平行线证明
总结词
沪科版九年级上册2比例线段课件(共28张)
BD EC
C
知识讲授
课堂小结
a
c
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的比．即
，
b
d
那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
线段a、d叫做比例外项，
线段b、c叫做比例内项
相同
2.形状 ________的图形叫类似形；两个图形类似，其中一个图形可以
缩小
放大
看作由另一个图形的________或
________而得到的.
3.判断下列命题是否正确。错误的，举出反例；
正确的，用定义加以说明：
⑴所有的等腰三角形都类似;
⑵所有的等边三角形都类似;
⑶所有的直角三角形都类似;
⑷所有的等腰直角三角形都类似.
A
D
E
20m
H
矩形ABCD的长为20+1+1＝22，宽为
10+1+1＝12.
10m
因为
F
B
G
C
所以矩形EFGH和矩形ABCD不类似.
随堂训练
D
1、下列说法正确的是（
）
A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片类似.
B．商店新买来的一副三角板是类似的.
C．所有的课本都是类似的.
D．国旗的五角星都是类似的.
进一步体会类比的方法． （重点）
知识讲授
知识讲授
１、设线段AB＝2cm，AC＝4cm,
1
2：4＝
两条线段的长度比是
2
2、设线段AB＝200cm，AC＝4m,
两条线段的长度比是
200：400＝
200：４＝
两条线段的长度比叫做这两条线段的比
数学沪科版九年级(上册)22.1.2比例线段
典例精析
例：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
a＝10cm，b＝0.2m，c＝30mm，d＝6cm； 解：（1） ∵ b＝0.2m=20cm,c＝30mm=3cm
a 10 1 , c 3 1 a c b 20 2 d 6 2 b d
注意：∴ 线段a、b、c、d 是成比例线段．
求： (1)AC:AB
(2)AB:BC
(3)BC:AC
A
B
C
解：(1) ∵BC=AB
∴AC=2AB
∴AC:AB=2:1
(2)(3)请同学们独立完成
4.已知线段2cm、3cm、6cm、x是成
比例线段，则x=
.
变式：已知三条线段2cm、3cm、6cm，
如果加一条线段x与他们能组成成比
例线段，则x=
.
课堂小结
22.1 比例线段
导入新课 观察与思考
问题 下列图形是相似图形，它们的对应边的比相等，它 们的长与宽的比有什么样的关系呢？
线段的比及成比例线段
由下面的格点图可知， AB
AB
2 ＝_________，
BC B C
＝___2_____，这样
AB AB
与
BC BC
之间的关系是什么？
归纳
两线段的比就是它们长度的比；
a c (或a : d c : b) db
称a, d,c,b 成比例
如果 a c 或 a：b=c：d，
bd
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，叫做 a、b、c的第四比例项.
特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，
即a:b=b:c，则b叫做a,c的比例中项.
1.要把单位化一致再求比值，而比值无单位 2.成比例线段是有顺序的
沪科版九年级数学上册教学课件：22.1比例线段
解：∵ AB=250m=25000cm
答:图上距离与实际距离的比是1:5000 (即该地图的比例尺是1:5000 ) 说明：
练习3. 已知:一张地图的比例尺1:32000000 量得北京到上海的图上距离大约 为3.5cm, 求北京到上海的实际距离大约 是多少km?
解: 略
答:北京到上海的实际距离大约
谢谢观赏
You made my day!我们，还路上……a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项，
线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
如果作为比例内项的是相同的 线段，即 或a:b=b:c，那么 线段b叫线段a、c的比例中项。
已知 线段a、b
a
b
注意: 1.若a:b=k , 说明a是b的k倍。 2.两条线段的比与所采用的长度单位
相似多边形的定义:
两个边数相同的多边形,如果他们的 对应角相等,对应边长度的比相等,那么 这两个多边形叫做形似多边形.
相似多边形对应边长度的比叫做 相似比或相似系数
1.线段的比
定义：在同一长度单位下，两条线段 的长度的比叫做这两条线段的比。
已知四个数a、b、c、d ，
如果
a b
=
c d
，
或
练习2: 求下列各题中 a:b 的值
(1)a=2m , b=0.4m ;
(2)a=6cm , b=6m ;
(3)a=50mm , b=6cm ;
(4)a=3m , b=10mm .
答: (1) a:b=5
(2) a:b=1:100
(3) a:b=5:6 (4) a:b=300
例2
比例线段ppt课件
（1）请写出黄金分割的比例式，并指出比例中项
（ 2） 求 AP的 值 （ 结2个 果有 保效 留数 字 ）
PB
A
P
B
（3）若AB=2，求PB
例５，已知线段ＡＢ＝a,用直尺和圆规作出它
的黄金分割点
D
a
E
Ａ
Ｂ
作法:
A
C
B
1
1.过线段AB的端点B作BD⊥AB,使BD= 2 AB
2.连结AD,在AD上截取ED=DB;
.
ＡA
ＤD
ＥE
ＦF
ＢB
ＣC
推论１：
经过梯形一腰中点与 底平行的直线，必平 分另一腰。
ＡA
ＤＥ
D
E
B Ｂ ＣC
推论２： 经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线必平分第三 边。
.
平行线分线段成比例定理
.
平行线分线段成比例
观察图（1）已知L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4 ， AB=BC=CD
(1)你能推出怎样的结论？
468
的数字,这个塔的设计精
m
巧,外型匀称、漂亮、美
289.2m 观、大方.
A
D
E
F
B
C
欣赏之二: 蒙娜丽莎
著名画家达·芬奇的蒙娜丽莎, 拉斐尔笔下温和、俊秀的圣像, 其漂亮的面部是矩形ABCD的 宽BC与长AB的比也是一个神 奇的数.
欣赏之后,请同学们思考: 以上图案为什么这样美丽? 它们与数学中的一种神圣的分 割和一个神奇的数有关.
∵ L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4 AB=BC=CD
∴EF=FG=GH
A B
E F
L1 L2
C
G L3
《比例线段》课件-05
学习永远是件快乐而有趣的事！
12
解：点（a，b），点（c，d）和坐标原点在
同一条直线y＝ b x上。理由：
a
设经过点（a，b）和原点的直线为y＝kx
则k＝ b
a
∴y＝ b x
a
∵a，b，c，d成比例 ∴ k＝ b = d
ac
∴直线y＝ b x也可以表示为y＝ d x
a
c
显然(c,d)在直线y＝ b x上
cd
b
d
b bd
8
练一练
1.根据下列条件,求x与y的比:
(1) 2x 3y (2) x 2y 2
32
y5
2、已知三个数１，２， 3 ，请你再添一个数（填
一个即可），使它们能构成一个比例式，则这个数
是 2 3或 1 3或 2 3 。
2
3
9
拓展练习
1.已知
ace 2 bd f 5
a
∴原点，（a，b），（c，d）在同一直线上
13
14
等式性质
1．等式的两边都加上（或减去）同一个数， 所得结果仍是等式．
2．等式的两边都乘以（或除以）同一个数 （除数不能为零），所得结果仍是等式．
15
试一试
已知 a 3 , 求下列各式的值: b4
(1) a b (2) a b .
b
b4
b
已知 a 3 ，求
b4
a 3b 的值。
2a b
（2）若比例式
a 2
=
b 3
=
c 4
≠
0，求下列各式的值。
a+b
3a+2b-2c
c
2a - b+ c
12
解：点（a，b），点（c，d）和坐标原点在
同一条直线y＝ b x上。理由：
a
设经过点（a，b）和原点的直线为y＝kx
则k＝ b
a
∴y＝ b x
a
∵a，b，c，d成比例 ∴ k＝ b = d
ac
∴直线y＝ b x也可以表示为y＝ d x
a
c
显然(c,d)在直线y＝ b x上
cd
b
d
b bd
8
练一练
1.根据下列条件,求x与y的比:
(1) 2x 3y (2) x 2y 2
32
y5
2、已知三个数１，２， 3 ，请你再添一个数（填
一个即可），使它们能构成一个比例式，则这个数
是 2 3或 1 3或 2 3 。
2
3
9
拓展练习
1.已知
ace 2 bd f 5
a
∴原点，（a，b），（c，d）在同一直线上
13
14
等式性质
1．等式的两边都加上（或减去）同一个数， 所得结果仍是等式．
2．等式的两边都乘以（或除以）同一个数 （除数不能为零），所得结果仍是等式．
15
试一试
已知 a 3 , 求下列各式的值: b4
(1) a b (2) a b .
b
b4
b
已知 a 3 ，求
b4
a 3b 的值。
2a b
（2）若比例式
a 2
=
b 3
=
c 4
≠
0，求下列各式的值。
a+b
3a+2b-2c
c
2a - b+ c
沪科版九年级数学上册22.比例线段课件
a
记做：b
(或a
:
b)
注意： (1)单位要统一； (2)两条线段的比值是一个没有单位的正数； (3)明确两条线段的先后顺序.
1.在比例尺为1:2000的地图上，有相距3.5cm的A、B 两地，则A、B两地间的实际距离为 7000cm.
6
引导探究
做一做：设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形 EFGH的顶点都在格点上，计算 AB , AD , AB , EF 的值，
EF EH AD EH
你发现了什么？
C
D
G
2 10
H
10
A
8
BE
4F
7
引导探究
成比例线段
四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，
即 a c ，那么这四条线段a , b ,c , d叫作成比例线段， bd
简称比例线段.
AB，EF，AD，EH是成比例线段， AB，AD，EF，EH也是成比例线段.
9
引导探究
特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即
a:b=b:c，则b叫做a,c的比例中项.
4 3.(1)若c是a、b的比例中项，且a＝2，b＝8，则c＝
；
(2)若线段c是线段a、b的比例中项，且a＝2， b＝8，则c＝ 4 ；
方法指点：注意区分线段的比例中项与பைடு நூலகம்字的比例 中项的区分
变式：若b:c=3:2,且c是b和a的比例中项， 则a:c的值是 2：3 .
注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！
8
引导探究
相关概念
如果 a c 或 a：b=c：d，
bd
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项， a、d 叫做比例外项， b、c 叫做比例内项， d 叫做 a、b、c的第四比例项.
比例线段课件
拓展：平面直角坐标系中的比例线段
探索在平面直角坐标系中求解比例线段的坐标公式，为解决实际问题提供本概念和性质，以及计算和应用比例线段的方法。 将通过实例和因果分析帮助理解该概念。
概述
什么是比例线段
比例线段是指在一条直线上将线段分成两部分比例相等的现象。它是一种重要的几何概念。
比例线段的性质
比例线段具有对称性，如果在一条直线上有两个比例相等的线段，它们将具有相似的几何性 质。
三线共点
1
三点共线的条件
当三个点在一条直线上且其中一个点将另外两个点分成一定比例时，它们被称为 三线共点。
2
计算比例线段的公式
考虑三角形ABC，P为BE与AC的交点，CE:EA = 2:1，那么AD:DE = 1:1。
3
应用实例
以三角形ABC为例，已知AC = 9 cm，BE:EA = 2:1，求AD:DE。
求比例线段的实例
1
实例一：线段分割比例
在一条线段上求点P，使得P将线段分割成比例为1:2和2:3的两部分。
2
实例二：三角形内的比例线段
在三角形ABC中，D是BC线段中点，E是AB线段上一点，且BE:EA = 2:1，求AD:DE。
总结与拓展
理解比例线段的应用场景
理解比例线段在几何学中的应用场景，例如测量、图形推理和设计等。
两点间的比例
1
求点P的方法
在一条线段上，可以通过求点P的位置，使得P将线段分成两部分比例相等。
2
计算比例线段的公式
比例线段的公式为：AP/AB = BP/BC，其中A、B、C为线段上的三个点，P为比例 线段的分割点。
3
举例说明
假设AB线段长度为6cm，BP:PC = 1:2，那么BP的长度为2cm，PC的长度为4cm。
探索在平面直角坐标系中求解比例线段的坐标公式，为解决实际问题提供本概念和性质，以及计算和应用比例线段的方法。 将通过实例和因果分析帮助理解该概念。
概述
什么是比例线段
比例线段是指在一条直线上将线段分成两部分比例相等的现象。它是一种重要的几何概念。
比例线段的性质
比例线段具有对称性，如果在一条直线上有两个比例相等的线段，它们将具有相似的几何性 质。
三线共点
1
三点共线的条件
当三个点在一条直线上且其中一个点将另外两个点分成一定比例时，它们被称为 三线共点。
2
计算比例线段的公式
考虑三角形ABC，P为BE与AC的交点，CE:EA = 2:1，那么AD:DE = 1:1。
3
应用实例
以三角形ABC为例，已知AC = 9 cm，BE:EA = 2:1，求AD:DE。
求比例线段的实例
1
实例一：线段分割比例
在一条线段上求点P，使得P将线段分割成比例为1:2和2:3的两部分。
2
实例二：三角形内的比例线段
在三角形ABC中，D是BC线段中点，E是AB线段上一点，且BE:EA = 2:1，求AD:DE。
总结与拓展
理解比例线段的应用场景
理解比例线段在几何学中的应用场景，例如测量、图形推理和设计等。
两点间的比例
1
求点P的方法
在一条线段上，可以通过求点P的位置，使得P将线段分成两部分比例相等。
2
计算比例线段的公式
比例线段的公式为：AP/AB = BP/BC，其中A、B、C为线段上的三个点，P为比例 线段的分割点。
3
举例说明
假设AB线段长度为6cm，BP:PC = 1:2，那么BP的长度为2cm，PC的长度为4cm。
《比例线段》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版 (1)
的一个较小的取值范 围 ,逐一将这些可取
数式的值，如下表：
3
的值代入方程进行尝
x
13 14
15 16 17 18 …
试检验.能使方程左右 两边相等的未知数的
值就是方程的解.这种
2x 12 3 8 4 0
3
33
14
尝试检验的方法是解 决问题的一种重要的 方法.
由上表知，当x＝15时，2 x 12 3
方程的两边都是整式，只含 有一个未知数，并且未知数 的指数是一次，这样的方程 叫做 一元一次方程 。
⒈判断以下各式哪些是一元一次方
程 ? (1)5x =0
√
x (2)y2 =4 +y
√ (3)3m +2 =1 -m
(4)1 +3x
x
(5) 3 4 x
x
⒉你能写出一个一元一次方程吗 ?
3、小强、小杰、张明参加投篮比赛 ,每人投20次.小强投进10个
清代数学家李善兰翻译外国数学著作时 ,开始将 equation一词译为 "方程〞 ,至||今一直这样沿用.
在小学我们已经学过,方程是指含有未知数的等式.
运用已学的知识 ,根据以下问题中的条件 ,分别列出
方程：
1、一件衣服按 8 折销售的售价为72元,这件衣服的原价是多
少元? 设这件衣服的原价为x元,可列出方程
称比例线段．
5 做一做
线段a =10mm ,b =6cm ,c =2cm ,d =3cm. 问：这四条线段是否成比例 ?为什么?
解：这四条线段成比例
∵a =10mm =1cm
∴
a＝ c
1 ，d＝ 2b
3＝ 6
1 2
∴
a c
初中数学九年级上册《22.1 比例线段》PPT课件 (8)
证明：∵DE∥BC
∴AB/BD=AC/CE（平行于三角形一边 的对直 应线 线截 段其 成他 比两例边。（）或两边的延长线），所得A 的
即15/4=9/CE ∴CE=12/5 ∴AE=AC+CE
B
C
D
图6
E
课堂练习（1）及答案
已知：DE∥BC，AB＝14，AC＝18，AE＝10 求：AD的长？
解：∵DE∥BC
B
一般到特殊
C
B
图3
图5
X （字母 型）
C
比例式 成立，因为 图形中有关的对应线段均没改变
教学设计（3）
猜想：⑴在图4、图5中，原题的条件（三条平行线）发
生了什么变化？⑵结论有没有变？⑶猜一猜，你能发
现什么规律？
A D
部分线擦去,
E 一取般一到部特分殊 D
A （1）三条平行线剩下两条，且变 为三角形的一边和截三角形另两
两边的延长线），所得的对应线段成比例。
A
F
A
D
E
D
B
C
图4
若DE∥BC
B
图5 C
若AF∥BC
4.符号语言:
则：
字母 A 型
则：
字母 X 型
补充练习
1.已知:点E在平行四边形ABCD的边AB的 延长线上，DE分别交AC、BC于点F、G， 在图中找出字母A型图A、字母X型图D。
F
B
G
C
E
答案（3）
字母A型图
2、学会用“动态”的观点去解决研究问 题。
3、欣赏模型“字母A型、字母X型”的理性 美、结构美，诱发学习数学的激情，感受数学 的美学文化，培养学生“自主实践、自主探索、
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求AE的长．
D B
E C
[解析] 要求线段AE的长，可根据已知条件DE与BC平行来进
行思考，运用平行线分线段成比例定理建立比例关系式，从
而求出CE的长，然后根据AE＝AC－CE求AE的长．
例题讲解
例1. 如图，已知DE∥BC，AB＝15，AC＝10，BD＝6. Ａ
求AE的长．
D
AB AC 解：∵DE∥BC，∴ ＝ . BD CE
B
E C
由 AB＝15，AC＝10，BD＝6，
15 10 得 ＝ ，∴CE＝4，∴AE＝AC－CE＝6. 6 CE
[注意] 遇到平行线截三角形，一定要找准对应线段，以防出错.
巩固练习
1．如图，在△ABC中, 点D, E分别在AB, AC边上, DE∥BC,
若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于 A．3 C．6 B．4 D．8
Ａ
DE DF ;
D
AB 则 BC BC AC
DE EF EF DF
AB ; AC
.
l1
B
C (1)
E
F
l2 l3
定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，
所得的对应线段成比例.
Ａ
D E C B
Ａ
C E B
E Ａ
D C
B
D
《同步》P51-52 基础练习22.1(五)
第3课时 平行线分线段成比例定理
Ａk Ａn-1 Ａn
定理：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
探究新知
定理：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 易得结论：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图(1)，已知l1∥l2∥l3 ． DE AB AB 则 EF ; BC AC
Ａ
DE DF ; B C
D E F
[反思] 平行于三角形的一边，且和其他两边相交的直线，所
截得的三角形与原三角形的三边对应成比例吗？
[答案] 成比例．
Ａ
(
D
)
D
B
3 cm ． AE＝1.5 cm，则EC＝________
E C Ａ
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2 cm，AB＝6 cm，
D
B
E
C
巩固练习
3．如图，已知AB∥DE，AE与DB交于点C，AC＝3，BC＝2，
CD＝4，则CE＝
6
．
Ａ
B
C
D E
第3课时 巩固练习
平行线分线段成比例定理
C
l1 N
B
l2
探究新知
如图，在△ABC中, 点D, E分别在AB, AC边上, DE∥BC.
图中有哪些成比例线段(用比例式表示) ？ M
Ａ E C
N
Ａ B D C E B
E Ａ
D
D B
C
定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，
所得的对应线段成比例.
例题讲解
例1. 如图，已知DE∥BC，AB＝15，AC＝10，BD＝6. Ａ
4. 如图，直线 l1∥l2∥l3，另两条直线分别交 l1，l2，l3 于点 A，B，C 及点 D，E，F，且 AB＝3，DE＝4，EF＝2，
1.5 ，AC＝____ 4.5 ． 则 BC＝____
D B C
A E F
l1
l2 l3
课 堂 小 结
定理：组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图(1)，已知l1∥l2∥l3 ．
22.1 比例线段（第5课时）
平行线分线段成比例理的内容
一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么截其 它直线得到的线段也相等。 如图：用几何语言表述平行线等分
线段定理
B C
A
D E F
l1 l2 l3
探究新知
如图，已知l1∥l2∥l3 …∥lk…∥ln-1∥ln，直线Ａ1Ａn与直线 B1Bn 被这一组平行直线分别截于点Ａ1，Ａ2 ，…Ａk ，…，
l1
BC AC
EF DF
l2
l3
.
(1)
探究新知
【结论】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图(2)，已知l1∥l2∥l3 ．
Ａ
E F
D B C (2)
l1
说出图中的比例线段(用比例式表示) ． l2
l3
如图(3)，已知l1∥l2． 说出图中的比例线段(用比例式表示) ．
Ａ
M D (3) E
Ａn-1 ，Ａn和B1，B2 ，…Bk ，…，Bn-1 ，Bn ． Ａ1 (1) 如果Ａ1Ａ2 =Ａ2Ａ3 =…=Ａn-1Ａn， Ａ2 Ａ3
那么B1B2 ， B2B3 ， …，Bn-1Bn是否相等？
B1 B2 B3
Bk
l1 l2 l3
lk Bn-1 ln-1 Bn ln
(2)
A1Ak Ak An
B B 1 k 是否相等？ 与 Bk Bn
D B
E C
[解析] 要求线段AE的长，可根据已知条件DE与BC平行来进
行思考，运用平行线分线段成比例定理建立比例关系式，从
而求出CE的长，然后根据AE＝AC－CE求AE的长．
例题讲解
例1. 如图，已知DE∥BC，AB＝15，AC＝10，BD＝6. Ａ
求AE的长．
D
AB AC 解：∵DE∥BC，∴ ＝ . BD CE
B
E C
由 AB＝15，AC＝10，BD＝6，
15 10 得 ＝ ，∴CE＝4，∴AE＝AC－CE＝6. 6 CE
[注意] 遇到平行线截三角形，一定要找准对应线段，以防出错.
巩固练习
1．如图，在△ABC中, 点D, E分别在AB, AC边上, DE∥BC,
若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于 A．3 C．6 B．4 D．8
Ａ
DE DF ;
D
AB 则 BC BC AC
DE EF EF DF
AB ; AC
.
l1
B
C (1)
E
F
l2 l3
定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，
所得的对应线段成比例.
Ａ
D E C B
Ａ
C E B
E Ａ
D C
B
D
《同步》P51-52 基础练习22.1(五)
第3课时 平行线分线段成比例定理
Ａk Ａn-1 Ａn
定理：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
探究新知
定理：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 易得结论：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图(1)，已知l1∥l2∥l3 ． DE AB AB 则 EF ; BC AC
Ａ
DE DF ; B C
D E F
[反思] 平行于三角形的一边，且和其他两边相交的直线，所
截得的三角形与原三角形的三边对应成比例吗？
[答案] 成比例．
Ａ
(
D
)
D
B
3 cm ． AE＝1.5 cm，则EC＝________
E C Ａ
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2 cm，AB＝6 cm，
D
B
E
C
巩固练习
3．如图，已知AB∥DE，AE与DB交于点C，AC＝3，BC＝2，
CD＝4，则CE＝
6
．
Ａ
B
C
D E
第3课时 巩固练习
平行线分线段成比例定理
C
l1 N
B
l2
探究新知
如图，在△ABC中, 点D, E分别在AB, AC边上, DE∥BC.
图中有哪些成比例线段(用比例式表示) ？ M
Ａ E C
N
Ａ B D C E B
E Ａ
D
D B
C
定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，
所得的对应线段成比例.
例题讲解
例1. 如图，已知DE∥BC，AB＝15，AC＝10，BD＝6. Ａ
4. 如图，直线 l1∥l2∥l3，另两条直线分别交 l1，l2，l3 于点 A，B，C 及点 D，E，F，且 AB＝3，DE＝4，EF＝2，
1.5 ，AC＝____ 4.5 ． 则 BC＝____
D B C
A E F
l1
l2 l3
课 堂 小 结
定理：组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图(1)，已知l1∥l2∥l3 ．
22.1 比例线段（第5课时）
平行线分线段成比例理的内容
一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么截其 它直线得到的线段也相等。 如图：用几何语言表述平行线等分
线段定理
B C
A
D E F
l1 l2 l3
探究新知
如图，已知l1∥l2∥l3 …∥lk…∥ln-1∥ln，直线Ａ1Ａn与直线 B1Bn 被这一组平行直线分别截于点Ａ1，Ａ2 ，…Ａk ，…，
l1
BC AC
EF DF
l2
l3
.
(1)
探究新知
【结论】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图(2)，已知l1∥l2∥l3 ．
Ａ
E F
D B C (2)
l1
说出图中的比例线段(用比例式表示) ． l2
l3
如图(3)，已知l1∥l2． 说出图中的比例线段(用比例式表示) ．
Ａ
M D (3) E
Ａn-1 ，Ａn和B1，B2 ，…Bk ，…，Bn-1 ，Bn ． Ａ1 (1) 如果Ａ1Ａ2 =Ａ2Ａ3 =…=Ａn-1Ａn， Ａ2 Ａ3
那么B1B2 ， B2B3 ， …，Bn-1Bn是否相等？
B1 B2 B3
Bk
l1 l2 l3
lk Bn-1 ln-1 Bn ln
(2)
A1Ak Ak An
B B 1 k 是否相等？ 与 Bk Bn